高三数学集合和复数练习题
高三数学基础练习题
高三数学基础练习题一一、选择题1．已知集合A =⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈=Z ,3πsin|n n x x ，且B ⊆A ，则集合B 的个数为 （ ）A ．3个B ．4个C ．8个D ．16个2．一工人看管5部机器，在1小时内每部机器需要看管的概率是31，则1小时内至少有4部机器需要看管的概率是 （ ） A ．24311 B ．24313 C ．2431D ．243103．在△ABC 中，条件甲：A ＜B ；条件乙：cos 2A ＞cos 2B ，则甲是乙的 （ ） A ．充分但非必要条件B ．必要但非充分条件C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件4．一个年级有12个班，每一个班有50名学生，随机编号为1~50号，为了了解他们的课外兴趣爱好，要求每班的32号学生留下来进行问卷调查，这里运用的方法是 （ ） A ．分层抽样B ．抽签法C ．随机数表法D ．系统抽样法5．若直线x + 2y + m = 0按向量a = (－1，－2) 平移后与圆C ：x 2 + y 2 + 2x －4y = 0相切，则实数m 的值等于 （ ） A ．3或13 B ．3或－13C ．－3或13D ．－3或－136．若偶函数f （x ）在[0，2]上单调递减，则 （ ） A ．f （－1）＞f ⎪⎭⎫⎝⎛41log 5.0＞f （lg0.5） B ．f （lg0.5）＞ f （－1）＞f ⎪⎭⎫ ⎝⎛41log 5.0C ．f ⎪⎭⎫ ⎝⎛41log5.0＞f （－1）＞f （lg0.5）D ．f （lg0.5）＞f ⎪⎭⎫⎝⎛41log5.0＞ f （－1）7．如图，点P 在正方形ABCD 所在平面外，PD ⊥平面ABCD ，PD = AD ，则PA 与BD 所成角 的度数为 （ ） A ．6π B ．4π C ．3π D ．2π8．抛物线y 2 = 2px (p ＞0)上有A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），C （x 3，y 3）三点，F 是它的焦 点，若|AF |、|BF |、|CF |成等差数列，则 （ ）A ．x 1、x 2、x 3成等差数列B ．y 1、y 2、y 3成等差数列C ．x 1、x 3、x 2成等差数列D ．y 1、y 3、y 2成等差数列9．已知a ＞0，函数f （x ）= x 3－ax 在[1，+∞ 上是单调增函数，则a 的最大值为 （ ） A ．0B ．1C ．2D ．310．函数f 1（x ）=x -1，f 2（x ）=||1x -，f 3（x ）=x +1，f 4（x ）=||1x +的图像分别是点集C 1，C 2，C 3，C 4，这些图像关于直线x = 0的对称曲线分别是点集D 1，D 2，D 3，D 4，现给出下列四个命题，其中正确命题的序号是 （ ） ①D 1⊂2D ②D 1∪D 3 = D 2∪D 4 ③D 4⊂D 3 ④D 1∩D 3 = D 2∩D 4A ．①③B ．①②C ．②④D ．③④）二、填空题11．给出平面区域如图所示，使目标函数z = ax + y (a ＞0)取最大值的最优 解有无穷多个，则a 的值为_________________. 12．在△ABC 中，A ，B ，C 成等差数列，则 tan=++2tan2tan32tan2C A C A ______________.13．如图，在四棱锥P －ABCD 中，O 为CD 上的动点，四边形ABCD 满足条件___ ___时V P －AOB 恒为定值. （写出你认为正确的一个即可） 14．若记号“*”表示求两个实数a 与b 的算术平均数的运算，即a * b =2b a +，则两边均含有运算符号“*”和“+”，且对于任意三个实数a 、b 、c 都能成立的一个等式是___ ___.15．设n ≥2，若a n 是(1 + x )n 展开式中含x 2项的系数，则⎪⎪⎭⎫⎝⎛++++∞→n n a a a 111lim 32 等于 .16．设函数f （x ）= sin x ，g （x ）=－9]2 ,0[ ,4392πππ∈-⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛x x x ，则使g （x ）≥f （x ）的x 值的范围是高三数学基础练习题二一、选择题：1．已知集合22{|1},{(,)|1}M y y x N x y x y ==+=+=，则M ⋂N 中元素的个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．多个2．已知复数212,1z a i z a i =+=+，若21z z 是实数，则实数a 的值等于（ ）A ．1B ．一1C ．一2D ．23．函数()log xa f x a x =+在区间[1，2]上的最大值与最小值之和为14-，最大值与最小值之积为38-，则a 等于（ ）A ．2B ． 2或12C ．12D ．234．若函数()sin x f x e x =，则此函数图象在点(4，f (4))处的切线的倾斜角为（ ） A ．2πB ．0C ．钝角D ．锐角5．已知实数a 、b 满足等式23log log a b =，下列五个关系式：① 0<a <b <1； ② 0<b <a <1； ③ a = b ； ④ l<a <b ； ⑤ 1<b <a 。
2023年新高考数学创新题型微专题14 集合,复数,逻辑语言专题(数学文化)(解析版)
专题14 集合，复数，逻辑语言专题（数学文化）一、单选题1．（2022·高一课时练习）数系的扩张过程以自然数为基础，德国数学家克罗内克(Kronecker ，1823﹣1891)说“上帝创造了整数，其它一切都是人造的”设为虚数单位，复数Z 满足()202012Z i i =+，则Z 的共轭复数是（ ） A ．2i + B ．2i − C ．12i − D ．12i +【答案】C【分析】利用虚数单位的幂的运算规律化简即得12Z i =+,然后利用共轭复数的概念判定. 【详解】解：()505202041,12,12i i Z i Z i ==∴=+∴=−,故选：C.2．（2022秋·浙江温州·高一乐清市知临中学校考期中）某国近日开展了大规模COVID -19核酸检测，并将数据整理如图所示，其中集合S 表示（ ）A ．无症状感染者B ．发病者C ．未感染者D ．轻症感染者【答案】A【分析】由S A B =I 即可判断S 的含义.【详解】解：由图可知，集合S 是集合A 与集合B 的交集， 所以集合S 表示：感染未发病者，即无症状感染者， 故选：A.3．（2021秋·湖北十堰·高一校联考期中）必修一课本有一段话：当命题“若p ，则q ”为真命题，则“由p 可以推出q ”，即一旦p 成立，q 就成立，p 是q 成立的充分条件.也可以这样说，若q 不成立，那么p 一定不成立，q 对p 成立也是很必要的.王安石在《游褒禅山记》中也说过一段话：“世之奇伟、瑰怪，非常之观，常在于险远，而人之所罕至焉，故非有志者不能至也”.从数学逻辑角度分析，“有志”是“能至”的（ ）A ．充分条件B ．必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】本题可根据充分条件与必要条件的定义得出结果.【详解】因为“非有志者不能至也”即“有志”不成立时“能至”一定不成立， 所以“能至”是“有志”的充分条件，“有志”是“能至”的必要条件， 故选：B.4．（2022秋·云南曲靖·高一校考期中）杜甫在《奉赠韦左丞丈二十二韵》中有诗句：“读书破万卷，下笔如有神.”对此诗句的理解是读书只有读透书，博览群书，这样落实到笔下，运用起来才有可能得心应手，如有神助一般，由此可得，“读书破万卷”是“下笔如有神”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．充要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C【分析】根据充分条件和必要条件的定义分析判断.【详解】杜甫的诗句表明书读得越多，文章未必就写得越好，但不可否认的是，一般写作较好的人，他的阅读量一定不会少，而且所涉猎的文章范畴也会比一般读书人广泛. 因此“读书破万卷”是“下笔如有神”的必要不充分条件. 故选：C5．（2020·陕西榆林·z a bi =+（a ，b ∈R ）对应向量OZ （O 为坐标原点），设OZ r =，以射线Ox 为始边，OZ 为终边旋转的角为θ，则()cos sin z r i θθ=+，法国数学家棣莫弗发现了棣莫弗定理：()1111cos sin z r i θθ=+，()2222cos sin z r i θθ=+，则()()12121212cos sin z z r r i θθθθ=+++⎡⎤⎣⎦，由棣莫弗定理可以导出复数乘方公式：()()cos sin cos sin nnr i r n i n θθθθ+=+⎡⎤⎣⎦，已知)4z i =，则z =（ ）A ．B ．4C ．D ．16【答案】D【解析】根据复数乘方公式：()()cos sin cos sin nnr i r n i n θθθθ+=+⎡⎤⎣⎦，直接求解即可.【详解】)4441216cos sin 266z ii i ππ⎡⎤⎫⎛⎫===+⎢⎥⎪ ⎪⎪⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎣⎦16cos 4sin 4866i ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯=−+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，16z .故选：D【点睛】本题考查了复数的新定义题目、同时考查了复数模的求法，解题的关键是理解棣莫弗定理，将复数化为棣莫弗定理形式，属于基础题.6．（2021春·重庆沙坪坝·高三重庆一中校考阶段练习）在代数史上，代数基本定理是数学中最重要的定理之一，它说的是：任何一元n 次复系数多项式()f x 在复数集中有n 个复数根（重根按重数计）那么()31f x x =−在复平面内使()0f x =除了1和12−这两个根外，还有一个复数根为（ ）A ．12B ．12−C ．12D ．12−【答案】B【分析】利用方程根的意义，把12−代入方程，经化简变形即可得解.【详解】因12−是方程()0f x =的根，即32111))22(1(2−−−=⇒==221111)())222(2(−=−−−+⇒=3111)())1222222((−−=−+−⇒=，所以12−是方程()0f x =的根.故选：B7．（2021春·安徽宣城·高一校联考期中）瑞士著名数学家欧拉发现了公式i cos isin x x x e =+（i 为虚数单位），它将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位.根据欧拉公式可知，3i 4e π表示的复数在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【答案】B【分析】根据欧拉公式代入求解即可. 【详解】解：根据欧拉公式i e cos isin x x x=+，得3πi 43π3πecosisin 44=+=+，即它在复平面内对应的点为22⎛ ⎝⎭， 故位于第二象限. 故选：B.8．（2022·全国·高三专题练习）“虚数”这个名词是17世纪著名数学家、哲学家笛卡尔()ReneDescartes 创制的，直到19世纪虚数才真正闻人数的领域，虚数不能像实数一样比较大小.已知复数z ，1z =且(1i)0z ⋅+>(其中i 是虚数单位)，则复数z =（ ）ABC D 【答案】C【分析】根据条件，设i z a b =+，再列式求,a b ，即可得到复数. 【详解】设i z a b =+，221a b +=，①()()()()i 1i i>0a b a b a b ++=−++，得0a b +=，且0a b −> ②，由①②解得：a =b =所以22z =−. 故选：C9．（2022·全国·高三专题练习）2022年1月，中科大潘建伟团队和南科大范靖云团队发表学术报告，分别独立通过实验，验证了虚数i 在量子力学中的必要性，再次说明了虚数i 的重要性．对于方程310x +=，它的两个虚数根分别为（ ）A ．12B ．12−C D 【答案】A【分析】根据方程根的定义进行验证．【详解】首先实系数多项式方程的虚数根成对出现，它们互为共轭复数，因此排除CD ，A 选项，31110+=+==， 因此选项A 正确，则选项B 错误（因为3次方程只有3个根（包括重根））．故选：A ．10．（2022·全国·高三专题练习）人们对数学研究的发展一直推动着数域的扩展，从正数到负数、从整数到分数、从有理数到实数等等．16世纪意大利数学家卡尔丹和邦贝利在解方程时，首先引进了2i 1=−，17世纪法因数学家笛卡儿把i 称为“虚数”，用i(R)a b a b +∈、表示复数，并在直角坐标系上建立了“复平面”．若复数z 满足方程2250z z ++=，则z =（ ） A ．12i −+ B ．2i −−C ．12i −±D ．2i −±【答案】C【分析】设出复数z 的代数形式，再利用复数为0列出方程组求解作答. 【详解】设i(,R)z a b a b =+∈，因2250z z ++=，则2(i)2(i)50a b a b ++++=，即22(25)2(1)i 0a b a b a −++++=，而,R a b ∈，则222502(1)0a b a b a ⎧−++=⎨+=⎩，解得12a b =−⎧⎨=±⎩，所以12i z =−±. 故选：C11．（2022·高一单元测试）中国古代重要的数学著作《孙子算经》下卷有题：今有物，不知其数.三三数之，剩二；五五数之，剩三；七七数之，剩二.问：物几何？现有如下表示：已知{}32,A x x n n N *==+∈，{}53,B x x n n N *==+∈，{}72,C x x n n N *==+∈，若x A B C ∈⋂⋂，则下列选项中符合题意的整数x 为 A ．8 B ．127C ．37D ．23【答案】D【解析】将选项中的数字逐一代入集合A 、B 、C 的表达式，检验是否为A 、B 、C 的元素，即可选出正确选项．【详解】因为8711=⨯+，则8C ∉，选项A 错误；1273421=⨯+，则127A ∉，选项B 错误； 373121=⨯+，则37A ∉，选项C 错误；23372=⨯+，故23A ∈；23543=⨯+，故x B ∈；23732=⨯+，故x C ∈，则23A B C ∈⋂⋂，选项D 正确. 故选：D ．12．（2022秋·浙江温州·高一校考阶段练习）在数学漫长的发展过程中，数学家发现在数学中存在着神秘的“黑洞”现象．数学黑洞：无论怎样设值，在规定的处理法则下，最终都将得到固定的一个值，再也跳不出去，就像宇宙中的黑洞一样．目前已经发现的数字黑洞有“123黑洞”、“卡普雷卡尔黑洞”、“自恋性数字黑洞”等．定义：若一个n 位正整数的所有数位上数字的n 次方和等于这个数本身，则称这个数是自恋数．已知所有一位正整数的自恋数组成集合A ，集合{}34,|B x x x =−<<∈Z ，则A B ⋂的子集个数为（ ） A ．3 B ．4C ．7D ．8【答案】D【分析】根据自恋数的定义可得集合A ，再根据交集的定义求出A B ⋂，从而可得答案. 【详解】解：依题意，{}1,2,3,4,5,6,7,8,9A =，{}2,1,0,1,2,3B =−−， 故{}1,2,3A B =，故A B ⋂的子集个数为8． 故选：D ．13．（2019·江西·高三校联考阶段练习）我国南北朝数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法，其理论依据是：设实数x 的不足近似值和过剩近似值分别为ba 和d c （,,,abcd N +∈），则b da c ++是x 的更为精确的不足近似值或过剩近似值.我们知道 2.71828e =⋯，若令2714105e <<，则第一次用“调日法”后得4115是e 的更为精确的过剩近似值，即27411015e <<，若每次都取最简分数，那么第三次用“调日法”后可得e 的近似分数为 A ．10940B ．6825C ．197D ．8732【答案】C【解析】利用“调日法”进行计算到第三次，即可得到本题答案. 【详解】第一次用“调日法”后得4115是e 的更为精确的过剩近似值，即27411015e <<；第二次用“调日法”后得6825是e 的更为精确的过剩近似值，即27681025<<e ；第三次用“调日法”后得197是e 的更为精确的不足近似值，即1968725<<e ，所以答案为197. 故选：C【点睛】本题考查“调日法”，主要考查学生的计算能力，属于基础题.14．（2022·上海·高一专题练习）古希腊科学家阿基米德在《论平面图形的平衡》一书中提出了杠杆原理，它是使用天平秤物品的理论基础，当天平平衡时，左臂长与左盘物品质量的乘积等于右臀长与右盘物品质量的乘积，某金店用一杆不准确的天平（两边臂不等长）称黄金，某顾客要购买10g 黄金，售货员先将5g 的砝码放在左盘，将黄金放于右盘使之平衡后给顾客；然后又将5g 的砝码放入右盘，将另一黄金放于左盘使之平衡后又给顾客，则顾客实际所得黄金（ ） A ．大于10g B ．小于10gC ．大于等于10gD ．