04.二次根式全章复习与巩固讲义
《二次根式》全章复习与巩固(基础)知识讲解
《二次根式》全章复习与巩固（基础）知识讲解【学习目标】1、理解并掌握二次根式、最简二次根式、同类二次根式的定义和性质.2、熟练掌握二次根式的加、减、乘、除运算，会用它们进行有关实数的四则运算.3、了解代数式的概念，进一步体会代数式在表示数量关系方面的作用. 【知识网络】【要点梳理】要点一、二次根式的相关概念和性质 1.二次根式形如(0)a a ≥的式子叫做二次根式，如13,,0.02,02等式子，都叫做二次根式. 要点诠释：二次根式a 有意义的条件是0a ≥，即只有被开方数0a ≥时，式子a 才是二次根式，a 才有意义. 2.二次根式的性质 （1）； （2）；（3）.要点诠释：（1） 一个非负数a 可以写成它的算术平方根的平方的形式，即a 2a =（0a ≥），如2221122););)33x x ===（0x ≥）. （2）2a a 的取值范围可以是任意实数，即不论a 2a .（3a ，再根据绝对值的意义来进行化简.（42的异同a 可以取任何实数，而2中的a 必须取非负数；a ，2=a （0a ≥）.相同点：被开方数都是非负数，当a 2.3.最简二次根式（1）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式； （2）被开方数中不含有分母； （3）分母中不含有根号.满足这三个条件的二次根式叫做最简二次根式.等都是最简二次根式.要点诠释：最简二次根式有两个要求：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中每个因式的指数都小于根指数2. 4.同类二次根式几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同，这几个二次根式就叫同类二次根式. 要点诠释：判断是否是同类二次根式，一定要化简到最简二次根式后，看被开方数是否相同，再判断.显然是同类二次根式. 要点二、二次根式的运算 1.乘除法（1）乘除法法则： 类型 法则逆用法则二次根式的乘法0,0)a b =≥≥积的算术平方根化简公式：0,0)a b =≥≥二次根式的除法0,0)a b≥>商的算术平方根化简公式：0,0)a b =≥>要点诠释：（1）当二次根式的前面有系数时，可类比单项式与单项式相乘（或相除）的法则，如=（2）被开方数a 、b 一定是非负数（在分母上时只能为正数）.≠. 2.加减法将二次根式化为最简二次根式后，将同类二次根式的系数相加减，被开方数和根指数不变，即合并同类二次根式.要点诠释：二次根式相加减时，要先将各个二次根式化成最简二次根式，再找出同类二次根式，最后合并同类二次根式.如23252(135)22+-=+-=-. 【典型例题】类型一、二次根式的概念与性质1． 当________时，二次根式3x -在实数范围内有意义. 【答案】x ≥3.【解析】根据二次根式的性质，必须3x -≥0才有意义.【总结升华】本例考查了二次根式成立的条件，要牢记，只有0a ≥时a 才是二次根式. 举一反三【高清课堂：二次根式 高清ID 号：388065 关联的位置名称：填空题5】 【变式】①242x x =-成立的条件是 . ②2233x x x x--=--成立的条件是 . 【答案】① x ≤0；(2422x x x x ==-∴≤0.)② 2≤3x <.(20,30,x x -->∴≥2≤3x <)2．当0≤x ＜1时，化简21x x +-的结果是__________.【思路点拨】由范围判断x 、x －1的符号，再根据利用二次根式的性质化简二次根式，即2a =a ，同时联系绝对值的意义正确解答.【答案】 1.【解析】因为x ≥0，所以2x =x ；又因为x <1,即x -1<0,所以1(1)1x x x -=--=-，所以21x x +-=x +1-x =1.【总结升华】本题考查绝对值与二次根式的化简． 举一反三 【变式】（x ＞0，y ＞0）【答案】 解：原式=﹣=﹣，∵x＞0，y ＞0， ∴原式=﹣=﹣3xy ．3.下列二次根式中属于最简二次根式的是（ ）.A. 14B. 48C. abD. 44a + 【答案】A.【解析】选项B ：48=43；选项C ：有分母；选项D ：44a +=21a +，所以选A. 【总结升华】本题考查了最简二次根式的定义. 类型二、二次根式的运算4．（2016秋•普宁市期末）计算：（2﹣）（2+）+（2﹣）2﹣．【思路点拨】原式利用平方差公式，完全平方公式化简，计算即可得到结果． 