大学数学高数微积分第十章线性函数第二节课堂讲义

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大学数学(高数微积分)第十章线性函数第三节(课堂讲义)

则有
f ( , ) = XTAY = (CX1)TA(CY1) = X1T(CTAC)Y1 .
而且
不同的双线性函数在同一组基下的度量矩阵一定是不同的.
反之，任给数域 P 上一个 n 级矩阵
a11 a21 A a n1
a12 a22 an 2
a1n a2 n , ann
对 V 中任意向量 = (1 , 2 , … , n )X 及 = (1 ,
(1)
a11 a21 A a n1
则
a12 a22 an 2
n n
a1n a2 n , ann
f ( X , Y ) aij xi y j .
i 1 j 1
(2)
(1) 或 (2) 实际上是数域 P 上任意 n 维线性空间 V 上的双线性函数 f ( , ) 的一般形式. 事实上
2 , … , n)Y ，其中 XT = (x1 , x2 , … , xn) ,
YT = (y1 , y2 , … , yn)，用
f ( , ) X AY aij xi y j
T i 1 j 1
n
n
定义的函数是 V 上一个双线性函数.
容易计算出
f ( , ) 在 1 , 2 , … , n 下的度量矩阵就是 A .
, 是 V 中两个向量
= (1 , 2 , … , n )X = (1 , 2 , … , n ) X1 ， = (1 , 2 , … , n )Y = (1 , 2 , … , n ) Y1 .
那么 X = CX1 , Y = CY1 .
如果双线性函数 f ( , ) 在 1 , 2 , … , n 及1 , 2 , … , n 下的度量矩阵分别为 A , B .

高等代数(第三版)10.1线性函数

第十章双线性函数与辛空间 10.1线性函数
, an
（2）对于 x11 x2 2
xn n V，
满足上述条件的线性函数为
f ( ) a1 x1 a2 x2
an xn
结论：数域P上的任意n维线性空间上的任一个线性函数都可表示为
f ( ) a1 x1 a2 x2
一、线性函数对偶空间二、双线性函数辛空间
第十章双线性函数与辛空间 10.1线性函数
第一节线性函数
线性函数的定义线性函数的性质结论
第十章双线性函数与辛空间 10.1线性函数
一、线性函数的概念
设V是数域P上的线性空间，f是V到P的一个映射，如果f满足
(1) f ( ) f ( ) f ( ) (2) f (k ) kf ( )
例3、 A是数域P上一个n级矩阵，设
a11 a12 a21 a22 A an1 an 2 a1n a2 n ann
则A的迹 Tr ( A) a11 a22
ann
是P上全体n级矩阵构成的线性空间上的一个线性函数
第十章双线性函数与辛空间 10.1线性函数
例4、设 V Pnn , A Pnn ,
定义V到P的映射
f ( X ) Tr ( AX ) X P
问f是否是V上的线性函数？
nn
第十章双线性函数与辛空间 10.1线性函数
例5、设V P[ x], T是P中一个取定的数
定义 P[ x]上的函数 Lt 为：
Lt ( p( x)) p(t ), p( x) P[ x]
f (0) 0, f ( ) f ( )
2、如果是1，2，，S

