一元二次方程知识点总结

合集下载

一元二次方程总复习知识点梳理

一元二次方程总复习考点1：一元二次方程的概念一元二次方程：只含有一个未知数，未知数的最高次数是2，且系数不为 0，这样的方程叫一元二次方程．一般形式：ax 2＋bx+c=0(a ≠0）。

注意：判断某方程是否为一元二次方程时，应首先将方程化为一般形式。

考点2：一元二次方程的解法1.直接开平方法：对形如(x+a ）2=b （b ≥0）的方程两边直接开平方而转化为两个一元一次方程的方法。

X+a=±b∴1x =-a+b 2x =-a-b2.配方法：用配方法解一元二次方程：ax 2＋bx+c=0(k ≠0）的一般步骤是：①化为一般形式；②移项，将常数项移到方程的右边；③化二次项系数为1，即方程两边同除以二次项系数；④配方，即方程两边都加上一次项系数的一半的平方；化原方程为(x+a ）2=b 的形式；⑤如果b ≥0就可以用两边开平方来求出方程的解；如果b ≤0，则原方程无解．3.公式法：公式法是用求根公式求出一元二次方程的解的方法．它是通过配方推导出来的．一元二次方程的求根公式是aac b b x 242-±-=(b 2－4ac ≥0)。

步骤：①把方程转化为一般形式；②确定a ，b ，c 的值；③求出b 2－4ac 的值，当b 2－4ac ≥0时代入求根公式。

4.因式分解法：用因式分解的方法求一元二次方程的根的方法叫做因式分解法．理论根据：若ab=0，则a=0或b=0。

步骤是：①将方程右边化为0；②将方程左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式等于0，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，它们的解就是原一元二次方程的解．因式分解的方法：提公因式、公式法、十字相乘法。

5．一元二次方程的注意事项：⑴ 在一元二次方程的一般形式中要注意，强调a ≠0．因当a=0时，不含有二次项，即不是一元二次方程．⑵ 应用求根公式解一元二次方程时应注意：①先化方程为一般形式再确定a ，b ，c 的值；②若b 2－4ac ＜0，则方程无解．⑶ 利用因式分解法解方程时，方程两边绝不能随便约去含有未知数的代数式．如－2(x ＋4)2 =3（x ＋4）中，不能随便约去x ＋4。

一元二次方程知识点总结及相关练习题

一元二次方程知识点总结及相关练习题一、一元二次方程一元二次方程是指含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程。

它的一般形式为ax^2+bx+c=0（其中a≠0），其中ax^2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项。

二、一元二次方程的解法1.直接开平方法直接开平方法是利用平方根的定义直接开平方求解一元二次方程的方法。

它适用于解形如(x+a)=b的一元二次方程。

根据平方根的定义可知，x+a是b的平方根，当b≥0时，x=-a±b；当b<0时，方程没有实数根。

2.配方法配方法的理论根据是完全平方公式a±2ab+b=(a±b)^2，把公式中的a看做未知数x，并用x代替，则有x±2bx+b=(x±b)^2.配方法的步骤是：先把常数项移到方程的右边，再把二次项的系数化为1，再同时加上1次项的系数的一半的平方，最后配成完全平方公式。