【答案与解析】解：原式=4﹣5+4﹣4+2﹣=5﹣．【总结升华】此题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 举一反三 【变式】计算：48(54453)833-+⨯. 【答案】243610-.5.化简：20102011(32)(32)⋅.【思路点拨】3232)互为有理化因子，所以利用幂的运算法则使其尽可能地结合在一些进行乘法运算. 【答案与解析】 解：201020102010=(32)32)(32)(32)32)32)132)3 2.⋅⋅⎡⎤=⋅⋅⎣⎦=⋅=原式【总结升华】本题的求解用到了积的乘方的性质，乘法运算律，平方差公式及根式的性质，是一道综合运算题型.6 已知2231,12x x x x=-+求.【答案与解析】 解：2231,1=30,(1)1313331=3x x x xx x x =+∴->∴=--++==原式当时，原式【总结升华】化简求值时要注意x 的取值范围，如果未确定要注意分类讨论. 举一反三【高清课堂:二次根式 高清ID 号：388065关联的位置名称：计算技巧6-7】 【变式】已知a b +=-3, ab =1,求ab b a +的值. 【答案】解：∵a b +=-3,ab =1，∴<0a ,<0b ，11++)=-=3ab ab a b b a ab∴原式.。
【教案参考】《二次根式》全章复习与巩固
《二次根式》专题第四讲：《二次根式》全章复习与巩固一、 化简1、无条件的（所有字母取正数） 348m n ②2296x xy y ++③2(223)12-+-2、有附加条件的212a (0)a ＜ 25(03)x x -（2x+1）＜＜3、 有隐含条件的（有意义的字母的取值范围） ①22(1269x x x --+ ②31a a --4、 需要分类讨论的298m 22(1)(2)m m +-二、 因式分解（实数范围内）①44a a + ②232)6x x +③222215x x +-三、解方程（组） ①2253x x = ②236326x x ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩四、填空1、20072008(23)32)=223-x ，小数部分为y ，则32x y +=3、①20(45(5132+=-②127(23)3-⎡⎤=⎣⎦41514 1413-5、∆ABC 的三边长为a 、b 、c 22()()a b c a b c --+-=6242x x =-成立的条件是2233x x x x--=--成立的条件是7)()()()())()a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b ⎧-==-+-=⎨+⎪=+ 哪个对？五、计算技巧：1336=-2757575=-3、25552525=--4、化简b ab b a ab a -++5、化简(ab b ab a b a ab÷-+6、已知a+b=-3,ab=1,求ab b a 的值.7、如图所示，有一块边长为1的正方形铁片，将其每个角都剪下一个小等腰三角形，使其成为每条边都相等的八边形，求这个八边形的边长，你能将其结果写成没有分母或分母不带根号的形式吗？D CB A。
(全册系列精选)华东师大初中数学九年级上册二次根式全章复习与巩固(提高)知识讲解
《二次根式》全章复习与巩固--知识讲解（提高）【学习目标】1、理解并掌握二次根式、最简二次根式、同类二次根式的定义和性质.2、熟练掌握二次根式的加、减、乘、除运算，会用它们进行有关实数的四则运算.3、了解代数式的概念，进一步体会代数式在表示数量关系方面的作用. 【知识网络】【要点梳理】知识点一、二次根式的相关概念和性质 1. 二次根式形如(0)a a ≥的式子叫做二次根式，如13,,0.02,02等式子，都叫做二次根式. 要点诠释：二次根式a 有意义的条件是0a ≥，即只有被开方数0a ≥时，式子a 才是二次根式，a 才有意义. 2.二次根式的性质 （1）； （2）；（3）.要点诠释：（1） 一个非负数a 可以写成它的算术平方根的平方的形式，即a 2()a =（0a ≥），如222112(2);();()33x x ===（0x ≥）. （2） 2a 中a 的取值范围可以是任意实数，即不论a 取何值，2a 一定有意义.（3）化简2a 时，先将它化成a ，再根据绝对值的意义来进行化简.