现代设计方法期末考试复习汇总

现代设计方法复习资料
1.设计是指通过认识和利用自然法则来弥补人类自身条件不足的创造性、能动性的活动。

亦是围绕目标问题的求解活动，主要以心理学研究为基础。

2.设计发展史：直觉设计、经验设计、中间试验辅助设计、现代设计。

3.设计方法可化分为传统设计方法（直觉设计、经验设计、中间试验辅助设计）和现代设计方法。

4.现代设计所指的全新理论与方法包括有限元法、并行设计、虚拟设计、反求设计、网络设计、计算机仿真、遗传算法、神经网络算法、模糊理论及智能设计等。

5.传统设计方法主要指在计算机出现以前，设计者凭直觉和经验，借助一些推导出的简单公式和经验公式进行计算，做小规模且粗糙的实验，对类似的产品和设计进行类比等的设计方法。

其特点：人工试凑、经验类比、以静态为假设条件、设计者和制造者分离。

6.现代设计方法是指计算机技术得到广泛应用后，从20世纪60年代以来在设计领域出现的设计理论和方法。

主要包括：设计方法学、优化设计、可靠性设计、有限元法、动态设计、计算机辅助设计、人工神经元算法、遗传算法、智能工程、价值工程、工业造型设计、人机工程、并行设计、模块化设计、相似性设计、摩擦学设计、三次设计、、反求工程。

7.现代设计方法特点有：①设计手段更新，“无纸化设计”作为现代设计的主流极大地提高了设计效率，降低了设计成本。

②产品的表示从基于投影原理的二维平面图样转变到三维实体模型。

③以有限元法、优化设计、动态设计、可靠性设计等为代表的分析手段使得设计分析实现了从静态分析向动态分析转变，从定性分析向定量分析转变、从零部件计算向整体计算转变、从手工设计计算向自动化设计计算转变。

♍以有限元法、并行设计、虚拟设计、反求设计、网络设计、计算机仿真、遗传算法、神经网络算法、模糊理论及智能设计等新的设计理论和方法不断出现和发展。

⑤设计方法从传统的串行方式发展到并行方式。

⑥实现了CAD、CAM、CAPP、CAE的一体化⑦网络技术、数据库技术的发展实现了设计的远程化、网络化。

8.优化设计是借助于最优化理论和算法在计算机上寻求问题的最优设计方案，是在现代计算机广泛应用的基础上发展起来的一项新技术。

9.动态设计是按照机械动态特性的要求对机械产品或构图（图形）进行动力学建模，并作动特性分析；根据对其动特性或预定的动态设计目标，进行结构修改，再设计和结构重分析，直到满足结构动特性的设计要求。

合各方面的因素，以人机配合方式或“自动搜索”方式，在计算机上进行的半自动或自动设计，以便选出在现有条件下的最佳设计方案的一种现代设计方法。

12.优化设计工作主要包括建立数学模型和求解数学模型。

13.机械优化设计就是在给定的载荷或环境条件下，在对机械产品的性态、几何尺寸关系或其他因素的限制（约束）范围内，选取设计变量，建立目标函数并使其获得最优值的一种设计方法。

