3.4.2《圆周角和圆心角的关系》
3.4第1课时圆周角和圆心角的关系(教案)
(2)运用圆周角和圆心角的关系解决问题:在实际问题中,学生可能不知道如何将所学的圆周角和圆心角关系应用到解题过程中。
举例:针对不同类型的题目,指导学生分析问题,找到运用圆周角和圆心角关系的关键步骤,并给出解题策略。
四、教学流程
3.加强实践活动的引导,让学生在讨论和操作过程中,能够更加深入地思考问题;
4.提高自己的课堂应变能力,针对学生的反馈,及时调整教学方法和策略。
3.成果展示:每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
(四)学生小组讨论(用时10分钟)
1.讨论主题:学生将围绕“圆周角和圆心角在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法,并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发:在讨论过程中,我将作为一个引导者,帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
本节课将紧密围绕核心素养目标,关注学生能力培养,使学生在掌握知识的同时,提高数学学科综合素养。
三、教学难点与重点
1.教学重点
(1)圆周角和圆心角的概念及其关系:圆周角是圆上一段弧所对的角,圆心角是以圆心为顶点的角。圆周角是圆心角的一半,这是本节课的核心知识点。
举例:讲解圆周角和圆心角的定义,通过图示和实际操作,让学生直观感受两者的关系。
3.重点难点解析:在讲授过程中,我会特别强调圆周角和圆心角的关系,以及它们在解题中的应用这两个重点。对于难点部分,我会通过举例和比较来帮助大家理解。
(三)实践活动(用时10分钟)
1.分组讨论:学生们将分成若干小组,每组讨论一个与圆周角和圆心角相关的实际问题。
2.实验操作:为了加深理解,我们将进行一个简单的实验操作。通过观察和测量圆周角和圆心角,验证圆周角是圆心角的一半这一性质。
人教版九年级上册《圆周角和圆心角的关系》说课稿
人教版九年级上册《圆周角和圆心角的关系》说课稿【小编寄语】小编给大家整理了人教版九年级上册《圆周角和圆心角的关系》说课稿,希望能给大家带来帮助!《圆周角和圆心角的关系》说课稿南昌市育新学校骆文娟下面我从教材分析、教法学法分析、教学过程分析、设计说明四个方面来谈谈我是如何分析教材和设计教学过程的。
教材分析教材的地位和作用本课是在学习了圆心角后进而要学习的圆的又一个重要的性质,它在推理、论证和计算中应用比较广泛,是圆这章的重点内容之一。
依学情定目标我们面对的是已具备一定知识储备和一定认知能力的个性鲜明的学生,他们有较强的自我发展意识,根据新课程标准的学段目标要求,结合学生实际情况制订以下三个方面的教学目标:1)知识目标:了解圆周角和圆心角的关系,有机渗透由特殊到一般思想、分类思想、化归思想。
2)能力目标:引导学生能主动地通过:实验、观察、猜想、验证圆周角和圆心角的关系,培养学生的合情推理能力、实践能力和创新精神,从而提高数学素养。
3)情感目标:创设生活情境激发学生对数学的好奇心、求知欲,营造民主、和谐的课堂氛围,让学生在愉快的学习中不断获得成功的体验,培养学生以严谨求实的态度思考数学。
3、教学重点、难点重点:经历探索圆周角和圆心角的关系的过程,了解圆周角和圆心角的关系难点:认识圆周角定理需分三种情况逐一证明的必要性。
教法、学法分析数学教学是师生之间、学生之间交往互动与共同发展的过程,因此,我认为教法和学法是密不可分的。
本课采用以探究式教学法为主,发现法、分组交流合作法、启发式教学法等多种方法相结合,以学生的活动为主线,突出重点突破难点,发展学生的数学素养。
注重数学与生活的联系,引导学生用数学的眼光思考问题、发现规律、验证猜想;注重学生的个性差异,因材施教,分层教学;为了转变以往学生只是认真听讲、机械记忆、练习巩固的被动学习方式,以探究式学习和有意义接受式学习为指导,引导学生在动手实践、自主探索、合作交流活动中发现新知、发展能力,充分发挥学生的主体作用。
北师大版九年级下册数学《圆周角和圆心角的关系》圆说课教学课件复习指导
1 1 AOB 2
2 1 BOC 2
又∵∠AOB=2 ∠BOC
C
O
1
2
A
B
1 1 AOB 1 2BOC BOC 22
2
2
即∠ACB= 2 ∠BAC
知识技能: 2.如图,A、B、C、D 是⊙O 上的四点,且∠BCD=100°,求∠BOD 与∠BAD 的大小
解:∵∠BCD=100°
A
∴优弧所对的圆心角
练习:
1.判别下列各图形中的角是不是圆周角,并说明理由。
不是
图1
不是
图2
是
图3
不是
图4
不是
图5
做一做
如 图 , ∠AOB=80° 。
︵ (1)请你画出几个 AB所对的圆周角。这几个圆周角有什么关
系 呢 ? 请你与同伴进 行交流。
(2)这些圆周角与圆心角∠AOB 的大小有什么关系?你是怎样
发 现 的 ?与同伴进行 交流。
过点C作直径CD.由1可得: ∠∠AACCDD+=∠12∠BCADO=D,1∠(∠BCADOD=+∠12 ∠BBOODD), ∴ ∠ACB = 1∠AO2B.
2
AD B
●O
C证明Βιβλιοθήκη 周角定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
︵
︵
已知:如图,∠ACB 是 AB所对的圆周角,∠AOB 是 AB所对的圆心角。
如图,A、B表示灯塔,暗礁分 布在经过A、B两点的一个圆形
区域内,优弧AB上任一点C都 是有触礁危险的临界点, ∠ACB就是“危险角”,当船 位于安全区域时,∠α与“危险 角”有怎样的大小关系?
解:当船位于安全区域时,即船位于暗礁区域外(即⊙O外) , 与两个灯塔的夹角∠α小于“危险角” 。
北师大版数学九年级下册3.4.2圆周角和圆心角的关系优秀教学案例
4.教师对学生的作业完成情况进行评价,关注学生的知识掌握程度、实践能力和创新思维。
五、案例亮点
1.生活情境的创设:本案例通过生活中的圆形物体导入新课,使学生能够直观地感受到数学与生活的紧密联系,提高了学生的学习兴趣和积极性。
4.强调圆周角和圆心角在几何图形中的重要性,及其在实际生活中的应用。
(三)学生小组讨论
1.教师提出讨论话题:“圆周角和圆心角之间的关系有什么应用?你们能想到哪些实际问题需要用到这一关系?”
2.学生分组进行讨论,分享自己的观点和发现。
3.教师巡回指导,针对不同小组的特点给予个性化的指导和建议。
(四)总结归纳
北师大版数学九年级下册3.4.2圆周角和圆ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ角的关系优秀教学案例
一、案例背景
北师大版数学九年级下册3.4.2“圆周角和圆心角的关系”这一节内容,是在学生已经掌握了圆的基本概念、圆的周长和面积等知识的基础上进行讲解的。本节内容主要让学生了解圆周角和圆心角之间的关系,即圆周角是圆心角的两倍。这一节内容对于学生来说,既是对圆的相关知识的一个巩固,又是为后续学习圆的更复杂性质和应用打下基础。
4.结合现实问题,如圆形场地、圆形路径等,让学生思考圆周角和圆心角在实际中的应用,提高学生解决实际问题的能力。
(二)问题导向
1.引导学生提出问题:圆周角和圆心角之间有什么关系?它们在几何图形中有什么特殊性质?
2.设计具有启发性的问题,如:为什么圆周角是圆心角的两倍?这个结论在实际生活中有哪些应用?