（4）2a 与2()a 的异同不同点：2a 中a 可以取任何实数，而2()a 中的a 必须取非负数；2a =a ，2()a =a （0a ≥）.相同点：被开方数都是非负数，当a 取非负数时，2a =2()a .3. 最简二次根式1）被开方数是整数或整式；2)被开方数中不含能开方的因数或因式.满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式.如222,,3,ab x a b +等都是最简二次根式.要点诠释：最简二次根式有两个要求：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中每个因式的指数都小于根指数2. 4.同类二次根式几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同，这几个二次根式就叫同类二次根式.要点诠释：判断是否是同类二次根式，一定要化简到最简二次根式后，看被开方数是否相同，再判断.如2与8，由于8=22，2与8显然是同类二次根式. 知识点二、二次根式的运算 1. 乘除法（1）乘除法法则：类型 法则 逆用法则二次根式的乘法(0,0)a b ab a b ⨯=≥≥积的算术平方根化简公式：(0,0)ab a b a b =⨯≥≥二次根式的除法(0,0)a a a b b b=≥>商的算术平方根化简公式：(0,0)a aa b b b=≥>要点诠释：（1）当二次根式的前面有系数时，可类比单项式与单项式相乘（或相除）的法则，如a b c d ac bd ⋅=.（2）被开方数a 、b 一定是非负数（在分母上时只能为正数）.如(4)(9)49-⨯-≠-⨯-.2.加减法将二次根式化为最简二次根式后，将同类二次根式的系数相加减，被开方数和根指数不变，即合并同类二次根式. 要点诠释：二次根式相加减时，要先将各个二次根式化成最简二次根式，再找出同类二次根式，最后合并同类二次根式.如23252(135)22+-=+-=-. 【典型例题】类型一、二次根式的概念与性质1． x 是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？ (1)； (2).【答案】（1）;（2）.【解析】(1) 要使在实数范围内有意义，则必有∴当时，在实数范围内有意义；(2) 要使在实数范围内有意义，则必有∴当时，在实数范围内有意义；【总结升华】本例考查了二次根式成立的条件，要牢记，只有0a ≥时a 才是二次根式. 举一反三： 【变式】已知，求的值.【答案】根据二次根式的意义有将代入已知等式得2.（2016•柘城县校级一模）把1a a--中根号外的因式移到根号内的结果是( ). A ．a - B ．a - C ．a -- D ．a 【答案】A.【解析】由二次根式的意义知10a-> ，则0a <()211a a a a a--=-⨯-=-. 【总结升华】在利用二次根式性质化简时，要注意其符号，要明确a 是非负数，反过来将根号外的因式移到根号内时，也必须向里移非负数。
二次根式复习1-完整版PPT课件
或因式；
（3）几个二次根式化成最简二次根 式后，如果被开方数相同，那么这 几个二次根式叫做同类二次根式。
2二次根式的性质1：
（1） 非负性 ： a0(a)
(2) a)2 a(a0)
a (a 0)
(3) a2 a 0 (a 0 )
a(a 0)
注：若 则a;2 a a 0 若 则a 2; a a 0
(1) 48
(2) 3 2
(3) 3 3 5
(4) 0.4
(5) 3 24
(6) 3a2b(a0,b0)
变式应用
1.式子 (a1)2 a1 成立的条件是（ D ）
A.a1 B.a1 C.a1 D.a1
2、化简
2
1- 3
解1-： 321- 331
题型4:同类二次根式
1.下列与 A. 1 2
2010-01-04
本章知识
1二次根式的有关概念： （1）二次根式（2）最简二次根式（3）同 类二次根式
（1）形如 的 式a子(a叫做0二)次根式
（即一个 的非算术 被开方数大于或等于零
（2）满足下列两个条件的二次根式， 叫做最简二次根式： ①被开方数不含分母；
2二次根式的性质2：
(4 )a b ab(a 0 ,b 0 )
(5) aa(a0 b0) bb
题型1:二次根式有意义的条件 取何值时，下列二次根式有意义：
① x3
② 3x 2
③ 1 3x
④
5 1 x
⑤
x2
5
2 ⑥x
3
⑦ 1 2x
⑧ x2 1
x 2 ( 吉林 ）当 __≤__3_时， 3 x有意义。
1.已知： x4 2xy0,求 x y 的值.
