2020年北京高考模拟试题(一卷)数学试卷答案

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2020年高考模拟北京市延庆区高考数学第一次模拟测试试卷含解析

2020年高考数学第一次模拟测试试卷一、选择题1．已知复数z＝a2i﹣2a﹣i是正实数，则实数a的值为（）A．0B．1C．﹣1D．±12．已知向量＝（1，k），＝（k，2），若与方向相同，则k等于（）A．1B．±C．﹣D．3．下列函数中最小正周期为π的函数是（）A．y＝sin x B．y＝cos x C．y＝tan2x D．y＝|sin x|4．下列函数中，是奇函数且在其定义域上是增函数的是（）A．y＝B．y＝tan xC．y＝e x﹣e﹣x D．y＝5．某四棱锥的三视图所示，已知该四棱锥的体积为，则它的表面积为（）A．8B．12C．4+4D．206．（2x2+）5的展开式中，x4的系数是（）A．160B．80C．50D．107．在平面直角坐标系xOy中，将点A（1，2）绕原点O逆时针旋转90°到点B，设直线OB与x轴正半轴所成的最小正角为α，则cosα等于（）A．﹣B．﹣C．D．﹣8．已知直线a，b，平面α，β，α∩β＝b，a∥α，a⊥b，那么“a⊥β”是“α⊥β”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件9．某企业生产A，B两种型号的产品，每年的产量分别为10万支和40万支，为了扩大再生产，决定对两种产品的生产线进行升级改造，预计改造后的A，B两种产品的年产量的增长率分别为50%和20%，那么至少经过多少年后，A产品的年产量会超过B产品的年产量（取lg2＝0.3010）（）A．6年B．7年C．8年D．9年10．已知双曲线C：﹣＝1的右焦点为F，过原点O的直线与双曲线C交于A，B 两点，且∠AFB＝60°，则△BOF的面积为（）A．B．C．D．二、填空题11．已知集合M＝{x|＞﹣1}，且﹣3∈M，则k的取值范围是12．经过点M（﹣2，0）且与圆x2+y2＝1相切的直线l的方程是．13．已知函数f（x）＝sin2x+sin2x﹣cos2x，则f（）＝14．某网店统计了连续三天售出商品的种类情况：第一天售出19种商品，第二天售出13种商品，第三天售出18种商品；前两天都售出的商品有3种，后两天都售出的商品有4种，则该网店①第一天售出但第二天未售出的商品有种；②这三天售出的商品最少有种．15．在△ABC中，AB＝10，D是BC边的中点．若AC＝6，∠A＝60°，则AD的长等于；若∠CAD＝45°，AC＝6，则△ABC的面积等于．三、解答题16．如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是正方形，AB＝4，PD⊥PC，O是CD的中点，PO⊥平面ABCD，E是棱PC上的一点，PA∥平面BDE．（Ⅰ）求证：E是PC的中点；（Ⅱ）求证：PD和BE所成角等于90°．17．已知数列{a n}是等差数列，S n是{a n}的前n项和，a10＝16，．（Ⅰ）判断2024是否是数列{a n}中的项，并说明理由；（Ⅱ）求S n的最值．从①a8＝10，②a8＝8，③a8＝20中任选一个，补充在上面的问题中并作答．18．A，B，C三个班共有120名学生，为调查他们的上网情况，通过分层抽样获得了部分学生一周的上网时长，数据如表（单位：小时）：A班12 13 13 18 20 21B班11 11.5 12 13 13 17.5 20C班11 13.5 15 16 16.5 19 21（Ⅰ）试估计A班的学生人数；（Ⅱ）从这120名学生中任选1名学生，估计这名学生一周上网时长超过15小时的概率；（Ⅲ）从A班抽出的6名学生中随机选取2人，从B班抽出的7名学生中随机选取1人，求这3人中恰有2人一周上网时长超过15小时的概率．19．已知函数f（x）＝，其中a≠0．（Ⅰ）当a＝1时，求曲线y＝f（x）在原点处的切线方程；（Ⅱ）若函数f（x）在[0，+∞）上存在最大值和最小值，求a的取值范围．20．已知椭圆G：+＝1（a＞b＞0）的左焦点为F（﹣，0），且经过点C（﹣），A，B分别是G的右顶点和上顶点，过原点O的直线l与G交于P，Q两点（点Q在第一象限），且与线段AB交于点M．（Ⅰ）求椭圆G的标准方程；（Ⅱ）若|PQ|＝3，求直线l的方程；（Ⅲ）若△BOP的面积是△BMQ的面积的4倍，求直线l的方程．21．在数列{a n}中，若a n∈N*，且a n+1＝（n＝1，2，3，…），则称{a n}为“J数列”．设{a n}为“J数列”，记{a n}的前n项和为S n．（Ⅰ）若a1＝10，求S3n的值；（Ⅱ）若S3＝17，求a1的值；（Ⅲ）证明：{a n}中总有一项为1或3．参考答案一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知复数z＝a2i﹣2a﹣i是正实数，则实数a的值为（）A．0B．1C．﹣1D．±1【分析】结合已知及复数的概念进行求解即可．解：因为z＝a2i﹣2a﹣i是正实数，所以，解可得a＝﹣1．故选：C．2．已知向量＝（1，k），＝（k，2），若与方向相同，则k等于（）A．1B．±C．﹣D．【分析】根据平面向量的共线定理与坐标表示，列方程求出k的值．解：向量＝（1，k），＝（k，2），若与方向相同，则，解得k＝．故选：D．3．下列函数中最小正周期为π的函数是（）A．y＝sin x B．y＝cos x C．y＝tan2x D．y＝|sin x|【分析】找出选项中的函数解析式中ω的值，代入周期公式，可求出选项中函数的最小正周期．解：A、函数y＝sin x的最小正周期T＝2π，不满足条件；B、函数y＝cos x的最小正周期为T＝＝4π，不满足条件；C、y＝tan2x的最小正周期为T＝，不满足条件；D、y＝|sin x|的周期T＝π，满足条件．故选：D．4．下列函数中，是奇函数且在其定义域上是增函数的是（）A．y＝B．y＝tan xC．y＝e x﹣e﹣x D．y＝【分析】根据函数的图象和性质，判断即可．解：A奇函数，不是增函数；B奇函数，在每个段上时增函数，整个定义域不是增函数；C奇函数，在R上递增；D不是奇函数，f（0）＝2≠0，故选：C．5．某四棱锥的三视图所示，已知该四棱锥的体积为，则它的表面积为（）A．8B．12C．4+4D．20【分析】首先把三视图转换为几何体，进一步求出几何体的表面积．解：根据几何体的三视图转换为几何体为：如图所示：设四棱锥体的高为h，由于该几何体的体积为，所以该几何体的侧面的高为，所以几何体的表面积为S＝，故选：B．6．（2x2+）5的展开式中，x4的系数是（）A．160B．80C．50D．10【分析】利用通项公式即可得出．解：通项公式T r+1＝＝2r x3r﹣5，令3r﹣5＝4，解得r＝3．∴的展开式中x4的系数＝＝80．故选：B．7．在平面直角坐标系xOy中，将点A（1，2）绕原点O逆时针旋转90°到点B，设直线OB与x轴正半轴所成的最小正角为α，则cosα等于（）A．﹣B．﹣C．D．﹣【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义，复数乘法的几何意义，诱导公式，求出cosα的值．解：在平面直角坐标系xOy中，将点A（1，2）绕原点O逆时针旋转90°到点B，设点B（x，y），则x+yi＝（1+2i）•（cos90°+i sin90°），即x+yi＝﹣2+i，∴x＝﹣2，y＝1，即B（﹣2，1）．由题意，sin（α﹣90°）＝＝﹣cosα，∴cosα＝﹣＝﹣，故选：A．8．已知直线a，b，平面α，β，α∩β＝b，a∥α，a⊥b，那么“a⊥β”是“α⊥β”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】过直线a作平面γ，交平面α于直线a'，∵a∥α，∴a∥a'，∴a'⊥b，由a⊥β可推出α⊥β，由α⊥β可推出a⊥β，故“a⊥β”是“α⊥β”的充要条件．解：若α⊥β，过直线a作平面γ，交平面α于直线a'，∵a∥α，∴a∥a'，又a⊥β，∴a'⊥β，又∵a'⊆α，∴α⊥β，若α⊥β，过直线a作平面γ，交平面α于直线a'，∵a∥α，∴a∥a'，∵a⊥b，∴a'⊥b，又∵α⊥β，α∩β＝b，∴a'⊥β，∴a⊥β，故“a⊥β”是“α⊥β”的充要条件，故选：C．9．某企业生产A，B两种型号的产品，每年的产量分别为10万支和40万支，为了扩大再生产，决定对两种产品的生产线进行升级改造，预计改造后的A，B两种产品的年产量的增长率分别为50%和20%，那么至少经过多少年后，A产品的年产量会超过B产品的年产量（取lg2＝0.3010）（）A．6年B．7年C．8年D．9年【分析】设至少经过n年后，A产品的年产量会超过B产品的年产量，则10×（1+50%）n＞40×（1+20%）n，化为：＞4，取对数化简即可得出．解：设至少经过n年后，A产品的年产量会超过B产品的年产量，则10×（1+50%）n ＞40×（1+20%）n，化为：＞4，取对数可得：n＞＝＝6．∴至少经过7年后，A产品的年产量会超过B产品的年产量．故选：B．10．已知双曲线C：﹣＝1的右焦点为F，过原点O的直线与双曲线C交于A，B 两点，且∠AFB＝60°，则△BOF的面积为（）A．B．C．D．【分析】根据双曲线的图象和性质，构造平行四边形AFBF1，结合余弦定理以及三角形的面积进行转化求解即可．解：由双曲线的方程知a＝4，b＝3，c＝5，设双曲线的左焦点为F1，连接AF1，BF1，则四边形AFBF1是平行四边形，∵∠AFB＝60°，∴∠F1AF＝120°，则S△BOF＝S△F1BF＝S△F1AF，由余弦定理得100＝AF12+AF2﹣2AF•AF1cos120°＝（AF1﹣AF）2+3AF1•AF＝64+3AF1•AF，则3AF1•AF＝100﹣64＝36，即AF1•AF＝12，则S△F1AF＝AF1•AF sin120°＝＝3，则S△BOF＝S△F1AF＝，故选：A．二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．11．已知集合M＝{x|＞﹣1}，且﹣3∈M，则k的取值范围是（﹣∞，3）【分析】先转化分式不等式为x（x+k）＞0；再把﹣3代入即可求得k的取值范围．解：因为＞﹣1⇒⇒x（x+k）＞0；∵﹣3∈M，∴（﹣3）（﹣3+k）＞0⇒k＜3；∴k的取值范围是：（﹣∞，3）；故答案为：（﹣∞，3）．12．经过点M（﹣2，0）且与圆x2+y2＝1相切的直线l的方程是y＝（x+2）．【分析】当直线的斜率不存在时，直线方程为x＝﹣2，不成立；当直线的斜率存在时，设直线方程为kx﹣y+2k＝0，由题意，得＝1，由此能求出直线方程．解：当直线的斜率不存在时，直线方程为x＝﹣2，不成立；当直线的斜率存在时，设直线方程为y＝k（x+2），即kx﹣y+2k＝0，由题意，得＝1，解得k＝．∴直线方程为y＝（x+2）．故答案为：y＝（x+2）．13．已知函数f（x）＝sin2x+sin2x﹣cos2x，则f（）＝【分析】推导出函数f（x）＝sin2x+sin2x﹣cos2x＝sin（2x﹣），由此能求出f（）．解：∵函数f（x）＝sin2x+sin2x﹣cos2x＝sin2x﹣cos2x＝sin（2x﹣），∴f（）＝sin（）＝（sin cos﹣cos）＝（﹣）＝．故答案为：．14．某网店统计了连续三天售出商品的种类情况：第一天售出19种商品，第二天售出13种商品，第三天售出18种商品；前两天都售出的商品有3种，后两天都售出的商品有4种，则该网店①第一天售出但第二天未售出的商品有16种；②这三天售出的商品最少有29种．【分析】①由题意画出图形得答案；②求出前两天所受商品的种数，由特殊情况得到三天售出的商品最少种数．解：①设第一天售出商品的种类集为A，第二天售出商品的种类集为B，第三天售出商品的种类集为C，如图，则第一天售出但第二天未售出的商品有19﹣3＝16种；②由①知，前两天售出的商品种类为19+13﹣3＝29种，第三天售出但第二天未售出的商品有18﹣4＝14种，当这14种商品第一天售出但第二天未售出的16种商品中时，即第三天没有售出前两天的商品时，这三天售出的商品种类最少为29种．故答案为：①16；②29．15．在△ABC中，AB＝10，D是BC边的中点．若AC＝6，∠A＝60°，则AD的长等于7；若∠CAD＝45°，AC＝6，则△ABC的面积等于4．【分析】由题意可知，，然后结合向量数量积的定义及性质即可求解AD；结合已知及正弦定理可求sin∠BAD，然后结合和角正弦公式及三角形的面积公式可求．解：∵AB＝10，D是BC边的中点．若AC＝6，∠A＝60°，由题意可知，，∴＝＝49，所以AD＝7；∵AB＝10，D是BC边的中点，∠CAD＝45°，AC＝6，设BD＝DC＝x，∠BAD＝α，∠ADB＝β，△ABD中，由正弦定理可得，，△ACD中，由正弦定理可得，，联立可得，sin，cos，所以sin∠BAC＝sin（）＝＝＝42，故答案为：7，42．三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16．如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是正方形，AB＝4，PD⊥PC，O是CD的中点，PO⊥平面ABCD，E是棱PC上的一点，PA∥平面BDE．（Ⅰ）求证：E是PC的中点；（Ⅱ）求证：PD和BE所成角等于90°．【分析】（Ⅰ）连结AC，交BD于F，连结EF，则F是AC中点，由PA∥平面BDE，得EF∥PA，从而E是PC的中点．（Ⅱ）以O为原点，过O作DA的平行线为x轴，OC为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明PD和BE所成角等于90°．【解答】证明：（Ⅰ）连结AC，交BD于F，连结EF，∵四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是正方形，∴F是AC中点，∵PA∥平面BDE，∴EF∥PA，∴E是PC的中点．（Ⅱ）∵四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是正方形，AB＝4，PD⊥PC，O是CD的中点，PO⊥平面ABCD，∴以O为原点，过O作DA的平行线为x轴，OC为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，P（0，0，2），D（0，﹣2，0），B（4，2，0），E（0，1，1），＝（0，﹣2，﹣2），＝（﹣4，﹣1，1），∵＝0+2﹣2＝0，∴PD⊥BE，∴PD和BE所成角等于90°．17．已知数列{a n}是等差数列，S n是{a n}的前n项和，a10＝16，①a8＝10．（Ⅰ）判断2024是否是数列{a n}中的项，并说明理由；（Ⅱ）求S n的最值．从①a8＝10，②a8＝8，③a8＝20中任选一个，补充在上面的问题中并作答．【分析】（I）选择①a8＝10．设等差数列{a n}的公差为d，利用通项公式即可得出．（Ⅱ）由3n﹣14≤0，可得n≤4+．即可得出S n有最小值．解：（I）选择①a8＝10．设等差数列{a n}的公差为d，又∵a10＝16，∴d＝＝3．∴a1+7×3＝10，解得a1＝﹣11．∴a n＝﹣11+3（n﹣1）＝3n﹣14，令2024＝3n﹣11，解得n＝678+不是整数，∴2024不是数列{a n}中的项．（Ⅱ）由3n﹣14≤0，可得n≤4+．∴S n有最小值．为S4＝＝﹣26．故选：①a8＝10．18．A，B，C三个班共有120名学生，为调查他们的上网情况，通过分层抽样获得了部分学生一周的上网时长，数据如表（单位：小时）：A班12 13 13 18 20 21B班11 11.5 12 13 13 17.5 20C班11 13.5 15 16 16.5 19 21（Ⅰ）试估计A班的学生人数；（Ⅱ）从这120名学生中任选1名学生，估计这名学生一周上网时长超过15小时的概率；（Ⅲ）从A班抽出的6名学生中随机选取2人，从B班抽出的7名学生中随机选取1人，求这3人中恰有2人一周上网时长超过15小时的概率．【分析】先根据已知求得A，B，C三个班抽取的人数分别为6，7，7，共有20人；（Ⅰ）直接根据其所占比例求解即可；（Ⅱ）求出表中网时长超过15小时的人数所占比例即可求解结论；（Ⅲ）先求出基本事件的总数，再求出符合条件的个数，相比即可求解．解：由题可得：A，B，C三个班抽取的人数分别为6，7，7，共有20人；（Ⅰ）由题可得：A班的人数估计为：120×＝36人；（Ⅱ）抽取的20人中，网时长超过15小时的有：3+2+4＝9；∴从这120名学生中任选1名学生，这名学生一周上网时长超过15小时的概率为：；（Ⅲ）从A班抽出的6名学生中随机选取2人，从B班抽出的7名学生中随机选取1人，共有抽法：×＝105种；这3人中恰有2人一周上网时长超过15小时的抽法有：①均来自A班，有×＝15种；②一个来自A班，一个来自B班，有××＝18种；故共有：15+18＝33种；∴这3人中恰有2人一周上网时长超过15小时的概率为：＝．19．已知函数f（x）＝，其中a≠0．（Ⅰ）当a＝1时，求曲线y＝f（x）在原点处的切线方程；（Ⅱ）若函数f（x）在[0，+∞）上存在最大值和最小值，求a的取值范围．【分析】（I）把a＝1代入后对函数求导，然后结合导数的几何意义可求切线的斜率，进而可求切线方程；（II）结合导数对a进行分类讨论，确定函数的单调性，可求函数取得最值的条件，然后可求a的范围．解：（I）a＝1时，f（x）＝，，由导数的几何意义可知，k＝f′（0）＝2，故曲线y＝f（x）在原点处的切线方程为y＝2x；（II）因为，a≠0①a＞0时，令f′（x）＜0可得，x＞或x＜﹣a，此时函数单调递减，令f′（x）＜0可得，﹣a＜x＜，此时函数单调递增，故函数在[0，）上单调递增，在[）上单调递减，故函数在x＝处取得最大值，又当x→+∞，f（x）＞0，若函数取得最小值，则只有在x＝0处取得，此时f（0）＝a2﹣1≤0，且a＞0，解可得，0＜a≤1，②当a＜0时，同①可得，函数在（0，﹣a）上单调递减，在（﹣a，+∞）上单调递增，此时函数在x＝﹣a处取得最小值，又当x→+∞，f（x）＜0，若使得函数f（x）取得最大值，则f（0）＝a2﹣1≥0且a＜0，解可得，a≤﹣1，综上可得，a的范围{a|a≤﹣1或0＜a≤1}．20．已知椭圆G：+＝1（a＞b＞0）的左焦点为F（﹣，0），且经过点C（﹣），A，B分别是G的右顶点和上顶点，过原点O的直线l与G交于P，Q两点（点Q在第一象限），且与线段AB交于点M．（Ⅰ）求椭圆G的标准方程；（Ⅱ）若|PQ|＝3，求直线l的方程；（Ⅲ）若△BOP的面积是△BMQ的面积的4倍，求直线l的方程．【分析】（Ⅰ）由题意可得c＝，求得椭圆的焦点，运用椭圆的定义可得a，进而得到b，即有椭圆的方程；（Ⅱ）设直线l的方程为y＝kx，联立椭圆方程求得交点的横坐标，运用弦长公式可得|PQ|，解方程可得k，进而得到所求直线方程；（Ⅲ）由椭圆的性质和条件可得结合三角形的面积公式可得|OQ|＝4|MQ|，即＝4，运用向量共线定理的坐标表示，求得M，Q的坐标间的关系，设直线l的方程为y＝nx，与直线AB：x+y＝2联立求得M的坐标，将Q的坐标代入椭圆方程，解方程可得斜率，进而得到所求直线方程．解：（Ⅰ）由题意可得半焦距c＝，椭圆的焦点坐标为（﹣，0），（，0），由椭圆的定义可得2a＝+1＝4，即a＝2，则b＝＝，即椭圆的方程为+＝1；（Ⅱ）设直线l的方程为y＝kx，联立椭圆方程可得x＝±，则|PQ|＝•＝3，解得k＝±，则直线l的方程为y＝±x；（Ⅲ）由|OP|＝|OQ|，△BOP的面积是△BMQ的面积的4倍，可得S△OBQ＝4S△BMQ，即有|OQ|＝4|MQ|，即＝4，则x Q＝4（x Q﹣x M），y Q＝4（y Q﹣y M），可得x Q＝x M，y Q＝y M，设直线l的方程为y＝nx，与直线AB：x+y＝2，可得M（，），即有Q（，），代入椭圆方程可得+2•＝4，解得n＝，则直线l的方程为y＝x．21．在数列{a n}中，若a n∈N*，且a n+1＝（n＝1，2，3，…），则称{a n}为“J数列”．设{a n}为“J数列”，记{a n}的前n项和为S n．（Ⅰ）若a1＝10，求S3n的值；（Ⅱ）若S3＝17，求a1的值；（Ⅲ）证明：{a n}中总有一项为1或3．【分析】（Ⅰ）由已知求得数列的前几项，可知数列{a n}自第四项起以3为周期周期出现，分类写出S3n的值；（Ⅱ）由S3＝a1+a2+a3＝17，分a1为偶数和a1为奇数两类列式求解a1的值；（Ⅲ）直接利用数学归纳法（Ⅱ）证明{a n}中总有一项为1或3．【解答】（Ⅰ）解：由a1＝10，a n+1＝（n＝1，2，3，…），得a2＝5，a3＝8，a4＝4，a5＝2，a6＝1，a7＝4，…，由上可知，数列{a n}自第四项起以3为周期周期出现，当n＝1时，S3n＝23；当n≥2时，S3n＝23+3（n﹣1）＝3n+20．∴；（Ⅱ）解：S3＝a1+a2+a3＝17，若a1为偶数，则，若a2为偶数，则，此时，（舍）；若a2为奇数，则，此时S3＝2a1+3＝17，a1＝7（舍）；若a1为奇数，则a2＝a1+3为偶数，则，此时，a1＝5；综上，a1的值为5；（Ⅲ）证明：利用数学归纳法（Ⅱ）证明如下：（1）当a1＝1，2，3时，对应的数列分别为：1，4，2，1，4，2，1，…2，1，4，2，1，4，2，…3，6，3，6，3，6，3，…可知当a1＝1，2，3时，命题为真；（2）假设当a1＜k（k≥4）命题成立，下面证明a1＝k时命题成立．若k为偶数，则＜k，由归纳假设，自a2以后，必然出现1或3，命题为真；若k为奇数，则a2＝k+3，＜k（k≥4），由归纳假设，自a3以后，必然出现1或3，命题为真．综（1）（2）可知，：{a n}中总有一项为1或3．。

2020年北京市海淀区高考数学一模试卷-含详细解析

2020年北京市海淀区高考数学一模试卷含详细解析一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.在复平面内，复数i(2−i)对应的点位于()A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2.已知集合A={x|0<x<3}，A∩B={1}，则集合B可以是()A. {1,2}B. {1,3}C. {0,1，2}D. {1,2，3}3.已知双曲线x2−y2b2=1(b>0)的离心率为√5，则b的值为()A. 1B. 2C. 3D. 44.已知实数a，b，c在数轴上对应的点如图所示，则下列式子中正确的是()A. b−a<c+aB. c2<abC. cb >caD. |b|c<|a|c5.在(1x−2x)6的展开式中，常数项为()A. −120B. 120C. −160D. 1606.如图，半径为1的圆M与直线l相切于点A，圆M沿着直线l滚动．当圆M滚动到圆M′时，圆M′与直线l相切于点B，点A运动到点A′，线段AB的长度为3π2，则点M′到直线BA′的距离为()A. 1B. √32C. √22D. 127.已知函数f(x)=|x−m|与函数g(x)的图象关于y轴对称．若g(x)在区间(1,2)内单调递减，则m的取值范围为()A. [−1,+∞)B. (−∞,−1]C. [−2,+∞)D. (−∞,−2]8.某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥中最长棱的棱长为()A. √5B. 2√2C. 2√3D. √139.若数列{a n}满足a1=2，则“∀p，r∈N∗，a p+r=a p a r”是“{a n}为等比数列”的()A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件10.形如22n+1(n是非负整数)的数称为费马数，记为F n.数学家费马根据F0，F1，F2，F3，F4都是质数提出了猜想：费马数都是质数．多年之后，数学家欧拉计算出F5不是质数，那么F5的位数是()(参考数据：lg2≈0.3010)A. 9B. 10C. 11D. 12二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）11.已知点P(1,2)在抛物线C：y2=2px上，则抛物线C的准线方程为______．12.在等差数列{a n}中，a1=3，a2+a5=16，则数列{a n}的前4项的和为______．13.已知非零向量a⃗，b⃗ 满足|a⃗|=|a⃗−b⃗ |，则(a⃗−12b⃗ )⋅b⃗ =______．14.在△ABC中，AB=4√3，∠B=π4，点D在边BC上，∠ADC=2π3，CD=2，则AD=______；△ACD的面积为______．15.如图，在等边三角形ABC中，AB=6.动点P从点A出发，沿着此三角形三边逆时针运动回到A点，记P运动的路程为x，点P到此三角形中心O距离的平方为f(x)，给出下列三个结论：①函数f(x)的最大值为12；②函数f(x)的图象的对称轴方程为x=9；③关于x的方程f(x)=kx+3最多有5个实数根．其中，所有正确结论的序号是______．三、解答题（本大题共6小题，共85.0分）16.如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，AB⊥平面BB1C1C，AB=BB1=2BC=2，BC1=√3，点E为A1C1的中点．(Ⅰ)求证：C1B⊥平面ABC；(Ⅱ)求二面角A−BC−E的大小．17.已知函数f(x)=2cos2ω1x+sinω2x.(Ⅰ)求f(0)的值；(Ⅱ)从①ω1=1，ω2=2；②ω1=1，ω2=1这两个条件中任选一个，作为题目的已知条件，求函数f(x)在[−π2,π6]上的最小值，并直接写出函数f(x)的一个周期．18.科技创新能力是决定综合国力和国际竞争力的关键因素，也是推动经济实现高质量发展的重要支撑，而研发投入是科技创新的基本保障．如图是某公司从2010年到2019年这10年研发投入的数据分布图：其中折线图是该公司研发投入占当年总营收的百分比，条形图是当年研发投入的数值(单位：十亿元)．(Ⅰ)从2010年至2019年中随机选取一年，求该年研发投入占当年总营收的百分比超过10%的概率；(Ⅱ)从2010年至2019年中随机选取两个年份，设X表示其中研发投入超过500亿元的年份的个数，求X的分布列和数学期望；(Ⅲ)根据图中的信息，结合统计学知识，判断该公司在发展的过程中是否比较重视研发，并说明理由．19.已知函数f(x)=e x+ax．(Ⅰ)当a=−1时，①求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程；②求函数f(x)的最小值；(Ⅱ)求证：当a∈(−2,0)时，曲线y=f(x)与y=1−lnx有且只有一个交点．20.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为√32，A1(−a,0)，A2(a,0)，B(0,b)，△A1BA2的面积为2．(Ⅰ)求椭圆C的方程；(Ⅱ)设M是椭圆C上一点，且不与顶点重合，若直线A1B与直线A2M交于点P，直线A1M与直线A2B交于点Q.求证：△BPQ为等腰三角形．21.已知数列{a n}是由正整数组成的无穷数列．若存在常数k∈N∗，使得a2n−1+a2n=ka n对任意的n∈N∗成立，则称数列{a n}具有性质Ψ(k)．(Ⅰ)分别判断下列数列{a n}是否具有性质Ψ(2)；(直接写出结论)①a n=1；②a n=2n．(Ⅱ)若数列{a n}满足a n+1≥a n(n=1,2，3，…)，求证：“数列{a n}具有性质Ψ(2)”是“数列{a n}为常数列”的充分必要条件；(Ⅲ)已知数列{a n}中a1=1，且a n+1>a n(n=1,2，3，…).若数列{a n}具有性质Ψ(4)，求数列{a n}的通项公式．答案和解析1.【答案】A【解析】解：∵复数z=i(2−i)=−i2+2i=1+2i∴复数对应的点的坐标是(1,2)这个点在第一象限，故选：A．首先进行复数的乘法运算，得到复数的代数形式的标准形式，根据复数的实部和虚部写出对应的点的坐标，看出所在的象限．本题考查复数的代数表示法及其几何意义，本题解题的关键是写成标准形式，才能看出实部和虚部的值．2.【答案】B【解析】解：∵A={x|0<x<3}，A∩B={1}，∴集合B可以是{1,3}．故选：B．根据A={x|0<x<3}，A∩B={1}，即可得出集合B可能的情况．本题考查了描述法、列举法的定义，交集的定义及运算，考查了计算能力，属于基础题．3.【答案】B【解析】解：双曲线x2−y2b2=1(b>0)的离心率为√5，可得√b2+11=√5，解得b=2，故选：B．利用双曲线的离心率公式，列出方程，求解b即可．本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查，基础题．4.【答案】D【解析】解：(法1)根据数轴可得c<b<a<0且|c|>|b|>|a|，对于A：因为c<b，a<0，所以c+a<c，b−a>b，则c+a<c<b−a，即c+ a<b−a，故A错误；对于B：因为c<b<a<0，|c|>|b|>|a|，所以c2>b2>a2，且b2>ab，所以c2>b2>ab，则c2>ab，故B错误；对于C：因为b<a<0，所以1b >1a，则cb<ca，故C错误；对于D：因为|b|>|a|，且c<0，所以|b|c<|a|c，故D正确，(法2)不妨令c=−5，b=−4，a=−1，则c+a=−6<b−a=−3，故A错误；c2=25>ab=4，故B错误；cb =54<ca=5，故C错误；故选：D．法1：根据数轴得到c<b<a<0且|c|>|b|>|a|，结合不等式基本性质逐一进行判断即可；5.【答案】C【解析】解：由题意得：T k+1=(−2)k C 6k x 2k−6，令2k −6=0得k =3，故常数项为T 4=(−2)3C 63=−160．故选：C ．先求出通项，然后令x 的指数为零即可．本题考查二项式展开式通项的应用和学生的运算能力，属于基础题． 6.【答案】C【解析】解：根据条件可知圆周长=2π，因为BA =32π=34×2π，故可得A’位置如图：∠A′M′B =90°，则△A′M′B 是等腰直角三角形，则M′到A′M 的距离d =√22r =√22，故选：C ．根据条件可得圆旋转了34个圆，作图可得到△A′M′B 是等腰直角三角形，进而可求得M′到A′M 的距离．本题考查点到直线的距离，考查圆旋转的长度求法，数中档题． 7.【答案】D【解析】解：根据题意，函数f(x)=|x −m|与函数g(x)的图象关于y 轴对称．若g(x)在区间(1,2)内单调递减，则f(x)在区间(−2,−1)上递增，而f(x)=|x −m|={x −m,x ≥m−x +m,x <m，在区间(m,+∞)上为增函数，则有m ≤−2，即m 的取值范围为(−∞,−2]；故选：D ．根据题意，分析可得f(x)在区间(−2,−1)上递增，将f(x)写成分段函数的形式，分析可得f(x)在区间(m,+∞)上为增函数，据此可得m 的取值范围．本题考查函数的单调性，涉及函数之间的对称性、不等式的解法，属于基础题． 8.【答案】C【解析】解：根据几何体的三视图可得直观图为：该几何体为四棱锥体，如图所示：所以最长的棱长AB=√22+22+22=2√3．故选：C．首先把三视图转换为直观图，进一步求出最大棱长．本题考查的知识要点：三视图和直观图形之间的转换，几何体的棱长的求法和应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．9.【答案】A【解析】解：“∀p，r∈N∗，a p+r=a p a r”，取p=n，r=1，则a n+1=2a n，∴{a n}为等比数列，充分性成立．若{a n}为等比数列，则a p+r=2×q p+r−1，a p a r=22⋅q p+r−2，只有q=2时才能成立，必要性不成立．∴数列{a n}满足a1=2，则“∀p，r∈N∗，a p+r=a p a r”是“{a n}为等比数列”的充分不必要条件．故选：A．利用等比数列的定义、通项公式即可判断出结论．本题考查了等差数列的通项公式，充分必要条件的判断，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．10.【答案】B【解析】解：根据题意，F5=225+1=232+1≈232=10lg232=1032lg2≈1032×0.3010=109.632=100.632×109，因为1<100.632<10，所以F5的位数是10．故选：B．根据所给定义表示出F5=109.632×109，进而即可判断出其位数．本题考查指对数运算，考查学生阅读理解能力，属于中档题．11.【答案】x=−1【解析】解：把点P(1,2)代入抛物线方程有，4=2p，∴p=2，=−1．∴抛物线的准线方程为x=−p2故答案为：x=−1．把点P的坐标代入抛物线的方程可求得p，而准线方程为x=−p，从而得解．2本题考查抛物线的方程、准线方程等，考查学生的运算能力，属于基础题．12.【答案】24【解析】解：设等差数列{a n}的公差为d，∵a1=3，a2+a5=16，∴2×3+5d=16，解得d=2．×2=24．则数列{a n}的前4项的和=4×3+4×32故答案为：24．题．13.【答案】0【解析】解：因为非零向量a ⃗ ，b ⃗ 满足|a ⃗ |=|a ⃗ −b ⃗ |，∴a ⃗ 2=a ⃗ 2−2a ⃗ ⋅b ⃗ +b ⃗ 2⇒a ⃗ ⋅b ⃗ =12b ⃗ 2；则(a ⃗ −12b ⃗ )⋅b ⃗ =a ⃗ ⋅b ⃗ −12b ⃗ 2=0．故答案为：0．把所给条件平方整理得到a ⃗ ⋅b ⃗ =12b ⃗ 2；代入数量积即可求解结论．本题考查向量的数量积以及模长的应用，考查向量的表示以及计算，考查计算能力． 14.【答案】4√2 2√6【解析】解：如图；因为在△ABC 中，AB =4√3，∠B =π4，点D 在边BC 上，∠ADC =2π3，CD =2，所以：ADsin∠ABD =ABsin∠ADB ⇒AD =4√3×sinπ4sin π3=4√2；S △ACD =12⋅AD ⋅CD ⋅sin∠ADC =12×4√2×2×sin2π3=2√6；故答案为：4√2，2√6．先根据正弦定理求得AD ，进而求得三角形的面积．本题主要考查正弦定理以及三角形的面积，属于基础题目． 15.【答案】①②【解析】解：由题可得函数f(x)={3+(x −3)2,0≤x <63+(x −9)2,6≤x <123+(x −15)2,12≤x ≤18，作出图象如图：则当点P 与△ABC 顶点重合时，即x =0，6，12，18时，f(x)取得最大值12，故①正确；又f(x)=f(18−x)，所以函数f(x)的对称轴为x =9，故②正确；由图象可得，函数f(x)图象与y =kx +3的交点个数最多为6个，故方程最多有6个实根，故③错误．本题考查命题的真假性判断，涉及函数的应用、图象与性质，数形结合思想，逻辑推理能力，属于难题．16.【答案】(Ⅰ)证明：因为AB ⊥平面BB 1C 1C ，C 1B ⊂平面BB 1C 1C 所以AB ⊥C 1B .在△BCC 1中，BC =1，BC 1=√3，CC 1=2，所以BC 2+BC 12=CC 12．所以CB ⊥C 1B .因为AB ∩BC =B ，AB ，BC ⊂平面ABC ，所以C 1B ⊥平面ABC ．(Ⅱ)解：由(Ⅰ)知，AB ⊥C 1B ，BC ⊥C 1B ，AB ⊥BC ，如图，以B 为原点建立空间直角坐标系B −xyz ．则B(0,0，0)，E(−12,√3,1)，C(1,0，0)．BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,0)，BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−12,√3,1)．设平面BCE 的法向量为n ⃗ =(x,y ，z)，则{n⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0n ⃗ ⋅BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即{x =0,−12x +√3y +z =0.令y =√3则x =0，z =−3，所以n ⃗ =(0,√3,−3)．又因为平面ABC 的法向量为m ⃗⃗⃗ =(0,1，0)，所以cos <m ⃗⃗⃗ ,n ⃗ >=m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗|m ⃗⃗⃗ ||n ⃗⃗ |=12．由题知二面角A −BC −E 为锐角，所以其大小为π3．【解析】(Ⅰ)证明AB ⊥C 1B .CB ⊥C 1B .利用直线与平面垂直的判断定理证明C 1B ⊥平面ABC ．(Ⅱ)以B 为原点建立空间直角坐标系B −xyz.求出平面BCE 的法向量，平面ABC 的法向量，利用空间向量的数量积求解二面角的大大小即可，本题考查二面角的平面角的求法，直线与平面垂直的判断定理的应用，考查空间想象能力以及逻辑推理能力计算能力，是中档题．17.【答案】解：(Ⅰ)由函数f(x)=2cos 2ω1x +sinω2x ，则f(0)=2cos 20+sin0=2；(Ⅱ)选择条件①，则f(x)的一个周期为π；由f(x)=2cos 2x +sin2x=(cos2x +1)+sin2x=√2(√22sin2x +√22cos2x)+1 =√2sin(2x +π4)+1；因为x ∈[−π2,π6]，所以2x +π4∈[−3π4,7π12]；所以−1≤sin(2x +π4)≤1，当2x +π4=−π2，即x =−3π8时，f(x)在[−π2,π6]取得最小值为1−√2．选择条件②，则f(x)的一个周期为2π；由f(x)=2cos 2x +sinx=2(1−sin 2x)+sinx =−2(sinx −14)2+178；因为x ∈[−π2,π6]，所以sinx ∈[−1,12]；所以当sinx =−1，即x =−π2时，f(x)在[−π2,π6]取得最小值为−1．【解析】(Ⅰ)由函数f(x)的解析式求出f(0)的值； (Ⅱ)选择条件①时f(x)的一个周期为π，利用三角恒等变换化简f(x)，再求f(x)在[−π2,π6]的最小值．选择条件②时f(x)的一个周期为2π，化简f(x)，利用三角函数的性质求出f(x)在[−π2,π6]的最小值．本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了转化与运算能力，是基础题．18.【答案】解：(Ⅰ)设事件A 为“从2010年至2019年中随机选取一年，研发投入占当年总营收的百分比超过10%”，从2010年至2019年一共10年，其中研发投入占当年总营收的百分比超过10%有9年，所以P(A)=910．(Ⅱ)由图表信息，从2010年至2019年10年中有5年研发投入超过500亿元，所以X 的所有可能取值为0，1，2．且P(X =0)=C 52C 102=29；P(X =1)=C 51C 51C 102=59；P(X =2)=C 52C 102=29．所以X 的分布列为：故X 的期望E(X)=0×29+1×59+2×29=1．(Ⅲ)从两个方面可以看出，该公式是比较重视研发的：一、从2010年至2019年，每年的研发投入是逐年增加的(2018年除外)，并且增加的幅度总体上逐渐加大；二、研发投入占营收的比例总体上也是逐渐增加的，虽然2015年往后有些波动，但是总体占比还是较高的．【解析】(Ⅰ)按照古典概型概率计算公式计算即可；(Ⅱ)显然这是一个超几何分布，按照超几何分布的概率计算方法，分别算出随机变量X 取0，1，2时的概率，然后画出分布列，即可求期望；本题考查离散型随机变量的分布列、期望的求法，注意对题意的理解需到位、准确．同时考查学生的数学建模的素养，属于中档题．19.【答案】解：(Ⅰ)①当a =−1时，f(x)=e x −x ，则 f′(x)=e x −1．所以f′(0)=0．又f(0)=1，所以曲线y =f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y =1；可知f(x)min (Ⅱ)证明：由题意可知，x ∈(0,+∞)，令g(x)=e x +ax +lnx −1，则g′(x)=e x +1x +a ，由(Ⅰ)中可知e x −x ≥1，故 e x ≥1+x ，因为a ∈(−2,0)，则g′(x)=e x +1x +a ≥(x +1)+1x +a ≥2√x ⋅1x +a +1=3+a >0，所以函数g(x)在区间(0,+∞)上单调递增，因为g(1e )=e 1e +ae−2<e 12−2<0，又因为g(e)=e e +ae >e 2−2e >0，所以g(x)有唯一的一个零点．即函数y =f(x)与y =1−lnx 有且只有一个交点．【解析】本题考查导数的几何意义，利用导数研究函数的最值，函数的零点等问题，考查运算求解能力及推理论证能力，属于中档题．(Ⅰ)①将a =−1代入，求导，求出切线斜率及切点，利用点斜式方程即得解； ②求出函数函数f(x)的单调性情况，进而得出最值；(Ⅱ)即证函数g(x)=e x +ax +lnx −1仅有一个零点，利用导数可知函数g(x)在区间(0,+∞)上单调递增，结合零点存在性定理即得证．20.【答案】解：(Ⅰ)由题{c a=√32,ab =2,a 2=b 2+c 2.解得{a =2,b =1.所以椭圆方程为x 24+y 2=1．( II)解法1证明：设直线A 2M 方程为y =k(x −2)(k ≠0且k ≠±12)，直线A 1B 方程为y =12x +1 由{y =k(x −2),y =12x +1.解得点P(4k+22k−1,4k 2k−1)．由{y =k(x −2),x 24+y 2=1.得(4k +1)x 2−16k 2x +16k 2−4=0，则2x M =16k 2−44k 2+1．所以x M =8k 2−24k 2+1，y M =−4k4k 2+1．即M(8k 2−24k 2+1,−4k4k 2+1)．k A 1M =−4k 4k 2+18k 2−24k 2+1+2=−14k．于是直线A 1M 的方程为y =−14k (x +2)，直线A 2B 的方程为y =−12x +1．由{y =−14k (x +2)y =−12x +1解得点Q(4k+22k−1,−22k−1)．于是x P =x Q ，所以PQ ⊥x 轴．设PQ 中点为N ，则N 点的纵坐标为4k 2k−1+−22k−12=1．故PQ 中点在定直线y =1上．从上边可以看出点B 在PQ 的垂直平分线上，所以|BP|=|BQ|，所以△BPQ 为等腰三角形．解法2证明：设M(x 0,y 0)(x 0≠±2,y 0≠±1)则x 02+4y 02=4．直线A 2M 方程为y =yx 0−2(x −2)，直线A 1B 方程为y =12x +1．由{y =yx 0−2(x −2),y =12x +1.解得点P(2x 0+4y 0−42y 0−x 0+2,4y 02y0−x 0+2)．直线A 1M 方程为y =yx 0+2(x +2)，直线A 2B 方程为y =−12x +1．由{y =yx 0+2(x +2),y =−12x +1. 解得点Q(2x 0−4y 0+42y 0+x 0+2,4y 02y0+x 0+2)．x P −x Q =2x 0+4y 0−42y 0−x 0+2−2x 0−4y 0+42y 0+x 0+2=2(x 0+2y 0−2)(2y 0+x 0+2)−2(x 0−2y 0+2)(2y 0−x 0+2)(2y 0−x 0+2)(2y 0+x 0+2)=2[(x 0+2y 0)2−4)−(4−(x 0−2y 0)2](2y 0−x 0+2)(2y 0+x 0+2)=0．于是x P =x Q ，所以PQ ⊥x 轴．y P +y Q =4y 02y0−x 0+2+4y 02y 0+x 0+2=4y 0(4y 0+4)(2y 0−x 0+2)(2y 0+x 0+2)=4y 0(4y 0+4)(2y 0+2)2−x 02=2．故PQ 中点在定直线y =1上．从上边可以看出点B 在PQ 的垂直平分线上，所以|BP|=|BQ|，所以△BPQ 为等腰三角形．【解析】(Ⅰ)由题{ca=√32,ab =2,a 2=b 2+c 2.，求出a ，b ，即可得到椭圆方程．(II)解法1，设直线A 2M 方程为y =k(x −2)(k ≠0且k ≠±12)，直线A 1B 方程为y =1x+1，通过联立直线与椭圆方程组，求出M坐标，Q坐标，推出|BP|=|BQ|，即可2证明△BPQ为等腰三角形．(x−解法2，设M(x0,y0)(x0≠±2,y0≠±1)则x02+4y02=4.直线A2M方程为y=y0x0−2x+1.通过联立直线与椭圆方程组，求出P，Q坐标，转化推2)，直线A1B方程为y=12出|BP|=|BQ|，得到△BPQ为等腰三角形．本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用，椭圆方程的求法，考查转化思想以及计算能力，是难题．21.【答案】解：(Ⅰ)①数列{a n}具有“性质Ψ(2)”；②数列{a n}不具有“性质Ψ(2)”．(Ⅱ)证明：先证“充分性”：当数列{a n}具有“性质Ψ(2)”时，有a2n−1+a2n=2a n，又因为a n+1≥a n，所以0≤a2n−a n=a n−a2n−1≤0，进而有a n=a2n结合a n+1≥a n有a n=a n+1=⋯=a2n，即“数列{a n}为常数列”；再证“必要性”：若“数列{a n}为常数列”，则有a2n−1+a2n=2a1=2a n，即“数列{a n}具有“性质Ψ(2)”．(Ⅲ)首先证明：a n+1−a n≥2．因为{a n}具有“性质Ψ(4)”，所以a2n−1+a2n=4a n．当n=1时，有a2=3a1=3．又因为a2n−1,a2n,a n∈N∗，且a2n>a2n−1，所以有a2n≥2a n+1，a2n−1≤2a n−1，进而有2a n+1≤a2n≤a2n+1−1≤2a n+1−2，所以2(a n+1−a n)≥3，结合a n+1,a n∈N∗可得：a n+1−a n≥2．然后利用反证法证明：a n+1−a n≤2．假设数列{a n}中存在相邻的两项之差大于3，即存在k∈N∗满足：a2k+1−a2k≥3或a2k+2−a2k+1≥3，进而有4(a k+1−a k)=(a2k+2+a2k+1)−(a2k+a2k−1)=(a2k+2−a2k)+(a2k+1−a2k−1)=[(a2k+2−a2k+1)+(a2k+1−a2k)]+[(a2k+1−a2k)+(a2k−a2k−1)]≥12．又因为a k+1−a k∈N∗，所以a k+1−a k≥3依此类推可得：a2−a1≥3，矛盾，所以有a n+1−a n≤2．综上有：a n+1−a n=2，结合a1=1可得a n=2n−1，经验证，该通项公式满足a2n−1+a2n=4a n，所以：a n=2n−1．【解析】(Ⅰ)①②利用已知条件及其定义解验证判断出结论．(Ⅱ)先证“充分性”：当数列{a n}具有“性质Ψ(2)”时，有a2n−1+a2n=2a n，根据a n+1≥a n，可得0≤a2n−a n=a n−a2n−1≤0，进而有a n=a2n，结合a n+1≥a n即可证明结论．再证“必要性”：若“数列{a n}为常数列”，容易验证a2n−1+a2n=2a1=2a n，即可证明．(Ⅲ)首先证明：a n+1−a n≥2.根据{a n}具有“性质Ψ(4)”，可得a2n−1+a2n=4a n.当n=1时，有a2=3a1=3.由a2n−1,a2n,a n∈N∗，且a2n>a2n−1，可得a2n≥2a n+ 1，a2n−1≤2a n−1，进而有2a n+1≤a2n≤a2n+1−1≤2a n+1−2，可得2(a n+1−a n)≥3，可得：a n+1−a n≥2．然后利用反证法证明：a n+1−a n≤2.假设数列{a n}中存在相邻的两项之差大于3，即存在k∈N∗满足：a2k+1−a2k≥3或a2k+2−a2k+1≥3，进而有4(a k+1−a k)=(a2k+2+a2k+1)−(a2k+a2k−1)=[(a2k+2−a2k+1)+(a2k+1−a2k)]+[(a2k+1−a2k)+(a2k−a2k−1)]≥12.又因为a k+1−a k∈N∗，可得a k+1−a k≥3，依此类推可得：a2−a1≥3，矛盾．综上有：a n+1−a n=2，结合a1=1可得a n=2n−1，本题考查了新定义、等差数列的通项公式、数列递推关系、反证法、转化方法、方程以不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．。

2020年高考一模数学试题及答案(数学)

(Ⅰ)试估计在这 50 万青年学生志愿者中,英语测试成绩在 80 分以上的女生人数;
(Ⅱ)从选出的 8 名男生中随机抽取 2 人,记其中测试成绩在 70 分以上的人数为 X,求的分布列和数学期望;
(Ⅲ)为便于联络,现将所有的青年学生志愿者随机分成若干组(每组人数不少于 5000),并在每组中随机选取个人作为联络员,要求每组的联络员中至少有 1 人的英语测试成绩在 70 分以上的概率大于 90%.根据图表中数据,以频率作为概率,给出的最小值.(结论不要求证明)
.
2/5
14.函数吠h ⸶ .
h吠 h的最小正周期为
;若函数吠h在区间 ㄱㄠ h上单调递增,则的最大值为
15.在一次体育水平测试中,甲、乙两校均有 100 名学生参加,其中:甲校男生成绩的优秀率为 70%,女生成绩的优秀率为 50%;乙校男生成绩的优秀率为 60%,女生成绩的优秀率为 40%.对于此次测试,给出下列三个结论:
第Ⅱ卷(非选择题共 110 分)
二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.
11.在吠吠 h 的展开式中,常数项为
.(用数字作答)
12.若向量 ⸶ 吠hㄠhhㄠ ⸶ ㄠ吠h满足 ㄰ 㸴,则实数吠的取值范围是
.
13.设双曲线吠h t
h
h⸶
t ㄱh的一条渐近线方程为
⸶
h h
吠,则该双曲线的离心率为
h,设ㄠ hㄠㄠ h是的一个“正整数分拆”,
且 ⸶ h,求的最大值;
(Ⅲ)对所有的正整数 ,证明: 쳌 ;并求出使得等号成立的的值.
(注:对于的两个“正整数分拆” ㄠ hㄠㄠ h与ㄠ hㄠㄠ h,当且仅当 ⸶ 且 ⸶ ㄠ h ⸶ hㄠㄠ ⸶ 时, 称这两个“正整数分拆”是相同的.)

