(优选)数学建模方法及其应用中的随机模型讲解部分随机模型
随机数学建模方法及其应用
随机数学建模方法及其应用学院：数学与计算机科学学院班级：2012级数学与应用数学班姓名：马从从学号：P121713346回归分析法概述回归分析法是通过研究两个或两个以上变量之间的相关关系，运用数理统计方法从事物的抑制状况预测未来的一种信息研究定量方法。
优点：首先它利用降维技术用少数几个综合变量来代替原始多个变量，综合变量集中了原始变量的大部分信息。
其次它通过计算综合主成分函数得分，对客观经济现象进行科学评价。
再次它在应用上侧重于信息贡献影响力综合评价。
缺点：是当主成分的因子负荷的符号有正有负时，综合评价函数意义就不明确。
命名清晰性低。
案例分析以某医院的病例调查为例，对多元线性回归的显着性判断进行说明。
某医院为了解病人对医院工作的满意程度、病人的年龄、病情的严重程度、病人的忧虑程度之间的关系随机调查该医院的10位病人，可得到如下表格。
年龄病情程度忧虑程度满意度50 51 2.3 4836 46 2.3 5740 48 2.2 6641 44 1.8 7028 43 1.8 8949 54 2.9 3642 50 2.2 4645 48 2.4 5452 62 2.9 2629 50 2.1 77步骤：1、将数据导入spss2、打开分析--回归--- 线性3、依次打开界面的每个选项进行对应选择。
可得到以下结果。
模型汇总b模型R R 方调整R 方标准估计的误差1 .960a.922 .883 6.528a. 预测变量: (常量), 忧虑程度, 年龄, 病情程度。
b. 因变量: 满意度Anova b模型平方和df 均方 F Sig.1 回归3031.208 3 1010.403 23.710 .001a残差255.692 6 42.615总计3286.900 9a. 预测变量: (常量), 忧虑程度, 年龄, 病情程度。
b. 因变量: 满意度系数a模型 非标准化系数标准系数B 标准 误差试用版t Sig.1(常量)175.52521.3358.227.000年龄 -1.171 .389 -.509 -3.015 .024 病情程度 -.512 .799 -.146 -.641 .545 忧虑程度-19.64512.361-.389-1.589.163a. 因变量: 满意度由上表可以得出：321645.195117.01713.15249.175x x x y ---=聚类分析法概述聚类分析法是将个体（样品）或者对象（变量）按相似程度（距离远近）划分类别，使得同一类中的元素之间的相似性比其他类的元素的相似性更强。
关于数学建模方面的知识
关于数学建模⽅⾯的知识关于数学建模⽅⾯的知识⼀、数学模型的定义现在数学模型还没有⼀个统⼀的准确的定义，因为站在不同的⾓度可以有不同的定义.不过我们可以给出如下定义：“数学模型是关于部分现实世界和为⼀种特殊⽬的⽽作的⼀个抽象的、简化的结构.”具体来说，数学模型就是为了某种⽬的，⽤字母、数学及其它数学符号建⽴起来的等式或不等式以及图表、图象、框图等描述客观事物的特征及其内在联系的数学结构表达式.⼀般来说数学建模过程可⽤如下框图来表明：数学是在实际应⽤的需求中产⽣的，要解决实际问题就必需建⽴数学模型，从此意义上讲数学建模和数学⼀样有古⽼历史.例如，欧⼏⾥德⼏何就是⼀个古⽼的数学模型，⽜顿万有引⼒定律也是数学建模的⼀个光辉典范.今天，数学以空前的⼴度和深度向其它科学技术领域渗透，过去很少应⽤数学的领域现在迅速⾛向定量化，数量化，需建⽴⼤量的数学模型.特别是新技术、新⼯艺蓬勃兴起，计算机的普及和⼴泛应⽤，数学在许多⾼新技术上起着⼗分关键的作⽤.因此数学建模被时代赋予更为重要的意义.⼆、建⽴数学模型的⽅法和步骤1. 模型准备要了解问题的实际背景，明确建模⽬的，搜集必需的各种信息，尽量弄清对象的特征.2. 模型假设根据对象的特征和建模⽬的，对问题进⾏必要的、合理的简化，⽤精确的语⾔作出假设，是建模⾄关重要的⼀步.如果对问题的所有因素⼀概考虑，⽆疑是⼀种有勇⽓但⽅法⽋佳的⾏为，所以⾼超的建模者能充分发挥想象⼒、洞察⼒和判断⼒，善于辨别主次，⽽且为了使处理⽅法简单，应尽量使问题线性化、均匀化.3. 模型构成根据所作的假设分析对象的因果关系，利⽤对象的内在规律和适当的数学⼯具，构造各个量间的等式关系或其它数学结构.这时，我们便会进⼊⼀个⼴阔的应⽤数学天地，这⾥在⾼数、概率⽼⼈的膝下，有许多可爱的孩⼦们，他们是图论、排队论、线性规划、对策论等许多许多，真是泱泱⼤国，别有洞天.不过我们应当牢记，建⽴数学模型是为了让更多的⼈明了并能加以应⽤，因此⼯具愈简单愈有价值.4. 模型求解可以采⽤解⽅程、画图形、证明定理、逻辑运算、数值运算等各种传统的和近代的数学⽅法，特别是计算机技术.⼀道实际问题的解决往往需要纷繁的计算，许多时候还得将系统运⾏情况⽤计算机模拟出来，因此编程和熟悉数学软件包能⼒便举⾜轻重.5. 模型分析对模型解答进⾏数学上的分析. “横看成岭侧成峰，远近⾼低各不同”，能否对模型结果作出细致精当的分析，决定了你的模型能否达到更⾼的档次.还要记住，不论那种情况都需进⾏误差分析，数据稳定性分析.三、数模竞赛出题的指导思想传统的数学竞赛⼀般偏重理论知识，它要考查的内容单⼀，数据简单明确，不允许⽤计算器完成.对此⽽⾔，数模竞赛题是⼀个“课题”，⼤部分都源于⽣产实际或者科学研究的过程中，它是⼀个综合性的问题，数据庞⼤，需要⽤计算机来完成.其答案往往不是唯⼀的（数学模型是实际的模拟，是实际问题的近似表达，它的完成是在某种合理的假设下，因此其只能是较优的，不唯⼀的），呈报的成果是⼀编“论⽂” .由此可见“数模竞赛”偏重于应⽤，它是以数学知识为引导计算机运⽤能⼒及⽂章的写作能⼒为辅的综合能⼒的竞赛.四、竞赛中的常见题型赛题题型结构形式有三个基本组成部分：1. 实际问题背景涉及⾯宽——有社会，经济，管理，⽣活，环境，⾃然现象，⼯程技术，现代科学中出现的新问题等.⼀般都有⼀个⽐较确切的现实问题. 若⼲假设条件有如下⼏种情况：1）只有过程、规则等定性假设，⽆具体定量数据；2）给出若⼲实测或统计数据；3）给出若⼲参数或图形；4）蕴涵着某些机动、可发挥的补充假设条件，或参赛者可以根据⾃⼰收集或模拟产⽣数据.要求回答的问题往往有⼏个问题，⽽且⼀般不是唯⼀答案。
数学建模之随机模型
G(n) = ∑[(a − b)r − (b − c)(n − r)] f (r ) +
r =0
n
r =n+1
∑ (a − b)nf (r)
∞
求 n 使 G(n) 最大
求解
n
将r视为连续变量
f (r ) ⇒ p (r ) (概率密度）
∞
G(n) = ∫0 [(a − b)r − (b − c)(n − r)]p(r)dr + ∫n (a − b)np(r)dr
u=1/m
模型解释
传送带效率(一周期内运走 产品数与生产总数之比）
m 1 n D = [1 − (1 − ) ] n m
若(一周期运行的)挂钩数m远大于工作台数n, 则
m n n ( n − 1) n −1 D ≈ [1 − (1 − + )] = 1 − 2 n m 2m 2m
定义E=1-D (一周期内未运走产品数与生产总数之比） 当n远大于1时, E ≈ n/2m ~ E与n成正比，与m成反比 若n=10, m=40, 提高效率 • 增加m D≈87.5% (89.4%) 的途径： • 习题1
两模型销售量预测比较
控制价格差x1=0.2元，投入广告费x2=6.5百万元
ˆ +β ˆ x +β ˆ x +β ˆ x2 ˆ=β y 0 1 1 2 2 3 2
ˆ = 8 .2933 (百万支) y
区间 [7.8230，8.7636]
2 ˆ ˆ ˆ ˆ xx ˆ y = β0 + β1x1 + β2 x2 + β3 x2 + β 4 1 2
y的90.54%可由模型确定 p远小于α=0.05
数学建模介绍
数学建模介绍1.1 数学模型及其分类数学建模作为用数学方法解决问题的第一步，它与数学本身有着同样悠久的历史。
