数学建模- 图与网络模型及方法

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数学建模的主要建模方法

数学建模的主要建模方法

数学建模的主要建模方法数学建模是指运用数学方法和技巧对复杂的实际问题进行抽象、建模、分析和求解的过程。

它是解决实际问题的一个重要工具,在科学研究、工程技术和决策管理等领域都有广泛的应用。

数学建模的主要建模方法包括数理统计法、最优化方法、方程模型法、概率论方法、图论方法等。

下面将分别介绍这些主要建模方法。

1.数理统计法:数理统计法是基于现有的数据进行概率分布的估计和参数的推断,以及对未知数据的预测。

它适用于对大量数据进行分析和归纳,提取有用的信息。

数理统计法可以通过描述统计和推断统计两种方式实现。

描述统计主要是对数据进行可视化和总结,如通过绘制直方图、散点图等图形来展示数据的分布特征;推断统计则采用统计模型对数据进行拟合,进行参数估计和假设检验等。

2.最优化方法:最优化方法是研究如何在给定的约束条件下找到一个最优解或近似最优解的方法。

它可以用来寻找最大值、最小值、使一些目标函数最优等问题。

最优化方法包括线性规划、非线性规划、整数规划、动态规划等方法。

这些方法可以通过建立数学模型来描述问题,并通过优化算法进行求解。

3.方程模型法:方程模型法是通过建立数学方程或函数来描述问题,并利用方程求解的方法进行求解。

这种方法适用于可以用一些基本的方程来描述的问题。

方程模型法可以采用微分方程、代数方程、差分方程等不同类型的方程进行建模。

通过求解这些方程,可以得到问题的解析解或数值解。

4.概率论方法:概率论方法是通过概率模型来描述和分析不确定性问题。

它可以用来处理随机变量、随机过程和随机事件等问题。

概率论方法主要包括概率分布、随机变量、概率计算、条件概率和贝叶斯推理等内容。

利用概率论的方法,可以对问题进行建模和分析,从而得到相应的结论和决策。

5.图论方法:图论方法是研究图结构的数学理论和应用方法。

它通过把问题抽象成图,利用图的性质和算法来分析和求解问题。

图论方法主要包括图的遍历、最短路径、最小生成树、网络流等内容。

数学建模方法之图与网络模型

数学建模方法之图与网络模型
如果图G的一个生成子图还是一个树,则称这个生成子图为生成树, 在图11-12中,(c)就是(a)的生成树。
最小生成树问题就是指在一个赋权的连通的无向图G中找出一个生成 树,并使得这个生成树的所有边的权数之和为最小。
(a)
图11-12
(b)
(c)
11
§3 最小生成树问题
一、求解最小生成树的破圈算法 算法的步骤: 1、在给定的赋权的连通图上任找一个圈。 2、在所找的圈中去掉一个权数最大的边(如果有两条或两条
1.给出点V1以标号(0,s) 2.找出已标号的点的集合I,没标号的点的集合J以及弧的集合
{(vi , v j ) | vi I , v j J}
3. 如果上述弧的集合是空集,则计算结束。如果vt已标号(lt,kt),则 vs 到vt的距离为lt,而从 vs到vt的最短路径,则可以从kt 反向追踪到起点 vs 而得到。如果vt 未标号,则可以断言不存在从 vs到vt的有向路。如果 上述的弧的集合不是空集,则转下一步。
e2
(v(v3) 李(v4)
周(v5)
图11-2
e5 吴(v6) 陈(v7)
3
如果我们把上面例子中的“相互认识”关系改为“认识”
的关系,那么只用两点之间的联线就很难刻画他们之间的关
系了,这是我们引入一个带箭头的联线,称为弧。图11-3就
是一个反映这七人“认识”关系的图。相互认识用两条反向
的弧表示。
a1 a2
(v2)钱
a7
a8
(赵v1)
a14 a15 a3
(v4) 李
a4
a9
(v3)孙
a5
a6
a12
a11
(v5) 周
a10
(v6)吴 a13