2020年北京市密云区高考数学第一次模拟测试试卷含解析

2020年高考数学一模试卷一、选择题(共10题)1．已知集合M＝{x|x＞0}，N＝{x|﹣l≤x≤1}，则M∩N＝（）A．[﹣1，+∞）B．（0，1）C．（0，1]D．[0，1]2．已知复数z＝，则|z|＝（）A．l+i B．1﹣i C．D．23．设数列{a n}是等差数列，a1+a3+a5＝6，a7＝6．则这个数列的前7项和等于（）A．12B．21C．24D．364．已知平面向量＝（4，2），＝（x，3），∥，则实数x的值等于（）A．6B．1C．D．﹣5．已知x，y∈R，则“x＜y”是“＜1”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件6．如果直线ax+by＝1与圆C：x2+y2＝1相交，则点M（a，b）与圆C的位置关系是（）A．点M在圆C上B．点M在圆C外C．点M在圆C内D．上述三种情况都有可能7．函数f（x）＝sin（ωx+φ）的部分图象如图所示，则f（x）的单调递增区间为（）A．B．C．D．8．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的表面积为（）A．8B．C．8+2D．8+49．已知斜率为k的直线l与抛物线C：y2＝4x交于A，B两点，线段AB的中点为M（1，m）（m＞0），则斜率k的取值范围是（）A．（﹣∞，1）B．（﹣∞，1]C．（1，+∞）D．[1，+∞）10．在正方体AC1中，E是棱CC1的中点，F是侧面BCC1B1内的动点，且A1F与平面D1AE 的垂线垂直，如图所示，下列说法不正确的是（）A．点F的轨迹是一条线段B．A1F与BE是异面直线C．A1F与D1E不可能平行D．三棱锥F﹣ABD1的体积为定值二、填空题11．已知的展开式中，含x3项的系数为（用数字作答）．12．双曲线y2﹣x2＝1的焦点坐标是，渐近线方程是．13．在疫情防控过程中，某医院一次性收治患者127人．在医护人员的精心治疗下，第15天开始有患者治愈出院，并且恰有其中的1名患者治愈出院．如果从第16天开始，每天出院的人数是前一天出院人数的2倍，那么第19天治愈出院患者的人数为，第天该医院本次收治的所有患者能全部治愈出院．14．函数f（x）＝cos2x的最小正周期是，单调递增区间是15．已知函数f（x）＝，若关于x的方程f（x）＝x+a有且只有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是．三、解答题：共6小题，共85分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，并且b2+c2﹣a2＝bc．（I）已知_______，计算△ABC的面积；请从①a＝，②b＝2，③sin C＝2sin B这三个条件中任选两个，将问题（I）补充完整，并作答．注意，只需选择其中的一种情况作答即可，如果选择多种情况作答，以第一种情况的解答计分．（Ⅱ）求cos B+cos C的最大值．17．在考察疫情防控工作中，某区卫生防控中心提出了“要坚持开展爱国卫生运动，从人居环境改善、饮食习惯，社会心理健康、公共卫生设施等多个方面开展，特别是要坚决杜绝食用野生动物的陋习，提倡文明健康、绿色环保的生活方式”的要求．某小组通过问卷调查，随机收集了该区居民六类日常生活习惯的有关数据．六类习惯是：（1）卫生习惯状况类；（2）垃圾处理状况类；（3）体育锻炼状况类；（4）心理健康状况类；（5）膳食合理状况类；（6）作息规律状况类．经过数据整理，得到如表：卫生习惯状况类垃圾处理状况类体育锻炼状况类心理健康状况类膳食合理状况类作息规律状况类有效答卷份数380550330410400430习惯良好频率0.60.90.80.70.650.6假设每份调查问卷只调查上述六类状况之一，各类调查是否达到良好标准相互独立．（I）从小组收集的有效答卷中随机选取1份，求这份试卷的调查结果是膳食合理状况类中习惯良好者的概率；（Ⅱ）从该区任选一位居民，试估计他在“卫生习惯状况类、体育锻炼状况类、膳食合理状况类”三类习惯方面，至少具备两类良好习惯的概率；（Ⅲ）利用上述六类习惯调查的排序，用“ξk＝1”表示任选一位第k类受访者是习惯良好者，“ξk＝0”表示任选一位第k类受访者不是习惯良好者（k＝1，2，3，4，5，6）．写出方差Dξ1，Dξ2，Dξ3，Dξ4，Dξ5，Dξ6的大小关系．18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠ADC＝60°，△PAD为等边三角形，平面PAD⊥平面ABCD，M，N分别是线段PD和BC的中点．（I）求直线CM与平面PAB所成角的正弦值；（Ⅱ）求二面角D﹣AP﹣B的余弦值；（Ⅲ）试判断直线MN与平面PAB的位置关系，并给出证明．19．已知函数f（x）＝e x（ax+1），a∈R．（I）求曲线y＝f（x）在点M（0，f（0））处的切线方程；（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅲ）判断函数f（x）的零点个数．20．已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的离心率为，且过点A（0，1）．（I）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）点P是椭圆上异于短轴端点A，B的任意一点，过点P作PQ⊥y轴于Q，线段PQ的中点为M．直线AM与直线y＝﹣l交于点N，D为线段BN的中点，设O为坐标原点，试判断以OD为直径的圆与点M的位置关系．21．设等差数列{a n}的首项为0，公差为a，a∈N*；等差数列{b n}的首项为0，公差为b，b∈N*．由数列{a n}和{b n}构造数表M，与数表M*：记数表M中位于第i行第j列的元素为c i，j，其中c i，j＝a i+b j（i，j＝1，2，3，…）．记数表M*中位于第i行第j列的元素为d i，j，其中d i，j＝a i﹣b j+1．（1≤i≤b，i∈N*，j∈N*）．如：c1，2＝a1+b2，d l，2＝a1﹣b3．（I）设a＝5，b＝9，请计算c2，6，c396，6，d2，6；（Ⅱ）设a＝6．b＝7，试求c i，j，d i，j的表达式（用i，j表示），并证明：对于整数t，若t不属于数表M，则t属于数表M*；（Ⅲ）设a＝6，b＝7，对于整数t，t不属于数表M，求t的最大值．参考答案一、选择题：共10小题，每小题4分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知集合M＝{x|x＞0}，N＝{x|﹣l≤x≤1}，则M∩N＝（）A．[﹣1，+∞）B．（0，1）C．（0，1]D．[0，1]【分析】进行交集的运算即可．解：∵M＝{x|x＞0}，N＝{x|﹣l≤x≤1}，∴M∩N＝（0，1]．故选：C．2．已知复数z＝，则|z|＝（）A．l+i B．1﹣i C．D．2【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得z，进而求得结论．解：因为复数z＝＝＝i（1﹣i）＝1+i；∴|z|＝＝；故选：C．3．设数列{a n}是等差数列，a1+a3+a5＝6，a7＝6．则这个数列的前7项和等于（）A．12B．21C．24D．36【分析】利用等差数列的通项公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出数列的前7项和．解：∵数列{a n}是等差数列，a1+a3+a5＝6，a7＝6．∴，解得a1＝0，d＝1，∴这个数列的前7项和为：＝21．故选：B．4．已知平面向量＝（4，2），＝（x，3），∥，则实数x的值等于（）A．6B．1C．D．﹣【分析】利用向量共线的充要条件，列出方程求解即可．解：向量＝（4，2），＝（x，3），若∥，可得12＝2x，解得x＝6．故选：A．5．已知x，y∈R，则“x＜y”是“＜1”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】“x＜y”与“＜1”相互推不出，与y的正负有关，即判断出关系．解：“x＜y”与“＜1”相互推不出，与y的正负有关，∴“x＜y”是“＜1”的既不充分也不必要条件．故选：D．6．如果直线ax+by＝1与圆C：x2+y2＝1相交，则点M（a，b）与圆C的位置关系是（）A．点M在圆C上B．点M在圆C外C．点M在圆C内D．上述三种情况都有可能【分析】由直线与圆相交，可得圆心到直线的距离小于半径，转化为点M（a，b）到圆心的距离大于半径得答案．解：∵直线ax+by＝1与圆C：x2+y2＝1相交，∴圆心（0，0）到直线ax+by＝1的距离d＝＜1，即＞1．也就是点M（a，b）到圆C的圆心的距离大于半径．即点M（a，b）与圆C的位置关系是点M在圆C外．故选：B．7．函数f（x）＝sin（ωx+φ）的部分图象如图所示，则f（x）的单调递增区间为（）A．B．C．D．【分析】图象上给出半个周期的长度，由此可以求出最高点、曲线和x轴交点的横坐标，即可看出增减区间．解：本题采用赋值法如图所示，此图象在x轴负半轴与x轴相交的点为﹣，x轴负半轴最高点对应的横坐标为﹣，x轴正半轴与中点为，所以我们所能看到的图象上对称的特殊点的横坐标分别为﹣，﹣，﹣，，，，增区间里面没有π，所以A、B答案错．C答案：当k＝1时，区间为（﹣，）为此函数的减区间，D答案：当k＝0时，区间为（﹣，﹣）为此函数的增区间．故选：D．8．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的表面积为（）A．8B．C．8+2D．8+4【分析】首先把三视图转换为几何体，进一步求出几何体的表面积．解：根据几何体的三视图转换为几何体为：该几何体为四棱锥体，（该题中的三视图要转换角度来看）如图所示：所以：＝8+4，故选：D．9．已知斜率为k的直线l与抛物线C：y2＝4x交于A，B两点，线段AB的中点为M（1，m）（m＞0），则斜率k的取值范围是（）A．（﹣∞，1）B．（﹣∞，1]C．（1，+∞）D．[1，+∞）【分析】设A（x1，y1），B（x2，y2），设直线l的方程为：y＝kx+b，与抛物线方程联立，由△＞0得kb＜1，利用韦达定理结合已知条件得b＝，m＝，代入上式即可求出k的取值范围．解：设直线l的方程为：y＝kx+b，设A（x1，y1），B（x2，y2），联立方程，消去y得：k2x2+（2kb﹣4）x+b2＝0，∴△＝（2kb﹣4）2﹣4k2b2＞0，∴kb＜1，且，，y1+y2＝k（x1+x2）+2b＝，∵线段AB的中点为M（1，m）（m＞0），∴＝2，，∴b＝，m＝，∵m＞0，∴k＞0，把b＝代入kb＜1，得2﹣k2＜1，∴k2＞1，∴k＞1，故选：C．10．在正方体AC1中，E是棱CC1的中点，F是侧面BCC1B1内的动点，且A1F与平面D1AE 的垂线垂直，如图所示，下列说法不正确的是（）A．点F的轨迹是一条线段B．A1F与BE是异面直线C．A1F与D1E不可能平行D．三棱锥F﹣ABD1的体积为定值【分析】分别根据线面平行的性质定理以及异面直线的定义，以及体积公式分别进行判断．解：对于A．设平面AD1E与直线BC交于点G，连接AG、EG，则G为BC的中点分别取B1B、B1C1的中点M、N，连接AM、MN、AN，则∵A1M∥D1E，A1M⊄平面D1AE，D1E⊂平面D1AE，∴A1M∥平面D1AE．同理可得MN∥平面D1AE，∵A1M、MN是平面A1MN内的相交直线∴平面A1MN∥平面D1AE，由此结合A1F∥平面D1AE，可得直线A1F⊂平面A1MN，即点F是线段MN上上的动点．∴A正确．对于B．∵平面A1MN∥平面D1AE，BE和平面D1AE相交，∴A1F与BE是异面直线，∴B正确．对于C，由A知，平面A1MN∥平面D1AE，∴A1F与D1E不可能平行，∴C错误．对于D，因为MN∥EG，则F到平面AD1E的距离是定值，三棱锥F﹣AD1E的体积为定值，所以D正确；故选：C．二、填空题：共5小题，每小题5分，共25分．11．已知的展开式中，含x3项的系数为﹣10（用数字作答）．【分析】利用二项式展开式的通项公式，求出展开式中含x3的系数．解：展开式的通项公式为，令5﹣2r＝3，解得r＝1，所以展开式中含x3的系数为．故答案为：﹣10．12．双曲线y2﹣x2＝1的焦点坐标是（0，），渐近线方程是y＝±x．【分析】通过双曲线的标准方程，求解c，，即可得到所求的结果．解：双曲线y2﹣x2＝1，可得a＝1，b＝1，则c＝，所以双曲线的焦点坐标是（0，），渐近线方程为：y＝±x．故答案为：（0，）；y＝±x．13．在疫情防控过程中，某医院一次性收治患者127人．在医护人员的精心治疗下，第15天开始有患者治愈出院，并且恰有其中的1名患者治愈出院．如果从第16天开始，每天出院的人数是前一天出院人数的2倍，那么第19天治愈出院患者的人数为8，第22天该医院本次收治的所有患者能全部治愈出院．【分析】由题意得出院人数构成一个首项为1，公比为2的等比数列，由此能求结果．解：某医院一次性收治患者127人．第15天开始有患者治愈出院，并且恰有其中的1名患者治愈出院．如果从第16天开始，每天出院的人数是前一天出院人数的2倍，∴从第15天开始，每天出院人数构成以1为首项，2为公比的等比数列，则第19天治愈出院患者的人数为a4＝1×23＝8，＝127，解得n＝7，∴第7+15＝22天该医院本次收治的所有患者能全部治愈出院．故答案为：8，22．14．函数f（x）＝cos2x的最小正周期是π，单调递增区间是[kπ+，kπ+π]，k∈Z 【分析】化简函数的表达式，利用余弦函数的图象和性质求解即可．解：∵函数f（x）＝cos2x＝cos2x+，∴可得最小正周期T＝＝π，令2kπ+π≤2x≤2kπ+2π，k∈Z，可得kπ+≤x≤kπ+π，k∈Z，可得单调递增区间是[kπ+，kπ+π]，k∈Z．故答案为：π，[kπ+，kπ+π]，k∈Z．15．已知函数f（x）＝，若关于x的方程f（x）＝x+a有且只有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是（﹣∞，3）．【分析】由函数f（x）的解析式画出函数的图象，再画y＝x+a的图象，求出一个交点时的a的值，然后平行移动可得有两个交点时的a的范围．解：函数f（x）的图象如图所示：方程f（x）＝x+a有且只有两个不相等的实数根，当过（0，3）点时两个函数有一个交点，即y＝a，时与函数f（x）有一个交点，向下平移后有两个交点，可得a＜3，故答案为：（﹣∞，3）．三、解答题：共6小题，共85分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，并且b2+c2﹣a2＝bc．（I）已知_______，计算△ABC的面积；请从①a＝，②b＝2，③sin C＝2sin B这三个条件中任选两个，将问题（I）补充完整，并作答．注意，只需选择其中的一种情况作答即可，如果选择多种情况作答，以第一种情况的解答计分．（Ⅱ）求cos B+cos C的最大值．【分析】（Ⅰ）选②b＝2，③sin C＝2sin B．可得c＝2b＝4，结合b2+c2＝a2+bc，求得A＝．即可．若选①a＝，②b＝2．由b2+c2＝a2+bc可得c＝3由b2+c2＝a2+bc，求得A＝．即可．若选①a＝，③sin C＝2sin B，可得c＝2b，又b2+c2＝a2+bc，可得b＝，c＝即可；（Ⅱ）cos B+cos C＝cos B+cos[π﹣（B+）]＝cos B﹣cos（B+）＝cos B﹣+＝＝sin（B+）≤1即可．解：（Ⅰ）若选②b＝2，③sin C＝2sin B．∵sin C＝2sin B，∴c＝2b＝4，∵b2+c2＝a2+bc，∴cos A＝，又∵A∈（0，π），∴A＝．∴△ABC的面积S＝．若选①a＝，②b＝2．由b2+c2＝a2+bc可得c＝3，∵b2+c2＝a2+bc，∴cos A ＝，又∵A∈（0，π），∴A ＝．∴△ABC的面积S ＝＝．若选①a ＝，③sin C＝2sin B∵sin C＝2sin B，∴c＝2b，又b2+c2＝a2+bc，∴b2+4b2＝7+2b2，可得b ＝，c ＝∴△ABC的面积S ＝＝．（Ⅱ）∵A ＝．∴cos B+cos C＝cos B+cos[π﹣（B +）]＝cos B﹣cos（B +）＝cos B ﹣+＝＝sin（B +）∵，∴sin（B +）≤1，故cos B+cos C的最大值为1．．17．在考察疫情防控工作中，某区卫生防控中心提出了“要坚持开展爱国卫生运动，从人居环境改善、饮食习惯，社会心理健康、公共卫生设施等多个方面开展，特别是要坚决杜绝食用野生动物的陋习，提倡文明健康、绿色环保的生活方式”的要求．某小组通过问卷调查，随机收集了该区居民六类日常生活习惯的有关数据．六类习惯是：（1）卫生习惯状况类；（2）垃圾处理状况类；（3）体育锻炼状况类；（4）心理健康状况类；（5）膳食合理状况类；（6）作息规律状况类．经过数据整理，得到如表：卫生习惯状况类垃圾处理状况类体育锻炼状况类心理健康状况类膳食合理状况类作息规律状况类有效答卷份数380550330410400430习惯良好频率0.60.90.80.70.650.6假设每份调查问卷只调查上述六类状况之一，各类调查是否达到良好标准相互独立．（I）从小组收集的有效答卷中随机选取1份，求这份试卷的调查结果是膳食合理状况类中习惯良好者的概率；（Ⅱ）从该区任选一位居民，试估计他在“卫生习惯状况类、体育锻炼状况类、膳食合理状况类”三类习惯方面，至少具备两类良好习惯的概率；（Ⅲ）利用上述六类习惯调查的排序，用“ξk＝1”表示任选一位第k类受访者是习惯良好者，“ξk＝0”表示任选一位第k类受访者不是习惯良好者（k＝1，2，3，4，5，6）．写出方差Dξ1，Dξ2，Dξ3，Dξ4，Dξ5，Dξ6的大小关系．【分析】（I）设“选取的试卷的调查结果是膳食合理状况类中习惯良好者“的事件为A，根据古典概型求出即可；（II）设该区“卫生习惯状况良好者“，“体育锻炼状况良好者“、“膳食合理状况良好者”事件分别为A，B，C，设事件E为“该居民在“卫生习惯状况类、体育锻炼状况类、膳食合理状况类”三类习惯方面，至少具备两类良好习惯“，则P（E）＝P（AB）+P（A C）+P（BC）+P（ABC），求出即可；（III）根据题意，写出即可．解：（I）设“选取的试卷的调查结果是膳食合理状况类中习惯良好者“的事件为A，有效问卷共有380+550+330+410+400+430＝2500（份），其中受访者中膳食合理习惯良好的人数是400×0.65＝260人，故P（A）＝＝0.104；（II）设该区“卫生习惯状况良好者“，“体育锻炼状况良好者“、“膳食合理状况良好者”事件分别为A，B，C，根据题意，可知P（A）＝0.6，（B）＝0.8，P（C）＝0.65，设事件E为“该居民在“卫生习惯状况类、体育锻炼状况类、膳食合理状况类”三类习惯方面，至少具备两类良好习惯“则P（E）＝P（AB）+P（A C）+P（BC）+P（ABC）＝P（A）P（B）P（）+P（A）P（）P（C）+P（）P（B）P（C）+P（A）P（B）P（C）＝0.6×0.8×0.35+0.6×0.2×0.65+0.4×0.8×0.65+0.6×0.8×0.65＝0.168+0.078+0.208+0.312＝0.766；（III）Dξ6＝Dξ1＞Dξ5＞Dξ4＞Dξ3＞Dξ2．18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠ADC＝60°，△PAD为等边三角形，平面PAD⊥平面ABCD，M，N分别是线段PD和BC的中点．（I）求直线CM与平面PAB所成角的正弦值；（Ⅱ）求二面角D﹣AP﹣B的余弦值；（Ⅲ）试判断直线MN与平面PAB的位置关系，并给出证明．【分析】取AD中点O，连接OC，则OC⊥AD，再由已知证明OP⊥平面ABCD，以O 为坐标原点，分别以OC，OD，OP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，求出平面PAB的一个法向量．（Ⅰ）求出的坐标，由与所成角的余弦值可得直线CM与平面PAB所成角的正弦值；（Ⅱ）求出平面PAD的一个法向量，再由两平面法向量所成角的余弦值可得二面角D﹣AP﹣B的余弦值；（Ⅲ）求出的坐标，由，结合MN⊄平面PAB，可得直线MN∥平面PAB．解：∵底面ABCD是边长为2的菱形，∠ADC＝60°，∴△ACD为等边三角形．取AD中点O，连接OC，则OC⊥AD，∵△PAD为等边三角形，∴OP⊥AD，又平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD＝AD，∴OP⊥平面ABCD．以O为坐标原点，分别以OC，OD，OP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系．则A（0，﹣1，0），D（0，1，0），C（，0，0），B（，﹣2，0），P（0，0，），M（0，，），N（，﹣1，0）．，，设平面PAB的一个法向量为．由，取y＝，得．（Ⅰ）证明：，设直线CM与平面PAB所成角为θ，则sinθ＝|cos＜＞|＝＝，即直线CM与平面PAB所成角的正弦值为；（Ⅱ）解：设平面DAP的一个法向量为，由cos＜＞＝，得二面角D﹣AP﹣B的余弦值为﹣；（Ⅲ）解：∵，∴，又MN⊄平面PAB，∴直线MN∥平面PAB．19．已知函数f（x）＝e x（ax+1），a∈R．（I）求曲线y＝f（x）在点M（0，f（0））处的切线方程；（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅲ）判断函数f（x）的零点个数．【分析】（I）设曲线y＝f（x）在点M（0，f（0））处的切线的斜率为k，可求得k＝f′（0）＝a+1，f（0）＝1，利用直线的点斜式方程即可求得答案；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f′（x）＝e x（ax+a+1），分a＝0时，a＞0，a＜0三类讨论，即可求得各种情况下的f（x）的单调区间为；（Ⅲ）分a＝0与a≠0两类讨论，即可判断函数f（x）的零点个数．解：（I）∵f（x）＝e x（ax+1），∴f′（x）＝e x（ax+1）+ae x＝e x（ax+a+1），设曲线y＝f（x）在点M（0，f（0））处的切线的斜率为k，则k＝f′（0）＝e x（ax+1）+ae x＝e0（a+1）＝a+1，又f（0）＝1，∴曲线y＝f（x）在点M（0，f（0））处的切线方程为：y﹣1＝（a+1）x，即（a+1）x ﹣y+1＝0；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f′（x）＝e x（ax+a+1），故当a＝0时，f′（x）＝e x＞0，所以f（x）在R上单调递增；当a＞0时，x∈（﹣∞，﹣），f′（x）＜0；x∈（﹣，+∞），f′（x）＞0；∴f（x）的递减区间为（﹣∞，﹣），递增区间为（﹣，+∞）；当a＜0时，同理可得f（x）的递增区间为（﹣∞，﹣），递减区间为（﹣，+∞）；综上所述，a＝0时，f（x）单调递增为（﹣∞，+∞），无递减区间；当a＞0时，f（x）的递减区间为（﹣∞，﹣），递增区间为（﹣，+∞）；当a＜0时，f（x）的递增区间为（﹣∞，﹣），递减区间为（﹣，+∞）；（Ⅲ）当a＝0时，f（x）＝e x＞0恒成立，所以f（x）无零点；当a≠0时，由f（x）＝e x（ax+1）＝0，得：x＝﹣，只有一个零点．20．已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的离心率为，且过点A（0，1）．（I）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）点P是椭圆上异于短轴端点A，B的任意一点，过点P作PQ⊥y轴于Q，线段PQ的中点为M．直线AM与直线y＝﹣l交于点N，D为线段BN的中点，设O为坐标原点，试判断以OD为直径的圆与点M的位置关系．【分析】（I）根据题意列出关于a，b，c的方程组，解出a，b，c的值，即可得到椭圆C的标准方程；（Ⅱ）设点P（x0，y0），则M（，y0），求出直线AM的方程，进而求出点N的坐标，再利用中点坐标公式得到点D的坐标，下面结合点P在椭圆C上证出＝0，所以点M在以OD为直径的圆上．解：（I）由题意可知，，解得，∴椭圆C的标准方程为：；（Ⅱ）设点P（x0，y0），则M（，y0），∴直线AM的斜率为，∴直线AM的方程为：y＝x+1，令y＝﹣1得，x＝，∴点N的坐标为（，﹣1），∴点D的坐标为（，﹣1），∴＝（，y0）•＝，又∵点P（x0，y0）在椭圆C上，∴，，∴＝1﹣+y0＝1﹣（1+y0）+y0＝0，∴点M在以OD为直径的圆上．21．设等差数列{a n}的首项为0，公差为a，a∈N*；等差数列{b n}的首项为0，公差为b，b∈N*．由数列{a n}和{b n}构造数表M，与数表M*：记数表M中位于第i行第j列的元素为c i，j，其中c i，j＝a i+b j（i，j＝1，2，3，…）．记数表M*中位于第i行第j列的元素为d i，j，其中d i，j＝a i﹣b j+1．（1≤i≤b，i∈N*，j∈N*）．如：c1，2＝a1+b2，d l，2＝a1﹣b3．（I）设a＝5，b＝9，请计算c2，6，c396，6，d2，6；（Ⅱ）设a＝6．b＝7，试求c i，j，d i，j的表达式（用i，j表示），并证明：对于整数t，若t不属于数表M，则t属于数表M*；（Ⅲ）设a＝6，b＝7，对于整数t，t不属于数表M，求t的最大值．【分析】（Ⅰ）将a＝5，b＝9代入，可求出a n，b n，可代入求c i，j，d i，j，可求结果．（Ⅱ）可求c i，j，d i，j，通过反证法证明，（Ⅲ）可推出t∉M，t∈M*，t的最大值，就是集合M*中元素的最大值，求出．解：（1）由题意知等差数列{a n}的通项公式为：a n＝5n﹣5；等差数列{b n}的通项公式为：b n＝9n﹣9，得c i，j＝a i+b j＝（5i﹣5）+（9i﹣9）＝5i+9j﹣14，则c2，6＝50，c396，6＝2020，得d i，j＝a i﹣b j+1＝（5i﹣5）﹣[9（j+1）﹣9]＝5i﹣9j﹣5，故d2，6＝﹣49．（2）证明：已知a＝6．b＝7，由题意知等差数列{a n}的通项公式为：a n＝6n﹣6；等差数列{b n}的通项公式为：b n＝7n﹣7，得c i，j＝a i+b j＝（6i﹣6）+（7i﹣7）＝6i+7j﹣13，i∈N*，j∈N*）．得d i，j＝a i﹣b j+1＝（6i﹣6）﹣[7（j+1）﹣7]＝6i﹣7j﹣6，1≤i≤7，i∈N*，j∈N*）．所以若t∈M，则存在u∈N，v∈N，使t＝6u+7v，若t∈M*，则存在u∈N，u≤6，v∈N*，使t＝6u﹣7v，因此，对于正整数t，考虑集合M0＝{x|x＝t﹣6u，u∈N，u≤6}，即{t，t﹣6，t﹣12，t﹣18，t﹣24，t﹣30，t﹣36}．下面证明：集合M0中至少有一元素是7的倍数．反证法：假设集合M0中任何一个元素，都不是7的倍数，则集合M0中每一元素关于7的余数可以为1，2，3，4，5，6，又因为集合M0中共有7个元素，所以集合M0中至少存在两个元素关于7的余数相同，不妨设为t﹣6u1，t﹣u2，其中u1，u2∈N，u1＜u2≤6．则这两个元素的差为7的倍数，即（t﹣u2）﹣（t﹣6u1）＝6（u1﹣u2），所以u1﹣u2＝0，与u1＜u2矛盾，所以假设不成立，即原命题成立．即集合M0中至少有一元素是7的倍数，不妨设该元素为t﹣6u0，u0≤6，u0∈N，则存在s∈Z，使t﹣6u0＝7s，u0∈N，u0≤6，即t＝6u0+7s，u0∈N，s∈Z，由已证可知，若t∈M，则存在u∈N，v∈N，使t＝6u+7v，而t∉M，所以S为负整数，设V＝﹣s，则v∈N*，且t＝6u0﹣7v，u0∈N，u0≤6，v∈N*，所以，当a＝6，b＝7时，对于整数t，若t∉M，则t∈M*成立．（Ⅲ）下面用反证法证明：若对于整数t，t∈M*，则t∉M，假设命题不成立，即t∈M*，且t∈M．则对于整数t，存在n∈N，m∈N，u∈N，u≤6，v∈N*，使t＝6u﹣7v＝6n+7m成立，整理，得6（u﹣n）＝7（m+v），又因为m∈N，v∈N*，所以u﹣n＝（m+v）＞0且u﹣n是7的倍数，因为u∈一、选择题，u≤6，所以u﹣n≤6，所以矛盾，即假设不成立．所以对于整数t，若t∈M*，则t∉M，又由第二问，对于整数t∉M，则t∈M*，所以t的最大值，就是集合M*中元素的最大值，又因为t＝6u﹣7v，u∈N，v∈N*，u≤6，所以t max＝（M*）max＝6×6﹣7×1＝29．。

2020年北京市东城区高考数学一模试卷 (解析版)

2020年高考数学一模试卷一、选择题1．已知集合A＝{x|x﹣1＞0}，B＝{﹣1，0，1，2}，那么A∩B＝（）A．{﹣1，0}B．{0，1}C．{﹣1，0，1，2}D．{2}2．函数的定义域为（）A．（﹣1，2]B．[2，+∞）C．（﹣∞，﹣1）∪[1，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪[2，+∞）3．已知，则a＝（）A．1B．0C．﹣1D．﹣24．若双曲线的一条渐近线与直线y＝2x+1平行，则b的值为（）A．1B．C．D．25．如图所示，某三棱锥的正（主）视图、俯视图、侧（左）视图均为直角三角形，则该三棱锥的体积为（）A．4B．6C．8D．126．已知x＜﹣1，那么在下列不等式中，不成立的是（）A．x2﹣1＞0B．C．sin x﹣x＞0D．cos x+x＞07．在平面直角坐标系中，动点M在单位圆上按逆时针方向作匀速圆周运动，每12分钟转动一周．若点M的初始位置坐标为，则运动到3分钟时，动点M所处位置的坐标是（）A．B．C．D．8．已知三角形ABC，那么“”是“三角形ABC为锐角三角形”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件9．设O为坐标原点，点A（1，0），动点P在抛物线y2＝2x上，且位于第一象限，M是线段PA的中点，则直线OM的斜率的范围为（）A．（0，1]B．C．D．10．假设存在两个物种，前者有充足的食物和生存空间，而后者仅以前者为食物，则我们称前者为被捕食者，后者为捕食者．现在我们来研究捕食者与被捕食者之间理想状态下的数学模型．假设捕食者的数量以x（t）表示，被捕食者的数量以y（t）表示．如图描述的是这两个物种随时间变化的数量关系，其中箭头方向为时间增加的方向．下列说法正确的是：（）A．若在t1，t2时刻满足：y（t1）＝y（t2），则x（t1）＝x（t2）B．如果y（t）数量是先上升后下降的，那么x（t）的数量一定也是先上升后下降C．被捕食者数量与捕食者数量不会同时到达最大值或最小值D．被捕食者数量与捕食者数量总和达到最大值时，被捕食者的数量也会达到最大值二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．11．已知向量（m，1），（1，﹣2），（2，3），若与共线，则实数m ＝．12．在（x）6的展开式中常数项为．（用数字作答）13．圆心在x轴上，且与直线l1：y＝x和l2：y＝x﹣2都相切的圆的方程为．14．△ABC是等边三角形，点D在边AC的延长线上，且AD＝3CD，，则CD ＝，sin∠ABD＝．15．设函数给出下列四个结论：①对∀a＞0，∃t∈R，使得f（x）＝t无解；②对∀t＞0，∃a∈R，使得f（x）＝t有两解；③当a＜0时，∀t＞0，使得f（x）＝t有解；④当a＞2时，∃t∈R，使得f（x）＝t有三解．其中，所有正确结论的序号是．三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥面ABCD，底面ABCD为平行四边形，AB⊥AC，AB＝AC＝1，PD＝1．（Ⅰ）求证：AD∥平面PBC；（Ⅱ）求二面角D﹣PC﹣B的余弦值的大小．17．已知函数，且满足_______．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式及最小正周期；（Ⅱ）若关于x的方程f（x）＝1在区间[0，m]上有两个不同解，求实数m的取值范围．从①f（x）的最大值为1，②f（x）的图象与直线y＝﹣3的两个相邻交点的距离等于π，③f（x）的图象过点这三个条件中选择一个，补充在上面问题中并作答．18．中国北斗卫星导航系统是中国自行研制的全球卫星导航系统，预计2020年北斗全球系统建设将全面完成．下图是在室外开放的环境下，北斗二代和北斗三代定位模块，分别定位的50个点位的横、纵坐标误差的值，其中“•”表示北斗二代定位模块的误差的值，“+”表示北斗三代定位模块的误差的值．（单位：米）（Ⅰ）从北斗二代定位的50个点位中随机抽取一个，求此点横坐标误差的值大于10米的概率；（Ⅱ）从图中A，B，C，D四个点位中随机选出两个，记X为其中纵坐标误差的值小于﹣4的点位的个数，求X的分布列和数学期望；（Ⅲ）试比较北斗二代和北斗三代定位模块纵坐标误差的方差的大小．（结论不要求证明）19．已知椭圆，它的上，下顶点分别为A，B，左，右焦点分别为F1，F2，若四边形AF1BF2为正方形，且面积为2．（Ⅰ）求椭圆E的标准方程；（Ⅱ）设存在斜率不为零且平行的两条直线l1，l2，它们与椭圆E分别交于点C，D，M，N，且四边形CDMN是菱形，求出该菱形周长的最大值．20．已知函数f（x）＝x（lnx﹣ax）（a∈R）．（Ⅰ）若a＝1，求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）若f（x）有两个极值点，求实数a的取值范围；（Ⅲ）若a＞1，求f（x）在区间（0，2a]上的最小值．21．数列A：x1，x2，x3，…，x n，…，对于给定的t（t＞1，t∈N+），记满足不等式：x n﹣x t≥t*（n﹣t）（∀n∈N+，n≠t）的t*构成的集合为T（t）．（Ⅰ）若数列A：x n＝n2，写出集合T（2）；（Ⅱ）如果T（t）（t∈N+，t＞1）均为相同的单元素集合，求证：数列x1，x2，…，x n，…为等差数列；（Ⅲ）如果T（t）（t∈N+，t＞1）为单元素集合，那么数列x1，x2，…，x n，…还是等差数列吗？如果是等差数列，请给出证明；如果不是等差数列，请给出反例．参考答案一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知集合A＝{x|x﹣1＞0}，B＝{﹣1，0，1，2}，那么A∩B＝（）A．{﹣1，0}B．{0，1}C．{﹣1，0，1，2}D．{2}【分析】可以求出集合A，然后进行交集的运算即可．解：∵A＝{x|x＞1}，B＝{﹣1，0，1，2}，∴A∩B＝{2}．故选：D．【点评】本题考查了描述法、列举法的定义，交集的运算，考查了计算能力，属于基础题．2．函数的定义域为（）A．（﹣1，2]B．[2，+∞）C．（﹣∞，﹣1）∪[1，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪[2，+∞）【分析】根据二次根式被开方数大于或等于0，列不等式求出解集即可．解：函数，令0，得x﹣2≥0，解得x≥2，所以f（x）的定义域为[2，+∞）．故选：B．【点评】本题考查了根据二次根式被开方数大于或等于0求函数定义域的问题，是基础题．3．已知，则a＝（）A．1B．0C．﹣1D．﹣2【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简，然后利用复数相等的条件求解a值．解：∵，∴2＝（1+ai）（1﹣i）＝1+a+（a﹣1）i，∴，即a＝1．故选：A．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数相等的条件，是基础题．4．若双曲线的一条渐近线与直线y＝2x+1平行，则b的值为（）A．1B．C．D．2【分析】利用双曲线的渐近线方程，得到关系式，求解即可．解：双曲线的一条渐近线y＝bx与直线y＝2x+1平行，可得b＝2．故选：D．【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查，基础题．5．如图所示，某三棱锥的正（主）视图、俯视图、侧（左）视图均为直角三角形，则该三棱锥的体积为（）A．4B．6C．8D．12【分析】几何体是一个三棱锥，根据三视图的数据，画出直观图，求解体积即可．解：由三视图知，几何体是一个三棱锥，D1﹣BCD，根据三棱锥的三视图的面积，设出三棱锥两两垂直的三条侧棱分别是DC＝4，BC＝3，DD1＝2∴三棱锥的体积是4×3×2＝4故选：A．【点评】本题考查由三视图求几何体的体积，考查由三视图还原平面图形，是基础题．6．已知x＜﹣1，那么在下列不等式中，不成立的是（）A．x2﹣1＞0B．C．sin x﹣x＞0D．cos x+x＞0【分析】根据x＜﹣1，利用函数的单调性、不等式的性质、三角函数的单调性即可判断出结论．解：∵x＜﹣1，∴x2﹣1＞0，x2，又∵sin x，cos x∈[﹣1，1]，∴sin x﹣x＞0，cos x+x＜0．可得：ABC成立，D不成立．故选：D．【点评】本题考查了函数的单调性、不等式的性质、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．7．在平面直角坐标系中，动点M在单位圆上按逆时针方向作匀速圆周运动，每12分钟转动一周．若点M的初始位置坐标为，则运动到3分钟时，动点M所处位置的坐标是（）A．B．C．D．【分析】根据题意画出图形，结合图形求出3分钟转过的角度，由此计算点M所处位置的坐标．解：每12分钟转动一周，则运动到3分钟时，转过的角为2π；点M的初始位置坐标为，运动到3分钟时动点M所处位置的坐标是M′（，）．故选：C．【点评】本题考查了三角函数的定义与应用问题，是基础题．8．已知三角形ABC，那么“”是“三角形ABC为锐角三角形”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】三角形ABC，那么“”⇒•0，可得A为锐角．进而判断出结论．解：三角形ABC，那么“”⇒•0，可得A为锐角．此时三角形ABC不一定为锐角三角形．三角形ABC为锐角三角形⇒A为锐角．∴三角形ABC，那么“”是“三角形ABC为锐角三角形”的必要不充分条件．故选：B．【点评】本题考查了向量数量积运算性质、简易逻辑的判定方法、三角形的分类，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．9．设O为坐标原点，点A（1，0），动点P在抛物线y2＝2x上，且位于第一象限，M是线段PA的中点，则直线OM的斜率的范围为（）A．（0，1]B．C．D．【分析】设P的坐标，看可得PA的中点M的坐标，进而求出OM的斜率，由均值不等式可得其取值范围．解：设P（，y），y＞0，所以PA的中点M（，），所以k OM，因为y，所以0，所以k OM∈（0，]，故选：C．【点评】本题考查抛物线的性质，及均值不等式的性质，属于中档题．10．假设存在两个物种，前者有充足的食物和生存空间，而后者仅以前者为食物，则我们称前者为被捕食者，后者为捕食者．现在我们来研究捕食者与被捕食者之间理想状态下的数学模型．假设捕食者的数量以x（t）表示，被捕食者的数量以y（t）表示．如图描述的是这两个物种随时间变化的数量关系，其中箭头方向为时间增加的方向．下列说法正确的是：（）A．若在t1，t2时刻满足：y（t1）＝y（t2），则x（t1）＝x（t2）B．如果y（t）数量是先上升后下降的，那么x（t）的数量一定也是先上升后下降C．被捕食者数量与捕食者数量不会同时到达最大值或最小值D．被捕食者数量与捕食者数量总和达到最大值时，被捕食者的数量也会达到最大值【分析】根据图象数形结合，逐一进行分析即可解：由图可知，曲线中纵坐标相等时横坐标未必相等，故A不正确；在曲线上半段中观察到y（t）是先上升后下降，而x（t）是不断变小的，故B不正确；捕食者数量最大时是在图象最右端，最小值是在图象最左端，此时都不是被捕食者的数量的最值处，同样当被捕食者的数量最大即图象最上端和最小即图象最下端时，也不是捕食者数量取最值的时候，所以被捕食者数量和捕食者数量不会同时达到最大和最小值，故C正确；当捕食者数量最大时在图象最右端，x（t）∈（25，30），y（t）∈（0，50），此时二者总和x（t）+y（t）∈（25，80），由图象可知存在点x（t）＝10，y（t）＝100，x（t）+y（t）＝110，所以并不是被捕食者数量与捕食者数量总和达到最大值时，被捕食者数量也会达到最大值，故D错误，故选：C．【点评】本题考查的知识点是函数的图象和性质，本题比较抽象，理解起来有一定的难度．二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．11．已知向量（m，1），（1，﹣2），（2，3），若与共线，则实数m ＝3．【分析】先求出（m﹣1，3），再由与共线，列方程能求出实数m．解：∵向量（m，1），（1，﹣2），（2，3），∴（m﹣1，3），∵与共线，∴，解得实数m＝3．故答案为：3．【点评】本题考查实数值的求法，考查平面向量坐标运算法则和向量共线的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．12．在（x）6的展开式中常数项为160．（用数字作答）【分析】在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于0，求出r的值，即可求得常数项．解：在的展开式中的通项公式为T r+1•2r•x6﹣2r，令6﹣2r＝0，求得r＝3，可得常数项为•23＝160，故答案为：160．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．13．圆心在x轴上，且与直线l1：y＝x和l2：y＝x﹣2都相切的圆的方程为（x﹣1）2+y2．【分析】设所求圆的方程为（x﹣a）2+y2＝r2，利用圆与直线l1：y＝x和l2：y＝x﹣2都相切，即可得出结论．解：设所求圆的方程为（x﹣a）2+y2＝r2，因为圆与直线l1：y＝x和l2：y＝x﹣2都相切，则r，解得a＝1，r，所以圆的方程为（x﹣1）2+y2．故答案为：（x﹣1）2+y2．【点评】本题考查圆的方程，考查直线与圆的位置关系，考查学生的计算能力，比较基础．14．△ABC是等边三角形，点D在边AC的延长线上，且AD＝3CD，，则CD ＝2，sin∠ABD＝．【分析】根据题意画出图形，利用余弦定理求出CD的值，再利用正弦定理求出sin∠ABD 的值．解：如图所示，等边△ABC中，AD＝3CD，所以AC＝2CD；又，所以BD2＝BC2+CD2﹣2BC•CD•cos∠BCD，即（2CD）2+CD2﹣2•2CD•CD•cos120°，解得CD＝2，所以AD＝6；由，即，解得sin∠ABD．故答案为：2，．【点评】本题考查了正弦、余弦定理的应用问题，也考查了运算求解能力，是基础题．15．设函数给出下列四个结论：①对∀a＞0，∃t∈R，使得f（x）＝t无解；②对∀t＞0，∃a∈R，使得f（x）＝t有两解；③当a＜0时，∀t＞0，使得f（x）＝t有解；④当a＞2时，∃t∈R，使得f（x）＝t有三解．其中，所有正确结论的序号是③④．【分析】可取a＝3，由一次函数的单调性和基本不等式，可得f（x）的值域，即可判断①；取a＝0，判断f（x）的单调性，即可判断②；考虑a＜0时，求得f（x）的值域，即可判断③；当a＞2时，结合一次函数的单调性和基本不等式，以及f（x）的图象，即可判断④．解：对于①，可取a＝3，则f（x），当x＜0时，f（x）＝3（x+1）∈（﹣∞，3）；当x≥0时，f（x）＝2x﹣3+23﹣x≥22，当且仅当x＝3时，取得等号，故a＝3时，f（x）的值域为R，∀t∈R，f（x）＝t都有解，故①错误；对于②可取a＝0时，f（x），可得f（x）在R上单调递增，对∀t＞0，f（x）＝t至多一解，故②错误；对于③，当a＜0时，x＜0时，f（x）＝a（x+1）递减，可得f（x）＞a；又x≥0时，x﹣a＞0，即有2x﹣a＞1，可得2x﹣a+2a﹣x＞2，则f（x）的值域为（a，+∞），∀t＞0，f（x）＝t都有解，故③正确；对于④，当a＞2时，x＜0时，f（x）＝a（x+1）递增，可得f（x）＜a；当x≥0时，f （x）＝2x﹣a+2a﹣x≥2，当且仅当x＝a时，取得等号，由图象可得，当2＜t＜3时，f（x）＝t有三解，故④正确．故答案为：③④．【点评】本题考查分段函数的运用，主要考查方程的解的个数，注意运用反例法判断命题不正确，以及数形结合思想，考查推理能力，属于中档题．三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥面ABCD，底面ABCD为平行四边形，AB⊥AC，AB＝AC＝1，PD＝1．（Ⅰ）求证：AD∥平面PBC；（Ⅱ）求二面角D﹣PC﹣B的余弦值的大小．【分析】（Ⅰ）由底面ABCD为平行四边形，得AD∥BC，再由直线与平面平行的判定可得AD∥平面PBC；（Ⅱ）过D作平行于AC的直线Dx，以D为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系D ﹣xyz．分别求出平面PCB与平面PCD的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角D﹣PC﹣B的余弦值．【解答】（Ⅰ）证明：∵底面ABCD为平行四边形，∴AD∥BC，∵BC⊂平面PBC，AD⊄平面PBC，∴AD∥平面PBC；（Ⅱ）解：过D作平行于AC的直线Dx，∵AB⊥AC，∴Dx⊥DC，又PD⊥面ABCD，∴以D为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系D﹣xyz．则C（0，1，0），P（0，0，1），B（1，2，0），（1，1，0），（0，﹣1，1），设平面PCB的一个法向量为，由，取y＝1，得；取平面PCD的一个法向量．则cos．由图可知，二面角D﹣PC﹣B为钝角，∴二面角D﹣PC﹣B的余弦值为．【点评】本题考查直线与平面平行的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用空间向量求解空间角，是中档题．17．已知函数，且满足_______．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式及最小正周期；（Ⅱ）若关于x的方程f（x）＝1在区间[0，m]上有两个不同解，求实数m的取值范围．从①f（x）的最大值为1，②f（x）的图象与直线y＝﹣3的两个相邻交点的距离等于π，③f（x）的图象过点这三个条件中选择一个，补充在上面问题中并作答．【分析】（Ⅰ）利用二倍角公式和诱导公式化简函数f（x），若满足①，利用最大值求出a的值，写出f（x）的解析式，求出最小正周期；（Ⅱ）令f（x）＝1求得方程的解，根据方程f（x）＝1在区间[0，m]上有两个不同解找出这两个解，从而写出实数m的取值范围．若满足②，利用三角函数的图象与性质列出方程求得a的值，以下解法均相同．若满足③，利用f（x）的图象过点，代入求出a的值，以下解法均相同．解：（Ⅰ）函数f（x）＝a sin（2x）﹣2cos2（x）＝a sin（2x）﹣cos（2x）﹣1＝a sin（2x）﹣sin（﹣2x）﹣1＝（a+1）sin（2x）﹣1，若满足①f（x）的最大值为1，则a+1＝2，解得a＝1，所以f（x）＝2sin（2x）﹣1；f（x）的最小正周期为Tπ；（Ⅱ）令f（x）＝1，得sin（2x）＝1，解得2x2kπ，k∈Z；即x kπ，k∈Z；若关于x的方程f（x）＝1在区间[0，m]上有两个不同解，则x或；所以实数m的取值范围是[，）．若满足②f（x）的图象与直线y＝﹣3的两个相邻交点的距离等于π，且f（x）的最小正周期为Tπ，所以﹣（a+1）﹣1＝﹣3，解得a＝1；以下解法均相同．若满足③f（x）的图象过点，则f（）＝（a+1）sin1＝0，解得a＝1；以下解法均相同．【点评】本题考查了利用三角函数的基本性质求解析式问题，也考查了三角函数图象与性质的应用问题，是中档题．18．中国北斗卫星导航系统是中国自行研制的全球卫星导航系统，预计2020年北斗全球系统建设将全面完成．下图是在室外开放的环境下，北斗二代和北斗三代定位模块，分别定位的50个点位的横、纵坐标误差的值，其中“•”表示北斗二代定位模块的误差的值，“+”表示北斗三代定位模块的误差的值．（单位：米）（Ⅰ）从北斗二代定位的50个点位中随机抽取一个，求此点横坐标误差的值大于10米的概率；（Ⅱ）从图中A，B，C，D四个点位中随机选出两个，记X为其中纵坐标误差的值小于﹣4的点位的个数，求X的分布列和数学期望；（Ⅲ）试比较北斗二代和北斗三代定位模块纵坐标误差的方差的大小．（结论不要求证明）【分析】（Ⅰ）通过图象观察，在北斗二代定位的50个点中，横坐标误差的绝对值大于10米有3个点，由古典概率的计算公式可得所求值；（Ⅱ）通过图象可得，A，B，C，D四个点位中纵坐标误差值小于﹣4的有两个点：C，D，则X的所有可能取值为0，1，2，分别求得它们的概率，作出分布列，计算期望即可；（Ⅲ）通过观察它们的极差，即可判断它们的方差的大小．解：（Ⅰ）由图可得，在北斗二代定位的50个点中，横坐标误差的绝对值大于10米有3个点，所以从中随机选出一点，此点横坐标误差的绝对值大于10米的概率为0.06；（Ⅱ）由图可得，A，B，C，D四个点位中纵坐标误差值小于﹣4的有两个点：C，D，所以X的所有可能取值为0，1，2，P（X＝0），P（X＝1），P（X＝2），所以X的分布列为X12P所以X的期望为E（X）＝0121；（Ⅲ）北斗二代定位模块纵坐标误差的方差大于北斗三代．【点评】本题考查古典概率的求法，以及随机变量的分布列和期望的求法，方差的大小的判断，考查数形结合思想和运算能力、推理能力，属于中档题．19．已知椭圆，它的上，下顶点分别为A，B，左，右焦点分别为F1，F2，若四边形AF1BF2为正方形，且面积为2．（Ⅰ）求椭圆E的标准方程；（Ⅱ）设存在斜率不为零且平行的两条直线l1，l2，它们与椭圆E分别交于点C，D，M，N，且四边形CDMN是菱形，求出该菱形周长的最大值．【分析】（Ⅰ）由题意可得b＝c，bc＝2，求得b，再由a，b，c的关系可得a，进而得到所求椭圆方程；（Ⅱ）设l1的方程为y＝kx+m1，C（x1，y1），D（x2，y2），设l2的方程为y＝kx+m2，M（x3，y3），N（x4，y4），分别联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理和判别式大于0，以及弦长公式，求得|CD|，|MN|，运用菱形和椭圆的对称性可得l1，l2关于原点对称，结合菱形的对角线垂直和向量数量积为0，可得3m12﹣2k2﹣2＝0，设菱形CDMN 的周长为l，运用基本不等式，计算可得所求最大值．解：（Ⅰ）因为四边形AF1BF2为正方形，且面积为2，所以b＝c，且•2c•2b＝2，解得b＝c＝1，a2＝2，所以椭圆的标准方程：y2＝1；（Ⅱ）设l1的方程为y＝kx+m1，C（x1，y1），D（x2，y2），设l2的方程为y＝kx+m2，M（x3，y3），N（x4，y4），联立可得（1+2k2）x2+4km1x+2m12﹣2＝0，由△＞0可得16k2m12﹣4（1+2k2）（2m12﹣2）＞0，化简可得2k2+1﹣m12＞0，①x1+x2，x1x2，|CD|•|x1﹣x2|•••，同理可得|MN|•，因为四边形CDMN为菱形，所以|CD|＝|MN|，所以m12＝m22，又因为m1≠m2，所以m1＝﹣m2，所以l1，l2关于原点对称，又椭圆关于原点对称，所以C，M关于原点对称，D，N也关于原点对称，所以且，（2x1，2y1），（2x2，2y2），因为四边形CDMN为菱形，可得•0，即x1x2+y1y2＝0，即x1x2+（kx1+m1）（kx2+m1）＝0，即（1+k2）x1x2+km1（x1+x2）+m12＝0，可得（1+k2）•km1•m12＝0，化简可得3m12﹣2k2﹣2＝0，设菱形CDMN的周长为l，则l＝4|CD|•4，当且仅当2+2k2＝1+4k2，即k2时等号成立，此时m12＝1，满足①，所以菱形CDMN的周长的最大值为4．【点评】本题考查椭圆的方程和性质，考查直线和椭圆的位置关系，注意联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理和判别式大于0，主要考查化简运算能力和推理能力，属于难题．20．已知函数f（x）＝x（lnx﹣ax）（a∈一、选择题）．（Ⅰ）若a＝1，求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）若f（x）有两个极值点，求实数a的取值范围；（Ⅲ）若a＞1，求f（x）在区间（0，2a]上的最小值．【分析】（Ⅰ）先利用导数的几何意义求出切线的斜率，然后求出切线方程；（Ⅱ）先把f（x）有两个极值点转化为方程2a有两个不等的正根，再利用数形结合求出a的取值范围；（Ⅲ）先利用导函数的符号判断f（x）在区间（0，2a]上的单调性，进而解决其最小值．解：∵f（x）＝x（lnx﹣ax），∴f′（x）＝1+lnx﹣2ax．（Ⅰ）当a＝1时，f′（1）＝﹣1，f（1）＝﹣1，∴曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y﹣（﹣1）＝﹣（x﹣1），即y＝﹣x；（Ⅱ）∵若f（x）有两个极值点，∴f′（x）＝1+lnx﹣2ax＝0有两个不等的正根，即2a两个不等的正根．令g（x），x＞0，g′（x），令g′（x）＝0⇒x＝1，当x∈（0，1）时g′（x）＞0，此时g（x）单调递增；当x∈（1，+∞）时g′（x）＜0，此时g（x）单调递减；且g（1）＝1，故0＜2a＜1，解得：a∈（0，）．（Ⅲ）∵f（x）＝x（lnx﹣ax），∴f′（x）＝1+lnx﹣2ax，f″（x）2a，∵a＞1，x∈（0，2a]，令f″（x）＝0⇒x，当x∈（0，）时，f″（x）＞0，此时f′（x）单调递增；当x∈（，+∞）时，f″（x）＜0，此时f′（x）单调递减，故f′（x）max＝f′（）＝﹣ln（2a）＜0，∴f（x）在（0，2a]上单调递减，故f（x）在（0，2a]上的最小值为f（2a）＝2a[ln（2a）﹣2a2]．【点评】本题主要考查曲线的切线方程的求法及导数的综合应用，属于一道有难度的题．21．数列A：x1，x2，x3，…，x n，…，对于给定的t（t＞1，t∈N+），记满足不等式：x n﹣x t≥t*（n﹣t）（∀n∈N+，n≠t）的t*构成的集合为T（t）．（Ⅰ）若数列A：x n＝n2，写出集合T（2）；（Ⅱ）如果T（t）（t∈N+，t＞1）均为相同的单元素集合，求证：数列x1，x2，…，x n，…为等差数列；（Ⅲ）如果T（t）（t∈N+，t＞1）为单元素集合，那么数列x1，x2，…，x n，…还是等差数列吗？如果是等差数列，请给出证明；如果不是等差数列，请给出反例．【分析】（Ⅰ）推导出n2﹣4≥t*（n﹣2）（∀n∈N+，n≠t），当n＞2时，上式可化为n+2≥t*，5≥t*，当n＝1时，上式可化为3≤t*，由此能求出T（2）为[3，5]．（Ⅱ）T（t）（∀t∈N+，t＞l）中均只有同一个元素，不妨设为a．当n＝t+1时，有x t+1﹣x t≥a，（∀t＞1），当n＝t﹣1时，有x t﹣x t﹣1≤a（∀t＞1），由此能证明数列x1，x2，…，x n，…为等差数列．（Ⅲ）设T（i）＝{a}，T（j）＝{b}，1＜i＜j，a≠b，由T（i）＝{a}，知x j﹣x i≥a（j ﹣i），由T（j）＝{b}，知：x i﹣x j≥b（i﹣j），即x j﹣x i≤b（j﹣i），从而a（j﹣i）≤x j﹣x i≤b（j﹣i），a≤b．设T（i）＝{t i}，则t2≤t3≤…≤t n≤…，1＜i＜j，则t i≤t j，推导出t2＝t3＝t4＝t5＝…，由此能证明数列x1，x2，…，x n，…还是等差数列．解：（Ⅰ）由于A：，T（2）为满足不等式（n﹣t）（∀n∈N+）的t*构成的集合，∴n2﹣4≥t*（n﹣2）（∀n∈N+，n≠t），当n＞2时，上式可化为n+2≥t*，∴5≥t*，当n＝1时，上式可化为3≤t*，∴T（2）为[3，5]．（Ⅱ）证明：对于数列A：x1，x2，x3，…，x n，…，若T（t）（∀t∈N+，t＞l）中均只有同一个元素，不妨设为a，下面证明数列A为等差数列，当n＝t+1时，有x t+1﹣x t≥a，（∀t＞1），①当n＝t﹣1时，有x t﹣x t﹣1≤a（∀t＞1），②∵①②两式对任意大于1的整数均成立，∴x t+1﹣x t＝a（∀t＞1）成立，∴数列x1，x2，…，x n，…为等差数列．（Ⅲ）对于数列A：x1，x2，…，x n，…，不妨设T（i）＝{a}，T（j）＝{b}，1＜i＜j，a≠b，由T（i）＝{a}，知x j﹣x i≥a（j﹣i），由T（j）＝{b}，知：x i﹣x j≥b（i﹣j），即x j﹣x i≤b（j﹣i），∴a（j﹣i）≤x j﹣x i≤b（j﹣i），∴a≤b．设T（i）＝{t i}，则t2≤t3≤…≤t n≤…，这说明1＜i＜j，则t i≤t j，∵对于数列A：x1，x2，…，x n，…，T（t）（∀t∈N+，t＞1）中均只有一个元素，首先考察t＝2时的情况，不妨设x2＞x1，∵x2﹣x1≤t2，又T（2）为单元素集，∴x2﹣x1＝t2，再证t3＝x3﹣x2，证明如下：由t3＝x3﹣x2，证明如下：由t3的定义可知：t3≥x3﹣x2，，∴，由t2的定义可知x3﹣x2≥t2＝x2﹣x1，∴t3≥x3﹣x2，∴x3﹣x2＝t3，∵t3＞t2，∴t3＝x3﹣x2＞t2，则存在正整数m（m≥4），使得（m﹣2）t2＝x m﹣x2，③∵x2﹣x1＝t2≤x3﹣x2≤t3≤x4﹣x3≤…≤x k﹣x k﹣1≤…∴x m﹣x2（m﹣2）t2，这与③矛盾，∴t3＝t2，同理可证t2＝t3＝t4＝t5＝…，∴数列x1，x2，…，x n，…还是等差数列．【点评】本题考查集合的求法，考查等差数列的证明，考查等比数列的判断与证明，考查推理论主能力、运算求解能力，考查化归与转化思想，是难题．。

