2007年高考全国1卷数学理科试卷含答案

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2007年高考全国卷1(理科数学)

2007年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（全国卷Ⅰ）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.α是第四象限角，5tan 12α=-，则sin α=A ．15B ．15-C ．513D ．513-2.设a 是实数，且1i1i 2a +++是实数，则a = A ．12 B ．1 C ．32 D ．23.已知向量(5,6)a =-，(6,5)b =，则a 与bA ．垂直B ．不垂直也不平行C ．平行且同向D ．平行且反向4.已知双曲线的离心率为2，焦点是(4,0)-，(4,0)，则双曲线方程为A ．221412x y -= B ．221124x y -= C ．221106x y -= D ．221610x y -= 5.设,a b R ∈，集合{}1,,{0,,}ba b a b a+=，则b a -=A ．1B ．1-C ．2D ．2- 6.下面给出的四个点中，到直线10x y -+=的距离为2，且位于1010x y x y +-<⎧⎨-+>⎩表示的平面区域内的点是A ．(1,1)B ．(1,1)-C ．(1,1)--D ．(1,1)- 7.如图，正四棱柱1111ABCD A B C D -中，12AA AB =，则异面直线1A B 与1AD 所成角的余弦值为A ．15B ．25C DA 1B 1C 1D 1C ．35D ．458.设1a >，函数()log a f x x =在区间[,2]a a 上的最大值与最小值之差为12，则a =A B ．2 C ． D ．49.()f x ，()g x 是定义在R 上的函数，()()()h x f x g x =+，则“()f x ，()g x 均为偶函数”是“()h x 为偶函数”的A ．充要条件B ．充分而不必要的条件C ．必要而不充分的条件D ．既不充分也不必要的条件10.21()n x x -的展开式中，常数项为15，则n =A ．3B ．4C ．5D ．611.抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l ，经过F 的直线与抛物线在x 轴上方的部分相交于点A ，AK l ⊥，垂足为K ，则AKF ∆的面积是A ．4B ．．．812.函数22()cos 2cos 2xf x x =-的一个单调增区间是 A ．2(,)33ππ B ．()62ππ， C ．(0)3π， D ．()66ππ-，二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.从班委会5名成员中选出3名，分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，其中甲、乙二人不能担任文娱委员，则不同的选法共有种．（用数字作答） 14.函数()y f x =的图像与函数3log (0)y x x =>的图像关于直线y x =对称，则()f x = ．15.等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知1S ，22S ，33S 成等差数列，则{}n a 的公比为．16.一个等腰直角三角形的三个顶点分别在正三棱柱的三条侧棱上．已知正三棱柱的底面边长为2，则该三角形的斜边长为．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17.（本小题满分10分）设锐角三角形ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，2sin a b A =．（Ⅰ）求B 的大小；（Ⅱ）求cos sin A C +的取值范围． 18.（本小题满分12分）某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的付款期数ξ的分布列为商场经销一件该商品，采用1期付款，其利润为200元；分2期或3期付款，其利润为250元；分4期或5期付款，其利润为300元．η表示经销一件该商品的利润．（Ⅰ）求事件A ：“购买该商品的3位顾客中，至少有1位采用1期付款”的概率()P A ；（Ⅱ）求η的分布列及期望E η． 19.（本小题满分12分）四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，侧面SBC ⊥底面ABCD ．已知45ABC =∠，2AB =，BC =SA SB ==（Ⅰ）证明SA BC ⊥；（Ⅱ）求直线SD 与平面SAB 所成角的大小．20.（本小题满分12分）设函数()e e x x f x -=-．（Ⅰ）证明：()f x 的导数()2f x '≥；（Ⅱ）若对所有0x ≥都有()f x ax ≥，求a 的取值范围． 21.（本小题满分12分）DBCA S已知椭圆22132x y +=的左、右焦点分别为1F ，2F ．过1F 的直线交椭圆于B D ，两点，过2F 的直线交椭圆于A C ，两点，且AC BD ⊥，垂足为P ．（Ⅰ）设P 点的坐标为00()x y ，，证明：2200132x y +<；（Ⅱ）求四边形ABCD 的面积的最小值． 22.（本小题满分12分）已知数列{}n a 中12a =，11)(2)n n a a +=+，1,2,3,n =．（Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若数列{}n b 中12b =，13423n n n b b b ++=+，1,2,3,n =，43n n b a -<≤，1,2,3,n =．2007年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题（必修+选修Ⅱ）参考答案一、选择题：（1）D （2）B （3）A （4）A （5）C （6）C（7）D（8）D（9）B（10）D（11）C（12）A二、填空题：（13）36 （14）3()x x ∈R（15）13（16）三、解答题：（17）解：（Ⅰ）由2sin a b A =，根据正弦定理得sin 2sin sin A B A =，所以1sin 2B =，由ABC △为锐角三角形得π6B =．（Ⅱ）cos sin cos sin A C A A π⎛⎫+=+π-- ⎪6⎝⎭cos sin 6A A π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭1cos cos 2A A A =++3A π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．由ABC △为锐角三角形知，22A B ππ->-，2263B ππππ-=-=． 2336A πππ<+<，所以1sin 23A π⎛⎫+< ⎪⎝⎭．3A π⎛⎫<+< ⎪⎝⎭所以，cos sin A C +的取值范围为32⎫⎪⎪⎝⎭，．（18）解：（Ⅰ）由A 表示事件“购买该商品的3位顾客中至少有1位采用1期付款”．知A 表示事件“购买该商品的3位顾客中无人采用1期付款”2()(10.4)0.216P A =-=，()1()10.2160.784P A P A =-=-=．（Ⅱ）η的可能取值为200元，250元，300元．(200)(1)0.4P P ηξ====，(250)(2)(3)0.20.20.4P P P ηξξ===+==+=，(300)1(200)(250)10.40.40.2P P P ηηη==-=-==--=．η的分布列为2000.42500.43000.2E η=⨯+⨯+⨯240=（元）．（19）解法一：（Ⅰ）作SO BC ⊥，垂足为O ，连结AO ，由侧面SBC ⊥底面ABCD ，得SO ⊥底面ABCD ．因为SA SB =，所以AO BO =，又45ABC =∠，故AOB △为等腰直角三角形，AO BO ⊥，由三垂线定理，得SA BC ⊥．（Ⅱ）由（Ⅰ）知SA BC ⊥，依题设AD BC∥，故SA AD ⊥，由AD BC ==SA =AO =1SO =，SD =． SAB △的面积211122S AB SA ⎛=-= ⎝连结DB ，得DAB △的面积21sin13522S AB AD == 设D 到平面SAB 的距离为h ，由于D SAB S ABD V V --=，得121133h S SO S=，解得h =设SD 与平面SAB 所成角为α，则sin 11h SD α===．所以，直线SD 与平面SBC 所成的我为arcsin 11．解法二：（Ⅰ）作SO BC ⊥，垂足为O ，连结AO ，由侧面SBC ⊥底面ABCD ，得SO ⊥平面ABCD ．因为SA SB =，所以AO BO =．又45ABC =∠，AOB △为等腰直角三角形，AO OB ⊥．如图，以O 为坐标原点，OA 为x0)A ，，(0B ，(0C ，，(001)S ，，(2，(0CB =，0SA CB =，所以SA BC ⊥．（Ⅱ）取AB 中点E ，0E ⎫⎪⎪⎝⎭，连结SE ，取SE 中点G ，连结OG ，1442G ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，，． 1442OG ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，，，122SE ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，，(AB =． 0SE OG =，0AB OG =，OG 与平面SAB 内两条相交直线SE ，AB 垂直．所以OG ⊥平面SAB ，OG 与DS 的夹角记为α，SD 与平面SAB 所成的角记为β，则α与β互余．D ，(DS =．22cos OG DS OG DSα==sin β=，所以，直线SD 与平面SAB 所成的角为arcsin 11．（20）解：（Ⅰ）()f x 的导数()e e x x f x -'=+．由于e e 2x -x +=≥，故()2f x '≥．（当且仅当0x =时，等号成立）．（Ⅱ）令()()g x f x ax =-，则()()e e x x g x f x a a -''=-=+-，（ⅰ）若2a ≤，当0x >时，()e e 20x xg x a a -'=+->-≥故()g x 在(0)+，∞上为增函数，所以，0x ≥时，()(0)g x g ≥，即()f x ax ≥．（ⅱ）若2a >，方程()0g x '=的正根为1x =，此时，若1(0)x x ∈，，则()0g x '<，故()g x 在该区间为减函数．所以，1(0)x x ∈，时，()(0)0g x g <=，即()f x ax <，与题设()f x ax ≥相矛盾．综上，满足条件的a 的取值范围是(]2-∞，．（21）证明：（Ⅰ）椭圆的半焦距1c ==，由AC BD ⊥知点P 在以线段12F F 为直径的圆上，故2201x y +=，所以，222200021132222y x y x ++=<≤．（Ⅱ）（ⅰ）当BD 的斜率k 存在且0k ≠时，BD 的方程为(1)y k x =+，代入椭圆方程22132x y +=，并化简得2222(32)6360k x k x k +++-=．设11()B x y ，，22()D x y ，，则2122632k x x k +=-+，21223632k x x k -=+2212221(1)()4BD x x kx x x x ⎡=-=++-=⎣；因为AC 与BC 相交于点P ，且AC 的斜率为1k-，所以，2211132k AC k⎫+⎪⎝⎭==⨯+．四边形ABCD 的面积222222222124(1)(1)962(32)(23)25(32)(23)2k k S BD AC k k k k +24+===++⎡⎤+++⎢⎥⎣⎦≥．当21k =时，上式取等号．（ⅱ）当BD 的斜率0k =或斜率不存在时，四边形ABCD 的面积4S =．综上，四边形ABCD 的面积的最小值为9625．（22）解：（Ⅰ）由题设：11)(2)n n aa +=+1)(1)(2n a =+1)(n a =11)(n n a a+=．所以，数列{n a 是首项为21的等比数列，1)n n a =，即n a的通项公式为1)1nn a ⎤=+⎦，123n =，，，…．（Ⅱ）用数学归纳法证明．（ⅰ）当1n =2<，112b a ==，所以11b a <≤，结论成立．（ⅱ）假设当n k =43k k b a -<≤，也即430k k b a -<．当1n k =+时，13423k k k b b b ++-=+(3(423k k b b -+-=+(3023k k b b -=>+，又1323k b <=-+，所以1(322)23k k k b b b +-=+2(3(k b <-4431)(k a -≤41k a +=也就是说，当1n k =+时，结论成立．43n n b a -<≤，123n =，，，…．。

2007年全国统一高考数学试卷(文科)(全国卷一)及答案

2007年全国统一高考数学试卷（文科）（全国卷Ⅰ）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）设S={x|2x+1＞0}，T={x|3x﹣5＜0}，则S∩T=（）A．∅B．C．D．2．（5分）α是第四象限角，cosα=，则sinα=（）A．B．C．D．3．（5分）已知向量，，则与（）A．垂直B．不垂直也不平行C．平行且同向D．平行且反向4．（5分）已知双曲线的离心率为2，焦点是（﹣4，0），（4，0），则双曲线方程为（）A．B．C．D．5．（5分）甲、乙、丙3位同学选修课程，从4门课程中，甲选修2门，乙、丙各选修3门，则不同的选修方案共有（）A．36种B．48种C．96种D．192种6．（5分）下面给出的四个点中，位于表示的平面区域内的点是（）A．（0，2） B．（﹣2，0）C．（0，﹣2）D．（2，0）7．（5分）如图，正棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=2AB，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为（）A．B．C．D．8．（5分）设a＞1，函数f（x）=log a x在区间[a，2a]上的最大值与最小值之差为，则a=（）A．B．2 C．D．49．（5分）f（x），g（x）是定义在R上的函数，h（x）=f（x）+g（x），则“f（x），g（x）均为偶函数”是“h（x）为偶函数”的（）A．充要条件B．充分而不必要的条件C．必要而不充分的条件D．既不充分也不必要的条件10．（5分）函数y=2cos2x的一个单调增区间是（）A．B．C．D．11．（5分）曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形面积为（）A．B．C．D．12．（5分）抛物线y2=4x的焦点为F，准线为l，经过F且斜率为的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A，AK⊥l，垂足为K，则△AKF的面积是（）A．4 B．C．D．8二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）从自动打包机包装的食盐中，随机抽取20袋，测得各袋的质量分别为（单位：g）：492496494495498497501502504496 497503506508507492496500501499根据频率分布估计总体分布的原理，该自动包装机包装的袋装食盐质量在497.5g～501.5g之间的概率约为．14．（5分）函数y=f（x）的图象与函数y=log3x（x＞0）的图象关于直线y=x对称，则f（x）=．15．（5分）正四棱锥S﹣ABCD的底面边长和各侧棱长都为，点S、A、B、C、D都在同一个球面上，则该球的体积为．16．（5分）等比数列{a n}的前n项和为S n，已知S1，2S2，3S3成等差数列，则{a n}的公比为．三、解答题（共6小题，满分80分）17．（10分）设锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=2bsinA （Ⅰ）求B的大小；（Ⅱ）若，c=5，求b．18．（12分）某商场经销某商品，顾客可采用一次性付款或分期付款购买．根据以往资料统计，顾客采用一次性付款的概率是0.6，经销一件该商品，若顾客采用一次性付款，商场获得利润200元；若顾客采用分期付款，商场获得利润250元．（Ⅰ）求3位购买该商品的顾客中至少有1位采用一次性付款的概率；（Ⅱ）求3位顾客每人购买1件该商品，商场获的利润不超过650元的概率．19．（12分）四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，侧面SBC⊥底面ABCD，已知∠ABC=45°，AB=2，BC=2，SA=SB=．（Ⅰ）证明：SA⊥BC；（Ⅱ）求直线SD与平面SBC所成角的大小．20．（12分）设函数f（x）=2x3+3ax2+3bx+8c在x=1及x=2时取得极值．（Ⅰ）求a、b的值；（Ⅱ）若对任意的x∈[0，3]，都有f（x）＜c2成立，求c的取值范围．21．（12分）设{a n}是等差数列，{b n}是各项都为正数的等比数列，且a1=b1=1，a3+b5=21，a5+b3=13．（Ⅰ）求{a n}、{b n}的通项公式；（Ⅱ）求数列的前n项和S n．22．（12分）已知椭圆的左右焦点分别为F1、F2，过F1的直线交椭圆于B、D两点，过F2的直线交椭圆于A、C两点，且AC⊥BD，垂足为P （Ⅰ）设P点的坐标为（x0，y0），证明：；（Ⅱ）求四边形ABCD的面积的最小值．2007年全国统一高考数学试卷（文科）（全国卷Ⅰ）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）（2007•全国卷Ⅰ）设S={x|2x+1＞0}，T={x|3x﹣5＜0}，则S∩T=（）A．∅B．C．D．【分析】集合S、T是一次不等式的解集，分别求出再求交集．【解答】解：S={x|2x+1＞0}={x|x＞﹣}，T={x|3x﹣5＜0}={x|x＜}，则S∩T=，故选D．2．（5分）（2007•全国卷Ⅰ）α是第四象限角，cosα=，则sinα=（）A．B．C．D．【分析】根据同角的三角函数之间的关系sin2+cos2α=1，得到余弦的值，又由角在第四象限，确定符号．【解答】解：∵α是第四象限角，∴sinα=，故选B．3．（5分）（2007•全国卷Ⅰ）已知向量，，则与（）A．垂直B．不垂直也不平行C．平行且同向D．平行且反向【分析】根据向量平行垂直坐标公式运算即得．【解答】解：∵向量，，得，∴⊥，故选A．4．（5分）（2007•全国卷Ⅰ）已知双曲线的离心率为2，焦点是（﹣4，0），（4，0），则双曲线方程为（）A．B．C．D．【分析】根据焦点坐标求得c，再根据离心率求得a，最后根据b=求得b，双曲线方程可得．【解答】解．已知双曲线的离心率为2，焦点是（﹣4，0），（4，0），则c=4，a=2，b2=12，双曲线方程为，故选A．5．（5分）（2007•全国卷Ⅰ）甲、乙、丙3位同学选修课程，从4门课程中，甲选修2门，乙、丙各选修3门，则不同的选修方案共有（）A．36种B．48种C．96种D．192种【分析】根据题意，先分析甲，有C42种，再分析乙、丙，有C43•C43种，进而由乘法原理计算可得答案．【解答】解；根据题意，甲、乙、丙3位同学选修课程，从4门课程中，甲选修2门，有C42种，乙、丙各选修3门，有C43•C43种，则不同的选修方案共有C42•C43•C43=96种，故选C．6．（5分）（2007•全国卷Ⅰ）下面给出的四个点中，位于表示的平面区域内的点是（）A．（0，2） B．（﹣2，0）C．（0，﹣2）D．（2，0）【分析】本题考查的是不等式所表示的平面区域内点所满足的条件的问题，解决此问题只需将点代入验证即可【解答】解：将四个点的坐标分别代入不等式组，解可得，满足条件的是（0，﹣2），故选C．7．（5分）（2007•全国卷Ⅰ）如图，正棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=2AB，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为（）A．B．C．D．【分析】先通过平移将两条异面直线平移到同一个起点B，得到的锐角∠A1BC1就是异面直线所成的角，在三角形中A1BC1用余弦定理求解即可．【解答】解．如图，连接BC1，A1C1，∠A1BC1是异面直线A1B与AD1所成的角，设AB=a，AA1=2a，∴A1B=C1B=a，A1C1=a，∠A1BC1的余弦值为，故选D．8．（5分）（2007•全国卷Ⅰ）设a＞1，函数f（x）=log a x在区间[a，2a]上的最大值与最小值之差为，则a=（）A．B．2 C．D．4【分析】因为a＞1，函数f（x）=log a x是单调递增函数，最大值与最小值之分别为log a2a、log a a=1，所以log a2a﹣log a a=，即可得答案．【解答】解．∵a＞1，∴函数f（x）=log a x在区间[a，2a]上的最大值与最小值之分别为log a2a，log a a，∴log a2a﹣log a a=，∴，a=4，故选D9．（5分）（2008•上海）f（x），g（x）是定义在R上的函数，h（x）=f（x）+g （x），则“f（x），g（x）均为偶函数”是“h（x）为偶函数”的（）A．充要条件B．充分而不必要的条件C．必要而不充分的条件D．既不充分也不必要的条件【分析】本题主要是抽象函数奇偶性的判断，只能根据定义，而要否定奇偶性，一般用特值．【解答】解．若“f（x），g（x）均为偶函数”，则有f（﹣x）=f（x），g（﹣x）=g （x），∴h（﹣x）=f（﹣x）+g（﹣x）=f（x）+g（x）=h（x），∴“h（x）为偶函数”，而反之取f（x）=x2+x，g（x）=2﹣x，h（x）=x2+2是偶函数，而f（x），g（x）均不是偶函数”，故选B10．（5分）（2007•全国卷Ⅰ）函数y=2cos2x的一个单调增区间是（）A．B．C．D．【分析】要进行有关三角函数性质的运算，必须把三角函数式变为y=Asin（ωx+φ）的形式，要先把函数式降幂，降幂用二倍角公式．【解答】解：函数y=2cos2x=1+cos2x，由﹣π+2kπ≤2x≤2kπ，解得﹣π+kπ≤x≤kπ，k为整数，∴k=1即有它的一个单调增区是，故选D．11．（5分）（2007•全国卷Ⅰ）曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形面积为（）A．B．C．D．【分析】（1）首先利用导数的几何意义，求出曲线在P（x0，y0）处的切线斜率，进而得到切线方程；（2）利用切线方程与坐标轴直线方程求出交点坐标（3）利用面积公式求出面积．【解答】解：若y=x3+x，则y′|x=1=2，即曲线在点处的切线方程是，它与坐标轴的交点是（，0），（0，﹣），围成的三角形面积为，故选A．12．（5分）（2007•全国卷Ⅰ）抛物线y2=4x的焦点为F，准线为l，经过F且斜率为的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A，AK⊥l，垂足为K，则△AKF的面积是（）A．4 B．C．D．8【分析】先根据抛物线方程求出焦点坐标和准线方程，进而可得到过F且斜率为的直线方程然后与抛物线联立可求得A的坐标，再由AK⊥l，垂足为K，可求得K的坐标，根据三角形面积公式可得到答案．【解答】解：∵抛物线y2=4x的焦点F（1，0），准线为l：x=﹣1，经过F且斜率为的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A（3，2），AK⊥l，垂足为K（﹣1，2），∴△AKF的面积是4故选C．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）（2007•全国卷Ⅰ）从自动打包机包装的食盐中，随机抽取20袋，测得各袋的质量分别为（单位：g）：492496494495498497501502504496 497503506508507492496500501499根据频率分布估计总体分布的原理，该自动包装机包装的袋装食盐质量在497.5g～501.5g之间的概率约为0.25．【分析】由题意知本题是一个统计问题，需要用样本的概率估计总体中位于这个范围的概率，试验发生包含的事件数时20，袋装食盐质量在497.5g～501.5g之间的可以数出有5，利用概率公式，得到结果．【解答】解：从自动打包机包装的食盐中，随机抽取20袋，测得各袋的质量分别为（单位：g）：492496494495498497501502504496 497503506508507492496500501499根据频率分布估计总体分布的原理，该自动包装机包装的袋装食盐质量在497.5g～501.5g之间的概率约为P==0.25．故答案为：0.2514．（5分）（2007•全国卷Ⅰ）函数y=f（x）的图象与函数y=log3x（x＞0）的图象关于直线y=x对称，则f（x）=3x（x∈R）．【分析】由题意推出f（x）与函数y=log3x（x＞0）互为反函数，求解即可．【解答】解．函数y=f（x）的图象与函数y=log3x（x＞0）的图象关于直线y=x 对称，则f（x）与函数y=log3x（x＞0）互为反函数，f（x）=3x（x∈R）故答案为：3x（x∈R）15．（5分）（2007•全国卷Ⅰ）正四棱锥S﹣ABCD的底面边长和各侧棱长都为，点S、A、B、C、D都在同一个球面上，则该球的体积为．【分析】先确定球心位置，再求球的半径，然后可求球的体积．【解答】解：正四棱锥S﹣ABCD的底面边长和各侧棱长都为，点S、A、B、C、D都在同一个球面上，则该球的球心恰好是底面ABCD的中心，球的半径是1，体积为．故答案为：16．（5分）（2007•全国卷Ⅰ）等比数列{a n}的前n项和为S n，已知S1，2S2，3S3成等差数列，则{a n}的公比为．【分析】先根据等差中项可知4S2=S1+3S3，利用等比数列的求和公式用a1和q分别表示出S1，S2和S3，代入即可求得q．【解答】解：∵等比数列{a n}的前n项和为S n，已知S1，2S2，3S3成等差数列，∴a n=a1q n﹣1，又4S2=S1+3S3，即4（a1+a1q）=a1+3（a1+a1q+a1q2），解．故答案为三、解答题（共6小题，满分80分）17．（10分）（2007•全国卷Ⅰ）设锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=2bsinA（Ⅰ）求B的大小；（Ⅱ）若，c=5，求b．【分析】（1）根据正弦定理将边的关系化为角的关系，然后即可求出角B的正弦值，再由△ABC为锐角三角形可得答案．（2）根据（1）中所求角B的值，和余弦定理直接可求b的值．【解答】解：（Ⅰ）由a=2bsinA，根据正弦定理得sinA=2sinBsinA，所以，由△ABC为锐角三角形得．（Ⅱ）根据余弦定理，得b2=a2+c2﹣2accosB=27+25﹣45=7．所以，．18．（12分）（2007•全国卷Ⅰ）某商场经销某商品，顾客可采用一次性付款或分期付款购买．根据以往资料统计，顾客采用一次性付款的概率是0.6，经销一件该商品，若顾客采用一次性付款，商场获得利润200元；若顾客采用分期付款，商场获得利润250元．（Ⅰ）求3位购买该商品的顾客中至少有1位采用一次性付款的概率；（Ⅱ）求3位顾客每人购买1件该商品，商场获的利润不超过650元的概率．【分析】（1）3位购买该商品的顾客中至少有1位采用一次性付款的对立事件是3位顾客中无人采用一次性付款，根据独立重复试验公式得到3位顾客中无人采用一次性付款的概率，再根据对立事件的公式得到结论．（2）3位顾客每人购买1件该商品，顾客的付款方式为一次性付款和分期付款，且购买该商品的3位顾客中有1位采用分期付款，根据互斥事件的公式得到结果．【解答】解：（Ⅰ）记A表示事件：“3位顾客中至少1位采用一次性付款”，则表示事件：“3位顾客中无人采用一次性付款”．P（）=（1﹣0.6）3=0.064，．（Ⅱ）记B表示事件：“3位顾客每人购买1件该商品，商场获得利润不超过650元”．B0表示事件：“购买该商品的3位顾客中无人采用分期付款”．B1表示事件：“购买该商品的3位顾客中恰有1位采用分期付款”．则B=B0+B1．P（B0）=0.63=0.216，P（B1）=C31×0.62×0.4=0.432．P（B）=P（B0+B1）=P（B0）+P（B1）=0.216+0.432=0.648．19．（12分）（2007•全国卷Ⅰ）四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，侧面SBC⊥底面ABCD，已知∠ABC=45°，AB=2，BC=2，SA=SB=．（Ⅰ）证明：SA⊥BC；（Ⅱ）求直线SD与平面SBC所成角的大小．【分析】解法一：（1）作SO⊥BC，垂足为O，连接AO，说明SO⊥底面ABCD．利用三垂线定理，得SA⊥BC．（Ⅱ）由（Ⅰ）知SA⊥BC，设AD∥BC，连接SE．说明∠ESD为直线SD与平面SBC所成的角，通过，求出直线SD与平面SBC所成的角为．解法二：（Ⅰ）作SO⊥BC，垂足为O，连接AO，以O为坐标原点，OA为x轴正向，建立直角坐标系O﹣xyz，通过证明，推出SA⊥BC．（Ⅱ）.与的夹角记为α，SD与平面ABC所成的角记为β，因为为平面SBC 的法向量，利用α与β互余．通过，，推出直线SD与平面SBC所成的角为．【解答】解法一：（1）作SO⊥BC，垂足为O，连接AO，由侧面SBC⊥底面ABCD，得SO⊥底面ABCD．因为SA=SB，所以AO=BO，又∠ABC=45°，故△AOB为等腰直角三角形，AO⊥BO，由三垂线定理，得SA⊥BC．（Ⅱ）由（Ⅰ）知SA⊥BC，依题设AD∥BC，故SA⊥AD，由，，．又，作DE⊥BC，垂足为E，则DE⊥平面SBC，连接SE．∠ESD为直线SD与平面SBC所成的角．所以，直线SD与平面SBC所成的角为．解法二：（Ⅰ）作SO⊥BC，垂足为O，连接AO，由侧面SBC⊥底面ABCD，得SO⊥平面ABCD．因为SA=SB，所以AO=BO．又∠ABC=45°，△AOB为等腰直角三角形，AO⊥OB．如图，以O为坐标原点，OA为x轴正向，建立直角坐标系O﹣xyz，因为，，又，所以，，．S（0，0，1），，，，所以SA⊥BC．（Ⅱ），.与的夹角记为α，SD与平面ABC所成的角记为β，因为为平面SBC的法向量，所以α与β互余．，，所以，直线SD与平面SBC所成的角为．20．（12分）（2007•全国卷Ⅰ）设函数f（x）=2x3+3ax2+3bx+8c在x=1及x=2时取得极值．（Ⅰ）求a、b的值；（Ⅱ）若对任意的x∈[0，3]，都有f（x）＜c2成立，求c的取值范围．【分析】（1）依题意有，f'（1）=0，f'（2）=0．求解即可．（2）若对任意的x∈[0，3]，都有f（x）＜c2成立⇔f（x）max＜c2在区间[0，3]上成立，根据导数求出函数在[0，3]上的最大值，进一步求c的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）f'（x）=6x2+6ax+3b，因为函数f（x）在x=1及x=2取得极值，则有f'（1）=0，f'（2）=0．即解得a=﹣3，b=4．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，f（x）=2x3﹣9x2+12x+8c，f'（x）=6x2﹣18x+12=6（x﹣1）（x﹣2）．当x∈（0，1）时，f'（x）＞0；当x∈（1，2）时，f'（x）＜0；当x∈（2，3）时，f'（x）＞0．所以，当x=1时，f（x）取得极大值f（1）=5+8c，又f（0）=8c，f（3）=9+8c．则当x∈[0，3]时，f（x）的最大值为f（3）=9+8c．因为对于任意的x∈[0，3]，有f（x）＜c2恒成立，所以9+8c＜c2，解得c＜﹣1或c＞9，因此c的取值范围为（﹣∞，﹣1）∪（9，+∞）．21．（12分）（2007•全国卷Ⅰ）设{a n}是等差数列，{b n}是各项都为正数的等比数列，且a1=b1=1，a3+b5=21，a5+b3=13．（Ⅰ）求{a n}、{b n}的通项公式；（Ⅱ）求数列的前n项和S n．【分析】（Ⅰ）设{a n}的公差为d，{b n}的公比为q，根据等比数列和等差数列的通项公式，联立方程求得d和q，进而可得{a n}、{b n}的通项公式．（Ⅱ）数列的通项公式由等差和等比数列构成，进而可用错位相减法求得前n项和S n．【解答】解：（Ⅰ）设{a n}的公差为d，{b n}的公比为q，则依题意有q＞0且解得d=2，q=2．所以a n=1+（n﹣1）d=2n﹣1，b n=q n﹣1=2n﹣1．（Ⅱ），，①S n=，②①﹣②得S n=1+2（++…+）﹣，则===．22．（12分）（2007•全国卷Ⅰ）已知椭圆的左右焦点分别为F1、F2，过F1的直线交椭圆于B、D两点，过F2的直线交椭圆于A、C两点，且AC⊥BD，垂足为P（Ⅰ）设P点的坐标为（x0，y0），证明：；（Ⅱ）求四边形ABCD的面积的最小值．【分析】（Ⅰ）椭圆的半焦距，由AC⊥BD知点P在以线段F1F2为直径的圆上，故x02+y02=1，由此可以证出．（Ⅱ）设BD的方程为y=k（x+1），代入椭圆方程，并化简得（3k2+2）x2+6k2x+3k2﹣6=0．设B（x1，y1），D（x2，y2），由题意知|BD|=再求出|AC|=，由此可以求出四边形ABCD的面积的最小值．【解答】证明：（Ⅰ）椭圆的半焦距，由AC⊥BD知点P在以线段F1F2为直径的圆上，故x02+y02=1，所以，．（Ⅱ）（ⅰ）当BD的斜率k存在且k≠0时，BD的方程为y=k（x+1），代入椭圆方程，并化简得（3k2+2）x2+6k2x+3k2﹣6=0．设B（x1，y1），D（x2，y2），则，|BD|=；因为AC与BD相交于点P，且AC的斜率为，所以，|AC|=．四边形ABCD的面积•|BD||AC|=．当k2=1时，上式取等号．（ⅱ）当BD的斜率k=0或斜率不存在时，四边形ABCD的面积S=4．综上，四边形ABCD的面积的最小值为．。

