人教A版高中数学《平面向量的基本定理及坐标表示》导学案

合集下载

人教A版高中数学必修四 2.3《平面向量的基本定理及坐标表示》导学案2

湖北省洪湖市贺龙高级中学高中数学人教版必修4： 2.3《平面向量的基本定理及坐标表示》导学案【学习目标】1、知道平面向量的基本定理及其坐标表示；2﹑能准确的用坐标表示平面向量的加、减和数乘运算并进行有关的运算.3、知道向量共线的坐标表示；【重点难点】 ▲重点：平面向量基本定理及向量的坐标表示▲难点：平面向量基本定理【知识链接】1、向量的数乘；实数λ与向量的积是一个向量，记为λ，长度和方向规定如下：（1）λ=（2）当0>λ时，a λ的方向与a 相同；当0<λ时，a λ与向量a 的方向相反，0=λ时0=aλ. 2、共线向量定理；向量（≠）与共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使 λ= .【学习过程】阅读课本第93页到94页的内容，尝试回答以下问题：知识点1:平面向量基本定理问题1、请叙述平面向量基本定理的内容.问题2、把不共线的向量21,e e 叫做表示这一平面内所有向量的__________，同一平面可以有不同的基底。

问题3、不共线的向量有不同方向，它们的位置关系可用夹角来表示,请给出向量的夹角的定义。

问题4、向量的夹角θ的范围是__________;特别的，当与同向时，夹角为______;与反向时，夹角为______;当与的夹角为_____时，我们说与垂直，记作⊥.阅读课本第94页到第96页的内容，尝试回答以下问题：知识点2: 平面向量的正交分解及坐标表示问题1﹑在平面直角坐标系中，分别取与x 轴，y 轴方向相同的两个单位向量i 作为基底，对于平面上任一向量，有且只有一对实数y x ,使得y x +=，把有序实数对),(y x 叫做向量的坐标，记作),(y x = =（，），=（，），=（，）问题2、若(),OA x y = ，则点A 的坐标是_________，即以原点为起点的向量坐标就是该向量终点的坐标,反过来终点A 的坐标就是向量OA 的坐标。

阅读课本第96页到98页的内容，尝试回答以下问题：知识点3:平面向量坐标运算问题1﹑已知),(11y x =，),(22y x =，则a b += _______________________，a b -= _____________________，a λ= ______________________.问题2﹑已知),(),,(2211y x B y x A ，则=______________________. 问题3﹑已知()()1,2,3,4a b ==- ，请尝试求43,,+-+的坐标阅读课本第98页的内容，尝试回答以下问题：知识点4:共线向量的坐标表示问题1、如果),(11y x a =，),(22y x b =则当a 与b 共线时，用坐标如何表示它们共线的条件？问题2﹑当x 为何值时，)3,2(=与)6,(-=x 共线.问题3、已知()1,1A--,()1,3B ,()2,5C ,试判断A,B,C 三点之间的位置关系。

平面向量的基本定理及坐标表示+导学案.doc

课题平面向量的基本定理及坐标表示一、学习目标1.通过探究活动，能推导并理解平面向量基本定理，理解正交分解下向量的坐标表示，了解向量的夹角与垂直的概念；2.综合运用基底知识形成用基地表示未知向量的基本策略，进而解决相关问题的思想。

3.让学生积极参与教学活动中，去寻求相关知识的来龙去脉，认识其价值和作用，培养学生的探究能力和科学精神。

二、预习思考1.平面向量基本定理条件：e]f e2是平面内的两个 .结论：对于这一平面内的任意向量刁，有且只有一对实数入1、入2,使刁=・2.平面向量的正交分解把一个向量分解为两个的向量，叫做把向量正交分解.3.平面向量的坐标表示在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个i ,j作为基底, 对于平面内的任意一个向量刁，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x、y,使得2 = xi+yj .这样，平面内的任一向量U都可由x> y唯--确定，因此把叫做向量S的坐标，记作,其中x叫做刁在x轴上的坐标,y叫做刁在y轴上的坐标.三、合作.探究探究一、平面向量的基本定理1.给定平面内任意两个不共线的非零向量邵弓，清作出向量片=3百+ 2弓、c = e,-2e2.2.可以用平面内任意两个不共线的非零向量环弓来表示向量。

，C,那么平面内的任一向量是否都可以用形如L云+ M云的向量表示呢？（小组讨论）平面向量的基本定理：如果4、遏是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量。

，有旦只有一对实数入】、入2,使。

二入皿+入2勺・向量的夹角：平面向量的基本定理的实质:探究二、平面向量的正交分解及坐标表示1.在物理学中，如何把图中木块所受的重力分解为沿斜面方向的力4和垂直于斜面方向的力灼?正交分解：2.如图,在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量：打作为基底，将平面内的一个向量刁做正交分解.3.若正交分解向量得到5 = xi+yj请你在图中标识出x,y的位置。

2.3.1平面向量基本定理导学案-2021-2022学年高一数学人教A版必修4

2.3平面向量基本定理及坐标表示2. 3.1平面向量基本定理学习目标、细解考纲1.了解平面向量基本定理及其意义，会用基底表示某向量。

2.掌握两个向量夹角的定义及二向量垂直的概念。

3.会初步求解简单的二向量夹角问题，会根据图形判断两个向量是否垂直。

4.通过培养学生作图、判断、求解的基本能力提升数学实践能力的核心素养。

一、自主学习—————（素养催化剂）（阅读教材第93—94页内容，完成以下问题：）（1）作为基底的这两个向量是什么位置关系？（2）表示平面上任一向量的基底有多少组？（3）当基底确定后向量的表示是否唯一？二、探究应用,“三会培养”-------(素养生长剂)例1.已知1e ,2e 是表示平面内所有向量的一组基底,则下列四组向量中,不能作为一组基底的是( )(A)12e e +和12e e - (B)2132e e -和2146e e -(C)122e e +和212e e +(D)2e 和12e e +变式1.设1e ,2e 是平面内一组基向量,且122a e e =+,12b e e =-+,则向量12e e +可以表示为另一组基向量a ,b 的线性组合,即12e e +=___a +b .例2.已知点D 是△ABC 所在平面内的一点,且BD =-2DC ,设AD =λAB +μAC ,则λ-μ等于( )(A)6 (B)-6 (C)-32(D)-3变式 2.如图,已知平面内有三个向量OA ,OB ,OC ,其中OA 与OB 的夹角为120°,OA 与OC 的夹角为30°,且|OA |= |OB |=1,|OC |=23,若OC =λOA +μOB (,λμ,∈R),则λμ+的值为.例3．在平行四边形ABCD 中，AC 为一条对角线，若AB ＝(2,4)，AC ＝(1,3)，则BD ＝( ) ()(2,4)A --()(3,5)B --()(3,5)C()(2,4)D 变式3.在△ABC 中，P ，Q 分别是AB ，BC 的三等分点，且AP ＝13AB ，BQ ＝13BC ，若AB ＝a ，AC ＝b ，则PQ ＝( )A.1133a b +B ．1133a b -+ C.1133a b -D ．1133a b -- 三、拓展延伸、智慧发展--------（素养强壮剂）例4．(教材改编）已知A (－3,0)，B (0，3)，O 为坐标原点，C 在第二象限，且∠AOC ＝30°，oC oA oB λ=+，则实数λ的值为___备选例题例 1.如图，在梯形ABCD 中，AD BC ，且13AD BC =，E ，F 分别为线段AD 与BC 的中点．设BA a =，BC b =，试用,a b 为基底表示向量,,.EF DF CD .例2.(教材改编）若点M是ABC所在平面内一点，且满足3144AM AB AC=+.(1)求ABM与ABC的面积之比；(2)若N为AB的中点，AM与CN交于点O，设BO xBM yBN=+，求x，y 的值．四、本课总结、感悟思考--------（素养升华剂）。

数学必修4人教A教案导学案：平面向量基本定理

2. 3.1 平面向量基本定理学习目标1.通过探究活动,能推导并理解平面向量基本定理.2.掌握平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示,理解这是应用向量解决实际问题的重要思想方法.能够在具体问题中适当地选取基底,使其他向量都能够用基底来表达.3.了解向量的夹角与垂直的概念。

重点难点教学重点:平面向量基本定理、向量的夹角与垂直的定义。

教学难点:平面向量基本定理的运用.教学过程引子：在物理学中我们知道,力是一个向量,力的合成就是向量的加法运算.而且力是可以分解的,任何一个大小不为零的力,都可以分解成两个不同方向的分力之和.将这种力的分解拓展到向量中来,会产生什么样的结论呢？问题：如图，设1e 、2e 是同一平面内两个不共线的向量,是这一平面内的任一向量,我们通过作图研究与1e 、2e 之间的关系.请完成：① 给定平面内任意两个不共线的非零向量1e 、2e ，请你作出向量=31e +22e 、=1e -22e . 1e2e② 由①可知可以用平面内任意两个不共线的非零向量1e 、2e 来表示向量,那么平面内的任一向量是否都可以用形如λ11e +λ22e 的向量表示呢?【由上述过程可以发现,平面内任一向量都可以由这个平面内两个不共线的向量1e 、2e 表示出来.当1e 、2e 确定后,任意一个向量都可以由这两个向量量化,这为我们研究问题带来极大的方便.】由此可得:【平面向量基本定理】: 如果1e 、2e 是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任意向量,有且只有一对实数λ1、λ2,使=λ11e +λ22e .【定理说明】:(1)我们把不共线向量1e 、2e 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底;(2)基底不唯一,关键是不共线;(3)由定理可将任一向量在给出基底1e 、2e 的条件下进行分解;(4)基底给定时,分解形式唯一.提出问题① 平面中的任意两个向量之间存在夹角吗？若存在,向量的夹角与直线的夹角一样吗？已知两个非零向量a 和b (如图),作OA =a ,OB =b ,则∠AOB=θ(0°≤θ≤180°)叫做向量a 与b 的夹角.显然,当θ=0°时, a 与b 同向;当θ=180°时, a 与b 反向.因此,两非零向量的夹角在区间[0°,180°]内.如果与的夹角是90°,我们说与垂直,记作⊥.②对平面中的任意一个向量能否用两个互相垂直的向量来表示？例1、已知向量1e 、2e (如图),求作向量-2.51e +32e练习：1.设1e 、2e 是同一平面内的两个向量，则有( ) A. 1e 、2e 一定平行 B . 1e 、2e 的模相等 C.同一平面内的任一向量a 都有a ＝λ1e +μ2e (λ、μ∈R )D.若1e 、2e 不共线，则同一平面内的任一向量都有=λ1e +u 2e (λ、u ∈R )2.已知向量＝1e -22e ，＝21e +2e ，其中1e 、2e 不共线，则+与＝61e -22e 的关系（）A.不共线 B .共线 C.相等 D.无法确定３.已知λ1＞0，λ2＞0，1e 、2e 是一组基底，且＝λ11e +λ22e ，则与1e ，与2e ．(填“共线”或“不共线”).4.下面三种说法:①一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面的基底;②一个平面内有无数多对不共线向量可作为该平面所有向量的基底;③零向量不可以作为基底中的向量,其中正确的说法是( )A.①②B.②③C.①③D.①②③5.设1e 与2e 是两个不共线向量, =31e +42e ,=-21e +52e ,若实数λ、μ满足λ+μ=51e -2e ,求λ、μ的值.6.【能力提升题】已知G 为△ABC 的重心,设AB =a ,AC =b ,试用a 、b 表示向量AG .课堂小结1.回顾本节学习的数学知识:平面向量的基本定理,向量的夹角与垂直的定义,2.总结本节学习的数学方法,如待定系数法,定义法,归纳与类比,数形结合,几何作图.作业布置已知向量1e 、2e (如图),求作向量（1）1e +22e （2）-1e +32e。