2020年北京市朝阳区高考数学一模试卷(理科)含答案解析

2020年北京市朝阳区高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．i是虚数单位，=（）A．1﹣i B．﹣1﹣i C．1+i D．﹣1+i2．已知全集U=R，函数y=ln（x﹣1）的定义域为M，集合N={x|x2﹣x＜0}，则下列结论正确的是（）A．M∩N=N B．M∩（∁U N）=∅C．M∪N=U D．M⊆（∁U N）3．“”是“e a＞e b”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件4．执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）A．42 B．19 C．8 D．35．在△ABC中，角A，B，C，的对边分别为a，b，c，若（a2+c2﹣b2）tanB=ac，则角B的值为（）A．B．或C．D．或6．某工厂一年中各月份的收入、支出情况的统计如图所示，下列说法中错误的是（）（注：结余=收入﹣支出）A．收入最高值与收入最低值的比是3：1B．结余最高的月份是7月C．1至2月份的收入的变化率与4至5月份的收入的变化率相同D．前6个月的平均收入为40万元7．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是（）A．B．C．1 D．8．若圆x2+（y﹣1）2=r2与曲线（x﹣1）y=1没有公共点，则半径r的取值范围是（）A．0＜r＜B．0＜r＜C．0＜r＜D．0＜r＜二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上．9．二项式（x2+）5的展开式中含x4的项的系数是_______（用数字作答）．10．已知等差数列{a n}（n∈N*）中，a1=1，a4=7，则数列{a n}的通项公式a n=_______；a2+a6+a10+…+a4n+10=_______．11．在直角坐标系xOy中，曲线C1的方程为x2+y2=2，曲线C2的参数方程为（t为参数）．以原点O为极点，x轴非负半轴为极轴，建立极坐标系，则曲线C1与C2的交点的极坐标为_______．12．不等式组所表示的平面区域为D．若直线y=a（x+1）与区域D有公共点，则实数a的取值范围是_______．13．已知M为△ABC所在平面内的一点，且．若点M在△ABC的内部（不含边界），则实数n的取值范围是_______．14．某班主任在其工作手册中，对该班每个学生用十二项能力特征加以描述．每名学生的第i（i=1，2，…，12）项能力特征用x i表示，，若学生A，B的十二项能力特征分别记为A=（a1，a2，…，a12），B=（b1，b2，…，b12），则A，B两名学生的不同能力特征项数为_______（用a i，b i表示）．如果两个同学不同能力特征项数不少于7，那么就说这两个同学的综合能力差异较大．若该班有3名学生两两综合能力差异较大，则这3名学生两两不同能力特征项数总和的最小值为_______．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．已知函数，ω＞0．（Ⅰ）若ω=1，求f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）若，求f（x）的最小正周期T的表达式并指出T的最大值．16．为了解学生暑假阅读名著的情况，一名教师对某班级的所有学生进行了调查，调查结果如表．1 2 3 4 5男生 1 4 3 2 2女生0 1 3 3 1（Ⅰ）从这班学生中任选一名男生，一名女生，求这两名学生阅读名著本数之和为4的概率？（Ⅱ）若从阅读名著不少于4本的学生中任选4人，设选到的男学生人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望；（Ⅲ）试判断男学生阅读名著本数的方差与女学生阅读名著本数的方差的大小（只需写出结论）．17．如图，在直角梯形AA1B1B中，∠A1AB=90°，A1B1∥AB，AB=AA1=2A1B1=2．直角梯形AA1C1C通过直角梯形AA1B1B以直线AA1为轴旋转得到，且使得平面AA1C1C⊥平面AA1B1B．M为线段BC的中点，P为线段BB1上的动点．（Ⅰ）求证：A1C1⊥AP；（Ⅱ）当点P是线段BB1中点时，求二面角P﹣AM﹣B的余弦值；1（Ⅲ）是否存在点P，使得直线A1C∥平面AMP？请说明理由．18．已知函数f（x）=x+alnx，a∈R．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）当x∈[1，2]时，都有f（x）＞0成立，求a的取值范围；（Ⅲ）试问过点P（1，3）可作多少条直线与曲线y=f（x）相切？并说明理由．19．已知点和椭圆C：．（Ⅰ）设椭圆的两个焦点分别为F1，F2，试求△PF1F2的周长及椭圆的离心率；（Ⅱ）若直线l：与椭圆C交于两个不同的点A，B，直线PA，PB 与x轴分别交于M，N两点，求证：|PM|=|PN|．20．已知等差数列{a n}的通项公式．设数列{b n}为等比数列，且．（Ⅰ）若b1=a1=2，且等比数列{b n}的公比最小，（ⅰ）写出数列{b n}的前4项；（ⅱ）求数列{k n}的通项公式；（Ⅱ）证明：以b1=a2=5为首项的无穷等比数列{b n}有无数多个．2020年北京市朝阳区高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．i是虚数单位，=（）A．1﹣i B．﹣1﹣i C．1+i D．﹣1+i【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】两个复数代数形式的乘除法，两个复数相除，分子和分母同时乘以分母的共轭复数，运算求得结果．【解答】解：===1+i，故选C．2．已知全集U=R，函数y=ln（x﹣1）的定义域为M，集合N={x|x2﹣x＜0}，则下列结论正确的是（）A．M∩N=N B．M∩（∁U N）=∅C．M∪N=U D．M⊆（∁U N）【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】分别解出关于M，N的范围，然后判断即可．【解答】解：由x﹣1＞0，解得：x＞1，故函数y=ln（x﹣1）的定义域为M=（1，+∞），由x2﹣x＜0，解得：0＜x＜1，故集合N={x|x2﹣x＜0}=（0，1），∴∁U N={x|x≥1或x≤0}，∴M⊆（∁U N），故选：D．3．“”是“e a＞e b”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】“”等价于a＞b，可得“e a＞e b”，反之不成立，例如取a=2，b=﹣1．即可判断出结论．【解答】解：∵“”⇔a＞b⇒“e a＞e b”，反之不成立，例如取a=2，b=﹣1．∴“”是“e a＞e b”的充分不必要条件．故选：A．4．执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）A．42 B．19 C．8 D．3【考点】程序框图．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，依次写出每次循环得到的S，i的值，当i=4时不满足条件i＜4，退出循环，输出S的值为19．【解答】解：模拟执行程序，可得i=1，S=1满足条件i＜4，S=3，i=2满足条件i＜4，S=8，i=3满足条件i＜4，S=19，i=4不满足条件i＜4，退出循环，输出S的值为19．故选：B．5．在△ABC中，角A，B，C，的对边分别为a，b，c，若（a2+c2﹣b2）tanB=ac，则角B的值为（）A．B．或C．D．或【考点】余弦定理．【分析】利用余弦定理表示出cosB，整理后代入已知等式，利用同角三角函数间基本关系化简，求出sinB的值，即可确定出B的度数．【解答】解：∵cosB=，∴a2+c2﹣b2=2accosB，代入已知等式得：2ac•cosBtanB=ac，即sinB=，则B=或．故选：B．6．某工厂一年中各月份的收入、支出情况的统计如图所示，下列说法中错误的是（）（注：结余=收入﹣支出）A．收入最高值与收入最低值的比是3：1B．结余最高的月份是7月C．1至2月份的收入的变化率与4至5月份的收入的变化率相同D．前6个月的平均收入为40万元【考点】函数的图象与图象变化．【分析】根据折现统计图即可判断各选项．【解答】解：由图可知，收入最高值为90万元，收入最低值为30万元，其比是3：1，故A正确，由图可知，结余最高为7月份，为80﹣20=60，故B正确，由图可知，1至2月份的收入的变化率为与4至5月份的收入的变化率相同，故C正确，由图可知，前6个月的平均收入为（40+60+30+30+50+60）=45万元，故D错误，故选：D．7．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是（）A．B．C．1 D．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可知：该几何体为如图所示的三棱锥，CB⊥侧面PAB．利用体积计算公式即可得出．【解答】解：由三视图可知：该几何体为如图所示的三棱锥，CB⊥侧面PAB．该几何体的体积V=××1=．故选：A．8．若圆x2+（y﹣1）2=r2与曲线（x﹣1）y=1没有公共点，则半径r的取值范围是（）A．0＜r＜B．0＜r＜C．0＜r＜D．0＜r＜【考点】圆与圆锥曲线的综合．【分析】求得圆的圆心和半径，设圆与曲线y=相切的切点为（m，n），代入曲线的方程，求出函数的导数和切线的斜率，由两点的斜率公式和两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，解方程可得切点，进而得到此时圆的半径，结合图象即可得到所求范围．【解答】解：圆的圆心为（0，1），半径为r，设圆与曲线y=相切的切点为（m，n），可得n=，①y=的导数为y′=﹣，可得切线的斜率为﹣，由两点的斜率公式可得•（﹣）=﹣1，即为n﹣1=m（m﹣1）2，②由①②可得n4﹣n3﹣n﹣1=0，化为（n2﹣n﹣1）（n2+1）=0，即有n2﹣n﹣1=0，解得n=或，则有或．可得此时圆的半径r==．结合图象即可得到圆与曲线没有公共点的时候，r的范围是（0，）．故选：C．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上．9．二项式（x2+）5的展开式中含x4的项的系数是10（用数字作答）．【考点】二项式定理．【分析】先求出二项式（x2+）5的展开式中通项公式，令x的系数等于4，求出r的值，即可求得展开式中含x4的项的系数．【解答】解：二项式（x2+）5的展开式中通项公式为T r+1=x10﹣2r x﹣r=x10﹣3r．令10﹣3r=4，可得r=2，∴展开式中含x4的项的系数是=10，故答案为10．10．已知等差数列{a n}（n∈N*）中，a1=1，a4=7，则数列{a n}的通项公式a n=2n﹣1；a2+a6+a10+…+a4n+10=（n+3）（4n+11）．【考点】等差数列的前n项和．【分析】利用等差数列的通项公式求出首项和公差，由此能求出结果．【解答】解：∵等差数列{a n}（n∈N*）中，a1=1，a4=7，∴a4=1+3d=7，解得d=2，∴a n=1+（n﹣1）×2=2n﹣1，∴a2=1+2=3，a6=1+5×2=11，a6﹣a2=8，∴a2+a6+a10+…+a4n+10=×3+×8=（n+3）（4n+11）．故答案为：2n﹣1，（n+3）（4n+11）．11．在直角坐标系xOy中，曲线C1的方程为x2+y2=2，曲线C2的参数方程为（t 为参数）．以原点O为极点，x轴非负半轴为极轴，建立极坐标系，则曲线C1与C2的交点的极坐标为（，）．【考点】简单曲线的极坐标方程；直线与圆的位置关系．【分析】将曲线C2的参数方程代入曲线C1的方程，可得t=1，再由x=ρcosθ，y=ρsinθ，tanθ=，求得ρ，θ，即可得到所求坐标．【解答】解：将曲线C2的参数方程（t为参数）代入曲线C1的方程为x2+y2=2，可得（2﹣t）2+t2=2，解得t=1，可得交点的直角坐标为（1，1），由x=ρcosθ，y=ρsinθ，tanθ=，可得ρ==，tanθ=1，0＜θ＜，可得θ=．可得交点的极坐标为（，）．故答案为：（，）．12．不等式组所表示的平面区域为D．若直线y=a（x+1）与区域D有公共点，则实数a的取值范围是．【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合进行求解即可．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域图示：因为y=a（x+1）过定点C（﹣1，0）．当a≤0时，直线y=a（x+1）与区域D有公共点，满足条件．当a＞0时，当直线y=a（x+1）过点A时，由公共点，由得，即A（3，3），代入y=a（x+1）得4a=3，a=，又因为直线y=a（x+1）与平面区域D有公共点．此时0＜a≤．综上所述，a≤．故答案为：．13．已知M为△ABC所在平面内的一点，且．若点M在△ABC的内部（不含边界），则实数n的取值范围是（0，）．【考点】向量在几何中的应用．【分析】根据题意可作出图形，将，带入并进行向量的数乘运算便可以得出，这样根据向量加法的平行四边形法则及向量数乘的几何意义便可得到，从而便可得出实数n的取值范围．【解答】解：如图，由得：；∴；∴；∴；∴；∴实数n的取值范围是．故答案为：．14．某班主任在其工作手册中，对该班每个学生用十二项能力特征加以描述．每名学生的第i（i=1，2，…，12）项能力特征用x i表示，，若学生A，B的十二项能力特征分别记为A=（a1，a2，…，a12），B=（b1，b2，…，b12），则A，B两名学生的不同能力特征项数为（用a i，b i表示）．如果两个同学不同能力特征项数不少于7，那么就说这两个同学的综合能力差异较大．若该班有3名学生两两综合能力差异较大，则这3名学生两两不同能力特征项数总和的最小值为22．【考点】函数模型的选择与应用；分段函数的应用．【分析】根据A，B两名学生的每一项的特征数是否相同，进行求解计算即可．【解答】解：若第i（i=1，2，…，12）项能力特征相同，则差为0，特征不相同，绝对值为1，则用x i表示A，B两名学生的不同能力特征项数为=|a1﹣b1|+|b2﹣c2|+…+|c12﹣a12|=，设第三个学生为C=（c1，c2，…，c12），则d i=|a i﹣b i|+|b i﹣c i|+|c i﹣a i|，1≤i≤12，∵d i的奇偶性和（a i﹣b i）+（b i﹣c i）+（c i﹣a i）=0一样，∴d i是偶数，3名学生两两不同能力特征项数总和为S=d1+d2+…+d12为偶数，又S≥7×3=21．则S≥22，取A=（0，1，1，0，1，1，0，1，1，0，1，1），B=（1，0，1，1，0，1，1，0，1，1，0，1），C=（1，1，0，1，1，0，1，1，0，1，1，1），则不同能力特征数总和恰好为22，∴最小值为22，故答案为：，22三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．已知函数，ω＞0．（Ⅰ）若ω=1，求f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）若，求f（x）的最小正周期T的表达式并指出T的最大值．【考点】三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法；正弦函数的单调性．【分析】（Ⅰ）当ω=1时，利用两角和与差以及二倍角公式化简函数的解析式，然后求解函数的单调区间．（Ⅱ）化简函数的解析式为：f（x）=．通过，求出．然后求解T的最大值．【解答】（本小题满分13分）解：（Ⅰ）当ω=1时，==．令．解得．所以f（x）的单调递增区间是．…（Ⅱ）由==．因为，所以．则，n∈Z．解得．又因为函数f（x）的最小正周期，且ω＞0，所以当ω=时，T的最大值为4π．…16．为了解学生暑假阅读名著的情况，一名教师对某班级的所有学生进行了调查，调查结果如表．1 2 3 4 5男生 1 4 3 2 2女生0 1 3 3 1（Ⅰ）从这班学生中任选一名男生，一名女生，求这两名学生阅读名著本数之和为4的概率？（Ⅱ）若从阅读名著不少于4本的学生中任选4人，设选到的男学生人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望；（Ⅲ）试判断男学生阅读名著本数的方差与女学生阅读名著本数的方差的大小（只需写出结论）．【考点】离散型随机变量的期望与方差；极差、方差与标准差；列举法计算基本事件数及事件发生的概率；离散型随机变量及其分布列．【分析】（Ⅰ）设事件A：从这个班级的学生中随机选取一名男生，一名女生，这两名学生阅读本数之和为4．由此能求出这两名学生阅读名著本数之和为4的概率．（Ⅱ）阅读名著不少于4本的学生共8人，其中男学生人数为4人，故X的取值为0，1，2，3，4．分别求出相应的概率，由此能求出随机变量X的分布列和数学期望．（Ⅲ）．【解答】（本小题满分13分）解：（Ⅰ）设事件A：从这个班级的学生中随机选取一名男生，一名女生，这两名学生阅读本数之和为4．由题意可知，．…（Ⅱ）阅读名著不少于4本的学生共8人，其中男学生人数为4人，故X的取值为0，1，2，3，4．由题意可得，，，，．所以随机变量X的分布列为X 0 1 2 3 4P随机变量X的均值．…（Ⅲ）．…17．如图，在直角梯形AA1B1B中，∠A1AB=90°，A1B1∥AB，AB=AA1=2A1B1=2．直角梯形AA1C1C通过直角梯形AA1B1B以直线AA1为轴旋转得到，且使得平面AA1C1C⊥平面AA1B1B．M为线段BC的中点，P为线段BB1上的动点．（Ⅰ）求证：A1C1⊥AP；（Ⅱ）当点P是线段BB1中点时，求二面角P﹣AM﹣B的余弦值；1（Ⅲ）是否存在点P，使得直线A1C∥平面AMP？请说明理由．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的性质．【分析】（Ⅰ）证明AC⊥AB．结合AC⊥AA1，证明AC⊥平面AA1B1B．推出A1C1⊥平面AA1B1B．即可证明A1C1⊥AP．（Ⅱ）以AC，AB，AA1为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，求出平面ABM的一个法向量，平面APM的一个法向量，利用空间向量的数量积求解二面角P﹣AM﹣B的余弦值．（Ⅲ）存在点P，使得直线A1C∥平面AMP．设P（x1，y1，z1），求出平面AMP的一个法向量，求出，利用．求出λ，即可证明结果．【解答】（本小题满分14分）解：（Ⅰ）证明：由已知∠A1AB=∠A1AC=90°，且平面AA1C1C⊥平面AA1B1B，所以∠BAC=90°，即AC⊥AB．又因为AC⊥AA1且AB∩AA1=A，所以AC⊥平面AA1B1B．由已知A1C1∥AC，所以A1C1⊥平面AA1B1B．因为AP⊂平面AA1B1B，所以A1C1⊥AP．…（Ⅱ）由（Ⅰ）可知AC，AB，AA1两两垂直．分别以AC，AB，AA1为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系如图所示．由已知AB=AC=AA1=2A1B1=2A1C1=2，所以A（0，0，0），B（0，2，0），C（2，0，0），B1（0，1，2），A1（0，0，2）．因为M为线段BC的中点，P为线段BB1的中点，所以．易知平面ABM的一个法向量=（0，0，1）．设平面APM的一个法向量为=（x，y，z），由，得取y=2，得=（﹣2，2，﹣3）．由图可知，二面角P﹣AM﹣B的大小为锐角，所以===．所以二面角P﹣AM﹣B的余弦值为．…（Ⅲ）存在点P，使得直线A1C∥平面AMP．设P（x1，y1，z1），且，λ∈[0，1]，则（x1，y1﹣2，z1）=λ（0，﹣1，2），所以x1=0，y1=2﹣λ，z1=2λ．所以．设平面AMP的一个法向量为=（x0，y0，z0），由，得取y0=1，得（显然λ=0不符合题意）．又，若A1C∥平面AMP，则．所以．所以．所以在线段BB1上存在点P，且时，使得直线A1C∥平面AMP．…18．已知函数f（x）=x+alnx，a∈R．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）当x∈[1，2]时，都有f（x）＞0成立，求a的取值范围；（Ⅲ）试问过点P（1，3）可作多少条直线与曲线y=f（x）相切？并说明理由．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（Ⅰ）求出函数f（x）的定义域，函数的导函数，通过（1）当a≥0时，（2）当a ＜0时，当0＜x＜﹣a时，当x＞﹣a时，导函数的符号，判断函数的单调性．（Ⅱ）（1）当﹣a≤1时，（2）当1＜﹣a＜2时，（3）当﹣a≥2时，分别求解函数的最值．（Ⅲ）设切点为（x0，x0+alnx0），则切线斜率，求出切线方程，切线过点P（1，3），推出关系式，构造函数（x＞0），求出导函数，（1）当a＜0时，判断g（x）单调性，说明方程g（x）=0无解，切线的条数为0．（2）当a＞0时，类比求解，推出当a＞0时，过点P（1，3）存在两条切线．（3）当a=0时，f（x）=x，说明不存在过点P（1，3）的切线．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为{x|x＞0}．．（1）当a≥0时，f′（x）＞0恒成立，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；（2）当a＜0时，令f′（x）=0，得x=﹣a．当0＜x＜﹣a时，f′（x）＜0，函数f（x）为减函数；当x＞﹣a时，f′（x）＞0，函数f（x）为增函数．综上所述，当a≥0时，函数f（x）的单调递增区间为（0，+∞）．当a＜0时，函数f（x）的单调递减区间为（0，﹣a），单调递增区间为（﹣a，+∞）．…（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，（1）当﹣a≤1时，即a≥﹣1时，函数f（x）在区间[1，2]上为增函数，所以在区间[1，2]上，f（x）min=f（1）=1，显然函数f（x）在区间[1，2]上恒大于零；（2）当1＜﹣a＜2时，即﹣2＜a＜﹣1时，函数f（x）在[1，﹣a）上为减函数，在（﹣a，2]上为增函数，所以f（x）min=f（﹣a）=﹣a+aln（﹣a）．依题意有f（x）min=﹣a+aln（﹣a）＞0，解得a＞﹣e，所以﹣2＜a＜﹣1．（3）当﹣a≥2时，即a≤﹣2时，f（x）在区间[1，2]上为减函数，所以f（x）min=f（2）=2+aln2．依题意有f（x）min=2+aln2＞0，解得，所以．综上所述，当时，函数f（x）在区间[1，2]上恒大于零．…（Ⅲ）设切点为（x0，x0+alnx0），则切线斜率，切线方程为．因为切线过点P（1，3），则．即．…①令（x＞0），则．（1）当a＜0时，在区间（0，1）上，g′（x）＞0，g（x）单调递增；在区间（1，+∞）上，g′（x）＜0，g（x）单调递减，所以函数g（x）的最大值为g（1）=﹣2＜0．故方程g（x）=0无解，即不存在x0满足①式．因此当a＜0时，切线的条数为0．（2）当a＞0时，在区间（0，1）上，g′（x）＜0，g（x）单调递减，在区间（1，+∞）上，g′（x）＞0，g（x）单调递增，所以函数g（x）的最小值为g（1）=﹣2＜0．取，则．故g（x）在（1，+∞）上存在唯一零点．取，则=．设，u（t）=e t﹣2t，则u′（t）=e t﹣2．当t＞1时，u′（t）=e t﹣2＞e﹣2＞0恒成立．所以u（t）在（1，+∞）单调递增，u（t）＞u（1）=e﹣2＞0恒成立．所以g（x2）＞0．故g（x）在（0，1）上存在唯一零点．因此当a＞0时，过点P（1，3）存在两条切线．（3）当a=0时，f（x）=x，显然不存在过点P（1，3）的切线．综上所述，当a＞0时，过点P（1，3）存在两条切线；当a≤0时，不存在过点P（1，3）的切线．…19．已知点和椭圆C：．（Ⅰ）设椭圆的两个焦点分别为F1，F2，试求△PF1F2的周长及椭圆的离心率；（Ⅱ）若直线l：与椭圆C交于两个不同的点A，B，直线PA，PB 与x轴分别交于M，N两点，求证：|PM|=|PN|．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．【分析】（Ⅰ）利用椭圆的方程，求出a，b，c．通过椭圆的定义求解三角形的周长，求解椭圆的离心率．（Ⅱ）联立，利用直线l与椭圆C有两个交点，求出﹣4＜m＜0或0＜m＜4．设A（x1，y1），B（x2，y2），结合韦达定理，求解AB坐标，设直线PA与PB的斜率分别为k1，k2，推出k1+k2=0，即可证明|PM|=|PN|．【解答】解：（Ⅰ）由题意可知，a2=4，b2=2，所以c2=2．因为是椭圆C上的点，由椭圆定义得|PF1|+|PF2|=4．所以△PF1F2的周长为．易得椭圆的离心率．…（Ⅱ）证明：由得．因为直线l与椭圆C有两个交点，并注意到直线l不过点P，所以解得﹣4＜m＜0或0＜m＜4．设A（x1，y1），B（x2，y2），则，，，．显然直线PA与PB的斜率存在，设直线PA与PB的斜率分别为k1，k2，则======．因为k1+k2=0，所以∠PMN=∠PNM．所以|PM|=|PN|．…20．已知等差数列{a n}的通项公式．设数列{b n}为等比数列，且．（Ⅰ）若b1=a1=2，且等比数列{b n}的公比最小，（ⅰ）写出数列{b n}的前4项；（ⅱ）求数列{k n}的通项公式；（Ⅱ）证明：以b1=a2=5为首项的无穷等比数列{b n}有无数多个．【考点】等差数列与等比数列的综合．【分析】（Ⅰ）（ⅰ）写出数列{a n}的前若干项，观察可得等比数列{b n}的公比最小为4，即可得到所求；（ⅱ）由（ⅰ）可知{b n}的通项公式，由等差数列的通项公式可得．证明k n为正整数即可；（Ⅱ）设数列{c n}是数列{a n}中包含的一个无穷等比数列，求出c1，c2，求得公比q，只要证是数列{a n}的项，运用归纳法，即可得证．【解答】解：（Ⅰ）观察数列{a n}的前若干项：2，5，8，11，14，17，20，23，26，29，32，35，…．因为数列{a n}是递增的整数数列，且等比数列以2为首项，显然最小公比不能是，最小公比是4．（ⅰ）以2为首项，且公比最小的等比数列的前四项是2，8，32，128．（ⅱ）由（ⅰ）可知b1=2，公比q=4，所以．又，所以，即．再证k n为正整数．显然k1=1为正整数，n≥2时，，即，故为正整数．所以，所求通项公式为；（Ⅱ）证明：设数列{c n}是数列{a n}中包含的一个无穷等比数列，且，，所以公比．因为等比数列{c n}各项为整数，所以q为整数．取k2=5m+2（m∈N*），则q=3m+1，故．只要证是数列{a n}的项，即证3k n﹣1=5•（3m+1）n﹣1．只要证（n∈N*）为正整数，显然k1=2为正整数．又n≥2时，，即，又因为k1=2，5m（3m+1）n﹣2都是正整数，故n≥2时，k n也都是正整数．所以数列{c n}是数列{a n}中包含的无穷等比数列，其公比q=3m+1有无数个不同的取值，对应着不同的等比数列，故数列{a n}所包含的以a2=5为首项的不同无穷等比数列有无数多个．2020年9月12日。

北京市朝阳区2020届高考数学一模试卷 (含答案解析)

北京市朝阳区2020届高考数学一模试卷一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1. 设集合A ={1,2，4，6}，集合B ={1,5}，则A ∪B 等于( )A. {1,3，5}B. {5}C. {1,2，4，5，6}D. {1}2. 下列函数中，既是偶函数，又在区间(1,2)上单调递减的是( )A. y =x 12B. y =2x +12x C. y =x 43 D. y =log 12|x |+1 3. 已知S n 为等比数列{a n }的前n 项和，a 1=1，a 2a 3=−8，则S 6=( )A. 1283B. −24C. −21D. 114. 在ΔOAB 中，点C 满足AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =x OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +y OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则1x +1y=( ) A. 13B. 23C. 92D. 295. 已知抛物线C ：y 2=2px(p >0)的焦点为F ，准线为l ，M 是C 上的一点，点M 关于l 的对称点为N ，若∠MFN =90°且|MF|=12，则p 的值为( )A. 18B. 12C. 6D. 6或18 6. 从甲、乙、丙、丁四人中，随机选取两名作为代表，则甲被选中的概率为( )A. 12B. 13C. 14D. 237. 已知双曲线C ：x 24−y 2b 2=1经过点(4,3)，则双曲线C 的离心率为( )A. 12B. √32C. √72D. √132 8. “φ=3π4”是“函数y =cos2x 与函数y =sin(2x +φ)在区间[0,π4]上的单调性相同”的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件9. 已知定义在R 上的函数满足f(x +1)=f(x −1)，f(x)={2x −5,0<x ≤1ln x−1e5,1<x ≤2，若关于x 的不等式f(x)+a(x −2018)≤0在(2018,2020]上恒成立，则实数a 的取值范围为( )A. (−∞,2]B. (−∞,2)C. (−∞,52]D. (−∞,52)10. 如图，在棱长为3的正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别是棱A 1B 1、A 1D 1的中点，则点B 到平面AMN 的距离是( )A. 92B. √3C. 6√55D. 2二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）11. 复数21+i 的模等于__________．12. 如图是某四面体的三视图，则该几何体最长的棱长为__________．13. 张师傅驾车从公司开往火车站，途经4个交通岗，这4个交通岗将公司到火车站分成5个路段，每个路段的驾车时间都是3分钟，如果遇到红灯要停留1分钟．假设他在各交通岗是否遇到红灯是相互独立的，并且概率都是13.则张师傅此行程时间不少于16分钟的概率为________． 14. 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，函数f(x)=2x−1x+1，a n =log 2f(n+1)f(n)，则S 2013=______．15. 已知曲线C 的方程是x 4+y 2=1.关于曲线C 的几何性质，给出下列三个结论：①曲线C 关于原点对称； ②曲线C 关于直线y =x 对称； ③曲线C 所围成的区域的面积大于π．其中，所有正确结论的序号是______．三、解答题（本大题共6小题，共85.0分）16. 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，．(1)求角B; (2)若，求b ．17.如图所示，PA⊥平面ABC，点C在以AB为直径的⊙O上，∠CBA=30°，PA=AB=2，点E为线段PB的中点，点M在弧AB上，且OM//AC．(1)求证：平面MOE//平面PAC；(2)求证：平面PAC⊥平面PCB；(3)设二面角M−BP−C的大小为θ，求cosθ的值．18.某研究机构为了调研当代中国高中生的平均年龄，从各地多所高中随机抽取了40名学生进行年龄统计，得到结果如下表所示：年龄(岁)[15,16)[16,17)[17,18)[18,19)[19,20]数量6101284(1)若同一组数据用该组区间的中点值代表，试估计这批学生的平均年龄；(2)若在本次抽出的学生中随机挑选2个年龄在[15,17)间的学生人数记为X，求X的分布列及数学期望．19.已知圆O：x2+y2=4，若焦点在x轴上的椭圆x2a2+y2b2=1过点p(0,−1)，且其长轴长等于圆O的直径．(1)求椭圆的方程；(2)过点P作两条互相垂直的直线l1与l2，l1与圆O交于A、B两点，l2交椭圆于另一点C．(Ⅰ)设直线l1的斜率为k，求弦AB长；(Ⅱ)求△ABC面积的最大值．20.求曲线y=f(x)=12x2−3x+2lnx在(3,f(3))处切线的斜率及切线方程．21.若数列{a n}的前n项和为S n，a1=2且S n+1=4a n−2(n=1,2，3…)．(I)求a2，a3；(II)求证：数列{a n−2a n−1}是常数列；(III)求证：．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：本题考查了并集及其运算，熟练掌握并集的定义是解题的关键．根据A与B，求出两集合的并集即可．解：∵A={1,2，4，6}，B={1,5}，∴A∪B={1,2，4，5，6}.故选C．2.答案：D解析：本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断，熟悉常见函数的奇偶性和单调性是解决本题的关键，属于基础题．分别判断各函数的奇偶性和单调性即可得到结论．解：A：y=x12定义域为[0,+∞)，为非奇非偶函数，不满足条件．B：y=2x+12x ，f(−x)=2−x+12−x=2x+12x=f(x)，则f(x)为偶函数，f(1)=2+12=52，f(2)=4+14=174，则f(1)<f(2)，则函数在(1,2)上不是减函数，不满足条件．C：y=x43，f(−x)=(−x)43=[(−x)2]23=x43=f(x)，则f(x)是偶函数，f(1)=1，f(2)=√163，则f(1)<f(2)，则函数在(1,2)上不是减函数，不满足条件．D：，，则f(x)为偶函数，由于为减函数，所以在(1,2)上是减函数，满足条件．故选D．3.答案：C解析：本题考查等比数列的求和公式和通项公式，求出数列的公比是解决问题的关键，属基础题．由题意易得数列的公比q=−2代入求和公式计算可得．解：设等比数列{a n}公比为q，a1=1，a2a3=−8，则a2a3=a12q3=q3=−8，解得q=−2，∴S6=1×[1−(−2)6]1+2=−21，4.答案：C解析：本题主要考查平面向量的基本定理与应用，属于一般题．解析：解：∵OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +23(OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ )，=13OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +23OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，故x =13,y =23⇒1x +1y =92，故选C5.答案：C解析：本题考查抛物线的性质及定义，考查转换思想，属于中档题．构造直角三角形，根据抛物线的性质，即可求得p 的值．解：直线MN 交准线x =−p2于点D ，l 交x 轴于点H ，∴∠MFN =90°，则|DM|=|MF|=|DF|=12，则∠MDF =60°，∠FDH =30°， ∴|HF|=6，即p =6，6.答案：A解析：解：从甲、乙、丙、丁四人中，随机选取两名作为代表，基本事件总数n=C42=6，甲被选中包含的基本事件个数m=C11C31=3，∴甲被选中的概率为p=mn =36=12．故选：A．基本事件总数n=C42=6，甲被选中包含的基本事件个数m=C11C31=3，由此能求出甲被选中的概率．本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．7.答案：C解析：本题考查双曲线方程的求法，离心率的求法，考查计算能力，求出双曲线的方程，然后求解离心率．解：双曲线C：x24−y2b2=1经过点(4,3)，可得424−32b2=1，解得b2=3，双曲线C：x24−y23=1，可得a=2，c=√a2+b2=√4+3=√7，e=ca =√72．故选C．8.答案：A解析：解：函数y=cos2x在区间[0,π4]上单调递减．“φ=3π4”时，函数y=sin(2x+3π4)，x∈[0,π4]，可得2x+3π4∈[3π4,5π4]，∴函数y=sin(2x+3π4)，在区间[0,π4]上单调递减．而φ=3π4+2π时，函数y=sin(2x+3π4)，在区间[0,π4]上单调递减．因此“φ=3π4”是“函数y=cos2x与函数y=sin(2x+φ)在区间[0,π4]上的单调性相同”的充分不必要条件．故选：A．函数y=cos2x在区间[0,π4]上单调递减．“φ=3π4”时，函数y=sin(2x+3π4)，x∈[0,π4]，可得2x+。

2020年北京市大兴区高考数学一模试卷(一)(有答案解析)

