八年级数学下册 3.4 分式方程(1)导学案北师大版

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数学初二下北师大版3.4分式方程(一)导学案

数学初二下北师大版3.4分式方程（一）导学案“1：3”课堂评价式教学模式导学案年级：八年级学科：数学主设计人：王宜军备课组成员：王宜军冯贵峰张居宾甘宝华§3.4分式方程〔一〕【一】导学目标：〔一〕教学知识点1.解分式方程的一般步骤.2.了解解分式方程验根的必要性.〔二〕能力训练要求1.通过具体例子，让学生独立探究方程的解法，经历和体会解分式方程的必要步骤.2.使学生进一步了解数学思想中的“转化”思想，认识到能将分式方程转化为整式方程，从而找到解分式方程的途径.〔三〕情感与价值观要求1.培养学生自觉反思求解过程和自觉检验的良好适应，培养严谨的治学态度.2.运用“转化”的思想，将分式方程转化为整式方程，获得一种成就感和学习数学的自信.【二】导学重点：1.解分式方程的一般步骤，熟练掌握分式方程的解决.2.明确解分式方程验根的必要性.【三】导学难点：明确分式方程验根的必要性.【四】导学方法：探究发明法【五】导学设计：〔一〕温故：列方程：1、有两快面积相同的小麦实验田，第一块使用原品种，第二块使用新品种，分别收获小麦9000㎏和15000㎏，第一块的小麦实验田每公顷的产量比第二块少3000㎏，如何设未知数列方程？2、从甲地到乙地有两条路能够走：一条全长600km一般公路，另一条是全长480km 的高速公路，某客车在高速公路上行驶的平均速度比一般公路上快45km/h，由高速公路从甲地到乙地的所需的时间是由一般公路从甲地到乙地所需时间的一半，求该客车由高速公路从甲地到乙地所需要的时间？〔二〕链接：试说一下什么是分式方程？〔三〕知新：解方程213-x+325+x=2－624-x［例1］解方程：1=3.［例2］解方程：300－480=4在解分式方程时，我们在分式方程两边都乘以最简公分母才得到整式方程.假如整式方程的根使得最简公分母的值为零，那么它就相当于分式方程两边都乘以零，不符合等式变形时的两个差不多性质，得到的整式方程的解必将使分式方程中有的分式分母为零，也就不适合原方程了.不适合原方程的整式方程的根，叫原方程的增根.练习：1.解方程：〔1〕3=4;〔2〕10+5=2〔四〕拓展：理解分式方程的意义，掌握解分式方程的一般方法和步骤；了解解分式方程时可能产生增根的缘故，掌握解分式方程的验根方法；会利用分式方程解决简单的社会生产建设和日常生活中的应用问题.【一】选择题 1.以下各式中，是分式方程的是()A.x +y =5B.3252z y x -=+ C.x 1 D.5+x y =0 2.关于x 的方程4332=-+x a ax 的根为x =1，那么a 应取值() A.1 B.3C.－1 D.－33.方程1+1)1(2-+x x =0有增根，那么增根是() A.1 B.－1C.±1 D.04.沿河两地相距s 千米，船在静水中的速度为a 千米/时，水流速度为b 千米/时，此船一次往返所需时间为() A.b a s +2小时 B.b a s -2小时C.(b s a s +)小时 D.(ba sb a s -++)小时 5.赵强同学借了一本书，共280页，要在两周借期内读完.当他读了一半时，发明平均每天要多读21页才能在借期内读完.他读前一半时，平均每天读多少页？假如设读前一半时，平均每天读x 页，那么下面所列方程中，正确的选项是()A.21140140-+x x =14B.21280280++x x =14C.21140140++x x =14D.211010++x x =1 【二】填空题6.方程457+=x x 的根是________. 7.当x =________时，分式x x ++51的值等于21. 8.假如关于x 的方程x x x a --=+-42114有增根，那么a 的值为________. 9.一汽车从甲地开往乙地，每小时行驶v 1千米，t 小时可到达，假如每小时多行驶v 2千米，那么可提早到达________小时.10.我国政府为解决老百姓看病问题，决定下调药品价格.某种药品在2001年涨价30%后，2003年降价70%至a 元，那么这种药品在2001年涨价前的价格为________元.【三】解答题11.解以下方程 (1)x x x --=+-34231(2)2123442+-=-++-x x x x x12.下表是某校初三年级的捐款情况表，其中初三(四)班参加捐款同学的平均捐款数比【四】创新训练1，先阅读某同学解下面分式方程的具体过程.解方程23321441-+-=-+-x x x x 14322341---=---x x x x .① 341028610222+-+-=+-+-x x x x x x .② 34186122+-=+-x x x x .③ ∴x 2-6x+8=x 2-4vx+3,④∴x=25.⑤ 经检验，x=25是原方程的解. 请你回答：〔1〕得到②的具体做法是；②得到③的具体做法是；得到④的理由是.〔2〕上述解法对吗〉假设不对，请指出错误的缘故，并改正.【五】活动与探究假设关于x 的方程31--x x =932-x m 有增根，那么m 的值是____________.。

