冯伟森_栾新成_离散数学_机械工业出版社 教程课间 精品课程系列 教材离散数学(第23讲)
离散数学 经典教材
离散数学是计算机科学中的一门核心课程，它涉及到数学中的许多概念和方法。
以下是一些离散数学的经典教材：
1.《离散数学》（作者：Kozen）
这是一本非常经典的离散数学教材，涵盖了离散数学中的许多基本概念和方法，包括集合论、图论、数理逻辑、组合数学等。
这本书的内容非常丰富，而且语言通俗易懂，是学习离散数学的好教材。
2.《离散数学及其应用》（作者：Rosen）
这是一本非常经典的离散数学教材，涵盖了离散数学中的许多基本概念和方法，包括集合论、图论、数理逻辑、组合数学等。
这本书的内容非常详细，而且有很多例子和练习题，可以帮助读者更好地掌握离散数学的知识。
3.《离散数学教程》（作者：Kleitman）
这是一本非常经典的离散数学教材，涵盖了离散数学中的许多基本概念和方法，包括集合论、图论、数理逻辑、组合数学等。
这本书的内容非常详细，而且有很多例子和练习题，可以帮助读者更好地掌握离散数学的知识。
4.《离散数学精讲》（作者：Sipser）
这是一本非常经典的离散数学教材，涵盖了离散数学中的许多基本概念和方法，包括集合论、图论、数理逻辑、组合数学等。
这本书的内容非常详细，而且有很多例子和练习题，可以帮助读者更好地掌握离散数学的知识。
以上是一些离散数学的经典教材，每本书都有其独特的风格和特点，读者可以根据自己的需求和兴趣选择适合自己的教材。
《离散数学》,屈婉玲、耿素云-KefeiChen陈克非
离散数学课程介绍
• 研究对象：离散量（自然数、真假值、字母 表等）
• 研究内容：离散量的结构与关系（数理逻
辑、集合论、图论、代数系统、组合计数、初 等数论、离散概率、有限自动机、图灵机等）
• 预修课程：线性代数（高等代数） • 后继课程：数据结构、数据库等
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教材与参考书
• 教材：《离散数学》,屈婉玲、耿素云、张立昂 编,清华大学出版社, 2013年第三版；
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包含与相等
包含(子集) A B x (xA xB) 不包含 A ⊈ B x (xA xB) 相等 A=BABBA 不相等 ABA⊈BB⊈A 真包含(真子集) A B A B A B 例如, A={1,2,3}, B={ x | xR|x|1 }, C={ x | xRx2=1 }, D={-1,1}, C B, C B, C ⊈ A, A ⊈ B, B ⊈ A, C = D 性质 (1) A A (2) A B B C A C
离 散 数 学
Discrete Mathematics
陈克非 杭州师范大学理学院 kfchen@
https:///s/1mXVWVKfYtUnjaiZUhmNulQ
为什么要离散数学
不离散化就无法 跟上时代步伐
• 工业革命时代以微积分为代表的连续数学占主流的地 位已经发生了变化 • 信息时代离散数学的重要性逐渐被人们认识。离散数 学的思想和方法，广泛地体现在计算机科学技术及相 关专业的诸领域
3
四色问题
计算机的作用不仅 仅是计算，还有逻 辑推演、决策、AI
• 离散数学也可以说是计算机科学的基础核心学科 • 离散数学中的有一个著名的典型例子-四色定理又称四 色猜想，这是世界近代三大数学难题之一，它是在 1852年，由英国的一名绘图员弗南西斯· 格思里提出的
离散数学课程标准