2020年北京市大兴区高考数学一模试卷（一）一、选择题（本大题共8小题，共40.0分）1.已知集合A={x|x≤0}，B={-2，-1，0，1，2}，那么A∩B等于（）A. {0，1，2}B. {1，2}C. {-2，-1}D. {-2，-1，0}2.已知a=30.4，，，则（）A. a＞b＞cB. a＞c＞bC. c＞b＞aD. c＞a＞b3.若x，y满足则2x-y的最大值为（）A. -6B. 4C. 6D. 84.执行如图所示的程序框图，则输出的S值为16，则判断框内的条件为（）A. n＞6？B. n≥7？C. n＞8？D. n＞9？5.已知抛物线C：y2=x，直线l：y=kx+1，则“k≠0”是“直线l与抛物线C有两个不同交点”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件6.已知a＞0，b＞0，若a+b=4，则（）A. a2+b2有最小值B. 有最小值C. 有最大值D. 有最大值7.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长棱的棱长为（）A.B. 3C.D.8.有10名选手参加某项诗词比赛，计分规则如下：比赛共有6道题，对于每一道题，10名选手都必须作答，若恰有n个人答错，则答对的选手该题每人得n分，答错选手该题不得分．比赛结束后，关于选手得分情况有如下结论：①若选手甲答对6道题，选手乙答对5道题，则甲比乙至少多得1分；②若选手甲和选手乙都答对5道题，则甲和乙得分相同；③若选手甲的总分比其他选手都高，则甲最高可得54分④10名选手的总分不超过150分．其中正确结论的个数是（）A. 4B. 3C. 2D. 1二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）9.已知复数z满足z2+1=0，则|z|=______．10.已知向量=（1，k），=（9，k-6），若∥，则k=______．11.在△ABC中，a=8，b=5，面积为12，则cos2C=______．12.若直线2x+y-2=0与圆（x-1）2+（y-a）2=1相切，则a=______．13.已知点O（0，0），A（1，1），点P在双曲线x2-y2=1的右支上，则的取值范围是______．14.如图，单位圆Q的圆心初始位置在点（0，1），圆上一点P的初始位置在原点，圆沿x轴正方向滚动．当点P第一次滚动到最高点时，点P的坐标为______；当圆心Q位于点（3，1）时，点P的坐标为______．三、解答题（本大题共6小题，共80.0分）15.如图，函数的一个零点是，其图象关于直线对称．（Ⅰ）求ω，φ的值；（Ⅱ）写出f（x）的单调递减区间．16.已知等差数列{a n}和等比数列{b n}满足a1=b1=1，2b2+b3=0，a1+a3=2b3．（Ⅰ）求{a n}的通项公式及前n项和S n；（Ⅱ）求b1-b2+b3-b4+…+b2n-1-b2n．17.随着智能手机的发展，各种“APP”（英文单词Application的缩写，一般指手机软件）应运而生．某机构欲对A市居民手机内安装的APP的个数和用途进行调研，在使用智能手机的居民中随机抽取100人，获得了他们手机内安装APP的个数，整理得到如图所示频率分布直方图．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）从被抽取安装APP的个数不低于50的居民中，随机抽取2人进一步调研，求这2人安装APP的个数都低于60的概率；（Ⅲ）假设同组中的数据用该组区间的右端点值代替，以本次被抽取的居民情况为参考，试估计A市使用智能手机的居民手机内安装APP的平均个数在第几组（只需写出结论）．18.如图，四棱锥P-ABCD，平面PAB⊥平面ABCD，PA⊥AB，AB∥CD，∠DAB=90°，PA=AD，DC=2AB，E为PC中点．（Ⅰ）求证：PA⊥BC；（Ⅱ）求证：直线BE∥平面PAD；（Ⅲ）求证：平面PBC⊥平面PDC．19.已知椭圆的离心率为，M是椭圆C的上顶点，F1，F2是椭圆C的焦点，△MF1F2的周长是6．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）过动点P（1，t）作直线交椭圆C于A，B两点，且|PA|=|PB|，过P作直线l，使l与直线AB垂直，证明：直线l恒过定点，并求此定点的坐标．20.已知函数f（x）=ae x图象在x=0处的切线与函数g（x）=ln x图象在x=1处的切线互相平行．（1）求a的值；（2）设直线x=t（t＞0）分别与曲线y=f（x）和y=g（x）交于P，Q两点，求证：|PQ|＞2．-------- 答案与解析 --------1.答案：D解析：解：∵集合A={x|x≤0}，B={-2，-1，0，1，2}，∴A∩B={-2，-1，0}．故选：D．利用交集定义直接求解．本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.答案：B解析：解：30.4＞30=1，，；∴a＞c＞b．故选：B．容易得出：，从而得出a，b，c的大小关系．考查指数函数、对数函数的单调性，增函数和减函数的定义．3.答案：C解析：【分析】本题主要考查线性规划的基本应用，利用数形结合，结合目标函数的几何意义是解决此类问题的基本方法，属于基础题.作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数z的几何意义，进行平移，结合图象得到z=2x-y的最大值．【解答】解：由z=2x-y得y=2x-z，作出x，y满足对应的平面区域（阴影部分）如图：平移直线y=2x-z，由图象可知当直线y=2x-z经过A（4，2）时，直线y=2x-z的截距最小，此时z最大．即z=2×4-2=6．故选：C．解析：解：框图首先赋值s=0，n=1，执行s=0+1=1，n=1+2=3；判断框中的条件不满足，执行s=1+3=4，n=3+2=5；判断框中的条件不满足，执行s=4+5=9，n=5+2=7；判断框中的条件不满足，执行s=9+7=16，n=7+2=9；此时判断框中的条件满足，执行“是”路径，输出结果为16．由此看出，判断框中的条件应是选项C，即n＞8．故选：C．根据框图运行后输出的结果是16，从s=0，n=1开始假设判断框中的条件不满足，执行“否”路径，依次执行到s的值为16时看此时的n值，此时的n值应满足判断框中的条件，由此即可得到答案．本题考查了程序框图，考查了直到型循环，直到型循环是先执行后判断，不满足条件执行循环，直到条件满足算法结束，是基础题．5.答案：B解析：解：将直线方程代入抛物线方程得，即y=k•y2+1，∴ky2-y+1=0，当k=0时，方程只有一个解．当k≠0时，要使直线l与抛物线C有两个不同交点，则△=1-4k＞0，解得k＜且k≠0．∴“k≠0”是“直线l与抛物线C有两个不同交点”的必要不充分条件．故选：B．结合直线和抛物线的位置关系，利用充分条件和必要条件的定义进行判断．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用直线和抛物线的位置关系是解决本题的关键．6.答案：A解析：【分析】本题考查利用基本不等式求最值，是一道基础题．利用基本不等式求最值或者根据当a 逐渐接近于0，此时b逐渐接近于4，对所给出的式子进行分析判定．【解答】解：∵a＞0，b＞0，且a+b=4，,∴,∴，a2+b2=（a+b）2-2ab=16-2ab≥8，当且仅当a=b=2时取等号，a2+b2有最小值8，故A正确；由上可知,当a=b=2时取等号，当a逐渐接近于0，此时b逐渐接近于4，ab逐渐接近于0，故ab没有最小值，故没有最小值，故B错误；同样当a逐渐接近于0，此时b逐渐接近于4，趋近于+∞，∴没有最大值，故C错误；,由于只有最大值，没有最小值，∴没有最大值，故D错误.7.答案：C解析：解：根据题意，该三棱锥的原图为如图的S-ABC，SD在俯视图中投成了一个点，故SD⊥平面ABCD（ABCD为俯视图的四个顶点），DE平行于正视的视线，故DE⊥BC，根据题意，DE=BE=SD=2，所以SB为最长的棱，因为BD⊂ABCD，∴SD⊥BD，∴BD2=DE2+BE2=8，∴SD===2．故选：C．根据三视图，还原出原图，根据勾股定理可得．本题考查了空间几何体的三视图，由三视图还原原图是解决问题的难点，属于中档题．8.答案：B解析：解：①甲全对，得到全部题目分数，乙错一道题，比甲少1题的分数，且这一题至少为1分（至少1人答错），故甲比乙至少多得1分；②若选手甲和选手乙都答对5道题，如果错的题目是同一题，得分相同，如果错的是不同题目且所错题目得分不同，则他们的得分就不一样．故②错；③若选手甲的总分比其他选手都高，则甲得分最高的情况为，甲答对6道题，其他人所有题目全部答错，则甲每题得9分，最高54分；④10名选手的总得分为≤6×25=150．故选：B．根据题意，只有②不对．根据题目所给的规则逐项判断．本题考查了简单的合情推理．理解题意，准确把握每个命题的含义，是正确解决问题的关键．本题属基础题．9.答案：1解析：解：由z2+1=0，得z2=-1，则z=i或-i，则|z|=1，故答案为：1结合复数的运算和性质，求出z=i或-i，结合复数的模长公式进行计算即可．本题主要考查复数的模长的计算，结合复数的运算求出z是解决本题的关键．10.答案：解析：解：∵∥，∴k-6-9k=0，解得k=-．故答案为：-．利用向量共线定理即可得出．本题考查了向量共线定理，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．11.答案：解析：解：∵a=8，b=5，面积为12，∴S=ab sin C=20sin C=12，∴sin C=．∴cos2C=1-2sin2C=1-2×=．故答案为：．利用面积公式即可求出sin C．使用二倍角公式求出cos2C．本题考查了三角形的面积公式，二倍角公式在解三角形中的应用，属于基础题．12.答案：解析：解：因为直线2x+y-2=0与圆（x-1）2+（y-a）2=1相切，所以=1，解得a=±．故答案为：±．利用直线与圆相切等价于圆心到直线的距离等于半径列式可得．本题考查了直线与圆的位置关系，属基础题．13.答案：（0，+∞）解析：解：设P（x，y），x2-y2=1∴=（1，1）•（x，y）=x+y，P是该双曲线上且在第一象限的动点接近双曲线的渐近线时，可知→+∞，P是该双曲线上且在第四象限的动点接近双曲线的渐近线时，可知→0，则的取值范围是（0，+∞）．故答案为：（0，+∞）．用坐标表示出则，利用P与双曲线的渐近线的位置关系，即可得出结论．本题考查双曲线的简单性质，考查向量的数量积公式，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．14.答案：（π，2）（3-sin3，1-cos3）解析：解：作辅助线如图，当点P第一次滚动到最高点时，点P向右滚动了圆的半个周长π，因此点P的坐标为（π，2）；当圆心Q位于（3，1）时，=3，此时圆心角为3，点P的横坐标为3-sin（π-3）=3-sin3，纵坐标为1+cos（π-3）=1-cos3，故答案为：（π，2），（3-sin3，1-cos3）．当点P第一次滚动到最高点时，点P向右滚动了圆的半个周长π，因此点P的坐标为（π，2）；当圆心Q位于（3，1）时，=3，此时圆心角为3，点P的横坐标为3-sin（π-3）=3-sin3，纵坐标为1+cos（π-3）=1-cos3，本题考查了任意角的三角函数的定义，属中档题．15.答案：解：（Ⅰ）设T为f（x）的最小正周期，由图可知，解得T=π．……（2分）又，所以ω=2．……（4分）由，即，……（5分）∵，∴解得．……（7分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知，．函数y=sin x单调减区间是．由，k∈Z……（2分）得，k∈Z……（4分）所以f（x）的减区间是．……（6分）另解：由y=f（x）图象可知，当时函数取得最大值，……（2分）所以，函数y=f（x）在一个周期内的递减区间是．……（4分）函数f（x）在R上的减区间是．……（6分）解析：（Ⅰ）利用函数图象，确定函数周期，求出ω 和φ的值即可，（Ⅱ）结合三角函数的单调性进行求解即可．本题主要考查三角函数的图象和性质，利用图象求出ω 和φ的值以及利用三角函数的单调性是解决本题的关键．16.答案：解：（Ⅰ）设等差数列{a n}的公差为d，等比数列{b n}的公比为q，由2b2+b3=0，得，即q=-2．……（2分）所以，所以b3=4……（3分）由a1+a3=2b3，得d=3．……（4分）所以a n=3n-2．……（5分）所以．……（7分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知，．……（1分）所以b1-b2+b3-b4+……+b2n-1-b2n=1-（-2）1+（-2）2-（-2）3+（-2）4+…-（-2）2n-1……（3分）=1+2+22+…+22n-1……（4分）=……（5分）=22n-1……（6分）解析：（Ⅰ）设等差数列{a n}的公差为d，等比数列{b n}的公比为q，由2b2+b3=0，得，即q=-2．可得b n．可得b3=4．由a1+a3=2b3，得d，可得a n，S n．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，．利用等比数列的求和公式即可得出．本题考查了等差数列与等比数列的通项公式求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．17.答案：（共13分）解：（Ⅰ）由（0.011+0.016+a+a+0.018+0.004+0.001）×10=1，……（2分）得a=0.025．……（3分）（Ⅱ）设事件A为“这2人手机内安装“APP”的数量都低于60”．……（1分）被抽取的智能手机内安装“APP”的数量在[50，60）的有0.004×10×100=4人，分别记为a1，a2，a3，a4，……（2分）被抽取的智能手机内安装“APP”的数量在[60，70]的有0.001×10×100=1人，记为b1，……（3分）从被抽取的智能手机内安装“APP”的数量不低于50的居民中随机抽取2人进一步调研，共包含10个基本事件，分别为a1a2，a1a3，a1a4，a1b1，a2a3，a2a4，a2b1，a3a4，a3b1，a4b1，……（5分）事件A包含6个基本事件，分别为a1a2，a1a3，a1a4，a2a3，a2a4，a3a4，……（6分）则这2人安装APP的个数都低于60的概率．……（7分）（Ⅲ）第4组（或者写成[30，40））．……（3分）解析：（Ⅰ）由频率分布直方图的性质能求出a．（Ⅱ）设事件A为“这2人手机内安装“APP”的数量都低于60”．被抽取的智能手机内安装“APP”的数量在[50，60）的有4人，分别记为a1，a2，a3，a4，被抽取的智能手机内安装“APP”的数量在[60，70]的有1人，记为b1，从被抽取的智能手机内安装“APP”的数量不低于50的居民中随机抽取2人进一步调研，利用列举法能求出这2人安装APP的个数都低于60的概率．（Ⅲ）第4组（或者写成[30，40））．本题考查频率、概率的求法，考查频率分布直方图的应用，考查用数学知识解决实际生活问题的能力，考查运算求解能力，是基础题．18.答案：（共14分）证明：（Ⅰ）因为平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD=AB，PA⊥AB，PA⊂平面PAB，所以PA⊥平面ABCD．……（2分）又因为BC⊂平面ABCD，……（3分）所以PA⊥BC．……（4分）（Ⅱ）方法一：取PD中点F，连接EF，AF．在△PCD中，E，F分别为PC，PD的中点，所以EF∥DC且．……（1分）又因为AB∥DC且，所以AB∥EF且AB=EF．……（2分）所以四边形ABEF为平行四边形．……（3分）所以BE∥AF．……（4分）因为AF⊂平面PAD，BE⊄平面PAD，所以BE∥平面PAD．……（5分）方法二：取DC中点G，连接BG，EG．在△PCD中，E，G分别为PC，DC的中点，所以EG∥PD．……（1分）又因为PD⊂平面PAD，EG⊄平面PAD，所以EG∥平面PAD．……（2分）因为AB∥DG且AB=DG，所以四边形ABGD为平行四边形．所以BG∥AD．又因为AD⊂平面PAD，BG⊄平面PAD，所以BG∥平面PAD．……（3分）因为EG∥平面PAD，BG∥平面PAD，EG∩BG=G，所以平面BGE∥平面PAD．……（4分）又因为BE⊂平面BGE，所以BE∥平面PAD．……（5分）（Ⅲ）因为AP=AD，F为PD的中点，所以AF⊥PD．又因为BE∥AF，所以BE⊥PD．……（1分）因为PA⊥平面ABCD，DC⊂平面ABCD，所以PA⊥DC．……（2分）因为AB∥CD，∠DAB=90°，所以AD⊥DC．因为DC⊥AD，DC⊥PA，AD∩PA=A，所以DC⊥平面PAD．……（3分）又因为AF⊂平面PAD，所以DC⊥AF．又因为BE∥AF，所以DC⊥BE．……（4分）因为BE⊥DC，BE⊥PD，DC∩PD=D，所以BE⊥平面PDC．又因为BE⊂平面PDC，所以平面PBC⊥平面PDC．……（5分）解析：（Ⅰ）推导出PA⊥AB，从而PA⊥平面ABCD．由此能证明PA⊥BC．（Ⅱ）法一：取PD中点F，连接EF，AF．推导出四边形ABEF为平行四边形，从而BE∥AF，由此能证明BE∥平面PAD．法二：取DC中点G，连接BG，EG．推导出EG∥PD，从而EG∥平面PAD，推导出四边形ABGD为平行四边形，从而BG∥AD．进而BG∥平面PAD，由此能证明平面BGE∥平面PAD．从而BE∥平面PAD．（Ⅲ）推导出AF⊥PD．BE⊥PD．由PA⊥平面ABCD，得PA⊥DC．AD⊥DC．从而DC⊥平面PAD．进而DC⊥AF，DC⊥BE．由此能证明BE⊥平面PDC，从而平面PBC⊥平面PDC．本题考查线线垂直、线面平行、面面垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．19.答案：解：（Ⅰ）由于M是椭圆C的上顶点，由题意得2a+2c=6，又椭圆离心率为，即，解得a=2，c=1又b2=a2-c2=3，所以椭圆C的标准方程．证明：（Ⅱ）当直线AB斜率存在，设AB的直线方程为y-t=k（x-1），联立，得（3+4k2）x2+8k（t-k）x+4（t-k）2-12=0，由题意，△＞0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则．因为|PA|=|PB|，所以P是AB的中点．即，得，4kt+3=0……①又l⊥AB，且k≠0，l的斜率为，直线l的方程为……②把①代入②可得：所以直线l恒过定点．当直线AB斜率不存在时，直线AB的方程为x=1，此时直线l为x轴，也过．综上所述直线l恒过点．解析：（I）根据椭圆的离心率以及过点，建立方程组即可求椭圆C的方程；（Ⅱ）设出直线MN的斜率和方程，联立直线方程和椭圆方程，根据中点弦的性质进行求解即可．本题主要考查椭圆方程的求解以及中点弦的应用，联立方程转化为一元二次方程，根据根与系数之间的关系是解决本题的关键．20.答案：（1）解：由f（x）=ae x，得f'（x）=ae x，所以f'（0）=a，由g（x）=ln x，得，所以g'（1）=1，由已知f'（0）=g'（1），得a=1，经检验，a=1符合题意．（2）证明：由题意|PQ|=|e t-ln t|，t＞0，设h（x）=e x-ln x，x＞0，则，设，则，所以φ（x）在区间（0，+∞）单调递增，又φ（1）=e-1＞0，，所以φ（x）在区间（0，+∞）存在唯一零点，设零点为x0，则，且．当x∈（0，x0）时，h'（x）＜0；当x∈（x0，+∞），h'（x）＞0．所以，函数h（x）在（0，x0）递减，在（x0，+∞）递增，，由，得ln x0=-x0，所以，由于，h（x0）＞2．从而h（x）＞2，即e x-ln x＞2，也就是e t-ln t＞2，|e t-ln t|＞2，即|PQ|＞2，命题得证．解析：本题考查导数的运用：求切线斜率和单调性、最值，考查构造函数和函数零点存在定理，以及化简运算能力、推理能力，属于中档题．（1）分别求得f（x），g（x）的导数，可得切线的斜率，由两直线平行的条件：斜率相等，解得a；（2）由题意|PQ|=|e t-ln t|，t＞0，设h（x）=e x-ln x，x＞0，求得导数和单调性，构造函数，结合函数零点存在定理，求得最小值，即可得证．。

2020年北京市高考数学试卷(解析版)

2020 年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）数学本试卷共5 页，150 分，考试时长120 分钟．考试务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第一部分（选择题共40 分）一、选择题10 小题，每小题4 分，共40 分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.已知集合A = {-1, 0,1, 2} ，B = {x | 0 < x < 3} ，则A B = （）．A. {-1, 0,1}B. {0,1}C. {-1,1, 2}D. {1, 2}【答案】D【解析】【分析】根据交集定义直接得结果.【详解】A I B = {-1, 0,1, 2}I(0, 3) = {1, 2}，故选：D.【点睛】本题考查集合交集概念，考查基本分析求解能力，属基础题.2.在复平面内，复数z 对应的点的坐标是(1, 2) ，则i ⋅ z = （）．A.1+ 2iB.-2 + iC.1- 2iD.-2 - i【答案】B【解析】【分析】先根据复数几何意义得z ，再根据复数乘法法则得结果.【详解】由题意得z = 1+ 2i ，∴iz = i - 2 .故选：B.【点睛】本题考查复数几何意义以及复数乘法法则，考查基本分析求解能力，属基础题.3.在2)5 的展开式中，x2 的系数为（）．5 33 A. -5B. 5C. -10D. 10【答案】C 【解析】【分析】首先写出展开式的通项公式，然后结合通项公式确定 x 2 的系数即可.55-rr r 5-r【详解】( x - 2) 展开式的通项公式为： T1= C 5( x )(-2) = (-2) C 5 x 2 ， rrr +5 - r令= 2 可得： r = 1 ，则 x 2 的系数为： (-2)1C 1 = (-2)⨯ 5 = -10 .2故选：C.【点睛】二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件(特定项) 和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中 n 和 r 的隐含条件，即 n ，r 均为非负整数，且 n ≥r ，如常数项指数为零、有理项指数为整数等)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项． 4.某三棱柱的底面为正三角形，其三视图如图所示，该三棱柱的表面积为（）．A. 6 +B. 6 + 2 3C. 12 +D. 12 + 2 3【答案】D 【解析】【分析】首先确定几何体的结构特征，然后求解其表面积即可.【详解】由题意可得，三棱柱的上下底面为边长为 2 的等边三角形，侧面为三个边长为 2 的正方形，( x - 3)2+ ( y - 4)232 + 42 则其表面积为：S = 3⨯(2 ⨯ 2) + 2 ⨯⎛ 1 ⨯ 2 ⨯ 2 ⨯sin 60︒⎫= 12 + 2 3 . 2 ⎪ ⎝ ⎭故选：D.【点睛】(1)以三视图为载体考查几何体的表面积，关键是能够对给出的三视图进行恰当的分析，从三视图中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系． (2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积应注意重合部分的处理． (3)圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面展为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和．5.已知半径为 1 的圆经过点(3, 4) ，则其圆心到原点的距离的最小值为（）．A. 4B. 5C. 6D. 7【答案】A 【解析】【分析】求出圆心 C 的轨迹方程后，根据圆心 M 到原点O 的距离减去半径 1 可得答案.【详解】设圆心C ( x , y )，则化简得 ( x - 3)2 + ( y - 4)2= 1，= 1，所以圆心 C 的轨迹是以M (3, 4) 为圆心，1 为半径的圆，所以| OC | +1 ≥| OM | = = 5 ，所以| OC |≥ 5 -1 = 4 ，当且仅当 C 在线段 OM 上时取得等号，故选：A.【点睛】本题考查了圆的标准方程，属于基础题.6.已知函数f (x) = 2x - x - 1，则不等式f (x) > 0 的解集是（）．A. (-1,1)B. (-∞, -1) (1, +∞)C. (0,1)D. (-∞, 0) ⋃ (1, +∞)【答案】D【解析】【分析】作出函数y = 2x 和y = x + 1的图象，观察图象可得结果.【详解】因为f ( x) = 2x - x -1，所以f ( x) > 0 等价于2x > x +1 ，在同一直角坐标系中作出y = 2x 和y = x + 1的图象如图：两函数图象的交点坐标为(0,1), (1, 2) ，不等式2x > x +1 的解为x < 0 或x > 1 .所以不等式f ( x) > 0 的解集为：(-∞, 0)⋃(1, +∞) .故选：D.【点睛】本题考查了图象法解不等式，属于基础题.7.设抛物线的顶点为O ，焦点为F ，准线为l ．P 是抛物线上异于O 的一点，过P 作PQ ⊥ l 于Q ，则线段FQ 的垂直平分线（）．A.经过点OC. 平行于直线OP B.经过点PD. 垂直于直线OP【答案】B【解析】【分析】依据题意不妨作出焦点在 x 轴上的开口向右的抛物线，根据垂直平分线的定义和抛物线的定义可知，线段FQ 的垂直平分线经过点 P ，即求解.【详解】如图所示：．因为线段 FQ 的垂直平分线上的点到 F , Q 的距离相等，又点 P 在抛物线上，根据定义可知， PQ = PF ，所以线段 FQ 的垂直平分线经过点 P .故选：B.【点睛】本题主要考查抛物线的定义的应用，属于基础题.8.在等差数列{a n }中，a 1 = -9 ， a 3 = -1 ．记 T n = a 1a 2…a n (n = 1, 2,… ) ，则数列{T n }（）．A. 有最大项，有最小项B. 有最大项，无最小项C. 无最大项，有最小项D. 无最大项，无最小项【答案】B 【解析】【分析】首先求得数列的通项公式，然后结合数列中各个项数的符号和大小即可确定数列中是否存在最大项和最小项.【详解】由题意可知，等差数列的公差d = a 5 - a 1 = -1 + 9= 2 ，5 -1 5 -1则其通项公式为：a n = a 1 + (n -1) d = -9 + (n -1)⨯ 2 = 2n -11，注意到a 1 < a 2 < a 3 < a 4 < a 5 < 0 < a 6 = 1 < a 7 < ，且由T 5 < 0 可知 T i < 0 (i ≥ 6, i ∈ N ) ，T i由T i -1= a i > 1(i ≥ 7, i ∈ N ) 可知数列{T n }不存在最小项，由于a 1 = -9, a 2 = -7, a 3 = -5, a 4 = -3, a 5 = -1, a 6 = 1，故数列{T n }中的正项只有有限项： T 2 = 63 ， T 4 = 63⨯15 = 945 . 故数列{T n }中存在最大项，且最大项为T 4 . 故选：B.【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式，等差数列中项的符号问题，分类讨论的数学思想等知识，属于中等题.9.已知,∈ R ，则“存在 k ∈ Z 使得= k + (-1)k ”是“ sin = sin ”的（）．A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】【分析】根据充分条件，必要条件的定义，以及诱导公式分类讨论即可判断.【详解】(1)当存在 k ∈ Z 使得= k + (-1)k 时，若 k 为偶数，则 s in = sin (k + ) = sin；若 k 为奇数，则s in = s in (k -) = sin ⎡⎣(k -1)+- ⎦⎤ = s in (-) = s in；(2)当 sin = sin 时，= + 2m 或+ = + 2m ， m ∈ Z ，即= k + (-1)k(k = 2m ) 或= k + (-1)k(k = 2m +1) ，亦即存在 k ∈ Z 使得= k + (-1)k ．所以，“存在 k ∈ Z 使得= k + (-1)k ”是“ sin = sin ”的充要条件.故选：C.【点睛】本题主要考查充分条件，必要条件的定义的应用，诱导公式的应用，涉及分类讨论思想的应用，属于基础题.10.2020 年 3 月 14 日是全球首个国际圆周率日（Day ）．历史上，求圆周率的方法有多种，与中国传统数学中的“割圆术”相似．数学家阿尔·卡西的方法是：当正整数 n 充分大时，计算单位圆的内接正 6n 边形的周长和外切正 6n 边形（各边均与圆相切的正 6n 边形）的周长，将它们的算术平均数作为 2的近似值．按照阿尔·卡西的方法，的近似值的表达式是（）．⎛ A. 3n sin 30︒ + tan 30︒ ⎫⎪ ⎛ B. 6n sin 30︒ + tan 30︒ ⎫⎪ ⎝ n n ⎭ ⎝ n n ⎭⎛ C. 3n sin 60︒ + tan 60︒ ⎫ ⎪ ⎛ D. 6n sin 60︒ + tan 60︒ ⎫ ⎪ ⎝n n ⎭ ⎝n n ⎭【答案】A 【解析】【分析】计算出单位圆内接正 6n 边形和外切正 6n 边形的周长，利用它们的算术平均数作为 2的近似值可得出结果.【详解】单位圆内接正 6n 边形的每条边所对应的圆周角为 30︒360︒ = n ⨯ 6 60︒ n，每条边长为 2 sin 30︒ ， n 所以，单位圆的内接正 6n 边形的周长为12n sin ，n 单位圆的外切正 6n 边形的每条边长为 2 tan 30︒ 30︒ ，其周长为12n tan ，n n12n sin 30︒ +12n tan 30︒∴ 2= n n = 6n ⎛sin 30︒ + tan 30︒ ⎫ ， 2 n n ⎪⎝ ⎭⎛ 则= 3n sin 30︒ + tan 30︒ ⎫⎪ .⎝n n ⎭故选：A.【点睛】本题考查圆周率的近似值的计算，根据题意计算出单位圆内接正 6n 边形和外切正 6n 边形的周长是解答的关键，考查计算能力，属于中等题.第二部分（非选择题共 110 分）二、填空题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分.111.函数f (x ) = + ln x 的定义域是．x +1 【答案】(0, +∞)【解析】【分析】根据分母不为零、真数大于零列不等式组，解得结果.⎧ 【详解】由题意得 ⎨x > 0，∴ x > 0 ⎩x +1 ≠ 0故答案为：(0, +∞)【点睛】本题考查函数定义域，考查基本分析求解能力，属基础题.12.已知双曲线 C : x y 2- = 1，则 C 的右焦点的坐标为；C 的焦点到其渐近线的距离是63．【答案】(1). (3, 0)(2).【解析】【分析】根据双曲线的标准方程可得出双曲线 C 的右焦点坐标，并求得双曲线的渐近线方程，利用点到直线的距离公式可求得双曲线的焦点到渐近线的距离.【详解】在双曲线 C 中， a =， b ，则 c == 3 ，则双曲线C 的右焦点坐标为 (3, 0)，双曲线 C 的渐近线方程为 y，即x ±2= 0 ，3 =所以，双曲线 C .故答案为： (3, 0)【点睛】本题考查根据双曲线的标准方程求双曲线的焦点坐标以及焦点到渐近线的距离，考查计算能力，属于基础题.1 13.已知正方形 ABCD 的边长为2，点 P 满足 AP =PB ⋅ PD =．( A B + AC ) ，则| PD |= ；2【答案】(1).(2). -1【解析】【分析】以点 A 为坐标原点， AB 、 AD 所在直线分别为 x 、 y 轴建立平面直角坐标系，求得点 P 的坐标，利用平面向量数量积的坐标运算可求得 PD 以及 PB ⋅ PD 的值.【详解】以点 A 为坐标原点， AB 、 AD 所在直线分别为x 、 y 轴建立如下图所示的平面直角坐标系， 2( )(-2)2+12 5 5 co s 2 + (s in +1)2则点 A (0, 0)、 B (2, 0) 、 C (2, 2)、 D (0, 2) ，1 1 1 AP = AB + AC = (2, 0) +(2, 2) = (2,1)， 22 2则点 P (2,1) ，∴ P D = (-2,1) ， PB = (0, -1)，因此， PD == ，PB ⋅ PD = 0 ⨯ (-2) + 1⨯ (-1) = -1.故答案为：； -1.【点睛】本题考查平面向量的模和数量积的计算，建立平面直角坐标系，求出点 P 的坐标是解答的关键，考查计算能力，属于基础题.14.若函数 f (x ) = sin(x +) + cos x 的最大值为 2，则常数的一个取值为．【答案】（2k +2, k ∈ Z 均可） 2【解析】【分析】根据两角和的正弦公式以及辅助角公式即可求得= 2 ，即可解出.f ( x ) =cos 2 + (sin +1)2sin ( x +) ，可得【详解】因为 f ( x ) = c ossin x + (sin+1)cos x =cos 2 + (sin +1)2sin ( x +)，所以 co s 2 + (s in +1)2= 2 ，解得sin = 1 ，故可取= π. 2故答案为：（2k +2, k ∈ Z 均可）. 2【点睛】本题主要考查两角和的正弦公式，辅助角公式的应用，以及平方关系的应用，考查学生的数学运算能力，属于基础题.15.为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改、设企业的污水摔放量W 与时间t 的关系为W = f (t) ，用- f (b) - f (a)的大小评价在[a, b] 这段时间内企业b - a污水治理能力的强弱，已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如下图所示.给出下列四个结论：①在[t1,t2 ]这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强；②在t2 时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强；③在t3 时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标；④甲企业在[0,t1],[t1,t2],[t2,t3]这三段时间中，在[0,t1]的污水治理能力最强．其中所有正确结论的序号是．【答案】①②③【解析】【分析】根据定义逐一判断，即可得到结果f (b) - f (a)【详解】-b - a表示区间端点连线斜率的负数，在[t1,t2 ]这段时间内，甲的斜率比乙的小，所以甲的斜率的相反数比乙的大，因此甲企业的污水治理能力比乙企业强；①正确；甲企业在[0,t1],[t1,t2],[t2,t3]这三段时间中，甲企业在[t1,t2 ]这段时间内，甲的斜率最小，其相反数最大，即在[t1,t2 ]的污水治理能力最强．④错误；在t2 时刻，甲切线的斜率比乙的小，所以甲切线的斜率的相反数比乙的大，甲企业的污水治理能力比乙企业强；②正确；在t3 时刻，甲、乙两企业的污水排放量都在污水打标排放量以下，所以都已达标；③正确；故答案为：①②③【点睛】本题考查斜率应用、切线斜率应用、函数图象应用，考查基本分析识别能力，属中档题.三、解答题共6 小题，共85 分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.如图，在正方体ABCD - A1B1C1D1 中，E 为BB1 的中点．（Ⅰ）求证：BC1 / / 平面AD1E ；（Ⅱ）求直线AA1 与平面AD1E 所成角的正弦值．2【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）.3【解析】【分析】（Ⅰ）证明出四边形ABC1D1 为平行四边形，可得出BC1 //AD1 ，然后利用线面平行的判定定理可证得结论；（Ⅱ）以点A 为坐标原点，AD 、AB 、AA1 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系A - xyz ，利用空间向量法可计算出直线AA1 与平面AD1E 所成角的正弦值.【详解】（Ⅰ）如下图所示：n ⋅ AA 1在正方体ABCD - A 1B 1C 1D 1 中， AB //A 1B 1 且 AB = A 1B 1 ， A 1B 1 //C 1D 1 且 A 1B 1 = C 1D 1 ，∴ AB //C 1D 1 且 AB = C 1D 1 ，所以，四边形 ABC 1D 1 为平行四边形，则 BC 1 //AD 1 ，BC 1 ⊄ 平面 AD 1E ， AD 1 ⊂ 平面 AD 1E ，∴ BC 1 // 平面 AD 1E ；（Ⅱ）以点 A 为坐标原点， AD 、 AB 、 AA 1 所在直线分别为 x 、 y 、 z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系A - xyz ，设正方体 ABCD - A 1B 1C 1D 1 的棱长为 2 ，则A (0, 0, 0) 、 A 1 (0, 0, 2) 、 D 1 (2, 0, 2) 、 E (0, 2,1) ， AD 1 = (2, 0, 2)， AE = (0, 2,1)，⎧n ⋅ AD 1 = 0 ⎧2x + 2z = 0 设平面 AD 1E 的法向量为 n = ( x , y , z ) ，由 ⎨ ，得 ⎨， ⎩n ⋅ AE = 0 令 z = -2 ，则x = 2 ， y = 1，则 n = (2,1, -2) . ⎩2 y + z = 0cos < n , AA 1 >= n ⋅ A A 1= - 4 = - 2 .3⨯ 2 32因此，直线AA 1 与平面 AD 1E 所成角的正弦值为 . 3【点睛】本题考查线面平行的证明，同时也考查了利用空间向量法计算直线与平面所成角的正弦值，考查计算能力，属于基础题.17.在 ABC 中， a + b = 11，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为己知，求：（Ⅰ）a 的值：（Ⅱ） sin C 和 ABC 的面积．1- cos 2 A =1- cos 2 A 1- cos 2 B =条件①：c = 7, c os A = - 1； 7条件②：cos A = 1, cos B = 9． 8 16注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．【答案】选择条件①（Ⅰ）8（Ⅱ） sin C =3, 2S = 6 3 ；选择条件②（Ⅰ）6（Ⅱ） sin C = 7,4S = 15 7 .4【解析】【分析】选择条件①（Ⅰ）根据余弦定理直接求解，（Ⅱ）先根据三角函数同角关系求得 sin A ,再根据正弦定理求sin C ,最后根据三角形面积公式求结果；选择条件②（Ⅰ）先根据三角函数同角关系求得sin A , sin B ，再根据正弦定理求结果，（Ⅱ）根据两角和正弦公式求 sin C ，再根据三角形面积公式求结果.1【详解】选择条件①（Ⅰ）c = 7, c os A = - ，a + b = 11 7a 2 =b 2 +c 2 - 2bc cos A ∴ a 2 = (11- a )2 + 72 - 2(11- a ) ⋅ 7 ⋅ (- 1)7∴ a = 8（Ⅱ） cos A = - 1，A ∈(0,)∴sin A == 4 377a c 8 7 3∴ = ∴sin C = 由正弦定理得： sin A sin C 4 3 sin C2 7 S = 1 ba sin C = 1 (11- 8) ⨯ 8⨯ 3= 6 32 2 21 9 选择条件②（Ⅰ） cos A = , cos B = 8 16，A , B ∈(0,)∴sin A = =3 7, sin B = = 5 7816a b a 11 - a∴ = ∴ a = 6 由正弦定理得： sin A sin B 3 7 5 78 16（Ⅱ） sin C = sin( A + B ) = sin A c os B + sin B cos A ⨯ 1 = 8 16 16 8 4S = 1 ba sin C = 1 (11- 6) ⨯ 6 ⨯2 2 4 4【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理，三角形面积公式，考查基本分析求解能力，属中档题. 18.某校为举办甲、乙两项不同活动，分别设计了相应的活动方案：方案一、方案二．为了解该校学生对活动方案是否支持，对学生进行简单随机抽样，获得数据如下表：假设所有学生对活动方案是否支持相互独立．（Ⅰ）分别估计该校男生支持方案一的概率、该校女生支持方案一的概率；（Ⅱ）从该校全体男生中随机抽取 2 人，全体女生中随机抽取 1 人，估计这 3 人中恰有 2 人支持方案一的概率；（Ⅲ）将该校学生支持方案的概率估计值记为 p 0 ，假设该校年级有 500 名男生和 300 名女生，除一年级外其他年级学生支持方案二的概率估计值记为 p 1 ，试比较 p 0 与 p 1 的大小．（结论不要求证明） 1 3 【答案】（Ⅰ）该校男生支持方案一的概率为，该校女生支持方案一的概率为；3413（Ⅱ）,（Ⅲ） p < p361【解析】【分析】（Ⅰ）根据频率估计概率，即得结果；（Ⅱ）先分类，再根据独立事件概率乘法公式以及分类计数加法公式求结果；（Ⅲ）先求 p 0 ，再根据频率估计概率 p 1 ，即得大小. 200 1【详解】（Ⅰ）该校男生支持方案一的概率为= ，200+400 32 4 2该校女生支持方案一的概率为 300= 3 ；300+100 4 （Ⅱ）3 人中恰有 2 人支持方案一分两种情况，（1）仅有两个男生支持方案一，（2）仅有一个男生支持方案一，一个女生支持方案一，所以 3 人中恰有 2 人支持方案一概率为：(1)2 (1- 3) + C 1 (1)(1- 1) 3 = 13;（Ⅲ） p 1 < p 03 423 34 36【点睛】本题考查利用频率估计概率、独立事件概率乘法公式，考查基本分析求解能力，属基础题. 19.已知函数 f (x ) = 12 - x 2．（Ⅰ）求曲线y = f (x ) 的斜率等于 -2 的切线方程；（Ⅱ）设曲线y = f (x ) 在点 (t , f (t )) 处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为 S (t ) ，求 S (t ) 的最小值．【答案】（Ⅰ） 2x + y - 13 = 0 ，（Ⅱ） 32 .【解析】【分析】（Ⅰ）根据导数的几何意义可得切点的坐标，然后由点斜式可得结果；（Ⅱ）根据导数的几何意义求出切线方程，再得到切线在坐标轴上的截距，进一步得到三角形的面积，最后利用导数可求得最值.【详解】（Ⅰ）因为 f (x ) = 12 - x 2，所以 f '( x ) = -2x ，设切点为 ( x 0 ,12 - x 0 )，则 -2x 0 = -2 ，即 x 0 = 1，所以切点为 (1,11) ，由点斜式可得切线方程为：y -11 = -2 ( x -1) ，即 2x + y - 13 = 0 . （Ⅱ）显然 t ≠ 0 ，因为 y = f ( x ) 在点 (t ,12 - t 2)处的切线方程为： y - (12 - t 2)= -2t ( x - t ) ，令 x = 0 ，得 y = t 2+12 ，令 y = 0 ，得 x =t 2 +12 ，2t所以 S (t ) = 1 ⨯(t 2+12)⋅ t +12 ， 2 2 | t |不妨设 t > 0 (t < 0 时，结果一样) ，则 S (t ) =t + 24t + 144 = 1 (t 3 + 24t + 144 ) ，4t 4 t4 2+ 2 所以 S '(t ) = 1 (3t 2 + 24 - 144 ) = 3(t + 8t - 48)4 t 2 4t 23(t 2 - 4)(t 2 + 12) 3(t - 2)(t + 2)(t 2 + 12)= =， 4t 2 4t 2由 S '(t ) > 0 ，得 t > 2 ，由 S '(t ) < 0 ，得 0 < t < 2 ，所以 S (t )在 (0, 2)上递减，在 (2, +∞) 上递增，所以 t = 2 时，S (t )取得极小值，也是最小值为 S (2) =16 ⨯16 = 32 .8【点睛】本题考查了利用导数的几何意义求切线方程，考查了利用导数求函数的最值，属于中档题.x 2 y 220.已知椭圆 C : + = 1 过点A (-2, -1) ，且 a = 2b ． a 2 b 2（Ⅰ）求椭圆 C 的方程：| PB |（Ⅱ）过点 B (-4, 0) 的直线 l 交椭圆 C 于点 M , N ,直线 MA , NA 分别交直线 x = -4 于点P , Q ．求的| BQ |值．【答案】（Ⅰ） x y 2+ = 1；（Ⅱ）1.82【解析】【分析】(Ⅰ)由题意得到关于 a ,b 的方程组，求解方程组即可确定椭圆方程；(Ⅱ)首先联立直线与椭圆的方程，然后由直线 MA ,NA 的方程确定点 P ,Q 的纵坐标，将线段长度的比值转化为纵坐标比值的问题，进一步结合韦达定理可证得 y P + y Q = 0 ，从而可得两线段长度的比值.【详解】(1)设椭圆方程为： xy 2 2= 1(a > b > 0)，由题意可得：⎧ 4 1 + = 1a b ⎧a 2 = 8 ⎪ ⎨ a2 ⎪⎩b2 a = 2b ，解得： ⎨ ， ⎩b 2 = 2故椭圆方程为： x y 2+ = 1.8 22 2 2y Py QPB P Q ⎪ PB PQ (2)设 M ( x 1 , y 1 )， N ( x 2 , y 2 ) ，直线 MN 的方程为：y = k ( x + 4) ，与椭圆方程 x y 2 + = 1联立可得： x 2 + 4k 2(x + 4)2 = 8 ， 8 2即： (4k 2+1)x 2 + 32k 2x + (64k 2- 8)= 0 ，-32k 2 则： x 1 + x 2 =2, x 1 x 2 = 4k +164k 2 - 8. 4k 2+1直线 MA 的方程为： y +1 = y 1 +1 ( x + 2) ，x 1 + 2y 1 +1k ( x 1 + 4) +1 x 1 + 2 -(2k +1)( x 1 + 4) 令 x = -4 可得： y P = -2 ⨯ -1 = -2 ⨯ - = ，同理可得： y Q =x 1 + 2 -(2k +1)( x 2 + 4).x 2 + 2x 1 + 2 x 1 + 2 x 1 + 2很明显 y P y Q < 0 ，且： = ，注意到：y P + y Q= -(2k +1)⎛ x 1 + 4 + x 2 + 4 ⎫ = -(2k +1)⨯ ( x 1 + 4)( x 2 + 2) + ( x 2 + 4)( x 1 + 2) ， ⎝ x 1 + 2 x 2 + 2 ⎭( x 1 + 2)( x 2 + 2)而： ( x 1 + 4)( x 2 + 2) + ( x 2 + 4)( x 1 + 2) = 2 ⎡⎣ x 1 x 2 + 3( x 1 + x 2 ) + 8⎤⎦⎡ 64k 2 - 8 ⎛ -32k 2 ⎫ ⎤= 2 ⎢ + 3⨯ ⎪ +8⎥ ⎣ 4k 2 +1 ⎝ 4k 2 +1 ⎭ ⎦ (64k 2- 8) + 3⨯(-32k 2) + 8(4k 2+1)= 2 ⨯= 0 ，4k 2+1故y P + y Q = 0, y P = - y Q .从而=1 .【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意： (1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件； (2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题． 21.已知{a n }是无穷数列．给出两个性质：2a k na 2 n n2 1 ①对于{a n }中任意两项 a i , a j (i > 2j ) ，在{a n }中都存在一项 a m ，使 a= a m ； j2②对于{a n }中任意项a n (n … 3) ，在{a n }中都存在两项 a k , a l (k > l ) ．使得 a n = ． a l(Ⅰ)若a n = n (n = 1, 2, ) ，判断数列{a n }是否满足性质①，说明理由；(Ⅱ)若a n = 2n -1 (n = 1, 2, ) ，判断数列{a }是否同时满足性质①和性质②，说明理由；(Ⅲ)若{a n }是递增数列，且同时满足性质①和性质②，证明：{a n }为等比数列. 【答案】(Ⅰ)详见解析；(Ⅱ)详解解析；(Ⅲ)证明详见解析. 【解析】【分析】 (Ⅰ)根据定义验证，即可判断； (Ⅱ)根据定义逐一验证，即可判断；(Ⅲ)解法一：首先，证明数列中的项数同号，然后证明 a 3a 2= 2 ，最后，用数学归纳法证明数列为等比数列 a 1即可.解法二：首先假设数列中的项数均为正数，然后证得a 1 , a 2 , a 3 成等比数列，之后证得 a 1 , a 2 , a 3 , a 4 成等比数列，同理即可证得数列为等比数列，从而命题得证.【详解】(Ⅰ) Qa= 2, a = 3, a 3 = 9∉ Z ∴{a }不具有性质①； 2 3 n22 2(Ⅱ) Q ∀i , j ∈ N * , i > j ,a ia = 2(2i - j )-1 , 2i - j ∈ N * ∴ a i a = a 2i - j ∴{a n }具有性质①； jjQ ∀n ∈ N *, n ≥ 3, ∃k = n -1, l = n - 2, a k = 2(2k -l )-1 = 2n -1 = a ,∴{a }具有性质②；a l(Ⅲ)【解法一】首先，证明数列中的项数同号，不妨设恒为正数：显然a n ≠ 0 (n ∉ N *)，假设数列中存在负项，设 N 0 = max {n | a n < 0}，第一种情况：若N 0 = 1，即 a 0 < 0 < a 1 < a 2 < a 3 < ，由①可知：存在 m 1 ，满足 a m a 2= 2a 1< 0 ，存在m 2 ，满足 a m a 2 = 3a 1< 0 ， a i 2 2a a a 0 m0 0 a a a m 1 k +1 s sa 21 11由 N 0 = 1可知 2 2 = a 1 23 a 1，从而 a 2 = a 3 ，与数列的单调性矛盾，假设不成立.a 2 第二种情况：若 N ≥ 2 ，由①知存在实数 m ，满足 a = N 0< 0 ，由 N 的定义可知： m ≤ N ， 1a 2 a 2另一方面， a m = N 0 > N0 = a a a N 0 ，由数列的单调性可知：m > N 0 ， 1 N 0这与 N 0 的定义矛盾，假设不成立. 同理可证得数列中的项数恒为负数. 综上可得，数列中的项数同号.其次，证明a 3 a 2 = 2 ： a 1利用性质②：取 n = 3 ，此时a 3 = 2k (k > l )，a l由数列的单调性可知a k > a l > 0 ，a = a • ak > a 而 3 k k ，故 k < 3， l此时必有k = 2, l = 1 ，即 a 3 a 2 = 2 ， a 1最后，用数学归纳法证明数列为等比数列：假设数列{a n }的前k (k ≥ 3)项成等比数列，不妨设 a s = a 1qs -1(1 ≤ s ≤ k )，其中a 1 > 0, q > 1，（ a 1 < 0, 0 < q < 1 的情况类似）a 2由①可得：存在整数 m ，满足 a = k= a q k k -1 > a k ，且a m = a 1q ≥ a k +1 （*）a 2 a 由②得：存在 s > t ，满足：a = s = a ⋅ s> a ，由数列的单调性可知： t < s ≤ k +1， a t a t由a = a q s -1(1 ≤ s ≤ k )可得：a =a s= a q 2s -t -1> a = a q k -1（**）s1k +11k 1t由（**）和（*）式可得： a q k≥ a q 2s -t -1> a q k -1，结合数列的单调性有： k ≥ 2s - t -1 > k -1，kka a 1 a k a a a 注意到 s , t , k 均为整数，故 k = 2s - t -1，代入（**）式，从而a k +1 = a 1q .总上可得，数列{a n }的通项公式为：a n = a 1q n -1.即数列{a n }为等比数列.【解法二】假设数列中的项数均为正数：首先利用性质②：取 n = 3 ，此时a 3 = 2k (k > l )，a l由数列的单调性可知a k > a l > 0 ，a = a • a k > a 而 3 k k ，故 k < 3， l此时必有k = 2, l = 1 ，即 a 3 a 2 = 2 ， a 1即a 1 , a 2 , a 3 成等比数列，不妨设 a 2 = a 1q , a 3 = a 1q (q > 1)，a 2 a 2q 4然后利用性质①：取 i = 3, j = 2 ，则 a m = 3 = 1 = a q 3 ，a 2 a 1q即数列中必然存在一项的值为a q 3 ，下面我们来证明 a = a q 3 ， 141否则，由数列的单调性可知a < a q 3， 41a 2 a k k在性质②中，取 n = 4 ，则 a 4 = a = a k a> a k ，从而 k < 4 ， ll2与前面类似的可知则存在{k , l } ⊆ {1, 2, 3}(k > l ) ，满足a 4 = ， a l若k = 3, l = 2 ，则： a a 2= k = a q 3 ，与假设矛盾； 41l若k = 3, l = 1，则： a a 2= k = a q 4 > a q 3 ，与假设矛盾； 41 1l若k = 2, l = 1 ，则： a a 2= k = a q 2 = a ，与数列的单调性矛盾； 41 3l即不存在满足题意的正整数k , l ，可见 a < a q 3不成立，从而 a = a q 3 ， 41412同理可得：a= a q4 , a= a q5 , ，从而数列{a }为等比数列，5 16 1 n同理，当数列中的项数均为负数时亦可证得数列为等比数列. 由推理过程易知数列中的项要么恒正要么恒负，不会同时出现正数和负数. 从而题中的结论得证，数列{a n}为等比数列.【点睛】本题主要考查数列的综合运用，等比数列的证明，数列性质的应用，数学归纳法与推理方法、不等式的性质的综合运用等知识，意在考查学生的转化能力和推理能力.。

北京市石景山区2020年高考一模数学试卷 (解析版)