3.公式法公式法是用求根公式解一元二次方程的方法，它是解一元二次方程的一般方法。

一元二次方程ax^2+bx+c=0的求根公式是x=(-b±√(b^2-4ac))/2a。

公式法的步骤是把一元二次方程的各系数分别代入，这里二次项的系数为a，一次项的系数为b，常数项的系数为c。

4.因式分解法因式分解法是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法。

这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法。

分解因式法的步骤是：把方程右边化为0，然后看看是否能用提取公因式、公式法或十字相乘，如果可以，就可以化为乘积的形式。

5.XXX定理利用韦达定理可以求出一元二次方程中的各系数。

韦达定理就是在一元二次方程中，二根之和=-b/a，二根之积=c/a也可以表示为x1+x2=-b/a,x1x2=c/a。

在题目中，XXX定理是很常用的。

三、一元二次方程根的判别式根的判别式指的是一元二次方程ax^2+bx+c=0的根的判别式，通常用“Δ”来表示，即Δ=b^2-4ac。

一元二次方程复习知识点梳理

注意：判断某方程是否为一元二次方程时，应首先将方程化为一般形式。

考点2：一元二次方程的解法1.直接开平方法：对形如(x+a ）2=b （b ≥0）的方程两边直接开平方而转化为两个一元一次方程的方法。

步骤：①把方程转化为一般形式；②确定a ，b ，c 的值；③求出b 2－4ac 的值，当b 2－4ac ≥0时代入求根公式。

4.因式分解法：用因式分解的方法求一元二次方程的根的方法叫做因式分解法．理论根据：若ab=0，则a=0或b=0。

一元二次方程知识点总结

一元二次方程知识点总结一元二次方程是代数学中的基础内容之一，其包含了一元变量的二次项、一次项和常数项。

在解决实际问题时，一元二次方程经常被用来建立数学模型。

以下是对一元二次方程的知识点进行总结：一、一元二次方程的基本形式一元二次方程的基本形式可以表示为：ax² + bx + c = 0，其中a、b 和c是常数，而x是未知变量。

二、一元二次方程的求解方法1. 因式分解法：如果方程可以进行因式分解，则可以直接求得方程的解。

2. 完全平方公式：适用于方程无法进行因式分解时，利用完全平方公式求解。

3. 直接求根公式：一元二次方程的根可以通过以下公式直接求得：x = (-b ± √(b²-4ac)) / (2a)三、一元二次方程解的性质1. 实根与复根：一元二次方程的解可以是实数也可以是复数。

具体取决于方程中的判别式(b²-4ac)的值。

若判别式大于零，则方程有两个不相等的实根；若判别式等于零，则方程有两个相等的实根；若判别式小于零，则方程有两个共轭复根。

2. 关系式：一元二次方程的根与系数之间存在一定的关系，如根的和等于系数b的相反数，根的乘积等于常数项c。

四、一元二次方程的图像特征一元二次方程的图像为抛物线，其开口的方向和抛物线的顶点位置与方程中的系数相关。

具体来说：1. a的正负：当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。

2. 顶点坐标：抛物线的顶点坐标为(-b/2a, f(-b/2a))，其中f(x)是方程的函数。

五、应用实例一元二次方程在实际问题中的应用广泛，尤其是用于建立数学模型。

以下是几个常见的应用实例：1. 求解抛物线运动的高度、飞行时间等问题。

2. 求解面积和周长的关系，如矩形或正方形的最大面积问题。

3. 求解抛物线拱桥的最高点坐标。

六、注意事项在应用一元二次方程解决问题时，需要注意以下几点：1. 确定方程中的未知数和已知数。

初中数学一元二次方程知识点总结(含习题)

初中数学一元二次方程知识点总结(含习题)一元二次方程知识点的总结知识结构梳理：1、概念1) 一元二次方程含有一个未知数。

2) 未知数的最高次数是2.3) 是方程。

4) 一元二次方程的一般形式是ax²+bx+c=0.2、解法1) 因式分解法，适用于能化为(x+m)(x+n)=0的一元二次方程。

2) 公式法，即把方程变形为ax²+bx+c=0的形式，一元二次方程的解为x=[-b±√(b²-4ac)]/(2a)。

3) 完全平方式，其中求根公式是(x±a)²=b，当时，方程有两个不相等的实数根。

4) 配方法，其中求根公式是(x±a)(x±b)=0，当时，方程有两个实数根。

5) 二次函数图像法，当时，方程有没有实数根。

3、应用1) 一元二次方程可用于解某些求值题。

2) 一元二次方程可用于解决实际问题的步骤包括：列方程、化简方程、解方程、检验答案。

知识点归类：考点一：一元二次方程的定义如果一个方程通过移项可以使右边为0，而左边只含有一个未知数的二次多项式，那么这样的方程叫做一元二次方程。

一元二次方程必须同时满足以下三点：①方程是整式方程。

②它只含有一个未知数。

③未知数的最高次数是2.考点二：一元二次方程的一般形式一元二次方程的一般形式为ax²+bx+c=0，其中a、b、c分别叫做二次项系数、一次项系数、常数项。

要准确找出一个一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项，必须把它先化为一般形式。

考点三：解一元二次方程的方法一元二次方程的解也叫一元二次方程的根。

解一元二次方程的方法包括因式分解法、公式法、完全平方式、配方法和二次函数图像法。

解一元二次方程有四种常用方法：直接开平方法、配方法、因式分解法和公式法。

选择哪种方法要根据具体情况而定。

直接开平方法是解形如x²=a的方程的方法，解为x=±√a。

配方法是将方程的左边加上一次项系数一半的平方，再减去这个数，使得含未知数的项在一个完全平方式里，然后用因式分解法或直接开平方法解方程。

一元二次方程知识点总结(全章齐全)