八年级数学下册3.4.分式方程教案二北师大版

辽宁省辽阳市第九中学八年级数学下册 3.4.分式方程教案（二）北师大版总体说明本节是分式的第4小节，这是第二课时，本课时主要研究分式方程的解法，只要求会解可化为一元一次方程的分式方程（方程中的分式不超过两个）．解分式方程的关键是把分式方程转化为整式方程，在引导学生探索分式方程的解法时，要注意体现这种转化的思想．一、学生知识状况分析学生的技能基础：在上一节课的基础上，学生基本了解分式方程的概念，熟悉等式的性质并能利用等式的性质解一元一次方程中，了解一般一元一次方程的解法,去分母,去括号,移项,合并同类项,化系数为1,并理解每一步的根据是什么,从而能通过观察类比的方法，探索分式方程的解法并能理解解题步骤的根据.学生活动经验基础：本节课主要采用观察、类比的方法、讨论的形式，学生比较熟悉，能在二元一次方程转化为一元一次方程的基础上，再次体会数学转化思想．二、依据新课标标准和学情制定以下教学目标在上一节课中，学生通过对实际问题的分析，已经感受到分式方程是刻画现实世界的有效模型，本节课安排《分式方程》第二课时，旨在学会解分式方程，能从中体会数学转化思想的深刻含义，为此，本课时的教学目标是：知识与技能：（1）体会分式方程到整式方程的转化思想．（2）掌握分式方程的解法．数学能力：（1）培养学生的数学转化思想．（2）培养学生的观察、类比、探索的能力．情感与态度：鼓励学生独立思考，认真观察，大胆猜想，积极动手，提高分析问题与解决问题能力．教学重点及难点：分式方程的解法及应用教学方法：分组讨论法三、教学过程分析本节课设计了七个教学环节：回顾——想一想——试一试——议一议——练一练——学生小结——反馈练习．第一环节：回顾活动内容：1．等式性质有哪些？2．解下列一元一次方程（1）x x =-12（2）412132+=+x x 活动目的：回顾等式性质，解一元一次方程的解法，着重复习去分母的步骤，为学生过渡到分式方程去分母．注意事项：学生能很快回忆起根据等式性质，找出各分母的最小公分母,两边同时乘以相同的因式，达到去分母的目的，并能熟练解出方程．但是,部分学生容易出现去分母时漏乘某一项,特别是不含分母的项.另外,学生还容易出现的错误是:去分母后,如果分子是多项式,漏去括号,导致计算错误,这些错误在解分式方程时也容易出现,在复习一元一次方程时老师对这一点要重点强调.在复习解一元一次方程时,老师还应强调检验方程的根,培养学生严谨的作风,并为解分式方程的验根打下基础.第二环节：想一想活动内容：解下列分式方程：活动目的：引导学生仔细观察，采用类比的方法找出解分式方程的关键――去分母，把分式方程转化为整式方程即一元一次方程．注意事项：通过观察类比，学生容易发现只要方程两边同时乘以相同的因式，可以去分母，使方程变为学过的一元一次方程，从而解快了问题．另外,学生还能根据比例的性质:内项积等于外项积.解出这个方程,对于这部分学生应该鼓励,肯定数学一题多解.第三环节：试一试活动内容：解下列分式方程活动目的：使学生进一步体会并熟悉分式方程的解法，并强调检验方程的解．注意事项：通过前面的探索体验，学生都很有兴趣并能基本掌握分式方程的解法，并在老师的指导下，规范书写过程．在解题过程中,要提醒学生注意可先化简原方程,从而达到简便运算的目的.第四环节：议一议活动内容：解分式方程 22121--=--xx x 时，小明的解为2=x ，他的答案正确吗？活动目的：让学生通过解这个方程，并思考问题，从而产生疑惑，展开讨论，了解分式方程会产生增根．注意事项：在解这个方程的过程中,学生容易忽视两个分母互为相反数,所以在去分母时会化简为繁.要提醒学生先将一个分母化为另一个分母的相反数.另外这个方程把学生易犯的错误集中在一起,例如-2这一项没乘公分母.通过仔细观察，积极讨论，学生都发现 2=x 使原方程无意义，了解增根的概念，及产生的原因，提高了对方程验根的重视程度,总结出验根的方法(其方法是代入最简公分母中或原方程中进行检验,使分母为零的是增根,否则不是)第五环节：练一练活动内容：解下列分程（1）xx 413=- （2）4235323=-+--x x x 活动目的：让学生认真完成从审题到最后检验的完整过程，熟练掌握解题方法．注意事项：学生解第一小题时，从比例式的性质出发，利用外项积等于内项积的性质，交叉相乘，和利用等式性质去分母一样，都能把分式方程转化为整式方程．解第二题时，有的学生因为审题不仔细，把)32(-x 和)23(x -当成两个不同的整式，给计算带来不必要的麻烦．反应出有些学生处理问题的能力的欠缺．第六环节：学生小结活动内容：在今天的学习活动中，你学会了哪些知识？掌握了哪些数学方法？活动目的：鼓励学生独立思考，并用自己的语言描述，然后再与同伴讨论、交流自己的结果．通过学生的回顾小结，加深分式方程解法和数学转化思想的理解．注意事项：学生在解方程过程中易犯的错误：1、解方程时忘记检验；2、去分母时忘记加括号；3、去分母时漏乘不含分母的项.第七环节：反馈练习活动内容：1. 方程1112-=x x 的解为（） A ．1 B. -1 C. 1± D. 02．方程xx -=7043的解为___________． 3．解方程134543=-+-xx x 4．若关于x 的方程0111=--+x ax 有增根,则a 的值为_______．活动目的:通过学生的反馈练习,使老师能全面了解学生对分式方程解法的掌握程度,以及对增根的理解,以便老师能及时进行查漏补缺.注意事项：从学生的反馈练习中来看,学生能熟练解出分式方程,但对增根的理解及灵活处理还不够,在今后的练习中还要巩固渗透，要让学生弄清增根产生的原因，因此要正确验根从而排除增根．课后练习：请完成课后作业解下列方程1．xx 416=- 2．14143=-+--x x x 四、教学反思数学教学活动必须建立在学生的认知发展水平和已有的知识经验基础之上．教师应激发学生的学习积极性，本节课中，让学生自己通过观察、类比的方法找到分式方程的解法，向学生提供充分从事数学活动的机会，帮助他们在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法，获得广泛的数学活动经验．学生是数学学习的主人，教师是数学学习的组织者、引导者与合作者．数学教学是数学活动的教学，是师生之间、学生之间交往互动与共同发展的过程．数学教学应从学生实际出发，创设有助于学生自主学习的问题情境，在本节课中，关于分式方程的增根的教学，通过创设议一议的问题，引导学生通过实践、思考、探索、交流，获得知识，形成技能，发展思维，学会学习，促使学生在教师指导下生动活泼地、主动地、富有个性地学习，使学生的学习能力得到最大限度的提升．．。

北师数学八年级下册导学案 3.4分式方程1

课题： 3.4分式方程1【学习目标】1、掌握分式方程概念、能将实际问题中的等量关系用分式方程表示。

2、通过学习体会分式方程的模型作用。

【学习重点、难点】能将实际问题中的等量关系用分式方程表示。

【使用说明及学法指导】准备好课本、练习本、双色笔。

全力以赴完成导学案，相信自己一定行。

【预习案】一、知识链接：1．什么叫方程？什么叫方程的解？2.我们已经学过一些什么方程？试举几个例子。

有两块面积相同的小麦试验田，第一块使用原品种，第二块使用新品种，分别收获小麦9000 kg和15000 kg。

已知第一块试验田每公顷的产量比第二块少3000 kg，分别求这两块试验田每公顷的产量。

你能找出这一问题中的所有等量关系吗？等量关系包括：1、2、3、如果设第一块试验田每公顷的产量为x kg，那公第二块试验田每公顷的产量是__________kg。

根据题意，可得方程_____________________二、合作探究、展示点评：为了帮助遭受自然灾害的地区重建家园，学校号召同学们自愿捐款。

已知第一次捐款总额为4800元，第二次捐款总额为5000元，第二次捐款人数比第一次多20人，而且两次人均捐款恰好相等。

如果第一次捐款人数为x人，那么你能列出方程吗？三、拓展提升:1.从甲地到乙地有两条公路：一条是全长600 km的普通公路，另一条是全长480 km的高速公路。

某客车在高速公路上行驶的平均速度比在普通公路上快45 km/h，由高速公路从甲地到乙地所需的时间是由普通公路从甲地到乙地所需时间的一半。

求该客车由高速公路从甲地到乙地所需的时间。

这一问题中有哪些等量关系？(小组交流)如果设客车由高速公路从甲地到乙地所需的时间为x h，那么它由普通公路从甲地到乙地所需的时间为_________h。

根据题意，可得方程_________________。

2、以上这些方程有什么特点？和我们以前学过的方程有何不同？3、具有这样特点的方程是方程。

北师大版八年级数学下册54.《分式方程》优秀教学案例

在教学过程中，教师应以学生为主体，注重启发式教学，引导学生主动探究、积极思考，通过小组合作、讨论交流等方式，让学生在实践中学习、在学习中思考，提高学生的数学思维能力和创新能力。同时，教师还应关注学生的个体差异，给予每个学生充分的关注和指导，使他们在原有基础上得到提高和发展。
二、教学目标
（一）知识与技能
2.设计具有挑战性、开放性的数学问题，引导学生进行小组讨论，培养学生的探究精神和创新能力。
3.教师应关注小组合作的过程，及时给予指导和评价，激发学生的学习兴趣，提高学生的合作效果。
4.鼓励学生互相帮助、互相学习，培养学生的团队精神，提高学生的人际沟通能力。
（四）总结归纳
1.教师应引导学生进行自我反思，总结分式方程的学习过程和方法，提高学生的自我认知能力。
2.设计具有启发性的问题，引导学生自主发现分式方程的基本性质和解法，提高学生的数学思维能力。
3.教师应关注学生的个体差异，给予每个学生充分的关注和指导，使他们在原有基础上得到提高和发展。
4.鼓励学生提出问题，培养学生的质疑精神，引导学生学会独立思考和解决问题。
（三）小组合作
1.教师应组织学生进行小组合作学习，让学生在讨论、交流中共同解决问题，提高学生的合作能力。
2.设计具有启发性的问题，引导学生自主发现分式方程的基本性质和解法，提高学生的数学思维能力。
3.教师应关注学生的个体差异，给予每个学生充分的关注和指导，使他们在原有基础上得到提高和发展。
4.鼓励学生提出问题，培养学生的质疑精神，引导学生学会独立思考和解决问题。
（三）学生小组讨论
1.教师应组织学生进行小组合作学习，让学生在讨论、交流中共同解决问题，提高学生的合作能力。
2.设计具有挑战性的数学问题，让学生在解决问题的过程中自然地引入分式方程，感受分式方程的意义。