2020年北京市石景山区高考数学一模试卷一、选择题（共10小题）1．设集合P＝{1，2，3，4}，Q＝{x|x|≤3，x∈R}，则P∩Q等于（）A．{1}B．{1，2，3}C．{3，4}D．{﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3}2．在复平面内，复数5+6i，3﹣2i对应的点分别为A，B．若C为线段AB的中点，则点C 对应的复数是（）A．8+4i B．2+8i C．4+2i D．1+4i3．下列函数中，既是奇函数又在区间（0，+∞）上单调递减的是（）A．y＝﹣x2+2B．y＝2﹣x C．y＝lnx D．4．圆x2+y2﹣2x﹣8y+13＝0的圆心到直线ax+y﹣1＝0的距离为1，则a＝（）A．B．C．D．25．将4位志愿者分配到博物馆的3个不同场馆服务，每个场馆至少1人，不同的分配方案有（）种A．36B．64C．72D．816．如图，网格纸的小正方形的边长是1，粗线表示一正方体被某平面截得的几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A．2B．4C．6D．87．函数（ω＞0）的最小正周期为π，则f（x）满足（）A．在上单调递增B．图象关于直线对称C．D．当时有最小值﹣18．设{a n}是等差数列，其前n项和为S n．则“S1+S3＞2S2”是“{a n}为递增数列”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件9．设f（x）是定义在R上的函数，若存在两个不等实数x1，x2∈R，使得，则称函数f（x）具有性质P，那么下列函数：①；②；f（x）＝x2③；f（x）＝|x2﹣1|，具有性质P的函数的个数为（）A．0B．1C．2D．310．点M，N分别是棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中棱BD，CC1的中点，动点P在正方形BCC1B1（包括边界）内运动．若PA1∥面AMN，则PA1的长度范围是（）A．B．C．D．[2，3]二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11．已知向量（，），（，），则∠ABC＝．12．已知各项为正数的等比数列{a n}中，a1＝1，其前n项和为，且，则S4＝．13．能够说明“设a，b是任意非零实数，若“a＞b，则”是假命题的一组整数a，b 的值依次为．14．已知F是抛物线C：y2＝4x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N，若M 为FN的中点，则|FN|＝．15．石景山区为了支援边远山区的教育事业，组织了一支由13名一线中小学教师组成的支教团队，记者采访其中某队员时询问这个团队的人员构成情况，此队员回答：①有中学高级教师；②中学教师不多于小学教师；③小学高级教师少于中学中级教师；④小学中级教师少于小学高级教师；⑤支教队伍的职称只有小学中级、小学高级、中学中级、中学高级；⑥无论是否把我计算在内，以上条件都成立．由此队员的叙述可以推测出他的学段及职称分别是、．三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16．如图，在正四棱锥P﹣ABCD中，AB＝PB＝2，AC∩BD＝O．（Ⅰ）求证：BO⊥面PAC；（Ⅱ）求二面角A﹣PC﹣B的余弦值．17．2020年，北京将实行新的高考方案，新方案规定：语文、数学和英语是考生的必考科目，考生还需从物理、化学、生物、历史、地理和政治六个科目中选取三个科目作为选考科目．若一个学生从六个科目中选出了三个科目作为选考科目，则称该学生的选考方案确定：否则，称该学生选考方案待确定，例如，学生甲选择“物理、化学和生物”三个选考科目，则学生甲的选考方案确定．“物理、化学和生物”为其选考方案．某校为了解高一年级840名学生选考科目的意向，随机选取60名学生进行了一次调查，统计选性别考科目人数如表：性别选考方案确定情况物理化学生物历史地理政治男生选考方案确定的有16人16168422选考方案待确定的有12人860200女生选考方案确定的有20人610201626选考方案待确定的有12人2810002（Ⅰ）估计该学校高一年级选考方案确定的学生中选考生物的学生有多少人？（Ⅱ）从选考方案确定的16名男生中随机选出2名，求恰好有一人选“物理、化学、生物”的概率；（Ⅲ）从选考方案确定的16名男生中随机选出2名．设随机变量，求ξ的分布列和期望．18．已知锐角△ABC，同时满足下列四个条件中的三个：①②a＝13③c＝15④（Ⅰ）请指出这三个条件，并说明理由；（Ⅱ）求△ABC的面积．19．已知椭圆的右焦点为F（1，0），离心率为．直线l过点F且不平行于坐标轴，l与C有两交点A，B，线段AB的中点为M．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值；（Ⅲ）延长线段OM与椭圆C交于点P，若四边形OAPB为平行四边形，求此时直线l 的斜率．20．已知函数，f（x）＝x2（x＞0），g（x）＝alnx（a＞0）．（Ⅰ）若f（x）＞g（x）恒成立，求实数a的取值范围；（Ⅱ）当a＝1时，过f（x）上一点（1，1）作g（x）的切线，判断：可以作出多少条切线，并说明理由．21．有限个元素组成的集合A＝{a1，a2，…，a n}，n∈N*，记集合A中的元素个数为card（A），即card（A）＝n．定义A+A＝{x+y|x∈A，y∈A}，集合A+A中的元素个数记为card（A+A），当card（A+A）时，称集合A具有性质P．（Ⅰ）A＝{1，4，7}，B＝{2，4，8}，判断集合A，B是否具有性质P，并说明理由；（Ⅱ）设集合A＝{a1，a2，a3，2020}．a1＜a2＜a3＜2020，且a i∈N*（i＝1，2，3），若集合A具有性质P，求a1+a2+a3的最大值；（Ⅲ）设集合A＝{a1，a2，…，a n}，其中数列{a n}为等比数列，a i＞0（i＝1，2，…，n）且公比为有理数，判断集合A是否具有性质P并说明理由．参考答案一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．设集合P＝{1，2，3，4}，Q＝{x|x|≤3，x∈R}，则P∩Q等于（）A．{1}B．{1，2，3}C．{3，4}D．{﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3}【分析】利用不等式的解法、集合运算性质即可得出．解：Q＝{x||x|≤3，x∈R}＝[﹣3，3]，P＝{1，2，3，4}，则P∩Q＝{1，2，3}．故选：B．【点评】本题考查了不等式的解法、集合运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2．在复平面内，复数5+6i，3﹣2i对应的点分别为A，B．若C为线段AB的中点，则点C 对应的复数是（）A．8+4i B．2+8i C．4+2i D．1+4i【分析】写出复数所对应点的坐标，有中点坐标公式求出C的坐标，则答案可求．解：因为复数5+6i，3﹣2i对应的点分别为A（5，6），B（3，﹣2）．且C为线段AB的中点，所以C（4，2）．则点C对应的复数是4+2i．故选：C．【点评】本题考查了中点坐标公式，考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．3．下列函数中，既是奇函数又在区间（0，+∞）上单调递减的是（）A．y＝﹣x2+2B．y＝2﹣x C．y＝lnx D．【分析】结合函数奇偶性及单调性的定义对各选项进行检验即可判断．解：y＝2﹣x2为偶函数，不符合题意；y＝2﹣x，y＝lnx为非奇非偶函数，不符合题意；结合反比例函数的性质可知，y为奇函数，且在（0，+∞）上单调递减．故选：D．【点评】本题主要考查了函数奇偶性及单调性的判断，属于基础试题．4．圆x2+y2﹣2x﹣8y+13＝0的圆心到直线ax+y﹣1＝0的距离为1，则a＝（）A．B．C．D．2【分析】求出圆心坐标，代入点到直线距离方程，解得答案．解：圆x2+y2﹣2x﹣8y+13＝0的圆心坐标为：（1，4），故圆心到直线ax+y﹣1＝0的距离d1，解得：a，故选：A．【点评】本题考查的知识点是圆的一般方程，点到直线的距离公式，难度中档．5．将4位志愿者分配到博物馆的3个不同场馆服务，每个场馆至少1人，不同的分配方案有（）种A．36B．64C．72D．81【分析】根据题意，分2步进行分析：①，将4位志愿者分为3组，②，将分好的三组全排列，对应3个不同场馆服务，由分步计算原理计算可得答案．解：根据题意，分2步进行分析：①，将4位志愿者分为3组，有C42＝6种情况，②，将分好的三组全排列，对应3个不同场馆服务，有A33＝6种情况，则有6×6＝36种不同的分配方案；故选：A．【点评】本题考查排列组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题．6．如图，网格纸的小正方形的边长是1，粗线表示一正方体被某平面截得的几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A．2B．4C．6D．8【分析】由题意，直观图如图所示，由图可知该几何体的体积为为正方体的一半．解：由题意，直观图如图所示，由图可知该几何体的体积为为正方体的一半，即为2×2×2＝4．故选：B．【点评】本题考查由三视图求体积，考查学生的计算能力，确定几何体的形状是关键．7．函数（ω＞0）的最小正周期为π，则f（x）满足（）A．在上单调递增B．图象关于直线对称C．D．当时有最小值﹣1【分析】根据函数f（x）的最小正周期求出ω的值，写出f（x）的解析式，再判断四个选项是否正确即可．解：函数（ω＞0）的最小正周期为Tπ，∴ω＝2，∴f（x）＝cos（2x）；当x∈（0，）时，2x∈（，），f（x）单调递减，∴A错误；x时，2x，f（）＝0，其图象不关于直线对称，B错误；f（）＝cos（2），C错误；x时，f（x）＝cos（2）＝﹣1，D正确．故选：D．【点评】本题考查了余弦函数的图象与性质的问题，是基础题．8．设{a n}是等差数列，其前n项和为S n．则“S1+S3＞2S2”是“{a n}为递增数列”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】先化简，再判断单调性．解：由{a n}是等差数列，S1+S3＞2S2，化简得a3＞a2，即d＞0，则{a n}为递增数列，则“S1+S3＞2S2”是“{a n}为递增数列”的充分必要条件，故选：C．【点评】本题考查数列，以及充要性，属于基础题．9．设f（x）是定义在R上的函数，若存在两个不等实数x1，x2∈R，使得，则称函数f（x）具有性质P，那么下列函数：①；②；f（x）＝x2③；f（x）＝|x2﹣1|，具有性质P的函数的个数为（）A．0B．1C．2D．3【分析】根据题意，找出存在的点，如果找不出则需证明．解：①：因为函数是奇函数，可找关于原点对称的点，比如f（）＝f（0），存在；②：假设存在x 1，x2∈R，使得，即，得x1＝x2，矛盾，故不存在；③：函数为偶函数，f（0）＝1，令f（x）＝|x2﹣1|＝0，x，则f（）＝f（0）＝1，存在．故选：C．【点评】本题考查学生的理解能力，以及证明，属于中档题．10．点M，N分别是棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中棱BD，CC1的中点，动点P在正方形BCC1B1（包括边界）内运动．若PA1∥面AMN，则PA1的长度范围是（）A．B．C．D．[2，3]【分析】取B1C1的中点E，BB1的中点F，连结A1E，A1F，EF，取EF中点O，连结A1O，推导出平面AMN∥平面A1EF，从而点P的轨迹是线段EF，由此能求出PA1的长度范围．解：取B1C1的中点E，BB1的中点F，连结A1E，A1F，EF，取EF中点O，连结A1O，∵点M，N分别是棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中棱BC，CC1的中点，∴AM∥A1E，MN∥EF，∵AM∩MN＝M，A1E∩EF＝E，∴平面AMN∥平面A1EF，∵动点P在正方形BCC1B1（包括边界）内运动，且PA1∥面AMN，∴点P的轨迹是线段EF，∵A1E＝A1F，EF，∴A1O⊥EF，∴当P与O重合时，PA1的长度取最小值A1O，当P与E（或F）重合时，PA1的长度取最大值为A1E＝A1F．∴PA1的长度范围为[，]．故选：B．【点评】本题考查线段长度的取值范围的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11．已知向量（，），（，），则∠ABC＝．【分析】运用向量的数量积的坐标表示可得可得•，由向量的模公式可得||＝||，再由cos∠ABC，计算即可得到所求值．解：向量（，），（，），可得•，||＝||1，可得cos∠ABC，由0≤∠ABC≤π，可得∠ABC．故答案为：．【点评】本题考查向量的数量积的坐标表示和模的公式，考查夹角的求法，以及化简整理的运算能力，属于基础题．12．已知各项为正数的等比数列{a n}中，a1＝1，其前n项和为，且，则S4＝15．【分析】由题意先求出公比，再根据前n项和公式计算即可．解：正项等比数列{a n}中，a1＝1，且，∴1，即q2﹣q﹣2＝0，解得q＝2或q＝﹣1（舍去），∴S415，故答案为：15．【点评】本题考查了等比数列的前n项和公式，属于基础题．13．能够说明“设a，b是任意非零实数，若“a＞b，则”是假命题的一组整数a，b 的值依次为2，﹣1．【分析】可看出，取a＝2，b＝﹣1时，可说明”a＞b，则”是假命题．解：取a＝2，b＝﹣1时，可得出“a＞b，则“不成立，即该命题为假命题．故答案为：2，﹣1．【点评】本题考查了真假命题的定义，举反例说明一个命题是假命题的方法，考查了推理能力，属于基础题．14．已知F是抛物线C：y2＝4x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N，若M 为FN的中点，则|FN|＝3．【分析】求出抛物线的焦点坐标，推出M坐标，然后求解即可．解：抛物线C：y2＝4x的焦点F（1，0），M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N．若M为FN的中点，可知M的横坐标为：，则|FM|1＝1，|FN|＝2|FM|＝2×13．故答案为：3．【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，考查计算能力．15．石景山区为了支援边远山区的教育事业，组织了一支由13名一线中小学教师组成的支教团队，记者采访其中某队员时询问这个团队的人员构成情况，此队员回答：①有中学高级教师；②中学教师不多于小学教师；③小学高级教师少于中学中级教师；④小学中级教师少于小学高级教师；⑤支教队伍的职称只有小学中级、小学高级、中学中级、中学高级；⑥无论是否把我计算在内，以上条件都成立．由此队员的叙述可以推测出他的学段及职称分别是小学、中级．【分析】设小学中级、小学高级、中学中级、中学高级人数分别为a，b，c，d，根据条件建立不等式组关系，分别讨论队长的学段和职称是否满足不等式组即可．解：设小学中级、小学高级、中学中级、中学高级人数分别为a，b，c，d，则，所以13﹣（a+b）≤a+b，a+b≥7，c+d≤6，若a+b＝7，则c+d＝6，∵a＜b，∴a＝3，b＝4，c＝5，d＝1，若a+b≥8，则c+d≤5，∵d≥1，∴c≤4，∵b＜c，∴b≤3，a≥5＞b矛盾，若队长为小学中级时，去掉队长则a＝2，b＝4，c＝5，d＝1，满足d＝1≥1，c+d＝6≤a+b＝4，b＝4≤c＝5，a＝2＜b＝4；若队长为小学高级时，去掉队长则a＝3，b＝3，c＝5，d＝1，不满足a＜b；若队长为中学中级时，去掉队长则a＝3，b＝4，c＝4，d＝1，不满足b＜c；若队长为中学高级时，去掉队长则a＝3，b＝3，c＝5，d＝0，不满足d≥1；综上可得队长为小学中级．故答案为：小学中级．【点评】本题主要考查合情推理的应用，结合不等式组，利用分类讨论的数学是解决本题的关键．三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16．如图，在正四棱锥P﹣ABCD中，AB＝PB＝2，AC∩BD＝O．（Ⅰ）求证：BO⊥面PAC；（Ⅱ）求二面角A﹣PC﹣B的余弦值．【分析】（Ⅰ）连结PO，推导出PO⊥BO，BO⊥AC，由此能证明BO⊥面PAC．（Ⅱ）由PO，AO，BO两两垂直，以O为坐标原点建立空间直角坐标系，利用向量法能法出二面角A﹣PC﹣B的余弦值．解：（Ⅰ）证明：连结PO，在正四棱锥P﹣ABCD中，PO⊥底面ABCD，∵BO⊂底面ABCD，∴PO⊥BO，在正方形ABCD中，BO⊥AC，∵PO∩AC＝O，∴BO⊥面PAC．（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知PO，AO，BO两两垂直，以O为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系，在正方形ABCD中，∵AB＝2，∴AO＝2，∵PB＝2，∴PO＝2，∴P（0，0，2），C（﹣2，0，0），B（0，2，0），∴（﹣2，0，﹣2），（2，2，0），由（1）知BO⊥平面PAC，∴平面PAC的一个法向量（0，2，0），设平面PBC的一个法向量（x，y，z），则，取x＝﹣1，得（﹣1，1，1），设二面角A﹣PC﹣B的平面角为θ，则cosθ．∴二面角A﹣PC﹣B的余弦值为．【点评】本题考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．17．2020年，北京将实行新的高考方案，新方案规定：语文、数学和英语是考生的必考科目，考生还需从物理、化学、生物、历史、地理和政治六个科目中选取三个科目作为选考科目．若一个学生从六个科目中选出了三个科目作为选考科目，则称该学生的选考方案确定：否则，称该学生选考方案待确定，例如，学生甲选择“物理、化学和生物”三个选考科目，则学生甲的选考方案确定．“物理、化学和生物”为其选考方案．某校为了解高一年级840名学生选考科目的意向，随机选取60名学生进行了一次调查，统计选性别考科目人数如表：性别选考方案确定情况物理化学生物历史地理政治男生选考方案确定的有16人16168422选考方案待确定的有12人860200女生选考方案确定的有20人610201626选考方案待确定的有12人2810002（Ⅰ）估计该学校高一年级选考方案确定的学生中选考生物的学生有多少人？（Ⅱ）从选考方案确定的16名男生中随机选出2名，求恰好有一人选“物理、化学、生物”的概率；（Ⅲ）从选考方案确定的16名男生中随机选出2名．设随机变量，求ξ的分布列和期望．【分析】（Ⅰ）由数据知，60人中选考方案确定的学生中选考生物的学生有8+20＝28人，由此能求出该学校高一年级选考方案确定的学生中选考生物的学生人数．（Ⅱ）选考方案中确定且为“物理、化学、生物”的男生共有8人，设“恰好有一人选考物理、化学、生物”为事件A，由此能求出恰好有一人选“物理、化学、生物”的概率．（Ⅲ）由数据知，选考方案确定的男生中有8人选择物理、化学和生物，有4人选择物理、化学和历史，有2人选择物理、化学和地理，有2人选择物理、化学和政治，ξ的可能取值为0，1，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和Eξ．解：（Ⅰ）由数据知，60人中选考方案确定的学生中选考生物的学生有8+20＝28人，∴该学校高一年级选考方案确定的学生中选考生物的学生有：840392人．（Ⅱ）选考方案中确定且为“物理、化学、生物”的男生共有8人，设“恰好有一人选考物理、化学、生物”为事件A，则恰好有一人选“物理、化学、生物”的概率：P（A）．（Ⅲ）由数据知，选考方案确定的男生中有8人选择物理、化学和生物，有4人选择物理、化学和历史，有2人选择物理、化学和地理，有2人选择物理、化学和政治，ξ的可能取值为0，1，P（ξ＝0），P（ξ＝1），∴ξ的分布列为：ξ01P∴Eξ．【点评】本题考查概率、离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查频数分布表、古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．18．已知锐角△ABC，同时满足下列四个条件中的三个：①②a＝13③c＝15④（Ⅰ）请指出这三个条件，并说明理由；（Ⅱ）求△ABC的面积．【分析】（Ⅰ）根据内角和定理和正余弦定理进行推导即可；（Ⅱ）根据（Ⅰ）可知，同时满足①②③，所以先利用余弦定理求出b，然后代入面积公式即可．解：（Ⅰ）△ABC同时满足①②③．理由：若△ABC同时满足①④，因为是锐角三角形，所以sin C，∴，结合，∴B．与题设矛盾．故△ABC同时满足①④不成立；所以△ABC同时满足②③．因为c＞a，所以C＞A，满足④．则，∴，与题设矛盾，故此时不满足④．∴△ABC同时满足①②③．（Ⅱ）因为a2＝b2+c2﹣2bc cos A，所以．解得b＝8或7．当b＝7时，，C为钝角，与题设矛盾．所以b＝8，．【点评】本题考查利用正余弦定理、三角形中如内角和定理、大边对大角等基础知识．同时考查了学生的逻辑推理、数学运算等数学核心素养．属于中档题．19．已知椭圆的右焦点为F（1，0），离心率为．直线l过点F 且不平行于坐标轴，l与C有两交点A，B，线段AB的中点为M．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值；（Ⅲ）延长线段OM与椭圆C交于点P，若四边形OAPB为平行四边形，求此时直线l 的斜率．【分析】（Ⅰ）由题可知，c＝1，，再结合a2＝b2+c2，解出a和b的值即可得解；（Ⅱ）设直线l的方程为y＝k（x﹣1）（k≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），联立直线l的方程和椭圆的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，写出两根之和与系数的关系；由于M为线段AB的中点，利用中点坐标公式可用k表示点M的坐标，利用可求出直线OM的斜率，进而得解；（Ⅲ）若四边形OAPB为平行四边形，则，利用平面向量的线性坐标运算可以用k表示点P的坐标，再将其代入椭圆方程即可得到关于k的方程，解之即可得解．解：（Ⅰ）由题意可知，c＝1，，∵a2＝b2+c2，∴，∴椭圆的方程为．（Ⅱ）设直线l的方程为y＝k（x﹣1）（k≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），联立，消去y得，（2k2+1）x2﹣4k2x+2k2﹣2＝0，则，∵M为线段AB的中点，∴，，∴，∴为定值．（Ⅲ）若四边形OAPB为平行四边形，则，∴，，∵点P在椭圆上，∴，解得，即，∴当四边形OAPB为平行四边形时，直线l的斜率为．【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系，涉及曲直联立、中点坐标公式、平面向量的坐标运算等知识点，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．20．已知函数，f（x）＝x2（x＞0），g（x）＝alnx（a＞0）．（Ⅰ）若f（x）＞g（x）恒成立，求实数a的取值范围；（Ⅱ）当a＝1时，过f（x）上一点（1，1）作g（x）的切线，判断：可以作出多少条切线，并说明理由．【分析】（Ⅰ）令h（x）＝f（x）﹣g（x）＝x2﹣alnx（x＞0），则h′（x），利用当x变化时，h′（x），h（x）的变化情况可得当0＜a＜2e时，h（x）＞0恒成立，即f（x）＞g（x）恒成立；（Ⅱ）当a＝1时，g（x）＝lnx，设过点（1，1）的直线l与g（x）＝lnx相切于点P（x0，y0），则，整理得x0lnx0﹣2x0+1＝0，令m（x）＝xlnx﹣2x+1，则m（x）在（0，+∞）上的零点个数与切点P的个数一一对应，m′（x）＝lnx﹣1，令m′（x）＝lnx﹣1＝0解得x＝e．通过对x变化时，m′（x），m（x）的变化情况的分析，可得答案．解：令h（x）＝f（x）﹣g（x）＝x2﹣alnx（x＞0），所以h′（x）＝2x，令h′（x）0，解得x，当x变化时，h′（x），h（x）的变化情况如下表：x（0，）（，+∞）h′（x），﹣0+h （x），减极小值增所以在（0，+∞）的最小值为h （）aln ln，令h （）＞0，解得0＜a＜2e，所以当0＜a＜2e时，h（x）＞0恒成立，即f（x）＞g（x）恒成立．（Ⅱ）可作出2条切线．理由如下：当a＝1时，g（x）＝lnx，设过点（1，1）的直线l与g（x）＝lnx相切于点P（x0，y0），g′（x0），即，整理得x0lnx0﹣2x0+1＝0，令m（x）＝xlnx﹣2x+1，则m（x）在（0，+∞）上的零点个数与切点P的个数一一对应，m′（x）＝lnx﹣1，令m′（x）＝lnx﹣1＝0解得x＝e．当x变化时，m′（x），m（x）的变化情况如下表：x（0，e）e（e，+∞）m′（x）﹣0+m（x）减极小增值所以m（x）在（0，e）上单调递减，在（e，+∞）上单调递增，且m （）ln 11＞0，m（e）＝elne﹣2e+1＝﹣e+1＜0，m（e2）＝e2lne2﹣2e2+1＝1＞0，所以m（x ）在（，e）和（e，e2）上各有一个零点，即xlnx﹣2x+1＝0有两个不同的解，所以过点（1，1）可以作出2条切线．【点评】本题考查利用导数求曲线上某点的切线方程，利用导数求不等式恒成立问题，考查逻辑思维能力与综合运算能力，属于难题．21．有限个元素组成的集合A＝{a1，a2，…，a n}，n∈一、选择题*，记集合A中的元素个数为card（A），即card（A）＝n．定义A+A＝{x+y|x∈A，y∈A}，集合A+A中的元素个数记为card（A+A），当card（A+A ）时，称集合A具有性质P．（Ⅰ）A＝{1，4，7}，B＝{2，4，8}，判断集合A，B是否具有性质P，并说明理由；（Ⅱ）设集合A＝{a1，a2，a3，2020}．a1＜a2＜a3＜2020，且a i∈N*（i＝1，2，3），若集合A具有性质P，求a1+a2+a3的最大值；（Ⅲ）设集合A＝{a1，a2，…，a n}，其中数列{a n}为等比数列，a i＞0（i＝1，2，…，n）且公比为有理数，判断集合A是否具有性质P并说明理由．【分析】（Ⅰ）由已知集合结合定义求得A+A与B+B，再由性质P的概念判断；（Ⅱ）首先说明若三个数a，b，c成等差数列，则A＝{a，b，c}不具有性质P，由a1＜a2＜a3＜2020，得a3≤2019，结合集合A具有性质P依次求出a3＝2019，a2＝2017，a1＝2014，可得a1+a2+a3的最大值；（Ⅲ）设等比数列的公比为q ，得（a1＞0）且q为有理数，假设当i＜k≤l＜j时有a i+a j＝a k+a l成立，则有q j﹣i＝q k﹣i+q l﹣i﹣1，设q（m，n∈N*且m与n互质），因此有1，整理后出现矛盾，说明a i+a j＝a k+a l不成立，得到card（A+A），说明集合A具有性质P．解：（Ⅰ）集合A不具有性质P，集合B具有性质P．事实上，∵A＝{1，4，7}，∴A+A＝{2，5，8，11，14}，card（A+A）＝5，故A不具有性质P；∵B＝{2，4，8}，∴B+B＝{4，6，8，10，12，16}，card（B+B）＝6，故B 具有性质P．（Ⅱ）若三个数a，b，c成等差数列，则A＝{a，b，c}不具有性质P，理由是a+c＝2b．∵a1＜a2＜a3＜2020，且a i∈N*（i＝1，2，3），∴a3≤2019，要使a1+a2+a3取最大，则a3＝2019，a2≤2018，易知{2018，2019，2020}不具有性质P，要使a1+a2+a3取最大，则a2＝2017，a1≤2016，要使a1+a2+a3取最大，检验可得a1＝2014；∴（a1+a2+a3）max＝6050；（Ⅲ）集合A具有性质P．设等比数列的公比为q，∴（a1＞0）且q为有理数．假设当i＜k≤l＜j时有a i+a j＝a k+a l成立，则有q j﹣i＝q k﹣i+q l﹣i﹣1．∵q为有理数，设q（m，n∈N*且m与n互质），因此有1，即m j﹣i＝m k﹣i n j﹣k+m l﹣i n j﹣l﹣n j﹣i．上式左边是m的倍数，右边是n的倍数，而m与n互质，显然a i+a j＝a k+a l不成立．∴card（A+A），故集合A具有性质P．【点评】本题是新定义题，考查等差数列与等比数列的性质，考查逻辑思维能力与推理论证能力，属难题．。

2020北京西城区一模高考数学试卷及答案

2020北京西城区高三一模数学 2020.4本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分,第Ⅰ卷1至2页,第Ⅱ卷3至6页,共150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效。

考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷(选择题共40分)一、选择题:本大题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1.设集合A={x|x<3},B={x|x<0,或x>2},则A∩B=(A)(−∞,0) (B)(2,3)(C)(−∞,0)∪(2,3)(D)(−∞,3)2.若复数z=(3−i)(1+i),则|z|=(A)2√2(B)2√5(C)√10(D)203.下列函数中,值域为R且为奇函数的是(A)y=x+2(B)y=sinx(C)y=x−x3(D)y=2x4.设等差数列{a n}的前n项和为S n,若a3=2,a1+a4=5,则S6=(A)10 (B)9 (C)8 (D)75.设A(2,−1),B(4,1),则以线段AB为直径的圆的方程是(A)(x−3)2+y2=2(B))(x−3)2+y2=8(C)(x+3)2+y2=2(D) (x+3)2+y2=86.设a,b,c为非零实数,且a>c,b>c,则(A)a+b>c(B)ab>c2(C)a+b2>c(D)1a+1b>2c7.某四棱锥的三视图如图所示,记S 为此棱锥所有棱的长度的集合,则 (A)2√2∉S,且2√3∉S (B)2√2∉S,且2√3∈S (C)2√2∈S,且2√3∉S (D)2√2∈S,且2√3∈S8.设a,b 为非零向量,则“|a +b|=|a|+|b|”是“a 与b 共线”的 (A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件 (C)充要条件(D)既不充分也不必要条件9.已知函数f(x)=sinx1+2sinx的部分图象如图所示,将此图象分别作以下变换,那么变换后的图象可以与原图象重合的变换方式有①绕着x 轴上一点旋转180°; ②沿x 轴正方向平移; ③以x 轴为轴作轴对称;④以x 轴的某一条垂线为轴作轴对称. (A)①③(B)③④(C)②③(D)②④10.设函数f(x)={x 2+10x +1,x ≤0|lgx |, x >0若关于x 的方程f(x)=a(a ∈R)有四个实数解x i (i =1,2,3,4),其中x 1<x 2<x 3<x 4,则(x 1+x 2)(x 3−x 4)的取值范围是 (A)(0,101] (B)(0,99](C)(0,100](D)(0,+∞)第Ⅱ卷(非选择题共110分)二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分. 11.在(x +1x )6的展开式中,常数项为.(用数字作答)12.若向量a =(x 2,2),b =(1,x)满足a ·b <3,则实数x 的取值范围是. 13.设双曲线x 24−y 2b 2=1(b >0)的一条渐近线方程为y =√22x ,则该双曲线的离心率为.)的最小正周期为;若函数f(x)在区间(0,α)上单调递增,则α的最大值为14.函数f(x)=sin(2x+π4.15.在一次体育水平测试中,甲、乙两校均有100名学生参加,其中:甲校男生成绩的优秀率为70%,女生成绩的优秀率为50%;乙校男生成绩的优秀率为60%,女生成绩的优秀率为40%.对于此次测试,给出下列三个结论:①甲校学生成绩的优秀率大于乙校学生成绩的优秀率;②甲、乙两校所有男生成绩的优秀率大于甲、乙两校所有女生成绩的优秀率;③甲校学生成绩的优秀率与甲、乙两校所有学生成绩的优秀率的大小关系不确定.其中,所有正确结论的序号是.三、解答题:本大题共6小题,共85分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.16.(本小题满分14分)如图,在四棱柱ABCD−A1B1C1D1中,AA1⊥平面ABCD,底面ABCD满足AD∥BC,且AB=AD=AA1=2,BD= DC=2√2.(Ⅰ)求证:AB⊥平面ADD1A1;(Ⅱ)求直线AB与平面B1CD1所成角的正弦值.17.(本小题满分14分),求sinC的值及△ABC的面积.已知△ABC满足,且b=√6,A=2π3从①B=π,②a=√3,③a=3√2sinB这三个条件中选一个,补充到上面问题中,并完成解答.4注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.2019年底,北京2022年冬奥组委会启动志愿者全球招募,仅一个月内报名人数便突破60万,其中青年学生约有50万人.现从这50万青年学生志愿者中,按男女分层抽样随机选取20人进行英语水平测试,所得成绩(单位:分)统计结果用茎叶图记录如下:(Ⅰ)试估计在这50万青年学生志愿者中,英语测试成绩在80分以上的女生人数;(Ⅱ)从选出的8名男生中随机抽取2人,记其中测试成绩在70分以上的人数为X,求X的分布列和数学期望;(Ⅲ)为便于联络,现将所有的青年学生志愿者随机分成若干组(每组人数不少于5000),并在每组中随机选取m个人作为联络员,要求每组的联络员中至少有1人的英语测试成绩在70分以上的概率大于90%.根据图表中数据,以频率作为概率,给出m的最小值.(结论不要求证明)19.(本小题满分14分)设函数f(x)=alnx+x2−(a+2)x,其中a∈R.,求a的值;(Ⅰ)若曲线y=f(x)在点(2,f(2))处切线的倾斜角为π4(Ⅱ)已知导函数f′(x)在区间(1,e)上存在零点,证明:当x∈(1,e)时,f(x)>−e2.设椭圆E:x 22+y2=1,直线l1经过点M(m,0),直线l2经过点N(n,0),直线l1∥直线l2,且直线l1,l2分别与椭圆E相交于A,B两点和C,D两点.(Ⅰ)若M,N分别为椭圆E的左、右焦点,且直线l1⊥x轴,求四边形ABCD的面积;(Ⅱ)若直线l1的斜率存在且不为0,四边形ABCD为平行四边形,求证:m+n=0;(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,判断四边形ABCD能否为矩形,说明理由.21.(本小题满分14分)对于正整数n,如果k(k∈N∗)个整数a1,a2,…,a k满足1≤a1≤a2≤⋯≤a k≤n,且a1+a2+⋯+a k=n,则称数组(a1,a2,…,a k)为n的一个“正整数分拆”.记a1,a2,…,a k均为偶数的“正整数分拆”的个数为f n,a1,a2,…,a k均为奇数的“正整数分拆”的个数为g n.(Ⅰ)写出整数4的所有“正整数分拆”;(Ⅱ)对于给定的整数n(n≥4),设(a1,a2,…,a k)是n的一个“正整数分拆”,且a1=2,求k的最大值;(Ⅲ)对所有的正整数n,证明:f n≤g n;并求出使得等号成立的n的值.(注:对于n的两个“正整数分拆”(a1,a2,…,a k)与(b1,b2,…,b m),当且仅当k=m且a1=b1,a2=b2,…,a k=b m 时,称这两个“正整数分拆”是相同的.)2020北京西城区高三一模数学参考答案一、选择题：（本题满分40份）16.（本小题满分14份）（1）证明：在∆ABD中，AB=AD=2，BD=2√2有勾股定理得，∠BAD=90°∴AB⊥ADAA1⊥平面ABCD，AB⊆平面ABCD，∴AA1⊥AB又∵AA1∩AD=A∴AB⊥平面ADD1A1（2）解：由（1）知，AB，AD，AA1两两垂直，分别以AB，AD，AA1为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则A (0,0,0),B (2,0,0),C (2,4,0),B 1(2,0,2),D 1(0,2,2)∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0,0),B 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,4,−2),B 1D 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,2,0)设平面B 1CD 1的法向量为n ⃗ =(x,y,z) ∴{n ⃗ ·B 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，n ⃗ ·B 1D 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0.即{4y −2z =0−2x +2y =0令x =1,则y =1,z =2∴n ⃗ =(1,1,2)设直线AB 与平面B 1CD 1所成角为θ，∴sinθ=|cos <AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,n ⃗ >|=|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·n ⃗ |AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |·|n ⃗ ||=|22×√6|=√6617.（本小题满分14份）当选择条件①时：∵B =π4，A =2π3， sinC =sin (A +B )=sinAcosB +cosAsinB =√32×√22−12×√22=√6−√24由正弦定理得，a sinA =b sinB ,即√32=√6√22得，a =3∴S ∆ABC =12absinC =9−3√34当条件选择②时：已知a =√3,b =√6,A =2π3∵a <b,A <B,且A 为钝角，所以无解。

2020年北京市东城区高考数学一模试卷 (解析版)

