最新 2020年重庆春招数学试卷(14)
重庆市南岸区2020年中考数学春招试卷(含解析)
重庆市南岸区2020年中考数学春招试卷一、选择题1．在下列各数中，比﹣1小的数是（）A．0 B．1 C．2 D．﹣22．计算（2x）3的结果是（）A．8x3B．8x C．6x3D．2x33．下列命题是真命题的是（）A．等边三角形是中心对称图形B．等腰三角形是轴对称图形C．等腰直角三角形是中心对称图形D．直角三角形是轴对称图形4．如图，小树AB在路灯O的照射下形成投影BC．若树高AB＝2m，树影BC＝3m，树与路灯的水平距离BP＝4.5m．则路灯的高度OP为（）A．3m B．4m C．4.5m D．5m5．下列整数中，与9﹣最接近的是（）A．4 B．5 C．6 D．76．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AB与⊙C相切于点D，若AB＝6，则CD的长为（）A．B．C．3 D．37．按照如图所示的流程，若输出的M＝3，则输入的m为（）A．﹣1 B．0 C．1 D．38．2020年5月以来，各地根据疫情防控工作需要，对重点人群进行核酸检测．为尽快完成检测任务，某地组织甲、乙两支医疗队，分别开展检测工作，甲队比乙队每小时多检测15人，甲队检测600人比乙队检测500人所用的时间少10%．若设甲队每小时检测x人，根据题意，可列方程为（）A．＝×（1﹣10%）B．×（1﹣10%）＝C．＝×（1﹣10%）D．×（1﹣10%）＝9．在△ABC中，∠ACB为钝角．用直尺和圆规在边AB上确定一点D．使∠ADC＝2∠B，则符合要求的作图痕迹是（）A．B．C．D．10．如图，某校教学楼AB后方有一斜坡，斜坡与教学楼剖面在同一平面内，已知斜坡CD 的长为6m，坡度i＝1：0.75，教学楼底部到斜坡底部的水平距离AC＝8m，在教学楼顶部B点测得斜坡顶部D点的俯角为46°，则教学楼的高度约为（）（参考数据：sin46°≈0.72，cos46°≈0.69，tan46°≈1.04）A．12.1m B．13.3m C．16.9m D．18.1m11．如图，把△ABC纸片沿DE，EF，DG折叠后，A，B，C三点都与BC边上的点M重合，得到矩形DEFG，连接DF，若△DGM和△DMF均是等腰三角形，DG＝1，则△ABC的周长为（）A．4+2+2B．2+4+2C．2+2+4D．4+212．如图，点A与点B关于原点对称，点C在第四象限，∠ACB＝90°．点D是x轴正半轴上一点，AC平分∠BAD，E是AD的中点，反比例函数y＝（k＞0）的图象经过点A，E．若△ACE的面积为6，则k的值为（）A．4 B．6 C．8 D．12二、填空题（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上．15题图13．不等式组的解集是．14．据了解，重庆市为确保2020年完成3万个5G基站建设目标的顺利完成，3月1日已经建设开通5G基站数超过10100个．请把数10100用科学记数法表示为．15．在如图所示的电路图中，当随机闭合开关K1，K2，K3中的两个时，能够让灯泡发光的概率为．16．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝2．分别以点B，A为圆心，以BC长为半径画弧，交AB于点D，E，交AC于点F，则图中的阴影部分的面积为．（用含π的代数式表示）17．在一段长为1000m的笔直道路AB上，甲、乙两名运动员分别从A，B两地出发进行往返跑训练．已知甲比乙先出发30秒钟，甲距A点的距离y/m与其出发的时间x/分钟的函数图象如图所示．乙的速度是200m/分钟，当乙到达A点后立即按原速返回B点．当两人第二次相遇时，乙跑的总路程是m．18．滴滴快车是一种便捷的出行工具，某地的计价规则如表：计费项目里程费时长费远途费单价2元/公里0.3元/分钟1元/公里注：车费由里程费、时长费、远途费三部分构成，其中里程费按行车的实际里程计算；时长费按行车的实际时间计算；远途费的收取方式为：行车里程7公里以内（含7公里）不收远途费，超过7公里的，超出部分每公里收1元．小李与小张分别从不同地点，各自同时乘坐滴滴快车，到同一地点相见，已知到达约定地点时他们的实际行车里程分别为7公里与9公里，两人付给滴滴快车的乘车费相同．其中一人先到达约定地点，他等候另一人的时间等于他自己实际乘车时间，且恰好是另一人实际乘车时间的一半，则小李的乘车费为元．三、解答题（本大题7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形，请将解答过程书写在答题卡对应的位置上．19．计算：（1）（2x+y）（x+y）+（x﹣y）2；（2）（a﹣）÷．20．如图，AB∥CD，AD与BC相交于点E，AF平分∠BAD，交BC于点F，交CD的延长线于点G．（1）若∠G＝29°，求∠ADC的度数；（2）若点F是BC的中点，求证：AB＝AD+CD．21．经历疫情复学后，学校开展了多种形式的防疫知识讲座，并举行了全员参加的“防疫”知识竞赛，试卷题目共10题，每题10分．现分别从七年级1，2，3班中各随机抽取10名同学的成绩（单位：分）．收集整理数据如下：分析数据：平均数中位数众数1班83 a802班83 b c3班d80 80 根据以上信息回答下列问题：（1）请直接写出表格中a，b，c，d的值；（2）比较这三组样本数据的平均数、中位数和众数，你认为哪个班的成绩比较好？请说明理由（一条理由即可）；（3）为了让学生重视安全知识的学习，学校将给竞赛成绩满分的同学颁发奖状，该校七年级学生共120人，试估计需要准备多少张奖状？22．已知函数y＝k|x+2|+b的图象经过点（﹣2，4）和（﹣6，﹣2），完成下面问题：（1）求函数y＝k|x+2|+b的表达式；（2）在给出的平面直角坐标系中，请用适当的方法画出这个函数的图象，并写出这个函数的一条性质；（3）已知函数y＝x+1的图象如图所示，结合你所画出y＝k|x+2|+b的图象，直接写出k|x+2|+b＞x+1的解集．23．在疫情期间，某地推出线上名师公益大课堂，为广大师生、其他社会人士提供线上专业知识学习、心理健康疏导．参与学习第一批公益课的人数达到2万人，因该公益课社会反响良好，参与学习第三批公益课的人数达到2.42万人．参与学习第二批、第三批公益课的人数的增长率相同．（1）求这个增长率；（2）据大数据统计，参与学习第三批公益课的人数中，师生人数在参与学习第二批公益课的师生人数的基础上增加了80%；但因为已经部分复工，其他社会人士的人数在参与学习第二批公益课的其他社会人士人数的基础上减少了60%．求参与学习第三批公益课的师生人数．24．对于任意一个四位数，我们可以记为，即＝1000a+100b+10c+d．若规定：对四位正整数进行F运算，得到整数F（）＝a4+b3+c2+d1．例如，F（1249）＝14+23+42+91＝34；F（2020）＝24+03+22+01＝20．（1）计算：F（2137）；（2）当c＝e+2时，证明：F（）﹣F（）的结果一定是4的倍数；（3）求出满足F（）＝98的所有四位数．25．如图，在平面直角坐标系内，点A，B的坐标分别为（1，0），（0，2），AC⊥AB，且AB＝AC，直线BC交x轴于点D，抛物线y＝ax2+bx+2经过点A，B，D．（1）求直线BC和抛物线y＝ax2+bx+2的函数表达式；（2）点P是直线BD下方的抛物线上一点，求△PCD面积的最大值，以及△PCD面积取得最大值时，点P的坐标；（3）若点P的坐标为（2）小题中，△PCD的面积取得最大值时对应的坐标．平面内存在直线l，使点B，D，P到该直线的距离都相等，请直接写出所有满足条件的直线l的函数表达式．四、解答题（本大题1个小题，共8分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．26．如图1，在正方形ABCD中，点E是边BC上一点，连接AE，过点E作EM⊥AE，交对角线AC于点M，过点M作MN⊥AB，垂足为N，连接NE．（1）求证：AE＝NE+ME；（2）如图2，延长EM至点F，使EF＝EA，连接AF，过点F作FH⊥DC，垂足为H．猜想CH与FH存在的数量关系，并证明你的结论；（3）在（2）的条件下，若点G是AF的中点，连接GH．当GH＝CH时，直接写出GH与AC之间存在的数量关系．参考答案一、选择题（本大题12个小题，每小题4分，共48分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑．1．在下列各数中，比﹣1小的数是（）A．0 B．1 C．2 D．﹣2【分析】根据有理数的大小比较法则逐个判断即可．解：A、0＞﹣1，故本选项不符合题意；B、1＞﹣1，故本选项不符合题意；C、2＞﹣1，故本选项不符合题意；D、﹣2＜﹣1，故本选项符合题意；故选：D．2．计算（2x）3的结果是（）A．8x3B．8x C．6x3D．2x3【分析】根据积的乘方运算法则计算即可，积的乘方，等于每个因式乘方的积．解：（2x）3＝23•x3＝8x3．故选：A．3．下列命题是真命题的是（）A．等边三角形是中心对称图形B．等腰三角形是轴对称图形C．等腰直角三角形是中心对称图形D．直角三角形是轴对称图形【分析】根据中心对称图形和轴对称图形判断即可．解：A、等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，原命题是假命题；B、等腰三角形是轴对称图形，是真命题；C、等腰直角三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，原命题是假命题；D、直角三角形不是轴对称图形，原命题是假命题；故选：B．4．如图，小树AB在路灯O的照射下形成投影BC．若树高AB＝2m，树影BC＝3m，树与路灯的水平距离BP＝4.5m．则路灯的高度OP为（）A．3m B．4m C．4.5m D．5m【分析】利用相似三角形的性质求解即可．解：∵AB∥OP，∴△CAB∽△COP，∴＝，∴＝，∴OP＝5（m），故选：D．5．下列整数中，与9﹣最接近的是（）A．4 B．5 C．6 D．7【分析】利用16＜17＜25可判断最接近的整数为4，从而得到9﹣最接近的整数．解：∵16＜17＜25，∴4＜＜5，∴最接近的整数为4，∴9﹣最接近的整数为5．故选：B．6．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AB与⊙C相切于点D，若AB＝6，则CD的长为（）A．B．C．3 D．3【分析】根据直角三角形的性质得到AC＝AB＝3，根据切线的性质得到∠ADC＝90°，解直角三角形得到答案．解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，∴AC＝AB＝3，∠A＝60°，∵AB与⊙C相切，∴CD⊥AB，∴∠ADC＝90°，∴CD＝AC•sin A＝3×＝，故选：B．7．按照如图所示的流程，若输出的M＝3，则输入的m为（）A．﹣1 B．0 C．1 D．3【分析】根据题目中的程序，利用分类讨论的方法可以分别求得m的值，从而可以解答本题．解：当m2﹣2m≥0时，＝3，解得m＝3，经检验，m＝3是原方程的解，并且满足m2﹣2m≥0；当m2﹣2m＜0时，m﹣3＝3，解得m＝6，不满足m2﹣2m＜0，舍去．故输入的m为3．故选：D．8．2020年5月以来，各地根据疫情防控工作需要，对重点人群进行核酸检测．为尽快完成检测任务，某地组织甲、乙两支医疗队，分别开展检测工作，甲队比乙队每小时多检测15人，甲队检测600人比乙队检测500人所用的时间少10%．若设甲队每小时检测x人，根据题意，可列方程为（）A．＝×（1﹣10%）B．×（1﹣10%）＝C．＝×（1﹣10%）D．×（1﹣10%）＝【分析】根据题意，可以列出相应的分式方程，从而可以解答本题．解：由题意可得，×（1﹣10%），故选：A．9．在△ABC中，∠ACB为钝角．用直尺和圆规在边AB上确定一点D．使∠ADC＝2∠B，则符合要求的作图痕迹是（）A．B．C．D．【分析】利用三角形外角性质得到∠B＝∠BCD，利用等腰三角形的判定得到DB＝DC，然后根据线段垂直平分线的作法对各选项进行判断．解：∵∠ADC＝∠B+∠BCD，∠ADC＝2∠B，∴∠B＝∠BCD，∴DB＝DC，∴点D为BC的垂直平分线与AB的交点．故选：C．10．如图，某校教学楼AB后方有一斜坡，斜坡与教学楼剖面在同一平面内，已知斜坡CD 的长为6m，坡度i＝1：0.75，教学楼底部到斜坡底部的水平距离AC＝8m，在教学楼顶部B点测得斜坡顶部D点的俯角为46°，则教学楼的高度约为（）（参考数据：sin46°≈0.72，cos46°≈0.69，tan46°≈1.04）A．12.1m B．13.3m C．16.9m D．18.1m【分析】过点D作DE⊥AC，DF⊥AB于点E，F，根据题意可得，四边形FAED是矩形，再根据锐角三角函数即可求出教学楼的高度．解：如图，过点D作DE⊥AC，DF⊥AB于点E，F，根据题意可知：BA⊥AC，∴四边形FAED是矩形，∴FA＝DE，DF＝AE，∵斜坡CD的长为6m，坡度i＝DE：CE＝1：0.75，∴DE＝4.8，CE＝3.6，∴DF＝AE＝AC+CE＝11.6，在Rt△BFD中，∠BDF＝46°，∴BF＝DF•tan46°≈11.6×1.04≈12.064，∴BA＝BF+FA＝12.064+4.8≈16.9（m）．所以教学楼的高度约为16.9米．故选：C．11．如图，把△ABC纸片沿DE，EF，DG折叠后，A，B，C三点都与BC边上的点M重合，得到矩形DEFG，连接DF，若△DGM和△DMF均是等腰三角形，DG＝1，则△ABC的周长为（）A．4+2+2B．2+4+2C．2+2+4D．4+2【分析】由矩形的性质可得DG＝EF＝1，∠DGM＝90°＝∠EFM，由等腰三角形的性质和勾股定理可求DM＝FM＝，ME＝，由折叠的性质可得BG＝GM＝1，AD＝DM＝DB＝，AE＝ME＝EC＝，MF＝FC＝，即可求解．解：∵四边形DEFG是矩形，∴DG＝EF＝1，∠DGM＝90°＝∠EFM，∵△DGM是等腰三角形，DG＝1，∴DG＝EF＝1＝GM，∴DM＝DG＝，∵△DMF均是等腰三角形，∴DM＝FM＝，∴ME＝＝＝，∵把△ABC纸片沿DE，EF，DG折叠后，A，B，C三点都与BC边上的点M重合，∴BG＝GM＝1，AD＝DM＝DB＝，AE＝ME＝EC＝，MF＝FC＝，∴△ABC的周长＝AB+AC+BC＝AD+BD+AE+EC+BG+GM+MF+FC＝4+2+2，故选：B．12．如图，点A与点B关于原点对称，点C在第四象限，∠ACB＝90°．点D是x轴正半轴上一点，AC平分∠BAD，E是AD的中点，反比例函数y＝（k＞0）的图象经过点A，E．若△ACE的面积为6，则k的值为（）A．4 B．6 C．8 D．12【分析】连接OC，在Rt△ABC中，点O是AB的中点，得到OC＝AB＝OA，根据角平分线的定义得到∠OAC＝∠EAC，得到∠OCA＝∠EAC，过A作AM⊥x轴于M，过D作DN⊥x 轴于N，易得S梯形AMNC＝S△AOC，△DAM∽△DEN，得到S梯形AMNC＝S△AOC＝S△AEC＝6，求得S△AOD＝9，延长DA交y轴于P，易得△DAM∽△DPO，设EN＝a，则AM＝2a，推出S△DAM：S△AOM＝2：1，于是得到结论．解：连接OC，在Rt△ABC中，点O是AB的中点，∴OC＝AB＝OA，∴∠OAC＝∠OCA，∵AC是∠BAD的角平分线，∴∠OAC＝∠EAC，∴∠OCA＝∠EAC，∴AE∥OC∴S△AEC＝S△AOE，过A作AM⊥x轴于M，过E作EN⊥x轴于N，∵A、E都在反比例函数y＝的图象上，∴S△AOM＝S△EON，∴S梯形AMNE＝S△AOE，∵AM∥EN，∴△DAM∽△DEN，∵AE＝DE，S梯形AMNE＝S△AOE＝S△AEC＝6，∴S△AOD＝12，延长DA交y轴于P，易得△DAM∽△DPO，设EN＝a，则AM＝2a，∴ON＝，OM＝，∴MN＝，DN＝，∴DM：OM＝2：1，∴S△DAM：S△AOM＝2：1，∴S△AOM＝4，∴k＝8．故选：C．二、填空题（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上．15题图13．不等式组的解集是1＜x≤5 ．【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．解：解不等式x﹣2≤3，得：x≤5，又x＞1，∴1＜x≤5，故答案为：1＜x≤5．14．据了解，重庆市为确保2020年完成3万个5G基站建设目标的顺利完成，3月1日已经建设开通5G基站数超过10100个．请把数10100用科学记数法表示为 1.01×104．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．解：将10100用科学记数法表示为：1.01×104．故答案为：1.01×104．15．在如图所示的电路图中，当随机闭合开关K1，K2，K3中的两个时，能够让灯泡发光的概率为．【分析】根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与能够让灯泡发光的情况，然后利用概率公式求解即可求得答案．解：画树状图得：∵共有6种等可能的结果，能够让灯泡发光的是闭合（K1，K3），（K1，K2），（K3，K1），（K2，K1），∴能够让灯泡发光的概率为：＝，故答案为：．16．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝2．分别以点B，A为圆心，以BC长为半径画弧，交AB于点D，E，交AC于点F，则图中的阴影部分的面积为4﹣π．（用含π的代数式表示）【分析】先利用扇形的面积公式计算S扇形EAF+S△DBC＝＝π，然后利用图中的阴影部分的面积＝S△ABC﹣（S扇形EAF+S△DBC）计算计算．解：∵∠ACB＝90°，∴∠A+∠B＝90°，∴S扇形EAF+S△DBC＝＝π，∴图中的阴影部分的面积＝S△ABC﹣（S扇形EAF+S△DBC）＝×4×2﹣π＝4﹣π．故答案为4﹣π．17．在一段长为1000m的笔直道路AB上，甲、乙两名运动员分别从A，B两地出发进行往返跑训练．已知甲比乙先出发30秒钟，甲距A点的距离y/m与其出发的时间x/分钟的函数图象如图所示．乙的速度是200m/分钟，当乙到达A点后立即按原速返回B点．当两人第二次相遇时，乙跑的总路程是m．【分析】据函数图象中的数据求出甲的速度，进而求出两人第二次相遇时甲出发的时间，从而得出当两人第二次相遇时，乙跑的总路程．解：甲的速度为：1000÷4＝250（米/分钟），两人第一次相遇时处于两人都未跑完一个1000m时，由图象可知时间处于4分钟以内；∵甲比乙先出发30秒钟，∴当x＝5分钟时，乙跑了4.5分钟，此时乙跑了200×4.5＝900＜1000（m）；设甲出发x分钟后两人第二次相遇时，根据题意得：（250+200）（x﹣5）＝（1000﹣900+1000），解得：x＝，当两人第二次相遇时，乙跑的总路程是200×（﹣）＝（m）．故答案为：．18．滴滴快车是一种便捷的出行工具，某地的计价规则如表：计费项目里程费时长费远途费单价2元/公里0.3元/分钟1元/公里注：车费由里程费、时长费、远途费三部分构成，其中里程费按行车的实际里程计算；时长费按行车的实际时间计算；远途费的收取方式为：行车里程7公里以内（含7公里）不收远途费，超过7公里的，超出部分每公里收1元．小李与小张分别从不同地点，各自同时乘坐滴滴快车，到同一地点相见，已知到达约定地点时他们的实际行车里程分别为7公里与9公里，两人付给滴滴快车的乘车费相同．其中一人先到达约定地点，他等候另一人的时间等于他自己实际乘车时间，且恰好是另一人实际乘车时间的一半，则小李的乘车费为26 元．【分析】设先到达约定地点的实际乘车时间为x分钟，则后到达约定地点的实际乘车时间为2x分钟，根据两人的乘车费用相同，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出x的值，再将其代入（2×7+0.3×2x）中即可求出结论．解：设先到达约定地点的实际乘车时间为x分钟，则后到达约定地点的实际乘车时间为2x分钟，依题意，得：2×7+0.3×2x＝2×9+0.3x+1×（9﹣7），解得：x＝20，∴2×7+0.3×2x＝26．故答案为：26．三、解答题（本大题7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形，请将解答过程书写在答题卡对应的位置上．19．计算：（1）（2x+y）（x+y）+（x﹣y）2；（2）（a﹣）÷．【分析】（1）根据分多项式乘多项式和完全平方公式可以解答本题；（2）根据分式的减法和除法可以解答本题．解：（1）（2x+y）（x+y）+（x﹣y）2＝2x2+2xy+xy+y2+x2﹣2xy+y2＝3x2+xy+2y2；（2）（a﹣）÷＝＝＝＝．20．如图，AB∥CD，AD与BC相交于点E，AF平分∠BAD，交BC于点F，交CD的延长线于点G．（1）若∠G＝29°，求∠ADC的度数；（2）若点F是BC的中点，求证：AB＝AD+CD．【分析】（1）根据平等线的性质得∠BAG＝∠G，∠BAD＝∠ADC．进而证由角平分线的性质得∠ADC＝∠BAD＝2∠G．便可求得结果；（2）先由角平分线条件证明AD＝DG，再证明△ABF≌△GCF，便可得结论．【解答】证明：（1）∵AB∥CD，∴∠BAG＝∠G，∠BAD＝∠ADC．∵AF平分∠BAD，∴∠BAD＝2∠BAG＝2∠G．∴∠ADC＝∠BAD＝2∠G．∵∠G＝29°，∴∠ADC＝58°；（2）∵AF平分∠BAD，∴∠BAG＝∠DAG．∵∠BAG＝∠G，∴∠DAG＝∠G．∴AD＝GD．∵点F是BC的中点，∴BF＝CF．在△ABF和△GCF中，∵∴△ABF≌△GCF（AAS），∴AB＝GC．∴AB＝GD+CD＝AD+CD．21．经历疫情复学后，学校开展了多种形式的防疫知识讲座，并举行了全员参加的“防疫”知识竞赛，试卷题目共10题，每题10分．现分别从七年级1，2，3班中各随机抽取10名同学的成绩（单位：分）．收集整理数据如下：分析数据：平均数中位数众数1班83 a802班83 b c3班d80 80根据以上信息回答下列问题：（1）请直接写出表格中a，b，c，d的值；（2）比较这三组样本数据的平均数、中位数和众数，你认为哪个班的成绩比较好？请说明理由（一条理由即可）；（3）为了让学生重视安全知识的学习，学校将给竞赛成绩满分的同学颁发奖状，该校七年级学生共120人，试估计需要准备多少张奖状？【分析】（1）利用折线统计图得到一班和二班的成绩，然后利用中位数的定义确定a、b 值，利用众数的定义确定c的值；利用平均数的计算方法确定d的值；（2）利用中位数和众数的意义进行判断；（3）求出样本中满分的同学所占的百分比，然后120乘以这个百分比可估计该校七年级学生的满分人数．解：（1）一班10个数据的中第5、第6个数据都是80分，所以a＝80；二班10个数据的中第5、第6个数据分部是80分、90分，所以b＝85；二班10个数据的中90分出现的次数最短，所以c＝90；三班的平均数d＝（60+70+80×4+90×2+100×2）＝83；（2）我认为七年级2班的成绩比较好，随机抽取的样本中，三个班样本成绩的平均数都为83，2班成绩的中位数为85，大于1班和3班成绩的中位数80；2班成绩的众数90大于1班和3班成绩的众数80；（3）因为所抽取的样本中，样本总量是30，而其中满分人数是1+1+2＝4．所以×120＝16答：估计需要准备的奖状是16张．22．已知函数y＝k|x+2|+b的图象经过点（﹣2，4）和（﹣6，﹣2），完成下面问题：（1）求函数y＝k|x+2|+b的表达式；（2）在给出的平面直角坐标系中，请用适当的方法画出这个函数的图象，并写出这个函数的一条性质；（3）已知函数y＝x+1的图象如图所示，结合你所画出y＝k|x+2|+b的图象，直接写出k|x+2|+b＞x+1的解集．【分析】（1）根据待定系数法求得即可；（2）画出函数的图象，根据图象得出性质；（3）根据图象求得即可．解：（1）根据题意，得，解方程组，得，所求函数表达式为；（2）函数的图象如图所示，性质为：①当x＜﹣2时，y随x增大而增大；当x＞﹣2时，y随x增大而减少．②当x＝﹣2时，该函数取得最大值，函数的最大值为4．（3）由图象可知：k|x+2|+b＞x+1的解集为：﹣6＜x＜0．23．在疫情期间，某地推出线上名师公益大课堂，为广大师生、其他社会人士提供线上专业知识学习、心理健康疏导．参与学习第一批公益课的人数达到2万人，因该公益课社会反响良好，参与学习第三批公益课的人数达到2.42万人．参与学习第二批、第三批公益课的人数的增长率相同．（1）求这个增长率；（2）据大数据统计，参与学习第三批公益课的人数中，师生人数在参与学习第二批公益课的师生人数的基础上增加了80%；但因为已经部分复工，其他社会人士的人数在参与学习第二批公益课的其他社会人士人数的基础上减少了60%．求参与学习第三批公益课的师生人数．【分析】（1）设参与学习第二批、第三批公益课的人数的增长率为x，根据“第一批公益课受益学生2万人次，第三批公益课受益学生2.42万人次”可列方程求解．（2）设参与学习第二批公益课的人数中，师生有a万人，其他人士有b万人．根据“第三批公益课的人数＝第二批公益课的师生人数×（1+80%）”、“其他社会人士的人数在参与学习第二批公益课的其他社会人士人数的基础上减少了60%”列出方程组并解答．解：（1）设参与学习第二批、第三批公益课的人数的增长率为x，根据题意，得2（1+x）2＝2.42，解得x1＝﹣2.1（舍去），x2＝0.1＝10%．答：参与学习第二批、第三批公益课的人数的增长率为10%．（2）设参与学习第二批公益课的人数中，师生有a万人，其他人士有b万人．根据题意，得．解方程组，得a×（1+80%）＝1.1×1.8＝1.98．答：参与第三批公益课的师生人数为1.98万人．24．对于任意一个四位数，我们可以记为，即＝1000a+100b+10c+d．若规定：对四位正整数进行F运算，得到整数F（）＝a4+b3+c2+d1．例如，F（1249）＝14+23+42+91＝34；F（2020）＝24+03+22+01＝20．（1）计算：F（2137）；（2）当c＝e+2时，证明：F（）﹣F（）的结果一定是4的倍数；（3）求出满足F（）＝98的所有四位数．【分析】（1）根据F（）＝a4+b3+c2+d1代入数据计算即可求解；（2）根据F（）＝a4+b3+c2+d1得到＝c2﹣e2，再根据已知条件c＝e+2，可得原式＝4（e+1），依此即可求解；（3）首先得到x2+y＝9，再根据整数的性质确定0≤x≤3，且x为整数，可求对应的y 值，从而求解．解：（1）F（2137）＝24+13+32+71＝16+1+9+7＝33；（2）∴＝（a4+b3+c2+d）﹣（a4+b3+e2+d）＝c2﹣e2，∵c＝e+2，原式＝（e+2）2﹣e2＝4e+4＝4（e+1）．∵e≥0，且e是整数，∴4（e+1）是4的倍数．所以，当c＝e+2时，的结果一定是4的倍数．（3）∵，∴34+23+x2+y＝98，即x2+y＝9．∵0≤y≤9，∴0≤x2≤9．∴0≤x≤3，且x为整数．∴或或或．所以，满足条件的四位数有3209，3218，3225，3230．25．如图，在平面直角坐标系内，点A，B的坐标分别为（1，0），（0，2），AC⊥AB，且AB＝AC，直线BC交x轴于点D，抛物线y＝ax2+bx+2经过点A，B，D．（1）求直线BC和抛物线y＝ax2+bx+2的函数表达式；（2）点P是直线BD下方的抛物线上一点，求△PCD面积的最大值，以及△PCD面积取得最大值时，点P的坐标；（3）若点P的坐标为（2）小题中，△PCD的面积取得最大值时对应的坐标．平面内存在直线l，使点B，D，P到该直线的距离都相等，请直接写出所有满足条件的直线l的函数表达式．【分析】（1）证明△ABO≌△CAE（AAS），求出点C的坐标，进而求解；（2）利用，即可求解；（3）满足条件的直线有三条，是△PDB三条中位线所在的直线，即可求解．解：（1）过点C作CE⊥x轴，垂足为E．∵AB＝AC，∠AOB＝∠CEA＝90°，∠ABO＝∠CAE，∴△ABO≌△CAE（AAS）．∴AO＝CE，BO＝AE．∵A（1，0），B（0，2），∴CE＝AO＝1，AE＝BO＝2．∴C（3，1）．设直线BC的函数表达式为y＝kx+s（k≠0）．把点B（0，2），C（3，1）代入，得，解得，所以，直线BC的函数表达式为．令y＝0，得x＝6，则D（6，0）．∵抛物线y＝ax2+bx+2经过点A（1，0），D（6，0），则．解得，∴抛物线的函数表达式为．（2）过点P作x轴的垂线，垂足为H，交BD于点F．令P的横坐标为t．∵点P在BD直线下方的抛物线上移动，∴PF＝．过点C作CG⊥PF，垂足为G．∴，即．所以，当t＝3时，△PCD的面积取得最大值，最大值为．此时点P坐标为（3，﹣2）．（3）满足条件的直线有三条，是△PDB三条中位线所在的直线．由点P、D、B的坐标可得，PD、BD、PB的中点分别为：（，﹣1）、（3，1）、（，0），设过（，﹣1）、（3，1）的直线表达式为y＝mx+n，则，解得，故直线的表达式为：y＝﹣x+5，同理其它两条直线的表达式为：或．三条直线的函数表达式分别为，，．四、解答题（本大题1个小题，共8分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．26．如图1，在正方形ABCD中，点E是边BC上一点，连接AE，过点E作EM⊥AE，交对角线AC于点M，过点M作MN⊥AB，垂足为N，连接NE．（1）求证：AE＝NE+ME；（2）如图2，延长EM至点F，使EF＝EA，连接AF，过点F作FH⊥DC，垂足为H．猜想CH与FH存在的数量关系，并证明你的结论；（3）在（2）的条件下，若点G是AF的中点，连接GH．当GH＝CH时，直接写出GH与AC之间存在的数量关系．【分析】（1）证明△ANK≌△MNE（ASA）．得出AK＝ME，NK＝NE．则结论得证；（2）得出∠P＝∠PCH＝∠CHF＝90°．则四边形PCHF是矩形．证明△ABE≌△EPF（AAS）．得出BE＝PF，AB＝EP．可证得CP＝BE＝PF．得出矩形PCHF是正方形，则结论得证；（3）延长FH交AC于点Q，由中位线定理可得出AQ＝2GH，由等腰直角三角形的性质可得出CQ＝GH，则可得出结论．【解答】（1）证明：如图1，过点N作NK⊥NE，交AE于点K．∴∠KNE＝90°．∵MN⊥AB，∴∠MNA＝90°．∴∠ANK＝∠MNE．∵ME⊥AE，∴∠AEM＝∠ANM＝90°．∴∠NAK＝∠NME．∵四边形ABCD是正方形，∠ANM＝90°．∴∠MAN＝∠NMA＝45°．∴AN＝MN．在△ANK和△MNE中，∵，∴△ANK≌△MNE（ASA）．∴AK＝ME，NK＝NE．∴KE＝NE．∴AE＝AK+KE＝ME+NE．（2）解：CH＝FH．如图2，过点F作FP⊥BC，交BC的延长线于点P．∴∠P＝90°．∵∠BAE+∠AEB＝∠FEP+∠AEB＝90°，∴∠BAE＝∠FEP．∵四边形ABCD是正方形，∴∠B＝∠BCD＝∠PCD＝90°，AB＝BC．∵FH⊥CD，∴∠FHC＝90°．∴∠P＝∠PCH＝∠CHF＝90°．∴四边形PCHF是矩形．在△ABE和△EPF中，∵，∴△ABE≌△EPF（AAS）．∴BE＝PF，AB＝EP．∵AB＝BC，∴EP＝BC．∴CP＝BE＝PF．∴矩形PCHF是正方形．∴FH＝CH．（3）AC＝GH．如图3，延长FH交AC于点Q，在正方形ABCD中，∠ACD＝45°，∵∠FHC＝90°，∴∠HQC＝∠HCQ＝45°，∴CH＝HQ，CQ＝CH，∵CH＝FH，∴HQ＝FH，∵G是AF的中点，∴GH＝AQ，又∵GH＝CH，∴CQ＝GH，∴AC＝AQ+CQ＝2GH+GH＝（2+）GH．。
重庆市南岸区2020年中考数学春招试卷(含解析)
重庆市南岸区2020年中考数学春招试卷一、选择题1．下列四个数中，是无理数的是（）A．B．0 C．D．2．据统计，近日前往重庆“龙门皓月”景点参观的人数达到了26000人，将26000用科学记数法表示为（）A．0.26×105B．2.6×104C．26×103D．260×1023．不等式﹣x+1＞x的解集是（）A．x＞﹣2 B．x＜2 C．x＞﹣D．x＜4．下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）A．B．C．D．5．如图，在平行四边形ABCD中，点E在对角线AC上，且BE⊥AB，若∠ACD＝20°，则∠CEB的度数是（）A．95°B．100°C．110°D．115°6．下列式子计算正确的是（）A．m3•m2＝m6B．（﹣m）﹣2＝﹣C．m2+m2＝2m2D．（m+n）2＝m2+n27．如图，点A，B分别在x轴，y轴的正半轴上，且△ABO的面积为8，若双曲线y＝（k ≠0）经过边AB的中点C，则k的值为（）A．4 B．6 C．8 D．128．如图，△ABC与△A1B1C1是以O为位似中心的位似图形，若OA＝3AA1，S△ABC＝36，则S ＝（）A．64 B．68 C．81 D．929．如图，小张坐在某体育馆的观众席的C处目测（从他的眼睛D处看）得体育馆中心O处的俯角为18°，若CD＝1.4米，BC＝1.5米，BC平行于地面OA，台阶AB的坡度为i＝3：4，坡长AB＝15米，则观众席的底端A处与体育馆中心O处的距离约为（）（参考数据：sin18°≈0.31，cos18°≈0.95，tan18°≈0.32）A．20米B．19米C．18米D．17米10．甲、乙两人在直线跑道上同起点、同终点、同方向匀速跑步200米，先到终点的人原地休息．已知甲先出发2秒，在跑步过程中，若甲、乙两人之间的距离y（米）与乙出发的时间t（秒）之间的关系如图所示，则下列结论中正确的是（）A．乙的速度为5米/秒B．乙出发10秒钟将甲追上C．当乙到终点时，甲距离终点还有20米D．m＝3811．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点（﹣1，0），其对称轴为直线x＝1，若2＜c＜3，则下列结论中错误的是（）A．abc＜0 B．4a+c＞0 C．﹣1＜a＜﹣D．4a+2b+c＞0 12．如图，在菱形ABCD中，∠D＝120°，AB＝2，点E在边BC上，若BE＝2EC，则点B到AE的距离是（）A．B．C．D．二、填空题（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上．15题图13．不等式组的解集是．14．据了解，重庆市为确保2020年完成3万个5G基站建设目标的顺利完成，3月1日已经建设开通5G基站数超过10100个．请把数10100用科学记数法表示为．15．在如图所示的电路图中，当随机闭合开关K1，K2，K3中的两个时，能够让灯泡发光的概率为．16．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝2．分别以点B，A为圆心，以BC长为半径画弧，交AB于点D，E，交AC于点F，则图中的阴影部分的面积为．（用含π的代数式表示）17．在一段长为1000m的笔直道路AB上，甲、乙两名运动员分别从A，B两地出发进行往返跑训练．已知甲比乙先出发30秒钟，甲距A点的距离y/m与其出发的时间x/分钟的函数图象如图所示．乙的速度是200m/分钟，当乙到达A点后立即按原速返回B点．当两人第二次相遇时，乙跑的总路程是m．18．滴滴快车是一种便捷的出行工具，某地的计价规则如表：计费项目里程费时长费远途费单价2元/公里0.3元/分钟1元/公里注：车费由里程费、时长费、远途费三部分构成，其中里程费按行车的实际里程计算；时长费按行车的实际时间计算；远途费的收取方式为：行车里程7公里以内（含7公里）不收远途费，超过7公里的，超出部分每公里收1元．小李与小张分别从不同地点，各自同时乘坐滴滴快车，到同一地点相见，已知到达约定地点时他们的实际行车里程分别为7公里与9公里，两人付给滴滴快车的乘车费相同．其中一人先到达约定地点，他等候另一人的时间等于他自己实际乘车时间，且恰好是另一人实际乘车时间的一半，则小李的乘车费为元．三、解答题（本大题7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形，请将解答过程书写在答题卡对应的位置上．19．计算：（1）（2x+y）（x+y）+（x﹣y）2；（2）（a﹣）÷．20．如图，AB∥CD，AD与BC相交于点E，AF平分∠BAD，交BC于点F，交CD的延长线于点G．（1）若∠G＝29°，求∠ADC的度数；（2）若点F是BC的中点，求证：AB＝AD+CD．21．经历疫情复学后，学校开展了多种形式的防疫知识讲座，并举行了全员参加的“防疫”知识竞赛，试卷题目共10题，每题10分．现分别从七年级1，2，3班中各随机抽取10名同学的成绩（单位：分）．收集整理数据如下：分析数据：平均数中位数众数1班83 a802班83 b c3班d80 80 根据以上信息回答下列问题：（1）请直接写出表格中a，b，c，d的值；（2）比较这三组样本数据的平均数、中位数和众数，你认为哪个班的成绩比较好？请说明理由（一条理由即可）；（3）为了让学生重视安全知识的学习，学校将给竞赛成绩满分的同学颁发奖状，该校七年级学生共120人，试估计需要准备多少张奖状？22．已知函数y＝k|x+2|+b的图象经过点（﹣2，4）和（﹣6，﹣2），完成下面问题：（1）求函数y＝k|x+2|+b的表达式；（2）在给出的平面直角坐标系中，请用适当的方法画出这个函数的图象，并写出这个函数的一条性质；（3）已知函数y＝x+1的图象如图所示，结合你所画出y＝k|x+2|+b的图象，直接写出k|x+2|+b＞x+1的解集．23．在疫情期间，某地推出线上名师公益大课堂，为广大师生、其他社会人士提供线上专业知识学习、心理健康疏导．参与学习第一批公益课的人数达到2万人，因该公益课社会反响良好，参与学习第三批公益课的人数达到2.42万人．参与学习第二批、第三批公益课的人数的增长率相同．（1）求这个增长率；（2）据大数据统计，参与学习第三批公益课的人数中，师生人数在参与学习第二批公益课的师生人数的基础上增加了80%；但因为已经部分复工，其他社会人士的人数在参与学习第二批公益课的其他社会人士人数的基础上减少了60%．求参与学习第三批公益课的师生人数．24．对于任意一个四位数，我们可以记为，即＝1000a+100b+10c+d．若规定：对四位正整数进行F运算，得到整数F（）＝a4+b3+c2+d1．例如，F（1249）＝14+23+42+91＝34；F（2020）＝24+03+22+01＝20．（1）计算：F（2137）；（2）当c＝e+2时，证明：F（）﹣F（）的结果一定是4的倍数；（3）求出满足F（）＝98的所有四位数．25．如图，在平面直角坐标系内，点A，B的坐标分别为（1，0），（0，2），AC⊥AB，且AB＝AC，直线BC交x轴于点D，抛物线y＝ax2+bx+2经过点A，B，D．（1）求直线BC和抛物线y＝ax2+bx+2的函数表达式；（2）点P是直线BD下方的抛物线上一点，求△PCD面积的最大值，以及△PCD面积取得最大值时，点P的坐标；（3）若点P的坐标为（2）小题中，△PCD的面积取得最大值时对应的坐标．平面内存在直线l，使点B，D，P到该直线的距离都相等，请直接写出所有满足条件的直线l的函数表达式．四、解答题（本大题1个小题，共8分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．26．如图1，在正方形ABCD中，点E是边BC上一点，连接AE，过点E作EM⊥AE，交对角线AC于点M，过点M作MN⊥AB，垂足为N，连接NE．（1）求证：AE＝NE+ME；（2）如图2，延长EM至点F，使EF＝EA，连接AF，过点F作FH⊥DC，垂足为H．猜想CH与FH存在的数量关系，并证明你的结论；（3）在（2）的条件下，若点G是AF的中点，连接GH．当GH＝CH时，直接写出GH与AC之间存在的数量关系．参考答案一、选择题（本大题12个小题，每小题4分，共48分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑．1．下列四个数中，是无理数的是（）A．B．0 C．D．【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此解答即可．解：A、是分数，是有理数，此选项不符合题意；B、0是整数，是有理数，此选项不符合题意；C、是无理数，此选项符合题意；D、＝3是整数，是有理数，此选项不符合题意．故选：C．2．据统计，近日前往重庆“龙门皓月”景点参观的人数达到了26000人，将26000用科学记数法表示为（）A．0.26×105B．2.6×104C．26×103D．260×102【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．解：26 000用科学记数法表示是2.6×104．故选：B．3．不等式﹣x+1＞x的解集是（）A．x＞﹣2 B．x＜2 C．x＞﹣D．x＜【分析】根据解一元一次不等式基本步骤：移项、合并同类项、系数化为1可得．解：移项，得：﹣x﹣x＞﹣1，合并，得：﹣2x＞﹣1，系数化为1，得：x＜，故选：D．4．下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念判断．解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形；B、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形；C、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形；D、既是轴对称图形，又是中心对称图形．故选：D．5．如图，在平行四边形ABCD中，点E在对角线AC上，且BE⊥AB，若∠ACD＝20°，则∠CEB的度数是（）A．95°B．100°C．110°D．115°【分析】根据平行四边形的性质得出∠CAB＝20°，利用互余和互补解答即可．解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∵∠ACD＝20°，∴∠CAB＝20°，∵BE⊥AB，∴∠AEB＝90°﹣20°＝70°，∴∠CEB＝180°﹣70°＝110°，故选：C．6．下列式子计算正确的是（）A．m3•m2＝m6B．（﹣m）﹣2＝﹣C．m2+m2＝2m2D．（m+n）2＝m2+n2【分析】分别按照同底数幂的乘法运算法则、负整数指数幂的运算法则、合并同类项的运算法则和完全平方公式进行判断即可．解：A、m3•m2＝m5，故A错误；B、（﹣m）﹣2＝，故B错误；C、按照合并同类项的运算法则，该运算正确．D、（m+n）2＝m2+2mn+n2，故D错误．故选：C．7．如图，点A，B分别在x轴，y轴的正半轴上，且△ABO的面积为8，若双曲线y＝（k ≠0）经过边AB的中点C，则k的值为（）A．4 B．6 C．8 D．12【分析】设点A（a，0），点B（0，b），由三角形面积公式可求ab＝16，由中点坐标公式可求点C（，），代入解析式可求k的值．解：设点A（a，0），点B（0，b），∴OA＝a，OB＝b，∵△ABO的面积为8，∴ab＝8，∴ab＝16，∵点C是AB中点，∴点C（，），∵点C在双曲线y＝（k≠0）上，∴k＝×＝4，故选：A．8．如图，△ABC与△A1B1C1是以O为位似中心的位似图形，若OA＝3AA1，S△ABC＝36，则S ＝（）A．64 B．68 C．81 D．92【分析】根据位似变换的概念得到△ABC∽△A1B1C1，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方列式计算，得到答案．解：∵△ABC与△A1B1C1是以O为位似中心的位似图形，∴△ABC∽△A1B1C1，∵OA＝3AA1，∴△ABC与△A1B1C1的相似比为：＝，∴△ABC与△A1B1C1的面积比为：（）2＝，∵S△ABC＝36，∴S＝36÷＝81，故选：C．9．如图，小张坐在某体育馆的观众席的C处目测（从他的眼睛D处看）得体育馆中心O处的俯角为18°，若CD＝1.4米，BC＝1.5米，BC平行于地面OA，台阶AB的坡度为i＝3：4，坡长AB＝15米，则观众席的底端A处与体育馆中心O处的距离约为（）（参考数据：sin18°≈0.31，cos18°≈0.95，tan18°≈0.32）A．20米B．19米C．18米D．17米【分析】延长DC交OA延长线于点F，根据题意可得DF⊥OA，过点B作BG⊥OA于点G，可得四边形BCFG是矩形，根据AB的坡度为i＝3：4，坡长AB＝15，可得BG＝9，AG＝12，再根据锐角三角函数即可求出OA的长．解：如图，延长DC交OA延长线于点F，根据题意可知：DF⊥OA，过点B作BG⊥OA于点G，则四边形BCFG是矩形，∴CF＝BG，FG＝BC＝1.5，∵AB的坡度为i＝3：4，坡长AB＝15，∴BG＝9，AG＝12，∴在Rt△ODF中，∠DOF＝18°，OF＝OA+AG+GF＝OA+12+1.5＝13.5+OA，DF＝DC+CF＝1.4+9＝10.4，∴DF＝OF•tan18°，即10.4≈（13.5+OA）×0.32，解得OA≈19（米）．所以观众席的底端A处与体育馆中心O处的距离约为19米．故选：B．10．甲、乙两人在直线跑道上同起点、同终点、同方向匀速跑步200米，先到终点的人原地休息．已知甲先出发2秒，在跑步过程中，若甲、乙两人之间的距离y（米）与乙出发的时间t（秒）之间的关系如图所示，则下列结论中正确的是（）A．乙的速度为5米/秒B．乙出发10秒钟将甲追上C．当乙到终点时，甲距离终点还有20米D．m＝38【分析】根据题意和函数图象中的数据，可以判断出各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．解：由图象可得，乙的速度为：200÷32＝6.25（米/秒），故选项A不合题意；甲的速度为：10÷2＝5（米/秒），设乙出发x秒将追上甲，6.25x＝10+5x，得x＝8，故选项B不合题意；当乙到终点时，甲距离终点还有：200﹣（32+2）×5＝30（米），故选项C不合题意；a＝200÷5﹣2＝38，故选项D符合题意．故选：D．11．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点（﹣1，0），其对称轴为直线x＝1，若2＜c＜3，则下列结论中错误的是（）A．abc＜0 B．4a+c＞0 C．﹣1＜a＜﹣D．4a+2b+c＞0 【分析】根据二次函数的图象与系数的关系即可求出答案．解：A．抛物线的对称轴在y轴右侧，则ab＜0，而c＞0，故abc＜0，正确，不符合题意；B．函数的对称轴为直线x＝﹣＝1，则b＝﹣2a，∵从图象看，当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＝3a+c＝0，而a＜0，故4a+c＜0，故B错误，符合题意；C．④∵﹣＝1，故b＝﹣2a，∵x＝﹣1，y＝0，故a﹣b+c＝0，∴c＝﹣3a，∵2＜c＜3，∴2＜﹣3a＜3，∴﹣1＜a＜﹣，故C正确，不符合题意；D．从图象看，当x＝2时，y＝4a+2b+c＞0，故D正确，不符合题意；故选：B．12．如图，在菱形ABCD中，∠D＝120°，AB＝2，点E在边BC上，若BE＝2EC，则点B到AE的距离是（）A．B．C．D．【分析】过点B作BH⊥AE于点H，过点E作EF⊥AB交AB的延长线于点F，求出BF＝BE ＝，EF＝，可求出AE，由S△ABE＝AB•EF可求出BH，则答案可求出．解：过点B作BH⊥AE于点H，过点E作EF⊥AB交AB的延长线于点F，∵菱形ABCD中，AB＝2，∴BC＝2，∵BE＝2EC，∴BE＝，CE＝，∵∠D＝120°，∴∠ABE＝120°，∴∠EBF＝60°，∴BF＝BE＝，EF＝，∴AF＝AB+BF＝2+＝，∴AE＝＝＝，∵S△ABE＝AB•EF，∴BH＝＝＝．故选：A．二、填空题（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上．15题图13．不等式组的解集是1＜x≤5 ．【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．解：解不等式x﹣2≤3，得：x≤5，又x＞1，∴1＜x≤5，故答案为：1＜x≤5．14．据了解，重庆市为确保2020年完成3万个5G基站建设目标的顺利完成，3月1日已经建设开通5G基站数超过10100个．请把数10100用科学记数法表示为 1.01×104．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．解：将10100用科学记数法表示为：1.01×104．故答案为：1.01×104．15．在如图所示的电路图中，当随机闭合开关K1，K2，K3中的两个时，能够让灯泡发光的概率为．【分析】根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与能够让灯泡发光的情况，然后利用概率公式求解即可求得答案．解：画树状图得：∵共有6种等可能的结果，能够让灯泡发光的是闭合（K1，K3），（K1，K2），（K3，K1），（K2，K1），∴能够让灯泡发光的概率为：＝，故答案为：．16．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝2．分别以点B，A为圆心，以BC长为半径画弧，交AB于点D，E，交AC于点F，则图中的阴影部分的面积为4﹣π．（用含π的代数式表示）【分析】先利用扇形的面积公式计算S扇形EAF+S△DBC＝＝π，然后利用图中的阴影部分的面积＝S△ABC﹣（S扇形EAF+S△DBC）计算计算．