2007年高考数学卷(上海.理)含答案

2007年全国普通高等学校招生统一考试（上海卷）数学试卷(理工农医类)考生注意：1．答卷前，考生务必将姓名、高考准考证号、校验码等填写清楚．2．本试卷共有21道试题，满分150分．考试时间120分钟．请考生用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上．一．填空题（本大题满分44分）本大题共有11题，只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．函数3)4lg(--=x x y 的定义域是．2．若直线1210l x my ++=：　与直线231l y x =-：平行，则=m ．3．函数1)(-=x xx f 的反函数=-)(1x f ．4．方程 96370x x -•-=的解是．5．若x y ∈+R ，，且14=+y x ，则x y •的最大值是． 6．函数⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=2πsin 3πsin x x y 的最小正周期=T ．7．在五个数字12345，，，，中，若随机取出三个数字，则剩下两个数字都是奇数的概率是（结果用数值表示）．8．以双曲线15422=-y x 的中心为焦点，且以该双曲线的左焦点为顶点的抛物线方程是． 9．对于非零实数a b ，，以下四个命题都成立： ① 01≠+aa ； ② 2222)(b ab a b a ++=+； ③ 若||||b a =，则b a ±=； ④ 若ab a =2，则b a =．那么，对于非零复数a b ，，仍然成立的命题的所有序号是． 10．在平面上，两条直线的位置关系有相交、平行、重合三种．已知αβ，是两个相交平面，空间两条直线12l l ，在α上的射影是直线12s s ，，12l l ，在β上的射影是直线12t t ，．用1s 与2s ，1t 与2t 的位置关系，写出一个总能确定1l 与2l 是异面直线的充分条件：． 11．已知P 为圆1)1(22=-+y x 上任意一点（原点O 除外），直线OP 的倾斜角为θ弧度，记||OP d =．在右侧的坐标系中，画出以()d θ，为坐标的点的轨迹的大致图形为二．选择题（本大题满分16分）本大题共有4 题，每题都给出代号为A ，B ，C ，D 的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得4分，不选、选错或者选出的代号超过一个（不论是否都写在圆括号内），一律得零分．12．已知a b ∈R ，，且i ,i 2++b a （i 是虚数单位）是实系数一元二次方程02=++q px x 的两个根，那么p q ，的值分别是（）Ａ．45p q =-=，Ｂ．43p q =-=，Ｃ．45p q ==，Ｄ．43p q ==，13．设a b ，是非零实数，若b a <，则下列不等式成立的是（）Ａ．22b a < Ｂ．b a ab 22< Ｃ．ba ab 2211< Ｄ．b aa b < 14．直角坐标系xOy 中，i j ，分别是与x y ，轴正方向同向的单位向量．在直角三角形 ABC 中，若j k i j i+=+=3,2，则k 的可能值个数是（）Ａ．1 Ｂ．2 Ｃ．3 Ｄ．415．设)(x f 是定义在正整数集上的函数，且)(x f 满足：“当2()f k k ≥成立时，总可推出(1)f k +≥2)1(+k 成立”．那么，下列命题总成立的是（）Ａ．若(3)9f ≥成立，则当1k ≥时，均有2()f k k ≥成立Ｂ．若(5)25f ≥成立，则当5k ≤时，均有2()f k k ≥成立CB1C 1B1AAＣ．若49)7(<f 成立，则当8k ≥时，均有2)(k k f <成立Ｄ．若25)4(=f 成立，则当4k ≥时，均有2()f k k ≥成立三．解答题（本大题满分90分）本大题共有6题，解答下列各题必须写出必要的步骤．16．（本题满分12分）如图，在体积为1的直三棱柱111C B A ABC -中，1,90===∠BC AC ACB．求直线B A 1与平面C C BB 11所成角的大小（结果用反三角函数值表示）． 17．（本题满分14分）在ABC △中，a b c ，，分别是三个内角A B C ，，的对边．若4π,2==C a ，5522cos=B ，求ABC △的面积S ．18．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．近年来，太阳能技术运用的步伐日益加快．2002年全球太阳电池的年生产量达到670兆瓦，年生产量的增长率为34%．以后四年中，年生产量的增长率逐年递增2%（如，2003年的年生产量的增长率为36%）．（1）求2006年全球太阳电池的年生产量（结果精确到0.1兆瓦）；（2）目前太阳电池产业存在的主要问题是市场安装量远小于生产量，2006年的实际安装量为1420兆瓦．假设以后若干年内太阳电池的年生产量的增长率保持在42%，到2010年，要使年安装量与年生产量基本持平（即年安装量不少于年生产量的95%），这四年中太阳电池的年安装量的平均增长率至少应达到多少（结果精确到0.1%）？19．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分．已知函数0()(2≠+=x xax x f ，常数)a ∈R ．（1）讨论函数)(x f 的奇偶性，并说明理由；（2）若函数)(x f 在[2)x ∈+∞，上为增函数，求a 的取值范围．20．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分9分．如果有穷数列123n a a a a ，，，，（n 为正整数）满足条件n a a =1，12-=n a a ，…，1a a n =，即1+-=i n i a a （12i n =，，，），我们称其为“对称数列”．例如，由组合数组成的数列01m m m m C C C ，，，就是“对称数列”．（1）设{}n b 是项数为7的“对称数列”，其中1234b b b b ，，，是等差数列，且21=b ，114=b ．依次写出{}n b 的每一项；（2）设{}n c 是项数为12-k (正整数1>k )的“对称数列”，其中121k k k c c c +-，，，是首项为50，公差为4-的等差数列．记{}n c 各项的和为12-k S ．当k 为何值时，12-k S 取得最大值？并求出12-k S 的最大值；（3）对于确定的正整数1>m ，写出所有项数不超过m 2的“对称数列”，使得211222m -，，，，依次是该数列中连续的项；当m 1500>时，求其中一个“对称数列”前2008项的和2008S ．21．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．我们把由半椭圆12222=+b y a x (0)x ≥与半椭圆12222=+cx b y (0)x ≤合成的曲线称作“果圆”，其中222c b a +=，0>a ，0>>c b ．如图，点0F ，1F ，2F 是相应椭圆的焦点，1A ，2A 和1B ，2B 分别是“果圆”与x ，y轴的交点．（1）若012F F F △是边长为1的等边三角形，求“果圆”的方程；（2）当21A A >21B B 时，求ab的取值范围；（3的弦．试研究：是否存在实数k ，使斜率为k 平行弦的中点轨迹总是落在某个椭圆上？若存在，求出所有可能的k 值；若不存在，说明理由．2007年全国普通高等学校招生统一考试（上海卷）数学试卷(理工农医类)答案要点一、填空题（第1题至第11题） 1． {}34≠<x x x 且 2． 32-3．）（11≠-x x x4．7log 3 5．161 6． π 7． 3.0 8． )3(122+=x y 9．②④10． 21//s s ，并且1t 与2t 相交（//1t 2t ，并且1s 与2s 相交）11．二、选择题（第12题至第15题）题号 1213 1415答案ACB D三、解答题（第16题至第21题） 16．解法一：由题意，可得体积11111122ABC V CC S CC AC BC CC ====△， ∴ 211==CC AA ．连接1BC ．1111111AC B C AC CC ⊥⊥，，⊥∴11C A 平面C C BB 11，11BC A ∠∴是直线B A 1与平面C C BB 11所成的角． 52211=+=BC CC BC ，51tan 11111==∠∴BC C A BC A ，则 11BC A ∠＝55arctan ． CB1B1A A1C即直线B A 1与平面C C BB 11所成角的大小为55arctan．解法二：由题意，可得体积11111122ABC V CC S CC AC BC CC ∆====， 21=∴CC ，如图，建立空间直角坐标系．得点(010)B ，，， 1(002)C ，，，1(102)A ，，．则1(112)A B =--，，，平面C C BB 11的法向量为(100)n =，，．设直线B A 1与平面C C BB 11所成的角为θ，A 1与n 的夹角为ϕ，则116cos 6A B n A Bn ϕ==-66arcsin ,66|cos |sin ===∴θϕθ，即直线B A 1与平面C C BB 11所成角的大小为66arcsin． 17．解：由题意，得3cos 5B B =，为锐角，54sin =B ，10274π3sin )πsin(sin =⎪⎭⎫ ⎝⎛-=--=B C B A ，由正弦定理得 710=c ， ∴ 111048sin 222757S ac B ==⨯⨯⨯=．18．解：（1）由已知得2003，2004，2005，2006年太阳电池的年生产量的增长率依次为 %36，%38，%40，%42．则2006年全球太阳电池的年生产量为8.249942.140.138.136.1670≈⨯⨯⨯⨯(兆瓦)．（2）设太阳电池的年安装量的平均增长率为x ，则441420(1)95%2499.8(142%)x ++≥．解得0.615x ≥．因此，这四年中太阳电池的年安装量的平均增长率至少应达到%5.61． 19．解：（1）当0=a 时，2)(x x f =，对任意(0)(0)x ∈-∞+∞，，，)()()(22x f x x x f ==-=-， )(x f ∴为偶函数．当0≠a 时，2()(00)af x x a x x=+≠≠，，取1±=x ，得 (1)(1)20(1)(1)20f f f f a -+=≠--=-≠，， (1)(1)(1)(1)f f f f ∴-≠--≠，，∴ 函数)(x f 既不是奇函数，也不是偶函数．（2）解法一：设122x x <≤， 22212121)()(x a x x a x x f x f --+=-[]a x x x x x x x x -+-=)()(21212121，要使函数)(x f 在[2)x ∈+∞，上为增函数，必须0)()(21<-x f x f 恒成立．121204x x x x -<>，，即)(2121x x x x a +<恒成立．又421>+x x ，16)(2121>+∴x x x x ． a ∴的取值范围是(16]-∞，．解法二：当0=a 时，2)(x x f =，显然在[2)+∞，为增函数．当0<a 时，反比例函数xa在[2)+∞，为增函数， xax x f +=∴2)(在[2)+∞，为增函数．当0>a 时，同解法一．20．解：（1）设{}n b 的公差为d ，则1132314=+=+=d d b b ，解得 3=d ， ∴数列{}n b 为25811852，，，，，，．（2）12112112-+--+++++++=k k k k k c c c c c c S k k k k c c c c -+++=-+)(2121 ，50134)13(42212-⨯+--=-k S k ，∴当13=k 时，12-k S 取得最大值．12-k S 的最大值为626．（3）所有可能的“对称数列”是： ① 22122122222221m m m ---，，，，，，，，，，；② 2211221222222221m m m m ----，，，，，，，，，，，； ③ 122221222212222m m m m ----，，，，，，，，，，； ④ 1222212222112222m m m m ----，，，，，，，，，，，．对于①，当2008m ≥时，1222212008200722008-=++++= S ．当15002007m <≤时，200922122008222221----+++++++=m m m m S 2009212212---+-=m m m 1222200921--+=--m m m ．对于②，当2008m ≥时，1220082008-=S ．当15002007m <≤时，2008S 122200821--=-+m m ．对于③，当2008m ≥时，2008200822--=m m S ．当15002007m <≤时，2008S 3222009-+=-mm ．对于④，当2008m ≥时，2008200822--=m m S ．当15002007m <≤时，2008S 2222008-+=-mm ．21．解：（1） ()()012(0)00F c F F -，，，，，021211F F b F F ∴=====，，于是22223744c a b c ==+=，，所求“果圆”方程为2241(0)7x y x +=≥，2241(0)3y x x +=≤．（2）由题意，得 b c a 2>+，即a b b a ->-222．2222)2(a c b b =+> ，222)2(a b b a ->-∴，得54<a b ．又21,222222>∴-=>a b b a c b ． 45b a ⎫∴∈⎪⎪⎝⎭，．（3）设“果圆”C 的方程为22221(0)x y x a b +=≥，22221(0)y x x b c+=≤．记平行弦的斜率为k ．当0=k 时，直线()y t b t b =-≤≤与半椭圆22221(0)x y x a b+=≥的交点是梦想不会辜负一个努力的人all`试题11P t ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，与半椭圆22221(0)y x x b c +=≤的交点是Q t ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭． ∴ P Q ，的中点M ()x y ，满足 221,2a ct x b y t ⎧-⎪=-⎨⎪=⎩，得 122222=+⎪⎭⎫⎝⎛-b y c a x ． b a 2<，∴ 22220222a c a c b a c b b ----+⎛⎫-=≠ ⎪⎝⎭．综上所述，当0=k 时，“果圆”平行弦的中点轨迹总是落在某个椭圆上．当0>k 时，以k 为斜率过1B 的直线l 与半椭圆22221(0)x y x a b +=≥的交点是22232222222ka b k a b b k a b k a b ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，．由此，在直线l 右侧，以k 为斜率的平行弦的中点轨迹在直线x kab y 22-=上，即不在某一椭圆上．当0<k 时，可类似讨论得到平行弦中点轨迹不都在某一椭圆上．。

2007年高考理科数学试题及参考答案(陕西卷)1

、
所对的边长分别为
、
、
，设命题p：
，命题q：
是等边三角形，那么命题p是命题q的（）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件．
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
8．已知函数
在
单调，则
的图象不可能是（）
A．
B．
C．
D．
9．如图是网络工作者用来解释网络运作的蛇形模型：数字1出现在第一行；数字2,3出现在第二行；数字6,5,4（从左到右）出现在第三行；数字7,8,9,10出现在第四行，依此类推2011出现在（） A．第63行，从左到右第5个数 B．第63行，从左到右第6个数 C．第63行，从左到右第57个数 D．第63行，从左到右第58个数
，故f（x）在[0，2]上是减函数， ∴此时f（x）max= f（0）=0，符合题设 …………11分（ii）当0<a<2时，
故 f（x）在[0，a]上是减函数，在在[a，2]上是增函数 ∴此时f（x）max=max{f（0），f（2）}=0，又f（0）=0，∴f（2）≤0，即
解之得
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分． 1．已知
，且
，
，则
为（） A．
B．
C． D．
2．若，则下列不等式中不能成立的是（）
A． B． C． D．
3．已知是平面，是两条不重合的直线，下列说法正确的是（）
A．“若
”是随机事件 B．“若
”是必然事件 C．“若
”是必然事件 D．“若
（1）求（2）若
，为数列Байду номын сангаас的前项和，存在正整数，使得，求实数的取值范围。