3.鼓励学生自主探索,引导学生通过对圆的性质的观察和推理,发现圆周角和圆心角之间的关系。
2.培养学生运用圆周角和圆心角的关系解决实际问题的能力,如计算未知角度等。
【核心素养】北师大版九年级数学下册3.4 第1课时 圆周角和圆心角的关系 教案(表格式)
3.4 圆周角和圆心角的关系第1课时圆周角和圆心角的关系教学内容第1课时圆周角和圆心角的关系课时1核心素养目标1.经历探索圆周角与圆心角及其所对弧的关系的过程.2.理解圆周角的概念、了解并证明圆周升定理及其推论.3.体会分类、归纳等数学思想方法,知识目标1.理解圆周角的概念,掌握圆周角的两个特征、定理的内容及简单应用;2.能运用圆周角定理及其推论进行简单的证明计算.教学重点理解圆周角的概念;掌握圆周角与圆心角之间的关系定理.教学难点圆周角和圆心角关系定理的证明.教学准备课件教学过程主要师生活动设计意图一、情境导入二、探究新知三、当堂练习,巩固所学一、创设情境,导入新知问题1 什么叫圆心角?指出图中的圆心角.顶点在圆心,角的两边与圆相交的角叫圆心角,如∠BOC.在射门过程中,球员射中球门的难易与它所处的位置 B 对球门AC 的张角(∠ABC)有关.问题2 图中的三个张角∠ABC、∠ADC 和∠AEC的顶点各在圆的什么位置?它们的两边和圆是什么关系?师生活动:学生各抒己见,谈自己的看法.预设:顶点在∠O上,角的两边分别与∠O 相交.二、小组合作,探究概念和性质知识点一:圆周角的定义顶点在圆上,并且两边都与圆相交的角叫做圆周角.例如:∠ACB.(两个条件必须同时具备,缺一不可)做一做1.下列各图中的∠BAC是否为圆周角?简述理由.设计意图:从生活中的实例入手,让学生经历观察、分析,抽象出图形的共同属性,得出圆周角定义,理解圆周角概念的本质.设计意图:加强学生对圆周角的理解. 注意顶点在圆上,并且两边都与圆相交的角叫做圆周角,两个条件必须同时具备,缺一不可.设计意图:通过这种具有探索性与挑战性的活动,培养学生独立思考、合作交流的能力,渗透归纳思想,初步认识圆周角和圆心角这三种位置关系.设计意图:如果直接进行圆周角定理的证明,可能有一定困难。
通过圆周角和圆心角关系的探索、讨论、交流,初步认识同弧所对的圆周角是它所对圆心角的一半,为下面圆周角定理证明打好桥铺好路。
北师大版数学九年级下册3.4《圆周角和圆心角的关系》教学设计2
北师大版数学九年级下册3.4《圆周角和圆心角的关系》教学设计2一. 教材分析《圆周角和圆心角的关系》是北师大版数学九年级下册第3章第4节的内容。
本节课主要通过探究圆周角和圆心角的关系,让学生理解和掌握圆周角定理,能运用圆周角定理解决相关问题。
教材通过引入圆周角定理,引导学生发现圆周角和圆心角之间的数量关系,进而推导出定理。
二. 学情分析学生在学习本节课之前,已经掌握了圆的基本概念、圆的性质以及垂径定理。
但圆周角和圆心角的关系较为抽象,需要学生具有较强的空间想象能力和逻辑思维能力。
因此,在教学过程中,教师需要关注学生的学习差异,引导学生在探究过程中发现问题、解决问题。
三. 教学目标1.知识与技能目标:让学生理解和掌握圆周角定理,能运用圆周角定理解决相关问题。
2.过程与方法目标:通过观察、实验、猜想、证明等方法,培养学生的探究能力和合作精神。
3.情感态度与价值观目标:激发学生对数学的兴趣,培养学生勇于探索、积极思考的精神。
四. 教学重难点1.教学重点:圆周角定理的推导和运用。
2.教学难点:圆周角定理的证明和理解。
五. 教学方法1.引导发现法:教师引导学生观察、实验、猜想,发现圆周角和圆心角的关系。
2.小组合作法:学生分组讨论,共同解决问题,培养合作精神。
3.归纳总结法:教师引导学生总结圆周角定理,加深对知识的理解。
六. 教学准备1.教具准备:圆规、直尺、多媒体课件。
2.学具准备:每人一份圆周角和圆心角的实验材料。
七. 教学过程1.导入(5分钟)教师通过提问方式引导学生回顾上一节课所学内容,如圆的性质、垂径定理等。
然后提问:“你们认为圆周角和圆心角之间有什么关系?”引发学生的思考。
2.呈现(10分钟)教师利用多媒体课件展示圆周角和圆心角的图形,让学生观察并思考它们之间的关系。
同时,教师引导学生进行实验,用量角器测量圆周角和圆心角的度数,观察它们之间的数量关系。
3.操练(10分钟)教师布置练习题,让学生运用圆周角定理解决问题。
【课件二】3.4.2圆周角和圆心角的关上课课件
如图,四边形ABDC为⊙O的内接四边形, 已知∠BOC为100°,求∠BAC及∠=130°
如图,BC是直径,则∠DBC+∠BAE等 于:( B ) (A)60° (B)90° (C)120° (D)180°
求证:圆内接平行四边形是矩形。
1.如果一个多边形的所有顶点都 在同一个圆上,这个多边形叫做圆 内接多边形。这个圆叫做这个多 边形的外接圆。 2.圆内接四边形性质定理:圆的内 接四边形的对角互补,并且任何一个 外角都等于它的内对角。这一结论在 探求角相等、线段相等或互补关系等 时尤为重要,常常要用到。
B
C A
(2)如图所示,⊙O的直径AB=10cm, C为⊙O上一点,∠BAC=30°, 则BC= 5 cm
●
O C
B
3.如图,△ABC的顶点均在⊙O上, AB=4, ∠C=30°,求⊙O的直径.
B
●
A
O
C
E
若一个多边形各顶点都在同一个圆 上,那么,这个多边形叫做圆内接 多边形,这个圆叫做这个多边形的 外接圆。
3.4.2圆周角和圆心角 的关系
知识回顾
圆周角 顶点在圆上,它的两边分
别与圆还有另一个交点,像这样的 角,叫做圆周角.
B
●
A
O
C
圆周角定理 一条弧所对的圆周角等于它所对 的圆心角的一半.
A
C
●
A C
●
A C B
●
O B
O
O
B
⌒ 如图1,圆中一段弧(AC)对着许多个圆周 角,这些个角的大小有什么关系?为什么? ⌒ ⌒ 如图2,圆中AB=EF,那么∠C和∠G的大小 有什么关系?为什么? C
Z.x.x. K
D
B
2024北师大版数学九年级下册3.4.1《圆周角和圆心角的关系》教案
2024北师大版数学九年级下册3.4.1《圆周角和圆心角的关系》教案一. 教材分析《圆周角和圆心角的关系》是北师大版数学九年级下册第3.4.1节的内容。
本节课主要让学生了解圆周角和圆心角的关系,掌握圆周角定理,并能够运用该定理解决一些实际问题。
教材通过引入圆周角和圆心角的概念,引导学生探究它们之间的关系,从而得出圆周角定理。
二. 学情分析学生在学习本节课之前,已经掌握了圆的基本概念、圆的周长和面积的计算方法。
他们具备一定的观察、分析和推理能力。
但是,对于圆周角和圆心角的关系,他们可能还没有直观的认识,需要通过实例和推理来理解和掌握。
三. 教学目标1.让学生了解圆周角和圆心角的概念,理解它们之间的关系。
2.让学生掌握圆周角定理,并能够运用该定理解决一些实际问题。
3.培养学生的观察能力、推理能力和解决问题的能力。
四. 教学重难点1.圆周角和圆心角的关系。
2.圆周角定理的证明和运用。
五. 教学方法1.采用问题驱动法,引导学生发现问题、分析问题和解决问题。
2.利用几何画板和实物模型,直观地展示圆周角和圆心角的关系。
3.采用小组合作学习,让学生在讨论中共同探究和解决问题。
4.通过练习题,巩固所学知识,提高解题能力。
六. 教学准备1.准备几何画板和实物模型,用于展示圆周角和圆心角的关系。
2.准备相关的练习题,用于巩固所学知识。
七. 教学过程1.导入(5分钟)利用几何画板或实物模型,展示一个圆和一些圆周角、圆心角,让学生观察它们之间的关系。
提问:你们觉得圆周角和圆心角有什么关系呢?2.呈现(10分钟)引导学生通过观察和推理,发现圆周角和圆心角的关系。
呈现圆周角定理:圆周角等于它所对圆心角的一半。
让学生理解并记住这个定理。
3.操练(10分钟)让学生分组讨论,每组设计一个实例,验证圆周角定理。
每组选取一个代表进行汇报,其他组进行评价。
通过这个过程,让学生加深对圆周角定理的理解。
4.巩固(10分钟)让学生独立完成一些相关的练习题,巩固所学知识。
北师大版数学九年级下册3.4《圆周角和圆心角的关系》教案1
北师大版数学九年级下册3.4《圆周角和圆心角的关系》教案1一. 教材分析北师大版数学九年级下册 3.4《圆周角和圆心角的关系》是本节课的主要内容。
通过本节课的学习,让学生理解圆周角和圆心角的关系,掌握圆周角定理,并能运用圆周角定理解决实际问题。
教材通过引入圆周角和圆心角的概念,引导学生探究它们之间的关系,从而发现圆周角定理。
二. 学情分析学生在学习本节课之前,已经学习了圆的基本概念,如圆的半径、直径等,对圆有一定的认识。
但学生对圆周角和圆心角的概念可能比较陌生,需要通过实例和探究活动来理解和掌握。
此外,学生需要具备一定的观察和推理能力,通过观察图形和逻辑推理来发现圆周角定理。
三. 教学目标1.知识与技能目标:让学生掌握圆周角定理,能运用圆周角定理解决实际问题。
2.过程与方法目标:通过观察、操作、推理等过程,培养学生的观察能力和推理能力。
3.情感态度与价值观目标:让学生体验数学学习的乐趣,培养学生的探究精神和合作意识。
四. 教学重难点1.教学重点:圆周角定理的掌握和运用。
2.教学难点:圆周角定理的证明和理解。
五. 教学方法1.情境教学法:通过引入实际问题,激发学生的学习兴趣,引导学生主动探究。
2.问题驱动法:通过提出问题,引导学生观察、思考和推理,培养学生的问题解决能力。
3.合作学习法:引导学生分组讨论和合作,培养学生的团队合作意识和交流能力。
六. 教学准备1.教学PPT:制作相关的教学PPT,展示圆周角和圆心角的图形和实例。
2.教学素材:准备一些相关的实例和习题,用于引导学生进行探究和练习。
3.教学工具:准备圆规、直尺等绘图工具,方便学生进行绘图和操作。
七. 教学过程1.导入(5分钟)通过展示一些实际问题,如自行车轮子的转动、钟表的指针运动等,引导学生观察和思考这些现象与圆周角和圆心角的关系。
2.呈现(10分钟)呈现圆周角和圆心角的定义,引导学生理解它们的概念。
通过PPT展示一些实例,让学生观察和思考圆周角和圆心角之间的关系。
圆周角和圆心角的关系PPT课件(北师大版)
4.如图,△ABC为⊙O的内接三角形,AB为⊙O的直径,点D在⊙O上, ∠ADC=54°,则∠BAC的度数等于_______36°
5.如图,△ABC的三个顶点在⊙O上,CD是直径,∠B=40°,则 ∠ACD的度数是_5_0_°_.