一元二次方程知识点总结定义：两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程．一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式．这种形式叫做一元二次方程的一般形式．一个一元二次方程经过整理化成ax2+bx+c=0（a≠0）后，其中是二次项，是二次项系数；是一次项，是一次项系数；是常数项．注意:二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常数项都包括前面的符号.基本解法①直接开平方法:对于形如的方程，即一元二次方程的一边是含有未知数的一次式的平方，而另一边是一个非负数，可用直接开平方法求解。

②配方法：(1)现将已知方程化为一般形式；(2)化二次项系数为1；(3)常数项移到右边；(4)方程两边都加上一次项系数的一半的平方，使左边配成一个完全平方式；(5)变形为(x+p)2=q的形式，如果q≥0，方程的根是x=-p±√q；如果q＜0,方程无实根．③公式法:(1)把一元二次方程化为一般式。

(2)确定a,b,c的值。

(3)代入中计算其值，判断方程是否有实数根。

(4)若代入求根公式求值，否则，原方程无实数根。

【小试牛刀】方程ax2+bx+c=0的根为④因式分解法·因式分解法解一元二次方程的依据:如果两个因式的积等于0，那么这两个因式至少有一个0，即:若ab=0，则a=0或b=0。

·步骤：(1)将方程化为一元二次方程的一般形式。

(2)把方程的左边分解为两个一次因式的积，右边等于0。

(3)令每一个因式都为零，得到两个一元一次方程。

(4)解出这两个一元一次方程的解，即可得到原方程的两个根。

根的判别情况判别式：b2-4ac的值x1、x2的关系根的具体值一元二次方程两根与系数的关系：。

一元二次方程总复习全章知识点梳理.

一元二次方程总复习考点 1:一元二次方程的概念一元二次方程:只含有一个未知数,未知数的最高次数是 2,且系数不为 0,这样的方程叫一元二次方程.一般形式:ax 2+bx+c=0(a≠ 0 。

注意:判断某方程是否为一元二次方程时,应首先将方程化为一般形式。

考点 2:一元二次方程的解法1. 直接开平方法2. 配方法:3.公式法:4. 因式分解法:因式分解的方法:提公因式、公式法、十字相乘法、分组分解法。

5.一元二次方程的注意事项:⑴在一元二次方程的一般形式中要注意,强调a ≠ 0.因当 a=0时,不含有二次项,即不是一元二次方程.⑵应用求根公式解一元二次方程时应注意:①先化方程为一般形式再确定 a , b ,c 的值;②若 b 2 -4ac <0,则方程无解.★⑶利用因式分解法解方程时,方程两边绝不能随便约去含有未知数的代数式.如-2(x+4 2 =3 (x +4中,不能随便约去 x +4。

⑷注意:解一元二次方程时一般不使用配方法 (除特别要求外但又必须熟练掌握,解一元二次方程的一般顺序是:开平方法→因式分解法→公式法.6.一元二次方程解的情况⑴ b 2-4ac ≥ 0⇔方程有两个不相等的实数根;⑵ b 2-4ac=0⇔方程有两个相等的实数根;⑶ b 2-4ac ≤ 0⇔方程没有实数根。

解题小诀窍:当题目中含有“两不等实数根” “两相等实数根” “没有实数根”时,往往首先考虑用b 2-4ac 解题。

主要用于求方程中未知系数的值或取值范围。

考点 3:根与系数的关系 :韦达定理对于方程 ax 2+bx+c=0(a≠ 0 利用韦达定理可以求一些代数式的值(式子变形。

解题小诀窍:当一元二次方程的题目中给出一个根让你求另外一个根或未知系数时,可以用韦达定理。

二、经典考题剖析:【易错】下列方程是关于 x 的一元二次方程的是(A. 02=++c bx axB. 0652=++k x kC. 01232=++xx x D. 012 3(22=+++x x k 1、 (2009成都若关于 x 的方程 kx 2 -2x -1=0有两个不相等的实数根,则 k 的取值范围是(A.k>-1B. k>-1且k ≠ 0C. k<1D. k<1且k ≠ 02、解方程:(1 1(2 1(3-=-y y y y (20862=+-x x3、 (2009鄂州关于 x 的方程 kx 2+(k+2x+4k=0有两个不相等的实数根,(1求 k 的取值范围;(2是否存在实数 k 使方程的两个实数根的倒数和等于 0?若存在求出 k 的值;不存在说明理由。