2007年高考数学试题(北京.理)含答案

年普通高等学校招生全国统一考试数学（理工农医类）（北京卷）一、本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知cos tan 0θθ< ，那么角θ是（）Ａ．第一或第二象限角Ｂ．第二或第三象限角Ｃ．第三或第四象限角Ｄ．第一或第四象限角2．函数()3(02)xf x x =<≤的反函数的定义域为（）Ａ．(0)+∞，Ｂ．(19]，Ｃ．(01)，Ｄ．[9)+∞， 3．平面α∥平面β的一个充分条件是（）Ａ．存在一条直线a a ααβ，∥，∥Ｂ．存在一条直线a a a αβ⊂，，∥Ｃ．存在两条平行直线a b a b a b αββα⊂⊂，，，，∥，∥Ｄ．存在两条异面直线a b a a b αβα⊂，，，∥，∥ 4．已知O 是ABC △所在平面内一点，D 为BC 边中点，且2OA OB OC ++=0 ，那么（）Ａ．AO OD =Ｂ．2AO OD =Ｃ．3AO OD = Ｄ．2AO OD = 5．记者要为5名志愿都和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻但不排在两端，不同的排法共有（）Ａ．1440种Ｂ．960种Ｃ．720种Ｄ．480种6．若不等式组220x y x y y x y a-0⎧⎪+⎪⎨⎪⎪+⎩≥，≤，≥，≤表示的平面区域是一个三角形，则a 的取值范围是（）Ａ．43a ≥Ｂ．01a <≤ Ｃ．413a ≤≤ Ｄ．01a <≤或43a ≥ 7．如果正数abcd ，，，满足4a b cd +==，那么（）Ａ．ab c d +≤，且等号成立时a b c d ，，，的取值唯一Ｂ．ab c d +≥，且等号成立时a b c d ，，，的取值唯一Ｃ．ab c d +≤，且等号成立时a b c d ，，，的取值不唯一ab c d +≥，且等号成立时a b c d ，，，的取值不唯一8．对于函数①()lg(21)f x x =-+，②2()(2)f x x =-，③()cos(2)f x x =+，判断如下三个命题的真假：命题甲：(2)f x +是偶函数；命题乙：()f x 在()-∞2，上是减函数，在(2)+∞，上是增函数；命题丙：(2)()f x f x +-在()-∞+∞，上是增函数．能使命题甲、乙、丙均为真的所有函数的序号是（）Ａ．①③ Ｂ．①② Ｃ．③ Ｄ．②2007年普通高等学校招生全国统一考试数学（理工农医类）（北京卷）第II 卷（共110分）注意事项：1．用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上．2．答卷前将密封线内的项目填写清楚．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在题中横线上． 9．22(1)i =+ ．10．若数列{}n a 的前n 项和210(123)n S n n n =-= ，，，，则此数列的通项公式为；数列{}n na 中数值最小的项是第项．11．在ABC △中，若1tan 3A =，150C = ，1BC =，则AB = ． 12．已知集合{}|1A x x a =-≤，{}2540B x x x =-+≥．若A B =∅ ，则实数a 的取值范围是．13．2002年在北京召开的国际数学家大会，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的．弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形（如图）．如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为θ，那么cos2θ的值等于．14．已知函数()f x ，()g x 分别由下表给出则[(1)]f g 的值为；满足[()][()]f g x g f x >的x 的值是．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（本小题共13分）数列{}n a 中，12a =，1n n a a cn +=+（c 是常数，123n = ，，，），且123a a a ，，成公比不为1的等比数列．（I ）求c 的值；（II ）求{}n a 的通项公式．16．（本小题共14分）如图，在Rt AOB △中，π6OAB ∠=，斜边4AB =．Rt AOC △可以通过Rt AOB △以直线AO 为轴旋转得到，且二面角B AO C--是直二面角．动点D 的斜边AB 上．（I ）求证：平面COD ⊥平面AOB ；（II ）当D 为AB 的中点时，求异面直线AO 与CD 所成角的大小；（III ）求CD 与平面AOB 所成角的最大值．17．（本小题共14分）矩形ABCD 的两条对角线相交于点(20)M ，，AB 边所在直线的方程为360x y --=，点(11)T -，在AD 边所在直线上．（I ）求AD 边所在直线的方程；（II ）求矩形ABCD 外接圆的方程；（III ）若动圆P 过点(20)N -，，且与矩形ABCD 的外接圆外切，求动圆P 的圆心的轨迹方程．18．（本小题共13分）某中学号召学生在今年春节期间至少参加一次社会公益活动（以下简称活动）．该校合唱团共有100名学生，他们参加活动的次数统计如图所示．（I ）求合唱团学生参加活动的人均次数；（II ）从合唱团中任意选两名学生，求他们参加活动次数恰好相等的概率． x1 2 3 ()f x 13 1 x 1 2 3 ()g x 3 2 1 O C AD B1 2 3 102030 40 50 参加人数活动次数III ）从合唱团中任选两名学生，用ξ表示这两人参加活动次数之差的绝对值，求随机变量ξ的分布列及数学期望E ξ．19．（本小题共13分）如图，有一块半椭圆形钢板，其半轴长为2r ，短半轴长为r ，计划将此钢板切割成等腰梯形的形状，下底AB 是半椭圆的短轴，上底CD 的端点在椭圆上，记2CD x =，梯形面积为S ．（I ）求面积S 以x 为自变量的函数式，并写出其定义域；（II ）求面积S 的最大值．20．已知集合{}12(2)k A a a a k = ，，，≥，其中(12)i a i k ∈=Z ，，，，由A 中的元素构成两个相应的集合：{}()S a b a A b A a b A =∈∈+∈，，，，{}()T a b a A b A a b A =∈∈-∈，，，．其中()a b ，是有序数对，集合S 和T 中的元素个数分别为m 和n ．若对于任意的a A ∈，总有a A -∉，则称集合A 具有性质P ．（I ）检验集合{}0123，，，与{}123-，，是否具有性质P 并对其中具有性质P 的集合，写出相应的集合S 和T ；（II ）对任何具有性质P 的集合A ，证明：(1)2k k n -≤；（III ）判断m 和n 的大小关系，并证明你的结论．2007年普通高等学校招生全国统一考试数学（理工农医类）（北京卷）答案一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1．Ｃ 2．Ｂ 3．Ｄ 4．Ａ5．Ｂ 6．Ｄ7．Ａ 8．Ｄ 4r C D A B2r6小题，每小题5分，共30分）9．i -10．211n - 3 11．102 12．(23)， 13．725 14．1 2三、解答题（本大题共6小题，共80分）15．（共13分）解：（I ）12a =，22a c =+，323a c =+，因为1a ，2a ，3a 成等比数列，所以2(2)2(23)c c +=+，解得0c =或2c =．当0c =时，123a a a ==，不符合题意舍去，故2c =．（II ）当2n ≥时，由于 21a a c -=，322a a c -=，1(1)n n a a n c --=-，所以1(1)[12(1)]2n n n a a n c c --=+++-= ．又12a =，2c =，故22(1)2(23)n a n n n n n =+-=-+= ，，．当1n =时，上式也成立，所以22(12)n a n n n =-+= ，，． 16．（共14分）解法一：（I ）由题意，CO AO ⊥，BO AO ⊥，BOC ∴∠是二面角B AO C --是直二面角，又二面角B AO C --是直二面角，CO BO ∴⊥，又AO BO O = ， CO ∴⊥平面AOB ，又CO ⊂平面COD ．∴平面COD ⊥平面AOB ．（II ）作DE OB ⊥，垂足为E ，连结CE （如图），则DE AO ∥，CDE ∴∠是异面直线AO 与CD 所成的角． ADRt COE △中，2CO BO ==，112OE BO ==， 225CE CO OE ∴=+=．又132DE AO ==． ∴在Rt CDE △中，515tan 33CE CDE DE ===． ∴异面直线AO 与CD 所成角的大小为15arctan3．（III ）由（I ）知，CO ⊥平面AOB ， CDO ∴∠是CD 与平面AOB 所成的角，且2tan OC CDO OD OD ==．当OD 最小时，CDO ∠最大，这时，OD AB ⊥，垂足为D ，3OA OB OD AB== ，23tan 3CDO =， CD ∴与平面AOB 所成角的最大值为23arctan3．解法二：（I ）同解法一．（II ）建立空间直角坐标系O xyz -，如图，则(000)O ，，，(0023)A ，，，(200)C ，，，(013)D ，，，(0023)OA ∴= ，，，(213)CD =- ，，，cos OA CD OACD OA CD ∴<>= ， 6642322== ． ∴异面直线AO 与CD 所成角的大小为6arccos4．（III ）同解法一17．（共14分）解：（I ）因为AB 边所在直线的方程为360x y --=，且AD 与AB 垂直，所以直线AD 的斜率为3-． O CA DB x y z(11)T -，在直线AD 上，所以AD 边所在直线的方程为13(1)y x -=-+．320x y ++=．（II ）由36032=0x y x y --=⎧⎨++⎩，解得点A 的坐标为(02)-，，因为矩形ABCD 两条对角线的交点为(20)M ，．所以M 为矩形ABCD 外接圆的圆心．又22(20)(02)22AM =-++=．从而矩形ABCD 外接圆的方程为22(2)8x y -+=．（III ）因为动圆P 过点N ，所以PN 是该圆的半径，又因为动圆P 与圆M 外切，所以22PM PN =+，即22PM PN -=．故点P 的轨迹是以M N ，为焦点，实轴长为22的双曲线的左支．因为实半轴长2a =，半焦距2c =．所以虚半轴长222b c a =-=．从而动圆P 的圆心的轨迹方程为221(2)22x y x -=-≤． 18．（共13分）解：由图可知，参加活动1次、2次和3次的学生人数分别为10、50和40．（I ）该合唱团学生参加活动的人均次数为110250340230 2.3100100⨯+⨯+⨯==．（II ）从合唱团中任选两名学生，他们参加活动次数恰好相等的概率为222105040021004199C C C P C ++==．（III ）从合唱团中任选两名学生，记“这两人中一人参加1次活动，另一人参加2次活动”为事件A ，“这两人中一人参加2次活动，另一人参加3次活动”为事件B ，“这两人中一人参加1次活动，另一人参加3次活动”为事件C ．易知(1)()()P P A P B ξ==+111110505040241001005099C C C C C C =+=； (2)()P P C ξ==1110402100899C C C ==； ξ的分布列： ξ 0 1 2P 41995099 899 ξ的数学期望：4150820129999993E ξ=⨯+⨯+⨯=． 19．（共13分）解：（I ）依题意，以AB 的中点O 为原点建立直角坐标系O xy -（如图），则点C 的横坐标为x ．点C 的纵坐标y 满足方程22221(0)4x y y r r+=≥，解得222(0)y r x x r =-<< 221(22)22S x r r x =+- 222()x r r x =+- ，其定义域为{}0x x r <<．（II ）记222()4()()0f x x r r x x r =+-<<，，则2()8()(2)f x x r r x '=+-．令()0f x '=，得12x r =．因为当02r x <<时，()0f x '>；当2r x r <<时，()0f x '<，所以12f r ⎛⎫ ⎪⎝⎭是()f x 的最大值． CD A B O x y12x r =时，S 也取得最大值，最大值为213322f r r ⎛⎫= ⎪⎝⎭．即梯形面积S 的最大值为2332r ． 20．（共13分）（I ）解：集合{}0123，，，不具有性质P ．集合{}123-，，具有性质P ，其相应的集合S 和T 是{}(13)(31)S =--，，，， {}(21)23T =-()，，，．（II ）证明：首先，由A 中元素构成的有序数对()i j a a ，共有2k 个．因为0A ∉，所以()(12)i i a a T i k ∉= ，，，，；又因为当a A ∈时，a A -∉时，a A -∉，所以当()i j a a T ∈，时，()(12j i a a T i j k ∉= ，，，，，．从而，集合T 中元素的个数最多为21(1)()22k k k k --=，即(1)2k k n -≤．（III ）解：m n =，证明如下：（1）对于()a b S ∈，，根据定义，a A ∈，b A ∈，且a b A +∈，从而()a b b T +∈，．如果()a b ，与()c d ，是S 的不同元素，那么a c =与b d =中至少有一个不成立，从而a b c d +=+与b d =中也至少有一个不成立．故()a b b +，与()c d d +，也是T 的不同元素．可见，S 中元素的个数不多于T 中元素的个数，即m n ≤，（2）对于()a b T ∈，，根据定义，a A ∈，b A ∈，且a b A -∈，从而()a b b S -∈，．如果()a b ，与()c d ，是T 的不同元素，那么a c =与b d =中至少有一个不成立，从而a b c d -=-与b d =中也不至少有一个不成立，故()a b b -，与()c d d -，也是S 的不同元素．可见，T 中元素的个数不多于S 中元素的个数，即n m ≤，由（1）（2）可知，m n =．。

2007年高考数学(江西卷) 全卷加答案及解析

2007年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）理科数学本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分．第I 卷1至2页，第II 卷3至4页，共150分．第I 卷考生注意： 1．答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致． 2．第I 卷每小题选出答案后，用2Ｂ铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．第II 卷用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答．若在试题卷上作答，答案无效． 3．考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回．参考公式：如果事件A B ，互斥，那么球的表面积公式()()()P A B P A P B +=+24πS R =如果事件A B ，相互独立，那么其中R 表示球的半径()()()P A B P A P B =球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么 34π3V R =n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率()(1)k kn k n n P k C P P -=-其中R 表示球的半径一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．化简224(1)ii ++的结果是（）Ａ．2i +Ｂ．2i -+Ｃ．2i -Ｄ．2i --2．321lim 1x x x x →--（）Ａ．等于0Ｂ．等于1Ｃ．等于3Ｄ．不存在3．若πtan 34α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则cot α等于（）Ａ．2-Ｂ．12-Ｃ．12Ｄ．24．已知n展开式中，各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为64，则n 等于（）Ａ．4 Ｂ．5Ｃ．6Ｄ．75．若π02x <<，则下列命题中正确的是（）Ａ．3sin πx x < Ｂ．3sin πx x >Ｃ．224sin πx x < Ｄ．224sin πx x >6．若集合{}012M =，，，{}()210210N x y x y x y x y M =-+--∈，≥且≤，，，则N 中元素的个数为（）Ａ．9 Ｂ．6Ｃ．4Ｄ．27．如图，正方体1AC 的棱长为1，过点A 作平面1A BD 的垂线，垂足为点H ，则以下命题中，错误．．的命题是（）Ａ．点H 是1A BD △的垂心Ｂ．AH 垂直平面11CB D Ｃ．AH 的延长线经过点1C Ｄ．直线AH 和1BB 所成角为458．四位好朋友在一次聚会上，他们按照各自的爱好选择了形状不同、内空高度相等、杯口半径相等的圆口酒杯，如图所示，盛满酒后他们约定：先各自饮杯中酒的一半．设剩余酒的高度从左到右依次为1h ，2h ，3h ，4h ，则它们的大小关系正确的是（）Ａ．214h h h >> Ｂ．123h h h >>Ｃ．324h h h >>Ｄ．241h h h >>9．设椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为1e 2=，右焦点为(0)F c ，，方程111B20ax bx c +-=的两个实根分别为1x 和2x ，则点12()P x x ，（）Ａ．必在圆222x y +=内Ｂ．必在圆222x y +=上Ｃ．必在圆222x y +=外Ｄ．以上三种情形都有可能10．将一骰子连续抛掷三次，它落地时向上的点数依次．．成等差数列的概率为（）Ａ．19Ｂ．112Ｃ．115Ｄ．11811．设函数()f x 是R 上以5为周期的可导偶函数，则曲线()y f x =在5x =处的切线的斜率为（）Ａ．15-Ｂ．0Ｃ．15Ｄ．512．设2:()e l n 21xp f x x x m x =++++在(0)+∞，内单调递增，:5q m -≥，则p 是q 的（）Ａ．充分不必要条件Ｂ．必要不充分条件Ｃ．充分必要条件Ｄ．既不充分也不必要条件2007年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）理科数学第II 卷注意事项：第II 卷2页，须用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答．若在试卷题上作答，答案无效．二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．请把答案填在答题卡上． 13．设函数24log (1)(3)y x x =+-≥，则其反函数的定义域为．14．已知数列{}n a 对于任意*p q ∈N ，，有p q p q a a a ++=，若119a =，则36a = ．15．如图，在ABC △中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线分别交直线AB ，AC 于不同的两点M N ，，若A B m A M = ，AC nAN =，则m n +的值为．16．设有一组圆224*:(1)(3)2()k C x k y k k k -++-=∈N ．下列四个命题：Ａ．存在一条定直线与所有的圆均相切Ｂ．存在一条定直线与所有的圆均相交Ｃ．存在一条定直线与所有的圆均不．相交Ｄ．所有的圆均不．经过原点其中真命题的代号是．（写出所有真命题的代号）三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）已知函数1(0)()2(1)x c cx x c f x k c x -+<<⎧⎪=⎨⎪+<⎩ ≤在区间(01)，内连续，且29()8f c =．（1）求实数k 和c 的值；（2）解不等式()18f x >+． 18．（本小题满分12分）如图，函数π2cos()(0)y x x ωθθ=+∈R ，≤≤的图象与y轴交于点(0，且在该点处切线的斜率为2-．（1）求θ和ω的值；（2）已知点π02A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，点P 是该函数图象上一点，点00()Q x y ，是PA 的中点，当02y =，0ππ2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时，求0x 的值．19．（本小题满分12分）某陶瓷厂准备烧制甲、乙、丙三件不同的工艺品，制作过程必须先后经过两次烧制，当第一次烧制合格后方可进入第二次烧制，两次烧制过程相互独立．根据该厂现有的技术水平，经过第一次烧制后，甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为0.5，0.6，0.4，经过第二次烧制后，甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为0.6，0.5，0.75．（1）求第一次烧制后恰有一件产品合格的概率；（2）经过前后两次烧制后，合格工艺品的个数为ξ，求随机变量ξ的期望． 20．（本小题满分12分）右图是一个直三棱柱（以111A B C 为底面）被一平面所截得到的几何体，截面为ABC ．已知11111A B B C ==，11190A B C ∠= ，14AA =，12BB =，13CC =．（1）设点O 是AB 的中点，证明：OC ∥平面111A B C ；（2）求二面角1B AC A --的大小；（3）求此几何体的体积． 21．（本小题满分12分）设动点P 到点(10)A -，和(10)B ，的距离分别为1d 和2d ，2APB θ∠=，且存在常数(01)λλ<<，使得212sin d d θλ=．（1）证明：动点P 的轨迹C 为双曲线，并求出C 的方程；（2）过点B 作直线双曲线C 的右支于M N ，两点，试确定λ的范围，使OM ON =0，其中点O 为坐标原点． 22．（本小题满分14分）设正整数数列{}n a 满足：24a =，且对于任何*n ∈N ，有11111122111n n n n a a a a n n ++++<<+-+．11y（1）求1a ，3a ；（3）求数列{}n a 的通项n a ．2007年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）理科数学参考答案一、选择题 1．C 2．B3．A 4．C 5．D 6．C 7．D 8．A 9．A 10．B11．B 12．B 二、填空题 13．[5)+，∞ 14．4 15．2 16．B D ，三、解答题17．解：（1）因为01c <<，所以2c c <，由29()8f c =，即3918c +=，12c =．又因为4111022()1212x x x f x k x -⎧⎛⎫+<< ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪+< ⎪⎪⎝⎭⎩≤在12x =处连续，所以215224f k -⎛⎫=+=⎪⎝⎭，即1k =．（2）由（1）得：4111022()12112x x x f x x -⎧⎛⎫+<< ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪+< ⎪⎪⎝⎭⎩≤由()18f x >+得，当102x <<时，解得142x <<．当112x <≤时，解得1528x <≤，所以()18f x >+的解集为58x ⎧⎫⎪⎪<<⎨⎬⎪⎪⎩⎭．18．解：（1）将0x =，y =代入函数2cos()y x ωθ=+得cos θ= 因为02θπ≤≤，所以6θπ=．又因为2sin()y x ωωθ'=-+，02x y ='=-，6θπ=，所以2ω=，因此2cos 26y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭．（2）因为点02A π⎛⎫ ⎪⎝⎭，，00()Q x y ，是PA 的中点，02y =，所以点P 的坐标为022x π⎛-⎝．又因为点P 在2cos 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象上，所以05cos 462x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭ 因为02x ππ≤≤，所以075194666x πππ-≤≤，从而得0511466x ππ-=或0513466x ππ-=．即023x π=或034x π=．19．解：分别记甲、乙、丙经第一次烧制后合格为事件1A ，2A ，3A ，（1）设E 表示第一次烧制后恰好有一件合格，则123123123()()()()P E P A A A P A A A P A A A =++0.50.40.60.50.60.60.50.40.40.38=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=．（2）解法一：因为每件工艺品经过两次烧制后合格的概率均为0.3p =，所以~(30.3)B ξ，，故30.30.9E np ξ==⨯=．解法二：分别记甲、乙、丙经过两次烧制后合格为事件A B C ，，，则()()()0.3P A P B P C ===，所以3(0)(10.3)0.343P ξ==-=，2(1)3(10.3)0.30.441P ξ==⨯-⨯=， 2(2)30.30.70.189P ξ==⨯⨯=， 3(3)0.30.027P ξ===．于是，()10.44120.18930.0270.9E ξ=⨯+⨯+⨯=． 20．解法一：（1）证明：作1OD AA ∥交11A B 于D ，连1C D ．则11OD BB CC ∥∥．因为O 是AB 的中点，所以1111()32OD AA BB CC =+==．则1ODC C 是平行四边形，因此有1OC C D ∥．1C D ⊂平面111C B A 且OC ⊄平面111C B A ，则OC ∥面111A B C ．（2）如图，过B 作截面22BA C ∥面111A B C ，分别交1AA ，1CC 于2A ，2C ．作22BH A C ⊥于H ，连CH ．因为1CC ⊥面22BA C ，所以1CC BH ⊥，则BH ⊥平面1AC ．又因为AB =BC =222AC AB BC AC ==+．所以BC AC ⊥，根据三垂线定理知CH AC ⊥，所以BCH ∠就是所求二面角的平面角．因为BH =，所以1sin 2BH BCH BC ==∠，故30BCH = ∠，即：所求二面角的大小为30．（3）因为BH =，所以 22221111(12)33222B AAC C AA C C V S BH -==+= ．11A 21112211111212A B C A BC A B C V S BB -=== △．所求几何体体积为221112232B AAC C A B C A BC V V V --=+=．解法二：（1）如图，以1B 为原点建立空间直角坐标系，则(014)A ，，，(002)B ，，，(103)C ，，，因为O 是AB 的中点，所以1032O ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，， 1102OC ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，，．易知，(001)n =，，是平面111A B C 的一个法向量．因为0OC n =，OC ⊄平面111A B C ，所以OC ∥平面111A B C ．（2）(012)AB =-- ，，，(101)BC =，，，设()m x y z =，，是平面ABC 的一个法向量，则则0AB m = ，0BC m = 得：200y z x z --=⎧⎨+=⎩取1x z =-=，(121)m =-，，．显然，(110)l =，，为平面11AA C C 的一个法向量．则cos 2m l m l m l===，，结合图形可知所求二面角为锐角．所以二面角1B AC A --的大小是30．（3）同解法一．21．解法一：（1）在PAB △中，2AB =，即222121222cos 2d d d d θ=+-，2212124()4sin d d d d θ=-+，即122d d -==<（常数），点P 的轨迹C 是以A B ，为焦点，实轴长2a =1x方程为：2211x y λλ-=-．（2）设11()M x y ，，22()N x y ，①当MN 垂直于x 轴时，MN 的方程为1x =，(11)M ，，(11)N -，在双曲线上．即211111012λλλλλ--=⇒+-=⇒=-，因为01λ<<，所以12λ=． ②当MN 不垂直于x 轴时，设MN 的方程为(1)y k x =-．由2211(1)x y y k x λλ⎧-=⎪-⎨⎪=-⎩得：2222(1)2(1)(1)()0k x k x k λλλλλ⎡⎤--+---+=⎣⎦，由题意知：2(1)0k λλ⎡⎤--≠⎣⎦，所以21222(1)(1)k x x k λλλ--+=--，2122(1)()(1)k x x k λλλλ--+=--．于是：22212122(1)(1)(1)k y y k x x k λλλ=--=--．因为0OM ON =，且M N ，在双曲线右支上，所以2121222122212(1)0(1)121011231001x x y y k x x k x x λλλλλλλλλλλλλλλ-⎧+=⎧-⎧=⎪>⎪⎪⎪+-+>⇒⇒⇒<<+--⎨⎨⎨⎪⎪⎪>+->>⎩⎩⎪-⎩．23λ<．解法二：（1）同解法一（2）设11()M x y ，，22()N x y ，，MN 的中点为00()E x y ，． ①当121x x ==时，221101MB λλλλλ=-=⇒+-=-，因为01λ<<，所以12λ-=；②当12x x ≠时，221102202211111MN x y x k y x y λλλλλλ⎧-=⎪⎪-⇒=⎨-⎪-=⎪-⎩ ．又001MN BE y k k x ==-．所以22000(1)y x x λλλ-=-；由2MON π=∠得222002MN x y ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，由第二定义得2212()222MN e x x a ⎛⎫+-⎡⎤= ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭220001(1)21x x x λλ=-=+---．所以222000(1)2(1)(1)y x x λλλλ-=--+-．于是由22000222000(1)(1)2(1)(1)y x x y x x λλλλλλλ⎧-=-⎪⎨-=--+-⎪⎩得20(1)23x λλ-=- 因为01x >，所以2(1)123λλ->-，又01λ<<，解得：1223λ<<．由①②知1223λ<≤． 22．解：（1）据条件得1111112(1)2n n n n n n a a a a ++⎛⎫+<++<+ ⎪⎝⎭ ① 当1n =时，由21211111222a a a a ⎛⎫+<+<+ ⎪⎝⎭，即有1112212244a a +<+<+，解得12837a <<．因为1a 为正整数，故11a =．当2n =时，由33111126244a a ⎛⎫+<+<+ ⎪⎝⎭，解得3810a <<，所以39a =．（2）方法一：由11a =，24a =，39a =，猜想：2n a n =．下面用数学归纳法证明．1 当1n =，2时，由（1）知2n a n =均成立；2 假设(2)n k k =≥成立，则2k a k =，则1n k =+时由①得221111112(1)2k k k k a k a k ++⎛⎫+<++<+ ⎪⎝⎭ 2212(1)(1)11k k k k k k a k k k +++-⇒<<-+- 22212(1)1(1)(1)11k k k a k k k ++⇒+-<<+++- 因为2k ≥时，22(1)(1)(1)(2)0k k k k k +-+=+-≥，所以(]22(1)011k k +∈+，． 11k -≥，所以(]1011k ∈-，．又1k a +∈*N ，所以221(1)(1)k k a k +++≤≤．故21(1)k a k +=+，即1n k =+时，2n a n =成立．由1 ，2 知，对任意n ∈*N ，2n a n =．（2）方法二：由11a =，24a =，39a =，猜想：2n a n =．下面用数学归纳法证明．1 当1n =，2时，由（1）知2n a n =均成立；2 假设(2)n k k =≥成立，则2k a k =，则1n k =+时由①得221111112(1)2k k k k a k a k ++⎛⎫+<++<+ ⎪⎝⎭ 即21111(1)122k k k k k a k a k+++++<+<+ ② 由②左式，得2111k k k k k a +-+-<，即321(1)k k a k k k +-<+-，因为两端为整数，则3221(1)1(1)(1)k k a k k k k k +-+--=+-≤．于是21(1)k a k ++≤ ③ 又由②右式，22221(1)21(1)1k k k k k k k k a k k+++-+-+<=．则231(1)(1)k k k a k k +-+>+．因为两端为正整数，则2431(1)1k k k a k k +-+++≥，所以4321221(1)11k k k k a k k k k k +++=+--+-+≥．又因2k ≥时，1k a +为正整数，则21(1)k a k ++≥ ④ 据③④21(1)k a k +=+，即1n k =+时，2n a n =成立．由1 ，2 知，对任意n ∈*N ，2n a n =．。