八年级数学下册第三章 3.4分式方程学案(2)(无答案) 北师大版

课题： §3.4 分式方程（2）【学习目标】1、掌握解分式方程的一般步骤. 熟练掌握分式方程的解法2、理解解分式方程验根的必要性. 【学习重点】解分式方程的一般步骤；分式方程验根的必要性【学前准备】1、什么是方程，什么是分式方程？2、解一元一次方程有哪些步骤？3、分式有意义的条件。

【师生探究，合作交流】一、解分式方程例1 、213-x =2－624-x 解方程：21-x =x3例2：解方程：x300－x2480=4解：去分母，方程两边同乘以小结：解分式方程与解整式方程的区别、联系二、想一想,答一答1、分式方程化为整式方程时，根据__________________，方程左右两边各项需同时乘以_________________________；2、如何确定最简公分母？最简公分母即分母的最小______________.3、为什么解完分式方程后一定要检验？4、怎样检验以确定分式方程的根.5、产生增根的原因是什么？你用了______分钟完成预习！【小试牛刀】 1、找错误解方程：32--x x =x-31－2小亮同学的解法：小颖同学的解法：解：方程两边同乘以x －3, 解：方程两边同乘以（x －3）（3－x ）得：2－x =－1－2（x －3）得：(2－x)（3－x ）=1－2（x －3）（3－x ）解这个方程，得x =3. 无法解这个方程2、解方程（1）13-x =x4 （2）1210-x +x215-=2.【小结】1、解分式方程的步骤：一、去分母，化分式方程为整式方程；二、解整式方程；三、验根；四、写出结论.2、“转化思想” -------------将分式方程转化为整式方程；【作业】1、解方程：（1）32-x x +x235-=4 （2）16-x =)1(5-+x x x （3）122--x x +1=x215.1-（4） 3-x x =24-+x x （5）21-x +3=21--x x ★122-x x +2-x x =2P90----------习题3.7问题解决【拓展延伸】 ★分式方程12-+x a x = 1 的解为x=3，求a 值★若关于x 的方程31--x x =932-x m有增根，求m 的值。

(北师大版)八年级数学下册3.4分式方程3 学案

§3.4分式方程（3）学习目标：（一）学习知识点1、用分式方程的数学模型反映现实情境中的实际问题.3、经历建立分式方程模型解决实际问题的过程，体会数学模型的应用价值，从而提高学习数学的兴趣.学习重点：1.审明题意，寻找等量关系，将实际问题转化成分式方程的数学模型.2.根据实际意义检验解的合理性.学习难点寻求实际问题中的等量关系，寻求不同的解决问题的方法.学习过程：Ⅰ.提出问题，引入新课前两节课，我们认识了分式方程这样的数学模型，并且学会了解分式方程.接下来，我们就用分式方程解决生活中实际问题.有房屋出租的租金第一年为9.6万元，第二年为10.2万元.（1）你能找出这一情境的等量关系吗？（3）这两年每间房屋的租金各是多少？解法二：设第一年每间房屋的租金为x元，第二年每间房屋的租金为_______元.第一年租出的房间为__________间，第二年租出的房间为__________间，根据题意得方程，_________本，硬皮本___________本.根据题意得方程，图3－4活动与探究：1、如图，小明家、王老师家、学校在同一条路上.小明家到王老师家路程为3 km，王老师家到学校的路程为0.5 km,由于小明父母战斗在抗“非典”第一线，为了使他能按时到校，王老师每天骑自行车接小明上学.已知王老师骑自行车的速度是步行速度的3倍，每天收获与感悟比平时步行上班多用了20分钟，问王老师的步行速度及骑自行车的速度各是多少？（2003年吉林省中考题）2、从甲地到乙地有两条公路：一条全长600千米的普通公路，另一条是全长480千米的高速公路。

某客车在高速公路上行驶的速度比在普通公路上快45千米/时，由高速公路从甲地到乙地所需时间是由普通公路从甲地到乙地所需时间的一半。

求客车在高速公路上行驶的速度。

3、轮船顺水航行40千米所用的时间与逆水航行30千米所用的时间相同，若水流的速度为3千米/时求轮船在静水中的速度？积累与总结：收获与感悟1、列方程解决实际情境中的具体问题，是数学实用性最直接的体现，而解决这一问题是如何将实际问题建立方程这样的数学模型，关键则在于审清题意，找出题中的等量关系，找到它就为列方程指明了方向.2、列分式方程解应用题的一般步骤：（1）审清题意，找出等量关系；（2）设出 __________；（3）列出_________；（4）解分式方程；（5）检验，既要验证是否是原方程的的根，又要验证是否符合题意；（6）写出答案。