小于等于10g【答案】A【分析】设天平左臂长为a ，右臂长为b （不妨设a b >），先称得的黄金的实际质量为1m ，后称得的黄金的实际质量为2m .根据天平平衡，列出等式，可得12,m m 表达式，利用作差法比较12m m +与10的大小，即可得答案.【详解】解：由于天平的两臂不相等，故可设天平左臂长为a ，右臂长为b （不妨设a b >）， 先称得的黄金的实际质量为1m ，后称得的黄金的实际质量为2m . 由杠杆的平衡原理：15bm a =⨯，25am b =⨯．解得15a m b =，25bm a=， 则1255b am m a b+=+. 下面比较12m m +与10的大小：（作差比较法）因为()()2125551010b a b a m m a b ab−+−=+−=， 因为a b ¹，所以()250b a ab−>，即1210m m +>. 所以这样可知称出的黄金质量大于10g . 故选：A15．（2022·图所示，我们教材中利用该图作为几何解释的是（ ）A ．如果,a b b c >>，那么a c >B ．如果0a b >>，那么22a b >C ．如果,0a b c >>，那么ac bc >D ．对任意实数a 和b ，有222a b ab +≥，当且仅当a b =时，等号成立 【答案】D【分析】直角三角形的两直角边长分别为,a b ，斜边长为c ，则222c a b =+，利用大正方形的面积与四个直角三角形面积和的不等关系得结论．【详解】直角三角形的两直角边长分别为,a b ，斜边长为c ，则222c a b =+，在正方形的面积为2c ，四个直角三角形的面积和为2ab ，因此有22c ab ≥，即222a b ab +≥，当且仅当a b =时，中间没有小正方形，等号成立． 故选：D ．16．（2022秋·北京丰台·高一统考期末）《几何原本》卷Ⅱ的几何代数法成了后世西方数学家处理数学问题的重要依据.通过这一原理，很多代数的定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明现有如图所示图形，点F 在半圆O 上，点C 在直径AB 上，且OF ⊥AB ，设AC ＝a ，BC ＝b ，可以直接通过比较线段OF 与线段CF 的长度完成的无字证明为（ ）A ．a 2+b 2≥2ab （a ＞0，b ＞0）B ．0,0)2a ba b +>>>C ．2a b +≤a ＞0，b ＞0） D ．2aba b≤+a ＞0，b ＞0） 【答案】C【分析】由图形可知()1122OF AB a b ==+，()12OC a b =−，在Rt △OCF 中，由勾股定理可求CF ，结合CF ≥OF 即可得出.【详解】解：由图形可知，()1122OF AB a b ==+，()()1122OC a b b a b =+−=−， 在Rt △OCF 中，由勾股定理可得，CF ∵CF ≥OF ，()12a b ≥+，故选：C.17．（2022·全国·高三专题练习）18世纪末，挪威测量学家维塞尔首次利用坐标平面上的点来表示复数，使复数及其运算具有了几何意义，例如z OZ =，也即复数z 的模的几何意义为z 对应的点Z 到原点的距离．已知复数z 满足2z =，则34i z −−的最大值为（ ） A ．3 B ．5 C ．7 D ．9【答案】C【分析】由复数几何意义可得(),Z x y 的轨迹为圆224x y +=，从而将问题转化为点(),Z x y 到点()3,4的距离，则所求最大值为圆心到()3,4的距离加上半径. 【详解】2z =，z ∴对应的点(),Z x y 的轨迹为圆224x y +=；34i z −−的几何意义为点(),Z x y 到点()3,4的距离，max 34i 27z ∴−−==.故选：C.18．（2022·全国·高三专题练习）数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系，并给出以下公式i e cos isin x x x =+，（其中i 是虚数单位，e 是自然对数的底数，x ∈R ），这个公式在复变论中有非常重要的地位，被称为“数学中的天桥”，根据此公式，有下列四个结论，其中正确的是（ ）A ．i πe 10−=B ．i i 2cos e e x x x −=+C ．i i 2sin e e x x x −=−D ．2022i 122⎛⎫+=− ⎪ ⎪⎝⎭【答案】B【分析】根据已知条件的公式及诱导公式，结合复数运算法则逐项计算后即可求解. 【详解】对于A ，πi e πcos i πsin 1=+=−，所以i πe 1112−=−−=−，故A 不正确； 对于B ，i e cos isin x x x =+，()()i ecos isin cos isin xx x x x −=−+−=−，所以i i e e 2cos x x x −+=，故B 正确； 对于C ，i e cos isin x x x =+，()()i ecos isin cos isin xx x x x −=−+−=−，所以i i e e 2isin x x x −=−，故C 不正确；对于D ，202220222022πi 4ππ2022π2022πcos isin e cosisin 4444⎫⎛⎫⎛⎫=+==+⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ππcosisin i 22=−−=−，故D 不正确. 故选：B.19．（2020·天津·南开中学校考模拟预测）由无理数引发的数学危机一直延续到19世纪，直到1872年，德国数学家戴金德提出了“戴金德分割”才结束了持续2000多年的数学史上的第一次大危机.所谓戴金德分割，是指将有理数集Q 划分为两个非空的子集M 与N ，且满足M N ⋃=Q ，M N ⋂=∅，M 中的每一个元素都小于N 中的每一个元素，则称(),M N 为戴金德分割.试判断，对于任一戴金德分割(),M N ，下列选项中一定不成立的是（ ）A ．M 没有最大元素，N 有一个最小元素B ．M 没有最大元素，N 也没有最小元素C ．M 有一个最大元素，N 有一个最小元素D ．M 有一个最大元素，N 没有最小元素 【答案】C【分析】本题目考察对新概念的理解，举具体的实例证明成立即可，A,B,D 都能举出特定的例子，排除法则说明C 选项错误【详解】若{},0M x Q x =∈<，{},0N x Q x =∈≥；则M 没有最大元素，N 有一个最小元素0；故A 正确；若{,M x Q x =∈，{,N x Q x =∈≥；则M 没有最大元素，N 也没有最小元素；故B 正确； 若{},0M x Q x =∈≤，{},0N x Q x =∈>；M 有一个最大元素，N 没有最小元素，故D 正确； M 有一个最大元素，N 有一个最小元素不可能，故C 不正确.故选：C20．（2021春·安徽·高三校联考阶段练习）不定方程的整数解问题是数论中一个古老的分支，其内容极为丰富，西方最早研究不定方程的人是希腊数学家丢番图．请研究下面一道不定方程整数解的问题：已知()202022,x y y x Z y Z +=∈∈，则该方程的整数解有（ ）组．A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】D【分析】原方程可化为20202(1)1x y +−=，所以2||1,(1)1,x y ≤−≤即11,02x y −≤≤≤≤，(),x y Z ∈再列举每种情况即可.【详解】设此方程的解为有序数对(,)x y ， 因为202022,(,)x y y x y Z +=∈ 所以20202(1)1x y +−=当20201x >或2(1)1y −>时，等号是不能成立的， 所以2||1,(1)1,x y ≤−≤即11,02x y −≤≤≤≤，(),x y Z ∈ （1）当=1x −时，2(1)0y −=即1y = （2）当0x =时，2(1)1y −=即0y =或2y = （3）当1x =时，2(1)0y −=即1y =综上所述，共有四组解()()()()1,1,0,0,0,2,1,1−− 故选：D21．（2022秋·四川成都·高一成都七中校考期中）对于直角三角形的研究，中国早在商朝时期，就有商高提出了“勾三股四弦五”这样的勾股定理特例，而西方直到公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯才提出并证明了勾股定理．如果一个直角三角形的斜边长等于5，则这个直角三角形周长的最大值等于（ ）． A．B ．10 C ．5+D ．252【答案】C【分析】先由勾股定理得2225a b +=，再利用基本不等式易得()250a b +≤，由此得到5a b c ++≤+问题得解.【详解】不妨设该直角三角形的斜边为5c =，直角边为,a b ，则22225a b c +==，因为222ab a b ≤+，所以()222222a b ab a b ++≤+，即()250a b +≤，当且仅当a b =且2225a b +=，即a b ==因为0,0a b >>，所以a b +≤所以该直角三角形周长5a b c c ++≤=+5+. 故选：C.22．（2017·湖北·校联考一模）我国古代太极图是一种优美的对称图.如果一个函数的图像能够将圆的面积和周长分成两个相等的部分，我们称这样的函数为圆的“太极函数”.下列命题中错误．．命题的个数是 1:P 对于任意一个圆其对应的太极函数不唯一；2:P 如果一个函数是两个圆的太极函数，那么这两个圆为同心圆；3:P 圆22(1)(1)4x y −+−=的一个太极函数为32()33f x x x x =−+； 4:P 圆的太极函数均是中心对称图形；5:P 奇函数都是太极函数；6:P 偶函数不可能是太极函数.A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】B【详解】由定义可知过圆O 的任一直线都是圆O 的太极函数，故1P 正确；当两圆的圆心在同一条直线上时，那么该直线表示的函数为太极函数，故2P 错误；∵()()3323311f x x x x x =−+=−+，∴()f x 的图象关于点()1,1成中心对称，又∵圆()()22114x y −+−=关于点()1,1成中心对称，故()3233f x x x x =−+可以为圆()()22114x y −+−=的一个太极函数，故3P 正确；太极函数的图象一定过圆心，但不一定是中心对称图形，例如：故4P 函数可以为太极函数，故5P 正确；如图所示偶函数可以是太极函数，故6P 错误；则错误的命题有3个，故选B.二、多选题23．（2021春·广东梅州·高二统考期末）欧拉公式i cos isin x e x x =+（其中i 为虚数单位，x R ∈）是由瑞士著名数学家欧拉创立的，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里而占有非常重要的地位，被誉为数学中的天桥，依据欧拉公式，下列选项正确的是（ ）A ．复数i e 对应的点位于第一象限B ．i e π为纯虚数C ix 的模长等于12D ．i 6e π的共轭复数为12【答案】AC【分析】根据欧拉公式计算出各复数，再根据复数的几何意义，纯虚数的概念，复数模的计算公式，共轭复数的概念即可判断各选项的真假． 【详解】对A ，i cos1isin1e =+，因为012π<<，所以cos10,sin10>>，即复数i e 对应的点()cos1,sin1位于第一象限，A 正确；对B ，i cos isin 1e πππ=+=−，i e π为实数，B 错误；对C ()i cos isin ix x x +，ix12，C 正确；对D ，πi 6ππ1cos isin i 662e =++1i 2−，D 错误． 故选：AC ．24．（2022春·广东梅州·高一统考期末）欧拉公式i e cos isin x x x =+（本题中e 为自然对数的底数，i 为虚数单位）是由瑞士若名数学家欧拉创立，该公式建立了三角函数与指数函数的关系，在复变函数论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，依据欧拉公式，则下列结论中正确的是（ ） A ．i πe 10+=B ．复数2i e 在复平面内对应的点位于第二象限C ．复数πi 3e 1i 2D ．复数i e )(R θθ∈在复平面内对应的点的轨迹是圆 【答案】ABD【分析】由欧拉公式和特殊角的三角函数值可判断A ；由欧拉公式和三角函数在各个象限的符号可判断B ；由欧拉公式和共轭复数的概念可判断C ；由欧拉公式和复数的几何意义可判断D. 【详解】对于A ，i πcos πisin π1101e 10=++=−+++=，A 正确； 对于B ，2i e cos2isin 2=+，cos 20,sin 20<>，∴复数2i e 在复平面内对应的点位于第二象限，B 正确；对于C ，πi 3cosis ππ1e 33n i 2==+，共轭复数为12，C 错误； 对于D ，i e cos isin (R)θθθθ+∈=，在复平面内对应的点为()cos ,sin θθ， 又()()22cos 0sin 01θθ−+−=，∴在复平面内对应的点的轨迹是圆.故选：ABD.25．（2022·高一课时练习）群论是代数学的分支学科，在抽象代数中具有重要地位，且群论的研究方法也对抽象代数的其他分支有重要影响，例如一元五次及以上的方程没有根式解就可以用群论知识证明.群的概念则是群论中最基本的概念之一，其定义如下：设G 是一个非空集合，“· ”是G 上的一个代数运算，即对所有的a 、b ∈G ，有a ·b ∈G ，如果G 的运算还满足：①∀a 、b 、c ∈G ，有（a ·b ）·c =a ·（b ·c ）；②e G ∃∈，使得a G ∀∈，有e a a e a ⋅=⋅=，③a G ∀∈，b G ∃∈，使a ·b =b ·a =e ，则称G 关于“·”构成一个群.则下列说法正确的有（ ）A ．{1,0,1}G =−关于数的乘法构成群B ．G ={x |x =1k，k ∈Z ，k ≠0}∪{x |x =m ，m ∈Z ，m ≠0}关于数的乘法构成群C ．实数集关于数的加法构成群D ．{|,Z}G m m n =∈关于数的加法构成群 【答案】CD【分析】根据群的定义需满足的三个条件逐一判断即可.【详解】对于A ：若{1,0,1}G =−，对所有的a 、b G ∈，有{1,0,1}a b G ⋅∈−=， 满足乘法结合律，即①成立，满足②的e 为1，但当0a =时，不存在b G ∈，使得··1a b b a e ===，即③不成立， 即选项A 错误； 对于B ：因为12a G =∈，且3b G =∈，但13322a b G ⋅=⨯=∉，所以选项B 错误；对于C ：若R G =，对所有的a 、R b ∈，有R a b +∈， 满足加法结合律，即①成立，满足②的e 为0，R a ∀∈，R b a ∃=−∈，使0a b b a +=+=，即③成立；即选项C 正确；对于D：若{|,Z}G m m n =∈，所有的11a m =、22b m G =∈，有1212(+)a b m m n n G +=+∈，,,,a b c G ∀∈()()++=++a b c a b c 成立， 即①成立；当0a b ==时，0a =，满足的0e =，即②成立；a m G ∀=∈，b m G ∃=−∈，使0a b b a +=+=，即③成立；即选项D 正确. 故选：CD.26．（2020秋·江苏盐城·高二江苏省东台中学校考期中）《九章算术》中“勾股容方”问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？”魏晋时期数学家刘徽在其《九章算术注》中利用出入相补原理给出了这个问题的一般解法：如图1，用对角线将长和宽分别为b 和a 的矩形分成两个直角三角形，每个直角三角形再分成一个内接正方形（黄）和两个小直角三角形（朱、青）.将三种颜色的图形进行重组，得到如图2所示的矩形，该矩形长为a b +，宽为内接正方形的边长d .由刘徽构造的图形可以得到许多重要的结论，如图3.设D 为斜边BC 的中点，作直角三角形ABC 的内接正方形对角线AE ，过点A 作AF BC ⊥于点F ，则下列推理正确的是（ ）①由图1和图2面积相等得abd a b=+； ②由AE AF ≥2a b+≥； ③由AD AE ≥211a b ≥+； ④由AD AF ≥可得222a b ab +≥. A ．①B ．②C ．③D ．④【答案】ABCD【解析】根据图1，图2面积相等，可求得d 的表达式，可判断A 选项正误，由题意可求得图3中,,AD AEAF的表达式，逐一分析B 、C 、D 选项，即可得答案.【详解】对于①：由图1和图2面积相等得()S ab a b d ==+⨯，所以abd a b=+，故①正确； 对于②：因为AF BC ⊥，所以12a b AF ⨯⨯，所以AF =，设图3中内接正方形边长为t ，根据三角形相似可得a t t a b−=，解得abt a b =+，所以AE ==因为AE AF ≥，所以a b ≥+2a b +≥，故②正确； 对于③：因为D 为斜边BC的中点，所以AD =因为AD AE ≥≥211a b≥+，故③正确； 对于④：因为AD AF ≥≥，整理得：222a b ab +≥，故④正确； 故选：ABCD【点睛】解题的关键是根据题意及三角形的性质，利用几何法证明基本不等式，求得,,AD AE AF 的表达式，根据图形及题意，得到,,AD AE AF 的大小关系，即可求得答案，考查分析理解，计算化简的能力. 27．