数学建模模型和技巧

数学建模模型和技巧

数学建模模型和技巧数学建模是指将实际问题转化为数学问题,并利用数学方法进行分析和求解的过程。

数学建模模型是对问题进行抽象和形式化的表示,而数学建模技巧则是在建立数学模型和解决问题时的常用方法和技术。

以下是一些常用的数学建模模型和技巧。

一、常用数学建模模型1.优化模型:优化模型利用数学方法求解最优解,包括线性规划、整数规划、非线性规划等。

这种模型通常用于求解资源分配、生产调度、物流优化等问题。

2.统计模型:统计模型通过概率统计方法对问题进行分析和预测,包括回归分析、时间序列分析、假设检验等。

这种模型通常用于市场调研、风险评估、金融预测等问题。

3.动力学模型:动力学模型描述系统随时间变化的规律,包括微分方程模型、差分方程模型等。

这种模型通常用于研究物理过程、生态系统、经济波动等问题。

4.图论模型:图论模型利用图的概念和算法解决问题,包括最短路径、流网络、最小生成树等。

这种模型通常用于网络优化、交通规划、电路设计等问题。

5.随机模型:随机模型描述随机变量的分布和统计性质,包括随机过程、蒙特卡洛模拟等。

这种模型通常用于风险评估、信号处理、金融衍生品定价等问题。

二、常用数学建模技巧1.合理假设:在建立数学模型时,需要根据实际情况进行适当的简化和假设。

通过合理的假设,可以使模型更易求解,同时保持对原问题的关键特征进行准确描述。

2.变量选择:选择合适的变量是建立数学模型的重要一步。

需要根据问题的特点和求解的目标选择与问题相关的变量,并对它们进行合理的定义和界定。

3.数据处理:在数学建模中,经常需要处理大量的数据。

这包括数据的清洗、转换、归一化等操作,以便更好地与模型对接和求解。

4.模型求解:根据模型的数学特征,选择适当的方法和算法进行求解。

这包括常见的数值求解方法、优化算法、统计推断等技术。

5.模型评价:在得到数学模型的解后,需要对解的可行性和有效性进行评价。

通常可以利用灵敏度分析、稳定性分析等方法对模型进行评价和优化。

图与网络方法建模

图与网络方法建模
数学建模培训
Mathematical Modeling
图与网络方法建模
图与网络方法建模
1 2 3 4 图的基本概念 最短路与最小生成树模型 欧拉回路模型 网络流及其应用模型
2011.7.2
Department of Mathematics Department of Mathematics
HUST HUST
v4
4
3 6
v3
当公路网比较复杂时, 是否有更好的算法呢?
Department of Mathematics HUST
4
v5
6
v7
八个城市间公路网
Mathematical Modeling
例1 一个典型的最短路问题
Dijkstra算法
v S:节点集V的一个节点子集,0 S
Sc V \ S
c
对任意 v Si , l v umin l v , l u u, v S
设 l (v0 ) 0, 若 v A, v v0 时
l (v ) , S0 {v0 }, i 0, a0 v0
Department of Mathematics HUST
步骤1
Mathematical Modeling
一般步骤
步骤2
v Si d (v0 , v ), l (v ) min{d (v0 , u) ( u, v )}, S IC1 uSi1
的前提下, 最后又返回到原出发地?
Department of Mathematics HUST
Mathematical Modeling
哥尼斯堡七桥问题
图中的点A,B,C,D: 每块陆地 每一次通 连接相应点之间的线:

2022年数学建模算法与应用-图与网络模型着色问题和旅行商问题

2022年数学建模算法与应用-图与网络模型着色问题和旅行商问题

{'赵','刘','孙'};{'张','王','孙'};{'李','刘','王'}};
n = length(s); w = zeros(n);
for i = 1:n-1
for j =i+1:n
if ~isempty(intersect(s{i},s{j}))
w(i,j)=1;
end
end
end
[ni,nj] = find(w); %边的顶点编号
航空基础学院数学第教8研页室
数学建模算法与应用
第4章 图与网络模型及方法
v1
v5
v6
v3
v2
v4
图 4.14 部门之间关系图
航空基础学院数学第教9研页室
数学建模算法与应用
第4章 图与网络模型及方法
构造图G (V , E),其中V {v1,v2 , ,v6 },这里 v1,v2 , ,v6分别表示部门 1,部门 2,…,部门 6; E 为边集,两个顶点之间有一条边当且仅当它们代表的 委员会成员中有共同的人,如图 4.14 所示,该图可以 用 4 种颜色着色,可以看出至少要用 4 种颜色,v1,v2 ,v3 构成一个三角形,必须用 3 种颜色,v6和这 3 个顶点 都相邻,必须再用一种颜色。
w = w + w'; %计算完整的邻接矩阵
deg = sum(w); K = max(deg) %顶点的最大度
prob = optimproblem;
数学建模算法与应用
第4章 图与网络模型及方法
已知图G (V , E),对图G 的所有顶点进行着色时, 要求相邻的两顶点的颜色不一样,问至少需要几种颜 色?这就是所谓的顶点着色问题。

matlab图与网络分析模型选讲

matlab图与网络分析模型选讲

V ( f ),
若:
f
(v,u)
f
(u,v
)
0,
uV
uV
V ( f ),
则称该网络称为守恒网络。
v vs v vs ,vt
v vt
守恒网络中的流 f 称为可行流。
若存在一个可行流f *,使得对所有可行流 f 都 有V(f *)≥ V(f )成立,则称f *为最大流。
最大流模型:
maxV ( f )
e1 v1
4) 若一对顶点之间有两条以上的边联结,则这些边 称为重边.
5)既没有环也没有重边的图,称为简单图.
6) 若图G的每一条边e 都赋以一个实数w(e),
称w(e)为边e的权,G连同边上的权称为赋权图 ,
记为:G(V,E,W), W={w(e)| e∈E}
7) 图G的中顶点的个数,
5
称为图G的阶;图中与某 个顶点相关联的边的数目,
@sum(node(j): f(j,9))=flow;
@for(arc:@bnd(0,f,c));
data: c= 0 2.5 0 5.6 6.1 0 0 0 0 0 0 7.1 0 0 3.6 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3.4 0 0 0 0 0 4.9 0 7.4 0 0 0 2.4 0 0 0 7.2 5.7 0 0 0 0 3.8 0 0 0 0 5.3 4.5 0 0 0 0 0 3.8 0 0 6.7 0 0 0 0 0 0 0 0 7.4 0 0 0 0 0 0 0 0 0; enddata
s.t:
v jV
f
(vi
,
v
j
)
v jV
f
(v
j
,
vi