一个羊倌看着他的羊群进入羊圈，为了确信他的羊没有丢失，他在每只羊进入羊圈时，则在旁边放一颗小石子，如果每天羊全部入圈而他那堆小石子刚好全部放完，则表示他的羊和以前一样多。
究竟羊倌数的是石子还是羊，那是毫无区别的，因为羊的数目同石子的数目彼此相等。
这实际上就使石子与羊“联系”起来，建立了一个使石子与羊一一对应的数学模型。
（1）什么是数学模型人们在认识研究现实世界里的客观对象时，常常不是直接面对那个对象的原形，有些是不方便，有些甚至是不可能直接面对原形，因此，常常设计、构造它的各种各样的模型。
如各式各样的玩具模型、展览厅里的三峡大坝模型、化学上的分子结构模型等。
这些模型都是人们为了一定目的，对客观事物的某一部分进行简化、抽象、提炼出来的原形替代物，集中反映了原形中人们需要的那一部分特征，因而有利于人们对客观对象的认识。
数学模型也是反映客观对象特征的，只不过它刻画的是事物在数量方面的特征或数学结构及其变化规律。
数学模型是人们为了认识客观对象在数量方面的特征、定量地分析对象的内在规律、用数学的语言和符号去近似地刻画要研究的那一部分现象时，所得到的一个数学表述。
建立数学模型的过程称为数学建模。
(2) 数学模型的重要作用进入20世纪以来，数学以空前的广度和深度向一切领域渗透，作为数学的应用，数学建模也越来越受到人们的重视。
在一般工程技术领域，数学模型仍是工程技术人员定量研究有关工程技术问题的重要工具；而随着数学与其他学科领域诸如经济、人口、生态、地质等所谓非物理领域的渗透，一些交叉学科如计量经济学、人口控制论、数学生态学、数学地质学等应运而生；计算机的发展给数学及作为数学应用的数学建模带来了前所未有的机遇和挑战。
计算机改变了人类的生活方式、思考方式和研究方式，极大地提高了人们的计算能力、搜索和分析海量数据和信息的能力。
随机数学模型基础篇
第三章 随机数学模型§3.1 多元回归与最优逐步回归一、数学模型设可控或不可控的自变量x x x p 12,,, ；目标函数y y y m 12,,, ，已测得的n 组数据为： },,,,,,,{2121m p y y y x x x αααααα(1.1)其中y j m n j αα,,,,,,,,==1212 是系统的测试数据，相当于如下模型：设多目标系统为：为简化问题，不妨设该系统为单目标系统，且由函数关系y f x x x p =(,,,)12 ，可以设：y x x p p =+++βββ011(1.2)可得如下线性模型⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+++++=+++++=+++++=n np p n n n p p p p x x x y x x x y x x x y εββββεββββεββββ 22110222222211021112211101 (1.3)εεε12,,, n 为测量误差，相互独立，εσi N ～(,)0。
令Y y y y X x x x x x x x x x n p p n n np p n =⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪⎪=⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪=⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪⎪=⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪⎪121112121222120112111 ββββεεεε可得Y X =+βε(1.4)(1.4) 称为线性回归方程的数学模型。
y 1y 2y mx 1x 2x p利用最小二乘估计或极大似然估计，令 ∑=----=ni ip p i ix x yQ 12110][βββ 使Q Q =min ，由方程组⎪⎩⎪⎨⎧==p i Qi ,,2,1,00 ∂β∂(1.5)可得系数βββ01,,, p 的估计。
令 A X X p T =+设()1方阵可逆，由模型Y X =β 可得： X Y X X A T T ==ββ即有 β=-A X Y T 1 (1.6)可以证明(1.6)与(1.5)是同解方程组的解，它是最优线性无偏估量，满足很多良好的性质，另文补讲。
数学模型与数学建模
数学模型与数学建模数学模型是对实际问题的一种抽象表示，通过数学语言和符号来描述问题的特征、关系和规律。
数学建模是利用数学方法解决实际问题的过程，它依靠数学模型来分析和研究问题，得到问题的解决方案或优化结果。
数学模型与数学建模在各个领域都得到了广泛应用，成为解决实际问题的强有力工具。
一、数学模型的分类数学模型分为确定性模型和随机模型两大类。
确定性模型是指模型中的所有参数和变量的取值都是确定的，不存在随机性；随机模型则是指模型中的某些参数或变量的取值是随机的，存在一定的概率分布特性。
1.1 确定性模型确定性模型是最常见的模型类型，它包括数学分析模型、代数模型、几何模型等。
确定性模型主要用于描述具有确定关系的事物，其中最典型的就是几何模型。
例如，平面几何中的三角形和圆形可以用确定性模型来描述其属性、关系和性质，进一步进行几何推理和证明。
1.2 随机模型随机模型是描述随机现象的数学模型，其中包括概率模型、统计模型、随机过程模型等。
随机模型常用于处理实际问题中的不确定性和随机性因素。
例如，在金融领域，股票价格的变动通常具有一定的不确定性，可以用随机模型中的随机过程来描述和预测。
二、数学建模的步骤数学建模通常包括问题定义、建立数学模型、求解模型和验证模型这四个步骤。
2.1 问题定义在数学建模中，首先需要明确问题的定义和目标，包括问题的背景、需求和约束条件等。
问题定义阶段需要对问题进行细致的分析和抽象，确保问题的本质特征能够被准确地反映在数学模型中。
2.2 建立数学模型建立数学模型是数学建模的核心步骤，它需要将实际问题转化为数学语言和符号来描述。
建立数学模型时，需要进行参数选择、变量定义、关系建立等操作，以确保模型能够客观、准确地反映问题的特征和规律。
2.3 求解模型求解模型是通过数学方法和技术来实现对问题解决方案的确定。
根据具体问题的不同，求解模型的方法可以采用数值计算、符号计算、优化算法等不同的技术手段。
数学建模十大经典算法( 数学建模必备资料)
建模十大经典算法1、蒙特卡罗算法。
该算法又称随机性模拟算法，是通过计算机仿真来解决问题的算法，同时通过模拟可以来检验自己模型的正确性。
2、数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法。
比赛中通常会遇到大量的数据需要处理，而处理数据的关键就在于这些算法，通常使用Matlab作为工具。
3、线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题。
建模竞赛大多数问题属于最优化问题，很多时候这些问题可以用数学规划算法来描述，通常使用Lindo、Lingo、MATLAB软件实现。
4、图论算法。
这类算法可以分为很多种，包括最短路、网络流、二分图等算法，涉及到图论的问题可以用这些方法解决，需要认真准备。
5、动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法。
这些算法是算法设计中比较常用的方法，很多场合可以用到竞赛中。
6、最优化理论的三大非经典算法：模拟退火法、神经网络、遗传算法。
这些问题是用来解决一些较困难的最优化问题的算法，对于有些问题非常有帮助，但是算法的实现比较困难，需慎重使用。
7、网格算法和穷举法。
网格算法和穷举法都是暴力搜索最优点的算法，在很多竞赛题中有应用，当重点讨论模型本身而轻视算法的时候，可以使用这种暴力方案，最好使用一些高级语言作为编程工具。
8、一些连续离散化方法。
很多问题都是实际来的，数据可以是连续的，而计算机只认的是离散的数据，因此将其离散化后进行差分代替微分、求和代替积分等思想是非常重要的。
9、数值分析算法。