2007年高考理综全国卷物理试题评析(供参考)

2007年高考理综全国Ⅰ卷物理试题评析（供参考）一．试题总体评价1．2007年高考理科综合物理试卷与2006年理科综合物理试卷相比，试题结构没有变化，试题包括8个选择题和4个非选择题，共计120分。

2．知识的覆盖面较大，试题在注重对基础知识的考核基础上，尤其侧重于基础知识的灵活运用和迁移，突出对学生能力的全面考查，试题的创新性比2006年有进一步的加强。

与往年相比，今年物理试题较难，一是对运用图像处理问题的能力要求高，二是对运用数学知识的能力要求高，三是对知识的迁移能力要求高。

3．试题很好的体现了以能力立意的命题思想，注重对基础知识和基础知识的运用的考查，对教学起了很好的导向作用。

初步估分为：三本72分。

4．2007年考查到的中学物理各部分知识占分情况从表中可看出，物理主干知识中的力学与电学的占分比例高达75.8%。

二．分类分析1．力学部分力学有5个题，分别是选择题第14、15、18题，计算题为第23、24题。

内容涉及万有引力定律、机械振动与机械波图像、力和运动图像、运动学追赶问题、机械能守恒、动量守恒。

其中14题（万有引力定律），23题（运动学追赶）较简单；15题（振动和波动图像），18题（力和运动图像）达中等以上难度；24题（机械能守恒和动量守恒）则要求对弹性碰撞的概念有准确认识，同时还要求能完成反复碰撞后速度减小的递推公式并求出指数方程的解，是一道难度较大的题目。

2．电磁学部分电磁学部分有3道题，分别是选择题20、21题，计算题第25题。

内容涉及匀强电场、电势、电磁感应图像、右手定则、带电粒子在匀强磁场中的运动。

其中20题（匀强电场和电势）与99年题目几乎相同；21题（电磁感应图像和右手定则）对图像的要求较高，达中等以上难度；25题（带电粒子在匀强磁场中的运动）对学生的几何知识要求较高，对学生分析问题灵敏性和严谨性的要求也很高，是一道难题。

3．热学、光学、原子物理部分热、光、原子物理各有1道题，仍是以选择题形式出现的，但设问新颖，突出基础知识的灵活运用，这3道题的难度明显比往年大。

高考数学2010年全国卷1理科试题答案及解析

高考数学试卷第I 卷一．选择题 (1)复数3223ii+=- (A)i (B)i - (C)12-13i (D) 12+13i1．A 【命题意图】本小题主要考查复数的基本运算,重点考查分母实数化的转化技巧.【解析】32(32)(23)694623(23)(23)13i i i i i i i i i +++++-===--+. (2)记cos(80)k -︒=,那么tan100︒=B. C.D.2.B 【命题意图】本小题主要考查诱导公式、同角三角函数关系式等三角函数知识，并突出了弦切互化这一转化思想的应用.【解析】222sin801cos 801cos (80)1k =-=--=-,所以tan100tan80︒=-sin 80cos80k=-=-(3)若变量,x y 满足约束条件1,0,20,y x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪--≤⎩则2z x y =-的最大值为(A)4 (B)3 (C)2 (D)13.B 【命题意图】本小题主要考查线性规划知识、作图、识图能力及计算能力.【解析】画出可行域（如右图），由图可知,当直线l 经过点A(1,-1)时，z 最大，且最大值为max 12(1)3z =-⨯-=.x +20y -=（4）已知各项均为正数的等比数列{n a }，123a a a =5，789a a a =10，则456a a a = (A) 52 (B) 7 (C) 6 (D) 424.A 【命题意图】本小题主要考查等比数列的性质、指数幂的运算、根式与指数式的互化等知识，着重考查了转化与化归的数学思想.【解析】由等比数列的性质知31231322()5a a a a a a a ===，37897988()a a a a a a a ===10,所以132850a a =, 所以13336456465528()()(50)52a a a a a a a a a ===== (5)353(12)(1)x x +-的展开式中x 的系数是 (A) -4 (B) -2 (C) 2 (D) 45.B 【命题意图】本小题主要考查了考生对二项式定理的掌握情况，尤其是展开式的通项公式的灵活应用，以及能否区分展开式中项的系数与其二项式系数，同时也考查了考生的一些基本运算能力.【解析】35533(12)(1)(16128)(1)x x x x x x x +-=+++-故353(12)(1)x x +-的展开式中含x 的项为3303551()1210122C x xC x x x ⨯-+=-+=-,所以x 的系数为-2.(6)某校开设A 类选修课3门，B 类选择课4门，一位同学从中共选3门，若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有 (A) 30种 (B)35种 (C)42种 (D)48种6.A 【命题意图】本小题主要考查分类计数原理、组合知识,以及分类讨论的数学思想.【解析】:可分以下2种情况:(1)A 类选修课选1门,B 类选修课选2门,有1234C C 种不同的选法;(2)A 类选修课选2门,B 类选修课选1门,有2134C C 种不同的选法.所以不同的选法共有1234C C +2134181230C C =+=种.AB C DA 1B 1C 1D 1 O(7)正方体ABCD-1111A B C D 中，B 1B 与平面AC 1D 所成角的余弦值为 A23 B 33 C 23D 637.D 【命题意图】本小题主要考查正方体的性质、直线与平面所成的角、点到平面的距离的求法，利用等体积转化求出D 到平面AC 1D 的距离是解决本题的关键所在,这也是转化思想的具体体现.【解析】因为BB 1//DD 1,所以B 1B 与平面AC 1D 所成角和DD 1与平面AC 1D 所成角相等,设DO ⊥平面AC 1D ，由等体积法得11D ACD D ACD V V --=,即111133ACD ACD S DO S DD ∆∆⋅=⋅.设DD 1=a, 则12211133sin 60(2)2222ACD S AC AD a a ∆==⨯⨯=,21122ACD S AD CD a ∆==. 所以1312333ACD ACD S DD a DO a S a∆∆===,记DD 1与平面AC 1D 所成角为θ,则13sin 3DO DD θ==,所以6cos 3θ=. （8）设a=3log 2,b=In2,c=125-,则A a<b<c Bb<c<a C c<a<b D c<b<a8.C 【命题意图】本小题以指数、对数为载体，主要考查指数函数与对数函数的性质、实数大小的比较、换底公式、不等式中的倒数法则的应用. 【解析】 a=3log 2=21log 3, b=In2=21log e,而22log 3log 1e >>,所以a<b, c=125-=15,而2252log 4log 3>=>,所以c<a,综上c<a<b. (9)已知1F 、2F 为双曲线C:221x y -=的左、右焦点，点p 在C 上，∠1F p 2F =060，则P到x 轴的距离为(A)32 (B)62(C) 3 (D) 69.B 【命题意图】本小题主要考查双曲线的几何性质、第二定义、余弦定理，考查转化的数学思想，通过本题可以有效地考查考生的综合运用能力及运算能力.【解析】不妨设点P 00(,)x y 在双曲线的右支,由双曲线的第二定义得21000||[()]12a PF e x a ex x c =--=+=+，22000||[)]21a PF e x ex a x c=-=-=-.由余弦定理得cos ∠1F P 2F =222121212||||||2||||PF PF F F PF PF +-,即cos 0602220000(12)(21)(22)2(12)(21)x x x x ++--=+-,解得2052x =,所以2200312y x =-=，故P 到x 轴的距离为06||2y =（10）已知函数F(x)=|lgx|,若0<a<b,且f(a)=f(b),则a+2b 的取值范围是 (A)(22,)+∞ (B)[22,)+∞ (C)(3,)+∞ (D)[3,)+∞10.A 【命题意图】本小题主要考查对数函数的性质、函数的单调性、函数的值域，考生在做本小题时极易忽视a 的取值范围，而利用均值不等式求得a+2b 222a a=+>,从而错选A,这也是命题者的用苦良心之处.【解析】因为 f(a)=f(b),所以|lga|=|lgb|,所以a=b(舍去)，或1b a =，所以a+2b=2a a+ 又0<a<b,所以0<a<1<b ，令2()f a a a=+,由“对勾”函数的性质知函数()f a 在a ∈(0,1)上为减函数，所以f(a)>f(1)=1+21=3,即a+2b 的取值范围是(3,+∞). （11）已知圆O 的半径为1，PA 、PB 为该圆的两条切线，A 、B 为俩切点，那么PA PB •的最小值为(A) 42-+ (B)32-+ (C) 422-+ (D)322-+11.D 【命题意图】本小题主要考查向量的数量积运算与圆的切线长定理，着重考查最值的求法——判别式法,同时也考查了考生综合运用数学知识解题的能力及运算能力.【解析】如图所示：设PA=PB=x (0)x >,∠APO=α,则∠APB=2α，21x +，2sin 1xα=+PA BO||||cos 2PA PB PA PB α•=⋅=22(12sin )x α-=222(1)1x x x -+=4221x x x -+，令PA PB y •=，则4221x x y x -=+，即42(1)0x y x y -+-=，由2x 是实数，所以2[(1)]41()0y y ∆=-+-⨯⨯-≥，2610y y ++≥，解得322y ≤--或322y ≥-+.故min ()322PA PB •=-+.此时21x =-.（12）已知在半径为2的球面上有A 、B 、C 、D 四点，若AB=CD=2,则四面体ABCD 的体积的最大值为 (A)233 (B)433 (C) 23 (D) 83312.B 【命题意图】本小题主要考查几何体的体积的计算、球的性质、异面直线的距离,通过球这个载体考查考生的空间想象能力及推理运算能力.【解析】过CD 作平面PCD ，使AB ⊥平面PCD,交AB 与P,设点P 到CD 的距离为h ,则有ABCD 11222323V h h =⨯⨯⨯⨯=四面体,当直径通过AB 与CD 的中点时,22max 22123h =-=,故max 433V =.绝密★启用前2010年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(必修+选修II)第Ⅱ卷注意事项：1．答题前，考生先在答题卡上用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，然后贴好条形码。

2007年高考数学(理科)试卷及答案(江苏卷)

2007年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1．本试卷共4页，包含选择题（第1题～第10题，共10题）、填空题（第11题～第16题，共6题）、解答题（第17题～第21题，共5题）三部分。

本次考试时间为120分钟。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

2．答题前，请您务必将自己的姓名、考试证号用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔填写在试卷及答题卡上。

3．请认真核对监考员所粘贴的条形码上的姓名、考试证号是否与您本人的相符。

4．作答非选择题必须用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔写在答题卡上的指定位置，在其它位置作答一律无效。

作答选择题必须用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其它答案。

5．如有作图需要，可用2B 铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚。

参考公式：n 次独立重复试验恰有k 次发生的概率为：()(1)k kn k n n P k C p p −=−一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，恰．有一项．．．是符合题目要求的。

1．下列函数中，周期为2π的是 A ．x y =sin2B ．y=sin2xC ．cos4x y =D ．y=cos4x2．已知全集U=Z ，A=｛-1，0，1，2｝，B=｛x ︱x 2=x ｝，则A ∩C U B 为A ．｛-1，2｝B ．｛-1，0｝C ．｛0，1｝D ．｛1，2｝3．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线中心在原点，焦点在y 轴上，一条渐近线方程为x －2y=0，则它的离心率为AB ．2C D ．24．已知两条直线,m n ，两个平面α，β，给出下面四个命题：①//,m n m n αα⊥⇒⊥ ②//,,//m n m n αβαβ⊂⊂⇒ ③//,////m n m n αα⇒ ④//,//,m n m n αβαβ⊥⇒⊥ 其中正确命题的序号是 A ．①、③ B ．②、④ C ．①、④ D ．②、③5．函数()sin ([,0])f x x x x π=−∈−的单调递增区间是A ．5[,]6ππ−−B ．5[,]66ππ−− C ．[,0]3π−D ．[,0]6π−6．设函数f （x ）定义在实数集上，它的图像关于直线x=1对称，且当x ≥1时，f （x ）=3x－1，则有A ．132()()()323f f f <<B ．231()()()323f f f <<C ．213()()()332f f f <<D ．321()()()233f f f <<7．若对于任意实数x ，有x 3=a 0+a 1（x －2）+a 2（x －2）2+a 3（x －2）3，则a 2的值为A ．3B ．6C ．9D ．12 8．设2()lg()1f x a x=+−是奇函数，则使f （x ）<0的x 的取值范围是A ．（-1，0）B ．（0，1）C ．（-∞，0）D ．（-∞，0）∪（1，+∞）9．已知二次函数f （x ）=ax 2+bx+c 的导数为f ′（x ），f ′（0）>0，对于任意实数x 都有f （x ）≥0，则(1)'(0)f f 的最小值为A ． 3B ．52C ．2D ．3210．在平面直角坐标系xOy ，已知平面区域A=｛（x ，y ）︱x+y ≤1且x ≥0，y ≥0｝，则平面区域{(,)|(,)}B x y x y x y A =+−∈的面积为A ．2B ．1C ．12D ．14二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

2007年高考数学卷(四川.理)含详解

2007年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）理科数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

第Ⅰ卷1至2页。

第Ⅱ卷3到10页。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上。

2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

不能答在试题卷上。

3．本卷共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么球是表面积公式)()()(B P A P B A P +=+ 24R S π=如果事件A 、B 相互独立，那么其中R 表示球的半径)()()(B P A P B A P ⋅=⋅ 球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么334R V π=n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率其中R 表示球的半径k n k kn n P P C k P --=)1()(一．选择题： (1)复数211i ii +-+的值是（A ）0 (B)1 (C)-1 (D)1(2)函数f (x )=1+log 2x 与g(x )=2-x +1在同一直角坐标系下的图象大致是(3)2211lim 21x x x x →-=-- （A ）0 (B)1 (C)21 (D)32 (4)如图，ABCD -A 1B 1C 1D 1为正方体，下面结论错误．．的是（A ）BD ∥平面CB 1D 1 （B ）AC 1⊥BD（C ）AC 1⊥平面CB 1D 1 （D ）异面直线AD 与CB 1角为60° （5）如果双曲线12422=-y x 上一点P 到双曲线右焦点的距离是2，那么点P 到y 轴的距离是（A ）364 （B ）362 （C ）62 （D ）32（6）设球O 的半径是1，A 、B 、C 是球面上三点，已知A 到B 、C 两点的球面距离都是2π，且三面角B -OA -C 的大小为3π，则从A 点沿球面经B 、C 两点再回到A 点的最短距离是（A ）67π （B ）45π （C ）34π （D ）23π（7）设A ｛a ,1｝，B ｛2，b ｝，C ｛4,5｝，为坐标平面上三点，O 为坐标原点，若方向在与→→→OC OB OA 上的投影相同，则a 与b 满足的关系式为(A)354=-b a (B)345=-b a (C)1454=+b a (D)1445=+b a（8）已知抛物线32+-=x y 上存在关于直线0=+y x 对称的相异两点A 、B ，则|AB |等于（A ）3 （B ）4 （C ）23 （D ）24（9）某公司有60万元资金，计划投资甲、乙两个项目，按要求对项目甲的投资不小于对项目乙投资的32倍，且对每个项目的投资不能低于5万元，对项目甲每投资1万元可获得0.4万元的利润，对项目乙每投资1万元可获得0.6万元的利润，该公司正确规划投资后，在这两个项目上共可获得的最大利润为（A ）36万元（B ）31.2万元（C ）30.4万元（D ）24万元（10）用数字0，1，2，3，4，5可以组成没有重复数字，并且比20000大的五位偶数共有（A ）288个（B ）240个（C ）144个（D ）126个（11）如图，l 1、l 2、l 3是同一平面内的三条平行直线，l 1与l 2间的距离是1， l 2与l 3间的距离是2，正三角形ABC 的三顶点分别在l 1、l 2、l 3上，则△ABC 的边长是（A ）32（B ）364 （C ）4173 （D ）3212 （12）已知一组抛物线1212++=bx ax y ，其中a 为2,4,6,8中任取的一个数，b 为1,3,5,7中任取的一个数，从这些抛物线中任意抽取两条，它们在与直线x =1交点处的切线相互平行的概率是（A ）121 （B ）607 （C ）256 （D ）255二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在横线上.（13）若函数f (x )=e -(m -u )2 (c 是自然对数的底数)的最大值是m ,且f (x )是偶函数，则m +u = .(14)如图，在正三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，侧棱长为2，底面三角形的边长为1，则BC 1与侧面ACC 1A 1所成的角是 .(15)已知⊙O 的方程是x 2+y 2-2=0, ⊙O ’的方程是x 2+y 2-8x +10=0,由动点P 向⊙O 和 ⊙O ’所引的切线长相等，则动点P 的轨迹方程是 . (16)下面有五个命题：①函数y =sin 4x -cos 4x 的最小正周期是π. ②终边在y 轴上的角的集合是{a |a =Z k k ∈π,2|. ③在同一坐标系中，函数y =sin x 的图象和函数y =x 的图象有三个公共点. ④把函数.2sin 36)32sin(3的图象得到的图象向右平移x y x y =ππ+= ⑤函数.0)2sin(〕上是减函数，在〔ππ-=x y 其中真命题的序号是（写出所言）三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （17）（本小题满分12分）已知0,1413)cos(,71cos 且=β-α=α<β<α<2π,(Ⅰ)求α2tan 的值.（Ⅱ）求β.（18）（本小题满分12分）厂家在产品出厂前，需对产品做检验，厂家将一批产品发给商家时，商家按合同规定也需随机抽取一定数量的产品做检验，以决定是否接收这批产品.（Ⅰ）若厂家库房中的每件产品合格的概率为0.8，从中任意取出4件进行检验.求至少有1件是合格品的概率; （Ⅱ）若厂家发给商家20件产品，其中有3件不合格，按合同规定该商家从中任取2件，都进行检验，只有2件都合格时才接收这批产品，否则拒收.求该商家可能检验出不合格产品数ξ的分布列及期望ξE ，并求该商家拒收这批产品的概率.（19）（本小题满分12分）如图，PCBM 是直角梯形，∠PCB ＝90°，PM ∥BC ，PM ＝1，BC ＝2，又AC ＝1，∠ACB ＝120°，AB ⊥PC ，直线AM 与直线PC 所成的角为60°. （Ⅰ）求证：平面PAC ⊥平面ABC ; （Ⅱ）求二面角B AC M --的大小; （Ⅲ）求三棱锥MAC P -的体积.（20）（本小题满分12分）设1F 、2F 分别是椭圆1422=+y x 的左、右焦点. （Ⅰ）若P 是该椭圆上的一个动点，求1PF ·2PF 的最大值和最小值;（Ⅱ）设过定点)2,0(M 的直线l 与椭圆交于不同的两点A 、B ，且∠AOB 为锐角（其中O 为坐标原点），求直线l 的斜率k 的取值范围.已知函数42)(+=x x f ,设曲线)(x f y =在点()处的切线与x 轴线发点()()其中xn 为实数（21）（本小题满分12分）(22)(本小题满分14分)设函数),1,(11)(N x n N n n x f n∈∈⎪⎭⎫⎝⎛+= 且.(Ⅰ)当x =6时,求nn ⎪⎭⎫⎝⎛+11的展开式中二项式系数最大的项;(Ⅱ)对任意的实数x ,证明2)2()2(f x f +＞);)()()((的导函数是x f x f x f ''(Ⅲ)是否存在N a ∈,使得an ＜∑-⎪⎭⎫ ⎝⎛+nk k 111＜n a )1(+恒成立?若存在,试证明你的结论并求出a 的值;若不存在,请说明理由.2007年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）理科数学参考答案一．选择题：本题考察基础知识和基本运算，每小题5分，满分60分（1） A （2） C （3） D （4） D （5） A （6） C （7） A （8） C （9） B （10） B （11） D （12） B 二．填空题：本题考察基础知识和基本运算，每小题4分，满分16分（13）1 （14）6π（15）32x = （16）① ④三．解答题：（17）本题考察三角恒等变形的主要基本公式、三角函数值的符号，已知三角函数值求角以及计算能力。