数学建模讲义 第8章图论与网络模型

数学建模讲义 第8章图论与网络模型

权值表示两点之间的长度

邻接矩阵M
• 求最短路已有成熟的算法:迪杰斯特拉 (Dijkstra)算法。具体可见数据结构或 者图论方面的参考书。 • 数学规划方法,用Lingo解决:
min z cij xij
i 1 j 1
n
n
1 V0 4
V1 5
2 V3 4
5 2
V4
6 V6 4
V2
起点多一条边出去 1, i 1 n n st : xij x ji 1, i n 终点多一条边进入 j 1 j 1 0, i 1, n
max v f
n
13
3
5
v f , i 1 st : xij x ji v f , i n j 1 j 1 0, i 1, n
n
0 xij cij

除去源点和汇点的流量等于网络总流量之外, 其他点所有流入的流量和流出的流量相等。
最小生 2
1
3 5
2
• 求最小生成树已有成熟的算法:prim算法 和Kruskal算法。具体可见图论方面的参 1 考书。 6 7 • 数学规划方法,用Lingo 解决: 2 3
min z cij xij
i 1 j 1 n n
《数学建模》多媒体课件
第6章 图与网络模型
文法系 高等数学教研室
最短路径问题 例:求以下带权图从V0到V6最短路径。
V1 5 4 V2

1 V0
2
4
0 1 V4 6 5 4 V3 V6 5 2 0 4 V5 0 3 0
1 4 5 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 4 0 3 0 2 4 0 5 2 0 0 0 5 0 0 6 0 3 2 0 0 4 0 0 0 6 4 0

图与网络模型及方法 ppt课件

图与网络模型及方法  ppt课件

三.次(度)的性质
性质1:在图G=(V,E)中,所有点的次之和是边数m的两倍。 证明:由于每条边均与两个顶点关联,因此在计算顶点的次时
每条边都计算了两遍,所以顶点次数的总和等于边数的二倍。
性质2:在任何图G=(V,E)中,奇点的个数为偶数
证明:设V1,V2分别是图G中奇点和偶点的集合,则V1∪V2=V,
e1 e8
e4
v2
e9 e2 v3
{v6, e7 , v1, e8, v4}
不是链
{v5,e4,v4,e9,v2,e2,v3,e3,v4,e8,v1} 简单链
e3
v4
{v6,e5,v5,e7,v1 }
初等链
v1
e6
v6
e7
e1 e8
e5 v5 e4
v2
e9 e2 v3 e3
问题就是求赋权图G 中指定的两个顶点u0 ,v0间的 具最小权的轨。这条轨叫做u0 ,v0间的最短路,它 的权叫做u0 ,v0间的距离,亦记作d(u0 ,v0)
最短轨道问题求法 ---Dijkstra算法
基本思想 是按距 u 0从近到远为顺序,依次求得u 0到G 的各顶点的最短路和距离,直至v 0 (或直 至G 的所有顶点),算法结束。为避免重 复并保留每一步的计算信息,采用了标号 算法。
v• 5
7 v1• 4
56 • v4
2
94
8
v2 • 3 v• 3
0 9 2 4 7 9 0 3 4 0 A 2 3 0 8 5 4 4 8 0 6 7 0 5 6 0
定义:对于图G=(V,E),|V|=n,构造一个矩阵A=(aij)n×n,其中:
aij 10 ( vi , vj其) 它E

精选数学建模中的图与网络分析资料

精选数学建模中的图与网络分析资料

基本思想:寻找增广链,改善流量分布;再重复,直到不 存在任何增广链为止。
步骤:
① 给始点标号:(0,+∞) ② 从已标号点i出发,看与其相关联的未标号点j上的弧,
对μ+,若有0fij<cij,则可对j点标号,记(i,ε (j)), 其中 ε (j)=min{ε (i) ,cij - fij}
对μ-,若有0 < fji cij,也可对j点标号,记( i,ε (j)), 其中 ε (j)=min{ε (i) ,fji} (注:若有多个可标号点,可任选其中之一。)
),
dSD(0)+SdDE(A0) ,BdSE(C0)+ dDEE(0E), dTST(0)+ dTE(0) } =8 S 0 24 4 98 A 2 0 2 3 7 5 12 B 4 2 0 1 4 3 10
D(1)= C 4 3 1 0 5 4 11 D 9 74 5 0 15 E 8 53 4 1 0 6 T 12 10 11 5 7 0
⑻ 割集:一组弧的集合,割断这些弧,能使流中断。简称割。
2019/7/2
--26--
--第6章 图与网络分析--
(v2,2)
v1
9(4)
(v1,2) v3
(0,+∞)
vs
5(4)
6(1)
(v4,1) vt
(vs,2) v2
9(9)
v4 (v3,1)
2019/7/2
cij
fij
--27--
--第6章 图与网络分析--
其中
dij(3)=
min
r
{
dir(2)+
drj(2)
}
SABCDET