人教A版高中数学必修4第二章平面向量2.3.1平面向量基本定理导学案

2.3.1.平面向量基本定理学习目标.1.理解平面向量基本定理的内容，了解向量的一组基底的含义.2.在平面内，当一组基底选定后，会用这组基底来表示其他向量.3.会应用平面向量基本定理解决有关平面向量的综合问题.知识点一.平面向量基本定理思考1.如果e 1，e 2是两个不共线的确定向量，那么与e 1，e 2在同一平面内的任一向量a 能否用e 1，e 2表示？依据是什么？答案. 能.依据是数乘向量和平行四边形法则.思考2.如果e 1，e 2是共线向量，那么向量a 能否用e 1，e 2表示？为什么？答案. 不一定，当a 与e 1共线时可以表示，否则不能表示.梳理.(1)平面向量基本定理：如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2. (2)基底：不共线的向量e 1，e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底. 知识点二.两向量的夹角与垂直思考 1.平面中的任意两个向量都可以平移至起点，它们存在夹角吗？若存在，向量的夹角与直线的夹角一样吗？答案. 存在夹角，不一样.思考2.△ABC 为正三角形，设AB →＝a ，BC →＝b ，则向量a 与b 的夹角是多少？答案.如图，延长AB 至点D ，使AB ＝BD ，则BD →＝a ，∵△ABC 为等边三角形，∴∠ABC ＝60°，则∠CBD ＝120°，故向量a 与b 的夹角为120°. 梳理.(1)夹角：已知两个非零向量a 和b ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB ＝θ(0°≤θ≤180°)叫做向量a 与b 的夹角(如图所示).当θ＝0°时，a 与b 同向；当θ＝180°时，a 与b 反向. (2)垂直：如果a 与b 的夹角是90°，则称a 与b 垂直，记作a ⊥b .类型一.对基底概念的理解例1.如果e 1，e 2是平面α内两个不共线的向量，那么下列说法中不正确的是(..) ①λe 1＋μe 2(λ，μ∈R )可以表示平面α内的所有向量；②对于平面α内任一向量a ，使a ＝λe 1＋μe 2的实数对(λ，μ)有无穷多个；③若向量λ1e 1＋μ1e 2与λ2e 1＋μ2e 2共线，则有且只有一个实数λ，使得λ1e 1＋μ1e 2＝λ(λ2e 1＋μ2e 2)；④若存在实数λ，μ使得λe 1＋μe 2＝0，则λ＝μ＝0. A.①② B.②③ C.③④ D.② 答案.B解析.由平面向量基本定理可知，①④是正确的；对于②，由平面向量基本定理可知，一旦一个平面的基底确定，那么任意一个向量在此基底下的实数对是唯一的；对于③，当两向量的系数均为零，即λ1＝λ2＝μ1＝μ2＝0时，这样的λ有无数个，故选B.反思与感悟.考查两个向量是否能构成基底，主要看两向量是否非零且不共线.此外，一个平面的基底一旦确定，那么平面上任意一个向量都可以由这个基底唯一线性表示出来. 跟踪训练1.若e 1，e 2是平面内的一组基底，则下列四组向量能作为平面向量的基底的是(..) A.e 1－e 2，e 2－e 1 B.2e 1－e 2，e 1－12e 2C.2e 2－3e 1，6e 1－4e 2D.e 1＋e 2，e 1－e 2答案.D解析.选项A 中，两个向量为相反向量，即e 1－e 2＝－(e 2－e 1)，则e 1－e 2，e 2－e 1为共线向量；选项B 中，2e 1－e 2＝2(e 1－12e 2)，也为共线向量；选项C 中，6e 1－4e 2＝－2(2e 2－3e 1)，为共线向量.根据不共线的向量可以作为基底，只有选项D 符合. 类型二.向量的夹角例2.已知|a |＝|b |＝2，且a 与b 的夹角为60°，设a ＋b 与a 的夹角为α，a －b 与a 的夹角是β，求α＋β.解.如图，作OA →＝a ，OB →＝b ，且∠AOB ＝60°，以OA 、OB 为邻边作▱OACB ，则OC →＝a ＋b ，BA →＝OA →－OB →＝a －b ， BC →＝OA →＝a .因为|a |＝|b |＝2，所以△OAB 为正三角形，所以∠OAB ＝60°＝∠ABC ，即a －b 与a 的夹角β＝60°.因为|a |＝|b |，所以平行四边形OACB 为菱形，所以OC ⊥AB ，所以∠COA ＝90°－60°＝30°，即a ＋b 与a 的夹角α＝30°，所以α＋β＝90°.反思与感悟.(1)求两个向量夹角的关键是利用平移的方法使两个向量起点重合，作两个向量的夹角，按照“一作二证三算”的步骤求出.(2)特别地，a 与b 的夹角为θ，λ1a 与λ2b (λ1、λ2是非零常数)的夹角为θ0，当λ1λ2<0时，θ0＝180°－θ；当λ1λ2>0时，θ0＝θ.跟踪训练2.已知A ，B ，C 为圆O 上的三点，若AO →＝12(AB →＋AC →)，则AB →与AC →的夹角为________.答案.90°解析.由AO →＝12(AB →＋AC →)知，O ，B ，C 三点共线，且O 是线段BC 的中点，故线段BC 是圆O 的直径，从而∠BAC ＝90°，因此AB →与AC →的夹角为90°.类型三.平面向量基本定理的应用例3.如图所示，在▱ABCD 中，E ，F 分别是BC ，DC 边上的中点，若AB →＝a ，AD →＝b ，试以a ，b 为基底表示DE →，BF →.解.∵四边形ABCD 是平行四边形，E ，F 分别是BC ，DC 边上的中点，∴AD →＝BC →＝2BE →，BA →＝CD →＝2CF →，∴BE →＝12AD →＝12b ，CF →＝12BA →＝－12AB →＝－12a .∴DE →＝DA →＋AB →＋BE →＝－AD →＋AB →＋BE → ＝－b ＋a ＋12b ＝a －12b ，BF →＝BC →＋CF →＝AD →＋CF →＝b －12a .引申探究若本例中其他条件不变，设DE →＝a ，BF →＝b ，试以a ，b 为基底表示AB →，AD →. 解.取CF 的中点G ，连接EG . ∵E 、G 分别为BC ，CF 的中点，∴EG →＝12BF →＝12b ，∴DG →＝DE →＋EG →＝a ＋12b .又∵DG →＝34DC →＝34AB →，∴AB →＝43DG →＝43(a ＋12b )＝43a ＋23b .又∵AD →＝BC →＝BF →＋FC →＝BF →＋12DC →＝BF →＋12AB →，∴AD →＝BC →＝b ＋12(43a ＋23b )＝23a ＋43b . 反思与感悟.将不共线的向量作为基底表示其他向量的方法有两种：一种是利用向量的线性运算及法则对所求向量不断转化，直至能用基底表示为止；另一种是列向量方程组，利用基底表示向量的唯一性求解.跟踪训练3.如图所示，在△AOB 中，OA →＝a ，OB →＝b ，M ，N 分别是边OA ，OB 上的点，且OM →＝13a ，ON →＝12b ，设AN →与BM →相交于点P ，用基底a ，b 表示OP →.解.OP →＝OM →＋MP →，OP →＝ON →＋NP →. 设MP →＝mMB →，NP →＝nNA →，则 OP →＝OM →＋mMB →＝13OA →＋m (OB →－OM →)＝13a ＋m (b －13a )＝13(1－m )a ＋m b ， OP →＝ON →＋nNA →＝12OB →＋n (OA →－ON →)＝12b ＋n (a －12b )＝12(1－n )b ＋n a . ∵a ，b 不共线， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ 13(1－m )＝n ，12(1－n )＝m ，即⎩⎪⎨⎪⎧n ＝15，m ＝25.∴OP →＝15a ＋25b .1.下列关于基底的说法正确的是(..)①平面内不共线的任意两个向量都可作为一组基底； ②基底中的向量可以是零向量；③平面内的基底一旦确定，该平面内的向量关于基底的线性分解形式也是唯一确定的. A.① B.② C.①③ D.②③ 答案.C解析.零向量与任意向量共线，故零向量不能作为基底中的向量，故②错，①③正确. 2.在直角三角形ABC 中，∠BAC ＝30°，则AC →与BA →的夹角等于(..) A.30° B.60° C.120° D.150°答案.D解析.由向量夹角定义知，AC →与BA →的夹角为150°.3.已知向量e 1，e 2不共线，实数x ，y 满足(2x －3y )e 1＋(3x －4y )e 2＝6e 1＋3e 2，则x ＝________，y ＝________. 答案.－15.－12解析.∵向量e 1，e 2不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧2x －3y ＝6，3x －4y ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－15，y ＝－12.4.如图所示，在正方形ABCD 中，设AB →＝a ，AD →＝b ，BD →＝c ，则当以a ，b 为基底时，AC →可表示为________，当以a ，c 为基底时，AC →可表示为________.答案.a ＋b .2a ＋c解析.由平行四边形法则可知，AC →＝AB →＋AD →＝a ＋b ，以a ，c 为基底时将BD →平移，使点B 与点A 重合，再由三角形法则和平行四边形法则即可得到.5.已知在梯形ABCD 中，AB ∥DC ，且AB ＝2CD ，E ，F 分别是DC ，AB 的中点，设AD →＝a ，AB →＝b ，试用a 、b 为基底表示DC →，BC →，EF →.解.连接FD ，∵DC ∥AB ，AB ＝2CD ，E ，F 分别是DC ，AB 的中点， ∴DC 綊FB .∴四边形DCBF 为平行四边形. 依题意，DC →＝FB →＝12AB →＝12b ， BC →＝FD →＝AD →－AF → ＝AD →－12AB →＝a －12b ，EF →＝DF →－DE →＝－FD →－DE →＝－BC →－12DC →＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫a －12b －12×12b ＝14b －a .1.