2007年四川高考理科数学试卷及答案解析版

普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）理全解全析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分． 1、复数311i i i++-的值是（）（A ）0（B ）1（C ）1-（D ）i解析：选A ．23331(1)201(1)(1)2i i ii i i i i i i i +++=+=+=-=--+．本题考查复数的代数运算．2、函数2()1log f x x =+与1()2x g x -+=在同一直角坐标系下的图象大致是（）解析：选C ．注意 1(1)()22x x g x -+--==的图象是由2x y -=的图象右移1而得．本题考查函数图象的平移法则．3、2211lim 21x x x x →-=--（）（A ）0 （B ）1 （C ）12 （D ）23解析：选D ．本题考查00型的极限．原式11(1)(1)12lim lim (1)(21)213x x x x x x x x →→+-+===-++或原式122lim 413x x x →==-．4、如图，1111ABCD A BC D -为正方体，下面结论错误．．的是（）（A ）//BD 平面11CB D （B ）1AC BD ⊥ （C ）1AC ⊥平面11CB D（D ）异面直线AD 与1CB 所成的角为60︒解析：选D ．显然异面直线AD 与1CB 所成的角为45︒．5、如果双曲线22142x y -=上一点P 到双曲线右焦点的距离是2，那么点P 到y 轴的距离是（）（A ）3 （B ）3（C ）（D ）解析：选A ．由点P 到双曲线右焦点的距离是2知P 在双曲线右支上．又由双曲线的第二定义知点P ，双曲线的右准线方程是x =P 到y ．6、设球O 的半径是1，A 、B 、C 是球面上三点，已知A 到B 、C 两点的球面距离都是2π，且二面角B OAC --的大小是3π，则从A 点沿球面经B 、C 两点再回到A 点的最短距离是（）（A ）76π（B ）54π （C ）43π （D ）32π 解析：选C ．42323d AB BC CA ππππ=++=++=．本题考查球面距离．7、设(,1)A a ，(2,)B b ，(4,5)C 为坐标平面上三点，O 为坐标原点，若OA 与OB 在OC 方向上的投影相同，则a 与b 满足的关系式为（）（A ）453a b -= （B ）543a b -= （C ）4514a b += （D ）5414a b +=解析：选A ．由OA 与OB 在OC 方向上的投影相同，可得：OA OC OB OC ⋅=⋅即 4585a b +=+，453a b -=．8、已知抛物线23y x =-+上存在关于直线0x y +=对称的相异两点A 、B ，则AB 等于（）（A ）3 （B ）4 （C ）（D ）解析：选C ．设直线AB 的方程为y x b =+，由22123301y x x x b x x y x b⎧=-+⇒++-=⇒+=-⎨=+⎩，进而可求出AB 的中点11(,)22M b --+，又由11(,)22M b --+在直线0x y +=上可求出1b =，∴220x x +-=，由弦长公式可求出AB ==关系．自本题起运算量增大．9、某公司有60万元资金，计划投资甲、乙两个项目，按要求对项目甲的投资不小于对项目乙投资的32倍，且对每个项目的投资不能低于5万元，对项目甲每投资1万元可获得0.4万元的利润，对项目乙每投资1万元可获得0.6万元的利润，该公司正确规划投资后，在这两个项目上共可获得的最大利润为（）（A ）36万元（B ）31.2万元（C ）30.4万元（D ）24万元解析：选B ．对甲项目投资24万元，对乙项目投资36万元，可获最大利润31.2万元．因为对乙项目投资获利较大，故在投资规划要求内（对项目甲的投资不小于对项目乙投资的32倍）尽可能多地安排资金投资于乙项目，即对项目甲的投资等于对项目乙投资的32倍时可获最大利润．这是最优解法．也可用线性规划的通法求解．注意线性规划在高考中以应用题型的形式出现．10、用数字0，1，2，3，4，5可以组成没有重复数字，并且比20000大的五位偶数共有（）（A ）288个（B ）240个（C ）144个（D ）126个解析：选B ．对个位是0和个位不是0两类情形分类计数；对每一类情形按“个位－最高位－中间三位”分步计数：①个位是0并且比20000大的五位偶数有341496A ⨯⨯=个；②个位不是0并且比20000大的五位偶数有3423144A ⨯⨯=个；故共有96144240+=个．本题考查两个基本原理，是典型的源于教材的题目．11、如图，1l 、2l 、3l 是同一平面内的三条平行直线，1l 与2l 间的距离是1，2l 与3l 间的距离是2，正三角形ABC 的三顶点分别在1l 、2l 、3l 上，则⊿ABC 的边长是（）（A ）（B ）364（C （D ）3 解析：选D ．过点Ｃ作2l 的垂线4l ，以2l 、4l 为x 轴、y 轴建立平面直角坐标系．设(,1)A a 、(,0)B b 、(0,2)C -，由A B B C==知2222()149a b b a -+=+=+=边长，检验A ：222()14912a b b a -+=+=+=，无解；检验B ：22232()1493a b b a -+=+=+=，无解；检验D ：22228()1493a b b a -+=+=+=，正确．本题是把关题．在基础中考能力，在综合中考能力，在应用中考能力，在新型题中考能力全占全了．是一道精彩的好题．可惜区分度太小．12、已知一组抛物线2112y ax bx =++，其中a 为2、4、6、8中任取的一个数，b 为1、3、5、7中任取的一个数，从这些抛物线中任意抽取两条，它们在与直线1x =交点处的切线相互平行的概率是（）（A ）112 （B ）760 （C ）625 （D ）516解析：选B ．这一组抛物线共4416⨯=条，从中任意抽取两条，共有216120C =种不同的方法．它们在与直线1x =交点处的切线的斜率1'|x k y a b ===+．若5a b +=，有两种情形，从中取出两条，有22C 种取法；若7a b +=，有三种情形，从中取出两条，有23C 种取法；若9a b +=，有四种情形，从中取出两条，有24C 种取法；若11a b +=，有三种情形，从中取出两条，有23C 种取法；若13a b +=，有两种情形，从中取出两条，有22C 种取法．由分类计数原理知任取两条切线平行的情形共有222222343214C C C C C ++++=种，故所求概率为760．本题是把关题．二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分；把答案填在题中的横线上．13、若函数2()()x f x e μ--=（e 是自然对数的底数）的最大值是m ，且()f x 是偶函数，则m μ+=________．解析：1m =，0n =，∴1m μ+=．14、在正三棱柱111ABC A B C -1，则1BC 与侧面11ACC A 所成的角是____________解析：1BC =B 到平面11ACC A ，∴1sin 2θ=，30θ=︒．15、已知O 的方程是2220x y +-=，'O 的方程是228100x y x +-+=，由动点P 向O 和'O 所引的切线长相等，则动点P 的轨迹方程是__________________解析：O ：圆心(0,0)O ，半径r ='O ：圆心'(4,0)O ，半径'r =(,)P x y ，由切线长相等得222x y +-=22810x y x +-+，32x =． 16、下面有5个命题：①函数44sin cos y x x =-的最小正周期是π．②终边在y 轴上的角的集合是{|,}2k k Z παα=∈．③在同一坐标系中，函数sin y x =的图象和函数y x =的图象有3个公共点．④把函数3sin(2)3y x π=+的图象向右平移6π得到3sin 2y x =的图象．⑤函数sin()2y x π=-在[0,]π上是减函数．其中，真命题的编号是___________（写出所有真命题的编号）解析：①4422sin cos sin cos 2y x x x x cos x =-=-=-，正确；②错误；③sin y x =，tan y x =和y x =在第一象限无交点，错误；④正确；⑤错误．故选①④．三．解答题：（17）已知0,1413)cos(,71cos 且=β-α=α<β<α<2π,(Ⅰ)求α2tan 的值.（Ⅱ）求β. 本题考察三角恒等变形的主要基本公式、三角函数值的符号，已知三角函数值求角以及计算能力。

2007年高考理科数学(安徽)卷

2007年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）数学（理科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷第1至第2页，第Ⅱ卷第3至第4页。

全卷满分150分，考试时间120分钟。

参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么球的表面积公式P （A+B ）=PA ．+PB ．S=4лR 2如果事件A 、B 相互独立，那么其中R 表示球的半径P （A ·B ）=PA ．+PB ．球的体积公式1+2+…+n　V=2)1(+n n 334R π12+22+…+n 2=　其中R 表示球的半径6)12)(1(++n n n 13+23++n 3=4)1(22+n n 第Ⅰ卷（选择题　共55分）一、选择题：本大题共11小题，每小题5分，共55分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．下列函数中，反函数是其自身的函数为A ．B ．[)+∞∈=,0,)(3x x x f [)+∞∞-∈=,,)(3x x x f C ．D ．),(,)(+∞-∞∈=x e x f x ),0(,1)(+∞∈=x xx f 2．设l ，m ，n 均为直线，其中m ，n 在平面内，“l ”是l m 且“l n ”的α⊥α⊥⊥A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．若对任意R,不等式≥ax 恒成立，则实数a 的取值范围是∈x x A ．a ＜-1B ．≤1C ．＜1D ．a ≥1a a4．若a 为实数，＝-i ，则a 等于iai212++2A ．B ．—C ．2D ．—222225．若，，则的元素个数为}{8222<≤Z ∈=-x x A {}1log R 2>∈=x x B )(C R B A ⋂A ．0B ．1C ．2D ．36．函数的图象为C ，①图象关于直线对称；)3π2sin(3)(-=x x f C π1211=x ②函灶在区间内是增函数；③由的图象向右平移个单)(x f 12π5,12π(-x y 2sin 3=3π位长度可以得到图象. 以上三个论断中，正确论断的个数是C A ．0B ．1C ．2D ．37．如果点在平面区域上，点在曲线上，那么P ⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≤+-≥+-02012022y x y x y x Q 1)2(22=++y x Q P 的最小值为A ．B ．C ．D ．15-154-122-12-8．半径为1的球面上的四点是正四面体的顶点，则与两点间的球面距离D C B A ,,,A B 为A ．B ．C ．D ．33arccos(-36arccos(-)31arccos(-41arccos(-9．如图，和分别是双曲线的两个1F 2F )0,0(12222>>=-b a br a x 焦点，和是以为圆心，以为半径的圆与该双曲线左支A BO 1F O 的两个交点，且△是等边三角形，则双曲线的离心率为AB F 2A ．B ．C ．D ．352531+10．以表示标准正态总体在区间（）内取值的概率，若随机变量服从正态分)(x φx ,∞-ξ布，则概率等于),(2σμN )(σμξ<-P A ．-B ．)(σμφ+)(σμφ-)1()1(--φφC ．D ．1(σμφ-)(2σμφ+11．定义在R 上的函数既是奇函数，又是周期函数，是它的一个正周期.若将方程)(x f T 在闭区间上的根的个数记为，则可能为0)(=x f ][T T ,-n n A ．0B ．1C ．3D ．5第Ⅱ卷（非选择题　共95分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。

2007年全国统一高考数学试卷(理科)(全国卷ⅱ)及解析

2007年全国统一高考数学试卷（理科）（全国卷Ⅱ）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）求值sin210°=（）A．B．﹣C．D．﹣2．（5分）函数y=|sinx|的一个单调增区间是（）A．B．C．D．3．（5分）设复数z满足=i，则z=（）A．﹣2+i B．﹣2﹣i C．2﹣i D．2+i4．（5分）以下四个数中的最大者是（）A．（ln2）2B．ln（ln2）C．ln D．ln25．（5分）在△ABC中，已知D是AB边上一点，若=2，=，则λ=（）A．B．C．﹣ D．﹣6．（5分）不等式的解集是（）A．（2，+∞）B．（﹣2，1）∪（2，+∞） C．（﹣2，1）D．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）7．（5分）已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱长与底面边长相等，则AB1与侧面ACC1A1所成角的正弦值等于（）A．B．C．D．8．（5分）已知曲线的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为（）A．3 B．2 C．1 D．9．（5分）把函数y=e x的图象按向量=（2，3）平移，得到y=f（x）的图象，则f（x）=（）A．e x﹣3+2 B．e x+3﹣2 C．e x﹣2+3 D．e x+2﹣310．（5分）从5位同学中选派4位同学在星期五、星期六、星期日参加公益活动，每人一天，要求星期五有2人参加，星期六、星期日各有1人参加，则不同的选派方法共有（）A．40种B．60种C．100种D．120种11．（5分）设F1，F2分别是双曲线的左、右焦点．若双曲线上存在点A，使∠F1AF2=90°，且|AF1|=3|AF2|，则双曲线离心率为（）A．B．C．D．12．（5分）设F为抛物线y2=4x的焦点，A，B，C为该抛物线上三点，若++=，则的值为（）A．3 B．4 C．6 D．9二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）（1+2x2）（x﹣）8的展开式中常数项为．14．（5分）在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N（1，2），若ξ在（0，1）内取值的概率为0.4，则ξ在（0，2）内取值的概率为．15．（5分）一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为2cm的球面上．如果正四棱柱的底面边长为1cm，那么该棱柱的表面积为cm2．16．（5分）已知数列的通项a n=﹣5n+2，其前n项和为S n，则=．三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）在△ABC中，已知内角A=，边BC=2，设内角B=x，周长为y （1）求函数y=f（x）的解析式和定义域；（2）求y的最大值．18．（12分）从某批产品中，有放回地抽取产品二次，每次随机抽取1件，假设事件A：“取出的2件产品中至多有1件是二等品”的概率P（A）=0.96．（1）求从该批产品中任取1件是二等品的概率p；（2）若该批产品共100件，从中任意抽取2件，求事件B：“取出的2件产品中至少有一件二等品”的概率P（B）．19．（12分）如图，在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，侧棱SD⊥底面ABCD，E、F分别是AB、SC的中点（1）求证：EF∥平面SAD（2）设SD=2CD，求二面角A﹣EF﹣D的大小．20．（12分）在直角坐标系xOy中，以O为圆心的圆与直线：x﹣y=4相切（1）求圆O的方程（2）圆O与x轴相交于A、B两点，圆内的动点P使|PA|、|PO|、|PB|成等比数列，求的取值范围．21．（12分）设数列{a n}的首项a1∈（0，1），a n=，n=2，3，4…（1）求{a n}的通项公式；（2）设，求证b n＜b n+1，其中n为正整数．22．（12分）已知函数f（x）=x3﹣x（1）求曲线y=f（x）在点M（t，f（t））处的切线方程（2）设a＞0，如果过点（a，b）可作曲线y=f（x）的三条切线，证明：﹣a＜b ＜f（a）2007年全国统一高考数学试卷（理科）（全国卷Ⅱ）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）（2007•全国卷Ⅱ）求值sin210°=（）A．B．﹣C．D．﹣【分析】通过诱导公式得sin 210°=﹣sin（210°﹣180°）=﹣sin30°得出答案．【解答】解：∵sin 210°=﹣sin（210°﹣180°）=﹣sin30°=﹣故答案为D2．（5分）（2007•全国卷Ⅱ）函数y=|sinx|的一个单调增区间是（）A．B．C．D．【分析】画出y=|sinx|的图象即可得到答案．【解答】解：根据y=|sinx|的图象，如图，函数y=|sinx|的一个单调增区间是，故选C．3．（5分）（2007•全国卷Ⅱ）设复数z满足=i，则z=（）A．﹣2+i B．﹣2﹣i C．2﹣i D．2+i【分析】将复数z设a+bi，（a，b∈R），代入复数方程，利用复数相等的条件解出复数z．【解答】解：设复数z=a+bi，（a，b∈R）满足=i，∴1+2i=ai﹣b，，∴z=2﹣i，故选C．4．（5分）（2007•全国卷Ⅱ）以下四个数中的最大者是（）A．（ln2）2B．ln（ln2）C．ln D．ln2【分析】根据lnx是以e＞1为底的单调递增的对数函数，且e＞2，可知0＜ln2＜1，ln（ln2）＜0，故可得答案．【解答】解：∵0＜ln2＜1，∴ln（ln2）＜0，（ln2）2＜ln2，而ln=ln2＜ln2，∴最大的数是ln2，故选D．5．（5分）（2007•全国卷Ⅱ）在△ABC中，已知D是AB边上一点，若=2，=，则λ=（）A．B．C．﹣ D．﹣【分析】本题要求字母系数，办法是把表示出来，表示时所用的基底要和题目中所给的一致，即用和表示，画图观察，从要求向量的起点出发，沿着三角形的边走到终点，把求出的结果和给的条件比较，写出λ．【解答】解：在△ABC中，已知D是AB边上一点∵=2，=，∴=，∴λ=，故选A．6．（5分）（2007•全国卷Ⅱ）不等式的解集是（）A．（2，+∞）B．（﹣2，1）∪（2，+∞） C．（﹣2，1）D．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）【分析】首先不等式的分母可化为（x+2）（x﹣2），不等式的分子和分母共由3个一次因式构成．要使得原不等式大于0，可等同于3个因式的乘积大于0，再可根据串线法直接求解．【解答】解：依题意，原不等式可化为等同于（x+2）（x﹣1）（x﹣2）＞0，可根据串线法直接解得﹣2＜x＜1或x＞2，故答案应选B．7．（5分）（2007•全国卷Ⅱ）已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱长与底面边长相等，则AB1与侧面ACC1A1所成角的正弦值等于（）A．B．C．D．【分析】根据正三棱柱及线面角的定义知，取A1C1的中点D1，∠B1AD1是所求的角，再由已知求出正弦值．【解答】解：取A1C1的中点D1，连接B1D1，AD1，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，B1D1⊥面ACC1A1，则∠B1AD1是AB1与侧面ACC1A1所成的角，∵正三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱长与底面边长相等，∴，故选A．8．（5分）（2007•全国卷Ⅱ）已知曲线的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为（）A．3 B．2 C．1 D．【分析】根据斜率，对已知函数求导，解出横坐标，要注意自变量的取值区间．【解答】解：设切点的横坐标为（x0，y0）∵曲线的一条切线的斜率为，∴y′=﹣=，解得x0=3或x0=﹣2（舍去，不符合题意），即切点的横坐标为3故选A．9．（5分）（2007•全国卷Ⅱ）把函数y=e x的图象按向量=（2，3）平移，得到y=f（x）的图象，则f（x）=（）A．e x﹣3+2 B．e x+3﹣2 C．e x﹣2+3 D．e x+2﹣3【分析】平移向量=（h，k）就是将函数的图象向右平移h个单位，再向上平移k个单位．【解答】解：把函数y=e x的图象按向量=（2，3）平移，即向右平移2个单位，再向上平移3个单位，平移后得到y=f（x）的图象，∴f（x）=e x﹣2+3，故选C．10．（5分）（2009•湖北）从5位同学中选派4位同学在星期五、星期六、星期日参加公益活动，每人一天，要求星期五有2人参加，星期六、星期日各有1人参加，则不同的选派方法共有（）A．40种B．60种C．100种D．120种【分析】分2步进行，首先从5人中抽出两人在星期五参加活动，再从剩下的3人中，抽取两人安排在星期六、星期日参加活动，分别计算其情况数目，由分步计数原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，首先从5人中抽出两人在星期五参加活动，有C52种情况，再从剩下的3人中，抽取两人安排在星期六、星期日参加活动，有A32种情况，则由分步计数原理，可得不同的选派方法共有C52A32=60种，故选B．11．（5分）（2007•全国卷Ⅱ）设F1，F2分别是双曲线的左、右焦点．若双曲线上存在点A，使∠F1AF2=90°，且|AF1|=3|AF2|，则双曲线离心率为（）A．B．C．D．【分析】由题设条件设|AF2|=1，|AF1|=3，双曲线中2a=|AF1|﹣|AF2|=2，，由此可以求出双曲线的离心率．【解答】解：设F1，F2分别是双曲线的左、右焦点．若双曲线上存在点A，使∠F1AF2=90°，且|AF1|=3|AF2|，设|AF2|=t，|AF1|=3t，（t＞0）双曲线中2a=|AF1|﹣|AF2|=2t，t，∴离心率，故选B．12．（5分）（2007•全国卷Ⅱ）设F为抛物线y2=4x的焦点，A，B，C为该抛物线上三点，若++=，则的值为（）A．3 B．4 C．6 D．9【分析】先设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），根据抛物线方程求得焦点坐标和准线方程，再依据=0，判断点F是△ABC重心，进而可求x1+x2+x3的值．最后根据抛物线的定义求得答案．【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）抛物线焦点坐标F（1，0），准线方程：x=﹣1∵=，∴点F是△ABC重心则x1+x2+x3=3y1+y2+y3=0而|FA|=x1﹣（﹣1）=x1+1|FB|=x2﹣（﹣1）=x2+1|FC|=x3﹣（﹣1）=x3+1∴|FA|+|FB|+|FC|=x1+1+x2+1+x3+1=（x1+x2+x3）+3=3+3=6故选C二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）（2007•全国卷Ⅱ）（1+2x2）（x﹣）8的展开式中常数项为﹣42．【分析】将问题转化成的常数项及含x﹣2的项，利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x的指数为0，﹣2求出常数项及含x﹣2的项，进而相加可得答案．【解答】解：先求的展开式中常数项以及含x﹣2的项；由8﹣2r=0得r=4，由8﹣2r=﹣2得r=5；即的展开式中常数项为C84，含x﹣2的项为C85（﹣1）5x﹣2∴的展开式中常数项为C84﹣2C85=﹣42故答案为﹣4214．（5分）（2007•全国卷Ⅱ）在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N（1，2），若ξ在（0，1）内取值的概率为0.4，则ξ在（0，2）内取值的概率为0.8．【分析】根据ξ服从正态分布N（1，2），得到正态分布图象的对称轴为x=1，根据在（0，1）内取值的概率为0.4，根据根据随机变量ξ在（1，2）内取值的概率与ξ在（0，1）内取值的概率相同，得到随机变量ξ在（0，2）内取值的概率．【解答】解：∵测量结果ξ服从正态分布N（1，2），∴正态分布图象的对称轴为x=1，在（0，1）内取值的概率为0.4，∴随机变量ξ在（1，2）内取值的概率与ξ在（0，1）内取值的概率相同，也为0.4，∴随机变量ξ在（0，2）内取值的概率为0.8．故答案为：0.815．（5分）（2007•全国卷Ⅱ）一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为2cm的球面上．如果正四棱柱的底面边长为1cm，那么该棱柱的表面积为2+4cm2．【分析】本题考查的知识点是棱柱的体积与表面积计算，由一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为2cm的球面上．如果正四棱柱的底面边长为1cm，我们根据球的直径等于棱柱的对角线长，我们可以求出棱柱的各棱的长度，进而得到其表面积．【解答】解：由一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为2cm的球面上．正四棱柱的对角线的长为球的直径，现正四棱柱底面边长为1cm，设正四棱柱的高为h，∴2R=2=，解得h=，那么该棱柱的表面积为2+4cm2．故答案为：2+416．（5分）（2007•全国卷Ⅱ）已知数列的通项a n=﹣5n+2，其前n项和为S n，则=．【分析】由通项公式知该数列是等差数列，先求出首项和公差，然后求出其前n 项和，由此能得到的值．【解答】解：∵数列的通项a n=﹣5n+2，∴a1=﹣3，a2=﹣8，d=﹣5．∴其前n项和为S n，则=﹣．故答案为：﹣．三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）（2007•全国卷Ⅱ）在△ABC中，已知内角A=，边BC=2，设内角B=x，周长为y（1）求函数y=f（x）的解析式和定义域；（2）求y的最大值．【分析】（1）由内角A=，边BC=2，设内角B=x，周长为y，我们结合三角形的性质，△ABC的内角和A+B+C=π，△ABC的周长y=AB+BC+AC，我们可以结合正弦定理求出函数的解析式，及自变量的取值范围．（2）要求三角函数的最值，我们要利用辅助角公式，将函数的解析式，化为正弦型函数的形式，再根据正弦型函数的最值的求法进行求解．【解答】解：（1）△ABC的内角和A+B+C=π，由得．应用正弦定理，知，．因为y=AB+BC+AC，所以，（2）∵=，所以，当，即时，y取得最大值．18．（12分）（2007•全国卷Ⅱ）从某批产品中，有放回地抽取产品二次，每次随机抽取1件，假设事件A：“取出的2件产品中至多有1件是二等品”的概率P（A）=0.96．（1）求从该批产品中任取1件是二等品的概率p；（2）若该批产品共100件，从中任意抽取2件，求事件B：“取出的2件产品中至少有一件二等品”的概率P（B）．【分析】（1）有放回地抽取产品二次，每次随机抽取1件，取出的2件产品中至多有1件是二等品包括无二等品和恰有一件是二等品两种情况，设出概率，列出等式，解出结果．（2）由上面可以知道其中二等品有100×0.2=20件取出的2件产品中至少有一件二等品的对立事件是没有二等品，用组合数列出结果．【解答】解：（1）记A0表示事件“取出的2件产品中无二等品”，A1表示事件“取出的2件产品中恰有1件二等品”．则A0，A1互斥，且A=A0+A1，故P（A）=P（A0+A1）=P（A0）+P（A1）=（1﹣p）2+C21p（1﹣p）=1﹣p2于是0.96=1﹣p2．解得p1=0.2，p2=﹣0.2（舍去）．（2）记B0表示事件“取出的2件产品中无二等品”，则．若该批产品共100件，由（1）知其中二等品有100×0.2=20件，故．19．（12分）（2007•全国卷Ⅱ）如图，在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，侧棱SD⊥底面ABCD，E、F分别是AB、SC的中点（1）求证：EF∥平面SAD（2）设SD=2CD，求二面角A﹣EF﹣D的大小．【分析】法一：（1）作FG∥DC交SD于点G，则G为SD的中点．要证EF∥平面SAD，只需证明EF平行平面SAD内的直线AG即可．（2）取AG中点H，连接DH，说明∠DMH为二面角A﹣EF﹣D的平面角，解三角形求二面角A﹣EF﹣D的大小．法二：建立空间直角坐标系，平面SAD即可证明（1）；（2）求出向量和，利用，即可解答本题．【解答】解：法一：（1）作FG∥DC交SD于点G，则G为SD的中点．连接，又，故为平行四边形．EF∥AG，又AG⊂平面SAD，EF⊄平面SAD．所以EF∥平面SAD．（2）不妨设DC=2，则SD=4，DG=2，△ADG为等腰直角三角形．取AG中点H，连接DH，则DH⊥AG．又AB⊥平面SAD，所以AB⊥DH，而AB∩AG=A，所以DH⊥面AEF．取EF中点M，连接MH，则HM⊥EF．连接DM，则DM⊥EF．故∠DMH为二面角A﹣EF﹣D的平面角．所以二面角A﹣EF﹣D的大小为．法二：（1）如图，建立空间直角坐标系D﹣xyz．设A（a，0，0），S（0，0，b），则B（a，a，0），C（0，a，0），，．取SD的中点，则．平面SAD，EF⊄平面SAD，所以EF∥平面SAD．（2）不妨设A（1，0，0），则B（1，1，0），C（0，1，0），S（0，0，2），，．EF中点，，，又，，所以向量和的夹角等于二面角A﹣EF﹣D的平面角．．所以二面角A﹣EF﹣D的大小为．20．（12分）（2007•全国卷Ⅱ）在直角坐标系xOy中，以O为圆心的圆与直线：x﹣y=4相切（1）求圆O的方程（2）圆O与x轴相交于A、B两点，圆内的动点P使|PA|、|PO|、|PB|成等比数列，求的取值范围．【分析】首先分析到题目（1）中圆是圆心在原点的标准方程，由切线可直接求得半径，即得到圆的方程．对于（2）根据圆内的动点P使|PA|、|PO|、|PB|成等比数列，列出方程，再根据点P在圆内求出取值范围．【解答】解：（1）依题设，圆O的半径r等于原点O到直线的距离，即．得圆O的方程为x2+y2=4．（2）不妨设A（x1，0），B（x2，0），x1＜x2．由x2=4即得A（﹣2，0），B（2，0）．设P（x，y），由|PA|，|PO|，|PB|成等比数列，得，两边平方，可得（x2+y2+4）2﹣16x2=（x2+y2）2，化简整理可得，x2﹣y2=2．=x2﹣4+y2=2（y2﹣1）．由于点P在圆O内，故由此得y2＜1．所以的取值范围为[﹣2，0）．21．（12分）（2007•全国卷Ⅱ）设数列{a n}的首项a1∈（0，1），a n=，n=2，3，4…（1）求{a n}的通项公式；（2）设，求证b n＜b n+1，其中n为正整数．【分析】（1）由题条件知，所以{1﹣a n}是首项为1﹣a1，公比为的等比数列，由此可知（2）方法一：由题设条件知，故b n＞0．那么，b n+12﹣b n2=a n+12（3﹣2a n+1）﹣a n2（3﹣2a n）=由此可知b n＜b n+1，n为正整数．方法二：由题设条件知，所以．由此可知b n＜b n+1，n为正整数．【解答】解：（1）由，整理得．又1﹣a1≠0，所以{1﹣a n}是首项为1﹣a1，公比为的等比数列，得（2）方法一：由（1）可知，故b n＞0．2﹣b n2那么，b n+1=a n+12（3﹣2a n+1）﹣a n2（3﹣2a n）==又由（1）知a n＞0且a n≠1，故b n+12﹣b n2＞0，因此b n＜b n+1，n为正整数．方法二：由（1）可知，因为，所以．由a n≠1可得，即两边开平方得．即b n＜b n+1，n为正整数．22．（12分）（2007•全国卷Ⅱ）已知函数f（x）=x3﹣x（1）求曲线y=f（x）在点M（t，f（t））处的切线方程（2）设a＞0，如果过点（a，b）可作曲线y=f（x）的三条切线，证明：﹣a＜b ＜f（a）【分析】（1）求出f′（x），根据切点为M（t，f（t）），得到切线的斜率为f'（t），所以根据斜率和M点坐标写出切线方程即可；（2）设切线过点（a，b），则存在t使b=（3t2﹣1）a﹣2t3，于是过点（a，b）可作曲线y=f（x）的三条切线即为方程2t3﹣3at2+a+b=0有三个相异的实数根．记g（t）=2t3﹣3at2+a+b，求出其导函数=0时t的值，利用t的值分区间讨论导函数的正负得到g（t）的单调区间，利用g（t）的增减性得到g（t）的极值，根据极值分区间考虑方程g（t）=0有三个相异的实数根，得到极大值大于0，极小值小于0列出不等式，求出解集即可得证．【解答】解：（1）求函数f（x）的导函数；f'（x）=3x2﹣1．曲线y=f（x）在点M（t，f（t））处的切线方程为：y﹣f（t）=f'（t）（x﹣t），即y=（3t2﹣1）x﹣2t3；（2）如果有一条切线过点（a，b），则存在t，使b=（3t2﹣1）a﹣2t3．于是，若过点（a，b）可作曲线y=f（x）的三条切线，则方程2t3﹣3at2+a+b=0有三个相异的实数根．记g（t）=2t3﹣3at2+a+b，则g'（t）=6t2﹣6at=6t（t﹣a）．当t变化时，g（t），g'（t）变化情况如下表：t（﹣∞，0）0（0，a）a（a，+∞）g′（t）+0﹣0+g（t）极大值a+b 极小值b﹣f（a）由g（t）的单调性，当极大值a+b＜0或极小值b﹣f（a）＞0时，方程g（t）=0最多有一个实数根；当a+b=0时，解方程g（t）=0得，即方程g（t）=0只有两个相异的实数根；当b﹣f（a）=0时，解方程g（t）=0得，即方程g（t）=0只有两个相异的实数根．综上，如果过（a，b）可作曲线y=f（x）三条切线，即g（t）=0有三个相异的实数根，则即﹣a＜b＜f（a）．。