(全册系列精选)华东师大初中数学九年级上册二次根式全章复习与巩固(基础)知识讲解 2
《二次根式》全章复习与巩固--知识讲解（基础）【学习目标】1、理解并掌握二次根式、最简二次根式、同类二次根式的定义和性质.2、熟练掌握二次根式的加、减、乘、除运算，会用它们进行有关实数的四则运算.3、了解代数式的概念，进一步体会代数式在表示数量关系方面的作用. 【知识网络】【要点梳理】要点一、二次根式的相关概念和性质 1. 二次根式0)a ≥的式子叫做二次根式，都叫做二次根式.要点诠释：有意义的条件是0a ≥，即只有被开方数0a ≥才. 2.二次根式的性质 （1）； （2）；（3）.要点诠释：（1） 一个非负数a 可以写成它的算术平方根的平方的形式，即a 2=（0a ≥），如22212;;3x ===（0x ≥）.（2）a 的取值范围可以是任意实数，即不论a .（3a ，再根据绝对值的意义来进行化简.（42的异同a 可以取任何实数，而2中的a 必须取非负数；a ，2=a （0a ≥）.相同点：被开方数都是非负数，当a 2.3. 最简二次根式（1）被开方数是整数或整式；（2)被开方数中不含能开方的因数或因式.满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式.简二次根式.要点诠释：最简二次根式有两个要求：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中每个因式的指数都小于根指数2. 4.同类二次根式几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同，这几个二次根式就叫同类二次根式.要点诠释：判断是否是同类二次根式，一定要化简到最简二次根式后，看被开方数是否相同，再判断.=. 要点二、二次根式的运算 1. 乘除法（1）乘除法法则：类型 法则逆用法则二次根式的乘法0,0)a b =≥≥积的算术平方根化简公式：0,0)a b =≥≥二次根式的除法0,0)a b≥>商的算术平方根化简公式：0,0)a b =≥>要点诠释：（1）当二次根式的前面有系数时，可类比单项式与单项式相乘（或相除）的法则，如=.（2）被开方数a 、b 一定是非负数（在分母上时只能为正数）.如.2.加减法将二次根式化为最简二次根式后，将同类二次根式的系数相加减，被开方数和根指数不变，即合并同类二次根式. 要点诠释：二次根式相加减时，要先将各个二次根式化成最简二次根式，再找出同类二次根式，最后合并同类二次根式.(13=+-=【典型例题】类型一、二次根式的概念与性质1． 当________在实数范围内有意义. 【答案】x ≥3.【解析】根据二次根式的性质，必须3x -≥0才有意义.【总结升华】本例考查了二次根式成立的条件，要牢记，只有0a ≥. 举一反三【高清课堂：二次根式 高清ID 号：388065 关联的位置名称：填空题5】2x =-成立的条件是 .=成立的条件是 . 【答案】① x ≤0；(2422x x x x ==-∴≤0.)② 2≤3x <.(20,30,x x -->∴≥2≤3x <)2．当0≤x <11x -的结果是__________.【答案】 1.【解析】因为x ≥0，x ；又因为x <1,即x -1<0,所以1(1)1x x x -=--=-，1x -=x +1-x =1.【总结升华】a ，同时联系绝对值的意义正确解答. 举一反三【变式】（2015春•大冶市期末）已知﹣=2，则+的值为_____________． 【答案】5. 解：∵﹣=2， ∴=+2，两边平方得，25﹣x 2=4+15﹣x 2+4，∴2=3，两边平方得4（15﹣x2）=9，化简，得x2=，∴+=+=5．故答案为：5．3.下列二次根式中属于最简二次根式的是（）.【答案】A.【解析】选项B=C：有分母；选项D=，所以选A.【总结升华】本题考查了最简二次根式的定义.最简二次根式要满足：（1）被开方数是整数或是整式；（2）被开方数中不含能开方的因式或因数.类型二、二次根式的运算4．（2016•来宾）下列计算正确的是（）A．﹣=B．3×2=6C．（2）2=16 D．=1【答案】B.