对基底的理解 (1)基底的特征基底具备两个主要特征：①基底是两个不共线向量；②基底的选择是不唯一的.平面内两向量不共线是这两个向量可以作为这个平面内所有向量的一组基底的条件.(2)零向量与任意向量共线，故不能作为基底.2.准确理解平面向量基本定理(1)平面向量基本定理的实质是向量的分解，即平面内任一向量都可以沿两个不共线的方向分解成两个向量和的形式，且分解是唯一的.(2)平面向量基本定理体现了转化与化归的数学思想，用向量解决几何问题时，我们可以选择适当的基底，将问题中涉及的向量向基底化归，使问题得以解决.课时作业一、选择题1.设e1，e2是平面内所有向量的一组基底，则下列四组向量中，不能作为基底的是(..)A.e1＋e2和e1－e2B.3e1－4e2和6e1－8e2C.e1＋2e2和2e1＋e2D.e1和e1＋e2答案.B解析.B中，∵6e1－8e2＝2(3e1－4e2)，∴(6e1－8e2)∥(3e1－4e2)，∴3e1－4e2和6e1－8e2不能作为基底.2.若向量a与b的夹角为60°，则向量－a与－b的夹角是(..)A.60°B.120°C.30°D.150°答案.A3.如图所示，用向量e1，e2表示向量a－b为(..)A.－4e1－2e2B.－2e1－4e2C.e1－3e2D.3e1－e2答案.C解析.如图，由向量的减法得a －b ＝AB →.由向量的加法得AB →＝e 1－3e 2.4.设向量e 1和e 2是某一平面内所有向量的一组基底，若3x e 1＋(10－y )e 2＝(4y －7)e 1＋2x e 2，则实数y 的值为(..) A.3 B.4 C.－14 D.－34答案.B解析.因为3x e 1＋(10－y )e 2＝(4y －7)e 1＋2x e 2，所以(3x －4y ＋7)e 1＋(10－y －2x )e 2＝0，又因为e 1和e 2是某一平面内所有向量的一组基底，所以⎩⎪⎨⎪⎧3x －4y ＋7＝0，10－y －2x ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝4，故选B.5.若OP →1＝a ，OP →2＝b ，P 1P →＝λPP →2(λ≠－1)，则OP →等于(..) A.a ＋λb B.λa ＋(1－λ)b C.λa ＋b D.11＋λa ＋λ1＋λb 答案.D解析.∵P 1P →＝λPP 2→，∴OP →－OP →1＝λ(OP →2－OP →)，∴(1＋λ)OP →＝OP →1＋λOP →2， ∴OP →＝11＋λOP →1＋λ1＋λOP →2＝11＋λa ＋λ1＋λb .6.若D 点在三角形ABC 的边BC 上，且CD →＝4DB →＝rAB →＋sAC →，则3r ＋s 的值为(..) A.165 B.125 C.85 D.45 答案.C解析.∵CD →＝4DB →＝rAB →＋sAC →， ∴CD →＝45CB →＝45(AB →－AC →)＝rAB →＋sAC →，∴r ＝45，s ＝－45.∴3r ＋s ＝125－45＝85.7.在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，E 是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F .若AC →＝a ，BD →＝b ，则AF →等于(..)A.14a ＋12b B.12a ＋14b C.23a ＋13b D.12a ＋23b 答案.C解析.如图，设CF →＝λCD →，AE →＝μAF →，则CD →＝OD →－OC →＝12b －12a ，故AF →＝AC →＋CF →＝(1－12λ)a ＋12λb .∵AF →＝1μAE →＝1μ(AO →＋OE →)＝1μ(12a ＋14b )＝12μa ＋14μb ， ∴由平面向量基本定理，得⎩⎪⎨⎪⎧1－12λ＝12μ，12λ＝14μ，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＝23，μ＝34，∴AF →＝23a ＋13b ，故选C.二、填空题8.已知e 1，e 2不共线，a ＝e 1＋2e 2，b ＝2e 1＋λe 2，要使a ，b 能作为平面内的一组基底，则实数λ的取值范围为______________. 答案.(－∞，4)∪(4，＋∞)解析.若能作为平面内的一组基底，则a 与b 不共线.a ＝e 1＋2e 2，b ＝2e 1＋λe 2，由a ≠k b ，即得λ≠4.9.若|a |＝|b |＝|a －b |＝r (r >0)，则a 与b 的夹角为________. 答案.60°解析.作OA →＝a ，OB →＝b ，则BA →＝a －b ，∠AOB 为a 与b 的夹角，由|a |＝|b |＝|a －b |知△AOB 为等边三角形，所以∠AOB ＝60°.10.如图，在平行四边形ABCD 中，E 和F 分别是边CD 和BC 的中点，若AC →＝λAE →＋μAF →，其中λ，μ∈R ，则λ＋μ＝________.答案.43解析.设AB →＝a ，AD →＝b ，则AE →＝12a ＋b ，AF →＝a ＋12b ，又∵AC →＝a ＋b ，∴AC →＝23(AE →＋AF →)，即λ＝μ＝23，∴λ＋μ＝43.三、解答题11.判断下列命题的正误，并说明理由：(1)若a e 1＋b e 2＝c e 1＋d e 2(a 、b 、c 、d ∈R )，则a ＝c ，b ＝d ；(2)若e 1和e 2是表示平面内所有向量的一组基底，那么该平面内的任一向量可以用e 1＋e 2、e 1－e 2表示出来.解.(1)错，当e 1与e 2共线时，结论不一定成立.(2)正确，假设e 1＋e 2与e 1－e 2共线，则存在实数λ，使e 1＋e 2＝λ(e 1－e 2)，即(1－λ)e 1＝－(1＋λ)e 2.因为1－λ与1＋λ不同时为0，所以e 1与e 2共线，这与e 1，e 2不共线矛盾.所以e 1＋e 2与e 1－e 2不共线，即它们可以作为基底，该平面内的任一向量可以用e 1＋e 2、e 1－e 2表示出来.12.如图，平面内有三个向量OA →，OB →，OC →.其中OA →与OB →的夹角为120°，OA →与OC →的夹角为30°，且|OA →|＝|OB →|＝1，|OC →|＝23，若OC →＝λOA →＋μOB →(λ，μ∈R )，求λ＋μ的值.解.如图，以OA ，OB 所在射线为邻边，OC 为对角线作平行四边形ODCE ，则OC →＝OD →＋OE →.在Rt△OCD 中，∵|OC →|＝23，∠COD ＝30°，∠OCD ＝90°，∴|OD →|＝4，|CD →|＝2，故OD →＝4OA →，OE →＝2OB →，即λ＝4，μ＝2，∴λ＋μ＝6.13.在梯形ABCD 中，AB →∥CD →，M ，N 分别是DA ，BC 的中点，且DC AB＝k .设AD →＝e 1，AB →＝e 2，以e 1，e 2为基底表示向量DC →，BC →，MN →.解.方法一.如图所示，∵AB →＝e 2，且DC AB＝k ， ∴DC →＝kAB →＝k e 2.又∵AB →＋BC →＋CD →＋DA →＝0，∴BC →＝－AB →－CD →－DA →＝－AB →＋DC →＋AD →＝e 1＋(k －1)e 2.又∵MN →＋NB →＋BA →＋AM →＝0，且NB →＝－12BC →，AM →＝12AD →， ∴MN →＝－AM →－BA →－NB →＝－12AD →＋AB →＋12BC → ＝k ＋12e 2. 方法二.如图所示，过C 作CE ∥DA ，交AB 于点E ，交MN 于点F .同方法一可得DC →＝k e 2.则BC →＝BE →＋EC →＝－(AB →－DC →)＋AD →＝e 1＋(k －1)e 2，MN →＝MF →＋FN →＝DC →＋12EB →＝DC →＋12(AB →－DC →) ＝k ＋12e 2. 方法三.如图所示，连接MB ，MC .同方法一可得DC →＝k e 2，BC →＝e 1＋(k －1)e 2.由MN →＝12(MB →＋MC →)，得MN →＝12(MA →＋AB →＋MD →＋DC →)＝12(AB →＋DC →)＝k ＋12e 2. 四、探究与拓展14.已知非零向量a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝0，向量a ，b 的夹角为120°，且|b |＝2|a |，则向量a 与c 的夹角为________.答案.90°解析.由题意可画出图形，在△OAB 中，因为∠OAB ＝60°，|b |＝2|a |，所以∠ABO ＝30°，OA ⊥OB ，即向量a 与c 的夹角为90°.15.设e 1，e 2是不共线的非零向量，且a ＝e 1－2e 2，b ＝e 1＋3e 2.(1)证明：a ，b 可以作为一组基底；(2)以a ，b 为基底，求向量c ＝3e 1－e 2的分解式；(3)若4e 1－3e 2＝λa ＋μb ，求λ，μ的值.(1)证明.若a ，b 共线，则存在λ∈R ，使a ＝λb ，则e 1－2e 2＝λ(e 1＋3e 2).由e 1，e 2不共线，得⎩⎪⎨⎪⎧ λ＝1，3λ＝－2⇒⎩⎪⎨⎪⎧ λ＝1，λ＝－23.∴λ不存在，故a 与b 不共线，可以作为一组基底.(2)解.设c ＝m a ＋n b (m ，n ∈R )，则3e 1－e 2＝m (e 1－2e 2)＋n (e 1＋3e 2)＝(m ＋n )e 1＋(－2m ＋3n )e 2.∴⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋n ＝3，－2m ＋3n ＝－1⇒⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝2，n ＝1.∴c ＝2a ＋b . (3)解.由4e 1－3e 2＝λa ＋μb ，得 4e 1－3e 2＝λ(e 1－2e 2)＋μ(e 1＋3e 2) ＝(λ＋μ)e 1＋(－2λ＋3μ)e 2. ∴⎩⎪⎨⎪⎧ λ＋μ＝4，－2λ＋3μ＝－3⇒⎩⎪⎨⎪⎧λ＝3，μ＝1. 故所求λ，μ的值分别为3和1.。