微积分讲解ppt课件

多元函数的表示方法
多元函数可用记号 f(x1,x2,…,xn)或z=f(x,y) 表示。
多元函数的定义域
使多元函数有意义的自变量组合(x1,x2,…,xn) 的集合。
多元函数的值域
多元函数所有值的集合。
偏导数与全微分
偏导数的定义
设函数z=f(x,y)在点(x0,y0)的某一邻域内有定义，当y固定在y0而x在x0处有增量Δx时，相应地函数有增量 f(x0+Δx,y0)-f(x0,y0)。如果Δz与Δx之比当Δx→0时的极限存在，那么此极限值称为函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处对 x的偏导数。
齐次方程法
通过变量替换，将齐次方程转化为可分离变量的形式
一阶线性微分方程法
利用积分因子，将方程转化为可积分的形式
二阶常微分方程解法
可降阶的二阶微分方程
通过变量替换或分组，将方程降为一阶微分方程求解
二阶线性微分方程法
利用特征根的性质，求解二阶线性常系数齐次和非齐次微分方程
常系数线性微分方程组法
在经济学中的应用
边际分析
通过求导计算边际成本、边际收益等，为企业的决策提供依据。
弹性分析
研究价格、需求等经济变量之间的相对变化关系，微积分可用于计算弹性系数。
最优化问题
在资源有限的情况下，通过微积分求解最大化或最小化某一经济指标的问题。
在工程学中的应用
结构力学
分析建筑、桥梁等结构的受力情况和稳定性，微积分可用于求解复杂的力学方程。
通过消元法或特征根法，求解常系数线性微分方程组
05
多元函数微积分
多元函数的基本概念
多元函数的定义
设D为一个非空的n元有序数组的集合，f为某一确定的对应规则。若对于每一个有序数组 (x1,x2,…,xn)∈D，通过对应规则f，都有唯一确定的实数y与之对应，则称对应规则f为定义在 D上的n元函数。

高等数学同济六版第十章课件

取典型小块，取典型小块，将其近似看作均匀薄片，看作均匀薄片，所有小块质量之和
(ξi ,ηi )
•
∆σi
λ→0
o x n 近似等于薄片总质量 M = lim∑ρ(ξi ,ηi )∆σi .
i =1
2、二重积分的定义、
上的有界函数，定义设 f ( x, y)是有界闭区域 D上的有界函数，将闭区域 D 任意分成 n 个小闭区域 ∆σ1 ，个小闭区域， ∆σ 2 , L ∆σ n，其中 ∆σ i 表示第 i 个小闭区域，，也表示它的面积，也表示它的面积，的面积在每个 ∆σ i 上任取一点(ξi ,ηi )，作乘积并作和
2 2
解当r ≤ x + y ≤ 1时，< x2 + y2 ≤ ( x + y )2 ≤ 1, 0
故 ln( x + y ) ≤ 0
2 2
ln( 又当 x + y < 1时， x2 + y2 ) < 0,
于是
r ≤ x + y ≤1
∫∫
ln( x + y )dxdy < 0
2 2
三、小结
和式的极限）二重积分的定义（和式的极限）（曲顶柱体的体积）二重积分的几何意义曲顶柱体的体积）
o
D
x
∫∫ f ( x, y)dσ =∫∫ f ( x, y)dxdy D D
二、二重积分的性质
（二重积分与定积分有类似的性质）二重积分与定积分有类似的性质）
α 数性质１性质１当，β为常，则
∫∫ [α f ( x, y) + β g( x, y)]dσ
= α∫∫ f ( x, y)dσ + β ∫∫ g( x, y)dσ .