数学建模图论详解—图论与网络规划PPT课件

数学建模图论详解—图论与网络规划PPT课件

几何实现图例
在一个图的几何实现中,两条边的交点可能不是
图的顶点。例如图7-4 中,它共有4个顶点,6条
v1
v4
边;而e
e1
3
与e
4 的交点不是这个图的顶点。
v2
e2
e3
e4
e5
v3
e6
v4 v1
v4
e2
e3
e1
v2
e4
e5
v3
e6
v4
平面图
一个图称为平面图,如它有一个平面图形,使得边与边仅在
顶 形点 。相交。图7-5就是一e个4 平v1 面图,因为e1它可以有下v面2 的图
一个图称为简单图,如果
它既没有环也没有多重边。
下图5是简单图。
u 1
本书只限于讨论有限简单图,
即顶点集与边集都是有限集的图。
f1
f5 f2
只有一个顶点的图称为平凡图; 边集是空集的图称为空图。
u3
f3
f4
u2
f6
u4
同构
给定两个图 G (V (G), E(G), G ) 与 H (V (H ), E(H ), H )
称G和H是同构的,记为G H ,
如果存在两个一一对应 ( ,)
:V (G) V (H )
: E(G) E(H )
使的
G (e) uv H ((e)) (u) (v)
同构图例
图G与图H是同构的。
v1 e6
e1 v2
e3
e2
e5
v4
e4
v3
G
u 1
f1
f5 f2
u3
f3
f4
u2
f6
公式(1)是Dijkstra算法的基础。

最新-数学建模中的图与网络分析-PPT课件

最新-数学建模中的图与网络分析-PPT课件

问题:一名邮递员从邮局出发,试选择一条最短的投 递路线?
v1
4
v4
4
1
4
v5
5
2
5
v2
2 v6
4
5 v8
4
v7
v3
7
2 4
v9 邮局
v10
2
v11
1
v12
4
v13
--20--
--第6章 图与网络分析---21--
--第6章 图与网络分析--
奇点:图中次为奇数的点称为奇点。 偶点:图中次为偶数的点称为偶点。
--18--
--第6章 图与网络分析--
例:有7个村镇要联合建立一所小学,已知各村镇小学
生的人数大致为S—30人, A—40人,B—20人,C—15人,
D—35人,E—25人, T—50人。问:学校应建在那一个地
点,可使学生总行程最少?
解:
SABCDET
人数
S 0 2 4 4 8 7 13
30
A 2 0 2 3 6 5 11
(7)圈:始点和终点重合的链。
(8)回路:始点和终点重合的路。
(9)连通图:若一个图中,任意两点之间至少存在一条 链,称这样的图为连通图。 (10)子图,部分图:设图G1={V1,E1}, G2={V2,E2}, 如果有V1V2,E1E2,则称G1是G2的一个子图;若 V1=V2,E1E2,则称G1是G2的一个部分图。 (11)次:某点的关联边的个数称为该点的次,以d(vi)表示。
--3--
二、图的模型
--第6章 图与网络分析--
例:有甲、乙、丙、丁、戊、己六名运动员报名参加A、 B、C、D、E、F六个项目的比赛。如表中所示,打“√”的 项目是各运动员报名参加比赛的项目。问:六个项目的比赛 顺序应如何安排,才能做到使每名运动员不连续地参加两项 比赛?

数学建模图与网络模型

数学建模图与网络模型

1 −1 A= 0 0
问题1:七桥问题
在哥尼斯堡有七座桥将普莱格尔河中的两个岛及岛与 河岸联结起来问题是要从这四块陆地中的任何一块开 始通过每一座桥正好一次,再回到起点。欧拉为了解 决这个问题,采用了建立数学模型的方法。他将每一 块陆地用一个点来代替,将每一座桥用连接相应两点 的一条线来代替,从而得到一个有四个“点”,七条 “线”的“图”。问题成为从任一点出发一笔画出七 条线再回到起点。
问题2(哈密顿环球旅行问题): 问题2(哈密顿环球旅行问题): 2(哈密顿环球旅行问题 十二面体的20个顶点代表世界上20个城市, 20个顶点代表世界上20个城市 十二面体的20个顶点代表世界上20个城市, 能否从某个城市出发在十二面体上依次经过每个 城市恰好一次最后回到出发点? 城市恰好一次最后回到出发点?
如果E的每一条边都是无向边 则称G为 如果 的每一条边都是无向边, 则称 为无向 的每一条边都是无向边 如图1) 如果E的每一条边都是有向边 1); 的每一条边都是有向边, 图(如图1) 如果 的每一条边都是有向边 则称 G为有向图(如图2) 否则 称G为混合图 2); 为有向图(如图2) 否则, 为混合图. 图 1 并且常记 V = {v1, v2, … , vn}, |V | = n ; E = {e1, e2, … , em}(ek=vivj ) , |E | = m. 称点v 为边v 端点. 在有向图中, 称点v 称点 i , vj为边 ivj的端点 在有向图中 称点 i , vj分 别为边v 始点和终点. 别为边 ivj的始点和终点 图 2
d(v1)= d(v3)= d(v4)=4, d(v2)=2.
我们今后只讨论有限简单图: 我们今后只讨论有限简单图: 有限简单图
顶点个数是有限的; (1) 顶点个数是有限的 (2) 任意一条边有且只有两个不同的点与它 相互关联; 相互关联 若是无向图, (3) 若是无向图, 则任意两个顶点最多只有 一条边与之相联结; 一条边与之相联结 若是有向图, (4) 若是有向图, 则任意两个顶点最多只有 两条边与之相联结. 两条边与之相联结. 当两个顶点有两条边与之相 联结时,这两条边的方向相反. 联结时,这两条边的方向相反. 如果某个有限图不满足(2)(3)(4),可在某条 如果某个有限图不满足(2)(3)(4),可在某条 (2)(3)(4), 边上增设顶点使之满足. 边上增设顶点使之满足.

