2017年全国卷3文科数学试题及参考答案

绝密★启封并使用完毕前试题类型：新课标Ⅲ2017年普通高等学校招生全国统一考试文科数学本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分，共24题，共150分，共4页。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项：1.答题前，考生先将自己的、填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域。

2.选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑字迹的签字笔书写，字体工整，笔迹清楚。

3.请按照题号顺序在各题目的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4.作图可先用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破，不准使用涂改液、修正液、刮纸刀。

第I 卷一、单选题 (本大题共12小题，每小题5分，共60分。

) 1. 已知集合{}{}1,2,3,4,2,4,6,8A B ==，则AB 中的元素的个数为( )A. 1B. 2C. 3D. 4 2. 复平面表示复数()2z i i =-+的点位于( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限 3．某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量(单位：万人)的数据，绘制了下面的折线图．根据该折线图，下列结论错误的是( )A. 月接待游客量逐月增加B. 年接待游客量逐年增加C. 各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月D. 各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳 4．已知4sin cos 3αα-=，则sin 2α=( ) A. 79- B. 29- C. 29 D. 795. 设,x y 满足约束条件326000x y x y +-≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩则z x y =-的取值围是( )A. []3,0-B. []3,2-C. []0,2D. []0,36. 函数()1sin cos 536f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最大值为( )A.65 B. 1 C. 35 D. 157. 函数2sin 1xy x x =++的部分图像大致为( )8．执行右面的程序框图，为使输出S 的值小于91，则输入的正整数N 的最小值为( )A. 5B. 4C. 3D. 29. 已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为( )A. πB.34π C.2π D. 4π 10. 在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱CD 的中点，则( )A.11A E DC ⊥B. 1A E BD ⊥C. 11A E BC ⊥D. 1A E AC ⊥11. 已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右顶点分别为A 1，A 2，且以线段A 1A 2为直径的圆与直线20bx ay ab -+=相切，则C 的离心率为( )A B C D . 1312. 已知函数()()2112x x f x x x a e e --+=-++有唯一零点，则a =( )A . 12-B . 13C . 12D . 1第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题~第(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答.第(22)题、第(23)题为选考题，考生根据要求作答. 二、填空题 (本大题共4小题，每小题5分，共20分)13. 已知向量()2,3a =-，()3,b m =，且a b ⊥，则m =____。

14. 双曲线()222109x y a a -=>的一条渐近线方程为35y x =，则a =____。

15. ABC ∆角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知60,3C b c ===，则__.A = 16. 设函数()1,02,0x x x f x x +≤⎧=⎨>⎩则满足()112f x f x ⎛⎫+-> ⎪⎝⎭的x 的取值围是_______。

三、简答题(本大题共6小题，共70分。

) 17. 设数列{}n a 满足()123...212n a a n a n +++-= (1)求数列{}n a 的通项公式；(2)求数列21n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n 项和；18. 某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完。

根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：C )有关。

如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[)20,25，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶。

为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频率分布表：以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率。

(1)估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率；(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y (单位：元)。

当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时，写出Y 的所有可能值并估计Y 大于0的概率？ 19. 如图，四面体ABCD 中，ABC ∆是正三角形，AD CD = (1)证明：AC BD ⊥(2)已知ACD ∆是直角三角形，AB BD =,若E 为棱BD 上与D 不重合的点，且AE EC ⊥，求四面体ABCE 与四面体ACDE 的体积比20. 在直角坐标系xOy 中，曲线22y x mx =+-与x 轴交于,A B 两点，点C 的坐标为(0,1)。

当m 变化时，解答下列问题：(1)能否出现AC BC ⊥的情况？说明理由；(2)证明过,,A B C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值。

21. 设函数()()2ln 21f x x ax a x =+++.(1)讨论()f x 的单调性； (2)当0a <时，证明()324f x a<--. 22. 选考题：共10分。

请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。

在直角坐标系xOy 中，直线1l 与参数方程为2,,x t y kt =+⎧⎨=⎩(t 为参数)，直线2l 的参数方程为2x m m y k =-+⎧⎪⎨=⎪⎩(m 为参数)，设1l 与2l 的交点为P ,当k 变化时，P 的轨迹为曲线C . (1) 写出C 的普通方程；(2) 以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设()3:cos sin 0l ρθθ+-，M 为l 3与C 的交点，求M 的极径.23.选考题：共10分。

请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。

已知函数f (x )=│x +1│–│x –2│. (1)求不等式f (x )≥1的解集；(2)若不等式f (x )≥x 2–x +m 的解集非空，求m 的取值围.参考答案单选题1. B2. C3. A4. A5. B6. A7. D8. D9. B 10. C 11. A 12. C单选题 详解 1. 集合和集合有共同元素2，4，则所以元素个数为2.2. 化解得，所以复数位于第三象限。