2024年春八年级数学下册第5章分式与分式方程1认识分式教案新版北师大版

1 相识分式第1课时分式的有关概念教学目标一、基本目标1．了解分式的概念，明确分式与整式的区分．2．经验用字母表示现实情境中数量关系的过程，体会分式的模型思想，进一步发展符号感．3．通过教材土地沙化问题的情境，体会爱护人类生存环境的重要性．二、重难点目标【教学重点】分式的概念．【教学难点】分式有(无)意义的条件，分式值为0的条件．教学过程环节1 自学提纲，生成问题【5 min 阅读】阅读教材P 108～P109的内容，完成下面练习．【3 min 反馈】1．一般地，用A 、B 表示两个整式，A ÷B 可以表示成AB的形式．假如B 中含有字母，那么称A B为分式，其中A 称为分式的分子，B 称为分式的分母．对于随意一个分式，分母都不能为零．2．分式有意义的条件是分母不为0.分式的值为0的条件是分子等于0，且分母不等于0.3．下列各式中，哪些是分式？①2b －s ；②3000300－a ；③27；④v s ；⑤s 32；⑥2x 2＋15；⑦45b ＋c ；⑧－5；⑨3x 2－1；⑩x 2－xy ＋y 22x －1；⑪5x －7.解：分式有①②④⑦⑩.4．当x 取何值时，下列分式无意义？当x 取何值时，下列分式的值等于0? (1)3－x x ＋2；(2)x ＋53－2x. 解：(1)当x ＋2＝0时，即x ＝－2时，分式3－x x ＋2无意义．当x ＝3时，分式3－x x ＋2的值等于0.(2)当3－2x ＝0时，即x ＝32时，分式x ＋53－2x 无意义．当x ＝－5时，分式x ＋53－2x 的值等于0.环节2 合作探究，解决问题活动1 小组探讨(师生互学)【例1】当x 取何值时，下列分式有意义？当x 取何值时，下列分式无意义？当x 取何值时，下列分式值为零？(1)x ＋1x －1 ； (2)x －2x 2－1； (3)x 2－1x 2－x. 【互动探究】(引发学生思索)依据分式有、无意义所满意的条件进行推断．分式的值为0，则分母不为0，且分子等于0.【解答】(1)有意义：x －1≠0，即x ≠1. 无意义：x －1＝0，即x ＝1.值为0：x ＋1＝0且x －1≠0，∴x ＝－1. (2)有意义：x 2－1≠0，即x ≠±1. 无意义：x 2－1＝0，即x ＝±1. 值为0：x －2＝0且x 2－1≠0，∴x ＝2. (3)有意义：x 2－x ≠0，即x ≠0且x ≠1. 无意义：x 2－x ＝0，即x ＝0或x ＝1. 值为0：x 2－1＝0且x 2－x ≠0，即x ＝－1.【互动总结】(学生总结，老师点评)分式有意义的条件：分式的分母不能为0.分式无意义的条件：分式的分母等于0.分式值为0的条件：分式的分子等于0，但分母不能等于0.分式的值为0肯定是在有意义的条件下成立的．活动2 巩固练习(学生独学) 1．若代数式1x －1＋x 有意义，则实数x 的取值范围是( D ) A ．x ≠1 B ．x≥0 C ．x ≠0D ．x≥0且x≠12．若分式2x －13x ＋5有意义，则x 的取值范围是x≠－53.3．若分式x 2－1x ＋1的值为0，则x 的值是1.4．对于分式x －m －nm －2n ＋3x ，已知当x ＝－3时，分式的值为0；当x ＝2时，分式无意义．试求m 、n 的值．解：∵当x ＝－3时，分式的值为0，∴⎩⎪⎨⎪⎧－3－m －n ＝0，m －2n －9≠0，即⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝－3，m －2n≠9.又∵当x ＝2时，分式无意义， ∴m －2n ＋3×2＝0，即m －2n ＝－6.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝－3，m －2n ＝－6，得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－4，n ＝1.活动3 拓展延长(学生对学)【例2】视察下面一列分式：x 3y ，－x 5y 2，x 7y 3，－x9y 4，….(其中x≠0)(1)依据上述分式的规律写出第6个分式；(2)依据你发觉的规律，试写出第n(n 为正整数)个分式，并简洁说明理由．【互动探究】(1)依据已知分式的分子与分母的次数与系数关系得出答案；(2)利用(1)中数据的变更规律得出答案．【解答】(1)视察各分式的规律可得，第6个分式为－x13y 6.(2)由已知可得：第n(n 为正整数)个分式为(－1)n ＋1×x 2n ＋1yn.理由：∵分母的底数为y ，次数是连续的正整数，分子底数是x ，次数是连续的奇数，且第偶数个分式为负，∴第n(n 为正整数)个分式为(－1)n ＋1×x 2n ＋1yn.【互动总结】(学生总结，老师点评)此题主要考查了分式的定义以及数字变更规律，得出分子与分母的变更规律是解题关键．环节3 课堂小结，当堂达标 (学生总结，老师点评)1．分式的概念：一般地，假如A 、B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子AB 叫做分式．2．分式AB 有无意义的条件：当B≠0时，分式有意义；当B ＝0时，分式无意义．3．分式AB 值为0的条件：当A ＝0，B≠0时，分式的值为0.练习设计请完成本课时对应练习！第2课时分式的基本性质教学目标一、基本目标1．能正确理解和运用分式的基本性质．2．通过与分数的基本性质相比较，归纳得出分式的基本性质，体验类比的思想方法．二、重难点目标【教学重点】理解分式的基本性质，会进行分式的化简．【教学难点】敏捷应用分式的基本性质将分式变形．教学过程环节1 自学提纲，生成问题【5 min 阅读】阅读教材P 110～P112的内容，完成下面练习．【3 min 反馈】1．分式的分子与分母都乘(或除以)同一个不等于零的整式，分式的值不变．这一性质可以用式子表示为：b a ＝b ·m a ·m ，b a ＝b ÷ma ÷m(m ≠0)．2．把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形称为分式的约分．分子和分母已没有公因式，这样的分式称为最简分式．化简分式时，通常要使结果成为最简分式或整式．3．分式的分子、分母及分式本身的三个符号中，随意变更其中两个的符号，分式的值不变；若只变更其中一个或三个全变号，则分式的值变成原分式值的相反数．4．下列等式的右边是怎样从左边得到的？(1)a 2b ＝ac 2bc (c ≠0)； (2)x 3xy ＝x 2y . 解：(1)由c ≠0，知a 2b ＝a ·c 2b ·c ＝ac 2bc .(2)由x ≠0，知x 3xy ＝x 3÷x xy ÷x ＝x 2y.5．约分：(1)a 2bc ab ； (2)－32a 3b 2c 24a 2b 3d. 解：(1)公因式为ab ，所以a 2bc ab＝ac .(2)公因式为8a 2b 2，所以－32a 3b 2c 24a 2b 3d ＝－4ac3bd.环节2 合作探究，解决问题活动1 小组探讨(师生互学)【例1】不变更分式0.2x ＋12＋0.5x 的值，把它的分子、分母的各项系数都化为整数，所得结果正确的为( )A ．.2x ＋12＋5xB ．.x ＋54＋xC ．2x ＋1020＋5xD ．2x ＋12＋x【互动探究】(引发学生思索)利用分式的基本性质，把0.2x ＋12＋0.5x 的分子、分母都乘10，得2x ＋1020＋5x . 【答案】C【互动总结】(学生总结，老师点评)视察分式的分子和分母，要使分子与分母中各项系数都化为整数，只需依据分式的基本性质让分子和分母同乘某一个数即可．【例2】约分：(1)－5a 5bc 325a 3bc 4； (2)x 2－2xyx 3－4x 2y ＋4xy2.【互动探究】(引发学生思索)要约分须要先找分子、分母的公因式，如何确定公因式呢？【解答】(1)－5a 5bc 325a 3bc 4＝5a 3bc 3－a 25a 3bc 3·5c ＝－a25c . (2)x 2－2xy x 3－4x 2y ＋4xy 2＝x x －2yx x －2y2＝1x －2y. 【互动总结】(学生总结，老师点评)约分的步骤；(1)找公因式．当分子、分母是多项式时应先分解因式；(2)约去分子、分母的公因式．活动2 巩固练习(学生独学)1．把分式2x2x －3y 中的x 和y 都扩大为原来的5倍，那么分式的值( B )A ．扩大为原来的5倍B ．不变C ．缩小为原来的15D ．扩大为原来的52倍2．将分式x2－y x 5＋y 3的分子与分母中各项系数化为整数，结果是15x －30y6x ＋10y .3．约分：(1)－15a ＋b 2－25a ＋b ； (2)m 2－3m9－m2.解：(1)3a ＋b5.(2)－mm ＋3.4．先约分，再求值：(1)3m ＋n9m 2－n2，其中m ＝1，n ＝2； (2)x 2－4y 2x 2－4xy ＋4y 2，其中x ＝2，y ＝4. 解：(1)3m ＋n 9m 2－n 2＝13m －n ＝13×1－2＝1.(2)x 2－4y 2x 2－4xy ＋4y 2＝x ＋2y x －2y x －2y 2＝x ＋2y x －2y ＝2＋2×42－2×4＝－53. 活动3 拓展延长(学生对学)【例3】若x 2＝y 3＝z 4≠0，求x －y －z 3x ＋2y －z的值．【互动探究】因为条件是以比相等的形式出现，所以考虑设比值为k ，把待求式转化为关于k 的式子求值．【解答】设x 2＝y 3＝z 4＝k (k ≠0)，x ＝2k ，y ＝3k ，z ＝4k ，∴x －y －z 3x ＋2y －z ＝2k －3k －4k 6k ＋6k －4k ＝－5k8k＝－58.【互动总结】(学生总结，老师点评)当数学问题中出现或隐含比值相等的条件时，设比值为一个新字母，把问题转化为新字母的问题求解．环节3 课堂小结，当堂达标 (学生总结，老师点评)1．分式的基本性质：分式的分子与分母都乘(或除以)同一个不为零的整式，分式的值不变．2．符号法则：分式的分子、分母及分式本身，随意变更其中两个符号，分式的值不变；若只变更其中一个符号或三个全变号，则分式的值变成原分式值的相反数．练习设计请完成本课时对应练习！。