2007年福建高考理科数学试卷及答案详解(文字版)

2007年普通高等学校招生全国统一考试数学（理工农医类）（福建卷及详解）第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．复数21(1i)+等于（） A ．12B ．12-C ．1i 2D ．1i 2-解析：=.2．数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1(1)n a n n =+，则5S 等于（）A ．1B ．56C ．16D ．130解析：=，所以，选B.3．已知集合{}{12}A x x a B x x =<=<<，，且()A B =R R ð，则实数a 的取值范围是（） A ．1a ≤B ．1a <C ．2a ≥D ．2a >解析：或，因为，所以，选C.4．对于向量，，a b c 和实数λ，下列命题中真命题是（）A ．若=0a b ，则0a =或0b = B ．若λ0a =，则0λ=或=0a C ．若22=a b ，则=a b 或-a =bD ．若a b =a c ，则b =c 解析：时也有，故A 不正确；同理C 不正确；由得不到b=c ，如为零向量或与b 、c 垂直时，选B.5．已知函数()sin (0)f x x ωωπ⎛⎫=+> ⎪3⎝⎭的最小正周期为π，则该函数的图象（） A ．关于点0π⎛⎫ ⎪3⎝⎭，对称B ．关于直线x π=4对称 C ．关于点0π⎛⎫ ⎪4⎝⎭，对称D ．关于直线x π=3对称由函数的最小正周期为得，由得，对称点为（，0）（），当k=1时为（，0），选A.6．以双曲线221916x y -=的右焦点为圆心，且与其渐近线相切的圆的方程是（） A ．221090x y x +-+= B ．2210160x y x +-+= C ．2210160x y x +++=D ．221090x y x +++=右焦点即圆心为（5，0），一渐近线方程为，即，，圆方程为，即A ：，选A.7．已知()f x 为R 上的减函数，则满足1(1)f f x ⎛⎫<⎪⎝⎭的实数x 的取值范围是（） A ．(11)-，B ．(01)，C ．(10)(01)- ，， D ．(1)(1)-∞-+∞ ，，由已知得解得或，选C.8．已知m n ，为两条不同的直线，αβ，为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（） A ．m n m n ααββαβ⊂⊂⇒，，∥，∥∥ B ．m n m n αβαβ⊂⊂⇒∥，，∥C ．m m n n αα⇒⊥，⊥∥D ．n m n m αα⇒∥，⊥⊥A 中m 、n 少相交条件，不正确；B 中分别在两个平行平面的两条直线不一定平行，不正确；C 中n 可以在内，不正确，选D.9．把21(1)(1)(1)nx x x +++++++ 展开成关于x 的多项式，其各项系数和为n a ，则21lim1n n na a ∞-+→等于（）A ．14B ．12C ．1D ．2令=1得=1+2+22+……+2n=，，选D.10．顶点在同一球面上的正四棱柱ABCD A B C D ''''-中，1AB AA '==，则A C ，两点间的球面距离为（） A ．π4B ．π2CD正四棱柱的对角线为球的直径，由得R=1，AC=，所以∠AOC=（其中O 为球心）A 、C 两点间的球面距离为，选B.11．已知对任意实数x ，有()()()(f x f x g x g x -=--=，，且0x >时，()0()f x g x ''>>，，则0x <时（）A ．()0()0f x g x ''>>，B ．()0()0f x g x ''><，C ．()0()0f x g x ''<>，D ．()0()0f x g x ''<<，由已知为奇函数,图像关于原点对称,在对称区间的单调性相同;为偶函数,在对称区间的单调性相反,时,递增,当时,递增,; 递减, ,选B.12．如图，三行三列的方阵中有9个数(123123)ij a i j ==，，；，，，从中任取三个数，则至少有两个数位于同行或同列的概率是（）A ．37 B ．47C ．114D ．1314从中任取三个数共有种取法，没有同行、同列的取法有，至少有两个数位于同行或同列的概率是，选D.第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在答题卡的相应位置．13．已知实数x y ，满足2203x y x y y +⎧⎪-⎨⎪⎩≥，≤，≤≤，则2z x y =-的取值范围是________．画出可行域知在（-1，3）取得最小值-5，在（5，3）取得最大值7，范围是[-5，7].14．已知正方形ABCD ，则以A B ，为焦点，且过C D ，两点的椭圆的离心率为______．设c=1，则.15．两封信随机投入A BC ，，三个空邮箱，则A 邮箱的信件数ξ的数学期望E ξ= ．ξ的取值有0，1，2，，所以E ξ=111213212223313233a a a a a a a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭16．中学数学中存在许多关系，比如“相等关系”、“平行关系”等等．如果集合A 中元素之间的一个关系“-”满足以下三个条件：（1）自反性：对于任意a A ∈，都有a a -；（2）对称性：对于a b A ∈，，若a b -，则有b a -；（3）传递性：对于a b c A ∈，，，若a b -，b c -，则有a c -．则称“-”是集合A 的一个等价关系．例如：“数的相等”是等价关系，而“直线的平行”不是等价关系（自反性不成立）．请你再列出三个等价关系：______．解析：．答案不唯一，如“图形的全等”、“图形的相似”、“非零向量的共线”、“命题的充要条件”等等．三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）在ABC △中，1tan 4A =，3tan 5B =．（Ⅰ）求角C 的大小；（Ⅱ）若ABC △ 解析： (Ⅰ),.又,.(Ⅱ),边最大,即.又,角最小,边为最小边.由且,得.由得:.所以,最小边18．（本小题满分12分）如图，正三棱柱111ABC A B C -的所有棱长都为2，D 为1CC 中点．（Ⅰ）求证：1AB ⊥平面1A BD ；（Ⅱ）求二面角1A A D B --的大小；（Ⅲ）求点C 到平面1A BD 的距离．解析： (Ⅰ)取中点,连结.为正三角形,.正三棱柱中,平面平面, 平面.连结,在正方形中,分别为的中点,,.在正方形中,,平面.(Ⅱ)设与交于点,在平面中,作于,连结,由(Ⅰ)得ABCD1A1C1B平面.,为二面角的平面角.在中,由等面积法可求得,又,.所以二面角的大小为.(Ⅲ)中,,.在正三棱柱中,到平面的距离为.设点到平面的距离为.由得,.点到平面的距离为.(Ⅰ)取中点,连结.为正三角形,.在正三棱柱中,平面平面,平面.取中点,以为原点,,,的方向为轴的正方向建立空间直角坐标系,则,,,,,,,.,,,.平面.(Ⅱ)设平面的法向量为,.,令得为平面的一个法向量.由(Ⅰ)知平面,为平面的法向量.,二面角的大小为.(Ⅲ)由(Ⅱ),为平面法向量,.点到平面的距离19．（本小题满分12分）某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向总公司交a 元（35a ≤≤）的管理费，预计当每件产品的售价为x 元（911x ≤≤）时，一年的销售量为2(12)x -万件．（Ⅰ）求分公司一年的利润L （万元）与每件产品的售价x 的函数关系式；（Ⅱ）当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润L 最大，并求出L 的最大值()Q a ．解：（Ⅰ）分公司一年的利润L （万元）与售价x 的函数关系式为：2(3)(12)[911]L x a x x =---∈，，．（Ⅱ）2()(12)2(3)(12)L x x x a x '=-----(12)(1823)x a x =-+-．令0L '=得263x a =+或12x =（不合题意，舍去）． 35a ≤≤，2288633a ∴+≤≤．在263x a =+两侧L '的值由正变负．所以（1）当28693a +<≤即932a <≤时，2max (9)(93)(129)9(6)L L a a ==---=-．（2）当2289633a +≤≤即952a ≤≤时， 23max2221(6)63126433333L L a a a a a ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+---+=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以399(6)32()1943532a a Q a a a ⎧-<⎪⎪=⎨⎛⎫⎪- ⎪⎪⎝⎭⎩， ≤，， ≤≤ 答：若932a <≤，则当每件售价为9元时，分公司一年的利润L 最大，最大值()9(6)Q a a =-（万元）；若952a ≤≤，则当每件售价为263a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭元时，分公司一年的利润L 最大，最大值31()433Q a a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭（万元）．20. （2007年福建理20）如图，已知点F （1，0），直线l ：＝－1，P 为平面上的动点，过P 作直线l 的垂线，垂足为点Q ，且.（1）求动点P 的轨迹C 的方程；（2）过点F 的直线交轨迹C 于A 、B 两点，交直线l 于点M ，已知，，求的值.解析： (Ⅰ)设点,则,由得: ,化简得.(Ⅱ)设直线的方程为: .设,,又,联立方程组,消去得:,,故由,得:,,整理得:,,.(Ⅰ)由得:,,,.所以点的轨迹是抛物线,由题意,轨迹的方程为:.(Ⅱ)由已知,,得.则:.…………①过点分别作准线的垂线,垂足分别为,,则有:.…………②由①②得:,即.21．（本小题满分12分）等差数列{}n a 的前n 项和为1319n S a S ==+，（Ⅰ）求数列{}n a 的通项n a 与前n 项和n S ；（Ⅱ）设()nn S b n n*=∈N ，求证：数列{}n b 中任意不同的三项都不可能成为等比数列．(Ⅰ)由已知得,,故.(Ⅱ)由(Ⅰ)得.假设数列中存在三项(互不相等)成等比数列,则.即.,.与矛盾.所以数列中任意不同的三项都不可能成等比数列.22．（本小题满分14分）已知函数()e x f x kx x =-∈R ，（Ⅰ）若e k =，试确定函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）若0k >，且对于任意x ∈R ，()0f x >恒成立，试确定实数k 的取值范围；（Ⅲ）设函数()()()F x f x f x =+-，求证：12(1)(2)()(e 2)()n n F F F n n +*>+∈N ．解析： (Ⅰ)由得,所以.由得,故的单调递增区间是, 由得,故的单调递减区间是.(Ⅱ)由可知是偶函数. 于是对任意成立等价于对任意成立.由得.①当时,. 此时在上单调递增. 故,符合题意.②当时,.当变化时的变化情况如下表:由此可得,在上,.依题意,,又.综合①,②得,实数的取值范围是.(Ⅲ),,,由此得,故.。

2007年高考试题——数学理(山西卷)

2007年普通高等学校招生全国统一考试理科数学本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷（非选择题）两部分. 第I 卷1至2页. 第II 卷3至4页. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第Ⅰ卷注意事项： 1．答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码.请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目.2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑, 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效.3．本卷共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么球的表面积公式 P ( A + B ) = P ( A ) + P ( B ) 24R S π=如果事件A 、B 相互独立，那么其中R 表示球的半径 P ( A · B ) = P ( A ) · P ( B ) 球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么 334R V π=n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率其中R 表示球的半径k n k k n n P P C k P --=)1()(（k =0,1,2,…,n ）一、选择题（1）α是第四象限角，ααsin ,125tan 则-== （A ）51 （B ）－51 （C ）135 （D ）－135 （2）设a 是实数，且211i i a +++是实数，则a = （A ）21 （B ）1 （C ）23（D ）2（3）已知向量a =（－5,6）,b =（6,5），则a 与b （A ）垂直（B ）不垂直也不平行（C ）平行且同向（D ）平行且反向（4）已知双曲线的离心率为2，焦点是（－4,0）,（4,0）,则双曲线方程为（A ）112422=-y x（B ）141222=-y x（C ）161022=-y x（D ）110622=-y x（5）设a ,b ∈R ，集合a b b aba b a -=+则},,,0{},,1{= （A ）1（B ）－1（C ）2（D ）－2（6）下面给出的四个点中，到直线01=+-y x 的距离为22，且位于⎩⎨⎧>+-<-+,01,01y x y x 表示的平面区域内的点是（A ）（1,1）（B ）（－1,1）（C ）（－1,－1）（D ）（1,－1）（7）如图，正四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AA 1=2AB ，则异面直线A 1B 与AD 1所成角的余弦值为（A ）51（B ）52（C ）53（D ）54（8）设1>a ，函数x x f a log )(=在区间]2,[a a 上的最大值与最小值之差为21，则a =（A ）2（B ）2（C ）22（D ）4（9）)(),(x g x f 是定义在R 上的函数，),()()(x g x f x h +=则“)(),(x g x f 均为偶函数”是“)(x h 为偶函数”的（A ）充要条件（B ）充分而不必要的条件（C ）必要而不充分的条件（D ）既不充分也不必要的条件（10）nxx )1(2-的展开式中，常数项为15，则n =（A ）3（B ）4（C ）5（D ）6（11）抛物线x y 42=的焦点为F ，准线为l ,经过F 且斜率为3的直线与抛物线在x 轴上方的部分相交于点A ，AK ⊥l ，垂足为K ，则△AKF 的面积是（A ）4 （B ）33 （C ）43（D ）8（12）函数2cos 2cos )(22xx x f -=的一个单调增区间是（A ）)32,3(ππ （B ）)2,6(ππ （C ）)3,0(π（D ）)6,6(ππ-AB1B1A1D 1C CD2007年普通高等学校招生全国统一考试理科数学第Ⅱ卷注意事项： 1．答题前，考生先在答题卡上用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，然后贴好条形码.请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目.2．第II 卷共2页，请用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效.3．本卷共10题，共90分.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 把答案填在横线上.（13）从班委会 5 名成员中选出 3 名，分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，其中甲、乙二人不能担任文娱委员，则不同的选法共有种. (用数字作答）（14）函数)(x f y =的图像与函数)0(log 3>=x x y 的图像关于直线x y =对称，则 =)(x f .（15）等比数列}{n a 的前n 项和为S n ，已知S 1，2S 2，3S 3成等差数列，则}{n a 的公比为 .（16）一个等腰直角三角形的三个顶点分别在正三棱柱的三条侧棱上. 已知正三棱柱的底面边长为2，则该三角形的斜边长为 .三、解答题：本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （17）（本小题满分10分）设锐角三角形ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a =2b sin A . （Ⅰ）求B 的大小；（Ⅱ）求cos A +sin C 的取值范围.（18）（本小题满分12分）某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的付款期数ξ的分布列为DCS商场经销一件该商品，采用1期付款，其利润为200元；分2期或3期付款，其利润为250元；分4期或5期付款，其利润为300元. η表示经销一件该商品的利润. （Ⅰ）求事件A ：“购买该商品的3位顾客中，至少有1位采用1期付款”的概率 P (A )；（Ⅱ）求η的分布列及期望.ηE（19）（本小题满分12分）四棱锥S —ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，侧面SBC ⊥底面ABCD ，已知 ∠ABC = 45°AB =2，BC =22，SA =SB =.3 （Ⅰ）证明SA ⊥BC ；（Ⅱ）求直线SD 与平面SAB 所成角的大小.（20）（本小题满分12分）设函数.)(x x e e x f --=（Ⅰ）证明：)(x f 的导数)(x f '≥2；（Ⅱ）若对所有x ≥0都有)(x f ≥ax ，求a 的取值范围.（21）（本小题满分12分）已知椭圆12322=+y x 的左、右焦点分别为F 1、F 2.过F 1的直线交椭圆于B 、D 两点，过F 2的直线交椭圆于A 、C 两点，且AC ⊥BD ，垂足为P .（Ⅰ）设P 点的坐标为),(00y x ，证明：123220<+y x ；（Ⅱ）求四边形ABCD 的面积的最小值.（22）（本小题满分12分）已知数列{a n }中.,3,2,1),2)(12(,211 =+-==+n a a a n n （Ⅰ）求{a n }的通项公式；（Ⅱ）若数列{b n }中 ,3,2,1,3243,211=++==+n b b b b n n n ，证明：n b <2≤.,3,2,1,34 =-n a n（在试题卷上作答无效）2007年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题（必修+选修I ）参考答案一、选择题（1）D （2）B （3）A （4）A （5）C （6）C （7）D （8）D （9）B （10）D （11）C （12）A 二、填空题（13）36 （14）R x x∈(3）（15）31（16）32 三、解答题（17）解：（I ）由A b a sin 2=，根据正弦定理得 A B A sin sin 2sin =，所以 21s i n =B ，由△ABC 为锐角的三角形得.6π=B（II ）)6sin(cos sin cos A A C A --+=+ππ).3sin(3sin 23cos 21cos )6sin(cos ππ+==+=++=A A A A A A由△ABC 为锐角的三角形知，3622,22ππππππ=-=-->>B B A ，所以，65332πππ<+<A ，23)3sin(21<+<πA ，由此有323)3sin(323⨯<+<πA ，所以，C A sin cos +的取值范围为（23,23）. （18）解：（I ）由A 表示事件：“购买该商品的3位顾客中至少有1位采用1期付款”，知A 表示事件：“购买该商品的3位顾客中无人采用1期付款”.216.0)4.01()(3=-=A P ,784.0216.01)(1)(=-=-=A P A P ；（II ）η的可能取值为200元，250元，300元. P （η=200）=P （ξ=1）=0.4，P （η=250）=P （ξ=2）+P （ξ=3）=0.2+0.2=0.4，P （η=300）=1－P （η=200）－P （η=250）=1－0.4－0.4=0.2. η的分布列为η 200 250 300 P 0.4 0.4 0.2E η=200×0.4+250×0.4+300×0.2=240（元）.19．解法一：（I ）作SO ⊥BC ，垂足为O ，连结AO ，由侧面SBC ⊥底面ABCD ，得SO ⊥底面ABCD . 因为SA =SB ，所以AO =BO . 又∠ABC =45°，故△AOB 为等腰直角三角形，AO ⊥BO ，由三垂线定理，得SA ⊥BC .（II ）由（I ）知SA ⊥BC ，依题设AD ∥BC ，故SA ⊥AD ，由AD =BC =22，SA =3，AO =2，得 SO =1，11=SD . △SAB 的面积2)21(21221=-⋅=AB SA AB S . 连结AB ，得△DAB 的面积︒⋅=35sin 212AD AB S =2. 设D 到平面SAB 的距离为h ，由ABD S SAB D V V --=，得213131S SO S h ⋅=⋅，解得2=h .设SD 与平面SAB 所成角为α，则sin α=1122112==SD h . 所以，直线SD 与平面SAB 所成的角为.1122arcsin解法二：（I ）作SO ⊥BC ，垂足为O ，连结AO ，由侧面SBC ⊥底面ABCD ，得SO ⊥平面ABCD . 因为SA =SB ，所以AO =BO .又∠ABC =︒45，△AOB 为等腰直角三角形，AO ⊥OB .如图，以O 为坐标原点，OA 为x 轴正向，建立直角坐标系O —xyz ， A （2，0，0），B （0，2，0），C （0，－2，0），S （0，0，1），=（2，0，－1），=（0，22，所以SA ⊥BC .（Ⅱ）取AB 中点E ，E ).0,22,22(连结SE ，取SE 中点G ，连结OG ，G 24,42().0,2,2(),1,22,22(),21,42,42(-=-== 0,0=⋅=⋅OG AB OG SE ，OG 与平面SAB 内两条相交直线SE ，AB 垂直，所以OG ⊥平面SAB . 与DS 的夹角记为α,SD 与平面SAB 所成的角记为β，则α与β互余.,1122sin ,1122cos ),1,22,2(),0,22,2(===-=-βαD所以，直线SD 与平面SAB 所成的角为.1122arcsin（20）解：（Ⅰ）xx e e x f x f -+=')()(的导数，由于22=⋅>+--x x x x e e e e －2，故2)(≥'x f ,（当且仅当x =0时，等号成立.）（II ）令,)()(ax x f x g -=则 .)()(a ee a xf xg xx-+=-'='-（i ）若2≤a ，当x >0时，,02)(≥->-+='-a a e e x g xx故),0()(+∞在x g 上为增函数.所以，0≥x 时，)0()(g x g ≥，即ax x f ≥)(.（ii ）若a >2，方程0)(='x g 的正根为24ln 21-+=a a x ，此时，若),0(1x x ∈时，ax x f ax x f g x g ≥<=<)(,)(,0)0()(与题设即相矛盾.综上，满足条件的a 的取值范围是].2,(-∞（21）证明：（Ⅰ）椭圆的半焦距123=-=c .由AC ⊥BD 知点P 在以线段F 1F 2为直径的圆上，故 12020=+y x ，所以， .121222320202020<=+≤+y x y x （Ⅱ）（i ）当BD 的斜率k 存在且k ≠0时，BD 的方程为),1(+=x k y 代入椭圆方程12322=+y x ，并化简得 0636)23(2222=-+++k x k x k 设),(),,(2211y x D y x B ，则236323622212221+-=+=+k k x x k k x x ，23)1(34]4)[()1(||1||22212212212++=-+++=-⋅+=k k x x x x k x x k BD因为AC 与BD 相交于点P ，且AC 的斜率为 k1-，所以， 32)1(34213)11(34||2222++=+⨯+=k k kk AC 四边形ABCD 的面积25962)32()23()1(24)32)(23()1(24||||21222222222=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++≥+++=⋅⋅=k k k k k k AC BD S当k 2=1时，上式取等号。