如果在比赛中采用高级语言进行编程的话，那一些数值分析中常用的算法比如方程组求解、矩阵运算、函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用。
10、图象处理算法。
赛题中有一类问题与图形有关，即使与图形无关，论文中也应该要不乏图片的，这些图形如何展示以及如何处理就是需要解决的问题，通常使用Matlab进行处理。
历年全国数学建模试题及解法赛题解法93A非线性交调的频率设计拟合、规划93B足球队排名图论、层次分析、整数规划94A逢山开路图论、插值、动态规划94B锁具装箱问题图论、组合数学95A飞行管理问题非线性规划、线性规划95B天车与冶炼炉的作业调度动态规划、排队论、图论96A最优捕鱼策略微分方程、优化96B节水洗衣机非线性规划97A零件的参数设计非线性规划97B截断切割的最优排列随机模拟、图论98A一类投资组合问题多目标优化、非线性规划98B灾情巡视的最佳路线图论、组合优化99A自动化车床管理随机优化、计算机模拟99B钻井布局0-1规划、图论00A DNA序列分类模式识别、Fisher判别、人工神经网络00B钢管订购和运输组合优化、运输问题01A血管三维重建曲线拟合、曲面重建01B 公交车调度问题多目标规划02A车灯线光源的优化非线性规划02B彩票问题单目标决策03A SARS的传播微分方程、差分方程03B 露天矿生产的车辆安排整数规划、运输问题04A奥运会临时超市网点设计统计分析、数据处理、优化04B电力市场的输电阻塞管理数据拟合、优化05A长江水质的评价和预测预测评价、数据处理05B DVD在线租赁随机规划、整数规划06A 出版资源配置06B 艾滋病疗法的评价及疗效的预测 07A 中国人口增长预测 07B 乘公交，看奥运 多目标规划 数据处理 图论 08A 数码相机定位 08B 高等教育学费标准探讨09A 制动器试验台的控制方法分析 09B 眼科病床的合理安排 动态规划 10A 10B赛题发展的特点：1.对选手的计算机能力提出了更高的要求：赛题的解决依赖计算机，题目的数据较多，手工计算不能完成，如03B ，某些问题需要使用计算机软件，01A 。
数学建模第五章随机模型
05
随机模拟
随机模拟的基本原理
随机模拟是一种基于概率统计的数值计算方法，通过模拟随机事件或过程来求解实 际问题。
随机模拟的基本原理包括抽样、统计推断和误差分析，其中抽样是随机模拟的核心 步骤，通过从概率分布中抽取样本，模拟随机事件的概率特征。
随机模拟的精度取决于样本数量和分布的准确性，样本数量越多，模拟结果越接近 真实情况。
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蒙特卡洛积分
蒙特卡洛积分是一种基于随机抽样的 数值积分方法，通过将积分转化为求 和的形式，利用大数定律和中心极限 定理来估计积分值。
蒙特卡洛积分在金融、物理、工程等 领域有广泛应用，可以用于求解复杂 的高维积分问题。
蒙特卡洛积分的精度与样本数量和积 分的可积性有关，对于不可积的积分， 可以通过增加样本数量来提高估计精 度。
马尔科夫链蒙特卡洛方法
总结词
马尔科夫链蒙特卡洛方法是一种基于马尔科夫链的随机抽样方法，常用于求解复杂数学 问题的不确定性。
详细描述
马尔科夫链蒙特卡洛方法通过构造一个马尔科夫链，使其平稳分布为目标分布，从而通 过抽样得到目标分布的近似解。这种方法在统计学、物理、经济学等领域有广泛应用， 可以用于求解复杂数学问题的不确定性，如概率论中的积分、统计推断中的参数估计等。
描述随机变量取值概率分布的函数称 为随机变量的分布函数。常见的分布 函数有离散型分布和连续型分布，如 二项分布、泊松分布、正态分布等。
03
随机过程
随机过程的定义与分类
定义
随机过程是随机变量在时间或空间上的扩展，描述了一个随机现象在连续时间或 离散时间上的变化。
分类
根据过程的性质和特点，随机过程可以分为平稳随机过程、非平稳随机过程、离 散随机过程和连续随机过程等。
随机数学模型
天气预报基于大量的气象数据和随机过程模型。
03
随机变量的分布
随机变量的定义与性质
随机变量
在随机试验中，每个样本点被赋予一个实数值，这个 实数值称为随机变量的值。
随机变量的性质
随机变量可以是离散的、连续的、有限的、无限的。
随机变量的分类
根据不同的性质，随机变量可以分为离散型和连续型。
随机变量的分布函数
随机数学模型的重要性
预测不确定性和风
险
随机数学模型能够预测不确定性 和风险，帮助决策者制定更加科 学和合理的决策。
提高决策效率
通过随机数学模型，决策者可以 快速了解系统的动态变化和趋势， 提高决策效率。
优化资源配置
在资源有限的情况下，随机数学 模型可以帮助决策者优化资源配 置，实现资源的最优利用。
随机数学模型的求解方法
解析法
通过数学公式和定理，直接求解模型的解。
数值法
通过数值计算方法，如迭代法、有限差分法等，求解模型的近似 解。
模拟法
通过模拟随机过程，生成样本点，然后对样本点进行分析和统计。
随机数学模型的实例分析
随机游走模型
描述随机行走的数学模型，可以应用于金融市场分析、物理系统模 拟等领域。
仿真优化
随机数学模型用于仿真 优化工程设计，降低实 验成本和风险。
在社会科学领域的应用
01
人口统计学
随机数学模型用于预测人口发展趋势，分析人口结构变化对社会的影响。
02
经济学
随机数学模型在经济学中用于分析市场行为、预测经济趋势和评估政策
效果。
03
社会网络分析
随机数学模型用于分析社会网络的结构和动态，研究人际关系和社会影
数学建模 四大模型总结
四类基本模型1 优化模型1.1 数学规划模型线性规划、整数线性规划、非线性规划、多目标规划、动态规划。
1.2 微分方程组模型阻滞增长模型、SARS 传播模型。
1.3 图论与网络优化问题最短路径问题、网络最大流问题、最小费用最大流问题、最小生成树问题(MST)、旅行商问题(TSP)、图的着色问题。
1.4 概率模型决策模型、随机存储模型、随机人口模型、报童问题、Markov 链模型。
1.5 组合优化经典问题● 多维背包问题(MKP)背包问题：n 个物品，对物品i ，体积为i w ，背包容量为W 。
如何将尽可能多的物品装入背包。
多维背包问题：n 个物品，对物品i ，价值为i p ，体积为i w ，背包容量为W 。
如何选取物品装入背包，是背包中物品的总价值最大。
多维背包问题在实际中的应用有：资源分配、货物装载和存储分配等问题。
该问题属于NP 难问题。
● 二维指派问题(QAP)工作指派问题：n 个工作可以由n 个工人分别完成。
工人i 完成工作j 的时间为ij d 。
如何安排使总工作时间最小。
二维指派问题（常以机器布局问题为例）：n 台机器要布置在n 个地方，机器i 与k 之间的物流量为ik f ，位置j 与l 之间的距离为jl d ，如何布置使费用最小。
二维指派问题在实际中的应用有：校园建筑物的布局、医院科室的安排、成组技术中加工中心的组成问题等。
● 旅行商问题(TSP)旅行商问题：有n 个城市，城市i 与j 之间的距离为ij d ，找一条经过n 个城市的巡回（每个城市经过且只经过一次，最后回到出发点），使得总路程最小。
● 车辆路径问题(VRP)车辆路径问题（也称车辆计划）：已知n 个客户的位置坐标和货物需求，在可供使用车辆数量及运载能力条件的约束下，每辆车都从起点出发，完成若干客户点的运送任务后再回到起点，要求以最少的车辆数、最小的车辆总行程完成货物的派送任务。
TSP 问题是VRP 问题的特例。
● 车间作业调度问题(JSP)车间调度问题：存在j 个工作和m 台机器，每个工作由一系列操作组成，操作的执行次序遵循严格的串行顺序，在特定的时间每个操作需要一台特定的机器完成，每台机器在同一时刻不能同时完成不同的工作，同一时刻同一工作的各个操作不能并发执行。
数学建模之随机性模型与模拟方法
P x k
特别，当
n k
p (1 p )
k
nk
, k 0,1, 2,..., n
n 1 时二项分布就是（0－1）分布。
（3）泊松分布 设随机变量 X 所有可能的取值 为 0,1, 2,..., 而取各个值的概率为
P x k
e
k
k!