6.(202X·温州模拟)如图,AB为⊙O的直径,点C在⊙O上,延长BC至 点D,使DC=CB.延长DA与⊙O的另一个交点为E,连接AC,CE. (1)求证:∠B=∠D; (2)若AB=4,BC-AC=2,求CE的长.
解:(1)∵AB 是⊙O 的直径,∴∠ACB=90°,∴AC⊥BC.∵CD=CB, ∴AD=AB,∴∠B=∠D (2)设 BC=x,则 AC=x-2.在 Rt△ABC 中, AC2+BC2=AB2,∴(x-2)2+x2=42,解得 x1=1+ 7,x2=1- 7(舍 去).∵∠B=∠E,∴∠D=∠E,∴CD=CE.∵CD=CB,∴CE=CB =1+ 7
︵︵ 9.如图,已知∠EAD 是圆内接四边形 ABCD 的一个外角,并且BD=DC. 求证:AD 平分∠EAC.
解:∵四边形 ABCD 是圆内接四边形,∴∠EAD=∠DCB.又∵B︵D=D︵C, ∴∠DAC=∠DCB.∴∠EAD=∠DAC,∴AD 平分∠EAC
10.(202X·安徽模拟)如图,点P是等边三角形ABC外接圆⊙O上的 点.在下列判断中,不正确的是( C ) A.当弦PB最长时,△APC是等腰三角形 B.当△APC是等腰三角形时,PO⊥AC C.当PO⊥AC时,∠ACP=30° D.当∠ACP=30°时,△BPC是直角三角形
第三章 圆
北师大版数学九年级下册3.4《圆周角和圆心角的关系》说课稿1
北师大版数学九年级下册3.4《圆周角和圆心角的关系》说课稿1一. 教材分析北师大版数学九年级下册3.4《圆周角和圆心角的关系》这一节主要讲述了圆周角和圆心角之间的关系。
通过学习,学生能够理解并掌握圆周角定理和圆心角定理,能够运用这些定理解决一些与圆相关的问题。
教材通过生动的例题和丰富的练习,帮助学生深入理解和掌握这些知识点。
二. 学情分析学生在学习这一节之前,已经学习了有关圆的基本知识,如圆的定义、圆的性质等。
同时,学生也已经学习了角的概念和性质,对于角的理解和运用已经有一定的基础。
但是,学生对于圆周角和圆心角的关系可能还比较陌生,需要通过实例和练习来逐渐理解和掌握。
三. 说教学目标通过本节课的学习,学生能够理解并掌握圆周角定理和圆心角定理,能够运用这些定理解决一些与圆相关的问题。
同时,通过解决实际问题,学生能够提高自己的数学思维能力和解决问题的能力。
四. 说教学重难点教学重点是圆周角定理和圆心角定理的理解和运用。
教学难点是对于圆周角和圆心角关系理解的深入和灵活运用。
五. 说教学方法与手段在教学过程中,我将采用讲授法、例题解析法、小组讨论法等多种教学方法。
通过生动的例题和丰富的练习,帮助学生深入理解和掌握圆周角和圆心角的关系。
同时,我将利用多媒体教学手段,如图片、动画等,来形象地展示圆周角和圆心角的关系,提高学生的学习兴趣和理解能力。
六. 说教学过程1.导入:通过一个实际问题,引发学生对于圆周角和圆心角关系的思考,激发学生的学习兴趣。
2.讲解:讲解圆周角定理和圆心角定理的概念和性质,通过例题来展示如何运用这些定理解决问题。
3.练习:学生进行一些与圆周角和圆心角相关的练习题,巩固所学的知识。
4.小组讨论:学生分组讨论一些实际问题,运用所学的圆周角和圆心角的关系来解决问题,培养学生的数学思维能力和解决问题的能力。
5.总结:对本节课的内容进行总结,强调圆周角和圆心角的关系,提醒学生注意在实际问题中的应用。
3.4 圆周角和圆心角的关系 第1课时(教案)-北师大版数学九年级下册
第4节圆周角和圆心角的关系1.经历探索圆周角和圆心角及其所对弧的关系的过程.2.理解圆周角的概念,了解并证明圆周角定理及其推论.3.理解圆的内接四边形的性质.1.经历探索圆周角和圆心角及其所对弧的关系的过程,培养学生观察、分析、猜想、归纳和逻辑推理的能力.2.通过渗透分类讨论、归纳等数学思想方法,培养学生的探究意识和探索新知识的能力.在经历探索圆周角和圆心角关系的过程中,感受探索的艰辛与喜悦,体验数学活动充满着探索与创造,激发学生的学习欲望.【重点】1.掌握圆周角定理及其证明过程.2.运用圆周角定理及其推论解决相关问题.3.圆的内接四边形的性质及其应用.【难点】1.圆周角定理的证明过程.2.体会分类讨论、归纳等数学思想方法的应用.第1课时圆周角定理及其推论11.理解圆周角的概念,掌握圆周角和圆心角之间的关系(圆周角定理)及其推论1,并会运用它们进行有关的证明和运算.2.理解并掌握圆周角和圆心角之间的关系(圆周角定理)的证明方法.经历探索圆周角和圆心角的关系的过程,学会以特殊情况为基础,通过转化来解决一般性问题的方法,渗透分类的数学思想.通过观察、猜想、验证、推理,培养学生探索数学问题的能力和方法.【重点】掌握圆周角的概念、圆周角定理及推论1及其证明过程.【难点】了解圆周角与圆心的三种位置关系,用化归思想合情推理验证圆周角定理.【教师准备】多媒体课件.【学生准备】1.复习三角形外角的知识和圆的基础知识.2.圆规和直尺.导入一:课件出示:如图所示,有一只小蚂蚁从C点出发,沿着圆周的方向逆时针爬行,在爬行的过程中,蚂蚁所在的点B与点A,C所组成的∠ABC的度数会发生变化吗?若∠AOC=60°,那么∠ABC的度数可能是多少?学生猜测:∠ABC的度数应该不会发生变化,∠ABC的度数可能是30°.【问题】∠ABC是什么角?圆心角∠AOC和∠ABC之间有什么样的关系?[设计意图]通过活泼的小蚂蚁的运动,让学生初步感知圆周角的基本概念以及圆周角与圆心角的关系,使学生对本节课的探究任务一目了然.导入二:课件出示:同学们,你们喜欢踢足球吗?看了2014年巴西世界杯和2015年加拿大女足世界杯了吗?(投影展示世界杯的精彩片段)【问题】请同学们想一想,球员射中球门的难易与什么有关?【学生活动】学生思考后积极回答,学生的答案可能会五花八门.【引导】射门球员与两个门柱组成的角度会决定球员射中球门的难易程度,相信学完本节课的知识你就可以解决这个问题了.[设计意图]由学生熟知的世界杯为引子,创设问题情境,吸引学生的注意,激发学生的学习兴趣.复习所学过的圆心角,并且引出要学习的圆周角,引导学生在观察图形的基础上进行独立思考,然后再进行合作交流,最后达成共识.课件出示:如图所示,球员射中球门的难易程度与他所处的位置B对球门AC的张角(∠ABC)有关.当球员分别站在B,D,E的位置上射门时,哪个位置进球的可能性大?【学生活动】学生思考后并猜测,可能会有大部分的学生认为在D处进球的可能性大,也有学生认为一样大.【教师活动】教师对于学生的回答,暂时不做评论,教师出示动画效果的视频进行演示,继续引导学生思考下面的问题.【问题】图中的三个角∠ABC,∠ADC,∠AEC,以前见过这种类型的角吗?它们有什么共同特征?【学生活动】生观察后,与同伴交流,代表小结三个角的共同特征:(1)角的顶点在圆上;(2)角在圆的内部;(3)角的两边都与圆相交.【教师点评】我们把具有这样特征的角称为圆周角.圆周角的概念:顶点在圆上,两边分别与圆还有另一个交点,像这样的角,叫做圆周角.【教师强调】理解圆周角的概念的两个特征:(1)角的顶点在圆上;(2)角的两边都与圆相交.[过渡语]同学们了解了圆周角的概念,通过下面的题目,来检测一下同学们对圆周角概念的理解程度.判断下列图中的角是否是圆周角,并说明理由.【学生活动】先让学生观察思考,独立判断,基础差的学生回答,并说明是与不是的理由.[设计意图]让学生学好基础知识、基本概念,识别其内容反映出来的数学思想和方法,培养学生的基本技能及分析问题和解决问题的能力,使学生通过自己的观察与探索,发现、理解并掌握圆周角的定义.课件出示:【做一做】如图所示,∠AOB=80°.问题1请你画出几个所对的圆周角,这几个圆周角有什么关系吗?请与同伴进行交流.教师引导学生动手操作并思考下面的问题:1.你所画出的圆周角的度数之间有什么关系?你是怎么得到这个结论的?2.你能画出多少个圆周角?【师生活动】要求学生动手操作,师巡视,发现学生出现的问题,及时纠正.学生独立完成并与同伴进行交流后,代表发言.1.使用量角器进行测量可得所对的圆周角的度数都相等.2.可以画出无数个相等的圆周角.问题2这些圆周角与圆心角∠AOB的大小有什么关系?你是怎么发现的?与同伴进行交流.【师生活动】学生继续进行操作,师参与其中.【学生活动】学生独立完成并与同伴进行交流后,代表发言.利用量角器得出所对的圆周角都等于40°,都等于所对的圆心角80°的一半.【议一议】如果改变图中的∠AOB的度数,上面的结论还成立吗?【活动方式】分组探究,分别以∠AOB的度数为30°,90°,120°和150°为例,分四组练习,得出结论.再结合各组的结论,总结出圆周角与圆心角之间的关系.【学生活动】学生在小组内交流、汇总,并在全班交流、补充.【教师归纳】圆周角与圆心的位置关系只有三种:(1)圆心在圆周角的一边上(如图(1)所示);(2)圆心在圆周角的内部(如图(2)所示);(3)圆心在圆周角的外部(如图(3)所示).