高中数学 23平面向量的基本定理及坐标表示学案新人教A版必修4 学案

2.3 向量的坐标表示一、学习内容、要求及建议知识、方法要求建议平面向量的基本定理及其意义了解结合直角坐标系理解向量的基本定理与正交分解平面向量的正交分解及其坐标表示理解用坐标表示平面向量的加、减与数乘运算了解用坐标表示的平面向量共线的条件(对线段定比分点坐标公式不作要求) 理解二、预习指导 1. 预习目标(1)了解把平面上的任意一向量分解成两个给定方向的分向量的过程，了解平面向量基本定理；(2)阅读课本, 了解怎样用坐标(x ，y )表示平面向量a ，学会利用坐标来进行平面向量的运算，学习通过向量的坐标运算来判断两个向量是否共线,会用向量的坐标运算解决几何问题． 2. 预习提纲(1)平面向量基本定理.阅读教材P70~71内容，理解以下内容：①平面向量基本定理；②基底；③向量的分解．思考讨论：①平面向量定理中“有且只有”的含义是什么？②在表示向量时，基底惟一吗？基底有什么特征？(2)平面向量的坐标表示.阅读教材P72~76内容，理解以下内容：①向量的坐标表示；②平面向量的坐标运算；③向量平行的坐标表示.思考讨论：①相等向量的坐标有什么特点？②以(x ,y )为坐标的向量有多少个？ 3. 典型例题(1) 平面向量基本定理由平面向量共线定理可知，任意一个向量可用一个与它共线的非零向量来线形表示，而且这种表示是唯一的；平面向量基本定理是向量共线定理的推广，平面内任一向量可以用两个不共线的向量来表示．例1 在平行四边形ABCD 中，设,AC a BD b ==，试用,a b 表示,AB BC ．分析：解答本题首先借助三角形或多边形法则，利用向量加减法，用,a b 表示,AB BC 来求或建立,AB BC 的方程，解方程组求解．解：如图，方法一(转化思想)设AC 、BD 交与点O ，则有1122AO OC AC a ===， 1122BO OD BD b ===；1122AB AO OB AO BO a b ∴=+=-=-,1122BC BO OC a b =+=+．方法二(方程思想)设,AB x BC y ==，则有AB BC ACAD AB BD ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩且AD BC y ==，即x y ay x b⎧+=⎪⎨-=⎪⎩，1111,2222x a b y a b ∴=-=+，即1122AB a b =-，1122BC a b =+．点评：本题类型是用基向量表示未知向量，一般有两种方法，一是充分利用向量线性运算，灵活应用三角形法则与平行四边形法则求解，二是采用方程思想，即直接用,AB BC 表示,a b ，然后把,AB BC 看作未知量，利用方程思想求解,AB BC ． (2) 平面向量的坐标运算与前面研究的向量的“形”的角度比，向量的坐标运算主要从“数”的角度进行考察，学习中始终要注意数形结合的思想.例2 已知(1,1),(1,3)a b =-=-，(3,5)c =，求实数x 、y ，使c xa yb =+．分析：根据向量坐标运算和待定系数法，用方程思想求解即可．解：由题意有(1,1)(1,3)xa yb x y +=-+-=(,3)x y x y --+又(3,5)c =∴x y -=3且3x y -+=5 解之得 x =7 且y =4.点评：在向量的坐标运算中经常要用到解方程的方法．例3 已知A (-1，2)，B (2，8)，AC =31AB ，DA = -31BA ，求点C 、D 和向量CD 的坐标．分析：待定系数法设定点C 、D 的坐标，再根据向量AC AB ，DA 和CD 关系进行坐标运算，用方程思想解之．解：设C 、D 的坐标为),(11y x 、),(22y x ，由题意得11(1,2)AC x y =+- ，AB =(3，6)，22(1,2)DA x y =---，(3,6)BA =-- 又AC =31AB ，13DA BA =-∴11(1,2)x y +-=1(3,6)3， 22(1,2)x y ---=1(3,6)3---即11(1,2)x y +-=(1,2) ，22(1,2)x y ---=(1,2) ∴111=+x 且221=-y ，112=--x 且222=-y∴01=x 且41=y ，且22-=x 02=y∴点C 、D 和向量CD 的坐标分别为(0，4)、(-2，0)和(-2，-4)．点评：本题涉及到方程思想，对运算能力要求较高．例4 已知(1,2),(3,2)a b ==-当实数k 为何值时2ka b +与24a b -平行？分析：本题可用平面向量基本定理和平行向量坐标表示两种方法求解，两种方法的本质一样，从本题看，研究两向量平行时，若坐标已知，用坐标法更简单．解：法一：当2ka b +与24a b -平行时，存在唯一的实数λ使2ka b +=λ(24a b -)，即2ka b +=24a b λλ-，即(2)(24)0k a b λλ-++=122(3)0⨯-⨯-≠，∴a 与b 不共线，由平面向量基本定理可知20240k λλ-=⎧⎨+=⎩，得121k λ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩，则1k =-．法二：2(1,2)2(3,2)(6,24)ka b k k k +=+-=-+242(1,2)4(3,2)(14,4)a b -=-=-要使2ka b +与24a b -平行，则(6)(4)(24)140k k -⨯--+⨯=．求得1k =-．点评：此类问题要充分利用向量共线条件及向量共线定理、向量相等条件，建立方程与方程组，从而求解参数．例5 用向量的坐标运算方法，求证：A (3,-4)，B (-9,2)，C (-1,-2)三点共线．分析：此题考察向量共线的坐标表示，进而证明三点共线．证明：证法一：由AB ＝(-9，2)- (3，-4)＝(-12，6)，BC ＝(-1，-2)-(-9，2)＝(8，-4)，∴AB ＝-23BC ，∴AB //BC ．又因为有向线段AB ，BC 有公共端点B ，∴A 、B 、C 三点共线．证法二：∵AB ＝(-12，6)，BC ＝(8，-4)，且(-12)×(-4)-6×8＝0,∴AB //BC ，又因为有向线段AB ，BC 有公共端点B ，∴A 、B 、C 三点共线．例6 已知(0,0)O ，12A （，），45B （，）及OP OA t AB =+,试问: (1)t 为何值时,P 在第二象限?(2)四边形OABP 能否构成平行四边形?若能求出相应的t ；若不能,请说明理由. 分析:利用向量相等建立向量的坐标之间的关系,再由条件求出. 解：(1)因为(0,0)O ，12A （，），45B （，）(1,2),(3,3),(13,23)OA AB OP t t ∴===++若P 在第二象限,则13021,23033t t t +<⎧-<<-⎨+>⎩；(2)(1,2),(33,33)OA PB PO OB t t ==+=--若四边形OABP 为平行四边形,则OA PB =,而331332t t -=⎧⎨-=⎩无解,所以四边形OABP 不能构成平行四边形．点评：此类题目关键是正确进行坐标运算，充分转化条件，即向量相等的条件，得出P 点横纵坐标关系． 4. 自我检测(1)在△ABC 中，E 、F 分别是AB 、AC 的中点，若AB a =，AC b =，则用基底a ，b 表示EF = ． (2)1e ，2e 不共线，122a e e =+，122b e e λ=+，要使a ，b 能作为平面内所有向量的一组基底，则实数λ的取值范围是．(3)已知a =(3，-1)，b =(-1，2)，则-3a -2b = ．(4)已知a =(2，1)，b =(x ，-4)，当2a b +与b -a 平行时，x ＝． (5)已知向量a ＝(5，2)，b =(x 2+y 2，xy )，且a ＝b ，求x ，y 的值．三、课后巩固练习 A 组1．如果1e ，2e 是平面内所有向量的一组基底，给出下列命题： (1)若实数m ，n 使m 1e ＋n 2e ＝0，则m ＝n ＝0；(2)空间任一向量a 可以表示a ＝λ11e ＋λ22e ，其中λ1，λ2为实数； (3)对实数m ，n ，m 1e ＋n 2e 不一定在此平面上；(4)对平面中的某一向量a ，存在两对以上实数m ，n ，使a ＝m 1e ＋n 2e . 则以上命题为真命题的是． 2．在梯形ABCD 中，DC //AB ，DA ⊥AB ，下列各对向量 ①,AD AB②,AB BC ③,CD CB ④,CD AB ⑤,AC DB其中，能作为表示它们所在平面的所有向量基底的可以是_________．(填序号)3．ABC ∆中, ,,AB a AC b E ==为中线AD 上一点,G 为重心,若AE EG =,则AE = ．4．已知a ，b 不共线，实数x ，y 满足向量等式3x a ＋(10－y )b ＝(4y +7)a ＋2x b ，则x ＝_______，y ＝_________．5．已知向量12,e e 不共线，12122,8a e e b e e λ=+=-，要使a ，b 能成为平面内所有向量的一组基底，则实数λ的取值范围是．6.在平行四边形ABCD 中，E 和F 分别是边CD 和BC 的中点，或AC AE AF λμ=+，其中,R λμ∈，则λμ+= ．7．两块斜边长相等的直角三角板拼在一起，若AD x AB y AC =+，则x = ，y = ．8．给出下面几种说法：①相等向量的坐标相同；②平面上一个向量对应于惟一的坐标；③一个坐标对应于惟一的一个向量；④平面上一个点与以原点为始点，该点为终点的向量一一对应，其中正确的说法有__________．9．已知AB =(6,1)，BC =(x ,y )，CD =(-2, -3),则AD =__________．10．点P 在平面上作匀速成直线运动，速度v =(2，5)，当t =0，P 在(-6,-2)处，当t =5时，点P 坐标为． 11．下列几组点中，三点共线的是①(0，0)，(1，1)，(3，1)； ②(-1，-1)，(1，1)，(3，3)； ③(-1，2)，(1，4)，(3，5)； ④(2，0)，(0，-1)，(3，2).12．已知正方形PQRS 的对角线的交点为M ，坐标原点O 不在正方形内部，且(0,3)OP =，OS =(4，0)．则向量RM ＝__________．13．若a ＋b =(-3，-4)，a -b =(5，2)，则向量a ＝_____，|b |=_______．14．已知向量(1,1)a =，(2,)b x =，若a b +与42b a -平行，则实数x 的值是________． 15．若向量a ，b 满足1a b +=，a b +平行于x 轴，)1,2(-=b ，则a = .16．已知向量(1,3)OA =-，(2,1)OB =-，(1,2)OC m m =+-，若点A 、B 、C 能构成三角形，则实数m 的取值范围为．17．已知向量(2,2)a =-，(5,)b k =，若|+|a b 不超过5，则实数k 的取值范围是．18．和a =(3,-4)平行的单位向量是_________.19. 已知向量a =（1,0），b =（1,1），则与2a +b 同向的单位向量的坐标表示为____________.B 组20．设12,e e 是两个不共线的向量，1212122,3,2AB e ke CB e e CD e e =+=+=-，若A 、B 、D 三点共线，求k 的值.21．以向量OA ＝a ，OB ＝b 为边作平行四边形OADB ，对角线OD 与AB 交于C ，又BM ＝31BC ，CN ＝31CD ，试用a ，b 为基底表示OM ，ON ，MN ． 22．如图，∠AOB =120°，∠AOC =30°，OA =OB =1，OC =22，设OA =a ，OB =b ，试用a ，b 表示OC ． 23．如图，||1OA =，||3OB =，||2OC =，OC30AOB BOC ∠=∠=．设OA a =，OB b =，用a ，b 表示为．24．在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O E ，是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F ．若AC a =，BD b =，用a ，b 表示AF ． 25．在ABC △中，已知D 是AB 边上一点，若123AD DB CD CA CB λ==+，，求λ的值． 26．(1)已知平面上△ABC 的顶点A (3，1)，B (5，2)，C (-1，6)，求向量AB ，AC ，2AB -3AC 的坐标表示．(2)直线l 1平行于x 轴，且过(0，4)点，直线l 2平行于y 轴，且过(-1，0)点．点A 在直线l 1上，点B 在直线l 2上，且向量AB ＝(-4，-3)，试求点A 、点B 的坐标．27．已知A (2，1)，B (3，2)，C (-1，4)，若A 、B 、C 是平行四边形的三个顶点，求第四个顶点D 的坐标．28．设a =(32，sin α)，b =(cos α，31)，且a //b ，求α的值．29．在平面直角坐标系中，(0,0),(6,8)O P ，将向量OP 按逆时针旋转34π后，得向量OQ ，则点Q 的坐标是．30．已知A 、B 、C 三点的坐标分别为(-1，0)，(3，-1)，(1，2)，AE ＝31AC ，BF ＝31BC ，求证：EF //AB ．31．设向量OA ＝(k ，12)，OB ＝(4，5)，OC ＝(10，k )，当k 为何值时，A 、B 、C 三点共线． 32．已知A (2，3)，B (5，4)，C (7，10)，AP AB AC λ=+．当λ为何值时， (1)点P 在第一、三象限的角平分线上？(2)点P 到两坐标轴的距离相等？C 组33.O 是平面上一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足()AB AC OP OA ABACλ=++，[0,)λ∈+∞，则P 的轨迹一定通过ABC ∆的心．34．如图，在ABC △中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线分别交直线AB ，AC 于不同的两点M N ，，若AB mAM =，AC nAN =，则m n+的值为.35．设两个向量22(2,cos )a λλα=+-和(,sin ),2mb m α=+其中,,m λα为实数.若2,a b =求mλ的取值范围. 36．已知向量(),u x y =与向量(),2v y y x =-的对应关系用()v f u =表求（1）设()()1,1,1,0a b ==，求向量()f a 与()f b 的坐标；（2）证明：对任意的向量,a b 及常数,m n ，恒有()()()f ma nb mf a nf b +=+成立；（3）求使()(),(,f c p q p q =为常数）的向量c 的坐标.知识点题号注意点平面向量的基本定理及其意义注意平面向量共线定理的坐标计算，正确使用平面向量的基本定理平面向量的坐标表示及其运算用坐标表示的平面向量共线的条件(对线段定比分点坐标公式不作要求)四、学习心得五、拓展视野CBAO课本例4证明了一个公式:1OA OBOC λλ+=+，这个公式在向量中称为定比分点向量公式．这个公式为我们解决一些数学问题提供了方便，更能为我们开拓解题思路，提高解题分析的能力．●1．定比分点向量公式 ●一般地，设1P 、2P 为直线l 上的两点，点P 是l 上不同于1P 、2P 的任一点，在平面上任取一点O ，若存在一个实数(1)λλ≠-，使21PP P P λ=，则12121111OP OP OP OP OP λλλλλ+==++++．我们把它称为定比分点向量公式，λ叫做点P 分有向线段21P P 所成的比． 2．定比分点向量公式的应用●例如图(1)，设,OA a OB b ==，点C 在直线AB 上，且mAC CB n=．求证：(1)na mb OC n m +=+； (2)设mt n m=+，用t 表示OC ；(3)如图(2)，利用(1)求△ABC 的重心的向量公式．分析：确定分点和λ的值，代入定比分点向量公式．解：(1)由已知点C 分向量AB 所成的比mnλ=，代入定比分点向量公式得 11m OA OBOA OB n OC m nλλ++==++=na mb n m ++； (2)由(1)可得(1)n mOC a b t a tb n m n m=+=-+++； (3)如图(2)，点D 为BC 的中点，D 分BC 所成的比为1，代入公式得2123OA OD OA OB OCOG +++==+这就是三角形重心的向量公式．点评：观察定比分点向量公式：21211111OP OP OP OP OP λλλλλ+++=++=，它实质上是平面向量基本定理的应用，用一组不共线的基底1OP 、2OP 表示向量OP ，存在的实数对⎪⎭⎫ ⎝⎛++λλλ1,11满足1111=+++λλλ(这是一个定值)，因此，若21OP n OP m OP +=，且1=+n m ，则可以说明21,,P P P 三点必共线．问题：你能否用定比分点的公式解决巩固练习中的问题？O图(1)图(2)。