2007年全国统一高考数学试卷(理科)(全国卷一)及答案

2007年全国统一高考数学试卷（理科）（全国卷Ⅰ）一、选择题（共12小题，每小题4分，满分48分）1．（4分）α是第四象限角，，则sinα=（）A．B．C．D．2．（4分）设a是实数，且是实数，则a=（）A．B．1 C．D．23．（4分）已知向量，，则与（）A．垂直B．不垂直也不平行C．平行且同向D．平行且反向4．（4分）已知双曲线的离心率为2，焦点是（﹣4，0），（4，0），则双曲线方程为（）A．B．C．D．5．（4分）设a，b∈R，集合{1，a+b，a}={0，，b}，则b﹣a=（）A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣26．（4分）下面给出的四个点中，到直线x﹣y+1=0的距离为，且位于表示的平面区域内的点是（）A．（1，1） B．（﹣1，1）C．（﹣1，﹣1）D．（1，﹣1）7．（4分）如图，正棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=2AB，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为（）A．B．C．D．8．（4分）设a＞1，函数f（x）=log a x在区间[a，2a]上的最大值与最小值之差为，则a=（）A．B．2 C．D．49．（4分）f（x），g（x）是定义在R上的函数，h（x）=f（x）+g（x），则“f（x），g（x）均为偶函数”是“h（x）为偶函数”的（）A．充要条件B．充分而不必要的条件C．必要而不充分的条件D．既不充分也不必要的条件10．（4分）的展开式中，常数项为15，则n=（）A．3 B．4 C．5 D．611．（4分）抛物线y2=4x的焦点为F，准线为l，经过F且斜率为的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A，AK⊥l，垂足为K，则△AKF的面积是（）A．4 B．C．D．812．（4分）函数f（x）=cos2x﹣2cos2的一个单调增区间是（）A．B．C．D．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）从班委会5名成员中选出3名，分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，其中甲、乙二人不能担任文娱委员，则不同的选法共有种．（用数字作答）14．（5分）函数y=f（x）的图象与函数y=log3x（x＞0）的图象关于直线y=x对称，则f（x）=．15．（5分）等比数列{a n}的前n项和为S n，已知S1，2S2，3S3成等差数列，则{a n}的公比为．16．（5分）一个等腰直角三角形的三个顶点分别在正三棱柱的三条侧棱上，已知正三棱柱的底面边长为2，则该三角形的斜边长为．三、解答题（共6小题，满分82分）17．（12分）设锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=2bsinA（Ⅰ）求B的大小；（Ⅱ）求cosA+sinC的取值范围．18．（12分）某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的付款期数ξ的分布列为ξ12345P0.40.20.20.10.1商场经销一件该商品，采用1期付款，其利润为200元；分2期或3期付款，其利润为250元；分4期或5期付款，其利润为300元，η表示经销一件该商品的利润．（Ⅰ）求事件A：“购买该商品的3位顾客中，至少有1位采用1期付款”的概率P（A）；（Ⅱ）求η的分布列及期望Eη．19．（14分）四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，侧面SBC⊥底面ABCD，已知∠ABC=45°，AB=2，BC=2，SA=SB=．（Ⅰ）证明：SA⊥BC；（Ⅱ）求直线SD与平面SBC所成角的大小．20．（14分）设函数f（x）=e x﹣e﹣x（Ⅰ）证明：f（x）的导数f′（x）≥2；（Ⅱ）若对所有x≥0都有f（x）≥ax，求a的取值范围．21．（14分）已知椭圆的左右焦点分别为F1、F2，过F1的直线交椭圆于B、D两点，过F2的直线交椭圆于A、C两点，且AC⊥BD，垂足为P（Ⅰ）设P点的坐标为（x0，y0），证明：；（Ⅱ）求四边形ABCD的面积的最小值．22．（16分）已知数列{a n}中，a1=2，，n=1，2，3，…（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{b n}中，b1=2，，n=1，2，3，…，证明：，n=1，2，3，…2007年全国统一高考数学试卷（理科）（全国卷Ⅰ）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题4分，满分48分）1．（4分）（2007•全国卷Ⅰ）α是第四象限角，，则sinα=（）A．B．C．D．【分析】根据tanα=，sin2α+cos2α=1，即可得答案．【解答】解：∵α是第四象限角，=，sin2α+cos2α=1，∴sinα=﹣．故选D．2．（4分）（2007•全国卷Ⅰ）设a是实数，且是实数，则a=（）A．B．1 C．D．2【分析】复数分母实数化，化简为a+bi（a、b∈R）的形式，虚部等于0，可求得结果．【解答】解．设a是实数，=是实数，则a=1，故选B．3．（4分）（2007•全国卷Ⅰ）已知向量，，则与（）A．垂直B．不垂直也不平行C．平行且同向D．平行且反向【分析】根据向量平行垂直坐标公式运算即得．【解答】解：∵向量，，得，∴⊥，故选A．4．（4分）（2007•全国卷Ⅰ）已知双曲线的离心率为2，焦点是（﹣4，0），（4，0），则双曲线方程为（）A．B．C．D．【分析】根据焦点坐标求得c，再根据离心率求得a，最后根据b=求得b，双曲线方程可得．【解答】解．已知双曲线的离心率为2，焦点是（﹣4，0），（4，0），则c=4，a=2，b2=12，双曲线方程为，故选A．5．（4分）（2007•全国卷Ⅰ）设a，b∈R，集合{1，a+b，a}={0，，b}，则b ﹣a=（）A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2【分析】根据题意，集合，注意到后面集合中有元素0，由集合相等的意义，结合集合中元素的特征，可得a+b=0，进而分析可得a、b 的值，计算可得答案．【解答】解：根据题意，集合，又∵a≠0，∴a+b=0，即a=﹣b，∴，b=1；故a=﹣1，b=1，则b﹣a=2，故选C．6．（4分）（2007•全国卷Ⅰ）下面给出的四个点中，到直线x﹣y+1=0的距离为，且位于表示的平面区域内的点是（）A．（1，1） B．（﹣1，1）C．（﹣1，﹣1）D．（1，﹣1）【分析】要找出到直线x﹣y+1=0的距离为，且位于表示的平面区域内的点，我们可以将答案中的四个点逐一代入验证，不难得到结论．【解答】解．给出的四个点中，（1，1），（﹣1，1），（﹣1，﹣1）三点到直线x ﹣y+1=0的距离都为，但∵，仅有（﹣1，﹣1）点位于表示的平面区域内故选C7．（4分）（2007•全国卷Ⅰ）如图，正棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=2AB，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为（）A．B．C．D．【分析】先通过平移将两条异面直线平移到同一个起点B，得到的锐角∠A1BC1就是异面直线所成的角，在三角形中A1BC1用余弦定理求解即可．【解答】解．如图，连接BC1，A1C1，∠A1BC1是异面直线A1B与AD1所成的角，设AB=a，AA1=2a，∴A1B=C1B=a，A1C1=a，∠A1BC1的余弦值为，故选D．8．（4分）（2007•全国卷Ⅰ）设a＞1，函数f（x）=log a x在区间[a，2a]上的最大值与最小值之差为，则a=（）A．B．2 C．D．4【分析】因为a＞1，函数f（x）=log a x是单调递增函数，最大值与最小值之分别为log a2a、log a a=1，所以log a2a﹣log a a=，即可得答案．【解答】解．∵a＞1，∴函数f（x）=log a x在区间[a，2a]上的最大值与最小值之分别为log a2a，log a a，∴log a2a﹣log a a=，∴，a=4，故选D9．（4分）（2008•上海）f（x），g（x）是定义在R上的函数，h（x）=f（x）+g （x），则“f（x），g（x）均为偶函数”是“h（x）为偶函数”的（）A．充要条件B．充分而不必要的条件C．必要而不充分的条件D．既不充分也不必要的条件【分析】本题主要是抽象函数奇偶性的判断，只能根据定义，而要否定奇偶性，一般用特值．【解答】解．若“f（x），g（x）均为偶函数”，则有f（﹣x）=f（x），g（﹣x）=g （x），∴h（﹣x）=f（﹣x）+g（﹣x）=f（x）+g（x）=h（x），∴“h（x）为偶函数”，而反之取f（x）=x2+x，g（x）=2﹣x，h（x）=x2+2是偶函数，而f（x），g（x）均不是偶函数”，故选B10．（4分）（2007•全国卷Ⅰ）的展开式中，常数项为15，则n=（）A．3 B．4 C．5 D．6【分析】利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x的指数为0求出常数项，据n的特点求出n的值．【解答】解：的展开式中，常数项为15，则，所以n可以被3整除，当n=3时，C31=3≠15，当n=6时，C62=15，故选项为D11．（4分）（2007•全国卷Ⅰ）抛物线y2=4x的焦点为F，准线为l，经过F且斜率为的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A，AK⊥l，垂足为K，则△AKF的面积是（）A．4 B．C．D．8【分析】先根据抛物线方程求出焦点坐标和准线方程，进而可得到过F且斜率为的直线方程然后与抛物线联立可求得A的坐标，再由AK⊥l，垂足为K，可求得K的坐标，根据三角形面积公式可得到答案．【解答】解：∵抛物线y2=4x的焦点F（1，0），准线为l：x=﹣1，经过F且斜率为的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A（3，2），AK⊥l，垂足为K（﹣1，2），∴△AKF的面积是4故选C．12．（4分）（2007•全国卷Ⅰ）函数f（x）=cos2x﹣2cos2的一个单调增区间是（）A．B．C．D．【分析】化简函数为关于cosx的二次函数，然后换元，分别求出单调区间判定选项的正误．【解答】解．函数=cos2x﹣cosx﹣1，原函数看作g（t）=t2﹣t﹣1，t=cosx，对于g（t）=t2﹣t﹣1，当时，g（t）为减函数，当时，g（t）为增函数，当时，t=cosx减函数，且，∴原函数此时是单调增，故选A二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）（2007•全国卷Ⅰ）从班委会5名成员中选出3名，分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，其中甲、乙二人不能担任文娱委员，则不同的选法共有36种．（用数字作答）【分析】由题意知本题是一个有约束条件的排列组合问题，先从除甲与乙之外的其余3人中选出1人担任文娱委员，再从4人中选2人担任学习委员和体育委员，写出即可．【解答】解．从班委会5名成员中选出3名，分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，其中甲、乙二人不能担任文娱委员，∵先从其余3人中选出1人担任文娱委员，再从4人中选2人担任学习委员和体育委员，∴不同的选法共有C31•A42=3×4×3=36种．14．（5分）（2007•全国卷Ⅰ）函数y=f（x）的图象与函数y=log3x（x＞0）的图象关于直线y=x对称，则f（x）=3x（x∈R）．【分析】由题意推出f（x）与函数y=log3x（x＞0）互为反函数，求解即可．【解答】解．函数y=f（x）的图象与函数y=log3x（x＞0）的图象关于直线y=x 对称，则f（x）与函数y=log3x（x＞0）互为反函数，f（x）=3x（x∈R）故答案为：3x（x∈R）15．（5分）（2007•全国卷Ⅰ）等比数列{a n}的前n项和为S n，已知S1，2S2，3S3成等差数列，则{a n}的公比为．【分析】先根据等差中项可知4S2=S1+3S3，利用等比数列的求和公式用a1和q分别表示出S1，S2和S3，代入即可求得q．【解答】解：∵等比数列{a n}的前n项和为S n，已知S1，2S2，3S3成等差数列，∴a n=a1q n﹣1，又4S2=S1+3S3，即4（a1+a1q）=a1+3（a1+a1q+a1q2），解．故答案为16．（5分）（2007•全国卷Ⅰ）一个等腰直角三角形的三个顶点分别在正三棱柱的三条侧棱上，已知正三棱柱的底面边长为2，则该三角形的斜边长为2．【分析】由于正三棱柱的底面ABC为等边三角形，我们把一个等腰直角三角形DEF的三个顶点分别在正三棱柱的三条侧棱上，结合图形的对称性可得，该三角形的斜边EF上的中线DG的长等于底面三角形的高，从而得出等腰直角三角形DEF的中线长，最后得到该三角形的斜边长即可．【解答】解：一个等腰直角三角形DEF的三个顶点分别在正三棱柱的三条侧棱上，∠EDF=90°，已知正三棱柱的底面边长为AB=2，则该三角形的斜边EF上的中线DG=，∴斜边EF的长为2．故答案为：2．三、解答题（共6小题，满分82分）17．（12分）（2007•全国卷Ⅰ）设锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=2bsinA（Ⅰ）求B的大小；（Ⅱ）求cosA+sinC的取值范围．【分析】（1）先利用正弦定理求得sinB的值，进而求得B．（2）把（1）中求得B代入cosA+sinC中利用两角和公式化简整理，进而根据A 的范围和正弦函数的性质求得cosA+sinC的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由a=2bsinA，根据正弦定理得sinA=2sinBsinA，所以，由△ABC为锐角三角形得．（Ⅱ）===．由△ABC为锐角三角形知，0＜A＜，0＜﹣A＜，∴＜A＜，，所以．由此有＜，所以，cosA+sinC的取值范围为（，）．18．（12分）（2007•全国卷Ⅰ）某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的付款期数ξ的分布列为ξ12345P0.40.20.20.10.1商场经销一件该商品，采用1期付款，其利润为200元；分2期或3期付款，其利润为250元；分4期或5期付款，其利润为300元，η表示经销一件该商品的利润．（Ⅰ）求事件A：“购买该商品的3位顾客中，至少有1位采用1期付款”的概率P（A）；（Ⅱ）求η的分布列及期望Eη．【分析】（Ⅰ）由题意知购买该商品的3位顾客中至少有1位采用1期付款的对立事件是购买该商品的3位顾客中无人采用1期付款，根据对立事件的概率公式得到结果．（2）根据顾客采用的付款期数ξ的分布列对应于η的可能取值为200元，250元，300元．得到变量对应的事件的概率，写出变量的分布列和期望．【解答】解：（Ⅰ）由题意知购买该商品的3位顾客中至少有1位采用1期付款的对立事件是购买该商品的3位顾客中无人采用1期付款，设A表示事件“购买该商品的3位顾客中至少有1位采用1期付款”．知表示事件“购买该商品的3位顾客中无人采用1期付款”，∴．（Ⅱ）根据顾客采用的付款期数ξ的分布列对应于η的可能取值为200元，250元，300元．得到变量对应的事件的概率P（η=200）=P（ξ=1）=0.4，P（η=250）=P（ξ=2）+P（ξ=3）=0.2+0.2=0.4，P（η=300）=1﹣P（η=200）﹣P（η=250）=1﹣0.4﹣0.4=0.2．∴η的分布列为η200250300P0.40.40.2∴Eη=200×0.4+250×0.4+300×0.2=240（元）．19．（14分）（2007•全国卷Ⅰ）四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，侧面SBC⊥底面ABCD，已知∠ABC=45°，AB=2，BC=2，SA=SB=．（Ⅰ）证明：SA⊥BC；（Ⅱ）求直线SD与平面SBC所成角的大小．【分析】解法一：（1）作SO⊥BC，垂足为O，连接AO，说明SO⊥底面ABCD．利用三垂线定理，得SA⊥BC．（Ⅱ）由（Ⅰ）知SA⊥BC，设AD∥BC，连接SE．说明∠ESD为直线SD与平面SBC所成的角，通过，求出直线SD与平面SBC所成的角为．解法二：（Ⅰ）作SO⊥BC，垂足为O，连接AO，以O为坐标原点，OA为x轴正向，建立直角坐标系O﹣xyz，通过证明，推出SA⊥BC．（Ⅱ）.与的夹角记为α，SD与平面ABC所成的角记为β，因为为平面SBC 的法向量，利用α与β互余．通过，，推出直线SD与平面SBC所成的角为．【解答】解法一：（1）作SO⊥BC，垂足为O，连接AO，由侧面SBC⊥底面ABCD，得SO⊥底面ABCD．因为SA=SB，所以AO=BO，又∠ABC=45°，故△AOB为等腰直角三角形，AO⊥BO，由三垂线定理，得SA⊥BC．（Ⅱ）由（Ⅰ）知SA⊥BC，依题设AD∥BC，故SA⊥AD，由，，．又，作DE⊥BC，垂足为E，则DE⊥平面SBC，连接SE．∠ESD为直线SD与平面SBC所成的角．所以，直线SD与平面SBC所成的角为．解法二：（Ⅰ）作SO⊥BC，垂足为O，连接AO，由侧面SBC⊥底面ABCD，得SO⊥平面ABCD．因为SA=SB，所以AO=BO．又∠ABC=45°，△AOB为等腰直角三角形，AO⊥OB．如图，以O为坐标原点，OA为x轴正向，建立直角坐标系O﹣xyz，因为，，又，所以，，．S（0，0，1），，，，所以SA⊥BC．（Ⅱ），.与的夹角记为α，SD与平面ABC所成的角记为β，因为为平面SBC的法向量，所以α与β互余．，，所以，直线SD与平面SBC所成的角为．20．（14分）（2007•全国卷Ⅰ）设函数f（x）=e x﹣e﹣x（Ⅰ）证明：f（x）的导数f′（x）≥2；（Ⅱ）若对所有x≥0都有f（x）≥ax，求a的取值范围．【分析】（Ⅰ）先求出f（x）的导函数，利用a+b≥2当且仅当a=b时取等号．得到f'（x）≥2；（Ⅱ）把不等式变形令g（x）=f（x）﹣ax并求出导函数令其=0得到驻点，在x ≥0上求出a的取值范围即可．【解答】解：（Ⅰ）f（x）的导数f'（x）=e x+e﹣x．由于，故f'（x）≥2．（当且仅当x=0时，等号成立）．（Ⅱ）令g（x）=f（x）﹣ax，则g'（x）=f'（x）﹣a=e x+e﹣x﹣a，（ⅰ）若a≤2，当x＞0时，g'（x）=e x+e﹣x﹣a＞2﹣a≥0，故g（x）在（0，+∞）上为增函数，所以，x≥0时，g（x）≥g（0），即f（x）≥ax．（ⅱ）若a＞2，方程g'（x）=0的正根为，此时，若x∈（0，x1），则g'（x）＜0，故g（x）在该区间为减函数．所以，x∈（0，x1）时，g（x）＜g（0）=0，即f（x）＜ax，与题设f（x）≥ax 相矛盾．综上，满足条件的a的取值范围是（﹣∞，2]．21．（14分）（2007•全国卷Ⅰ）已知椭圆的左右焦点分别为F1、F2，过F1的直线交椭圆于B、D两点，过F2的直线交椭圆于A、C两点，且AC⊥BD，垂足为P（Ⅰ）设P点的坐标为（x0，y0），证明：；（Ⅱ）求四边形ABCD的面积的最小值．【分析】（Ⅰ）椭圆的半焦距，由AC⊥BD知点P在以线段F1F2为直径的圆上，故x02+y02=1，由此可以证出．（Ⅱ）设BD的方程为y=k（x+1），代入椭圆方程，并化简得（3k2+2）x2+6k2x+3k2﹣6=0．设B（x1，y1），D（x2，y2），由题意知|BD|=再求出|AC|=，由此可以求出四边形ABCD的面积的最小值．【解答】证明：（Ⅰ）椭圆的半焦距，由AC⊥BD知点P在以线段F1F2为直径的圆上，故x02+y02=1，所以，．（Ⅱ）（ⅰ）当BD的斜率k存在且k≠0时，BD的方程为y=k（x+1），代入椭圆方程，并化简得（3k2+2）x2+6k2x+3k2﹣6=0．设B（x1，y1），D（x2，y2），则，|BD|=；因为AC与BD相交于点P，且AC的斜率为，所以，|AC|=．四边形ABCD的面积•|BD||AC|=．当k2=1时，上式取等号．（ⅱ）当BD的斜率k=0或斜率不存在时，四边形ABCD的面积S=4．综上，四边形ABCD的面积的最小值为．22．（16分）（2007•全国卷Ⅰ）已知数列{a n}中，a1=2，，n=1，2，3，…（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{b n}中，b1=2，，n=1，2，3，…，证明：，n=1，2，3，…【分析】（Ⅰ）先对进行整理可得到，即数列是首项为，公比为的等比数列，再由等比数列的通项公式可得到，进而得到．（Ⅱ）用数学归纳法证明．当n=1时可得到b1=a1=2满足条件，然后假设当n=k 时满足条件进而得到当n=k+1时再对进行整理得到=，进而可得证．【解答】解：（Ⅰ）由题设：==，．所以，数列是首项为，公比为的等比数列，，即a n的通项公式为，n=1，2，3，．（Ⅱ）用数学归纳法证明．（ⅰ）当n=1时，因，b1=a1=2，所以，结论成立．（ⅱ）假设当n=k时，结论成立，即，也即．当n=k+1时，==，又，所以=．也就是说，当n=k+1时，结论成立．根据（ⅰ）和（ⅱ）知，n=1，2，3，．。

2007年高考真题试卷(湖南卷)数学(理科)