【教师活动】要求学生独立写出已知和求证,并利用图(1)进行证明.教师引导学生思考下面的问题:1.△AOC是什么三角形?2.∠AOB与△AOC有什么关系?代表展示:如图(1)所示,∠ACB是所对的圆周角,∠AOB是所对的圆心角.求证∠C=·∠AOB.证明:圆心O在∠C的一条边上,如图(1)所示.∵∠AOB是△AOC的外角,∴∠AOB=∠A+∠C.∵OA=OC,∴∠A=∠C.∴∠AOB=2∠C,即∠C=∠AOB.【做一做】请你完成其他两种情况的证明.教师引导学生思考下面的问题:1.证明圆周角定理的主要思路是什么?2.我们用推理论证的方法得到了第一种情况结论是成立的.对于第二、三种情况都可以转化成圆心在圆周角的一边上的情况去处理.如何进行转化呢?【师生活动】学生分组讨论,师要参与其中,对有困难的小组进行指点.代表发言:1.主要是利用等腰三角形的外角的知识进行证明.2.可以通过作直径的方法进行转化.【活动方式】分成四组解答,第一、三组利用图(2)进行证明,第二、四组利用图(3)进行证明.【学生活动】学生讨论后,理清了思路,独立解答.找2名学生代表板演展示.【教师活动】师利用多媒体出示证明过程,规范学生的证明步骤.证明:圆心O在圆周角的内部(如图所示).在☉O中作直径CD,由前面的结论可知∠ACD=∠AOD,∠BCD=∠BOD,∴∠ACD+∠BCD=∠AOD+∠BOD.即∠ACB=∠AOB.证明:圆心O在圆周角的外部(如图所示).在☉O中作直径CD,由前面的结论可知∠ACD=∠AOD,∠BCD=∠BOD,∴∠ACD-∠BCD=∠AOD-∠BOD.即∠ACB=∠AOB.[设计意图]通过测量和推理证明两种方式得出圆周角的判定定理,加深了学生对于圆周角定【想一想】在射门游戏中,当球员在B,D,E处射门时,所形成的三个张角∠ABC,∠ADC,∠AEC的大小有什么关系?你能用圆周角定理证明你的结论吗?学生分析:如图所示,因为∠ABC,∠ADC,∠AEC都是同一条所对的圆周角,根据圆周角定理,它们都等于所对的圆心角∠AOC度数的一半,所以这三个角都相等.【问题】根据上述探究的结论,以及三个圆周角的共性,你还能得出什么样的结论?【师生总结】圆周角定理推论1:同弧或等弧所对的圆周角相等.【想一想】你现在知道球员在哪个位置把球射进球门的可能性大了吗?学生统一了想法:因为∠ABC=∠ADC=∠AEC,所以球员在B,D,E处把球射进球门的可能性是一样大的.[设计意图]利用情境题及时巩固新知,使每个学生都有收获,感受成功的喜悦,充分肯定探索活动的意义,提高学生的积极性和主观能动性.[知识拓展]在同一个圆中,同弦所对的圆周角可能相等也可能互补.如图所示.【教师强调】(1)“同弧”指“同一个圆”.(2)“等弧”指“在同圆或等圆中”.(3)“同弧或等弧”不能改为“同弦或等弦”.1.圆周角的概念.2.圆周角定理.3.圆周角定理的证明方法.4.圆周角定理的推论1.1.(2014·温州中考)如图所示,已知A,B,C在☉O上,为优弧,下列选项中与∠AOB相等的是()A.2∠CB.4∠BC.4∠AD.∠B+∠C解析:由圆周角定理可得∠AOB=2∠C.故选A.2.如图所示,在☉O中,AC∥OB,∠BAO=25°,则∠BOC的度数为()A.25°B.50°C.60°D.80°解析:∵OA=OB,∴∠B=∠BAO=25°,∵AC∥OB,∴∠BAC=∠B=25°,∴∠BOC=2∠BAC=50°.故选B.3.如图所示,☉O的直径CD⊥AB,∠AOC=50°,则∠CDB的大小为.解析:由垂径定理,得=,∴∠CDB=·∠AOC=25°.故填25°.4.如图所示,☉O是△ABC的外接圆,点D为上一点,∠ABC=∠BDC=60°,AC=3cm,求△ABC的周长.解:∵=,∴∠BDC=∠BAC.∵∠ABC=∠BDC=60°,∴∠ABC=∠BAC=60°,∴∠ACB=60°.∴△ABC为等边三角形.∵AC=3cm,∴△ABC的周长为3×3=9(cm).第1课时1.圆周角的概念:顶点在圆上,两边分别与圆还有另一个交点的角.2.圆周角定理:圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半.3.圆周角定理的推论1:同弧或等弧所对的圆周角相等.一、教材作业【必做题】1.教材第80页随堂练习第1,2题.2.教材第80页习题3.4第1,2,3题.【选做题】教材第81页习题3.4第4题.二、课后作业【基础巩固】1.(2014·山西中考)如图所示,☉O是△ABC的外接圆,连接OA,OB,∠OBA=50°,则∠C的度数为()A.30°B.40°C.50°D.80°2.(2014·株洲中考)如图所示,点A,B,C都在圆O上,如果∠AOB+∠ACB=84°,那么∠ACB的大小是.3.如图所示,边长为1的小正方形网格中,☉O的圆心在格点上,则∠AED的余弦值是.【能力提升】4.(2014·齐齐哈尔中考)如图所示,在☉O中,OD⊥BC,∠BOD=60°,则∠CAD的度数等于()A.15°B.20°C.25°D.30°5.如图所示,点E是的中点,点A在☉O上,AE交BC于D.求证BE2=AE·DE.6.如图所示,A,B,C,D是☉O上的四点,AB=AC,AD交BC于点E,AE=2,ED=4,求AB的长.7.如图所示,在半径为5cm的☉O中,直径AB与弦CD相交于点P,∠CAB=50°,∠APD=80°.(1)求∠ABD的大小;(2)求弦BD的长.【拓展探究】8.(2015·安徽中考)在☉O中,直径AB=6,BC是弦,∠ABC=30°,点P在BC上,点Q在☉O上,且OP⊥PQ.(1)如图(1)所示,当PQ∥AB时,求PQ的长度;(2)如图(2)所示,当点P在BC上移动时,求PQ长的最大值.【答案与解析】1.B(解析:∵OA=OB,∠OBA=50°,∴∠OAB=∠OBA=50°,∴∠AOB=180°-50°×2=80°,∴∠C=∠AOB=40°.故选B.)2.28°(解析:∵∠AOB=2∠ACB,∠AOB+∠ACB=84°,∴3∠ACB=84°,∴∠ACB=28°.故填28°.)3.(解析:∵∠AED与∠ABC都对应,∴∠AED=∠ABC,在Rt△ABC中,AB=2,AC=1,根据勾股定理得BC=,则cos∠AED=cos∠ABC==.)4.D(解析:∵在☉O中,OD⊥BC,∴=,∴∠CAD=∠BOD=×60°=30°.故选D.)5.证明:∵点E是的中点,∴=.∴∠BAE=∠CBE,∵∠E=∠E(公共角),∴△BDE∽△ABE,∴BE∶AE=DE∶BE,∴BE2=AE·DE.6.解:∵在☉O中,AB=AC,∴弧AB=弧AC.∴∠ABC=∠D.又∠BAE=∠DAB,∴△ABE∽△ADB.∴=,即AB2=AE·AD=2×6=12.∴AB=2.7.解:(1)∵∠APD是△APC的外角,∠CAB=50°,∠APD=80°,∴∠C=80°-50°=30°,∴∠ABD=∠C=30°.(2)如图所示,过点O作OE⊥BD于点E,则BD=2BE,由(1)知∠ABD=30°,OB=5cm,∴BE=OB·cos30°=3×=(cm),∴BD=2BE=2×=3(cm).8.解:(1)连接OQ,如图(1)所示,∵PQ∥AB,OP⊥PQ,∴OP⊥AB,在Rt△OBP中,∵tan B=,∴OP=3tan30°=,在Rt△OPQ中,∵OP=,OQ=3,∴PQ==.(2)连接OQ,如图(2)所示,在Rt△OPQ中,PQ==,∴当OP的长最小时,PQ的长最大,此时OP⊥BC,则OP=OB=,∴PQ长的最大值为=.本节课教学设计上,一是注重了创设情境,激发学生学习的兴趣、主动性和求知欲望,为下一步教学的顺利展开开个好头;二是注重了引导学生经历探索、验证、论证、应用数学新知的过程,鼓励学生用动手实践、自主探究、合作交流的学习方法进行学习,使学生在数学活动中深刻地理解知识和掌握由特殊到一般的认知方法.探索并证明圆周角和圆心角的关系,学生解决起来是有一定难度的,教学时可以给学生留出充足的时间和空间,让他们进行思考、交流.学生在经历画图、猜想、推理、交流、严格证明等过程后,自己得出了结论,收到了预期的效果.在学生证明圆周角定理时由于引导效果不好,导致有些学生解决问题还有困难,不知如何入手.今后在教学中多训练学生的思维能力,再放手,采取结对子帮扶,充分发挥小组长的示范作用.练习(教材第80页)1.解:∠A=∠BOC=×50°=25°.2.解:∠BDC=∠BAC.相等的角还有:∠ADB=∠ACB,∠DBA=∠DCA,∠CAD=∠CBD.习题3.4(教材第80页)1.解:∠ACB=2∠BAC.∵∠ACB=∠AOB,∠BAC=∠BOC,且∠AOB=2∠BOC,∴∠ACB=2∠BAC.2.解:∵∠C=100°,∴∠BOD(大于180°的)=200°,∴∠BOD(小于180°的)=160°,∴∠A=∠BOD=×160°=80°.3.解:尽量保证同排的人视角相同.4.解:当船位于安全区域时,∠α小于“危险角”.对于圆周角的概念的得出,可以通过对情境题的仔细观察就可以直接得出圆周角的概念,而定理的探索,则需要通过动手操作,利用量角器测量的方法得出圆周角与圆心角之间的关系.对于圆周角定理的证明遵循“由特殊到一般”的方法,对于三种可能性的证明则可以利用“转化”的思想方法进行解决.。