（2022秋·黑龙江佳木斯·高一桦南县第一中学校考期中）《几何原本》卷Ⅱ的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据.通过这一原理，很多代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称为无字证明.现有如图所示图形，点D 在半圆O 上，点C 在直径AB 上，且CD AB ⊥.设AC a =，CB b =，CE OD ⊥，垂足为E ，则该图形可以完成的无字证明为（ ）A2aba b+B．2a b +≤C．2a b+≥ D．22a b +≥【答案】AC【解析】直接利用射影定理和基本不等式的应用求出结果．【详解】解：根据图形，利用射影定理得：2CD DE OD =，由于：OD CD …，所以：0,0)2a ba b +>>． 由于2·CD AC CB ab ==，所以22CD abDE a b OD ==+所以由于CD DE …，2aba b+． 故选：AC ．【点睛】关键点点睛：射影定理的应用，基本不等式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．28．（2022秋·辽宁大连·高一大连八中校考阶段练习）古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度0.618≈，称为黄金分割比例），著名的“断臂维纳斯”便是如此..若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105cm ，头顶至脖子下端的长度为26cm ，则其身高可能是（ ） A ．168cm B ．172cmC ．176cmD ．180cm【答案】BC【分析】设身高为cm x ，运用黄金分割比例，结合图形得到对应成比例的线段，计算可估计身高. 【详解】设头顶、咽喉、肚脐、足底分别为点A B C D 、、、,假设身高为cm x ，即cm =AD x ，，ACCD∴=AC∴=.AC CD x+=，且AC=，=CD x+，=x,12CD x∴==，ABBC∴=,AB∴=,AB BC CD x++=,且AB，CD=，BC x+=，)2BC x∴=,)2AB x∴===,由题意可得26105AB xCD⎧=<⎪⎪⎨⎪=>⎪⎩，xx⎧<⎪⎪∴⎨⎪>⎪⎩178.21169.89xx<⎧∴⎨>⎩，169.89178.21x∴<<,故BC正确.故选：BC29．（2021秋·全国·高一期末）早在西元前6世纪，毕达哥拉斯学派已经知道算术中项，几何中项以及调和中项，毕达哥拉斯学派哲学家阿契塔在《论音乐》中定义了上述三类中项，其中算术中项，几何中项的定义与今天大致相同．而今我们称2a b+为正数,a b,a b的几何平均数，并把这两者()0,02a ba b+≤>>叫做基本不等式．下列与基本不等式有关的命题中正确的是（）A．若4ab=，则4a b+≥B．若0a>，0b>，则()112a ba b⎛⎫++⎪⎝⎭最小值为C．若(),0,a b∈+∞，21a b+=，1142a b+≥D ．若实数,a b 满足0a >，0b >，4a b +=，则2211a b a b +++的最小值是83 【答案】CD【分析】通过反例可知A 错误；根据基本不等式“1”的应用可求得BC 正误；令11a m +=>，11b n +=>，将所求式子化为62mn+，利用基本不等式可知D 正确. 【详解】对于A ，若2a =−，2b =−，则44a b +=−<，A 错误；对于B ，0a >，0b >，0a b∴>，0ba >，()1122333a b a b a b b a ⎛⎫∴++=++≥++ ⎪⎝⎭2a b b a =，即a =时取等号），即()112a ba b ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的最小值为3+B 错误；对于C ，(),0,a b ∈+∞，0a b∴>，0ba >，又21ab +=，()111122224222b a a b a b a b a b ⎛⎫∴+=++=++≥+ ⎪⎝⎭（当且仅当22b a a b =，即122b a ==时取等号），C 正确；对于D ，令11a m +=>，11b n +=>，则6m n +=，()()22221111116422211m n a bm n a b m n m n m n mn−−+=+=+++−=++=+∴≥+++26832m n =+⎛⎫ ⎪⎝⎭（当且仅当3m n ==时取等号），即2211a ab ++的最小值是83，D 正确. 故选：CD.30．（2022秋·辽宁大连·高一统考期末）十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“＝”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“＜”和“＞”符号，不等号的引入对不等式的发展影响深远．若a ，b ，R c ∈，则下列命题正确的是（ ） A ．若0ab ≠且a b <，则11a b> B ．若a b >，01c <<，则a b c c < C ．若1a b >>，1c >，则log log a b c c < D ．若1a b <<−，0c >，则cca b b a ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】BCD【分析】利用不等式性质结合可判断A ，根据指数函数的性质可判断B ，根据不等式性质结合对数函数的性质可判断C ，根据幂函数的性质可判断D.【详解】A 中，0a b <<时，则11a b<，错误；B 中，因为a b >，01c <<，所以a b c c <成立，正确；C 中，因为1a b >>，1c >，所以log log 0c c a b >>，10log log c c a b>⋅，所以11log log c c a b<，即log log a b c c <，正确； D 中，由1a b <<−，可得10a b b a >>>，又0c >，所以cca b b a ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，正确.故选：BCD.三、填空题31．（2022·全国·高三专题练习）中国古代数学著作《九章算术》中记载了平方差公式，平方差公式是指两个数的和与这两个数差的积，等于这两个数的平方差.若复数53i,43i a b =+=+（i 为虚数单位），则22a b −=__________． 【答案】96i +【分析】先要平方差公式，再按照复数的四则运算规则计算即可.【详解】()()()()2253i 43i 53i 43i 96i a b a b a b −=+−=++++−−=+ ；故答案为：96i + .32．（2022·全国·高三专题练习）毛泽东同志在《清平乐●六盘山》中的两句诗为“不到长城非好汉，屈指行程二万”“到长城”是“好汉”的__________条件（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”） 【答案】必要不充分【分析】根据充分、必要条件的知识确定正确选项. 【详解】“好汉”⇒“到长城”， “到长城”⇒“好汉”， 所以“到长城”是“好汉”的必要不充分条件. 故答案为：必要不充分33．（2022·高一课时练习）中国古代数学专著《孙子算经》中有一问题“今有三女，长女五日一归，中女四日一归，少女三日一归，问：三女几何日相会？”，则此三女前三次相会经过的天数组成的集合用列举法可表示为______，此三女相会经过的天数组成的集合用描述法可表示为______.【答案】 {}60,120,180 {}*60,N x x n n =∈【分析】根据题设集合元素为5，4，3的公倍数，进而应用列举法、描述法分别写出集合即可.。
复数习题课(新新)
复 数 习 题【知识提要】复数减法几何意义的应用:1. 设复数21,z z 分别对应复平面上两点A 、B ，则21z z AB -=。
2. 设0z 对应的点为C ，以C 为圆心，r 为半径的圆：r z z =-0。
3. 设复数21,z z 分别对应复平面上两点A 、B ，线段AB 的中垂线；21z z z z -=-。
4. 设复数21,z z 分别对应复平面上两点A 、B ，以A 、B 为焦点，长轴长为2a 的椭圆： )2z ( 22121a z a z z z z <-=-+-。
5．设复数21,z z 分别对应复平面上两点A 、B ，以A 、B 为焦点，实轴长为2a 的双曲线： )2( 22121a z z a z z z z >-=---。
【练习】1.计算：________5312i i i i =-+- ； （2）i i i i 212)1()31(63+--++-=_2i____ . 2.复数ii m z 212+-=（)R m ∈在复平面上对应的点不可能位于第__一___象限。
3.已知})65(13,2,1{22i m m m m M --+--= ，1{-=N ，3}，}3{=N M ，则实数m=__________。
解：}3{=N M ，3)65(1322=--+--∴i m m m m ，即 3132=--m m 0652=--m m 1-=∴m._______ , ,91)2() 103(. 4的和等于则实数若y x i x i y i -=+-+-i i y x x y 91)10()23(::-=-+-原式化为解 根据复数相等的充要条件,有910123-=-=-y x x y ， 解得 11==y x ， 2=+∴y xi z z z z z z z ==+-211221 , , 022,..5则在第一象限且的两个根是方程已知. 6．已知5 4log 21≥+i x ，则实数x 的取值范围是_________ 。
(完整)2019-2020年高考数学专题练习——集合与逻辑(一)(含解析)
2019-2020年高考数学专题练习——集合与逻辑（一）一、选择题1.已知集合{}2320A x x x =-+≥，(){}321B x log x +<,则A B =( ) A. {}21x x -<< B.{} 12x x x ≤≥或 C.{} 1x x < D.∅2.集合{}2log 2A x Z x =∈≤的真子集个数为（ ） A ．7 B ．8 C ．15 D ．163.若复数z =（x 2－4）+（x +3）i （x ∈R ），则“z 是纯虚数”是“x =2”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4.设有下面四个命题：1P :若z 满足z C ∈，则 z z R ⋅∈;2P :若虚数(),a bi a R b R +∈∈是方程32 1 0x x x +++=的根，则a bi -也是方程的根: 3P :已知复数12,z z 则12z z =的充要条件是12z z R ∈: 4P ;若复数12z z >,则12,z z R ∈.其中真命题的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．45. “221a b +=”是“sin cos 1a b θθ+≤恒成立”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件6.已知集合{}{}2320,230A x x x B x x =-+<=->，则R A C B ⋂= （ ）A ．31,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭B.31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．31,2⎛⎤⎥⎝⎦D ．3,22⎛⎫⎪⎝⎭7.设集合2{|60,}A x x x x Z =--<∈，{|,,}B z z x y x A y A ==-∈∈，则A ∩B =（ ） A ．{0,1} B ．{0,1,2} C ．{0,1,2,3} D ．{－1,0,1,2}8.已知p ：x R ∀∈，220x x a ++>；q ：28a <.若“p q ∧”是真命题，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(1,+∞)B ．(－∞,3)C ．(1,3)D ．(－∞,1)∪(3,+∞)9.设R θ∈，则“66ππθ-<”是“3sin 2θ<”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件10.设集合{}2|670A x x x =--<，{}|B x x a =≥，现有下面四个命题： p 1：a R ∃∈，A B =∅；p 2：若0a =，则(7,)A B =-+∞； p 3：若(,2)R C B =-∞，则a A ∈；p 4：若1a ≤-，则A B ⊆． 其中所有的真命题为（ ） A ．p 1，p 4 B ．p 1，p 3，p 4 C ．p 2，p 3 D ．p 1，p 2，p 411.已知命题P ：存在n R ∈，使得223()n nf x nx-=是幂函数，且在(0,+∞)上单调递增； 命题q ：“2,23x R x x ∃∈+>”的否定是“2,23x R x x ∀∈+<”.则下列命题为真命题的是 A ．p q ∧ B ．p q ⌝∧ C ．p q ∧⌝ D ．p q ⌝∧⌝12.已知集合M ={x |22194x y +=}，N ={y|132x y+=}，则M ∩N =A ．∅B ．{(3,0)，(2,0)}C ．{3,2}D ．[－3,3]13.设集合{}{}m B m A 2,2,42==，，若φ≠⋂B A ,则m 的取值可能是（ ） A.1 B.2 C.3 D.214.下列判断错误．．的是 （ ） A ．“22bm am <”是“b a <”的充分不必要条件B ．命题“01,23≤--∈∀x x R x ”的否定是“01,23>--∈∃x x R x ”C ．若p ，q 均为假命题,则q p Λ为假命题D ．命题：若12=x ，则1=x 或1-=x 的逆否命题为：若1≠x 或1-≠x ，则12≠x15.已知A ，B ，C ，D ，E 是空间五个不同的点，若点E 在直线BC 上，则“AC 与BD 是异面直线”是“AD 与BE 是异面直线”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．充分必要条件 C.必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件16.下列选项错误的是（ ）A ．命题“若1x ≠，则2320x x -+≠”的逆否命题是“若2320x x -+=，则1x =”B ．“2x >”是“2320x x -+>”的充分不必要条件；C.若命题p ：x R ∀∈，210x x ++≠，则p ⌝：0x R ∃∈，20010x x ++=； D ．在命题的四种形式中，若原命题为真命题，则否命题为假命题17.对于常数m 、n ，“0mn >”是“方程221mx y +=的曲线是椭圆”的（ ）条件 A ．充分不必要 B ．必要不充分 C.充分必要D ．既不充分也不必要条件18.设S 是整数集Z 的非空子集，如果,,a b S ∀∈有ab S ∈，则称S 关于数的乘法是封闭的. 若T,V 是Z 的两个不相交的非空子集，,T U Z ⋃=且,,,a b c T ∀∈有;,,,abc T x y z V ∈∀∈有xyz V ∈，则下列结论恒成立的是（）A. ,T V 中至少有一个关于乘法是封闭的B. ,T V 中至多有一个关于乘法是封闭的C. ,T V 中有且只有一个关于乘法是封闭的D. ,T V 中每一个关于乘法都是封闭的19.设集合S={1，2,3，4,5，6}，定义集合对(A ，B)::，A 中含有3个元素，B 中至少含有2个元素，且B 中最小的元素不小于A 中最大的元素.记满足的集合对(A ，B)的总个数为m ，满足的集合对(A ，B)的总个数为n ，则的值为（ ）A.111 B.161C.221 D.29220.定义非空集合A 的真子集的真子集为A 的“孙集”,则集合{1,3,5,7,9}的孙集的个数为 （） A ．23B ．24C ．26D ．3221.已知：集合2012,3,2,{1,A =}，A B ⊆，且集合B 中任意两个元素之和不能被其差整除。
专题16 复数(习题)-2021届沪教版高考数学一轮复习(上海专用)