2020年高考数学一模试卷一、选择题1．已知集合A＝{x|x﹣1＞0}，B＝{﹣1，0，1，2}，那么A∩B＝（）A．{﹣1，0}B．{0，1}C．{﹣1，0，1，2}D．{2} 2．函数f(x)=√x−2x2+1的定义域为（）A．（﹣1，2]B．[2，+∞）C．（﹣∞，﹣1）∪[1，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪[2，+∞）3．已知21+ai=1−i(a∈R)，则a＝（）A．1B．0C．﹣1D．﹣24．若双曲线C：x2−y2b2=1(b＞0)的一条渐近线与直线y＝2x+1平行，则b的值为（）A．1B．√2C．√3D．25．如图所示，某三棱锥的正（主）视图、俯视图、侧（左）视图均为直角三角形，则该三棱锥的体积为（）A．4B．6C．8D．126．已知x＜﹣1，那么在下列不等式中，不成立的是（）A．x2﹣1＞0B．x+1x＜−2C．sin x﹣x＞0D．cos x+x＞07．在平面直角坐标系中，动点M在单位圆上按逆时针方向作匀速圆周运动，每12分钟转动一周．若点M的初始位置坐标为(12，√32)，则运动到3分钟时，动点M所处位置的坐标是（）A．(√32，12)B．(−12，√32)C．(−√32，12)D．(−√32，−12)8．已知三角形ABC，那么“|AB→+AC→|＞|AB→−AC→|”是“三角形ABC为锐角三角形”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件9．设O为坐标原点，点A（1，0），动点P在抛物线y2＝2x上，且位于第一象限，M是线段PA的中点，则直线OM的斜率的范围为（）A．（0，1]B．(0，√22)C．(0，√22]D．[√22，+∞) 10．假设存在两个物种，前者有充足的食物和生存空间，而后者仅以前者为食物，则我们称前者为被捕食者，后者为捕食者．现在我们来研究捕食者与被捕食者之间理想状态下的数学模型．假设捕食者的数量以x（t）表示，被捕食者的数量以y（t）表示．如图描述的是这两个物种随时间变化的数量关系，其中箭头方向为时间增加的方向．下列说法正确的是：（）A．若在t1，t2时刻满足：y（t1）＝y（t2），则x（t1）＝x（t2）B．如果y（t）数量是先上升后下降的，那么x（t）的数量一定也是先上升后下降C．被捕食者数量与捕食者数量不会同时到达最大值或最小值D．被捕食者数量与捕食者数量总和达到最大值时，被捕食者的数量也会达到最大值二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．11．已知向量a→=（m，1），b→=（1，﹣2），c→=（2，3），若a→−b→与c→共线，则实数m ＝．12．在（x+2x）6的展开式中常数项为．（用数字作答）13．圆心在x轴上，且与直线l1：y＝x和l2：y＝x﹣2都相切的圆的方程为．14．△ABC是等边三角形，点D在边AC的延长线上，且AD＝3CD，BD=2√7，则CD＝，sin∠ABD＝．15．设函数f(x)={a(x+1)，x＜0，2x−a+2a−x，x≥0．给出下列四个结论：①对∀a＞0，∃t∈R，使得f（x）＝t无解；②对∀t＞0，∃a∈R，使得f（x）＝t有两解；③当a＜0时，∀t＞0，使得f（x）＝t有解；④当a＞2时，∃t∈R，使得f（x）＝t有三解．其中，所有正确结论的序号是．三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥面ABCD，底面ABCD为平行四边形，AB⊥AC，AB＝AC＝1，PD＝1．（Ⅰ）求证：AD∥平面PBC；（Ⅱ）求二面角D﹣PC﹣B的余弦值的大小．17．已知函数f(x)=asin(2x−π6)−2cos2(x+π6)(a＞0)，且满足_______．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式及最小正周期；（Ⅱ）若关于x的方程f（x）＝1在区间[0，m]上有两个不同解，求实数m的取值范围．从①f（x）的最大值为1，②f（x）的图象与直线y＝﹣3的两个相邻交点的距离等于π，③f（x）的图象过点(π6，0)这三个条件中选择一个，补充在上面问题中并作答．18．中国北斗卫星导航系统是中国自行研制的全球卫星导航系统，预计2020年北斗全球系统建设将全面完成．下图是在室外开放的环境下，北斗二代和北斗三代定位模块，分别定位的50个点位的横、纵坐标误差的值，其中“•”表示北斗二代定位模块的误差的值，“+”表示北斗三代定位模块的误差的值．（单位：米）（Ⅰ）从北斗二代定位的50个点位中随机抽取一个，求此点横坐标误差的值大于10米的概率；（Ⅱ）从图中A，B，C，D四个点位中随机选出两个，记X为其中纵坐标误差的值小于﹣4的点位的个数，求X的分布列和数学期望；（Ⅲ）试比较北斗二代和北斗三代定位模块纵坐标误差的方差的大小．（结论不要求证明）19．已知椭圆E：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)，它的上，下顶点分别为A，B，左，右焦点分别为F1，F2，若四边形AF1BF2为正方形，且面积为2．（Ⅰ）求椭圆E的标准方程；（Ⅱ）设存在斜率不为零且平行的两条直线l1，l2，它们与椭圆E分别交于点C，D，M，N，且四边形CDMN是菱形，求出该菱形周长的最大值．20．已知函数f（x）＝x（lnx﹣ax）（a∈R）．（Ⅰ）若a＝1，求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）若f（x）有两个极值点，求实数a的取值范围；（Ⅲ）若a＞1，求f（x）在区间（0，2a]上的最小值．21．数列A：x1，x2，x3，…，x n，…，对于给定的t（t＞1，t∈N+），记满足不等式：x n﹣x t≥t*（n﹣t）（∀n∈N+，n≠t）的t*构成的集合为T（t）．（Ⅰ）若数列A：x n＝n2，写出集合T（2）；（Ⅱ）如果T（t）（t∈N+，t＞1）均为相同的单元素集合，求证：数列x1，x2，…，x n，…为等差数列；（Ⅲ）如果T（t）（t∈N+，t＞1）为单元素集合，那么数列x1，x2，…，x n，…还是等差数列吗？如果是等差数列，请给出证明；如果不是等差数列，请给出反例．参考答案一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知集合A＝{x|x﹣1＞0}，B＝{﹣1，0，1，2}，那么A∩B＝（）A．{﹣1，0}B．{0，1}C．{﹣1，0，1，2}D．{2}【分析】可以求出集合A，然后进行交集的运算即可．解：∵A＝{x|x＞1}，B＝{﹣1，0，1，2}，∴A∩B＝{2}．故选：D．【点评】本题考查了描述法、列举法的定义，交集的运算，考查了计算能力，属于基础题．2．函数f(x)=√x−2x2+1的定义域为（）A．（﹣1，2]B．[2，+∞）C．（﹣∞，﹣1）∪[1，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪[2，+∞）【分析】根据二次根式被开方数大于或等于0，列不等式求出解集即可．解：函数f(x)=√x−2x2+1，令x−2x2+1≥0，得x﹣2≥0，解得x≥2，所以f（x）的定义域为[2，+∞）．故选：B．【点评】本题考查了根据二次根式被开方数大于或等于0求函数定义域的问题，是基础题．3．已知21+ai=1−i(a∈R)，则a＝（）A．1B．0C．﹣1D．﹣2【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简，然后利用复数相等的条件求解a值．解：∵21+ai=1−i，∴2＝（1+ai ）（1﹣i ）＝1+a +（a ﹣1）i ，∴{1+a =2a −1=0，即a ＝1．故选：A ．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数相等的条件，是基础题． 4．若双曲线C ：x 2−y 2b 2=1(b ＞0)的一条渐近线与直线y ＝2x +1平行，则b 的值为（） A ．1 B ．√2 C ．√3 D ．2【分析】利用双曲线的渐近线方程，得到关系式，求解即可．解：双曲线C ：x 2−y 2b 2=1(b ＞0)的一条渐近线y ＝bx 与直线y ＝2x +1平行，可得b ＝2．故选：D ．【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查，基础题．5．如图所示，某三棱锥的正（主）视图、俯视图、侧（左）视图均为直角三角形，则该三棱锥的体积为（）A ．4B ．6C ．8D ．12【分析】几何体是一个三棱锥，根据三视图的数据，画出直观图，求解体积即可．解：由三视图知，几何体是一个三棱锥，D 1﹣BCD ，根据三棱锥的三视图的面积，设出三棱锥两两垂直的三条侧棱分别是DC ＝4，BC ＝3，DD 1＝2∴三棱锥的体积是13×12×4×3×2＝4故选：A ．【点评】本题考查由三视图求几何体的体积，考查由三视图还原平面图形，是基础题．6．已知x＜﹣1，那么在下列不等式中，不成立的是（）A．x2﹣1＞0B．x+1x＜−2C．sin x﹣x＞0D．cos x+x＞0【分析】根据x＜﹣1，利用函数的单调性、不等式的性质、三角函数的单调性即可判断出结论．解：∵x＜﹣1，∴x2﹣1＞0，x+1x＜−2，又∵sin x，cos x∈[﹣1，1]，∴sin x﹣x＞0，cos x+x＜0．可得：ABC成立，D不成立．故选：D．【点评】本题考查了函数的单调性、不等式的性质、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．7．在平面直角坐标系中，动点M在单位圆上按逆时针方向作匀速圆周运动，每12分钟转动一周．若点M的初始位置坐标为(12，√32)，则运动到3分钟时，动点M所处位置的坐标是（）A．(√32，12)B．(−12，√32)C．(−√32，12)D．(−√32，−12)【分析】根据题意画出图形，结合图形求出3分钟转过的角度，由此计算点M所处位置的坐标．解：每12分钟转动一周，则运动到3分钟时，转过的角为312×2π=π2；点M的初始位置坐标为(12，√32)，运动到3分钟时动点M所处位置的坐标是M′（−√32，12）．故选：C．【点评】本题考查了三角函数的定义与应用问题，是基础题．8．已知三角形ABC，那么“|AB→+AC→|＞|AB→−AC→|”是“三角形ABC为锐角三角形”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】三角形ABC，那么“|AB→+AC→|＞|AB→−AC→|”⇒AB→•AC→＞0，可得A为锐角．进而判断出结论．解：三角形ABC，那么“|AB→+AC→|＞|AB→−AC→|”⇒AB→•AC→＞0，可得A为锐角．此时三角形ABC不一定为锐角三角形．三角形ABC为锐角三角形⇒A为锐角．∴三角形ABC，那么“|AB→+AC→|＞|AB→−AC→|”是“三角形ABC为锐角三角形”的必要不充分条件．故选：B．【点评】本题考查了向量数量积运算性质、简易逻辑的判定方法、三角形的分类，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．9．设O为坐标原点，点A（1，0），动点P在抛物线y2＝2x上，且位于第一象限，M是线段PA的中点，则直线OM的斜率的范围为（）A．（0，1]B．(0，√22)C．(0，√22]D．[√22，+∞)【分析】设P的坐标，看可得PA的中点M的坐标，进而求出OM的斜率，由均值不等式可得其取值范围．解：设P（y22，y），y＞0，所以PA的中点M（y2+24，y2），所以k OM=y2y2+24=2y2+y2=2y+2y，因为y+2y≥2√2，所以0＜1y+2y≤22=√24，所以k OM∈（0，√22]，故选：C．【点评】本题考查抛物线的性质，及均值不等式的性质，属于中档题．10．假设存在两个物种，前者有充足的食物和生存空间，而后者仅以前者为食物，则我们称前者为被捕食者，后者为捕食者．现在我们来研究捕食者与被捕食者之间理想状态下的数学模型．假设捕食者的数量以x（t）表示，被捕食者的数量以y（t）表示．如图描述的是这两个物种随时间变化的数量关系，其中箭头方向为时间增加的方向．下列说法正确的是：（）A．若在t1，t2时刻满足：y（t1）＝y（t2），则x（t1）＝x（t2）B．如果y（t）数量是先上升后下降的，那么x（t）的数量一定也是先上升后下降C．被捕食者数量与捕食者数量不会同时到达最大值或最小值D．被捕食者数量与捕食者数量总和达到最大值时，被捕食者的数量也会达到最大值【分析】根据图象数形结合，逐一进行分析即可解：由图可知，曲线中纵坐标相等时横坐标未必相等，故A不正确；在曲线上半段中观察到y（t）是先上升后下降，而x（t）是不断变小的，故B不正确；捕食者数量最大时是在图象最右端，最小值是在图象最左端，此时都不是被捕食者的数量的最值处，同样当被捕食者的数量最大即图象最上端和最小即图象最下端时，也不是捕食者数量取最值的时候，所以被捕食者数量和捕食者数量不会同时达到最大和最小值，故C 正确；当捕食者数量最大时在图象最右端，x （t ）∈（25，30），y （t ）∈（0，50），此时二者总和x （t ）+y （t ）∈（25，80），由图象可知存在点x （t ）＝10，y （t ）＝100， x （t ）+y （t ）＝110，所以并不是被捕食者数量与捕食者数量总和达到最大值时，被捕食者数量也会达到最大值，故D 错误，故选：C ．【点评】本题考查的知识点是函数的图象和性质，本题比较抽象，理解起来有一定的难度．二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．11．已知向量a →=（m ，1），b →=（1，﹣2），c →=（2，3），若a →−b →与c →共线，则实数m＝ 3 ．【分析】先求出a →−b →=（m ﹣1，3），再由a →−b →与c →共线，列方程能求出实数m ．解：∵向量a →=（m ，1），b →=（1，﹣2），c →=（2，3），∴a →−b →=（m ﹣1，3）， ∵a →−b →与c →共线，∴m−12=33，解得实数m ＝3．故答案为：3．【点评】本题考查实数值的求法，考查平面向量坐标运算法则和向量共线的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．12．在（x +2x）6的展开式中常数项为 160 ．（用数字作答）【分析】在二项展开式的通项公式中，令x 的幂指数等于0，求出r 的值，即可求得常数项．解：在(x +2x)6的展开式中的通项公式为 T r +1=C 6r •2r •x 6﹣2r ，令6﹣2r ＝0，求得r ＝3，可得常数项为C 63•23＝160，故答案为：160．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．13．圆心在x轴上，且与直线l1：y＝x和l2：y＝x﹣2都相切的圆的方程为（x﹣1）2+y2=12．【分析】设所求圆的方程为（x﹣a）2+y2＝r2，利用圆与直线l1：y＝x和l2：y＝x﹣2都相切，即可得出结论．解：设所求圆的方程为（x﹣a）2+y2＝r2，因为圆与直线l1：y＝x和l2：y＝x﹣2都相切，则√1+1=√1+1=r，解得a＝1，r=√22，所以圆的方程为（x﹣1）2+y2=12．故答案为：（x﹣1）2+y2=12．【点评】本题考查圆的方程，考查直线与圆的位置关系，考查学生的计算能力，比较基础．14．△ABC是等边三角形，点D在边AC的延长线上，且AD＝3CD，BD=2√7，则CD＝2，sin∠ABD＝√2114．【分析】根据题意画出图形，利用余弦定理求出CD的值，再利用正弦定理求出sin∠ABD 的值．解：如图所示，等边△ABC中，AD＝3CD，所以AC＝2CD；又BD=2√7，所以BD2＝BC2+CD2﹣2BC•CD•cos∠BCD，即(2√7)2=（2CD）2+CD2﹣2•2CD•CD•cos120°，解得CD＝2，所以AD＝6；由ADsin∠ABD =BDsin∠A，即6sin∠ABD =2√7sin60°，解得sin∠ABD=3√2114．故答案为：2，3√21 14．【点评】本题考查了正弦、余弦定理的应用问题，也考查了运算求解能力，是基础题． 15．设函数f(x)={a(x +1)，x ＜0，2x−a +2a−x ，x ≥0．给出下列四个结论：①对∀a ＞0，∃t ∈R ，使得f （x ）＝t 无解； ②对∀t ＞0，∃a ∈R ，使得f （x ）＝t 有两解； ③当a ＜0时，∀t ＞0，使得f （x ）＝t 有解； ④当a ＞2时，∃t ∈R ，使得f （x ）＝t 有三解．其中，所有正确结论的序号是 ③④ ．【分析】可取a ＝3，由一次函数的单调性和基本不等式，可得f （x ）的值域，即可判断①；取a ＝0，判断f （x ）的单调性，即可判断②；考虑a ＜0时，求得f （x ）的值域，即可判断③；当a ＞2时，结合一次函数的单调性和基本不等式，以及f （x ）的图象，即可判断④．解：对于①，可取a ＝3，则f （x ）={3(x +1)，x ＜02x−3+23−x，x ≥0，当x ＜0时，f （x ）＝3（x +1）∈（﹣∞，3）；当x ≥0时，f （x ）＝2x ﹣3+23﹣x ≥2√2x−3⋅23−x =2，当且仅当x ＝3时，取得等号，故a ＝3时，f （x ）的值域为R ，∀t ∈R ，f （x ）＝t 都有解，故①错误；对于②可取a ＝0时，f （x ）={0，x ＜02x +2−x ，x ≥0，可得f （x ）在R 上单调递增，对∀t ＞0，f （x ）＝t 至多一解，故②错误；对于③，当a ＜0时，x ＜0时，f （x ）＝a （x +1）递减，可得f （x ）＞a ；又x ≥0时，x ﹣a ＞0，即有2x ﹣a ＞1，可得2x ﹣a +2a ﹣x ＞2，则f （x ）的值域为（a ，+∞）， ∀t ＞0，f （x ）＝t 都有解，故③正确；对于④，当a ＞2时，x ＜0时，f （x ）＝a （x +1）递增，可得f （x ）＜a ；当x ≥0时，f （x ）＝2x ﹣a +2a ﹣x ≥2，当且仅当x ＝a 时，取得等号，由图象可得，当2＜t＜3时，f（x）＝t有三解，故④正确．故答案为：③④．【点评】本题考查分段函数的运用，主要考查方程的解的个数，注意运用反例法判断命题不正确，以及数形结合思想，考查推理能力，属于中档题．三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥面ABCD，底面ABCD为平行四边形，AB⊥AC，AB＝AC＝1，PD＝1．（Ⅰ）求证：AD∥平面PBC；（Ⅱ）求二面角D﹣PC﹣B的余弦值的大小．【分析】（Ⅰ）由底面ABCD为平行四边形，得AD∥BC，再由直线与平面平行的判定可得AD∥平面PBC；（Ⅱ）过D作平行于AC的直线Dx，以D为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系D ﹣xyz．分别求出平面PCB与平面PCD的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角D﹣PC﹣B的余弦值．【解答】（Ⅰ）证明：∵底面ABCD为平行四边形，∴AD∥BC，∵BC⊂平面PBC，AD⊄平面PBC，∴AD∥平面PBC；（Ⅱ）解：过D 作平行于AC 的直线Dx ， ∵AB ⊥AC ，∴Dx ⊥DC ，又PD ⊥面ABCD ，∴以D 为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系D ﹣xyz ．则C （0，1，0），P （0，0，1），B （1，2，0）， CB →=（1，1，0），CP →=（0，﹣1，1），设平面PCB 的一个法向量为n →=(x ，y ，z)，由{n →⋅CB →=x +y =0n →⋅CP →=−y +z =0，取y ＝1，得n →=(−1，1，1)；取平面PCD 的一个法向量m →=(1，0，0)．则cos ＜n →，m →＞=n →⋅m →|n →|⋅|m →|=3×1=−√33．由图可知，二面角D ﹣PC ﹣B 为钝角，∴二面角D ﹣PC ﹣B 的余弦值为−√33．【点评】本题考查直线与平面平行的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用空间向量求解空间角，是中档题．17．已知函数f(x)=asin(2x −π6)−2cos 2(x +π6)(a ＞0)，且满足_______．（Ⅰ）求函数f （x ）的解析式及最小正周期；（Ⅱ）若关于x 的方程f （x ）＝1在区间[0，m ]上有两个不同解，求实数m 的取值范围．从①f （x ）的最大值为1，②f （x ）的图象与直线y ＝﹣3的两个相邻交点的距离等于π，③f （x ）的图象过点(π6，0)这三个条件中选择一个，补充在上面问题中并作答．【分析】（Ⅰ）利用二倍角公式和诱导公式化简函数f （x ），若满足①，利用最大值求出a 的值，写出f （x ）的解析式，求出最小正周期；（Ⅱ）令f （x ）＝1求得方程的解，根据方程f （x ）＝1在区间[0，m ]上有两个不同解找出这两个解，从而写出实数m 的取值范围．若满足②，利用三角函数的图象与性质列出方程求得a 的值，以下解法均相同．若满足③，利用f （x ）的图象过点(π6，0)，代入求出a 的值，以下解法均相同．解：（Ⅰ）函数f （x ）＝a sin （2x −π6）﹣2cos 2（x +π6）＝a sin （2x −π6）﹣cos （2x +π3）﹣1 ＝a sin （2x −π6）﹣sin （﹣2x +π6）﹣1 ＝（a +1）sin （2x −π6）﹣1，若满足①f （x ）的最大值为1，则a +1＝2，解得a ＝1，所以f （x ）＝2sin （2x −π6）﹣1； f （x ）的最小正周期为T =2π2=π；（Ⅱ）令f （x ）＝1，得sin （2x −π6）＝1，解得2x −π6=π2+2k π，k ∈Z ；即x =π3+k π，k ∈Z ；若关于x 的方程f （x ）＝1在区间[0，m ]上有两个不同解，则x =π3或4π3；所以实数m 的取值范围是[4π3，7π3）．若满足②f （x ）的图象与直线y ＝﹣3的两个相邻交点的距离等于π，且f （x ）的最小正周期为T =2π2=π，所以﹣（a +1）﹣1＝﹣3，解得a ＝1；以下解法均相同．若满足③f （x ）的图象过点(π6，0)，则f （π6）＝（a +1）sin π6−1＝0，解得a ＝1；以下解法均相同．【点评】本题考查了利用三角函数的基本性质求解析式问题，也考查了三角函数图象与性质的应用问题，是中档题．18．中国北斗卫星导航系统是中国自行研制的全球卫星导航系统，预计2020年北斗全球系统建设将全面完成．下图是在室外开放的环境下，北斗二代和北斗三代定位模块，分别定位的50个点位的横、纵坐标误差的值，其中“•”表示北斗二代定位模块的误差的值，“+”表示北斗三代定位模块的误差的值．（单位：米）（Ⅰ）从北斗二代定位的50个点位中随机抽取一个，求此点横坐标误差的值大于10米的概率；（Ⅱ）从图中A，B，C，D四个点位中随机选出两个，记X为其中纵坐标误差的值小于﹣4的点位的个数，求X的分布列和数学期望；（Ⅲ）试比较北斗二代和北斗三代定位模块纵坐标误差的方差的大小．（结论不要求证明）【分析】（Ⅰ）通过图象观察，在北斗二代定位的50个点中，横坐标误差的绝对值大于10米有3个点，由古典概率的计算公式可得所求值；（Ⅱ）通过图象可得，A，B，C，D四个点位中纵坐标误差值小于﹣4的有两个点：C，D，则X的所有可能取值为0，1，2，分别求得它们的概率，作出分布列，计算期望即可；（Ⅲ）通过观察它们的极差，即可判断它们的方差的大小．解：（Ⅰ）由图可得，在北斗二代定位的50个点中，横坐标误差的绝对值大于10米有3个点，所以从中随机选出一点，此点横坐标误差的绝对值大于10米的概率为350=0.06；（Ⅱ）由图可得，A，B，C，D四个点位中纵坐标误差值小于﹣4的有两个点：C，D，所以X的所有可能取值为0，1，2，P （X ＝0）=C 20C 42=16， P （X ＝1）=C 21C 21C 42=23， P （X ＝2）=C 22C 42=16，所以X 的分布列为 X1 2 P162316所以X 的期望为E （X ）＝0×16+1×23+2×16=1；（Ⅲ）北斗二代定位模块纵坐标误差的方差大于北斗三代．【点评】本题考查古典概率的求法，以及随机变量的分布列和期望的求法，方差的大小的判断，考查数形结合思想和运算能力、推理能力，属于中档题．19．已知椭圆E ：x 2a 2+y 2b2=1(a ＞b ＞0)，它的上，下顶点分别为A ，B ，左，右焦点分别为F 1，F 2，若四边形AF 1BF 2为正方形，且面积为2．（Ⅰ）求椭圆E 的标准方程；（Ⅱ）设存在斜率不为零且平行的两条直线l 1，l 2，它们与椭圆E 分别交于点C ，D ，M ，N ，且四边形CDMN 是菱形，求出该菱形周长的最大值．【分析】（Ⅰ）由题意可得b ＝c ，bc ＝2，求得b ，再由a ，b ，c 的关系可得a ，进而得到所求椭圆方程；（Ⅱ）设l 1的方程为y ＝kx +m 1，C （x 1，y 1），D （x 2，y 2），设l 2的方程为y ＝kx +m 2，M （x 3，y 3），N （x 4，y 4），分别联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理和判别式大于0，以及弦长公式，求得|CD |，|MN |，运用菱形和椭圆的对称性可得l 1，l 2关于原点对称，结合菱形的对角线垂直和向量数量积为0，可得3m 12﹣2k 2﹣2＝0，设菱形CDMN 的周长为l ，运用基本不等式，计算可得所求最大值．解：（Ⅰ）因为四边形AF 1BF 2为正方形，且面积为2，所以b ＝c ，且12•2c •2b ＝2，解得b ＝c ＝1，a 2＝2，所以椭圆的标准方程：x 22+y 2＝1；（Ⅱ）设l 1的方程为y ＝kx +m 1，C （x 1，y 1），D （x 2，y 2），设l 2的方程为y ＝kx +m 2，M （x 3，y 3），N （x 4，y 4），联立{y =kx +m 1x 2+2y 2=2可得（1+2k 2）x 2+4km 1x +2m 12﹣2＝0，由△＞0可得16k 2m 12﹣4（1+2k 2）（2m 12﹣2）＞0，化简可得2k 2+1﹣m 12＞0，① x 1+x 2=−4km 11+2k2，x 1x 2=2m 12−21+2k2，|CD |=√1+k 2•|x 1﹣x 2|=√1+k 2•√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=√1+k 2•√(−4km 11+2k2)2−4⋅2m 12−21+2k2=√1+k 2•2√2⋅√1+2k 2−m 121+2k2，同理可得|MN |=√1+k 2•2√2⋅√1+2k 2−m 221+2k，因为四边形CDMN 为菱形，所以|CD |＝|MN |，所以m 12＝m 22，又因为m 1≠m 2，所以m 1＝﹣m 2，所以l 1，l 2关于原点对称，又椭圆关于原点对称，所以C ，M 关于原点对称，D ，N 也关于原点对称，所以{x 3=−x 1y 3=−y 1且{x 4=−x 2y 4=−y 2，MC →=（2x 1，2y 1），ND →=（2x 2，2y 2），因为四边形CDMN 为菱形，可得MC →•ND →=0，即x 1x 2+y 1y 2＝0，即x 1x 2+（kx 1+m 1）（kx 2+m 1）＝0，即（1+k 2）x 1x 2+km 1（x 1+x 2）+m 12＝0，可得（1+k 2）•2m 12−21+2k 2+km 1•=−4km 11+2k2+m 12＝0，化简可得3m 12﹣2k 2﹣2＝0，设菱形CDMN 的周长为l ，则l＝4|CD |=8√2√1+2k 2⋅√2k 2+1−m 121+2k 2=8⋅√33√2+2k 2⋅√1+4k 21+2k2≤8√33•12(2+2k 2+1+4k 2)1+2k =4√3，当且仅当2+2k 2＝1+4k 2，即k 2=12时等号成立，此时m 12＝1，满足①，所以菱形CDMN 的周长的最大值为4√3．【点评】本题考查椭圆的方程和性质，考查直线和椭圆的位置关系，注意联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理和判别式大于0，主要考查化简运算能力和推理能力，属于难题．20．已知函数f（x）＝x（lnx﹣ax）（a∈一、选择题）．（Ⅰ）若a＝1，求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）若f（x）有两个极值点，求实数a的取值范围；（Ⅲ）若a＞1，求f（x）在区间（0，2a]上的最小值．【分析】（Ⅰ）先利用导数的几何意义求出切线的斜率，然后求出切线方程；（Ⅱ）先把f（x）有两个极值点转化为方程2a=1+lnxx有两个不等的正根，再利用数形结合求出a的取值范围；（Ⅲ）先利用导函数的符号判断f（x）在区间（0，2a]上的单调性，进而解决其最小值．解：∵f（x）＝x（lnx﹣ax），∴f′（x）＝1+lnx﹣2ax．（Ⅰ）当a＝1时，f′（1）＝﹣1，f（1）＝﹣1，∴曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y﹣（﹣1）＝﹣（x﹣1），即y＝﹣x；（Ⅱ）∵若f（x）有两个极值点，∴f′（x）＝1+lnx﹣2ax＝0有两个不等的正根，即2a=1+lnxx两个不等的正根．令g（x）=1+lnxx，x＞0，g′（x）=−lnxx2，令g′（x）＝0⇒x＝1，当x∈（0，1）时g′（x）＞0，此时g（x）单调递增；当x∈（1，+∞）时g′（x）＜0，此时g（x）单调递减；且g（1）＝1，故0＜2a＜1，解得：a∈（0，12）．（Ⅲ）∵f（x）＝x（lnx﹣ax），∴f′（x）＝1+lnx﹣2ax，f″（x）=1x−2a，∵a＞1，x∈（0，2a]，令f″（x）＝0⇒x=12a，当x∈（0，12a）时，f″（x）＞0，此时f′（x）单调递增；当x∈（12a，+∞）时，f″（x）＜0，此时f′（x）单调递减，故f′（x）max＝f′（12a）＝﹣ln（2a）＜0，∴f（x）在（0，2a]上单调递减，故f（x）在（0，2a]上的最小值为f（2a）＝2a[ln（2a）﹣2a2]．【点评】本题主要考查曲线的切线方程的求法及导数的综合应用，属于一道有难度的题．21．数列A：x1，x2，x3，…，x n，…，对于给定的t（t＞1，t∈N+），记满足不等式：x n﹣x t≥t*（n﹣t）（∀n∈N+，n≠t）的t*构成的集合为T（t）．（Ⅰ）若数列A：x n＝n2，写出集合T（2）；（Ⅱ）如果T（t）（t∈N+，t＞1）均为相同的单元素集合，求证：数列x1，x2，…，x n，…为等差数列；（Ⅲ）如果T（t）（t∈N+，t＞1）为单元素集合，那么数列x1，x2，…，x n，…还是等差数列吗？如果是等差数列，请给出证明；如果不是等差数列，请给出反例．【分析】（Ⅰ）推导出n2﹣4≥t*（n﹣2）（∀n∈N+，n≠t），当n＞2时，上式可化为n+2≥t*，5≥t*，当n＝1时，上式可化为3≤t*，由此能求出T（2）为[3，5]．（Ⅱ）T（t）（∀t∈N+，t＞l）中均只有同一个元素，不妨设为a．当n＝t+1时，有x t+1﹣x t≥a，（∀t＞1），当n＝t﹣1时，有x t﹣x t﹣1≤a（∀t＞1），由此能证明数列x1，x2，…，x n，…为等差数列．（Ⅲ）设T（i）＝{a}，T（j）＝{b}，1＜i＜j，a≠b，由T（i）＝{a}，知x j﹣x i≥a（j ﹣i），由T（j）＝{b}，知：x i﹣x j≥b（i﹣j），即x j﹣x i≤b（j﹣i），从而a（j﹣i）≤x j﹣x i≤b（j﹣i），a≤b．设T（i）＝{t i}，则t2≤t3≤…≤t n≤…，1＜i＜j，则t i≤t j，推导出t2＝t3＝t4＝t5＝…，由此能证明数列x1，x2，…，x n，…还是等差数列．解：（Ⅰ）由于A：x n=n2，T（2）为满足不等式x n−x t≥t∗（n﹣t）（∀n∈N+）的t*构成的集合，∴n2﹣4≥t*（n﹣2）（∀n∈N+，n≠t），当n＞2时，上式可化为n+2≥t*，∴5≥t*，当n＝1时，上式可化为3≤t*，∴T（2）为[3，5]．（Ⅱ）证明：对于数列A：x1，x2，x3，…，x n，…，若T（t）（∀t∈N+，t＞l）中均只有同一个元素，不妨设为a，下面证明数列A为等差数列，当n＝t+1时，有x t+1﹣x t≥a，（∀t＞1），①当n＝t﹣1时，有x t﹣x t﹣1≤a（∀t＞1），②∵①②两式对任意大于1的整数均成立，∴x t+1﹣x t＝a（∀t＞1）成立，∴数列x1，x2，…，x n，…为等差数列．（Ⅲ）对于数列A：x1，x2，…，x n，…，不妨设T（i）＝{a}，T（j）＝{b}，1＜i＜j，a≠b，由T（i）＝{a}，知x j﹣x i≥a（j﹣i），由T（j）＝{b}，知：x i﹣x j≥b（i﹣j），即x j﹣x i≤b（j﹣i），∴a（j﹣i）≤x j﹣x i≤b（j﹣i），∴a≤b．设T（i）＝{t i}，则t2≤t3≤…≤t n≤…，这说明1＜i＜j，则t i≤t j，∵对于数列A：x1，x2，…，x n，…，T（t）（∀t∈N+，t＞1）中均只有一个元素，首先考察t＝2时的情况，不妨设x2＞x1，∵x2﹣x1≤t2，又T（2）为单元素集，∴x2﹣x1＝t2，再证t3＝x3﹣x2，证明如下：由t3＝x3﹣x2，证明如下：由t3的定义可知：t3≥x3﹣x2，t3≥x3−x1 2，∴t3=max{x3−x2，x3−x12}，由t2的定义可知x3﹣x2≥t2＝x2﹣x1，∴t3≥x3﹣x2≥x3−x2+x2−x12=x3−x12，∴x3﹣x2＝t3，∵t3＞t2，∴t3＝x3﹣x2＞t2，则存在正整数m（m≥4），使得（m﹣2）t2＝x m﹣x2，③∵x2﹣x1＝t2≤x3﹣x2≤t3≤x4﹣x3≤…≤x k﹣x k﹣1≤…∴x m﹣x2=∑m i=3(x i−x i−1)≥∑m i=3t i−1＞（m﹣2）t2，这与③矛盾，∴t3＝t2，同理可证t2＝t3＝t4＝t5＝…，∴数列x1，x2，…，x n，…还是等差数列．【点评】本题考查集合的求法，考查等差数列的证明，考查等比数列的判断与证明，考查推理论主能力、运算求解能力，考查化归与转化思想，是难题．。

2020年北京市朝阳区高考数学一模试卷(含答案解析)

2020年北京市朝阳区高考数学一模试卷一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.已知集合3，，，则A. B.C. 2，3，D. 2，3，4，2.下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的是A. B. C. D.3.在等比数列中，，，则的前6项和为A. B. 11 C. 31 D. 634.如图，在中，点D，E满足，若，则A.B.C.D.5.已知抛物线C：的焦点为F，准线为l，点A是抛物线C上一点，于若，，则抛物线C的方程为A. B. C. D.6.现有甲、乙、丙、丁、戊5种在线教学软件，若某学校要从中随机选取3种作为教师“停课不停学”的教学工具，则其中甲、乙、丙至多有2种被选取的概率为A. B. C. D.7.在中，，若以A，B为焦点的双曲线经过点C，则该双曲线的离心率为A. B. C. D.8.已知函数的图象上相邻两个最高点的距离为，则“”是“的图象关于直线对称”的A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件9.已知函数若关于x的不等式在R上恒成立，则实数a的取值范围为A. B. C. D.10.如图，在正方体中，M，N分别是棱AB，的中点，点P在对角线上运动．当的面积取得最小值时，点P的位置是A. 线段的三等分点，且靠近点B. 线段的中点C. 线段的三等分点，且靠近点CD. 线段的四等分点，且靠近点C二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）11.复数，则______．12.已知某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的最长棱的长为______，它的体积为______．13.某购物网站开展一种商品的预约购买，规定每个手机号只能预约一次，预约后通过摇号的方式决定能否成功购买到该商品．规则如下：摇号的初始中签率为；当中签率不超过1时，可借助“好友助力”活动增加中签率，每邀请到一位好友参与“好友助力”活动可使中签率增加为了使中签率超过，则至少需要邀请______位好友参与到“好友助力”活动．14.已知函数数列满足，则数列的前100项和是______．15.数学中有许多寓意美好的曲线，曲线C：被称为“四叶玫瑰线”如图所示给出下列三个结论：曲线C关于直线对称；曲线C上任意一点到原点的距离都不超过1；存在一个以原点为中心、边长为的正方形，使得曲线C在此正方形区域内含边界．其中，正确结论的序号是______．三、解答题（本大题共6小题，共85.0分）16.在中，．Ⅰ求B；Ⅱ若，求a．从，这两个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答．17.如图，在三棱柱中，平面平面ABC，四边形是正方形，点D，E分别是棱BC，的中点，，，．Ⅰ求证：；Ⅱ求二面角的余弦值；Ⅲ若点F在棱上，且，判断平面与平面是否平行，并说明理由．18.某科研团队研发了一款快速检测某种疾病的试剂盒．为了解该试剂盒检测的准确性，质检部门从某地区人数众多随机选取了80位患者和100位非患者，用该试剂盒分别对他们进行检测，结果如表：患者的检测结果人数阳性76阴性4非患者的检测结果人数阳性1阴性99Ⅰ从该地区患者中随机选取一人，对其检测一次，估计此患者检测结果为阳性的概率；Ⅱ从该地区患者中随机选取3人，各检测一次，假设每位患者的检测结果相互独立，以X表示检测结果为阳性的患者人数，利用Ⅰ中所得概率，求X的分布列和数学期望；Ⅲ假设该地区有10万人，患病率为从该地区随机选取一人，用该试剂盒对其检测一次．若检测结果为阳性，能否判断此人患该疾病的概率超过？并说明理由．19.已知椭圆，圆O：为坐标原点过点且斜率为1的直线与圆O交于点，与椭圆C的另一个交点的横坐标为．Ⅰ求椭圆C的方程和圆O的方程；Ⅱ过圆O上的动点P作两条互相垂直的直线，，若直线的斜率为且与椭圆C相切，试判断直线与椭圆C的位置关系，并说明理由．20.已知函数．Ⅰ求曲线在点处的切线方程；Ⅱ判断函数的零点的个数，并说明理由；Ⅲ设是的一个零点，证明曲线在点处的切线也是曲线的切线．21.设数列A：，，，的各项均为正整数，且若对任意4，，，存在正整数i，使得，则称数列A具有性质T．Ⅰ判断数列：1，2，4，7与数列：1，2，3，6是否具有性质T；只需写出结论Ⅱ若数列A具有性质T，且，，，求n的最小值；Ⅲ若集合2，3，，2019，，且任意i，2，，，求证：存在，使得从中可以选取若干元素可重复选取组成一个具有性质T的数列．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：解：集合，2，3，，故选：C．先求出集合B，再利用集合并集的运算即可算出结果．本题考查了并集及其运算，熟练掌握并集的定义是解本题的关键，属于基础题．2.答案：D解析：解：若函数具有奇偶性，则定义域关于原点对称，所以C错；由偶函数的定义：，故A错；在上递减，故B错；显然，故该函数是偶函数，当时，是增函数，故D对．故选：D．根据幂函数、对数函数、以及二次函数的单调性规律和奇偶性的定义判断即可．本题考查奇偶性、单调性的定义与性质，注意转化思想在解题中的应用．属于基础题．3.答案：A解析：解：设公比为q，由，可得，前6项和，故选：A．先由，求出公比q，再代入前n项和公式求和．本题主要考查等比数列基本量的运算，属于基础题．4.答案：B解析：解：中，点D，E满足，．，又，，．故选：B．在中，，因为，通过转化的思想，将用和表示，求出x和y的值，计算即可．本题主要考查平面向量的基本定理，属基础题，解题时需认真审题，注意向量线性运算的合理性．5.答案：B解析：解：如图所示，由抛物线的定义可知，，，为等边三角形，，，，轴，，即，，抛物线的方程为，故选：B．由抛物线的定义可知，，从而确定为等边三角形，于是得到，，再结合平行关系和三角函数即可求得p的值，进而得解．本题考查抛物线的方程、定义与几何性质，熟练运用抛物线的几何性质是解题的关键，考查学生的观察力和计算能力，属于基础题．6.答案：D解析：解：甲、乙、丙、丁、戊5种在线教学软件，某学校要从中随机选取3种作为教师“停课不停学”的教学工具，基本事件总数，甲、乙、丙至多有2种被选取包含的基本事件个数，则其中甲、乙、丙至多有2种被选取的概率．故选：D．基本事件总数，甲、乙、丙至多有2种被选取包含的基本事件个数，由此能求出其中甲、乙、丙至多有2种被选取的概率．本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．7.答案：C解析：解：设，取AB的中点为O，由题意可得双曲线的一条渐近线为直线OC，在三角形OBC中，，，所以，，所以双曲线的离心率为：．故选：C．设，取AB的中点为O，由余弦定理可得AC，通过双曲线的定义，求解离心率即可．本题考查双曲线的方程和性质，主要是离心率的求法，考查学生的计算能力，属于中档题．8.答案：A解析：解：函数的图象上相邻两个最高点的距离为，，解得．的图象关于直线对称，，解得，解得．则“”是“的图象关于直线对称”的充分不必要条件．故选：A．函数的图象上相邻两个最高点的距离为，可得，解得根据的图象关于直线对称，可得，解得，即可判断出结论．本题考查了三角函数的图象与性质、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．9.答案：C解析：解：当时，，的对称轴为，开口向上．当时，在递减，递增，当时，有最小值，即，解得；当时，在上递减，当时，有最小值，即，．综合得：当时，；当时，，，当时，，在上递增，，，此时；当，即时，在上递增，同理可得；当，即时，在递减，递增，，，解得．综合得：当时，；关于x的不等式在R上恒成立，，故选：C．当时，，分、两类讨论，可求得；当时，，分、、三类讨论，可求得；取其公共部分即可得到答案．本题考查分段函数的应用，考查不等式恒成立问题，着重考查分类讨论思想和等价转化思想，考查导数的运用，考查运算求解能力和推理能力，属于难题．10.答案：B解析：解：以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，设正方体中棱长为1，P为上的动点，设，其中，，0，，，，，为等腰三角形，底边，设底边MN上的高为h，则有．，时的面积取得最小值，此时P为的中点．故选：B．以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出的面积取得最小值时，P为的中点．本题考查点的位置瓣判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．11.答案：解析：解：复数．．故答案为：．利用复数的运算法则和模的计算公式即可得出．本题考查了复数的运算法则和模的计算公式，属于基础题．12.答案：5 4解析：解：由三视图还原原几何体如图，该几何体为三棱锥，底面三角形ABC为等腰直角三角形，，高．最长棱为，体积．故答案为：5；4．由三视图还原原几何体，可知该几何体为三棱锥，底面三角形ABC为等腰直角三角形，，高再由勾股定理求最长棱的长，由棱锥体积公式求体积．本题考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原原几何体，是中档题．13.答案：15解析：解：某购物网站开展一种商品的预约购买，规定每个手机号只能预约一次，预约后通过摇号的方式决定能否成功购买到该商品．规则如下：摇号的初始中签率为；当中签率不超过1时，可借助“好友助力”活动增加中签率，每邀请到一位好友参与“好友助力”活动可使中签率增加．为了使中签率超过，设至少需要邀请n位好友参与到“好友助力”活动，则，解得．为了使中签率超过，则至少需要邀请15位好友参与到“好友助力”活动．故答案为：15．为了使中签率超过，设至少需要邀请n位好友参与到“好友助力”活动，则，由此能求出结果．本题考查概率的求法，考查互斥事件概率加法公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．14.答案：100解析：解：由题意，当，时，．设数列的前n项和为，则．故答案为：100．本题先根据余弦函数的周期性可计算出当，时，，，，连续四项和的值，可发现为固定值2，然后设数列的前n项和为，然后代入进行整理转化，利用周期性得到的规律即可计算出结果．本题主要考查数列的三角函数的综合问题．考查转化与化归思想，整体思想，余弦函数的周期性的应用，逻辑推理能力和数学运算能力．本题属中档题．15.答案：解析：解：对，用替换方程中的，方程形式不变，所以曲线C关于直线对称，正确；对，设点是曲线上任意一点，则，则点P到原点的距离为，由，解得，正确；对，由可知，包含该曲线的以原点为圆心的最小的圆的半径为1，所以最小圆应该是包含该曲线的最小正方形的内切圆，即正方形的边长最短为2，所以不正确；故答案为：．根据曲线的方程以及图象逐个判断3个结论即可得出．本题主要考查函数曲线的性质应用，意在考查学生的直观想象能力和分析能力，属于中档题．16.答案：解：Ⅰ在中，由正弦定理得，得，又，即，，又，．Ⅱ若选，则在中，由余弦定理，可得，解得，或舍去，可得．若选，则，由正弦定理，可得，解得．解析：Ⅰ由正弦定理得，与由此能求出B．Ⅱ若选，由余弦定理可得，即可解得a的值；若选，利用两角和的正弦函数公式可求sin A的值，由正弦定理即可解得a的值．本题主要考查了正弦定理，余弦定理，两角和的正弦函数公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．17.答案：Ⅰ证明：四边形是正方形，，又平面平面ABC，平面平面，平面ABC，又平面ABC，；Ⅱ解：由Ⅰ知，，，．又，，，，得．以A为坐标原点，分别以AB，，AC所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系．则0，，0，，0，，2，，0，，2，，1，，，．平面的一个法向量，设平面的一个法向量为．由，取，得．设二面角的平面角为，则．由题意，二面角为锐角，则其余弦值为；Ⅲ解：平面与平面不平行．理由如下：由Ⅱ知，平面的一个法向量，．，与平面不平行．又平面，平面与平面不平行．解析：Ⅰ由题意，结合平面平面ABC，由平面与平面垂直的性质可得平面ABC，进一步得到；Ⅱ解：由Ⅰ知，，得到，求解三角形得，以A为坐标原点，分别以AB，，AC所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系．分别求出平面的一个法向量与平面的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角的余弦值；Ⅲ由Ⅱ知，平面的一个法向量，，由数量积不为0可得与平面不平行，即可得到平面与平面不平行．本题考查空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系的判定及其应用，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用空间向量求解空间角，是中档题．18.答案：解：Ⅰ由题意知，80位患者中有76位用该试剂盒检测一次，结果为阳性，所以从该地区患者中随机选取一位，用该试剂盒检测一次，结果为阳性的概率估计为．Ⅱ由题意，可知，，，，，的分布列为：X 0 1 2 3P．Ⅲ此人患该疾病的概率未超过．理由如下：由题意得，如果该地区所有人用该试剂盒检测一次，那么结果为阳性的人数为，其中患者人数为950，若某人检测结果为阳性，则他患该疾病的概率为，此人患该疾病的概率未超过．解析：Ⅰ位患者中有76位用该试剂盒检测一次，结果为阳性，从该地区患者中随机选取一位，用该试剂盒检测一次，能估计结果为阳性的概率．Ⅱ由题意，可知，由此能求出X的分布列和．Ⅲ如果该地区所有人用该试剂盒检测一次，结果为阳性的人数为，其中患者人数为950，由此能求出此人患该疾病的概率未超过．本题考查概率、离散型随机变量的分布列、数学期望的求法及应用，考查古典概型、二项分布等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．19.答案：解：Ⅰ因为圆O过点，所以圆O的方程为：，因为过点且斜率为1的直线方程为，又因为过点，所以，所以直线方程为：，因为直线与椭圆C的另一个交点的横坐标为，所以纵坐标为，所以，解得：，所以椭圆C的方程为：；Ⅱ直线与椭圆C相切，理由如下：设圆O上动点，所以，依题意，设直线的方程为：，联立方程，消去y得：，因为直线与椭圆C相切，所以，所以，所以，因为，所以，所以，设直线的方程为：，联立方程，消去y得：，所以，所以直线与椭圆C相切．解析：Ⅰ把点代入圆O的方程，即可求出r，得到圆O的方程，再求出直线方程，得到与椭圆的交点坐标，代入椭圆方程，即可求出椭圆C的方程；Ⅱ设圆O上动点，所以，设直线的方程为：，与椭圆方程联立利用得到，设直线的方程为：，与椭圆方程联立，把上式代入化简，所以直线与椭圆C相切．本题主要考查了圆的方程，考查了椭圆方程，以及直线与椭圆的位置关系，是中档题．20.答案：解：Ⅰ因为，所以，所以，，故切线方程为：．Ⅱ函数有且仅有两个零点．易知的定义域为，且，且，所以在，上是增函数．因为，，所以在上有唯一零点；又因为，所以在上有唯一零点；综上，有且仅有两个零点．Ⅲ易知，曲线在点处的切线为，即．再设曲线在点处的切线斜率为，则，即切点为．所以曲线的切线方程为，即．因为是的一个零点，所以，，故两条切线重合，结论成立．解析：Ⅰ求出处的导数，利用点斜式写出切线方程即可；Ⅱ研究函数的单调性、极值的符号等求解；Ⅲ只需要说明零点处的切线重合即可．本题考查导数的几何意义和综合应用，同时考查了学生的逻辑推理、数学抽象、数学运算等数学核心素养．属于较难的题目．21.答案：解：Ⅰ，，3，4，7不具有性质P；，，，，2，3，5具有性质P，即数列不具有性质T，数列具有性质T．Ⅱ由题意可知，，，，，，．若，且，，同理，，，，，，数列各项均为正整数，，数列前三项为1，2，4．数列A具有性质T，只可能为4，5，6，8之一，而又，，同理，有，，，，此时数列为1，2，4，8，16，32，64，128，200．但数列中存在，使得，该数列不具有性质T，．当时，取A：1，2，4，8，16，32，36，64，100，构造数列不唯一，A：1，2，4，8，16，32，36，64，100，200，经验证，此数列具有性质T，的最小值为10．Ⅲ假设结论不成立，即对任意2，，都有：若正整数a，，，则，否则，当时，a，，b是一个具有性质T的数列；当时，，a，b是一个具有性质T的数列；当时，a，a，b是一个具有性质T的函数．由题意可知，这6个集合中至少有一个集合的元素个数不少于337个，不妨设此集合为，从中取出337个数，记为，，，且，令集合2，，．由假设，对任意，2，，336，，，在，，，，中至少有一个集合包含中的至少68个元素，不妨设这个集合为，从中取出68个数，记为，，，，且，令集合2，，．由假设，对任意，2，，68，存在2，，使得，对任意，由假设，，，．在，，，中至少有一个集合包含中的至少17个元素，不妨设这个集合为，从中取出17个数，记为，，，，且，令集合2，，，由假设，对任意，2，，17，存在2，，使得，对任意，同样，由假设可得，，．同样，在，中至少有一个集合包含中的至少3个元素，不妨设这个集合为，从中取出3个数，记为，，，且，同理可得．由假设可得，同上可知，，而又，，矛盾．假设不成立，原命题得证．解析：Ⅰ根据，可知1，3，4，7不具有性质P，由，，，可知1，2，3，5具有性质P；Ⅱ由数列A具有性质T，结合条件可知，然后分别考虑，，时是否符合条件，进一步得到n的最小值；Ⅲ假设结论不成立，即对任意2，，都有：若正整数a，，，则，否则，当时，a，，b是一个具有性质T的数列；当时，，a，b是一个具有性质T的数列；当时，a，a，b是一个具有性质T的函数，然后找出矛盾结论，从而证明结论成立．本题考查了新定义、等差数列的通项公式、数列递推关系和不等式的性质，考查了考查了转化思想和分类讨论思想，属难题．。

北京市海淀区2020届高考数学一模试卷 (含答案解析)

北京市海淀区2020届高考数学一模试卷一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.已知复数z=−1+i，z是z的共轭复数，在复平面内，z所对应的点位于()A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2.已知集合A={x|x2−4x<0}，B={−1,3，7}，则A∩B=()A. {−1}B. {3}C. {3,7}D. {−1,7}3.若a>1，则双曲线x2a2−y2=1的离心率的取值范围是()A. (√2,+∞)B. (√2,2)C. (1,√2)D. (1,2)4.下列叙述正确的是()A. 若|a|=a，则a>0B. 若a≠b，则|a|≠|b|C. 若|a|=|b|，则a=bD. 若a=−b，则|a|=|b|5.在(x2−1√x3)n的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式的常数项为()．A. 7B. −7C. −28D. 286.已知直线l：y=k(x+4)与圆(x+2)2+y2=4相交于A，B两点，M是线段AB的中点，则点M到直线3x−4y−6=0的距离的最大值为()A. 2B. 3C. 4D. 57.若函数f(x)=log2(x2−2ax+3)在区间(−∞,1]内单调递减，则a的取值范围是()A. [1,+∞)B. (1,+∞)C. [1,2)D. [1,2]8.如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某三棱锥的三视图，则此几何体的最长的棱长为()A. 2√2B. 3√2C. √5D. 39.在等比数列{a n}中，已知a1+a2=−32,a4+a5=12，则数列是()A. 递增数列B. 递减数列C. 摆动数列D. 常数列10.已知a n=log n+1(n+2)(n∈N∗)，观察下列算式：a1⋅a2=log23⋅log34=lg3lg2⋅lg4lg3=2；a1⋅a2⋅a3⋅a4⋅a5⋅a6=log23⋅log34⋯⋯log78=lg3lg2⋅lg4lg3⋯lg8lg7=3；若a1⋅a2⋅a3⋯a m=2016(m∈N∗)，则m的值为()A. 22016+2B. 22016C. 22016−2D. 22016−4二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）11.抛物线y2=4x的准线方程为__________．12.在等差数列{a n}中，a3+a5+2a10=4，则此数列的前13项的和等于______ ．13.已知|b⃗ |=1，a⃗⋅b⃗ =2，则向量(2a⃗−b⃗ )⋅b⃗ =______．14.已知，在△ABC中B=π3，b=2，S▵ABC的最大值为________．15.已知函数y=f(x)的周期为2，当x∈[0,2]时，f(x)=(x−1)2，如果g(x)=f(x)−log5|x−1|，则方程g(x)=0的所有根之和为__________．三、解答题（本大题共6小题，共85.0分）16.如图，四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，PB⊥BC,PD⊥CD，且PA=2，E为PD中点．(1)求证：PA⊥平面ABCD；(2)求二面角A−BE−C的正弦值．17.已知函数f(x)=2cos2ωx−1+2√3cosωxsinωx(0<ω<1)，x=π3是f(x)图象的一条对称轴．(1)试求ω的值;(2)已知函数y=g(x)的图象是由y=f(x)图象上的各点的横坐标伸长到原来的2倍，然后再向左平移2π3个单位长度得到，若g(2α+π3)=65,α∈(0,π2),求sinα的值．18.某市移动公司为了提高服务质量，决定对使用A,B两种套餐的集团用户进行调查，准备从本市n(n∈N∗)个人数超过1000人的大集团和8个人数低于200人的小集团中随机抽取若干个集团进行调查，若一次抽取2个集团，全是小集团的概率为415．(1)求n值；(2)若取出的2个集团是同一类集团，求全为大集团的概率；(3)若一次抽取4个集团，假设取出小集团的个数为X，求X的分布列．19.已知函数f(x)=x−sinx．(Ⅰ)求曲线y=f(x)在点(π2,f(π2))处的切线方程；(Ⅱ)求证：当x∈(0,π2)时，0<f(x)<16x3．20.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)过点A(2,0)，且离心率为√32．(Ⅰ)求椭圆C的方程；(Ⅱ)设直线y=kx+√3与椭圆C交于M，N两点，若直线x=3上存在点P，使得四边形PAMN 是平行四边形，求k的值．21.已知数列{a n}满足：na1+(n−1)a2+⋯+2a n−1+a n=2n．(1)求{a n}的通项公式；(2)是否存在正整数p，q，r(p<q<r)，使a p，a q，a r成等差数列，若存在，求出p，q，r的值；若不存在，说明理由．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：本题考查了共轭复数的定义、几何意义，属于基础题．利用共轭复数的定义、几何意义即可得出．解：复数z=−1+i，z=−1−i，∴z所对应的点(−1,−1)位于第三象限．故选：C．2.答案：B解析：本题考查交集的运算，属于基础题．可求出集合A，然后进行交集的运算即可．解：A={x|x2−4x<0}={x|0<x<4}，B={−1,3，7}，∴A∩B={3}．故选：B．3.答案：C解析：本题考查双曲线的简单性质，利用双曲线方程，求出c，然后求解双曲线的离心率的取值范围即可．解：若a>1，则双曲线x2a2−y2=1的离心率为：ca=√1+a2a=√1+1a2∈(1,√2).故选C．4.答案：D解析：解：若|a|=a，则a≥0，故A错误；若a=−b≠0时，a≠b，但|a|=|b|，故B错误；若|a|=|b|，则a=b或a=−b，故C错误；若a=−b，则|a|=|b|，故D正确；故选：D根据绝对值的定义和性质，逐一分析四个答案的正误，可得答案．本题以命题的真假判断为载体考查了绝对值的定义和性质，难度不大，属于基础题．5.答案：A解析：本题考查二项式系数的性质、利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题．利用二项展开式的中间项的二项式系数最大，列出方程求出n ；利用二项展开式的通项公式求出通项，令x 的指数为0求出常数项．解：依题意，n2+1=5， ∴n =8．二项式为(x2−1√x 3)8，其展开式的通项T k+1=(−1)k (12)8−k C 8k x 8−4k3 令8−4k 3=0解得k =6故常数项为C 86(x2)2(−1√x3)6=7．故选A ．6.答案：C解析：解：直线l ：y =k(x +4)过定点(−4,0)，不妨记A(−4,0)，设M(x 0,y 0)，B(x 1,y 1)，则{x 1=2x 0+4y 1=2y 0，代入(x +2)2+y 2=4，可得(x 0+3)2+y 02=1．∴M 的轨迹是以(−3,0)为圆心，1为半径的圆，则M 到直线3x −4y −6=0的距离的最大值为|−3×3−6|5+1=4．故选：C ．本题主要考查了与圆有关的轨迹问题，点到直线的距离公式，是中档题．由题意画出图形，利用待定系数法求出M 的轨迹，结合点到直线的距离公式得答案．7.答案：C解析：解：设t =g(t)=x 2−2ax +3，则函数y =log 2t 为增函数，若函数f(x)=log 2(x 2−2ax +3)在区间(−∞,1]内单调递减，则等价为g(t)=x 2−2ax +3在区间(−∞,1]内单调递减且g(1)>0，即{−−2a2=a ≥1g(1)=1−2a +3>0，即{a ≥1a <2，解得1≤a <2，故a 的取值范围是[1,2)，故选：C利用换元法，结合复合函数单调性之间的关系即可得到结论．本题主要考查复合函数单调性的应用，利用换元法结合复合函数单调性之间的关系是解决本题的关键．8.答案：D解析：本题考查了由几何体的三视图求几何体的体积，判断直观图是解题的关键，属于中档题．首先由三视图还原几何体，利用三视图的数据求解几何体的最长棱长即可．解：三视图表示的几何体为三棱锥D −ABC ，是正方体的一部分，易知正方体的棱长为：2，则此几何体的最长的棱长为：BD =√CD 2+BC 2=√4+4+1=3．故选D ．9.答案：C解析：解：由已知得公比q 满足：q 3=a 4+a5a 1+a 2=−8，所以q =−2，而a 1+a 2=−a 1=−32，所以a 1=32，故数列{a n }是摆动数列，故选：C ．由已知得公比q满足：q3=a4+a5a1+a2=−8，解得q，即可得出结论．本题考查了等比数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．10.答案：C解析：本题考查归纳推理的问题，解题时要注意对数性质的合理运用，是中档题．由已知得lg(m+2)=lg22016，由此能求出m．解：∵a n=log n+1(n+2)(n∈N∗)，∴a1⋅a2⋅…⋅a m=log23⋅log34⋅log45·…⋅log(m+1)(m+2)=lg3lg2⋅lg4lg3⋅lg5lg4·…⋅lg(m+2)lg(m+1)=lg(m+2)lg2，即lg(m+2)lg2=2 016，lg(m+2)=lg22016，解得m=22016−2．故选C．11.答案：x=−1解析：本题考查了抛物线的性质及几何意义．利用抛物线的准线方程得结论.解：由抛物线y2=4x，得p=2，所以准线方程为x=−1．故答案为x=−1．12.答案：13解析：解：设等差数列{a n}的公差为d，∵a3+a5+2a10=4，∴a3+(a3+2d)+2(a3+7d)=4，∴4(a3+4d)=4，即a7=a3+4d=1，∴数列的前13项的和S13=13(a1+a13)2=13×2a72=13a7=13故答案为：13．由已知数据和通项公式可得a7=1，再由求和公式和性质可得S13=13a7，代值计算可得．本题考查等差数列的性质和求和公式，求出a7=1是解决问题的关键，属基础题．13.答案：3。

2020年北京市密云区高考数学一模试卷 (含答案解析)