,
k 0,1, 2,...n,
时间t（秒） 0 变量X 1 1 2 0 2 3 2 4 1 5 2 6 0 7 1 8 0 9 2
得出一个模型。
X是一个离散的随机变量并取值于 0，1和2。我们 不可能给出 X 与 t 的确定的关系式，但是可以通 过数 X 的不同值出现次数来描述这随机型 的规律
列表如下：
频数 频率
X
0 3 0.3
600
1030 3408 2520
382.5
489 1808 859
3.137
3.1595 3.141592 3.1795
由此可以看出蒙特卡罗方法的基本步骤：首先，建立 一个概率模型，使它的某个参数等于问题的解。然后按 照假设的分布，对随机变量选出具体的值（这一过程又 叫着抽样），从而构造出一个确定性的模型，计算出结 果。再通过几次抽样实验的结果，的到参数的统计特性， 最终算出解的近似值。 蒙特卡罗方法主要用再难以定量分析的概率模型，这 种模型一般的不到解析的结果，或虽然又解析结果，但 计算代价太大以至不可用。也可以用在算不出解析结果 的定性模型中。 用蒙特卡罗方法解题，需要根据随机变量遵循的分布 规律选出具体的至，即抽样。随机变量的抽样方法很多， 不同的分布采用的方法不尽相同。在计算机上的各种分 布的随机数事实上都是按照一定的确定性方法产生的伪 随机数。
数学模型之随机模型
用数学公式或位移寄存器的 移位操作来产生的随机数，实际 上是伪随机数
几种产生均匀随机数的方法
2
(1) 利用计算机移位寄存器的移位操作来产生均匀分 布的伪随机数
如 取 原 整 数 45086273, 可 以 得 到 第 一 个 随 机 数 0.45086273；
将 45086273 右 移 三 位 得 00045086 ， 将 45086273 与 00045086 按 位 相 加 得 45021259 ， 将 45021259 左 移 四 位 得 12590000, 将12590000 与 45021259 按位相加得57511259， 于是得到第二个随机数0.5751129；
X1 2lnU1 cos(2U2 )
X2 2lnU1 sin(2U2 ).
8
证明: 由
y1 2ln v1 cos(2v2)
y2 2ln v1 sin(2v2).
解得
v1 exp(( y12 y22 ) / 2)
v2
1
2
arctan(
y2 y1
)
F (x1, x2 ) P{X1 x1, X 2 x2}
再将 57511259与右移三位的数按位相加得57568760， 将57568760与左移四位的数相加得整数34168760，这就得 到第三个随机数0.34168760。按此规律一直重复下去，可以 得到一个随机数序列。
数学建模的主要建模方法
主要建模方法1、类比法建模一般在具体分析该实际问题的各个因素的基础上，通过联想、归纳对各因素进行分析，并且与已知模型比较，把未知关系化为已知关系，在不同的对象或完全不相关的对象中找出同样的或相似的关系，用已知模型的某些结论类比得到解决该“类似”问题的数学方法，最终建立起解决问题的模型2、量纲分析是在经验和实验的基础上，利用物理定律的量纲齐次性，确定各物理量之间的关系。
它是一种数学分析方法，通过量纲分析，可以正确地分析各变量之间的关系，简化实验和便于成果整理。
在国际单位制中，有七个基本量：质量、长度、时间、电流、温度、光强度和物质的量，它们的量纲分别为M、L、T、I、H、J和N，称为基本量纲。
量纲分析法常常用于定性地研究某些关系和性质，利用量纲齐次原则寻求物理量之间的关系，在数学建模过程中常常进行无量纲化，无量纲化是根据量纲分析思想，恰当地选择特征尺度将有量纲量化为无量纲量，从而达到减少参数、简化模型的效果。
3.差分法差分法的数学思想是通过taylor级数展开等方法把控制方程中的导数用网格节点上的函数值的差商代替进行离散，从而建立以网格节点上的值为未知数的方程组，将微分问题转化为代数问题，是建立离散动态系统数学模型的有效方法。
构造差分的方法有多种形式，目前主要采用的是泰勒级数展开方法。
其基本的差分表达式主要有以下几种形式：一阶向前差分、一阶向后差分、一阶中心差分和二阶中心差分等，其中前两种格式为一阶计算精度，后两种格式为二阶计算精度。
通过对时间和空间这几种不同差分格式的组合，可以组合成不同的差分计算格式。
差分法的解题步骤为：建立微分方程；构造差分格式；求解差分方程；精度分析和检验4、变分法较少5、图论法数学建模中的图论方法是一种独特的方法，图论建模是指对一些抽象事物进行抽象、化简，并用图来描述事物特征及内在联系的过程。
图论是研究由线连成的点集的理论。
一个图中的结点表示对象，两点之间的连线表示两对象之间具有某种特定关系(先后关系、胜负关系、传递关系和连接关系等)。
经典数学建模方法--随机建模算法
储层随机建模
Stochastic Reservoir Modeling
随机模拟原理 随机建模方法
储层建模
确定的
不确定而需预测的
建 模 途 径
确定性建模 随机建模
储层系统的复杂性
资料的不完备性
储层随机建模
以已知的信息 为基础，以随机函 数为理论，应用随 机模拟方法 ，产 生可选的、等可能 的储层模型。
建模基本输入：
条件数据 数据均值与偏差 变差函数参数（如变程）
（若为相控建模，还需分相输入上述参数）
2.截断高斯模拟
Truncated Gaussian Simulation (TGS) ----离散变量的模拟
截断高斯随机域属于 离散随机模型，其基 本模拟思路是通过一 系列门槛值截断规则 网格中的三维连续变 量而建立离散物体的 三维分布 。
误差模拟
(Error simulation)
（ 1 ）应用原始数据进行克里 金插值估计，得到估计值 Z * (u)； （ 2 ）进行非条件模拟，得到 一个模拟实现Z(1)(u） （ 3 ）提取在模拟实现 Z(1)(u) 中观察点处的非条件模拟值， 对其进行克里金插值估计，得 到新的估计值Z*(1)(u)。 （ 4 ）比较非条件模拟与新的 估计值，得出模拟残 差 Z(1)(u)-Z*(1)(u) ，其中，观察 点的残差赋为0。 （ 5 ）将模拟残差与原始的克 里金估计值相加，即得到一个 忠实于井点观察值的条件模拟 实现 Z c(1)(u)。
在实际应用中，若参数 分布不符合正态分布， 则通过正态得分变换将 其变为正态分布，模拟 后再进行反变换。
累计条件概率分布函数（ccdf）的求取：
通过克里金方法，求取某网格的随机变量的 均值和估计方差，并转换为ccdf。 （简单克里金、普通克里金、 具有趋势的 克里金、 （综合地震信息) 同位协同克里金)
数学建模：随机模型
销售 周期 1 2 29 30 本公司价 格(元) 3.85 3.75 3.80 3.70 其他厂家 价格(元) 3.80 4.00 3.85 4.25 广告费用 (百万元) 5.50 6.75 5.80 6.80 价格差 （元） -0.05 0.25 0.05 0.55 销售量 (百万支) 7.38 8.51 7.93 9.26
3
§1 报童的诀窍
问题：
报童每天清晨从报社购进报纸零售，晚上将没有 卖掉的报纸退回。设报纸每份的购进价为b，零售 价为a，退回价为c，假设a>b>c。即报童售出一份 报纸赚a-b，退回一份赔b-c。报童每天购进报纸太 多，卖不完会赔钱；购进太少，不够卖会少挣钱。 试为报童筹划一下每天购进报纸的数量，以获得最 大收入。
9
模型假设
若X(t)=n, 对t到t+t的出生和死亡概率作以下假设 1)出生一人的概率与t成正比，记bnt ; 出生二人及二人以上的概率为o(t). 2)死亡一人的概率与t成正比，记dnt ; 死亡二人及二人以上的概率为o(t).