《离散数学》课程标准英文名称：Discrete Mathematics 适用专业：数学与应用数学学分数：4一、课程性质《离散数学》是研究离散量的结构及其相互关系的应用数学学科，是随着计算机科学的发展而逐步建立的，它形成于七十年代初期，是一门新兴的工具性学科。
《离散数学》是应用数学专业以及计算机专业的一门重要专业必修课。
二、课程理念1、课程所属学科分析离散与连续是现实世界中物质运动的对立统一的两个方面，离散数学与连续数学是描述、刻画和表达现实世界物质运动的两个重要工具。
计算机的高速发展与广泛应用，促进了信息数字化、符号化和离散化。
从目前的发展趋势来看，离散数学在现代应用科学中的作用已经超过了连续数学。
离散数学已成为计算机科学与技术的重要理论基础之一，在计算机科学与技术等领域有着广泛的应用。
2、课程授课对象分析离散数学课程是应计算机科学和技术发展的需要，综合了高等数学的多个分支而形成的。
其特点是以离散量为研究对象，内容丰富，涉及面较宽。
因此概念多、定理多、推理多，但它研究的内容均比较基础，难度不大。
本课程面对的是计算机科学与技术专业一年级的学生，。
通过本课程的学习，培养学生的抽象思维和严密的逻辑推理能力，为进一步学习专业课打好基础，并为学生今后处理离散信息，提高专业理论水平，从事计算机的实际工作提供必备的数学工具。
3、课程内容选择分析本课程研究离散型的量的结构及其相互间的关系，因而特别体现了计算机科学的离散性这一重要特征。
其内容极为广泛，不同的教材或专著在选材上通常会有较大的差异。
但都至少包含了以下四个方面内容：数理逻辑、集合论、代数系统、图论。
作为一门数学课，《离散数学》特别能体现数学的三大特性——严密的逻辑性、高度的抽象性以及广泛的应用性。
4、课程学习要求的分析在本课程的教学过程中，要坚持学生为主体、教师为主导、以人为本的教学理念，将研究性学习运用于教学中，课堂讲授、课堂讨论、课外扩展学习相结合，鼓励创新，充分体现素质教育、个性化教育等现代教育思想和观念，构建以学习者为中心，以学生实践性的自主活动为基础的动态、开放的教学过程。
四川大学离散数学（冯伟森版）课后习题答案习题参考解答（图论部分）
四川大学离散数学（冯伟森版）课后习题答案习题参考解答（图论部分）习题十1. 设G 是一个(n ，m)简单图。
证明：，等号成立当且仅当G 是完全图。
证明：（1）先证结论：因为G 是简单图，所以G 的结点度上限max(d(v)) ≤ n-1, G 图的总点度上限为max(Σ(d(v)) ≤ n ﹒max(d(v)) ≤ n(n-1) 。
根据握手定理，G 图边的上限为max(m) ≤ n(n-1)/2,所以。
（2） =〉G 是完全图因为G 具有上限边数，假设有结点的点度小于n-1,那么G 的总度数就小于上限值，边数就小于上限值，与条件矛盾。
所以，G 的每个结点的点度都为n-1，G 为完全图。
G 是完全图 =〉因为G 是完全图，所以每个结点的点度为n-1, 总度数为n(n-1)，根据握手定理，图G 的边数。
■2. 设G 是一个（n ，n +1）的无向图，证明G 中存在顶点u ，d （u ）≥3。
证明：反证法，假设,则G 的总点度上限为max(Σ(d(u)) ≤2 n ，根据握手定理，图边的上限为max(m) ≤ 2n/2=n 。
与题设m = n+1，矛盾。
因此，G 中存在顶点u ，d （u ）≥3。
■3．确定下面的序列中哪些是图的序列，若是图的序列，画出一个对应的图来: （1）（3，2，0，1，5）；（2）（6，3，3，2，2）（3）（4，4，2，2，4）；（4）（7，6，8，3，9，5）解：除序列（1）不是图序列外，其余的都是图序列。