14.优化设计的数学模型三要素：设计变量、目标函数、约束条件。

15.设计变量：在优化设计过程中其取值大小需要调整、修改并最终确定的参数。

16.目标函数：又称评价函数，是标量函数。

用来评价设计方案好坏的标准。

任何一项机械设计方案的好坏，总可以用一些设计指标来衡量，而这些设计指标可以用设计变量的函数的取值大小加以表征，
该函数就称为优化设计的目标函数。

17.可行域：满足优化问题约束条件的解(x,y)叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域。

18.目标函数与设计变量的关系：
①设计变量与一个目标函数之间的函数关系,是二维平面上的一条曲线。

②当有两个设计变量时,目标函数与他们的关系是三维空间的一个曲面。

③当有n 个设计变量时,目标函数与n 个设计变量呈n+1维空间的超越曲面关系。

19.约束条件：在优化设计中，这种对设计变量取值的限制条件简称为约束条件。

20.约束可以分为显式约束和隐式约束；也可分为边界（侧面）约束和性态（性能）约束。

21.功能分析设计法：通过分析，建立对象系统的功能结构，通过局部功能的联系实现系统的总功能的设计方法。

22.功能分析设计法的基本过程包括任务抽象、功能分解、功能载体 、载体组合、 方案评价。

23.总功能分析常用“黑箱法”进行分析。

功能分解：将总功能分解为分功能，然后继续分解，直至为不能再分解的功能元。

24.常用的三种功能元：物理功能元、逻辑功能元、数学功能元。

25.功能元优选原则：①相容性：各功能元必须相容，否则不予组合。

②优先选用分功能较佳的解。

③剔除不满足设计要求和约束的解或不满意的解。

26.表征相容关系的方式：相容表和相关网。

27.建立优化设计的数学模型的基本步骤：①识别要确定的未知变量（设计或决策），并用代数符号表示它们；②识别目标或判别标准，并将其表示为要最大化或最小化的函数；③识别问题的约束或限制，并将它们表示未知变量的线性或非线性的等式或不等式组。

28.优化设计的数学模型通式：
⎪⎩
⎪
⎨⎧≤≤==⊂∈)
,...,2,1( 0)( )21( 0)(.. , )(min m u X g ,...,p ,v X h t s R D X X f u v n
29.无约束优化问题：就是在没有限制的条件下，求目标函数的极小点。

在设计空间内，目标函数是
以等值面（或等值线）的形式反映出来的，无约束优化问题的极小点即为等值面（或等值线）的中心。

30.约束优化问题：是在可行域内对设计变量求目标函数的极小点，此极小点可能在可行域内或可行域的边界上。

31.无约束优化问题的求解方法：解析法（间接优化法）和数值计算法（直接优化法）。

32.数值计算的迭代方法特点：①是数值计算而不是用数学分析方法；②具有简单的逻辑结构并能进行反复的同样的算术运算；③最后得出的是逼近精确解的近似解。

33.解无约束问题的主要方法：直接搜索法和梯度法。

34.二元函数的泰勒战开式
(0)()2()
1()()()2T T k k k F X F X F X X X X F X X ⎡⎤⎡⎤≈+∇-+-∇-⎣⎦⎣⎦ n 元函数的泰勒展开式： {}{}{}()
()2()1()()2T
k
T
k k k F X F X F
X X
X X F X X ≈+∇-+-∇-
35.海赛(Hessian)矩阵：函数F(X)在()k X 点的二阶偏导数矩阵，常用H(X)表示，这个矩阵是对称矩
阵。

n 元函数的海赛矩阵：F =)(X k
f
2222
1
12122222221
2222
21
2
()n n n n n F F F x x x x x F F F H X F x x x x x F F F x x x x x ⎧⎫∂∂∂⎪⎪∂∂∂∂∂⎪
⎪⎪⎪
∂∂∂⎪
⎪=∇=∂∂∂∂∂⎨⎬⎪⎪⎪
⎪⎪⎪
∂∂∂⎪
⎪∂∂∂∂∂⎩⎭
36.方向导数：①偏导数是函数F （X ）沿平行于坐标轴的各个特殊方向的变化率。

对于函数沿任意给定方向的变化率，则需采用方向导数的概念。

②方向导数描述函数在某点沿给定方向的变化率。

37.一个函数的驻点是极大值还是极小值，可以通过判别一个特定二次型是正定还是负定。

38.梯度：
①梯度是函数F （X ）对各个设计变量的偏导数所组成的列矢量，并以符号“()F X ∇”或grad(X)表示，即
12()n F x F x F X F x ∂⎧⎫⎪⎪∂⎪⎪
∂⎪⎪⎪⎪
∂∇=⎨⎬⎪⎪⎪⎪∂⎪⎪⎪⎪∂⎩⎭
=12
,,
,T
n F F F x x x ⎧⎫∂∂∂⎨⎬∂∂∂⎩⎭
，﹝F =)(X k f ﹞ ②梯度是一个矢量，它是函数变化率最大的方向上的矢量。

函数F （X ）在某点的梯度，是以其偏导数为分量的矢量,即
grad(X)= ()F X ∇=1
2,
,,T
n F F
F x x x ⎧⎫
∂∂∂⎨⎬∂∂∂⎩⎭
③梯度的模为
F ∇x ++ ∂⎝它是函数的最大变化率。

