四川省达州市宣汉县双河中学2020年高三数学理测试题

四川省达州市宣汉县双河中学2020年高三数学理测试
题
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 若函数在上既是奇函数，又是减函数，则
的图像是（）
参考答案：
A
2. 由曲线y=，直线y=x﹣2及y轴所围成的图形的面积为( )
A．B．4 C．D．6
参考答案：
C
考点：定积分在求面积中的应用．
专题：计算题．
分析：利用定积分知识求解该区域面积是解决本题的关键，要确定出曲线y=，直线
y=x﹣2的交点，确定出积分区间和被积函数，利用导数和积分的关系完成本题的求解．
解答：解：联立方程得到两曲线的交点（4，2），
因此曲线y=，直线y=x﹣2及y轴所围成的图形的面积为：
S=．故选C．
点评：本题考查曲边图形面积的计算问题，考查学生分析问题解决问题的能力和意识，考查学生的转化与化归能力和运算能力，考查学生对定积分与导数的联系的认识，求定积分关键要找准被积函数的原函数，属于定积分的简单应用问题．
3. 函数的图象大致为
参考答案：
4. 向量, 若, 则实数的值为
A. B. C.
D.
参考答案：
A
由得即，解得，选A.
5. 记不等式组所表示的平面区域为，若对任意，不等式
恒成立，则的取值范围是（）
A. B. C. D.
参考答案：
D
根据平面区域，易知当时，由题设得，所以，故选D.
6. 已知，，则（）
（A）（B）（C）（D）
参考答案：
B
略
7. 如图，长方形ABCD的长，宽，线段MN的长度为1，端点M、N 在长方形ABCD的四边上滑动，当M、N沿长方形的四边滑动一周时，线段MN的中点P所形成的轨迹为G，记G的周长与G围成的面积数值的差为，则函数的图象大致
为（）
参考答案：
C
8. 已知的面积为，则的周长等于
参考答案：
9. 将函数的图象向右平移个单位，再将所得图象上的各点纵坐标保持不变，
横坐标变为原来的倍后的函数图象关于直线对称，则实数的最大值为A．B．C．
D．
参考答案：
D
10. 已知直线过定点，线段是圆：
的直径，则（）
A．5 B．6 C. 7 D．8
参考答案：
C
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知向量，则在方向上的投影等于
参考答案：
12. 已知向量a=(cos,sin),b=(cos,sin),且a b，那么a+b与a-b的夹角的大小是 .
参考答案：
答案：
解析：a+b＝（cos＋cos，sin＋sin），a-b＝（cos－cos，sin－sin），设a+b与a-b的夹角为θ，则cosθ＝0，故θ＝
13. 若函数满足，且时，，函数
，则函数在区间内的零点有个
参考答案：
9
9个，因函数满足，且时，
，函数，则函数在区间
内的零点的个数为9个
14. 若向量，满足，，且，的夹角为，则．
参考答案：
15. 函数的定义域是________．
参考答案：
{x|－3<x<2}
16. （2013?黄埔区一模）若数列{a n}的通项公式为a n=2n﹣1（n∈N*），则
=_________．
参考答案：
略
17. 已知i为虚数单位，若复数是纯虚数，则实数a=______.
参考答案：
2
【分析】
利用复数的运算法则进行化简，然后再利用纯虚数的定义即可得出．
【详解】∵复数（1+ai）（2+i）＝2﹣a+（1+2a）i是纯虚数，
∴，
解得a＝2．
故答案为：2．
【点睛】熟练掌握复数的运算法则、纯虚数的定义是解题的关键，本题属于基础题．
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. （选修4—4：坐标系与参数方程）
以平面直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系(两种坐标系中取相同的单位长度)，已知点的直角坐标为，点的极坐标为
，直线过点且倾斜角为，圆以点为圆心，为半径，试求直线的参数方程和圆的极坐标方程.
参考答案：
19. （本小题满分12分）
如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，已知，为线段上的动点．
（Ⅰ）若为的中点，求证：平面；
（Ⅱ）若二面角与二面角的大小相等，求长．
参考答案：
证明：(Ⅰ)连结交于，连，如图1
为中点，为中点，，
平面，平面，
平面．
(Ⅱ)如图2，过作于，过作
于，连结，同理过作于，过作
于，连结，
平面，平面，
，，
平面，
平面，平面，，
平面，平面，
，平面，为二面角的平面角，同理，为二面角的平面角，
，，又，
，而，
，，，又，
．
解法二：
(Ⅱ)平面，平面，
，，
平面，
平面，如图3建立坐标系，
则，，，，
由得，
设平面，且，由
设平面，且，
由
设平面，且，
由
设二面角的大小为，二面角的大小为，，，
．
20. （本题满分14分）设函数在上的导函数为，在
上的导函数为，若在上，恒成立，则称函数在
上为“凸函数”.已知.