数学初二下北师大版3.4.1分式方程(一)教案

数学初二下北师大版3.4.1分式方程（一）教案●课题§3.4.1分式方程〔一〕●教学目标〔一〕教学知识点1.通过对实际问题的分析，感受分式方程刻画现实世界的有效模型的意义.2.通过观看，归纳分式方程的概念.〔二〕能力训练要求1.体会到分式方程作为实际问题的模型，能够依照实际问题建立分式方程的数学模型，并能归纳出分式方程的描述性定义.〔三〕情感与价值观要求在建立分式方程的数学模型的过程中培养能力和克服困难的勇气，并从中获得成就感，提高解决问题的能力.●教学重点能依照实际问题的数量关系列出分式方程，归纳出分式方程的定义.●教学难点能依照实际问题中的等量关系列出分式方程.●教学方法尝试——归纳相结合教科书中提供了多个实际问题，教师鼓舞学生尝试，利用具体情境中的数量关系列出分式方程，归纳分式方程的定义.●教具预备投影片三张第一张：小麦试验田问题，〔记作§3.4.1A〕第二张：电脑网络培训问题，〔记作§3.4.1B〕第三张：几何问题，〔记作§3.4.1C〕●教学过程Ⅰ.创设情境，引入新课［师］在这一章的第一节《分式》中，我们曾研究过一个“固沙造林，绿化家园”的问题.打开课本.当时，我们设原计划每月固沙造林x公顷，那么原计划完成一期工程需要个月，实际完成一期工程用了个月.依照题意，可得方程－=4.〔1〕我们说，分母中含有字母，我们现在明白它们是不同于整式的代数式——分式.但是，我们也是第一次遇到如此的方程，它和我们学过的一元一次方程一样能刻画现实世界，是一种反映现实世界的数学模型.接下来，我们再来看几个如此的例子.Ⅱ.讲授新课列出刻画现实世界的数学模型——方程.［师］在那个问题中涉及到了哪几个差不多量？它们的关系如何？［生］涉及到三个差不多量：总产量，每公顷试验田的产量，试验田的面积.其中总产量=每公顷试验田的产量×试验田的面积.［师］你能找出这一问题的所有等量关系吗？［生］第一块试验田的面积=第二块试验田的面积. 〔a〕［生］还有一个等量关系是：第一块试验田每公顷的产量+3000kg=第二块试验田每公顷的产量〔b〕［师］我们接着回答下面的问题：假如设第一块试验田每公顷的产量为x kg，那么第二块试验田每公倾的产量是多少kg呢？［生］依照等量关系〔b〕，可知第二块试验田每公顷的产量是〔x+3000〕kg.［生］依照题意，利用等量关系〔a〕，可得方程：=. 〔2〕［师］,的实际意义是什么呢？［生］它们分别表示第一块试验田和第二块试验田的面积.［师］有没有别的方法列出方程呢？同学们能够以小组为单位讨论，交流.我们看哪一个组思维最敏捷.［生］依照等量关系〔a〕，我们能够设两块试验田的面积都为x公顷，那么表示第一块试验田每公顷的产量，表示第二块试验田每公顷的产量，依照等量关系〔b〕可列出方程：+3000=〔3〕［生］由题意，可知：实际参加活动的人数=原定人数×2倍. 〔c〕［生］还有一个等量关系为：原计划每个同学平均分摊的费用=实际每个同学平均分摊的费用+4元. 〔d〕［师］同学们差不多过审题，找到了题中的等量关系，接下来该干什么呢？［生］设出未知数，列出方程，将具体实际的问题转化为数学模型.［师］你特别棒！下面同学们就分组来完成刚才这位同学所说的，你有几种列方程的方法呢？讨论后，各小组可选代表回答上面的问题.人，那么每人平均分摊分摊元，依照题意，利用等量关系〔4=［生］我们组没有按照投影片上的设法，而是设原定每人平摊y元，那么原定人数为人；实际参加活动的每个同学平摊〔y－4〕元，那么实际参加活动的人数为人，依照题意，利用等量关系〔c〕，得方程：2×=. 〔5〕［师］上面两个组的回答都特别精彩，祝贺他们.〔鼓掌〕从同学们的表现不难看出，用方程如此的数学模型刻画现实世界的情境，同学们掌握得特别好.下面我们再来用方程来解决一个几何问题，刻画一个几何模型.〔出示投影片§3.4.1C〕［师生共析］由于是正方形，∥，⊥，因此是△的高且==正方形SPQR的边长，△ASR的高AE可表示为AD与正方形边长的差.由SR∥BC，可得△ASR∽△ABC，因此有：=〔相似三角形对应高的比等于相似比〕.因此可设正方形的边长为x，由=得：=.〔其中a、h为常数〕〔6〕［师］你还能找出图中的相似三角形吗？你还能用它的性质列出方程吗？同学们能够在小组内讨论、交流.［生］从上图中可知SPQ R是正方形，因此R Q⊥BC，又因为AD⊥BC，因此AD∥R Q，△ADC∽△R QC.可得=.即=.因此，设内接正方形的边长为2x，依照题意，得=.〔a、h为常数〕.〔7〕［师］你们表现得真棒！观看方程：－=4 〔1〕=〔2〕+3000=〔3〕－4=〔4〕2×=〔5〕=〔其中a、h是常数〕〔7〕上面所得到的方程有什么共同特点？［生］不难发明方程中的未知数都含在分母中，不是一元一次方程.［师］是的.这确实是我们今天要认识的一种新的方程——分式方程即分母中含有未知数的方程.方程〔6〕是什么方程？［生］方程〔6〕中，分母不含未知数，它是一元一次方程.Ⅲ.随堂练习1.鱼塘中有x千克鱼，每千克鱼的捕捞费用是元.现从鱼塘中捕捞101千克鱼花了捕捞费用200元，求x满足的方程.分析：题中的等量关系是：101千克鱼×每千克鱼的捕捞费用=200元.解：x满足的方程是：101×=200.2.补充练习某商场有治理人员40人，销售人员80人，为了提高服务水平和销售量，商场决定从治理人员中抽调一部分人充实销售部分，使治理人员与销售人员的人数比为1∶4，那么应抽调的治理人员数x满足怎么样的方程？解：抽调治理人员x人后，治理人员有〔40－x〕人，销售人员有〔80+x〕人，那么=.Ⅳ.课时小结这节课我们从现实情境问题中建立方程这一重要的数学模型，认识了一种新的方程——分式方程.Ⅴ.课后作业1.习题3.62.预习下一部分——分式方程的解法.Ⅵ.活动与探究如右图，△ABC是一块锐角三角形余料，边BC=120mm,高AD=80mm，要把它加工成矩形零件PQMN，使矩形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，并求PN=2PQ时，PN 的长是多少？［过程］由于PQMN是矩形，因此AE⊥PN，如此△APN的高可写成AD—ED=AD－PQ，又PN∥BC，因此△APN∽△ABC，因此可找到PN与条件的关系.图3－3［结果］设PQ=x mm，那么PN=2x mm.PN∥BC→△APN∽△ABC→=，即=160x=9600－120x,x==34因此PN=2x=68〔mm〕。

