冯伟森_栾新成_离散数学_机械工业出版社 教程课间 精品课程系列 教材离散数学(第23讲)

，每个接线板看成是其它的分枝点，灯泡看成 是叶，则问题就是求总的分枝点的数目。由定 理11.5可以算得i = （28 -1）/3 = 9，因此 ，至少需要9块接线板才能达到目的。
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例11.6
假设有一台计算机，它有一条加法指令，可
计算3个数的和。如果要求9个数x1,x2,x3,x4,x5,
1.0
0.5
图4
1.9
Fra Baidu bibliotek1.4 0.8 0.4 0.1
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1.0 0.6 0.5
0.9
0.5
0.4
图5
0.3
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3.3 1.9 1.4 0.8 0.4 0.1 0.3 0.4 0.6 0.5 1.0 0.9
0.5
图6
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习题十一 14、15、16、18、19、21
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例11.9
给定一组权0.1，0.3，0.4，0.5，0.5， 0.6，0.9，求对应的最优二叉树。
1.0
0.8
0.8 0.5 0.5
0.4 0.1
图1
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0.4
0.4 0.3
0.4 0.1 0.3
0.4
0.3
0.1
图2
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图3
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1.4 0.8 0.4 0.1 0.3 0.4 0.6 0.5
(a)
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(b)
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把有序树转换为二叉树
1) 从根开始，保留每个父亲同其最左边儿子的 连线，撤销与别的儿子的连线。 2) 兄弟间用从左向右的有向边连接。 3) 按如下方法确定二叉树中结点的左儿子和右 儿子：直接位于给定结点下面的结点，作为 左儿子，对于同一水平线上与给定结点右邻 的结点，作为右儿子，依此类推。
把v改成带权为w1+w2的叶之后的树记为T1，则T1
是带权为w1+w2，w3, …,wt的最优二叉树。
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Huffman算法
给定实数w1,w2, …,wt，且w1≤w2≤…≤wt。 ① 连接权为w1,w2的两片树叶，得一个分支点，其 权为w1+w2； ② 在w1+w2 ，w3, …,wt 中选出两个最小的权，连 接它们对应的顶点（不一定是树叶），得新分 枝点及所带的权； ③ 重复②，直到形成t-1个分支点，t片树叶为止。
v4
v8 v11
8
(c)
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距离、层数、高
v1 v2 v5 v6 v10 v3 v4 v7 v8 v9 v11 (a) v12 v13 v2 v5 v6 v10 v1 v3 v4 v7 v8 v9 v11 (b) v12 v13
定义11.6 在根树中，从树根到任一结点v的道路 长度，称为根到该结点的距离（也称为结点的层 数）；称层数相同的结点在同一层上；所有结点 的层数中最大的称为根树的高。
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定理11.6 若完全二叉树有i个分支点，且各 分支点的道路长度之和为L，各树叶的道路长度 之和为J， 则 J＝L+2×i。
证明：对分支点数目i进行归纳。 当i = 1时，L = 0，J = 2，故J = L + 2i成立。 假设i = k时定理结论成立。
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反过来，我们也可以将二叉树还原为有序树。
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例11.7
将下图a转化为一棵二叉树。
v1 v2 v5 v6 v9 v4 v8 v11 v2 v5 v6 v9 v1 v4 v8 v11 v9 v2
v1
v3
v7 v10 (a)
v3
v7 v10 (b)
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v3
v5 v6 v7 v10
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当i=k+1时，设在完全二叉树T中，v是一个 道路长度为l的分枝点且其两个儿子v1 和v2 都是 叶，则T–{v1,v2}是含k个分枝点的完全二叉树 T’。 由归纳假设J’=L’+2k， 比较T和T’=T–{v1,v2}，可得 J = J’+ 2（I + 1）-l = J’+l+2， L= L’+l，于是 J = L’+ 2k +l+2 =L+2（k + 1）， 即J = L+ 2i。
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这个定理实质上可以用每局有m个选手参 加的单淘汰制比赛来说明。t个叶表示t个参赛 的选手，i则表示必须安排的总的比赛局数． 每一局由m个参赛者中产生一个优胜者，最后 决出一个冠军。
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例11.5
设有28盏电灯，拟公用一个电源插座，问 需要多少块具有四插座的接线板? 解: 这个公用插座可以看成是正则四叉树的根
x6,x7,x8,x9之和，问至少要执行几次加法指令？
解 用3个结点表示3个数，将表示3个数之和的 x8 x9 结点作为它们的父结点。这样本问题可理解为 x6 x7 求一个完全三叉树的分支点问题。把9个数看 x4 x5 成树叶。由定理11.5知，有(3-1)i = 9-1，得 x 1i x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 x 9 x1 x2 x3 = 4。所以至少要执行4次加法指令。
i 1 t
使W(T)取最小值的T，这个T称为带权 w1，w2, …,wt 的最优二叉树。
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Huffman定理（11.7）
在带权为w1≤w2≤…≤wt的最优二叉树中,必有T
满足:
① 权为w1,w2的两片树叶v1,v2是兄弟；
② 设v1,v2的父亲是v，如果从T中删去v1，v2 ，并
冯伟森
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2013年7月4日星期四
主要内容 1.完全二叉树 2.Huffman算法
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定理11.5
若T是完全m叉树，其树叶数为t，分支点数为 i，则下式成立： （m-1）×i＝t-1 证明 由假设知，该树有i+t个结点。 由定理11.1知，该树的边数为i+t-1。 因为所有结点的出度之和等于边数（握手定 理），所以根据完全的m叉树的定义知，有 m×i＝i+t-1 即 （m-1）×i＝t-1
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例11.8
1 2 3 4 4 3 2 2
1
2
i=5，L=7，J=17
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最优二叉树
定义：设T是有t个叶的二叉树，各叶分别带权 w1，w2, …,wt，各叶的道路长度分别为 l1，l2，…，lt，定义T的权为 W (T ) l i w i 。