2021届高考数学一轮复习 专题16复数一、填空题1．（2020·上海松江·期末）已知复数z 满足，则2z i -（其中i 是虚数单位）的最小值为____________. 【答案】1 【解析】复数z 满足||1(z i =为虚数单位）， 设cos sin z i θθ=+，[0θ∈，2)π．则|2||cos (sin 2)|1z i i θθθ-=+-，当且仅当时取等号．故答案为：1．2．（2020·上海高三其他）若复数z 满足i 12i01z+=，其中i 是虚数单位，则z 的虚部为________ 【答案】1- 【解析】i 12i 01z +=即12(12)0,2iiz i z i i+-+===-，z 的虚部为1-故答案为1- 【点睛】本题考查了行列式的计算，复数的虚部，意在考查学生的计算能力. 3．（2020·上海普陀·高三一模）设i 是虚数单位，若11z ai i=++是实数，则实数a = 【答案】12【解析】依题意，由于z 为实数，故110,22a a -==.4．（2020·上海市建平中学高三月考）已知x C ∈，且，则_____． 【答案】4或-1【解析】由()()54321110x x x x x x -=-++++=,得1x =,或43210x x x x ++++=,进而得到答案．∵x C ∈，且()()54321110x x x x x x -=-++++=,故1x =,或43210x x x x ++++=， 当1x =时,,当43210x x x x ++++=时， ， 故，或-1故答案为：4或-1．5．（2020·上海市建平中学高三月考）设复数z 满足||1z =，使得关于x 的方程有实根，则这样的复数z 的和为________ 【答案】32- 【解析】设z a bi =+，（且），将原方程变为，则2220ax ax ++=①且220bx bx -=②；再对b 分类讨论可得；设z a bi =+，（且） 则原方程变为所以2220ax ax ++=，①且220bx bx -=，②；（1）若0b =，则21a =解得1a =±，当1a =时①无实数解，舍去；从而1a =-，此时1x =-，故1z =-满足条件；（2）若0b ≠，由②知，0x =或2x =，显然0x =不满足，故2x =，代入①得14a =-，b =所以14z =-±综上满足条件的所以复数的和为 故答案为：32-6．（2019·上海市建平中学高三月考）设复数z 满足(4)32i z i -=+（i 是虚数单位），则z 的虚部为_______． 【答案】-3 【解析】试题分析：由题意得：32436iz i i+=+=-+，其虚部为-3 7．（2019·上海市建平中学高三月考）已知复数z 满足(1i)1i z +=-，则Re()z =________ 【答案】0 【解析】因为，所以()Re 0z =. 故答案为0.8．（2020·上海普陀·三模）在复平面内，点()2,1A -对应的复数z ，则1z +=___________【解析】由题意2z i =-+，∴。
2023-2024学年北京市海淀区高三上学期期末练习数学试题+答案解析
2023-2024学年北京市海淀区高三上学期期末练习数学试题一、单选题：本题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，，则()A. B. C. D.2.如图，在复平面内，复数，对应的点分别为，，则复数的虚部为()A. B. C. D.3.已知直线，直线，且，则()A.1B.C.4D.4.已知抛物线的焦点为F，点M在C上，，O为坐标原点，则()A. B.4 C.5 D.5.在正四棱锥中，，二面角的大小为，则该四棱锥的体积为()A.4B.2C.D.6.已知圆，直线与圆C交于A，B两点.若为直角三角形，则()A. B. C. D.7.若关于x的方程且有实数解，则a的值可以为()A.10B.eC.2D.8.已知直线，的斜率分别为，，倾斜角分别为，，则“”是“”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件9.已知是公比为的等比数列，为其前n项和.若对任意的，恒成立，则()A.是递增数列B.是递减数列C.是递增数列D.是递减数列10.蜜蜂被誉为“天才的建筑师”.蜂巢结构是一种在一定条件下建筑用材面积最小的结构.如图是一个蜂房的立体模型，底面ABCDEF是正六边形，棱AG，BH，CI，DJ，EK，FL均垂直于底面ABCDEF，上顶由三个全等的菱形PGHI，PIJK，PKLG构成.设，，则上顶的面积为()参考数据：，A. B. C. D.二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11.在的展开式中，x的系数为__________.12.已知双曲线的一条渐近线为，则该双曲线的离心率为__________.13.已知点A，B，C在正方形网格中的位置如图所示.若网格纸上小正方形的边长为1，则__________；点C到直线AB的距离为__________.14.已知无穷等差数列的各项均为正数，公差为d，则能使得为某一个等差数列的前n项和的一组，d的值为__________，__________.15.已知函数给出下列四个结论：①任意，函数的最大值与最小值的差为2；②存在，使得对任意，；③当时，对任意非零实数x，；④当时，存在，，使得对任意，都有其中所有正确结论的序号是__________.三、解答题：本题共6小题，共72分。
第五章复数（讲义+典型例题）（原卷板）
第五章复数（讲义+典型例题）一．数系的扩充和复数的概念1.复数的定义：设i 为方程21x =-的根，i 称为虚数单位，形如()a bi a b R +∈、的数，称为复数.所有复数构成的集合称复数集,通常用C 来表示.a 为实部，b 为虚部2．复数集整 数有 理 数实数(0)分 数复 数(,)无理数(无限不循环小数)纯 虚 数(0)虚 数(0)非 纯 虚 数(0)b a bi a b R a b a ⎧⎧⎧⎪⎪⎨=⎨⎪⎩⎪⎪+∈⎨⎩⎪⎧≠⎪≠⎨⎪=⎩⎩例1（1）．（2021·浙江·绍兴市柯桥区教师发展中心模拟预测）已知a ∈R ，若复数2i z a a a =++（i 是虚数单位）是纯虚数，则=a （ ）A ．0B ．1C ．1-D ．2（2）．（2021·全国·模拟预测）设i 是虚数单位，则下列是虚数的是（ ） A ．fB ．gC ．hD ．i举一反三（1）．（2021·广东佛山·模拟预测）在复数范围内方程230x +=的解为（ ） A ．3i -B 3iC ．3i ±D ．3（2）．（2021·福建泉州·一模）已知i 是虚数单位，则“i a =”是“21a =-”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件二．复数的几何意义1. 复平面在直角坐标系里，点z 的横坐标是a ，纵坐标是b ，复数i z a b =+可用点(,)Z a b 来表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x 轴为实轴，y 轴出去原点的部分称为虚轴．2.复数的坐标表示 点(,)Z a b3.复数的向量表示 向量OZ ．4.复数的模在复平面内，复数i z a b =+对应点(,)Z a b ，点Z 到原点的距离OZ 叫做复数z 的模，记作z ．由定义知，22z a b =+．例2（1）．（2021·四川自贡·一模（理））复数(3)i z a a =+-（a ∈R ，i 为虚数单位），在复平面内所对应的点在2y x =上，则||z =（ ） A ．3B ．5C ．7D ．10（2）．（2021·全国·模拟预测）已知i 是虚数单位，复数3i2iz -=+的共轭复数在复平面中对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限举一反三（1）．（山东省大教育联盟学校2021-2022学年高三下学期收心考试（开学考试）数学试题）已知a ∈R ，若在复平面内复数185i z =+与24i z a =+对应的两点之间的距离为4，则=a （ ）． A ．4B ．5C ．6D ．81（2）．（2022·河南濮阳·高三开学考试（理））已知复数z 满足34i z z =+，则=z （ ） A ．1B 5C 10D ．5复数bia z +=复平面 内的点 Z （a,b ）平面向量OZ（3）．（2022·上海市崇明区横沙中学高一期末）若复数(2)(2)i,(R)z m m m =++-∈在复平面上对应的点在第四象限，则m 的取值范围是__．(4)．（2022·江西上饶·高二期末（文））已知复数()()226832i z m m m m =-++-+，其中i 是虚数单位，m 为实数．(1)当复数z 为纯虚数时，求m 的值；(2)当复数i z ⋅在复平面内对应的点位于第三象限时，求m 的取值范围．三． 两个复数相等的定义：a bi c di a c +=+⇔=且b d =（其中a b c d R ∈，，，，）特别地，00a bi a b +=⇔==.例3（2022·浙江·模拟预测）设2,1i i a R a a ∈+=+（i 为虚数单位），则a ＝（ ） A ．－1B ．0C ．1D ．1或－1举一反三(1)．（2021江苏无锡·模拟预测）已知,x y R ∈，且32x i yi +=+，则,x y 的值分别为（ ） A ．21,3B ．3,1C ．2,13D ．1,3（2）（2021·河南·模拟预测（文））已知a 、R b ∈，()()()12i 131i a a b -+=-+-，则（ ）A ．2b a =-B ．2b a =C ．2a b =-D ．2a b =四．共轭复数若两个复数的实部相等，而虚部是互为相反数时，这两个复数叫互为共轭复数；特别地，虚部不为0的两个共轭复数也叫做共轭虚数；【注：两个共轭复数之差是纯虚数.（×）[之差可能为零，此时两个复数是相等的]】若z=a+bi ，则z a bi =+的共轭复数记作z a bi =-；例4.（2019·全国·高考真题（理））设z =-3+2i ，则在复平面内z 对应的点位于 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限举一反三(1)．（2021·浙江·模拟预测）复数1i +（i 为虚数单位）的共轭复数在复平面中对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限(2)．（2021·黑龙江·哈九中模拟预测（理））满足条件34z i i -=+的复数z 的共轭复数在复平面上对应的点所在象限是（ ） A ．一B ．二C ．三D ．四五．复数的加减运算 设111z a b i =+，222z a b i =+（1）加法：()()121212z z a a b b i +=+++，即实部与实部相加，虚部与虚部相加；几何意义： 设1i z a b =+对应向量1(,)OZ a b =，2i z c d =+对应向量2(,)OZ c d =，则12z z +对应的向量为12(,)OZ OZ a c b d +=++．因此复数的和可以在复平面上用平行四边形法则解释．例5（2020·上海普陀·三模）在复平面内，点()2,1A -对应的复数z ，则1z +=___________举一反三（1）．（2022·全国·高一课时练习）已知复数1234i,34i z z =+=-，则12z z +等于( ) A ．8i B ．6 C ．68i + D ．68i -（2）．（2022·全国·高一）如图所示，已知复数111i z a b =+，()2221122i ,,,z a b a b a b R =+∈所对应的向量()11,OA a b =，()22,OB a b =，它们的和为向量OC ．请根据两个向量相加的运算写出对应的复数运算过程．（2）减法：()()121212z z a a b b i -=-+-，即实部与实部相减，虚部与虚部相减；几何意义： 设1i z a b =+对应向量1(,)OZ a b =，2i z c d =+对应向量2(,)OZ c d =，则12z z -对应的向量为1221(,)OZ OZ Z Z a c b d -==--．2212()()i ()()z z a c b d a c b d -=-+-=-+-表示1Z 、2Z 两点之间的距离，也等于向量12Z Z 的模．例6（1）（2021·全国·高考真题（理））设()()2346z z z z i ++-=+，则z =（ ） A ．12i -B ．12i +C ．1i +D ．1i -（2）（2022·四川省高县中学校模拟预测（文））在复平面内，O 为原点，四边形OABC 是复平面内的平行四边形，且A ，B ，C 三点对应的复数分别为z 1，z 2，z 3，若131,2i ==-+z z ，则z 2=（ ） A ．1+iB ．1－iC ．－1+iD ．－1－i举一反三（1）．（2022·河南·模拟预测（理））已知3225i z z -=-，则z =（ ） A ．2i - B ．2i + C ．2i --D ．2i -+（2）．（2021·山东章丘·模拟预测）复数z 1，z 2满足z 1∈R ，2121,2z i z z =+-z 1＝（ ） A ．1B ．2C ．0或2D ．1或2六、复数的乘除运算 设111z a b i =+，222z a b i =+（1）乘法：()()1212122112z z a a b b a b a b i ⋅=-++ ， 特别22z z a b ⋅=+；例7（1）．（2021·全国·高考真题）已知2i z =-，则()i z z +=（ ） A ．62i -B ．42i -C ．62i +D ．42i +（2）．（2019·北京·高考真题（理））已知复数z =2+i ，则z z ⋅= A 3B 5C ．3D ．5举一反三（1）．（2022·浙江·模拟预测）复数()i 2i z =-（i 为虚数单位）的共扼复数在复平面内对应的点在（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限（2）．（2022·山西临汾·一模（理））已知a ，R b ∈，i 是虚数单位.若i 3i a b +=-，则()2i b a -（ ） A ．106i +B ．86i -+C ．96i -D ．86i -（3）．（2022·四川攀枝花·二模（理））若复数()()2i 1i z b b R =+∈的实部与虚部相等，则b 的值为（ ） A ．2-B ．1-C ．1D ．2（2）除法c diz a bi+=+（,a b 是均不为0的实数）的化简就是通过分母实数化的方法将分母化为实数，即分子分母同时乘以分母的共轭复数，然后再化简：()()22ac bd ad bc ic di c di a bi z a bi a bi a bi a b++-++-==⋅=++-+； （3四则运算的交换率、结合率；分配率都适合于复数的情况。
高三数学练习(9)
高三数学练习九一、填空： 1、已知⎪⎭⎫⎝⎛-∈0,2πx ，54cos =x ，则=x 2tan _____________________。
2、设集合{}1log2<=x x A ，{}12<-=x x B ，则集合{}B A x A x x ∉∈且=_________。
3、方程cos2x=3cosx+1的解集是__________________。
4、正四面体相邻两侧面所成角的大小为________。
5、双曲线122=-yx 的一条弦的中点是(1,2)，此弦所在的直线方程是__________________。
6、定义运算()()bc ad d c b a -=⊗⊗,,：，则满足()()i z z 232,1,+=⊗的复数z=________。
7、若已知极限nn n sin lim∞→=0，则极限nn n n n 2sin sin 3lim--∞→=_______________。
8、某同学到银行取款时忘记了账户密码，但他记得：①密码是有顺序的四位数字，如0235，1330，2351等；②四位数字中有6，8，9；③四位数字各不相同。
于是他就用6，8，9这三个数字再随意加上一个 与这三个数字不同的数字排成四位数字输入取款机尝试，那么他只试一次就成功的概率是_____________（用数字作答）。
9、不等式xxx13512≤+的解集是_____________________。
10、地震的震级R 与地震释放的能量E 的关系为()4.11lg 32-=E R 。
2004年12月2日，东南亚附近海域发生8.9级地震，而1989年旧金山海湾区域地震的震级为7.1级，那么2004年地震的能量是1989年的_________倍（精确到个位）。
11、如果函数()为常数b bx x x f +-=3)(，且)(x f y=在区间(0,1)上单调递增，并且函数)(x f y =的零点都在区间[-2,2]内，则b 的一个可能取值是__________________。
2013高三数学总复习同步练习：11-2复数的概念与运算