高一数学人教A版必修四第二章2.3.1平面向量的基本定理及坐标表示教案

《平面向量的基本定理及坐标表示》教案（人教A必修4第2章第3节）教材简析：本节前面由实际问题引入平面向量概念，研究向量的线性运算，包括运算的几何意义，特别是加法的平行四边形法则，较集中地反映了向量的几何特征，本节后面主要是研究向量的代数运算。

向量的优势更多地体现在于沟通几何与代数的联系，进而通过代数运算来研究几何和其它的问题,而连接两者的关健就是基本定理；所以在向量知识体系中这个定理具有核心地位，起到承前启后的的作用。

另外，它充分地展现了数学结构体系的严谨性和逻辑性，有助于学生体会数学的思维方式方法，帮助学生进行数学的思考和说理，对学生的数学能力发展是十分重要的。

教学目的简析：1.理解平面向量的基本定理，体验在解决问题过程中选择适当的基底带来的便捷,帮助理解基底的作用，运用已有知识研究平面向量基本定理，经历给定的向量在一组基底上唯一分解的过程，奠定了建立向量坐标的基础，体会数学中的问题转化，及定理的深刻涵义.2.会将给定的向量正交分解；通过向量正交化、坐标化的探索，激发学生探索、合作交流的意识，体会从一般到特殊的研究规律，逐步培养求简思维与模型化思想．3.通过体验平面向量的基本定理的探究过程，激发学生的探索精神，通过具体问题的分析解决，渗透数形结合数学思想，提高学生从一般到特殊的归纳能力，体会数学的思维方式方法，感受数与形的和谐统一。

重点、难点简析：研读多遍教材后，我认为应该将本课的理论学习置于教学重点，不能对定理进行平铺直叙后,即将重心快速转向坐标的表示与运算，决不能让学生的主体参与被削弱,对定理的理解与领悟被剥夺,而难以产生真正意义上的思想共鸣,也为向量的本质理解与数形结合的运用埋下了隐患。

难点是熟悉平面向量的基本定理，选择适当的基底，在一组基底上唯一分解，特别是正交分解及坐标表示，通过定理的探究过程，激发学生的探索精神，增强学生知识的应用意识，提高学生从一般到特殊的归纳能力，感受数与形的和谐统一。

高中数学 2.3.1《平面向量的基本定理》导学案新人教A版必修4

2.3.1《平面向量的基本定理》导学案【学习目标】 1、知道平面向量基本定理；2、理解平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示，初步应用向量解决实际问题；3、能够在具体问题中适当地选取基底，使其他向量都能够用基底来表示.【重点难点】1. 教学重点：平面向量基本定理2. 教学难点：平面向量基本定理的理解与应用【学法指导】:通过回顾复习向量的线性运算,提出新的疑惑.为新授内容做好铺垫.【知识链接】（一）复习回顾 1．实数与向量的积：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作：λa （1）|λa |= ；（2）λ>0时λa 与a 方向；λ<0时λa 与a 方向；λ=0时λa =2．运算定律结合律：λ(μa )= ；分配律：(λ+μ)a = ， λ(a +b )= .3. 向量共线定理向量b 与非零向量a 共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使 .(二)阅读教材,提出疑惑:如何通过向量的线性运算来表示出平面内的任意向量?【学习过程】（一）定理探究：平面向量基本定理：探究：(1) 我们把不共线向量ｅ１、ｅ２叫做表示这一平面内所有向量的 ;(2) 基底不惟一，关键是；(3) 由定理可将任一向量a 在给出基底ｅ１、ｅ２的条件下进行分解；(4) 基底给定时，分解形式 . 即λ1，λ2是被a ，1e ，2e 唯一确定的数量（二）例题讲解例1 已知向量1e ，2e 求作向量 2.51e +32e .例2、如图 ABCD 的两条对角线交于点M ，且=a ，=b ，用a ，b 表示，，和MD例3已知 ABCD 的两条对角线AC 与BD 交于E ，O 是任意一点，求证：+++=4例4（1）如图，，不共线，=t (t ∈R)用，表示.（2）设OA 、OB 不共线，点P 在O 、A 、B 所在的平面内，且(1)()OP t OA tOB t R =-+∈.求证：A 、B 、P 三点共线.例 5 已知 a =2e 1-3e 2，b = 2e 1+3e 2，其中e 1，e 2不共线，向量c =2e 1-9e 2，问是否存在这样的实数,d a b λμλμ=+、使与c 共线.【学习反思】【拓展提升】1.设e 1、e 2是同一平面内的两个向量，则有( )A.e 1、e 2一定平行B .e 1、e 2的模相等C.同一平面内的任一向量a 都有a =λe 1+μe 2(λ、μ∈R )D.若e 1、e 2不共线，则同一平面内的任一向量a 都有a =λe 1+u e 2(λ、u ∈R )2.已知向量a = e1-2e2，b =2e1+e2，其中e1、e2不共线，则a+b与c =6e1-2e2的关系A.不共线B.共线C.相等D.无法确定3.已知向量e1、e2不共线，实数x、y满足(3x-4y)e1+(2x-3y)e2=6e1+3e2，则x-y的值等于( )A.3B.-3C.0D.24.已知a、b不共线，且c =λ1a+λ2b(λ1，λ2∈R)，若c与b共线，则λ1= .5.已知λ1＞0，λ2＞0，e1、e2是一组基底，且a =λ1e1+λ2e2，则a与e1_____，a与e2_________(填共线或不共线).。