一元二次方程式知识点总结

一元二次方程式知识点总结1. 什么是一元二次方程式？一元二次方程式是一个以未知数的二次幂为最大次数的方程式。

一元二次方程的一般形式为：ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c为常数，且a不等于0。

2. 一元二次方程的解法2.1 因式分解法如果一元二次方程可以通过因式分解为两个一次因式的乘积形式，那么方程的解可以直接从分解中得到。

例如：x^2 + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3)，方程的解为x = -2和x = -3。

2.2 公式法一元二次方程的解可以通过求根公式得到。

求根公式为：x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a。

根据求根公式，可以计算方程的解。

2.3 完全平方法如果一元二次方程可以通过完全平方形式表示，那么可以直接从完全平方形式中得到方程的解。

例如：x^2 + 6x + 9 = (x + 3)^2，方程的解为x = -3。

3. 一元二次方程的判别式一元二次方程的判别式Δ = b^2 - 4ac可以用来判断方程的解的性质。

- 当Δ > 0时，方程有两个不相等的实数解。

- 当Δ = 0时，方程有两个相等的实数解。

- 当Δ < 0时，方程没有实数解。

4. 一元二次方程的图像一元二次方程的图像是抛物线。

抛物线的开口方向和判别式的正负有关：当a > 0时，抛物线开口向上；当a < 0时，抛物线开口向下。

5. 一元二次方程的应用一元二次方程在实际问题中有广泛的应用。

例如，抛物线的运动轨迹、物体抛出和抛射问题等都可以用一元二次方程来描述和解决。

6. 注意事项- 在解一元二次方程时，要注意对方程进行整理和化简，以便于使用不同的解法。

- 在使用公式法求解时，需要注意判别式的值，以确定方程的解的类型和个数。

- 在实际应用中，要注意问题的具体条件和意义，避免得出没有实际意义的解。

以上是一元二次方程式的知识点总结，希望对你有帮助！。

一元二次方程知识点总结

一元二次方程知识点总结标准化文件发布号：（9312-EUATWW-MWUB-WUNN-INNUL-DQQTY-第二章一元二次方程本章中考动向：会用因式分解法、公式法、配方法解简单系数的一元二次方程；了解一元二次方程根的判别式和根与系数的关系并能进行简单运用；能根据具体问题中的数量关系列方程，能根据具体问题的实际意义检验方程的解的合理性。

一. 知识点：1. 一元二次方程的概念只含有一个未知数x 的整式方程，并且都可以化成20ax bx c ++=（a ，b ，c 为常数，a ≠0）的形式，这样的方程叫做一元二次方程。

注：（①整式方程，含有一个未知数；②整理后未知数的最高次数是2）2. 一元二次方程的一般形式一般地，任何一个关于x 的一元二次方程，经过整理，化成：20ax bx c ++=（a ≠0）。

这种形式叫做一元二次方程的一般形式，其中2ax 是二次项，a 是二次项系数；bx 是一次项，b 是一次项系数，c 是常数项。

关键：（1）a ≠0；（2）系数带上符号3.一元二次方程的解（根）能使一元二次方程两边的值相等的未知数的值，叫做一元二次方程的解，也叫一元二次方程的根。

应用：若是方程的解（根），则代入方程，可使其成立。

通常结合恒等变形来求一些式子的值。

例：已知a 是方程2310x x -+= 的一个根，试求3222511a a a a --++ 的值。

4. 配方法解一元二次方程：将一元二次方程转化成()2x m n += （n ≥0）的形式。

通过配成完全平方式的方法得到一元二次方程的根。

()2x m n += （n ≥0）。

x m =- 关键：将二次项系数化为1的方程的两边同时加上一次项系数一半的平方注：在求解一些式子的最值问题时，我们是将式子配成完全平方，再利用完全平方式子的非负性来解决。

例如：当x 取何值时，代数式2267x x -+ 的值最小求出这个最小值5. 公式法解一元二次方程对于一元二次方程20ax bx c ++=（a ≠0），当24b ac -≥0时，利用配方法可算出它的根是2b x a-±= 关键步骤：（1）将方程化为一般形式，确定公式中a ，b ，c 的值；（2）先求出 24b ac -的值，再考虑是否用公式。

一元二次方程知识点总结

一元二次方程知识点总结一元二次方程是初中数学中的重要内容，它在解决实际问题和进一步学习数学知识方面都有着广泛的应用。

下面我们来详细总结一下一元二次方程的相关知识点。

一、一元二次方程的定义只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是 2（二次）的整式方程，叫做一元二次方程。