高等数学讲义樊映川

绪论第一篇解析几何第一章行列式及线性方程组§1．1 二阶行列式和二元线性方程组§1．2 三阶行列式§1．3 三阶行列式的主要性质§1．4 行列式的按行按列展开§1．5 三元线性方程组§1．6 齐次线性方程组§1．7 高阶行列式概念：第二章平面上的直角坐标、曲线及其方程§2．1 轴和轴上的线段：§2．2 直线上点的坐标·数轴：§2．3 平面上的点的笛卡儿直角坐标：§2．4 坐标变换问题：§2．5 两点间的距离：§2．6 线段的定比分点：§2．7 平面上曲线方程的概念：§2．8 两曲线的交点第三章直线与二元一次方程§3．1 过定点有定斜率的直线方程§3．2 直线的斜截式方程§3．3 直线的两点式方程§3．4 直线的截距式方程§3．5 直线的一般方程§3．6 两直线的交角§3．7 两直线平行及两直线垂直的条件§3．8 点到直线的距离§3．9 直线柬第四章圆锥曲线与二元二次方程§4．1 圆的一般方程§4．2 椭圆及其标准方程§4．3 椭圆形状的讨论§4．4 双曲线及其标准方程§4．5 双曲线形状的讨论§4．6 抛物线及其标准方程§4．7 抛物线形状的讨论§4．8 椭圆及双曲线的准线§4．9 利用轴的平移简化二次方程§4．1 0利用轴的旋转简化二次方程§4．1 1一般二元二次方程的简化第五章极坐标§5．1 极坐标的概念§5．2 极坐标与直角坐标的关系§5．3 曲线的极坐标方程§5．4 圆锥曲线的极坐标方程第六章参数方程§6．1 参数方程的概念§6．2 曲线的参数方程§6．3 参数方程的作图法第七章空间直角坐标与矢量代数§7．1 空间点的直角坐标§7．2 基本问题§7．3 矢量的概念·矢径§7．4 矢量的加减法§7．5 矢量与数量的乘法§7．6 矢量在轴上的投影·投影定理§7．7 矢量的分解与矢量的坐标§7．8 矢量的模·矢量的方向余弦与方向数§7．9 两矢量的数量积：§7．1 0两矢量间的夹角§7．1 1两矢量的矢量积§7．1 2矢量的混合积第八章曲面方程与曲线方程§8．1 曲面方程的概念§8．2 球面方程§8．3 母线平行于坐标轴的柱面方程·二次柱面§8．4 空间曲线作为两曲面的交线§8．5 空间曲线的参数方程§8．6 空间曲线在坐标面上的投影第九章空间的平面与直线§9．1 过一点并已知一法线矢量的平面方程§9．2 平面的一般方程的研究§9．3 平面的截距式方程§9．4 点到平面的距离§9．5 两平面的夹角§9．6 直线作为两平面的交线§9．7 直线的方程§9．8 两直线的夹角§9．9 直线与平面的夹角§9．10 直线与平面的交点§9．11 杂例§9．12 平面束的方程第十章二次曲面§10．1 旋转曲面§10．2 椭球面§10．3 单叶双曲面§10．4 双叶双曲面§10．5 椭圆抛物面§10．6 双曲抛物面§10．7 二次锥面第二篇数学分析第一章函数及其图形§1．1 实数与数轴§1．2 区间§1．3 实数的绝对值·邻域§1．4 常量与变量§1．5 函数概念§1．6 函数的表示法§1．7 函数的几种特性§1．8 反函数概念§1．9 基本初等函数的图形§1．10 复合函数·初等函数第二章数列的极限及函数的极限§2．1 数列及其简单性质§2．2 数列的极限§2．3 函数的极限§2．4 无穷大·无穷小§2．5 关于无穷小的定理§2．6 极限的四则运算§2．7 极限存在的准则·两个重要极限§2．8 双曲函数§2．9 无穷小的比较第三章函数的连续性§3．1 函数连续性的定义§3．2 函数的间断点§3．3 闭区间上连续函数的基本性质§3．4 连续函数的和、积及商的连续性§3．5 反函数与复合函数的连续性§3．6 初等函数的连续性第四章导数及微分§4．1 几个物理学上的概念§4．2 导数概念§4．3 导数的几何意义§4．4 求导数的例题·导数基本公式表§4．5 函数的和、积、商的导数§4．6 反函数的导数§4．7 复合函数的导数§4．8 高阶导数§4．9 参数方程所确定的函数的导数§4．10 微分概念§4．11 微分的求法·微分形式不变性§4．12 微分应用于近似计算及误差的估计第五章中值定理§5．1 中值定理§5．2 罗必塔法则§5．3 泰勒公式第六章导数的应用§6．1 函数的单调增减性的判定§6．2 函数的极值及其求法§6．3 最大值及最小值的求法§6．4 曲线的凹性及其判定法§6．5 曲线的拐点及其求法§6．6 曲线的渐近线§6．7 函数图形的描绘方法§6．8 弧微分·曲率§6．9 曲率半径·曲率中心§6．10 方程的近似解第七章不定积分§7．1 原函数与不定积分的概念§7．2 不定积分的性质§7．3 基本积分表§7．4 换元积分法§7．5 分部积分法§7．6 有理函数的分解§7．7 有理函数的积分§7．8 三角函数的有理式的积分§7．9 简单无理函数的积分§7．10 二项微分式的积分§7．11 关于积分问题的一些补充说明第八章定积分§8．1 曲边梯形的面积·变力所作的功§8．2 定积分的概念§8．3 定积分的简单性质·中值定理§8．4 牛顿一莱布尼兹公式§8．5 用换元法计算定积分§8．6 用分部积分法计算定积分§8．7 定积分的近似公式§8．8 广义积分第九章定积分的应用§9．1 平面图形的面积§9．2 体积§9．3 曲线的弧长§9．4 定积分在物理、力学上的应用第二篇数学分析（续）第十章级数Ⅰ常数项级数10.1 无穷级数概念10.2 无穷级数的基本性质收敛的必要条件10.3 正项级数收敛性的充分判定法10.4 任意项级数绝对收敛10.5 广义积分的收敛性Ⅱ函数项级数10.7 函数项级数的一般概念10.8 一致收敛及一致收敛级数的基本性质Ⅲ幂级数10.9 幂级数的收敛半径10.10 幂级数的运算10.11 泰勒级数10.12 初等函数的展开式10.13 泰勒级数在近似计算上的应用10.14 复变量的指数函数尤拉公式第十一章富里哀级数11.1 三角级数三角函数系的正交性11.2 尤拉-富里哀公式11.3 富里哀级数11.4 偶函数及奇函数的富里哀级数11.5 函数展开成正弦或余弦级数11.6 任意区间上的富里哀级数第十二章多元函数的微分法及其应用12.1 一般概念12.2 二元函数的极限及连续性12.3 偏导数12.4 全增量及全微分12.5 方向导数12.6 复合函数的微分法12.7 隐函数及其微分法12.8 空间曲线的切线及法平面12.9 曲面的切平面及法线12.10 高阶偏导数12.11 二元函数的泰勒公式12.12 多元函数的极值12.13 条件极值—拉格朗日乘数法则第十三章重积分13.1 体积问题二重积分13.2 二重积分的简单性质中值定理13.3 二重积分计算法13.4 利用极坐标计算二重积分13.5 三重积分及其计算法13.6 柱面坐标和球面坐标13.7 曲面的面积13.8 重积分在静力学中的应用第十四章曲线积分及曲面积分14.1 对坐标的曲线积分14.2 对弧长的曲线积分14.3 格林（Green)公式14.4 曲线积分与路线无关的条件14.5 曲面积分14.6 奥斯特罗格拉特斯基公式第十五章微分方程15.1 一般概念15.2 变量可分离的微分方程15.3 齐次微分方程15.4 一阶线性方程15.5 全微分方程15.6 高阶微分方程的几个特殊类型15.7 线性微分方程解的结构15.8 常系数齐次线性方程15.9 常系数非齐次线性方程15.10 尤拉方程15.11 幂级数解法举例15.12 常系数线性微分方程组。