3)出生和死亡是相互独立的随机事件。
进一步假设 bn与n成正比，记bn=n , ~出生概率；
n
( a b ) p ( r ) dr
n
( b c ) p ( r ) dr ( a b ) p ( r ) dr
0 n
dG dn
0
p ( r ) dr
0
n
a b b c
7
n
数学建模方法及其应用
一、层次分析法层次分析法[1] (analytic hierarchy process，AHP)是美国著名的运筹学家T．L．Saaty教授于20世纪70年代初首先提出的一种定性与定量分析相结合的多准则决策方法[2，3，4]．该方法是社会、经济系统决策的有效工具，目前在工程计划、资源分配、方案排序、政策制定、冲突问题、性能评价等方面都有广泛的应用．(一) 层次分析法的基本原理层次分析法的核心问题是排序，包括递阶层次结构原理、测度原理和排序原理[5]．下面分别予以介绍．1．递阶层次结构原理一个复杂的结构问题可以分解为它的组成部分或因素，即目标、准则、方案等．每一个因素称为元素．按照属性的不同把这些元素分组形成互不相交的层次，上一层的元素对相邻的下一层的全部或部分元素起支配作用，形成按层次自上而下的逐层支配关系．具有这种性质的层次称为递阶层次．2．测度原理决策就是要从一组已知的方案中选择理想方案，而理想方案一般是在一定的准则下通过使效用函数极大化而产生的．然而对于社会、经济系统的决策模型来说，常常难以定量测度．因此，层次分析法的核心是决策模型中各因素的测度化．3．排序原理1层次分析法的排序问题，实质上是一组元素两两比较其重要性，计算元素相对重要性的测度问题．(二) 层次分析法的基本步骤层次分析法的基本思路与人对一个复杂的决策问题的思维、判断过程大体上是一致的[1]．1． 成对比较矩阵和权向量为了能够尽可能地减少性质不同的诸因素相互比较的困难，提高结果的准确度．T ．L ．Saaty 等人的作法，一是不把所有因素放在一起比较，而是两两相互对比，二是对比时采用相对尺度．假设要比较某一层个因素对上层一个因素的影响，每次取两个因素和，用表示和n n C C ,,1 O i C j C ij a i C 对的影响之比，全部比较结果可用成对比较阵j C O 表示，称为正互反矩阵．()1,0,ij ij ji n nijA a a a a ⨯=>=A 一般地，如果一个正互反阵满足：A （1）,ij jk ik a a a ⋅=,,1,2,,i j k n = 则称为一致性矩阵，简称一致阵．容易证明阶一致阵有下列性质：A n A ①的秩为1，的唯一非零特征根为；A A n ②的任一列向量都是对应于特征根的特征向量．A n 如果得到的成对比较阵是一致阵，自然应取对应于特征根的、归一化的特征向量（即分量之和为1）表n示诸因素对上层因素的权重，这个向量称为权向量．如果成对比较阵不是一致阵，但在不一致的n C C ,,1 O A 容许范围内，用对应于最大特征根(记作)的特征向量（归一化后）作为权向量，即满足：A λw w （2）Aw w λ=直观地看，因为矩阵的特征根和特征向量连续地依赖于矩阵的元素，所以当离一致性的要求不远时,A ij a ij a 的特征根和特征向量也与一致阵的相差不大．（2）式表示的方法称为由成对比较阵求权向量的特征根法．A 2． 比较尺度当比较两个可能具有不同性质的因素和对于一个上层因素的影响时，采用Saaty 等人提出的尺i C j C O 91-度，即的取值范围是及其互反数．ij a 9,,2,1 91,,21,1 3． 一致性检验成对比较阵通常不是一致阵，但是为了能用它的对应于特征根的特征向量作为被比较因素的权向量，其λ不一致程度应在容许范围内．若已经给出阶一致阵的特征根是，则阶正互反阵的最大特征根，而当时是一致阵．所以n n n A n λ≥n λ=A 比大得越多，的不一致程度越严重，用特征向量作为权向量引起的判断误差越大．因而可以用数值λn A n λ-的大小衡量的不一致程度．Saaty 将A3(3)1nCI n λ-=-定义为一致性指标．时为一致阵；越大的不一致程度越严重．注意到的个特征根之和恰好等0CI =A CI A A n 于，所以相当于除外其余个特征根的平均值．n CI λ1n -为了确定的不一致程度的容许范围，需要找到衡量的一致性指标的标准，又引入所谓随机一致性指A A CI 标，计算的过程是：对于固定的，随机地构造正互反阵，然后计算的一致性指标．RI RI n A 'A 'CI 表1 随机一致性指标的数值RI 表中时，是因为阶的1,2n =0RI =2,1正互反阵总是一致阵．对于的成对比较阵，将它3n ≥A 的一致性指标与同阶（指相同）CI n 的随机一致性指标之比称为一致性比率，当RI CR (4)0.1CICR RI=<时认为的不一致程度在容许范围之内，可用其特征向量作为权向量．A 对于利用(3)，(4)式和表1进行检验称为一致性检验．当检验不通过时，要重新进行成对比较，或对已A 有的进行修正．A n1234567891011RI00．580．901．121．241．321．411．451．491．514． 组合权向量由各准则对目标的权向量和各方案对每一准则的权向量，计算各方案对目标的权向量，称为组合权向量．一般地，若共有层，则第层对第一层（设只有个因素）的组合权向量满足：s k 1 （5）()()()1,3,4,k k k w W w k s -== 其中是以第层对第层的权向量为列向量组成的矩阵．于是最下层对最上层的组合权向量为:()k W k 1k - （6）()()()()()132sss w W W W w -= 5． 组合一致性检验在应用层次分析法作重大决策时，除了对每个成对比较阵进行一致性检验外，还常要进行所谓组合一致性检验，以确定组合权向量是否可以作为最终的决策依据．组合一致性检验可逐层进行．如第层的一致性指标为(是第层因素的数目)，随机一致p ()()p n p CI CI ,,1 n 1-p 性指标为，定义()()1,,p p n RI RI ()()()()11,,P p p p n CI CI CI w -⎡⎤=⎣⎦ ()()()()11,,p p p p n RI RI RI w-⎡⎤=⎣⎦ 则第层的组合一致性比率为:p5(7)()()(),3,4,,pp p CI CRp s RI== 第层通过组合一致性检验的条件为．p ()0.1p CR <定义最下层(第层)对第一层的组合一致性比率为：s (8)()2*sP p CR CR ==∑对于重大项目，仅当适当地小时，才认为整个层次的比较判断通过一致性检验．*CR 层次分析法的基本步骤归纳如下:(1) 建立层次结构模型 在深入分析实际问题的基础上，将有关的各个因素按照不同属性自上而下地分解成若干层次．同一层的诸因素从属于上一层的因素或对上层因素有影响，同时又支配下一层的因素或受到下层因素的作用，而同一层的各因素之间尽量相互独立．最上层为目标层，通常只有个因素，最下层通常为1方案或对象层，中间可以有个或几个层次，通常称为准则或指标层，当准则过多时（比如多于个）应进一19步分解出子准则层．(2) 构造成对比较阵 从层次结构模型的第层开始，对于从属于上一层每个因素的同一层诸因素，用成2对比较法和比较尺度构造成对比较阵，直到最下层．91-(3) 计算权向量并做一致性检验 对于每一个成对比较阵计算最大特征根及对应特征向量，利用一致性指标，随机一致性指标和一致性比率做一致性检验．若检验通过，特征向量（归一化后）即为权向量；若不通过，重新构造成对比较阵．(4)计算组合权向量并做组合一致性检验利用公式计算最下层对目标的组合权向量，并酌情作组合一致性检验．若检验通过，则可按照组合权向量表示的结果进行决策，否则需重新考虑模型或重新构造那些一致性比率较大的成对比较阵．CR(三) 层次分析法的优点1．系统性层次分析把研究对象作为一个系统，按照分解、比较判断、综合的思维方式进行决策，成为继机理分析、统计分析之后发展起来的系统分析的重要工具．2．实用性层次分析把定性和定量方法结合起来，能处理许多用传统的最优化技术无法着手的实际问题，应用范围很广．同时，这种方法将决策者与决策分析者相互沟通，决策者甚至可以直接应用它，这就增加了决策的有效性．3．简洁性具有中等文化程度的人即可了解层次分析的基本原理和掌握它的基本步骤，计算也非常简便，且所得结果简单明确，容易为决策者了解和掌握．(四) 层次分析法的局限性层次分析法的局限性可以用囿旧、粗略、主观等词来概括．第一，它只能从原有的方案中选优，不能生成新方案；第二，它的比较、判断直到结果都是粗糙的，不适于精度要求很高的问题；第三，从建立层次结构模型到给出成对比较矩阵，人的主观因素的作用很大，这就使得决策结果可能难以为众人接受．当然，采取专家群体判断的方法是克服这个缺点的一种途径．(五) 层次分析法的若干问题层次分析法问世以来不仅得到广泛的应用而且在理论体系、计算方法等方面都有很大发展，下面从应用的角度讨论几个问题．1．