④函数的梯度方向是函数变化率最大的方向，正梯度的方向是函数值的最快上升的方向。

负梯度的方向是函数值最快下降的方向。

从几何讲，函数某点的梯度方向是过该点等值线的法线方向，它与过等值线该点的切线方向垂直。

⑤若函数在某点有极值，则该点的所有一阶偏导数必定为零，即为零矢量。

39.多元函数在点X
K )
(取得最小值的充要条件是：函数在该店的梯度为0，海赛矩阵（二阶导数矩阵）正定。

即
0)(*
=∇X f ，)(*
2
X f ∇为正定。

40.求解等式约束优化问题的两种处理方法：消元法（降维法）和拉格朗日乘子法（升维法）。

41.什么是库恩-塔克条件？其几何意义是什么？
库恩-塔克条件是约束极值点存在的条件。

目标函数梯度▽F(X)可表示为诸约束条件梯度线性组合的负值，即式中，q 为在该设计点处的起作用约束数目；为非负值的乘子，也叫做拉格朗日乘子。

这个判别准则的几何意义是：起作用约束的梯度负值，在设计空间构成一个椎体，目标函数的负梯度应包含再此椎体内。

42.库恩—塔克（K-T ）条件是多元函数取得约束极值的必要条件，既可以用来作为约束极值点的判别条件，又可以用来直接求解比较简单的约束优化问题。

但K-T 条件不是多元函数取得约束极值的充分条件。

只有当目标函数f(x)为凸函数，且所有约束函数0)(u
≤X g 也都是凸函数时，即为凸规划问题
时，其局部优点就是全局优点，则库恩—塔克条件才是该极值存在的充要条件。

43.迭代法的基本思想是“步步逼近”，最后达到目标函数的最优点。

每一步的迭代形式：
()()()(1)k k k k X X S α+=+，如果满足()
()()
1k k F X F X ε+-<，则认为()1k X +为局部最小点；否则继续
搜索。

44.梯度法：又称最速下降法，它是采用使目标函数值下降最快的负梯度方向作为搜索方向，来求目标函数的最小值。

梯度法是最早且最基本的一种迭代方法。

● 梯度法的迭代公式 ()()()()
()()()
1k k k k k
F X X X F X α+∇=-∇
● 梯度法的迭代步骤：
a 、给定迭代的初始点()0
X ,允许误差1ε，置k=0；
b 、计算迭代点的梯度()()
k F X ∇和方向()k
X =()
()()()
k k
F X F X ∇-
∇； c 、检验是否满足(
)
(
)k F X ∇≤1
ε，满足则停止迭代，否则进行下一步；
d 、计算最优步长因子()k α；
e 、迭代计算()
()
()
()
()()()
1k k k k k
F X X X F X α
+∇=-∇； f 、令k=k+1转下一步计算。

● 梯度法的特点：
梯度法是一种较老的方法，其迭代计算比较简单，只需要求一 阶偏导数，所占有的存储单元少，对初始点的要求不高。

45.梯度法的基本原理和特点是什么？试写出其流程。

答：梯度法又称为最速下降法，基本原理是在迭代点附近采用使目标函数值下降最快的负梯度方向作
为作为搜索方向，从而求得目标函数的极小值。

其特点为：迭代计算简单，只需要求一阶偏导数，所占的存储单元少，对初始点的要求不高，刚开始收敛速度较快，在接近极小位置时收敛速度很慢。

46.对于平面刚架问题，如何将整体坐标系的单元刚度集成为总体刚度矩阵？
答：基本思想：根据叠加原理，利用集成的方法，求出总体刚度矩阵。

集体步骤如下：(1)对于一个n个节点的平面钢架结构，将总体刚度矩阵[K]划分成n×n个子区间，然后按节点总码的顺序进行编号；（2）将整体坐标系中单元刚度矩阵的各子矩阵，根据其下标的两个总码对号入座，写在总体刚度矩阵相应的子区间内；(3)同一子区间内的子矩阵相加，成为总体刚度矩阵中相应的子矩阵，从而集成总体刚度矩阵。

47.有约束优化方法根据对约束的处理方法不同，可以分为直接法和间接法。

（1）直接法的基本思想是设法使每一次的迭代点都能在可行域内，并逐步降低目标函数值，直至最后得到一个在可行域内的约束最优解；
即在迭代过程中，搜索方向和迭代步长都要经过可行性和适合性条件的检查；
直接法的有：复合形法、简约梯度法。