圆周角和圆心角的关系ppt课件
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3.4 圆周角和圆心角的关系
解析:如解析图,连接 AB,DE,则∠ABE=∠ADE. ∵ 所对的圆心角的度数为 50°,∴∠ABE= ∠ADE =25°. ∵ 点 A,B,C,D 在 ⊙O 上 ,∴四边形 ABCD 是圆内接四边形, ∴∠ABC+∠ADC=180°, ∴∠ABE+∠EBC+∠ADC=180°, ∴∠EBC+∠ADC=180°-∠ABE=180°-25°=155°. 答案:155° 题型解法:本题考查了圆周角定理和圆内接四边形的 性质,作出辅助线构建圆内接四边形是解题的关键.
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3.4 圆周角和圆心角的关系
■考点四 圆内接四边形
定义
四边形的四个顶点都在同一个圆上,这个四边形叫做圆内接四边形,这个 圆叫做四边形的外接圆
推论 圆内接四边形的对角互补
拓展 圆内接四边形的任何外角等于内对角
注意 并不是所有的四边形都存在外接圆,只有对角互补的四边形才存在外接圆
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3.4 圆周角和圆心角的关系
A. 20° B. 40°
C. 50° D. 70°
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3.4 圆周角和圆心角的关系
3. 如图,已知△ABC 的三个顶点都在同一圆上,且 AC=6,BC=8,AB=10, 则该圆的半径长是 ________.
(第 3 题图)
(第 4 题图)
4. 如图,AB=BC,∠ABC =120°,AD 为 ⊙O 的直径 ,AD=6,那么 AB 的
值为 ______.
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3.4 圆周角和圆心角的关系
5. 如图,AB=AC,AB 是直径,求证:BC=2DE. (第 5 题图)
2024年《圆周角和圆心角的关系》说课稿
2024年《圆周角和圆心角的关系》说课稿《圆周角和圆心角的关系》说课稿1“圆周角和圆心角的关系”是义务教育课程标准实验教科书北师大版九年级数学下册第三章第三节的内容,共两个课时,下面我从第一个课时的设计进行说明.一、教材分析本课是在学习了圆的各种概念和圆心角后进而要学习的圆的又一个重要的性质,它在推理、论证和计算中应用比较广泛,是本章重点内容之一。
1、本节知识点(1)圆周角的概念(2)圆周角的定理2、教学目标(1)理解并掌握圆周角的概念;(2)掌握圆周角定理,并能熟练地运用它们进行论证和计算;(3)通过圆周角定理的证明,使学生了解分情况证明数学命题的思想和方法。
教学重点:圆周角定理。
教学难点:认识圆周角定理需要分三种情况逐一证明的必要性。
(重点与难点的突破将在教学过程中详细说明)二、本节教材安排本节共分两个课时,第一课时主要研究圆周角和圆心角的关系,第二课时研究圆周角定理的几个推论,并解决一些简单问题。
今天我向大家汇报的是第一课时的设计。
三、教学方法数学教学是师生之间、学生之间交往互动与共同发展的过程,因此,我认为教法与学法是密不可分的。
本节主要采取探究合作、启发引导的教学方法,多媒体的运用,激发了学生探究合作的积极性,为教师的启发引导提供了生动的素材,使学生获得知识,形成技能。
四、教学步骤(一)、旧知回放,探索新知(圆周角的概念的突破)1、出示课件,演示将圆心角的顶点由圆心拖至圆上,请同学们仿照圆心角的概念给形成的新角起名字,学生很容易的就会命名为圆周角。
2、引导学生进行讨论,规范圆周角的概念。
(设计意:让学生学好基础知识、基本概念,识别其内容反映出来的数学思想和方法,培养学生的基本技能、分析问题和解决问题的能力,使学生通过自己的观察与探索,发现、理解并掌握圆周角的定义。
)特别说明:本节的引入我采用了动态演示的方法,从学生已知的圆心角出发,引申到这节课要学的圆周角,便于学生在已有的知识基础上掌握所学,符合学生的认知规律.本节教材中给出的引例是一个生动而实际的例子,但我并没有采用它,是因为这个例子映射的是"同弧所对的圆周角相等"的知识点,它要引出的是第二课时的内容.本着活用教材原则,在深入挖掘教材之后,我觉得这个例子放在第一课时并不太合适.3、巩固练习,看谁最棒(请同学们判断各形的角是否是圆周角,并说明理由。
3.4圆周角和圆心角的关系教学设计2023-2024学年数学北师大版九年级下册
-鼓励学生在课后进行自主探究,尝试运用圆周角和圆心角的关系解决更复杂的问题。
-建议学生尝试设计一些有趣的几何图形,如正多边形和圆的组合,观察圆周角和圆心角在这些图形中的变化规律。
-引导学生关注生活中的圆形设计,如城市规划中的圆形广场、交通标志等,分析其中圆周角和圆心角的应用。
-鼓励学生进行小组合作,共同研究圆周角和圆心角在其他学科领域的应用,如物理中的圆周运动、天文学中的行星轨迹等。
解答:
连接OC,OA,OB。
由于O是弦AB的中点,根据圆的性质,OC垂直于AB。
在ΔOAC和ΔOBC中,OA=OB(半径相等),OC=OC(公共边),∠OAC=∠OBC(直角相等),所以ΔOAC≌ΔOBC(HL)。
因此,∠AOC=∠BOC,所以∠ACB=2∠AOC。
题型二:应用圆周角定理
题目:在圆中,弦AB和弦CD相交于点E,且∠AEC=80°,求∠BED的度数。
3.巩固练习(10分钟)
-设计具有层次性的练习题,让学生独立完成。题目包括基础题、综合题和应用题,涵盖圆周角和圆心角的知识点。
-学生完成练习题后,教师选取部分答案进行展示和讲解,强调解题过程中的注意事项和易错点。
-组织学生进行小组讨论,共同分析题目,培养合作精神和问题解决能力。
4.课堂提问(5分钟)
2.讲授新课(20分钟)
-教师通过讲解和动态演示,介绍圆周角定理及其推论,解释圆周角等于其所对圆心角的一半。
-引导学生通过实际作图,观察圆内接四边形的对角互补现象,加深对圆周角推论的理解。
-讲解圆心角、弧、弦的关系,强调圆心角相等时,其所对的弧和弦也相等。
-结合实际例子,说明圆周角和圆心角在生活中的应用,激发学生学习兴趣。
教学资源拓展
北师大版九年级数学下册:第三章3.4.2《圆周角和圆心角的关系》精品说课稿
北师大版九年级数学下册:第三章 3.4.2《圆周角和圆心角的关系》精品说课稿一. 教材分析北师大版九年级数学下册第三章《圆周角和圆心角的关系》的内容,是在学生已经掌握了圆的基本概念、圆的度量等知识的基础上进行教授的。
这一节内容主要介绍了圆周角和圆心角的关系,即圆周角等于其所对圆心角的一半。
这是圆的重要性质之一,对于学生理解圆的性质和应用具有重要的意义。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础,对于圆的基本概念和度量知识有一定的了解。
但是,对于圆周角和圆心角的关系的理解,可能还需要进一步的引导和解释。
因此,在教学过程中,我将会注重学生的参与和实践,通过举例和练习,让学生深入理解圆周角和圆心角的关系。
三. 说教学目标1.知识与技能:学生能够理解圆周角和圆心角的关系,能够运用这一性质解决相关问题。
2.过程与方法:学生通过观察、实践和思考,培养观察能力和逻辑思维能力。
3.情感态度与价值观:学生培养对数学的兴趣,提高自信心,培养合作和探究的精神。
四. 说教学重难点1.教学重点:学生能够理解圆周角和圆心角的关系,能够运用这一性质解决相关问题。
2.教学难点:学生能够理解和证明圆周角等于其所对圆心角的一半。
五. 说教学方法与手段在教学过程中,我将采用问题驱动法和案例教学法。
通过提问和举例,引导学生思考和探索圆周角和圆心角的关系。
同时,我会利用多媒体教学手段,如PPT 和动画,来辅助解释和展示圆周角和圆心角的关系。
六. 说教学过程1.导入:通过提问和回顾,引导学生回顾已知的圆的知识,为新课的学习做好铺垫。
2.讲解:详细讲解圆周角和圆心角的关系,通过图示和实例,让学生直观地理解这一性质。
3.练习:给出一些练习题,让学生运用圆周角和圆心角的关系解决问题,巩固所学知识。
4.拓展:给出一些拓展题,让学生进一步思考和探索圆周角和圆心角的关系的应用。
5.小结:对本节课的内容进行总结,强调圆周角和圆心角的关系的重要性。
圆周角和圆心角的关系(第2课时)同步课件
(1)如图,A,B,C,D是⊙O上的四点,AC为⊙O的直径,
请问∠BAD与∠BCD之间有什么关系?为什么?