【解析】解：A、不能化简，所以此选项错误；B、3×=6，所以此选项正确；C、（2）2=4×2=8，所以此选项错误；D、==，所以此选项错误；故选B．【总结升华】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的计算法则是关键，要注意：①二次根式的运算结果要化为最简二次根式；②与有理数的混合运算一致，运算顺序先乘方再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的；③灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径．举一反三【变式】计算：-【答案】5.化简20102011⋅. 【答案与解析】2010201020101⋅⋅⎡⎤=⋅⋅⎣⎦=⋅=原式【总结升华】本题的求解用到了积的乘方的性质，乘法运算律，平方差公式及根式的性质，是一道综合运算题型.6.已知1,x =.【答案与解析】31,0,1313x x xx x =+∴->∴=-+==原式当时，原式【总结升华】 化简求值时要注意x 的取值范围，如果未确定要注意分类讨论. 举一反三【高清课堂:二次根式 高清ID 号：388065关联的位置名称：计算技巧6-7】 【变式】已知a b +=-3,ab =1,求ab b a +的值. 【答案】∵a b +=-3,ab =1，∴<0a ,<0b11+=+)=-=3--a b b a b a ab∴+原式.。
二次根式全章复习知识点
《二次根式》全章复习与巩固--知识讲解（基础）【学习目标】1、理解并掌握二次根式、最简二次根式、同类二次根式的定义和性质.2、熟练掌握二次根式的加、减、乘、除运算，会用它们进行有关实数的四则运算.3、了解代数式的概念，进一步体会代数式在表示数量关系方面的作用. 【知识网络】【要点梳理】要点一、二次根式的相关概念和性质 1. 二次根式形如(0)a a ≥的式子叫做二次根式，如13,,0.02,02等式子，都叫做二次根式. 要点诠释：二次根式a 有意义的条件是0a ≥，即只有被开方数0a ≥时，式子a 才是二次根式，a 才有意义. 2.二次根式的性质 （1）； （2）；（3）.要点诠释：（1） 一个非负数a 可以写成它的算术平方根的平方的形式，即a 2()a =（0a ≥），如2221122););()33x x ===（0x ≥）. （2）2a a 的取值范围可以是任意实数，即不论a 2a .（3a ，再根据绝对值的意义来进行化简.（42的异同a 可以取任何实数，而2中的a 必须取非负数；a ，2=a （0a ≥）.相同点：被开方数都是非负数，当a 2.3. 最简二次根式（1）被开方数是整数或整式；（2)被开方数中不含能开方的因数或因式.满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式.等都是最简二次根式.要点诠释：最简二次根式有两个要求：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中每个因式的指数都小于根指数2. 4.同类二次根式几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同，这几个二次根式就叫同类二次根式. 要点诠释：判断是否是同类二次根式，一定要化简到最简二次根式后，看被开方数是否相同，再判断.=显然是同类二次根式. 要点二、二次根式的运算 1. 乘除法（1）乘除法法则：类型 法则逆用法则二次根式的乘法0,0)a b =≥≥积的算术平方根化简公式：0,0)a b =≥≥二次根式的除法0,0)a b≥>商的算术平方根化简公式：0,0)a b=≥>要点诠释：（1）当二次根式的前面有系数时，可类比单项式与单项式相乘（或相除）的法则，如= （2）被开方数a 、b 一定是非负数（在分母上时只能为正数）.如≠.2.加减法将二次根式化为最简二次根式后，将同类二次根式的系数相加减，被开方数和根指数不变，即合并同类二次根式. 要点诠释：二次根式相加减时，要先将各个二次根式化成最简二次根式，再找出同类二次根式，=+-=最后合并同类二次根式.(13。
二次根式全章复习
①都是形如 a 的式子，
②a都是非负数.