一般形式为＄ax^2 ＋ bx ＋ c ＝0$（＄a ≠ 0$），其中＄a$ 是二次项系数，＄b$ 是一次项系数，＄c$ 是常数项。

需要注意的是，方程必须是整式方程，也就是说分母中不能含有未知数。

同时，二次项系数＄a$ 不能为 0，如果＄a ＝ 0$，那么就变成了一元一次方程。

二、一元二次方程的解法1、直接开平方法对于形如＄x^2 ＝ p$ 或＄（x ＋ n)＾2 ＝ p$（＄p ≥ 0$）的方程，可以使用直接开平方法。

当＄x^2 ＝ p$ 时，＄x ＝ ±＼sqrt{p}＄；当＄（x ＋ n)＾2 ＝ p$ 时，＄x ＋ n ＝ ±＼sqrt{p}＄，即＄x ＝ n ±＼sqrt{p}＄。

2、配方法配方法是一种将一元二次方程转化为完全平方式的方法。

例如，对于方程＄x^2 ＋ 6x 7 ＝ 0$，可以通过在方程两边加上一次项系数一半的平方来配方，即：＼＼begin{align}x^2 ＋ 6x 7&＝0\＼x^2 ＋ 6x&＝7\＼x^2 ＋ 6x ＋ 9&＝7 ＋ 9\＼（x ＋ 3)＾2&＝16\＼x ＋ 3&＝±4\＼x&＝－3 ± 4＼end{align}＼3、公式法一元二次方程＄ax^2 ＋ bx ＋ c ＝ 0$（＄a ≠ 0$）的求根公式为＄x ＝＼frac{b ±＼sqrt{b^2 4ac}｝｛2a}＄。

在使用公式法时，需要先计算判别式＄＼Delta ＝ b^2 4ac$：当＄＼Delta ＞ 0$ 时，方程有两个不相等的实数根；当＄＼Delta ＝ 0$ 时，方程有两个相等的实数根；当＄＼Delta ＜ 0$ 时，方程没有实数根。

初三数学一元二次方程知识点总结

初三数学一元二次方程知识点总结一、一元二次方程 1、一元二次方程含有个未知数，并且未知数的次数是2的方程叫做一元二次方程。

2、一元二次方程的一般形式: .它的特征是：等式左边十一个关于未知数x 的二次多项式，等式右边是零,其中2ax 叫做二次项，叫做二次项系数；叫做一次项，b 叫做一次项系数；c 叫做 . 二、一元二次方程的解法 1、直接开平方法:利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。

直接开平方法适用于解形如b a x =+2)(的一元二次方程。

根据平方根的定义可知,a x +是b 的平方根，当0≥b 时，b a x ±=+,b a x ±-=，当b 〈0时，方程实数根.2、配方法:配方法的理论根据是完全平方公式222)(2b a b ab a +=+±，把公式中的a 看做未知数x,并用x 代替，则有222)(2b x b bx x ±=+±。

配方法的步骤:先把移到方程的右边，再把的系数化为1，再同时加上一次项的的平方，最后配成平方公式。

3、公式法公式法是用公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。

一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的求根公式：公式法的步骤:就把一元二次方程的分别代入,二次项的系数为a ，一次项的系数为b ，常数项的系数为c 4、因式分解法因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法。

分解因式法的步骤：把方程化为0,然后看看是否能用提取公因式,公式法（这里指的是分解因式中的公式法）或十字相乘，如果可以，就可以化为的形式三、一元二次方程根的判别式根的判别式一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 中，叫做一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根的判别式，通常用“∆”来表示，即ac b 42-=∆四、一元二次方程根与系数的关系如果方程)0(02≠=++a c bx ax 的两个实数根是21x x ，,那么ab x x -=+21，acx x =21。

(完整版)一元二次方程知识点总结

一元二次方程1、一元二次方程：含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。

2、一元二次方程的一般形式：，它的特征是：等式左边十一个关)0(02≠=++a c bx ax 于未知数x 的二次多项式，等式右边是零，其中叫做二2ax 次项，a 叫做二次项系数；bx 叫做一次项，b 叫做一次项系数；c 叫做常数项。