（2）间接法的基本思想是把有约束问题通过一定形式的变换，转化成无约束优化问题，然后用无约束方法求解，属于罚函数法等。

48.梯度法流程图：
49.有限元分析过称中，如何决定单元数量：单元的数量取决于要求的精度、单元的尺寸及自由度的数量。

虽然，单元的数量越多精度越高，但是这也存在一个界限，超过这个值，精度的提高就不明显。

单元数量大，自由度数也越大，计算机内存量有时会不够。

50.有限元分析时，当结构的几何形状、尺寸、载荷和约束条件对称于某一平面（对平面问题对称于某一直线），其结构内部的应力及位移必定也对称于该平面（线），则称之为对称结构。

51.研究对称结构时，可沿对称面（线）将其切开，只研究它的一半。

若结构有两个相互垂直的对称面（线）时，可只研究其四分之一。

52.在现有的有限元分析程序中，其前处理程序一般应包含：
（1）单元的自动分割生成网格；
（2）单元和节点的自动优化编码实现带宽最小；
（3）各节点坐标值的确定；
（4）可以使用图形系统显示单元分割情况；
（5）检查单元分割的合理性。

53.有限元分析结果的后处理，后处理所显示的结果主要由两类：
（1）是结构的变形，
（2）是应力和应变在结构中分布的情况。

54.划分单元时应注意的问题：（1）单元各边不要相差太大。

（2）单元的大小要根据计算精度和计算成本来确定。

（3）单元疏密要按应力（场）的梯度变化分布。

（4）注意单元的界面布置。

55.可靠性是在规定的条件下和规定时间内，完成规定功能的能力。

56.可靠度是在规定条件下和规定时间内，完成规定功能的概率。

可靠度是对产品可靠性的概率度量。

57.传统设计和可靠性设计都是以零件的安全或失效作为研究内容。

58.平面应力和平面应变问题的区别：
（1）应力状态不同：平面应力问题中平板的厚度与长度、高度相比尺寸小很多，所受的载荷都在平面内并沿厚度方向均匀分布，可以认为沿厚度方向的应力为零。

平面应变问题中由于Z项尺寸大，该方向上的变形时被约束住的，沿Z项的应变为零。

（2）弹性矩阵不同：将平面应力问题弹性矩阵中的E换成E/（1-u2）、把u换成u/（1-u），就成为平面应变问题的弹性矩阵。

59.几何方程是研究应变和位移之间关系的方程。

物理方程是描述应力和应变关系的方程。

平衡方程反映了应力和体力之间关系的。

60.单元刚度矩阵描述了节点力和节点位移之间的关系。

61.简述有限元分析过程中，求总体刚度矩阵的两种主要方法和特点。

答：(l）直接根据总体刚度系数的定义分别求出它们，从而写出总体刚度矩阵，概念清晰，但是在分析复杂结构时运算极其复杂。

（2）分别先求出各单元的刚度矩阵，然后根据叠加原理，利用集成的方法，求出总体刚度矩阵。

从单元刚度矩阵出发，单元刚度矩阵求法统一，简单明了，但总体刚度需要集成。

62.简述有限元分析结果的后处理。

答：后处理所显示的结果主要有两类：一是结构的变形，另一类是应力和反变在结构中分布的情况。

一般用结构的三维线框图，采用与结构不同的比例尺，放大地显示其变形的情况，在受动载荷时，也可用动画显示其振动的形态。

结构中应力、应变或位移的分布用云图或等值线图来显示。

63.什么是数据模型？常用的数据模型有哪三种？
数据模型是指数据库内部数据的组织方式，它描述了数据之间的各种联系，也是数据的高度结构化的表现。

常用的数据模型有三种：层次型、网络型和关系型。

（1）层次型：指记录间是树型的组织结构，体现了记录间的“一对多”的关系。

（2）网络型：指事物之间为网络的组织结构，它体现了事物间的“多对多”的关系。

（3）关系型：它是以集合论中的“关系”的概念为理论基础，把信息集合定义为一张二维表的组织结构。

64.等值线有哪些特点？
不同值的等值线不相交；除极值点外，等值线在设计空间内不会中断；等值线反映了目标函数的变化规律，愈内层的等值线，其函数值愈小，其中心点为极值点；等值线间隔越密，表示该处函数变化率越大；极值点附近的等值线近似椭圆族，极值点为中心点。