解：∵∠ACB＝90°，∴∠A+∠B＝90°，∴S扇形EAF+S△DBC＝＝π，∴图中的阴影部分的面积＝S△ABC﹣（S扇形EAF+S△DBC）＝×4×2﹣π＝4﹣π．故答案为4﹣π．17．在一段长为1000m的笔直道路AB上，甲、乙两名运动员分别从A，B两地出发进行往返跑训练．已知甲比乙先出发30秒钟，甲距A点的距离y/m与其出发的时间x/分钟的函数图象如图所示．乙的速度是200m/分钟，当乙到达A点后立即按原速返回B点．当两人第二次相遇时，乙跑的总路程是m．【分析】据函数图象中的数据求出甲的速度，进而求出两人第二次相遇时甲出发的时间，从而得出当两人第二次相遇时，乙跑的总路程．解：甲的速度为：1000÷4＝250（米/分钟），两人第一次相遇时处于两人都未跑完一个1000m时，由图象可知时间处于4分钟以内；∵甲比乙先出发30秒钟，∴当x＝5分钟时，乙跑了4.5分钟，此时乙跑了200×4.5＝900＜1000（m）；设甲出发x分钟后两人第二次相遇时，根据题意得：（250+200）（x﹣5）＝（1000﹣900+1000），解得：x＝，当两人第二次相遇时，乙跑的总路程是200×（﹣）＝（m）．故答案为：．18．滴滴快车是一种便捷的出行工具，某地的计价规则如表：计费项目里程费时长费远途费单价2元/公里0.3元/分钟1元/公里注：车费由里程费、时长费、远途费三部分构成，其中里程费按行车的实际里程计算；时长费按行车的实际时间计算；远途费的收取方式为：行车里程7公里以内（含7公里）不收远途费，超过7公里的，超出部分每公里收1元．小李与小张分别从不同地点，各自同时乘坐滴滴快车，到同一地点相见，已知到达约定地点时他们的实际行车里程分别为7公里与9公里，两人付给滴滴快车的乘车费相同．其中一人先到达约定地点，他等候另一人的时间等于他自己实际乘车时间，且恰好是另一人实际乘车时间的一半，则小李的乘车费为26 元．【分析】设先到达约定地点的实际乘车时间为x分钟，则后到达约定地点的实际乘车时间为2x分钟，根据两人的乘车费用相同，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出x的值，再将其代入（2×7+0.3×2x）中即可求出结论．解：设先到达约定地点的实际乘车时间为x分钟，则后到达约定地点的实际乘车时间为2x分钟，依题意，得：2×7+0.3×2x＝2×9+0.3x+1×（9﹣7），解得：x＝20，∴2×7+0.3×2x＝26．故答案为：26．三、解答题（本大题7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形，请将解答过程书写在答题卡对应的位置上．19．计算：（1）（2x+y）（x+y）+（x﹣y）2；（2）（a﹣）÷．【分析】（1）根据分多项式乘多项式和完全平方公式可以解答本题；（2）根据分式的减法和除法可以解答本题．解：（1）（2x+y）（x+y）+（x﹣y）2＝2x2+2xy+xy+y2+x2﹣2xy+y2＝3x2+xy+2y2；（2）（a﹣）÷＝＝＝＝．20．如图，AB∥CD，AD与BC相交于点E，AF平分∠BAD，交BC于点F，交CD的延长线于点G．（1）若∠G＝29°，求∠ADC的度数；（2）若点F是BC的中点，求证：AB＝AD+CD．【分析】（1）根据平等线的性质得∠BAG＝∠G，∠BAD＝∠ADC．进而证由角平分线的性质得∠ADC＝∠BAD＝2∠G．便可求得结果；（2）先由角平分线条件证明AD＝DG，再证明△ABF≌△GCF，便可得结论．【解答】证明：（1）∵AB∥CD，∴∠BAG＝∠G，∠BAD＝∠ADC．∵AF平分∠BAD，∴∠BAD＝2∠BAG＝2∠G．∴∠ADC＝∠BAD＝2∠G．∵∠G＝29°，∴∠ADC＝58°；（2）∵AF平分∠BAD，∴∠BAG＝∠DAG．∵∠BAG＝∠G，∴∠DAG＝∠G．∴AD＝GD．∵点F是BC的中点，∴BF＝CF．在△ABF和△GCF中，∵∴△ABF≌△GCF（AAS），∴AB＝GC．∴AB＝GD+CD＝AD+CD．21．经历疫情复学后，学校开展了多种形式的防疫知识讲座，并举行了全员参加的“防疫”知识竞赛，试卷题目共10题，每题10分．现分别从七年级1，2，3班中各随机抽取10名同学的成绩（单位：分）．收集整理数据如下：分析数据：平均数中位数众数1班83 a802班83 b c3班d80 80 根据以上信息回答下列问题：（1）请直接写出表格中a，b，c，d的值；（2）比较这三组样本数据的平均数、中位数和众数，你认为哪个班的成绩比较好？请说明理由（一条理由即可）；（3）为了让学生重视安全知识的学习，学校将给竞赛成绩满分的同学颁发奖状，该校七年级学生共120人，试估计需要准备多少张奖状？【分析】（1）利用折线统计图得到一班和二班的成绩，然后利用中位数的定义确定a、b值，利用众数的定义确定c的值；利用平均数的计算方法确定d的值；（2）利用中位数和众数的意义进行判断；（3）求出样本中满分的同学所占的百分比，然后120乘以这个百分比可估计该校七年级学生的满分人数．解：（1）一班10个数据的中第5、第6个数据都是80分，所以a＝80；二班10个数据的中第5、第6个数据分部是80分、90分，所以b＝85；二班10个数据的中90分出现的次数最短，所以c＝90；三班的平均数d＝（60+70+80×4+90×2+100×2）＝83；（2）我认为七年级2班的成绩比较好，随机抽取的样本中，三个班样本成绩的平均数都为83，2班成绩的中位数为85，大于1班和3班成绩的中位数80；2班成绩的众数90大于1班和3班成绩的众数80；（3）因为所抽取的样本中，样本总量是30，而其中满分人数是1+1+2＝4．所以×120＝16答：估计需要准备的奖状是16张．22．已知函数y＝k|x+2|+b的图象经过点（﹣2，4）和（﹣6，﹣2），完成下面问题：（1）求函数y＝k|x+2|+b的表达式；（2）在给出的平面直角坐标系中，请用适当的方法画出这个函数的图象，并写出这个函数的一条性质；（3）已知函数y＝x+1的图象如图所示，结合你所画出y＝k|x+2|+b的图象，直接写出k|x+2|+b＞x+1的解集．【分析】（1）根据待定系数法求得即可；（2）画出函数的图象，根据图象得出性质；（3）根据图象求得即可．解：（1）根据题意，得，解方程组，得，所求函数表达式为；（2）函数的图象如图所示，性质为：①当x＜﹣2时，y随x增大而增大；当x＞﹣2时，y随x增大而减少．②当x＝﹣2时，该函数取得最大值，函数的最大值为4．（3）由图象可知：k|x+2|+b＞x+1的解集为：﹣6＜x＜0．23．在疫情期间，某地推出线上名师公益大课堂，为广大师生、其他社会人士提供线上专业知识学习、心理健康疏导．参与学习第一批公益课的人数达到2万人，因该公益课社会反响良好，参与学习第三批公益课的人数达到2.42万人．参与学习第二批、第三批公益课的人数的增长率相同．（1）求这个增长率；（2）据大数据统计，参与学习第三批公益课的人数中，师生人数在参与学习第二批公益课的师生人数的基础上增加了80%；但因为已经部分复工，其他社会人士的人数在参与学习第二批公益课的其他社会人士人数的基础上减少了60%．求参与学习第三批公益课的师生人数．【分析】（1）设参与学习第二批、第三批公益课的人数的增长率为x，根据“第一批公益课受益学生2万人次，第三批公益课受益学生2.42万人次”可列方程求解．（2）设参与学习第二批公益课的人数中，师生有a万人，其他人士有b万人．根据“第三批公益课的人数＝第二批公益课的师生人数×（1+80%）”、“其他社会人士的人数在参与学习第二批公益课的其他社会人士人数的基础上减少了60%”列出方程组并解答．解：（1）设参与学习第二批、第三批公益课的人数的增长率为x，根据题意，得2（1+x）2＝2.42，解得x1＝﹣2.1（舍去），x2＝0.1＝10%．答：参与学习第二批、第三批公益课的人数的增长率为10%．（2）设参与学习第二批公益课的人数中，师生有a万人，其他人士有b万人．根据题意，得．解方程组，得a×（1+80%）＝1.1×1.8＝1.98．答：参与第三批公益课的师生人数为1.98万人．24．对于任意一个四位数，我们可以记为，即＝1000a+100b+10c+d．若规定：对四位正整数进行F运算，得到整数F（）＝a4+b3+c2+d1．例如，F（1249）＝14+23+42+91＝34；F（2020）＝24+03+22+01＝20．（1）计算：F（2137）；（2）当c＝e+2时，证明：F（）﹣F（）的结果一定是4的倍数；（3）求出满足F（）＝98的所有四位数．【分析】（1）根据F（）＝a4+b3+c2+d1代入数据计算即可求解；（2）根据F（）＝a4+b3+c2+d1得到＝c2﹣e2，再根据已知条件c＝e+2，可得原式＝4（e+1），依此即可求解；（3）首先得到x2+y＝9，再根据整数的性质确定0≤x≤3，且x为整数，可求对应的y 值，从而求解．解：（1）F（2137）＝24+13+32+71＝16+1+9+7＝33；（2）∴＝（a4+b3+c2+d）﹣（a4+b3+e2+d）＝c2﹣e2，∵c＝e+2，原式＝（e+2）2﹣e2＝4e+4＝4（e+1）．∵e≥0，且e是整数，∴4（e+1）是4的倍数．所以，当c＝e+2时，的结果一定是4的倍数．（3）∵，∴34+23+x2+y＝98，即x2+y＝9．∵0≤y≤9，∴0≤x2≤9．∴0≤x≤3，且x为整数．∴或或或．所以，满足条件的四位数有3209，3218，3225，3230．25．如图，在平面直角坐标系内，点A，B的坐标分别为（1，0），（0，2），AC⊥AB，且AB＝AC，直线BC交x轴于点D，抛物线y＝ax2+bx+2经过点A，B，D．（1）求直线BC和抛物线y＝ax2+bx+2的函数表达式；（2）点P是直线BD下方的抛物线上一点，求△PCD面积的最大值，以及△PCD面积取得最大值时，点P的坐标；（3）若点P的坐标为（2）小题中，△PCD的面积取得最大值时对应的坐标．平面内存在直线l，使点B，D，P到该直线的距离都相等，请直接写出所有满足条件的直线l的函数表达式．【分析】（1）证明△ABO≌△CAE（AAS），求出点C的坐标，进而求解；（2）利用，即可求解；（3）满足条件的直线有三条，是△PDB三条中位线所在的直线，即可求解．解：（1）过点C作CE⊥x轴，垂足为E．∵AB＝AC，∠AOB＝∠CEA＝90°，∠ABO＝∠CAE，∴△ABO≌△CAE（AAS）．∴AO＝CE，BO＝AE．∵A（1，0），B（0，2），∴CE＝AO＝1，AE＝BO＝2．∴C（3，1）．设直线BC的函数表达式为y＝kx+s（k≠0）．把点B（0，2），C（3，1）代入，得，解得，所以，直线BC的函数表达式为．令y＝0，得x＝6，则D（6，0）．∵抛物线y＝ax2+bx+2经过点A（1，0），D（6，0），则．解得，∴抛物线的函数表达式为．（2）过点P作x轴的垂线，垂足为H，交BD于点F．令P的横坐标为t．∵点P在BD直线下方的抛物线上移动，∴PF＝．过点C作CG⊥PF，垂足为G．∴，即．所以，当t＝3时，△PCD的面积取得最大值，最大值为．此时点P坐标为（3，﹣2）．（3）满足条件的直线有三条，是△PDB三条中位线所在的直线．由点P、D、B的坐标可得，PD、BD、PB的中点分别为：（，﹣1）、（3，1）、（，0），设过（，﹣1）、（3，1）的直线表达式为y＝mx+n，则，解得，故直线的表达式为：y＝﹣x+5，同理其它两条直线的表达式为：或．三条直线的函数表达式分别为，，．四、解答题（本大题1个小题，共8分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．26．如图1，在正方形ABCD中，点E是边BC上一点，连接AE，过点E作EM⊥AE，交对角线AC于点M，过点M作MN⊥AB，垂足为N，连接NE．（1）求证：AE＝NE+ME；（2）如图2，延长EM至点F，使EF＝EA，连接AF，过点F作FH⊥DC，垂足为H．猜想CH与FH存在的数量关系，并证明你的结论；（3）在（2）的条件下，若点G是AF的中点，连接GH．当GH＝CH时，直接写出GH与AC之间存在的数量关系．【分析】（1）证明△ANK≌△MNE（ASA）．得出AK＝ME，NK＝NE．则结论得证；（2）得出∠P＝∠PCH＝∠CHF＝90°．则四边形PCHF是矩形．证明△ABE≌△EPF（AAS）．得出BE＝PF，AB＝EP．可证得CP＝BE＝PF．得出矩形PCHF是正方形，则结论得证；（3）延长FH交AC于点Q，由中位线定理可得出AQ＝2GH，由等腰直角三角形的性质可得出CQ＝GH，则可得出结论．【解答】（1）证明：如图1，过点N作NK⊥NE，交AE于点K．∴∠KNE＝90°．∵MN⊥AB，∴∠MNA＝90°．∴∠ANK＝∠MNE．∵ME⊥AE，∴∠AEM＝∠ANM＝90°．∴∠NAK＝∠NME．∵四边形ABCD是正方形，∠ANM＝90°．∴∠MAN＝∠NMA＝45°．∴AN＝MN．在△ANK和△MNE中，∵，∴△ANK≌△MNE（ASA）．∴AK＝ME，NK＝NE．∴KE＝NE．∴AE＝AK+KE＝ME+NE．（2）解：CH＝FH．如图2，过点F作FP⊥BC，交BC的延长线于点P．∴∠P＝90°．∵∠BAE+∠AEB＝∠FEP+∠AEB＝90°，∴∠BAE＝∠FEP．∵四边形ABCD是正方形，∴∠B＝∠BCD＝∠PCD＝90°，AB＝BC．∵FH⊥CD，∴∠FHC＝90°．∴∠P＝∠PCH＝∠CHF＝90°．∴四边形PCHF是矩形．在△ABE和△EPF中，∵，∴△ABE≌△EPF（AAS）．∴BE＝PF，AB＝EP．∵AB＝BC，∴EP＝BC．∴CP＝BE＝PF．∴矩形PCHF是正方形．∴FH＝CH．（3）AC＝GH．如图3，延长FH交AC于点Q，在正方形ABCD中，∠ACD＝45°，∵∠FHC＝90°，∴∠HQC＝∠HCQ＝45°，∴CH＝HQ，CQ＝CH，∵CH＝FH，∴HQ＝FH，∵G是AF的中点，∴GH＝AQ，又∵GH＝CH，∴CQ＝GH，∴AC＝AQ+CQ＝2GH+GH＝（2+）GH．。
重庆市北碚区2020年中考数学春招模拟试卷(含解析)
重庆市北碚区2020年中考数学春招模拟试卷一、选择题（共12小题）.1．实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，则下列判断正确的是（）A．a＞0 B．b＜1 C．a＜b D．a＞﹣22．如图是由4个相同的小正方体组成的一个立体图形，其主视图是（）A．B．C．D．3．下列计算正确的是（）A．（x3）4＝x7B．x3•x2＝x5C．x+2x＝3x2D．x﹣2＝﹣4．下列命题正确的是（）A．过线段中点的直线上任意一点到线段两端的距离相等B．垂直于线段的直线上任意一点到线段两端的距离相等C．线段垂直平分线上任意一点到线段两端的距离相等D．线段垂直平分线上的点到线段上任意两点的距离相等5．按如图所示的运算程序，能使输出m的值为1的是（）A．x＝1，y＝1 B．x＝2，y＝0 C．x＝1，y＝2 D．x＝3，y＝2 6．估计×+÷的值应在（）A．7和8之间B．8和9之间C．9和10之间D．10和11之间7．如图，AB是⊙O的直径，点P在BA的延长线上，PA＝AO，PD与⊙O相切于点D，BC⊥AB交PD的延长线于点C，若⊙O的半径为1，则BC的长是（）A．1.5 B．2 C．D．8．如图，在平面直角坐标系中，等腰Rt△ABC与等腰Rt△CDE关于原点O成位似关系，相似比为1：3，∠ACB＝∠CED＝90°，A、C、E是x轴正半轴上的点，B、D是第一象限的点，BC＝2，则点D的坐标是（）A．（9，6）B．（8，6）C．（6，9）D．（6，8）9．如图，为加快5G网络建设，某通信公司在一个坡度i＝1：2.4的山坡AB上建了一座信号塔CD，信号塔底端C到山脚A的距离AC＝13米，在距山脚A水平距离18米的E处，有一高度为10米的建筑物EF，在建筑物顶端F处测得信号塔顶端D的仰角为37°（信号塔及山坡的剖面和建筑物的剖面在同一平面上），则信号塔CD的高度约是（）（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）A．22.5米B．27.5米C．32.5米D．45.0米10．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点B、D在反比例函数y═（k＞0）的图象上，对角线AC与BD相交于坐标原点O，若点A（﹣1，2），菱形的边长为5，则k的值是（）A．4 B．8 C．12 D．1611．若数a使关于x 的分式方程+＝1有非负整数解，且使关于y 的不等式组至少有3个整数解，则符合条件的所有整数a的和是（）A．﹣5 B．﹣3 C．0 D．212．二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0，c＞0）的自变量x与函数值y的部分对应值如表：x…﹣1 0 1 2 3 …y＝…p t n t0 …ax2+bx+c有下列结论：①b＞0；②关于x的方程ax2+bx+c＝0的两个根是0和3；③p+2t＜0；④m （am+b）≤﹣4a﹣c（m为任意实数）．其中正确结论的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）13．计算：（3﹣π）0﹣＝．14．代数式有意义，则x的取值范围是．15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝50°，AB＝10，D是AB的中点，以点C为圆心，CD长为半径画弧，交BC于点E，则图中阴影部分的面积是．（结果保留π）16．点A的坐标是A（x，y），从1、2、3这三个数中任取一个数作为x的值，再从余下的两个数中任取一个数作为y的值．则点A落在直线y＝﹣x+5与直线y＝x及y轴所围成的封闭区域内（含边界）的概率是．17．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC＝2，∠ABC＝30°，AD为BC边上的高，E、F分别为AB、AC边上的点，将△ABC分别沿DE、DF折叠，使点B落在DA的延长线上点M处，点C落在点N处，连接MN，若MN∥AC，则AF的长是．18．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝2，∠ABC＝45°，点E为射线AD上一动点，连接BE，将BE绕点B逆时针旋转60°得到BF，连接AF，则AF的最小值是．三.解答题：（本大题7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．19．（1）解方程组．（2）计算：（x+）÷．20．如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别是DA、BC延长线上的点，且∠ABE＝∠CDF．求证：（1）△ABE≌△CDF；（2）四边形EBFD是平行四边形．21．某校为提高学生体考成绩，对全校300名九年级学生进行一分种跳绳训练．为了解学生训练效果，学校体育组在九年级上学期开学初和学期末分别对九年级学生进行一分种跳绳测试，学生成绩均为整数，满分20分，大于18分为优秀．现随机抽取了同一部分学生的两次成绩进行整理、描述和分析．（成绩得分用x表示，共分成五组：A．x＜13，B.13≤x＜15，C.15≤x＜17，D.17≤x＜19，E.19≤x≤20）开学初抽取学生的成绩在D组中的数据是：17，17，17，17，17，18，18．学期末抽取学生成绩统计表学生成绩A组B组C组D组E组人数0 1 4 5 a 分析数据：平均数中位数众数开学初抽取学生成绩16 b17学期末抽取学生成绩18 18.5 19根据以上信息，解答下列问题：（1）直接写出图表中a、b的值，并补全条形统计图；（2）假设该校九年级学生都参加了两次测试，估计该校学期末成绩优秀的学生人数比开学初成绩优秀的学生人数增加了多少？（3）小莉开学初测试成绩16分，学期末测试成绩19分，根据抽查的相关数据，请选择一个合适的统计量评价小莉的训练效果．22．某数学小组对函数y1＝图象和性质进行探究．当x＝4时，y1＝0．（1）当x＝5时，求y1的值；（2）在给出的平面直角坐标系中，补全这个函数的图象，并写出这个函数的一条性质；（3）进一步探究函数图象并解决问题：已知函数y2＝﹣的图象如图所示，结合函数y1的图象，直接写出不等式y1≥y2的解集．23．某商场销售A、B两种新型小家电，A型每台进价40元，售价50元，B型每台进价32元，售价40元，4月份售出A型40台，且销售这两种小家电共获利不少于800元．（1）求4月份售出B型小家电至少多少台？（2）经市场调查，5月份A型售价每降低1元，销量将增加10台；B型售价每降低1元，销量将在4月份最低销量的基础上增加15台．为尽可能让消费者获得实惠，商场计划5月份A、B两种小家电都降低相同价格，且希望销售这两种小家电共获利965元，则这两种小家电都应降低多少元？24．对任意一个两位数m，如果m等于两个正整数的平方和，那么称这个两位数m为“平方和数”，若m＝a2+b2（a、b为正整数），记A（m）＝ab．例如：29＝22+52，29就是一个“平方和数”，则A（29）＝2×5＝10．（1）判断25是否是“平方和数”，若是，请计算A（25）的值；若不是，请说明理由；（2）若k是一个“平方和数”，且A（k）＝，求k的值．25．如图，一个二次函数的图象经过点A（0，1），它的顶点为B（1，3）．（1）求这个二次函数的表达式；（2）过点A作AC⊥AB交抛物线于点C，点P是直线AC上方抛物线上的一点，当△APC 面积最大时，求点P的坐标和△APC的面积最大值．四、解答题：（本大题1个小题，共8分）解答时必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括作辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．26．如图1，在正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E为线段BO上一点，连接CE，将CE绕点C顺时针旋转90°得到CF，连接EF交CD于点G．（1）若AB＝4，BE＝，求△CEF的面积．（2）如图2，线段FE的延长线交AB于点H，过点F作FM⊥CD于点M，求证：BH+MG＝BE；（3）如图3，点E为射线OD上一点，线段FE的延长线交直线CD于点G，交直线AB于点H，过点F作FM垂直直线CD于点M，请直接写出线段BH、MG、BE的数量关系．参考答案一、选择题：（本大题12个小题，每小题4分，共48分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框浍黑．1．实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，则下列判断正确的是（）A．a＞0 B．b＜1 C．a＜b D．a＞﹣2【分析】直接利用a，b在数轴上位置进而分别分析得出答案．解：由数轴可得：a＜﹣2，故选项A错误；b＞1，故选项B错误；a＜b，故选项C正确；a＜﹣2，故选项D错误；故选：C．2．如图是由4个相同的小正方体组成的一个立体图形，其主视图是（）A．B．C．D．【分析】找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．解：从正面看有两层，底层两个正方形，上层左边一个正方形，左齐．故选：A．3．下列计算正确的是（）A．（x3）4＝x7B．x3•x2＝x5C．x+2x＝3x2D．x﹣2＝﹣【分析】根据合并同类项法则，同底数幂相乘，底数不变指数相加；幂的乘方，底数不变指数相乘；负整数指数幂a﹣p＝（a≠0），对各选项分析判断后利用排除法求解．解：A、（x3）4＝x12，故本选项错误；B、x3•x2＝x5，故本选项正确；C、x+2x＝3x，故本选项错误；D、x﹣2＝，故本选项错误；故选：B．4．下列命题正确的是（）A．过线段中点的直线上任意一点到线段两端的距离相等B．垂直于线段的直线上任意一点到线段两端的距离相等C．线段垂直平分线上任意一点到线段两端的距离相等D．线段垂直平分线上的点到线段上任意两点的距离相等【分析】根据线段垂直平分线的性质判断即可．解：A、线段垂直平分线上任意一点到线段两端的距离相等，原命题是假命题；B、线段垂直平分线上任意一点到线段两端的距离相等，原命题是假命题；C、线段垂直平分线上任意一点到线段两端的距离相等，是真命题；D、线段垂直平分线上任意一点到线段两端的距离相等，原命题是假命题；故选：C．5．按如图所示的运算程序，能使输出m的值为1的是（）A．x＝1，y＝1 B．x＝2，y＝0 C．x＝1，y＝2 D．x＝3，y＝2 【分析】根据题意一一计算即可判断．解：A、当x＝1，y＝1时，m＝x﹣y＝1﹣1＝0，不符合题意；B、当x＝2，y＝0时，m＝x﹣y＝2﹣0＝2，不符合题意；C、当x＝1，y＝2时，m＝﹣2x+y＝﹣2+2＝0，不符合题意；D、当x＝3，y＝2时，m＝x﹣y＝3﹣2＝1，符合题意．故选：D．6．估计×+÷的值应在（）A．7和8之间B．8和9之间C．9和10之间D．10和11之间【分析】直接利用二次根式的性质化简，进而利用估算无理数的大小的方法得出答案．解：×+÷＝+＝4+，∵3＜＜4，∴7＜4+＜8，∴×+÷的值应在7和8之间；故选：A．7．如图，AB是⊙O的直径，点P在BA的延长线上，PA＝AO，PD与⊙O相切于点D，BC⊥AB 交PD的延长线于点C，若⊙O的半径为1，则BC的长是（）A．1.5 B．2 C．D．【分析】连接OD，求出BC是⊙O的切线，根据切线长定理得出CD＝BC，根据切线的性质求出∠ODP＝90°，根据勾股定理求出PD，再根据勾股定理求出BC即可．解：连接OD，∵PC切⊙O于D，∴∠ODP＝90°，∵⊙O的半径为1，PA＝AO，AB是⊙O的直径，∴PO＝1+1＝2，PB＝1+1+1＝3，OD＝1，∴由勾股定理得：PD＝＝＝，∵BC⊥AB，AB过O，∴BC切⊙O于B，∵PC切⊙O于D，∴CD＝BC，设CD＝CB＝x，在Rt△PBC中，由勾股定理得：PC2＝PB2+BC2，即（+x）2＝32+x2，解得：x＝，即BC＝，故选：D．8．如图，在平面直角坐标系中，等腰Rt△ABC与等腰Rt△CDE关于原点O成位似关系，相似比为1：3，∠ACB＝∠CED＝90°，A、C、E是x轴正半轴上的点，B、D是第一象限的点，BC＝2，则点D的坐标是（）A．（9，6）B．（8，6）C．（6，9）D．（6，8）【分析】根据位似变换的定义得到△ACB∽△CED，根据相似三角形的性质求出DE，根据等腰直角三角形的性质求出CE，根据△OCB∽△OED，列出比例式，代入计算得到答案．解：∵等腰Rt△ABC与等腰Rt△CDE关于原点O成位似关系，∴△ACB∽△CED，∵相似比为1：3，∴＝，即＝，解得，DE＝6，∵△CED为等腰直角三角形，∴CE＝DE＝6，∵BC∥DE，∴△OCB∽△OED，∴＝，即＝，解得，OC＝3，∴OE＝OC+CE＝3+6＝9，∴点D的坐标为（9，6），故选：A．9．如图，为加快5G网络建设，某通信公司在一个坡度i＝1：2.4的山坡AB上建了一座信号塔CD，信号塔底端C到山脚A的距离AC＝13米，在距山脚A水平距离18米的E处，有一高度为10米的建筑物EF，在建筑物顶端F处测得信号塔顶端D的仰角为37°（信号塔及山坡的剖面和建筑物的剖面在同一平面上），则信号塔CD的高度约是（）（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）A．22.5米B．27.5米C．32.5米D．45.0米【分析】过点F作FH⊥DC于点H，延长DC交EA于点G，可得四边形EFHG是矩形，根据AB的坡度i＝1：2.4，AC＝13，可得CG＝5，AG＝12，CH＝GH﹣CG＝10﹣5＝5，再根据锐角三角函数即可求出信号塔CD的高度．解：如图，过点F作FH⊥DC于点H，延长DC交EA于点G，则四边形EFHG是矩形，∴FH＝GE，CG＝EF，∵AB的坡度i＝1：2.4，AC＝13，∴CG＝5，AG＝12，∴CH＝GH﹣CG＝10﹣5＝5，∴GE＝AG+AE＝12+18＝30，∴在Rt△DCF中，∠DFC＝37°，FH＝GE＝30，∴DH＝FH•tan37°≈30×0.75≈22.5，∴CD＝DH+CH≈22.5+5≈27.5（米）．所以信号塔CD的高度约是27.5米．故选：B．10．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点B、D在反比例函数y═（k＞0）的图象上，对角线AC与BD相交于坐标原点O，若点A（﹣1，2），菱形的边长为5，则k的值是（）A．4 B．8 C．12 D．16【分析】根据菱形的性质得到AC⊥BD，根据勾股定理得到OA＝，OD＝＝2，求得直线AC的解析式为y＝﹣2x，求得BD的解析式为y＝2x，设D（a，2a），根据勾股定理即可得到结论．解：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∵点A（﹣1，2），∴OA＝，∵菱形的边长为5，∴AD＝5，∴OD＝＝2，∵对角线AC与BD相交于坐标原点O，∴直线AC的解析式为y＝﹣2x，∴BD的解析式为y＝2x，设D（a，2a），∴a2+（2a）2＝20，∴a＝2（负值舍去），∴D（2，4），∵D在反比例函数y═（k＞0）的图象上，∴k＝2×4＝8，故选：B．11．若数a使关于x的分式方程+＝1有非负整数解，且使关于y的不等式组至少有3个整数解，则符合条件的所有整数a的和是（）A．﹣5 B．﹣3 C．0 D．2【分析】解出分式方程，根据题意确定a的范围，解不等式组，根据题意确定a的范围，根据分式不为0的条件得到a≠﹣2，根据题意计算即可．解：由①得y＞﹣8，由②得y≤a，∴不等式组的解集为：﹣8＜y≤a，∵关于y的不等式组至少有3个整数解，∴a≥﹣5，解分式方程+＝1，得x＝，∵关于x的分式方程+＝1有非负整数解，且≠3，∴a≤4且a≠﹣2且a为偶数；∴﹣5≤a≤4且a≠﹣2且a为偶数，∴满足条件的整数a为﹣4，0，2，4，∴所有整数a的和＝﹣4+0+2+4＝2，故选：D．12．二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0，c＞0）的自变量x与函数值y的部分对应值如表：x…﹣1 0 1 2 3 …y＝…p t n t0 …ax2+bx+c有下列结论：①b＞0；②关于x的方程ax2+bx+c＝0的两个根是0和3；③p+2t＜0；④m （am+b）≤﹣4a﹣c（m为任意实数）．其中正确结论的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】由抛物线的对称性可求对称轴为：x ＝，可得p＝0，即x＝﹣1，x＝3是方程ax2+bx+c＝0的两个根，可判断②；当x＝0，y＝c＝t＞0，可得p+2t＝0+2t＞0，可判断③；由抛物线中在对称轴的右边，y随x的增大而减小，可得的a＜0，由对称轴x ＝1可得b＝﹣2a＞0，可判断①；由x＝3，y＝0，可得c＝﹣3a，由顶点坐标为（1，n），a＜0，可得am2+bm+c≤a+b+c，可得am2+bm≤﹣4a﹣c，可判断④，即可求解．解：∵当x＝0和x＝2时，y＝t，∴对称轴为：x ＝，∴当x＝3和x＝﹣1时，y的值相等，∴p＝0，∴x＝﹣1，x＝3是方程ax2+bx+c＝0的两个根，故②正确；∵当x＝0时，y＝t，且c＞0，∴t＝c＞0，∴p+2t＝0+2t＞0，故③错误；∵x＝2，y＝t＞0，x＝3，y＝0，∴在对称轴的右边，y随x的增大而减小，∴a＜0，∵x ＝﹣，∴b＝﹣2a＞0，故①正确；∵当x＝3时，y＝0，∴9a+3b+c＝0，∴3a+c＝0，∴c＝﹣3a，∴﹣4a﹣c＝﹣4a+3a＝﹣a，∵顶点坐标为（1，n），a＜0，∴am2+bm+c≤a+b+c，∴am2+bm≤a+b，∴am2+bm≤﹣a，∴am2+bm≤﹣4a﹣c，故④正确，故选：C．二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的橫线上．13．计算：（3﹣π）0﹣＝﹣1 ．【分析】本题涉及零指数幂、三次根式化简2个知识点．在计算时，需要针对每个知识点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．解：（3﹣π）0﹣＝1﹣2＝﹣1．故答案为：﹣1．14．代数式有意义，则x的取值范围是x＞4 ．【分析】根据二次根式有意义的条件、分式有意义的条件列出不等式，解不等式得到答案．解：由题意得，x﹣4＞0，解得，x＞4，故答案为：x＞4．15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝50°，AB＝10，D是AB的中点，以点C为圆心，CD长为半径画弧，交BC于点E，则图中阴影部分的面积是π．（结果保留π）【分析】利用斜边上的中线性质得到DA＝DC＝DB＝AB＝5，再计算出∠B得到∠DCB＝40°，然后利用扇形的面积公式计算．解：∵∠ACB＝90°，D是AB的中点，∴DA＝DC＝DB＝AB＝5，∵∠B＝90°﹣∠A＝90°﹣50°＝40°，∴∠DCB＝∠B＝40°，∴图中阴影部分的面积＝＝π．故答案为π．16．点A的坐标是A（x，y），从1、2、3这三个数中任取一个数作为x的值，再从余下的两个数中任取一个数作为y的值．则点A落在直线y＝﹣x+5与直线y＝x及y轴所围成的封闭区域内（含边界）的概率是．【分析】先解方程组得直线y＝﹣x+5与直线y＝x的交点坐标，画出图象，再画树状图展示所有6种等可能的结果数，找出其中点A落在直线y＝﹣x+5与直线y＝x及y轴所围成的封闭区域内（含边界）的点的个数，然后根据概率公式求解．解：解方程组得，∴直线y＝﹣x+5与直线y＝x的交点坐标为（3，2），如图，画树状图为：共有6种等可能的结果数，其中点A落在直线y＝﹣x+5与直线y＝x及y轴所围成的封闭区域内（含边界）的点为（1，2），（1，3），（2，3），（3，2），所以点A落在直线y＝﹣x+5与直线y＝x及y轴所围成的封闭区域内（含边界）的概率＝＝．故答案为．17．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC＝2，∠ABC＝30°，AD为BC边上的高，E、F分别为AB、AC边上的点，将△ABC分别沿DE、DF折叠，使点B落在DA的延长线上点M处，点C落在点N处，连接MN，若MN∥AC，则AF的长是．【分析】过点D作DH⊥AC于H，由等腰三角形的性质和直角三角形的性质可求∠C＝30°，AD＝AC＝1，∠DAC＝60°，BD＝CD，由折叠的性质可得DN＝DC，DB＝DM，∠CDF＝∠NDF，可证△DMN是等边三角形，可得∠MDN＝60°，由折叠的性质可求∠HDF＝∠HFD＝45°，由直角三角形的性质可求解．解：如图，过点D作DH⊥AC于H，∵AB＝AC＝2，∠ABC＝30°，AD为BC边上的高，∴∠C＝30°，AD＝AC＝1，∠DAC＝60°，BD＝CD，∵MN∥AC，∴∠DAC＝∠DMN＝60°，∵DH⊥AF，∴∠ADH＝30°，∴AH＝AD＝，DH＝AH＝，∵将△ABC分别沿DE、DF折叠，∴DN＝DC，DB＝DM，∠CDF＝∠NDF，∴DM＝DN，∴△DMN是等边三角形，∴∠MDN＝60°，∴∠CDN＝30°，∴∠CDF＝15°，∴∠DFH＝∠C+∠CDF＝45°，∵DH⊥AF，∴∠HDF＝∠HFD＝45°，∴DH＝HF＝，∴AF＝AH+HF＝，故答案为：．18．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝2，∠ABC＝45°，点E为射线AD上一动点，连接BE，将BE绕点B逆时针旋转60°得到BF，连接AF，则AF的最小值是．【分析】如图，以AB为边向下作等边△ABK，连接EK，在EK上取一点T，使得AT＝TK．证明△ABF≌△KBE（SAS），推出AF＝EK，根据垂线段最短可知，当KE⊥AD时，KE的值最小，解直角三角形求出EK即可解决问题．解：如图，以AB为边向下作等边△ABK，连接EK，在EK上取一点T，使得AT＝TK．∵BE＝BF，BK＝BA，∠EBF＝∠ABK＝60°，∴∠ABF＝∠KBE，∴△ABF≌△KBE（SAS），∴AF＝EK，根据垂线段最短可知，当KE⊥AD时，KE的值最小，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∵∠ABC＝45°，∴∠BAD＝180°﹣∠ABC＝135°，∵∠BAK＝60°，∴∠EAK＝75°，∵∠AEK＝90°，∴∠AKE＝15°，∵TA＝TK，∴∠TAK＝∠AKT＝15°，∴∠ATE＝∠TAK+∠AKT＝30°，设AE＝a，则AT＝TK＝2a，ET＝a，在Rt△AEK中，∵AK2＝AE2+EK2，∴a2+（2a+a）2＝2，∴a＝，∴EK＝2a+a＝，∴AF的最小值为．故答案为．三.解答题：（本大题7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．19．（1）解方程组．（2）计算：（x+）÷．【分析】（1）根据加减消元法可以解答此方程组；（2）根据分式的加法和除法可以解答本题．解：（1），①+②，得4x＝12，解得，x＝3，将x＝3代入①，得y＝﹣1，故原方程组的解为；（2）（x+）÷＝＝＝＝．20．如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别是DA、BC延长线上的点，且∠ABE＝∠CDF．求证：（1）△ABE≌△CDF；（2）四边形EBFD是平行四边形．【分析】（1）由ASA即可得出△ABE≌△CDF；（2）由全等三角形的性质得出AE＝CF，由平行四边形的性质得出AD∥BC，AD＝BC，证出DE＝BF，即可得出四边形EBFD是平行四边形．【解答】证明：（1）∵四边形ABD是平行四边形，∴AB＝CD，∠BAD＝∠DCB，∴∠BAE＝∠DCF，在△ABE和△CDF中，，∴△ABE≌△CDF（ASA）；（2）∵△ABE≌△CDF，∴AE＝CF，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，∴AD+AE＝BC+CF，即DE＝BF，∴四边形EBFD是平行四边形．21．某校为提高学生体考成绩，对全校300名九年级学生进行一分种跳绳训练．为了解学生训练效果，学校体育组在九年级上学期开学初和学期末分别对九年级学生进行一分种跳绳测试，学生成绩均为整数，满分20分，大于18分为优秀．现随机抽取了同一部分学生的两次成绩进行整理、描述和分析．（成绩得分用x表示，共分成五组：A．x＜13，B.13≤x＜15，C.15≤x＜17，D.17≤x＜19，E.19≤x≤20）开学初抽取学生的成绩在D组中的数据是：17，17，17，17，17，18，18．学期末抽取学生成绩统计表学生成绩A组B组C组D组E组人数0 1 4 5 a分析数据：平均数中位数众数开学初抽取学生成绩16 b17学期末抽取学生成绩18 18.5 19根据以上信息，解答下列问题：（1）直接写出图表中a、b的值，并补全条形统计图；（2）假设该校九年级学生都参加了两次测试，估计该校学期末成绩优秀的学生人数比开学初成绩优秀的学生人数增加了多少？（3）小莉开学初测试成绩16分，学期末测试成绩19分，根据抽查的相关数据，请选择一个合适的统计量评价小莉的训练效果．【分析】（1）由A的两个统计图上的数据得抽取的学生人数，再用求得的总数减去学期末抽取学生成绩统计表中A、B、C、D的人数便可得E组的人数a的值，求出开学初抽取人数中成绩由小到大位于最中间的数据或中间两个数据的平均数便为中位数b的值；（2）用总人数300乘以学期末优秀学生数的百分比与开学初优秀学生数的百分比之差，便可得该校学期末成绩优秀的学生人数比开学初成绩优秀的学生人数增加的人数；（3）可比较再次测试成绩的中位数或平均数，进而得出小莉成绩上升情况的总结．解：（1）开学初抽取的学生总数为：2＝20，∴a＝20﹣0﹣1﹣4﹣5＝10，开学初抽取学生中B组人数为：20﹣2﹣3﹣4﹣7＝4，由此可知开学初所抽取学生的成绩A、B、C组共有2+3+4＝9人，则将所抽取的20人的成绩由小到大排列，位于第10位和第11位的成绩都位于D组，∵D组中的数据是：17，17，17，17，17，18，18．∴中位数b＝＝17，补全统计图如下：（2）根据题意得，300×＝90，答：该校学期末成绩优秀的学生人数比开学初成绩优秀的学生人数增加了90人；（3）从平均数看，小莉开学初测试成绩等于开学初抽取学生成绩的平均数16分，学期末测试成绩19分高于学期末所抽取学生成绩的平均数18分，因此小莉一分钟跳绳练习达到郎的效果；从中位数来看，小莉开学初测试成绩16分低于开学初抽取学生成绩的中位数17分，学期末测试成绩19分高于学期末抽取学生成绩的中位数18，5分，因此小莉一分钟跳绳练习达到郎的效果．22．某数学小组对函数y1＝图象和性质进行探究．当x＝4时，y1＝0．（1）当x＝5时，求y1的值；（2）在给出的平面直角坐标系中，补全这个函数的图象，并写出这个函数的一条性质；（3）进一步探究函数图象并解决问题：已知函数y2＝﹣的图象如图所示，结合函数y1的图象，直接写出不等式y1≥y2的解集．【分析】（1）思想利用待定系数法确定b的值，再求出x＝5时，y1的值即可．（2）画出x＜2时，y＝﹣x+2的图形即可．（3）利用图象法写出y1的图象在y2的上方时x的值即可．解：（1）由题意x＝0时，y1＝0，∴16+4b+8＝0，∴b＝﹣6，∴x＝5时，y1＝25﹣6×5+8＝3．（2）函数图象如图所示：性质：x＜3时，y随x的增大而减小，x＞3时，y随x的增大而增大．（3）观察图形可知：不等式y1≥y2的解集为：x＜﹣2或x＞0．23．某商场销售A、B两种新型小家电，A型每台进价40元，售价50元，B型每台进价32元，售价40元，4月份售出A型40台，且销售这两种小家电共获利不少于800元．（1）求4月份售出B型小家电至少多少台？（2）经市场调查，5月份A型售价每降低1元，销量将增加10台；B型售价每降低1元，销量将在4月份最低销量的基础上增加15台．为尽可能让消费者获得实惠，商场计划5月份A、B两种小家电都降低相同价格，且希望销售这两种小家电共获利965元，则这两种小家电都应降低多少元？【分析】（1）设4月份售出B型小家电x台，根据“销售这两种小家电共获利不少于800元”列出不等式并解答；（2）设两种型号的小家电都降价y元，根据“销售利润＝（售价﹣进价）×销售数量”列出方程并解答．解：（1）设4月份售出B型小家电x台，根据题意，得（50﹣40）×40﹣（40﹣32）x ≥800．解得x≥50．答：4月份售出B型小家电至少50台；（2）设两种型号的小家电都降价y元，根据题意得：（50﹣y﹣40）（40+10y）+（40﹣y﹣32）（50+15y）＝965．整理，得5y2﹣26y+33＝0．解得y1＝3，y2＝2.2．为了让消费者得到更多的实惠，所以y＝3符合题意．答：两种型号的小家电都降价3元．24．对任意一个两位数m，如果m等于两个正整数的平方和，那么称这个两位数m为“平方和数”，若m＝a2+b2（a、b为正整数），记A（m）＝ab．例如：29＝22+52，29就是一个“平方和数”，则A（29）＝2×5＝10．（1）判断25是否是“平方和数”，若是，请计算A（25）的值；若不是，请说明理由；（2）若k是一个“平方和数”，且A（k）＝，求k的值．【分析】（1）把25写成两个正整数的平方和，再根据A（m）＝ab求出A（25）便可；（2）设k＝a2+b2，则A（k）＝ab，根据（k）＝，得a、b的方程，求得a与b的关系式，进而由a、b、k满足的条件求得k的值便可．解：（1）25是“平方和数”．∵25＝32+42，∴A（25）＝3×4＝12；（2）设k＝a2+b2，则A（k）＝ab，∵A（k）＝，∴ab＝，∴2ab＝a2+b2﹣4，∴a2﹣2ab+b2＝4，∴（a﹣b）2＝4，∴a﹣b＝±2，即a＝b+2或b＝a+2，∵a、b为正整数，k为两位数，∴当a＝1，b＝3或a＝3，b＝1时，k＝10；当a＝2，b＝4或a＝4，b＝2时，k＝20；当a＝3，b＝5或a＝5，b＝3时，k＝34；当a＝4，b＝6或a＝6，b＝4时，k＝52；当a＝5，b＝7或a＝7，b＝5时，k＝74；综上，k的值为：10或20或34或52或74．25．如图，一个二次函数的图象经过点A（0，1），它的顶点为B（1，3）．（1）求这个二次函数的表达式；（2）过点A作AC⊥AB交抛物线于点C，点P是直线AC上方抛物线上的一点，当△APC 面积最大时，求点P的坐标和△APC的面积最大值．【分析】（1）根据题意设这个二次函数的表达式为y＝a（x﹣1）2+3，解方程即可得到结论；（2）根据已知条件得到直线AC的解析式为y＝﹣x+1，解方程组得到C（，﹣），得到PQ＝（﹣2t2+4t+1）﹣（﹣t+1）＝﹣2t2+t，根据三角形的面积公式和二次函数的性质即可得到结论．解：（1）∵抛物线的顶点为B（1，3），∴设这个二次函数的表达式为y＝a（x﹣1）2+3，∵二次函数的图象经过点A（0，1），∴a（0﹣3）2+3＝1，解得：a＝﹣2，∴这个二次函数的表达式为y＝﹣2（x﹣1）2+3，即y＝﹣2x2+4x+1；（2）∵AC⊥AB，A（0，1），∴直线AC的解析式为y＝﹣x+1，由，解得：或，∴C（，﹣），过P作PQ∥y轴交AC于Q，设P（t，﹣2t2+4t+1），则Q（t，﹣t+1），∴PQ＝（﹣2t2+4t+1）﹣（﹣t+1）＝﹣2t2+t，∴S△APC＝PQ|x C﹣x A|＝（﹣2t2+t）（﹣0）＝﹣（t﹣）2+，∴当t＝时，S△APC有最大值，此时，P（，）．四、解答题：（本大题1个小题，共8分）解答时必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括作辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．26．如图1，在正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E为线段BO上一点，连接CE，将CE绕点C顺时针旋转90°得到CF，连接EF交CD于点G．（1）若AB＝4，BE＝，求△CEF的面积．（2）如图2，线段FE的延长线交AB于点H，过点F作FM⊥CD于点M，求证：BH+MG＝BE；（3）如图3，点E为射线OD上一点，线段FE的延长线交直线CD于点G，交直线AB于点H，过点F作FM垂直直线CD于点M，请直接写出线段BH、MG、BE的数量关系．【分析】（1）如图1中，利用勾股定理计算CE的长，由旋转可知△CEF是等腰直角三角形，可得结论；（2）如图2，过E作EN⊥AB于N，作EP⊥BC于P，证明△CPE≌△CMF（AAS），得EP＝FM，由角平分线的性质得EP＝EN＝FM，证明△NHE≌△MGF（AAS），得NH＝MG，由△BEN 是等腰直角三角形，得BN＝BE，最后由线段的和可得结论；（3）如图3，构建辅助线，构建全等三角形，证明△CPE≌△FMC（AAS），得EP＝CM，PC＝FM，由△DPE是等腰直角三角形，得PE＝PD，证明△HNE≌△GMF（AAS），由△BEN 是等腰直角三角形，得BN＝BE，同理可得结论．【解答】（1）解：在正方形ABCD中，AB＝4，∴AO＝CO＝OB＝2，∵BE＝，∴OE＝，∵AC⊥BD，∴∠COE＝90°，∴CE＝＝＝，由旋转得：CE＝CF，∠ECF＝90°，∴△CEF的面积＝＝＝5；（2）证明：如图2，过E作EN⊥AB于N，作EP⊥BC于P，∵EP⊥BC，FM⊥CD，∴∠EPC＝∠FMC＝90°，∵∠BCD＝∠ECF＝90°，∴∠PCE＝∠MCF，∵CE＝CF，∴△CPE≌△CMF（AAS），∴EP＝FM，∵EP⊥BC，EN⊥AB，BE平分∠ABC，∴EP＝EN，∴EN＝FM，∵FM⊥CD，∴∠FMG＝∠ENH＝90°，∵AB∥CD，∴∠NHE＝∠MGF，∴△NHE≌△MGF（AAS），∴NH＝MG，∴BH+MG＝BH+NH＝BN，∵△BEN是等腰直角三角形，∴BN＝BE，∴BH+MG＝BE；（3）解：BH﹣MG＝BE，理由是：如图3，过E作EN⊥AB于N，交CG于P，∵EP⊥BC，FM⊥CD，AB∥CD，∴EP⊥CD，∴∠EPC＝∠FMC＝90°，∵∠M＝∠ECF＝90°，∴∠ECP+∠FCM＝∠FCM+∠CFM＝90°，∴∠ECP＝∠CFM，∵CE＝CF，∴△CPE≌△FMC（AAS），∴PC＝FM，∵△DPE是等腰直角三角形，∴PE＝PD，∴EN＝BN＝PN+PE＝BC+PE＝CD+PD＝PC＝FM，∵AB∥CD，∴∠H＝∠FGM，∵∠ENH＝∠M＝90°，∴△HNE≌△GMF（AAS），∴NH＝MG，∴BH﹣MG＝BH﹣NH＝BN，∵△BEN是等腰直角三角形，∴BN＝BE，∴BH﹣MG＝BE．。
2020年重庆市沙坪坝区春招数学试题、答案