高中数学人教版A版精品学案《平面向量基本定理及坐标表示》

平面向量基本定理及坐标表示【学习过程】一、问题导学预习教材内容，思考以下问题：1．基底中两个向量可以共线吗？2．平面向量基本定理的内容是什么？二、合作探究1．平面向量基本定理的理解例1：设e1，e2是不共线的两个向量，给出下列四组向量：①e1与e1＋e2；②e1－2e2与e2－2e1；③e1－2e2与4e2－2e1；④e1＋e2与e1－e2．其中，不能作为平面内所有向量的一组基底的是________（写出满足条件的序号）．解析：①设e1＋e2＝λe1，则错误!无解，所以e1＋e2与e1不共线，即e1与e1＋e2能作为一组基底．②设e1－2e2＝λ（e2－2e1），则（1＋2λ）e1－（2＋λ）e2＝0，则错误!无解，所以e1－2e2与e2－2e1不共线，即e1－2e2与e2－2e1能作为一组基底．③因为e1－2e2＝－错误!（4e2－2e1），所以e1－2e2与4e2－2e1共线，即e1－2e2与4e2－2e1不能作为一组基底．④设e1＋e2＝λ（e1－e2），则（1－λ）e1＋（1＋λ）e2＝0，则错误!无解，所以e1＋e2与e1－e2不共线，即e1＋e2与e1－e2能作为一组基底．答案：③2．用基底表示平面向量例2：如图所示，在▱ABCD中，点E，F分别为BC，DC边上的中点，DE与BF交于点G，若错误!，4），且a∥b，那么2a－b＝（）A．（4，0）B．（0，4）C．（4，－8）D．（－4，8）解析：选C．因为向量a＝（1，－2），b＝（m，4），且a∥b，所以1×4＝（－2）×m，所以m ＝－2，所以2a－b＝（2－m，－4－4）＝（4，－8）．5．若三点A（4，3），B（5，m），C（6，n）在一条直线上，则下列式子一定正确的是（）A．2m－n＝3B．n－m＝1C．m＝3，n＝5D．m－2n＝3解析：选A．因为三点A（4，3），B（5，m），C（6，n）在一条直线上，所以错误!－3）＝λ（2，n－3），所以λ＝错误!，所以m－3＝错误!（n－3），即2m－n＝3．6．平面内给定三个向量a＝（3，2），b＝（－1，2），c＝（4，1）．（1）求满足a＝m b＋n c的实数m，n的值；（2）若（a＋c）∥（2b－a），求实数的值．解：（1）因为a＝m b＋n c，所以（3，2）＝m（－1，2）＋n（4，1）＝（－m＋4n，2m＋n）．所以错误!解得错误!（2）因为（a＋c）∥（2b－a），又a＋c＝（3＋4，2＋），2b－a＝（－5，2），所以2×（3＋4）－（－5）×（2＋）＝0．所以＝－错误!．【学习过程】一、问题导学预习教材内容，思考以下问题：1．平面向量数量积的坐标表示是什么？2．如何用坐标表示向量的模、夹角和垂直？二、合作探究1．数量积的坐标运算例1：已知向量a＝（1，－1），b＝（－1，2），则（2a＋b）·a＝（）A．－1B．0C．1D．2解析：因为a＝（1，－1），b＝（－1，2），所以（2a＋b）·a＝（1，0）·（1，－1）＝1．答案：C2．平面向量的模例2：（1）设平面向量a＝（1，2），b＝（－2，），若a∥b则|3a＋b|等于（）A．错误!B．错误!C．错误!D．错误!（2）已知|a|＝2错误!，b＝（2，－3），若a⊥b，求a＋b的坐标及|a＋b|．解：（1）选A．因为a∥b，所以1×－2×（－2）＝0，解得＝－4，从而3a＋b＝（1，2），|3a＋b|＝错误!．（2）设a＝（，），则由|a|＝2错误!，得2＋2＝52．①由a⊥b，解得2－3＝0．②联立①②，解得错误!或错误!所以a＝（6，4）或a＝（－6，－4）．所以a＋b＝（8，1）或a＋b＝（－4，－7），所以|a＋b|＝错误!．3．平面向量的夹角（垂直）例3：已知a＝（4，3），b＝（－1，2）．（1）求a与b夹角的余弦值；（2）若（a－λb）⊥（2a＋b），求实数λ的值．解：（1）因为a·b＝4×（－1）＋3×2＝2，|a|＝错误!＝5，|b|＝错误!＝错误!，设a与b的夹角为θ，所以co θ＝错误!＝错误!＝错误!．（2）因为a－λb＝（4＋λ，3－2λ），2a＋b＝（7，8），又（a－λb）⊥（2a＋b），所以7（4＋λ）＋8（3－2λ）＝0，所以λ＝错误!．三、学习小结1．平面向量数量积的坐标表示已知a＝（1，1），b＝（2，2），则a·b＝12＋12．即两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和．2．两个公式、一个充要条件（1）向量的模长公式：若a＝（，），则|a|＝错误!．（2）向量的夹角公式：设a，b都是非零向量，a＝（1，1），b＝（2，2），θ是a与b的夹角，则co θ＝错误!＝错误!．（3）两个向量垂直的充要条件设非零向量a＝（1，1），b＝（2，2），则a⊥b⇔12＋12＝0．四、精炼反馈1．已知向量a＝（2，0），a－b＝（3，1），则下列结论正确的是（）A．a·b＝2B．a∥bC．b⊥（a＋b）D．|a|＝|b|解析：选C．因为向量a＝（2，0），a－b＝（3，1），设b＝（，），则错误!解得错误!所以b＝（－1，－1），a＋b＝（1，－1），b·（a＋b）＝－1×1＋（－1）×（－1）＝0，所以b⊥（a＋b）．2．在平面直角坐标系O中，已知四边形ABCD是平行四边形，错误!）．（1）当3a－2b与a垂直时，求m的值；（2）当a与b的夹角为12021，求m的值．解：（1）由题意得3a－2b＝（－1，3错误!－2m），由3a－2b与a垂直，得－1＋9－2错误!m＝0，所以m＝错误!．（2）由题意得|a|＝2，|b|＝错误!，a·b＝2＋错误!m，所以co 12021错误!＝错误!＝－错误!，整理得2＋错误!m＋错误!＝0，化简得m2＋2错误!m＝0，解得m＝－2错误!或m＝0（舍去）．所以m＝－2错误!．。

高中数学人教A版必修4第二章平面向量的基本定理及坐标表示导学案

如图，在直角坐标系内，我们分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i 、j 作为基底.任作一个向量a ，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x 、y ，使得yj xi a +=…………○1 我们把),(y x 叫做向量a 的（直角）坐标，记作),(y x a =…………○2其中x 叫做a 在x 轴上的坐标，y 叫做a 在y 轴上的坐标，○2式叫做向量的坐标表示.与．a 相等的向量的坐标也为．．．．．．．．．．),(y x . 特别地，)0,1(=i ，)1,0(=j ，)0,0(0=.如图，在直角坐标平面内，以原点O 为起点作，则点A 的位置由a 唯一确定.设，则向量的坐标),(y x 就是点A 的坐标；反过来，点A 的坐标),(y x 也就是向量的坐标.因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都是可以用一对实数唯一表示.考点3 平面向量的坐标运算（1）若),(11y x a =，),(22y x b =，则b a +),(2121y y x x ++=，b a -),(2121y y x x --= 两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差.设基底为i 、j ，则b a +)()(2211j y i x j y i x +++=j y y i x x )()(2121+++= 即b a +),(2121y y x x ++=，同理可得b a -),(2121y y x x --= （2）若),(11y x A ，),(22y x B ，则()1212,y y x x AB --= 一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标.AB =OB -OA =( x 2， y 2) - (x 1，y 1)= (x 2- x 1， y 2- y 1)（3）若),(y x a =和实数λ，则),(y x a λλλ=.实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标. 设基底为i 、j ，则a λ)(yj xi +=λyj xi λλ+=，即),(y x a λλλ=三、例题精析【例题1】已知平面上三点的坐标分别为A(-2， 1)， B(-1， 3)， C(3， 4)，求点D 的坐标使这四点构成平行四边形四个顶点.【例题2】设向量a ＝(1,0)，b ＝(12，12)，则下列结论中正确的是( )A ．|a |＝|b |B ．a ·b ＝22C ．a －b 与b 垂直D ．a ∥b【例题3】已知平面向量a ＝(1，－1)，b ＝(－1,2)，c ＝(3，－5)，则用a ，b 表示向量c 为( )A ．2a －bB ．－a ＋2bC ．a －2bD ．a ＋2b【例题4】已知平面向量a ＝(1，－3)，b ＝(4，－2)，λa ＋b 与b 垂直，则λ等于( )A ．－1B ．1C ．－2D ．2【例题5】已知向量a ＝(2,3)，b ＝(－1,2)，若m a ＋4b 与a －2b 共线，则m 的值为( )A.12B ．2C ．－12D ．－2【例题6】在平面直角坐标系中，O 为原点，设向量OA →＝a ，OB →＝b ，其中a ＝(3,1)，b ＝(1,3)．若OC →＝λa ＋μb ，且0≤λ≤μ≤1，C 点的所有可能位置区域用阴影表示正确的是( )四、课堂运用【基础】1.设向量a ＝(1，x －1)，b ＝(x ＋1,3)，则“x ＝2”是“a ∥b ”的________条件．2.已知a 、b 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c 满足(a －c )·(b －c )＝0，则|c |的最大值是( )A ．1B ．2 C.2D.22【巩固】1.已知向量a ＝(2cos θ，2sin θ)，b ＝(0，－2)，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，则向量a ，b 的夹角为( )A.3π2－θB ．θ－π2C.π2＋θD ．θ2.已知O(0,0)、A(2，－1)、B(1,3)、OP →＝OA →＋tAB →，求(1)t 为何值时，点P 在x 轴上？点P 在y 轴上？点P 在第四象限？ (2)四点O 、A 、B 、P 能否成为平行四边形的四个顶点，说明你的理由．（1）几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如AB ，注意起点在前，终点在后；（2）符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如a ，b ，c 等；（3）坐标表示法：在平面内建立直角坐标系，以与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i ，j 为基底，则平面内的任一向量a 可表示为(),a xi y j x y =+=，称(),x y 为向量a 的坐标，a ＝(),x y 叫做向量a 的坐标表示。

人教A版高中数学必修四《平面向量的基本定理及坐标表示》3学案

湖南省隆回县万和实验学校高中数学《平面向量的基本定理及坐标表示2》学案新人教A 版必修4学习目的：让学生掌握平面向量的和、差、积的运算，理解向量的坐标与端点的坐标换算，会用向量的运算求多边形在平面直角坐标系中的坐标。