数学建模- 图与网络模型及方法

数学建模- 图与网络模型及方法

欢迎共阅第五章 图与网络模型及方法§1 概论图论起源于18世纪。

第一篇图论论文是瑞士数学家欧拉于1736 年发表的“哥尼斯堡的七座桥”。

1847年,克希霍夫为了给出电网络方程而引进了“树”的概念。

1857年,凯莱在计数烷22 n n H C 的同分异构物时,也发现了“树”。

哈密尔顿于1859年提出“周游世界”游戏,用图论的术语,就是如何找出一个连通图中的生成圈,近几十年来,由于计算机技术和科学的飞速发展,大大地促进了图论研究和应用,图论的理论和方法已经渗透到物理、化学、通讯科学、建筑学、生物遗传学、心理学、经济学、社会学等学科中。

图论中所谓的“图”是指某类具体事物和这些事物之间的联系。

如果我们用点表示这些具体事物,用连接两点的线段(直的或曲的)表示两个事物的特定的联系,就得到了描述这个“图”的几何形象。

图论为任何一个包含了一种二元关系的离散系统提供了一个数学模型,借助于图论的概念、理论和方法,可以对该模型求解。

哥尼斯堡七桥问题就是一个典型的例子。

在哥尼斯堡有七座桥将普莱格尔河中的两个岛及岛与河岸联结起来问题是要从这四块陆地中的任何一块开始通过每一座桥正好一次,再回到起点。

当然可以通过试验去尝试解决这个问题,但该城居民的任何尝试均未成功。

欧拉为了解决这个问题,采用了建立数学模型的方法。

他将每一块陆地用一个点来代替,将每一座桥用连接相应两点的一条线来代替,从而得到一个有四个“点”,七条“线”的“图”。

问题成为从任一点出发一笔画出七条线再回到起点。

欧拉考察了一般一笔画的结构特点,给出了一笔画的一个判定法则:这个图是连通的,且每个点都与偶数线相关联,将这个判定法则应用于七桥问题,得到了“不可能走通”的结果,不但彻底解决了这个问题,而且开创了图论研究的先河。

图与网络是运筹学(Operations Research )中的一个经典和重要的分支,所研究的问题涉及经济管理、工业工程、交通运输、计算机科学与信息技术、通讯与网络技术等诸多领域。