11-2复数的概念与运算基础巩固强化1.(2012·石家庄质检)复数z ＝11－i ＋i1＋i ，则z －＝( )A ．iB ．－iC ．1＋iD ．1－i[答案] D[解析] ∵z ＝11－i ＋i1＋i ＝1＋i ＋i (1－i )(1－i )(1＋i )＝2＋2i 2＝1＋i ，∴z －＝1－i.2．(文)(2012·哈三中二模)已知复数z ＝i2－3i ，则复平面内表示复数z 的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 [答案] B[解析] z ＝i 2－3i ＝i (2＋3i )(2－3i )(2＋3i )＝－3＋2i 13，对应点为(－313，213)，位于第二象限．(理)(2012·山西四校联考)已知复数z 的实部为－1，虚部为2，则2－iz (i 为虚数单位)在复平面内对应的点所在的象限为( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 [答案] C[解析] 依题意得2－i z ＝2－i －1＋2i ＝(2－i )(－1－2i )(－1＋2i )(－1－2i )＝－4－3i5，因此该复数在复平面内对应的点的坐标是(－45，－35)，位于第三象限，选C.3．(2011·揭阳一中月考)设a ，b 为实数，若复数1＋2ia ＋b i ＝1＋i ，则( )A ．a ＝32，b ＝12 B ．a ＝3，b ＝1 C ．a ＝12，b ＝32 D ．a ＝1，b ＝3[答案] A[解析] 1＋2i ＝(a ＋b i)(1＋i)＝a －b ＋(a ＋b )i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＝1，a ＋b ＝2.∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝32，b ＝12.故选A.4．(2012·陕西理，3)设a ，b ∈R ，i 是虚数单位，则“ab ＝0”是“复数a ＋bi 为纯虚数”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件[答案] B[解析] 由ab ＝0知a ＝0或b ＝0，当a ＝0时，若b ≠0，则复数a ＋b i 为纯虚数，否则a ＋b i 为实数，反之若a ＋bi 为纯虚数，则b ≠0且a ＝0，则ab ＝0，故“ab ＝0”是“a ＋bi 为纯虚数”的必要不充分条件．5．(2012·衡阳六校联考)若1－i 1＋i＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则ab 的值是( )A ．1B ．0C ．－1D ．－2 [答案] B[解析] 由1－i 1＋i ＝(1－i )2(1－i )(1＋i )＝－i ＝a ＋b i ，知a ＝0，b ＝－1，所以ab ＝0，选B.6．已知复数z ＝a ＋i(其中a ∈R ，i 为虚数单位)的模为|z |＝2，则a 等于( )A ．1B ．±1 C. 3 D ．±3[答案] D[解析] ∵|z |＝2，∴a 2＋1＝4，∴a ＝±3.7．规定运算⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b c d ＝ad －bc ，若⎪⎪⎪⎪⎪⎪ z i －i 2＝1－2i ，设i 为虚数单位，则复数z ＝________.[答案] 1－i[解析] 由已知可得⎪⎪⎪⎪⎪⎪z i －i 2＝2z ＋i 2＝2z －1＝1－2i ，∴z ＝1－i. 8．(2012·江苏，3)设a 、b ∈R ，a ＋b i ＝11－7i1－2i (i 为虚数单位)，则a ＋b 的值为________．[答案] 8[解析] a ＋b i ＝11－7i 1－2i ＝(11－7i )(1＋2i )(1－2i )(1＋2i )＝5＋3i ，∴a ＝5，b ＝3，∴a ＋b ＝8.9．(2012·泉州一检)复数1＋i 1－i ＋i 2012(i 为虚数单位)对应的点位于复平面内的第________象限．[答案] 一[解析] 1＋i 1－i ＋i 2012＝i ＋1，在复平面内对应点为(1,1)，在第一象限．10．已知复数z 1＝2＋i ，z 2＝3－i ，其中i 是虚数单位，则复数z 1z2的实部与虚部之和为________．[答案] 1[解析] z 1z 2＝2＋i 3－i ＝(2＋i )(3＋i )10＝12＋12i ，所以它的实部与虚部之和为1.能力拓展提升11.(2011·温州八校期末)若i 为虚数单位，已知a ＋b i ＝2＋i 1－i (a 、b∈R )，则点(a ，b )与圆x 2＋y 2＝2的关系为( )A ．在圆外B ．在圆上C ．在圆内D ．不能确定[答案] A[解析] ∵a ＋b i ＝2＋i 1－i ＝(2＋i )(1＋i )2 ＝12＋32i(a ，b ∈R )， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝32.∵⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝52>2， ∴点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32在圆x 2＋y 2＝2外，故选A.12．(2011·东北四市统考)已知复数z 1＝cos23°＋isin23°和复数z 2＝cos37°＋isin37°，则z 1·z 2为( )A.12＋32i B.32＋12i C.12－32i D.32－12i[答案] A[解析] z 1·z 2＝cos23°cos37°－sin23°sin37°＋(sin37°cos23°＋cos37°sin23°)i ＝cos60°＋i·sin60°＝12＋32i ，故选A.13．设i 为虚数单位，复数z ＝(12＋5i)(cos θ＋isin θ)，若z ∈R ，则tan θ的值为________．[答案] －512[解析] z ＝(12cos θ－5sin θ)＋(12sin θ＋5cos θ)i ∈R ， ∴12sin θ＋5cos θ＝0，∴tan θ＝－512.14．设z ＝1＋a i(a ∈R )，若z －＝i(2－i)，则a ＝________，|z |＝________.[答案] －2， 5[解析] z －＝2i ＋1，∴z ＝1－2i ，∴a ＝－2，∴|z |＝ 5. 15．已知复数(1－2i)i(其中i 为虚数单位)在复平面内对应的点M 在直线y ＝mx ＋n 上，其中mn >0，求1m ＋1n 的最小值．[解析] ∵(1－2i)i ＝2＋i ，∴M (2,1)．∴2m ＋n ＝1，∴1m ＋1n ＝(1m ＋1n )·(2m ＋n )＝3＋n m ＋2m n ≥3＋2 2.当且仅当⎩⎨⎧n m ＝2m n，2m ＋n ＝1.即⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2＋22，n ＝－1－ 2.或⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2－22，n ＝2－1.时等号成立，∵mn >0，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2－22，n ＝2－1.∴1m ＋1n 的最小值为3＋2 2.16．(文)已知复数z ＝a 2－7a ＋6a ＋1＋(a 2－5a －6)i(a ∈R )．试求实数a 分别为什么值时，z 分别为： (1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．[解析] (1)当z 为实数时，⎩⎪⎨⎪⎧a 2－5a －6＝0，a ＋1≠0.∴a ＝6，∴当a ＝6时，z 为实数．(2)当z 为虚数时，⎩⎪⎨⎪⎧a 2－5a －6≠0，a ＋1≠0.∴a ≠－1且a ≠6，故当a ∈R ，a ≠－1且a ≠6时，z 为虚数．(3)当z 为纯虚数时，⎩⎪⎨⎪⎧a 2－5a －6≠0，a 2－7a ＋6＝0，a ＋1≠0.∴a ＝1，故a ＝1时，z 为纯虚数．(理)设复数z ＝lg(m 2－2m －2)＋(m 2＋3m ＋2)i ，当实数m 取何值时．(1)z 是纯虚数．(2)z 是实数．(3)z 对应的点位于复平面的第二象限．[解析] (1)由题意知⎩⎪⎨⎪⎧lg (m 2－2m －2)＝0，m 2＋3m ＋2≠0.解得m ＝3.所以当m ＝3时，z 是纯虚数． (2)由m 2＋3m ＋2＝0， 得m ＝－1或m ＝－2，又m ＝－1或m ＝－2时，m 2－2m －2>0， 所以当m ＝－1或m ＝－2时，z 是实数．(3)由⎩⎪⎨⎪⎧lg (m 2－2m －2)<0，m 2＋3m ＋2>0.解得：－1<m <1－3或1＋3<m <3.1．(2011·福建理，1)i 是虚数单位，若集合S ＝{－1,0,1}，则( ) A ．i ∈S B ．i 2∈S C ．i 3∈S D.2i ∈S[答案] B[解析] i 2＝－1∈S ，故选B.2．(2011·天津文，1)i 是虚数单位，复数1－3i 1－i ＝( )A ．2－iB ．2＋iC ．－1－2iD ．－1＋2i [答案] A[解析] 1－3i 1－i ＝(1－3i )(1＋i )(1－i )(1＋i )＝4－2i2＝2－i.3．(2011·山东济南一模)设a 是实数，且a1＋i ＋1－i 2是实数，则a等于( )A.12 B ．－1 C ．1 D ．2[答案] B [解析] ∵a1＋i＋1－i 2＝a (1－i )2＋1－i 2 ＝1＋a 2－1＋a2i 是实数，又∵a ∈R ，∴1＋a2＝0，∴a ＝－1.4．(2011·安徽文，1)设i 是虚数单位，复数1＋a i2－i 为纯虚数，则实数a 为( )A ．2B ．－2C ．－12 D.12[答案] A[解析] 1＋a i 2－i ＝(1＋a i )(2＋i )(2－i )(2＋i )＝(2－a )＋(2a ＋1)i 5＝2－a 5＋2a ＋15i 为纯虚数，∴⎩⎨⎧2－a 5＝02a ＋15≠0，∴a ＝2.5．(2012·东北三校模拟)已知z ＝1－i(i 是虚数单位)，则4z ＋z 2＝( )A ．2B ．2iC ．2＋4iD ．2－4i[答案] A[解析] ∵z ＝1－i ，∴4z ＋z 2＝41－i ＋(1－i)2＝4(1＋i )(1－i )(1＋i )－2i ＝2.6．(2012·河北质检)设a ∈R ，且(a ＋i)2i 为正实数，则a ＝( ) A ．2 B ．1 C ．0 D ．－1[答案] D[解析] 由(a ＋i)2i ＝(a 2－1)i －2a 是正实数，得⎩⎪⎨⎪⎧a 2－1＝0，－2a >0.由此解得a ＝－1，选D.。
高中数学：新定义题型新高考新结构
大题新定义题型继2024年九省联考的第19题考查了新定义问题，已有部分地区考试采用了该结构考试。
2024年的新高考试卷第19题极大可能也会考查新定义问题，难度较大。
新定义题型内容新颖，题目中常常伴随有“定义”“规定”等字眼，题目一般使用抽象的语言给出新定义、运算或符号，没有过多的解释说明，要求考生自己仔细揣摩、体会和理解定义的含义，在阅读新定义要求后马上运用它解决相关问题，考查考生的理解与运算、信息迁移的能力。
题型一：集合的新定义问题题型二：函数与导数的新定义问题题型三：复数与不等式的新定义问题题型四：三角函数的新定义问题题型五：平面向量的新定义问题题型六：数列的新定义问题题型七：立体几何的新定义问题题型八：平面解析几何的新定义问题题型九：概率统计的新定义问题题型十：高等数学背景下的新定义问题题型一：集合的新定义问题1(2024·广东·惠州一中校联考模拟预测)已知集合A中含有三个元素x,y,z，同时满足①x<y<z；②x+y>z；③x+y+z为偶数，那么称集合A具有性质P.已知集合S n=1,2,3,⋯,2n(n∈N*,n≥4)，对于集合S n的非空子集B，若S n中存在三个互不相同的元素a,b,c，使得a+b,b+c,c+a均属于B，则称集合B是集合S n的“期待子集”.(1)试判断集合A=1,2,3,5,7,9是否具有性质P，并说明理由；(2)若集合B=3,4,a具有性质P，证明：集合B是集合S4的“期待子集”；(3)证明：集合M具有性质P的充要条件是集合M是集合S n的“期待子集”.集合新定义问题的方法和技巧：(1)可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解；(2)可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻；(3)发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律；(4)如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念.1(2023·北京·北京四中校考模拟预测)已知集合M =1,2,3,⋯,n n ∈N * ，若集合A =a 1,a 2,⋯,a m ⊆M m ∈N * ，且对任意的b ∈M ，存在a i ，a j ∈A 1≤i ≤j ≤m ，使得b =λ1a i +λ2a j (其中λ1,λ2∈-1,0,1 )，则称集合A 为集合M 的一个m 元基底．(1)分别判断下列集合A 是否为集合M 的一个二元基底，并说明理由；①A =1,5 ，M =1,2,3,4,5 ；②A =2,3 ，M =1,2,3,4,5,6 ．(2)若集合A 是集合M 的一个m 元基底，证明：m m +1 ≥n ；(3)若集合A 为集合M =1,2,3,⋯,19 的一个m 元基底，求出m 的最小可能值，并写出当m 取最小值时M 的一个基底A ．2(2024·北京海淀·高三人大附中校考开学考试)设m 为正整数，集合A ⊆α∣α=t 1,t 2,⋯,t m ,t j ∈-1,1 ,j =1,2,⋯,m . 任取集合A 中的2n +1n ∈N *个元素(可以重复)α1=α1.1,α1.2,⋅⋅⋅,α1.m ，α2=α2.1,α2.2,⋅⋅⋅,α2.m ,⋅⋅⋅，α2n +1=α2n +1.1,α2n +1.2,⋅⋅⋅,α2n +1.m ，M α1,α2,⋅⋅⋅,α2n +1 =y 1,y 2,⋅⋅⋅,y m ，其中y j =α1.j +α2.j +⋅⋅⋅+α2n +1.jα1.j +α2.j +⋅⋅⋅+α2n +1.jj =1,2,⋅⋅⋅,m .(1)若α1=1,-1,-1,-1 ,α2=-1,1,1,-1 ,α3=-1,-1,-1,1 ,α4=1,1,-1,1 ，α5=-1,-1,-1,1 ，直接写出M α1,α2,α3 ,M α1,α2,α3,α4,α5 ；(2)对于α，β，γ∈A ，证明：M α,⋯,αk 个 ,β,⋯,βk 个,γ=M α,β,γ ；(3)对于某个正整数n ，若集合A 满足：对于A 中任意2n +1个元素α1,α2,⋅⋅⋅,α2n +1，都有M α1,α2,⋅⋅⋅,α2n +1 ∈A ，则称集合A 具有性质P n . 证明：若∃n 0∈N *，集合A 具有性质P n 0 ，则∀n ∈N *，集合A 都具有性质P n .题型二：函数与导数的新定义问题1(2024·陕西安康·高三校联考阶段练习)记函数f x 的导函数为f x ，f x 的导函数为f x ，设D 是f x 的定义域的子集，若在区间D 上f x ≤0，则称f x 在D 上是“凸函数”.已知函数f x =a sin x -x 2.(1)若f x 在0,π2上为“凸函数”，求a 的取值范围；(2)若a =2，判断g x =f x +1在区间0,π 上的零点个数.函数新定义问题，命题新颖，常常考虑函数的性质，包括单调性，奇偶性，值域等，且存在知识点交叉，会和导函数，数列等知识进行结合，很好的考虑了知识迁移，综合运用能力，对于此类问题，一定要解读出题干中的信息，正确理解问题的本质，转化为熟悉的问题来进行解决。
+集合与常用逻辑用语、不等式、复数题型归纳与解题技巧——2025届高三数学二轮复习
03 题型练习
D 1.已知集合 A {x∣x2 3x 4 0}， B {4,1,3,5}，则 A B ( )
A.{4,1}
B. {1, 5}
C. {3, 5}
D. {1, 3}
解析：由 x2 3x 4 0 ，得 (x 4)(x 1) 0 ，解得 1 x 4， A {x∣1 x 4} ，又 B {4,1,3,5}， A B {1,3}，故选 D.
3.求解集合的基本运算问题的步骤 （1）确定元素：确定集合中的元素及其满足的条件. （2）化简集合：根据元素满足的条件解方程或不等式，得出元素 满足的最简条件，将集合清晰表示出来. （3）运算求解：利用交集、并集、补集的定义求解，必要时可应 用数轴或 Venn 图直观求解.
4.判断充分条件和必要条件的方法 （1）定义法：直接判断“若 p，则 q”与“若 q，则 p”的真假，并注意和图示相结合. （2）等价法：利用 p q 与 q p ， q p 与 p q ， p q 与 q p 的 等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法. （3）集合法：若 A B ，则 A 是 B 的充分条件或 B 是 A 的必要条件；若 A B ，则 A 是 B 的充要条件.
BC 6.【2022 新高考Ⅱ卷】（多选）若 x，y 满足 x2 y2 xy 1，则( )
A. x y 1
B. x y 2
C. x2 y2 2
D. x2 y2 1
解析：由基本不等式可得 xy x2 y2 ， (x y)2 x2 y2 ，从而
2
2
x2 y2 xy x2 y2 (x y)2 .结合题设条件 x2 y2 xy 1 ，可得 x2 y2 2 ，
题.因为 x3 x ，所以 x3 x 0 ，所以 x x2 1 0 ，即 x(x 1)(x 1) 0 ，解得
2022届高三数学一轮复习题型归纳讲义+专项练习45套