2020年重庆市沙坪坝区春招数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题（本大题共12小题，共48.0分）1.下列各数中，是负数的是（）A. 0B. 2C. 5D. −32.汉字书法博大精深，下列汉字“行“的不同书写字体中，是轴对称图形的是（）A. B. C. D.3.已知两个相似三角形的面积之比为4：9，则这两个相似三角形的对应边之比是（）A. 16：81B. 4：9C. 9：4D. 2：34.一元二次方程2x2+5x+1=0的根的情况是（）A. 有两个不相等的实数根B. 没有实数根C. 有两个相等的实数根D. 无法判断5.如图，AB与⊙O相切于点B，连结AO并延长交⊙O于点C，连结BC.若∠C=34°，则∠A的度数是（）A. 17°B. 22°C. 34°D. 56°6.估计√19−2的值应在（）A. 4和5之间B. 3和4之间C. 2和3之间D. 1和2之间7.以下尺规作图中，一定能得到线段AD=BD的是（）A. B.C. D.8.在数轴上，点A、B在原点O的两侧，分别表示数a、2，将点A向右平移3个单位长度，得到点C.若CO=2BO，则a的值为（）A. −1B. −7C. 1或−7D. 7或−19.若关于x的方程2xx−2−a−62−x=1的解为正数，则所有符合条件的正整数a的个数为（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个10.把有理数a代入|a+4|−10得到a1，称为第一次操作，再将a1作为a的值代入得到a2，称为第二次操作，…，若a=23，经过第2020次操作后得到的是（）A. −7B. −1C. 5D. 1111.如图，滑动调节式遮阳伞的立柱AC垂直于地面AB，P为立柱上的滑动调节点，伞体的截面示意图为△PDE，F为PD的中点，AC=2.8m，PD=2m，CF=1m，∠DPE=15°.根据生活经验，当太阳光线与PE垂直时，遮阳效果最佳，在上午10：00时，太阳光线与地面的夹角为65°，若要遮阳效果最佳AP的长约为（）(参考数据：sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，sin50°≈0.77，cos50°≈0.64)A. 1.2mB. 1.3mC. 1.5mD. 2.0m12.近期，某国遭遇了近年来最大的经济危机，导致该国股市大幅震荡，昨天某支股票累计卖出的数量和交易时间之间的关系如图中虚线所示，累计买入的数量和交易时间之间的关系如图中实线所示，其中点A是实线和虚线的交点，点C是BE的中点，CD与横轴平行，则下列关于昨天该股票描述正确的是（）A. 交易时间在3.5ℎ时累计卖出的数量为12万手B. 交易时间在1.4ℎ时累计卖出和累计买入的数量相等C. 累计卖出的数量和累计买入的数量相差1万手的时刻有5个D. 从点A对应的时刻到点C对应的时刻，平均每小时累计卖出的数量小于买入的数量二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）13.2020年5月22日，李克强总理在政府工作报告中指出，农村贫困人口减少11090000人，脱贫攻坚取得决定性成就，把数11090000用科学记数法表示为______．14.如图，Rt△ABC中，AB=AC，BC=2√2，以点C为圆心，CA长为半径画弧交BC于点D.则图中弧AD的长为______(结果保留π)．15.从碳酸钠、锌、铜这三种物质中任选一种，能够与盐酸发生化学反应产生气体的概率是______．16.清代数学家梅文鼎在《勾股举隅》一书中，用四个全等的直角三角形拼出正方形ABDE的方法证明了勾股定理(如图)，若Rt△ABC的斜边AB=5，BC=3，则图中线段CE的长为______．17. 如图，矩形OABC 的顶点A 、C 分别在x 轴、y 轴的正半轴上，点D 在边OC 上，且BD =OC ，以BD 为边向下作矩形BDEF ，使得点E 在边OA 上，反比例函数y =k x (k ≠0)的图象经过边EF 与AB 的交点G.若AG =32，DE =2，则k 的值为______．18. 如图，Rt △ABC 中，∠ACB =90°，AB =2AC ，BC =3，点E 是AB 上的点，将△ACE沿CE 翻折，得到△A′CE ，过点B 作BF//AC 交∠BAC 的平分线于点F ，连接A′F ，则A′F 长度的最小值为______．三、计算题（本大题共1小题，共10.0分）19. 计算：(1)√25+(13)−1−π0−(−1)；(2)(m +9m+6)÷m 2−9m+6．四、解答题（本大题共7小题，共68.0分）20. 如图，在△ABC 中，AB =AC ，∠A =36°，BD 平分∠ABC 交AC于点D ，点E 是AB 的中点，连结DE ．(1)求证：△ABD 是等腰三角形；(2)求∠BDE 的度数．21.为了解疫情对精神负荷造成的影响，某机构分别在一线城市和三线城市的志愿者中随机选取了50人参加LES测试，根据志愿者的答题情况计算出LES得分，并对得分进行整理，描述和分析，部分信息如下：一、三线城市志愿者得分统计表城市中位数平均数一线城市a17.6三线城市1417.2注：一线城市在14<x≤20中的得分是：15，15，16，17，17，17，17，18，18，20．根据以上信息，解答下列问题：(1)表中a的值为______；(2)得分越低反映个体承受的精神压力越小，排名越靠前，在这次调查中，一线城市的志愿者甲和三线城市的志愿者乙的得分均为15分，请判断甲、乙在各自城市选取的志愿者中得分排名谁更靠前，并说明理由；(3)如果得分超过平均数就需要进行心理干预，请估计一线城市全部2000名志愿者中有多少人需要进行心理干预？22.已知函数y=5，请根据已学知识探究该函数的x2+1图象和性质．(1)列表，写出表中a、b，c的值：a=______，b=______，c=______；x…−3−2−10123…一条性质：______；(3)已知函数y =x −1的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出不等式5x +1>x −1的解集：______．23. 抗击“新冠肺炎”疫情期间，口罩是重要的防护物资，今年2月，某社区根据实际需要，采购了5000个口罩，一部分用于社区家庭，其余部分用于社区工作人员． (1)为了保证社区抗疫工作顺利开展，用于社区工作人员的口罩个数应不少于用于社区家庭口罩个数的1.5倍，问用于该社区家庭的口罩最多有多少个？(2)据统计，2月份，该社区有200户家庭有口罩需求，平均每户需要10个，其余口罩刚好满足社区工作人员的抗疫需要，随着疫情的发展，3月份，该社区对口罩的总需求量比2月份增加了20%，需要口罩的家庭户数比2月份增加了a%，社区工作人员需要口罩的个数比2月份增如了1.5a%，同时，由于该社区加大了管控力度，平均每户家庭的口罩需求量减少了a%，求a 的值．24. 阅读下列材料：材料一：最大公约数是指两个或多个整数共有的约数中最大的一个．我们将两个整数a 、b 的最大公约数表示为(a,b)，如(12,18)=6；(7,9)=1．材料二：求7x +3y =11的一组整数解，主要分为三个步骤：第一步，用x 表示y ，得y =11−7x3；第二步，找一个整数x ，使得11−7x 是3的倍数，为更容易找到这样的x ，将11−7x 变形为12−9x +2x −1=3(4−3x)+2x −1，即只需2x −1是3的倍数即可，为此可取x =2；第三步，将x =2代入y =11−7x3，得y =−1.∴{x =2y =−1是原方程的一组整数解． 材料三：若关于x ，y 的二元一次方程ax +by =c(a,b ，c 均为整数)有整数解{x =x 0y =y 0，则它的所有整数解为{x =x 0+b(a,b)t y =y 0−a (a,b)t(t 为整数)． 利用以上材料，解决下列问题：(1)求方程(15,20)x +(4,8)y =99的一组整数解；(2)求方程(15,20)x +(4,8)y =99有几组正整数解．25.在▱ABCD中，AF平分∠BAD交BC于点F，∠BAC=90°，点E是对角线AC上的点，连结BE．(1)如图1.若AB=AE，BF=3，求BE的长；(2)如图2，若AB=AE，点G是BE的中点，∠FAG=∠BFG，求证：AB=√10FG；(3)如图3，以点E为直角顶点，在BE的右下方作等腰直角△BEM，若点E从点A出发，沿AC运动到点C停止，设在点E运动过程中，BM的中点N经过的路径长为m，AC的长为n，请直接写出nm的值．26.如图1，二次函数y=−18x2+14x+3的图象交x轴于A、B两点(点A在点B的左侧)，交y轴于C点，连结AC，过点C作CD⊥AC交AB于点D．(1)求点D的坐标；(2)如图2，已知点E是该二次函数图象的顶点，在线段AO上取一点F，过点F作FH⊥CD，交该二次函数的图象于点H(点H在点E的右侧)，当五边形FCEHB的面积最大时，求点H的横坐标；(3)如图3，在直线BC上取一点M(不与点B重合)，在直线CD的右上方是否存在这样的点N，使得以C、M、N为顶点的三角形与△BCD全等？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．答案和解析1.【答案】D【解析】解：A、0既不是正数，也不是负数，故选项错误；B、2是正数，故选项错误；C、5是正数，故选项错误；D、−3是负数，故选项正确．故选：D．根据有理数可分为正数，负数和零，可作出正确的选择．本题考查了有理数．能够准确理解有理数的概念，掌握有理数的分类是解题的关键．2.【答案】A【解析】解：A、是轴对称图形，故本选项符合题意；B、不是轴对称图形，故本选项不合题意；C、不是轴对称图形，故本选项不合题意；D、不是轴对称图形，故本选项不合题意．故选：A．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，根据轴对称图形的概念求解．本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．3.【答案】D【解析】解：∵相似三角形的面积的比等于相似比的平方．∴两个相似三角形的面积之比为4：9时，这两个相似三角形的对应边之比是2：3．故选：D．根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方即可得结论．本题考查了相似三角形的性质，解决本题的关键是掌握相似三角形的性质．4.【答案】A【解析】解：由题意可知：△=25−4×2×1=17>0，故选：A．根据根的判别式即可求出答案．本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．5.【答案】B【解析】解：如图，连接OB，∵AB与⊙O相切于点B，∴∠ABO=90°，∵OB=OC，∴∠OBC=∠C=34°，∴∠AOB=∠OBC+∠C=68°，∴∠A=180°−∠ABO−∠AOB=180°−90°−68°=22°，故选：B．连接OB，由切线的性质可得∠ABO=90°；利用圆的半径相等可得∠OBC=∠C=34°；利用三角形的外角性质可得∠AOB=68°；利用三角形的内角和定理可求得∠A的度数．本题考查了切线的性质、等腰三角形的判定与性质、三角形的外角性质及三角形的内角和定理等知识点，熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．6.【答案】C【解析】解：∵4<√19<5，∴2<√19−2<3，∴√19−2的值应在2和3之间；故选：C．先估算出4<√19<5，再根据不等式的性质估算出√19−2的值即可得出答案．本题考查了估算无理数的大小，利用被开方数越大算术平方根越大得出4<√19<5是解题关键，又利用了不等式的性质．7.【答案】D【解析】解：A、AD为BC边的高；B、AD为角平分线，C、D点为BC的中点，AD为BC边上的中线，D、点D为AB的垂直平分线与BC的交点，则DA=DB．故选：D．利用基本作图，前面三个作图AD分别为三角形高线、角平分线和中线，第四个作了AB 的垂直平分线，从而得到DA=DB．本题考查了作图−基本作图：熟练掌握5种基本作图(作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线).也考查了线段垂直平分线的性质．8.【答案】B【解析】解：∵B表示数2，∴CO=2BO=4，由题意得：|a+3|=4，∴a+3=±4，∴a=1或−7，∵点A、B在原点O的两侧，∴a=−7，故选：B．先由已知条件得CO的长，再根据绝对值的含义得关于a的方程，解得a即可．本题考查了数轴上的点所表示的数及绝对值的化简，根据题意正确列式，是解题的关键．9.【答案】B【解析】解：分式方程去分母得：2x+a−6=x−2，解得：x=4−a，由分式方程有正数解，得到4−a>0，且4−a≠2，解得：a<4且a≠2，∴所有符合条件的正整数a的个数为1，3，故选：B．分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有正数解确定出a的范围即可得到结论．此题考查了分式方程的解，熟练分式方程的解法是解本题的关键．10.【答案】A【解析】解：第1次操作，a1=|23+4|−10=17；第2次操作，a2=|17+4|−10=11；第3次操作，a3=|11+4|−10=5；第4次操作，a4=|5+4|−10=−1；第5次操作，a5=|−1+4|−10=−7；第6次操作，a6=|−7+4|−10=−7；第7次操作，a7=|−7+4|−10=−7；…第2020次操作，a2020=|−7+4|−10=−7．故选：A．先确定第1次操作，a1=|23+4|−10=17；第2次操作，a2=|17+4|−10=11；第3次操作，a3=|11+4|−10=5；第4次操作，a4=|5+4|−10=−1；第5次操作，a5=|−1+4|−10=−7；第6次操作，a6=|−7+4|−10=−7；…，后面的计算结果没有变化，据此解答即可．本题考查了绝对值和探索规律．解题的关键是先计算，再观察结果是按照什么规律变化的．探寻规律要认真观察、仔细思考，善用联想来解决这类问题．11.【答案】C【解析】解：如图，过点F作FG⊥AC于点G，根据题意可知：当太阳光线与PE垂直时，遮阳效果最佳，∴∠BEP=90°，∵∠A=90°，∠B=65°，∴∠EPA=360°−90°−90°−65°=115°，∵∠DPE=15°，∴∠APD=130°，∴∠CPF=50°，∵F为PD的中点，PD=1，∴DF=PF=12∴CF=PF=1，∴CP=2PG=2×PF⋅cos50°≈2×1×0.64≈1.28，∴AP=AC−PC=2.8−1.28≈1.5(m)．所以要遮阳效果最佳AP的长约为1.5米．故选：C．过点F 作FG ⊥AC 于点G ，根据题意可得，当太阳光线与PE 垂直时，遮阳效果最佳，即∠BEP =90°，再根据四边形内角和定理可得∠CPF 的度数，再根据锐角三角函数即可求出CP 的长，进而可得遮阳效果最佳时AP 的长．本题考查了解直角三角形的应用−坡度坡角问题，解决本题的关键是掌握坡度坡角定义． 12.【答案】D【解析】解：∵点B(3,5)，点E(4,20)，点C 是BE 的中点， ∴点C(72,252)，∴交易时间在3.5ℎ时累计卖出的数量为12.5万手，故A 选项不合题意； ∵直线OB 过点(0,0)，点B(3,5)， ∴直线OB 解析式为：y =53x ， ∵直线AC 过点(1,0)，点C(72,252)， ∴直线AC 解析式为：y =5x −5， 联立方程组可得{y =53xy =5x −5，∴{x =32y =52∴交易时间在1.5ℎ时累计卖出和累计买入的数量相等，故B 选项不合题意； 由图象可得累计卖出的数量和累计买入的数量相差1万手的时刻有4个，故C 选项不合题意，由图象可得从点A 对应的时刻到点C 对应的时刻，实线在虚线的上方，即平均每小时累计卖出的数量小于买入的数量，故D 选项符合题意， 故选：D ．由中点坐标公式可求点C 坐标，可得交易时间在3.5ℎ时累计卖出的数量为12.5万手，可判断选项A ；利用待定系数法可求AC ，OB 解析式，可求点B 坐标，可得交易时间在1.5ℎ时累计卖出和累计买入的数量相等，可判断选项B ；由图象可得累计卖出的数量和累计买入的数量相差1万手的时刻有4个，可判断选项C ；由图象可得从点A 对应的时刻到点C 对应的时刻，实线在虚线的上方，即平均每小时累计卖出的数量小于买入的数量，可判断选项D ，即可求解．本题考查了函数的图象，一次函数图象上点的坐标特征，利用待定系数法求解析式，理解图象的点表示的具体意义是本题的关键． 13.【答案】1.109×107【解析】解：11 090000=1.109×107， 故答案是：1.109×107．科学记数法的表示形式为a ×10n 的形式，其中1≤|a|<10，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值>10时，n 是正数；当原数的绝对值<1时，n 是负数．此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a ×10n 的形式，其中1≤|a|<10，n 为整数，表示时关键要正确确定a 的值以及n 的值．14.【答案】π2【解析】解：∵Rt△ABC中，AB=AC，∴∠C=45°，∵BC=2√2，∴AC=2，∴弧AD的长为：45π×2180=π2；故答案为：π2．先根据等腰直角三角形的性质可得∠C=45°，根据弧长公式计算即可．本题考查弧长公式，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．15.【答案】13【解析】解：在这三种物质中，碳酸钠只有与足量盐酸发生化学反应可产生二氧化碳气体；锌与盐酸发生化学反应可产生氢气；铜只有与浓盐酸发生化学反应可产生氢气；所以能够与盐酸发生化学反应产生气体的概率是13，故答案为：13．先分别判断出三种物质能与盐酸发生化学反应产生气体的种类数，再根据概率公式求解可得．本题主要考查概率公式，解题的关键是掌握能与盐酸发生反应产生气体的种类．16.【答案】√17【解析】解：在Rt△ABC中，AC=√AB2−BC2=4，∵Rt△ACB≌Rt△EFA，∴AF=BC=3，EF=AC=4，∴FC=AC−AF=1，∴CE=√EF2+CF2=√17，故答案为：√17．根据勾股定理求出AC，根据全等三角形的性质得到AF=BC=3，EF=AC=4，求出FC，根据勾股定理计算，得到答案．本题考查的是勾股定理、全等三角形的性质，掌握勾股定理、全等三角形的对应边相等是解题的关键．17.【答案】245【解析】解：如图，连接DF，BE，∵四边形OABC是矩形，四边形BDEF是矩形，∴OC=AB，BE=DF，∠BAO=∠BDE=∠DEF=90°，∵BD=OC，∴BD=AB，又∵BE=BE，∴Rt△BDE≌Rt△BAE(HL)∴AE=DE=2，∴EG=√AE2+AG2=√4+94=52，∵∠DEO+∠AEG=90°，∠EDO+∠DEO=90°，∴∠AEG=∠EDO，又∵∠EOD=∠EAG=90°，∴△DEO∽△EGA，∴AGOE =EGDE，∴32OE=522，∴OE=65，∴OA=2+65=165，∴点G(165,32 )，∵反比例函数y=kx(k≠0)的图象经过点G，∴k=165×32=245，故答案为：245．如图，连接DF，BE，由“HL”可证Rt△BDE≌Rt△BAE，可得AE=DE=2，由勾股定理可求EG，通过证明△DEO∽△EGA，可得AGOE =EGDE，可求OE的长，即可求点G坐标，代入解析式可求k的值．本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，全等三角形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，矩形的性质等知识，求出点G的坐标是本题的关键．18.【答案】√21−√3【解析】解：如图，∵∠ACB=90°，AB=2AC，∴cos∠CAB=ACAB =12，∴∠CAB=60°，∴tan∠CAB=BCAC=√3，∴AC=√3，∴AB=2√3，∵AF平分∠BAC，∴∠BAF=∠CAF=30°，∵BF//AC，∴∠BFA=∠FAC=30°，∠FBC=∠BCA=90°，∴AB=BF=2√3，∴FC=√BC2+FB2=√12+9=√21，∵将△ACE沿CE翻折，得到△A′CE，∴AC=A′C=√3，∴点A′在以点C为圆心，AC为半径的圆上，则当点A′在FC上时，A′F有最小值，∴A′F最小值为√21−√3，故答案为：√21−√3．先求出AC=√3，AB=2√3，由平行线的性质和角平分线的性质可求AB=BF=2√3，由勾股定理可求CF的长，由点A′在以点C为圆心，AC为半径的圆上，则当点A′在FC 上时，A′F有最小值，即可求解．本题考查了翻折变换，锐角三角函数，直角三角形的性质等知识，求出CF的长是本题的关键．19.【答案】解：(1)√25+(13)−1−π0−(−1)=5+3−1+1=8；(2)(m+9m+6)÷m2−9m+6=m2+6m+9m+6×m+6m2−9=(m+3)2m+6×m+6(m+3)(m−3)=m+3m−3．【解析】(1)分别按照求算术平方根、负整数指数幂、零次幂和去括号的法则化简，再进行有理数的加减法运算即可；(2)将括号内的部分通分，同时将分式的除法变成乘法，再进行因式分解，然后约分即可．本题考查了分式的混合运算及实数的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．20.【答案】证明：(1)∵AB=AC，∠A=36°，∴∠ABC=∠C=72°，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠DBC=36°，∠A=36°，∴BD=AD，即△ABD是等腰三角形；(2)∵点E是AB的中点，∴AE=EB，∴∠DEB=90°，∴∠BDE=90°−36°=54°．【解析】(1)根据等腰三角形的性质和三角形内角和得出∠DBC=36°，进而根据等腰三角形的判定解答即可；(2)根据等腰三角形的性质和三角形内角和解答即可．此题考查等腰三角形的判定和性质，关键是据等腰三角形的性质和三角形内角和得出∠DBC=36°解答．21.【答案】15.5【解析】解：(1)∵2≤x<14的有5+18=23(人)，一线城市在14<x≤20这一组的是：15，15，16，17，17，17，17，18，18，20，在一线城市和三线城市的志愿者中随机选取了50人参加LES测试，∴a=(15+16)÷2=15.5，故答案为：15.5；(3)在这次测试中，一线城市的志愿者甲和三线城市的志愿者乙的得分均为15分，三线城市的志愿者乙在各自城市选取的志愿者中得分排名更靠前，理由：∵一线城市的志愿者甲的中位数是15.5，三线城市的志愿者乙的中位数是14，∴在这次测试中，三线城市的志愿者乙在各自城市选取的志愿者中得分排名更靠前；=800(人)，(4)2000×3+1750答：估计一线城市全部2000名志愿者中有800人需要进行心理干预．(1)根据统计图和统计表中的数据和一线城市在14<x≤20这一组的数据，可以求得a 的值；(2)根据统计表中的数据可以得到甲、乙在各自城市选取的志愿者中得分排名谁更靠前；(3)根据统计图中的数据和题目中的数据可以计算出一线城市全部2000名志愿者中有多少人需要进行心理干预的人数．本题考查频数分布直方图、用样本估计总体、中位数，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．22.【答案】1 5 1函数的最大值为5 x<22【解析】解：(1)x =−2、0、3分别代入y =5x 2+1，得a =5(−2)2+1=1，b =502+1=5，c =532+1=12故答案为1，5，12； (2)该函数的图象如图：函数的性质：该函数关于y 轴对称，函数的最大值为5；故答案函数关于y 轴对称，函数的最大值为5； (3)由图形可知，不等式5x 2+1>x −1的解集是x <2． 故答案为x <2．(1)把x =−2、0、3分别代入y =5x 2+1，即可求出a 、b 、c 的值； (2)根据表中的数据，描点连线、画出函数的图象； (3)根据图象即可求出不等式5x 2+1>x −1的解集．本题考查了一次函数的图象与性质，一次函数与一元一次不等式，利用数形结合思想，正确画出函数的图象是解题的关键．23.【答案】解：(1)设用于该社区家庭的口罩有x 个，则用于社区工作人员的口罩有(5000−x)个，依题意，得：5000−x ≥1.5x ， 解得：x ≤2000．答：用于该社区家庭的口罩最多有2000个．(2)依题意，得：200(1+a%)×10(1−a%)+(5000−200×10)(1+1.5a%)=5000×(1+20%)，整理，得：a 2−225a +5000=0，解得：a 1=25，a 2=200(不合题意，舍去)． 答：a 的值为25．【解析】(1)设用于该社区家庭的口罩有x 个，则用于社区工作人员的口罩有(5000−x)个，根据用于社区工作人员的口罩个数应不少于用于社区家庭口罩个数的1.5倍，即可得出关于x 的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论；(2)根据3月份该社区对口罩的总需求量比2月份增加了20%，即可得出关于a 的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．本题考查了一元二次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：(1)根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式；(2)找准等量关系，正确列出一元二次方程．24.【答案】解：(1)∵(15,20)=5，(4,8)=4，∴原方程变形为：5x +4y =99， ∴x =99−4y 5，∴99−4y 是5的倍数， ∴当y =1时，x =19， ∴{x =19y =1 是原方程的解； (2)∵5x +4y =99的有整数解，∴{x =19y =1，{x =15y =6，{x =11y =11，{x =7y =16，{x =3y =21， ∴原方程有5组正整数解．【解析】(1)先化简原方程，由材料可求解； (2)先求出原方程的整数解，即可求解．本题考查了二元一次方程的解，一元一次方程的解，理解题意是本题的关键． 25.【答案】(1)解：如图1中，∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD//BC ，∴∠DAF =∠AFB ， ∵AF 平分∠BAD ， ∴∠DAF =∠BAF ， ∴∠BAF =∠AFB ， ∴AB =BF =3，∵AB =AE ，∠BAE =90°， ∴BE =√2AB =3√2．(2)证明：连接EF ，过点G 作GH ⊥EF 交EF 的延长线于H.设BG =a ，FG =b ．∵AB =AE ，∠BAE =90°，BG =GE ， ∴AG ⊥BE ，AG =GB =GE ， ∴AB =√2BG =√2a ， ∵BF =AB =√2a ，∴BF 2=2a 2，BG ⋅BE =2a 2， ∴BF 2=BG ⋅BE ， ∴BFBG =BEBF ， ∵∠FBG =∠EBF ，∴△GBF∽△FBE，∴GFEF =BGBF=√22，∠BFG=∠BEF，∴EF=√2GF=√2b，∵∠BAF=∠BFA，∠GAF=∠BFG，∴∠AFG=∠BAG=45°，∠GAF=∠GEF，∴∠AGE=∠AFE=90°，∴∠GFH=45°，∵GH⊥EH，∴GH=FH=√22b，∴EH=FH+EF=3√22b，∴EG=√GH2+EH2=√5b，∴AB=AE=√2GE=√10b，∴AB=√10GF．(3)解：如图3中，在AC上取一点T，使得AT=AB，连接BT，TM，取BT的中点J，连接NJ．∵△ABT，△BEM都是等腰直角三角形，∴BT=√2AB，BM=√2BE，∠ABT=∠EBM=45°，∴ABBT =BEBM，∠ABE=∠TBM，∴△ABE∽△TBM，∴TMAE =ABBT=√22，∠AEB=∠BMT，∵∠AEB+∠BET=180°，∴∠BMT+∠BET=180°，∴∠EBM+∠ETM=180°，∵∠EBM=∠ETB=45°，∴∠ETM=135°，∠BTM=90°，∵BJ=JT，BN=NM，∴NJ//TM，NJ=12TM，∴∠BJN=∠BTM=90°，∴点N的运动轨迹是线段JN，JN=12TM=√22AE，∵点E从A运动到C时，AE=AC=n，∴m=√22n，∴nm=√2．【解析】(1)证明AB=BF，再利用等腰直角三角形的性质求解即可．(2)连接EF，过点G作GH⊥EF交EF的延长线于H.设BG=a，FG=b.利用相似三角形的性质证明EF=√2GF，想办法求出AB(用b表示)即可解决问题．(3)如图3中，在AC上取一点T，使得AT=AB，连接BT，TM，取BT的中点J，连接NJ.首先证明NJ//TM，NJ=12TM，推出∠BJN=∠BTM=90°，推出点N的运动轨迹是线段JN，JN=12TM=√22AE，由此即可解决问题．本题属于四边形综合题，考查了平行四边形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，解直角三角形，三角形中位线定理，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会利用参数解决问题，属于中考压轴题．26.【答案】解：(1)令x=0，则y=3，∴C(0,3)，∴OC=3．令y=0，则−18x2+14x+3=0，解得：x1=−4，x2=6，∴A(−4,0)，B(6,0)，∴OA=4，OB=6．∵CD⊥AC，∴∠ACD=90°，∵CO⊥AD，∴OC2=OA⋅OD，∴OD=94，∴D(94,0)．(2)∵y=−18x2+14x+3=−18(x−1)2+258，∴E(1,258).如图2，连接OE、BE，作HG⊥x轴于点G，交BE于点P．由B、E两点坐标可求得直线BE的解析式为：y=−58x+154．设H(m,−18m2+14m+3)，则P(m,−58m+154).∴HG=−18m2+14m+3，HP=y H−y P=−18m2+78m−34．∴S△BHE=12(x B−x E)⋅HP=52(−18m2+78m−34)=−516m2+3516m−158．∵FH⊥CD，AC⊥CD，∴AC//FH，∴∠HFG=∠CAO，∵∠AOC=∠FGH=90°，∴△ACO∼△FHG，∴FGHG =OAOC=43，∴FG=43HG=−16m2+13m+4，∴AF=AG−FG=m+4+16m2−13m−4=16m2+23m，∴S△AFC=12AF⋅OC=32(16m2+32m)=14m2+m，∵S四边形ACEB =S△ACO+S△OCE+S△OEB=12×4×3+12×3×1+126×258=1358，∴S五边形FCEHB =S四边形ACEB+S△BHE−S△AFC=1358+(−516m2+3516m−158)−(14m2+m)=−916m2+1916m+15=−916(m−1918)2+9001576，∴当m=1918时，S五边形FCEHB取得最大值9001576．此时，H的横坐标为1918．(3)∵B(6,0)，C(0,3)，D(94,0)，∴CD=BD=154，BC=3√5，∴∠DCB=∠DBC．①如图3−1，△CMN≌△DCB，MN交y轴于K，则CM=CN=DC=DB=154，MN=BC=3√5，∠CMN=∠CNM=∠DBC=∠DCB，∴MN//AB，∴MN ⊥y 轴，∴∠CKN =∠COB =90°，MK =NK =12MN =3√52， ∴△CKN ∼△COB ，∴CKCN =COCB =√55， ∴CK =3√54，∴OK =OC +CK =12+3√54， ∴N(3√52,12+3√54).②如图3−2，△MCN≌△DBC ，则CN =CB =3√5，∠MCN =∠DBC ，∴CN//AB ，∴N(3√5,3)．③如图3−3，△CMN≌△DBC ，则∠CMN =∠DCB ，CM =CN =DC =DB =154，MN =BC =3√5， ∴MN//CD ，作MR ⊥y 轴于R ，则CR CO =RM OB =CMCB =√54， ∴CR =3√54，RM =3√52，∴OR =3−3√54， 作MQ//y 轴，NQ ⊥MQ 于点Q ，则∠NMQ =∠DCO ，∠NQM =∠DOC =90°，∴△COD ∼△MQN ，∴MQ NQ =CO DO =43，∴MQ =45MN =12√55，NQ =35MN =9√55， ∴NQ −RM =3√510，OR +MQ =60+33√520， ∴N(−3√510,60+33√520).综上所述，满足要标的N 点坐标有：(3√52,12+3√54)、(3√5,3)、(−3√510,60+33√520).【解析】(1)先根据抛物线解析式求出A 、B 、C 的坐标，由射影定理可得OD 长度，从而求出D 点坐标；(2)设H 点的横坐标为m ，然后将五边形FCEHB 的面积表示成关于m 的二次函数，利用配方法可求得面积的最大值以及对应的H 点坐标；(3)由B 、C 、D 的坐标可以求得DC 、DB 、BC 的长度，然后分类讨论，分别画出符合要求的对应图形进行计算即可．本题为二次函数综合题，主要考查了二次函数的基本性质、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等重要知识点，综合性强，难度较大，属于中考压轴题．对于第(2)问，利用割补法表示出五边形的面积是难点，也是解答的关键；对于第(3)问，依次画出对应图形并识别出各种情形下的数量关系是解答的要点所在．。
2020年重庆市沙坪坝区春招数学试卷(含答案解析)
2020年重庆市沙坪坝区春招数学试卷副标题题号一二三四总分得分一、选择题（本大题共12小题，共48.0分）1.下列各数中，是负数的是()A. 0B. 2C. 5D. −32.汉字书法博大精深，下列汉字“行“的不同书写字体中，是轴对称图形的是()A. B. C. D.3.已知两个相似三角形的面积之比为4：9，则这两个相似三角形的对应边之比是()A. 16：81B. 4：9C. 9：4D. 2：34.一元二次方程2x2+5x+1=0的根的情况是()A. 有两个不相等的实数根B. 没有实数根C. 有两个相等的实数根D. 无法判断5.如图，AB与⊙O相切于点B，连结AO并延长交⊙O于点C，连结BC.若∠C=34°，则∠A的度数是()A. 17°B. 22°C. 34°D. 56°6.估计√19−2的值应在()A. 4和5之间B. 3和4之间C. 2和3之间D. 1和2之间7.以下尺规作图中，一定能得到线段AD=BD的是()A. B.C. D.8.在数轴上，点A、B在原点O的两侧，分别表示数a、2，将点A向右平移3个单位长度，得到点C.若CO=2BO，则a的值为()A. −1B. −7C. 1或−7D. 7或−19.若关于x的方程2xx−2−a−62−x=1的解为正数，则所有符合条件的正整数a的个数为()A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个10.把有理数a代入|a+4|−10得到a1，称为第一次操作，再将a1作为a的值代入得到a2，称为第二次操作，…，若a=23，经过第2020次操作后得到的是()A. −7B. −1C. 5D. 1111.如图，滑动调节式遮阳伞的立柱AC垂直于地面AB，P为立柱上的滑动调节点，伞体的截面示意图为△PDE，F为PD的中点，AC=2.8m，PD=2m，CF=1m，∠DPE=15°.根据生活经验，当太阳光线与PE垂直时，遮阳效果最佳，在上午10：00时，太阳光线与地面的夹角为65°，若要遮阳效果最佳AP的长约为()(参考数据：sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，sin50°≈0.77，cos50°≈0.64)A. 1.2mB. 1.3mC. 1.5mD. 2.0m12.近期，某国遭遇了近年来最大的经济危机，导致该国股市大幅震荡，昨天某支股票累计卖出的数量和交易时间之间的关系如图中虚线所示，累计买入的数量和交易时间之间的关系如图中实线所示，其中点A是实线和虚线的交点，点C是BE的中点，CD与横轴平行，则下列关于昨天该股票描述正确的是()A. 交易时间在3.5ℎ时累计卖出的数量为12万手B. 交易时间在1.4ℎ时累计卖出和累计买入的数量相等C. 累计卖出的数量和累计买入的数量相差1万手的时刻有5个D. 从点A对应的时刻到点C对应的时刻，平均每小时累计卖出的数量小于买入的数量二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）13.2020年5月22日，李克强总理在政府工作报告中指出，农村贫困人口减少11090000人，脱贫攻坚取得决定性成就，把数11090000用科学记数法表示为______．14.如图，Rt△ABC中，AB=AC，BC=2√2，以点C为圆心，CA长为半径画弧交BC于点D.则图中弧AD的长为______(结果保留π)．15.从碳酸钠、锌、铜这三种物质中任选一种，能够与盐酸发生化学反应产生气体的概率是______．16.清代数学家梅文鼎在《勾股举隅》一书中，用四个全等的直角三角形拼出正方形ABDE的方法证明了勾股定理(如图)，若Rt△ABC的斜边AB=5，BC=3，则图中线段CE的长为______．17. 如图，矩形OABC 的顶点A 、C 分别在x 轴、y 轴的正半轴上，点D 在边OC 上，且BD =OC ，以BD 为边向下作矩形BDEF ，使得点E 在边OA 上，反比例函数y =kx (k ≠0)的图象经过边EF 与AB 的交点G.若AG =32，DE =2，则k 的值为______．18. 如图，Rt △ABC 中，∠ACB =90°，AB =2AC ，BC =3，点E 是AB 上的点，将△ACE 沿CE 翻折，得到△A′CE ，过点B 作BF//AC 交∠BAC 的平分线于点F ，连接A′F ，则A′F 长度的最小值为______．三、计算题（本大题共1小题，共10.0分） 19. 计算：(1)√25+(13)−1−π0−(−1)；(2)(m +9m+6)÷m 2−9m+6．四、解答题（本大题共7小题，共68.0分）20. 如图，在△ABC 中，AB =AC ，∠A =36°，BD 平分∠ABC 交AC于点D ，点E 是AB 的中点，连结DE ． (1)求证：△ABD 是等腰三角形； (2)求∠BDE 的度数．21.为了解疫情对精神负荷造成的影响，某机构分别在一线城市和三线城市的志愿者中随机选取了50人参加LES测试，根据志愿者的答题情况计算出LES得分，并对得分进行整理，描述和分析，部分信息如下：一、三线城市志愿者得分统计表城市中位数平均数一线城市a17.6三线城市1417.2注：一线城市在中的得分是：15，15，16，17，17，17，17，18，18，20．根据以上信息，解答下列问题：(1)表中a的值为______；(2)得分越低反映个体承受的精神压力越小，排名越靠前，在这次调查中，一线城市的志愿者甲和三线城市的志愿者乙的得分均为15分，请判断甲、乙在各自城市选取的志愿者中得分排名谁更靠前，并说明理由；(3)如果得分超过平均数就需要进行心理干预，请估计一线城市全部2000名志愿者中有多少人需要进行心理干预？22.已知函数y=5，请根据已学知识探究该函数的x2+1图象和性质．一条性质：______；(3)已知函数y =x −1的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出不等式5x 2+1>x −1的解集：______．23. 抗击“新冠肺炎”疫情期间，口罩是重要的防护物资，今年2月，某社区根据实际需要，采购了5000个口罩，一部分用于社区家庭，其余部分用于社区工作人员． (1)为了保证社区抗疫工作顺利开展，用于社区工作人员的口罩个数应不少于用于社区家庭口罩个数的1.5倍，问用于该社区家庭的口罩最多有多少个？(2)据统计，2月份，该社区有200户家庭有口罩需求，平均每户需要10个，其余口罩刚好满足社区工作人员的抗疫需要，随着疫情的发展，3月份，该社区对口罩的总需求量比2月份增加了20%，需要口罩的家庭户数比2月份增加了a%，社区工作人员需要口罩的个数比2月份增如了1.5a%，同时，由于该社区加大了管控力度，平均每户家庭的口罩需求量减少了a%，求a 的值．24. 阅读下列材料：材料一：最大公约数是指两个或多个整数共有的约数中最大的一个．我们将两个整数a 、b 的最大公约数表示为(a,b)，如(12,18)=6；(7,9)=1． 材料二：求7x +3y =11的一组整数解，主要分为三个步骤： 第一步，用x 表示y ，得y =11−7x 3；第二步，找一个整数x ，使得11−7x 是3的倍数，为更容易找到这样的x ，将11−7x 变形为12−9x +2x −1=3(4−3x)+2x −1，即只需2x −1是3的倍数即可，为此可取x =2；第三步，将x =2代入y =11−7x 3，得y =−1.∴{x =2y =−1是原方程的一组整数解．材料三：若关于x ，y 的二元一次方程ax +by =c(a,b ，c 均为整数)有整数解{x =x 0y =y 0，则它的所有整数解为{x =x 0+b(a,b)ty =y 0−a(a,b)t(t 为整数)．利用以上材料，解决下列问题：(1)求方程(15,20)x+(4,8)y=99的一组整数解；(2)求方程(15,20)x+(4,8)y=99有几组正整数解．25.在▱ABCD中，AF平分∠BAD交BC于点F，∠BAC=90°，点E是对角线AC上的点，连结BE．(1)如图1.若AB=AE，BF=3，求BE的长；(2)如图2，若AB=AE，点G是BE的中点，∠FAG=∠BFG，求证：AB=√10FG；(3)如图3，以点E为直角顶点，在BE的右下方作等腰直角△BEM，若点E从点A出发，沿AC运动到点C停止，设在点E运动过程中，BM的中点N经过的路径长为m，AC的长为n，请直接写出nm的值．26.如图1，二次函数y=−18x2+14x+3的图象交x轴于A、B两点(点A在点B的左侧)，交y轴于C点，连结AC，过点C作CD⊥AC交AB于点D．(1)求点D的坐标；(2)如图2，已知点E是该二次函数图象的顶点，在线段AO上取一点F，过点F作FH⊥CD，交该二次函数的图象于点H(点H在点E的右侧)，当五边形FCEHB的面积最大时，求点H的横坐标；(3)如图3，在直线BC上取一点M(不与点B重合)，在直线CD的右上方是否存在这样的点N，使得以C、M、N为顶点的三角形与△BCD全等？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．答案和解析1.【答案】D【解析】解：A、0既不是正数，也不是负数，故选项错误；B、2是正数，故选项错误；C、5是正数，故选项错误；D、−3是负数，故选项正确．故选：D．根据有理数可分为正数，负数和零，可作出正确的选择．本题考查了有理数．能够准确理解有理数的概念，掌握有理数的分类是解题的关键．2.【答案】A【解析】解：A、是轴对称图形，故本选项符合题意；B、不是轴对称图形，故本选项不合题意；C、不是轴对称图形，故本选项不合题意；D、不是轴对称图形，故本选项不合题意．故选：A．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，根据轴对称图形的概念求解．本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．3.【答案】D【解析】解：∵相似三角形的面积的比等于相似比的平方．∴两个相似三角形的面积之比为4：9时，这两个相似三角形的对应边之比是2：3．故选：D．根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方即可得结论．本题考查了相似三角形的性质，解决本题的关键是掌握相似三角形的性质．4.【答案】A【解析】解：由题意可知：△=25−4×2×1=17>0，故选：A．根据根的判别式即可求出答案．本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．5.【答案】B【解析】解：如图，连接OB，∵AB与⊙O相切于点B，∴∠ABO=90°，∵OB=OC，∴∠OBC=∠C=34°，∴∠AOB=∠OBC+∠C=68°，∴∠A=180°−∠ABO−∠AOB=180°−90°−68°=22°，故选：B．连接OB，由切线的性质可得∠ABO=90°；利用圆的半径相等可得∠OBC=∠C=34°；利用三角形的外角性质可得∠AOB=68°；利用三角形的内角和定理可求得∠A的度数．本题考查了切线的性质、等腰三角形的判定与性质、三角形的外角性质及三角形的内角和定理等知识点，熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．6.【答案】C【解析】解：∵4<√19<5，∴2<√19−2<3，∴√19−2的值应在2和3之间；故选：C．先估算出4<√19<5，再根据不等式的性质估算出√19−2的值即可得出答案．本题考查了估算无理数的大小，利用被开方数越大算术平方根越大得出4<√19<5是解题关键，又利用了不等式的性质．7.【答案】D【解析】解：A、AD为BC边的高；B、AD为角平分线，C、D点为BC的中点，AD为BC边上的中线，D、点D为AB的垂直平分线与BC的交点，则DA=DB．故选：D．利用基本作图，前面三个作图AD分别为三角形高线、角平分线和中线，第四个作了AB 的垂直平分线，从而得到DA=DB．本题考查了作图−基本作图：熟练掌握5种基本作图(作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线).也考查了线段垂直平分线的性质．8.【答案】B【解析】解：∵B表示数2，∴CO=2BO=4，由题意得：|a+3|=4，∴a+3=±4，∴a=1或−7，∵点A、B在原点O的两侧，∴a=−7，故选：B．先由已知条件得CO的长，再根据绝对值的含义得关于a的方程，解得a即可．本题考查了数轴上的点所表示的数及绝对值的化简，根据题意正确列式，是解题的关键．9.【答案】B【解析】解：分式方程去分母得：2x+a−6=x−2，解得：x=4−a，由分式方程有正数解，得到4−a>0，且4−a≠2，解得：a<4且a≠2，∴所有符合条件的正整数a的个数为1，3，故选：B．分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有正数解确定出a的范围即可得到结论．此题考查了分式方程的解，熟练分式方程的解法是解本题的关键．10.【答案】A【解析】解：第1次操作，a1=|23+4|−10=17；第2次操作，a2=|17+4|−10=11；第3次操作，a3=|11+4|−10=5；第4次操作，a4=|5+4|−10=−1；第5次操作，a5=|−1+4|−10=−7；第6次操作，a6=|−7+4|−10=−7；第7次操作，a7=|−7+4|−10=−7；…第2020次操作，a2020=|−7+4|−10=−7．故选：A．先确定第1次操作，a1=|23+4|−10=17；第2次操作，a2=|17+4|−10=11；第3次操作，a3=|11+4|−10=5；第4次操作，a4=|5+4|−10=−1；第5次操作，a5=|−1+4|−10=−7；第6次操作，a6=|−7+4|−10=−7；…，后面的计算结果没有变化，据此解答即可．本题考查了绝对值和探索规律．解题的关键是先计算，再观察结果是按照什么规律变化的．探寻规律要认真观察、仔细思考，善用联想来解决这类问题．11.【答案】C【解析】解：如图，过点F作FG⊥AC于点G，根据题意可知：当太阳光线与PE垂直时，遮阳效果最佳，∴∠BEP=90°，∵∠A=90°，∠B=65°，∴∠EPA=360°−90°−90°−65°=115°，∵∠DPE=15°，∴∠APD=130°，∴∠CPF=50°，∵F为PD的中点，PD=1，∴DF=PF=12∴CF=PF=1，∴CP=2PG=2×PF⋅cos50°≈2×1×0.64≈1.28，∴AP=AC−PC=2.8−1.28≈1.5(m)．所以要遮阳效果最佳AP的长约为1.5米．故选：C．过点F 作FG ⊥AC 于点G ，根据题意可得，当太阳光线与PE 垂直时，遮阳效果最佳，即∠BEP =90°，再根据四边形内角和定理可得∠CPF 的度数，再根据锐角三角函数即可求出CP 的长，进而可得遮阳效果最佳时AP 的长．本题考查了解直角三角形的应用−坡度坡角问题，解决本题的关键是掌握坡度坡角定义． 12.【答案】D【解析】解：∵点B(3,5)，点E(4,20)，点C 是BE 的中点， ∴点C(72,252)，∴交易时间在3.5ℎ时累计卖出的数量为12.5万手，故A 选项不合题意； ∵直线OB 过点(0,0)，点B(3,5)， ∴直线OB 解析式为：y =53x ， ∵直线AC 过点(1,0)，点C(72,252)， ∴直线AC 解析式为：y =5x −5， 联立方程组可得{y =53xy =5x −5，∴{x =32y =52∴交易时间在1.5ℎ时累计卖出和累计买入的数量相等，故B 选项不合题意； 由图象可得累计卖出的数量和累计买入的数量相差1万手的时刻有4个，故C 选项不合题意，由图象可得从点A 对应的时刻到点C 对应的时刻，实线在虚线的上方，即平均每小时累计卖出的数量小于买入的数量，故D 选项符合题意， 故选：D ．由中点坐标公式可求点C 坐标，可得交易时间在3.5ℎ时累计卖出的数量为12.5万手，可判断选项A ；利用待定系数法可求AC ，OB 解析式，可求点B 坐标，可得交易时间在1.5ℎ时累计卖出和累计买入的数量相等，可判断选项B ；由图象可得累计卖出的数量和累计买入的数量相差1万手的时刻有4个，可判断选项C ；由图象可得从点A 对应的时刻到点C 对应的时刻，实线在虚线的上方，即平均每小时累计卖出的数量小于买入的数量，可判断选项D ，即可求解．本题考查了函数的图象，一次函数图象上点的坐标特征，利用待定系数法求解析式，理解图象的点表示的具体意义是本题的关键． 13.【答案】1.109×107【解析】解：11 090000=1.109×107， 故答案是：1.109×107．