2020年北京市密云区高考数学一模试卷一、单项选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.已知集合M={y|y≥0}，N={y|y=−x2+1}，即M∩N=()A. (0,1)B. [0,1]C. [0,+∞)D. [1,+∞)2.若复数z=3+4i，则|z|z=()A. B. C. D.3.已知数列{a n}是等差数列，其前n项和为S n，若S2017=4034，则a3+a1009+a2015=()A. 2B. 4C. 6D. 84.设向量a⃗=(1,x−1)，b⃗ =(x+1,3)，则“x=2”是“a⃗//b⃗ ”的()A. 充分但不必要条件B. 必要但不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件5.已知a，b∈R，则“a>|b|”是“a2>b2”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件6.对任意实数k，直线kx−y−3k+4=0与圆C：(x−3)2+(y−4)2=16的位置关系是()A. 相交B. 相切C. 相离D. 与k取值有关7.函数f(x)=cos(ωx+φ)的部分图像如图所示，则f(x)的单调递减区间为()A. (kπ−14,kπ+34)，kϵZ B. (2kπ−14,2kπ+34)，kϵZC. (k−14,k+34)，kϵZ D. (2k−14,2k+34)，kϵZ8.已知一个四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥侧面的4个三角形面积的最大值为()A. 2B. √3C. √5D. 2√39.直线y=kx−2交抛物线y2=8x于A、B两点，若弦AB的中点M(2,m)，则k=()A. 2或−1B. −1C. 2D. 310.如图，正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为1，动点E在线段A1C1上，F，M分别是AD，CD的中点，则下列结论中错误的是()A. FM//A1C1B. 平面CC1FC. 三棱锥B−CEF的体积为定值D. 存在点E，使得平面BEF//平面CC1D1D二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）11.二项展开式(−1x+2x2)5中，含x4项的系数为______ ．12.已知双曲线的标准方程为x24−y216=1，则该双曲线的焦点坐标为，______渐近线方程为______．13.在等比数列{a n}中，S4=1，S8=3，则a17+a18+a19+a20的值是______ ．14.函数f(x)=cos(x+π2)·cos(x+π6)的最小正周期为______________．15.若方程xe−x−a+1=0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是______ ．三、解答题（本大题共6小题，共85.0分）16.在①acosB=bsinA，②b2+√2ac=a2+c2，③sinB+cosB=√2这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题．问题：已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，______，△ABC的面积为2，a=2，求b．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．17.已知正方形ABCD的边长为2，E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点．(1)在正方形ABCD内部随机取一点P，求满足|PH|<√2的概率；(2)从A、B、C、D、E、F、G、H这八个点中，随机选取两个点，记这两个点之间的距离为ξ，求随机变量ξ的分布列与数学期望Eξ．18.如图，四棱锥S−ABCD的底面是矩形，SA⊥底面ABCD，AB=SA=1，AD=2，且P为BC的中点．(1)求直线AP与平面SPD所成角的正弦值；(2)求二面角C−SD−P的余弦值．19.已知函数f(x)=e x⋅sinx−1，(1)求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程；(2)求f(x)在区间[0,π]上零点个数．20.已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2，离心率e=√22，且椭圆的短轴长为2．(1)求椭圆的标准方程；(2)已知直线l1，l2过右焦点F2，且它们的斜率乘积为−12，设l1，l2分别与椭圆交于点A，B和C，D．①求AB+CD的值；②设AB的中点M，CD的中点为N，求△OMN面积的最大值．21.设{a n}是等差数列，a1=–10，且a2+10，a3+8，a4+6成等比数列．(Ⅰ)求{a n}的通项公式；(Ⅱ)记{a n}的前n项和为S n，求S n的最小值．【答案与解析】1.答案：B解析：本题考查交集运算，考查计算能力，属于基础题．可求出集合N={y|y≤1}，然后进行交集的运算即可．解：N={y|y≤1}，且M={y|y≥0}；∴M∩N=[0,1]．故选B．2.答案：A解析：本题考查复数代数形式的混合运算，基本知识的考查．直接求出复数的模，利用复数的代数形式的混合运算求复数为a+bi的形式即可．解：∵复数z=3+4i∴|z|=√32+42=5，∴|z|z=53+4i=5(3−4i)(3+4i)(3−4i)=3−4i5=35−45i.故选A．3.答案：C解析：本题考查等差数列的性质和求和，属于基础题．根据等差数列性质和等差数列前n项和公式可以求出答案．解：∵已知数列{a n}是等差数列，其前n项和为S n，S2017=4034，∴S2017=20172(a1+a2017)=2017a1009=4034,∴a1009=2,∴a3+a1009+a2015=3a1009=6．故选C．4.答案：A解析：解：依题意，a⃗//b⃗ ⇔3−(x−1)(x+1)=0⇔x=±2，所以“x=2”是“a⃗//b⃗ ”的充分但不必要条件；故选A利用向量共线的充要条件求出a⃗//b⃗ 的充要条件，利用充要条件的定义判断出“x=2”是a⃗//b⃗ 的充分但不必要条件．本题考查向量共线的充要条件：坐标交叉相乘相等、考查充要条件的判断．5.答案：A解析：解：“a>|b|”⇒“a2>b2”，反之不成立，例如a=−3，b=−2．因此a>|b|”是“a2>b2”的充分不必要条件．故选：A．利用不等式的性质即可判断出关系．本题考查了简易逻辑的判定方法、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．6.答案：A=0，所以直解析：解：由已知圆的圆心为(3,4)，它到直线kx−y−3k+4=0的距离为√k2+1线过圆心，由此直线与圆相交；故选A．由已知得到圆的圆心为(3,4)，判断圆心到直线的距离与半径比较即可．本题考查了直线与圆的位置关系的判断；只要利用点到直线的距离公式得到圆心到直线的距离，然后与半径比较，小于半径相交；等于半径相切，大于半径相离．7.答案：D解析：本题主要考查由函数y=Asin(ωx+φ)的部分图象求解析式，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值；还考查了余弦函数的单调性，属于基础题．由周期求出ω，由五点法作图求出φ，可得f(x)的解析式，再根据余弦函数的单调性，求得f(x)的减区间．解：由函数f(x)=cos(ωx+φ)的部分图象，可得函数的周期为2πω=2(54−14)=2，∴ω=π，f(x)=cos(πx+φ)．再根据函数的图象以及五点法作图，可得π4+φ=π2，k∈z，即φ=π4，f(x)=cos(πx+π4).由2kπ≤πx+π4≤2kπ+π，k∈z，求得2k−14≤x≤2k+34，k∈z，故f(x)的单调递减区间为(2k−14,2k+34)，k∈z，故选D.8.答案：A解析：解：根据几何体的三视图，转换为几何体为：四棱锥P−ABCD的4个侧面都是直角三角形，面积最大值是△PCD的面积，S=12⋅2⋅2=2．故选：A．首先把三视图转换为几何体，进一步利用关系式求出结果．本题考查的知识要点：三视图和几何体的转换，几何体的体积公式和面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．9.答案：C解析：直线y=kx−2代入抛物线y2=8x，利用AB的中点的横坐标为2，结合韦达定理，求出k的值，本题考查弦长的求法，考查直线与抛物线的位置关系，考查学生的计算能力，属于基础题．解：直线y=kx−2代入抛物线y2=8x，整理可得k2x2−(4k+8)x+4=0，Δ=(4k+8)2−16k2=64k+64>0，即k>−1，设A(x1,y1)，B(x2,y2)，则∵AB的中点的横坐标为2，=4得k=−1(舍去)或k=2，∴x1+x2=4k+8k2故选：C10.答案：D解析：本题考查了空间里的线线平行、线面垂直，以及空间体体积的计算，属于基础题．A，由F、M分别是AD、CD的中点，由中位线的性质可求解；B，由线面垂直的性质可判断；C，三棱锥B−CEF以面BCF为底，高是定值，则体积为定值；D，由BF与平面CC1D1D有交点，所以不存在点E．解：A：因为F、M分别是AD、CD的中点，所以FM//AC//A1C1，故正确；B：在正方体ABCD−A1B1C1D1中，F，M分别是AD，CD的中点，故DF=MC，DC=BC，且∠FDC=∠MCB，故△FDC≌△MCB，故∠FCD=∠MBC，而∠BMC+∠MBC=90°，故∠BMC+∠FCD=90°，故可得BM⊥CF，又CC1⊥平面ABCD，BM⊂平面ABCD，则BM⊥C1C，CF∩C1C=C，且CF，CC1⊂平面CC1F，所以BM⊥平面CC1F，故正确；C：V B−CEF=V E−BCF，以面BCF为底时，底面△BCF面积为定值，且点E到平面BCF的距离为AA1，也为定值，所以体积为定值，故正确；D：BF与平面CC1D1D有交点，所以不存在点E，使得平面BEF//平面CC1D1D，故错误．故选D．11.答案：80解析：解：二项式(−1x+2x2)5的展开式中通项公式为T r+1=C5r(−1)5−r x−1(5−r)2r x2r=C5r(−1)5−r2r x3r−5．令3r−5=4，可得r=3，∴展开式中含x4的项的系数是C53(−1)223=80，故答案为：80．先求出二项式(−1x+2x2)5的展开式中通项公式，令x的系数等于4，求出r的值，即可求得展开式中含x4的项的系数．本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．12.答案：(±2√5,0)；y=±2x解析：解：双曲线x24−y216=1的a=2，b=4，c=√a2+b2=2√5，可得焦点的坐标为(±2√5,0)，渐近线方程为y=±bax，即为y=±2x．故答案为：(±2√5,0)，y=±2x．求出双曲线的a，b，c，即可得到焦点坐标；由渐近线方程为y=±bax，可得所求渐近线方程．本题考查双曲线的方程和性质，主要是焦点的求法和渐近线方程的求法，考查运算能力，属于基础题．13.答案：16解析：解：∵S4=1，S8=3，∴S8−S4=2．而等比数列依次K项和为等比数列，则a17+a18+a19+a20=(a1+a2+a3+a4)⋅25−1=16．故答案为16．根据等比数列的性质可知，从第1项开始，每四项的和都成新等比数列，由S4=1，S8−S4=2，新等比数列的公比为2，首项为1，而所求的式子(a17+a18+a19+a20)为此新数列的第5项，根据等比数列的通项公式即可求出值．此题考查学生掌握等比数列的性质，灵活运用等比数列的通项公式化简求值，是一道中档题．14.答案：解析：本题考察了三角函数的恒等变换，二倍角公式及诱导公式化简．利用公式化简得f(x)的解析式为，由此求得f(x)的最小正周期．解：f(x)=cos(x+π2)·cos(x+π6)=−sinx(√32cosx−12sinx)故函数f(x)的最小正周期为2π2=π，故答案是：π．15.答案：(1,1+1e)解析：方程xe−x−a+1=0有两个不相等的实数根可化为e x=xa−1有两个不相等的实数根，再化为函数y=e x与y=xa−1的交点个数问题，从而作函数的图象，结合导数求解．本题考查了方程的根与函数的图象的交点的关系应用，同时考查了切线的斜率与导数的几何意义的应用，属于中档题．解：∵方程xe−x−a+1=0有两个不相等的实数根，∴方程xe−x=a−1有两个不相等的实数根，而当a−1=0时，方程xe−x=a−1只有一个根0，故不成立；故a−1≠0；有两个不相等的实数根，故e x=xa−1的图象如下，作函数y=e x与y=xa−1设切点为A(x,e x)；；则e x=e xx故x=1；即切线的斜率k=e；1>e；a−1解得1<a<1+1；e).故答案为(1,1+1e16.答案：解：若选①：acosB=bsinA，由正弦定理得sinAcosB=sinBsinA，由sinA≠0，可得cosB=sinB，所以tanB=1，所以；acsinB=2，∵S△ABC=12a=2，sinB=√22，所以c=2√2．由余弦定理得b2=a2+c2−2accosB=4+8−8√2×√22=4，所以b=2．选②：b2+√2ac=a2+c2，由余弦定理可得，cosB=a2+c2−b22ac =√22，因为，故；∵S△ABC=12acsinB=2，a=2，sinB=√22，所以c=2√2．则b2=a2+c2−√2ac=4+8−√2×2×2√2=4，所以b=2．若选③：由sinB+cosB=√2，可得，即，，所以，则；∵S△ABC=12acsinB=2，a=2，sinB=√22，所以c=2√2．由余弦定理得b2=a2+c2−2accosB=4+8−8√2×√22=4，所以b=2．解析：本题考查了正弦定理、余弦定理、两角和与差的三角函数公式、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．选①由正弦定理得tanB=1，解得B；选②由余弦定理可得cosB=a2+c2−b22ac =√22，进而解得B；选③由辅助角公式可得，进而解得B；再由题意求出c=2√2，再利用余弦定理即可得到答案．17.答案：解：(1)如图所示，正方形的面积S正方形ABCD=2×2=4．设“满足|PH|<√2的正方形内部的点P的集合”为事件M，则S(M)=S△DGH+S△AEH+S扇形EGH=2×12×12+12×√2×π2×√2=1+π2．∴P(M)=1+π24=π8+14．故满足|PH|<√2的概率为π8+14．(2)从A、B、C、D、E、F、G、H这八个点中，随机选取两个点，共可得到C82=28线段．其中长度等于1的有8条：AE、EB、BF、FC、CG、GD、DH、HA；长度等于√2的由4条：EF、FG、GH、HE；长度等于2的有6条：AB、BC、CD、DA、EG、FH；长度等于√5的有8条，AF、AG、BG、BH、CE、CH、DE、DF；长度等于2√2的由2条AC、BD．∴ξ的所有可能的取值为1，√2，2，√5，2√2．则P(ξ=1)=828=27，P(ξ=√2)=428=17，P(ξ=2)=628=314，P(ξ=√5)=828=27，P(ξ=2√2)=2 28=114．随机变量ξ的分布列为Eξ=1×27+√2×17+2×314+√5×27+2√2×114=5+2√2+2√57．解析：(1)根据几何概型的概率计算公式，分别求出正方形的面积和满足|PH|<√2的正方形内部的点P的集合”的面积即可得出；(2)从A、B、C、D、E、F、G、H这八个点中，随机选取两个点，共可得到C82=28线段．这些线段的长度ξ的所有可能取值分别为1,√2,2,√5,2√2，找出相应长度的线段条数，利用古典概型的概率计算公式即可得出．本题考查了利用古典概型的概率计算公式求几何概率及其分布列和数学期望，正确求出试验的全部结果所构成的区域的面积和长度以及要求的事件的区域的面积和长度是解题的关键．18.答案：解：因为SA ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是矩形，所以AB,AD,AS 两两垂直，以AB,AD,AS 所在直线为坐标原点建立如图所示的坐标系，则各点坐标如下：A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,2,0),D(0,2,0),S(0,0,1),P(1,1,0)(1)AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1,0)，PD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,1,0)，SD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2,−1)，设平面SPD 的一个法向量为n 1⃗⃗⃗⃗ =(1,y,z)，由n 1⃗⃗⃗⃗ ⋅PD ⃗⃗⃗⃗⃗ =0, n 1⃗⃗⃗⃗ ⋅SD ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，可得y =1, z =2，平面SPD 的一个法向量为n 1⃗⃗⃗⃗ =(1,1,2)，所以cos <n 1⃗⃗⃗⃗ ,AP ⃗⃗⃗⃗⃗ >=√12+12+22⋅√12+12+02=√33，则直线AP 与平面SPD 所成角的正弦值等于cos <n 1⃗⃗⃗⃗ ,AP ⃗⃗⃗⃗⃗ >为√33；(2)DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,0)，SD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2,−1)，设平面SPD 的一个法向量为n 2⃗⃗⃗⃗ =(x,y,2)，由n 2⃗⃗⃗⃗ ⋅DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0, n 2⃗⃗⃗⃗ ⋅SD ⃗⃗⃗⃗⃗ =0可得x =0, y =1，平面SPD 的一个法向量为n 2⃗⃗⃗⃗ =(0,1,2)，由(1)可知，平面SPD 的一个法向量为n 1⃗⃗⃗⃗ =(1,1,2)，所以cos <n 1⃗⃗⃗⃗ ,n 2⃗⃗⃗⃗ >=√12+12+22⋅√02+12+22=√306，由图可知，二面角C −SD −P 为锐二面角，因此二面角C −SD −P 的余弦值为√306．解析：本题考查空间角的计算，利用向量的方法减少了思维量，使问题变得容易解决；(1)以AB ，AD ，AS 所在直线为坐标原点建立坐标系，直线AP 与平面SPD 所成角通过AP ⃗⃗⃗⃗⃗ 与面SPD 的法向量的夹角间接求解(2)分别求出平面SCD ，平面PSD 的一个法向量，利用两法向量夹与二面角的关系求解．19.答案：解：(1)f′(x )=e x (sinx +cosx )，因为f′(0)=1，f(0)=−1，所以曲线在点(0,f(0))处的切线方程为y =x −1， (2)当x ∈[0,34π)时，sinx +cosx >0，所以f′(x)>0；当x ∈(3π4,π]时，sinx +cosx <0，则f′(x)<0，f(x)max =f(3π4)=e3π4√22−1>0，f(0)=f(π)=−1<0， f(x)在区间[0,π]上恰有2个零点．解析：本题考查利用导数知研究曲线的切线方程，考查函数的零点，考查函数的单调性，考查分类讨论的数学思想，属于中档题.(1)利用f′(0)=1，f(0)=−1，得出切线的方程；(2)分类讨论，确定函数的单调性，由函数的最值，即可探究函数y =f(x)的零点个数．20.答案：解：(1)∵椭圆的短轴长为2，∴b =1，又∵e =√1−b 2a2=√1−1a 2=√22，a 2=2,所以椭圆的方程为x 22+y 2=1．(2)①F 2(1,0)，设直线AB 的方程为y =k(x −1),A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)，{x 2+2y 2=2y =k(x −1)，x 2+2k 2(x 2−2x +1)=2,(1+2k 2)x 2−4k 2x +2k 2−2=0， x 1+x 2=4k 21+2k ,x 1x 2=2k 2−21+2k ， |x 1−x 2|=√16k 4(1+2k 2)2−4(2k 2−2)(1+2k 2)(1+2k 2)2=2√2√1+k 21+2k 2，|AB|=2√2(1+k 2)1+2k 2， ∵K AB K CD =−12，用−12k 替换上式中的k 得∴|CD|=√2(4k 2+1)2k 2+1， |AB|+|CD|=2√2(k 2+1)1+2k 2+√2(4k 2+1)1+2k 2=6√2k 2+3√21+2k 2=3√2．②由①知，x 1+x 2=4k 21+2k ，M 点的横坐标为2k 21+2k ，代入直线方程得y =k(2k 21+2k −1)=−k1+2k ，即M(2k 21+2k 2,−k1+2k 2)，用−12k 替换M 点坐标k 得N(11+2k 2,k1+2k 2)，MN 的中点T 的坐标为(12,0)，SΔOMN=12×OT×|y M−y N|=14×|2k|1+2k2=12×|k|1+2k2=12×11|k|+2|k|≤122√2=√28，当且仅当|k|=√22时取等号．∴ΔOMN面积的最大值为√28．解析：本题考查椭圆的几何性质及直线与椭圆的位置关系，属于中档题．(1)由b根据离心率求出a即可；(2)①设直线AB的方程为y=k(x−1),A(x1,y1),B(x2,y2)，根据弦长公式求出|AB|，再根据斜率的关系求出|CD|，整理即可；②求出M，N的坐标，代入面积公式，利用基本不等式即可求解．21.答案：解：(Ⅰ)设等差数列{a n}的公差为d，因为a2+10,a3+8,a4+6成等比数列，所以(a3+8)2=(a2+10)(a4+6)，即(2d−2)2=d(3d−4)，解得d=2，所以a n=−10+2(n−1)=2n−12．(Ⅱ)由(Ⅰ)知a n=2n−12，所以S n=−10+2n−122×n=n2−11n=(n−112)2−1214，当n=5或者n=6时，S n取到最小值−30．解析：本题主要考查等差数列的通项公式，等差数列与等比数列的综合应用，属于中档题．(Ⅰ)因为a2+10,a3+8,a4+6成等比数列，所以(a3+8)2=(a2+10)(a4+6)，即(2d−2)2= d(3d−4)，即可求解．(Ⅱ)由(Ⅰ)知a n=2n−12，所以S n=−10+2n−122×n=n2−11n，求解即可．。

2020年北京市东城区高考数学一模试卷 (word版含解析)

2020年北京市东城区高考数学（4月份）第一次模拟试卷一、选择题（共10小题）.1．已知集合A＝{x|x（x+1）≤0}，集合B＝{x|﹣1＜x＜1}，则A∪B＝（）A．{x|﹣1≤x≤1}B．{x|﹣1＜x≤0}C．{x|﹣1≤x＜1} D．{x|0＜x＜1}2．已知复数z＝（其中i是虚数单位），则|z|＝（）A．B．C．1 D．23．抛物线x2＝4y的准线与y轴的交点的坐标为（）A．B．（0，﹣1）C．（0，﹣2）D．（0，﹣4）4．设函数f（x）＝x+﹣2（x＜0），则f（x）（）A．有最大值B．有最小值C．是增函数D．是减函数5．已知曲线C的方程为，则“a＞b”是“曲线C为焦点在x轴上的椭圆”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件6．一排6个座位坐了2个三口之家．若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为（）A．12 B．36 C．72 D．7207．已知圆C与直线y＝﹣x及x+y﹣4＝0的相切，圆心在直线y＝x上，则圆C的方程为（）A．（x﹣1）2 +（y﹣1）2 ＝2 B．（x﹣1）2 +（y+1）2 ＝2C．（x+1）2 +（y﹣1）2 ＝4 D．（x+1）2 +（y+1）2 ＝48．已知正项等比数列{a n}中，a1a5a9＝27，a6与a7的等差中项为9，则a10＝（）A．729 B．332 C．181 D．969．春天来了，某池塘中的荷花枝繁叶茂，已知每一天新长出荷叶覆盖水面面积是前一天的2倍，若荷叶20天可以完全长满池塘水面，则当荷叶刚好覆盖水面面积一半时，荷叶已生长了（）A．10天B．15天C．19天D．2天10．某学校高三教师周一、周二、周三坐地铁上班的人数分别是8，10，14，若这三天中至少有一天开车上班的职工人数是20，则这三天都开车上班的职工人数至多是（）A．8 B．7 C．6 D．5二、填空题共5题，每题5分，共25分．11．设向量，不平行，向量λ+与+2平行，则实数λ＝．12．已知角α的顶点在坐标原点，始边与x轴的正半轴重合，将角α的终边按逆时针方向旋转后经过点（﹣1，），则sinα＝．13．某四棱锥的三视图如图所示，那么该四棱锥的体积为．14．若顶点在原点的抛物线经过四个点（1，1），，（2，1），（4，2）中的2个点，则该抛物线的标准方程可以是．15．某部影片的盈利额（即影片的票房收入与固定成本之差）记为y，观影人数记为x，其函数图象如图（1）所示．由于目前该片盈利未达到预期，相关人员提出了两种调整方案，图（2）、图（3）中的实线分别为调整后y与x的函数图象．给出下列四种说法：①图（2）对应的方案是：提高票价，并提高成本；②图（2）对应的方案是：保持票价不变，并降低成本；③图（3）对应的方案是：提高票价，并保持成本不变；④图（3）对应的方案是：提高票价，并降低成本．其中，正确的说法是．（填写所有正确说法的编号）三、解答题16．如图1，在△ABC中，D，E分别为AB，AC的中点，O为DE的中点，AB＝AC＝2，BC＝4．将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使得平面A1DE⊥平面BCED，如图．（Ⅰ）求证：A1O⊥BD；（Ⅱ）求直线A1C和平面A1BD所成角的正弦值；17．在①b2+ac＝a2+c2，②a cos B＝b sin A，③sin B+cos B＝，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，_______，A＝，b ＝，求△ABC的面积．18．为了解甲、乙两个快递公司的工作状况，假设同一个公司快递员的工作状况基本相同，现从甲、乙两公司各随机抽取一名快递员，并从两人某月（30天）的快递件数记录结果中随机抽取10天的数据，制表如图：每名快递员完成一件货物投递可获得的劳务费情况如下：甲公司规定每件4.5元；乙公司规定每天35件以内（含35件）的部分每件4元，超出35件的部分每件7元．（Ⅰ）根据表中数据写出甲公司员工A在这10天投递的快递件数的平均数和众数；（Ⅱ）为了解乙公司员工B的每天所得劳务费的情况，从这10天中随机抽取1天，他所得的劳务费记为X（单位：元），求X的分布列和数学期望；（Ⅲ）根据表中数据估算两公司的每位员工在该月所得的劳务费．19．已知函数f（x）＝lnx﹣．（1）若曲线y＝f（x）存在斜率为﹣1的切线，求实数a的取值范围；（2）求f（x）的单调区间；（3）设函数g（x）＝，求证：当﹣1＜a＜0时，g（x）在（1，+∞）上存在极小值．20．已知椭圆C：x2+3y2＝6的右焦点为F．（Ⅰ）求点F的坐标和椭圆C的离心率；（Ⅱ）直线l：y ＝kx+m（k≠0）过点F，且与椭圆C交于P，Q两点，如果点P关于x轴的对称点为P′，判断直线P'Q 是否经过x轴上的定点，如果经过，求出该定点坐标；如果不经过，说明理由．21．各项均为非负整数的数列{a n}同时满足下列条件：①a1＝m（m∈N*）；②a n≤n﹣1（n≥2）；③n是a1+a2+…+a n的因数（n≥1）．（Ⅰ）当m＝5时，写出数列{a n}的前五项；（Ⅱ）若数列{a n}的前三项互不相等，且n≥3时，a n为常数，求m的值；（Ⅲ）求证：对任意正整数m，存在正整数M，使得n≥M 时，a n为常数．参考答案一、选择题共10题，每题4分，共40分．在每题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知集合A＝{x|x（x+1）≤0}，集合B＝{x|﹣1＜x＜1}，则A∪B＝（）A．{x|﹣1≤x≤1}B．{x|﹣1＜x≤0}C．{x|﹣1≤x＜1} D．{x|0＜x＜1}【分析】先求出集合A，集合B，由此能求出A∪B．解：∵集合A＝{x|x（x+1）≤0}＝{x|﹣1≤x≤0}，集合B＝{x|﹣1＜x＜1}，∴A∪B＝{x|﹣1≤x＜1}．故选：C．2．已知复数z＝（其中i是虚数单位），则|z|＝（）A．B．C．1 D．2【分析】利用复数模长的性质即可求解．解：∵复数z＝，∴＝＝，故选：A．3．抛物线x2＝4y的准线与y轴的交点的坐标为（）A．B．（0，﹣1）C．（0，﹣2）D．（0，﹣4）【分析】利用抛物线x2＝4y的准线方程为y＝﹣1，即可求出抛物线x2＝4y的准线与y轴的交点的坐标．解：抛物线x2＝4y的准线方程为y＝﹣1，∴抛物线x2＝4y的准线与y轴的交点的坐标为（0，﹣1），故选：B．4．设函数f（x）＝x+﹣2（x＜0），则f（x）（）A．有最大值B．有最小值C．是增函数D．是减函数【分析】根据x＜0即可根据基本不等式得出，从而可得出f（x）≤﹣4，并且x＝﹣1时取等号，从而得出f（x）有最大值，没有单调性，从而得出正确的选项．解：∵x＜0，∴，当且仅当，即x＝﹣1时取等号，∴f（x）有最大值，∴f（x）在（﹣∞，0）上没有单调性．故选：A．5．已知曲线C的方程为，则“a＞b”是“曲线C为焦点在x轴上的椭圆”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】根据椭圆方程的特点，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．解：若a＞b＞0，则对应的曲线为双曲线，不是椭圆，即充分性不成立，若曲线C为焦点在x轴上的椭圆，则满足a＞﹣b＞0，即a＞0，b＜0，满足a＞b，即必要性成立，即“a＞b”是“曲线C为焦点在x轴上的椭圆”的必要不充分条件，故选：B．6．一排6个座位坐了2个三口之家．若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为（）A．12 B．36 C．72 D．720【分析】根据题意，由捆绑法分析：先将2个三口之家的成员进行全排列，再对2个三口之家整体进行全排列，由分步计数原理计算可得答案．解：根据题意，先将2个三口之家的成员进行全排列，有＝36种情况，再对2个三口之家整体进行全排列，有＝2种情况，则有36×2＝72种不同的坐法；故选：C．7．已知圆C与直线y＝﹣x及x+y﹣4＝0的相切，圆心在直线y＝x上，则圆C的方程为（）A．（x﹣1）2 +（y﹣1）2 ＝2 B．（x﹣1）2 +（y+1）2 ＝2C．（x+1）2 +（y﹣1）2 ＝4 D．（x+1）2 +（y+1）2 ＝4【分析】根据圆心在直线y＝x上，设出圆心坐标为（a，a），利用圆C与直线y＝﹣x及x+y﹣4＝0的相切，求得圆心坐标，再求圆的半径，可得圆的方程．解：圆心在y＝x上，设圆心为（a，a），∵圆C与直线y＝﹣x及x+y﹣4＝0的相切，∴圆心到两直线y＝﹣x及x+y﹣4＝0的距离相等，即：⇒a＝1，∴圆心坐标为（1，1），R＝＝，圆C的标准方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2＝2．故选：A．8．已知正项等比数列{a n}中，a1a5a9＝27，a6与a7的等差中项为9，则a10＝（）A．729 B．332 C．181 D．96【分析】正项等比数列{a n}的公比设为q，q＞0，运用等差数列的中项性质和等比数列的通项公式及性质，解方程可得公比q，再由等比数列的通项公式计算可得所求值．解：正项等比数列{a n}的公比设为q，q＞0，由a1a5a9＝27，可得a53＝27，即a5＝3，即a1q4＝3，①a6与a7的等差中项为9，可得a6+a7＝18，即a1q5+a1q6＝18，②①②相除可得q2+q﹣6＝0，解得q＝2（﹣3舍去），则a10＝a5q5＝3×32＝96．故选：D．9．春天来了，某池塘中的荷花枝繁叶茂，已知每一天新长出荷叶覆盖水面面积是前一天的2倍，若荷叶20天可以完全长满池塘水面，则当荷叶刚好覆盖水面面积一半时，荷叶已生长了（）A．10天B．15天C．19天D．2天【分析】由题意设荷叶覆盖水面的初始面积，再列出解析式，并注明x的范围，列出方程求解即可．解：设荷叶覆盖水面的初始面积为a，则x天后荷叶覆盖水面的面积y＝a•2x（x∈N+），根据题意，令2（a•2x）＝a•220，解得x＝19，故选：C．10．某学校高三教师周一、周二、周三坐地铁上班的人数分别是8，10，14，若这三天中至少有一天开车上班的职工人数是20，则这三天都开车上班的职工人数至多是（）A．8 B．7 C．6 D．5【分析】设周三，周二，周一开车上班的职工组成的集合分别为A，B，C，集合A，B，C中元素个数分别为n（A），n（B），n（C），根据n（A∪B∪C）＝n（A）+n（B）+n（C）﹣n（A∩B）﹣n（A∩C）﹣n（B∩C）+n（A∩B∩C），且n（A∩B）≥n（A∩B∩C），n（A∩C）≥n（A∩B∩C），n （B∩C）≥n（A∩B∩C）可得．解：设周三，周二，周一开车上班的职工组成的集合分别为A，B，C，集合A，B，C中元素个数分别为n（A），n（B），n（C），则n（A）＝14，n（B）＝10，n（C）＝8，n（A∪B∪C）＝20，因为n（A∪B∪C）＝n（A）+n（B）+n（C）﹣n（A∩B）﹣n（A∩C）﹣n（B∩C）+n（A∩B∩C），且n（A∩B）≥n（A∩B∩C），n（A∩C）≥n（A∩B∩C），n（B∩C）≥n（A∩B∩C），所以14+10+8﹣20+n（A∩B∩C）≥3n（A∩B∩C），即n（A∩B∩C）≤＝6．故选：C．二、填空题共5题，每题5分，共25分．11．设向量，不平行，向量λ+与+2平行，则实数λ＝．【分析】利用向量平行的条件直接求解．解：∵向量，不平行，向量λ+与+2平行，∴λ+＝t（+2）＝，∴，解得实数λ＝．故答案为：．12．已知角α的顶点在坐标原点，始边与x轴的正半轴重合，将角α的终边按逆时针方向旋转后经过点（﹣1，），则sinα＝1．【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义，先求得α的值，可得sinα的值．解：∵角α的顶点在坐标原点，始边与x轴的正半轴重合，将角α的终边按逆时针方向旋转后经过点（﹣1，），∴tan（α+）＝＝﹣，故α+为第二象限角．∴可令α+＝，此时，α＝，sinα＝1，故答案为：1．13．某四棱锥的三视图如图所示，那么该四棱锥的体积为．【分析】画出几何体的直观图，利用三视图的数据，求解几何体的体积．解：几何体的直观图如图：是长方体的一部分，长方体的棱长为：2，1，2，四棱锥的体积为：×1×2×2＝．故答案为：．14．若顶点在原点的抛物线经过四个点（1，1），，（2，1），（4，2）中的2个点，则该抛物线的标准方程可以是x2＝8y或y2＝x．【分析】由题意可设抛物线方程为y2＝2px（p＞0）或x2＝2py（p＞0），然后分类求解得答案．解：由题意可得，抛物线方程为y2＝2px（p＞0）或x2＝2py（p＞0）．若抛物线方程为y2＝2px（p＞0），代入（1，1），得p＝，则抛物线方程为y2＝x，此时（4，2）在抛物线上，符合题意；若抛物线方程为x2＝2py（p＞0），代入（2，1），得p＝2，则抛物线方程为x2＝8y，此时（2，）在抛物线上，符合题意．∴抛物线的标准方程可以是x2＝8y或y2＝x．故答案为：x2＝8y或y2＝x．15．某部影片的盈利额（即影片的票房收入与固定成本之差）记为y，观影人数记为x，其函数图象如图（1）所示．由于目前该片盈利未达到预期，相关人员提出了两种调整方案，图（2）、图（3）中的实线分别为调整后y与x的函数图象．给出下列四种说法：①图（2）对应的方案是：提高票价，并提高成本；②图（2）对应的方案是：保持票价不变，并降低成本；③图（3）对应的方案是：提高票价，并保持成本不变；④图（3）对应的方案是：提高票价，并降低成本．其中，正确的说法是②③．（填写所有正确说法的编号）【分析】解题的关键是理解图象表示的实际意义，进而得解．解：由图可知，点A纵坐标的相反数表示的是成本，直线的斜率表示的是票价，故图（2）降低了成本，但票价保持不变，即②对；图（3）成本保持不变，但提高了票价，即③对；故选：②③．三、解答题共6题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16．如图1，在△ABC中，D，E分别为AB，AC的中点，O为DE的中点，AB＝AC＝2，BC＝4．将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使得平面A1DE⊥平面BCED，如图．（Ⅰ）求证：A1O⊥BD；（Ⅱ）求直线A1C和平面A1BD所成角的正弦值；【分析】（Ⅰ）推导出A1O⊥DE，从而A1O⊥平面BCDE，由此能证明A1O⊥BD．（Ⅱ）以O为原点，在平面BCED中过点O作DE的垂线为x轴，以OE为y轴，OA1为z轴，建立空间直角坐标系，由此能求出直线A1C和平面A1BD所成角的正弦值．解：（Ⅰ）证明：∵在△ABC中，D，E分别为AB，AC的中点，O为DE的中点，AB＝AC＝2，BC＝4．∴A1O⊥DE，∵将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使得平面A1DE⊥平面BCED，∴A1O⊥平面BCDE，∵BD⊂平面BCDE，∴A1O⊥BD．（Ⅱ）解：以O为原点，在平面BCED中过点O作DE的垂线为x轴，以OE为y轴，OA1为z轴，建立空间直角坐标系，A1（0，0，2），C（2，2，0），B（2，﹣2，0），D（0，﹣1，0），＝（2，2，﹣2），＝（2，﹣1，0），＝（0，1，2），设平面A1BD的法向量为＝（x，y，z），则，取x＝1，得＝（1，2，﹣1），设直线A1C和平面A1BD所成角为θ，则直线A1C和平面A1BD所成角的正弦值为：sinθ＝＝＝．17．在①b2+ac＝a2+c2，②a cos B＝b sin A，③sin B+cos B＝，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，_______，A＝，b＝，求△ABC的面积．【分析】取①，由余弦定理可得cos B＝进而解得B，C的大小也可得出，再由正弦定理可得a，最后利用三角形的面积公式计算即可得出；取②a cos B＝b sin A，由正弦定理可得：tan B＝1，B∈（0，π），解得B，可得sin C＝sin（A+B），由正弦定理可得：a，利用三角形面积计算公式即可得出；取③，可得，由此可求出B的大小，C的大小也可得出，再由正弦定理可得a，最后利用三角形的面积公式计算即可得出；解：（1）若选择①，由余弦定理，……………因为B∈（0，π），所以；……………………由正弦定理，得，……………因为，，所以，……………所以………所以．……………（2）若选择②a cos B＝b sin A，则sin A cos B＝sin B sin A，……………因为sin A≠0，所以sin B＝cos B，……………因为B∈（0，π），所以；……………由正弦定理，得，……………因为，，所以，……………所以，…所以．……………（3）若选择③，则，所以，……………因为B∈（0，π），所以，所以，所以；……………由正弦定理，得，……………因为，，所以，……………所以，………18．为了解甲、乙两个快递公司的工作状况，假设同一个公司快递员的工作状况基本相同，现从甲、乙两公司各随机抽取一名快递员，并从两人某月（30天）的快递件数记录结果中随机抽取10天的数据，制表如图：每名快递员完成一件货物投递可获得的劳务费情况如下：甲公司规定每件4.5元；乙公司规定每天35件以内（含35件）的部分每件4元，超出35件的部分每件7元．（Ⅰ）根据表中数据写出甲公司员工A在这10天投递的快递件数的平均数和众数；（Ⅱ）为了解乙公司员工B的每天所得劳务费的情况，从这10天中随机抽取1天，他所得的劳务费记为X（单位：元），求X的分布列和数学期望；（Ⅲ）根据表中数据估算两公司的每位员工在该月所得的劳务费．【分析】（Ⅰ）由茎叶图能求出甲公司员工A投递快递件数的平均数和众数．（Ⅱ）由题意能求出X的可能取值为136，147，154，189，203，分别求出相对应的概率，由此能求出X的分布列和数学期望．（Ⅲ）利用（Ⅱ）的结果能估算算两公司的每位员工在该月所得的劳务费．解：（Ⅰ）甲公司员工A投递快递件数的平均数为：＝（32+33+33+38+35+36+39+33+41+40）＝36，众数为33．（Ⅱ）设a为乙公司员工B投递件数，则当a＝34时，X＝136元，当a＞35时，X＝35×4+（a﹣35）×7元，∴X的可能取值为136，147，154，189，203，P（X＝136）＝，P（X＝147）＝，P（X＝154）＝，P（X＝189）＝，P（X＝203）＝，X的分布列为：X136 147 154 189 203P＝．（Ⅲ）根据图中数据，由（Ⅱ）可估算：甲公司被抽取员工该月收入＝36×4.5×30＝4860元，乙公司被抽取员工该月收入＝165.5×30＝4965元．19．已知函数f（x）＝lnx﹣．（1）若曲线y＝f（x）存在斜率为﹣1的切线，求实数a的取值范围；（2）求f（x）的单调区间；（3）设函数g（x）＝，求证：当﹣1＜a＜0时，g（x）在（1，+∞）上存在极小值．【分析】（1）求出函数的导数，问题转化为x2+x+a＝0存在大于0的实数根，根据y＝x2+x+a在x ＞0时递增，求出a的范围即可；（2）求出函数f（x）的导数，通过讨论a的范围，判断导函数的符号，求出函数的单调区间即可；（3）求出函数g（x）的导数，根据f（e）＝﹣＞0，得到存在x0∈（1，e）满足g′（x0）＝0，从而得到函数的单调区间，求出函数的极小值，证出结论即可．解：（1）由f（x）＝lnx﹣﹣1得：f′（x）＝，（x＞0），由已知曲线y＝f（x）存在斜率为﹣1的切线，∴f′（x）＝﹣1存在大于0的实数根，即x2+x+a＝0存在大于0的实数根，∵y＝x2+x+a在x＞0时递增，∴a的范围是（﹣∞，0）；（2）由f′（x）＝，（x＞0），得：a≥0时，f′（x）＞0，∴f（x）在（0，+∞）递增；a＜0时，若x∈（﹣a，+∞）时，f′（x）＞0，若x∈（0，﹣a），则f′（x）＜0，故f（x）在（﹣a，+∞）递增，在（0，﹣a）递减；（3）由g（x）＝及题设得：g′（x）＝＝，由﹣1＜a＜0，得：0＜﹣a＜1，由（2）得：f（x）在（﹣a，+∞）递增，∴f（1）＝﹣a﹣1＜0，取x＝e，显然e＞1，f（e）＝﹣＞0，∴存在x0∈（1，e）满足f（x0）＝0，即存在x0∈（1，e）满足g′（x0）＝0，令g′（x）＞0，解得：x＞x0，令g′（x）＜0，解得：1＜x＜x0，故g（x）在（1，x0）递减，在（x0，+∞）递增，∴﹣1＜a＜0时，g（x）在（1，+∞）存在极小值．20．已知椭圆C：x2+3y2＝6的右焦点为F．（Ⅰ）求点F的坐标和椭圆C的离心率；（Ⅱ）直线l：y＝kx+m（k≠0）过点F，且与椭圆C交于P，Q两点，如果点P关于x轴的对称点为P′，判断直线P'Q是否经过x轴上的定点，如果经过，求出该定点坐标；如果不经过，说明理由．【分析】（I）由椭圆的标准方程即可得出；（II）直线l：y＝kx+m（k≠0）过点F，可得l：y＝k（x﹣2）．代入椭圆的标准方程可得：（3k2+1）x2﹣12k2x+12k2﹣6＝0．（依题意△＞0）．设P（x1，y1），Q（x2，y2），可得根与系数的关系．点P关于x轴的对称点为P'，则P'（x1，﹣y1）．可得直线P'Q的方程可以为，令y＝0，，把根与系数的关系代入化简即可得出．解：（Ⅰ）∵椭圆C：，∴c2＝a2﹣b2＝4，解得c＝2，∴焦点F（2，0），离心率．（Ⅱ）直线l：y＝kx+m（k≠0）过点F，∴m＝﹣2k，∴l：y＝k（x﹣2）．由，得（3k2+1）x2﹣12k2x+12k2﹣6＝0．（依题意△＞0）．设P（x1，y1），Q（x2，y2），则，．∵点P关于x轴的对称点为P'，则P'（x1，﹣y1）．∴直线P'Q的方程可以设为，令y＝0，＝＝＝＝3．∴直线P'Q过x轴上定点（3，0）．21．各项均为非负整数的数列{a n}同时满足下列条件：①a1＝m（m∈N*）；②a n≤n﹣1（n≥2）；③n是a1+a2+…+a n的因数（n≥1）．（Ⅰ）当m＝5时，写出数列{a n}的前五项；（Ⅱ）若数列{a n}的前三项互不相等，且n≥3时，a n为常数，求m的值；（Ⅲ）求证：对任意正整数m，存在正整数M，使得n≥M时，a n为常数．【分析】（Ⅰ）当m＝5时，写出数列{a n}的前五项；（Ⅱ）对a2、a3分类取值，再结合各项均为非负整数列式求m的值；（Ⅲ）令S n＝a1+a2+…+a n，则．进一步推得存在正整数M＞m，当n＞M时，必有成立．再由成立证明a n为常数．【解答】（Ⅰ）解：m＝5时，数列{a n}的前五项分别为：5，1，0，2，2．（Ⅱ）解：∵0≤a n≤n﹣1，∴0≤a2≤1，0≤a3≤2，又数列{a n}的前3项互不相等，（1）当a2＝0时，若a3＝1，则a3＝a4＝a5＝ (1)且对n≥3，都为整数，∴m＝2；若a3＝2，则a3＝a4＝a5＝ (2)且对n≥3，都为整数，∴m＝4；（2）当a2＝1时，若a3＝0，则a3＝a4＝a5＝ 0且对n≥3，都为整数，∴m＝﹣1，不符合题意；若a3＝2，则a3＝a4＝a5＝ (2)且对n≥3，都为整数，∴m＝3；综上，m的值为2，3，4．（Ⅲ）证明：对于n≥1，令S n＝a1+a2+…+a n，则．又对每一个n，都为正整数，∴，其中“＜”至多出现m﹣1个．故存在正整数M＞m，当n＞M时，必有成立．当时，则．从而．由题设知，又及a n+1均为整数，∴＝a n+1＝，故＝常数．从而＝常数．故存在正整数M，使得n≥M时，a n为常数．。

2020年北京市大兴区高考数学一模试卷 (解析版)