高三数学一轮复习题型归纳讲义一轮复习题型归纳讲义2022届高三数学一轮复习题型归纳讲义+专项练习专题一 《复数》讲义知识梳理.复数1．复数的有关概念 (1)复数的概念：形如a ＋b i(a ，b ∈R )的数叫复数，其中a ，b 分别是它的实部和虚部．若b ＝0，则a ＋b i 为实数；若b ≠0，则a ＋b i 为虚数；若a ＝0且b ≠0，则a ＋b i 为纯虚数．(2)复数相等：a ＋b i ＝c ＋d i ⇔a ＝c 且b ＝d (a ，b ，c ，d ∈R )． (3)共轭复数：a ＋b i 与c ＋d i 共轭⇔a ＝c ，b ＝－d (a ，b ，c ，d ∈R )． (4)复数的模：向量OZ ―→的模叫做复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )的模，记作|z |或|a ＋b i|，即|z |＝|a ＋b i|＝a 2＋b 2. 2．复数的几何意义 (1)复数z ＝a ＋b i复平面内的点Z (a ，b )(a ，b ∈R )．(2)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R ) 平面向量OZ ―→.3．复数的运算设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )，则 ①加法：z 1＋z 2＝(a ＋b i)＋(c ＋d i)＝(a ＋c )＋(b ＋d )i ； ②减法：z 1－z 2＝(a ＋b i)－(c ＋d i)＝(a －c )＋(b －d )i ； ③乘法：z 1·z 2＝(a ＋b i)·(c ＋d i)＝(ac －bd )＋(ad ＋bc )i ；④除法：z 1z 2＝a ＋b i c ＋d i ＝(a ＋b i )(c －d i )(c ＋d i )(c －d i )＝ac ＋bd c 2＋d 2＋bc －adc 2＋d 2i(c ＋d i≠0)．题型一.复数的有关概念1．若z ＝（3﹣i ）（a +2i ）（a ∈R ）为纯虚数，则z ＝（ ） A ．163i B ．6i C ．203i D ．20【解答】解：z ＝（3﹣i ）（a +2i ）＝3a +2+（6﹣a ）i ， ∵z ＝（3﹣i ）（a +2i ）（a ∈R ）为纯虚数， ∴3a +2＝0，且6﹣a ≠0， 得a =−23，此时z =203i ， 故选：C ．2．已知i 是虚数单位，若z （1+3i ）＝i ，则z 的虚部为（ ） A ．110B ．−110C ．i10D ．−i10【解答】解：由z （1+3i ）＝i ，得z =i1+3i =i(1−3i)(1+3i)(1−3i)=3+i10=310+i10， ∴z 的虚部为110．故选：A ．3．已知复数z =2i 1+i （i 虚数单位），则z ⋅z =（ ） A ．√2B ．2C ．1D ．12【解答】解：由题意知|z|=|2i||1+i|=|2|√2=√2， 利用性质z ⋅z =|z|2，得z ⋅z =2， 故选：B ． 4．若a−i i=b +2i ，其中a ，b ∈R ，i 是虚数单位，则a +b 的值（ ）A ．﹣3B ．﹣1C ．1D ．3【解答】解：∵a−i i=−ai ﹣1＝b +2i ，其中a 、b ∈R ，i 是虚数单位，∴a ＝﹣2，b ＝﹣1 ∴a +b ＝﹣3． 故选：A ．5．设复数z 满足z =i−11+i ，则|z |＝（ ） A ．1B ．√2C ．√3D ．2【解答】解：z =i−11+i =−(1−i)22=i ，故|z |＝1， 故选：A ． 6．设复数z 满足1+z 1−z=i ，则|z |＝（ ） A ．1B ．√2C ．√3D ．2【解答】解：∵复数z 满足1+z 1−z=i ，∴1+z ＝i ﹣zi ， ∴z （1+i ）＝i ﹣1， ∴z =i−1i+1=i ， ∴|z |＝1， 故选：A ．7．若复数z 满足z （1﹣i ）＝2i ，则下列说法正确的是（ ） A ．z 的虚部为iB ．z 为实数C ．|z |=√2D ．z +z =2i【解答】解：因为z （1﹣i ）＝2i ，所以z =2i1−i =2i(1+i)(1−i)(1+i)=−2+2i2=−1+i ， 则|z |=√2；由于z 的虚部是1，则A ，B 错，z +z =−2，则D 错． 故选：C ．8．若复数Z 的实部为1，且|Z |＝2，则复数Z 的虚部是（ ） A ．−√3B ．±√3C ．±√3iD ．√3i【解答】解：复数Z 的实部为1， 设Z ＝1+bi ． |Z |＝2，可得√1+b 2=2， 解得b =±√3． 复数Z 的虚部是±√3． 故选：B ．题型二.复数的几何意义1．已知i 是虚数单位，则复数(1−i)21+i在复平面内对应的点在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【解答】解：由(1−i)21+i=−2i(1−i)(1+i)(1−i)=−1−i ，则复数(1−i)21+i在复平面内对应的点的坐标为：（﹣1，﹣1），位于第三象限．故选：C ．2．设i 是虚数单位，z 的复数z 的共轭复数，z ＝1+2i ，则复数z +i •z 在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【解答】解：∵z ＝1+2i ，∴z +i •z =1+2i +i （1﹣2i ）＝1+2i +i +2＝3+3i ．∴复数z +i •z 在复平面内对应的点的坐标为（3，3），位于第一象限． 故选：A ．3．设a ∈R ，若复数（1+i ）（a +i ）在复平面内对应的点位于实轴上，则a ＝（ ） A ．0B ．﹣1C ．1D ．√2【解答】解：∵复数（1+i ）（a +i ）＝（a ﹣1）+（a +1）i 在复平面内对应的点位于实轴上，∴a +1＝0，即a ＝﹣1． 故选：B ．4．已知复数z ＝3+4i 3，则z 的共轭复数z 在复平面内对应的点位于第 一 象限． 【解答】解：∵z ＝3+4i 3＝3﹣4i ， ∴z =3+4i ，则复数z 在复平面内对应的点的坐标为（3，4），位于第一象限． 故答案为：一．5．在复平面内，O 是坐标原点，向量OA →对应的复数是﹣2+i ，若点A 关于实轴的对称点为点B ，则向量OB →对应的复数的模为 √5 ．【解答】解：∵向量OA →对应的复数是﹣2+i ，∴A （﹣2，1）， 又点A 关于实轴的对称点为点B ，∴B （﹣2，﹣1）． ∴向量OB →对应的复数为﹣2﹣i ，该复数的模为|﹣2﹣i |=√5． 故答案为：√5．6．已知i 为虚数单位，且复数z 满足z −2i =11−i ，则复数z 在复平面内的点到原点的距离为（ ） A ．132B ．√262 C ．√102D ．52【解答】解：由z −2i =11−i ，得z ＝2i +11−i =2i +1+i(1−i)(1+i)=12+52i ， ∴复数z 在复平面内的点的坐标为（12，52），到原点的距离为√14+254=√262．故选：B ．题型三.复数的指数幂运算1．若复数z =2i1+i7（i 为虚数单位），则复数z 在复平面上对应的点所在的象限为（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【解答】解：∵z =2i 1+i7=2i 1−i =2i(1+i)(1−i)(1+i)=−1+i ， ∴z =−1﹣i ，∴复数z 在复平面对应的点的坐标是（﹣1，﹣1）； ∴它对应的点在第三象限， 故选：C ．2．已知a 为实数，若复数z ＝（a 2﹣1）+（a +1）i 为纯虚数，则a+i 20161+i的值为（ ）A ．1B ．0C ．1+iD ．1﹣i【解答】解：复数z ＝（a 2﹣1）+（a +1）i 为纯虚数，可得a ＝1，a+i 20161+i=1+11+i=2(1−i)(1+i)(1−i)=1﹣i ．故选：D ．3．已知复数z =(1+i)3(1−i)2（其中i 为虚数单位），则z 的虚部为（ ）A ．﹣1B ．1C ．﹣iD ．i【解答】解：z =(1+i)3(1−i)2=(1+i)⋅2i−2i=−1﹣i ， 则z 的虚部为﹣1， 故选：A ．4．已知复数z 满足z •i 2020＝1+i 2019（其中i 为虚数单位），则复数z 的虚部是（ ） A ．﹣1B ．1C ．﹣iD ．i【解答】解：∵i 4＝1， ∴i 2020＝i 4×505＝1，i 2019＝i 4×504+3＝﹣i ，则z •i 2020＝1+i 2019化为z ＝1﹣i ， ∴z 的虚部为﹣1． 故选：A ．5．设i 是虚数单位，则复数z ＝（1+i 1−i）2013＝（ ）A ．﹣1B ．1C ．﹣iD ．i【解答】解：∵1+i 1−i=(1+i)2(1+i)(1−i)=2i 2=i ，∴z ＝（1+i 1−i）2013＝i 2013＝（i 2）1006•i ＝i ．故选：D ．6．已知复数z ＝﹣1+i ，则z+2z 2+z=（ ）A ．﹣1B ．1C ．﹣iD ．i【解答】解：∵z ＝﹣1+i ， ∴z+2z 2+z=−1+i+2(−1+i)2−1+i=1+i −1−i=(1+i)(−1+i)(−1−i)(−1+i)=−1．故选：A ．7．若Z ＝1+i ，则|Z 2﹣Z |＝（ ） A ．0B ．1C ．√2D ．2【解答】解：∵Z ＝1+i ，∴Z 2﹣Z ＝（1+i ）2﹣（1+i ）＝1+2i +i 2﹣1﹣i ＝i 2+i ＝﹣1+i ， ∴|Z 2﹣Z |=√(−1)2+12=√2．故选：C ． 8．当z =−1−i√2时，z 100+z 50+1的值等于 ﹣i ． 【解答】解：∵z =−1−i √2=√22−√22i ∴z 2=12−2×√22×√22i +（√22i ）2＝﹣i ，可得z 4＝﹣1根据复数乘方的含义，可得z 100＝（z 4）25＝﹣1，z 50＝（z 4）12•z 2＝﹣i ∴z 100+z 50+1＝﹣1﹣i +1＝﹣i 故答案为：﹣i题型四.待定系数在复数中的应用——最值问题1．若复数z 满足3z +z =−4+2i ，则z ＝（ ） A ．1+iB ．1﹣iC ．﹣1﹣iD ．﹣1+i【解答】解：设z ＝a +bi （a ，b ∈R ）， 则3z +z =3（a +bi ）+a ﹣bi ＝4a +2bi ＝﹣4+2i ， ∴{4a =−42b =2，即a ＝﹣1，b ＝1． ∴z ＝﹣1+i ． 故选：D ．2．设复数z 满足z 2＝3+4i （i 是虚数单位），则z 的模为（ ） A ．25B ．5C ．√5D ．2+i【解答】解：法一、设z ＝a +bi （a ，b ∈R ）， 由z 2＝3+4i ，得（a +bi ）2＝a 2﹣b 2+2abi ＝3+4i ，∴{a 2−b 2=32ab =4，解得{a =2b =1或{a =−2b =−1．∴|z|=√a 2+b 2=√5． 故选：C ．法二、由z 2＝3+4i ，得|z 2|=|z|2=√32+42=5， 则|z |=√5． 故选：C ．3．设复数z 满足|z 1|＝1，|z 2|＝2，z 1+z 2＝﹣1+√3i ，则|z 1﹣z 2|＝ √6 ．【解答】解：设z 1＝a +bi ，z 2＝c +di ，（a ，b ，c ，d 为实数）， 因为复数z 满足|z 1|=1，|z 2|=2，z 1+z 2=−1+√3i ， 所以{a +c =−1b +d =√3且a 2+b 2＝1，c 2+d 2＝4，所以a 2+c 2+2ac +b 2+d 2+2bd ＝4， 即2ac +2bd ＝﹣1，则|z 1﹣z 2|=√(a −c)2+(b −d)2=√a 2+b 2+c 2+d 2−2(ac +bd)=√5+1=√6． 故答案为：√6．4．已知z ∈C ，且|z |＝1，则|z ﹣2﹣2i |（i 为虚数单位）的最小值是（ ） A ．2√2−1B ．2√2+1C ．√2D ．2√2【解答】解：∵|z |＝1且z ∈C ，作图如图：∵|z ﹣2﹣2i |的几何意义为单位圆上的点M 到复平面上的点P （2，2）的距离， ∴|z ﹣2﹣2i |的最小值为：|OP |﹣1＝2√2−1． 故选：A ．5．设复数z 1，z 2满足|z 1﹣1|＝1，|z 2+3i |＝2，则|z 1﹣z 2|的最大值为（ ） A ．3+2√3B ．2√10C ．3+√10D ．6【解答】解：因为|z 1﹣1|＝1，|z 2+3i |＝2，所以z 1，对应的点在以A （1，0）为圆心，以1为半径的圆上，z 2对应的点在以B （0，﹣3）为圆心，以2为半径的圆上， 则|z 1﹣z 2|的几何意义是两圆上点的距离，则则|z 1﹣z 2|的最大值为AB +1+2＝3+√12+(−3)2=3+√10． 故选：C ．6．已知复数z＝x+yi（x，y∈R）满足条件|z﹣4i|＝|z+2|，则2x+4y的最小值是4√2．【解答】解：∵复数z＝x+yi（x，y∈R）满足条件|z﹣4i|＝|z+2|，∴|x+yi﹣4i|＝|x+yi+2|，∴|x+（y﹣4）i|＝|x+2+yi|，∴√x2+(y−4)2=√(x+2)2+y2，化为x+2y＝3．则2x+4y≥2√2x⋅4y=2√2x+2y=4√2，因此2x+4y的最小值是4√2．故答案为：4√2．专题一 《复数》讲义知识梳理.复数1．复数的有关概念 (1)复数的概念：形如a ＋b i(a ，b ∈R )的数叫复数，其中a ，b 分别是它的实部和虚部．若b ＝0，则a ＋b i 为实数；若b ≠0，则a ＋b i 为虚数；若a ＝0且b ≠0，则a ＋b i 为纯虚数．(2)复数相等：a ＋b i ＝c ＋d i ⇔a ＝c 且b ＝d (a ，b ，c ，d ∈R )． (3)共轭复数：a ＋b i 与c ＋d i 共轭⇔a ＝c ，b ＝－d (a ，b ，c ，d ∈R )． (4)复数的模：向量OZ ―→的模叫做复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )的模，记作|z |或|a ＋b i|，即|z |＝|a ＋b i|＝a 2＋b 2. 2．复数的几何意义 (1)复数z ＝a ＋b i复平面内的点Z (a ，b )(a ，b ∈R )．(2)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R ) 平面向量OZ ―→.3．复数的运算设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )，则 ①加法：z 1＋z 2＝(a ＋b i)＋(c ＋d i)＝(a ＋c )＋(b ＋d )i ； ②减法：z 1－z 2＝(a ＋b i)－(c ＋d i)＝(a －c )＋(b －d )i ； ③乘法：z 1·z 2＝(a ＋b i)·(c ＋d i)＝(ac －bd )＋(ad ＋bc )i ；④除法：z 1z 2＝a ＋b i c ＋d i ＝(a ＋b i )(c －d i )(c ＋d i )(c －d i )＝ac ＋bd c 2＋d 2＋bc －adc 2＋d 2i(c ＋d i≠0)．题型一.复数的有关概念1．若z ＝（3﹣i ）（a +2i ）（a ∈R ）为纯虚数，则z ＝（ ） A ．163i B ．6i C ．203i D ．202．已知i 是虚数单位，若z （1+3i ）＝i ，则z 的虚部为（ ） A ．110B ．−110C ．i10D ．−i103．已知复数z =2i1+i （i 虚数单位），则z ⋅z =（ ） A ．√2 B ．2 C ．1 D ．124．若a−i i=b +2i ，其中a ，b ∈R ，i 是虚数单位，则a +b 的值（ ）A ．﹣3B ．﹣1C ．1D ．35．设复数z 满足z =i−11+i ，则|z |＝（ ） A ．1 B ．√2C ．√3D ．26．设复数z 满足1+z 1−z=i ，则|z |＝（ ） A ．1B ．√2C ．√3D ．27．若复数z 满足z （1﹣i ）＝2i ，则下列说法正确的是（ ） A ．z 的虚部为iB ．z 为实数C ．|z |=√2D ．z +z =2i8．若复数Z 的实部为1，且|Z |＝2，则复数Z 的虚部是（ ） A ．−√3 B ．±√3C ．±√3iD ．√3i题型二.复数的几何意义1．已知i 是虚数单位，则复数(1−i)21+i在复平面内对应的点在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．设i 是虚数单位，z 的复数z 的共轭复数，z ＝1+2i ，则复数z +i •z 在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．设a ∈R ，若复数（1+i ）（a +i ）在复平面内对应的点位于实轴上，则a ＝（ ） A ．0B ．﹣1C ．1D ．√24．已知复数z ＝3+4i 3，则z 的共轭复数z 在复平面内对应的点位于第 象限．5．在复平面内，O 是坐标原点，向量OA →对应的复数是﹣2+i ，若点A 关于实轴的对称点为点B ，则向量OB →对应的复数的模为 ．6．已知i 为虚数单位，且复数z 满足z −2i =11−i ，则复数z 在复平面内的点到原点的距离为（ ） A ．132B ．√262C ．√102D ．52题型三.复数的指数幂运算1．若复数z =2i1+i7（i 为虚数单位），则复数z 在复平面上对应的点所在的象限为（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．已知a 为实数，若复数z ＝（a 2﹣1）+（a +1）i 为纯虚数，则a+i 20161+i的值为（ ）A ．1B ．0C ．1+iD ．1﹣i3．已知复数z =(1+i)3(1−i)2（其中i 为虚数单位），则z 的虚部为（ ）A ．﹣1B ．1C ．﹣iD ．i4．已知复数z 满足z •i 2020＝1+i 2019（其中i 为虚数单位），则复数z 的虚部是（ ） A ．﹣1B ．1C ．﹣iD ．i5．设i 是虚数单位，则复数z ＝（1+i 1−i）2013＝（ ）A ．﹣1B ．1C ．﹣iD ．i6．已知复数z ＝﹣1+i ，则z+2z 2+z=（ ）A ．﹣1B ．1C ．﹣iD ．i7．若Z ＝1+i ，则|Z 2﹣Z |＝（ ） A ．0 B ．1C ．√2D ．28．当z =−1−i√2时，z 100+z 50+1的值等于 ．题型四.待定系数在复数中的应用——最值问题1．若复数z满足3z+z=−4+2i，则z＝（）A．1+i B．1﹣i C．﹣1﹣i D．﹣1+i2．