科学记数法的表示形式为a ×10n 的形式，其中1≤|a|<10，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值>10时，n 是正数；当原数的绝对值<1时，n 是负数．此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a ×10n 的形式，其中1≤|a|<10，n 为整数，表示时关键要正确确定a 的值以及n 的值．14.【答案】π2【解析】解：∵Rt△ABC中，AB=AC，∴∠C=45°，∵BC=2√2，∴AC=2，∴弧AD的长为：45π×2180=π2；故答案为：π2．先根据等腰直角三角形的性质可得∠C=45°，根据弧长公式计算即可．本题考查弧长公式，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．15.【答案】13【解析】解：在这三种物质中，碳酸钠只有与足量盐酸发生化学反应可产生二氧化碳气体；锌与盐酸发生化学反应可产生氢气；铜只有与浓盐酸发生化学反应可产生氢气；所以能够与盐酸发生化学反应产生气体的概率是13，故答案为：13．先分别判断出三种物质能与盐酸发生化学反应产生气体的种类数，再根据概率公式求解可得．本题主要考查概率公式，解题的关键是掌握能与盐酸发生反应产生气体的种类．16.【答案】√17【解析】解：在Rt△ABC中，AC=√AB2−BC2=4，∵Rt△ACB≌Rt△EFA，∴AF=BC=3，EF=AC=4，∴FC=AC−AF=1，∴CE=√EF2+CF2=√17，故答案为：√17．根据勾股定理求出AC，根据全等三角形的性质得到AF=BC=3，EF=AC=4，求出FC，根据勾股定理计算，得到答案．本题考查的是勾股定理、全等三角形的性质，掌握勾股定理、全等三角形的对应边相等是解题的关键．17.【答案】245【解析】解：如图，连接DF，BE，∵四边形OABC是矩形，四边形BDEF是矩形，∴OC=AB，BE=DF，∠BAO=∠BDE=∠DEF=90°，∵BD=OC，∴BD=AB，又∵BE=BE，∴Rt△BDE≌Rt△BAE(HL)∴AE=DE=2，∴EG=√AE2+AG2=√4+94=52，∵∠DEO+∠AEG=90°，∠EDO+∠DEO=90°，∴∠AEG=∠EDO，又∵∠EOD=∠EAG=90°，∴△DEO∽△EGA，∴AGOE =EGDE，∴32OE=522，∴OE=65，∴OA=2+65=165，∴点G(165,32 )，∵反比例函数y=kx(k≠0)的图象经过点G，∴k=165×32=245，故答案为：245．如图，连接DF，BE，由“HL”可证Rt△BDE≌Rt△BAE，可得AE=DE=2，由勾股定理可求EG，通过证明△DEO∽△EGA，可得AGOE =EGDE，可求OE的长，即可求点G坐标，代入解析式可求k的值．本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，全等三角形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，矩形的性质等知识，求出点G的坐标是本题的关键．18.【答案】√21−√3【解析】解：如图，∵∠ACB=90°，AB=2AC，∴cos∠CAB=ACAB =12，∴∠CAB=60°，∴tan∠CAB=BCAC=√3，∴AC=√3，∴AB=2√3，∵AF平分∠BAC，∴∠BAF=∠CAF=30°，∵BF//AC，∴∠BFA=∠FAC=30°，∠FBC=∠BCA=90°，∴AB=BF=2√3，∴FC=√BC2+FB2=√12+9=√21，∵将△ACE沿CE翻折，得到△A′CE，∴AC=A′C=√3，∴点A′在以点C为圆心，AC为半径的圆上，则当点A′在FC上时，A′F有最小值，∴A′F最小值为√21−√3，故答案为：√21−√3．先求出AC=√3，AB=2√3，由平行线的性质和角平分线的性质可求AB=BF=2√3，由勾股定理可求CF的长，由点A′在以点C为圆心，AC为半径的圆上，则当点A′在FC 上时，A′F有最小值，即可求解．本题考查了翻折变换，锐角三角函数，直角三角形的性质等知识，求出CF的长是本题的关键．19.【答案】解：(1)√25+(13)−1−π0−(−1)=5+3−1+1=8；(2)(m+9m+6)÷m2−9m+6=m2+6m+9m+6×m+6m2−9=(m+3)2m+6×m+6(m+3)(m−3)=m+3m−3．【解析】(1)分别按照求算术平方根、负整数指数幂、零次幂和去括号的法则化简，再进行有理数的加减法运算即可；(2)将括号内的部分通分，同时将分式的除法变成乘法，再进行因式分解，然后约分即可．本题考查了分式的混合运算及实数的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．20.【答案】证明：(1)∵AB=AC，∠A=36°，∴∠ABC=∠C=72°，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠DBC=36°，∠A=36°，∴BD=AD，即△ABD是等腰三角形；(2)∵点E是AB的中点，∴AE=EB，∴∠DEB=90°，∴∠BDE=90°−36°=54°．【解析】(1)根据等腰三角形的性质和三角形内角和得出∠DBC=36°，进而根据等腰三角形的判定解答即可；(2)根据等腰三角形的性质和三角形内角和解答即可．此题考查等腰三角形的判定和性质，关键是据等腰三角形的性质和三角形内角和得出∠DBC=36°解答．21.【答案】15.5【解析】解：(1)∵2≤x<14的有5+18=23(人)，一线城市在14<x≤20这一组的是：15，15，16，17，17，17，17，18，18，20，在一线城市和三线城市的志愿者中随机选取了50人参加LES测试，∴a=(15+16)÷2=15.5，故答案为：15.5；(3)在这次测试中，一线城市的志愿者甲和三线城市的志愿者乙的得分均为15分，三线城市的志愿者乙在各自城市选取的志愿者中得分排名更靠前，理由：∵一线城市的志愿者甲的中位数是15.5，三线城市的志愿者乙的中位数是14，∴在这次测试中，三线城市的志愿者乙在各自城市选取的志愿者中得分排名更靠前；=800(人)，(4)2000×3+1750答：估计一线城市全部2000名志愿者中有800人需要进行心理干预．(1)根据统计图和统计表中的数据和一线城市在14<x≤20这一组的数据，可以求得a 的值；(2)根据统计表中的数据可以得到甲、乙在各自城市选取的志愿者中得分排名谁更靠前；(3)根据统计图中的数据和题目中的数据可以计算出一线城市全部2000名志愿者中有多少人需要进行心理干预的人数．本题考查频数分布直方图、用样本估计总体、中位数，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．22.【答案】1 5 1函数的最大值为5 x<22【解析】解：(1)x =−2、0、3分别代入y =5x 2+1，得a =5(−2)2+1=1，b =502+1=5，c =532+1=12故答案为1，5，12； (2)该函数的图象如图：函数的性质：该函数关于y 轴对称，函数的最大值为5；故答案函数关于y 轴对称，函数的最大值为5； (3)由图形可知，不等式5x 2+1>x −1的解集是x <2． 故答案为x <2．(1)把x =−2、0、3分别代入y =5x 2+1，即可求出a 、b 、c 的值； (2)根据表中的数据，描点连线、画出函数的图象； (3)根据图象即可求出不等式5x 2+1>x −1的解集．本题考查了一次函数的图象与性质，一次函数与一元一次不等式，利用数形结合思想，正确画出函数的图象是解题的关键．23.【答案】解：(1)设用于该社区家庭的口罩有x 个，则用于社区工作人员的口罩有(5000−x)个，依题意，得：5000−x ≥1.5x ， 解得：x ≤2000．答：用于该社区家庭的口罩最多有2000个．(2)依题意，得：200(1+a%)×10(1−a%)+(5000−200×10)(1+1.5a%)=5000×(1+20%)，整理，得：a 2−225a +5000=0，解得：a 1=25，a 2=200(不合题意，舍去)． 答：a 的值为25．【解析】(1)设用于该社区家庭的口罩有x 个，则用于社区工作人员的口罩有(5000−x)个，根据用于社区工作人员的口罩个数应不少于用于社区家庭口罩个数的1.5倍，即可得出关于x 的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论；(2)根据3月份该社区对口罩的总需求量比2月份增加了20%，即可得出关于a 的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．本题考查了一元二次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：(1)根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式；(2)找准等量关系，正确列出一元二次方程．24.【答案】解：(1)∵(15,20)=5，(4,8)=4，∴原方程变形为：5x +4y =99， ∴x =99−4y 5，∴99−4y 是5的倍数， ∴当y =1时，x =19， ∴{x =19y =1 是原方程的解； (2)∵5x +4y =99的有整数解，∴{x =19y =1，{x =15y =6，{x =11y =11，{x =7y =16，{x =3y =21， ∴原方程有5组正整数解．【解析】(1)先化简原方程，由材料可求解； (2)先求出原方程的整数解，即可求解．本题考查了二元一次方程的解，一元一次方程的解，理解题意是本题的关键． 25.【答案】(1)解：如图1中，∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD//BC ，∴∠DAF =∠AFB ， ∵AF 平分∠BAD ， ∴∠DAF =∠BAF ， ∴∠BAF =∠AFB ， ∴AB =BF =3，∵AB =AE ，∠BAE =90°， ∴BE =√2AB =3√2．(2)证明：连接EF ，过点G 作GH ⊥EF 交EF 的延长线于H.设BG =a ，FG =b ．∵AB =AE ，∠BAE =90°，BG =GE ， ∴AG ⊥BE ，AG =GB =GE ， ∴AB =√2BG =√2a ， ∵BF =AB =√2a ，∴BF 2=2a 2，BG ⋅BE =2a 2， ∴BF 2=BG ⋅BE ， ∴BFBG =BEBF ， ∵∠FBG =∠EBF ，∴△GBF∽△FBE，∴GFEF =BGBF=√22，∠BFG=∠BEF，∴EF=√2GF=√2b，∵∠BAF=∠BFA，∠GAF=∠BFG，∴∠AFG=∠BAG=45°，∠GAF=∠GEF，∴∠AGE=∠AFE=90°，∴∠GFH=45°，∵GH⊥EH，∴GH=FH=√22b，∴EH=FH+EF=3√22b，∴EG=√GH2+EH2=√5b，∴AB=AE=√2GE=√10b，∴AB=√10GF．(3)解：如图3中，在AC上取一点T，使得AT=AB，连接BT，TM，取BT的中点J，连接NJ．∵△ABT，△BEM都是等腰直角三角形，∴BT=√2AB，BM=√2BE，∠ABT=∠EBM=45°，∴ABBT =BEBM，∠ABE=∠TBM，∴△ABE∽△TBM，∴TMAE =ABBT=√22，∠AEB=∠BMT，∵∠AEB+∠BET=180°，∴∠BMT+∠BET=180°，∴∠EBM+∠ETM=180°，∵∠EBM=∠ETB=45°，∴∠ETM=135°，∠BTM=90°，∵BJ=JT，BN=NM，∴NJ//TM，NJ=12TM，∴∠BJN=∠BTM=90°，∴点N的运动轨迹是线段JN，JN=12TM=√22AE，∵点E从A运动到C时，AE=AC=n，∴m=√22n，∴nm=√2．【解析】(1)证明AB=BF，再利用等腰直角三角形的性质求解即可．(2)连接EF，过点G作GH⊥EF交EF的延长线于H.设BG=a，FG=b.利用相似三角形的性质证明EF=√2GF，想办法求出AB(用b表示)即可解决问题．(3)如图3中，在AC上取一点T，使得AT=AB，连接BT，TM，取BT的中点J，连接NJ.首先证明NJ//TM，NJ=12TM，推出∠BJN=∠BTM=90°，推出点N的运动轨迹是线段JN，JN=12TM=√22AE，由此即可解决问题．本题属于四边形综合题，考查了平行四边形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，解直角三角形，三角形中位线定理，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会利用参数解决问题，属于中考压轴题．26.【答案】解：(1)令x=0，则y=3，∴C(0,3)，∴OC=3．令y=0，则−18x2+14x+3=0，解得：x1=−4，x2=6，∴A(−4,0)，B(6,0)，∴OA=4，OB=6．∵CD⊥AC，∴∠ACD=90°，∵CO⊥AD，∴OC2=OA⋅OD，∴OD=94，∴D(94,0)．(2)∵y=−18x2+14x+3=−18(x−1)2+258，∴E(1,258).如图2，连接OE、BE，作HG⊥x轴于点G，交BE于点P．由B、E两点坐标可求得直线BE的解析式为：y=−58x+154．设H(m,−18m2+14m+3)，则P(m,−58m+154).∴HG=−18m2+14m+3，HP=y H−y P=−18m2+78m−34．∴S△BHE=12(x B−x E)⋅HP=52(−18m2+78m−34)=−516m2+3516m−158．∵FH⊥CD，AC⊥CD，∴AC//FH，∴∠HFG=∠CAO，∵∠AOC=∠FGH=90°，∴△ACO∼△FHG，∴FGHG =OAOC=43，∴FG=43HG=−16m2+13m+4，∴AF=AG−FG=m+4+16m2−13m−4=16m2+23m，∴S△AFC=12AF⋅OC=32(16m2+32m)=14m2+m，∵S四边形ACEB =S△ACO+S△OCE+S△OEB=12×4×3+12×3×1+126×258=1358，∴S五边形FCEHB =S四边形ACEB+S△BHE−S△AFC=1358+(−516m2+3516m−158)−(14m2+m)=−916m2+1916m+15=−916(m−1918)2+9001576，∴当m=1918时，S五边形FCEHB取得最大值9001576．此时，H的横坐标为1918．(3)∵B(6,0)，C(0,3)，D(94,0)，∴CD=BD=154，BC=3√5，∴∠DCB=∠DBC．①如图3−1，△CMN≌△DCB，MN交y轴于K，则CM=CN=DC=DB=154，MN=BC=3√5，∠CMN=∠CNM=∠DBC=∠DCB，∴MN//AB，∴MN ⊥y 轴，∴∠CKN =∠COB =90°，MK =NK =12MN =3√52， ∴△CKN ∼△COB ，∴CKCN =COCB =√55， ∴CK =3√54，∴OK =OC +CK =12+3√54， ∴N(3√52,12+3√54). ②如图3−2，△MCN≌△DBC ，则CN =CB =3√5，∠MCN =∠DBC ，∴CN//AB ，∴N(3√5,3)．③如图3−3，△CMN≌△DBC ，则∠CMN =∠DCB ，CM =CN =DC =DB =154，MN =BC =3√5， ∴MN//CD ，作MR ⊥y 轴于R ，则CR CO =RM OB =CMCB =√54， ∴CR =3√54，RM =3√52，∴OR =3−3√54， 作MQ//y 轴，NQ ⊥MQ 于点Q ，则∠NMQ =∠DCO ，∠NQM =∠DOC =90°，∴△COD ∼△MQN ，∴MQ NQ =CO DO =43，∴MQ =45MN =12√55，NQ =35MN =9√55， ∴NQ −RM =3√510，OR +MQ =60+33√520， ∴N(−3√5,60+33√5). 综上所述，满足要标的N 点坐标有：(3√52,12+3√54)、(3√5,3)、(−3√510,60+33√520).【解析】(1)先根据抛物线解析式求出A 、B 、C 的坐标，由射影定理可得OD 长度，从而求出D 点坐标；(2)设H 点的横坐标为m ，然后将五边形FCEHB 的面积表示成关于m 的二次函数，利用配方法可求得面积的最大值以及对应的H 点坐标；(3)由B 、C 、D 的坐标可以求得DC 、DB 、BC 的长度，然后分类讨论，分别画出符合要求的对应图形进行计算即可．本题为二次函数综合题，主要考查了二次函数的基本性质、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等重要知识点，综合性强，难度较大，属于中考压轴题．对于第(2)问，利用割补法表示出五边形的面积是难点，也是解答的关键；对于第(3)问，依次画出对应图形并识别出各种情形下的数量关系是解答的要点所在．。
2020年重庆市北碚区春招数学试卷
的长是
．
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18．（4 分）（2020•北碚区自主招生）如图，在平行四边形 ABCD 中，AB＝2，∠ABC＝45
°，点 E 为射线 AD 上一动点，连接 BE，将 BE 绕点 B 逆时针旋转 60°得到 BF，连接
AF，则 AF 的最小值是
．
三.解答题：（本大题 7 个小题，每小题 10 分，共 70 分）解答时每小题必须给出必要的演 算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应
a
分析数据：
平均数
中位数
众数
开学初抽取学生成绩
16
b
17
学期末抽取学生成绩
18
18.5
19
根据以上信息，解答下列问题：
（1）直接写出图表中 a、b 的值，并补全条形统计图；
（2）假设该校九年级学生都参加了两次测试，估计该校学期末成绩优秀的学生人数比开
学初成绩优秀的学生人数增加了多少？
（3）小莉开学初测试成绩 16 分，学期末测试成绩 19 分，根据抽查的相关数据，请选择
的位置上．
19．（10 分）（2020•北碚区自主招生）（1）解方程组
．
（2）计算：（x+ ）÷
．
20．（10 分）（2020•北碚区自主招生）如图，在平行四边形 ABCD 中，E、F 分别是 DA、 BC 延长线上的点，且∠ABE＝∠CDF． 求证：（1）△ABE≌△CDF； （2）四边形 EBFD 是平行四边形．
A．4
B．8
C．12
D．16
11．（4 分）（2020•北碚区自主招生）若数 a 使关于 x 的分式方程 + ＝1 有非负整
2020年重庆市南岸区春招数学试卷
2020年重庆市南岸区春招数学试卷一、选择题（本大题12个小题，每小题4分，共48分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑．1．（4分）在下列各数中，比﹣1小的数是（）A．0B．1C．2D．﹣22．（4分）计算（2x）3的结果是（）A．8x3B．8x C．6x3D．2x33．（4分）下列命题是真命题的是（）A．等边三角形是中心对称图形B．等腰三角形是轴对称图形C．等腰直角三角形是中心对称图形D．直角三角形是轴对称图形4．（4分）如图，小树AB在路灯O的照射下形成投影BC．若树高AB＝2m，树影BC＝3m，树与路灯的水平距离BP＝4.5m．则路灯的高度OP为（）A．3m B．4m C．4.5m D．5m5．（4分）下列整数中，与9﹣最接近的是（）A．4B．5C．6D．76．（4分）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AB与⊙C相切于点D，若AB＝6，则CD的长为（）A．B．C．3D．37．（4分）按照如图所示的流程，若输出的M＝3，则输入的m为（）A．﹣1B．0C．1D．38．（4分）2020年5月以来，各地根据疫情防控工作需要，对重点人群进行核酸检测．为尽快完成检测任务，某地组织甲、乙两支医疗队，分别开展检测工作，甲队比乙队每小时多检测15人，甲队检测600人比乙队检测500人所用的时间少10%．若设甲队每小时检测x人，根据题意，可列方程为（）A．＝×（1﹣10%）B．×（1﹣10%）＝C．＝×（1﹣10%）D．×（1﹣10%）＝9．（4分）在△ABC中，∠ACB为钝角．用直尺和圆规在边AB上确定一点D．使∠ADC＝2∠B，则符合要求的作图痕迹是（）A．B．C．D．10．（4分）如图，某校教学楼AB后方有一斜坡，斜坡与教学楼剖面在同一平面内，已知斜坡CD的长为6m，坡度i＝1：0.75，教学楼底部到斜坡底部的水平距离AC＝8m，在教学楼顶部B点测得斜坡顶部D点的俯角为46°，则教学楼的高度约为（）（参考数据：sin46°≈0.72，cos46°≈0.69，tan46°≈1.04）A．12.1m B．13.3m C．16.9m D．18.1m11．（4分）如图，把△ABC纸片沿DE，EF，DG折叠后，A，B，C三点都与BC边上的点M重合，得到矩形DEFG，连接DF，若△DGM和△DMF均是等腰三角形，DG＝1，则△ABC的周长为（）A．4+2+2B．2+4+2C．2+2+4D．4+212．（4分）如图，点A与点B关于原点对称，点C在第四象限，∠ACB＝90°．点D是x 轴正半轴上一点，AC平分∠BAD，E是AD的中点，反比例函数y＝（k＞0）的图象经过点A，E．若△ACE的面积为6，则k的值为（）A．4B．6C．8D．12二、填空题（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上．15题图13．（4分）不等式组的解集是．14．（4分）据了解，重庆市为确保2020年完成3万个5G基站建设目标的顺利完成，3月1日已经建设开通5G基站数超过10100个．请把数10100用科学记数法表示为．15．（4分）在如图所示的电路图中，当随机闭合开关K1，K2，K3中的两个时，能够让灯泡发光的概率为．16．（4分）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝2．分别以点B，A为圆心，以BC长为半径画弧，交AB于点D，E，交AC于点F，则图中的阴影部分的面积为．（用含π的代数式表示）17．（4分）在一段长为1000m的笔直道路AB上，甲、乙两名运动员分别从A，B两地出发进行往返跑训练．已知甲比乙先出发30秒钟，甲距A点的距离y/m与其出发的时间x/分钟的函数图象如图所示．乙的速度是200m/分钟，当乙到达A点后立即按原速返回B 点．当两人第二次相遇时，乙跑的总路程是m．18．（4分）滴滴快车是一种便捷的出行工具，某地的计价规则如表：计费项目里程费时长费远途费单价2元/公里0.3元/分钟1元/公里注：车费由里程费、时长费、远途费三部分构成，其中里程费按行车的实际里程计算；时长费按行车的实际时间计算；远途费的收取方式为：行车里程7公里以内（含7公里）不收远途费，超过7公里的，超出部分每公里收1元．小李与小张分别从不同地点，各自同时乘坐滴滴快车，到同一地点相见，已知到达约定地点时他们的实际行车里程分别为7公里与9公里，两人付给滴滴快车的乘车费相同．其中一人先到达约定地点，他等候另一人的时间等于他自己实际乘车时间，且恰好是另一人实际乘车时间的一半，则小李的乘车费为元．三、解答题（本大题7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形，请将解答过程书写在答题卡对应的位置上．19．（10分）计算：（1）（2x+y）（x+y）+（x﹣y）2；（2）（a﹣）÷．20．（10分）如图，AB∥CD，AD与BC相交于点E，AF平分∠BAD，交BC于点F，交CD的延长线于点G．（1）若∠G＝29°，求∠ADC的度数；（2）若点F是BC的中点，求证：AB＝AD+CD．21．（10分）经历疫情复学后，学校开展了多种形式的防疫知识讲座，并举行了全员参加的“防疫”知识竞赛，试卷题目共10题，每题10分．现分别从七年级1，2，3班中各随机抽取10名同学的成绩（单位：分）．收集整理数据如下：分析数据：平均数中位数众数1班83a802班83b c3班d8080根据以上信息回答下列问题：（1）请直接写出表格中a，b，c，d的值；（2）比较这三组样本数据的平均数、中位数和众数，你认为哪个班的成绩比较好？请说明理由（一条理由即可）；（3）为了让学生重视安全知识的学习，学校将给竞赛成绩满分的同学颁发奖状，该校七年级学生共120人，试估计需要准备多少张奖状？22．（10分）已知函数y＝k|x+2|+b的图象经过点（﹣2，4）和（﹣6，﹣2），完成下面问题：（1）求函数y＝k|x+2|+b的表达式；（2）在给出的平面直角坐标系中，请用适当的方法画出这个函数的图象，并写出这个函数的一条性质；（3）已知函数y＝x+1的图象如图所示，结合你所画出y＝k|x+2|+b的图象，直接写出k|x+2|+b＞x+1的解集．23．（10分）在疫情期间，某地推出线上名师公益大课堂，为广大师生、其他社会人士提供线上专业知识学习、心理健康疏导．参与学习第一批公益课的人数达到2万人，因该公益课社会反响良好，参与学习第三批公益课的人数达到2.42万人．参与学习第二批、第三批公益课的人数的增长率相同．（1）求这个增长率；（2）据大数据统计，参与学习第三批公益课的人数中，师生人数在参与学习第二批公益课的师生人数的基础上增加了80%；但因为已经部分复工，其他社会人士的人数在参与学习第二批公益课的其他社会人士人数的基础上减少了60%．求参与学习第三批公益课的师生人数．24．（10分）对于任意一个四位数，我们可以记为，即＝1000a+100b+10c+d．若规定：对四位正整数进行F运算，得到整数F（）＝a4+b3+c2+d1．例如，F （1249）＝14+23+42+91＝34；F（2020）＝24+03+22+01＝20．（1）计算：F（2137）；（2）当c＝e+2时，证明：F（）﹣F（）的结果一定是4的倍数；（3）求出满足F（）＝98的所有四位数．25．（10分）如图，在平面直角坐标系内，点A，B的坐标分别为（1，0），（0，2），AC⊥AB，且AB＝AC，直线BC交x轴于点D，抛物线y＝ax2+bx+2经过点A，B，D．（1）求直线BC和抛物线y＝ax2+bx+2的函数表达式；（2）点P是直线BD下方的抛物线上一点，求△PCD面积的最大值，以及△PCD面积取得最大值时，点P的坐标；（3）若点P的坐标为（2）小题中，△PCD的面积取得最大值时对应的坐标．平面内存在直线l，使点B，D，P到该直线的距离都相等，请直接写出所有满足条件的直线l的函数表达式．四、解答题（本大题1个小题，共8分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．26．（8分）如图1，在正方形ABCD中，点E是边BC上一点，连接AE，过点E作EM⊥AE，交对角线AC于点M，过点M作MN⊥AB，垂足为N，连接NE．（1）求证：AE＝NE+ME；（2）如图2，延长EM至点F，使EF＝EA，连接AF，过点F作FH⊥DC，垂足为H．猜想CH与FH存在的数量关系，并证明你的结论；（3）在（2）的条件下，若点G是AF的中点，连接GH．当GH＝CH时，直接写出GH 与AC之间存在的数量关系．。
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2020年重庆市北碚区春招数学试卷一、选择题：（本大题12个小题，每小题4分，共48分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框浍黑．1．（4分）实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，则下列判断正确的是（）A．a＞0B．b＜1C．a＜b D．a＞﹣22．（4分）如图是由4个相同的小正方体组成的一个立体图形，其主视图是（）A．B．C．D．3．（4分）下列计算正确的是（）A．（x3）4＝x7B．x3•x2＝x5C．x+2x＝3x2D．x﹣2＝﹣4．（4分）下列命题正确的是（）A．过线段中点的直线上任意一点到线段两端的距离相等B．垂直于线段的直线上任意一点到线段两端的距离相等C．线段垂直平分线上任意一点到线段两端的距离相等D．线段垂直平分线上的点到线段上任意两点的距离相等5．（4分）按如图所示的运算程序，能使输出m的值为1的是（）A．x＝1，y＝1B．x＝2，y＝0C．x＝1，y＝2D．x＝3，y＝26．（4分）估计×+÷的值应在（）A．7和8之间B．8和9之间C．9和10之间D．10和11之间7．（4分）如图，AB是⊙O的直径，点P在BA的延长线上，P A＝AO，PD与⊙O相切于点D，BC⊥AB交PD的延长线于点C，若⊙O的半径为1，则BC的长是（）A．1.5B．2C．D．8．（4分）如图，在平面直角坐标系中，等腰Rt△ABC与等腰Rt△CDE关于原点O成位似关系，相似比为1：3，∠ACB＝∠CED＝90°，A、C、E是x轴正半轴上的点，B、D是第一象限的点，BC＝2，则点D的坐标是（）A．（9，6）B．（8，6）C．（6，9）D．（6，8）9．（4分）如图，为加快5G网络建设，某通信公司在一个坡度i＝1：2.4的山坡AB上建了一座信号塔CD，信号塔底端C到山脚A的距离AC＝13米，在距山脚A水平距离18米的E处，有一高度为10米的建筑物EF，在建筑物顶端F处测得信号塔顶端D的仰角为37°（信号塔及山坡的剖面和建筑物的剖面在同一平面上），则信号塔CD的高度约是（）（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）A．22.5米B．27.5米C．32.5米D．45.0米10．（4分）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点B、D在反比例函数y═（k＞0）的图象上，对角线AC与BD相交于坐标原点O，若点A（﹣1，2），菱形的边长为5，则k的值是（）A ．4B ．8C ．12D ．1611．（4分）若数a 使关于x 的分式方程+＝1有非负整数解，且使关于y 的不等式组至少有3个整数解，则符合条件的所有整数a 的和是（ ） A ．﹣5B ．﹣3C ．0D ．212．（4分）二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ，b ，c 为常数，a ≠0，c ＞0）的自变量x 与函数值y 的部分对应值如表：x … ﹣1 0 1 2 3 … y ＝ax 2+bx +c…ptnt…有下列结论：①b ＞0；②关于x 的方程ax 2+bx +c ＝0的两个根是0和3；③p +2t ＜0；④m （am +b ）≤﹣4a ﹣c （m 为任意实数）．其中正确结论的个数是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的橫线上． 13．（4分）计算：（3﹣π）0﹣＝．14．（4分）代数式有意义，则x 的取值范围是 ．15．（4分）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠A ＝50°，AB ＝10，D 是AB 的中点，以点C 为圆心，CD 长为半径画弧，交BC 于点E ，则图中阴影部分的面积是 ．（结果保留π）16．（4分）点A 的坐标是A （x ，y ），从1、2、3这三个数中任取一个数作为x 的值，再从余下的两个数中任取一个数作为y 的值．则点A 落在直线y ＝﹣x +5与直线y ＝x 及y 轴所围成的封闭区域内（含边界）的概率是 ．17．（4分）如图，在等腰△ABC中，AB＝AC＝2，∠ABC＝30°，AD为BC边上的高，E、F分别为AB、AC边上的点，将△ABC分别沿DE、DF折叠，使点B落在DA的延长线上点M处，点C落在点N处，连接MN，若MN∥AC，则AF的长是．18．（4分）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝2，∠ABC＝45°，点E为射线AD上一动点，连接BE，将BE绕点B逆时针旋转60°得到BF，连接AF，则AF的最小值是．三.解答题：（本大题7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．19．（10分）（1）解方程组．（2）计算：（x+）÷．20．（10分）如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别是DA、BC延长线上的点，且∠ABE＝∠CDF．求证：（1）△ABE≌△CDF；（2）四边形EBFD是平行四边形．21．（10分）某校为提高学生体考成绩，对全校300名九年级学生进行一分种跳绳训练．为了解学生训练效果，学校体育组在九年级上学期开学初和学期末分别对九年级学生进行一分种跳绳测试，学生成绩均为整数，满分20分，大于18分为优秀．现随机抽取了同一部分学生的两次成绩进行整理、描述和分析．（成绩得分用x表示，共分成五组：A．x＜13，B.13≤x＜15，C.15≤x＜17，D.17≤x＜19，E.19≤x≤20）开学初抽取学生的成绩在D组中的数据是：17，17，17，17，17，18，18．学期末抽取学生成绩统计表学生成绩A组B组C组D组E组人数0145a 分析数据：平均数中位数众数开学初抽取学生成绩16b17学期末抽取学生成绩1818.519根据以上信息，解答下列问题：（1）直接写出图表中a、b的值，并补全条形统计图；（2）假设该校九年级学生都参加了两次测试，估计该校学期末成绩优秀的学生人数比开学初成绩优秀的学生人数增加了多少？（3）小莉开学初测试成绩16分，学期末测试成绩19分，根据抽查的相关数据，请选择一个合适的统计量评价小莉的训练效果．22．（10分）某数学小组对函数y1＝图象和性质进行探究．当x＝4时，y1＝0．（1）当x＝5时，求y1的值；（2）在给出的平面直角坐标系中，补全这个函数的图象，并写出这个函数的一条性质；（3）进一步探究函数图象并解决问题：已知函数y2＝﹣的图象如图所示，结合函数y1的图象，直接写出不等式y1≥y2的解集．23．（10分）某商场销售A、B两种新型小家电，A型每台进价40元，售价50元，B型每台进价32元，售价40元，4月份售出A型40台，且销售这两种小家电共获利不少于800元．（1）求4月份售出B型小家电至少多少台？（2）经市场调查，5月份A型售价每降低1元，销量将增加10台；B型售价每降低1元，销量将在4月份最低销量的基础上增加15台．为尽可能让消费者获得实惠，商场计划5月份A、B两种小家电都降低相同价格，且希望销售这两种小家电共获利965元，则这两种小家电都应降低多少元？24．（10分）对任意一个两位数m，如果m等于两个正整数的平方和，那么称这个两位数m为“平方和数”，若m ＝a2+b2（a、b为正整数），记A（m）＝ab．例如：29＝22+52，29就是一个“平方和数”，则A（29）＝2×5＝10．（1）判断25是否是“平方和数”，若是，请计算A（25）的值；若不是，请说明理由；（2）若k是一个“平方和数”，且A（k）＝，求k的值．25．（10分）如图，一个二次函数的图象经过点A（0，1），它的顶点为B（1，3）．（1）求这个二次函数的表达式；（2）过点A作AC⊥AB交抛物线于点C，点P是直线AC上方抛物线上的一点，当△APC面积最大时，求点P 的坐标和△APC的面积最大值．四、解答题：（本大题1个小题，共8分）解答时必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括作辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．26．（8分）如图1，在正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E为线段BO上一点，连接CE，将CE绕点C顺时针旋转90°得到CF，连接EF交CD于点G．（1）若AB＝4，BE＝，求△CEF的面积．（2）如图2，线段FE的延长线交AB于点H，过点F作FM⊥CD于点M，求证：BH+MG＝BE；（3）如图3，点E为射线OD上一点，线段FE的延长线交直线CD于点G，交直线AB于点H，过点F作FM 垂直直线CD于点M，请直接写出线段BH、MG、BE的数量关系．2020年重庆市北碚区春招数学试卷试题解析一、选择题：（本大题12个小题，每小题4分，共48分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框浍黑．1．解：由数轴可得：a＜﹣2，故选项A错误；b＞1，故选项B错误；a＜b，故选项C正确；a＜﹣2，故选项D错误；故选：C．2．解：从正面看有两层，底层两个正方形，上层左边一个正方形，左齐．故选：A．3．解：A、（x3）4＝x12，故本选项错误；B、x3•x2＝x5，故本选项正确；C、x+2x＝3x，故本选项错误；D、x﹣2＝，故本选项错误；故选：B．4．解：A、线段垂直平分线上任意一点到线段两端的距离相等，原命题是假命题；B、线段垂直平分线上任意一点到线段两端的距离相等，原命题是假命题；C、线段垂直平分线上任意一点到线段两端的距离相等，是真命题；D、线段垂直平分线上任意一点到线段两端的距离相等，原命题是假命题；故选：C．5．解：A、当x＝1，y＝1时，m＝x﹣y＝1﹣1＝0，不符合题意；B、当x＝2，y＝0时，m＝x﹣y＝2﹣0＝2，不符合题意；C、当x＝1，y＝2时，m＝﹣2x+y＝﹣2+2＝0，不符合题意；D、当x＝3，y＝2时，m＝x﹣y＝3﹣2＝1，符合题意．故选：D．6．解：×+÷＝+＝4+，∵3＜＜4，∴7＜4+＜8，∴×+÷的值应在7和8之间；故选：A．7．解：连接OD，∵PC切⊙O于D，∴∠ODP＝90°，∵⊙O的半径为1，P A＝AO，AB是⊙O的直径，∴PO＝1+1＝2，PB＝1+1+1＝3，OD＝1，∴由勾股定理得：PD＝＝＝，∵BC⊥AB，AB过O，∴BC切⊙O于B，∵PC切⊙O于D，∴CD＝BC，设CD＝CB＝x，在Rt△PBC中，由勾股定理得：PC2＝PB2+BC2，即（+x）2＝32+x2，解得：x＝，即BC＝，故选：D．8．解：∵等腰Rt△ABC与等腰Rt△CDE关于原点O成位似关系，∴△ACB∽△CED，∵相似比为1：3，∴＝，即＝，解得，DE＝6，∵△CED为等腰直角三角形，∴CE＝DE＝6，∵BC∥DE，∴△OCB∽△OED，∴＝，即＝，解得，OC＝3，∴OE＝OC+CE＝3+6＝9，∴点D的坐标为（9，6），故选：A．9．解：如图，过点F作FH⊥DC于点H，延长DC交EA于点G，则四边形EFHG是矩形，∴FH＝GE，CG＝EF，∵AB的坡度i＝1：2.4，AC＝13，∴CG＝5，AG＝12，∴CH＝GH﹣CG＝10﹣5＝5，∴GE＝AG+AE＝12+18＝30，∴在Rt△DCF中，∠DFC＝37°，FH＝GE＝30，∴DH＝FH•tan37°≈30×0.75≈22.5，∴CD＝DH+CH≈22.5+5≈27.5（米）．所以信号塔CD的高度约是27.5米．故选：B．10．解：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∵点A（﹣1，2），∴OA＝，∵菱形的边长为5，∴AD＝5，∴OD＝＝2，∵对角线AC与BD相交于坐标原点O，∴直线AC的解析式为y＝﹣2x，∴BD的解析式为y＝x，设D（a，a），∴a2+（a）2＝20，∴a＝4（负值舍去），∴D（4，2），∵D在反比例函数y═（k＞0）的图象上，∴k＝2×4＝8，故选：B．11．解：由①得y＞﹣8，由②得y≤a，∴不等式组的解集为：﹣8＜y≤a，∵关于y的不等式组至少有3个整数解，∴a≥﹣5，解分式方程+＝1，得x＝，∵关于x的分式方程+＝1有非负整数解，且≠3，∴a≤4且a≠﹣2且a为偶数；∴﹣5≤a≤4且a≠﹣2且a为偶数，∴满足条件的整数a为﹣4，0，2，4，∴所有整数a的和＝﹣4+0+2+4＝2，故选：D．12．解：∵当x＝0和x＝2时，y＝t，∴对称轴为：x＝，∴当x＝3和x＝﹣1时，y的值相等，∴p＝0，∴x＝﹣1，x＝3是方程ax2+bx+c＝0的两个根，故②正确；∵当x＝0时，y＝t，且c＞0，∴t＝c＞0，∴p+2t＝0+2t＞0，故③错误；∵x＝2，y＝t＞0，x＝3，y＝0，∴在对称轴的右边，y随x的增大而减小，∴a＜0，∵x＝﹣，∴b＝﹣2a＞0，故①正确；∵当x＝3时，y＝0，∴9a+3b+c＝0，∴3a+c＝0，∴c＝﹣3a，∴﹣4a﹣c＝﹣4a+3a＝﹣a，∵顶点坐标为（1，n），a＜0，∴am2+bm+c≤a+b+c，∴am2+bm≤a+b，∴am2+bm≤﹣a，∴am2+bm≤﹣4a﹣c，故④正确，故选：C．二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的橫线上．13．解：（3﹣π）0﹣＝1﹣2＝﹣1．故答案为：﹣1．14．解：由题意得，x﹣4＞0，解得，x＞4，故答案为：x＞4．15．解：∵∠ACB＝90°，D是AB的中点，∴DA＝DC＝DB＝AB＝5，∵∠B＝90°﹣∠A＝90°﹣50°＝40°，∴∠DCB＝∠B＝40°，∴图中阴影部分的面积＝＝π．故答案为π．16．解：解方程组得，∴直线y＝﹣x+5与直线y＝x的交点坐标为（3，2），如图，画树状图为：共有6种等可能的结果数，其中点A落在直线y＝﹣x+5与直线y＝x及y轴所围成的封闭区域内（含边界）的点为（1，2），（1，3），（2，3），（3，2），所以点A落在直线y＝﹣x+5与直线y＝x及y轴所围成的封闭区域内（含边界）的概率＝＝．故答案为．17．解：如图，过点D作DH⊥AC于H，∵AB＝AC＝2，∠ABC＝30°，AD为BC边上的高，∴∠C＝30°，AD＝AC＝1，∠DAC＝60°，BD＝CD，∵MN∥AC，∴∠DAC＝∠DMN＝60°，∵DH⊥AF，∴∠ADH＝30°，∴AH＝AD＝，DH＝AH＝，∵将△ABC分别沿DE、DF折叠，∴DN＝DC，DB＝DM，∠CDF＝∠NDF，∴DM＝DN，∴△DMN是等边三角形，∴∠MDN＝60°，∴∠CDN＝30°，∴∠CDF＝15°，∵DH⊥AF，∴∠HDF＝∠HFD＝45°，∴DH＝HF＝，∴AF＝AH+HF＝，故答案为：．18．解：如图，以AB为边向下作等边△ABK，连接EK，在EK上取一点T，使得AT＝TK．∵BE＝BF，BK＝BA，∠EBF＝∠ABK＝60°，∴∠ABF＝∠KBE，∴△ABF≌△KBE（SAS），∴AF＝EK，根据垂线段最短可知，当KE⊥AD时，KE的值最小，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∵∠ABC＝45°，∴∠BAD＝180°﹣∠ABC＝135°，∵∠BAK＝60°，∴∠EAK＝75°，∵∠AEK＝90°，∴∠AKE＝15°，∵TA＝TK，∴∠TAK＝∠AKT＝15°，设AE＝a，则AT＝TK＝2a，ET＝a，在Rt△AEK中，∵AK2＝AE2+EK2，∴a2+（2a+a）2＝2，∴a＝，∴EK＝2a+a＝，∴AF的最小值为．故答案为．三.解答题：（本大题7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．19．解：（1），①+②，得4x＝12，解得，x＝3，将x＝3代入①，得y＝﹣1，故原方程组的解为；（2）（x+）÷＝＝＝＝．20．证明：（1）∵四边形ABD是平行四边形，∴AB＝CD，∠BAD＝∠DCB，∴∠BAE＝∠DCF，在△ABE和△CDF中，，∴△ABE≌△CDF（ASA）；（2）∵△ABE≌△CDF，∴AE＝CF，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，∴AD+AE＝BC+CF，即DE＝BF，∴四边形EBFD是平行四边形．21．解：（1）开学初抽取的学生总数为：2＝20，∴a＝20﹣0﹣1﹣4﹣5＝10，开学初抽取学生中B组人数为：20﹣2﹣3﹣4﹣7＝4，由此可知开学初所抽取学生的成绩A、B、C组共有2+3+4＝9人，则将所抽取的20人的成绩由小到大排列，位于第10位和第11位的成绩都位于D组，∵D组中的数据是：17，17，17，17，17，18，18．∴中位数b＝＝17，补全统计图如下：（2）根据题意得，300×＝90，答：该校学期末成绩优秀的学生人数比开学初成绩优秀的学生人数增加了90人；（3）从平均数看，小莉开学初测试成绩等于开学初抽取学生成绩的平均数16分，学期末测试成绩19分高于学期末所抽取学生成绩的平均数18分，因此小莉一分钟跳绳练习达到郎的效果；从中位数来看，小莉开学初测试成绩16分低于开学初抽取学生成绩的中位数17分，学期末测试成绩19分高于学期末抽取学生成绩的中位数18，5分，因此小莉一分钟跳绳练习达到郎的效果．22．解：（1）由题意x＝0时，y1＝0，∴16+4b+8＝0，∴b＝﹣6，∴x＝5时，y1＝25﹣6×5+8＝3．（2）函数图象如图所示：性质：x＜3时，y随x的增大而减小，x＞3时，y随x的增大而增大．（3）观察图形可知：不等式y1≥y2的解集为：x≤﹣2或x＞0．23．解：（1）设4月份售出B型小家电x台，根据题意，得（50﹣40）×40﹣（40﹣32）x≥800．解得x≥50．答：4月份售出B型小家电至少50台；（2）设两种型号的小家电都降价y元，根据题意得：（50﹣y﹣40）（40+10y）+（40﹣y﹣32）（50+15y）＝965．整理，得5y2﹣26y+33＝0．解得y1＝3，y2＝2.2．为了让消费者得到更多的实惠，所以y＝3符合题意．答：两种型号的小家电都降价3元．24．解：（1）25是“平方和数”．∵25＝32+42，∴A（25）＝3×4＝12；（2）设k＝a2+b2，则A（k）＝ab，∵A（k）＝，∴ab＝，∴2ab＝a2+b2﹣4，∴a2﹣2ab+b2＝4，∴（a﹣b）2＝4，∴a﹣b＝±2，即a＝b+2或b＝a+2，∵a、b为正整数，k为两位数，∴当a＝1，b＝3或a＝3，b＝1时，k＝10；当a＝2，b＝4或a＝4，b＝2时，k＝20；当a＝3，b＝5或a＝5，b＝3时，k＝34；当a＝4，b＝6或a＝6，b＝4时，k＝52；当a＝5，b＝7或a＝7，b＝5时，k＝74；综上，k的值为：10或20或34或52或74．25．解：（1）∵抛物线的顶点为B（1，3），∴设这个二次函数的表达式为y＝a（x﹣1）2+3，∵二次函数的图象经过点A（0，1），∴a（0﹣3）2+3＝1，解得：a＝﹣2，∴这个二次函数的表达式为y＝﹣2（x﹣1）2+3，即y＝﹣2x2+4x+1；（2）∵AC⊥AB，A（0，1），∴直线AC的解析式为y＝﹣x+1，由，解得：或，∴C（，﹣），过P作PQ∥y轴交AC于Q，设P（t，﹣2t2+4t+1），则Q（t，﹣t+1），∴PQ＝（﹣2t2+4t+1）﹣（﹣t+1）＝﹣2t2+t，∴S△APC＝PQ|x C﹣x A|＝（﹣2t2+t）（﹣0）＝﹣（t﹣）2+，∴当t＝时，S△APC有最大值，此时，P（，）．四、解答题：（本大题1个小题，共8分）解答时必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括作辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．26．（1）解：在正方形ABCD中，AB＝4，∴AO＝CO＝OB＝2，∵BE＝，∴OE＝，∵AC⊥BD，∴∠COE＝90°，∴CE＝＝＝，由旋转得：CE＝CF，∠ECF＝90°，∴△CEF的面积＝＝＝5；（2）证明：如图2，过E作EN⊥AB于N，作EP⊥BC于P，∵EP⊥BC，FM⊥CD，∴∠EPC＝∠FMC＝90°，∵∠BCD＝∠ECF＝90°，∴∠PCE＝∠MCF，∵CE＝CF，∴△CPE≌△CMF（AAS），∴EP＝FM，∵EP⊥BC，EN⊥AB，BE平分∠ABC，∴EP＝EN，∴EN＝FM，∵FM⊥CD，∴∠FMG＝∠ENH＝90°，∵AB∥CD，∴∠NHE＝∠MGF，∴△NHE≌△MGF（AAS），∴NH＝MG，∴BH+MG＝BH+NH＝BN，∵△BEN是等腰直角三角形，∴BN＝BE，∴BH+MG＝BE；（3）解：BH﹣MG＝BE，理由是：如图3，过E作EN⊥AB于N，交CG于P，∵EP⊥BC，FM⊥CD，AB∥CD，∴EP⊥CD，∴∠EPC＝∠FMC＝90°，∵∠M＝∠ECF＝90°，∴∠ECP+∠FCM＝∠FCM+∠CFM＝90°，∴∠ECP＝∠CFM，∵CE＝CF，∴△CPE≌△FMC（AAS），∴PC＝FM，∵△DPE是等腰直角三角形，∴PE＝PD，∴EN＝BN＝PN+PE＝BC+PE＝CD+PD＝PC＝FM，∵AB∥CD，∴∠H＝∠FGM，∵∠ENH＝∠M＝90°，∴△HNE≌△GMF（AAS），∴NH＝MG，∴BH﹣MG＝BH﹣NH＝BN，∵△BEN是等腰直角三角形，∴BN＝BE，∴BH﹣MG＝BE．。
2020年重庆市长寿区九年级春招数学试题
10．如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的两点，且BC平分∠ABD，AD分别与BC，OC相交于点E，F，则下列结论不一定成立的是()
A．OC∥BDB．AD⊥OCC．△CEF≌△BEDD．AF=FD
11．关于 的一元二次方程 的两个实数根的平方和为12，则 的值为（ ）
A． B． C． 或 D． 或
22．为了加快“智慧校园”建设，某市准备为试点学校采购一批 、 两种型号的一体机，经过市场调查发现，今年每套 型一体机的价格比每套 型一体机的价格多0.6万元，且用960万元恰好能购买500套 型一体机和200套 型一体机.