2007年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）数学（理工农医类）参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．C 2．D 3．B 4．A 5．C 6．B 7．C 8．D 9．D 10．B 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在横线上． 11．22(1)(1)2x y -+-= 12．5π613．16-14．（1）[1)+∞，（2）9215．21n -，32三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．解：（I ）由题设知1π()[1cos(2)]26f x x =++．因为0x x =是函数()y f x =图象的一条对称轴，所以0π26x +πk =，即0 π2π6x k =-（k ∈Z ）．所以0011π()1sin 21sin(π)226g x x k =+=+-．当k 为偶数时，01π13()1sin 12644g x ⎛⎫=+-=-= ⎪⎝⎭，当k 为奇数时，01π15()1sin12644g x =+=+=．（II ）1π1()()()1cos 21sin 2262h x f x g x x x ⎡⎤⎛⎫=+=++++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦1π31313cos 2sin 2cos2sin 22622222x x x x ⎛⎫⎡⎤⎛⎫=+++=++ ⎪ ⎪⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦⎝⎭ 1π3sin 2232x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭．当πππ2π22π232k x k -++≤≤，即5ππππ1212k x k -+≤≤（k ∈Z ）时，1π3()sin 2232h x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭是增函数，故函数()h x 的单调递增区间是5ππππ1212k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，（k ∈Z ）． 17．解：任选1名下岗人员，记“该人参加过财会培训”为事件A ，“该人参加过计算机培训”为事件B ，由题设知，事件A 与B 相互独立，且()0.6P A =，()0.75P B =．（I ）解法一：任选1名下岗人员，该人没有参加过培训的概率是 1()()()0.40.250.1P P A B P A P B ===⨯=所以该人参加过培训的概率是21110.10.9P P =-=-=．解法二：任选1名下岗人员，该人只参加过一项培训的概率是 3()()0.60.250.40.750.45P P A B P A B =+=⨯+⨯=该人参加过两项培训的概率是4()0.60.750.45P P A B ==⨯= ．所以该人参加过培训的概率是5340.450.450.9P P P =+=+=．（II ）因为每个人的选择是相互独立的，所以3人中参加过培训的人数ξ服从二项分布(30.9)B ，，33()0.90.1kkkP k C ξ-==⨯⨯，0123k =，，，，即ξ的分布列是 ξ0 1 2 3 P0.0010.0270. 2430.729ξ的期望是10.02720.24330.729 2.7E ξ=⨯+⨯+⨯=．（或ξ的期望是30.9 2.7E ξ=⨯=）18．解：解法一：（Ｉ）因为平面1G AB ⊥平面A B C D ，平面1G AB 平面A B C D A B =，AD AB ⊥，AD ⊂平面A B C D ，所以A D ⊥平面1G A B ，又AD ⊂平面12G AD G ，所以平面1G A B ⊥平面12G AD G ．（II ）过点B 作1BH AG ⊥于点H ，连结2G H ．由（I ）的结论可知，BH ⊥平面12G AD G ，所以2BG H ∠是2B G 和平面12G AD G 所成的角．1G 2GDF CB A EOH1G AB ⊥平面A B C D ，平面1G AB 平面A B C D A B =，1G E AB ⊥，1G E ⊂平面1G A B ，所以1G E ⊥平面A B C D ，故1G E EF ⊥．因为12G G AD <，AD EF =，所以可在E F 上取一点O ，使12EO G G =，又因为12G G AD EO ∥∥，所以四边形12G EO G 是矩形．由题设12AB =，25B C =，8E G =，则17G F =．所以218G O G E ==，217G F =， 2217815OF =-=，1210G G EO ==．因为A D ⊥平面1G A B ，12G G AD ∥，所以12G G ⊥平面1G A B ，从而121G G G B ⊥．故222222221126810200BG BE EG G G =++=++=，2102BG =．又2216810AG =+=，由11BH AG G E AB = 得81248105B H ⨯==．故22481122sin 525102BH BG H BG ∠==⨯=．即直线2B G 与平面12G AD G 所成的角是122arcsin25．解法二：（I ）因为平面1G AB ⊥平面A B C D ，平面1G AB 平面A B C D A B =，1G E AB ⊥，1G E ⊂平面1G A B ，所以1G E ⊥平面A B C D ，从而1G E AD ⊥．又A B A D⊥，所以A D ⊥平面1G A B ．因为AD ⊂平面12G AD G ，所以平面1G A B ⊥平面12G AD G ．（II ）由（I ）可知，1G E ⊥平面A B C D ．故可以E 为原点，分别以直线1EB EF EG ，，为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系（如图），由题设12AB =，25B C =，8E G =，则6E B =，25E F =，18EG =，相关各点的坐标分别是(600)A -，，，(6250)D -，，，1(008)G ，，，(600)B ，，．所以(0250)AD =，，，1(608)AG = ，，．设()n x y z =，，是平面12G AD G 的一个法向量，1G2GDFCB A EOxyz100n A D n A G ⎧=⎪⎨=⎪⎩ ，.得250680y x z =⎧⎨+=⎩，故可取(403)n =- ，，．过点2G 作2G O ⊥平面A B C D 于点O ，因为22G C G D =，所以O C O D =，于是点O 在y 轴上．因为12G G AD ∥，所以12G G EF ∥，218G O G E ==．设2(08)G m ，，（025m <<），由222178(25)m =+-，解得10m =，所以2(0108)(600)(6108)BG =-=-，，，，，，．设2B G 和平面12G AD G 所成的角是θ，则2222222|2424|122sin 25610843BG nBG nθ--===+++．故直线2B G 与平面12G AD G 所成的角是122arcsin25．19．解：（I ）如图，P H α⊥，H B α⊂，PB AB ⊥，由三垂线定理逆定理知，AB H B ⊥，所以P B H ∠是山坡与α所成二面角的平面角，则P B H θ∠=，1sin P H P B θ==．设(km )BD x =，0 1.5x ≤≤．则 2221PD x PB x =+=+[12]∈，．记总造价为1()f x 万元，据题设有2211111()(1)(3)224f x P D A D A O a x x a =+++=-++21433416x a a ⎛⎫⎛⎫=-++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当14x =，即1(km )4B D =时，总造价1()f x 最小．（II ）设(km )AE y =，504y ≤≤，总造价为2()f y 万元，根据题设有222131()13224f y PD y y a ⎡⎤⎛⎫=++++-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦2433216y y a a ⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭． αAOE DBHP()22123yf y a y ⎛⎫'⎪=- ⎪+⎝⎭，由2()0f y '=，得1y =．当(01)y ∈，时，2()0f y '<，2()f y 在(01)，内是减函数；当514y ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，2()0f y '>，2()f y 在514⎛⎫⎪⎝⎭，内是增函数．故当1y =，即1A E =（km ）时总造价2()f y 最小，且最小总造价为6716a 万元．（III ）解法一：不存在这样的点D '，E '．事实上，在A B 上任取不同的两点D '，E '．为使总造价最小，E 显然不能位于D ' 与B 之间．故可设E '位于D '与A 之间，且BD '=1(km )x ，1(km )AE y '=，12302x y +≤≤，总造价为S 万元，则221111113224x y S x y a ⎛⎫=-++-+⎪⎝⎭．类似于（I ）、（II ）讨论知，2111216x x --≥，2113322y y +-≥，当且仅当114x =，11y =同时成立时，上述两个不等式等号同时成立，此时1(km )4B D '=，1(km )AE =，S 取得最小值6716a ，点D E ''，分别与点D E ，重合，所以不存在这样的点 D E ''，，使沿折线P D E O ''修建公路的总造价小于（II ）中得到的最小总造价．解法二：同解法一得221111113224x y S x y a ⎛⎫=-++-+⎪⎝⎭()()2221111111433334416x a y y y y a a ⎛⎫⎡⎤=-++-++++ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭22111114323(3)(3)416y y y y a a ⨯+-++⨯+≥6716a =．当且仅当114x =且2211113(3)(3)y y y y +-++，即11114x y ==，同时成立时，S 取得最小值6716a ，以上同解法一．20．解：由条件知1(20)F -，，2(20)F ，，设11()A x y ，，22()B x y ，．解法一：（I ）设()M x y ，，则则1(2)F M x y =+ ，，111(2)F A x y =+，， 1221(2)(20)F B x y F O =+= ，，，，由1111F M F A F B F O =++ 得1226x x x y y y +=++⎧⎨=+⎩，即12124x x x y y y +=-⎧⎨+=⎩，于是A B 的中点坐标为422x y -⎛⎫⎪⎝⎭，．当A B 不与x 轴垂直时，121224822yy y y x x x x -==----，即1212()8y y y x x x -=--．又因为A B ，两点在双曲线上，所以22112x y -=，22222x y -=，两式相减得12121212()()()()x x x x y y y y -+=-+，即1212()(4)()x x x y y y --=-．将1212()8y y y x x x -=--代入上式，化简得22(6)4x y --=．当A B 与x 轴垂直时，122x x ==，求得(80)M ，，也满足上述方程．所以点M 的轨迹方程是22(6)4x y --=．（II ）假设在x 轴上存在定点(0)C m ，，使C A C B 为常数．当A B 不与x 轴垂直时，设直线A B 的方程是(2)(1)y k x k =-≠±．代入222x y -=有2222(1)4(42)0k x k x k -+-+=．则12x x ，是上述方程的两个实根，所以212241kx x k +=-，2122421k x x k +=-，于是21212()()(2)(2)CA CB x m x m k x x =--+--22221212(1)(2)()4k x x k m x x k m =+-++++22222222(1)(42)4(2)411k k k k m k m k k +++=-++--222222(12)2442(12)11m k m m m m k k -+-=+=-++--．因为C A C B 是与k 无关的常数，所以440m -=，即1m =，此时C A C B=1-．当A B 与x 轴垂直时，点A B ，的坐标可分别设为(22)，，(22)-，，此时(12)(12)1C A C B =-=-，，．x 轴上存在定点(10)C ，，使C A C B为常数．解法二：（I ）同解法一的（I ）有12124x x x y y y+=-⎧⎨+=⎩，当A B 不与x 轴垂直时，设直线A B 的方程是(2)(1)y k x k =-≠±．代入222x y -=有2222(1)4(42)0k x k x k -+-+=．则12x x ，是上述方程的两个实根，所以212241kx x k +=-．21212244(4)411k ky y k x x k k k ⎛⎫+=+-=-= ⎪--⎝⎭．由①②③得22441kx k -=-．…………………………………………………④241k y k =-．……………………………………………………………………⑤当0k ≠时，0y ≠，由④⑤得，4x k y-=，将其代入⑤有2222444(4)(4)(4)1x y x yy x x yy-⨯-==----．整理得22(6)4x y --=．当0k =时，点M 的坐标为(40)，，满足上述方程．当A B 与x 轴垂直时，122x x ==，求得(80)M ，，也满足上述方程．故点M 的轨迹方程是22(6)4x y --=．（II ）假设在x 轴上存在定点点(0)C m ，，使C A C B为常数，当A B 不与x 轴垂直时，由（I ）有212241k x x k+=-，2122421k x x k +=-．以上同解法一的（II ）．21．解：（I ）当2n ≥时，由已知得22213n n n S S n a --=．因为10n n n a S S -=-≠，所以213n n S S n -+=． …… ①213(1)n n S S n ++=+． ……②由②－①得163n n a a n ++=+． …… ③ 于是2169n n a a n +++=+． …… ④ 由④－③得26n n a a +-=， …… ⑤ 所以2262n n nna a a n a nb eee b e++-+===，即数列2(2)n n b n b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭≥是常数数列．（II ）由①有2112S S +=，所以2122a a =-．由③有3215a a +=，4321a a +=，所以332a a =+，4182a a =-．而 ⑤表明：数列2{}k a 和21{}k a +分别是以2a ，3a 为首项，6为公差的等差数列，所以226(1)k a a k =+-，2136(1)k a a k +=+-，2246(1)()k a a k k +=+-∈N *，数列{}n a 是单调递增数列12a a ⇔<且22122k k k a a a ++<<对任意的k ∈N *成立．12a a ⇔<且2346(1)6(1)6(1)a k a k a k +-<+-<+- 1234a a a a ⇔<<<9151223218244a a a a a ⇔<-<+<-⇔<<．即所求a 的取值集合是91544M aa ⎧⎫=<<⎨⎬⎩⎭．（III ）解法一：弦1n n A A +的斜率为1111n na a n n n n nn nb b eek a a a a ++++--==--任取0x ，设函数0()x xe ef x x x -=-，则0020()()()()xxxe x x e ef x x x ---=-记00()()()x x x g x e x x e e =---，则00()()()x x x xg x e x x e e e x x '=-+-=-，当0x x >时，()0g x '>，()g x 在0()x +∞，上为增函数，当0x x <时，()0g x '<，()g x 在0()x -∞，上为减函数，所以0x x ≠时，0()()0g x g x >=，从而`()0f x '>，所以()f x 在0()x -∞，和0()x +∞，上都是增函数．由（II ）知，a M ∈时，数列{}n a 单调递增，0n x a =，因为12n n n a a a ++<<，所以11n na a n n neek a a ++-=-22n na a n neea a ++-<-．取02n x a +=，因为12n n n a a a ++<<，所以12112n n a a n n n eek a a +++++-=-22nn a a n n eea a ++->-．所以1n n k k +<，即弦1()n n A A n +∈N *的斜率随n 单调递增．解法二：设函数11()n a xn e ef x x a ++-=-，同解法一得，()f x 在1()n a +-∞，和1()n a ++∞，上都是增函数，所以111111lim nn n n n a a a xa n n an n n eee ek ea a x a +++-+++--=<=--→，211111211lim n n n n n a a a xa n n a n n n eee ek ea a x a ++++++++++--=>=--→．故1n n k k +<，即弦1()n n A A n +∈N *的斜率随n 单调递增．。

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2007年普通高等学校招生全国统一考试理科数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷1至2页．第Ⅱ卷3至4页．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷注意事项：1．答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码．请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目．2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效．3．本卷共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．参考公式：如果事件A B ，互斥，那么球的表面积公式()()()P A B P A P B +=+24πS R =如果事件A B ，相互独立，那么其中R 表示球的半径 ()()()P A B P A P B =球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么34π3V R =n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率其中R 表示球的半径()(1)(012)k k n k n n P k C p p k n -=-=，，，…，一、选择题（1）α是第四象限角，5tan 12α=-，则sin α=（） A ．15 B ．15- C ．513 D ．513-（2）设a 是实数，且1i1i 2a +++是实数，则a =（） A ．12 B ．1 C ．32D ．2（3）已知向量(56)=-，a ，(65)=，b ，则a 与b （） A ．垂直B ．不垂直也不平行C ．平行且同向D ．平行且反向（4）已知双曲线的离心率为2，焦点是(40)-，，(40)，，则双曲线方程为（） A ．221412x y -= B ．221124x y -= C ．221106x y -= D ．221610x y -=（5）设a b ∈R ，，集合{}10b a b a b a ⎧⎫+=⎨⎬⎩⎭，，，，，则b a -=（） A ．1B ．1-C ．2D ．2-（6）下面给出的四个点中，到直线10x y -+=的距离为2，且位于1010x y x y +-<⎧⎨-+>⎩，表示的平面区域内的点是（） A ．(11)，B ．(11)-，C ．(11)--，D ．(11)-，（7）如图，正四棱柱1111ABCD A B C D -中，12AA AB =，则异面直线1A B 与1AD 所成角的余弦值为（）A ．15B ．25C ．35D ．45（8）设1a >，函数()log a f x x =在区间[]2a a ，上的最大值与最小值之差为12，则a =（） AB ．2C．D ．4（9）()f x ，()g x 是定义在R 上的函数，()()()h x f x g x =+，则“()f x ，()g x 均为偶函数”是“()h x 为偶函数”的（） A ．充要条件 B ．充分而不必要的条件C ．必要而不充分的条件D ．既不充分也不必要的条件（10）21nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，常数项为15，则n =（）A ．3B ．4C ．5D ．6（11）抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l ，经过F的直线与抛物线在x 轴上方的部分相交于点A ，AK l ⊥，垂足为K ，则AKF △的面积是（） A ．4B．C．D ．8（12）函数22()cos 2cos 2xf x x =-的一个单调增区间是（） A ．233ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，B ．62ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，C ．03π⎛⎫ ⎪⎝⎭，D ．66ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭，第Ⅱ卷注意事项：AB1B1A1D 1C CD1．答题前，考生先在答题卡上用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，然后贴好条形码．请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目．2．第Ⅱ卷共2页，请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效．3．本卷共10题，共90分．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在横线上．（13）从班委会5名成员中选出3名，分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，其中甲、乙二人不能担任文娱委员，则不同的选法共有种．（用数字作答）（14）函数()y f x =的图像与函数3log (0)y x x =>的图像关于直线y x =对称，则()f x = ．（15）等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知1S ，22S ，33S 成等差数列，则{}n a 的公比为．（16）一个等腰直角三角形的三个顶点分别在正三棱柱的三条侧棱上．已知正三棱柱的底面边长为2，则该三角形的斜边长为．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．（17）（本小题满分10分）设锐角三角形ABC 的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，2sin a b A =．（Ⅰ）求B 的大小；（Ⅱ）求cos sin A C +的取值范围．（18）（本小题满分12分）某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的付款期数ξ的分布列为商场经销一件该商品，采用1期付款，其利润为200元；分2期或3期付款，其利润为250元；分4期或5期付款，其利润为300元．η表示经销一件该商品的利润．（Ⅰ）求事件A ：“购买该商品的3位顾客中，至少有1位采用1期付款”的概率()P A ；（Ⅱ）求η的分布列及期望E η．（19）（本小题满分12分）四棱锥S ABCD -中，底面ABCD为平行四边形，侧面SBC ⊥底面ABCD ．已知45ABC =∠，2AB =，BC =SA SB =（Ⅰ）证明SA BC ⊥；（Ⅱ）求直线SD 与平面SAB 所成角的大小．（20）（本小题满分12分）设函数()e e xxf x -=-．（Ⅰ）证明：()f x 的导数()2f x '≥；（Ⅱ）若对所有0x ≥都有()f x ax ≥，求a 的取值范围．（21）（本小题满分12分）已知椭圆22132x y +=的左、右焦点分别为1F ，2F ．过1F 的直线交椭圆于B D ，两点，过2F 的直线交椭圆于A C ，两点，且AC BD ⊥，垂足为P ．（Ⅰ）设P 点的坐标为00()x y ，，证明：2200132x y +<；（Ⅱ）求四边形ABCD 的面积的最小值．（22）（本小题满分12分）已知数列{}n a 中12a =，11)(2)n n a a +=+，123n =，，，…．（Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若数列{}n b 中12b =，13423n n n b b b ++=+，123n =，，，…，43n n b a -<≤，123n =，，，…．2007年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题（必修+选修Ⅱ）参考答案一、选择题：（1）D （2）B （3）A （4）A （5）C （6）C （7）D （8）D （9）B（10）D （11）C （12）A二、填空题：（13）36（14）3()xx ∈R（15）13（16）三、解答题：（17）解：（Ⅰ）由2sin a b A =，根据正弦定理得sin 2sin sin A B A =，所以1sin 2B =，由ABC △为锐角三角形得π6B =．（Ⅱ）cos sin cos sin A C A A π⎛⎫+=+π-- ⎪6⎝⎭cos sin 6A A π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭1cos cos 2A A A =++3A π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．由ABC △为锐角三角形知，22A B ππ->-，2263B ππππ-=-=． 2336A πππ<+<，所以1sin 232A π⎛⎫+<⎪⎝⎭．由此有232A π⎛⎫<+< ⎪⎝⎭所以，cos sin A C +的取值范围为32⎫⎪⎪⎝⎭，．（18）解：（Ⅰ）由A 表示事件“购买该商品的3位顾客中至少有1位采用1期付款”．知A 表示事件“购买该商品的3位顾客中无人采用1期付款”2()(10.4)0.216P A =-=，()1()10.2160.784P A P A =-=-=．（Ⅱ）η的可能取值为200元，250元，300元．(200)(1)0.4P P ηξ====，(250)(2)(3)0.20.20.4P P P ηξξ===+==+=，(300)1(200)(250)10.40.40.2P P P ηηη==-=-==--=．η的分布列为2000.42500.43000.2E η=⨯+⨯+⨯240=（元）．（19）解法一：（Ⅰ）作SO BC ⊥，垂足为O ，连结AO ，由侧面SBC ⊥底面ABCD ，得SO ⊥底面ABCD ．因为SA SB =，所以AO BO =，又45ABC =∠，故AOB △为等腰直角三角形，AO BO ⊥，由三垂线定理，得SA BC ⊥．（Ⅱ）由（Ⅰ）知SA BC ⊥，依题设ADBC ∥，故SA AD ⊥，由AD BC ==SA =AO =1SO =，SD =．SAB △的面积211122S AB SA ⎛=-= ⎝连结DB ，得DAB △的面积21sin13522S AB AD == 设D 到平面SAB 的距离为h ，由于D SAB S ABD V V --=，得121133h S SO S =，解得h =A设SD 与平面SAB 所成角为α，则sin h SD α===所以，直线SD 与平面SBC所成的我为arcsin11．解法二：（Ⅰ）作SO BC ⊥，垂足为O ，连结AO ，由侧面SBC ⊥底面ABCD ，得SO ⊥平面ABCD ．因为SA SB =，所以AO BO =．又45ABC =∠，AOB △为等腰直角三角形，AO OB ⊥．如图，以O 为坐标原点，OA 为x0)A ，，(0B ，(0C -，，(001)S ，，，(2，(0CB =，0SA CB =，所以SA BC ⊥．（Ⅱ）取AB 中点E ，022E ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，，连结SE ，取SE 中点G ，连结OG ，1442G ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，，． 12OG ⎫=⎪⎪⎝⎭，，1SE ⎫=⎪⎪⎝⎭，(AB =． 0SE OG =，0AB OG =，OG 与平面SAB 内两条相交直线SE ，AB 垂直．所以OG ⊥平面SAB ，OG 与DS 的夹角记为α，SD 与平面SAB 所成的角记为β，则α与β互余．D ，(DS =．22cos 11OG DS OG DSα==sin β=，所以，直线SD 与平面SAB 所成的角为arcsin 11．（20）解：（Ⅰ）()f x 的导数()e e xxf x -'=+．由于e e e 2x -x x x -+=≥，故()2f x '≥．（当且仅当0x =时，等号成立）．（Ⅱ）令()()g x f x ax =-，则()()e e x x g x f x a a -''=-=+-，（ⅰ）若2a ≤，当0x >时，()e e 20xxg x a a -'=+->-≥，故()g x 在(0)+，∞上为增函数，所以，0x ≥时，()(0)g x g ≥，即()f x ax ≥．（ⅱ）若2a >，方程()0g x '=的正根为1ln x =，此时，若1(0)x x ∈，，则()0g x '<，故()g x 在该区间为减函数．所以，1(0)x x ∈，时，()(0)0g x g <=，即()f x ax <，与题设()f x ax ≥相矛盾．综上，满足条件的a 的取值范围是(]2-∞，．（21）证明：（Ⅰ）椭圆的半焦距1c ==，由AC BD ⊥知点P 在以线段12F F 为直径的圆上，故22001x y +=，所以，222200021132222y x y x ++=<≤．（Ⅱ）（ⅰ）当BD 的斜率k 存在且0k ≠时，BD 的方程为(1)y k x =+，代入椭圆方程22132x y +=，并化简得2222(32)6360k x k x k +++-=．设11()B x y ，，22()D x y ，，则2122632k x x k +=-+，21223632k x x k -=+22212221221)(1)()432k BD x x k x x x x k +⎡=-=++-=⎣+；因为AC 与BC 相交于点P ，且AC 的斜率为1k-，所以，2211132k AC k⎫+⎪⎝⎭==⨯+ 四边形ABCD 的面积222222222124(1)(1)962(32)(23)25(32)(23)2k k S BD AC k k k k +24+===++⎡⎤+++⎢⎥⎣⎦≥．当21k =时，上式取等号．（ⅱ）当BD 的斜率0k =或斜率不存在时，四边形ABCD 的面积4S =．综上，四边形ABCD 的面积的最小值为9625．（22）解：（Ⅰ）由题设：11)(2)n n a a +=+1)(1)(2n a =+1)(n a =11)(n n a a+=．所以，数列{n a 是首项为21的等比数列，1)n n a ，即n a的通项公式为1)1nn a ⎤=+⎦，123n =，，，…．（Ⅱ）用数学归纳法证明．（ⅰ）当1n =2<，112b a ==，所以11b a <≤，结论成立．（ⅱ）假设当n k =43k k b a -<≤，也即430k k b a -<．当1n k =+时，13423k k k b b b ++-=+(3(423k k b b -+-=+(3023k k b b -=>+，又1323k b <=-+所以1(323k k k b b b +-=+2(3(k b <-4431)(k a -≤41k a +=也就是说，当1n k =+时，结论成立．43n n b a -<≤，123n =，，，…．。