设复数z满足z2＝3+4i（i是虚数单位），则z的模为（）A．25B．5C．√5D．2+i3．设复数z满足|z1|＝1，|z2|＝2，z1+z2＝﹣1+√3i，则|z1﹣z2|＝．4．已知z∈C，且|z|＝1，则|z﹣2﹣2i|（i为虚数单位）的最小值是（）A．2√2−1B．2√2+1C．√2D．2√25．设复数z1，z2满足|z1﹣1|＝1，|z2+3i|＝2，则|z1﹣z2|的最大值为（）A．3+2√3B．2√10C．3+√10D．66．已知复数z＝x+yi（x，y∈R）满足条件|z﹣4i|＝|z+2|，则2x+4y的最小值是．专题一 《复数》专项练习课后作业.复数一．选择题（共10小题） 1．设i 是虚数单位，复数z 满足1+z 1−z=i ，则|z|=（ ）A ．1B ．√2C ．√3D ．2【解答】解：复数z 满足1+z 1−z=i ，可得1+z ＝（1﹣z ）i ，解得z =1−i 1+i =(1−i)(1−i)(1+i)(1−i)=−i ． 则|z|=|i |＝1． 故选：A ．2．若（2﹣mi ）（3﹣2i ）（m ∈R ）是纯虚数，则在复平面内复数z =m−2i1+i 所对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【解答】解：∵（2﹣mi ）（3﹣2i ）＝（6﹣2m ）﹣（3m +4）i 是纯虚数， ∴{6−2m =03m +4≠0，即m ＝3． ∴z =m−2i1+i =3−2i1+i =(3−2i)(1−i)(1+i)(1−i)=12−52i ，∴复数z 所对应的点的坐标为（12，−52），位于第四象限．故选：D ．3．复数z 满足z （3﹣4i ）＝1（i 是虚数单位），则|z |＝（ ） A ．√55B ．√525C ．125D ．15【解答】解：复数z 满足z （3﹣4i ）＝1（i 是虚数单位）， 可得|z （3﹣4i ）|＝1， 即|z ||3﹣4i |＝1， 可得5|z |＝1， ∴|z |=15， 故选：D ． 4．若复数a+i b−3i （a ，b ∈R ）对应的点在虚轴上，则ab 的值是（ ）A ．﹣15B ．3C ．﹣3D ．15【解答】解：a+ib−3i=(a+i)(b+3i)(b−3i)(b+3i)=ab+(3a+b)i+3i 2b 2−9i 2=ab−3b 2+9+3a+b b 2+9i ，∵复数a+ib−3i（a ，b ∈R ）对应的点在虚轴上，∴ab−3b 2+9=0，即ab ＝3，故选：B ．5．复数z 满足z （2+i ）＝3﹣6i （i 为虚数单位），则复数z 的虚部为（ ） A ．3B ．﹣3iC ．3iD ．﹣3【解答】解：∵z （2+i ）＝3﹣6i ， ∴z =3−6i2+i =(3−6i)(2−i)(2+i)(2−i)=−3i ， ∴复数z =3i ， ∴复数z 的虚部为：3， 故选：A ． 6．已知复数z 满足z 1+i=|2−i|，则z 的共轭复数对应的点位于复平面内的（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【解答】解：z 1+i=|2−i|=√5，∴z =√5+√5i ．则z 的共轭复数√5−√5对应的点（√5，−√5）位于复平面内的第四象限． 故选：D ．7．设复数z 1，z 2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z 1＝3+4i ，则z 1z 2＝（ ） A ．﹣25B ．25C ．7﹣24iD ．﹣7﹣24i【解答】解：由复数z 1，z 2在复平面内的对应点关于虚轴对称，且z 1＝3+4i ， 得z 2＝﹣3+4i ，∴z 1z 2＝（3+4i ）（﹣3+4i ）＝（4i ）2﹣32＝﹣16﹣9＝﹣25． 故选：A ．8．已知复数z 在复平面内对应的点为（1，﹣1），则|z •z +2i 3|＝（ ） A ．2√2B ．2√3C ．6D ．7【解答】解：由题意得z ＝1﹣i ，z =1+i ，z ⋅z =2， 则|z •z +2i 3|＝|2﹣2i |＝2√2． 故选：A ．9．已知复数z 满足|z|=√2，z +z =2，（z 为z 的共轭复数）．下列选项（选项中的i 为虚数单位）中z ＝（ ） A ．1+iB ．1﹣iC ．1+i 或1﹣iD ．﹣1+i 或﹣1﹣i【解答】解：设z ＝a +bi （a ，b ∈R ），则z =a −bi ， ∵复数z 满足|z|=√2，z +z =2，∴{a 2+b 2=22a =2，得{a =1b =±1，∴z ＝1+i 或z ＝1﹣i ． 故选：C ．10．已知复数z 满足|z ﹣1﹣i |≤1，则|z |的最小值为（ ） A ．1B ．√2−1C ．√2D ．√2+1【解答】解：∵复数z 满足|z ﹣1﹣i |＝1，∴点z 对应的点在以（1，1）为圆心，1为半径的圆上以及圆内， 要求|z |的最小值，只要找出圆上的点到原点距离最小的点即可， 连接圆心与原点，长度是√2， 最短距离要减去半径，即√2−1． 故选：B ．二．多选题（共4小题）11．已知复数z ＝1+i （其中i 为虚数单位），则以下说法正确的有（ ） A ．复数z 的虚部为iB ．|z |=√2C ．复数z 的共轭复数z =1﹣iD ．复数z 在复平面内对应的点在第一象限【解答】解：∵复数z ＝1+i ，∴复数z 的虚部为1，故A 错误； |z |=√2，故B 正确；复数z 的共轭复数z =1﹣i ，故C 正确；数z 在复平面内对应的点的坐标为（1，1），在第一象限，故D 正确． 故选：BCD ．12．设z 1，z 2，z 3为复数，z 1≠0．下列命题中正确的是（ ） A ．若|z 2|＝|z 3|，则z 2＝±z 3 B ．若z 1z 2＝z 1z 3，则z 2＝z 3C ．若z 2=z 3，则|z 1z 2|＝|z 1z 3|D ．若z 1z 2＝|z 1|2，则z 1＝z 2【解答】解：由复数的形式可知，选项A错误；当z1z2＝z1z3时，有z1z2﹣z1z3＝z1（z2﹣z3）＝0，又z1≠0，所以z2＝z3，故选项B正确；当z2=z3时，则z2=z3，所以|z1z2|2−|z1z3|2=(z1z2)(z1z2)−(z1z3)(z1z3)=z1z2z1z2−z1z3z1z3=0，故选项C 正确；当z1z2＝|z1|2时，则z1z2=|z1|2=z1z1，可得z1z2−z1z1=z1(z2−z1)=0，所以z1=z2，故选项D错误．故选：BC．13．已知i为虚数单位，则下面命题正确的是（）A．若复数z=3+i，则1z=310−i10B．复数z满足|z﹣2i|＝1，z在复平面内对应的点为（x，y），则x2+（y﹣2）2＝1 C．若复数z1，z2满足z1=z2，则z1z2≥0D．复数z＝1﹣3i的虚部是3【解答】解：复数13+i =3−i(3+i)(3−i)=3−i10=310−i10所以z=3+i，则1z=310−i10，正确；复数z满足|z﹣2i|＝1，z在复平面内对应的点为（x，y），√x2+(y−2)2=1，则x2+（y ﹣2）2＝1，所以B正确；若复数z1，z2满足z1=z2，则z1z2≥0，正确；z＝1﹣3i的虚部是﹣3．所以D不正确．故选：ABC．14．已知复数z0＝1+2i（i为虚数单位）在复平面内对应的点为P0，复数z满足|z﹣1|＝|z﹣i|，下列结论正确的是（）A．P0点的坐标为（1，2）B．复数z0的共轭复数对应的点与点P0关于虚轴对称C．复数z对应的点Z在一条直线上D．P0与z对应的点Z间的距离的最小值为√2【解答】解：设z ＝a +bi （a ，b ∈R ），∵|z ﹣1|＝|z ﹣i |，∴（a ﹣1）2+b 2＝a 2+（b ﹣1）2，∴a ＝b ， A ：∵z 0＝1+2i ，∴P 0（1，2），∴A 正确， B ：∵z 0＝1+2i ，∴z 0=1﹣2i ，∴z 0对应的点P 的坐标为（1，﹣2）与P 0（1，2）关于实轴对称，∴B 错误， C ：∵a ＝b ，∴复数z ＝a +bi 对应的点（a ，a ）在直线y ＝x 上，∴C 正确， D ：∵P 0（1，2）到直线y ＝x 的距离d =|1−2|√2=√22， ∴P 0（1，2）与复数z ＝a +bi 对应的点Z （a ，a ）的最小值为√22，∴D 错误． 故选：AC ．三．填空题（共4小题）15．i 是虚数单位，则i 607的共轭复数为 i ． 【解答】解：i 607＝i 4×151+3＝i 3＝﹣i ，故其共轭复数是i ，故答案为：i16．若复数z 与其共轭复数z 满足|z |=√3，z +z =2，则z +3z= ﹣2+4√2i 或﹣2+4√2i ． 【解答】解：设复数z ＝a +bi ，a 、b ∈R ， 则z =a ﹣bi ， 由|z |=√3，z +z =2，得{√a 2+b 2=√32a =2， 解得a ＝1，b ＝±√2；当a ＝1，b =√2时，z +3z =（1+√2i ）1+√2i=−2+4√2i ； 当a ＝1，b =−√2时，z +3z =（1−√2i ）1−√2i=−2﹣4√2i ； 故答案为：﹣2+4√2i 或﹣2+4√2i ．17．若复数z 满足|z ﹣3i |＝1，求|z +2|的最大值 1+√13 ．【解答】解：|z ﹣3i |＝1的复数z 对应的点是以C （0，3）为圆心，1为半径的圆， |z +2|表示得复数z 所对应的点和A （﹣2，0）的距离， ∵|AC |=√4+9=√13， ∴|z +2|的最大值1+√13． 故答案为：1+√13．18．若复数z满足z•z+z+z=0，则复数|z﹣1﹣2i|的最大值为2√2+1．【解答】解：设z＝a+bi（a，b∈R），则由z•z+z+z=0，得a2+b2+2a＝0，即（a+1）2+b2＝1，复数z在复平面内对应的点在以A（﹣1，0）为圆心，以1为半径的圆上，则复数|z﹣1﹣2i|=√(a−1)2+(b−2)2表示z在复平面内的点到点P（1，2）的距离，∴|z﹣1﹣2i|的最大值为|P A|+1=√(−1−1)2+(0−2)2+1＝2√2+1，故答案为：2√2+1．专题一 《复数》专项练习课后作业.复数一．选择题（共10小题） 1．设i 是虚数单位，复数z 满足1+z 1−z=i ，则|z|=（ ）A ．1B ．√2C ．√3D ．22．若（2﹣mi ）（3﹣2i ）（m ∈R ）是纯虚数，则在复平面内复数z =m−2i1+i 所对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．复数z 满足z （3﹣4i ）＝1（i 是虚数单位），则|z |＝（ ） A ．√55B ．√525C ．125D ．154．若复数a+i b−3i（a ，b ∈R ）对应的点在虚轴上，则ab 的值是（ ）A ．﹣15B ．3C ．﹣3D ．155．复数z 满足z （2+i ）＝3﹣6i （i 为虚数单位），则复数z 的虚部为（ ） A ．3B ．﹣3iC ．3iD ．﹣36．已知复数z 满足z 1+i=|2−i|，则z 的共轭复数对应的点位于复平面内的（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限7．设复数z 1，z 2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z 1＝3+4i ，则z 1z 2＝（ ） A ．﹣25B ．25C ．7﹣24iD ．﹣7﹣24i8．已知复数z 在复平面内对应的点为（1，﹣1），则|z •z +2i 3|＝（ ） A ．2√2B ．2√3C ．6D ．79．已知复数z 满足|z|=√2，z +z =2，（z 为z 的共轭复数）．下列选项（选项中的i 为虚数单位）中z ＝（ ） A ．1+iB ．1﹣iC ．1+i 或1﹣iD ．﹣1+i 或﹣1﹣i10．已知复数z 满足|z ﹣1﹣i |≤1，则|z |的最小值为（ ） A ．1B ．√2−1C ．√2D ．√2+1二．多选题（共4小题）11．已知复数z ＝1+i （其中i 为虚数单位），则以下说法正确的有（ ） A ．复数z 的虚部为iB．|z|=√2C．复数z的共轭复数z=1﹣iD．复数z在复平面内对应的点在第一象限12．设z1，z2，z3为复数，z1≠0．下列命题中正确的是（）A．若|z2|＝|z3|，则z2＝±z3B．若z1z2＝z1z3，则z2＝z3 C．若z2=z3，则|z1z2|＝|z1z3|D．若z1z2＝|z1|2，则z1＝z2 13．已知i为虚数单位，则下面命题正确的是（）A．若复数z=3+i，则1z=310−i10B．复数z满足|z﹣2i|＝1，z在复平面内对应的点为（x，y），则x2+（y﹣2）2＝1C．若复数z1，z2满足z1=z2，则z1z2≥0D．复数z＝1﹣3i的虚部是314．已知复数z0＝1+2i（i为虚数单位）在复平面内对应的点为P0，复数z满足|z﹣1|＝|z﹣i|，下列结论正确的是（）A．P0点的坐标为（1，2）B．复数z0的共轭复数对应的点与点P0关于虚轴对称C．复数z对应的点Z在一条直线上D．P0与z对应的点Z间的距离的最小值为√2三．填空题（共4小题）15．i是虚数单位，则i607的共轭复数为．16．若复数z与其共轭复数z满足|z|=√3，z+z=2，则z+3z=．17．若复数z满足|z﹣3i|＝1，求|z+2|的最大值．18．若复数z满足z•z+z+z=0，则复数|z﹣1﹣2i|的最大值为．专题二《集合》讲义知识梳理.集合1．集合的有关概念(1)集合元素的三个特性：确定性、无序性、互异性(2)集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法．(3)元素与集合的两种关系：属于，记为∈；不属于，记为∉.(4)五个特定的集合及其关系图：N*或N＋表示正整数集，N表示自然数集，Z表示整数集，Q表示有理数集，R表示实数集．2．集合间的基本关系(1)子集：一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，则称A是B的子集，记作A⊆B(或B⊇A)．(2)真子集：如果集合A是集合B的子集，但集合B中至少有一个元素不属于A，则称A是B的真子集.(3)集合相等：如果A⊆B，并且B⊆A，则A＝B.(4)空集：不含任何元素的集合．空集是任何集合A的子集，是任何非空集合B的真子集．记作∅.3．集合间的基本运算(1)交集：一般地，由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集，记作A∩B，即A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}．(2)并集：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为A与B的并集，记作A∪B，即A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}．(3)补集：对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，简称为集合A的补集，记作∁U A，即∁U A＝{x|x∈U，且x∉A}．题型一.集合的基本概念1．设集合A＝{2，1﹣a，a2﹣a+2}，若4∈A，则a＝（）A．﹣3或﹣1或2B．﹣3或﹣1C．﹣3或2D．﹣1或2【解答】解：若1﹣a＝4，则a＝﹣3，∴a2﹣a+2＝14，∴A＝{2，4，14}；若a2﹣a+2＝4，则a＝2或a＝﹣1，a＝2时，1﹣a＝﹣1，∴A＝{2，﹣1，4}；a＝﹣1时，1﹣a＝2（舍），故选：C．2．设a，b∈R，集合{1，a+b，a}＝{0，ba，b}，则b﹣a＝（）A．1B．﹣1C．2D．﹣2【解答】解：根据题意，集合{1，a+b，a}={0，ba，b}，又∵a≠0，∴a+b＝0，即a＝﹣b，∴ba=−1，b＝1；故a＝﹣1，b＝1，则b﹣a＝2，故选：C．3．已知集合A＝{（x，y）|x2+y2≤3，x∈Z，y∈Z}，则A中元素的个数为（）A．9B．8C．5D．4【解答】解：当x＝﹣1时，y2≤2，得y＝﹣1，0，1，当x＝0时，y2≤3，得y＝﹣1，0，1，当x＝1时，y2≤2，得y＝﹣1，0，1，即集合A中元素有9个，故选：A．4．设集合A＝{1，2，3}，B＝{4，5}，M＝{x|x＝a+b，a∈A，b∈B}，则M中元素的个数为（）A．3B．4C．5D．6【解答】解：因为集合A＝{1，2，3}，B＝{4，5}，M＝{x|x＝a+b，a∈A，b∈B}，所以a+b的值可能为：1+4＝5、1+5＝6、2+4＝6、2+5＝7、3+4＝7、3+5＝8，所以M中元素只有：5，6，7，8．共4个．故选：B．5．已知集合A＝{1，2，3}，B＝{1，m}，若3﹣m∈A，则非零实数m的数值是2．【解答】解：∵集合A＝{1，2，3}，B＝{1，m}，3﹣m∈A，∴{3−m=1m≠0m≠1或{3−m=2m≠0m≠1或{3−m=3m≠0m≠1，解得m＝2．∴非零实数m的数值是2．故答案为：2．6．若集合A＝{x∈R|ax2+ax+1＝0}其中只有一个元素，则a＝（）A．4B．2C．0D．0或4【解答】解：当a＝0时，方程为1＝0不成立，不满足条件当a≠0时，△＝a2﹣4a＝0，解得a＝4故选：A．题型二.集合的基本关系——子集个数1．已知集合A＝{0，1，a2}，B＝{1，0，3a﹣2}，若A＝B，则a等于（）A．1或2B．﹣1或﹣2C．2D．1【解答】解：∵A＝B，∴3a﹣2＝a2，解得：a＝1或2，当a＝1时，集合A＝{0，1，1}不满足元素的互异性，故舍去，当a＝2时，集合A＝{0，1，4}，集合B＝{1，0，4}，符合题意，所以a＝2，故选：C ．