因为在（1）中，总和为奇数，不满足图总度数为偶数的握手定理。
可以按如下方法构造满足要求的图：序列中每个数字ai 对应一个点，如果序列数字是偶数，那么就在对应的点上画ai/2个环，如果序列是奇数，那么在对应的点上画(ai-1)/2个环。
最后，将奇数序列对应的点两两一组，添加连线即可。
下面以（2）为例说明：(6 , 3, 3, 2, 2 ) 对应图G 的点集合V= { v 1,v 2,v 3,v 4,v 5}每个结点对应的环数(6/2, (3-1)/2, (3-1)/2, 2/2,2/2) = (3,1,1,1,1) v 1v 5v 3v 4v 2将奇数3，3 对应的结点v 2,v 3一组，画一条连线其他序列可以类式作图，当然大家也可以画图其它不同的图形。
离散数学的ppt课件
科学中的许多问题。
03
例如，利用图论中的最短路径算法和最小生成树算法
等，可以优化网络通信和数据存储等问题。
运筹学中的应用
01
运筹学是一门应用数学学科， 主要研究如何在有限资源下做 出最优决策，离散数学在运筹 学中有着广泛的应用。
02
利用离散数学中的线性规划、 整数规划和非线性规划等理论 ，可以解决运筹学中的许多问 题。
并集是将两个集合中的所有元素合 并在一起，形成一个新的集合。
详细描述
例如，{1, 2, 3}和{2, 3, 4}的并集是 {1, 2, 3, 4}。
总结词
补集是取一个集合中除了某个子集 以外的所有元素组成的集合。
详细描述
例如，对于集合{1, 2, 3}，{1, 2}的 补集是{3}。
集合的基数
总结词
）的数学分支。
离散数学的学科特点
03
离散数学主要研究对象的结构、性质和关系，强调推
理和证明的方法。
离散数学的应用领域
计算机科学
01
离散数学是计重要的工具和方法。
通信工程
02
离散数学在通信工程中广泛应用于编码理论、密码学、信道容
量估计等领域。
集合的基数是指集合中元素的数量。
详细描述
例如，集合{1, 2, 3}的基数是3，即它包含三个元素。
03 图论
图的基本概念
顶点
图中的点称为顶点或节点。
边
连接两个顶点的线段称为边。
无向图
边没有方向，即连接两个顶点的线段可以是双向 的。
有向图
边有方向，即连接两个顶点的线段只能是从一个顶 点指向另一个顶点。
研究模态算子（如necessity、possibility）的语义和语法。
离散数学(修订版)-耿素云
谓词表示法: 用谓词来概括集合中元素的属性. 例如:B = { x | x R 且 x2 - 1 = 0 } 集合B表示方程x2 - 1 = 0的实数解集.
图示法:用一个圆来表示, 圆中的点表示集合中的元素. 许多集合可用两种方法来表示, 如: B = { -1, 1 }. 有些集合不能用列元素法表示, 如: 实数集合, 不能列举出
6.2 集合的运算
中山大学计算机科学系
18
集合的基本运算有并(Union), 交(Intersection)和相对
补(Relative Complement).
定义6.7 设A和B为集合, A与B的并集A∪B, 交集A∩B, B对A
的相对补集A-B分别定义如下:
A∪B = { x | x A∨x B }
常用的集合名称:
N: 自然数集合(本课程中认为0也是自然数)
Z: 整数集合
Q: 有理数集合
R: 实数集合
C: 复数集合
6.1 集合的基本概念
中山大学计算机科学系
10
集合有三种表示方法:列元素法、谓词表示法和图示法.
列元素法:列出集合中的所有元素, 各元素之间用逗号隔开, 并 把它们用花括号括起来.