3. 由折线图可知，每年月接待游客量从8月份后存在下降趋势，故选A ．4.由题意易知，()216sin cos 9αα-=，1612sin cos 9αα∴-=，167sin 22sin cos 199ααα∴==-=-5.由题意，画出可行域，端点坐标 ,,.在端点处分别取的最小值与最大值.所以最大值为，最小值为.故选6．()1111sin cos sin sin 536522f x x x x x x x ππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++-=+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()333sin sin 2sin 5553x x x x x π⎛⎫===⨯+ ⎪⎝⎭ 故最大值为657．注意到四个答案的差别，可以取一个较小的自变量值，比如0.01x =，则()()2sin 0.010.0110.01 1.0100.01f =++>>，故排除,A C 注意,B D 的差别，可取特别大的自变量，此时2sin xx 可忽略不计 此时1y x ≈+，故排除B8. 当输入的正整数时，否，输出9.如图所示，易知11,2OA OB==，AB∴，23124Sππ⎛∴=⨯=⎝⎭，选B10. 平面,又,平面,又平面.11.易知圆心为原点，半径为a，故圆心到直线20bx ay ab-+=的距离为半径a=2224b a b∴=+()222233a b a c∴==-cea∴==12. ()()()21111x xf x x a e e--+=--++令()()21g x x=-，则()g x在(),1-∞上单调递减，在()1,+∞上单调递增；令()()11x xh x e e--+=+，则由均值不等式得，()h x在(),1-∞上单调递减，在()1,+∞上单调递增；故当0a>时，()f x在(),1-∞上单调递减，在()1,+∞上单调递增；()1120f a∴=-+=12a∴=>满足题意，结合选项知选C填空题 13. 2 14. 5 15. 75 16.填空题 详解 13. 因为得，。

14. 令双曲线右边的1为0，可得22209x y a -=，故双曲线的渐近线方程为3y x a=±5a ∴=15. 有正弦定理知：sin sin B C b c=，2sin 3B ∴==，45B ∴=，故75A = 16. 画出()f x 及12f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的图像知()f x 及12f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭都是R 上的单调递增函数，故()12f x f x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭也是R 上的单调递增函数，从图像上易判断()112f x f x ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭的解在直线部分， 故令1112x x +++=，解得14x =-，故()112f x f x ⎛⎫+-> ⎪⎝⎭的解集为1,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭简答题 17.(1)当时， (1分)当时，由① (2分)② (3分)① -②得(4分)即验证符合上式f (x )所以 (6分)(2)(8分)(12分) 18.216363905P ++== (4分) 当温度大于等于时，需求量为，元 (6分)当温度在时，需求量为， (8分)元当温度低于时，需求量为，元 (10分) 当温度大于等于时，，3625744905P +++==。

(12分)19. (1)取中点，连接，且是中点。

同理：(2分)在平面中，又面，(4分)(2)由题意，令，即(6分)为中点，(8分)在直角中，，中有又为中点(10分)点,B D到平面ACE的距离相等(12分) 20.(1)令，，又，为的根(2分)假设成立，，不能出现的情况(4分)(2)方法一： 令圆与轴的交点为，令圆的方程为(6分) 令得的根为，令得……. ① (8分) 点在①上，解得或(10分)在轴上的弦长为3，为定值 (12分) 方法二：易知圆心O 点的横坐标为1222x x m+=- 故可设圆心O 点的坐标为,2m n ⎛⎫- ⎪⎝⎭∴圆在y 轴上的弦长()21CD n =-，且半径满足：()22222212124m m r CO n n n ⎛⎫==-+-=+-+ ⎪⎝⎭①由(1)得 21AB x x =-=在等腰三角形OAB中，由垂径定理可知222 12AB n r ⎛⎫+= ⎪⎝⎭即：22284mn r++=②由①②可得12 n=-()213CD n∴=-=∴圆在y轴上的弦长定值321.(1)由有(2分)①当时，单增②当时，令，即解得(4分)ⅰ.当时，开口向上，, ∴当0x>时,即，单增ⅱ.当时，开口向下，，此时，在10,2a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上，，即，单增在1,2a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上，，即，单减综上 当0a ≥时，()f x 在()0,+∞单调递增当0a <时，()f x 在10,2a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，在1,2a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭单调递减(6分) (2)由(1)可得：故要证即证(8分) 即证即证(10分) 令则令，得(12分) 故原命题得证.22. (1)由已知得，，，(3分) 即，即.(5分) (2)将代入(1)中，所以(2240x x --+-=，解得，(8分)所以在直角坐标系下的坐标为由得：.所以的极径为(10分) 23.(1)当1x ≤-时，10,20x x +≤-≤()()()123f x x x ∴=-++-=-当12x -<≤，()()()1221f x x x x =++-=- 当2x >时，()()123f x x x =+--=()3,121,123,2x f x x x x -≤-⎧⎪∴=--<≤⎨⎪>⎩令211x -≥可得1x ≥综上易知，()1f x ≥的解集为[)1,-+∞(2)设()2223,131,123,2x x x g x x x x x x x ⎧-+-≤-⎪=-+--<≤⎨⎪-++>⎩由()2f x x x m ≥-+有解可得()g x m ≥有解故()max 54m f x ≤=∴m 的取值围是5,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦。