一元二次方程知识点总结

一元二次方程

1.一元二次方程的定义及一般形式：

（1）等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数式2 （二次）的方程，叫做一元二次方程。（2）一元二次方程的一般形式：ax2 bx c 0（a 0）。其中a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项。

注意：三个要点，①只含有一个未知数；②所含未知数的最高次

数是2;③是整式方程。

2.一元二次方程的解法

（1 ）直接开平方法：

形如（x a）2 b（b 0）的方程可以用直接开平方法解，两边直接

开平方得x a b或者x a 、、b，x a , b。

注意：若b<0,方程无解

（2）因式分解法：

一般步骤如下：

①将方程右边得各项移到方程左边，使方程右边为0 ；

②将方程左边分解为两个一次因式相乘的形式；

③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；

④解这两个一元一次方程，他们的解就是原方程的解。

（3）配方法:

用配方法解一元二次方程ax2 bx c 0（a 0）的一般步骤

①二次项系数化为1：方程两边都除以二次项系数；

②移项：使方程左边为二次项与一次项，右边为常数项；

③配方：方程两边都加上一次项系数一般的平方，把方程

化为(x m)2 n(n 0)的形式；

④用直接开平方法解变形后的方程。

注意：当n 0时，方程无解

(4)公式法：

一元二次方程ax2 bx c 0(a 0)根的判别式：b24ac

0方程有两个不相等的实根:x b甘4/( b2 4ac 0)

2a

f(x)的图像与x轴有两个交点

0方程有两个相等的实根f(x)的图像与x轴有一个交点

0方程无实根f(x)的图像与x轴没有交点

3.韦达定理(根与系数关系)

我们将一元二次方程化成一般式ax2+bx+c = 0之后，设它的两个根是x i和X2，则&和X2与方程的系数a, b, c之间有如下关系：X i+X2 = b；

X i?X2 = 2

a a

4.一元二次方程的应用

列一元二次方程解应用题，其步骤和二元一次方程组解应用题类

似

①“审”，弄清楚已知量，未知量以及他们之间的等量关系；

②“设”指设元，即设未知数，可分为直接设元和间接设元；

③“列”指列方程，找出题目中的等量关系，再根据这个关系列出

含有未知数的等式，即方程。

④“解”就是求出说列方程的解；

⑤“答”就是书写答案，检验得出的方程解，舍去不符合实际意义

的方程。

注意：一元二次方程考点：定义的考察；解方程及一元二次方程的应用。

五.典型例题

1、下列方程中，是一元二次方程的是：（）

A、X2+3X +y=0 ;

B、x+y+1=0 ;

2X2 1 X 1

3 ；D、

2、关于X的方程（a2+a —2）x2+ax+b=0是一元二次方程的条件是（）

A a工0 ;

B 、a 工一2 ;

C、a 工一2 且a 工1 ；

D、a 1

3、一元二次方程X2—3X = 4的一般形式是 ____________________ 一次项系数为 __________________ 。

4、方程X2 = 225 的根是___________________

5、方程3x2—5 x=0 的根是 ____________________ 。

6、( x2—24x + ) = (x —) 2。

7、一元二次方程a x2+bx +c=0 (a丰0)有一个根为1，贝U a+b +c= __________ 。

8关于x的一元二次方程m x2—2x +1= 0有两个相等实数根，

贝H m= _______________ 。

9、已知X i, X2是方程2 x2+3x —4=0的两个根，那么X i +

10、若三角形其中一边为5cm另两边长是x2 7X 12 0两根，则

三角形面积为 _____________ 。

11、用适当的方法接下列方程。

(1)

、

(x+3) (x- 1)

⑵、(3x—2) 2 = (2x —3)

(3)、(2x —1) 2

=3

(2x +

1 )

⑷、3 x2—10x +6=0

12、若两个连续偶数的积是288,求这两个偶数。

13、从一块长80cm宽60cm的长方形铁片中间截去一个小长方形，使剩下的长方形四周宽度一样，并且小长方形的面积是原来铁片面积的一半，求这个宽度？

2

14、已知关于X的方程2x 5x p 3 0的一个根是4，求方程的另一个根和p的值.