正互反阵最大特征根和对应特征向量的性质成对比较阵是正互反阵．层次分析法中用对应它的最大特征根的特征向量作为权向量，用最大特征根定义一致性指标进行一致性检验．这里人们碰到的问题是：正互反阵是否存在正的最大特征根和正的特征向量；一致性指标的大小是否反映它接近一致阵的程度，特别，当一致性指标为零时，它是否就为一致阵．下面两个定理可以回答这些问题．定理1对于正矩阵（的所有元素为正数）A A1）的最大特征根是正单根；Aλ2）对应正特征向量（的所有分量为正数）；λwω73），其中，是对应的归一化特征向量．w IA I I A k k k =T ∞→lim ()T=1,1,1 I w λ定理2 阶正互反阵的最大特征根；当时是一致阵．n A n λ≥n λ=A 定理2和前面所述的一致阵的性质表明,阶正互反阵是一致阵的充要条件为 的最大特征根．n A A n λ=2． 正互反阵最大特征根和特征向量的实用算法众所周知，用定义计算矩阵的特征根和特征向量是相当困难的，特别是矩阵阶数较高时．另一方面，因为成对比较阵是通过定性比较得到的比较粗糙的量化结果，对它精确计算是不必要的，下面介绍几种简单的方法．(1) 幂法 步骤如下：a ．任取维归一化初始向量n ()0w b ．计算()()1,0,1,2,k k wAw k +== c ．归一化,即令()1k w+ ()()()∑=+++=ni k ik k ww1111~~ωd ．对于预先给定的精度,当 时,即为所求的特征向量；否则返回bε()()()1||1,2,,k k i i i n ωωε+-<= ()1k w +e.计算最大特征根()()111k n i k i in ωλω+==∑9这是求最大特征根对应特征向量的迭代法,可任选或取下面方法得到的结果．()0w (2) 和法 步骤如下：a.将的每一列向量归一化得A 1nij ij iji a aω==∑ b ．对按行求和得ij ω1ni ij j ωω==∑ c ．将归一化即为近似特征向量．i ω()*121,,,ni i n i w ωωωωωωT===∑ d.计算，作为最大特征根的近似值．()11n ii iAw n λω==∑这个方法实际上是将的列向量归一化后取平均值，作为的特征向量．A A (3) 根法 步骤与和法基本相同，只是将步骤b 改为对按行求积并开次方，即．根法是将和法ij ω n 11nn i ij j ωω=⎛⎫= ⎪⎝⎭∏ 中求列向量的算术平均值改为求几何平均值．3． 为什么用成对比较阵的特征向量作为权向量当成对比较阵是一致阵时,与权向量的关系满,那么当不是一致阵时，权向量A ij a ()T =n w ωω,,1 iij ja ωω=A的选择应使得与相差尽量小．这样,如果从拟合的角度看确定可以化为如下的最小二乘问题：w ij a ijωωw (9)()21,,11min i nniij i n i j j a ωωω===⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭∑∑ 由(9)式得到的最小二乘权向量一般与特征根法得到的不同．因为(9)式将导致求解关于的非线性方程组，i ω计算复杂，且不能保证得到全局最优解,没有实用价值．如果改为对数最小二乘问题：(10)()21,,11min ln ln i nniij i n i j j a ωωω===⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭∑∑ 则化为求解关于的线性方程组．可以验证，如此解得的恰是前面根法计算的结果．ln i ωi ω特征根法解决这个问题的途径可通过对定理2的证明看出．4． 成对比较阵残缺时的处理专家或有关学者由于某种原因无法或不愿对某两个因素给出相互比较的结果，于是成对比较阵出现残缺．应如何修正,以便继续进行权向量的计算呢？11一般地，由残缺阵构造修正阵的方法是令()ij A a =()ij Aa = ,,0,,1,ij ij ij ij i i a a i j a a i j m m i i jθθθ≠≠⎧⎪==≠⎨⎪+=⎩ 为第行的个数,(11)表示残缺．已经证明，可以接受的残缺阵的充分必要条件是为不可约矩阵．θA A (六) 层次分析法的广泛应用层次分析法在正式提出来之后，由于它在处理复杂的决策问题上的实用性和有效性，很快就在世界范围内得到普遍的重视和广泛的应用．从处理问题的类型看，主要是决策、评价、分析、预测等方面． 这个方法在20世纪80年代初引入我国，很快为广大的应用数学工作者和有关领域的技术人员所接受，得到了成功的应用．层次分析法在求解某些优化问题中的应用[5]举例 假设某人在制定食谱时有三类食品可供选择：肉、面包、蔬菜．这三类食品所含的营养成分及单价如表所示表 肉、面包、蔬菜三类食品所含的营养成分及单价2食品维生素A/(IU/g)维生素B/(mg/g)热量/(kJ/g)单价/（元/g ）肉面包蔬菜0.3527250.00210.00060.002011.9311.511.040.02750.0060.0.007该人体重为kg，每天对各类营养的最低需求为：55维生素A 国际单位 (IU)7500维生素B mg1.6338热量 R kJ8548.5考虑应如何制定食谱可使在保证营养需求的前提下支出最小？用层次分析法求解最优化问题可以引入包括偏好等这类因素．具体的求解过程如下：①建立层次结构②根据偏好建立如下两两比较判断矩阵表3 比较判断矩阵13W D ED 13E311，，，主特征向量max 2λ=10CI =100.1CR =<()0.75,0.25W T=故第二层元素排序总权重为()10.75,0.25W T=表4 比较判断矩阵D ABR A 112B 112R5.05.01，主特征向量111max 1113,0,0,0.58CI CR RI λ====()0.4,0.4,0.2W T=故相对权重()210.4,0.4,0.2,0P T=③ 第三层组合一致性检验问题因为,()()2111211112120;0.435CI CI CI W RI RI RI W ====212200.1CR CR CI RI =+=<故第三层所有判断矩阵通过一致性检验，从而得到第三层元素维生素A 、维生素B 、热量Q 及支出的总权重E15为：()()221221120.3,0.3,0.15,0.25W P W P P W T===求第四层元素关于总目标的排序权重向量时，用到第三层与第四层元素的排序关系矩阵，可以用原始W 的营养成分及单价的数据得到．注意到单价对人们来说希望最小，因此应取各单价的倒数，然后归一化．其他营养成分的数据直接进行归一化计算，可得表5表5 各营养成分数据的归一化食品维生素A维生素B 热量R单价F肉0.0139 0.44680.48720.1051面包0.00000.12770.47020.4819蔬菜0.98610.42550.04260.4310则最终的第四层各元素的综合权重向量为：，结果表明，按这个人的偏好，肉、()3320.2376,0.2293,0.5331W P W T==面包和蔬菜的比例取较为合适．引入参数变量，令，，，0.2376:0.2293:0.533110.2376x k =20.2293x k =30.5331x k =代入()1LP 123min 0.02750.0060.007f x x x =++131231231230.352725.075000.00210.00060.002 1.6338..(1)11.930011.5100 1.048548.5,,,0x x x x x s t LP x x x x x x +≥⎧⎪++≥⎪⎨++≥⎪⎪≥⎩则得kf 0116.0min =()13.411375000.0017 1.6338..26.02828548.50k k s t LP k k ≥⎧⎪≥⎪⎨≥⎪⎪≥⎩容易求得，故得最优解；最优值，即肉g ，面1418.1k =()*336.9350,325.1650,755.9767x T=*16.4497f =336.94g ，蔬菜g ，每日的食品费用为元．325.17755.9816.45总之，对含有主、客观因素以及要求与期望是模糊的优化问题，用层次分析法来处理比较适用．二、模糊数学法模糊数学是1965年美国控制论专家L．A．Zadeh创立的．模糊数学作为一门新兴学科，它已初步应用于模糊控制、模糊识别、模糊聚类分析、模糊决策、模糊评判等各方面．在气象、结构力学、控制、心理学方面已有具体的研究成果．(一) 模糊数学的研究内容一一一研究模糊数学的理论，以及它和精确数学、随机数学的关系；一一一研究模糊语言和模糊逻辑，并能作出正确的识别和判断；一一一研究模糊数学的应用．(二) 模糊数学在数学建模中应用的可行性1．数学建模的意义在于将数学理论应用于实际问题[6]．而模糊数学作为一种新的理论，本身就有其巨大的应用背景，国内外每年都有大量的相关论文发表，解决了许多实际问题．