65.常用的迭代终止准则有哪些？1、点距准则；2、值差准则；3、梯度准则
66.什么是约束条件？约束条件和可行域有何关系？
设计变量的取值范围有限制或必须满足一定的条件，对设计变量取值的限制称为约束条件。

不等式约束条件将设计空间划分为可行域和非可行域，设计方案只能在可行域内选取。

等式约束条件只允许设计方案在可行域的等式约束线（或面）上选取。

★ABAQUS中inp文件介绍★
★在ABAQUS中input（inp）文件是什么？试解读inp文件。

★
答：inp文件是ABAQUS中的输入文件，由ABAQUS Command支持计算起始文件，可以在其CAE中直接打开。

一、输入文件的组成和结构：
1．一个输入文件由模型数据和历史数据两部分组成.
模型数据的作用:定义一个有限元模型.包括单元,节点,单元性质,定义材料等等有关说明模型自身的数据.模型数据可被组织到零件中(零件可以被组装成一个有意义的模型)。

历史数据的定义是模型发生了什么----事情的进展,模型响应的荷载,历史被分成一系列的时步层序.每一步就是一个响应(静态加载,动态响应等)，时步的定义包括过程类型(比如静态应力分析,瞬时传热分析等)对于时间积分的控制参数或者非线性解过程,加载和输出要求。

2．ABAQUS输入文件的结构形式。

1) 必须有一个
*HEADING开头。

2)接下来就是模型数据
部分，定义节点，单元，
材料，初始条件等。

模
型数据的层次为：部件，
组装，模型。

必须的模型数据：
（1）几何数据：模型的
几何形状是用单元和节
点来定义的，结构性单
元的截面是必须定义
的。

比如梁单元。

特殊
的特征也可以用特殊的
单元来定义，比如弹簧
单元，阻尼器，点式群
体等。

（2）材料的定义：材料
必须定义比如使用的是
钢啊，岩石，土啊等材
料。

可选的模型数据：
（1）零件和组合：一个
模型可以用几个零件来
定义有可以把几个零件
组合成一个集来定义。

（2）初始条件：比如初
始应力，温度，或者速度等
（3）边界条件：
（4）运动约束
（5）相互作用
（6）振幅定义
（7）输出控制
（8）环境特性
（9）用户子程序
（10）分析附属部分
3)接下来就是历史数据：定义分析的类型，荷载，输出要求等。

分析的目的就是预测模型对某些外部荷载或者某些初始条件的反映。

一个ABAQUS分析是建立在STEP的概念上的，（在历史数据中描述）在分析中可以定义多个STEPS。

每个STEP用*STEP开始，用*END STEP结束。

*STEP是历史数据和模型数据的分界点，第一次出现*STEP的前面的是模型数据，后面的就是历史数据。

必须的历史数据：
响应类型：必须立刻出现在*STEP选项后面。

ABAQUS中有两种响应步，一种是总体分析响应步，可以是线形和非线形的，另一种是线形扰动步。

可选历史数据：
（1）荷载：通常定义某种加的荷载类型和大小。

荷载可以被描述成时间的函数。

（2）边界条件输出控制
（3）辅助控制
（4）再生单元和曲面
二、书写input文件的语法和规则：
1．关键词行：
1）必须以*开始，后面接的是选项的名字,然后随之定义选项的内容.如:
* MATERIAL NAME=STEEL
注释行是以**开始的.
2）如果有参数，则参数和关键词之间必须用“，”格开。

3）在参数之间必须用“，”格开。

4）关键词行中的空格可以忽略。

5）每行的长度不能超过256个字符
6）关键词和参数对大小写是不区分的。

7）参数值通常对大小写也是不区分的，但是唯一的例外是文件名区分大小写。

8）关键词和参数，以及大多数情况下的参数值是不需要全拼写出来的，只要他们之间可以相互区分就可以了。

9)假如参数有响应的值，则付值号是“=”。

10)关键词行可以延续，比如参数的名字很长，要在下一行继续这个关键词行的话就可以这样做，用“，”来连接。

比如：
*ELASTIC, TYPE=ISOTROPIC,
DEPENDENCIES=1
11) 有些选项允许INPUT和FILE的参数作为一个输入文件名，这样的文件名必须包括一个完整的路径名或者是一个相对路径名。