一般地，形如 a（a≥0）的式子叫做二次根式．
其中a为整式或分式，a叫做被开方式．
1.判断下列各式是否是二次根式.
5 ( × ) a (a 0)( × ) 3 8 ( × ) a (a 0)( √ )
2. 下列各式一定是二次根式的是（ C ）.
A. x +1 B. x2 1
（2）如图所示，AD⊥DC于D，
A
BC⊥CD于C，
若点P为线段CD上动点。
B
①则AD=__2__ BC=__1__
DP C
拓展2
已知△ABP的一边AB= 10，
（1）在如图所示的4×4的方格中画出格点△ABP，使
三角形的三边为 5， 5， 10，
（2）如图所示，AD⊥DC于D，
A
BC⊥CD于C，
若点P为线段CD上动点。
1
a +1
2 1
1 2a
3 a 32
解：（1）由题意得：
a +1 0 a 1
即当 a 1 时， a +1 有意义.
（2）a 1 2
a (3) 为任意实数
求二次根式中字母的取值范围的基本依据：
①被开方数不小于零；
②分母中有字母时，要保证分母不为零。
1、 x取何值时,下列二次根式有意义?
(1) x 1 x 1 (2) 3x x 0
B
② 设DP=a,请用含a的代数式表
示AP，BP。则AP=___a_2_+_4____，
D
PC
B③P=当__a_(=_31__a时)_2_+，_1_则。PA+PB=__2__5__,当a=3,则PA+PB=_1_+__1_3_
二次根式复习课件
近似计算的意义：在实际问题中，有时需要计算二次根式的近似值 近似计算的方法：可以通过泰勒级数展开、牛顿迭代法等方法进行近似计算 近似计算的精度：根据实际需要选择合适的近似计算方法，以提高计算精度 近似计算的应用：在工程、物理、化学等领域，二次根式的近似计算有着广泛的应用
概念：二次根 式的无理数表 示是指将二次 根式转化为无
相似三角形：二次根式在相 似三角形中的应用
圆周率：二次根式在圆周率 中的应用
测量：测量距离、 角度等
计算：计算面积、 体积等
工程：建筑、机 械等工程计算
科学：物理、化 学等科学计算
解方程：二次根式方程的求解 求值：二次根式的值域和取值范围 证明：二次根式的不等式证明 应用：二次根式在几何、代数、概率等领域的应用
化简技巧：利用平 方差公式、完全平 方公式等技巧进行 化简
同分母二次根式加减法：将分母化为相同，再相加或相减 异分母二次根式加减法：将分母化为相同，再相加或相减 带分数二次根式加减法：将带分数化为假分数，再相加或相减 混合二次根式加减法：将二次根式化为最简二次根式，再相加或相减
二次根式的乘法：将两个二次根式 的被开方数相乘，根指数不变
二次根式的乘方：将二次根式乘方， 根指数变为原来的2倍
添加标题
添加标题
添加标题
添加标题
二次根式的除法：将两个二次根式 的被开方数相除，根指数不变
二次根式的开方：将二次根式开方， 根指数变为原来的1/2倍
乘法运算：将两个二次根式化 为最简二次根式后，再进行乘 法运算
减法运算：将两个二次根式化 为最简二次根式后，再进行减 法运算
根
二次根式的几 何意义是表示 一个数的平方
根
二次根式的几 何意义是表示 一个数的平方
人教版八年级二次根式知识点总结课件
A≥0且B≠0.
练一练
1.下列各式： 3; 5; a2 ; x 1 x≥1；3 27; x2 2x 1.
一定是二次根式的有
（ B）
A.3个 B.4个 C.5个 D.6个
2.(1)若式子 x 1 在实数范围内有意义，则x的取值 2 范围是_x__≥_1___;
(2)若式子
x
1
2
x 在实数范围内有意义，则x的
人教版八年级二次根式 全章知识点总结课件
一.二次式的概念及有关性质
1.理解二次根式的概念.（重点） 2.掌握二次根式有意义的条件.（重点） 3.会利用二次根式的非负性解决相关问题.（难点）
问题引入
问题1 什么叫做平方根? 一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫
做a的平方根.