目前在数学建模中较少运用模糊数学方法的原因不在于模糊数学理论本身有问题，而在于最新的研究成果没有在第一时间进入数学建模的教科书中，就其理论本身所具有的实用性的特点而言，模糊数学应该有助于我们解决建模过程中的实际问题．2．数学建模的要求是模型与实际问题尽可能相符．对实际问题有这样一种分类方式：白色问题、灰色问题和黑色问题．毫无疑问，引进新的方法对解决这些问题大有裨益．在灰色问题和黑色问题中有很多现象是17用“模糊”的自然语言描述的．在这种情况下，用模糊的模型也许更符合实际．3． 数学建模活动的目的之一是培养学生的创新精神．用新理论、新方法解题应该受到鼓励．近年来，用神经网络法、层次分析法等新方法建立模型的论文屡有获奖，这也说明了评审者对新方法的重视．我们相信，模糊数学方法应该很好，同样能够写出优秀的论文．(三) 模糊综合评判法中的最大隶属原则有效度在模糊统计综合评判中，如何利用综合评判结果向量,其中， ，为()12,,,m b b b b =01j b <<m 可能出现的评语个数，提供的信息对被评判对象作出所属等级的判断，目前通用的判别原则是最大隶属原则[7]．在实际应用中很少有人注意到最大隶属原则的有效性问题，在模糊综合评判的实例中最大隶属原则无一例外地被到处搬用，然而这个原则并不是普遍适用的．最大隶属原则有效度的测量1． 有效度指标的导出在模糊综合评判中，当时，最大隶属原则最有效；而在11max 1,1nj j j n j b b ≤≤===∑()1max 01,j j nb c c ≤≤=<<时，最大隶属原则完全失效，且越大（相对于而言），最大隶属原则也越有效．由此可1njj bnc ==∑1max j j nb ≤≤1njj b=∑19认为，最大隶属原则的有效性与在中的比重有关，于是令：1max j j nb ≤≤1njj b=∑ (12)11max njjj nj b bβ≤≤==∑显然，当时，则为的最大值，当, 时，有为11max 1,1nj j j n j b b ≤≤===∑1β=β()1max 01j j nb c c ≤≤=<<1nj j b nc ==∑1n β=的最小值，即得到的取值范围为:．由于在最大隶属原则完全失效时，而不为，所以不宜ββ11n β≤≤1n β=0直接用值来判断最大隶属原则的有效性．为此设：β (13)()()11111n n n n βββ--'==--则可在某种程度上测定最大隶属原则的有效性．而最大隶属原则的有效性还与（的含义是β'j n j b ≤≤1sec j nj b ≤≤1sec 向量各分量中第二大的分量）的大小有很大关系，于是我们定义：b (14)11sec njjj nj b bγ≤≤==∑可见： 当时，取得最大值．()1,1,0,0,,0b = γ12当时，取得最小值．()0,1,0,0,,0b = γ0即的取值范围为，设．一般地，值越大最大隶属原则有效程度越高；而值越大，γ012γ≤≤()02120γγγ-'==-β'γ'最大隶属原则的有效程度越低．因此，可以定义测量最大隶属原则有效度的相对指标：(15)()112121n n n n βββαγγγ'--⎛⎫===⎪'--⎝⎭使用指标能更准确地表明实施最大隶属原则的有效性．α2. 指标的使用α从指标的计算公式看出与成反比，与成正比．由与的取值范围，可以讨论的取值范围：ααγββγα当取最大值，取最小值时，将取得最小值；γβα0当取最小值，取最大值时，将取得最大值：因为 ，所以可定义时，．即：γβα0limγα→=+∞0γ=α=+∞．0α≤<+∞由以上讨论，可得如下结论：当 时，可认定施行最大隶属原则完全有效；当时，可认为α=+∞1α≤<+∞施行最大隶属原则非常有效；当时，可认为施行最大隶属原则比较有效，其有效程度即为值；当0.51α≤<α21时可认为施行最大隶属原则是最低效的；而当时，可认定施行最大隶属原则完全无效．有了测00.5α<<0α=量最大隶属原则有效度的指标，不仅可以判断所得可否用最大隶属原则确定所属等级，而且可以说明施行最大隶属原则判断后的相对置信程度，即有多大把握认定被评对象属于某个等级．讨论a ． 在很多情况下，可根据值的大小来直接判断使用最大隶属原则的有效性而不必计算值．根据与βαα之间的关系，当，且时，一定存在．通常评价等级数取和之间，所以这一条件往往β0.7β≥4n >1α>494n >可以忽略，只要就可免算值，直接认定此时采取最大隶属原则确定被评对象的等级是很有效的．0.7β≥αb ． 如果对进行归一化处理而得到，则可直接根据进行最大隶属原则的有效度测量．()12,,,m b b b b = b 'b '(四) 模糊数学在数学建模中的应用模糊数学有诸多分支，应用广泛．如模糊规划、模糊优化设计、综合评判、模糊聚类分析、模糊排序、模糊层次分析等等．这些方法在工业、军事、管理等诸多领域被广泛应用．举例 带模糊约束的最小费用流问题[8]问题的提出 最小费用流问题的一般提法是：设是一个带出发点和收点的容量-费用网络，(),,,D V A c ω=s v t v 对于任意，表示弧上的容量，表示弧上通过单位流量的费用，是给定的非负数，问(),i j v v A ∈ij c (),i j v v ij ω(),i j v v 0v 怎样制定运输方案使得从到恰好运输流值为的流且总费用最小？如果希望尽可能地节省时间并提高道路s v t v 0v的通畅程度，问运输方案应当怎样制定？模型和解法 问题可以归结为：怎样制定满足以下三个条件的最优运输方案？(1)从到运送的流的值恰好为；(2)总运输费用最小;(3)在容量大的弧 上适当多运输．如果仅考虑s v t v 0v ij c (),i j v v 条件(1)和(2)，易写出其数学模型为：()()()()()()()}(),0,,0,,,,min()..0,0i j s j j s t j j t i j j i ij ijv v Asj js v v A v v A tj jt v v A v v A ij ji i s t v v A v v A ij ijf f f v f f v M s t f f v V v v f c ω∈∈∈∈∈∈∈⎧-=⎪⎪-=-⎪⎪⎨⎪-=∈⎪⎪≤≤⎪⎩∑∑∑∑∑∑∑把条件(3)中的“容量大”看作上的一个模糊子集，定义其隶属函数：为：A Aμ[]0,1A →()()00,0,1,ij ij ij i j A d c c v ij c c v v e c cμμ--≤≤⎧⎪==⎨->⎪⎩其中（平均容量）()1,i j ij v v c A c -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎣⎦∑:23()()()()21,21,0,11i j i j ij v v A ij v v A A c c d A c c -∈-∈⎧⎡⎤⎪⎢⎥-≤⎪⎢⎥⎣⎦⎪=⎨⎡⎤⎪⎢⎥->⎪⎢⎥⎪⎣⎦⎩∑∑::建立是为了量化“适当多运输”这一模糊概念．对条件(2)作如下处理：对容量大的弧，人为地降低ij μij c (),i j v v 运价，形成“虚拟运价”，其中满足：越大，相应的的调整幅度也越大．选取为，ij ωij ωij ωij c ij ωij ω()1k ij ij ij ωωμ=-．其中是正参数，它反映了条件(2)和条件(3)在决策者心目中的地位．决策者越看重条件(3)，取值(),ijv v A ∈k k 越小；当取值足够大时，便可忽略条件(3) ．一般情况下，合适的值最好通过使用一定数量的实际数据进k k 行模拟、检验和判断来决定．最后，用代替原模型中的，得到一个新的模型．用现有的方法求解这ij ωM ij ωM '个新的规划问题，可期望得到满足条件(3)的解．模型的评价此模型在原有的数学规划模型和解法的基础上，增加了模糊约束．新模型比较符合实际，它的解包含了原模型的解，因而它是一个较为理想的模型．隶属度的确定在模糊数学中有多种方法，可以根据不同的实际问题进行调整．同样的思想方法可以处理其他的模糊约束问题．三、灰色系统客观世界的很多实际问题，其内部结构、参数以及特征并未全部被人们了解，对部分信息已知而部分信息未知的系统，我们称之为灰色系统．灰色系统理论是从系统的角度出发来研究信息间的关系，即研究如何利用已知信息去揭示未知信息．灰色系统理论包括系统建模、系统预测、系统分析等方面．(一) 灰色关联分析理论及方法灰色系统理论[9]中的灰色关联分析法是在不完全的信息中，对所要分析研究的各因素，通过一定的数据，在随机的因素序列间，找出它们的关联性，找到主要特性和主要影响因素．计算方法与步骤：1． 原始数据初值化变换处理分别用时间序列的第一个数据去除后面的原始数据，得出新的倍数列，即初始化数列，量纲为一，()k 各值均大于零，且数列有共同的起点．2． 求关联系数()()()()()()()()()0000min min ||max max ||||max max ||k i k k i k ikiki k k i k k i k ikx x x x x x x x ρξρ-+-=-+-3． 取分辨系数01ρ<<254． 求关联度 ()()11ni k i k k r n ξ==∑(二) 灰色预测1． 灰色预测方法的特点(1) 灰色预测需要的原始数据少，最少只需四个数据即可建模；(2) 灰色模型计算方法简单，适用于计算机程序运行，可作实时预测；(3) 灰色预测一般不需要多因素数据，而只需要预测对象本身的单因素数据，它可以通过数据本身的生成，寻找系统内在的规律；(4) 灰色预测既可做短期预测，也可做长期预测，实践证明，灰色预测精度较高，误差较小．2． 灰色预测GM(1，1)模型的一点改进一些学者为了提高预测精度做出了大量的研究工作，提出了相应的方法．本文将在改善原始离散序列光滑性的基础上，进一步研究GM(1，1)预测模型的理论缺陷及改进方法[10]．问题的存在及改进方法如下：传统灰色预测GM(1，1)模型的一般步骤为：（1）1-ADO ：对原始数据序列进行一次累加生成序列(){}0k x ()1,2,,k n = ()()101kk i i x x =⎧⎫=⎨⎬⎩⎭∑()1,2,,k n =。