学习重点：平面向量的和、差、积的运算。

学习难点：用向量的运算求坐标系中的坐标。

学习过程1，知识回顾：1.向量的加、减法运算及其几何意义2.平面向量的正交分解及坐标表示2，思考1、平面向量和与差的运算已知a (x 1, y 1) ，b (x 2, y 2)，如何求a +b ，a b 的坐标。

两个向量和（差）的坐标分别等于这丙个向量相应坐标的和（差）2、平面向量的数乘已知a ＝(x 1, y 1)和实数λ,求λa 的坐标， λa ＝λ(x 1i +y 1j )＝λx 1i +λy 1j ＝（λx 1，λy 1）。

实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标。

3、向量的坐标与端点的坐标换算例3 已知A （x 1, y 1) ，B (x 2, y 2)，求 AB 的坐标。

解：-=＝(x 2, y 2)－（x 1, y 1)＝(x 2－x 1, y 2－ y 1)一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去始点的坐标。

【典例剖析】例4见书97页例5，已知平行四边形ABCD 的三个顶点的坐标分别为A( 2, 1), B( 1, 3), C(3, 4)，试求顶点D 的坐标。

解法一：设顶点D 的坐标为（x ，y ），AB ＝（－1－（－2），3－1）＝（1,2），DC ＝（3－x ，4－y ），由AB ＝DC ，得：（1,2）＝（3－x ，4－y ），所以⎩⎨⎧-=-=y x 4231，解得：x ＝2，y ＝2，所以顶点D 的坐标为（2,2）。

【知识梳理】 1、在平面直角坐标系中，以原点为起点的向量=OA A 点A 的位置被向量a 唯一确定，此时点A 的坐标与向量a 的坐标统一为（x,y ） 2、两个向量相等等价于它们对应的坐标相等。

人教A版高中数学必修四《平面向量的基本定理及坐标表示》4学案

湖南省隆回县万和实验学校高中数学《平面向量的基本定理及坐标表示4》学案新人教A 版必修4学习目的：复习巩固平面向量坐标的概念，掌握共线向量充要条件的坐标表示，并且能用它解决向量平行（共线）的有关问题。

学习重点：向量共线的坐标表示及直线上点的坐标的求解。

学习难点：定比分点的理解和应用（例8）。

学习过程：一、回顾旧知：1．向量的坐标表示；2．平面向量的坐标运算法则。

二，新课预习1．思考：共线向量的条件是当且仅当有一个实数λ使得b =λa ，那么这个条件如何用坐标来表示呢？2．推导：设a =(x 1, y 1)，b =(x 2, y 2)（ b 0），其中b a ，由a =λb ，(x 1, y 1) =λ(x 2, y 2)⎩⎨⎧==⇒,,2121y y x x λλ消去λ得x 1y 2－x 2y 1=0。

结论：a ∥b (b 0)⇔x 1y 2-x 2y 1=0。

注意：（1）消去λ时不能两式相除，因为y 1, y 2有可能为0，因为b 0，所以x 2, y 2中至少有一个不为0；（2）充要条件不能写成2211x y x y =，因为x 1, x 2有可能为0；【典例剖析】例6 已知a ＝（4,2），b ＝（6，y ），且a ∥b ，求y 。

例7 已知A (-1, -1) ，B (1,3)， C (2,5)，试判断A 、B 、C 三点之间的位置关系。

例8 设点P 是线段P 1P 2上的点，P 1、P 2的坐标分别是（x 1，y 1），（x 2，y 2）。

（1）当点P 是线段P 1P 2的中点时，求点P 的坐标；（2）当点P 是线段P 1P 2的一个三等分点时，求点P 的坐标。

【知识梳理】1、建立平面向量的坐标，基础是平面向量的基本定理及正交分解，对所给向量应会根据条件X 轴和y 轴进行分解求出其坐标。

2、向量的坐标表示，实际是向量的代数表示，在引入向量的坐标表示后，即可使向量运算完全代数化，将数与形紧密地结合起来了，这样，很多几何问题就转化为我们毫熟知的数量的运算。

人教A版高中数学必修四 2.3《平面向量的基本定理及坐标表示》导学案1

2.3《平面向量的基本定理及坐标表示》导学案【学习目标】1．了解平面向量基本定理；2．理解平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示，初步掌握应用向量解决实际问题的重要思想方法；3．能够在具体问题中适当地选取基底，使其他向量都能够用基底来表达. 【导入新课】复习引入： 1．实数与向量的积实数λ与向量a 的积是一个向量，记作：λa .（1）|λa |=|λ||a |；（2）λ>0时，λa与a 方向相同；λ<0时，λa 与a 方向相反；λ=0时，λa=. 2．运算定律结合律：λ(μa )=(λμ)a ；分配律：(λ+μ)a =λa +μa ， λ(a +b )=λa+λb .3. 向量共线定理向量b 与非零向量a 共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使b =λa .新授课阶段一、平面向量基本定理：如果1e ，2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2使a=λ11e +λ22e .探究：(1) 我们把不共线向量ｅ１、ｅ２叫做表示这一平面内所有向量的一组基底； (2) 基底不惟一，关键是不共线；(3) 由定理可将任一向量a 在给出基底ｅ１、ｅ２的条件下进行分解； (4)基底给定时，分解形式惟一. λ1，λ2是被a，1e ，2e 唯一确定的数量. 二、平面向量的坐标表示如图，在直角坐标系内，我们分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i 、j 作为基底.任作一个向量a ，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x 、y ，使得yj xi a += (1)1我们把),(y x 叫做向量a 的（直角）坐标，记作 ),(y x a = (2)2其中x 叫做a 在x 轴上的坐标，y 叫做a 在y 轴上的坐标，○2○2式叫做向量的坐标表示.与a 相等的向量的坐标也为),(y x .特别地，)0,1(=i ，)1,0(=j ，)0,0(0=. 如图，在直角坐标平面内，以原点O 为起点作a =，则点A 的位置由a 唯一确定.设yj xi OA +=，则向量OA 的坐标),(y x 就是点A 的坐标；反过来，点A 的坐标),(y x 也就是向量OA 的坐标.因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都是可以用一对实数唯一表示.三、平面向量的坐标运算（1）若),(11y x a=，),(22y x b =，则b a +),(2121y y x x ++=，b a -),(2121y y x x --=.两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差.设基底为i 、j ，则ba +)()(2211j y i x j y i x +++=j y y i x x )()(2121+++=，即b a +),(2121y y x x ++=，同理可得b a -),(2121y y x x --=.（2）若),(11y x A ，),(22y x B ，则()1212,y y x x --=.一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标.AB =OB -OA =( x 2，y 2) -(x 1，y 1)= (x 2- x 1，y 2- y 1).（3）若),(y x a =和实数λ，则),(y x a λλλ=.实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标. 设基底为i 、j ，则a λ)(yj xi +=λyj xi λλ+=，即),(y x a λλλ=.例1 已知A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，求AB的坐标.例2 已知a =(2，1)， b =(-3，4)，求a +b ，a -b ，3a +4b的坐标.例3 已知平面上三点的坐标分别为A(-2， 1)， B(-1， 3)， C(3， 4)，求点D 的坐标使这四点构成平行四边形四个顶点.解：例4 已知三个力1F (3，4)，2F (2， -5)， 3F (x ， y)的合力1F +2F +3F =0，求3F 的坐标.解：例5 已知a =(2,1), b =(－3,4),求 a ＋b ，a －b，3a ＋4b 的坐标.解：例6 已知平行四边形ABCD 的三个顶点A 、B 、C 的坐标分别为（-2，1）、（-1，3）（3，4），求顶点D 的坐标。

《6.3 平面向量基本定理及坐标表示》教学导学案(统编人教A版)

6.3.5 平面向量数量积的坐标表示1.掌握平面向量数量积坐标表示及模、夹角的公式。

2.能用公式求向量的数量积、模、夹角；3.掌握两个向量垂直的坐标判断，会证明两向量垂直，以及能解决一些简单问题.1.教学重点：平面向量数量积坐标表示及模、夹角公式；2.教学难点：平面向量数量积的应用。

1.数量积的坐标表示：若),(),,(2211y x b y x a ==，则=⋅b a 。

2，设),(y x a =，则=2||a ，||a = 。

3.设),(),,(2211y x y x ==，则⇔⊥ 。

4.若),(),,(2211y x y x ==，那么cos θ= 。

一、探索新知探究：已知两个非零向量),(),,(2211y x y x ==，怎样用向量的坐标表示⋅ ？1.数量积的坐标表示：，故两个向量的数量积等于它们对应坐标的的和。

思考1：设),(y x =，则用坐标怎样表示||||2a a 和？2，设),(y x a =，则=2||a ，||a = 。

思考 2.表示的有向线段的起点和终点的坐标分别为),(),,(2211y x y x ，那么的坐标，||怎么用坐标表示？思考3.设),(),,(2211y x y x ==，则⊥用坐标表示能得到什么结论？3.设),(),,(2211y x y x ==，则⇔⊥ 。

例1.已知A(1， 2)，B(2， 3)，C(-2， 5)，试判断△ABC 的形状，证明你的猜想.思考4：设b a ,是两个非零向量，其夹角为θ，若),(),,(2211y x b y x a ==，那么cos θ如何用坐标表示？4.若),(),,(2211y x b y x a ==，那么cos θ= 。

例2.).1(),4,6( ),75,( o 精确到及求设θ⋅--=-=例3.用向量方法证明两角差的余弦公式βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=-1.已知a ＝(1，－1)，b ＝(2，3)，则a·b ＝( )A ．5B ．4C ．－2D ．－12．已知a ＝(－2，1)，b ＝(x ，－2)，且a ⊥b ，则x 的值为( )A ．－1B ．0C ．1D ．23．(2016·邢台期末)平行四边形ABCD 中，AB →＝(1，0)，AC →＝(2，2)，则AD →·BD →等于() A ．－4 B ．－2C ．2D ．44．已知a ＝(3，－4)，则|a|＝________.5．已知向量a ＝(3，－1)，b ＝(1，－2)，求：(1)a·b ；(2)(a ＋b )2；(3)(a ＋b )·(a －b )．这节课你的收获是什么？参考答案：探究：y x y x 2211,+=+= 所以22112212212211))( y y y x y x x x y x y x +++=++=⋅（2121y y x x += 思考1.22222||,||y x a y x a +=+=思考2.2122121212)()||),,(y y x x a y y x x a -+-=--=（思考3.02121=+⇔⊥y y x x例1.思考4.222221212121||||cos y x y x y y x x b a +++==θ例2.例3.达标检测1.【解析】 a·b ＝(1，－1)·(2，3)＝1×2＋(－1)×3＝－1.【答案】 D2.【解析】由题意，a·b ＝(－2，1)·(x ，－2)＝－2x －2＝0，解得x ＝－1.故选A ．【答案】 A3.【解析】 AD →·BD →＝(AC →－AB →)·(AC →－2AB →)＝AC 2→＋2AB 2→－3AC →·AB →＝8＋2－3×2＝4.故选D ．【答案】 D4.【解析】因为a ＝(3，－4)，所以|a|＝32＋（－4）2＝5.【答案】 55.【解】 (1)因为a ＝(3，－1)，b ＝(1，－2)，所以a·b ＝3×1＋(－1)×(－2)＝3＋2＝5.(2)a ＋b ＝(3，－1)＋(1，－2)＝(4，－3)，所以(a＋b) 2＝|a＋b|2＝42＋(－3)2＝25.(3)a＋b＝(3，－1)＋(1，－2)＝(4，－3)，a－b＝(3，－1)－(1，－2)＝(2，1)，(a＋b)·(a－b)＝(4，－3)·(2，1)＝8－3＝5.。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