《离散数学》(修订版) 耿素云、屈婉玲, 高等教育出版社, 2004年
教学参考书
《离散数学》
王兵山、王长英、周贤林、何自强编, 国防科技大学出版社, 1985年
《离散数学》
檀凤琴、何自强编著, 科学出版社, 1999年
《离散数学》
孙吉贵、杨凤杰、欧阳丹彤和李占山, 高等教育出版社, 2002年
《离散数学》
离散数学概述
数理逻辑简介
前提
推理（规则）
结论
集合论(set theroy)概述
20世纪数学中最为深刻的活动, 是关于数学基础的探讨。这 不仅涉及到数学的本性, 也涉及到演绎数学的正确性。数学 中若干悖论的发现, 引发了数学史上的第三次危机, 这种悖论 在集合论中尤为突出。
集合论最初是一门研究数学基础的学科, 它从一个比“数” 更简单的概念----集合出发, 定义数及其运算, 进而发展到整 个数学领域, 在这方面它取得了极大的成功。
达） 软件工程—团队开发—时间和分工的优化（图论—网络、划
分） (各种)算法的构造、正确性的证明和效率的评估（离散数学
的各分支）
目的和任务
由于离散数学的重要地位, 因此通过本课程的教学, 使计算机及应用专业的学生能够掌握数理逻辑、 集合论、近世代数与图论的基本概念、基本定理、 基本方法, 并且培养学生具有一定的抽象思维能力 和逻辑推理能力。同时为计算机及应用专业的其 它重要后续课程（如数据结构、操作系统、编译 原理等课程）奠定比较坚实的基础。
用数学方法来研究推理的规律称为数理逻辑。这里所指的数 学方法, 就是引进一套符号体系的方法, 在其中表达和研究推 理的规律。
数理逻辑简介
通常认为数理逻辑是由莱布尼兹(Leibniz)创立的。 数理逻辑的内容包括:
证明论、模型论、递归论、公理化集合论。 数理逻辑的应用 在形式语义学、程序设计方法学和软件工程领域。 在逻辑程序设计方面。 在数据库理论方面。 在程序自动生成、自动转换等的理论和技术研究中。 在形式语言理论、自动机理论、可计算理论、计算
图论
图论是离散数学的重要组成部分, 是近代应用数学的重要分支。
1736年是图论历史元年, 因为在这一年瑞士数学家欧拉(Euler) 发表了图论的首篇论文——《哥尼斯堡七桥问题无解》, 所以 人们普遍认为欧拉是图论的创始人。
冯伟森_栾新成_离散数学_机械工业出版社 教程课间 精品课程系列 教材(第39讲总复习二)剖析
i
L ( k 2)nk 2 ( i k 2)
k 2
2018/10/15 计算机学院 15
i
例4
用克鲁斯克尔算法求下图（a）中赋权图 的最小生成树。
4 1 v4
v1 v v4 v 1 v v v v 1 v 1 v 4 v 4 1 1 4 4 3 2 2 1 1 3 2 31 3 2 3 1 3 2 2 v8 v 1 v5 v5 2 1 v5 v1 8v v8 v8 v 5 v v5 5v5v5 v 5 6 12 11 8 8v8 8 5 6 6 v6 5 v7 5 5 6 v v 6 v6 v7 8v7v7 7 8 7 9 98 v2 10 v3 v2 (d) (f) v v3 v3 (e) (a) (b) (c) (h) 3 (g)
v2
v1
0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
该图的邻接和可达性矩阵为
0 0 P 0 0 0
v3
v4
v5
采用Warshall 算法来求可达性 矩阵P
2018/10/15计算机学院 Nhomakorabea13
0 0 PT = 1 1 1
4
G2中长度为2的通路（含回路）总数为11，其中5条为回路。 G2中长度为3的通路（含回路）总数为16，其中3条为回路。
2018/10/15 计算机学院 12
例2
利用可达性矩阵求右图的 所有强分图。 解
0 0 A = 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0
2018/10/15
计算机学院
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二、基本要求
四川大学离散数学教学大纲[2011软件]
![四川大学离散数学教学大纲[2011软件]](https://img.taocdn.com/s3/m/fcaf3f32c5da50e2534d7f20.png)
袁崇义 屈婉玲 等译 机械工业出版社（2007.6）
2、《离散数学（修订版）》耿素云、屈婉玲高等教育出版社（2004．4）
3、《离散数学学习指导与习题解析》耿素云、屈婉玲
高等教育出版社2005．3
3、由于离散数学作为一门数学课程，习题训练是个重要环节，但由于该书的部分习题较难，请大家在布置习题时注意；