（1）求今年每套 型、 型一体机的价格各是多少万元
（2）该市明年计划采购 型、 型一体机1100套，考虑物价因素，预计明年每套 型一体机的价格比今年上涨25%，每套 型一体机的价格不变，若购买 型一体机的总费用不低于购买 型一体机的总费用，那么该市明年至少需要投入多少万元才能完成采购计划？
直接利用二次根式的性质化简得出答案．
【详解】
解：原式 ．
故答案为：
【点睛】
此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确掌握二次根式的性质是解题关键．
14．
【解析】
【分析】
直接作出 ，再利用平行线的性质分析得出答案．
【详解】
作 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ， ，
∴ ， ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】
本题考查了平行线的判定与性质，正确得出 ， 是解题关键．
（1）本次随机调查了多少名学生？
（2）补全条形统计图中“书画”、“戏曲”的空缺部分；
（3）若该校共有 名学生，请估计全校学生选择“戏曲”类的人数；
重庆市北碚区2020年中考数学春招模拟试卷(含解析)
重庆市北碚区2020年中考数学春招模拟试卷一、选择题（共12小题）.1．（4分）﹣2的相反数是（）A．2 B．﹣2 C．D．2．（4分）如图所示的主视图和俯视图，其对应的几何体（阴影所示如图）可以是下列（）A．B．C．D．3．（4分）二次根式中x的取值范围是（）A．x＞2 B．x＜2且x≠0 C．x≤2 D．x≤2且x≠0 4．（4分）下列说法正确的是（）A．方差越大，数据波动越小B．了解重庆市中学生的视力和用眼卫生情况适合采用全面调查C．抛掷一枚硬币，正面向上是必然事件D．用长为3cm，5cm，9cm的三条线段围成一个三角形是不可能事件5．（4分）如图，在△ABC中，DE∥BC，＝，记△ADE的面积为S1，四边形DBCE的面积为S2，则的值是（）A．B．C．D．6．（4分）下列各命题都成立，而它们的逆命题不能成立的是（）A．两直线平行，同位角相等B．全等三角形的对应角相等C．四边相等的四边形是菱形D．直角三角形中，斜边的平方等于两直角边的平方和7．（4分）如图，⊙O为△ABC的外接圆，BD为⊙O的直径，过点D作⊙O的切线交BC延长线于点E．若∠DAC＝20°，则∠E的度数是（）A．20°B．70°C．40°D．50°8．（4分）从1、2、3、4四个数中随机选取两个不同的数，分别记为a，c，则二次函数y ＝ax2+4x+c与x轴有两个不同交点的概率为（）A．B．C．D．9．（4分）如图，在某山坡前有一电视塔．小明在山坡坡脚P处测得电视塔顶端M的仰角为60°，在点P处小明沿山坡向上走39m到达D处，测得电视塔顶端M的仰角为30°．已知山坡坡度i＝1：2.4，请你计算电视塔的高度ME约为（）m．（结果精确到0.1m，参考数据：≈1.732）A．59.8 B．58.8 C．53.7 D．57.910．（4分）如图，四边形OABC为平行四边形，A在x轴上，且∠AOC＝60°，反比例函数y ＝（k＞0）在第一象限内过点C，且与AB交于点E．若E为AB的中点，且S△OCE＝8，则OC的长为（）A．8 B．4 C．D．11．（4分）若关于x的分式方程﹣＝有正数解，且关于y的不等式组无解，则满足条件的所有整数a的个数是（）A．5 B．4 C．3 D．212．（4分）如图，在矩形ABCD中，已知AB＝3，点E是BC边的中点，连接AE，△AB1E和△ABE关于AE所在直线对称，B1在对角线BD上．若∠CB1D＝90°，则B1D的长为（）A．6B．3C．D．二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）13．计算：（3﹣π）0﹣＝．14．代数式有意义，则x的取值范围是．15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝50°，AB＝10，D是AB的中点，以点C为圆心，CD长为半径画弧，交BC于点E，则图中阴影部分的面积是．（结果保留π）16．点A的坐标是A（x，y），从1、2、3这三个数中任取一个数作为x的值，再从余下的两个数中任取一个数作为y的值．则点A落在直线y＝﹣x+5与直线y＝x及y轴所围成的封闭区域内（含边界）的概率是．17．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC＝2，∠ABC＝30°，AD为BC边上的高，E、F分别为AB、AC边上的点，将△ABC分别沿DE、DF折叠，使点B落在DA的延长线上点M处，点C落在点N处，连接MN，若MN∥AC，则AF的长是．18．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝2，∠ABC＝45°，点E为射线AD上一动点，连接BE，将BE绕点B逆时针旋转60°得到BF，连接AF，则AF的最小值是．三.解答题：（本大题7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．19．（1）解方程组．（2）计算：（x+）÷．20．如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别是DA、BC延长线上的点，且∠ABE＝∠CDF．求证：（1）△ABE≌△CDF；（2）四边形EBFD是平行四边形．21．某校为提高学生体考成绩，对全校300名九年级学生进行一分种跳绳训练．为了解学生训练效果，学校体育组在九年级上学期开学初和学期末分别对九年级学生进行一分种跳绳测试，学生成绩均为整数，满分20分，大于18分为优秀．现随机抽取了同一部分学生的两次成绩进行整理、描述和分析．（成绩得分用x表示，共分成五组：A．x＜13，B.13≤x＜15，C.15≤x＜17，D.17≤x＜19，E.19≤x≤20）开学初抽取学生的成绩在D组中的数据是：17，17，17，17，17，18，18．学期末抽取学生成绩统计表学生成绩A组B组C组D组E组人数0 1 4 5 a 分析数据：平均数中位数众数开学初抽取学生成绩16 b17学期末抽取学生成绩18 18.5 19根据以上信息，解答下列问题：（1）直接写出图表中a、b的值，并补全条形统计图；（2）假设该校九年级学生都参加了两次测试，估计该校学期末成绩优秀的学生人数比开学初成绩优秀的学生人数增加了多少？（3）小莉开学初测试成绩16分，学期末测试成绩19分，根据抽查的相关数据，请选择一个合适的统计量评价小莉的训练效果．22．某数学小组对函数y1＝图象和性质进行探究．当x＝4时，y1＝0．（1）当x＝5时，求y1的值；（2）在给出的平面直角坐标系中，补全这个函数的图象，并写出这个函数的一条性质；（3）进一步探究函数图象并解决问题：已知函数y2＝﹣的图象如图所示，结合函数y1的图象，直接写出不等式y1≥y2的解集．23．某商场销售A、B两种新型小家电，A型每台进价40元，售价50元，B型每台进价32元，售价40元，4月份售出A型40台，且销售这两种小家电共获利不少于800元．（1）求4月份售出B型小家电至少多少台？（2）经市场调查，5月份A型售价每降低1元，销量将增加10台；B型售价每降低1元，销量将在4月份最低销量的基础上增加15台．为尽可能让消费者获得实惠，商场计划5月份A、B两种小家电都降低相同价格，且希望销售这两种小家电共获利965元，则这两种小家电都应降低多少元？24．对任意一个两位数m，如果m等于两个正整数的平方和，那么称这个两位数m为“平方和数”，若m＝a2+b2（a、b为正整数），记A（m）＝ab．例如：29＝22+52，29就是一个“平方和数”，则A（29）＝2×5＝10．（1）判断25是否是“平方和数”，若是，请计算A（25）的值；若不是，请说明理由；（2）若k是一个“平方和数”，且A（k）＝，求k的值．25．如图，一个二次函数的图象经过点A（0，1），它的顶点为B（1，3）．（1）求这个二次函数的表达式；（2）过点A作AC⊥AB交抛物线于点C，点P是直线AC上方抛物线上的一点，当△APC 面积最大时，求点P的坐标和△APC的面积最大值．四、解答题：（本大题1个小题，共8分）解答时必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括作辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．26．如图1，在正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E为线段BO上一点，连接CE，将CE绕点C顺时针旋转90°得到CF，连接EF交CD于点G．（1）若AB＝4，BE＝，求△CEF的面积．（2）如图2，线段FE的延长线交AB于点H，过点F作FM⊥CD于点M，求证：BH+MG＝BE；（3）如图3，点E为射线OD上一点，线段FE的延长线交直线CD于点G，交直线AB于点H，过点F作FM垂直直线CD于点M，请直接写出线段BH、MG、BE的数量关系．参考答案一、选择题：（本大题12个小题，每小题4分，共48分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框浍黑．1．【解答】解：﹣2的相反数是：﹣（﹣2）＝2，故选：A．2．【解答】解：A、B、D选项的主视图符合题意；C选项的主视图和俯视图都不符合题意，D选项的俯视图符合题意，综上：对应的几何体为D选项中的几何体．故选：D．3．【解答】解：依题意得：2﹣x≥0且x≠0．解得x≤2且x≠0．故选：D．4．【解答】解：A、方差越大，数据波动越大，本选项说法错误；B、了解重庆市中学生的视力和用眼卫生情况适合采用抽样调查，本选项说法错误；C、抛掷一枚硬币，正面向上是随机事件，本选项说法错误；D、用长为3cm，5cm，9cm的三条线段围成一个三角形是不可能事件，本选项说法正确；故选：D．5．【解答】解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∵＝，∴＝，∴＝，∴9S1＝4S1+4S2，∴5S1＝4S2，∴＝．故选：A．6．【解答】解：A、逆命题是同位角相等，两直线平行，成立；B、逆命题是对应角相等的三角形是全等三角形，不成立；C、逆命题是菱形是四边相等的四边形，成立；D、逆命题是一条边的平方等于另外两条边的平方和的三角形是直角三角形，成立．故选：B．7．【解答】解：∵DE是⊙O的切线，∴∠BDE＝90°，由圆周角定理得，∠DBE＝∠DAC＝20°，∴∠E＝90°﹣20°＝70°，故选：B．8．【解答】解：画树状图得：由树形图可知：一共有12种等可能的结果，其中使判别式△＝16﹣4ac＞0，即ac＜4的有4种结果，∴二次函数y＝ax2+4x+c与x轴有两个不同交点的概率为＝；故选：B．9．【解答】解：如图，作DC⊥EP延长线于点C，作DF⊥ME于点F，作PH⊥DF于点H，则DC＝PH＝FE，DH＝CP，HF＝PE，∵山坡坡度i＝DC：CP＝1：2.4，PD＝39，设DC＝5x，则CP＝12x，根据勾股定理，得（5x）2+（12x）2＝392，解得x＝3，则DC＝15，CP＝36，∴DH＝CP＝36，FE＝DC＝15，设MF＝y，则ME＝MF+FE＝y+15，在Rt△DMF中，∠MDF＝30°，∴DF＝y，在Rt△MPE中，∠MPE＝60°，∴PE＝（y+15），∵DH＝DF﹣HF，∴y﹣（y+15）＝36，解得y＝7.5+18，∴ME＝MF+EF＝7.5+18+15≈53.7（m）．答：电视塔的高度ME约为53.7米．故选：C．10．【解答】解：过点C作CD⊥x轴于点D，过点E作EF⊥x轴于点F，如图：∵四边形OABC为平行四边形，∴OC＝AB，OC∥AB，∴∠EAF＝∠AOC＝60°，在Rt△COD中，∵∠DOC＝60°，∴∠DOC＝30°，设OD＝t，则CD＝t，OC＝AB＝2t，在Rt△EAF中，∵∠EAF＝60°，AE＝AB＝t，∴AF＝，EF＝AF＝t，∵点C与点E都在反比例函数y＝的图象上，∴OD×CD＝OF×EF，∴OF＝＝2t，∴OA＝2t﹣＝t，∴S四边形OABC＝2S△OCE，∴t×t＝2×8，∴解得：t＝（舍负），∴OC＝．故选：D．11．【解答】解：解方程﹣＝，得：x＝，∵分式方程的解为正数，∴2a﹣1＞0，即a＞，又x≠1，∴≠1，即a≠3，则a＞且a≠3，∵关于y的不等式组无解，∴2﹣a＞﹣2，解得：a＜4，综上，a的取值范围是＜a＜4，且a≠3，则符合题意的整数a的值有1，2，2个，故选：D．12．【解答】解：∵△AB1E和△ABE关于AE所在直线对称，∴AB＝AB1，EB＝EB1，∴AE垂直平分BB1，∴BF＝B1F，∵∠AFB＝∠DB1C＝90°，∴∠BAF+∠ABF＝∠ABF+∠EBF＝90°，∴∠BAF＝∠EBF，同理∠EBF＝∠DCB1，∴∠BAF＝∠DCB1，∵AB＝CD，∴△ABF≌△CDB1（AAS），∴BF＝B1D，∴F，B1是对角线BD的三等分点，∵∠DCB1＝∠BCD，∠DB1C＝∠DCB＝90°．∴△DB1C∽△DCB，∴，∴DC2＝DB1•DB，设DB1＝x，则DB＝3x，∴32＝x•3x，∴x＝，x＝﹣（舍去），∴B1D＝．故选：D．二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的橫线上．13．计算：（3﹣π）0﹣＝﹣1 ．【分析】本题涉及零指数幂、三次根式化简2个知识点．在计算时，需要针对每个知识点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．解：（3﹣π）0﹣＝1﹣2＝﹣1．故答案为：﹣1．14．代数式有意义，则x的取值范围是x＞4 ．【分析】根据二次根式有意义的条件、分式有意义的条件列出不等式，解不等式得到答案．解：由题意得，x﹣4＞0，解得，x＞4，故答案为：x＞4．15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝50°，AB＝10，D是AB的中点，以点C为圆心，CD长为半径画弧，交BC于点E，则图中阴影部分的面积是π．（结果保留π）【分析】利用斜边上的中线性质得到DA＝DC＝DB＝AB＝5，再计算出∠B得到∠DCB＝40°，然后利用扇形的面积公式计算．解：∵∠ACB＝90°，D是AB的中点，∴DA＝DC＝DB＝AB＝5，∵∠B＝90°﹣∠A＝90°﹣50°＝40°，∴∠DCB＝∠B＝40°，∴图中阴影部分的面积＝＝π．故答案为π．16．点A的坐标是A（x，y），从1、2、3这三个数中任取一个数作为x的值，再从余下的两个数中任取一个数作为y的值．则点A落在直线y＝﹣x+5与直线y＝x及y轴所围成的封闭区域内（含边界）的概率是．【分析】先解方程组得直线y＝﹣x+5与直线y＝x的交点坐标，画出图象，再画树状图展示所有6种等可能的结果数，找出其中点A落在直线y＝﹣x+5与直线y＝x及y轴所围成的封闭区域内（含边界）的点的个数，然后根据概率公式求解．解：解方程组得，∴直线y＝﹣x+5与直线y＝x的交点坐标为（3，2），如图，画树状图为：共有6种等可能的结果数，其中点A落在直线y＝﹣x+5与直线y＝x及y轴所围成的封闭区域内（含边界）的点为（1，2），（1，3），（2，3），（3，2），所以点A落在直线y＝﹣x+5与直线y＝x及y轴所围成的封闭区域内（含边界）的概率＝＝．故答案为．17．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC＝2，∠ABC＝30°，AD为BC边上的高，E、F分别为AB、AC边上的点，将△ABC分别沿DE、DF折叠，使点B落在DA的延长线上点M处，点C落在点N处，连接MN，若MN∥AC，则AF的长是．【分析】过点D作DH⊥AC于H，由等腰三角形的性质和直角三角形的性质可求∠C＝30°，AD＝AC＝1，∠DAC＝60°，BD＝CD，由折叠的性质可得DN＝DC，DB＝DM，∠CDF＝∠NDF，可证△DMN是等边三角形，可得∠MDN＝60°，由折叠的性质可求∠HDF＝∠HFD＝45°，由直角三角形的性质可求解．解：如图，过点D作DH⊥AC于H，∵AB＝AC＝2，∠ABC＝30°，AD为BC边上的高，∴∠C＝30°，AD＝AC＝1，∠DAC＝60°，BD＝CD，∵MN∥AC，∴∠DAC＝∠DMN＝60°，∵DH⊥AF，∴∠ADH＝30°，∴AH＝AD＝，DH＝AH＝，∵将△ABC分别沿DE、DF折叠，∴DN＝DC，DB＝DM，∠CDF＝∠NDF，∴DM＝DN，∴△DMN是等边三角形，∴∠MDN＝60°，∴∠CDN＝30°，∴∠CDF＝15°，∴∠DFH＝∠C+∠CDF＝45°，∵DH⊥AF，∴∠HDF＝∠HFD＝45°，∴DH＝HF＝，∴AF＝AH+HF＝，故答案为：．18．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝2，∠ABC＝45°，点E为射线AD上一动点，连接BE，将BE绕点B逆时针旋转60°得到BF，连接AF，则AF的最小值是．【分析】如图，以AB为边向下作等边△ABK，连接EK，在EK上取一点T，使得AT＝TK．证明△ABF≌△KBE（SAS），推出AF＝EK，根据垂线段最短可知，当KE⊥AD时，KE的值最小，解直角三角形求出EK即可解决问题．解：如图，以AB为边向下作等边△ABK，连接EK，在EK上取一点T，使得AT＝TK．∵BE＝BF，BK＝BA，∠EBF＝∠ABK＝60°，∴∠ABF＝∠KBE，∴△ABF≌△KBE（SAS），∴AF＝EK，根据垂线段最短可知，当KE⊥AD时，KE的值最小，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∵∠ABC＝45°，∴∠BAD＝180°﹣∠ABC＝135°，∵∠BAK＝60°，∴∠EAK＝75°，∵∠AEK＝90°，∴∠AKE＝15°，∵TA＝TK，∴∠TAK＝∠AKT＝15°，∴∠ATE＝∠TAK+∠AKT＝30°，设AE＝a，则AT＝TK＝2a，ET＝a，在Rt△AEK中，∵AK2＝AE2+EK2，∴a2+（2a+a）2＝2，∴a＝，∴EK＝2a+a＝，∴AF的最小值为．故答案为．三.解答题：（本大题7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．19．（1）解方程组．（2）计算：（x+）÷．【分析】（1）根据加减消元法可以解答此方程组；（2）根据分式的加法和除法可以解答本题．解：（1），①+②，得4x＝12，解得，x＝3，将x＝3代入①，得y＝﹣1，故原方程组的解为；（2）（x+）÷＝＝＝＝．20．如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别是DA、BC延长线上的点，且∠ABE＝∠CDF．求证：（1）△ABE≌△CDF；（2）四边形EBFD是平行四边形．【分析】（1）由ASA即可得出△ABE≌△CDF；（2）由全等三角形的性质得出AE＝CF，由平行四边形的性质得出AD∥BC，AD＝BC，证出DE＝BF，即可得出四边形EBFD是平行四边形．【解答】证明：（1）∵四边形ABD是平行四边形，∴AB＝CD，∠BAD＝∠DCB，∴∠BAE＝∠DCF，在△ABE和△CDF中，，∴△ABE≌△CDF（ASA）；（2）∵△ABE≌△CDF，∴AE＝CF，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，∴AD+AE＝BC+CF，即DE＝BF，∴四边形EBFD是平行四边形．21．某校为提高学生体考成绩，对全校300名九年级学生进行一分种跳绳训练．为了解学生训练效果，学校体育组在九年级上学期开学初和学期末分别对九年级学生进行一分种跳绳测试，学生成绩均为整数，满分20分，大于18分为优秀．现随机抽取了同一部分学生的两次成绩进行整理、描述和分析．（成绩得分用x表示，共分成五组：A．x＜13，B.13≤x＜15，C.15≤x＜17，D.17≤x＜19，E.19≤x≤20）开学初抽取学生的成绩在D组中的数据是：17，17，17，17，17，18，18．学期末抽取学生成绩统计表学生成绩A组B组C组D组E组人数0 1 4 5 a 分析数据：平均数中位数众数开学初抽取学生成绩16 b17学期末抽取学生成绩18 18.5 19根据以上信息，解答下列问题：（1）直接写出图表中a、b的值，并补全条形统计图；（2）假设该校九年级学生都参加了两次测试，估计该校学期末成绩优秀的学生人数比开学初成绩优秀的学生人数增加了多少？（3）小莉开学初测试成绩16分，学期末测试成绩19分，根据抽查的相关数据，请选择一个合适的统计量评价小莉的训练效果．【分析】（1）由A的两个统计图上的数据得抽取的学生人数，再用求得的总数减去学期末抽取学生成绩统计表中A、B、C、D的人数便可得E组的人数a的值，求出开学初抽取人数中成绩由小到大位于最中间的数据或中间两个数据的平均数便为中位数b的值；（2）用总人数300乘以学期末优秀学生数的百分比与开学初优秀学生数的百分比之差，便可得该校学期末成绩优秀的学生人数比开学初成绩优秀的学生人数增加的人数；（3）可比较再次测试成绩的中位数或平均数，进而得出小莉成绩上升情况的总结．解：（1）开学初抽取的学生总数为：2＝20，∴a＝20﹣0﹣1﹣4﹣5＝10，开学初抽取学生中B组人数为：20﹣2﹣3﹣4﹣7＝4，由此可知开学初所抽取学生的成绩A、B、C组共有2+3+4＝9人，则将所抽取的20人的成绩由小到大排列，位于第10位和第11位的成绩都位于D组，∵D组中的数据是：17，17，17，17，17，18，18．∴中位数b＝＝17，补全统计图如下：（2）根据题意得，300×＝90，答：该校学期末成绩优秀的学生人数比开学初成绩优秀的学生人数增加了90人；（3）从平均数看，小莉开学初测试成绩等于开学初抽取学生成绩的平均数16分，学期末测试成绩19分高于学期末所抽取学生成绩的平均数18分，因此小莉一分钟跳绳练习达到郎的效果；从中位数来看，小莉开学初测试成绩16分低于开学初抽取学生成绩的中位数17分，学期末测试成绩19分高于学期末抽取学生成绩的中位数18，5分，因此小莉一分钟跳绳练习达到郎的效果．22．某数学小组对函数y1＝图象和性质进行探究．当x＝4时，y1＝0．（1）当x＝5时，求y1的值；（2）在给出的平面直角坐标系中，补全这个函数的图象，并写出这个函数的一条性质；（3）进一步探究函数图象并解决问题：已知函数y2＝﹣的图象如图所示，结合函数y1的图象，直接写出不等式y1≥y2的解集．【分析】（1）思想利用待定系数法确定b的值，再求出x＝5时，y1的值即可．（2）画出x＜2时，y＝﹣x+2的图形即可．（3）利用图象法写出y1的图象在y2的上方时x的值即可．解：（1）由题意x＝0时，y1＝0，∴16+4b+8＝0，∴b＝﹣6，∴x＝5时，y1＝25﹣6×5+8＝3．（2）函数图象如图所示：性质：x＜3时，y随x的增大而减小，x＞3时，y随x的增大而增大．（3）观察图形可知：不等式y1≥y2的解集为：x＜﹣2或x＞0．23．某商场销售A、B两种新型小家电，A型每台进价40元，售价50元，B型每台进价32元，售价40元，4月份售出A型40台，且销售这两种小家电共获利不少于800元．（1）求4月份售出B型小家电至少多少台？（2）经市场调查，5月份A型售价每降低1元，销量将增加10台；B型售价每降低1元，销量将在4月份最低销量的基础上增加15台．为尽可能让消费者获得实惠，商场计划5月份A、B两种小家电都降低相同价格，且希望销售这两种小家电共获利965元，则这两种小家电都应降低多少元？【分析】（1）设4月份售出B型小家电x台，根据“销售这两种小家电共获利不少于800元”列出不等式并解答；（2）设两种型号的小家电都降价y元，根据“销售利润＝（售价﹣进价）×销售数量”列出方程并解答．解：（1）设4月份售出B型小家电x台，根据题意，得（50﹣40）×40﹣（40﹣32）x ≥800．解得x≥50．答：4月份售出B型小家电至少50台；（2）设两种型号的小家电都降价y元，根据题意得：（50﹣y﹣40）（40+10y）+（40﹣y﹣32）（50+15y）＝965．整理，得5y2﹣26y+33＝0．解得y1＝3，y2＝2.2．为了让消费者得到更多的实惠，所以y＝3符合题意．答：两种型号的小家电都降价3元．24．对任意一个两位数m，如果m等于两个正整数的平方和，那么称这个两位数m为“平方和数”，若m＝a2+b2（a、b为正整数），记A（m）＝ab．例如：29＝22+52，29就是一个“平方和数”，则A（29）＝2×5＝10．（1）判断25是否是“平方和数”，若是，请计算A（25）的值；若不是，请说明理由；（2）若k是一个“平方和数”，且A（k）＝，求k的值．【分析】（1）把25写成两个正整数的平方和，再根据A（m）＝ab求出A（25）便可；（2）设k＝a2+b2，则A（k）＝ab，根据（k）＝，得a、b的方程，求得a与b的关系式，进而由a、b、k满足的条件求得k的值便可．解：（1）25是“平方和数”．∵25＝32+42，∴A（25）＝3×4＝12；（2）设k＝a2+b2，则A（k）＝ab，∵A（k）＝，∴ab＝，∴2ab＝a2+b2﹣4，∴a2﹣2ab+b2＝4，∴（a﹣b）2＝4，∴a﹣b＝±2，即a＝b+2或b＝a+2，∵a、b为正整数，k为两位数，∴当a＝1，b＝3或a＝3，b＝1时，k＝10；当a＝2，b＝4或a＝4，b＝2时，k＝20；当a＝3，b＝5或a＝5，b＝3时，k＝34；当a＝4，b＝6或a＝6，b＝4时，k＝52；当a＝5，b＝7或a＝7，b＝5时，k＝74；综上，k的值为：10或20或34或52或74．25．如图，一个二次函数的图象经过点A（0，1），它的顶点为B（1，3）．（1）求这个二次函数的表达式；（2）过点A作AC⊥AB交抛物线于点C，点P是直线AC上方抛物线上的一点，当△APC 面积最大时，求点P的坐标和△APC的面积最大值．【分析】（1）根据题意设这个二次函数的表达式为y＝a（x﹣1）2+3，解方程即可得到结论；（2）根据已知条件得到直线AC的解析式为y＝﹣x+1，解方程组得到C（，﹣），得到PQ＝（﹣2t2+4t+1）﹣（﹣t+1）＝﹣2t2+t，根据三角形的面积公式和二次函数的性质即可得到结论．解：（1）∵抛物线的顶点为B（1，3），∴设这个二次函数的表达式为y＝a（x﹣1）2+3，∵二次函数的图象经过点A（0，1），∴a（0﹣3）2+3＝1，解得：a＝﹣2，∴这个二次函数的表达式为y＝﹣2（x﹣1）2+3，即y＝﹣2x2+4x+1；（2）∵AC⊥AB，A（0，1），∴直线AC的解析式为y＝﹣x+1，由，解得：或，∴C（，﹣），过P作PQ∥y轴交AC于Q，设P（t，﹣2t2+4t+1），则Q（t，﹣t+1），∴PQ＝（﹣2t2+4t+1）﹣（﹣t+1）＝﹣2t2+t，∴S△APC＝PQ|x C﹣x A|＝（﹣2t2+t）（﹣0）＝﹣（t﹣）2+，∴当t＝时，S△APC有最大值，此时，P（，）．四、解答题：（本大题1个小题，共8分）解答时必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括作辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．26．如图1，在正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E为线段BO上一点，连接CE，将CE绕点C顺时针旋转90°得到CF，连接EF交CD于点G．（1）若AB＝4，BE＝，求△CEF的面积．（2）如图2，线段FE的延长线交AB于点H，过点F作FM⊥CD于点M，求证：BH+MG＝BE；（3）如图3，点E为射线OD上一点，线段FE的延长线交直线CD于点G，交直线AB于点H，过点F作FM垂直直线CD于点M，请直接写出线段BH、MG、BE的数量关系．【分析】（1）如图1中，利用勾股定理计算CE的长，由旋转可知△CEF是等腰直角三角形，可得结论；（2）如图2，过E作EN⊥AB于N，作EP⊥BC于P，证明△CPE≌△CMF（AAS），得EP＝FM，由角平分线的性质得EP＝EN＝FM，证明△NHE≌△MGF（AAS），得NH＝MG，由△BEN 是等腰直角三角形，得BN＝BE，最后由线段的和可得结论；（3）如图3，构建辅助线，构建全等三角形，证明△CPE≌△FMC（AAS），得EP＝CM，PC＝FM，由△DPE是等腰直角三角形，得PE＝PD，证明△HNE≌△GMF（AAS），由△BEN 是等腰直角三角形，得BN＝BE，同理可得结论．【解答】（1）解：在正方形ABCD中，AB＝4，∴AO＝CO＝OB＝2，∵BE＝，∴OE＝，∵AC⊥BD，∴∠COE＝90°，∴CE＝＝＝，由旋转得：CE＝CF，∠ECF＝90°，∴△CEF的面积＝＝＝5；（2）证明：如图2，过E作EN⊥AB于N，作EP⊥BC于P，∵EP⊥BC，FM⊥CD，∴∠EPC＝∠FMC＝90°，∵∠BCD＝∠ECF＝90°，∴∠PCE＝∠MCF，∵CE＝CF，∴△CPE≌△CMF（AAS），∴EP＝FM，∵EP⊥BC，EN⊥AB，BE平分∠ABC，∴EP＝EN，∴EN＝FM，∵FM⊥CD，∴∠FMG＝∠ENH＝90°，∵AB∥CD，∴∠NHE＝∠MGF，∴△NHE≌△MGF（AAS），∴NH＝MG，∴BH+MG＝BH+NH＝BN，∵△BEN是等腰直角三角形，∴BN＝BE，∴BH+MG＝BE；（3）解：BH﹣MG＝BE，理由是：如图3，过E作EN⊥AB于N，交CG于P，∵EP⊥BC，FM⊥CD，AB∥CD，∴EP⊥CD，∴∠EPC＝∠FMC＝90°，∵∠M＝∠ECF＝90°，∴∠ECP+∠FCM＝∠FCM+∠CFM＝90°，∴∠ECP＝∠CFM，∵CE＝CF，∴△CPE≌△FMC（AAS），∴PC＝FM，∵△DPE是等腰直角三角形，∴PE＝PD，∴EN＝BN＝PN+PE＝BC+PE＝CD+PD＝PC＝FM，∵AB∥CD，∴∠H＝∠FGM，∵∠ENH＝∠M＝90°，∴△HNE≌△GMF（AAS），∴NH＝MG，∴BH﹣MG＝BH﹣NH＝BN，∵△BEN是等腰直角三角形，∴BN＝BE，∴BH﹣MG＝BE．。
2020年重庆市沙坪坝区春招数学试卷(有详细解析)
2020年重庆市沙坪坝区春招数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题（本大题共12小题，共48.0分）1.下列各数中，是负数的是()A. 0B. 2C. 5D. −32.汉字书法博大精深，下列汉字“行“的不同书写字体中，是轴对称图形的是()A. B. C. D.3.已知两个相似三角形的面积之比为4：9，则这两个相似三角形的对应边之比是()A. 16：81B. 4：9C. 9：4D. 2：34.一元二次方程2x2+5x+1=0的根的情况是()A. 有两个不相等的实数根B. 没有实数根C. 有两个相等的实数根D. 无法判断5.如图，AB与⊙O相切于点B，连结AO并延长交⊙O于点C，连结BC.若∠C=34°，则∠A的度数是()A. 17°B. 22°C. 34°D. 56°6.估计√19−2的值应在()A. 4和5之间B. 3和4之间C. 2和3之间D. 1和2之间7.以下尺规作图中，一定能得到线段AD=BD的是()A. B.C. D.8.在数轴上，点A、B在原点O的两侧，分别表示数a、2，将点A向右平移3个单位长度，得到点C.若CO=2BO，则a的值为()A. −1B. −7C. 1或−7D. 7或−19.若关于x的方程2xx−2−a−62−x=1的解为正数，则所有符合条件的正整数a的个数为()A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个10.把有理数a代入|a+4|−10得到a1，称为第一次操作，再将a1作为a的值代入得到a2，称为第二次操作，…，若a=23，经过第2020次操作后得到的是()A. −7B. −1C. 5D. 1111.如图，滑动调节式遮阳伞的立柱AC垂直于地面AB，P为立柱上的滑动调节点，伞体的截面示意图为△PDE，F为PD的中点，AC=2.8m，PD=2m，CF=1m，∠DPE=15°.根据生活经验，当太阳光线与PE垂直时，遮阳效果最佳，在上午10：00时，太阳光线与地面的夹角为65°，若要遮阳效果最佳AP的长约为()(参考数据：sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，sin50°≈0.77，cos50°≈0.64)A. 1.2mB. 1.3mC. 1.5mD. 2.0m12.近期，某国遭遇了近年来最大的经济危机，导致该国股市大幅震荡，昨天某支股票累计卖出的数量和交易时间之间的关系如图中虚线所示，累计买入的数量和交易时间之间的关系如图中实线所示，其中点A是实线和虚线的交点，点C是BE的中点，CD与横轴平行，则下列关于昨天该股票描述正确的是()A. 交易时间在3.5ℎ时累计卖出的数量为12万手B. 交易时间在1.4ℎ时累计卖出和累计买入的数量相等C. 累计卖出的数量和累计买入的数量相差1万手的时刻有5个D. 从点A对应的时刻到点C对应的时刻，平均每小时累计卖出的数量小于买入的数量二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）13.2020年5月22日，李克强总理在政府工作报告中指出，农村贫困人口减少11090000人，脱贫攻坚取得决定性成就，把数11090000用科学记数法表示为______．14.如图，Rt△ABC中，AB=AC，BC=2√2，以点C为圆心，CA长为半径画弧交BC于点D.则图中弧AD的长为______(结果保留π)．15.从碳酸钠、锌、铜这三种物质中任选一种，能够与盐酸发生化学反应产生气体的概率是______．16.清代数学家梅文鼎在《勾股举隅》一书中，用四个全等的直角三角形拼出正方形ABDE的方法证明了勾股定理(如图)，若Rt△ABC的斜边AB=5，BC=3，则图中线段CE的长为______．17. 如图，矩形OABC 的顶点A 、C 分别在x 轴、y 轴的正半轴上，点D 在边OC 上，且BD =OC ，以BD 为边向下作矩形BDEF ，使得点E 在边OA 上，反比例函数y =k x (k ≠0)的图象经过边EF 与AB 的交点G.若AG =32，DE =2，则k 的值为______．18. 如图，Rt △ABC 中，∠ACB =90°，AB =2AC ，BC =3，点E 是AB 上的点，将△ACE沿CE 翻折，得到△A′CE ，过点B 作BF//AC 交∠BAC 的平分线于点F ，连接A′F ，则A′F 长度的最小值为______．三、计算题（本大题共1小题，共10.0分）19. 计算：(1)√25+(13)−1−π0−(−1)；(2)(m +9m+6)÷m 2−9m+6．四、解答题（本大题共7小题，共68.0分）20. 如图，在△ABC 中，AB =AC ，∠A =36°，BD 平分∠ABC 交AC于点D ，点E 是AB 的中点，连结DE ．(1)求证：△ABD 是等腰三角形；(2)求∠BDE 的度数．21.为了解疫情对精神负荷造成的影响，某机构分别在一线城市和三线城市的志愿者中随机选取了50人参加LES测试，根据志愿者的答题情况计算出LES得分，并对得分进行整理，描述和分析，部分信息如下：一、三线城市志愿者得分统计表城市中位数平均数一线城市a17.6三线城市1417.2注：一线城市在14<x≤20中的得分是：15，15，16，17，17，17，17，18，18，20．根据以上信息，解答下列问题：(1)表中a的值为______；(2)得分越低反映个体承受的精神压力越小，排名越靠前，在这次调查中，一线城市的志愿者甲和三线城市的志愿者乙的得分均为15分，请判断甲、乙在各自城市选取的志愿者中得分排名谁更靠前，并说明理由；(3)如果得分超过平均数就需要进行心理干预，请估计一线城市全部2000名志愿者中有多少人需要进行心理干预？22.已知函数y=5，请根据已学知识探究该函数的x2+1图象和性质．(1)列表，写出表中a、b，c的值：a=______，b=______，c=______；x…−3−2−10123…一条性质：______；(3)已知函数y =x −1的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出不等式5x +1>x −1的解集：______．23. 抗击“新冠肺炎”疫情期间，口罩是重要的防护物资，今年2月，某社区根据实际需要，采购了5000个口罩，一部分用于社区家庭，其余部分用于社区工作人员． (1)为了保证社区抗疫工作顺利开展，用于社区工作人员的口罩个数应不少于用于社区家庭口罩个数的1.5倍，问用于该社区家庭的口罩最多有多少个？(2)据统计，2月份，该社区有200户家庭有口罩需求，平均每户需要10个，其余口罩刚好满足社区工作人员的抗疫需要，随着疫情的发展，3月份，该社区对口罩的总需求量比2月份增加了20%，需要口罩的家庭户数比2月份增加了a%，社区工作人员需要口罩的个数比2月份增如了1.5a%，同时，由于该社区加大了管控力度，平均每户家庭的口罩需求量减少了a%，求a 的值．24. 阅读下列材料：材料一：最大公约数是指两个或多个整数共有的约数中最大的一个．我们将两个整数a 、b 的最大公约数表示为(a,b)，如(12,18)=6；(7,9)=1．材料二：求7x +3y =11的一组整数解，主要分为三个步骤：第一步，用x 表示y ，得y =11−7x3；第二步，找一个整数x ，使得11−7x 是3的倍数，为更容易找到这样的x ，将11−7x 变形为12−9x +2x −1=3(4−3x)+2x −1，即只需2x −1是3的倍数即可，为此可取x =2；第三步，将x =2代入y =11−7x3，得y =−1.∴{x =2y =−1是原方程的一组整数解． 材料三：若关于x ，y 的二元一次方程ax +by =c(a,b ，c 均为整数)有整数解{x =x 0y =y 0，则它的所有整数解为{x =x 0+b(a,b)t y =y 0−a (a,b)t(t 为整数)． 利用以上材料，解决下列问题：(1)求方程(15,20)x +(4,8)y =99的一组整数解；(2)求方程(15,20)x +(4,8)y =99有几组正整数解．25.在▱ABCD中，AF平分∠BAD交BC于点F，∠BAC=90°，点E是对角线AC上的点，连结BE．(1)如图1.若AB=AE，BF=3，求BE的长；(2)如图2，若AB=AE，点G是BE的中点，∠FAG=∠BFG，求证：AB=√10FG；(3)如图3，以点E为直角顶点，在BE的右下方作等腰直角△BEM，若点E从点A出发，沿AC运动到点C停止，设在点E运动过程中，BM的中点N经过的路径长为m，AC的长为n，请直接写出nm的值．26.如图1，二次函数y=−18x2+14x+3的图象交x轴于A、B两点(点A在点B的左侧)，交y轴于C点，连结AC，过点C作CD⊥AC交AB于点D．(1)求点D的坐标；(2)如图2，已知点E是该二次函数图象的顶点，在线段AO上取一点F，过点F作FH⊥CD，交该二次函数的图象于点H(点H在点E的右侧)，当五边形FCEHB的面积最大时，求点H的横坐标；(3)如图3，在直线BC上取一点M(不与点B重合)，在直线CD的右上方是否存在这样的点N，使得以C、M、N为顶点的三角形与△BCD全等？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．答案和解析1.【答案】D【解析】解：A、0既不是正数，也不是负数，故选项错误；B、2是正数，故选项错误；C、5是正数，故选项错误；D、−3是负数，故选项正确．故选：D．根据有理数可分为正数，负数和零，可作出正确的选择．本题考查了有理数．能够准确理解有理数的概念，掌握有理数的分类是解题的关键．2.【答案】A【解析】解：A、是轴对称图形，故本选项符合题意；B、不是轴对称图形，故本选项不合题意；C、不是轴对称图形，故本选项不合题意；D、不是轴对称图形，故本选项不合题意．故选：A．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，根据轴对称图形的概念求解．本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．3.【答案】D【解析】解：∵相似三角形的面积的比等于相似比的平方．∴两个相似三角形的面积之比为4：9时，这两个相似三角形的对应边之比是2：3．故选：D．根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方即可得结论．本题考查了相似三角形的性质，解决本题的关键是掌握相似三角形的性质．4.【答案】A【解析】解：由题意可知：△=25−4×2×1=17>0，故选：A．根据根的判别式即可求出答案．本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．5.【答案】B【解析】解：如图，连接OB，∵AB与⊙O相切于点B，∴∠ABO=90°，∵OB=OC，∴∠OBC=∠C=34°，∴∠AOB=∠OBC+∠C=68°，∴∠A=180°−∠ABO−∠AOB=180°−90°−68°=22°，故选：B．连接OB，由切线的性质可得∠ABO=90°；利用圆的半径相等可得∠OBC=∠C=34°；利用三角形的外角性质可得∠AOB=68°；利用三角形的内角和定理可求得∠A的度数．本题考查了切线的性质、等腰三角形的判定与性质、三角形的外角性质及三角形的内角和定理等知识点，熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．6.【答案】C【解析】解：∵4<√19<5，∴2<√19−2<3，∴√19−2的值应在2和3之间；故选：C．先估算出4<√19<5，再根据不等式的性质估算出√19−2的值即可得出答案．本题考查了估算无理数的大小，利用被开方数越大算术平方根越大得出4<√19<5是解题关键，又利用了不等式的性质．7.【答案】D【解析】解：A、AD为BC边的高；B、AD为角平分线，C、D点为BC的中点，AD为BC边上的中线，D、点D为AB的垂直平分线与BC的交点，则DA=DB．故选：D．利用基本作图，前面三个作图AD分别为三角形高线、角平分线和中线，第四个作了AB 的垂直平分线，从而得到DA=DB．本题考查了作图−基本作图：熟练掌握5种基本作图(作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线).也考查了线段垂直平分线的性质．8.【答案】B【解析】解：∵B表示数2，∴CO=2BO=4，由题意得：|a+3|=4，∴a+3=±4，∴a=1或−7，∵点A、B在原点O的两侧，∴a=−7，故选：B．先由已知条件得CO的长，再根据绝对值的含义得关于a的方程，解得a即可．本题考查了数轴上的点所表示的数及绝对值的化简，根据题意正确列式，是解题的关键．9.【答案】B【解析】解：分式方程去分母得：2x+a−6=x−2，解得：x=4−a，由分式方程有正数解，得到4−a>0，且4−a≠2，解得：a<4且a≠2，∴所有符合条件的正整数a的个数为1，3，故选：B．分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有正数解确定出a的范围即可得到结论．此题考查了分式方程的解，熟练分式方程的解法是解本题的关键．10.【答案】A【解析】解：第1次操作，a1=|23+4|−10=17；第2次操作，a2=|17+4|−10=11；第3次操作，a3=|11+4|−10=5；第4次操作，a4=|5+4|−10=−1；第5次操作，a5=|−1+4|−10=−7；第6次操作，a6=|−7+4|−10=−7；第7次操作，a7=|−7+4|−10=−7；…第2020次操作，a2020=|−7+4|−10=−7．故选：A．先确定第1次操作，a1=|23+4|−10=17；第2次操作，a2=|17+4|−10=11；第3次操作，a3=|11+4|−10=5；第4次操作，a4=|5+4|−10=−1；第5次操作，a5=|−1+4|−10=−7；第6次操作，a6=|−7+4|−10=−7；…，后面的计算结果没有变化，据此解答即可．本题考查了绝对值和探索规律．解题的关键是先计算，再观察结果是按照什么规律变化的．探寻规律要认真观察、仔细思考，善用联想来解决这类问题．11.【答案】C【解析】解：如图，过点F作FG⊥AC于点G，根据题意可知：当太阳光线与PE垂直时，遮阳效果最佳，∴∠BEP=90°，∵∠A=90°，∠B=65°，∴∠EPA=360°−90°−90°−65°=115°，∵∠DPE=15°，∴∠APD=130°，∴∠CPF=50°，∵F为PD的中点，PD=1，∴DF=PF=12∴CF=PF=1，∴CP=2PG=2×PF⋅cos50°≈2×1×0.64≈1.28，∴AP=AC−PC=2.8−1.28≈1.5(m)．所以要遮阳效果最佳AP的长约为1.5米．故选：C．过点F 作FG ⊥AC 于点G ，根据题意可得，当太阳光线与PE 垂直时，遮阳效果最佳，即∠BEP =90°，再根据四边形内角和定理可得∠CPF 的度数，再根据锐角三角函数即可求出CP 的长，进而可得遮阳效果最佳时AP 的长．本题考查了解直角三角形的应用−坡度坡角问题，解决本题的关键是掌握坡度坡角定义． 12.【答案】D【解析】解：∵点B(3,5)，点E(4,20)，点C 是BE 的中点， ∴点C(72,252)，∴交易时间在3.5ℎ时累计卖出的数量为12.5万手，故A 选项不合题意； ∵直线OB 过点(0,0)，点B(3,5)， ∴直线OB 解析式为：y =53x ， ∵直线AC 过点(1,0)，点C(72,252)， ∴直线AC 解析式为：y =5x −5， 联立方程组可得{y =53xy =5x −5，∴{x =32y =52∴交易时间在1.5ℎ时累计卖出和累计买入的数量相等，故B 选项不合题意； 由图象可得累计卖出的数量和累计买入的数量相差1万手的时刻有4个，故C 选项不合题意，由图象可得从点A 对应的时刻到点C 对应的时刻，实线在虚线的上方，即平均每小时累计卖出的数量小于买入的数量，故D 选项符合题意， 故选：D ．由中点坐标公式可求点C 坐标，可得交易时间在3.5ℎ时累计卖出的数量为12.5万手，可判断选项A ；利用待定系数法可求AC ，OB 解析式，可求点B 坐标，可得交易时间在1.5ℎ时累计卖出和累计买入的数量相等，可判断选项B ；由图象可得累计卖出的数量和累计买入的数量相差1万手的时刻有4个，可判断选项C ；由图象可得从点A 对应的时刻到点C 对应的时刻，实线在虚线的上方，即平均每小时累计卖出的数量小于买入的数量，可判断选项D ，即可求解．本题考查了函数的图象，一次函数图象上点的坐标特征，利用待定系数法求解析式，理解图象的点表示的具体意义是本题的关键． 13.【答案】1.109×107【解析】解：11 090000=1.109×107， 故答案是：1.109×107．科学记数法的表示形式为a ×10n 的形式，其中1≤|a|<10，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值>10时，n 是正数；当原数的绝对值<1时，n 是负数．此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a ×10n 的形式，其中1≤|a|<10，n 为整数，表示时关键要正确确定a 的值以及n 的值．14.【答案】π2【解析】解：∵Rt△ABC中，AB=AC，∴∠C=45°，∵BC=2√2，∴AC=2，∴弧AD的长为：45π×2180=π2；故答案为：π2．先根据等腰直角三角形的性质可得∠C=45°，根据弧长公式计算即可．本题考查弧长公式，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．15.