数学建模思想方法大全及方法适用范围

数学建模思想方法大全及方法适用范围

数学建模思想方法大全及方法适用范围数学建模是指运用数学方法和技巧解决实际问题的过程。

不同的问题需要不同的建模方法和思想,下面是一些常用的数学建模思想方法及其适用范围。

1.数学规划方法:包括线性规划、整数规划、非线性规划等。

适用于有约束条件的最优化问题,如资源分配、生产计划等。

2.动态规划方法:适用于具有最优子结构的问题,通过将问题划分为子问题,并利用子问题的最优解构建原问题的最优解。

常用于路径规划、资源管理等。

3.随机过程方法:适用于具有随机特性的问题,如排队论、随机模拟等。

常用于风险评估、金融风险管理等领域。

4.图论方法:适用于用图形表示问题的结构和关系的问题,如网络优化、旅行商问题等。

5.统计建模方法:包括回归分析、时间序列分析、方差分析等。

适用于通过样本数据建立数学模型,分析和预测问题。

6.数据挖掘方法:包括聚类分析、关联规则挖掘、分类预测等。

适用于从大规模数据中发现隐藏的模式和规律。

7.模糊综合评价方法:适用于多指标评价和决策问题,通过模糊数学的方法将主观和客观指标进行综合评价,辅助决策。

8.最优化方法:包括梯度下降法、遗传算法、模拟退火等。

适用于求解无约束优化问题和非线性问题。

9.离散事件系统建模方法:适用于描述离散事件发展过程的问题,如物流调度、生产流程优化等。

10.时空建模方法:适用于描述时空变化和相互作用的问题,常用于交通流动、城市规划等领域。

11.复杂网络建模方法:适用于分析复杂系统中的网络结构和动态特性,如社交网络、生物网络等。

12.随机优化方法:将随机性引入传统的优化方法,如随机梯度下降法、遗传算法等。

以上是一些常用的数学建模思想方法及其适用范围,实际问题的建模过程中可以根据具体情况选择合适的方法,甚至可以综合运用多种方法。

数学建模的关键在于将实际问题抽象为数学问题,并选择合适的数学工具进行求解。

数学建模中的图与网络分析

数学建模中的图与网络分析

生物信息学中的网络分析
生物信息学中的网络分析
生物分子相互作用网络
利用图与网络理论,对生物分子相互作用 、基因调控、蛋白质互作等生物信息进行 建模和分析。
研究生物分子之间的相互作用关系,揭示 生命活动的内在机制。
基因调控网络
蛋白质互作网络
研究基因转录调控的相互作用关系,揭示 基因表达的调控机制。
研究蛋白质之间的相互作用关系,揭示蛋 白质的功能和结构。
析等方面发挥重要作用。
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动态图
总结词
动态图是随着时间变化的图结构,可以表示事物随时间变化的关系。
详细描述
动态图是图论中的一个重要分支,它研究的是图结构随时间的变化。在动态图中,节点和边的出现、消失以及变 化都可以被建模。这种模型在处理时间序列数据、预测未来趋势和动态系统分析等方面具有广泛应用。
加权图与网络
总结词
加权图与网络中,边具有权重,可以表示节点之间的连接强度或关系。
性质
图具有方向性(有向图和无向图)和 权重(加权图和无权图)等性质。
图的分类
有向图
边具有方向,表示对象之间的单向关 系。
无向图
边没有方向,表示对象之间的双向关 系。
加权图
边具有权重,表示对象之间的关系强 度。
无权图
边没有权重,表示对象之间的关系存 在与否。
图的表示方法
邻接矩阵
用矩阵表示图中顶点之间的关系,矩阵元素 表示顶点之间的连接关系。
规则图
根据预设规则生成节点和边,如网格、环状、星 状等。
社区结构图
根据节点间的相似性或关联性生成图,形成具有 社区结构的网络。
网络的形成
无向网络
节点间连接无方向,表示相互关系。

通信网络-图与网络模型及方法

通信网络-图与网络模型及方法

-68-第五章 图与网络模型及方法§1 概论图论起源于18世纪。

第一篇图论论文是瑞士数学家欧拉于1736 年发表的“哥尼斯堡的七座桥”。

1847年,克希霍夫为了给出电网络方程而引进了“树”的概念。

1857年,凯莱在计数烷22+n n H C 的同分异构物时,也发现了“树”。

哈密尔顿于1859年提出“周游世界”游戏,用图论的术语,就是如何找出一个连通图中的生成圈、近几十年来,由于计算机技术和科学的飞速发展,大大地促进了图论研究和应用,图论的理论和方法已经渗透到物理、化学、通讯科学、建筑学、运筹学,生物遗传学、心理学、经济学、社会学等学科中。

图论中所谓的“图”是指某类具体事物和这些事物之间的联系。

如果我们用点表示这些具体事物,用连接两点的线段(直的或曲的)表示两个事物的特定的联系,就得到了描述这个“图”的几何形象。

图论为任何一个包含了一种二元关系的离散系统提供了一个数学模型,借助于图论的概念、理论和方法,可以对该模型求解。

哥尼斯堡七桥问题就是一个典型的例子。

在哥尼斯堡有七座桥将普莱格尔河中的两个岛及岛与河岸联结起来,问题是要从这四块陆地中的任何一块开始通过每一座桥正好一次,再回到起点。

图1 哥尼斯堡七桥问题当然可以通过试验去尝试解决这个问题,但该城居民的任何尝试均未成功。

欧拉为了解决这个问题,采用了建立数学模型的方法。

他将每一块陆地用一个点来代替,将每一座桥用连接相应两点的一条线来代替,从而得到一个有四个“点”,七条“线”的“图”。

问题成为从任一点出发一笔画出七条线再回到起点。

欧拉考察了一般一笔画的结构特点,给出了一笔画的一个判定法则:这个图是连通的,且每个点都与偶数线相关联,将这个判定法则应用于七桥问题,得到了“不可能走通”的结果,不但彻底解决了这个问题,而且开创了图论研究的先河。

图与网络是运筹学(Operations Research )中的一个经典和重要的分支,所研究的问题涉及经济管理、工业工程、交通运输、计算机科学与信息技术、通讯与网络技术等诸多领域。

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第五章 图与网络模型及方法§1 概论图论起源于18世纪。