4、由于学生普遍反映对习题不知道怎样下手，因此在主要章节讲授完成后，我们安排了一次习题课（共计有7次），大家可利用此时间对前面的主要内容进行总结，同时向学生讲解一些典型例题和习题以指导学生；
5、实验：可在数理逻辑、关系、图论及布尔代数部分各布置一次实验；
1.欧拉图及其应用。
2.哈密顿图及其应用。
第14章 代数系统（2个学时）
1.二元运算及其性质。
2.代数系统。
第15章 半群与群（2个学时）
1. 几个典型代数系统。
2. 同态与同构。
第17章格与布尔代数（8个学时）
1．格的定义及性质、子格与格同态。
2．分配格、有补格、Demorgan律。
3．布尔代数。
第1章命题逻辑（12个学时）
1．命题、真值、逻辑联结词、合适公式及真值表、重言式、矛盾式、可满足公式。
2．命题公式的等价、基本等价式、等价的性质、对偶式、联结词的完备集、命题公式的范式构造。
3．命题公式的蕴含、基本蕴含式、蕴含的性质。
4．命题逻辑的推理方法、规则、过程、消解原理的应用。
第2章一阶谓词逻辑（8个学时）
2.图的道路、回路、连通性问题、连通度定理。
3.图的邻接矩阵、关联矩阵、回路矩阵问题。
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计算机学院
7
例11.7
将下图a转化为一棵二叉树。
v1 v2 v5 v6 v9 v4 v8 v11 v2 v5 v6 v9 v1 v4 v8 v11 v9 v2
v1
v3
v7 v10 (a)
v3
v7 v10 (b)
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v3
v5 v6 v7 v10
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计算机学院
19
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计算机学院
15
例11.9
给定一组权0.1，0.3，0.4，0.5，0.5， 0.6，0.9，求对应的最优二叉树。
1.0
0.8
0.8 0.5 0.5
0.4 0.1
图1
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0.4
0.4 0.3
0.4 0.1 0.3
0.4
0.3
0.1
图2
计算机学院
图3
16
1.4 0.8 0.4 0.1 0.3 0.4 0.6 0.5
2013-7-4 计算机学院 9
定理11.6 若完全二叉树有i个分支点，且各 分支点的道路长度之和为L，各树叶的道路长度 之和为J， 则 J＝L+2×i。
证明：对分支点数目i进行归纳。 当i = 1时，L = 0，J = 2，故J = L + 2i成立。 假设i = k时定理结论成立。
2013-7-4
x6,x7,x8,x9之和，问至少要执行几次加法指令？
解 用3个结点表示3个数，将表示3个数之和的 x8 x9 结点作为它们的父结点。这样本问题可理解为 x6 x7 求一个完全三叉树的分支点问题。把9个数看 x4 x5 成树叶。由定理11.5知，有(3-1)i = 9-1，得 x 1i x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 x 9 x1 x2 x3 = 4。所以至少要执行4次加法指令。
冯伟森
Email：fws365@
2013年7月4日星期四
主要内容 1.完全二叉树 2.Huffman算法
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2
定理11.5
若T是完全m叉树，其树叶数为t，分支点数为 i，则下式成立： （m-1）×i＝t-1 证明 由假设知，该树有i+t个结点。 由定理11.1知，该树的边数为i+t-1。 因为所有结点的出度之和等于边数（握手定 理），所以根据完全的m叉树的定义知，有 m×i＝i+t-1 即 （m-1）×i＝t-1
，每个接线板看成是其它的分枝点，灯泡看成 是叶，则问题就是求总的分枝点的数目。由定 理11.5可以算得i = （28 -1）/3 = 9，因此 ，至少需要9块接线板才能达到目的。
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5
例11.6
假设有一台计算机，它有一条加法指令，可
计算3个数的和。如果要求9个数x1,x2,x3,x4,x5,
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10