高等数学下册第十章课件.ppt

则
(2) 若D为Y -型区域
则
说明:
即先对y后对x积分
即先对x后对y积分
第二节直角坐标系中二重积分的计算
为计算方便,可选择积分序, 必要时还可以交换积分序.
则有
(4) 若积分域较复杂,可将它分成若干
X-型域或Y-型域 ,
则
(3) 若积分区域既是X-型区域又是Y -型区域
第二节直角坐标系中二重积分的计算
记作
第五节三重积分（一）
利用直角坐标计算三重积分
方法1 投影法 (“先一后二” )
如图，
第五节三重积分（一）
划分：
记作
第五节三重积分（一）
化为三次积分
区域
方法2 截面法 (“先二后一”)
第五节三重积分（一）
记作
于是
注：方法一和方法二的可看作由上下两个曲面所围成.即平行于z轴且穿过内部的直线与的边界曲面相交不多于两点.
直角坐标系
柱面坐标系
球面坐标系
说明:
三重积分类似于二重积分也可以利用对称性计算.
变量可分离.
围成 ;
第六节三重积分（二）
例求
解原式
第六节三重积分（二）
几种的图形
第六节三重积分（二）
三重积分的应用 1.物体的质心
设物体占有空间域 ,
有连续密度函数
则
设空间有n个质点,
其质量分别
例计算
其中D 是直线 y＝1, x＝2, 及
y＝x 所围的闭区域.
解法1 将D看作X-型区域, 则
解法2 将D看作Y-型区域, 则
第二节直角坐标系中二重积分的计算
例计算
其中D 是抛物线