3.一元二次方程的解法(1)直接开平方法:利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。

直接开平方法适用于解形如的一元二次方程。

根据b a x =+2)(平方根的定义可知，是b 的平方根，当时，，a x +0≥b b a x ±=+，当b<0时，方程没有实数根。

b a x ±-=(2)配方法:配方法的理论根据是完全平方公式，把公式中的a 看222)(2b a b ab a +=+±做未知数x ，并用x 代替，则有。

222)(2b x b bx x ±=+±配方法的步骤：先把常数项移到方程的右边，再把二次项的系数化为1，再同时加上1次项的系数的一半的平方，最后配成完全平方公式(3)公式法:公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。

一元二次方程的求根公式：)0(02≠=++a c bx ax )04(2422≥--±-=ac b aac b b x 公式法的步骤：就把一元二次方程的各系数分别代入，这里二次项的系数为a ，一次项的系数为b ，常数项的系数为c(4)因式分解法:因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法。

分解因式法的步骤：把方程右边化为0，然后看看是否能用提取公因式，公式法（这里指的是分解因式中的公式法）或十字相乘，如果可以，就可以化为乘积的形式4.一元二次方程根的判别式:一元二次方程中，叫做一)0(02≠=++a c bx ax ac b 42-元二次方程的根的判别式，通常用“)0(02≠=++a c bx ax ”来表示，即∆acb 42-=∆I 当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根；II 当△=0时，一元二次方程有2个相同的实数根；III 当△<0时，一元二次方程没有实数根5.一元二次方程根与系数的关系如果方程的两个实数根是，那么，)0(02≠=++a c bx ax 21x x ，ab x x -=+21。

一元二次方程知识点总结

一元二次方程知识点总结一元二次方程是高中数学中的重要概念之一，它是由形如ax^2 + bx + c = 0的方程组成，其中a、b、c都是实数且a不等于0。

本文将总结一元二次方程的相关知识点，并详细介绍其求解方法和应用。

一、一元二次方程的一般形式与基本性质1.1 一元二次方程的一般形式: ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c都是实数且a不等于0。

1.2 一元二次方程的次数为2，被称为二次方程。

1.3 一元二次方程的系数：a、b、c分别是方程的二次项系数、一次项系数和常数项。

1.4 一元二次方程的根：方程的解叫做方程的根，方程可能有两个相等的实根、两个不等的实根、两个复数根或无解。

二、一元二次方程的求解方法2.1 因式分解法通过将一元二次方程进行因式分解，将方程转化为两个一次方程相乘的形式，从而求解方程的根。

例如：x^2 + 7x + 12 = 0，可因式分解为(x+3)(x+4) = 0，方程的根为x=-3和x=-4。

2.2 公式法（求根公式）利用一元二次方程的根与系数之间的关系，可以通过求根公式来求解方程的根。

一元二次方程的求根公式为：x = (-b ±√(b^2 - 4ac))/(2a)。

例如：x^2 + 7x + 12 = 0，代入a=1，b=7，c=12，可得x = (-7± √(7^2 - 4*1*12))/(2*1)，计算后得方程的根为x=-3和x=-4。

2.3 完全平方方法对于一些特殊的一元二次方程，可以利用完全平方公式来求解方程的根。

完全平方公式是指：(a ± b)^2 = a^2 ± 2ab + b^2。

例如：x^2 + 10x + 25 = 0，可写为(x+5)^2 = 0，方程的根为x=-5。

三、一元二次方程的判别式一元二次方程的判别式是通过方程的系数来判断方程的根的情况。

3.1 判别式的定义：Δ = b^2 - 4ac。

一元二次方程知识点总结

一元二次方程知识点总结一、一元二次方程的概念。

1. 定义。

- 只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的整式方程叫做一元二次方程。

- 一般形式：ax^2+bx + c = 0(a≠0)，其中ax^2是二次项，a是二次项系数；bx 是一次项，b是一次项系数；c是常数项。

2. 判断方程是否为一元二次方程。

- 首先看方程是否为整式方程。

- 然后看是否只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2，同时二次项系数不为0。

例如x^2+2x - 1 = 0是一元二次方程；而x^2+(1)/(x)=1不是一元二次方程，因为它是分式方程。

二、一元二次方程的解法。

1. 直接开平方法。

- 对于方程x^2=p(p≥0)，解为x=±√(p)。

- 例如方程(x - 3)^2=4，则x - 3=±2，解得x = 1或x = 5。

2. 配方法。

- 步骤：- 把方程ax^2+bx + c = 0(a≠0)的常数项移到等号右边，得到ax^2+bx=-c。

- 二次项系数化为1，即x^2+(b)/(a)x =-(c)/(a)。

- 在等式两边同时加上一次项系数一半的平方，即x^2+(b)/(a)x+((b)/(2a))^2=((b)/(2a))^2-(c)/(a)。

- 左边写成完全平方式(x +(b)/(2a))^2=frac{b^2-4ac}{4a^2}，然后用直接开平方法求解。

- 例如解方程x^2+6x - 7 = 0，移项得x^2+6x = 7，配方得x^2+6x + 9 = 7+9，即(x + 3)^2=16，解得x = 1或x=-7。

3. 公式法。

- 对于一元二次方程ax^2+bx + c = 0(a≠0)，其求根公式为x=frac{-b±√(b^2)-4ac}{2a}(b^2-4ac≥0)。

- 步骤：- 确定a、b、c的值。

- 计算b^2-4ac的值，判断方程是否有实数根。

- 当b^2-4ac≥0时，代入求根公式求解。

一元二次方程(知识点+考点+题型总结)

一元二次方程专题复习考点一、概念(1）定义：①只含有一个未知数．．．．．．．．，并且②未知数的最高次数是．．．．．．．．．2．，这样的③整式方程．．．．就是一元二次方程。

(2)一般表达式：)0(02≠=++a c bx ax⑶难点：如何理解 “未知数的最高次数是2"：①该项系数不为“0”；②未知数指数为“2”;③若存在某项指数为待定系数，或系数也有待定,则需建立方程或不等式加以讨论。

典型例题：例1、下列方程中是关于x 的一元二次方程的是（） A ()()12132+=+x x B 02112=-+xx C 02=++c bx ax D 1222+=+x x x变式：当k 时，关于x 的方程3222+=+x x kx 是一元二次方程。

例2、方程()0132=+++mx x m m是关于x 的一元二次方程,则m 的值为。

针对练习: ★1、方程782=x 的一次项系数是，常数项是 .★2、若方程()021=--m x m 是关于x 的一元一次方程，⑴求m 的值；⑵写出关于x 的一元一次方程。

★★3、若方程()112=•+-x m x m 是关于x 的一元二次方程，则m 的取值范围是。

★★★4、若方程nx m +x n -2x 2=0是一元二次方程,则下列不可能的是（） A 。

m=n=2 B 。

m=2,n=1 C 。

n=2，m=1 D.m=n=1考点二、方程的解⑴概念：使方程两边相等的未知数的值，就是方程的解。

⑵应用:利用根的概念求代数式的值；典型例题：例1、已知322-+y y 的值为2，则1242++y y 的值为。

例2、关于x 的一元二次方程()04222=-++-a x x a 的一个根为0，则a 的值为。

例3、已知关于x 的一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的系数满足b c a =+，则此方程必有一根为。

例4、已知b a ,是方程042=+-m x x 的两个根，c b ,是方程0582=+-m y y 的两个根,则m 的值为 .针对练习：★1、已知方程0102=-+kx x 的一根是2,则k 为，另一根是 .★2、已知关于x 的方程022=-+kx x 的一个解与方程311=-+x x 的解相同。

一元二次方程知识点总结

一元二次方程一、一元二次方程1、一元二次方程：含有未知数，并且未知数的最高次数是的整式方程叫做一元二次方程。

2、一元二次方程的一般形式：，其中二次项系数；一次项系数；常数项。

注意：判断某方程是否为一元二次方程时，应首先将方程化为一般形式，二、一元二次方程的解法（10分）1、直接开平方法:解形如2()x a b +=的一元二次方程。

当0b ≥时，x a += ，1x = ，2x = 当b<0时，2、配方法:配方法的步骤：① 化二次项系数为1，即方程两边同除以二次项系数； ②移项，将移到方程的右边；③配方，即方程两边都加上；化原方程为2()x a b +=的形式 ④如果b ≥0就可以用两边开平方来求出方程的解；如果b ≤0，则原方程无解3、公式法一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的求根公式：当△>0时，一元二次方程有；当△=0时，一元二次方程有；III 当△<0时，一元二次方程步骤：①把方程转化为；②确定的值；③求出的值，④当240b ac -≥时代入求根公式写出两根。

4、因式分解法：理论根据：若ab=0，则a=0或b=0。

分解因式法的步骤：①将方程右边化为；②将方程左边分解为的乘积；③令每个因式等于0，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，它们的解就是原一元二次方程的解．因式分解的方法：提公因式、公式法、十字相乘法。