【答案】13【解析】解：在这三种物质中，碳酸钠只有与足量盐酸发生化学反应可产生二氧化碳气体；锌与盐酸发生化学反应可产生氢气；铜只有与浓盐酸发生化学反应可产生氢气；所以能够与盐酸发生化学反应产生气体的概率是13，故答案为：13．先分别判断出三种物质能与盐酸发生化学反应产生气体的种类数，再根据概率公式求解可得．本题主要考查概率公式，解题的关键是掌握能与盐酸发生反应产生气体的种类．16.【答案】√17【解析】解：在Rt△ABC中，AC=√AB2−BC2=4，∵Rt△ACB≌Rt△EFA，∴AF=BC=3，EF=AC=4，∴FC=AC−AF=1，∴CE=√EF2+CF2=√17，故答案为：√17．根据勾股定理求出AC，根据全等三角形的性质得到AF=BC=3，EF=AC=4，求出FC，根据勾股定理计算，得到答案．本题考查的是勾股定理、全等三角形的性质，掌握勾股定理、全等三角形的对应边相等是解题的关键．17.【答案】245【解析】解：如图，连接DF，BE，∵四边形OABC是矩形，四边形BDEF是矩形，∴OC=AB，BE=DF，∠BAO=∠BDE=∠DEF=90°，∵BD=OC，∴BD=AB，又∵BE=BE，∴Rt△BDE≌Rt△BAE(HL)∴AE=DE=2，∴EG=√AE2+AG2=√4+94=52，∵∠DEO+∠AEG=90°，∠EDO+∠DEO=90°，∴∠AEG=∠EDO，又∵∠EOD=∠EAG=90°，∴△DEO∽△EGA，∴AGOE =EGDE，∴32OE=522，∴OE=65，∴OA=2+65=165，∴点G(165,32 )，∵反比例函数y=kx(k≠0)的图象经过点G，∴k=165×32=245，故答案为：245．如图，连接DF，BE，由“HL”可证Rt△BDE≌Rt△BAE，可得AE=DE=2，由勾股定理可求EG，通过证明△DEO∽△EGA，可得AGOE =EGDE，可求OE的长，即可求点G坐标，代入解析式可求k的值．本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，全等三角形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，矩形的性质等知识，求出点G的坐标是本题的关键．18.【答案】√21−√3【解析】解：如图，∵∠ACB=90°，AB=2AC，∴cos∠CAB=ACAB =12，∴∠CAB=60°，∴tan∠CAB=BCAC=√3，∴AC=√3，∴AB=2√3，∵AF平分∠BAC，∴∠BAF=∠CAF=30°，∵BF//AC，∴∠BFA=∠FAC=30°，∠FBC=∠BCA=90°，∴AB=BF=2√3，∴FC=√BC2+FB2=√12+9=√21，∵将△ACE沿CE翻折，得到△A′CE，∴AC=A′C=√3，∴点A′在以点C为圆心，AC为半径的圆上，则当点A′在FC上时，A′F有最小值，∴A′F最小值为√21−√3，故答案为：√21−√3．先求出AC=√3，AB=2√3，由平行线的性质和角平分线的性质可求AB=BF=2√3，由勾股定理可求CF的长，由点A′在以点C为圆心，AC为半径的圆上，则当点A′在FC 上时，A′F有最小值，即可求解．本题考查了翻折变换，锐角三角函数，直角三角形的性质等知识，求出CF的长是本题的关键．19.【答案】解：(1)√25+(13)−1−π0−(−1)=5+3−1+1=8；(2)(m+9m+6)÷m2−9m+6=m2+6m+9m+6×m+6m2−9=(m+3)2m+6×m+6(m+3)(m−3)=m+3m−3．【解析】(1)分别按照求算术平方根、负整数指数幂、零次幂和去括号的法则化简，再进行有理数的加减法运算即可；(2)将括号内的部分通分，同时将分式的除法变成乘法，再进行因式分解，然后约分即可．本题考查了分式的混合运算及实数的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．20.【答案】证明：(1)∵AB=AC，∠A=36°，∴∠ABC=∠C=72°，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠DBC=36°，∠A=36°，∴BD=AD，即△ABD是等腰三角形；(2)∵点E是AB的中点，∴AE=EB，∴∠DEB=90°，∴∠BDE=90°−36°=54°．【解析】(1)根据等腰三角形的性质和三角形内角和得出∠DBC=36°，进而根据等腰三角形的判定解答即可；(2)根据等腰三角形的性质和三角形内角和解答即可．此题考查等腰三角形的判定和性质，关键是据等腰三角形的性质和三角形内角和得出∠DBC=36°解答．21.【答案】15.5【解析】解：(1)∵2≤x<14的有5+18=23(人)，一线城市在14<x≤20这一组的是：15，15，16，17，17，17，17，18，18，20，在一线城市和三线城市的志愿者中随机选取了50人参加LES测试，∴a=(15+16)÷2=15.5，故答案为：15.5；(3)在这次测试中，一线城市的志愿者甲和三线城市的志愿者乙的得分均为15分，三线城市的志愿者乙在各自城市选取的志愿者中得分排名更靠前，理由：∵一线城市的志愿者甲的中位数是15.5，三线城市的志愿者乙的中位数是14，∴在这次测试中，三线城市的志愿者乙在各自城市选取的志愿者中得分排名更靠前；=800(人)，(4)2000×3+1750答：估计一线城市全部2000名志愿者中有800人需要进行心理干预．(1)根据统计图和统计表中的数据和一线城市在14<x≤20这一组的数据，可以求得a 的值；(2)根据统计表中的数据可以得到甲、乙在各自城市选取的志愿者中得分排名谁更靠前；(3)根据统计图中的数据和题目中的数据可以计算出一线城市全部2000名志愿者中有多少人需要进行心理干预的人数．本题考查频数分布直方图、用样本估计总体、中位数，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．22.【答案】1 5 1函数的最大值为5 x<22【解析】解：(1)x =−2、0、3分别代入y =5x 2+1，得a =5(−2)2+1=1，b =502+1=5，c =532+1=12故答案为1，5，12； (2)该函数的图象如图：函数的性质：该函数关于y 轴对称，函数的最大值为5；故答案函数关于y 轴对称，函数的最大值为5； (3)由图形可知，不等式5x 2+1>x −1的解集是x <2． 故答案为x <2．(1)把x =−2、0、3分别代入y =5x 2+1，即可求出a 、b 、c 的值； (2)根据表中的数据，描点连线、画出函数的图象； (3)根据图象即可求出不等式5x 2+1>x −1的解集．本题考查了一次函数的图象与性质，一次函数与一元一次不等式，利用数形结合思想，正确画出函数的图象是解题的关键．23.【答案】解：(1)设用于该社区家庭的口罩有x 个，则用于社区工作人员的口罩有(5000−x)个，依题意，得：5000−x ≥1.5x ， 解得：x ≤2000．答：用于该社区家庭的口罩最多有2000个．(2)依题意，得：200(1+a%)×10(1−a%)+(5000−200×10)(1+1.5a%)=5000×(1+20%)，整理，得：a 2−225a +5000=0，解得：a 1=25，a 2=200(不合题意，舍去)． 答：a 的值为25．【解析】(1)设用于该社区家庭的口罩有x 个，则用于社区工作人员的口罩有(5000−x)个，根据用于社区工作人员的口罩个数应不少于用于社区家庭口罩个数的1.5倍，即可得出关于x 的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论；(2)根据3月份该社区对口罩的总需求量比2月份增加了20%，即可得出关于a 的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．本题考查了一元二次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：(1)根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式；(2)找准等量关系，正确列出一元二次方程．24.【答案】解：(1)∵(15,20)=5，(4,8)=4，∴原方程变形为：5x +4y =99， ∴x =99−4y 5，∴99−4y 是5的倍数， ∴当y =1时，x =19， ∴{x =19y =1 是原方程的解； (2)∵5x +4y =99的有整数解，∴{x =19y =1，{x =15y =6，{x =11y =11，{x =7y =16，{x =3y =21， ∴原方程有5组正整数解．【解析】(1)先化简原方程，由材料可求解； (2)先求出原方程的整数解，即可求解．本题考查了二元一次方程的解，一元一次方程的解，理解题意是本题的关键． 25.【答案】(1)解：如图1中，∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD//BC ，∴∠DAF =∠AFB ， ∵AF 平分∠BAD ， ∴∠DAF =∠BAF ， ∴∠BAF =∠AFB ， ∴AB =BF =3，∵AB =AE ，∠BAE =90°， ∴BE =√2AB =3√2．(2)证明：连接EF ，过点G 作GH ⊥EF 交EF 的延长线于H.设BG =a ，FG =b ．∵AB =AE ，∠BAE =90°，BG =GE ， ∴AG ⊥BE ，AG =GB =GE ， ∴AB =√2BG =√2a ， ∵BF =AB =√2a ，∴BF 2=2a 2，BG ⋅BE =2a 2， ∴BF 2=BG ⋅BE ， ∴BFBG =BEBF ， ∵∠FBG =∠EBF ，∴△GBF∽△FBE，∴GFEF =BGBF=√22，∠BFG=∠BEF，∴EF=√2GF=√2b，∵∠BAF=∠BFA，∠GAF=∠BFG，∴∠AFG=∠BAG=45°，∠GAF=∠GEF，∴∠AGE=∠AFE=90°，∴∠GFH=45°，∵GH⊥EH，∴GH=FH=√22b，∴EH=FH+EF=3√22b，∴EG=√GH2+EH2=√5b，∴AB=AE=√2GE=√10b，∴AB=√10GF．(3)解：如图3中，在AC上取一点T，使得AT=AB，连接BT，TM，取BT的中点J，连接NJ．∵△ABT，△BEM都是等腰直角三角形，∴BT=√2AB，BM=√2BE，∠ABT=∠EBM=45°，∴ABBT =BEBM，∠ABE=∠TBM，∴△ABE∽△TBM，∴TMAE =ABBT=√22，∠AEB=∠BMT，∵∠AEB+∠BET=180°，∴∠BMT+∠BET=180°，∴∠EBM+∠ETM=180°，∵∠EBM=∠ETB=45°，∴∠ETM=135°，∠BTM=90°，∵BJ=JT，BN=NM，∴NJ//TM，NJ=12TM，∴∠BJN=∠BTM=90°，∴点N的运动轨迹是线段JN，JN=12TM=√22AE，∵点E从A运动到C时，AE=AC=n，∴m=√22n，∴nm=√2．【解析】(1)证明AB=BF，再利用等腰直角三角形的性质求解即可．(2)连接EF，过点G作GH⊥EF交EF的延长线于H.设BG=a，FG=b.利用相似三角形的性质证明EF=√2GF，想办法求出AB(用b表示)即可解决问题．(3)如图3中，在AC上取一点T，使得AT=AB，连接BT，TM，取BT的中点J，连接NJ.首先证明NJ//TM，NJ=12TM，推出∠BJN=∠BTM=90°，推出点N的运动轨迹是线段JN，JN=12TM=√22AE，由此即可解决问题．本题属于四边形综合题，考查了平行四边形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，解直角三角形，三角形中位线定理，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会利用参数解决问题，属于中考压轴题．26.【答案】解：(1)令x=0，则y=3，∴C(0,3)，∴OC=3．令y=0，则−18x2+14x+3=0，解得：x1=−4，x2=6，∴A(−4,0)，B(6,0)，∴OA=4，OB=6．∵CD⊥AC，∴∠ACD=90°，∵CO⊥AD，∴OC2=OA⋅OD，∴OD=94，∴D(94,0)．(2)∵y=−18x2+14x+3=−18(x−1)2+258，∴E(1,258).如图2，连接OE、BE，作HG⊥x轴于点G，交BE于点P．由B、E两点坐标可求得直线BE的解析式为：y=−58x+154．设H(m,−18m2+14m+3)，则P(m,−58m+154).∴HG=−18m2+14m+3，HP=y H−y P=−18m2+78m−34．∴S△BHE=12(x B−x E)⋅HP=52(−18m2+78m−34)=−516m2+3516m−158．∵FH⊥CD，AC⊥CD，∴AC//FH，∴∠HFG=∠CAO，∵∠AOC=∠FGH=90°，∴△ACO∼△FHG，∴FGHG =OAOC=43，∴FG=43HG=−16m2+13m+4，∴AF=AG−FG=m+4+16m2−13m−4=16m2+23m，∴S△AFC=12AF⋅OC=32(16m2+32m)=14m2+m，∵S四边形ACEB =S△ACO+S△OCE+S△OEB=12×4×3+12×3×1+126×258=1358，∴S五边形FCEHB =S四边形ACEB+S△BHE−S△AFC=1358+(−516m2+3516m−158)−(14m2+m)=−916m2+1916m+15=−916(m−1918)2+9001576，∴当m=1918时，S五边形FCEHB取得最大值9001576．此时，H的横坐标为1918．(3)∵B(6,0)，C(0,3)，D(94,0)，∴CD=BD=154，BC=3√5，∴∠DCB=∠DBC．①如图3−1，△CMN≌△DCB，MN交y轴于K，则CM=CN=DC=DB=154，MN=BC=3√5，∠CMN=∠CNM=∠DBC=∠DCB，∴MN//AB，∴MN ⊥y 轴，∴∠CKN =∠COB =90°，MK =NK =12MN =3√52， ∴△CKN ∼△COB ，∴CKCN =COCB =√55， ∴CK =3√54，∴OK =OC +CK =12+3√54， ∴N(3√52,12+3√54).②如图3−2，△MCN≌△DBC ，则CN =CB =3√5，∠MCN =∠DBC ，∴CN//AB ，∴N(3√5,3)．③如图3−3，△CMN≌△DBC ，则∠CMN =∠DCB ，CM =CN =DC =DB =154，MN =BC =3√5， ∴MN//CD ，作MR ⊥y 轴于R ，则CR CO =RM OB =CMCB =√54， ∴CR =3√54，RM =3√52，∴OR =3−3√54， 作MQ//y 轴，NQ ⊥MQ 于点Q ，则∠NMQ =∠DCO ，∠NQM =∠DOC =90°，∴△COD ∼△MQN ，∴MQ NQ =CO DO =43，∴MQ =45MN =12√55，NQ =35MN =9√55， ∴NQ −RM =3√510，OR +MQ =60+33√520， ∴N(−3√510,60+33√520).综上所述，满足要标的N 点坐标有：(3√52,12+3√54)、(3√5,3)、(−3√510,60+33√520).【解析】(1)先根据抛物线解析式求出A 、B 、C 的坐标，由射影定理可得OD 长度，从而求出D 点坐标；(2)设H 点的横坐标为m ，然后将五边形FCEHB 的面积表示成关于m 的二次函数，利用配方法可求得面积的最大值以及对应的H 点坐标；(3)由B 、C 、D 的坐标可以求得DC 、DB 、BC 的长度，然后分类讨论，分别画出符合要求的对应图形进行计算即可．本题为二次函数综合题，主要考查了二次函数的基本性质、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等重要知识点，综合性强，难度较大，属于中考压轴题．对于第(2)问，利用割补法表示出五边形的面积是难点，也是解答的关键；对于第(3)问，依次画出对应图形并识别出各种情形下的数量关系是解答的要点所在．。
2020年重庆市巴南区春招数学试卷(解析版)
2020年重庆市巴南区春招数学试卷一．选择题（共12小题）1．下列四个数中，是无理数的是（）A．B．0C．D．2．据统计，近日前往重庆“龙门皓月”景点参观的人数达到了26000人，将26000用科学记数法表示为（）A．0.26×105B．2.6×104C．26×103D．260×1023．不等式﹣x+1＞x的解集是（）A．x＞﹣2B．x＜2C．x＞﹣D．x＜4．下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）A．B．C．D．5．如图，在平行四边形ABCD中，点E在对角线AC上，且BE⊥AB，若∠ACD＝20°，则∠CEB的度数是（）A．95°B．100°C．110°D．115°6．下列式子计算正确的是（）A．m3•m2＝m6B．（﹣m）﹣2＝﹣C．m2+m2＝2m2D．（m+n）2＝m2+n27．如图，点A，B分别在x轴，y轴的正半轴上，且△ABO的面积为8，若双曲线y＝（k ≠0）经过边AB的中点C，则k的值为（）A．4B．6C．8D．128．如图，△ABC与△A1B1C1是以O为位似中心的位似图形，若OA＝3AA1，S△ABC＝36，则S＝（）A．64B．68C．81D．929．如图，小张坐在某体育馆的观众席的C处目测（从他的眼睛D处看）得体育馆中心O 处的俯角为18°，若CD＝1.4米，BC＝1.5米，BC平行于地面OA，台阶AB的坡度为i ＝3：4，坡长AB＝15米，则观众席的底端A处与体育馆中心O处的距离约为（）（参考数据：sin18°≈0.31，cos18°≈0.95，tan18°≈0.32）A．20米B．19米C．18米D．17米10．甲、乙两人在直线跑道上同起点、同终点、同方向匀速跑步200米，先到终点的人原地休息．已知甲先出发2秒，在跑步过程中，若甲、乙两人之间的距离y（米）与乙出发的时间t（秒）之间的关系如图所示，则下列结论中正确的是（）A．乙的速度为5米/秒B．乙出发10秒钟将甲追上C．当乙到终点时，甲距离终点还有20米D．m＝3811．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点（﹣1，0），其对称轴为直线x＝1，若2＜c＜3，则下列结论中错误的是（）A．abc＜0B．4a+c＞0C．﹣1＜a＜﹣D．4a+2b+c＞0 12．如图，在菱形ABCD中，∠D＝120°，AB＝2，点E在边BC上，若BE＝2EC，则点B 到AE的距离是（）A．B．C．D．二．填空题（共6小题）13．计算：+|1﹣|﹣（π﹣3）0＝．14．若代数式有意义，则x的取值范围是．15．如图，在四边形ABCD中，AB＝BC＝1，AB∥CD，∠D＝45°，∠B＝90°，若以点D 为圆心，DA的长为半径画弧交边DC于点E，则图中阴影部分的面积是．16．已知整数a，b满足|ab|＝2，如果任意选择一对有序整数（a，b），且每一对这样的有序整数被选择的可能性是相等的，那么关于x的方程x2+bx+a＝0有两个相等实数根的概率是．17．若关于x的分式方程﹣＝4有正整数解，且关于y的不等式组有解，则所有符合条件的整数a的值的积是．18．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，点D是线段BC上一动点，在直线AD的右侧找一点E，使EA⊥AD，且∠ADE＝30°．当点D从点B运动到点C时，点E 随之运动（点A不动），则点E运动的路径长为．三．解答题（共8小题）19．化简：（1）（m﹣3n）2﹣3n（n﹣2m）；（2）（﹣a﹣2）÷．20．如图，AB为⊙O的直径，直线CF与⊙O相切于点E，与直线AB相交于点F，BC⊥CF，垂足为C．（1）求证：BE平分∠CBF；（2）若AB＝16，∠CFB＝30°，求弧的长．21．钟南山院士谈到防护新型冠状病毒肺炎时说：“我们需要重视防护，但不必恐慌，尽量少去人员密集的场所，出门戴口罩，在室内注意通风，勤洗手，多运动，少熬夜．”某社区为了加强社区居民对新型冠状病毒肺炎防护知识的了解，通过微信群宣传新型冠状病毒肺炎的防护知识，并组织社区居民在线参与了新型冠状病毒肺炎防护知识竞赛，社区管理员随机从A、B两个小区各抽取20名人员的竞赛成绩，并对他们的成绩（单位：分）进行统计、分析，过程如下：【收集数据】A小区：95 80 85 100 85 95 90 65 85 75 90 90 70 90 100 80 80 90 95 75B小区：80 80 60 95 65 100 90 80 85 85 95 75 80 90 70 80 95 75 100 90【整理数据】成绩x（分）60≤x≤70 70＜x≤80 80＜x≤90 90＜x≤100 A小区2585B小区3a55【分析数据】统计量平均数中位数众数A小区85.7587.5cB小区83.5b80【应用数据】请根据以上统计分析的过程和结果，解答下列问题：（1）写出a、b、c的值；（2）若B小区共有900人参与知识竞赛，请估计B小区成绩大于80分的人数；（3）你认为哪个小区对新型冠状病毒肺炎防护知识掌握更好，请你写出两条理由．22．下面是小张探索函数y＝|x﹣1|﹣2的图象与性质的不完整的过程：【列表格】：列出y与x的几组对应值：x…﹣2﹣101234…y…10﹣1﹣2﹣10m…[…]：…根据上面不完整的探索过程，完成下列问题：（1）直接写出表格中m的值；（2）在答题卡中的平面直角坐标系中，画出函数y＝|x﹣1|﹣2的图象；（3）结合您画的函数的图象，解决问题：当|x﹣1|﹣2＜x﹣时，写出x的取值范围．23．预防新型冠状病毒期间，某种消毒液A地需要6吨，B地需要10吨，正好M地储备有7吨，N地储备有9吨．市预防新型冠状病毒领导小组决定将这16吨消毒液调往A地和B地．消毒液的运费价格如表（单位：元/吨）．设从M地调运x（0＜x≤6）吨到A地．（1）求调运16吨消毒液的总运费y关于x的函数关系式；（2）求出总运费最低的调运方案，最低运费为多少？A地B地终点起点M地70120N地458024．我们在学习勾股定理后知道“能够成为直角三角形三条边长的三个整数，称为勾股数．”例如：15，8，17，因为172＝82+152，所以15，8，17是勾股数．（1）已知b＝mn，c ＝（m2+n2），若a，b，c是勾股数，a，b，c，m，n都是正整数，且c为37，n＝5，求a，m的值；（2）规定：一个两位正整数N，如果N满足各数位上的数字互不相同且均不为0，那么称N为“扬帆数”，将N的两个数位上的数字对调得到一个新数N1，把N1放在N的后面组成第一个四位数，把N放在N1的后面组成第二个四位数，我们把第一个四位数减去第二个四位数后所得的差再除以81所得的商记为F（N）．例如，当N＝56时，N1＝65，F（56）＝＝﹣11．①求F（37）的值；②s，t为“扬帆数”，其中s＝10c+d，t＝10p+q（2≤c＜d≤5，1≤p≤5，1≤q≤5），且c，d，p，q为整数），且F（s）能被3整除，F（s）+F（t）+22p+55＝0．是否存在整数f使s，t，f成勾股数，若存在，求出f的值；若不存在，请说明理由．25．如图，抛物线y＝ax2+bx﹣3（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0）和点B，与y轴交于点C，该抛物线的对称轴为x ＝．（1）求a，b的值；（2）若点P在抛物线上，且在x轴的下方，作射线BP，当∠PBA＝∠ACO时，求点P 的坐标；（3）若点M在抛物线上，点N在对称轴上，是否存在点B、C、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．26．已知，在矩形ABCD中，AB＝2，点E在边BC上，且AE⊥DE，AE＝DE，点F是BC 的延长线上一点，AF与DE相交于点G，DH⊥AF，垂足为H，DH的延长线与BC相交于点K．（1）如图1，求AD的长；（2）如图2，连接KG，求证：AG＝DK+KG；（3）如图3，设△ADM与△ADH关于AD对称，点N、Q分别是MA、MD的中点，请直接写出BN+NQ的最大值．参考答案与试题解析一．选择题（共12小题）1．下列四个数中，是无理数的是（）A．B．0C．D．【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此解答即可．【解答】解：A、是分数，是有理数，此选项不符合题意；B、0是整数，是有理数，此选项不符合题意；C、是无理数，此选项符合题意；D、＝3是整数，是有理数，此选项不符合题意．故选：C．2．据统计，近日前往重庆“龙门皓月”景点参观的人数达到了26000人，将26000用科学记数法表示为（）A．0.26×105B．2.6×104C．26×103D．260×102【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：26 000用科学记数法表示是2.6×104．故选：B．3．不等式﹣x+1＞x的解集是（）A．x＞﹣2B．x＜2C．x＞﹣D．x＜【分析】根据解一元一次不等式基本步骤：移项、合并同类项、系数化为1可得．【解答】解：移项，得：﹣x﹣x＞﹣1，合并，得：﹣2x＞﹣1，系数化为1，得：x＜，故选：D．4．下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念判断．【解答】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形；B、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形；C、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形；D、既是轴对称图形，又是中心对称图形．故选：D．5．如图，在平行四边形ABCD中，点E在对角线AC上，且BE⊥AB，若∠ACD＝20°，则∠CEB的度数是（）A．95°B．100°C．110°D．115°【分析】根据平行四边形的性质得出∠CAB＝20°，利用互余和互补解答即可．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∵∠ACD＝20°，∴∠CAB＝20°，∵BE⊥AB，∴∠AEB＝90°﹣20°＝70°，∴∠CEB＝180°﹣70°＝110°，故选：C．6．下列式子计算正确的是（）A．m3•m2＝m6B．（﹣m）﹣2＝﹣C．m2+m2＝2m2D．（m+n）2＝m2+n2【分析】分别按照同底数幂的乘法运算法则、负整数指数幂的运算法则、合并同类项的运算法则和完全平方公式进行判断即可．【解答】解：A、m3•m2＝m5，故A错误；B、（﹣m）﹣2＝，故B错误；C、按照合并同类项的运算法则，该运算正确．D、（m+n）2＝m2+2mn+n2，故D错误．故选：C．7．如图，点A，B分别在x轴，y轴的正半轴上，且△ABO的面积为8，若双曲线y＝（k ≠0）经过边AB的中点C，则k的值为（）A．4B．6C．8D．12【分析】设点A（a，0），点B（0，b），由三角形面积公式可求ab＝16，由中点坐标公式可求点C（，），代入解析式可求k的值．【解答】解：设点A（a，0），点B（0，b），∴OA＝a，OB＝b，∵△ABO的面积为8，∴ab＝8，∴ab＝16，∵点C是AB中点，∴点C（，），∵点C在双曲线y＝（k≠0）上，∴k＝×＝4，故选：A．8．如图，△ABC与△A1B1C1是以O为位似中心的位似图形，若OA＝3AA1，S△ABC＝36，则S＝（）A．64B．68C．81D．92【分析】根据位似变换的概念得到△ABC∽△A1B1C1，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方列式计算，得到答案．【解答】解：∵△ABC与△A1B1C1是以O为位似中心的位似图形，∴△ABC∽△A1B1C1，∵OA＝3AA1，∴△ABC与△A1B1C1的相似比为：＝，∴△ABC与△A1B1C1的面积比为：（）2＝，∵S△ABC＝36，∴S＝36÷＝81，故选：C．9．如图，小张坐在某体育馆的观众席的C处目测（从他的眼睛D处看）得体育馆中心O 处的俯角为18°，若CD＝1.4米，BC＝1.5米，BC平行于地面OA，台阶AB的坡度为i ＝3：4，坡长AB＝15米，则观众席的底端A处与体育馆中心O处的距离约为（）（参考数据：sin18°≈0.31，cos18°≈0.95，tan18°≈0.32）A．20米B．19米C．18米D．17米【分析】延长DC交OA延长线于点F，根据题意可得DF⊥OA，过点B作BG⊥OA于点G，可得四边形BCFG是矩形，根据AB的坡度为i＝3：4，坡长AB＝15，可得BG＝9，AG＝12，再根据锐角三角函数即可求出OA的长．【解答】解：如图，延长DC交OA延长线于点F，根据题意可知：DF⊥OA，过点B作BG⊥OA于点G，则四边形BCFG是矩形，∴CF＝BG，FG＝BC＝1.5，∵AB的坡度为i＝3：4，坡长AB＝15，∴BG＝9，AG＝12，∴在Rt△ODF中，∠DOF＝18°，OF＝OA+AG+GF＝OA+12+1.5＝13.5+OA，DF＝DC+CF＝1.4+9＝10.4，∴DF＝OF•tan18°，即10.4≈（13.5+OA）×0.32，解得OA≈19（米）．所以观众席的底端A处与体育馆中心O处的距离约为19米．故选：B．10．甲、乙两人在直线跑道上同起点、同终点、同方向匀速跑步200米，先到终点的人原地休息．已知甲先出发2秒，在跑步过程中，若甲、乙两人之间的距离y（米）与乙出发的时间t（秒）之间的关系如图所示，则下列结论中正确的是（）A．乙的速度为5米/秒B．乙出发10秒钟将甲追上C．当乙到终点时，甲距离终点还有20米【分析】根据题意和函数图象中的数据，可以判断出各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．【解答】解：由图象可得，乙的速度为：200÷32＝6.25（米/秒），故选项A不合题意；甲的速度为：10÷2＝5（米/秒），设乙出发x秒将追上甲，6.25x＝10+5x，得x＝8，故选项B不合题意；当乙到终点时，甲距离终点还有：200﹣（32+2）×5＝30（米），故选项C不合题意；a＝200÷5﹣2＝38，故选项D符合题意．故选：D．11．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点（﹣1，0），其对称轴为直线x＝1，若2＜c＜3，则下列结论中错误的是（）A．abc＜0B．4a+c＞0C．﹣1＜a＜﹣D．4a+2b+c＞0【分析】根据二次函数的图象与系数的关系即可求出答案．【解答】解：A．抛物线的对称轴在y轴右侧，则ab＜0，而c＞0，故abc＜0，正确，不符合题意；B．函数的对称轴为直线x＝﹣＝1，则b＝﹣2a，∵从图象看，当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＝3a+c＝0，而a＜0，故4a+c＜0，故B错误，符合题意；C．④∵﹣＝1，故b＝﹣2a，∵x＝﹣1，y＝0，故a﹣b+c＝0，∵2＜c＜3，∴2＜﹣3a＜3，∴﹣1＜a＜﹣，故C正确，不符合题意；D．从图象看，当x＝2时，y＝4a+2b+c＞0，故D正确，不符合题意；故选：B．12．如图，在菱形ABCD中，∠D＝120°，AB＝2，点E在边BC上，若BE＝2EC，则点B 到AE的距离是（）A．B．C．D．【分析】过点B作BH⊥AE于点H，过点E作EF⊥AB交AB的延长线于点F，求出BF ＝BE＝，EF＝，可求出AE，由S△ABE＝AB•EF可求出BH，则答案可求出．【解答】解：过点B作BH⊥AE于点H，过点E作EF⊥AB交AB的延长线于点F，∵菱形ABCD中，AB＝2，∴BC＝2，∵BE＝2EC，∴BE＝，CE＝，∵∠D＝120°，∴∠ABE＝120°，∴∠EBF＝60°，∴BF＝BE＝，EF＝，∴AF＝AB+BF＝2+＝，∴AE＝＝＝，∵S△ABE＝AB•EF，∴BH＝＝＝．故选：A．二．填空题（共6小题）13．计算：+|1﹣|﹣（π﹣3）0＝．【分析】本题涉及绝对值、负整数指数幂、二次根式化简、三次根式化简4个知识点．在计算时，需要针对每个知识点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．【解答】解：+|1﹣|﹣（π﹣3）0＝2+﹣1﹣1＝．故答案为：．14．若代数式有意义，则x的取值范围是x＞0．【分析】直接利用二次根式有意义的条件分析得出答案．【解答】解：代数式有意义，则x＞0．故答案为：x＞0．15．如图，在四边形ABCD中，AB＝BC＝1，AB∥CD，∠D＝45°，∠B＝90°，若以点D 为圆心，DA的长为半径画弧交边DC于点E，则图中阴影部分的面积是1﹣．【分析】作AH⊥CD于H，如图，易得四边形ABCH为正方形，则AH＝HC＝AB＝1，利用∠D＝45°得到DH＝AH＝1，AD＝，然后根据扇形的面积公式，利用图中阴影部分的面积＝S梯形ABCD﹣S扇形ADE进行计算．【解答】解：作AH⊥CD于H，如图，易得四边形ABCH为正方形，∴AH＝HC＝AB＝1，∵∠D＝45°，∴DH＝AH＝1，AD＝AH＝，∴图中阴影部分的面积＝S梯形ABCD﹣S扇形ADE＝（1+2）×1﹣＝1﹣．故答案为1﹣．16．已知整数a，b满足|ab|＝2，如果任意选择一对有序整数（a，b），且每一对这样的有序整数被选择的可能性是相等的，那么关于x的方程x2+bx+a＝0有两个相等实数根的概率是．【分析】由|ab|＝2列表得出a、b取值的所有等可能结果，从中找到满足b2＝4a的结果数，根据概率公式求解可得．【解答】解：∵|ab|＝2，∴列表如下：﹣1﹣212﹣1（﹣2，﹣1）（2，﹣1）﹣2（﹣1，﹣2）（1，﹣2）1（﹣2，1）（2，1）2（﹣1，2）（1，2）由表可知，共有8种结果，其中满足b2﹣4a＝0，即b2＝4a的有（1，﹣2）和（1，2）两种情况，∴关于x的方程x2+bx+a＝0有两个相等实数根的概率是，故答案为：．17．若关于x的分式方程﹣＝4有正整数解，且关于y的不等式组有解，则所有符合条件的整数a的值的积是﹣8．【分析】根据不等式组有解，可得a的范围，根据分式方程的解，可得a的值，根据正整数的定义，可得答案．【解答】解：，由①得：y≤8，由②得：y≥a+6，∵关于y的不等式组有解，∴a+6≤8∴a≤2，解分式方程﹣＝4，得x＝，∵x﹣2≠0，∴≠2，∴a≠0，∵关于x的分式方程﹣＝4有正整数解，∴4﹣a＝1或4﹣a＝2或4﹣a＝4或4﹣a＝8，∴a＝3或a＝2或a＝0或a＝﹣4，∵a≤2，a≠0，∴a＝2或﹣4，∴所有符合条件的整数a的值的积＝2×（﹣4）＝﹣8，故答案为：﹣8．18．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，点D是线段BC上一动点，在直线AD的右侧找一点E，使EA⊥AD，且∠ADE＝30°．当点D从点B运动到点C时，点E 随之运动（点A不动），则点E运动的路径长为2．【分析】当点D在点B时，点E是AB的中点，当点D运动到点C时，点E是AC的中点，可得点E运动的路径长即为三角形ABC的中位线，进而可得结果．【解答】解：∵EA⊥AD，∴∠DAE＝90°，∵∠ADE＝30°，∴AE＝AD，当点D在点B时，点E是AB的中点，当点D运动到点C时，点E是AC的中点，所以点E运动的路径即为三角形ABC的中位线，所以点E运动的路径长为：BC＝2．故答案为：2．三．解答题（共8小题）19．化简：（1）（m﹣3n）2﹣3n（n﹣2m）；（2）（﹣a﹣2）÷．【分析】（1）根据完全平方公式和单项式乘多项式可以解答本题；（2）根据分式的减法和除法可以解答本题．【解答】解：（1）（m﹣3n）2﹣3n（n﹣2m）＝m2﹣6mn+9n2﹣3n2+6mn＝m2+6n2；（2）（﹣a﹣2）÷＝＝＝﹣＝﹣2（3+a）＝﹣6﹣2a．20．如图，AB为⊙O的直径，直线CF与⊙O相切于点E，与直线AB相交于点F，BC⊥CF，垂足为C．（1）求证：BE平分∠CBF；（2）若AB＝16，∠CFB＝30°，求弧的长．【分析】（1）连接OE，根据切线的性质得到OE⊥CF，得到OE∥BC，根据平行线的性质、等腰三角形的性质得到∠CBE＝∠OBE，根据角平分线的定义证明即可；（2）根据直角三角形的性质求出∠EOF＝60°，根据弧长公式计算，得到答案．【解答】（1）证明：连接OE，∵直线CF与⊙O相切，∴OE⊥CF，∵BC⊥CF，∴OE∥BC，∴∠CBE＝∠OEB，∵OE＝OB，∴∠OBE＝∠OEB，∴∠CBE＝∠OBE，∴BE平分∠CBF；（2）解：∵∠OEF＝90°，∠CFB＝30°，∴∠EOF＝60°，∴的长＝＝π．21．钟南山院士谈到防护新型冠状病毒肺炎时说：“我们需要重视防护，但不必恐慌，尽量少去人员密集的场所，出门戴口罩，在室内注意通风，勤洗手，多运动，少熬夜．”某社区为了加强社区居民对新型冠状病毒肺炎防护知识的了解，通过微信群宣传新型冠状病毒肺炎的防护知识，并组织社区居民在线参与了新型冠状病毒肺炎防护知识竞赛，社区管理员随机从A、B两个小区各抽取20名人员的竞赛成绩，并对他们的成绩（单位：分）进行统计、分析，过程如下：【收集数据】A小区：95 80 85 100 85 95 90 65 85 75 90 90 70 90 100 80 80 90 95 75B小区：80 80 60 95 65 100 90 80 85 85 95 75 80 90 70 80 95 75 100 90【整理数据】成绩x（分）60≤x≤70 70＜x≤80 80＜x≤90 90＜x≤100 A小区2585B小区3a55【分析数据】统计量平均数中位数众数A小区85.7587.5cB小区83.5b80【应用数据】请根据以上统计分析的过程和结果，解答下列问题：（1）写出a、b、c的值；（2）若B小区共有900人参与知识竞赛，请估计B小区成绩大于80分的人数；（3）你认为哪个小区对新型冠状病毒肺炎防护知识掌握更好，请你写出两条理由．【分析】（1）根据题目中的数据，可以得到a、b、c的值；（2）根据题目中的数据，可以计算出B小区成绩大于80分的人数；（3）根据题目中的数据，可以得到哪个小区对新型冠状病毒肺炎防护知识掌握更好，然后说明理由即可．【解答】解：（1）由题目中的数据可得，a＝7，b＝（80+85）÷2＝82.5，c＝90；（2）900×＝450（人），答：B小区成绩大于80分有450人；（3）A小区对新型冠状病毒肺炎防护知识掌握更好，理由：第一，A小区平均数大于B小区，第二，A小区的中位数大于B小区（第三，A 小区的众数大于B小区）．22．下面是小张探索函数y＝|x﹣1|﹣2的图象与性质的不完整的过程：【列表格】：列出y与x的几组对应值：x…﹣2﹣101234…y…10﹣1﹣2﹣10m…[…]：…根据上面不完整的探索过程，完成下列问题：（1）直接写出表格中m的值；（2）在答题卡中的平面直角坐标系中，画出函数y＝|x﹣1|﹣2的图象；（3）结合您画的函数的图象，解决问题：当|x﹣1|﹣2＜x﹣时，写出x的取值范围．【分析】（1）把x＝4代入y＝|x﹣1|﹣2，即可求出m的值；（2）根据表格数据，描点、连线，画出该函数的图象；（3）根据图象即可求|x﹣1|﹣2＜x﹣时x的取值范围．【解答】解：（1）把x＝4代入y＝|x﹣1|﹣2，得y＝1，解∴m＝1．（2）该函数的图象如图：（3）由图形可知，当当|x﹣1|﹣2＜x ﹣时x 的取值范围是＜x＜2．23．预防新型冠状病毒期间，某种消毒液A地需要6吨，B地需要10吨，正好M地储备有7吨，N地储备有9吨．市预防新型冠状病毒领导小组决定将这16吨消毒液调往A地和B地．消毒液的运费价格如表（单位：元/吨）．设从M地调运x（0＜x≤6）吨到A地．（1）求调运16吨消毒液的总运费y关于x的函数关系式；（2）求出总运费最低的调运方案，最低运费为多少？A地B地终点起点M地70120N地4580【分析】（1）根据题意即可得调运16吨消毒液的总运费y关于x的函数关系式；（2）根据一次函数的性质即可求出总运费最低的调运方案和最低运费．【解答】解：（1）由题意可知：y＝70x+120（7﹣x）+45（6﹣x）+80[（9﹣（6﹣x）]＝﹣15x+1350（0＜x≤6）．（2）由（1）的函数可知：k＝﹣15＜0，所以函数的值随x的增大而减小，当x＝6时，有最小值y＝﹣15×6+1350＝1260（元）．答：总运费最低的调运方案是从M地调运6吨到A地，1吨到B地，最低运费为1260元．24．我们在学习勾股定理后知道“能够成为直角三角形三条边长的三个整数，称为勾股数．”例如：15，8，17，因为172＝82+152，所以15，8，17是勾股数．（1）已知b＝mn，c＝（m2+n2），若a，b，c是勾股数，a，b，c，m，n都是正整数，且c为37，n＝5，求a，m的值；（2）规定：一个两位正整数N，如果N满足各数位上的数字互不相同且均不为0，那么称N为“扬帆数”，将N的两个数位上的数字对调得到一个新数N1，把N1放在N的后面组成第一个四位数，把N放在N1的后面组成第二个四位数，我们把第一个四位数减去第二个四位数后所得的差再除以81所得的商记为F（N）．例如，当N＝56时，N1＝65，F（56）＝＝﹣11．①求F（37）的值；②s，t为“扬帆数”，其中s＝10c+d，t＝10p+q（2≤c＜d≤5，1≤p≤5，1≤q≤5），且c，d，p，q为整数），且F（s）能被3整除，F（s）+F（t）+22p+55＝0．是否存在整数f使s，t，f成勾股数，若存在，求出f的值；若不存在，请说明理由．【分析】（1）先求出m的值，分两种情况讨论，由勾股定理可求a的值；（2）①由F（N）的定义可求解；②利用F（N）的定义可求F（s）＝11（c﹣d），F（t）＝11（p﹣q），由题意可求s和t，利用勾股数定义可求解．【解答】解：（1）∵c＝（m2+n2）＝37，n＝5，∴m＝7，∴b＝mn＝35，若a是最大边，则a2＝b2+c2＝2597，∴a＝，∵a是正整数，∴a＝不合题意舍去，若c为最大边，则c2＝b2+a2，∴a＝＝12答：a＝12，m＝7；（2）①F（37）＝＝44；②∵F（s）＝＝11（c﹣d），2≤c＜d≤5，F（s）能被3整除，∴c＝2，d＝5，∴F（s）＝﹣33，同理可求：F（t）＝11（p﹣q），∵F（s）+F（t）+22p+55＝0，∴﹣33+11p﹣11q+22p+55＝0，∴3p﹣q＝﹣2，∵1≤p≤5，1≤q≤5，∴p＝1，q＝5，∴s＝10c+d＝25，t＝10p+q＝15，若s为最大边，则f2＝s2﹣t2＝400，∴f＝20，若f为最大边，则f2＝s2+t2＝850，∴f＝，∵f为整数，∴f＝20．25．如图，抛物线y＝ax2+bx﹣3（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0）和点B，与y轴交于点C，该抛物线的对称轴为x＝．（1）求a，b的值；（2）若点P在抛物线上，且在x轴的下方，作射线BP，当∠PBA＝∠ACO时，求点P 的坐标；（3）若点M在抛物线上，点N在对称轴上，是否存在点B、C、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）由A点坐标和抛物线的对称轴方程可求出答案；（2）得出tan∠PBA＝tan∠ACO＝，求出OE＝，得出点E的坐标，求出直线BE的解析式，联立直线BE和抛物线方程，则可得出点P的坐标；（3）设出点M，N的坐标，分三种情况，利用中点坐标公式建立方程求解即可得出结论．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx﹣3（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0），对称轴为x＝．∴，解得，．∴a＝，b＝﹣．（2）如图，设直线PB与OC交于点E，∵抛物线解析式y＝x2﹣x﹣3与y轴交于点C，∴C（0，3），又∵A（﹣1，0），∴OA＝1，OC＝3，∴tan∠ACO＝，∵∠PBA＝∠ACO，∴tan∠PBA＝tan∠ACO＝，∴OE＝，∴E（0，﹣），设直线BE的解析式为y＝mx+n，∴，解得，∴直线BE的解析式为y＝x﹣，∴，解得，x1＝﹣，x2＝4（舍去），∴P（﹣，﹣）．（3）由（1）知，抛物线解析式为y＝x2﹣x﹣3，对称轴直线为x＝，∴设N（，b），M（m，m2﹣m﹣3），∵以B、C、M、N为顶点的四边形是平行四边形，∴①当CB为对角线时，（0+4）＝（+m），∴m＝，∴M（，﹣），②当CM为对角线时，（m+0）＝（4+），∴m＝，∴M（，），③当CN为对角线时，（0+）＝（4+m），∴m＝﹣，∴M（﹣，），即：抛物线上存在这样的点M，点M的坐标分别为：M（，﹣）或（，）或（﹣，）．26．已知，在矩形ABCD中，AB＝2，点E在边BC上，且AE⊥DE，AE＝DE，点F是BC 的延长线上一点，AF与DE相交于点G，DH⊥AF，垂足为H，DH的延长线与BC相交于点K．（1）如图1，求AD的长；（2）如图2，连接KG，求证：AG＝DK+KG；（3）如图3，设△ADM与△ADH关于AD对称，点N、Q分别是MA、MD的中点，请直接写出BN+NQ的最大值．【分析】（1）证明Rt△ABE≌Rt△DCE（HL），推出BE＝CE，∠AEB＝∠DEC可得结论．（2）如图2中，延长AE交DK的延长线于T．利用全等三角形的性质证明AG＝DT，GK＝KT即可解决问题．（3）延长AB到T，使得BT＝AB，连接TM，取AD的中点O，连接OM，OT．由三角形的中位线定理可得NQ＝AD＝2，再证明BN＝TM，求出TM的最大值即可解决问题．【解答】（1）解：如图1中，∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD，∠B＝∠C＝90°，∵AE＝ED，∴Rt△ABE≌Rt△DCE（HL），∴BE＝CE，∠AEB＝∠DEC，∵AE⊥DE，∴∠AED＝90°，∴∠AEB＝∠DEC＝45°，∴∠BAE＝∠AEB＝45°，∴BE＝AB＝2，∴AD＝BC＝2BE＝4．（2）证明：如图2中，延长AE交DK的延长线于T．∵DH⊥AF，∴∠DHG＝∠AEG＝90°，∵∠AGE＝∠DGH，∴∠1＝∠2，∵∠AEG＝∠DET＝90°，AE＝DE，∴△AEG≌△DET（ASA），∴EG＝ET，AG＝DT，∵∠KEG＝∠KET＝45°，EK＝EK，∴△KEG≌△KET（SAS），∴GK＝KT，∵DT＝DK+KT＝DK+GK，∴AG＝GK+DK．（3）延长AB到T，使得BT＝AB，连接TM，取AD的中点O，连接OM，OT．∵MN＝NA，MQ＝QD，∴NQ＝AD＝2，∴BN的值最大时，BN+NQ的值最大，∵AB＝BT，AN＝NM，∴BN＝TM，∵AB＝BT＝2，AO＝2，∠TAO＝90°，∴OT＝＝＝2，∵∠AMD＝90°，AO＝OD，∴OM＝AD＝2，∵MN≤OT+OM，∴MN≤2+2，∴MN的最大值为2+2，∴BN的最大值为1+，∴BN+QN的最大值为3+．。
2020年重庆市长寿区春招数学试卷 (解析版)