2.3《平面向量的基本定理及坐标表示》导学案【学习目标】1．了解平面向量基本定理；2．理解平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示，初步掌握应用向量解决实际问题的重要思想方法；3．能够在具体问题中适当地选取基底，使其他向量都能够用基底来表达. 【导入新课】复习引入： 1．实数与向量的积实数λ与向量a 的积是一个向量，记作：λa .（1）|λa |=|λ||a|；（2）λ>0时，λa 与a 方向相同；λ<0时，λa 与a 方向相反；λ=0时，λa=0. 2．运算定律结合律：λ(μa )=(λμ)a ；分配律：(λ+μ)a =λa +μa ， λ(a +b )=λa +λb.3. 向量共线定理向量b 与非零向量a 共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使b =λa .新授课阶段一、平面向量基本定理：如果1e ，2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2使a=λ11e +λ22e .探究：(1) 我们把不共线向量ｅ１、ｅ２叫做表示这一平面内所有向量的一组基底； (2) 基底不惟一，关键是不共线；(3) 由定理可将任一向量a 在给出基底ｅ１、ｅ２的条件下进行分解； (4)基底给定时，分解形式惟一. λ1，λ2是被a，1e ，2e 唯一确定的数量. 二、平面向量的坐标表示如图，在直角坐标系内，我们分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i 、j 作为基底.任作一个向量a ，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x 、y ，使得yj xi a += (1)1 我们把),(y x 叫做向量a 的（直角）坐标，记作 ),(y x a = (2)2 其中x 叫做a 在x 轴上的坐标，y 叫做a 在y 轴上的坐标，○2○2式叫做向量的坐标表示.与．a 相等的向量的坐标也为．．．．．．．．．．),(y x .特别地，)0,1(=i ，)1,0(=j ，)0,0(0=.如图，在直角坐标平面内，以原点O 为起点作a OA =，则点A 的位置由a 唯一确定. 设yj xi OA +=，则向量OA 的坐标),(y x 就是点A 的坐标；反过来，点A 的坐标),(y x 也就是向量OA 的坐标.因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都是可以用一对实数唯一表示.三、平面向量的坐标运算（1）若),(11y x a =，),(22y x b =，则b a +),(2121y y x x ++=，b a -),(2121y y x x --=.两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差.设基底为i 、j ，则b a +)()(2211j y i x j y i x +++=j y y i x x )()(2121+++=，即b a +),(2121y y x x ++=，同理可得b a -),(2121y y x x --=.（2）若),(11y x A ，),(22y x B ，则()1212,y y x x AB --=.一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标.AB =OB -OA =( x 2，y 2) -(x 1，y 1)= (x 2- x 1，y 2- y 1).（3）若),(y x a =和实数λ，则),(y x a λλλ=.实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标. 设基底为i 、j ，则a λ)(yj xi +=λyj xi λλ+=，即),(y x a λλλ=.例1 已知A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，求AB 的坐标.例2 已知a =(2，1)， b =(-3，4)，求a +b ，a -b ，3a +4b 的坐标.例3 已知平面上三点的坐标分别为A(-2， 1)， B(-1， 3)， C(3， 4)，求点D 的坐标使这四点构成平行四边形四个顶点.解：例4 已知三个力1F (3，4)，2F (2， -5)， 3F (x ， y)的合力1F +2F +3F =0，求3F 的坐标.解：例5 已知a =(2,1), b =(－3,4),求 a ＋b ，a －b，3a ＋4b 的坐标.解：例6 已知平行四边形ABCD 的三个顶点A 、B 、C 的坐标分别为（-2，1）、（-1，3）（3，4），求顶点D 的坐标。

解：例7 经过点(2,3)M -的直线分别交x 轴、y 轴于点,A B ，且||3||AB AM =，求点,A B 的坐标.解：例8 已知三点(2,3),(5,4),(7,10)A B C ，若AM AB AC λ=-，试求实数λ的取值范围，使M 落在第四象限.解：例9 已知向量(8,2),(3,3),(6,12),(6,4)a b c p ====，问是否存在实数,,x y z 同时满足两个条件：(1);(2)1p xa yb zc x y z =++++=？如果存在，求出,,x y z 的值；如果不存在，请说明理由.解：课堂小结（1）理解平面向量的坐标的概念；（2）掌握平面向量的坐标运算；（3）会根据向量的坐标，判断向量是否共线. 作业见同步练习拓展提升1.设,1e 2e是同一平面内两个不共线的向量，不能以下各组向量中作为基底的是（） A. 1e ，2e B. 1e +2e ，2e C. 1e ，22e D.1e ，1e +2e2. 设,1e 2e是同一平面内所有向量的一组基底，则以下各组向量中，不能作为基底的是（）A. 1e +2e 和1e -2eB. 31e -22e 和41e -62eC. 1e+22e 和21e +2e D. 1e +2e 和2e3. 已知,1e 2e 不共线，a =1λ1e +2e ，b =4 1e +22e ，并且a ，b共线，则下列各式正确的是（）A. 1λ=1，B. 1λ=2，C. 1λ=3，D. 1λ=44.设AB =a +5b ，BC =-2a +8b ，CD =3a -3b，那么下列各组的点中三点一定共线的是（）A. A ，B ，CB. A ，C ，DC. A ，B ，DD. Ｂ，Ｃ，Ｄ５．下列说法中，正确的是（）①一个平面内只有一对不共线的向量可作为表示该平面内所有向量的基底； ②一个平面内有无数多对不共线的向量可作为表示该平面内所有向量的基底； ③零向量不可作为基底中的向量。

Ａ．①② Ｂ．①③ Ｃ．②③ Ｄ①②③６．已知,1e 2e是同一平面内两个不共线的向量，那么下列两个结论中正确的是（） ①1λ1e +2λ2e（1λ，2λ为实数）可以表示该平面内所有向量；②若有实数1λ，2λ使1λ1e +2λ2e＝0 ，则1λ＝2λ＝０。

Ａ．① Ｂ．② Ｃ．①② Ｄ．以上都不对７．已知ＡＭ＝△ＡＢＣ的ＢＣ边上的中线，若AB ＝a，AC ＝b ，则AM ＝（）Ａ．21（ a － b ）Ｂ．－21（ a － b ）Ｃ．－21（ a ＋b ）Ｄ．21（ a ＋b ）８．已知ＡＢＣＤＥＦ是正六边形，AB ＝a，AE ＝b ，则BC ＝（）Ａ．21（ a － b ）Ｂ．－21（ a － b ）Ｃ．a ＋21b Ｄ．21（ a ＋b ）９．如果３1e +４2e ＝a ，２1e +３2e ＝b ，其中a ，b为已知向量，则1e ＝，2e＝。

１０．已知,1e 2e 是同一平面内两个不共线的向量，且AB ＝２1e +ｋ2e ，CB ＝1e+３2e ，CD ＝２1e－2e，如果Ａ，Ｂ，Ｄ三点共线，则ｋ的值为。

１１．当ｋ为何值时，向量a＝４1e +２2e ，b ＝ｋ1e ＋2e 共线，其中1e 、2e 是同一平面内两个不共线的向量。

１２．已知：1e 、2e 是不共线的向量，当ｋ为何值时，向量a＝ｋ1e +2e 与b ＝1e ＋ｋ2e共线？参考答案例3解：当平行四边形为ABCD 时，由DC AB =得D 1=(2，2)当平行四边形为ACDB 时，得D 2=(4， 6)，当平行四边形为DACB 时，得D 3=(-6，0) 例4解：由题设1F +2F +3F =0,得：(3，4)+ (2，-5)+(x ，y)=(0，0) 即：320,450,x y ++=⎧⎨-+=⎩ ∴5,1.x y =-⎧⎨=⎩∴3F (-5，1)例5解：a ＋b＝（2,1）+（-3,4）=(－1，5)， a －b＝（2,1）-（-3,4）=(5，－3)，3a＋4b ＝3（2,1）+4（-3,4）=（6,3）+（-12,16）=(－6，19).点评：利用平面向量的坐标运算法则直接求解。

例6解：设点D 的坐标为（x,y ）,即 3- x=1,4-y=2. 解得 x=2,y=2.所以顶点D 的坐标为（2，2）. 另解：由平行四边形法则可得(1,3)(2,1)(1,2),(3,4)(,)(3,4),,AB DC x y x y AB DC =---==-=--=且(1,2)(3,4).x y ∴=--(2(1),13)(3(1),43)(3,1),BD BA BC =+=----+---=-(1,3)(3,1)(2,2).OD OB BD =+=-+-=例7解：由题设知，,,A B M 三点共线，且||3||AB AM =，设(,0),(0,)A x B y ， ①点M 在,A B 之间，则有3AB AM =， ∴(,)3(2,3)x y x -=--. 解之得：3,3x y =-=，点,A B 的坐标分别为(3,0),(0,3)-.②点M 不在,A B 之间，则有3AB AM =-，同理，可求得点,A B 的坐标分别为3(,0)2-，(0,9)-.综上，点,A B 的坐标分别为(3,0),(0,3)-或3(,0)2-，(0,9)-. 例8.解：设点(,)M x y ，由题设得(2,3)(3,)(5,7)(35,7)x y λλλλ--=-=--， ∴33,4x y λλ=-=-，要使M 落在第四象限，则330,40x y λλ=->=-<，解之得14λ<<. 例9解：假设满足条件的实数,,x y z 存在，则有8366,23124,1,x y z x y z x y z ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩解之得：1,21,31.6x y z ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩∴满足条件的实数111,,236x y z ===. 拓展提升1.C2.B3.B4.C5.C6.C7.D8.D9.7923,44a b a b +-－ 10.－8 11.②③⑤ 12.k=2。