2020年高考数学一模试卷一、选择题（共10小题）1．在复平面内，对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．已知集合A＝{x|x＝2k，k∈Z}，B＝{x|﹣2≤x≤2}，则A∩B＝（）A．[﹣1，1]B．[﹣2，2]C．{0，2}D．{﹣2，0，2} 3．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，a2＝0，a4＝1，则S4等于（）A．B．1C．2D．34．下列函数中，在区间（0，+∞）上单调递增且存在零点的是（）A．y＝e x B．C．D．y＝（x﹣1）2 5．在（x﹣2）n的展开式中，只有第三项的二项式系数最大，则含x项的系数等于（）A．﹣32B．﹣24C．8D．46．若抛物线y2＝4x上一点M到其焦点的距离等于2，则M到其顶点O的距离等于（）A．B．2C．D．37．已知数列{a n}是等比数列，它的前n项和为S n，则“对任意n∈N*，a n＞0”是“数列{S n}为递增数列”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件8．某四棱锥的三视图如图所示，如果方格纸上小正方形的边长为1，那么该几何体的最长棱的棱长为（）A．3B．C．D．9．已知函数（ω＞0）．若关于x的方程f（x）＝1在区间[0，π]上有且仅有两个不相等的实根，则ω的最大整数值为（）A．3B．4C．5D．610．如图，假定两点P，Q以相同的初速度运动．点Q沿直线CD作匀速运动，CQ＝x；点P沿线段AB（长度为107单位）运动，它在任何一点的速度值等于它尚未经过的距离（PB ＝y）．令P与Q同时分别从A，C出发，那么，定义x为y的纳皮尔对数，用现在的数学符号表示x与y的对应关系就是，其中e为自然对数的底．当点P从线段AB的三等分点移动到中点时，经过的时间为（）A．ln2B．ln3C．D．二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．11．已知向量（﹣1，1），（2，t），若∥，则t＝．12．若函数f（x）＝cos2x﹣sin2x在区间[0，m]上单调减区间，则m的一个值可以是．13．若对任意x＞0，关于x的不等式恒成立，则实数a的范围是．14．已知A（a，r），B（b，s）为函数y＝log2x图象上两点，其中a＞b．已知直线AB的斜率等于2，且，则a﹣b＝；．15．在直角坐标系xOy中，双曲线（a＞0，b＞0）的离心率e＞2，其渐近线与圆x2+（y﹣2）2＝4交x轴上方于A，B两点，有下列三个结论：①；②存在最大值；③．则正确结论的序号为．三、解答题共6题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16．在△ABC中，c＝1，，且△ABC的面积为．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）若D为BC上一点，且______，求sin∠ADB的值．从①AD＝1，②这两个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答．17．为了调查各校学生体质健康达标情况，某机构M采用分层抽样的方法从A校抽取了m 名学生进行体育测试，成绩按照以下区间分为七组：[30，40），[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]，并得到如下频率分布直方图．根据规定，测试成绩低于60分为体质不达标．已知本次测试中不达标学生共有20人．（Ⅰ）求m的值；（Ⅱ）现从A校全体同学中随机抽取2人，以频率作为概率，记X表示成绩不低于90分的人数，求X的分布列及数学期望；（Ⅲ）另一机构N也对该校学生做同样的体质达标测试，并用简单随机抽样方法抽取了100名学生，经测试有20名学生成绩低于60分．计算两家机构测试成绩的不达标率，你认为用哪一个值作为对该校学生体质不达标率的估计较为合理，说明理由．18．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝AC＝BC＝AA1，∠BCC1＝60°，平面ABC⊥平面BCC1B1，D是BC的中点，E是棱A1B1上一动点．（Ⅰ）若E是棱A1B1的中点，证明：DE∥平面ACC1A1；（Ⅱ）求二面角C1﹣CA﹣B的余弦值；（Ⅲ）是否存在点E，使得DE⊥BC1，若存在，求出E的坐标，若不存在，说明理由．19．已知椭圆的离心率为，且经过点（2，0），一条直线l与椭圆C交于P，Q两点，以PQ为直径的圆经过坐标原点O．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）求证：为定值．20．已知函数．（Ⅰ）若a＝1，求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）求证：函数f（x）有且只有一个零点．21．已知数列a1，a2，…，a10满足：对任意的i，j∈{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}，若i≠j，则a i≠a j，且a i∈{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}，设集合A＝{a i+a i+1+a i+2|i ＝1，2，3，4，5，6，7，8}，集合A中元素最小值记为m（A），集合A中元素最大值记为n（A）．（Ⅰ）对于数列：10，6，1，2，7，8，3，9，5，4，写出集合A及m（A），n（A）；（Ⅱ）求证：m（A）不可能为18；（Ⅲ）求m（A）的最大值以及n（A）的最小值．参考答案一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．在复平面内，对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】利用复数的运算法则、几何意义即可得出．解：在复平面内，复数1﹣i对应的点（1，﹣1）位于第四象限．故选：D．【点评】本题考查了复数的运算法则、几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2．已知集合A＝{x|x＝2k，k∈Z}，B＝{x|﹣2≤x≤2}，则A∩B＝（）A．[﹣1，1]B．[﹣2，2]C．{0，2}D．{﹣2，0，2}【分析】分别求得集合A、B，利用交集定义直接求解．解：∵集合A＝{x|x＝2k，k∈Z}，B＝{x|﹣2≤x≤2}，A∩B＝{﹣2，0，2}．故选：D．【点评】本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于基础题．3．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，a2＝0，a4＝1，则S4等于（）A．B．1C．2D．3【分析】利用等差数列通项公式列出方程组，求出a1，d，由此能求出S4．解：∵等差数列{a n}的前n项和为S n，a2＝0，a4＝1，∴，解得a1，d，∴S4＝41．故选：B．【点评】本题考查等差数列的前4项和的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查推理论证能力能力与运算求解能力，属于基础题．4．下列函数中，在区间（0，+∞）上单调递增且存在零点的是（）A．y＝e x B．C．D．y＝（x﹣1）2【分析】根据基本初等函数的图象与性质，零点的含义，以及函数图象的变换法则，逐一判断每个选项即可．解：函数y＝e x＞0恒成立，不存在零点，即A不符合题意；函数恒成立，不存在零点，即B不符合题意；函数在（0，+∞）上单调递增，且当x＝1时，y＝0，所以函数的零点为x＝1，即C正确；函数y＝（x﹣1）2在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，即D不符合题意．故选：C．【点评】本题考查函数的单调性和零点问题，熟练掌握基本初等函数的图象与性质是解题的关键，属于基础题．5．在（x﹣2）n的展开式中，只有第三项的二项式系数最大，则含x项的系数等于（）A．﹣32B．﹣24C．8D．4【分析】根据n为偶数是，只有中间一项的二项式系数最大，由此求出n的值，然后再利用通项求出含x的项的系数．解：由已知得：n为偶数，且，故n＝4．所以该二项式为（x﹣2）4，所以展开式的通项为，令4﹣k＝1得k＝3，故该项的系数为．故选：A．【点评】本题考查二项式展开式中二项式系数的性质以及通项的应用，属于基础题．6．若抛物线y2＝4x上一点M到其焦点的距离等于2，则M到其顶点O的距离等于（）A．B．2C．D．3【分析】设M的坐标，由抛物线的性质可得，到焦点的距离等于到准线的距离，求出M 的横坐标，代入抛物线的方程可得M的纵坐标，进而求出M到顶点的距离．解：设M（x0，y0），由抛物线的方程可得焦点F（1，0），准线方程为：x＝﹣1，由抛物线的性质可得x0+1＝2，所以x0＝1，代入抛物线的方程可得|y|＝2，即M（1，±2），所以|OM|，故选：C．【点评】本题考查抛物线的性质，属于中档题．7．已知数列{a n}是等比数列，它的前n项和为S n，则“对任意n∈N*，a n＞0”是“数列{S n}为递增数列”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】“对任意n∈N*，a n＞0”⇒“数列{S n}为递增数列”，“数列{S n}为递增数列”⇒“对任意n∈N*，a n＞0”，由此能求出结果．解：∵数列{a n}是等比数列，它的前n项和为S n，“对任意n∈N*，a n＞0”⇒“数列{S n}为递增数列”，“数列{S n}为递增数列”⇒“对任意n∈N*，a n＞0”，∴“对任意n∈N*，a n＞0”是“数列{S n}为递增数列”的充要条件．故选：C．【点评】本题考查充分条件、必要条件、充要条件的判断，考查等比数列的性质等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于基础题．8．某四棱锥的三视图如图所示，如果方格纸上小正方形的边长为1，那么该几何体的最长棱的棱长为（）A．3B．C．D．【分析】首先把三视图转换为直观图，进一步求出几何体的最大棱长．解：根据几何体的三视图转换为直观图如下：该几何体为四棱锥体E﹣ABCD，所以该几何体的最长的棱长为DE．故选：D．【点评】本题考查的知识要点：三视图和直观体之间的转换，直观图的棱长的求法及应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．9．已知函数（ω＞0）．若关于x的方程f（x）＝1在区间[0，π]上有且仅有两个不相等的实根，则ω的最大整数值为（）A．3B．4C．5D．6【分析】当x∈[0，π]时，ωx∈[，ωπ]；根据条件关于x的方程f（x）＝1在区间[0，π]上有且仅有两个不相等的实根，结合正弦函数的图象，得ωπ，解得ω，即可得满足条件的ω的最大整数．解：当x∈[0，π]时，ωx∈[，ωπ]；∵关于x的方程f（x）＝1在区间[0，π]上有且仅有两个不相等的实根，结合正弦函数的图象，得ωπ，解得ω，可得满足条件的ω的最大整数为4．故选：B．【点评】本题考查了正弦函数的图象与性质，整体法思想与数形结合的思想方法，属于基础题．10．如图，假定两点P，Q以相同的初速度运动．点Q沿直线CD作匀速运动，CQ＝x；点P沿线段AB（长度为107单位）运动，它在任何一点的速度值等于它尚未经过的距离（PB ＝y）．令P与Q同时分别从A，C出发，那么，定义x为y的纳皮尔对数，用现在的数学符号表示x与y的对应关系就是，其中e为自然对数的底．当点P从线段AB的三等分点移动到中点时，经过的时间为（）A．ln2B．ln3C．D．【分析】易知，它们的初速度相等，故Q点的速度为107，然后可以根据，求出P在中点、分点时的x，则Q点移动的距离可求，结合速度，时间可求．解：由题意，P点初始速度107即为Q点的速度．当P在靠近A点的三等分点时：，解得：x，当P在二等分点时：，解得：x＝107ln2，所以经过的时间为：．故选：D．【点评】本题考查对数的计算和指数式和对数式的互化，要注意对题意的准确理解．属于基础题．二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．11．已知向量（﹣1，1），（2，t），若∥，则t＝﹣2．【分析】由向量平行的充要条件可得：﹣1×2﹣1×t＝0，解之即可．解：∵向量（﹣1，1），（2，kt），且∥，∴﹣1×2﹣1×t＝0，解得t＝﹣2故答案为：﹣2【点评】本题考查平行向量与共线向量，属基础题．12．若函数f（x）＝cos2x﹣sin2x在区间[0，m]上单调减区间，则m的一个值可以是1．【分析】由已知利用二倍角的余弦函数公式可求f（x）＝cos2x，利用余弦函数的单调性可求函数的单调递减区间，结合已知可得，k∈Z，解得k＝0时，m，即可求解．解：∵f（x）＝cos2x﹣sin2x＝cos2x，令2kπ≤2x≤2kπ+π，k∈Z，解得kπ≤x≤kπ，k∈Z，∴函数f（x）＝cos2x﹣sin2x的单调递减区间为：[kπ，kπ]，k∈Z，∵函数在区间[0，m]上单调递减，∴，k∈Z，解得k＝0时，m，∴可得0＜m．故答案为：1．【点评】本题主要考查了二倍角的余弦函数公式，余弦函数的单调性，考查了转化思想和函数思想，属于基础题．13．若对任意x＞0，关于x的不等式恒成立，则实数a的范围是（﹣∞，2]．【分析】利用基本不等式求出的最小值，只需a不大于其最小值即可．解：∵x＞0，∴22，当且仅当x＝1时取等号，又恒成立，∴a ≤2．故答案为：（﹣∞，2]．【点评】本题主要考查基本不等式的应用，属于基础题．14．已知A（a，r），B（b，s）为函数y＝log2x图象上两点，其中a＞b．已知直线AB的斜率等于2，且，则a﹣b＝1；4．【分析】利用对数性质、直线的斜率公式、两点间距离公式列出方程组，能求出a，b，s，r，由此能求出结果．解：∵A（a，r），B（b，s）为函数y＝log2x图象上两点，其中a＞b．直线AB的斜率等于2，且，∴，解得a，b，s＝﹣log23，r＝2﹣log23，∴a﹣b＝1，．故答案为：1，4．【点评】本题考查两数差与两数商的求法，考查对数性质、直线的斜率公式、两点间距离公式等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于基础题．15．在直角坐标系xOy中，双曲线（a＞0，b＞0）的离心率e＞2，其渐近线与圆x2+（y﹣2）2＝4交x轴上方于A，B两点，有下列三个结论：①；②存在最大值；③．则正确结论的序号为①③．【分析】由离心率e＞2⇒b2＞3a2，进而得出渐近线与x轴的夹角α的取值范围，然后求出2、2、，再研究结论的正确与否，选出正确序号即可．解：由题意可得e2，可得c2＞4a2，∵c2＝a2+b2，∴b2＞3a2，所以渐近线的斜率k，设渐近线与x轴的夹角为α，所以tanα，α，所以两条渐近线的夹角为θ，则θ＝2（α）＝π﹣2α，所以θ∈（0，）∴cos，0，所以①正确；∵||，而22＝[4cos（）]2＝16sin2α，||•||•cosθ＝16sin2α•（1﹣2cos2α），∴4sin2α，α，无最大值，所以②错误；又||8sin2α＞8×sin26，所以③正确；故答案为：①③．【点评】本题主要考查以圆锥曲线为素材研究向量的运算，属于中档题．三、解答题共6题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16．在△ABC中，c＝1，，且△ABC的面积为．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）若D为BC上一点，且______，求sin∠ADB的值．从①AD＝1，②这两个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答．【分析】（Ⅰ）根据三角形的面积公式求出b的值，再利用余弦定理求得a；（Ⅱ）选①时，利用正弦定理求出sin B，从而求得sin∠ADB．选②时，利用余弦定理求出cos B，从而求得sin∠ADB．解：（Ⅰ）由于c＝1，，S△ABC bc sin A b•1•sin，解得b＝2；由余弦定理得a2＝b2+c2﹣2bc cos A，解得；（Ⅱ）若选①，则当AD＝1时，在△ABC中，由正弦定理，即，所以；因为AD＝AB＝1，所以∠ADB＝∠B；所以sin∠ADB＝sin B，即．若选②，则当∠CAD＝30°时，在△ABC中，由余弦定理知，．因为A＝120°，所以∠DAB＝90°，所以，所以sin∠ADB＝cos B，即．【点评】本题考查了解三角形的应用问题，也考查了运算求解能力，是中档题．17．为了调查各校学生体质健康达标情况，某机构M采用分层抽样的方法从A校抽取了m 名学生进行体育测试，成绩按照以下区间分为七组：[30，40），[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]，并得到如下频率分布直方图．根据规定，测试成绩低于60分为体质不达标．已知本次测试中不达标学生共有20人．（Ⅰ）求m的值；（Ⅱ）现从A校全体同学中随机抽取2人，以频率作为概率，记X表示成绩不低于90分的人数，求X的分布列及数学期望；（Ⅲ）另一机构N也对该校学生做同样的体质达标测试，并用简单随机抽样方法抽取了100名学生，经测试有20名学生成绩低于60分．计算两家机构测试成绩的不达标率，你认为用哪一个值作为对该校学生体质不达标率的估计较为合理，说明理由．【分析】（Ⅰ）由频率分布直方图，低于60分的概率为0.1，由频率与频数的关系求出m；（II）每位学生成绩不低于90分的频率为0.01×10＝0.1，由已知，X的所有可能取值为0，1，2，求出X的分布列和数学期望；（III）机构M抽测的不达标率为，机构N抽测的不达标率为，结合概率知识判断写出理由即可．解：（Ⅰ）由频率分布直方图知，低于60分的概率为（0.002+0.002+0.006）×10＝0.1，由m×0.1＝20，解得m＝200；（Ⅱ）由图知，每位学生成绩不低于90分的频率为0.01×10＝0.1，由已知，X的所有可能取值为0，1，2，则，，，所以X的分布列为X012P0.810.180.01所以E（X）＝0×0.81+1×0.18+2×0.01＝0.2，（Ⅲ）机构M抽测的不达标率为，机构N抽测的不达标率为，（以下答案不唯一，只要写出理由即可）①用机构M测试的不达标率0.1估计A校不达标率较为合理，理由：机构M选取样本时使用了分层抽样方法，样本量也大于机构N，样本更有代表性，所以能较好反映了总体的分布．②没有充足的理由否认机构N的成绩更合理，理由：尽管机构N的样本量比机构M少，但由于样本的随机性，不能排除样本较好的反映了总体的分布，所以没有充足的理由否认机构N的成绩更合理．【点评】本题考查了频率分布直方图的应用，考查了离散型随机变量的分布列和数学期望，考查运算能力，中档题．18．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝AC＝BC＝AA1，∠BCC1＝60°，平面ABC⊥平面BCC1B1，D是BC的中点，E是棱A1B1上一动点．（Ⅰ）若E是棱A1B1的中点，证明：DE∥平面ACC1A1；（Ⅱ）求二面角C1﹣CA﹣B的余弦值；（Ⅲ）是否存在点E，使得DE⊥BC1，若存在，求出E的坐标，若不存在，说明理由．【分析】（Ⅰ）取A1C1中点为P，连结CP，EP，推导出CDEP为平行四边形，CP∥DE．由此能证明DE∥平面ACC1A1．（Ⅱ）连结C1D、AD，推导出DC1，DA，DB两两垂直．建立直角坐标系D﹣xyz，利用向量法能求出二面角C1﹣CA1﹣B的余弦值．（Ⅲ）设，则，，，，假设DE⊥BC1，则，解得λ＝2，由此推导出不存在点E，使得DE⊥BC1．【解答】（Ⅰ）证明：取A1C1中点为P，连结CP，EP，在△A1B1C1中，因为E、P为A1B1、A1C1的中点，所以EP∥B1C1且．又因为D是BC的中点，，所以EP∥BC且EP＝CD，所以CDEP为平行四边形，所以CP∥DE．又因为DE⊄平面ACC1A1，CP⊂平面ACC1A1，所以DE∥平面ACC1A1．（Ⅱ）解：连结C1D、AD，因为△ABC是等边三角形，D是BC的中点，所以AD⊥BC，因为BC＝AA1＝CC1，∠BCC1＝60°，所以C1D⊥BC．因为平面ABC⊥平面BCC1B1，平面ABC∩平面BCC1B1＝BC，C1D⊂平面BCC1B1，所以C1D⊥平面ABC，所以DC1，DA，DB两两垂直．如图，建立空间直角坐标系D﹣xyz，则，C（0，﹣1，0），，，设平面ACC1的法向量为（x，y，z），则，即，令x＝1，得（1，，1）．平面ABC的法向量为，cos，．又因为二面角C1﹣CA1﹣B为锐二面角，所以二面角C1﹣CA1﹣B的余弦值为．（Ⅲ）解：，，设，则，所以，，所以，假设DE⊥BC1，则，解得λ＝2，这与已知0≤λ≤1矛盾．故不存在点E，使得DE⊥BC1．【点评】本题考查线面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查满足线线垂直的点是否存在的判断与求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于中档题．19．已知椭圆的离心率为，且经过点（2，0），一条直线l与椭圆C交于P，Q两点，以PQ为直径的圆经过坐标原点O．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）求证：为定值．【分析】（Ⅰ）首先利用椭圆的离心率和椭圆经过的点的坐标求出a和c的值，最后求出b，进一步求出椭圆的方程．（Ⅱ）利用分类讨论思想的应用①假设直线的斜率不存在求出结果为定值，②当直线的斜率存在时，建立直线和椭圆的方程组，进一步利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果为定值．解：（Ⅰ）因为椭圆经过点（2，0），所以a＝2，又因为，则c＝1由b2＝a2﹣c2，得b2＝3，所以椭圆的标准方程为．（Ⅱ）方法一：因为以PQ为直径的圆过坐标原点O，所以OP⊥OQ．①若直线OP的斜率不存在，则P为椭圆与y轴交点，Q为椭圆与x轴交点，因此|OP|2＝b2＝3，|OQ|2＝a2＝4，则．②若直线OP的斜率存在且为0，则P为椭圆与x轴交点，Q为椭圆与y轴交点，因此|OP|2＝a2＝4，|OQ|2＝b2＝3，则．③若直线OP的斜率存在且不为0，可设直线OP方程为y＝kx（k≠0），则直线OQ的方程为．联立，得，即，，即，同理，，则．方法二：①若直线l的斜率存在时，设l：y＝kx+m，与椭圆方程联立得：，有（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣12＝0，由题意，△＞0，设P（x1，y1），Q（x2，y2），所以，．因为以PQ为直径的圆过原点O，由OP⊥OQ，得x1x2+y1y2＝0，即x1x2+（kx1+m）（kx2+m）＝0，整理得，12（1+k2）＝7m2，而．设h为O到l的距离，则|OP|•|OQ|＝|PQ|•h所以，而，所以．②若直线l的斜率不存在，则有k OP＝±1，不妨设k OP＝1，设P（x1，y1），有x1＝y1，代入椭圆方程得，，，即，综上．【点评】本题考查的知识要点：椭圆的方程的求法和应用，直线和椭圆的位置关系的应用，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题．20．已知函数．（Ⅰ）若a＝1，求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）求证：函数f（x）有且只有一个零点．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，然后分别求出x＝1时的函数值、导数值，利用点斜式即可求切线方程；（Ⅱ）函数f（x）有且只有一个零点，可转化为在（0，+∞）上只有一个零点，可通过研究g（x）的单调性、极值的符号结合零点存在性定理求解．解：（Ⅰ）当a＝1时，函数，x＞0，所以，，，所以函数y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程是3x﹣4y﹣5＝0．（Ⅱ）函数的定义域为（0，+∞），要使函数f（x）有且只有一个零点，只需方程（x+1）lnx﹣ax＝0有且只有一个根，即只需关于x的方程在（0，+∞）上有且只有一个解．设函数，则，令h（x）＝x+1﹣lnx，则，由h'（x）＝0，得x＝1．x（0，1）1（1，+∞）h'（x）﹣0+h（x）单调递减极小值单调递增由于h（x）min＝h（1）＝2＞0，所以g'（x）＞0，所以在（0，+∞）上单调递增，又g（1）＝﹣a，，①当a＝0时，g（1）＝0，函数g（x）在（0，+∞）有且只有一个零点，②当a≠0时，由于，所以存在唯一零点．综上所述，对任意的a∈一、选择题函数y＝f（x）有且只有一个零点．【点评】本题考查了函数的零点的判断方法，导数在研究函数单调性、极值中的应用．同时考查学生利用函数与方程思想、转化与化归思想解决问题的能力，同时考查了学生的运算能力．属于中档题．21．已知数列a1，a2，…，a10满足：对任意的i，j∈{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}，若i≠j，则a i≠a j，且a i∈{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}，设集合A＝{a i+a i+1+a i+2|i＝1，2，3，4，5，6，7，8}，集合A中元素最小值记为m（A），集合A中元素最大值记为n（A）．（Ⅰ）对于数列：10，6，1，2，7，8，3，9，5，4，写出集合A及m（A），n（A）；（Ⅱ）求证：m（A）不可能为18；（Ⅲ）求m（A）的最大值以及n（A）的最小值．【分析】（Ⅰ）A＝{17，9，10，18，20}，m（A）＝9，n（A）＝20．（Ⅱ）假设m（A）≥18，设S＝（a1+a2+a3）+（a4+a5+a6）+（a7+a8+a9）+a10＝55，则S＝55≥3m（A）+a10＝3×18+a10，从而推导出a10＝1，同理推出a1＝1，a i（i＝1，2，…，10）中有两个元素为1，与题设矛盾，从而m（A）不可能为18．（Ⅲ）由m（A）＜18，得m（A）＝17是可能的．当m（A）＝17时，推导出a10≤4，a7≤4．同理可得：a i≤4（i＝1，4，7，10）．对于数列：1，6，10，2，7，8，3，9，5，4，A＝{17，18，19，20}，m（A）＝17，n（A）＝20，从而m（A）的最大值为17；假设n（A）≤15．推导出a1＝10．a4＝10，矛盾，假设不成立，从而n（A）≥16．从而n（A）的最小值为16．解：（Ⅰ）解：∵数列：10，6，1，2，7，8，3，9，5，4，对任意的i，j∈{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}，i≠j，则a i≠a j，且a i∈{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}，设集合A＝{a i+a i+1+a i+2|i＝1，2，3，4，5，6，7，8}，集合A中元素最小值记为m（A），集合A中元素最大值记为n（A）．∵10+6+1＝17，6+1+2＝9，1+2+7＝10，2+7+8＝17，7+8+3＝18，8+3+9＝20，3+9+5＝17，9+5+4＝18，∴A＝{17，9，10，18，20}，m（A）＝9，n（A）＝20．（Ⅱ）证明：假设m（A）≥18，设S＝（a1+a2+a3）+（a4+a5+a6）+（a7+a8+a9）+a10＝55，则S＝55≥3m（A）+a10＝3×18+a10，即a10≤1，因为a i≥1（i＝1，2，3，…，10），所以a10＝1，同理，设S＝a1+（a2+a3+a4）+（a5+a6+a7）+（a8+a9+a10）＝55，可以推出a1＝1，a i（i＝1，2，…，10）中有两个元素为1，与题设矛盾，故假设不成立，m（A）不可能为18．（Ⅲ）解：m（A）的最大值为17，n（A）的最小值为16．①首先求m（A），由（Ⅱ）知m（A）＜18，而m（A）＝17是可能的．当m（A）＝17时，设S＝（a1+a2+a3）+（a4+a5+a6）+（a7+a8+a9）+a10＝55，则S＝55≥3m（A）+a10＝3×17+a10，即a10≤4，又S＝（a1+a2+a3）+（a4+a5+a6）+a7+（a8+a9+a10）＝55，得55＝S≥3m（A）+a7＝51+a7，即a7≤4．同理可得：a i≤4（i＝1，4，7，10）．对于数列：1，6，10，2，7，8，3，9，5，4，此时A＝{17，18，19，20}，m（A）＝17，n（A）＝20，满足题意．所以m（A）的最大值为17．②现证明：n（A）的最小值为16．先证明n（A）≤15为不可能的，假设n（A）≤15．设S＝a1+（a2+a3+a4）+（a5+a6+a7）+（a8+a9+a10）＝55，可得55≤3n（A）+a1≤3×15+a1，即a1≥10，元素最大值为10，所以a1＝10．又（a1+a2+a3）+a4+（a5+a6+a7）+（a8+a9+a10）＝55≤3n（A）+a4≤3×15+a4，同理可以推出a4＝10，矛盾，假设不成立，所以n（A）≥16．数列为：7，6，2，8，3，4，9，1，5，10时，A＝{13，14，15，16}，m（A）＝13，n（A）＝16，A中元素的最大值为16．所以n（A）的最小值为16．【点评】本题考查集合的求法，考查集合中元素的最大值和最小值的求法，考查推理论证能力能力与运算求解能力，属于中档题．。

2020年北京市通州区高考数学一模试卷含答案

2020年高考数学一模试卷一、选择题（共10小题）1.已知集合{}02A x x =<≤，{}13B x x =<<，则A B =I （） A.{}03x x <<B.{}23x x <<C.{}01x x <≤D.{}12x x <≤2.已知复数()2z i i =+（i 是虚数单位），则z =（）A.1B.2D.33.函数()sin 2cos2f x x x =+的最小正周期是（） A.2π B.πC.2πD.4π4.已知()f x 为定义在R 上的奇函数，且()12f =，下列一定在函数()f x 图象上的点是（） A.()1,2-B.()1,2--C.()1,2-D.()2,15.已知a ，3，b ，9，c 成等比数列，且0a >，则33log log b c -等于（） A.1-B.12-C.12D. 16.已知抛物线22y px =（0p >）的焦点与双曲线2213x y -=的右焦点重合，则p =（）B.2C.D. 47.在612x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，常数项是（） A.160-B.20-C.20D.1608.在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点()cos ,sin A αα，cos ,sin 33B ππαα⎛⎫⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.则OA OB +=u u u r u u u r（）A.1C.2D.与α有关9.若0a >，0b >，则“1ab ≥”是“2a b +≥”的（） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件10.某同学在数学探究活动中确定研究主题是“n a （1a >，*n ∈N ）是几位数”，他以2n （*n ∈N ）为例做研究，得出相应的结论，其研究过程及部分研究数据如表：2n N =（0n >）lg N N 的位数 12 lg 2 一位数 22 lg 4 一位数 32 lg 8 一位数 42 1lg1.6+ 两位数 52 1lg3.2+ 两位数 62 1lg 6.4+ 两位数 72 2lg1.28+ 三位数 82 2lg 2.56+ 三位数 92 2lg5.12+ 三位数 1023lg1.024+四位数 ………………试用该同学的研究结论判断504是几位数（参考数据lg 20.3010≈）（） A.101B.50C.31D.30二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11.已知向量()1,2a =-r ，()3,b m =-r ，其中m R ∈.若a r ，b r共线，则m 等于______.12.圆()2211x y -+=的圆心到直线10x ++=的距离为______. 13.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积等于______.14.中国古代数学著作《孙子算经》中有这样一道算术题：“今有物不知其数，三三数之余二，五五数之余三，问物几何？”，将上述问题的所有正整数答案从小到大组成一个数列{}n a ，则1a =______；n a =______.（注：三三数之余二是指此数被3除余2，例如“5”）15.给出下列四个函数，①21y x =+；②12y x x =+++；③21x y =+；④2cos y x x =+，其中值域为[)1,+∞的函数的序号是______.三、解答题：本大题共6小题，共85分. 解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16.已知ABC △，满足a =2b =，______，判断ABC △的面积2S >是否成立？说明理由.从①3A π=，②cos 7B =这两个条件中任选一个，补充到上面问题条件中的空格处并作答. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.17.2019年1月1日，我国开始施行《个人所得税专项附加扣除操作办法》，附加扣除的专项包括子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息、住房租金、赡养老人. 某单位有老年员工140人，中年员工180人，青年员工80人，现采用分层抽样的方法，从该单位员工中抽取20人，调查享受个人所得税专项附加扣除的情况，并按照员工类别进行各专项人数汇总，数据统计如表：专项员工人数子女教育继续教育大病医疗住房贷款利息住房租金赡养老人老员工 4 0 2 2 0 3 中年员工 8 2 1 5 1 8 青年员工12121（Ⅰ）在抽取的20人中，老年员工、中年员工、青年员工各有多少人；（Ⅱ）从上表享受住房贷款利息专项扣除的员工中随机选取2人，记X 为选出的中年员工的人数，求X 的分布列和数学期望.18.如图，已知四边形ABCD 为菱形，且60A ∠=︒，取AD 中点为E . 现将四边形EBCD 沿BE 折起至EBHG ，使得90AEG ∠=︒.（Ⅰ）求证：AE ⊥平面EBHG ；（Ⅱ）求二面角A GH B --的余弦值；（Ⅲ）若点F 满足AF AB λ=u u u r u u u r，当EF ∥平面AGH 时，求λ的值.19.已知椭圆C ：22221x y a b +=（0a b >>）的离心率为2，点()0,1A 在椭圆C 上.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设O 为原点，过原点的直线（不与x 轴垂直）与椭圆C 交于M 、N 两点，直线AM 、AN 与x 轴分别交于点E 、F .问：y 轴上是否存在定点G ，使得OGE OFG ∠=∠？若存在，求点G 的坐标；若不存在，说明理由.20.已知函数()()xf x x a e x a =-++，设()()g x f x '=.（Ⅰ）求()g x 的极小值；（Ⅱ）若()0f x >在()0,+∞上恒成立，求a 的取值范围.21.用[]x 表示一个小于或等于x 的最大整数.如：[]22=，[]4.14=，[]3.14-=-. 已知实数列0a ，1a ，…对于所有非负整数i 满足[][]()1i i i i a a a a +⋅=-，其中0a 是任意一个非零实数. （Ⅰ）若0 2.6a =-，写出1a ，2a ，3a ；（Ⅱ）若00a >，求数列[]{}i a 的最小值；（Ⅲ）证明：存在非负整数k ，使得当i k ≥时，2i i a a +=.参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}02A x x =<≤，{}13B x x =<<，则A B =I （）A.{}03x x <<B.{}23x x <<C.{}01x x <≤D.{}12x x <≤【分析】利用交集定义能求出A B I .解：∵集合{}02A x x =<≤，{}13B x x =<<， ∴{}12A B x x =<≤I . 故选：D.2.已知复数()2z i i =+（i 是虚数单位），则z =（）A.1B.2D.3【分析】根据复数的基本运算法则进行化简即可解：因为复数()212z i i i =+=-+，所以z ==，故选：C.3.函数()sin 2cos2f x x x =+的最小正周期是（） A.2π B.πC.2πD.4π【分析】函数y ω的值代入周期公式即可求出最小正周期.解：函数sin 2cos 222y x x x ⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭， ∵2ω=，∴T π=. 故选：B.4.已知()f x 为定义在R 上的奇函数，且()12f =，下列一定在函数()f x 图象上的点是（） A.()1,2-B.()1,2--C.()1,2-D.()2,1【分析】根据()f x 是奇函数即可得出()12f -=-，从而得出点()1,2--在()f x 的图象上. 解：∵()f x 是定义在R 上的奇函数，且()12f =， ∴()12f -=-，∴()1,2--一定在函数()f x 的图象上. 故选：B.5.已知a ，3，b ，9，c 成等比数列，且0a >，则33log log b c -等于（） A.1-B.12-C.12D. 1【分析】根据等比数列的性质和对数的运算性质即可求出. 解：a ，3，b ，9，c 成等比数列，则81bc =，227b =，∴213b b bc c ==， ∴333log log 113log b c ==--，故选：A.6.已知抛物线22y px =（0p >）的焦点与双曲线2213x y -=的右焦点重合，则p =（）B.2C.D. 4【分析】根据双曲线方程可得它的右焦点坐标，结合抛物线22y px =的焦点坐标,02p ⎛⎫⎪⎝⎭，可得22p =，得4p =.解：∵双曲线2213x y -=中23a =，21b =∴2c =，得双曲线的右焦点为()2,0F 因此抛物线22y px =的焦点,02p ⎛⎫⎪⎝⎭即()2,0F ∴22p=，即4p = 故选：D.7.在612x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，常数项是（） A.160-B.20-C.20D.160【分析】在二项展开式的通项公式中，令x 的幂指数等于0，求出r 的值，即可求得常数项.解：612x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的通项公式为()()()66621662112r r r r r r rr r T C x x C x ----+=⋅⋅-⋅=-⋅⋅⋅，令620r -=，可得3r =，故612x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的常数项为368160C -⋅=-，故选：A.8.在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点()cos ,sin A αα，cos ,sin 33B ππαα⎛⎫⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.则OA OB +=u u u r u u u r（）A. 1C. 2D.与α有关【分析】根据题意，求出向量OA u u u r 、OB uuu r 的坐标，进而可得OA OB +u u u r u u u r的坐标，由向量模的公式以及和角公式计算可得答案.解：根据题意，()cos ,sin A αα，cos ,sin 33B ππαα⎛⎫⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 则()cos ,sin OA αα=u u u r ，cos ,sin 33OB ππαα⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭u u u r ，则有cos cos ,sin sin 33OA OB ππαααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭u u u r u u u r ，故222cos cos sin sin 33OA OB ππαααα⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=+++++ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦u u u r u u u r22cos cos 2sin sin 22cos 3333πππαααα⎛⎫⎛⎫=++++=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则OA OB +=u u u r u u u r故选：B.9.若0a >，0b >，则“1ab ≥”是“2a b +≥”的（） A. 充分不必要条件 B.必要不充分条件 C. 充分必要条件D.既不充分也不必要条件【分析】0a >，0b >，利用基本不等式的性质可得：a b +≥，可由1ab ≥，得出2a b +≥.反之不成立.解：0a >，0b >，∴a b +≥，若1ab ≥，则2a b +≥. 反之不成立，例如取5a =，110b =. ∴“1ab ≥”是“2a b +≥”的充分不必要条件. 故选：A.10.某同学在数学探究活动中确定研究主题是“n a （1a >，*n ∈N ）是几位数”，他以2n （*n ∈N ）为例做研究，得出相应的结论，其研究过程及部分研究数据如表：2n N =（0n >）lg N N 的位数 12 lg 2 一位数 22 lg 4 一位数 32 lg 8 一位数 42 1lg1.6+ 两位数 52 1lg3.2+ 两位数 62 1lg 6.4+ 两位数 72 2lg1.28+ 三位数 82 2lg 2.56+ 三位数 92 2lg5.12+ 三位数 1023lg1.024+四位数 ………………试用该同学的研究结论判断504是几位数（参考数据lg 20.3010≈）（） A.101B. 50C. 31D. 30【分析】因为5010042=，所以1002N =，则100lg lg 2100lg 230lg1.26N ==≈+，由表中数据规律可知，N 的位数是31位数.解：∵5010042=，∴1002N =，则1000.10lg lg 2100lg 230.10300.1030lg1030lg1.26N ==≈=+=+≈+，由表中数据规律可知，N 的位数是31位数，故选：C.二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11.已知向量()1,2a =-r ，()3,b m =-r ，其中m R ∈.若a r ，b r共线，则m 等于6.【分析】因为a r ，b r 共线，即a b r r∥，根据两向量平行的坐标表示列式求解即可.解：若a r ，b r 共线，即a b r r∥，∵()1,2a =-r ，()3,b m =-r，∴()123m ⨯=-⨯-， ∴6m =. 故答案为：6.12.圆()2211x y -+=的圆心到直线10x ++=的距离为1. 【分析】先求出圆的圆心坐标，再利用点到直线距离公式即可算出结果. 解：圆()2211x y -+=的圆心坐标为()1,0，所以圆()2211x y -+=的圆心到直线10x ++=的距离1d ==，故答案为：1.13.【分析】首先把三视图转换为几何体，进一步求出几何体的体积. 解：根据几何体的三视图转换为几何体为：该几何体为三棱锥体.如图所示：所以：114432V =⨯⨯⨯=.. 14.中国古代数学著作《孙子算经》中有这样一道算术题：“今有物不知其数，三三数之余二，五五数之余三，问物几何？”，将上述问题的所有正整数答案从小到大组成一个数列{}n a ，则1a =8；n a =157n -.（注：三三数之余二是指此数被3除余2，例如“5”）【分析】由三三数之余二，五五数之余三，可得数列{}n a 的公差为15，首项为8.利用通项公式即可得出. 解：由三三数之余二，五五数之余三，可得数列{}n a 的公差为15，首项为8. ∴18a =，()8151157n a n n =+-=-. 故答案为：8，157n -.15.给出下列四个函数，①21y x =+；②12y x x =+++；③21x y =+；④2cos y x x =+，其中值域为[)1,+∞的函数的序号是①②④.【分析】①由20x ≥，得211x +≥，由此得出结论；②由绝对值不等式的性质即可得出结论；③由20x >，得211x +>，由此得出结论；④由函数()2cos f x x x =+的奇偶性及单调性即可得出结论.解：①∵20x ≥， ∴211x +≥，故值域为[)1,+∞，符合题意；②()()12121y x x x x =+++≥+-+=，故值域为[)1,+∞，符合题意；③∵20x >， ∴211x +>，故值域为()1,+∞，不合题意；④函数()2cos f x x x =+为偶函数，且()2sin f x x x '=-，()2cos 0f x x ''=->，故()f x '在R 上单调递增，又()00f '=，故当()0,x ∈+∞时，()f x 单调递增，则当(),0x ∈-∞时，()f x 单调递减，又()01f =，故其值域为[)1,+∞，符合题意. 故答案为：①②④.三、解答题：本大题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.已知ABC △，满足a =2b =，______，判断ABC △的面积2S >是否成立？说明理由.从①3A π=，②cos 7B =这两个条件中任选一个，补充到上面问题条件中的空格处并作答. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.【分析】选①，先利用余弦定理可解得3c =选②，先利用余弦定理可得c =结合已知条件可知ABC △是A 为直角的三角形，此时2S >不成立.解：选①，ABC △的面积2S >成立，理由如下：当3A π=时，2147cos 222c A c+-==⋅，所以2230c c --=，所以3c =，则ABC △的面积11sin 23sin 223S bc A π==⨯⨯⨯=，2=>=，所以2S >成立.选②，ABC △的面积2S >不成立，理由如下：当cos 7B =时，222cos 27a c b B ac +-==，27=，整理得，230c -+=，所以c = 因27a =，22437b c +=+=，所以ABC △是A 为直角的三角形，所以ABC △的面积112222S bc ==⨯=<，所以不成立.17. 2019年1月1日，我国开始施行《个人所得税专项附加扣除操作办法》，附加扣除的专项包括子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息、住房租金、赡养老人.某单位有老年员工140人，中年员工180人，青年员工80人，现采用分层抽样的方法，从该单位员工中抽取20人，调查享受个人所得税专项附加扣除的情况，并按照员工类别进行各专项人数汇总，数据统计如表：专项员工人数子女教育继续教育大病医疗住房贷款利息住房租金赡养老人老员工 4 0 2 2 0 3 中年员工 8 2 1 5 1 8 青年员工12121 （Ⅰ）在抽取的20人中，老年员工、中年员工、青年员工各有多少人；（Ⅱ）从上表享受住房贷款利息专项扣除的员工中随机选取2人，记X 为选出的中年员工的人数，求X 的分布列和数学期望.【分析】（Ⅰ）先算出该单位的所有员工数量，再根据分层抽样的特点，逐一求解样本中老年、中年、青年员工的数量即可.（Ⅱ）随机变量X 的可取值为0，1，2，结合超几何分布计算概率的方式逐一求取每个X 的取值所对应的概率即可得分布列，进而求得数学期望.解：（Ⅰ）该单位员工共14018080400++=人，抽取的老年员工201407400⨯=人，中年员工201809400⨯=人，青年员工20804400⨯=人. （Ⅱ）X 的可取值为0，1，2，()23283028C P X C ===，()11352815128C C P X C ⋅===，()252810028C P X C ===. 所以X 的分布列为X 012P3281528 1028数学期望()3151050122828284E X =⨯+⨯+⨯=. 18.如图，已知四边形ABCD 为菱形，且60A ∠=︒，取AD 中点为E . 现将四边形EBCD 沿BE 折起至EBHG ，使得90AEG ∠=︒.（Ⅰ）求证：AE ⊥平面EBHG ；（Ⅱ）求二面角A GH B --的余弦值；（Ⅲ）若点F 满足AF AB λ=u u u r u u u r，当EF ∥平面AGH 时，求λ的值.【分析】（Ⅰ）只需证明GE AE ⊥，BE AE ⊥，GE BE E =I ，由线面垂直的判定定理可得证明；（Ⅱ）以E 为原点，EA ，EB ，EG 所在直线分别为x ，y ，z 轴，求得平面AGH 的法向量和平面EBHG 的法向量.设二面角A GH B --的大小为θ（90θ<︒），即可得到所求值；（Ⅲ）由AF AB λ=u u u r u u u r，则()1,0F λ-，由0n EF ⋅=u u u rr .计算可得所求值.解：（Ⅰ）证明：在左图中，ABD △为等边三角形，E 为AD 中点所以BE AD ⊥，所以BE AE ⊥. 因为90AEG ∠=︒，所以GE AE ⊥.因为GE AE ⊥，BE AE ⊥，GE BE E =I所以AE ⊥平面EBHG .（Ⅱ）设菱形ABCD 的边长为2，由（Ⅰ）可知GE AE ⊥，BE AE ⊥，GE BE ⊥.所以以E 为原点，EA ，EB ，EG 所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立如图空间坐标系可得()1,0,0A，()B ，()0,0,1G，()2H .()1,0,1AG =-u u u r，()2AH =-u u u r 设平面AGH 的法向量为(),,n x y z =r，所以0n AG n AH ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r u r u r u r，即020x z x z -+=⎧⎪⎨-++=⎪⎩. 令1x =，则1,3n ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭r . 平面EBHG 的法向量为()1,0,0EA =u u u r.设二面角A GH B --的大小为θ（90θ<︒）cos cos ,7n EA θ==u u u r r （Ⅲ）由AF AB λ=u u u r u u u r，则()1,0F λ-，所以()1,0EF λ=-u u u r.因为EF ∥平面AGH ，则0n EF ⋅=r u u u r. 即120λ-=. 所以12λ=.19.已知椭圆C ：22221x y a b +=（0a b >>，点()0,1A 在椭圆C 上.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设O 为原点，过原点的直线（不与x 轴垂直）与椭圆C 交于M 、N 两点，直线AM 、AN 与x 轴分别交于点E 、F .问：y 轴上是否存在定点G ，使得OGE OFG ∠=∠？若存在，求点G 的坐标；若不存在，说明理由.【分析】（Ⅰ）利用椭圆的离心率结合1b =，求出a ，得到椭圆方程.（Ⅱ）设()00,M x y ，由题意及椭圆的对称性可知()00,N x y --（01y ≠±），求出AM ，AN 的方程，求出E 的坐标，F 的坐标，假设存在定点()0,G n 使得OGE OFG ∠=∠，得到OE OGOG OF=，求出n ，即可.说明存在点G坐标为(0,满足条件.解：（Ⅰ）由题意得2c e a ==， 1b =，又222a b c =+解得a =1c =，所以椭圆方程为2212x y +=.（Ⅱ）设()00,M x y ，由题意及椭圆的对称性可知()00,N x y --（01y ≠±），则直线AM 的方程为0011y y x x -=+，直线AN 的方程为0011y y x x +=+，则E 点坐标为00,01x y ⎛⎫ ⎪-⎝⎭，F 点坐标为00,01x y ⎛⎫- ⎪+⎝⎭. 假设存在定点()0,G n 使得OGE OFG ∠=∠，即tan tan OGE OFG ∠=∠（也可以转化为斜率来求），即OE OG OG OF= 即2OG OE OF =，即2202021x n y ==-所以n =所以存在点G 坐标为(0,满足条件.20.已知函数()()xf x x a e x a =-++，设()()g x f x '=.（Ⅰ）求()g x 的极小值；（Ⅱ）若()0f x >在()0,+∞上恒成立，求a 的取值范围.【分析】（Ⅰ）求出导函数得到()()11xg x x a e =-++，通过求解导函数判断导函数的符号，判断函数的单调性，求解函数的极值求解即可. （Ⅱ）由（Ⅰ）得()()21a f x g x e -'=≥-+，通过2a ≤时，当2a >时，判断函数的单调性，求和函数的最值，推出结果即可.解：（Ⅰ）()()11xf x x a e '=-++，由题意可知()()11xg x x a e =-++，所以()()2xg x x a e '=-+，当2x a >-时()0g x '>，()g x 在()2,a -+∞上单调递增；当2x a <-时()0g x '<，()g x 在(),2a -∞-上单调递减，所以()g x 在2x a =-处取得极小值，为()221a g a e --=-+.（Ⅱ）由（Ⅰ）得()()21a f x g x e-'=≥-+当2a ≤时()210a f x e -'≥-+>，所以()f x 在单调递增，所以()()00f x f >=，即2a ≤时()0f x >在()0,+∞恒成立. 当2a >时()()0020f g a '==-<，又()()10af ag a e '==+>，又由于()f x '在()2,a -+∞上单调递增；在()0,2a -上单调递减；所以在()0,a 上一定存在0x 使得()00f x '=，所以()f x 在()00,x 递减，在()0,x +∞递增，所以()()000f x f <=，所以在()0,+∞存在0x ，使得()00f x <，所以当2a >时，()0f x >在()0,+∞上不恒成立所以a 的取值范围为(],2-∞.21.用[]x 表示一个小于或等于x 的最大整数. 如：[]22=，[]4.14=，[]3.14-=-. 已知实数列0a ，1a ，…对于所有非负整数i 满足[][]()1i i i i a a a a +⋅=-，其中0a 是任意一个非零实数. （Ⅰ）若0 2.6a =-，写出1a ，2a ，3a ；（Ⅱ）若00a >，求数列[]{}i a 的最小值；（Ⅲ）证明：存在非负整数k ，使得当i k ≥时，2i i a a +=.【分析】（Ⅰ）由0 2.6a =-，代入可得[][]()1000 1.2a a a a =-=-⋅，同理可得：2a ，3a .（Ⅱ）由00a >，可得[]00a ≥，[][]()10000a a a a =-≥，设[]0i a ≥，1i ≥，可得[][]()10i i i i a a a a +=-≥，因此[]0i a ≥，0i ∀≥. 又因[]01i i a a ≤-<，则[][]()[]1i i i i i a a a a a +=-≤，可得[][]1i i a a +≤，0i ∀≥. 假设0i ∀≥，都有[]0i a >成立，可得：[][]11i i a a +≤-，0i ∀≥，利用累加求和方法可得[][]0n a a n ≤-，1n ∀≥，则当[]0n a ≥时，[]0n a ≤，得出矛盾，因此存在k ∈一、选择题，[]0k a =. 从而[]{}i a 的最小值为0.（Ⅲ）当00a >时，由（2）知，存在k N ∈，[]0k a =，可得10k a +=，[]10k a +=，可得0i a =，i k ∀≥，成立.当00a <时，若存在k N ∈，0k a =，则0i a =，i k ∀≥，得证；若0i a <，0i ∀≥，则[]1i a ≤-，则[][]()[]1i i i i i a a a a a +=->，可得[][]1i i a a +≥，0i ∀≥，可得数列[]{}i a 单调不减. 、由于[]i a 是负整数，因此存在整数m 和负整数c ，使得当i m ≥时，[]i a c =.所以，当i m ≥时，()1i i a c a c +=-，转化为22111i i c c a c a c c +⎛⎫-=- ⎪--⎝⎭，令21i i c b a c =--，即1i i b cb +=，i m ≥.经过讨论：当0m b =时，得证.当0m b ≠时，0i b ≠，i m ≥，i mi m b c b -=，i m ≥，当i m ≥时，[]i a c =，则[),1i a c c ∈+，则{}i b 有界，进而证明结论.解：（Ⅰ）∵0 2.6a =-，∴[][]()()10003 2.63 1.2a a a a =-=-⨯-+=-⋅，同理可得：2 1.6a =-、30.8a =- （Ⅱ）因00a >，则[]00a ≥，所以[][]()10000a a a a =-≥，设[]0i a ≥，1i ≥，则[][]()10i i i i a a a a +=-≥，所以[]0i a ≥，0i ∀≥. 又因[]01i i a a ≤-<，则[][]()[]1i i i i i a a a a a +=-≤，则[][]1i i a a +≤，0i ∀≥. 假设0i ∀≥，都有[]0i a >成立，则[][]()[]1i i i i i a a a a a +=-<，则[][]1i i a a +<，0i ∀≥，即[][]11i i a a +≤-，0i ∀≥，则[][]0n a a n ≤-，1n ∀≥，则当[]0n a ≥时，[]0n a ≤，这与假设矛盾，所以[]0i a >，0i ∀≥不成立，即存在k N ∈，[]0k a =. 从而[]{}i a 的最小值为0.（Ⅲ）证明：当00a >时，由（2）知，存在k N ∈，[]0k a =，所以10k a +=，所以[]10k a +=，所以0i a =，i k ∀≥，成立.当00a <时，若存在k N ∈，0k a =，则0i a =，i k ∀≥，得证；若0i a <，0i ∀≥，则[]1i a ≤-，则[][]()[]1i i i i i a a a a a +=->，则[][]1i i a a +≥，0i ∀≥，所以数列[]{}i a 单调不减. 由于[]i a 是负整数，所以存在整数m 和负整数c ，使得当i m ≥时，[]i a c =. 所以，当i m ≥时，()1i i a c a c +=-，则22111i i c c a c a c c +⎛⎫-=- ⎪--⎝⎭，令21i i c b a c =--，即1i i b cb +=，i m ≥.当0m b =时，则0i b =，i m ≥，则21i c a c =-，i m ≥，得证.当0m b ≠时，0i b ≠，i m ≥，i mi m b c b -=，i m ≥，因当i m ≥时，[]i a c =，则[),1i a c c ∈+），则{}i b 有界，所以1c ≤，所以负整数1c =-. ∴()()11111222i m i m i m m a b a --⎛⎫=-+-=-+-+ ⎪⎝⎭（i m ≥），则,2,,,4,11,3,m i m a i m m m a a i m m =++⎧=⎨--=++⎩LL令k m =，满足当i k ≥时，2i i a a +=.综上，存在非负整数k ，使得当i k ≥时，2i i a a +=.。

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高考模拟试卷参考答案第 7 页共 7 页
高考模拟试卷参考答案第 3 页共 7 页
EX 0 7 1 31 2 6 11 --------------------------------------------11 分
50 50 25 10
（Ⅲ）
DY1
1 2
1 2
1 4
；
DY2
3 20
17 20
51 400
；
DY3
3 4
若 ,则前 4 项中有 2 项大于 3,因此
,矛盾.
即
且
,因此
.--(12 分)
假设当
时命题成立,则当
时,
构造数列 ,满足
,
可知
,
,同理
,
即
满足题设条件,由归纳假设可知
, ------(13 分)
因此
,
,
,
高考模拟试卷参考答案第 6 页共 7 页
即当
时命题成立,证毕.
-------(14 分)
连接 GH
GH AD, AD 2GH
…………1 分
底面 ABCD 是正方形，
AD BC, AD BC
…………2 分
BC=2EF ，BC EF
AD EF,AD=2EF EF HG,EF=HG
EFGH 是平行四边形 FG EH
…………4 分
FG 面ABE, EH 面ABE
40 40 50
PX 1 12 8 28 32 31
40 40 40 40 50
PX 2 12 32 6 --------------------------------------------9 分
40 40 25
分布列如下表：
X0 1 2 7 31 6
P 50 50 25
-----------------------------------10 分
因为 x 0, ，所以 ex 1, 1 a cos x 1 ，所以 f // (x) 0
所以 f / (x)在 0，上是增函数， --------------------------------------------13 分
又因 f / (0)=0 ，所以 f / (x) 0 ，所以 f (x)在0，上是增函数，
高考模拟试卷参考答案第 4 页共 7 页
又因 f (0)=1 a 0 ，所以 a 1 。
即 1 a 0
-------------------------------------------------------12 分
② 当 0 a 1时， f // (x) ex a cos x, x 0,
又因 f (0)=2 ，所以 f (x) 2 。--------------------------------------------------------9 分（Ⅲ）由上知当 a 1时，求证： f (x) 2 0 ，符合题意---------------------------10 分
…………8 分
则 G(0, 0, 0)
B(1, 0, 0) ， C(0,1, 0) ， D(1, 0, 0) ， F (0, 0,
2) 2
高考模拟试卷参考答案第 2 页共 7 页
FB (1, 0,
2 2
),
BC
(1,1,
0)
，
可知平面 FBD 的法向量为 m (0,1, 0) ，
设平面 FBC 的法向量为 n (x, y, z)
f / (x) ex sin x 1, --------------------------------5 分 f // (x) ex cos x, -------------------------------------6 分
因为 x 0, ，所以 ex 1, 1 cos x 1 ，所以 f // (x) 0 所以 f / (x)在 0，上是增函数，----------------------------------------------------7 分又因 f / (0)=0 ，所以 f / (x) 0 ，所以 f (x)在0，上是增函数，------8 分
(16 14 2 0) (2 4 22)
7 分
(16 0) 9 (2 22) 11
2
2
204 .
11分 14 分
解 2：选择②
（Ⅰ）因为{an} 是等比数列，由
a5
8，
q
2
，可得
a1
1 2
.
所以 an
a1 q n1
1 (2)n1 2
(1)n1 2n2
.
2 分 5分
又因 f (0)=1 a 0 ，所以 0 a 1 ----------------------------------------------14 分
综上： a 1,1
------------------------------------------------------15 分
20.（共 14 分）
上述方程仅有一个根，即 P 是直线 MP 与椭圆 C 的唯一公共点. ·············14 分
21.（共 14 分）
解：(1)前四项
可以为:
或
或
, --------(全对 2 分,有一个正确给 1 分)
且
.
---------(3 分)
(2)(反证法)若命题不成立,设
.
令
,
-------(5 分)
设切点为 x0 , f (x0 ) ，则切线斜率 k f / (x0 ) e x0 1 e 1 ，------------2 分
解得 x0 =1, f (x0 )=f (1)= e 1 --------------------------------------3 分
所以切线方程为： y e 1= e1 x 1 ，即 y= e1 x ----------------------4 分（Ⅱ）当 a 1时， f (x) ex cos x x, x 0, , a 1
当 a 1 时， f / (x) ex a sin x 1, x 0,
① 当 a 0 时， ex 1， a sin x 0, 所以f /(x) 0 ，
所以 f (x)在0，上是增函数，---------------------------------------------11 分
14. V 6
15. (2)(3)
三、解答题: 本大题共 6 小题，共 85 分.
16.（共 14 分）
解 1：选择①
（Ⅰ）因为{an} 是等差数列，由 a5 8 ， d 2 ，可得 a1 16 . 2 分
所以 an a1 (n 1)d 18 2n .
5分
（Ⅱ）设 S | a1 | | a2 | | a20 |
…………14 分
18. （共 14 分）
解：（Ⅰ）设从服 A 药患者中随机选出一名，此人指标 y 的值合格的事件为 A
因为服 A 药的共 40 名，服药一段时间后有 20 名 y 指标合格.-------------------2 分
PA 20 1 ------------------------ 4 分
解：（Ⅰ）由 c 2 , c 1得：a 2,a 2 =b2 +c2,易知b=1, a2
椭圆方程为：x2 y2 1；············5 分 2
（Ⅱ）设
P x0 ,
y0
，则
x02 2
y02
1（*）
···········6 分
由已知条件可顺次求得：
Q
0,
y0
,
N
0,
1 y0
,
,
则有
,即
,而
,矛盾.--(7 分,其他证法酌情给分)
(3)由于
,因此有
.
下证通项公式为:
.
-----(9 分)
先证当
时,有
,Leabharlann -----(10 分)设
(或 1),若 ,则
中至少有两项大于 (或 1),
因此
,矛盾.所以,前 3 项中包含 1 和 2.
设
,若 ,则前 3 项中且只有一项大于 3,因此
矛盾;
1 4
3 16
；--------------------------------13
分
所以： DY1 DY3 DY2 -------------------------14 分
19.（共 15 分）
解（Ⅰ）当 a 0 时， f (x) ex x, x 0,
f / (x) ex 1, -------------------------1 分
高考模拟试卷参考答案第 5 页共 7 页
x2
2
x0 2 y0
x
1 y0
2
2
0
1+
x02 2 y02
x2
2x0 y02
x
2 y02
2
0
·············11
分
将（*）式代入并化简得： x2 2x0x 2 2 y02 0 ，
=4x02 4 2 2 y02 4 x02 2 y02 2 0 ，
2020 年北京高考模拟试题（一）
数学（参考答案）
一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分.
1. D
2. A
3. C
6. D
7. A
8. C
4. B 9. C
5. D 10. D
二、填空题:本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分.
11. -160
12. 2

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