问题2 什么叫做算术平方根? 如果 x2 = a（x≥0），那么 x 称为 a 的算术平方根.
总结
利用二次根式的除法法则进行计算，被开方数相 除时，可以用“除以一个不为零的数等于乘这个数的 倒数”进行约分、化简．
1 计算:
(1) 72 ； 6
(2) 48 ； 2 3
(3) 1 1 1； 26
(4)
4
a
1
3
b
a
b
1
(a＞1，b＞0).
导引： (1)直接利用二次根式的除法法则进行计算；(2)(4)要
典例解析
例2 当x是怎样的实数时, x 2在实数范围内有 意义?
解：由x-2≥0，得 x≥2.
当x≥2时， x 2 在实数范围内有意义.
典例解析
【变式题1】 当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内
有意义？
（1） 1 ； x 1
二次根式复习与巩固
课题
二次根式复习与巩固
教学目标
1.知道二次根式与数的开平方运算之间的联系，理解 有意义的条件，理解 ；
2．能运用二次根式的性质进行计算，掌握二次根式混合运算的方法；
3．掌握二次根式的综合运用。
重点、难点
重点：1、理解 有意义的条件
2、掌握二次根式混合运算的方法
难点：1、掌握二次根式混合运算的方法
14．观察下列各式：……将你猜想到的规律用一个式子来表示：_____________________________________________。
15．化简：
(1)(2)
16．计算：
(1) 3(2)
(3) （4）
17．如图，在矩形ABCD中放两张面积分别为4和2的两张正方形纸片，问矩形ABCD至少有多大面积没有被盖住?
五、课堂反思：
课后练习:
一.选择题
1．下列式子一定是二次根式的是（）
A． B． C． D．
2．若 ，则（）
A．b>3 B．b<3C．b≥3 D．b≤3
3．若 有意义，则m能取的最小整数值是（）
A．m=0 B．m=1C．m=2 D．m=3
4．若x<0，则 的结果是（）
A．0 B．—2C．0或—2 D．2
（1） （2）
（3） （4）
22．化简(1)(2)(3)(
23．计算
(1) (2)
(3)
24.根据图形计算
已知：实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简：-|a-b|
-3 -2 -1 0 1 2 3 4
a
b
x
25．化简计算
已知：
2、掌握二次根式的综合运用
二次根式复习课件
举例
例如，化简√8可以将其拆分为 √(4×2)，然后利用根式的乘法性 质得到2√2。
注意事项
在化简过程中，需要注意确保结果 是最简形式，即无法继续化简。
02
二次根式的运算
加减运算
合并同类项
将二次根式下的相同项进 行合并，简化表达式。
根式化简
通过移项、合并同类项等 手段，将复杂的二次根式 化简为简单的形式。
开方与乘方的互逆关系
开方和乘方是数学中的两个基本运算，它们之间存在互逆关系。 开方运算可以理解为乘方的逆运算，即求一个数的平方根相当于求该数的逆运算。
开方和乘方的互逆关系在数学证明和计算中经常用到，是数学中的一个重要概念。
THANKS
感谢观看
性质
01
02
03
非负性
由于a是非负实数，因此 二次根式的值总是非负的 。
根式的唯一性
对于任何非负实数a，其 平方根是唯一的。
根式的运算性质
二次根式具有运算性质， 如√a^2=|a|， √(ab)=√a√b(a≥0,b≥0) 等。
根式的简化
化简方法
化简二次根式的方法包括提取公 因数、分母有理化、合并同类项
几何问题中的应用
勾股定理的应用
利用勾股定理和二次根式的性质，解决与直角三 角形相关的几何问题。
面积与周长的计算
利用二次根式计算各种形状的面积和周长。
几何图形的性质
理解二次根式在几何图形中的应用，如圆的面积 、圆柱体和圆锥体的体积等。
05
二次根式的注意事项
负数开平方的合理性
实数范围内，负数没有平方根， 但在复数范围内，负数可以开平
根式与常数的加减
在进行二次根式的加减运 算时，需要注意与常数的 乘法与除法的混合运算
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二次根式的加减 要点一、二次根式及代数式的概念
1.二次根式：一般地，我们把形如
(a ≥0)•的式子叫做二次根式，“”称为二次根号． 要点诠释：
二次根式的两个要素：①根指数为2；②被开方数为非负数.