2020年重庆市长寿区春招数学试卷一、选择题（共12小题）.1．﹣2的绝对值是（）A．2B．C．﹣D．﹣22．如图是由4个大小相同的正方体组合而成的几何体，其俯视图是（）A．B．C．D．3．下列运算中，正确的是（）A．a•a2＝a2B．（a2）2＝a4C．a2•a3＝a6D．（a2b）3＝a2•b34．“十三五”以来，我国启动实施了农村饮水安全巩固提升工程．截止去年9月底，各地已累计完成投资1.002×1011元．数据1.002×1011可以表示为（）A．10.02亿B．100.2亿C．1002亿D．10020亿5．一个正比例函数的图象过点（2，﹣3），它的表达式为（）A．B．C．D．6．若一组数据2，4，x，5，7的平均数为5，则这组数据中的x和中位数分别为（）A．5，7B．5，5C．7，5D．7，77．勾股定理是“人类最伟大的十个科学发现之一”．我国对勾股定理的证明是由汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，他用来证明勾股定理的图案被称为“赵爽弦图”.2002年在北京召开的国际数学大会选它作为会徽．下列图案中是“赵爽弦图”的是（）A．B．C．D．8．用三个不等式a＞b，ab＞0，＜中的两个不等式作为题设，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，组成真命题的个数为（）A．0B．1C．2D．39．观察下列等式：70＝1，71＝7，72＝49，73＝343，74＝2401，75＝16807，…，根据其中的规律可得70+71+72+…+72020的结果的个位数字是（）A．0B．1C．7D．810．如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的两点，且BC平分∠ABD，AD分别与BC，OC相交于点E，F，则下列结论不一定成立的是（）A．OC∥BD B．AD⊥OC C．△CEF≌△BED D．AF＝FD11．关于x的一元二次方程x2+2mx+m2+m＝0的两个实数根的平方和为12，则m的值为（）A．m＝﹣2B．m＝3C．m＝3或m＝﹣2D．m＝﹣3或m＝2 12．从﹣4，﹣3，1，3，4这五个数中，随机抽取一个数，记为m，若m使得关于x，y的二元一次方程组有解，且使关于x的分式方程﹣1＝有正数解，那么这五个数中所有满足条件的m的值之和是（）A．1B．2C．﹣1D．﹣2二、填空题（本大题6小题，每小题4分，满分24分：请将正确答案填在答题卡相应位置）13．计算（）2+1的结果是．14．如图，AD∥CE，∠ABC＝100°，则∠2﹣∠1的度数是．15．如图，当小杰沿坡度i＝1：5的坡面由B到A行走了26米时，小杰实际上升高度AC ＝米．（可以用根号表示）16．如图，在P处利用测角仪测得某建筑物AB的顶端B点的仰角为60°，点C的仰角为45°，点P到建筑物的距离为PD＝20米，则BC＝米．17．如图，E，F是正方形ABCD的对角线AC上的两点，AC＝8，AE＝CF＝2，则四边形BEDF的周长是．18．如图，△ABC与△AEF中，AB＝AE，BC＝EF，∠B＝∠E，AB交EF于D．给出下列结论：①∠AFD＝∠C；②DF＝BF；③△ADE∽△FDB；④∠BFD＝∠CAF．其中正确的结论是（填写所有正确结论的序号）．三、解答题（本大题8个小题，第26题8分，其余每小题10分，共78分，解答每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上）。
2020年重庆市南岸区春招数学试卷
2020年重庆市南岸区春招数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共48.0分）1.在下列各数中，比−1小的数是()A. 0B. 1C. 2D. −22.计算(2x)3的结果是()A. 8x3B. 8xC. 6x3D. 2x33.下列命题是真命题的是()A. 等边三角形是中心对称图形B. 等腰三角形是轴对称图形C. 等腰直角三角形是中心对称图形D. 直角三角形是轴对称图形4.如图，小树AB在路灯O的照射下形成投影BC.若树高AB=2m，树影BC=3m，树与路灯的水平距离BP=4.5m.则路灯的高度OP为()A. 3mB. 4mC. 4.5mD. 5m5.下列整数中，与9−√17最接近的是()A. 4B. 5C. 6D. 76.在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AB与⊙C相切于点D，若AB=6，则CD的长为()A. 32B. 3√32C. 3D. 3√37.按照如图所示的流程，若输出的M=3，则输入的m为()A. −1B. 0C. 1D. 38.2020年5月以来，各地根据疫情防控工作需要，对重点人群进行核酸检测．为尽快完成检测任务，某地组织甲、乙两支医疗队，分别开展检测工作，甲队比乙队每小时多检测15人，甲队检测600人比乙队检测500人所用的时间少10%.若设甲队每小时检测x人，根据题意，可列方程为()A. 600x =500x−15×(1−10%) B. 600x×(1−10%)=500x−15C. 600x−15=500x×(1−10%) D. 600x−15×(1−10%)=500x9.在△ABC中，∠ACB为钝角．用直尺和圆规在边AB上确定一点D.使∠ADC=2∠B，则符合要求的作图痕迹是()A. B.C. D.10. 如图，某校教学楼AB 后方有一斜坡，斜坡与教学楼剖面在同一平面内，已知斜坡CD 的长为6m ，坡度i =1：0.75，教学楼底部到斜坡底部的水平距离AC =8m ，在教学楼顶部B 点测得斜坡顶部D 点的俯角为46°，则教学楼的高度约为( )(参考数据：sin46°≈0.72，cos46°≈0.69，tan46°≈1.04)A. 12.1mB. 13.3mC. 16.9mD. 18.1m11. 如图，把△ABC 纸片沿DE ，EF ，DG 折叠后，A ，B ，C 三点都与BC 边上的点M 重合，得到矩形DEFG ，连接DF ，若△DGM 和△DMF 均是等腰三角形，DG =1，则△ABC 的周长为( )A. 4+2√2+2√3B. 2+4√2+2√3C. 2+2√2+4√3D. 4+2√2 12. 如图，点A 与点B 关于原点对称，点C 在第四象限，∠ACB =90°.点D 是x 轴正半轴上一点，AC 平分∠BAD ，E 是AD 的中点，反比例函数y =kx (k >0)的图象经过点A ，E.若△ACE 的面积为6，则k 的值为( )A. 4B. 6C. 8D. 12二、填空题（本大题共6小题，共24.0分） 13. 不等式组{x >1x −2≤3的解集是______．14. 据了解，重庆市为确保2020年完成3万个5G 基站建设目标的顺利完成，3月1日已经建设开通5G 基站数超过10100个．请把数10100用科学记数法表示为______． 15. 在如图所示的电路图中，当随机闭合开关K 1，K 2，K 3中的两个时，能够让灯泡发光的概率为______．16. 在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，AC =4，BC =2.分别以点B ，A 为圆心，以BC 长为半径画弧，交AB于点D ，E ，交AC 于点F ，则图中的阴影部分的面积为______.(用含π的代数式表示)17. 在一段长为1000m 的笔直道路AB 上，甲、乙两名运动员分别从A ，B 两地出发进行往返跑训练．已知甲比乙先出发30秒钟，甲距A 点的距离y/m 与其出发的时间x/分钟的函数图象如图所示．乙的速度是200m/分钟，当乙到达A 点后立即按原速返回B 点．当两人第二次相遇时，乙跑的总路程是______m.18. 计费项目 里程费 时长费 远途费 单价2元/公里0.3元/分钟1元/公里注：车费由里程费、时长费、远途费三部分构成，其中里程费按行车的实际里程计算；时长费按行车的实际时间计算；远途费的收取方式为：行车里程7公里以内(含7公里)不收远途费，超过7公里的，超出部分每公里收1元．小李与小张分别从不同地点，各自同时乘坐滴滴快车，到同一地点相见，已知到达约定地点时他们的实际行车里程分别为7公里与9公里，两人付给滴滴快车的乘车费相同．其中一人先到达约定地点，他等候另一人的时间等于他自己实际乘车时间，且恰好是另一人实际乘车时间的一半，则小李的乘车费为______元． 三、解答题（本大题共8小题，共78.0分） 19. 计算：(1)(2x +y)(x +y)+(x −y)2；(2)(a −3a−4a−1)÷a 2−4a−1．20. 如图，AB//CD ，AD 与BC 相交于点E ，AF 平分∠BAD ，交BC 于点F ，交CD 的延长线于点G ．(1)若∠G =29°，求∠ADC 的度数；(2)若点F 是BC 的中点，求证：AB =AD +CD ．21.经历疫情复学后，学校开展了多种形式的防疫知识讲座，并举行了全员参加的“防疫”知识竞赛，试卷题目共10题，每题10分．现分别从七年级1，2，3班中各随机抽取10名同学的成绩(单位：分)．收集整理数据如下：分析数据：平均数中位数众数1班83a802班83b c3班d8080根据以上信息回答下列问题：(1)请直接写出表格中a，b，c，d的值；(2)比较这三组样本数据的平均数、中位数和众数，你认为哪个班的成绩比较好？请说明理由(一条理由即可)；(3)为了让学生重视安全知识的学习，学校将给竞赛成绩满分的同学颁发奖状，该校七年级学生共120人，试估计需要准备多少张奖状？22.已知函数y=k|x+2|+b的图象经过点(−2,4)和(−6,−2)，完成下面问题：(1)求函数y=k|x+2|+b的表达式；(2)在给出的平面直角坐标系中，请用适当的方法画出这个函数的图象，并写出这个函数的一条性质；x+1的图象如图所示，结合你所画出y=k|x+2|+b的图象，(3)已知函数y=12x+1的解集．直接写出k|x+2|+b>1223. 在疫情期间，某地推出线上名师公益大课堂，为广大师生、其他社会人士提供线上专业知识学习、心理健康疏导．参与学习第一批公益课的人数达到2万人，因该公益课社会反响良好，参与学习第三批公益课的人数达到2.42万人．参与学习第二批、第三批公益课的人数的增长率相同． (1)求这个增长率；(2)据大数据统计，参与学习第三批公益课的人数中，师生人数在参与学习第二批公益课的师生人数的基础上增加了80%；但因为已经部分复工，其他社会人士的人数在参与学习第二批公益课的其他社会人士人数的基础上减少了60%.求参与学习第三批公益课的师生人数． 24. 对于任意一个四位数，我们可以记为abcd −，即abcd −=1000a +100b +10c +d.若规定：对四位正整数abcd −进行F 运算，得到整数F(abcd −)=a 4+b 3+c 2+d 1.例如，F(1249)=14+23+42+91=34；F(2020)=24+03+22+01=20． (1)计算：F(2137)；(2)当c =e +2时，证明：F(abcd −)−F(abed −)的结果一定是4的倍数； (3)求出满足F(32xy −)=98的所有四位数．25.如图，在平面直角坐标系内，点A，B的坐标分别为(1,0)，(0,2)，AC⊥AB，且AB=AC，直线BC交x轴于点D，抛物线y=ax2+bx+2经过点A，B，D．(1)求直线BC和抛物线y=ax2+bx+2的函数表达式；(2)点P是直线BD下方的抛物线上一点，求△PCD面积的最大值，以及△PCD面积取得最大值时，点P的坐标；(3)若点P的坐标为(2)小题中，△PCD的面积取得最大值时对应的坐标．平面内存在直线l，使点B，D，P到该直线的距离都相等，请直接写出所有满足条件的直线l的函数表达式．26.如图1，在正方形ABCD中，点E是边BC上一点，连接AE，过点E作EM⊥AE，交对角线AC于点M，过点M作MN⊥AB，垂足为N，连接NE．(1)求证：AE=√2NE+ME；(2)如图2，延长EM至点F，使EF=EA，连接AF，过点F作FH⊥DC，垂足为H．猜想CH与FH存在的数量关系，并证明你的结论；(3)在(2)的条件下，若点G是AF的中点，连接GH.当GH=CH时，直接写出GH与AC之间存在的数量关系．答案和解析1.【答案】D【解析】解：A、0>−1，故本选项不符合题意；B、1>−1，故本选项不符合题意；C、2>−1，故本选项不符合题意；D、−2<−1，故本选项符合题意；故选：D．根据有理数的大小比较法则逐个判断即可．本题考查了有理数的大小比较，能熟记有理数的大小比较的内容是解此题的关键，注意：正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数，两个负数比较大小，其绝对值大的反而小．2.【答案】A【解析】解：(2x)3=23⋅x3=8x3．故选：A．根据积的乘方运算法则计算即可，积的乘方，等于每个因式乘方的积．本题主要考查了积的乘方，熟记幂的运算法则是解答本题的关键．3.【答案】B【解析】解：A、等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，原命题是假命题；B、等腰三角形是轴对称图形，是真命题；C、等腰直角三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，原命题是假命题；D、直角三角形不是轴对称图形，原命题是假命题；故选：B．根据中心对称图形和轴对称图形判断即可．本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．4.【答案】D【解析】解：∵AB//OP，∴△CAB∽△COP，∴CBCP =ABOP，∴37.5=2OP，∴OP=5(m)，故选：D．利用相似三角形的性质求解即可．本题考查中心投影，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．5.【答案】B【解析】解：∵16<17<25，∴4<√17<5，∴√17最接近的整数为4，∴9−√17最接近的整数为5．故选：B．利用16<17<25可判断√17最接近的整数为4，从而得到9−√17最接近的整数．本题考查了估算无理数：利用完全平方数去估算无理数大小．6.【答案】B【解析】解：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，∴AC=12AB=3，∠A=60°，∵AB与⊙C相切，∴CD⊥AB，∴∠ADC=90°，∴CD=AC⋅sinA=3×√32=3√32，故选：B．根据直角三角形的性质得到AC=12AB=3，根据切线的性质得到∠ADC=90°，解直角三角形得到答案．本题考查的是切线的性质、直角三角形的性质，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．7.【答案】D【解析】解：当m2−2m≥0时，6m−1=3，解得m=3，经检验，m=3是原方程的解，并且满足m2−2m≥0；当m2−2m<0时，m−3=3，解得m=6，不满足m2−2m<0，舍去．故输入的m为3．故选：D．根据题目中的程序，利用分类讨论的方法可以分别求得m的值，从而可以解答本题．本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确有理数混合运算的计算方法．8.【答案】A【解析】解：由题意可得，600 x =500x−15×(1−10%)，故选：A．根据题意，可以列出相应的分式方程，从而可以解答本题．本题考查由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应的分式方程．9.【答案】C【解析】解：∵∠ADC=∠B+∠BCD，∠ADC=2∠B，∴∠B=∠BCD，∴DB=DC，∴点D为BC的垂直平分线与AB的交点．故选：C．利用三角形外角性质得到∠B=∠BCD，利用等腰三角形的判定得到DB=DC，然后根据线段垂直平分线的作法对各选项进行判断．本题考查了作图−复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．10.【答案】C【解析】解：如图，过点D作DE⊥AC，DF⊥AB于点E，F，根据题意可知：BA⊥AC，∴四边形FAED是矩形，∴FA=DE，DF=AE，∵斜坡CD的长为6m，坡度i=DE：CE=1：0.75，∴DE=4.8，CE=3.6，∴DF=AE=AC+CE=11.6，在Rt△BFD中，∠BDF=46°，∴BF=DF⋅tan46°≈11.6×1.04≈12.064，∴BA=BF+FA=12.064+4.8≈16.9(m)．所以教学楼的高度约为16.9米．故选：C．过点D作DE⊥AC，DF⊥AB于点E，F，根据题意可得，四边形FAED是矩形，再根据锐角三角函数即可求出教学楼的高度．本题考查了解直角三角形的应用−仰角俯角问题、坡度坡角问题，解决本题的关键是掌握仰角俯角和坡度坡角定义．11.【答案】B【解析】解：∵四边形DEFG是矩形，∴DG=EF=1，∠DGM=90°=∠EFM，∵△DGM是等腰三角形，DG=1，∴DG=EF=1=GM，∴DM=√2DG=√2，∵△DMF均是等腰三角形，∴DM=FM=√2，∴ME=√MF2+EF2=√2+1=√3，∵把△ABC纸片沿DE，EF，DG折叠后，A，B，C三点都与BC边上的点M重合，∴BG=GM=1，AD=DM=DB=√2，AE=ME=EC=√3，MF=FC=√2，∴△ABC的周长=AB+AC+BC=AD+BD+AE+EC+BG+GM+MF+FC=4√2+2+2√3，故选：B．由矩形的性质可得DG=EF=1，∠DGM=90°=∠EFM，由等腰三角形的性质和勾股定理可求DM=FM=√2，ME=√3，由折叠的性质可得BG=GM=1，AD=DM= DB=√2，AE=ME=EC=√3，MF=FC=√2，即可求解．本题考查了翻折变换，等腰三角形的性质，矩形的性质，熟练运用折叠的性质是本题的关键．12.【答案】C【解析】解：连接OC，在Rt△ABC中，点O是AB的中点，∴OC=12AB=OA，∴∠OAC=∠OCA，∵AC是∠BAD的角平分线，∴∠OAC=∠EAC，∴∠OCA=∠EAC，∴AE//OC∴S△AEC=S△AOE，过A作AM⊥x轴于M，过E作EN⊥x轴于N，∵A、E都在反比例函数y=kx的图象上，∴S△AOM=S△EON，∴S梯形AMNE=S△AOE，∵AM//EN，∴△DAM∽△DEN，∵AE=DE，S梯形AMNE=S△AOE=S△AEC=6，∴S△AOD=12，延长DA交y轴于P，易得△DAM∽△DPO，设EN=a，则AM=2a，∴ON=ka ，OM=k2a，∴MN=k2a ，DN=k2a，∴DM：OM=2：1，∴S△DAM：S△AOM=2：1，∴S△AOM=4，∴k=8．故选：C．连接OC，在Rt△ABC中，点O是AB的中点，得到OC=12AB=OA，根据角平分线的定义得到∠OAC=∠EAC，得到∠OCA=∠EAC，过A作AM⊥x轴于M，过D作DN⊥x轴于N，易得S梯形AMNC=S△AOC，△DAM∽△DEN，得到S梯形AMNC=S△AOC=S△AEC=6，求得S△AOD=9，延长DA交y轴于P，易得△DAM∽△DPO，设EN=a，则AM=2a，推出S△DAM：S△AOM=2：1，于是得到结论．本题考查反比例函数k的意义；借助直角三角形和角平分线，将△ACE的面积转化为△AOC的面积是解题的关键．13.【答案】1<x≤5【解析】解：解不等式x−2≤3，得：x≤5，又x>1，∴1<x≤5，故答案为：1<x≤5．分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．14.【答案】1.01×104【解析】解：将10100用科学记数法表示为：1.01×104．故答案为：1.01×104．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数．此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．15.【答案】23【解析】解：画树状图得：∵共有6种等可能的结果，能够让灯泡发光的是闭合(K1,K3)，(K1,K2)，(K3,K1)，(K2,K1)，∴能够让灯泡发光的概率为：46=23，故答案为：23．根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与能够让灯泡发光的情况，然后利用概率公式求解即可求得答案．此题考查了列表法与树状图法求概率的知识．注意概率=所求情况数与总情况数之比．16.【答案】4−π【解析】解：∵∠ACB=90°，∴∠A+∠B=90°，∴S扇形EAF +S△DBC=90×π×22360=π，∴图中的阴影部分的面积=S△ABC−(S扇形EAF+S△DBC)=12×4×2−π=4−π．故答案为4−π．先利用扇形的面积公式计算S扇形EAF +S△DBC=90×π×22360=π，然后利用图中的阴影部分的面积=S△ABC−(S扇形EAF+S△DBC)计算计算．本题考查了扇形面积的计算：扇形面积计算公式：设圆心角是n°，圆的半径为R的扇形面积为S，则S扇形=n360πR2或S扇形=12lR(其中l为扇形的弧长).求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积．17.【答案】125009【解析】解：甲的速度为：1000÷4=250(米/分钟)，两人第一次相遇时处于两人都未跑完一个1000m时，由图象可知时间处于4分钟以内；∵甲比乙先出发30秒钟，∴当x=5分钟时，乙跑了4.5分钟，此时乙跑了200×4.5=900<1000(m)；设甲出发x分钟后两人第二次相遇时，根据题意得：(250+200)(x−5)=(1000−900+1000)，解得：x=679，当两人第二次相遇时，乙跑的总路程是200×(679−12)=125009(m)．故答案为：125009．据函数图象中的数据求出甲的速度，进而求出两人第二次相遇时甲出发的时间，从而得出当两人第二次相遇时，乙跑的总路程．本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答．18.【答案】26【解析】解：设先到达约定地点的实际乘车时间为x分钟，则后到达约定地点的实际乘车时间为2x分钟，依题意，得：2×7+0.3×2x=2×9+0.3x+1×(9−7)，解得：x=20，∴2×7+0.3×2x=26．故答案为：26．设先到达约定地点的实际乘车时间为x分钟，则后到达约定地点的实际乘车时间为2x 分钟，根据两人的乘车费用相同，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出x的值，再将其代入(2×7+0.3×2x)中即可求出结论．本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．19.【答案】解：(1)(2x+y)(x+y)+(x−y)2=2x2+2xy+xy+y2+x2−2xy+y2=3x2+xy+2y2；(2)(a−3a−4a−1)÷a2−4a−1=a(a−1)−(3a−4)a−1⋅a−1(a+2)(a−2)=a2−a−3a+4 (a+2)(a−2)=(a−2)2 (a+2)(a−2)=a−2a+2．【解析】(1)根据分多项式乘多项式和完全平方公式可以解答本题；(2)根据分式的减法和除法可以解答本题．本题考查分式的混合运算、多项式乘多项式和完全平方公式，解答本题的关键是明确分式混合运算的计算方法．20.【答案】证明：(1)∵AB//CD，∴∠BAG=∠G，∠BAD=∠ADC．∵AF平分∠BAD，∴∠BAD=2∠BAG=2∠G．∴∠ADC=∠BAD=2∠G．∵∠G=29°，∴∠ADC=58°；(2)∵AF平分∠BAD，∴∠BAG=∠DAG．∵∠BAG=∠G，∴∠DAG=∠G．∴AD=GD．∵点F是BC的中点，∴BF=CF．在△ABF和△GCF中，∵{∠BAF=∠G,∠AFB=∠GFC, FB=FC.∴△ABF≌△GCF(AAS)，∴AB=GC．∴AB=GD+CD=AD+CD．【解析】(1)根据平等线的性质得∠BAG=∠G，∠BAD=∠ADC.进而证由角平分线的性质得∠ADC=∠BAD=2∠G.便可求得结果；(2)先由角平分线条件证明AD=DG，再证明△ABF≌△GCF，便可得结论．本题主要考查了全等三角形的性质与判定，平行线的性质，等腰三角形的性质与判定，关键是证明三角形全等．21.【答案】解：(1)一班10个数据的中第5、第6个数据都是80分，所以a=80；二班10个数据的中第5、第6个数据分部是80分、90分，所以b=85；二班10个数据的中90分出现的次数最短，所以c=90；三班的平均数d =110(60+70+80×4+90×2+100×2)=83；(2)我认为七年级2班的成绩比较好，随机抽取的样本中，三个班样本成绩的平均数都为83，2班成绩的中位数为85，大于1班和3班成绩的中位数80； 2班成绩的众数90大于1班和3班成绩的众数80；(3)因为所抽取的样本中，样本总量是30，而其中满分人数是1+1+2=4． 所以430×120=16答：估计需要准备的奖状是16张．【解析】(1)利用折线统计图得到一班和二班的成绩，然后利用中位数的定义确定a 、b 值，利用众数的定义确定c 的值；利用平均数的计算方法确定d 的值； (2)利用中位数和众数的意义进行判断；(3)求出样本中满分的同学所占的百分比，然后120乘以这个百分比可估计该校七年级学生的满分人数．本题考查了折线统计图：折线图是用一个单位表示一定的数量，根据数量的多少描出各点，然后把各点用线段依次连接起来．以折线的上升或下降来表示统计数量增减变化．折线图不但可以表示出数量的多少，而且能够清楚地表示出数量的增减变化情况．也考查了中位数、众数和平均数．22.【答案】解：(1)根据题意，得{b =4k ⋅|−6+2|+b =−2，解方程组，得{k =−32b =4，所求函数表达式为y =−32|x +2|+4； (2)函数的图象如图所示，性质为：①当x <−2时，y 随x 增大而增大；当x >−2时，y 随x 增大而减少． ②当x =−2时，该函数取得最大值，函数的最大值为4． (3)由图象可知：k|x +2|+b >12x +1的解集为：−6<x <0．【解析】(1)根据待定系数法求得即可； (2)画出函数的图象，根据图象得出性质； (3)根据图象求得即可．本题考查了一次函数的图象和性质，一次函数与一元一次不等式，待定系数法求一次函数的解析式，数形结合是解题的关键．23.【答案】解：(1)设参与学习第二批、第三批公益课的人数的增长率为x ，根据题意，得2(1+x)2=2.42，解得x 1=−2.1(舍去)，x 2=0.1=10%．答：参与学习第二批、第三批公益课的人数的增长率为10%．(2)设参与学习第二批公益课的人数中，师生有a 万人，其他人士有b 万人． 根据题意，得{a +b =2×(1+10%)a ×(1+80%)+b ×(1−60%)=2.42． 解方程组，得{a =1.1b =1.1a ×(1+80%)=1.1×1.8=1.98．答：参与第三批公益课的师生人数为1.98万人．【解析】(1)设参与学习第二批、第三批公益课的人数的增长率为x ，根据“第一批公益课受益学生2万人次，第三批公益课受益学生2.42万人次”可列方程求解．(2)设参与学习第二批公益课的人数中，师生有a 万人，其他人士有b 万人．根据“第三批公益课的人数=第二批公益课的师生人数×(1+80%)”、“其他社会人士的人数在参与学习第二批公益课的其他社会人士人数的基础上减少了60%”列出方程组并解答． 本题考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．24.【答案】解：(1)F(2137)=24+13+32+71=16+1+9+7=33； (2)∴F(abcd −)−F(abed −)=(a 4+b 3+c 2+d)−(a 4+b 3+e 2+d)=c 2−e 2， ∵c =e +2，原式=(e +2)2−e 2=4e +4=4(e +1)． ∵e ≥0，且e 是整数， ∴4(e +1)是4的倍数．所以，当c =e +2时，F(abcd −)−F(abed −)的结果一定是4的倍数． (3)∵F(32xy −)=34+23+x 2+y ， ∴34+23+x 2+y =98，即x 2+y =9． ∵0≤y ≤9， ∴0≤x 2≤9．∴0≤x ≤3，且x 为整数．∴{x =0y =9或{x =1y =8或{x =2y =5或{x =3y =0． 所以，满足条件的四位数有3209，3218，3225，3230．【解析】(1)根据F(abcd −)=a 4+b 3+c 2+d 1代入数据计算即可求解；(2)根据F(abcd −)=a 4+b 3+c 2+d 1得到F(abcd −)−F(abed −)=c 2−e 2，再根据已知条件c =e +2，可得原式=4(e +1)，依此即可求解；(3)首先得到x 2+y =9，再根据整数的性质确定0≤x ≤3，且x 为整数，可求对应的y 值，从而求解．考查了数的十进制，因式分解的应用，理解题意，从题目中获取信息，由数的特点求解是解题的关键．25.【答案】解：(1)过点C 作CE ⊥x 轴，垂足为E ．∵AB =AC ，∠AOB =∠CEA =90°，∠ABO =∠CAE ， ∴△ABO ≌△CAE(AAS)． ∴AO =CE ，BO =AE ． ∵A(1,0)，B(0,2)，∴CE =AO =1，AE =BO =2． ∴C(3,1)．设直线BC 的函数表达式为y =kx +s(k ≠0)．把点B(0,2)，C(3,1)代入，得{s =23k +s =1，解得{k =−13s =2， 所以，直线BC 的函数表达式为y =−13x +2． 令y =0，得x =6，则D(6,0)．∵抛物线y =ax 2+bx +2经过点A(1,0)，D (6,0)，则{a +b +c =036a +6b +2=0.解得{a =13b =−73， ∴抛物线的函数表达式为y =13x 2−73x +2．(2)过点P 作x 轴的垂线，垂足为H ，交BD 于点F.令P 的横坐标为t ．∵点P 在BD 直线下方的抛物线上移动， ∴PF =−13t +2−(13t 2−73t +2)=−13t 2+2t ．过点C 作CG ⊥PF ，垂足为G ．∴S △PCD =S △PCF +S △PDF =12PF ⋅CG +12PF ⋅DH =12PF(CG +DH)， 即S △PCD =12×(−13t 2+2t)[(6−t)+(t −3)]=−12(t −3)2+92． 所以，当t =3时，△PCD 的面积取得最大值，最大值为92． 此时点P 坐标为(3,−2)．(3)满足条件的直线有三条，是△PDB 三条中位线所在的直线．由点P 、D 、B 的坐标可得，PD 、BD 、PB 的中点分别为：(92,−1)、(3,1)、(32,0)，设过(92,−1)、(3,1)的直线表达式为y=mx+n，则{3m+n=192m+n=−1，解得{m=−43n=5，故直线的表达式为：y=−43x+5，同理其它两条直线的表达式为：y=−13x+12或y=23x−1．三条直线的函数表达式分别为y=−13x+12，y=−43x+5，y=23x−1．【解析】(1)证明△ABO≌△CAE(AAS)，求出点C的坐标，进而求解；(2)利用S△PCD=S△PCF+S△PDF=12PF⋅CG+12PF⋅DH=12PF(CG+DH)，即可求解；(3)满足条件的直线有三条，是△PDB三条中位线所在的直线，即可求解．本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、三角形全等、三角形中位线的性质、面积的计算等，综合性强，有一定的难度．26.【答案】(1)证明：如图1，过点N作NK⊥NE，交AE于点K．∴∠KNE=90°．∵MN⊥AB，∴∠MNA=90°．∴∠ANK=∠MNE．∵ME⊥AE，∴∠AEM=∠ANM=90°．∴∠NAK=∠NME．∵四边形ABCD是正方形，∠ANM=90°．∴∠MAN=∠NMA=45°．∴AN=MN．在△ANK和△MNE中，∵{∠NAK=∠NME AN=MN∠ANK=∠MNE，∴△ANK≌△MNE(ASA)．∴AK=ME，NK=NE．∴KE=√2NE．∴AE=AK+KE=ME+√2NE．(2)解：CH=FH．如图2，过点F作FP⊥BC，交BC的延长线于点P．∴∠P=90°．∵∠BAE+∠AEB=∠FEP+∠AEB=90°，∴∠BAE=∠FEP．∵四边形ABCD是正方形，∴∠B=∠BCD=∠PCD=90°，AB=BC．∵FH⊥CD，∴∠FHC=90°．∴∠P=∠PCH=∠CHF=90°．∴四边形PCHF是矩形．在△ABE和△EPF中，∵{∠B=∠P∠BAE=∠PEF AE=EF，∴△ABE≌△EPF(AAS)．∴BE=PF，AB=EP．∵AB=BC，∴EP=BC．∴CP=BE=PF．∴矩形PCHF是正方形．∴FH=CH．(3)AC=(2+√2)GH．如图3，延长FH交AC于点Q，在正方形ABCD中，∠ACD=45°，∵∠FHC=90°，∴∠HQC=∠HCQ=45°，∴CH=HQ，CQ=√2CH，∵CH=FH，∴HQ=FH，∵G是AF的中点，AQ，∴GH=12又∵GH=CH，∴CQ=√2GH，∴AC=AQ+CQ=2GH+√2GH=(2+√2)GH．【解析】(1)证明△ANK≌△MNE(ASA).得出AK=ME，NK=NE.则结论得证；(2)得出∠P=∠PCH=∠CHF=90°.则四边形PCHF是矩形．证明△ABE≌△EPF(AAS).得出BE=PF，AB=EP.可证得CP=BE=PF.得出矩形PCHF是正方形，则结论得证；(3)延长FH交AC于点Q，由中位线定理可得出AQ=2GH，由等腰直角三角形的性质可得出CQ=√2GH，则可得出结论．本题是四边形综合题，考查了正方形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，中位线定理等知识，解答时运用等腰直角三角形的性质和证明三角形的全等是关键．。
重庆市北碚区2020年中考数学春招模拟试卷(含解析)
重庆市北碚区2020年中考数学春招模拟试卷一、选择题（共12小题）.1．实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，则下列判断正确的是（）A．a＞0 B．b＜1 C．a＜b D．a＞﹣22．如图是由4个相同的小正方体组成的一个立体图形，其主视图是（）A．B．C．D．3．下列计算正确的是（）A．（x3）4＝x7B．x3•x2＝x5C．x+2x＝3x2D．x﹣2＝﹣4．下列命题正确的是（）A．过线段中点的直线上任意一点到线段两端的距离相等B．垂直于线段的直线上任意一点到线段两端的距离相等C．线段垂直平分线上任意一点到线段两端的距离相等D．线段垂直平分线上的点到线段上任意两点的距离相等5．按如图所示的运算程序，能使输出m的值为1的是（）A．x＝1，y＝1 B．x＝2，y＝0 C．x＝1，y＝2 D．x＝3，y＝2 6．估计×+÷的值应在（）A．7和8之间B．8和9之间C．9和10之间D．10和11之间7．如图，AB是⊙O的直径，点P在BA的延长线上，PA＝AO，PD与⊙O相切于点D，BC⊥AB交PD的延长线于点C，若⊙O的半径为1，则BC的长是（）A．1.5 B．2 C．D．8．如图，在平面直角坐标系中，等腰Rt△ABC与等腰Rt△CDE关于原点O成位似关系，相似比为1：3，∠ACB＝∠CED＝90°，A、C、E是x轴正半轴上的点，B、D是第一象限的点，BC＝2，则点D的坐标是（）A．（9，6）B．（8，6）C．（6，9）D．（6，8）9．如图，为加快5G网络建设，某通信公司在一个坡度i＝1：2.4的山坡AB上建了一座信号塔CD，信号塔底端C到山脚A的距离AC＝13米，在距山脚A水平距离18米的E处，有一高度为10米的建筑物EF，在建筑物顶端F处测得信号塔顶端D的仰角为37°（信号塔及山坡的剖面和建筑物的剖面在同一平面上），则信号塔CD的高度约是（）（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）A．22.5米B．27.5米C．32.5米D．45.0米10．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点B、D在反比例函数y═（k＞0）的图象上，对角线AC与BD相交于坐标原点O，若点A（﹣1，2），菱形的边长为5，则k的值是（）A．4 B．8 C．12 D．1611．若数a使关于x 的分式方程+＝1有非负整数解，且使关于y 的不等式组至少有3个整数解，则符合条件的所有整数a的和是（）A．﹣5 B．﹣3 C．0 D．212．二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0，c＞0）的自变量x与函数值y的部分对应值如表：x…﹣1 0 1 2 3 …y＝…p t n t0 …ax2+bx+c有下列结论：①b＞0；②关于x的方程ax2+bx+c＝0的两个根是0和3；③p+2t＜0；④m （am+b）≤﹣4a﹣c（m为任意实数）．其中正确结论的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）13．计算：（3﹣π）0﹣＝．14．代数式有意义，则x的取值范围是．15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝50°，AB＝10，D是AB的中点，以点C为圆心，CD长为半径画弧，交BC于点E，则图中阴影部分的面积是．（结果保留π）16．点A的坐标是A（x，y），从1、2、3这三个数中任取一个数作为x的值，再从余下的两个数中任取一个数作为y的值．则点A落在直线y＝﹣x+5与直线y＝x及y轴所围成的封闭区域内（含边界）的概率是．17．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC＝2，∠ABC＝30°，AD为BC边上的高，E、F分别为AB、AC边上的点，将△ABC分别沿DE、DF折叠，使点B落在DA的延长线上点M处，点C落在点N处，连接MN，若MN∥AC，则AF的长是．18．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝2，∠ABC＝45°，点E为射线AD上一动点，连接BE，将BE绕点B逆时针旋转60°得到BF，连接AF，则AF的最小值是．三.解答题：（本大题7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．19．（1）解方程组．（2）计算：（x+）÷．20．如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别是DA、BC延长线上的点，且∠ABE＝∠CDF．求证：（1）△ABE≌△CDF；（2）四边形EBFD是平行四边形．21．某校为提高学生体考成绩，对全校300名九年级学生进行一分种跳绳训练．为了解学生训练效果，学校体育组在九年级上学期开学初和学期末分别对九年级学生进行一分种跳绳测试，学生成绩均为整数，满分20分，大于18分为优秀．现随机抽取了同一部分学生的两次成绩进行整理、描述和分析．（成绩得分用x表示，共分成五组：A．x＜13，B.13≤x＜15，C.15≤x＜17，D.17≤x＜19，E.19≤x≤20）开学初抽取学生的成绩在D组中的数据是：17，17，17，17，17，18，18．学期末抽取学生成绩统计表学生成绩A组B组C组D组E组人数0 1 4 5 a 分析数据：平均数中位数众数开学初抽取学生成绩16 b17学期末抽取学生成绩18 18.5 19根据以上信息，解答下列问题：（1）直接写出图表中a、b的值，并补全条形统计图；（2）假设该校九年级学生都参加了两次测试，估计该校学期末成绩优秀的学生人数比开学初成绩优秀的学生人数增加了多少？（3）小莉开学初测试成绩16分，学期末测试成绩19分，根据抽查的相关数据，请选择一个合适的统计量评价小莉的训练效果．22．某数学小组对函数y1＝图象和性质进行探究．当x＝4时，y1＝0．（1）当x＝5时，求y1的值；（2）在给出的平面直角坐标系中，补全这个函数的图象，并写出这个函数的一条性质；（3）进一步探究函数图象并解决问题：已知函数y2＝﹣的图象如图所示，结合函数y1的图象，直接写出不等式y1≥y2的解集．23．某商场销售A、B两种新型小家电，A型每台进价40元，售价50元，B型每台进价32元，售价40元，4月份售出A型40台，且销售这两种小家电共获利不少于800元．（1）求4月份售出B型小家电至少多少台？（2）经市场调查，5月份A型售价每降低1元，销量将增加10台；B型售价每降低1元，销量将在4月份最低销量的基础上增加15台．为尽可能让消费者获得实惠，商场计划5月份A、B两种小家电都降低相同价格，且希望销售这两种小家电共获利965元，则这两种小家电都应降低多少元？24．对任意一个两位数m，如果m等于两个正整数的平方和，那么称这个两位数m为“平方和数”，若m＝a2+b2（a、b为正整数），记A（m）＝ab．例如：29＝22+52，29就是一个“平方和数”，则A（29）＝2×5＝10．（1）判断25是否是“平方和数”，若是，请计算A（25）的值；若不是，请说明理由；（2）若k是一个“平方和数”，且A（k）＝，求k的值．25．如图，一个二次函数的图象经过点A（0，1），它的顶点为B（1，3）．（1）求这个二次函数的表达式；（2）过点A作AC⊥AB交抛物线于点C，点P是直线AC上方抛物线上的一点，当△APC 面积最大时，求点P的坐标和△APC的面积最大值．四、解答题：（本大题1个小题，共8分）解答时必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括作辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．26．如图1，在正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E为线段BO上一点，连接CE，将CE绕点C顺时针旋转90°得到CF，连接EF交CD于点G．（1）若AB＝4，BE＝，求△CEF的面积．（2）如图2，线段FE的延长线交AB于点H，过点F作FM⊥CD于点M，求证：BH+MG＝BE；（3）如图3，点E为射线OD上一点，线段FE的延长线交直线CD于点G，交直线AB于点H，过点F作FM垂直直线CD于点M，请直接写出线段BH、MG、BE的数量关系．参考答案1．C．2．A．3．B．4．C．5．D．6．A．7．D．8．A．9．B．10．B．11．D．12．C．13．﹣1．14．x＞4．15．π．16．．17．．18．．19．解：（1），①+②，得4x＝12，解得，x＝3，将x＝3代入①，得y＝﹣1，故原方程组的解为；（2）（x+）÷＝＝＝＝．20．【解答】证明：（1）∵四边形ABD是平行四边形，∴AB＝CD，∠BAD＝∠DCB，∴∠BAE＝∠DCF，在△ABE和△CDF中，，∴△ABE≌△CDF（ASA）；（2）∵△ABE≌△CDF，∴AE＝CF，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，∴AD+AE＝BC+CF，即DE＝BF，∴四边形EBFD是平行四边形．21．解：（1）开学初抽取的学生总数为：2＝20，∴a＝20﹣0﹣1﹣4﹣5＝10，开学初抽取学生中B组人数为：20﹣2﹣3﹣4﹣7＝4，由此可知开学初所抽取学生的成绩A、B、C组共有2+3+4＝9人，则将所抽取的20人的成绩由小到大排列，位于第10位和第11位的成绩都位于D组，∵D组中的数据是：17，17，17，17，17，18，18．∴中位数b＝＝17，补全统计图如下：（2）根据题意得，300×＝90，答：该校学期末成绩优秀的学生人数比开学初成绩优秀的学生人数增加了90人；（3）从平均数看，小莉开学初测试成绩等于开学初抽取学生成绩的平均数16分，学期末测试成绩19分高于学期末所抽取学生成绩的平均数18分，因此小莉一分钟跳绳练习达到郎的效果；从中位数来看，小莉开学初测试成绩16分低于开学初抽取学生成绩的中位数17分，学期末测试成绩19分高于学期末抽取学生成绩的中位数18，5分，因此小莉一分钟跳绳练习达到郎的效果．22．解：（1）由题意x＝0时，y1＝0，∴16+4b+8＝0，∴b＝﹣6，∴x＝5时，y1＝25﹣6×5+8＝3．（2）函数图象如图所示：性质：x＜3时，y随x的增大而减小，x＞3时，y随x的增大而增大．（3）观察图形可知：不等式y1≥y2的解集为：x＜﹣2或x＞0．23．解：（1）设4月份售出B型小家电x台，根据题意，得（50﹣40）×40﹣（40﹣32）x ≥800．解得x≥50．答：4月份售出B型小家电至少50台；（2）设两种型号的小家电都降价y元，根据题意得：（50﹣y﹣40）（40+10y）+（40﹣y﹣32）（50+15y）＝965．整理，得5y2﹣26y+33＝0．解得y1＝3，y2＝2.2．为了让消费者得到更多的实惠，所以y＝3符合题意．答：两种型号的小家电都降价3元．24．解：（1）25是“平方和数”．∵25＝32+42，∴A（25）＝3×4＝12；（2）设k＝a2+b2，则A（k）＝ab，∵A（k）＝，∴ab＝，∴2ab＝a2+b2﹣4，∴a2﹣2ab+b2＝4，∴（a﹣b）2＝4，∴a﹣b＝±2，即a＝b+2或b＝a+2，∵a、b为正整数，k为两位数，∴当a＝1，b＝3或a＝3，b＝1时，k＝10；当a＝2，b＝4或a＝4，b＝2时，k＝20；当a＝3，b＝5或a＝5，b＝3时，k＝34；当a＝4，b＝6或a＝6，b＝4时，k＝52；当a＝5，b＝7或a＝7，b＝5时，k＝74；综上，k的值为：10或20或34或52或74．25．解：（1）∵抛物线的顶点为B（1，3），∴设这个二次函数的表达式为y＝a（x﹣1）2+3，∵二次函数的图象经过点A（0，1），∴a（0﹣3）2+3＝1，解得：a＝﹣2，∴这个二次函数的表达式为y＝﹣2（x﹣1）2+3，即y＝﹣2x2+4x+1；（2）∵AC⊥AB，A（0，1），∴直线AC的解析式为y＝﹣x+1，由，解得：或，∴C（，﹣），过P作PQ∥y轴交AC于Q，设P（t，﹣2t2+4t+1），则Q（t，﹣t+1），∴PQ＝（﹣2t2+4t+1）﹣（﹣t+1）＝﹣2t2+t，∴S△APC＝PQ|x C﹣x A|＝（﹣2t2+t）（﹣0）＝﹣（t﹣）2+，∴当t＝时，S△APC有最大值，此时，P（，）．26．【解答】（1）解：在正方形ABCD中，AB＝4，∴AO＝CO＝OB＝2，∵BE＝，∴OE＝，∵AC⊥BD，∴∠COE＝90°，∴CE＝＝＝，由旋转得：CE＝CF，∠ECF＝90°，∴△CEF的面积＝＝＝5；（2）证明：如图2，过E作EN⊥AB于N，作EP⊥BC于P，∵EP⊥BC，FM⊥CD，∴∠EPC＝∠FMC＝90°，∵∠BCD＝∠ECF＝90°，∴∠PCE＝∠MCF，∵CE＝CF，∴△CPE≌△CMF（AAS），∴EP＝FM，∵EP⊥BC，EN⊥AB，BE平分∠ABC，∴EP＝EN，∴EN＝FM，∵FM⊥CD，∴∠FMG＝∠ENH＝90°，∵AB∥CD，∴∠NHE＝∠MGF，∴△NHE≌△MGF（AAS），∴NH＝MG，∴BH+MG＝BH+NH＝BN，∵△BEN是等腰直角三角形，∴BN＝BE，∴BH+MG＝BE；（3）解：BH﹣MG＝BE，理由是：如图3，过E作EN⊥AB于N，交CG于P，∵EP⊥BC，FM⊥CD，AB∥CD，∴EP⊥CD，∴∠EPC＝∠FMC＝90°，∵∠M＝∠ECF＝90°，∴∠ECP+∠FCM＝∠FCM+∠CFM＝90°，∴∠ECP＝∠CFM，∵CE＝CF，∴△CPE≌△FMC（AAS），∴PC＝FM，∵△DPE是等腰直角三角形，∴PE＝PD，∴EN＝BN＝PN+PE＝BC+PE＝CD+PD＝PC＝FM，∵AB∥CD，∴∠H＝∠FGM，∵∠ENH＝∠M＝90°，∴△HNE≌△GMF（AAS），∴NH＝MG，∴BH﹣MG＝BH﹣NH＝BN，∵△BEN是等腰直角三角形，∴BN＝BE，∴BH﹣MG＝BE．。
重庆市巴南区2020年中考数学春招试卷(含解析)