微积分高等数学课件完整版

y csc x
5.反三角函数
反正弦函数 y arcsin 函数 y arccos x
y arccos x
反正切函数 y arctan x
y arctan x
反余切函数 y arccot x
y arccot x
幂函数,指数函数,对数函数,三角函数和反三角函数统称为基本初等函数.
则称函数 f ( x )在区间I上是单调增加的;
y
y f (x)
f ( x2 )
f ( x1 )
o
I
x
设函数 f ( x )的定义域为 , 区间I D, D
如果对于区间I 上任意两点x1及 x2 , 当 x1 x2时,
恒有 (2) f ( x1 ) f ( x2 ),
则称函数 f ( x )在区间I上是单调减少的 ;
确定的数值和它对应，则称 y 是 x 的函数，记作
y f ( x)
因变量
数集D叫做这个函数的定义域自变量
当x0 D时, 称f ( x0 )为函数在点x0处的函数值.
函数值全体组成的数集 W { y y f ( x ), x D} 称为函数的值域 .
函数的两要素: 定义域与对应法则.
二、证明 y lg x 在( 0, ) 上的单调性. 三、证明任一定义在区间( a , a ) ( a 0 ) 上的函数可表示成一个奇函数与一个偶函数之和. 四、设 f ( x ) 是以 2 为周期的函数， x 2 ,1 x 0 且 f ( x) ,试在( , ) 上绘出 0, 0 x 1 f ( x ) 的图形. 五、证明：两个偶函数的乘积是偶函数，两个奇函数的乘积是偶函数，偶函数与奇函数的乘积是奇函数. ax b 六、证明函数 y 的反函数是其本身. cx a e x ex 七、求 f ( x ) x 的反函数，并指出其定义域. x e e

大一微积分课件第2节函数的概念

第二节
一、常量与变量
函数的概念
在某考察过程中不断变化的量称为变量. 在某考察过程中不断变化的量称为变量. 变量常量可以看成变量的特例. 常量可以看成变量的特例. 表示变量，而用a、、一般用 x、y、z、…… 表示变量，而用、b、、、、 c、…… 表示常量. 表示常量. 、变量在数轴上表示为一个动点，变量在数轴上表示为一个动点，而常量在数轴上表示为一个定点. 上表示为一个定点.
5 [ ]=0, 7
y
[ 3 ] =1,
[ − 1 ] = −1 ，
[ − 3.5 ] = −4 .
4 3 2 1 -4 -3 -2 -1 o -1 1 2 3 4 5 -2 -3 -4
x
9
(3) 狄利克雷函数狄利克雷函数(Dirichlet)
1 当x是有理数时 y = D( x ) = 0 当x是无理数时
1
二、函数的概念及其表示法
定义设数集 D ⊂ R , D ≠ Φ ，如果对 D 中的每一个 x，按照某个对应法则 f，有唯一的数 y ∈ R 与之对则称 f 是定义在 D 上的一个函数，上的一个函数，应，记为 y = f ( x ) ，称为定义域定义域. x ∈ D .其中 D 称为定义域.
D = [−2,−1) U ( −1,1) U (1,2]
y
1 −2 −1 O −1
7ห้องสมุดไป่ตู้
1
2
x
几个分段函数的例子. 几个分段函数的例子. (1) 符号函数
1 当x > 0 y = sgn x = 0 当x = 0 − 1 当x < 0
y
1
o
−1
x
8