2.代数式：形如5，a ，a+b ，ab ，，x 3，这些式子，用基本的运算符号(基本运算包括加、减、乘、除、乘方、开方)把数和表示数的字母连接起来的式子，我们称这样的式子为代数式. 要点二、二次根式的性质
1.a ≥0，（a ≥0）；
2. （a ≥0）；
3.
. 要点诠释：
1.二次根式(a ≥0)的值是非负数。
一个非负数可以写成它的算术平方根的形式，
即2)(0a a a =≥）.
2a 2)a 要注意区别与联系：1).a 的取值范围不同，2a 中a ≥02a a 为任意值。
2).a ≥0时，2)a 2a a ；a <0时，2()a 2a a -.
知识点
类型一、二次根式的概念
例1.下列各式中
，一定是二次根式的有（ ）个．
A.2
B.3
C.4
D.5
举一反三：
【变式】下列式子中二次根式的个数有（ ）. （1）13
；（2）3-； （3）21x -+；（4）38； （5）21()3-；（6）1x -（1x >）
例2. 式子在实数范围内有意义，则x 的取值范围是（ ）
A ．x ＜1
B ．x ≤1
C ．x ＞1
D ．x ≥1
举一反三：
【变式】下列格式中，一定是二次根式的是（ ）.
23-()20.3-2-x
类型二、二次根式的性质
例3. 计算下列各式： (1)23
2()4
--2(3.14)π-
典型例题
举一反三： 【变式】（1）
2)252(-=_____________. （2）2)2(2a a ---=_____________.
例4. 已知实数a ，b ，c 在数轴上的位置如图所示，
化简：22||()||a a c c b b -++---|．
举一反三：
【变式】若整数m 满足条件2(1)1,,5
m m m +=+<且则m 的值是___________.
一.选择题
1．下列式子一定是二次根式的是( ).
A ．
B ．
C ．
D ．
课后练习
2.若21,a a =-则a 应是（ ）. A. 负数 B. 正数 C. 非零实数 D. 有理数
3．下列各组二次根式中是同类二次根式的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
4．下列说法正确的是( ).
A ．若，则a ＜0
B ．
C ．
D ．5的平方根是
5．5220,x y x y -++=-若则的值是( ).
A ．-7
B ．-5
C ．3
D ．7
6．下列各式中，最简二次根式是（ ）.
A.1x y -
B.a
b C.21x + D.25a b
7．下列各式计算正确的是（ ）
A.+=
B.4﹣3=1
C. 2×3=6
D.
÷=3 8．把1
()()a b a b a b --<-化成最简二次根式，正确结果是（ ）.
A.b a -
B.a b -
C.a b --
D.b a --
二. 填空题
9. 计算1
1
(124)(240.5)83---=___________.
10.设m=+1，那么1
m m +的整数部分是 ．
11．比较大小：23____13. 12. 已知最简二次根式43a b +b+1与
2a-b+6是同类二次根式，则a b +的值为___________.
13．已知20,_______a b a a b <<--=化简.
14．249213a a a a +--+-+-的值等于 ___________.
15．15．已知：实数a ，b 在数轴上的位置如图所示，化简：
+2
﹣|a ﹣b|为______．
16．在实数范围内因式分解：
(1)44a a ++ =___________________. (2)
=___________________.
三. 综合题
17．计算：
(1) (2) 23232327264b a ab a a b a -+
18.已知x=，y=，求的值．
19．先化简代数式(1)1
a a +÷-，然后当4a =时，求代数式的值.
20. 若x ，y 是实数，且，求的值.。