北师大八下数学3.4分式方程导学案

北师大八下数学分式方程导学案学习目标、重点、难点【学习目标】1、能将实际问题中的等量关系用分式方程表示，体会分式方程的模型思想.2、会解分式方程的一般步骤．3、用分式方程来解决现实情境中的问题.【重点难点】1、分式方程的概念.2、分式方程的解法.3、分式议程的应用.知识概览图分式方程⎪⎩⎪⎨⎧分式方程的应用分式方程的解法分式方程的定义新课导引有两块面积相同的小麦试验田，第一块试验田使用原品种，第二块试验田使用新品种，两块试验田分别收获小麦9000kg 和15000kg ，已知第一块试验田每公顷产量比第二块少3000kg ，分别求这两块试验田每公顷的产量．上面的问题，我们可以设第一块试验田每公顷的产量为x kg ，则第二块试验田每公顷的产量为(x +3000)kg ，根据题意，可得30015009000+=x x ，我们观察所列方程与以前学过的方程有什么不同?它叫什么方程呢?教材精华知识点1 分式方程的概念我们知道，含有未知数的等式叫做方程．以前我们学习了一元一次方程，如3x +3＝2x ，1+35223+=-x x 等都是一元一次方程．· 在方程这个大家族中，除一元一次方程外，还有许多成员，它们都有各自的特点．我们看下面的方程：x x 413=-，22151210=-+-xx x ，11112-=-x x . 认真观察这些方程，可以发现它们都有共同的特点：分母中含有未知数．这样的方程就是分式方程．分母中含有未知数的方程叫做分式方程.知识点2 分式方程的解法我们已经学习了一元一次方程的解法，能够熟练地解一个一元一次方程，并且知道解一元一次方程依据的是等式的基本性质．在掌握了一元一次方程的解法的基础上，我们又研究了二元一次方程组的解法，解一个二元一次方程组的基本思路是将其转化为一元一次方程，转化的方法是代入法或加减法．按这种思想我们可以想到解分式方程时需将其转化为整式方程，然后再求解，当然，转化的方法应是根据等式的基本性质将分母去掉，这就需要将分式方程的两边都乘以各分母的最简公分母，以达到转化的目的．知识点3 分式议程的应用分式方程的应用比较广泛，用分式方程解决问题是将数学知识应用于实际的一个具体体现．应用分式方程解决实际问题的分析过程及解题过程与应用一元一次方程解决实际问题类似，所不同的是有关的量是用分式表示的，而且要经历实际问题——分式方程模型——求解——检验解的合理性的过程．通过应用分式方程解决实际问题，能够进一步提高我们发现问题、研究问题、分析问题及解决问题的能力．课堂检测基本概念题1、下列关于x 的方程，其中是分式方程的有 .（只填序号）①52=+b ax ; ②342)3(41+=++x a ; ③a x m a n m -=++1; ④xx x 21122=+-; ⑤x x 2211-=+; ⑥2m n m n x m -++=; ⑦x b b x a a +=-11; ⑧n m x m n x -=-+2; ⑨1=-++-+bx a x a x b x .基础知识应用题 2、解分式方程143+=x x ，综合应用题3、某项工程由甲队单独做，恰好在规定的日期完成．如果由乙队单独做，要超出规定日期3天才能完成．现在先由甲、乙两队合做两天，剩下的任务由乙队单独完成，刚好按期完成，那么规定日期是多少天?探索创新题4、一小船由A 港到B 港顺流需6小时，由B 港到A 港逆流需8小时，一天，小船早6时由A 港出发顺流到达B 港时，发现一救生圈在途中掉入水中，立刻返回，二小时后找到救生圈．(1)若小船按水流速度由A 港漂到B 港，需要多少小时?(2)救生圈是在何时掉入水中的?体验中考1、(09·重庆)分式方程1211-=+x x 的解为 . 2、(09·北京)解分式方程262++-x x x =1．学后反思附：课堂检测及体验中考答案课堂检测1、分析：分式方程的特征是：①方程中含分母，②分母里含有未知数．分式方程与整式方程的区别就在于分母中是否含有未知数．本题的方程是关于x 的方程，未知数为x ，其他字母均为字母系数，所以④⑤⑥⑦⑨为分式方程．故填④⑤⑥⑦⑨2、解：方程两边都乘以x (x +1)，得3(x +1)=4x ，解这个整式方程，得x =3,检验：当x =3时，x (x +1)=3(3+1)≠0.所以x =3是原方程的解.3、解：设规定日期为x 天，则甲队单独完成需x 天，乙队单独完成需(x +3)天，根据题意得32++x x x ＝1．解这个分式方程，得x ＝6．经检验，x ＝6是原方程的根，且符合题意．答：规定日期是6天．4、解：(1)设船按水流速度由A 港漂到B 港需x 小时，则有xx 181161+=-，解得x ＝48．经检验，x ＝48是原方程的根．答：若小船按水流速度由A 港漂到B 港，需要48小时．(2)设救生圈是在y 时掉入水中的，则有4811281612+-+=-y y ，解得y ＝11．答：救生圈是在11时掉人水中的．体验中考1、x ＝-3．2、解：化简，得x (x +2)+6(x-2)＝(x-2)( x +2)，解得x ＝1. 经检验，x ＝1是原方程的解，∴原方程的解是x ＝1．。

八年级数学下册 3.4分式方程(一)导学案(无答案) 北师大版

§3.4 分式方程（一）一、导学目标：（一）教学知识点 1.解分式方程的一般步骤. 2.了解解分式方程验根的必要性. （二）能力训练要求1.通过具体例子，让学生独立探索方程的解法，经历和体会解分式方程的必要步骤.2.使学生进一步了解数学思想中的“转化”思想，认识到能将分式方程转化为整式方程，从而找到解分式方程的途径.（三）情感与价值观要求1.培养学生自觉反思求解过程和自觉检验的良好习惯，培养严谨的治学态度.2.运用“转化”的思想，将分式方程转化为整式方程，获得一种成就感和学习数学的自信.二、导学重点：1.解分式方程的一般步骤，熟练掌握分式方程的解决.2.明确解分式方程验根的必要性.三、导学难点：明确分式方程验根的必要性.四、导学方法：探索发现法五、导学设计：（一）温故：列方程：1、有两快面积相同的小麦实验田，第一块使用原品种，第二块使用新品种，分别收获小麦9000 ㎏和15000 ㎏，已知第一块的小麦实验田每公顷的产量比第二块少3000㎏，如何设未知数列方程？2、从甲地到乙地有两条路可以走：一条全长600 km普通公路，另一条是全长 480km 的高速公路，某客车在高速公路上行驶的平均速度比普通公路上快45km/h，由高速公路从甲地到乙地的所需的时间是由普通公路从甲地到乙地所需时间的一半，求该客车由高速公路从甲地到乙地所需要的时间？（二）链接：试说一下什么是分式方程？（三）知新：解方程213-x+325+x=2－624-x［例1］解方程：21-x =x 3. ［例2］解方程：x 300－x 2480=4根使得最简公分母的值为零，那么它就相当于分式方程两边都乘以零，不符合等式变形时的两个基本性质，得到的整式方程的解必将使分式方程中有的分式分母为零，也就不适合原方程了.不适合原方程的整式方程的根，叫原方程的增根.练习：1.解方程：（1）13-x =x 4; （2）1210-x +x 215-=2（四）拓展：理解分式方程的意义，掌握解分式方程的一般方法和步骤；了解解分式方程时可能产生增根的原因，掌握解分式方程的验根方法；会利用分式方程解决简单的社会生产建设和日常生活中的应用问题.一、选择题1.下列各式中，是分式方程的是( )A.x +y =5B.3252z y x -=+ C.x 1 D.5+x y =0 2.关于x 的方程4332=-+x a ax 的根为x =1，则a 应取值( ) A.1 B.3 C.－1 D.－33.方程1+1)1(2-+x x =0有增根，则增根是( ) A.1 B.－1 C.±1 D.04.沿河两地相距s 千米，船在静水中的速度为a 千米/时，水流速度为b 千米/时，此船一次往返所需时间为( ) A.b a s +2小时 B.b a s -2小时 C.(b s a s +)小时 D.(ba sb a s -++)小时 5.赵强同学借了一本书，共280页，要在两周借期内读完.当他读了一半时，发现平均每天要多读21页才能在借期内读完.他读前一半时，平均每天读多少页？如果设读前一半时，平均每天读x 页，则下面所列方程中，正确的是( ) A.21140140-+x x =14 B.21280280++x x =14 C.21140140++x x =14 D.211010++x x =1 二、填空题6.方程457+=x x 的根是________. 7.当x =________时，分式xx ++51的值等于21. 8.如果关于x 的方程x x x a --=+-42114有增根，则a 的值为________. 9.一汽车从甲地开往乙地，每小时行驶v 1千米，t 小时可到达，如果每小时多行驶v 2千米，那么可提前到达________小时.10.我国政府为解决老百姓看病问题，决定下调药品价格.某种药品在2001年涨价30%后，2003年降价70%至a 元，则这种药品在2001年涨价前的价格为________元.三、解答题11.解下列方程 (1)x x x --=+-34231 (2)2123442+-=-++-x x x x x12.下表是某校初三年级的捐款情况表，其中初三(四)班参加捐款同学的平均捐款数比全年级四个班参加捐款同学的平均捐款数多2元，请求出初三(四)班的捐款人数.四、创新训练1，先阅读某同学解下面分式方程的具体过程.解方程23321441-+-=-+-x x x x 14322341---=---x x x x . ①341028610222+-+-=+-+-x x x x x x . ②34186122+-=+-x x x x . ③∴x 2-6x+8= x 2-4vx +3 , ④∴x=25. ⑤经检验，x=25是原方程的解.请你回答：（1）得到②的具体做法是；②得到③的具体做法是；得到④的理由是 .（2）上述解法对吗〉若不对，请指出错误的原因，并改正.五、活动与探究若关于x 的方程31--x x =932-x m 有增根，则m 的值是____________.。