高等数学第十章知识点总结

高等数学第十章知识点总结高等数学第十章主要涵盖了多元函数的微分和局部性质、多元函数的方向导数与梯度、多元函数的极值与条件极值等内容。

下面将对这些知识点进行总结和拓展。

1. 多元函数的偏导数：多元函数的偏导数是指在某一点上，对于其中的一个自变量求导，而将其他自变量视为常数。

偏导数能够描述函数在某一点上的斜率、增减性以及函数在该点的切线方向。

2. 多元函数的全微分：多元函数的全微分是指将函数在某一点上的所有偏导数都考虑进去，并乘以相应的自变量变化量。

全微分可以近似地表示函数值的改变量，具有重要的物理意义。

3. 多元函数的方向导数与梯度：方向导数是指在某一点上，对函数在某一特定方向上的导数。

梯度则是由函数的所有偏导数组成的向量，它的方向为函数在该点上增加最快的方向，大小为方向导数的最大值。

方向导数与梯度可以用来确定函数在某一点上的最大增加率和最大减少率。

4. 多元函数的极值与条件极值：多元函数的极值是指在某一点上，函数取得了局部最大值或局部最小值。

通过求解函数的偏导数并令其为零，可以得到极值点。

条件极值是在给定一定条件下的极值问题，可以通过拉格朗日乘数法来求解。

在拓展部分，我们可以将以上知识点应用于实际问题的解决中。

例如，在经济学中，我们可以利用多元函数的极值来求解最大化利润或最小化成本的问题；在物理学中，我们可以通过方向导数与梯度来分析物体在不同方向上的运动情况；在工程学中，我们可以利用多元函数的全微分来近似计算复杂系统的变化量等等。

总之，高等数学第十章的知识点为我们研究多元函数的微分和局部性质提供了重要工具，通过掌握这些知识，我们可以更深入地理解多元函数的行为和性质，并将其应用于实际问题的求解中。

《高等数学(一)微积分》讲义

f −1 : f (D) → D
5. 复合函数
给定函数链 f : D1 → f (D1) g : D → g(D) ⊂ D1
则复合函数为 f o g : D → f [g(D) ]
6. 初等函数由基本初等函数经有限次四则运算与复合而成的由一个表达式表示的函
数。
4/69
二、极限（1．概念回顾 2、极限的求法，）
=
lim
x→π
1 cos x
sin x
-2 ⋅ 2（π
−
2 x）=
lim
x→π
1 -4 sin
cos x
x（π − 2x）
2
2
2
=
lim
x→π
1 -4 sin
x
⋅
cos
lxi→mπ（π −
2xx ）=
1 -4
lim
x→π
−
sin −2
x =
−
1 8
2
2
2
13/69
注：使用洛必达法则必须判断所求的极限是分式型的未定式 ∞ 、 0 。 ∞0
例 5：
求 lim x→∞
x+5 x2 − 9
．
解：
lim
x→∞
x+5 x2 − 9
=
lim
x→∞
1 x
+
5 x2
1−
9 x2
=
1 lim( x→∞ x
+
5 x2
)
=
0
=
0．
lim(1 −
x→∞
9 x2
)
1
知识点：设a0 ≠ 0, b0 ≠ 0, m, n ∈ N ，