A
解:∠BAD与∠BCD互补.
D
∵AC为直径,
∴∠ABC=90°,∠ADC=90°.
∵∠ABC+∠BCD+∠ADC+∠BAD=360°,
B
∴∠BAD+∠BCD=180°.
∴∠BAD与∠BCD互补.
O
C
探究新知
自主合作,探究新知
(2)若C点的位置产生了变化,∠BAD与∠BCD之间的关系
还成立吗?为什么?
解:∠BAD与∠BCD的关系仍然成立.
D
A
如图8,连接OB,OD.
∵ ∠2=2∠BAD,∠1=2∠BCD,
C
1
O 2
(圆周角的度数等于它所对弧上圆心角的一半),
∵∠1+∠2=360°,
解:∵四边形ABCD是圆内接四边形,
E
∴∠ADC+∠CBA=180°(圆内接四边形的对角互补).
∵∠EDC+∠ADC=180°,
D
∠EBF+∠ABE=180°,
∴∠EDC+∠EBF=180°.
C
O
∵∠EDC=∠F+∠A,∠EBF=∠E+∠A,
∴∠F+∠A+∠E+∠A=180°.
∴∠A=40°.
A
B
F
圆内接四边形的对角互补.
D
D
A
A
C
O
O
B
C
B
几何语言:
∵四边形ABCD为圆内接四边形,
34圆周角和圆心角的关系(教案)
课题 3.4 圆周角和圆心角的关系教学目标知识技能:1.理解圆周角概念和圆周角与圆心角的关系定理及推论;2.会用定理进行简单的说明或推理.过程方法:1.经历观察、猜想、推理论证等探索圆周角定理的过程,掌握从特殊情况入手,通过转化来解决一般性问题的方法;2.感悟分类讨论、转化的数学思想.德育目标:通过观察、实验、类比、猜想、论证、反思,使学生树立运动变化和对立统一的辩证唯物主义观点和严谨的科学态度.教学重、难点重点:对圆周角与圆心角关系的剖析与论证. 难点:定理证明中的分类化归思想.教法学法分析为了更好地突出重点、突破难点,圆满完成教学任务,采用探究式教学方法,着眼引导学生通过动手实践、自主探索、合作交流的学习方式,着重于探索、发现、归纳能力的培养.教学过程教学环节教学内容设计意图温故知新教师提出问题:问题1:点和圆有哪几种位置关系?问题2:什么叫圆心角?学生回答问题,并进行画图展示,从而得到圆周角.由点和圆的位置关系及圆心角概念,通过画图得到圆周角,实现了知识的整体性,又为学习新知做好铺垫.概念引领1.教师引导学生说出圆周角的定义.教师进行板书:顶点在圆上,两边分别与圆还有另一个交点的角叫做圆周角.教师引导学生分析圆周角所具备的两个条件:①顶点;②两边.2.辨一辨:判别下列各图形中的角是不是圆周角,并说明理由.此环节是为了让学生根据角的特征归纳圆周角的定义.同时进一步加强学生对圆周角定义中“角的顶点在圆上”“角的两边与圆还有一个交点”两个要素的理解.探究活动问题:1.在⊙O中,弧AB所对的圆心角有几个?所对的圆周角呢?一是为了让学生动手通过画图感受同弧所对的圆周角有无数多个,并用几何画板演示移动一个圆周角的顶点,让同学们从动态感受相同的结论;二是为引导学生观察圆心与圆周角的位置关系作铺垫.2.在上图中,你认为圆周角和圆心的位置关系有几种情况?为了让学生在合作学习和教师的演示中经历观察、发现、归纳总结的过程,并巧妙地化解“分类讨论”这个难点.3.如图所示,你知道∠C和∠AOB的数量关系吗?让学生运用多种方法得到同弧所对的圆周角与圆心角之间的数量关系,为根据图形写出已知、求证、证明打好基础.探究活动根据同弧所对的圆周角与圆心的三种位置关系,学生分三种情况进行证明.教师提出:问题1:三类图形中,应从哪一个着手证明,为什么?问题2:如何证明特殊情况?并总结其中用到的几何知识.问题3:另外两个图形是否能通过作适当的辅助线转化为特殊情况?学生自主思考,小组合作完成证明过程.教师巡视,深入小组内适时点拨.指导一名学生板演证明过程,集体评价.让学生体会推理的严谨性,感悟从特殊到一般的数学思想,并体会用此种数学方法去解决问题的妙处,同时领会辅助线的数学价值和分类化归的数学方法.。
北师大版九年级数学下册:3.4《圆周角和圆心角的关系》说课稿
北师大版九年级数学下册:3.4《圆周角和圆心角的关系》说课稿一. 教材分析北师大版九年级数学下册3.4《圆周角和圆心角的关系》这一节主要介绍了圆周角定理和圆心角定理。
通过这一节的学习,使学生能够了解并理解圆周角和圆心角之间的关系,能够运用这些定理解决一些与圆相关的问题。
在教材中,通过丰富的例题和练习题,帮助学生巩固所学知识,提高解决问题的能力。
二. 学情分析九年级的学生已经学习了平面几何的基本知识,对图形的性质和定理有一定的理解。
但是,对于圆的相关知识,尤其是圆周角和圆心角的关系,可能还比较陌生。
因此,在教学过程中,需要引导学生从已知的平面几何知识过渡到圆的相关知识,通过实例和练习,让学生理解和掌握圆周角定理和圆心角定理。
三. 说教学目标1.知识与技能:使学生了解圆周角定理和圆心角定理,能够运用这些定理解决一些与圆相关的问题。
2.过程与方法:通过观察、分析和推理,培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
3.情感态度与价值观:激发学生对数学的兴趣,培养学生的团队合作意识和探索精神。
四. 说教学重难点1.教学重点:圆周角定理和圆心角定理的表述和理解。
2.教学难点:圆周角定理和圆心角定理的证明和运用。
五. 说教学方法与手段1.教学方法:采用问题驱动法、案例教学法和小组合作法。
2.教学手段:利用多媒体课件和黑板进行教学。
六. 说教学过程1.导入:通过一些与圆相关的问题,引导学生思考圆周角和圆心角的关系。
2.讲解:讲解圆周角定理和圆心角定理的表述和证明,通过实例让学生理解这些定理的应用。
3.练习:让学生做一些相关的练习题,巩固所学知识。
4.拓展:引导学生思考圆周角定理和圆心角定理在其他几何问题中的应用。
七. 说板书设计板书设计如下:圆周角定理:1.圆周角等于它所夹的弧的圆心角的一半。
2.圆周角等于它所对的圆周角的一半。
圆心角定理:1.圆心角等于它所夹的弧的圆周角的一半。
2.圆心角等于它所对的圆心角的一半。
《圆周角和圆心角的关系》教学设计
《圆周角与圆心角的关系》教学设计教学目标:1.掌握圆周角的概念和圆周角定理的证明.2.经历探索圆周角和圆心角的关系的过程,学会以特殊情况为基础,通过转化来解决一般性问题的方法,渗透分类的数学思想.3.学生自主探索定理的过程中,经历猜想、推理、验证等环节,获得正确学习方式.培养学生的探索精神和解决问题的能力.教学重点与难点:重点:圆周角定理的证明及应用.难点:圆周角定理的证明和分类讨论问题的应用.课前准备:多媒体课件、圆规、三角板.教学过程:一、创设情境,引入新课活动内容1:视频欣赏(多媒体播放足球射门视频)活动内容2:设疑导入如图,在足球射门的游戏中,球员射中球门的难易程度与他所处的位置B对球门AC的张角(∠BAC)有关.当球员在B、D、E三点射门时,他所处的位置对球门AC分别形成三个张角∠BAC,∠BAC,∠BAC.这三个角的大小有什么关系?在这三点射门的效果一样吗?今天就让我们一起来共同学习圆周角和圆心角的关系.【板书课题:3.4圆周角和圆心角的关系(1)】处理方式:学生观看视频后思考、分析并进行交流.设计意图:通过视频欣赏,充分调动学生的课堂热情和积极性,同时也让学生感受到生活或娱乐中处处体现着数学的艺术.通过设疑,激发学生的求知欲,培养学习兴趣.二、探究学习,感悟新知活动内容1:圆周角的概念问题1:观察右图中的∠BAC,∠BAC,∠BAC,你有什么发现?与同伴交流.问题2:∠BAC,∠BAC,∠BAC是圆心角吗?它们与圆心角的区别是什么?与同伴交流.处理方式:学生先自主思考,然后与同伴交流自己的想法.教师组织学生说出自己发现,引导学生与圆心角进行对比,重点引导学生说出∠BAC、∠BAC、∠BAC的共同特特征,把握两点特征:角的顶点在圆上;两边在圆内的部分是圆的两条弦.