北师大版八年级数学下册3.4.1分式方程(一)教案

八年级数学下册《3.4.1分式方程（一）》教案北师大版●课题§3.4.1 分式方程（一）●教学目标（一）教学知识点1.通过对实际问题的分析，感受分式方程刻画现实世界的有效模型的意义.2.通过观察，归纳分式方程的概念.（二）能力训练要求1.体会到分式方程作为实际问题的模型，能够根据实际问题建立分式方程的数学模型，并能归纳出分式方程的描述性定义.（三）情感与价值观要求在建立分式方程的数学模型的过程中培养能力和克服困难的勇气，并从中获得成就感，提高解决问题的能力.●教学重点能根据实际问题的数量关系列出分式方程，归纳出分式方程的定义.●教学难点能根据实际问题中的等量关系列出分式方程.●教学方法尝试——归纳相结合教科书中提供了多个实际问题，教师鼓励学生尝试，利用具体情境中的数量关系列出分式方程，归纳分式方程的定义.●教具准备投影片三张第一张：小麦试验田问题，（记作§3.4.1 A）第二张：电脑网络培训问题，（记作§3.4.1 B）第三张：几何问题，（记作§3.4.1 C）●教学过程Ⅰ.创设情境，引入新课［师］在这一章的第一节《分式》中，我们曾研究过一个“固沙造林，绿化家园”的问题.打开课本.当时，我们设原计划每月固沙造林x公顷，那么原计划完成一期工程需要个月，实际完成一期工程用了个月.根据题意，可得方程－=4.（1）我们说，分母中含有字母，我们现在知道它们是不同于整式的代数式——分式.可是，我们也是第一次遇到这样的方程，它和我们学过的一元一次方程一样能刻画现实世界，是一种反映现实世界的数学模型.接下来，我们再来看几个这样的例子.Ⅱ.讲授新课列出刻画现实世界的数学模型——方程.［师］（出示投影片§3.4.1 A）［小麦实验田问题］有两块面积相同的小麦试验田，第一块使用原品种，第二块使用新品种，分别收获小麦9000 kg 和15000 kg.已知第一块试验田每公顷的产量比第二块少3000 kg，分别求这两块试验田每公顷的产量.你能找出这一问题中所有的等量关系吗？如果设第一块试验田每公顷的产量为x kg，那么，第二块试验田每公顷的产量是____________ kg.根据题意，可得方程____________.［师］在这个问题中涉及到了哪几个基本量？它们的关系如何？［生］涉及到三个基本量：总产量，每公顷试验田的产量，试验田的面积.其中总产量=每公顷试验田的产量×试验田的面积.［师］你能找出这一问题的所有等量关系吗？［生］第一块试验田的面积=第二块试验田的面积. （a）［生］还有一个等量关系是：第一块试验田每公顷的产量+3000 kg=第二块试验田每公顷的产量（b）［师］我们接着回答下面的问题：如果设第一块试验田每公顷的产量为x kg，那么第二块试验田每公倾的产量是多少kg呢？［生］根据等量关系（b），可知第二块试验田每公顷的产量是（x+3000）kg.［生］根据题意，利用等量关系（a），可得方程：=. （2）［师］,的实际意义是什么呢？［生］它们分别表示第一块试验田和第二块试验田的面积.［师］有没有别的方法列出方程呢？同学们可以以小组为单位讨论，交流.我们看哪一个组思维最敏捷.［生］根据等量关系（a），我们可以设两块试验田的面积都为x公顷，那么表示第一块试验田每公顷的产量，表示第二块试验田每公顷的产量，根据等量关系（b）可列出方程：+3000=（3）［师］接下来，我们再来看一个问题（出示投影片§3.4.1 B）［电脑网络培训问题］王军同学准备在课外活动时间组织部分同学参加电脑网络培训，按原定的人数估计共需费用300元.后因人数增加到原定人数的2倍，费用享受了优惠，一共只需要480元，参加活动的每个同学平均分摊的费用比原计划少4元.原定的人数是多少？这一问题中有哪些等量关系？如果设原定是x人，那么每人平均分摊____________元；人数增加到原定人数的2倍后，每人平均分摊____________元.根据题意，可得方程.［师］我们先来审题，找到题中的等量关系.［生］由题意，可知：实际参加活动的人数=原定人数×2倍. （c）［生］还有一个等量关系为：原计划每个同学平均分摊的费用=实际每个同学平均分摊的费用+4元. （d）［师］同学们已经过审题，找到了题中的等量关系，接下来该干什么呢？［生］设出未知数，列出方程，将具体实际的问题转化为数学模型.［师］你很棒！下面同学们就分组来完成刚才这位同学所说的，你有几种列方程的方法呢？讨论后，各小组可选代表回答上面的问题.［生］我代表第一小组回答.我们设未知数的方法采用投影片（§3.4.1 B）中方法：设原定是x人，那么每人平均分摊元；人数增加到原来人数的2倍后，每人平均分摊元，根据题意，利用等量关系（d），得方程：－4=. （4）［生］我们组没有按照投影片上的设法，而是设原定每人平摊y元，那么原定人数为人；实际参加活动的每个同学平摊（y－4）元，那么实际参加活动的人数为人，根据题意，利用等量关系（c），得方程：2×=. （5）［师］上面两个组的回答都很精彩，祝贺他们.（鼓掌）从同学们的表现不难看出，用方程这样的数学模型刻画现实世界的情境，同学们掌握得很好.下面我们再来用方程来解决一个几何问题，刻画一个几何模型.（出示投影片§3.4.1 C）图3－2如右图，在等腰三角形ABC中，底边BC=2a,高AD=h，求内接正方形PQR S的边长.［师生共析］由于SPQR是正方形，SR∥BC，AE⊥SR，所以AE是△ASR的高且ED=SR=正方形SPQR的边长，△ASR的高AE可表示为AD与正方形边长的差.由SR∥BC，可得△ASR∽△ABC，于是有：=（相似三角形对应高的比等于相似比）.所以可设正方形的边长为x，由= 得：=.（其中a、h为常数）（6）［师］你还能找出图中的相似三角形吗？你还能用它的性质列出方程吗？同学们可以在小组内讨论、交流.［生］从上图中可知SPQ R是正方形，所以R Q⊥BC，又因为AD⊥BC，所以AD∥R Q，△ADC∽△R QC.可得=.即=.所以，设内接正方形的边长为2x，根据题意，得=.（a、h为常数）.（7）［师］你们表现得真棒！观察方程：－=4 （1）=（2）+3000=（3）－4=（4）2×=（5）=（其中a、h是常数）（7）上面所得到的方程有什么共同特点？［生］不难发现方程中的未知数都含在分母中，不是一元一次方程.［师］是的.这就是我们今天要认识的一种新的方程——分式方程即分母中含有未知数的方程.方程（6）是什么方程？［生］方程（6）中，分母不含未知数，它是一元一次方程.Ⅲ.随堂练习1.已知鱼塘中有x千克鱼，每千克鱼的捕捞费用是元.现从鱼塘中捕捞101千克鱼花了捕捞费用200元，求x满足的方程.分析：题中的等量关系是：101千克鱼×每千克鱼的捕捞费用=200元.解：x满足的方程是：101×=200.2.补充练习某商场有管理人员40人，销售人员80人，为了提高服务水平和销售量，商场决定从管理人员中抽调一部分人充实销售部分，使管理人员与销售人员的人数比为1∶4，那么应抽调的管理人员数x满足怎样的方程？解：抽调管理人员x人后，管理人员有（40－x）人，销售人员有（80+x）人，则=.Ⅳ.课时小结这节课我们从现实情境问题中建立方程这一重要的数学模型，认识了一种新的方程——分式方程.Ⅴ.课后作业1.习题3.62.预习下一部分——分式方程的解法.Ⅵ.活动与探究如右图，△ABC是一块锐角三角形余料，边BC=120 mm,高AD=80 mm，要把它加工成矩形零件PQMN，使矩形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，并求PN=2PQ时，PN 的长是多少？［过程］由于PQMN是矩形，所以AE⊥PN，这样△APN的高可写成AD—ED=AD－PQ，又PN∥BC，因此△APN∽△ABC，于是可找到PN与已知条件的关系.图3－3［结果］设PQ=x mm，则PN=2x mm.PN∥BC→△APN∽△ABC→=，即=160x=9600－120x,x==34所以PN=2x=68（mm）。