当i=k+1时，设在完全二叉树T中，v是一个 道路长度为l的分枝点且其两个儿子v1 和v2 都是 叶，则T–{v1,v2}是含k个分枝点的完全二叉树 T’。 由归纳假设J’=L’+2k， 比较T和T’=T–{v1,v2}，可得 J = J’+ 2（I + 1）-l = J’+l+2， L= L’+l，于是 J = L’+ 2k +l+2 =L+2（k + 1）， 即J = L+ 2i。
i 1 t
使W(T)取最小值的T，这个T称为带权 w1，w2, …,wt 的最优二叉树。
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Huffman定理（11.7）
在带权为w1≤w2≤…≤wt的最优二叉树中,必有T
满足:
① 权为w1,w2的两片树叶v1,v2是兄弟；
② 设v1,v2的父亲是v，如果从T中删去v1，v2 ，并
把v改成带权为w1+w2的叶之后的树记为T1，则T1
是带权为w1+w2，w3, …,wt的最优二叉树。
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计算机学院
14
Huffman算法
给定实数w1,w2, …,wt，且w1≤w2≤…≤wt。 ① 连接权为w1,w2的两片树叶，得一个分支点，其 权为w1+w2； ② 在w1+w2 ，w3, …,wt 中选出两个最小的权，连 接它们对应的顶点（不一定是树叶），得新分 枝点及所带的权； ③ 重复②，直到形成t-1个分支点，t片树叶为止。
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例11.8
1 2 3 4 4 3 2 2
1
2
i=5，L=7，J=17
2013-7-4
计算机学院
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Байду номын сангаас
最优二叉树
定义：设T是有t个叶的二叉树，各叶分别带权 w1，w2, …,wt，各叶的道路长度分别为 l1，l2，…，lt，定义T的权为 W (T ) l i w i 。
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这个定理实质上可以用每局有m个选手参 加的单淘汰制比赛来说明。t个叶表示t个参赛 的选手，i则表示必须安排的总的比赛局数． 每一局由m个参赛者中产生一个优胜者，最后 决出一个冠军。
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计算机学院
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例11.5
设有28盏电灯，拟公用一个电源插座，问 需要多少块具有四插座的接线板? 解: 这个公用插座可以看成是正则四叉树的根
v4
v8 v11
8
(c)
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距离、层数、高
v1 v2 v5 v6 v10 v3 v4 v7 v8 v9 v11 (a) v12 v13 v2 v5 v6 v10 v1 v3 v4 v7 v8 v9 v11 (b) v12 v13
定义11.6 在根树中，从树根到任一结点v的道路 长度，称为根到该结点的距离（也称为结点的层 数）；称层数相同的结点在同一层上；所有结点 的层数中最大的称为根树的高。
1.0
0.5
图4
1.9
1.4 0.8 0.4 0.1
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1.0 0.6 0.5
0.9
0.5
0.4
图5
0.3
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3.3 1.9 1.4 0.8 0.4 0.1 0.3 0.4 0.6 0.5 1.0 0.9
0.5
图6
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习题十一 14、15、16、18、19、21
(a)
2013-7-4 计算机学院
(b)
6
把有序树转换为二叉树
1) 从根开始，保留每个父亲同其最左边儿子的 连线，撤销与别的儿子的连线。 2) 兄弟间用从左向右的有向边连接。 3) 按如下方法确定二叉树中结点的左儿子和右 儿子：直接位于给定结点下面的结点，作为 左儿子，对于同一水平线上与给定结点右邻 的结点，作为右儿子，依此类推。