重庆市巴南区2020年中考数学春招试卷一、选择题1．下列四个数中，是无理数的是（）A．B．0 C．D．2．据统计，近日前往重庆“龙门皓月”景点参观的人数达到了26000人，将26000用科学记数法表示为（）A．0.26×105B．2.6×104C．26×103D．260×1023．不等式﹣x+1＞x的解集是（）A．x＞﹣2 B．x＜2 C．x＞﹣D．x＜4．下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）A．B．C．D．5．如图，在平行四边形ABCD中，点E在对角线AC上，且BE⊥AB，若∠ACD＝20°，则∠CEB的度数是（）A．95°B．100°C．110°D．115°6．下列式子计算正确的是（）A．m3•m2＝m6B．（﹣m）﹣2＝﹣C．m2+m2＝2m2D．（m+n）2＝m2+n27．如图，点A，B分别在x轴，y轴的正半轴上，且△ABO的面积为8，若双曲线y＝（k ≠0）经过边AB的中点C，则k的值为（）A．4 B．6 C．8 D．128．如图，△ABC与△A1B1C1是以O为位似中心的位似图形，若OA＝3AA1，S△ABC＝36，则S ＝（）A．64 B．68 C．81 D．929．如图，小张坐在某体育馆的观众席的C处目测（从他的眼睛D处看）得体育馆中心O处的俯角为18°，若CD＝1.4米，BC＝1.5米，BC平行于地面OA，台阶AB的坡度为i＝3：4，坡长AB＝15米，则观众席的底端A处与体育馆中心O处的距离约为（）（参考数据：sin18°≈0.31，cos18°≈0.95，tan18°≈0.32）A．20米B．19米C．18米D．17米10．甲、乙两人在直线跑道上同起点、同终点、同方向匀速跑步200米，先到终点的人原地休息．已知甲先出发2秒，在跑步过程中，若甲、乙两人之间的距离y（米）与乙出发的时间t（秒）之间的关系如图所示，则下列结论中正确的是（）A．乙的速度为5米/秒B．乙出发10秒钟将甲追上C．当乙到终点时，甲距离终点还有20米D．m＝3811．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点（﹣1，0），其对称轴为直线x＝1，若2＜c＜3，则下列结论中错误的是（）A．abc＜0 B．4a+c＞0 C．﹣1＜a＜﹣D．4a+2b+c＞0 12．如图，在菱形ABCD中，∠D＝120°，AB＝2，点E在边BC上，若BE＝2EC，则点B到AE的距离是（）A．B．C．D．二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）在每小题中，请将答案直接填写在答题卡中对应题目的横线上．13．计算：+|1﹣|﹣（π﹣3）0＝．14．若代数式有意义，则x的取值范围是．15．如图，在四边形ABCD中，AB＝BC＝1，AB∥CD，∠D＝45°，∠B＝90°，若以点D为圆心，DA的长为半径画弧交边DC于点E，则图中阴影部分的面积是．16．已知整数a，b满足|ab|＝2，如果任意选择一对有序整数（a，b），且每一对这样的有序整数被选择的可能性是相等的，那么关于x的方程x2+bx+a＝0有两个相等实数根的概率是．17．若关于x的分式方程﹣＝4有正整数解，且关于y的不等式组有解，则所有符合条件的整数a的值的积是．18．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，点D是线段BC上一动点，在直线AD 的右侧找一点E，使EA⊥AD，且∠ADE＝30°．当点D从点B运动到点C时，点E随之运动（点A不动），则点E运动的路径长为．三、解答题：（本大题共7个小题，每小题10分，共70分，）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括作辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．19．化简：（1）（m﹣3n）2﹣3n（n﹣2m）；（2）（﹣a﹣2）÷．20．如图，AB为⊙O的直径，直线CF与⊙O相切于点E，与直线AB相交于点F，BC⊥CF，垂足为C．（1）求证：BE平分∠CBF；（2）若AB＝16，∠CFB＝30°，求弧的长．21．钟南山院士谈到防护新型冠状病毒肺炎时说：“我们需要重视防护，但不必恐慌，尽量少去人员密集的场所，出门戴口罩，在室内注意通风，勤洗手，多运动，少熬夜．”某社区为了加强社区居民对新型冠状病毒肺炎防护知识的了解，通过微信群宣传新型冠状病毒肺炎的防护知识，并组织社区居民在线参与了新型冠状病毒肺炎防护知识竞赛，社区管理员随机从A、B两个小区各抽取20名人员的竞赛成绩，并对他们的成绩（单位：分）进行统计、分析，过程如下：【收集数据】A小区：95 80 85 100 85 95 90 65 85 75 90 90 70 90 100 80 80 90 95 75B小区：80 80 60 95 65 100 90 80 85 85 95 75 80 90 70 80 95 75 100 90【整理数据】成绩x（分）60≤x≤70 70＜x≤80 80＜x≤90 90＜x≤100 A小区 2 5 8 5B小区 3 a 5 5 【分析数据】统计量平均数中位数众数A小区85.75 87.5 cB小区83.5 b80 【应用数据】请根据以上统计分析的过程和结果，解答下列问题：（1）写出a、b、c的值；（2）若B小区共有900人参与知识竞赛，请估计B小区成绩大于80分的人数；（3）你认为哪个小区对新型冠状病毒肺炎防护知识掌握更好，请你写出两条理由．22．下面是小张探索函数y＝|x﹣1|﹣2的图象与性质的不完整的过程：【列表格】：列出y与x的几组对应值：x…﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4 …y… 1 0 ﹣1 ﹣2 ﹣1 0 m…[…]：…根据上面不完整的探索过程，完成下列问题：（1）直接写出表格中m的值；（2）在答题卡中的平面直角坐标系中，画出函数y＝|x﹣1|﹣2的图象；（3）结合您画的函数的图象，解决问题：当|x﹣1|﹣2＜x﹣时，写出x的取值范围．23．预防新型冠状病毒期间，某种消毒液A地需要6吨，B地需要10吨，正好M地储备有7吨，N地储备有9吨．市预防新型冠状病毒领导小组决定将这16吨消毒液调往A地和B 地．消毒液的运费价格如表（单位：元/吨）．设从M地调运x（0＜x≤6）吨到A地．（1）求调运16吨消毒液的总运费y关于x的函数关系式；（2）求出总运费最低的调运方案，最低运费为多少？A地B地终点起点M地70 120N地45 8024．我们在学习勾股定理后知道“能够成为直角三角形三条边长的三个整数，称为勾股数．”例如：15，8，17，因为172＝82+152，所以15，8，17是勾股数．（1）已知b＝mn，c ＝（m2+n2），若a，b，c是勾股数，a，b，c，m，n都是正整数，且c为37，n＝5，求a，m的值；（2）规定：一个两位正整数N，如果N满足各数位上的数字互不相同且均不为0，那么称N为“扬帆数”，将N的两个数位上的数字对调得到一个新数N1，把N1放在N的后面组成第一个四位数，把N放在N1的后面组成第二个四位数，我们把第一个四位数减去第二个四位数后所得的差再除以81所得的商记为F（N）．例如，当N＝56时，N1＝65，F （56）＝＝﹣11．①求F（37）的值；②s，t为“扬帆数”，其中s＝10c+d，t＝10p+q（2≤c＜d≤5，1≤p≤5，1≤q≤5），且c，d，p，q为整数），且F（s）能被3整除，F（s）+F（t）+22p+55＝0．是否存在整数f使s，t，f成勾股数，若存在，求出f的值；若不存在，请说明理由．25．如图，抛物线y＝ax2+bx﹣3（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0）和点B，与y轴交于点C，该抛物线的对称轴为x ＝．（1）求a，b的值；（2）若点P在抛物线上，且在x轴的下方，作射线BP，当∠PBA＝∠ACO时，求点P的坐标；（3）若点M在抛物线上，点N在对称轴上，是否存在点B、C、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．四、解答题：（本大题共1个小题，共8分．）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括作轴助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．26．已知，在矩形ABCD中，AB＝2，点E在边BC上，且AE⊥DE，AE＝DE，点F是BC的延长线上一点，AF与DE相交于点G，DH⊥AF，垂足为H，DH的延长线与BC相交于点K．（1）如图1，求AD的长；（2）如图2，连接KG，求证：AG＝DK+KG；（3）如图3，设△ADM与△ADH关于AD对称，点N、Q分别是MA、MD的中点，请直接写出BN+NQ的最大值．参考答案一、选择题：（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．）在每小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请使用2B铅笔将答题卡上对应题目右侧正确答案所在的方框涂黑．1．下列四个数中，是无理数的是（）A．B．0 C．D．【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此解答即可．解：A、是分数，是有理数，此选项不符合题意；B、0是整数，是有理数，此选项不符合题意；C、是无理数，此选项符合题意；D、＝3是整数，是有理数，此选项不符合题意．故选：C．2．据统计，近日前往重庆“龙门皓月”景点参观的人数达到了26000人，将26000用科学记数法表示为（）A．0.26×105B．2.6×104C．26×103D．260×102【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．解：26 000用科学记数法表示是2.6×104．故选：B．3．不等式﹣x+1＞x的解集是（）A．x＞﹣2 B．x＜2 C．x＞﹣D．x＜【分析】根据解一元一次不等式基本步骤：移项、合并同类项、系数化为1可得．解：移项，得：﹣x﹣x＞﹣1，合并，得：﹣2x＞﹣1，系数化为1，得：x＜，故选：D．4．下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念判断．解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形；B、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形；C、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形；D、既是轴对称图形，又是中心对称图形．故选：D．5．如图，在平行四边形ABCD中，点E在对角线AC上，且BE⊥AB，若∠ACD＝20°，则∠CEB的度数是（）A．95°B．100°C．110°D．115°【分析】根据平行四边形的性质得出∠CAB＝20°，利用互余和互补解答即可．解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∵∠ACD＝20°，∴∠CAB＝20°，∵BE⊥AB，∴∠AEB＝90°﹣20°＝70°，∴∠CEB＝180°﹣70°＝110°，故选：C．6．下列式子计算正确的是（）A．m3•m2＝m6B．（﹣m）﹣2＝﹣C．m2+m2＝2m2D．（m+n）2＝m2+n2【分析】分别按照同底数幂的乘法运算法则、负整数指数幂的运算法则、合并同类项的运算法则和完全平方公式进行判断即可．解：A、m3•m2＝m5，故A错误；B、（﹣m）﹣2＝，故B错误；C、按照合并同类项的运算法则，该运算正确．D、（m+n）2＝m2+2mn+n2，故D错误．故选：C．7．如图，点A，B分别在x轴，y轴的正半轴上，且△ABO的面积为8，若双曲线y＝（k ≠0）经过边AB的中点C，则k的值为（）A．4 B．6 C．8 D．12【分析】设点A（a，0），点B（0，b），由三角形面积公式可求ab＝16，由中点坐标公式可求点C（，），代入解析式可求k的值．解：设点A（a，0），点B（0，b），∴OA＝a，OB＝b，∵△ABO的面积为8，∴ab＝8，∴ab＝16，∵点C是AB中点，∴点C（，），∵点C在双曲线y＝（k≠0）上，∴k＝×＝4，故选：A．8．如图，△ABC与△A1B1C1是以O为位似中心的位似图形，若OA＝3AA1，S△ABC＝36，则S ＝（）A．64 B．68 C．81 D．92【分析】根据位似变换的概念得到△ABC∽△A1B1C1，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方列式计算，得到答案．解：∵△ABC与△A1B1C1是以O为位似中心的位似图形，∴△ABC∽△A1B1C1，∵OA＝3AA1，∴△ABC与△A1B1C1的相似比为：＝，∴△ABC与△A1B1C1的面积比为：（）2＝，∵S△ABC＝36，∴S＝36÷＝81，故选：C．9．如图，小张坐在某体育馆的观众席的C处目测（从他的眼睛D处看）得体育馆中心O处的俯角为18°，若CD＝1.4米，BC＝1.5米，BC平行于地面OA，台阶AB的坡度为i＝3：4，坡长AB＝15米，则观众席的底端A处与体育馆中心O处的距离约为（）（参考数据：sin18°≈0.31，cos18°≈0.95，tan18°≈0.32）A．20米B．19米C．18米D．17米【分析】延长DC交OA延长线于点F，根据题意可得DF⊥OA，过点B作BG⊥OA于点G，可得四边形BCFG是矩形，根据AB的坡度为i＝3：4，坡长AB＝15，可得BG＝9，AG＝12，再根据锐角三角函数即可求出OA的长．解：如图，延长DC交OA延长线于点F，根据题意可知：DF⊥OA，过点B作BG⊥OA于点G，则四边形BCFG是矩形，∴CF＝BG，FG＝BC＝1.5，∵AB的坡度为i＝3：4，坡长AB＝15，∴BG＝9，AG＝12，∴在Rt△ODF中，∠DOF＝18°，OF＝OA+AG+GF＝OA+12+1.5＝13.5+OA，DF＝DC+CF＝1.4+9＝10.4，∴DF＝OF•tan18°，即10.4≈（13.5+OA）×0.32，解得OA≈19（米）．所以观众席的底端A处与体育馆中心O处的距离约为19米．故选：B．10．甲、乙两人在直线跑道上同起点、同终点、同方向匀速跑步200米，先到终点的人原地休息．已知甲先出发2秒，在跑步过程中，若甲、乙两人之间的距离y（米）与乙出发的时间t（秒）之间的关系如图所示，则下列结论中正确的是（）A．乙的速度为5米/秒B．乙出发10秒钟将甲追上C．当乙到终点时，甲距离终点还有20米D．m＝38【分析】根据题意和函数图象中的数据，可以判断出各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．解：由图象可得，乙的速度为：200÷32＝6.25（米/秒），故选项A不合题意；甲的速度为：10÷2＝5（米/秒），设乙出发x秒将追上甲，6.25x＝10+5x，得x＝8，故选项B不合题意；当乙到终点时，甲距离终点还有：200﹣（32+2）×5＝30（米），故选项C不合题意；a＝200÷5﹣2＝38，故选项D符合题意．故选：D．11．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点（﹣1，0），其对称轴为直线x＝1，若2＜c＜3，则下列结论中错误的是（）A．abc＜0 B．4a+c＞0 C．﹣1＜a＜﹣D．4a+2b+c＞0 【分析】根据二次函数的图象与系数的关系即可求出答案．解：A．抛物线的对称轴在y轴右侧，则ab＜0，而c＞0，故abc＜0，正确，不符合题意；B．函数的对称轴为直线x＝﹣＝1，则b＝﹣2a，∵从图象看，当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＝3a+c＝0，而a＜0，故4a+c＜0，故B错误，符合题意；C．④∵﹣＝1，故b＝﹣2a，∵x＝﹣1，y＝0，故a﹣b+c＝0，∴c＝﹣3a，∵2＜c＜3，∴2＜﹣3a＜3，∴﹣1＜a＜﹣，故C正确，不符合题意；D．从图象看，当x＝2时，y＝4a+2b+c＞0，故D正确，不符合题意；故选：B．12．如图，在菱形ABCD中，∠D＝120°，AB＝2，点E在边BC上，若BE＝2EC，则点B到AE的距离是（）A．B．C．D．【分析】过点B作BH⊥AE于点H，过点E作EF⊥AB交AB的延长线于点F，求出BF＝BE ＝，EF＝，可求出AE，由S△ABE＝AB•EF可求出BH，则答案可求出．解：过点B作BH⊥AE于点H，过点E作EF⊥AB交AB的延长线于点F，∵菱形ABCD中，AB＝2，∴BC＝2，∵BE＝2EC，∴BE＝，CE＝，∵∠D＝120°，∴∠ABE＝120°，∴∠EBF＝60°，∴BF＝BE＝，EF＝，∴AF＝AB+BF＝2+＝，∴AE＝＝＝，∵S△ABE＝AB•EF，∴BH＝＝＝．故选：A．二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）在每小题中，请将答案直接填写在答题卡中对应题目的横线上．13．计算：+|1﹣|﹣（π﹣3）0＝．【分析】本题涉及绝对值、负整数指数幂、二次根式化简、三次根式化简4个知识点．在计算时，需要针对每个知识点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．解：+|1﹣|﹣（π﹣3）0＝2+﹣1﹣1＝．故答案为：．14．若代数式有意义，则x的取值范围是x＞0 ．【分析】直接利用二次根式有意义的条件分析得出答案．解：代数式有意义，则x＞0．故答案为：x＞0．15．如图，在四边形ABCD中，AB＝BC＝1，AB∥CD，∠D＝45°，∠B＝90°，若以点D为圆心，DA的长为半径画弧交边DC于点E，则图中阴影部分的面积是1﹣．【分析】作AH⊥CD于H，如图，易得四边形ABCH为正方形，则AH＝HC＝AB＝1，利用∠D＝45°得到DH＝AH＝1，AD＝，然后根据扇形的面积公式，利用图中阴影部分的面积＝S梯形ABCD﹣S扇形ADE进行计算．解：作AH⊥CD于H，如图，易得四边形ABCH为正方形，∴AH＝HC＝AB＝1，∵∠D＝45°，∴DH＝AH＝1，AD＝AH＝，∴图中阴影部分的面积＝S梯形ABCD﹣S扇形ADE＝（1+2）×1﹣＝1﹣．故答案为1﹣．16．已知整数a，b满足|ab|＝2，如果任意选择一对有序整数（a，b），且每一对这样的有序整数被选择的可能性是相等的，那么关于x的方程x2+bx+a＝0有两个相等实数根的概率是．【分析】由|ab|＝2列表得出a、b取值的所有等可能结果，从中找到满足b2＝4a的结果数，根据概率公式求解可得．解：∵|ab|＝2，∴列表如下：﹣1 ﹣2 1 2﹣1 （﹣2，﹣1）（2，﹣1）﹣2 （﹣1，﹣2）（1，﹣2）1 （﹣2，1）（2，1）2 （﹣1，2）（1，2）由表可知，共有8种结果，其中满足b2﹣4a＝0，即b2＝4a的有（1，﹣2）和（1，2）两种情况，∴关于x的方程x2+bx+a＝0有两个相等实数根的概率是，故答案为：．17．若关于x的分式方程﹣＝4有正整数解，且关于y的不等式组有解，则所有符合条件的整数a的值的积是﹣8 ．【分析】根据不等式组有解，可得a的范围，根据分式方程的解，可得a的值，根据正整数的定义，可得答案．解：，由①得：y≤8，由②得：y≥a+6，∵关于y的不等式组有解，∴a+6≤8∴a≤2，解分式方程﹣＝4，得x＝，∵x﹣2≠0，∴≠2，∴a≠0，∵关于x的分式方程﹣＝4有正整数解，∴4﹣a＝1或4﹣a＝2或4﹣a＝4或4﹣a＝8，∴a＝3或a＝2或a＝0或a＝﹣4，∵a≤2，a≠0，∴a＝2或﹣4，∴所有符合条件的整数a的值的积＝2×（﹣4）＝﹣8，故答案为：﹣8．18．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，点D是线段BC上一动点，在直线AD 的右侧找一点E，使EA⊥AD，且∠ADE＝30°．当点D从点B运动到点C时，点E随之运动（点A不动），则点E运动的路径长为 2 ．【分析】当点D在点B时，点E是AB的中点，当点D运动到点C时，点E是AC的中点，可得点E运动的路径长即为三角形ABC的中位线，进而可得结果．解：∵EA⊥AD，∴∠DAE＝90°，∵∠ADE＝30°，∴AE＝AD，当点D在点B时，点E是AB的中点，当点D运动到点C时，点E是AC的中点，所以点E运动的路径即为三角形ABC的中位线，所以点E运动的路径长为：BC＝2．故答案为：2．三、解答题：（本大题共7个小题，每小题10分，共70分，）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括作辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．19．化简：（1）（m﹣3n）2﹣3n（n﹣2m）；（2）（﹣a﹣2）÷．【分析】（1）根据完全平方公式和单项式乘多项式可以解答本题；（2）根据分式的减法和除法可以解答本题．解：（1）（m﹣3n）2﹣3n（n﹣2m）＝m2﹣6mn+9n2﹣3n2+6mn＝m2+6n2；（2）（﹣a﹣2）÷＝＝＝﹣＝﹣2（3+a）＝﹣6﹣2a．20．如图，AB为⊙O的直径，直线CF与⊙O相切于点E，与直线AB相交于点F，BC⊥CF，垂足为C．（1）求证：BE平分∠CBF；（2）若AB＝16，∠CFB＝30°，求弧的长．【分析】（1）连接OE，根据切线的性质得到OE⊥CF，得到OE∥BC，根据平行线的性质、等腰三角形的性质得到∠CBE＝∠OBE，根据角平分线的定义证明即可；（2）根据直角三角形的性质求出∠EOF＝60°，根据弧长公式计算，得到答案．【解答】（1）证明：连接OE，∵直线CF与⊙O相切，∴OE⊥CF，∵BC⊥CF，∴OE∥BC，∴∠CBE＝∠OEB，∵OE＝OB，∴∠OBE＝∠OEB，∴∠CBE＝∠OBE，∴BE平分∠CBF；（2）解：∵∠OEF＝90°，∠CFB＝30°，∴∠EOF＝60°，∴的长＝＝π．21．钟南山院士谈到防护新型冠状病毒肺炎时说：“我们需要重视防护，但不必恐慌，尽量少去人员密集的场所，出门戴口罩，在室内注意通风，勤洗手，多运动，少熬夜．”某社区为了加强社区居民对新型冠状病毒肺炎防护知识的了解，通过微信群宣传新型冠状病毒肺炎的防护知识，并组织社区居民在线参与了新型冠状病毒肺炎防护知识竞赛，社区管理员随机从A、B两个小区各抽取20名人员的竞赛成绩，并对他们的成绩（单位：分）进行统计、分析，过程如下：【收集数据】A小区：95 80 85 100 85 95 90 65 85 75 90 90 70 90 100 80 80 90 95 75B小区：80 80 60 95 65 100 90 80 85 85 95 75 80 90 70 80 95 75 100 90【整理数据】成绩x（分）60≤x≤70 70＜x≤80 80＜x≤90 90＜x≤100 A小区 2 5 8 5B小区 3 a 5 5 【分析数据】统计量平均数中位数众数A小区85.75 87.5 cB小区83.5 b80 【应用数据】请根据以上统计分析的过程和结果，解答下列问题：（1）写出a、b、c的值；（2）若B小区共有900人参与知识竞赛，请估计B小区成绩大于80分的人数；（3）你认为哪个小区对新型冠状病毒肺炎防护知识掌握更好，请你写出两条理由．【分析】（1）根据题目中的数据，可以得到a、b、c的值；（2）根据题目中的数据，可以计算出B小区成绩大于80分的人数；（3）根据题目中的数据，可以得到哪个小区对新型冠状病毒肺炎防护知识掌握更好，然后说明理由即可．解：（1）由题目中的数据可得，a＝7，b＝（80+85）÷2＝82.5，c＝90；（2）900×＝450（人），答：B小区成绩大于80分有450人；（3）A小区对新型冠状病毒肺炎防护知识掌握更好，理由：第一，A小区平均数大于B小区，第二，A小区的中位数大于B小区（第三，A小区的众数大于B小区）．22．下面是小张探索函数y＝|x﹣1|﹣2的图象与性质的不完整的过程：【列表格】：列出y与x的几组对应值：x…﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4 …y… 1 0 ﹣1 ﹣2 ﹣1 0 m…[…]：…根据上面不完整的探索过程，完成下列问题：（1）直接写出表格中m的值；（2）在答题卡中的平面直角坐标系中，画出函数y＝|x﹣1|﹣2的图象；（3）结合您画的函数的图象，解决问题：当|x﹣1|﹣2＜x﹣时，写出x的取值范围．【分析】（1）把x＝4代入y＝|x﹣1|﹣2，即可求出m的值；（2）根据表格数据，描点、连线，画出该函数的图象；（3）根据图象即可求|x﹣1|﹣2＜x ﹣时x的取值范围．解：（1）把x＝4代入y＝|x﹣1|﹣2，得y＝1，解∴m＝1．（2）该函数的图象如图：（3）由图形可知，当当|x﹣1|﹣2＜x ﹣时x 的取值范围是＜x＜2．23．预防新型冠状病毒期间，某种消毒液A地需要6吨，B地需要10吨，正好M地储备有7吨，N地储备有9吨．市预防新型冠状病毒领导小组决定将这16吨消毒液调往A地和B 地．消毒液的运费价格如表（单位：元/吨）．设从M地调运x（0＜x≤6）吨到A地．（1）求调运16吨消毒液的总运费y关于x的函数关系式；（2）求出总运费最低的调运方案，最低运费为多少？A地B地终点起点M地70 120N地45 80 【分析】（1）根据题意即可得调运16吨消毒液的总运费y关于x的函数关系式；（2）根据一次函数的性质即可求出总运费最低的调运方案和最低运费．解：（1）由题意可知：y＝70x+120（7﹣x）+45（6﹣x）+80[（9﹣（6﹣x）]＝﹣15x+1350（0＜x≤6）．（2）由（1）的函数可知：k＝﹣15＜0，所以函数的值随x的增大而减小，当x＝6时，有最小值y＝﹣15×6+1350＝1260（元）．答：总运费最低的调运方案是从M地调运6吨到A地，1吨到B地，最低运费为1260元．24．我们在学习勾股定理后知道“能够成为直角三角形三条边长的三个整数，称为勾股数．”例如：15，8，17，因为172＝82+152，所以15，8，17是勾股数．（1）已知b＝mn，c＝（m2+n2），若a，b，c是勾股数，a，b，c，m，n都是正整数，且c为37，n＝5，求a，m的值；（2）规定：一个两位正整数N，如果N满足各数位上的数字互不相同且均不为0，那么称N为“扬帆数”，将N的两个数位上的数字对调得到一个新数N1，把N1放在N的后面组成第一个四位数，把N放在N1的后面组成第二个四位数，我们把第一个四位数减去第二个四位数后所得的差再除以81所得的商记为F（N）．例如，当N＝56时，N1＝65，F （56）＝＝﹣11．①求F（37）的值；②s，t为“扬帆数”，其中s＝10c+d，t＝10p+q（2≤c＜d≤5，1≤p≤5，1≤q≤5），且c，d，p，q为整数），且F（s）能被3整除，F（s）+F（t）+22p+55＝0．是否存在整数f使s，t，f成勾股数，若存在，求出f的值；若不存在，请说明理由．【分析】（1）先求出m的值，分两种情况讨论，由勾股定理可求a的值；（2）①由F（N）的定义可求解；②利用F（N）的定义可求F（s）＝11（c﹣d），F（t）＝11（p﹣q），由题意可求s和t，利用勾股数定义可求解．解：（1）∵c＝（m2+n2）＝37，n＝5，∴m＝7，∴b＝mn＝35，若a是最大边，则a2＝b2+c2＝2597，∴a＝，∵a是正整数，∴a＝不合题意舍去，若c为最大边，则c2＝b2+a2，∴a＝＝12答：a＝12，m＝7；（2）①F（37）＝＝44；②∵F（s）＝＝11（c﹣d），2≤c＜d≤5，F（s）能被3整除，∴c＝2，d＝5，∴F（s）＝﹣33，同理可求：F（t）＝11（p﹣q），∵F（s）+F（t）+22p+55＝0，∴﹣33+11p﹣11q+22p+55＝0，∴3p﹣q＝﹣2，∵1≤p≤5，1≤q≤5，∴p＝1，q＝5，∴s＝10c+d＝25，t＝10p+q＝15，若s为最大边，则f2＝s2﹣t2＝400，∴f＝20，若f为最大边，则f2＝s2+t2＝850，∴f＝，∵f为整数，∴f＝20．25．如图，抛物线y＝ax2+bx﹣3（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0）和点B，与y轴交于点C，该抛物线的对称轴为x＝．（1）求a，b的值；（2）若点P在抛物线上，且在x轴的下方，作射线BP，当∠PBA＝∠ACO时，求点P的坐标；（3）若点M在抛物线上，点N在对称轴上，是否存在点B、C、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）由A点坐标和抛物线的对称轴方程可求出答案；（2）得出tan∠PBA＝tan∠ACO＝，求出OE＝，得出点E的坐标，求出直线BE的解析式，联立直线BE和抛物线方程，则可得出点P的坐标；（3）设出点M，N的坐标，分三种情况，利用中点坐标公式建立方程求解即可得出结论．解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx﹣3（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0），对称轴为x＝．∴，解得，．∴a＝，b＝﹣．（2）如图，设直线PB与OC交于点E，∵抛物线解析式y＝x2﹣x﹣3与y轴交于点C，∴C（0，3），又∵A（﹣1，0），∴OA＝1，OC＝3，∴tan∠ACO＝，∵∠PBA＝∠ACO，∴tan∠PBA＝tan∠ACO＝，∴OE＝，∴E（0，﹣），设直线BE的解析式为y＝mx+n，∴，解得，∴直线BE的解析式为y＝x﹣，∴，解得，x1＝﹣，x2＝4（舍去），∴P（﹣，﹣）．（3）由（1）知，抛物线解析式为y＝x2﹣x﹣3，对称轴直线为x＝，∴设N（，b），M（m，m2﹣m﹣3），∵以B、C、M、N为顶点的四边形是平行四边形，∴①当CB为对角线时，（0+4）＝（+m），∴m＝，∴M（，﹣），②当CM为对角线时，（m+0）＝（4+），∴m＝，∴M（，），③当CN为对角线时，（0+）＝（4+m），∴m＝﹣，∴M（﹣，），即：抛物线上存在这样的点M，点M的坐标分别为：M（，﹣）或（，）或（﹣，）．四、解答题：（本大题共1个小题，共8分．）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括作轴助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．26．已知，在矩形ABCD中，AB＝2，点E在边BC上，且AE⊥DE，AE＝DE，点F是BC的延长线上一点，AF与DE相交于点G，DH⊥AF，垂足为H，DH的延长线与BC相交于点K．（1）如图1，求AD的长；（2）如图2，连接KG，求证：AG＝DK+KG；（3）如图3，设△ADM与△ADH关于AD对称，点N、Q分别是MA、MD的中点，请直接写出BN+NQ的最大值．【分析】（1）证明Rt△ABE≌Rt△DCE（HL），推出BE＝CE，∠AEB＝∠DEC可得结论．（2）如图2中，延长AE交DK的延长线于T．利用全等三角形的性质证明AG＝DT，GK＝KT即可解决问题．（3）延长AB到T，使得BT＝AB，连接TM，取AD的中点O，连接OM，OT．由三角形的中位线定理可得NQ＝AD＝2，再证明BN＝TM，求出TM的最大值即可解决问题．【解答】（1）解：如图1中，∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD，∠B＝∠C＝90°，∵AE＝ED，∴Rt△ABE≌Rt△DCE（HL），∴BE＝CE，∠AEB＝∠DEC，∵AE⊥DE，∴∠AED＝90°，∴∠AEB＝∠DEC＝45°，∴∠BAE＝∠AEB＝45°，∴BE＝AB＝2，∴AD＝BC＝2BE＝4．（2）证明：如图2中，延长AE交DK的延长线于T．∵DH⊥AF，∴∠DHG＝∠AEG＝90°，∵∠AGE＝∠DGH，∴∠1＝∠2，∵∠AEG＝∠DET＝90°，AE＝DE，∴△AEG≌△DET（ASA），∴EG＝ET，AG＝DT，∵∠KEG＝∠KET＝45°，EK＝EK，∴△KEG≌△KET（SAS），∴GK＝KT，∵DT＝DK+KT＝DK+GK，∴AG＝GK+DK．（3）延长AB到T，使得BT＝AB，连接TM，取AD的中点O，连接OM，OT．∵MN＝NA，MQ＝QD，∴NQ＝AD＝2，∴BN的值最大时，BN+NQ的值最大，∵AB＝BT，AN＝NM，∴BN＝TM，∵AB＝BT＝2，AO＝2，∠TAO＝90°，∴OT＝＝＝2，∵∠AMD＝90°，AO＝OD，∴OM＝AD＝2，∵MN≤OT+OM，∴MN≤2+2，∴MN的最大值为2+2，∴BN的最大值为1+，∴BN+QN的最大值为3+．。
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2020年重庆春招数学试卷（14）一、选择题：本大题共10小题,每小题5分,共50分．在每小题给处的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．1．设集合{}{}0,1,2,0,1M N ==,则M N =I ( ) A ．{}2 B ．{}0,1 C ．{}0,2 D ．{}0,1,2 2. 不等式21<-x 的解集是( )A ．x<3B ．x>－1C ．x<－1或x>3D ．－1<x<3 3．已知函数()22x f x =+,则(1)f 的值为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．6 4. 函数12+-=x y 在定义域R 内是( )A. 减函数B. 增函数C. 非增非减函数D. 既增又减函数 5. 设 1.50.90.4814,8,2a b c -⎛⎫=== ⎪⎝⎭,则,,a b c 的大小顺序为 （ ）A 、a b c >>B 、a c b >>C 、b a c >>D 、c a b >>6.已知a (1,2)=,b (),1x =,当2a +b 与2a -b 共线时,x 值为（ ） A. 1 B.2 C .13 D.127. 已知｛a n ｝为等差数列,a 2+a 8=12,则a 5等于（ ）A.4B.5C.6D.78．已知向量a (2,1)=,b (3,)λ=,且a ⊥b,则λ=（ ） A ．6- B ．6 C ．32 D ．32- 9 点)5,0(到直线x y 2=的距离为()A ．25 B ．5 C ．23 D ．2510. 将2名教师,4名学生分成2个小组,分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动,每个小组由1名教师和2名学生组成,不同的安排方案共有 ( ) A ．12种 B ．10种 C ．9种D ．8种二、填空题：本大题共5小题,每小题5分,共25分 11．（5分）（2014•四川）复数= _________ ．12．（5分）（2014•四川）设f （x ）是定义在R 上的周期为2的函数,当x ∈[﹣1,1）时,f （x ）=,则f （）= _________ ．13．（5分）（2014•四川）如图,从气球A 上测得正前方的河流的两岸B,C 的俯角分别为67°,30°,此时气球的高是46m,则河流的宽度BC 约等于 _________ m ．（用四舍五入法将结果精确到个位．参考数据：sin67°≈0.92,cos67°≈0.39,sin37°≈0.60,cos37°≈0.80,≈1.73）14．（5分）（2014•四川）设m ∈R,过定点A 的动直线x+my=0和过定点B 的动直线mx ﹣y ﹣m+3=0交于点P （x,y ）．则|PA|•|PB|的最大值是 _________ ．15．（5分）（2014•四川）以A 表示值域为R 的函数组成的集合,B 表示具有如下性质的函数φ（x ）组成的集合：对于函数φ（x ）,存在一个正数M,使得函数φ（x ）的值域包含于区间[﹣M,M ]．例如,当φ1（x ）=x 3,φ2（x ）=sinx 时,φ1（x ）∈A,φ2（x ）∈B ．现有如下命题：①设函数f （x ）的定义域为D,则“f （x ）∈A ”的充要条件是“∀b ∈R,∃a ∈D,f （a ）=b ”；②函数f （x ）∈B 的充要条件是f （x ）有最大值和最小值；③若函数f （x ）,g （x ）的定义域相同,且f （x ）∈A,g （x ）∈B,则f （x ）+g （x ）∉B ． ④若函数f （x ）=aln （x+2）+（x ＞﹣2,a ∈R ）有最大值,则f （x ）∈B ．其中的真命题有 _________ ．（写出所有真命题的序号）三、解答题：本大题共6小题,共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16.（本小题12分）设数列{}n a 的前n 项和12n n S a a =-,且123,1,a a a +成等差数列.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记数列1{}n a 的前n 项和n T ,求得使1|1|1000n T -<成立的n 的最小值.17．（12分）（2014•四川）一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需要击鼓三次,每次击鼓要么出现一次音乐,要么不出现音乐：每盘游戏击鼓三次后,出现一次音乐获得10分,出现两次音乐获得20分,出现三次音乐获得100分,没有出现音乐则扣除200分（即获得﹣200分）．设每次击鼓出现音乐的概率为,且各次击鼓出现音乐相互独立． （1）设每盘游戏获得的分数为X,求X 的分布列； （2）玩三盘游戏,至少有一盘出现音乐的概率是多少？（3）玩过这款游戏的许多人都发现．若干盘游戏后,与最初分数相比,分数没有增加反而减少了．请运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因．18.（本小题满分12分）一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示,在正方体中,设BC 的中点为M ,GH 的中点为N .（I ）请将字母标记在正方体相应的顶点处（不需说明理由） （II ）证明：直线//MN 平面BDH （III ）求二面角A EG M --余弦值GFHEC DA BMED CA B19．（12分）（2014•四川）设等差数列{a n }的公差为d,点（a n ,b n ）在函数f （x ）=2x 的图象上（n ∈N *）．（1）若a 1=﹣2,点（a 8,4b 7）在函数f （x ）的图象上,求数列{a n }的前n 项和S n ； （2）若a 1=1,函数f （x ）的图象在点（a 2,b 2）处的切线在x 轴上的截距为2﹣,求数列{}的前n 项和T n ．20.（本小题13分）如图,椭圆2222:1+=x y E ab的离心率是22,过点(0,1)P 的动直线l 与椭圆相交于,A B 两点.当直线l 平行于x 轴时,直线l 被椭圆E 截得的线段长为2.（1） 球椭圆E 的方程； （2）在平面直角坐标系xoy 中,是否存在与点P 不同的定点Q ,使得=QA PAQB PB恒成立？若存在,求出点Q 的坐标；若不存在,请说明理由.21．（14分）（2014•四川）已知函数f （x ）=e x ﹣ax 2﹣bx ﹣1,其中a,b ∈R,e=2.71828…为自然对数的底数．（1）设g （x ）是函数f （x ）的导函数,求函数g （x ）在区间[0,1]上的最小值； （2）若f （1）=0,函数f （x ）在区间（0,1）内有零点,求a 的取值范围．题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B D C A B D C A B A二、填空题：11.解答：解：复数===﹣2i,故答案为：﹣2i．12.解答：解：∵f（x）是定义在R上的周期为2的函数,∴=1．故答案为：1．13.解答：解：过A点作AD垂直于CB的延长线,垂足为D,则Rt△ACD中,∠C=30°,AD=46m∴CD==46≈79.58m．又∵Rt△ABD中,∠ABD=67°,可得BD==≈19.5m ∴BC=CD﹣BD=79.58﹣19.5=60.08≈60m故答案为：60m解解：有题意可知,动直线x+my=0经过定点A（0,0）,答：动直线mx﹣y﹣m+3=0即 m（x﹣1）﹣y+3=0,经过点定点B（1,3）, 注意到动直线x+my=0和动直线mx﹣y﹣m+3=0始终垂直,P又是两条直线的交点, 则有PA⊥PB,∴|PA|2+|PB|2=|AB|2=10．故|PA|•|PB|≤=5（当且仅当时取“=”）故答案为：515.解答：解：（1）对于命题①“f（x）∈A”即函数f（x）值域为R,“∀b∈R,∃a∈D,f（a）=b”表示的是函数可以在R中任意取值,故有：设函数f（x）的定义域为D,则“f（x）∈A”的充要条件是“∀b∈R,∃a∈D,f（a）=b”∴命题①是真命题；（2）对于命题②若函数f（x）∈B,即存在一个正数M,使得函数f（x）的值域包含于区间[﹣M,M]．∴﹣M≤f（x）≤M．例如：函数f（x）满足﹣2＜f（x）＜5,则有﹣5≤f（x）≤5,此时,f （x）无最大值,无最小值．∴命题②“函数f（x）∈B的充要条件是f（x）有最大值和最小值．”是假命题；（3）对于命题③若函数f（x）,g（x）的定义域相同,且f（x）∈A,g（x）∈B,则f（x）值域为R,f（x）∈（﹣∞,+∞）,并且存在一个正数M,使得﹣M≤g（x）≤M．∴f（x）+g（x）∈R．则f（x）+g（x）∉B．∴命题③是真命题．（4）对于命题④∵函数f（x）=aln（x+2）+（x＞﹣2,a∈R）有最大值,∴假设a ＞0,当x →+∞时,→0,ln （x+2）→+∞,∴aln （x+2）→+∞,则f （x ）→+∞．与题意不符； 假设a ＜0,当x →﹣2时,→,ln （x+2）→﹣∞,∴aln （x+2）→+∞,则f （x ）→+∞．与题意不符． ∴a=0． 即函数f （x ）=（x ＞﹣2）当x ＞0时,,∴,即；当x=0时,f （x ）=0； 当x ＜0时,,∴,即．∴．即f （x ）∈B ．故命题④是真命题． 故答案为①③④．三、解答题16. 解：（1）当2n ≥时有,11112(2)n n n n n a S S a a a a --=-=---则12n n a a -=(2)n ≥12nn a a -= （2n ³） 则{}n a 是以1a 为首项,2为公比的等比数列.又由题意得21322a a a +=+1112224a a a ⇒⋅+=+12a ⇒= 则2n n a = *()n N ∈（2）由题意得112n n a = *()n N ∈ 由等比数列求和公式得11[1()]1221()1212n n n T -==-- 则2111-=()22n n T （）-= 又Q 当10n =时, 10911=1024=51222（），（） 111000n T ∴-<成立时,n 的最小值的10n =. 点评：此题放在简答题的第一题,考察前n 项和n S 与通项n a 的关系和等比数列的求和公式,难度较易,考察常规.可以说是知识点的直接运用.所以也提醒我们在复习时要紧抓课本,着重基础.17.解答：解：（1）X 可能取值有﹣200,10,20,100． 则P （X=﹣200）=,P （X=10）==P （X=20）==,P （X=100）==,故分布列为： X ﹣200 10 20 100 P由（1）知,每盘游戏出现音乐的概率是p=+=,则至少有一盘出现音乐的概率p=1﹣．由（1）知,每盘游戏或得的分数为X 的数学期望是E （X ）=（﹣200）×+10×+20××100=﹣=．这说明每盘游戏平均得分是负分,由概率统计的相关知识可知：许多人经过若干盘游戏后,入最初的分数相比,分数没有增加反而会减少．18.【答案】（I ）直接将平面图形折叠同时注意顶点的对应方式即可 如图QLKMH N GE FD CA B（II ）连接BD ,取BD 的中点Q ,连接MQ因为M 、Q 为线段BC 、BD 中点,所以////MQ CD GH 且1122MQ CD GH ==又因N 为GH 中点,所以12NH GH =得到NH MQ =且//NH MQ所以四边形QMNH 为Y 得到//QH MN 又因为QH ⊂平面BDH 所以//MN 平面BDH （得证） （III ）连接AC ,EG ,过点M 作MK AC ⊥,垂足在AC 上,过点K 作平面ABCD 垂线,交EG 于点L ,连接ML ,则二面角A EG M MLK --=∠ 因为MK ⊂平面ABCD ,且AE ABCD ⊥,所以MK AE ⊥ 又AE ,AC ⊂平面AEG ,所以MK ⊥平面AEG 且KL AEG ⊂,所以MK ⊥KL ,所以三角形MKL 为RT ∆ 设正方体棱长为a ,则AB BC KL a ===, 所以2a MC =, 因为45MCK ∠=︒,三角形MCK 为RT ∆,所以cos 45MK MC =∠︒=所以4tan 4MK MLK KL a ∠===,所以cos 3MLK ∠=所以cos cos 3A EG M MLK <-->=∠=19.∴,又等差数列{a n}的公差为d,∴==2d,∵点（a8,4b7）在函数f（x）的图象上,∴=b8,∴=4=2d,解得d=2．又a1=﹣2,∴S n==﹣2n+=n2﹣3n．（2）由f（x）=2x,∴f′（x）=2x ln2,∴函数f（x）的图象在点（a2,b2）处的切线方程为, 又,令y=0可得x=,∴,解得a2=2．∴d=a2﹣a1=2﹣1=1．∴a n=a1+（n﹣1）d=1+（n﹣1）×1=n,∴b n=2n．∴．∴T n=+…++,∴2T n=1+++…+,两式相减得T n=1++…+﹣=﹣==． 【答案】 解：（1）由题知椭圆过点)2,1.得 2222222211⎧==⎪⎪⎪+=⎨⎪⎪=+⎪⎩c e a a b a b c 解得：2,2===a b c 所以,椭圆方程为：22142+=x y . (2)假设存在满足题意的定点Q .当直线l 平行于x 轴时,1==QA PA QB PB,,A B 两点关于y 轴对称,得Q 在y 轴上.不妨设()0,Q a当直线l 为y 轴时,2121212--==≠++QA PA a a QB PB a .解得2=a 下证对一般的直线:1=+l y kx ,()0,2Q 也满足题意.由=QA PA QB PB得y 轴为∠AQB 的角平分线.所以=-QA QB k k . 不妨设()()1122,,,A x y B x y11221,1=+=+y kx y kx121222--=-y y x x ,化简得12122=+kx x x x ①又椭圆方程与直线方程联立得：22124=+⎧⎨+=⎩y kx x y ,()2212420++-=k x kx 12122242,1212-+=-=++k x x x x k k带入①得成立.故假设成立.综上存在点满足题意.21: 解答：解：∵f （x ）=e x ﹣ax 2﹣bx ﹣1,∴g （x ）=f ′（x ）=e x ﹣2ax ﹣b,又g ′（x ）=e x ﹣2a,x ∈[0,1],∴1≤e x ≤e,∴①当时,则2a ≤1,g ′（x ）=e x ﹣2a ≥0,∴函数g （x ）在区间[0,1]上单调递增,g （x ）min =g （0）=1﹣b ；②当,则1＜2a ＜e,∴当0＜x ＜ln （2a ）时,g ′（x ）=e x ﹣2a ＜0,当ln （2a ）＜x ＜1时,g ′（x ）=e x ﹣2a ＞0,∴函数g （x ）在区间[0,ln （2a ）]上单调递减,在区间[ln （2a ）,1]上单调递增, g （x ）min =g[ln （2a ）]=2a ﹣2aln （2a ）﹣b ；③当时,则2a ≥e,g ′（x ）=e x ﹣2a ≤0,∴函数g （x ）在区间[0,1]上单调递减,g （x ）min =g （1）=e ﹣2a ﹣b,综上：函数g （x ）在区间[0,1]上的最小值为；（2）由f （1）=0,⇒e ﹣a ﹣b ﹣1=0⇒b=e ﹣a ﹣1,又f （0）=0,若函数f （x ）在区间（0,1）内有零点,则函数f （x ）在区间（0,1）内至少有三个单调区间,由（1）知当a≤或a≥时,函数g（x）在区间[0,1]上单调,不可能满足“函数f（x）在区间（0,1）内至少有三个单调区间”这一要求．若,则g min（x）=2a﹣2aln（2a）﹣b=3a﹣2aln（2a）﹣e+1令h（x）=（1＜x＜e）则．由＞0⇒x＜∴h（x）在区间（1,）上单调递增,在区间（,e）上单调递减,=+＜0,即g min（x）＜0 恒成立,∴函数f（x）在区间（0,1）内至少有三个单调区间⇔⇒,又,所以e﹣2＜a＜1,综上得：e﹣2＜a＜1．。