2．数据行：（数据行如果和关键词相联系必须紧跟关键词行）
1）一个数据行包括空格在内不能超过256个字符。

2）所有的数据条目之间必须用“，”格开。

3）一行中必须包括指定说明的数据条目的数字。

4）每行结尾的空数据域可以省略。

5）浮点数最多可以占用20个字符。

6）整数可以是10个
7）字符串可以是80个
8）延续行可以被用到特定的情况。

3．标签：
什么是标签呢，比如集名，曲面名，钢筋名，他们是区分大小写的，长度可以有80个字符长。

标签中的空格是可以省略的，除非用“”来标示。

那就不能省略了。

没有用“”来标示的标签必须用字母来开头。

如果一个标签用“”来定义那么“”也是标签的一部分。

标签的开始和结束不能用双重“＿”下面是一个使用了引号和没有使用引号的例子：
*ELEMENT, TYPE=SPRINGA, ELSET="One element"
1,1,2
*SPRING, ELSET="One element"
1.0E-5,
*NSET, ELSET="One element", NSET=NODESET
*BOUNDARY
nodeset,1,2
4．数据行重复:
数据行可以重复,也就是说每行数据可以有一行响应的变量也可以有几行。

同样也可以有多行数据行,对应各自的变量行.如：
*ELASTIC, TYPE=ISOTROPIC
200.E3, 0.3, 20.
150.E3, 0.35, 400.
80.E3, 0.42, 700.
定义了一个零件的材料性质,均质,线弹性,在不同应力下的扬式模量和泊松比.
三、举例：
例一：悬臂梁
输入文件的开始就是文件头,以HEADING 开始,随后是模型的名字,如下所示:
*HEADING
CANTILEVER BEAM
然后是网格定义:
现在就是模型数据的开始了.一般选择从网格的定义开始,网格包括(单元和节点)
假如我们的悬臂梁有五个单元,六个节点,下面我们首先详细说明节点:
*NODE, NSET=ENDS
1, 0.
6, 100.
*NGEN
1, 6
节点组集,NSET其值(名字)为ENDS.下面的就是这样理解的,第一个节点是从0开始的,第六个节点是在100结束的.
同样我们来定义单元:
*ELEMENT, TYPE=B21(单元类型)
1, 1, 2 (单元类型的参数)
*ELGEN, ELSET=BEAM (产生单元集,及其名称)
1, 5 (一个单元集,包括5个单元)
现在定义单元的性质：
*BEAM SECTION, SECTION=RECTANGULAR, ELSET=BEAM, MATERIAL=STEEL
1.,
2.
梁截面，截面的形状是矩形，单元集的名称是梁单元，材料是钢。

截面的尺寸是1*2。

下面定义材料的性质：
*MATERIAL, NAME=STEEL
*ELASTIC
30.E6,
材料是钢，弹性，弹性模量是30E6。

下面定义边界：
*BOUNDARY
6, ENCASTRE
边界是在6节点，通过ENCASTRE来描述。

边界也可以用下面的形式来定义：
*BOUNDARY
6, 1, 6
ABAQUS对结构单元的中的节点的自由度使用常规的编号方式。

1，2，3 代表的是位移分量；4，5，6代表的是旋转分量。

以上是模型数据的定义，下面开始历史数据的定义：（加载的次序，事件的发生，还有我们想看到的变量的响应）
时步（步骤）的定义。

*STEP, PERTURBATION（步骤的开始，扰动是其名称）
*STATIC（静态分析）
*CLOAD（集中荷载）
1, 2, -20000.（在节点1，y[2代表的是y方向，假如是1则代表的是x方向，3代表的是z方向]方向施加荷载，荷载的大小是－20000。