5、韦达定理对于方程20(0)ax bx c a ++=≠来说，12x x += ，12x x =公式变形：如2212x x += ()212x x -= 1211x x += 解题小诀窍：韦达定理是240b ac ∆=-≥的情况下才成立，在当一元二次方程的题目中给出一个根让你求另外一个根或未知系数时，可以用韦达定理。

三、一元二次方程的实际应用步骤:1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 一．选择题1方程：①2x2﹣9=0，②，③xy+x2=9，④7x+6=x2中，一元二次方C D213．若关于x、y的方程组有实数解，则实数k的取值范围是（）该图案的面积为49，小正方形的面积为4，若用x，y表示小矩形的两边长（x ＞y），请观察图案，指出以下关系式中不正确的是（）15．已知a、b、c是△ABC三边的长，则方程ax2+（b+c）x+=0的根的情况为1、把方程3x2=5x+2化为一元二次方程的一般形式是_________．2、方程2x2﹣1=的二次项系数是_________，一次项系数是_________，常数项是_________．3、（m+1）+4x+2=0是关于x的一元二次方程，则m=_____，方程的解为_____4 写一个关于x的一元二次方程，使它有一个根为﹣1，你所写的方程是_________（只需填满足条件的一个方程即可）．5．在实数范围内定义一种运算“*”，其规则为a*b=ab+2a﹣2b．根据这个规则，方程（x﹣1）*x=0的解为_________．6．如果关于x的方程的一个根为3，那么a=_________．7.若x1，x2是一元二次方程2x2﹣2x﹣1=0的两个根，则x1+x2=____ _，x1x2= _______。

(完整版)一元二次方程知识点总结

一元二次方程1. 一元二次方程的定义及一般形式：（1）等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数式2 （二次）的方程，叫做一元二次方程。

（2）一元二次方程的一般形式：ax2 bx c 0（a 0）。

其中a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项。

注意：三个要点，①只含有一个未知数；②所含未知数的最高次数是2;③是整式方程。

2. 一元二次方程的解法（1 ）直接开平方法：形如（x a）2 b（b 0）的方程可以用直接开平方法解，两边直接开平方得x a b或者x a 、、b，x a , b。

注意：若b<0,方程无解（2）因式分解法：一般步骤如下：①将方程右边得各项移到方程左边，使方程右边为0 ；②将方程左边分解为两个一次因式相乘的形式；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，他们的解就是原方程的解。

（3）配方法:用配方法解一元二次方程ax2 bx c 0（a 0）的一般步骤①二次项系数化为1：方程两边都除以二次项系数；②移项：使方程左边为二次项与一次项，右边为常数项；③配方：方程两边都加上一次项系数一般的平方，把方程化为(x m)2 n(n 0)的形式；④用直接开平方法解变形后的方程。

注意：当n 0时，方程无解(4)公式法：一元二次方程ax2 bx c 0(a 0)根的判别式：b24ac0方程有两个不相等的实根:x b甘4/( b2 4ac 0)2af(x)的图像与x轴有两个交点0方程有两个相等的实根f(x)的图像与x轴有一个交点0方程无实根f(x)的图像与x轴没有交点3. 韦达定理(根与系数关系)我们将一元二次方程化成一般式ax2+bx+c = 0之后，设它的两个根是x i 和X2，则&和X2与方程的系数a, b, c之间有如下关系：X i+X2 = b；X i?X2 = 2a a4. 一元二次方程的应用列一元二次方程解应用题，其步骤和二元一次方程组解应用题类似①“审”，弄清楚已知量，未知量以及他们之间的等量关系；②“设”指设元，即设未知数，可分为直接设元和间接设元；③“列”指列方程，找出题目中的等量关系，再根据这个关系列出含有未知数的等式，即方程。

一元二次方程知识点总结

一元二次方程总复习知识点梳理

一元二次方程知识点总结及相关练习题

一元二次方程复习知识点梳理

一元二次方程知识点总结

初中数学一元二次方程知识点总结(含习题)

一元二次方程知识点总结(全章齐全)

一元二次方程总复习全章知识点梳理.

一元二次方程式知识点总结

一元二次方程知识点总结

一元二次方程知识点总结

初三数学一元二次方程知识点总结

(完整版)一元二次方程知识点总结

一元二次方程 知识点总结

一元二次方程 知识点总结

一元二次方程(知识点+考点+题型总结)

一元二次方程知识点总结

(完整版)一元二次方程知识点总结

一元二次方程知识点总结

一元二次方程知识点总结