《随机数学模型》课件
将实际问题转化为数学语言，运用数学符号和公式来表示问题中的 变量、参数和关系。
确定随机因素
识别问题中的随机因素，并将其引入模型中，以反映模型的随机性 。
随机数学模型的求解方法
解析法
通过数学公式和定理，直接求解模型中的未 知数。适用于具有明确解的简单模型。
蒙特卡罗模拟法
利用随机抽样的方法，通过大量模拟实验来估计模 型的解。适用于难以解析求解的复杂模型。
集成学习
将多个模型集成在一起，通过综合各个模型的优点来提高整体性能 。可以通过集成多种模型、特征或数据来实现。
05 随机数学模型的 应用案例
在金融领域的应用案例
1 2
风险评估
随机数学模型用于评估投资组合的风险，通过模 拟市场波动和价格变化，帮助投资者制定风险管 理策略。
衍生品定价
随机数学模型用于确定衍生品的公允价值，如期 权、期货等，为市场参与者提供定价参考。
流体动力学模拟
随机数学模型用于模拟流体动力学现象，如湍流、流体阻力等，为流 体机械和流体控制系统的设计提供依据。
在社会科学领域的应用案例
人口统计学研究
随机数学模型用于预测 人口发展趋势和分布， 分析人口结构变化对社 会经济的影响。
社会网络分析
随机数学模型用于分析 社会网络的结构和演化 规律，揭示网络中个体 和群体的互动关系。
多维随机变量的概率分布
高斯分布
描述n维实数空间中服从正态分布的随机变 量的概率分布。
联合概率分布
描述多个随机变量之间相互关联的概率分布 。
条件概率分布
在给定其他随机变量值的条件下，一个随机 变量的概率分布。
随机变量的函数变换
线性变换
01
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问题2：传染病的传播模型
(3)模型的检验
健康人群每天平均被感染的人数 与人群中每人 每天平均接触的人数 m 以及接触时被感染的概率 成
正比，并且随着人群总数 n 的增加而增加。
平均感染率 与病人数 i 的关系，当 i 很小或很大 （接近 n ）时， 值都很小，而当 i n 时， 值最大。
2
（优选）数学建模方法及其应用 中的随机模型讲解部分随机模型
1、初等概率模型
问题1：有趣的蒙特莫特模型
假设某班共有 n 个同学参加活动，每个同学都
随机地抽取一份礼品， Ai (i 1, 2, , n) 表示第 i 个
同学抽取到自己所带的礼品。
n 个同学中至少有一人抽取到自己所带的礼品
为 A1 A2
如果通过实际数据或经验掌握了这些随机规律， 那么怎样估计平均每天有多少健康人被感染，这种 估计的准确性有多大？
问题2：传染病的传播模型
(1)问题的分析与假设
假设将人群分为病人和健康人两类，病人
数和健康人数分别记为 i 和 s ，总人数为 n ，短 时间内不变，即 i s n 。
人群中任何两人的接触是相互独立的，且
因为需求量是随机的，致使报亭每天的销售收 入也是随机的。所以，不能以报亭每天的收入数作 为优化模型的目标函数，而应该是以报亭的长期（ 几个月，或一年）卖报的日平均收入最大为目标函 数。
由概率论的知识，这相当于报亭每天销售收入 的期望值，以下简称平均收入。
设每天报纸的需求量为 r 份的概率是 p(r) （r=0，1，2，… ），报亭每天购进 n 份报纸的 平均收入为 G(n)元。
这个结果合理吗？
为了直观，给出几组检验数据的计算结果。
问题2：传染病的传播模型
(3)模型的检验
不妨设 m 20, 0.1，对于不同的i ，计算 和 。
从计算结果可以看出：随着病人数 i 的增加，平均感
染率 随之增加，而相对误差 随之减少；
当病人的比例 i 一定，总人口数 n 变大时，相对误差 n
问题3 报亭的进报策略模型
(3)模型的建立与求解
问题为在已知 p(r) 和 a,b, c ，求进报数量 n 使 G(n) 有最大值。
通常需求量 r 的取值和购进量 n 都比较大，将 r
视为连续变量，这时概率 p(r) 转化为概率密度函数
f (r) ，则
G(n)
n
0
(a
b)r
(b
c)(n
r)f
(r)dr
1 1 , (1 i n n 1
j
n) 。
类似地， P( Ai Aj Ak )
1 1 1 , (1 i n n 1 n 2
j
k
n) ，
P( A1 A2
11
An )
n
n 1
1
n
1、初等概率模型
问题1：有趣的蒙特莫特模型
由概率的加法公式与乘法公式，则 n 个同学中至少
有一个抽取到自己所带礼品的概率为
n 1
即得一名健康人与一名指定病人接触并被感染的概率为
p1
p
m
n 1
。
问题2：传染病的传播模型
(2)模型的建立与求解
为了求出一名健康人每天被感染为病人的
概率 p2 ，利用对立事件概率的计算方法:
p2
1 (1
p1)i
1
(1
m )i 。
n 1
健康人被感染为病人的人数也服从二项分布，
其平均值 sp2 (n i) p2 ，
也Hale Waihona Puke 之减少。 问题3：售报厅的进报策略模型
(1)问题的提出
报纸每份购进价为 b 元，零售价为 a 元，退回价为 c 元，且 a b c 。
则报亭售出一份赚 a b 元，退回一份 赔 b c 元。报亭应该如何确定每天购进
报纸的数量，以获得最多的收入？
问题3 报亭的进报策略模型
(2) 问题的分析
均方差为 sp2 (1 p2 ) (n i) p2(1 p2) 。
问题2：传染病的传播模型
(2)模型的建立与求解
为了简便，将上式右端作 Taylor 展开，并取 前两项：
p2
1
(1
mi
n 1
) mi mi , (n
n 1 n
m, n
1)
最后得到： mi(n i) ，
n
1 p2 n mi 。 (n i) p2 mi(n i)
问题3 报亭的进报策略模型
(3)模型的建立与求解
根据报亭每天的需求量（即销售量）的不确定性。
如果某天的需求量 r n ，则售出 r 份，退回 n r 份；
如果某天的需求量 r n ，则 n 份将全部售出。
考虑到该报亭需求量为 r 的概率是 p(r) ，平均收入
n
G(n) [(a b)r (b c)(n r)] p(r) r 0 (a b)np(r) r n1
n (a b)nf (r)dr
问题3 报亭的进报策略模型
具有相同概率 p ，每人每天平均与 m 人接触。
当一个健康人与病人接触时，这个健康人
被感染的概率为 。
问题2：传染病的传播模型
(2)模型的建立与求解
由于任何两人接触的概率为 p ，且两两接触的独立 性，一名健康人每天接触的人数服从二项分布，其平均值 为 m 。利用二项分布的基本性质，并注意到人群总数为 n ， 则有 m (n 1) p ，于是， p m 。
n n 1
1 1 1 (1)n1 1
2! 3!
n!
当充分大,即人数较多时,至少有1人抽取到自己所带礼品
的概率为
n
P( ) 1 e1 0.63212
i 1
1、初等概率模型
问题2：传染病的传播模型
现在的问题：
对某种传染病而言，人群中有病人（带菌者）和 健康人（易感染者），任何两人之间的接触是随机 的，当健康人与病人接触时健康人是否被感染也是 随机的.
n
An ，简记为 Ai 。 i 1
n
要解决的问题是求事件的概率 P( Ai ) 。 i 1
1、初等概率模型
问题1：有趣的蒙特莫特模型
事实上,第 i 个同学抽取到自己所带礼品的概率为
P(
Ai
)
1 n
,
(i
1,
2,
, n) 。
第 i 和第 j 个同学同时抽取到自己所带礼品的概率为
P( Ai Aj )
n
n
P( Ai ) P(Ai ) P(Ai Aj )
P( Ai Aj Ak ) (1)n1 P( A1A2 An )
i 1
i 1
1i jn
1i jk n
C C C 1 1 2 1 1 3 1 1 1 (1)n1 1 1 1
n n n n n 1 n n n 1 n 2