第一篇图论论文是瑞士数学家欧拉于1736 年发表的“哥尼斯堡的七座桥”。

1847年,克希霍夫为了给出电网络方程而引进了“树”的概念。

1857年,凯莱在计数烷22 n n H C 的同分异构物时,也发现了“树”。

哈密尔顿于1859年提出“周游世界”游戏,用图论的术语,就是如何找出一个连通图中的生成圈,近几十年来,由于计算机技术和科学的飞速发展,大大地促进了图论研究和应用,图论的理论和方法已经渗透到物理、化学、通讯科学、建筑学、生物遗传学、心理学、经济学、社会学等学科中。

图论中所谓的“图”是指某类具体事物和这些事物之间的联系。

如果我们用点表示这些具体事物,用连接两点的线段(直的或曲的)表示两个事物的特定的联系,就得到了描述这个“图”的几何形象。

图论为任何一个包含了一种二元关系的离散系统提供了一个数学模型,借助于图论的概念、理论和方法,可以对该模型求解。

哥尼斯堡七桥问题就是一个典型的例子。

在哥尼斯堡有七座桥将普莱格尔河中的两个岛及岛与河岸联结起来问题是要从这四块陆地中的任何一块开始通过每一座桥正好一次,再回到起点。

当然可以通过试验去尝试解决这个问题,但该城居民的任何尝试均未成功。

欧拉为了解决这个问题,采用了建立数学模型的方法。

他将每一块陆地用一个点来代替,将每一座桥用连接相应两点的一条线来代替,从而得到一个有四个“点”,七条“线”的“图”。

问题成为从任一点出发一笔画出七条线再回到起点。

欧拉考察了一般一笔画的结构特点,给出了一笔画的一个判定法则:这个图是连通的,且每个点都与偶数线相关联,将这个判定法则应用于七桥问题,得到了“不可能走通”的结果,不但彻底解决了这个问题,而且开创了图论研究的先河。

图与网络是运筹学(Operations Research )中的一个经典和重要的分支,所研究的问题涉及经济管理、工业工程、交通运输、计算机科学与信息技术、通讯与网络技术等诸多领域。

下面将要讨论的最短路问题、最大流问题、最小费用流问题和匹配问题等都是图与网络的基本问题。

我们首先通过一些例子来了解网络优化问题。

例1 最短路问题(SPP -shortest path problem )一名货柜车司机奉命在最短的时间内将一车货物从甲地运往乙地。

从甲地到乙地的公路网纵横交错,因此有多种行车路线,这名司机应选择哪条线路呢?假设货柜车的运行速度是恒定的,那么这一问题相当于需要找到一条从甲地到乙地的最短路。

例2 公路连接问题某一地区有若干个主要城市,现准备修建高速公路把这些城市连接起来,使得从其中任何一个城市都可以经高速公路直接或间接到达另一个城市。

假定已经知道了任意两个城市之间修建高速公路的成本,那么应如何决定在哪些城市间修建高速公路,使得总成本最小?例3 指派问题(assignment problem )一家公司经理准备安排N 名员工去完成N 项任务,每人一项。

由于各员工的特点不同,不同的员工去完成同一项任务时所获得的回报是不同的。

如何分配工作方案可以使总回报最大?例4 中国邮递员问题(CPP -chinese postman problem ) 一名邮递员负责投递某个街区的邮件。

如何为他(她)设计一条最短的投递路线(从邮局出发,经过投递区内每条街道至少一次,最后返回邮局)?由于这一问题是我国管梅谷教授1960年首先提出的,所以国际上称之为中国邮递员问题。

例5 旅行商问题(TSP -traveling salesman problem )一名推销员准备前往若干城市推销产品。

如何为他(她)设计一条最短的旅行路线(从驻地出发,经过每个城市恰好一次,最后返回驻地)?这一问题的研究历史十分悠久,通常称之为旅行商问题。

例6 运输问题(transportation problem ) 某种原材料有M 个产地,现在需要将原材料从产地运往N 个使用这些原材料的工厂。

假定M 个产地的产量和N 家工厂的需要量已知,单位产品从任一产地到任一工厂的运费已知,那么如何安排运输方案可以使总运输成本最低?上述问题有两个共同的特点:一是它们的目的都是从若干可能的安排或方案中寻求某种意义下的最优安排或方案,数学上把这种问题称为最优化或优化(optimization )问题;二是它们都易于用图形的形式直观地描述和表达,数学上把这种与图相关的结构称为网络(network )。

与图和网络相关的最优化问题就是网络最优化或称网络优化 (netwok optimization )问题。

所以上面例子中介绍的问题都是网络优化问题。

由于多数网络优化问题是以网络上的流(flow )为研究的对象,因此网络优化又常常被称为网络流(network flows )或网络流规划等。

下面首先简要介绍图与网络的一些基本概念。

§2 图与网络的基本概念2.1 无向图一个无向图(undirected graph)G 是由一个非空有限集合)(G V 和)(G V 中某些元素的无序对集合)(G E 构成的二元组,记为))(),((G E G V G =。