也就是向下施加荷载。

）
*END STEP（步骤的结束）
下面来解释输出要求：
*EL PRINT, POSITION=AVERAGED AT NODES, （节点的平均值）SUMMARY=YES在表的下部求和）
S11, （积分点的应力分量在X方向）E11（在积分点的应变分量在X方向）
SF,（在积分点的截面力）
*NODE FILE, NSET=ENDS
U,（节点的空间位移） CF,（节点的点荷载）RF节点的反作用力）
*OUTPUT, FIELD, VARIABLE=PRESELECT
*ELEMENT OUTPUT
SF,
*OUTPUT, HISTORY
*NODE OUTPUT, NSET=ENDS
U, CF, RF
例题
1.用梯度法求解无约束优化问题：
168)(min 22
221+-+=x x x X f ，取初始点[]T X 1,1)0(= ，计算精度1.0=ε。

解：⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=∇822)(21x x X f ，⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-=∇62)()0(X f 令：⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡-=-∇=62)()
0()
0(X
f S
则：⎥
⎦
⎤
⎢⎣⎡+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=+=αααα61216211)0()0()1(S X X )(16)61(8)61()21()(22)1(αφααα=++-++-=X f
令0)(='αφ，可得5.0=α，⎥⎦
⎤⎢⎣⎡=40)
1(X ，0)()1(=X f
因：0)()1(=∇X f ，可得此问题的最优解：⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡=40*X ，0)(*=X f 。

2.用梯度法求解96)(min 12
221+-+=x x x X f ，[]T X 1,1)0(= ，1.0=ε。

解：⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=∇21262)(x x X f ，⎥
⎦
⎤⎢⎣⎡-=∇24)()0(X f 令：⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡-=-∇=24)()0()0(X f S
则：⎥
⎦⎤
⎢⎣⎡-+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=+=αααα21412411)0()0()1(S X X )(9)41(6)21()41()(22)1(αφααα=++--++=X f
令：0)(='αφ 可得：5.0=α ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡=03)
1(X ，0)()1(=X f
因：0)()1(=∇X f ，可得此问题的最优解：⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡=03*X ，0)(*=X f 。

3.用梯度法求解44)(min 22
221+-+=x x x X f ，[]T X 1,1)0(=，1.0=ε 。

解：⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=∇422)(21x x X f ，⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-=∇22)()
0(X f
令：⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-=-∇=22)()
0()
0(X
f S
则：⎥
⎦⎤
⎢⎣⎡+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=+=αααα21212211)0()0()1(S X X )(4)21(4)21()21()(22)1(αφααα=++-++-=X f
令0)(='αφ，可得5.0=α，⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡=20)1(X ，0)()1(=X f
因：0)()1(=∇X f ，可得此问题的最优解：⎥⎦⎤
⎢⎣⎡=20*X ，0)(*=X f
4.用梯度法求解无约束优化问题：1364)(min 22
2121+-+-=x x x x X f ，取初始点[]T X 1,1)0(=，计算精度1.0=ε。

解：⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=∇6242)(21x x X f ，⎥
⎦
⎤⎢⎣⎡--=∇42)()0(X f 令：⎥⎦
⎤⎢⎣⎡=-∇=42)()0()0(X f S
则：⎥
⎦⎤
⎢⎣⎡++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=+=αααα41214211)0()0()1(S X X )()24()12()(22)1(αφαα=-+-=X f
令0)(='αφ，可得5.0=α，⎥⎦
⎤⎢⎣⎡=32)
1(X ，0)()1(=X f
因：0)()1(=∇X f ，可得此问题的最优解：⎥⎦⎤
⎢⎣⎡=32*X ，0)(*=X f
5.用梯度法求解1212
221422)(min x x x x x X f --+=,[]T X 1,1)0(=，1.0=ε 。

（请迭代两次） 解：1）第一次迭代
求 ,42422)(2121⎥⎦⎤⎢⎣⎡+---=∇x x x x X f
⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=∇24)()0(X f 令 ⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-=-∇=24
)()0()0(X f S
则 ⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=+=αααα21412411)0()0()0()1(S X X )()41(4)21)(41(2)21(2)41()(22)1(αφααααα=+--+--++=X f 对这种简单的一元函数，可以直接用解析法对α求极小。

令 016)41(4)21(8)21(8)41(8)(=-++----+='αααααφ 解得 ,25.04
1
==
α,5.02)1(⎥⎦⎤⎢⎣⎡=X 5.5)()1(-=X f。