（1）若是区间上的“凸函数”，求的值.
（2）若当实数满足时，函数在上总为“凸函数”，求的最大值.
参考答案：
21. 已知两点A（﹣2，0）、B（2，0），动点P满足．
（1）求动点P的轨迹E的方程；
（2）H是曲线E与y轴正半轴的交点，曲线E上是否存在两点M、N，使得△HMN是以H为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请说明有几个；若不存在，请说明理由．
参考答案：
【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；轨迹方程．
【分析】（1）设点P的坐标为（x，y）（y≠0），求PA、PB的斜率，利用
，化简可得动点P的轨迹E的方程；
（2）设能构成等腰直角三角形HMN，其中H为（0，1），由题意可知，直角边HM，HN不可能垂直或平行于x轴，故可设HM所在直线的方程为y=kx+1，（不妨设k＞0）则HN所
在直线的方程为，确定交点M、N的坐标，求出HN、HM的长，利用|HM|=|HN|，即可求得结论．
【解答】解：（1）设点P的坐标为（x，y）（y≠0），则，，
∵，∴，化简得，
∴动点P的轨迹E的方程为（y≠0）．注：如果未说明y≠0，扣．
（2）设能构成等腰直角三角形HMN，其中H为（0，1），
由题意可知，直角边HM，HN不可能垂直或平行于x轴，故可设HM所在直线的方程为
y=kx+1，（不妨设k＞0）
则HN所在直线的方程为，由求得交点M，（另一交点H（0，1））
∴，
用代替上式中的k，得，
由|HM|=|HN|，得k（4+k2）=1+4k2，
∴k3﹣4k2+4k﹣1=0?（k﹣1）（k2﹣3k+1）=0，
解得：k=1或，
当HM斜率k=1时，HN斜率﹣1；当HM斜率时，HN斜率；当HM斜率
时，HN斜率，
综上述，符合条件的三角形有3个．
22. 已知函数f（x）=x2﹣1+aln（1﹣x），a∈R．
（Ⅰ）若函数f（x）为定义域上的单调函数，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）若函数f（x）存在两个极值点x1，x2，且x1＜x2．证明：＞．
参考答案：
【考点】6D：利用导数研究函数的极值；6B：利用导数研究函数的单调性．
【分析】（Ⅰ）求导，由二次函数的性质，当a≥，函数f′（x）＜0恒成立，则f
（x）在（﹣∞，1）上单调减函数，a＜，函数的两个极值点，根据函数的单调性即可求得实数a的取值范围；
（Ⅱ）由题意可知：﹣2x2+2x﹣a=0，在x＜1有两个不等式的实根，利用韦达定理即可求得x1，x2，分别求得﹣，构造辅助函数，求导，根据函数的单调性求得
﹣＞0，即可求得＞．
【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（﹣∞，1），求导：f′（x）=2x﹣
=，x＜1，
令g（x）=﹣2x2+2x﹣a，则△=4﹣4（﹣2）（﹣a）=4﹣8a，
当4﹣8a≤0时，即a≥，则﹣2x2+2x﹣a≤0恒成立，
则f（x）在（﹣∞，1）上单调减函数，
当4﹣8a＞0时，即a＜，则﹣2x2+2x﹣a=0的两个根为x1=，x2=，当x∈（﹣∞，x1）时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减，
当x∈（x1，），f′（x）＞0，函数f（x）单调递增，不符合题意，
综上可知：函数f（x）为定义域上的单调函数，则实数a的取值范围（，+∞）；（Ⅱ）证明：由函数有两个极值点，则f′（x）=0，在x＜1上有两个不等的实根，
即﹣2x2+2x﹣a=0，在x＜1有两个不等式的实根，x1，x2，
由0＜a＜，则，且x1∈（0，），x2∈（，1），
则===﹣（1+x1）+2x1ln（1﹣x1），
同理可得： =﹣（1+x2）+2x2ln（1﹣x2），
则﹣=（x2﹣x1）+2x1ln（1﹣x1）﹣2x2ln（1﹣x2），
=2x2﹣1+2（1﹣x2）lnx2﹣2x2ln（1﹣x2），
令g（x）=2x﹣1+2（1﹣x）lnx﹣2xln（1﹣x），x∈（，1），
求导，g′（x）=﹣2ln+ +，x∈（，1），
由x∈（，1），则+＞0，则g′（x）＞0，
则g（x）在x∈（，1），上单调递增，
则g（x）＞g（）=0，
则﹣＞0，
∴＞成立．
【点评】本题考查导数的综合应用，考查导数与函数的单调及极值的关系，二次函数的性质，考查构造法，考查计算能力，属于难题．。