其中},,,{)(21n v v v G V Λ=称为图G 的顶点集(vertex set )或节点集(node set ), )(G V 中的每一个元素),,2,1(n i v i Λ=称为该图的一个顶点(vertex )或节点(node );},,,{)(21m e e e G E Λ=称为图G 的边集(edge set ),)(G E 中的每一个元素k e (即)(G V 中某两个元素j i v v ,的无序对) 记为),(j i k v v e =或i j j i k v v v v e == ),,2,1(m k Λ=,被称为该图的一条从i v 到j v 的边(edge )。

当边j i k v v e =时,称j i v v ,为边k e 的端点,并称j v 与i v 相邻(adjacent );边k e 称为与顶点j i v v ,关联(incident )。

如果某两条边至少有一个公共端点,则称这两条边在图G 中相邻。

边上赋权的无向图称为赋权无向图或无向网络(undirected network )。

我们对图和网络不作严格区分,因为任何图总是可以赋权的。

一个图称为有限图,如果它的顶点集和边集都有限。

图G 的顶点数用符号||V 或)(G ν表示,边数用||E 或)(G ε表示。

当讨论的图只有一个时,总是用G 来表示这个图。

从而在图论符号中我们常略去字母G ,例如,分别用ν,,E V 和ε代替)(),(),(G G E G V ν和)(G ε。

端点重合为一点的边称为环(loop)。

一个图称为简单图(simple graph),如果它既没有环也没有两条边连接同一对顶点。

2.2 有向图定义 一个有向图(directed graph 或 digraph )G 是由一个非空有限集合V 和V 中某些元素的有序对集合A 构成的二元组,记为),(A V G =。

其中},,,{21n v v v V Λ=称为图G 的顶点集或节点集, V 中的每一个元素),,2,1(n i v i Λ=称为该图的一个顶点或节点;},,,{21m a a a A Λ=称为图G 的弧集(arc set ),A 中的每一个元素k a (即V 中某两个元素j i v v ,的有序对) 记为),(j i k v v a =或),,2,1(n k v v a j i k Λ==,被称为该图的一条从i v 到j v 的弧(arc )。

当弧j i k v v a =时,称i v 为k a 的尾(tail ),j v 为k a 的头(head ),并称弧k a 为i v 的出弧(outgoing arc ),为j v 的入弧(incoming arc )。

对应于每个有向图D ,可以在相同顶点集上作一个图G ,使得对于D 的每条弧,G 有一条有相同端点的边与之相对应。

这个图称为D 的基础图。

反之,给定任意图G ,对于它的每个边,给其端点指定一个顺序,从而确定一条弧,由此得到一个有向图,这样的有向图称为G 的一个定向图。

以下若未指明“有向图”三字,“图”字皆指无向图。

2.3 完全图、二分图每一对不同的顶点都有一条边相连的简单图称为完全图(complete graph)。

n 个顶点的完全图记为n K 。

若Y X G V Y =)(,Φ=Y X I ,0||||≠Y X (这里||X 表示集合X 中的元素个数),X 中无相邻顶点对,Y 中亦然,则称G 为二分图(bipartite graph);特别地,若Y y X x ∈∀∈∀,,则)(G E xy ∈,则称G 为完全二分图,记成|||,|Y X K 。

2.4 子图图H 叫做图G 的子图(subgraph ),记作G H ⊂,如果)()(G V H V ⊂,)()(G E H E ⊂。

若H 是G 的子图,则G 称为H 的母图。

G 的支撑子图(spanning subgraph ,又成生成子图)是指满足)()(G V H V =的子图H 。

2.5 顶点的度设)(G V v ∈,G 中与v 关联的边数(每个环算作两条边)称为v 的度(degree),记作)(v d 。

若)(v d 是奇数,称v 是奇顶点(odd point);)(v d 是偶数,称v 是偶顶点(even point)。

关于顶点的度,我们有如下结果:(i)∑∈=Vv v d ε2)((ii) 任意一个图的奇顶点的个数是偶数。

2.6 图与网络的数据结构网络优化研究的是网络上的各种优化模型与算法.为了在计算机上实现网络优化的算法,首先我们必须有一种方法(即数据结构)在计算机上来描述图与网络。

一般来说,算法的好坏与网络的具体表示方法,以及中间结果的操作方案是有关系的。

这里我们介绍计算机上用来描述图与网络的5种常用表示方法:邻接矩阵表示法、关联矩阵表示法、弧表表示法、邻接表表示法和星形表示法。

在下面数据结构的讨论中,我们首先假设),(A V G =是一个简单有向图,m A n V ==||,||,并假设V 中的顶点用自然数n ,,2,1Λ表示或编号,A 中的弧用自然数m ,,2,1Λ表示或编号。

对于有多重边或无向网络的情况,我们只是在讨论完简单有向图的表示方法之后,给出一些说明。

(i )邻接矩阵表示法邻接矩阵表示法是将图以邻接矩阵(adjacency matrix )的形式存储在计算机中。

图),(A V G =的邻接矩阵是如下定义的:C 是一个n n ⨯的10-矩阵,即n n n n ij c C ⨯⨯∈=}1,0{)(, ⎩⎨⎧∉∈=.),(,0,),(,1A j i A j i c ij也就是说,如果两节点之间有一条弧,则邻接矩阵中对应的元素为1;否则为0。

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