新北师大版八年级下册数学《分式方程(3)》导学案1

第四节分式方程（3）
【学习目标】
1、能将实际问题用分式方程表示，解方程并解决实际问题.
2、发展分析问题和解决实际问题的能力，体会数学的应用价值。

【学习方法】自主探究与小组合作交流相结合．
【学习重难点】重点：根据实际问题列方程并解方程．
难点：解决实际问题
【学习过程】
模块一复习回顾
1、什么叫分式方程？
2、什么叫增根？
3、产生增根的原因是什么？
4、列方程解应用题的一般步骤分哪几步？
模块二合作学习
某市从今年1月1日起调整居民用水价格,每立方米水费上涨1/3.小丽家去年12月的水费是15元,而今年7月份的水费是30元.已知小丽家今年7月份的用水量比去年12月份的用水量多5立方米,求该市今年居民用水的价格.
主要等量关系：
模块三随堂练习
小明和同学一起去书店买书,他们先用15元买了一种科普书,又用15元买了一种文学书.科普书的价格比文学书高出一半,因此他们所买的科普书比所买的文学书少1本。

这种科普书和这种文学书的价格各是多少？
等量关系：
模块四小结评价
一、本课知识点：
1、利用分式方程模型解决实际问题:
问题情境---提出问题---建立分式方程模型---解决问题
2、列分式方程解应用题的一般步骤
1).审:分析题意,找出研究对象，建立等量关系.
2).设:选择恰当的未知数,注意单位.
3).列:根据等量关系正确列出方程.
4).解:认真仔细.
5).验:有三种方法检验.
6).答:不要忘记写答.
二、本课典型例题：
三：我的困惑。

数学初二下北师大版3.4分式方程(二)导学案

数学初二下北师大版3.4分式方程（二）导学案“1：3”课堂评价式教学模式导学案年级：八年级学科：数学主设计人：王宜军备课组成员：王宜军冯贵峰张居宾甘宝华§3.4分式方程〔二〕【一】导学目标：〔一〕教学知识点1.用分式方程的数学模型反映现实情境中的实际问题.2.用分式方程来解决现实情境中的问题.〔二〕能力训练要求1.经历运用分式方程解决实际问题的过程，进展抽象概括、分析问题和解决问题的能力.2.认识运用方程解决实际问题的关键是审清题意，查找等量关系，建立数学模型. 〔三〕情感与价值观要求1.经历建立分式方程模型解决实际问题的过程，体会数学模型的应用价值，从而提高学习数学的兴趣.2.培养学生的创新精神，从中获得成功的体验.【二】导学重点：1.审明题意，查找等量关系，将实际问题转化成分式方程的数学模型.2.依照实际意义检验解的合理性.【三】导学难点：寻求实际问题中的等量关系，寻求不同的解决问题的方法.【四】导学方法：合作探究【五】导学设计：〔一〕温故：1.解方程：〔1〕132x x =-〔2〕542332x x x +=--〔3〕x x x x 215.11122-=++-〔4〕11112-=-x x 2.假设方程323-=--x k x x 会产生增根，试求k 的值〔二〕链接：〔问题能够是：每年各有多少间房屋出租？问题也能够是：这两年每年房屋的租金各是多少？〕1、解决第一个问题：2、解决第二个问题：〔三〕知新：〔四〕拓展：【一】请你填一填〔1〕满足方程：2211-=-x x 的x 的值是________. 〔2〕假设1＜x ＜2,那么化简xx x x x x |||1|12|2|+-----=________. 〔3〕当a =________时，方程a x 11-=2的解为1.〔4〕当m ________时，关于x 的方程323-+=-x m x x 有增根. 〔5〕31=b a ,那么222232b ab a b ab a +---=_____________. 〔6〕甲、乙两人分别从A 、B 两地同时动身，相向而行，在C 地相遇后，甲又通过t 1时到达B 地，乙又通过t 2时到达A 地，设AC =S 1,BC =S 2,那么21t t =_____________. 【二】认真选一选〔1〕农机厂职工到距工厂15千米的某地检修农机，一部分人骑自行车先走半小时后，其余人乘汽车动身，结果他们同时到达，汽车速度为自行车速度的3倍，假设设自行车的速度为x 千米/时，那么所列方程为〔〕A.2115315+=x xB.x x 1521315=-C.2115315-=x xD.2115315⨯=x x 〔2〕小明一家四口人打电话预约两个姑姑及其一家人一起到某景点旅游，此景点按如此的规定收费，不超过5个人按每人50元收门票，假设超过5个人，超过的每人门票将打六折，结果比单独去每人少花10元门票，那么两个姑姑家一共去了几口人〔〕A.6人B.5人C.4人D.3人〔3〕一台电子收报机，它的译电效率相当于人工译电效率的75倍，译电3000个字比人工少用2小时28分，这台收报机与人工每分各译电__________字〔〕A.78000，1200B.12000，78000C.97500，13000D.90000，1200活动与探究1、(任选一题)(1)有一项工程，假设甲队单独做，恰好在规定日期完成，假设乙队单独做要超过规定日期3天完成；现在先由甲、乙两队合做2天后，剩下的工程再由乙队单独做，也刚好在规定日期完成，问规定日期多少天？(2)一组学生乘汽车去旅游，预计共需车费120元.后来人数增加了41，车费用仍不变，如此每人可少摊3元，原来这组学生有多少人？2、如图，小明家、王老师家、学校在同一条路上.小明家到王老师家路程为3km ，王老师家到学校的路程为0.5km,由于小明父母战斗在抗“非典”第一线，为了使他能按时到校，王老师每天骑自行车接小明上学.王老师骑自行车的速度是步行速度的3倍，每天比平时步行上班多用了20分钟，问王老师的步行速度及骑自行车的速度各是多少？〔2003年吉林省中考题〕创新训练1、当k 取合值时，分式方程x x x k x x 3)1(16--+=-有解？2、假设方程122-=-+x a x 的解是正数，求a 的取值范围. 关于这道题，有位同学作出如下解答：解：去分母得，2x+a=-x+2.化简，得3x=2-a.故x=32a -. 欲使方程的根为正数，必须032〉-a ，得a<2. 因此，当a<2时，方程122-=-+x a x 的解是正数. 上述解法是否有误？假设有错误请说明错误的缘故，并写出正确解答；。