接着给出圆周角定义:顶点在圆上,并且两边分别与圆还有另一个交点.像这样的角,叫做圆周角.巩固练习:火眼金睛1.判断下列各图形中的角是不是圆周角.(第1题图)(第2题图)2.指出图中的圆周角.处理方式:教师先引导学生回顾圆周角定义中的两个条件:①顶点在圆上;②两边分别与圆还有另一个交点.对于第2题,因为半径AO没有延长,所以∠OAB严格来说还不算是一个圆周角,这里有必要向学生说明一下,但以后在解题中,我们又往往会忽略这些角,因为只要把半径AO延长与圆相交后,就会形成圆周角了,所以这里要特别注意.两题可采用抢答的形式来完成.设计意图:通过让学生经历“观察--发现—对比--交流---总结”这一数学活动过程,一方面积累数学活动的经验,另一方面也加深了学生对圆周角的理解.类比圆心角来学习圆周角,学生会感觉自然,易于接受;通过两个练习,让学生加深了对圆周角定义的理解和直观感受. 让学生熟练判断圆中哪些是同一条弧所对的圆周角,并掌握如何在比较复杂的图形中按照一定的规律寻找所有的圆周角和圆心角,这一能力对于学习后续的圆的相关证明题是很必要的.活动内容2:圆周角与圆心角的关系1.直观感受:做一做如图,∠AOB=80°.(1)请你画几个AB所对的圆周角?这几个圆周角有什么关系?与同伴进行交流.(2)这些圆周角和圆心角∠AOB的大小有什么关系?你是怎么发现的?与同伴进行交流.处理方式:对于问题(1)应先让学生明确问题的要求,找到特定的弧,然后再画圆周角.学生所画的圆周角的位置会有不同,教师可以从中找出典型的图形进行展示,同时引导学生观察所画的圆周角与圆心角∠AOB有几种位置关系,然后通过对比猜测这几个圆周角的关系,与同伴交流自己的想法.学生所画圆周角展示:对于问题(2),教师可引导学生通过度量来进行猜测验证这些圆周角和圆心角∠AOB 的大小有什么关系.并启发学生思考:为什么不同位置的圆周角度数相同?从而初步得出结论:圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角的一半.设计意图:通过画图加深对圆周角的理解,同时在画图的过程中让学生感受所画的圆周角与圆心角∠AOB所对的弧是同一段弧.为下面的对比或度量猜测结论做好铺垫.2.猜想:议一议在上图中,改变∠AOB的度数,你得到的结论还成立吗?说说你的想法,并与同伴交流.处理方式:学生猜想结论是否成立,并尝试进行说理.3.证明已知:如图,∠C 是AB 所对的圆周角,∠AOB 是AB 所对的圆心角. 求证:12C AOB ∠=∠.分析:根据圆周角和圆心角的位置关系,分三种情况讨论:(1)圆心O 在圆周角∠C 的一边上,如图(1);(2)圆心O 在圆周角∠C 的内部,如图(2);(3)圆心O 在圆周角∠C 的外部,如图(3).处理方式:先引导学生明确题意,再根据圆周角和圆心角的位置关系,进行分析--讨论--证明.证明时先让学生证明圆心O 在圆周角∠C 的一边上的情况,对于另外两种情况教师应适时进行引导,分析如何添加辅助线,将其转化为(1)的情况进行证明.情况(1)可让学生到黑板板演,适时点拨强调,规范学生的解题步骤.情况(2)(3)如果时间充足可让学生板演证明过程,也可借助实物投影展示学生的证明过程.注意要及时给予肯定的评价,帮助学生树立信心.证明:(1)当圆心O 在圆周角∠C 的一边上时,如图(1).∵∠AOB 是△ACO 的外角,∴∠AOB =∠C +∠A .∵OA=OC ,∴∠A =∠C .∴∠AOB =2∠C ,12C AOB ∠=∠即. (2)当过点C 作直径CD .证明过程略.(3)当过点C 作直径CD . 证明过程略.(2)(3)4.总结归纳通过以上证明过程你能得出什么结论?圆周角定理: 圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半.5.应用(1)如图,在直径为AB的半圆中,O为圆心,C,D为半圆上的两点,∠COD=50°,则∠CAD=_______.第(1)题第(2)题(2)如图,A、B、C为⊙O上三点,∠ABO=65°,求∠BCA的度数.处理方式:学生在说出答案的同时,请学生说出理由.教师总结:求圆周角时,要想到它所对的弧对的圆心角.设计意图:通过学生画圆周角,并测量出来,就能直观地感受它们之间的关系,然后就会很努力的去验证这个目标.两个巩固练习,是为了让学生活学活用.三、拓展延伸,提高认识想一想:(1)在足球射门的游戏中,球员在B、D、E三点射门时,所形成的三个张角∠BAC,∠BAC,∠BAC大小有什么关系?你能用圆周角定理证明你的结论吗?(2)如图,在⊙O中AB=EF,那么∠C和∠G的大小有什么关系?为什么?处理方式:(1)引导学生观察∠BAC,∠BAC,∠BAC是同弧(AC )所对的圆周角,根据圆心角定理,它们都等于AC 所对圆心角的一半,所以这几个圆周角相等.(2)引导学生结合圆心角定理和圆周角定理得出∠C 和∠G .根据以上学生的回答教师及时提出问题:由以上两题你能得出什么结论?学生思考总结后给出圆周角定理的推论:同弧或等弧所对的圆周角相等巩固训练:1.判断题:(1)在同圆或等圆中等弧所对的圆周角相等. ( )(2)相等的圆周角所对的弧也相等. ( )(3)同弦所对的圆周角相等. ( )2.在如图所示的8个角中,哪些是相等的角?你能从图中找出几对相似三角形吗?处理方式:训练习题由学生独立思考,然后采用抢答的形式完成.对于第1题中的第(3)题,要留给学生更多的思考空间.第(2)个问题由学生来处理,最后总结:由同一条弧去找圆周角,相似三角形也是去找相等的角.设计意图:学生掌握圆周角定理的基础上,应用圆周角定理得出推论,让学生更能深刻的体会到圆心角和圆周角的关系和联系.即时训练就是加深对知识的理解和应用.四、回顾反思,提炼升华通过这节课的学习,你有哪些收获?有何感想?学会了哪些方法?先想一想,再与大家一起分享.学生畅谈自己的收获!设计意图:通过学生对本节课所学进行梳理,理清本节课的主要内容,并且养成反思与总结的习惯,培养学生自主发展的意识.五、达标检测,反馈提高1.如图,点B ,C 在⊙O 上,且BO =BC ,则圆周角∠BAC 等于 .OABC(第1题)(第2题)(第3题)2.如图,已知BD是⊙O的直径,⊙O的弦AC⊥BD于点E,若∠AOD=60°,则∠DBC 的度数为.3.(选做)如图,弦AB与CD相交于点P,求证:P A•PB=PC•PD处理方式:学生做完后,教师出示答案,指导学生校对,并统计学生答题情况.学生根据答案进行纠错.设计意图:学以致用,当堂检测及时获知学生对所学知识掌握情况,尽可能地调动学生学习数学的积极性,使每个学生都能有所提高,明确哪些学生需要加强辅导,达到全面提高的目的.六、布置作业,课堂延伸必做题:课本80页,习题3.4第1、2题.选做题:课本81页,习题3.4第4题.板书设计:学生活动区域。
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A D
O B
∵OA=OD ∴∠OAD=∠ODA 又∵∠AOD+∠OAD+∠ODA=180° ∴∠BAD=75°
1、足球赛场上,甲、乙两名队员互相配合向对方球 门MN进攻。当甲带球到A点时,乙随后冲到B点,如 图,此时甲是自己射门好,还是将球回传给乙,让乙 射门好呢?为什么?(不考虑其他因素)
N
M A
甲
B乙
1、足球赛场上,甲、乙两名队员互相配合向对方球 门MN进攻。当甲带球到A点时,乙随后冲到B点,如 图,此时甲是自己射门好,还是将球传给乙,让乙射 门好呢?为什么?(不考虑其他因素) A 解:连 接 NC ,由圆周 角性 C N 质 ∠MBN=∠MCN 又由三角形外角性质 ∠MCN>∠A M B ∴∠MBN>∠A 因此,让乙射门好.