高等数学(微积分学)教学课件

三、两个重要极限
重要极限Ⅰ lim sin x 1 x0 x
它可以拓展为 lim sin[ f (x)] 1 f (x)0 f (x)
sin 2x
例：lim x 2x
1
1 cos x
lim
x0
x2
lim
x0
2 sin 2 x 2
4 x2 4
lim
1
sin
x 2
x0 2 x
2
2
1 2
判断：lim sin x 1
叫做因变量.
数集 D 称为这个函数的定义域.
全体函数值的集合称为函数的值域.
2. 函数的表示法
解析法（公式法）：用解析表达式（或公式）表示函数关系.
y x 1
表格法：用列表的方法来表示函数关系.
x123456789 y 1 4 9 16 25 36 49 64 81
图示法：用平面直角坐标系 xoy 上的曲线来表示函数关系.
x
x
1 0
x
x
1
1
1 lim( x0 1
x
)
1 x
x
lim
x0
(1 (1
x) x
1
x) x
lim x0
(1 x) x
1 (1)
[1 (x)] x
e e1
e2
一类特殊极限
若f
(x)
a0 xm a1xm1 a2 xm2 b0 xn b1xn1 b2 xn2
am1x am bn1x bn
x 果对于定义区间的任意点 , 恒有 f (x) f (x) , 则称f (x)
为 D 内的偶函数；如果恒有 f (x) f (x) , 则称 f (x)为D

《大学高数》课件

不定积分的性质、不定积分的计算方法（换元法、分部积分法等）。
定积分运算
定积分的性质、定积分的计算方法（微元法）。
03 高级知识
微分方程
总结词
微分方程是描述函数变化率与函数值之间关系的方程，是高等数学中的重要内容。
VS
详细描述
微分方程在许多领域都有广泛的应用，如物理学、工程学、经济学等。通过学习微分方程，学生可以理解各种实际问题的数学模型，并掌握求解微分方程的方法，从而解决实际问题。
课程目标
知识目标
使学生掌握《大学高数》的基本概念、原理和方法，理解数学在描述自然现象和社会现象中的作用。
能力目标
培养学生运用数学工具解决实际问题的能力，提高他们的逻辑思维、推理和创新能力。
情感态度与价值观
培养学生对数学的兴趣和热爱，树立正确的数学观，认识到数学在人类文明发展中的重要地位。
习题1
求函数$f(x) = x^3 - 3x^2 + 4$的单调区间。
习题2
利用定积分求圆$x^2 + y^2 = 4$的面积。
习题3
计算$int_{0}^{pi} sin x dx$的值。
习题4
判断级数$sum_{n=1}^{infty} frac{1}{n^2}$的收敛性。
答案与解析
• 答案1：首先求导数$f'(x) = 3x^2 - 6x$ ，令导数等于0，解得$x=0$或$x=2$。根据导数的符号判断单调区间，得到单调递增区间为$(- \infty, 0)$和$(2, + \infty)$ ，单调递减区间为$(0,2)$。
无穷级数
总结词
无穷级数是高等数学中研究无穷序列的数学分支，它可以用来表示函数、研究函数的性质和行为。

大学数学高数微积分第十章线性函数第二节课件课堂讲解

设 V 是 P 上一个线性空间，V * 是其对偶空间, 取定 V 中一个向量 x ，定义 V * 的一个函数 x** 如
下：
x**( f ) = f (x) , f V * . 根据线性函数的定义，容易检验 x** 是 V * 上的一个线性函数，因此是 V * 的对偶空间 (V * )* = V * * 中的一个元素.
则线性函数 Li 满足
L i(p j(x) )p j(a i) 0 1 ,,ii jj;,i,j 1 ,2 , ,n .
因此，L1 , L2 , … , Ln 是 p1(x) , p2(x) , … , pn(x) 的
对偶基.
2. 两组基的对偶基之间的关系
设 V 是数域 P 上一个 n 维线性空间.n源自f f ( i ) f i .
(4)
i1
知 L(V , P) 中任一向量都可由 f1, f2
, … , fn 线性表出，所以 f1 , f2 , … , fn 是 L(V , P) 的
一组基，于是
dim L(V , P) = n = dim V .
证毕
三、对偶空间
1. 定义
定义 4 L(V , P) 称为 V 的对偶空间.
(1)
i, j 1,2,,n.
因为 fi 在基 1 , 2 , … , n 上的值已确定，这样的线
性函数是存在且唯一的.
对 V 中向量
n
xii , i 1
有
fi() = xi ,
(2)
即 fi() 是的第 i 个坐标的值.
引理对 V 中任意向量，有
n
f (i )i , i 1 而对 L(V , P) 中任意向量 f , 有
(3) (4)