1、本节课我们学习了哪些知识? 2、本节课我们学习了哪些方法? 引辅助线的方法: (1)构造直径上的圆周角. (2)构造同弧或等弧所对的圆周角.
• 1.判断题:
• (1)同圆或等圆中,等弧所对的圆周角相等.(
• (2)90°的角所对的弦是直径.
• (3)同弦所对的圆周角相等.
A
C
√ ( X) (X)
(圆周角的度数等于它所对弧上的圆心 角的度数的一半)
∵四边形ABCD是圆内接四边形 ∴∠DAB+∠BCD=180° ∴∠BCD=180°-40°=140°
(圆内接四边形的对角互补)
B
知识技能 P84
方法一:
2.如图,AB是⊙O的直径,∠C=15°,求 ∠BAD的度数。 C O
A
解:连接BC ∵AB为直径 ∴∠BCA=90°
∴B、O、C三点在同一直线上 ∴BC是⊙O的一条直径
直径所对的圆周角是直角; 90°的圆周角所对的弦是直径。 A B C
A B C
O
O
几何语句: ∵BC为直径 ∴∠BAC=90°
几何语句: ∵∠BAC=90° ∴BC为直径
随堂练习1
如图,⊙O的直径AB=10cm,C为⊙O上的 一点,∠B=30°,求AC的长。 B 解∵AB为直径 ∴∠BCA=90° 在Rt△ABC中, O ∠ABC=30°,AB=10 C ∴AC= 1 AB=5.
想一想
如图,∠DCE是圆内接 A 四边形ABCD的一个外角, ∠A与∠DCE的大小有什 O 么关系? B C 解:∠A=∠CDE ∵四边形ABCD是圆内接四边形 ∴∠A+∠BCD=180°(圆内角四边形的对角互补) ∵∠BCD+∠DCE=180° ∴∠A=∠DCE
D
E
议一议
在得出本节结论的过程中,你用到了哪 些方法?请举例说明,并与同伴进行交流。
A
B
. . ..
C
P
O1
O2 C
大小不变的角有: ∠ACB ∠APB ∠BCP
P
作业 : 教科书116页
习题3.5
)
B
D
O
C
A
O E
B
2.如图,AB是⊙O的直径,BD是⊙O的 弦,延长BD到C,使AC=AB,BD与CD的 大小有什么关系?为什么?
A
O
C
D
B
解:连接AD ∵AB是⊙O的直径 ∴∠ADB=90° 即AD⊥BC 又∵AC=AB
∴BD=CD
3.如图,△ABC的顶点均在⊙O上,AB=4, ∠C=30°,求⊙O的直径.
议一议
如图,C点的位置发生了变化,∠BAD与∠BCD 之间有的关系还成立吗?为什么?
解:∠BAD与∠BCD的关系仍然成立 连接OB,OD A 1 1 ∵∠BAD= ∠2 ,∠BCD= 2 ∠1.
2
(圆周角的度数等于它所对弧上圆心角的一半)
D
1 O 2
C
∵∠1+∠2=360° ∴∠BAD+∠BCD=180° ∴∠BAD与∠BCD互补
2
A
随堂练习2
小明想用直角尺检查某些工件是否恰好为 半圆形。下面所示的四种圆弧形,你能判 断哪个是半圆形?为什么?
√
议一议
如图,A,B,C,D是⊙O上的四点,AC为⊙O的 直径,请问∠BAD与∠BCD之间有什么关系?为 什么? D A 解:∠BAD与∠BCD互补. ∵AC为直径 ∴∠ABC=90°,∠ABC=90° O ∵∠ABC+∠BCD+∠ABC+∠BAD=360° ∴∠BAD+∠BCD=180° B C ∴∠BAD与∠BCD互补=90°,∠ACD=15° ∴∠BCD=90°-15=75° ∴∠BAD=∠BCD=75°(同弧所对的圆周角相
(直径所对的圆周角为直角) 等)
知识技能P84
2.如图,AB是⊙O的直径,∠C=15°,求 ∠BAD的度数。 方法二: C 解:连接OD ∵∠ACD=15° ∴∠AOD=2∠ACD =30°
B
●
A
O
E
F
解:过B作直径BF交⊙O于点F, 连接AF ∵BF是⊙O的直径 ∴∠BAF=90° 在Rt△ABF中,∠F=30° C ∴BF=2AB 又∵AB=4 ∴BF=8 即⊙O直径为8
数学理解P84
4.如图,⊙O1与⊙O2都经过A,B两点,且点O2在⊙O1上, 点C是AO2B上的一点(点C不与A,B重合),AC的延长 线交⊙O2于点P,连接AB,BC,BP。 (1)根据题意将图形补充完整; (2)当点C在AO2B上运动时,图中大小不变的角有哪些? (将符合要求的角都写出来)
3.4.2圆周角和圆心角的关系
D A C O
甲 丙
B
乙
仅从射门角 度大小考虑, 谁相对于球 门的角度更 好?
知识回顾
圆周角定义: 顶点在圆上,并且两边都
和圆相交的角叫圆周角.
圆周角定理: 在同圆或等圆中,同弧或
等弧所对的圆周角等于它 所对的圆心角的一半.
课前复习
1.求图中角X的度数
C
D
120°
方法1:解决问题应该经历“猜想——实验验 证——严密证明”三个基本环节. 方法2:从特殊到一般的研究方法,对特殊图 形进行研究,从而改变特殊性,得出一般图 形,总结一般规律.
知识技能P83
1.如图,在⊙O中,∠BOD=80°,求∠A和 ∠C的度数。 D 解: ∵ ∠BOD =80° A C ∴ ∠DAB= ∠BOD O
O
70°
.
.
x BC
O
X
A
X=
A
B
X=
35°
120°
定理
圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角 的度数的一半
2.求图中角X的度数
x 60°
∠ABF=20°,∠FDE=30°
B
C
x
D
30°
20°
A
X=
E
F
X=
60°
50°
定理 同弧或等弧所对的圆周角相等
观察图,BC是⊙O的直径,它所对的圆周角有 什么特点?你能证明吗? A 解:直径BC所对的圆周角 ∠BAC=90° B 证明: ∵BC为直径 ∴∠BOC=180° 1 ∴∠BAC= ∠BOC=90°
B
如图,两个四边形ABCD有什么共同的特点?
A
D
A
D C
O B
C
O B
四边形ABCD的四个顶点都在⊙O上,这样的 四边形叫做圆内接四边形; 这个圆叫做四边形的外接圆。
如图,我们发现∠BAD与∠BCD之间有什么关系?
圆内接四边形的对角互补。
D A O B C B A D
C
O
几何语句: ∵四边形ABCD为圆内接四边形 ∴∠BAD+∠BCD=180°(圆内接四边形的对角互补)
O
C
2
(圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角的度数的一半)
想一想
注意:此处不能直接连接BC,思路是先 保证过点O,再证三点共线。
观察图,圆周角∠BAC=90°,弦BC是直径吗? 为什么? A 解:弦BC是直径。 连接OC、OB ∵∠BAC=90° C B O ∴∠BOC=2∠BAC=180°
(圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角 的度数的一半)
2.当甲带球到C点时,乙冲到了D点,如图所示,此时 甲是自己直接射门好,还是将球传给乙,让乙射门 好呢?为什么?(不考虑其他因素)
N D M 乙
C
甲
2.当甲带球到C点时,乙冲到了D点,如图,此时甲 是自己射门好,还是将球传给乙,让乙射门好呢? 为什么?(不考虑其他因素) N 解: 延长 NC 交圆 O 于点 E ,连 D 接ME,由圆周角性质 M ∠MDN=∠MEN O 又由三角形外角性质 ∠MCN>∠MEN C ∴∠MCN>∠MDN E 因此,让甲射门好 .