2．设集合A ＝{x |1＜x ≤2}，B ＝{x |x ＜a }，若A ⊆B ，则a 的取值范围是（ ） A ．{a |a ≥1}B ．{a |a ≤1}C ．{a |a ≥2}D ．{a |a ＞2}【解答】解：由题意作图则a ＞2即可， 故选：D ．3．已知集合M ＝{x |x 2＝1}，N ＝{x |ax ＝1}，若N ⊆M ，则实数a 的取值集合为（ ） A ．{1}B ．{﹣1，1}C ．{1，0}D ．{1，﹣1，0}【解答】解：∵集合M ＝{x |x 2＝1}＝{﹣1，1}，N ＝{x |ax ＝1}，N ⊆M ， ∴当a ＝0时，N ＝∅，成立； 当a ≠0时，N ＝{1a }，∵N ⊆M ，∴1a=−1或1a=1．解得a ＝﹣1或a ＝1，综上，实数a 的取值集合为{1，﹣1，0}． 故选：D ．4．已知集合A ＝{x |x 2﹣3ax ﹣4a 2＞0，（a ＞0）}，B ＝{x |x ＞2}，若B ⊆A ，则实数a 的取值范围是 （0，12] ．【解答】解：集合A ＝{x |x 2﹣3ax ﹣4a 2＞0，（a ＞0）} ＝{x |（x ﹣4a ）（x +a ）＞0，a ＞0} ＝{x |x ＜﹣a 或x ＞4a ，a ＞0}， B ＝{x |x ＞2}，B ⊆A ， ∴0＜4a ≤2，解得0＜a ≤12． ∴实数a 的取值范围是（0，12]．故答案为：（0，12]．5．已知集合A ＝{x ∈Z |x 2+3x ＜0}，则满足条件B ⊆A 的集合B 的个数为（ ） A ．2B ．3C ．4D ．8【解答】解：∵集合A＝{x∈Z|x2+3x＜0}＝{x∈Z|﹣3＜x＜0}＝{﹣2，﹣1}，∴满足条件B⊆A的集合B的个数为22＝4．故选：C．6．设集合A＝{1，0}，集合B＝{2，3}，集合M＝{x|x＝b（a+b），a∈A，b∈B}，则集合M 的真子集的个数为（）A．7个B．12个C．16个D．15个【解答】解：a＝1，b＝2时，x＝6，a＝1，b＝3时，x＝12，a＝0，b＝2时，x＝4，a＝0，b＝3时，x＝9，故M＝{4，6，9，12}，故M的真子集的个数是：24﹣1＝15个，故选：D．题型三.集合的基本运算1．设集合A＝{1，2，4}，B＝{x|x2﹣4x+m﹣1＝0}，若A∩B＝{1}，则B＝（）A．{1，﹣3}B．{1，0}C．{1，3}D．{1，5}【解答】解：∵集合A＝{1，2，4}，B＝{x|x2﹣4x+m﹣1＝0}，A∩B＝{1}，∴x＝1是x2﹣4x+m﹣1＝0的解，∴1﹣4+m﹣1＝0，解得m＝4，∴B＝{x|x2﹣4x+m﹣1＝0}＝{x|x2﹣4x+3＝0}＝{1，3}．故选：C．2．已知集合A＝{（x，y）|x2+y2＝1}，B＝{（x，y）|y＝﹣x}，则A∩B中元素的个数为（）A．3B．2C．1D．0【解答】解：在同一个坐标下，画出圆x2+y2＝1和直线y＝﹣x的图象如下所示：圆x2+y2＝1和直线y＝﹣x有两个交点，∴A∩B中元素的个数为：2．故选：B．3．已知集合A＝{x|0＜log4x＜1}，B＝{x|e x﹣2≤1}，则A∪B＝（）A．（﹣∞，4）B．（1，4）C．（1，2）D．（1，2]【解答】解：A＝{x|1＜x＜4}，B＝{x|x≤2}，∴A∪B＝（﹣∞，4）．故选：A．4．满足M⊆{a1，a2，a3}，且M∩{a1，a2，a3}＝{a3}的集合M的子集个数是（）A．1B．2C．3D．4【解答】解：∵M⊆{a1，a2，a3}，且M∩{a1，a2，a3}＝{a3}，说明集合M中只含有一个元素a3，即M＝{a3}，M的子集为∅，{a3}，∴集合M的子集个数是2．故选：B．5．设集合A＝{x∈Z||x|≤2}，B={x|32x≤1}，则A∩B＝（）A．{1，2} B．{﹣1，﹣2} C．{﹣2，﹣1，2} D．{﹣2，﹣1，0，2}【解答】解：A＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，B＝{x|x≥32或x＜0}，故A∩B＝{﹣2，﹣1，2}，故选：C．6．已知集合A＝{1，2，3}，B＝{x|x2﹣3x+a＝0，a∈A}，若A∩B≠∅，则a的值为（）A．1B．2C．3D．1或2【解答】解：a＝1时，B中方程为x2﹣3x+1＝0，其解为无理数，A∩B＝∅；a＝2时，B中方程为x2﹣3x+2＝0，其解为1和2，A∩B＝{1，2}≠∅；a＝3时，B中方程为x2﹣3x+3＝0，无解，A∩B＝∅；综上，a的值为2．故选：B．7．设集合A＝{x|x2﹣2x≤0，x∈R}，B＝{y|y＝﹣x2，﹣1≤x≤2}，则∁R（A∩B）等于（）A．R B．{x|x∈R，x≠0}C．{0}D．φ【解答】解：∵集合A＝{x|x2﹣2x≤0，x∈R}＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|y＝﹣x2，﹣1≤x≤2}＝{x|﹣4≤x≤0}，∴A∩B＝{0}，∴∁R（A∩B）＝{x|x∈R，x≠0}，故选：B．8．设集合A＝{x|x（4﹣x）＞3}，B＝{x|x|≥a}，若A∩B＝A，则a的取值范围是（）A．a≤1B．a＜1C．a≤3D．a＜3【解答】解：A＝{x|1＜x＜3}；∵A∩B＝A；∴A⊆B；①若a≤0，B＝R，满足A⊆B；②若a＞0，则B＝{x|x≥a，或x≤﹣a}；∴0＜a≤1；综上得，a≤1．故选：A．题型四.用韦恩图解决集合问题——新定义问题1．已知全集U＝R，集合A＝{1，2，3，4，5}，B＝{x∈R|y＝lg（x﹣3）}，则图中阴影部分表示的集合为（）A．{1，2，3，4，5}B．{1，2，3}C．{1，2}D．{3，4，5}【解答】解：∵全集U＝R，集合A＝{1，2，3，4，5}，B＝{x∈R|y＝lg（x﹣3）}＝{x|x＞3}，∴∁U B＝{x|x≤3}．∴图中阴影部分表示的集合为：A∩（∁U B）＝{1，2，3}．故选：B．2．设全集U＝{x|0＜x＜10，x∈N*}，若A∩B＝{3}，A∩∁U B＝{1，5，7}，∁U A∩∁U B＝{9}，则A＝{1，3，5，7}，B＝{2，3，4，6，8}．【解答】解：U＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9}，由题意如图所示由韦恩图可知A＝{1，3，5，7}，B＝{2，3，4，6，8}故答案为：{1，3，5，7}；{2，3，4，6，8}3．已知M，N均为R的子集，且∁R M⊆N，则M∪（∁R N）＝（）A．∅B．M C．N D．R【解答】解：如图所示易知M∪（∁R N）＝M．故选：B．4．某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是（）A．62%B．56%C．46%D．42%【解答】解：设只喜欢足球的百分比为x，只喜欢游泳的百分比为y，两个项目都喜欢的百分比为z，由题意，可得x+z＝60，x+y+z＝96，y+z＝82，解得z＝46．∴该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是46%．故选：C．5．已知集合M＝{1，2，3，4}，集合A、B为集合M的非空子集，若∀x∈A、y∈B，x＜y恒成立，则称（A，B）为集合M的一个“子集对”，则集合M的“子集对”共有17个．【解答】解：由集合M＝{1，2，3，4}，集合A、B为集合M的非空子集，若∀x∈A、y∈B，x＜y恒成立，则称（A，B）为集合M的一个“子集对”，则集合M的“子集对”有：当A＝{1}，B＝{2}或{3}或{4}或{2，3}或{2，4}或{3，4}或{2，3，4}；当A＝{2}时，B＝{3}或{4}或{3，4}当A＝{3}时，B＝{4}A＝{1，2}时，B＝{3}或{4}或{3，4}A＝{1，3}时，B＝{4}，A＝{2，3}，B＝{4}A＝{1，2，3}，B＝{4}故答案为：17．6．任意两个正整数x、y，定义某种运算⊗：x⊗y={x+y(x与y奇偶相同)x×y(x与y奇偶不同)，则集合M＝{（x，y）|x⊗y＝6，x，y∈N*}中元素的个数是9．【解答】解：①当x与y都为奇数时，有1+5＝6，3+3＝6，据此可得出（1，5），（5，1），（3，3），3个点符合题意，②当x与y都为偶数时，有2+4＝6，据此可得出（2，4），（4，2），2个点符合题意，③当x与y一奇一偶时，1×6＝6，2×3＝6，据此可得出（1，6），（6，1），（2，3），（3，2），4个点符合题意，所以共有9个点符合题意，故答案为：9．专题二《集合》讲义知识梳理.集合1．集合的有关概念(1)集合元素的三个特性：确定性、无序性、互异性(2)集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法．(3)元素与集合的两种关系：属于，记为∈；不属于，记为∉.(4)五个特定的集合及其关系图：N*或N＋表示正整数集，N表示自然数集，Z表示整数集，Q表示有理数集，R表示实数集．2．集合间的基本关系(1)子集：一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，则称A是B的子集，记作A⊆B(或B⊇A)．(2)真子集：如果集合A是集合B的子集，但集合B中至少有一个元素不属于A，则称A是B的真子集.(3)集合相等：如果A⊆B，并且B⊆A，则A＝B.(4)空集：不含任何元素的集合．空集是任何集合A的子集，是任何非空集合B的真子集．记作∅.3．集合间的基本运算(1)交集：一般地，由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集，记作A∩B，即A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}．(2)并集：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为A与B的并集，记作A∪B，即A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}．(3)补集：对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，简称为集合A的补集，记作∁U A，即∁U A＝{x|x∈U，且x∉A}．1．设集合A＝{2，1﹣a，a2﹣a+2}，若4∈A，则a＝（）A．﹣3或﹣1或2B．﹣3或﹣1C．﹣3或2D．﹣1或22．设a，b∈R，集合{1，a+b，a}＝{0，ba，b}，则b﹣a＝（）A．1B．﹣1C．2D．﹣23．已知集合A＝{（x，y）|x2+y2≤3，x∈Z，y∈Z}，则A中元素的个数为（）A．9B．8C．5D．44．设集合A＝{1，2，3}，B＝{4，5}，M＝{x|x＝a+b，a∈A，b∈B}，则M中元素的个数为（）A．3B．4C．5D．65．已知集合A＝{1，2，3}，B＝{1，m}，若3﹣m∈A，则非零实数m的数值是．6．若集合A＝{x∈R|ax2+ax+1＝0}其中只有一个元素，则a＝（）A．4B．2C．0D．0或4题型二.集合的基本关系——子集个数1．已知集合A＝{0，1，a2}，B＝{1，0，3a﹣2}，若A＝B，则a等于（）A．1或2B．﹣1或﹣2C．2D．12．设集合A＝{x|1＜x≤2}，B＝{x|x＜a}，若A⊆B，则a的取值范围是（）A．{a|a≥1}B．{a|a≤1}C．{a|a≥2}D．{a|a＞2}3．已知集合M＝{x|x2＝1}，N＝{x|ax＝1}，若N⊆M，则实数a的取值集合为（）A．{1}B．{﹣1，1}C．{1，0}D．{1，﹣1，0} 4．已知集合A＝{x|x2﹣3ax﹣4a2＞0，（a＞0）}，B＝{x|x＞2}，若B⊆A，则实数a的取值范围是．5．已知集合A＝{x∈Z|x2+3x＜0}，则满足条件B⊆A的集合B的个数为（）A．2B．3C．4D．86．设集合A＝{1，0}，集合B＝{2，3}，集合M＝{x|x＝b（a+b），a∈A，b∈B}，则集合M 的真子集的个数为（）A．7个B．12个C．16个D．151．设集合A＝{1，2，4}，B＝{x|x2﹣4x+m﹣1＝0}，若A∩B＝{1}，则B＝（）A．{1，﹣3}B．{1，0}C．{1，3}D．{1，5}2．已知集合A＝{（x，y）|x2+y2＝1}，B＝{（x，y）|y＝﹣x}，则A∩B中元素的个数为（）A．3B．2C．1D．03．已知集合A＝{x|0＜log4x＜1}，B＝{x|e x﹣2≤1}，则A∪B＝（）A．（﹣∞，4）B．（1，4）C．（1，2）D．（1，2]4．满足M⊆{a1，a2，a3}，且M∩{a1，a2，a3}＝{a3}的集合M的子集个数是（）A．1B．2C．3D．45．设集合A＝{x∈Z||x|≤2}，B={x|32x≤1}，则A∩B＝（）A．{1，2} B．{﹣1，﹣2} C．{﹣2，﹣1，2} D．{﹣2，﹣1，0，2}6．已知集合A＝{1，2，3}，B＝{x|x2﹣3x+a＝0，a∈A}，若A∩B≠∅，则a的值为（）A．1B．2C．3D．1或27．设集合A＝{x|x2﹣2x≤0，x∈R}，B＝{y|y＝﹣x2，﹣1≤x≤2}，则∁R（A∩B）等于（）A．R B．{x|x∈R，x≠0}C．{0}D．φ8．设集合A＝{x|x（4﹣x）＞3}，B＝{x|x|≥a}，若A∩B＝A，则a的取值范围是（）A．a≤1B．a＜1C．a≤3D．a＜3题型四.用韦恩图解决集合问题——新定义问题1．已知全集U＝R，集合A＝{1，2，3，4，5}，B＝{x∈R|y＝lg（x﹣3）}，则图中阴影部分表示的集合为（）A．{1，2，3，4，5}B．{1，2，3}C．{1，2}D．{3，4，5} 2．设全集U＝{x|0＜x＜10，x∈N*}，若A∩B＝{3}，A∩∁U B＝{1，5，7}，∁U A∩∁U B＝{9}，则A＝，B＝．3．（2021•全国模拟）已知M，N均为R的子集，且∁R M⊆N，则M∪（∁R N）＝（）A．∅B．M C．N D．R4．某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是（）A．62%B．56%C．46%D．42%5．已知集合M＝{1，2，3，4}，集合A、B为集合M的非空子集，若∀x∈A、y∈B，x＜y恒成立，则称（A，B）为集合M的一个“子集对”，则集合M的“子集对”共有个．6．任意两个正整数x、y，定义某种运算⊗：x⊗y={x+y(x与y奇偶相同)x×y(x与y奇偶不同)，则集合M＝{（x，y）|x⊗y＝6，x，y∈N*}中元素的个数是．专题二 《集合》专项练习课后作业.集合一．选择题（共8小题）1．已知集合A ＝{1，2，3，4，5，6}，T ＝{x |x =b a，a ，b ∈A ，a ＞b }，则集合T 中元素的个数为（ ）A ．9B ．10C ．11D ．12【解答】解：a ＝1不适合题意，舍去．a ＝2时，b ＝1，可得：b a =12．a ＝3时，b ＝1，2，可得：b a =13，23．a ＝4时，b ＝1，2，3，可得：b a =14，12，34．a ＝5时，b ＝1，2，3，4，可得：b a =15，25，35，45．a ＝6时，b ＝1，2，3，4，5，可得：b a =16，13，12，23，56．可得：T ＝{x |x =b a ，a ，b ∈A ，a ＞b }＝{12，13，23，14，34，15，25，35，45，16，56}．∴集合T 中元素的个数为11．故选：C ．2．已知集合A ＝{0，1}，B ＝{z |z ＝x +y ，x ∈A ，y ∈A }，则B 的子集个数为（ ）A ．8B ．2C ．4D ．7【解答】解：集合A ＝{0，1}，B ＝{z |z ＝x +y ，x ∈A ，y ∈A }，当x ＝0，y ＝0时，z ＝0，当x ＝0，y ＝1或x ＝1，y ＝0时，z ＝1，当x ＝1，y ＝1时，z ＝2，∴集合B 含有3个元素，其子集个数为23＝8个．故选：A ．3．已知集合A ＝{（x ，y ）|y ＝﹣x +2}，B ＝{（x ，y ）|y ＝2x }，则A ∩B 元素的个数为（）A ．0B ．1C ．2D ．3【解答】解：作y ＝﹣x +2和y ＝2x 的图象如下：根据图象看出，直线y＝﹣x+2和指数函数y＝2x的图象只有一个交点；∴A∩B元素的个数为1．故选：B．4．已知集合A＝{x|2x+1≤1}，B＝{x|2x＜1}，则（∁R A）∩B＝（）A．[﹣1，0）B．（﹣1，0）C．（﹣∞，0）D．（﹣∞，﹣1）【解答】解：A＝{x|x＜﹣1，或x≥1}，B＝{x|x＜0}；∴∁R A＝{x|﹣1≤x＜1}；∴（∁R A）∩B＝{x|﹣1≤x＜0}＝[﹣1，0）．故选：A．5．已知集合A＝{1，3，a2}，B＝{1，a+2}，若A∩B＝B，则实数a的取值为（）A．1B．﹣1或2C．2D．﹣1或1【解答】解：∵A∩B＝B，∴B⊆A，∴a+2＝3或a+2＝a2，∴a＝1或a＝﹣1或a＝2，a＝1或a＝﹣1时，集合A的元素不满足互异性，不合题意；a＝2时，符合题意，∴a＝2．故选：C．6．已知全集U＝R，集合M＝{x|x+2a≥0}，N＝{x|log2（x﹣1）＜1}，若集合M∩（∁U N）＝{x|x＝1或x≥3}，那么a的取值为（）A．a=12B．a≤12C．a=−12D．a≥12【解答】解：由题意可知：∵log2（x﹣1）＜1，∴x﹣1＞0且x﹣1＜2，即1＜x＜3，∴N＝{x|1＜x＜3}，∴∁u N ＝{x |x ≤1或x ≥3}又∵M ＝{x |x +2a ≥0}＝{x |x ≥﹣2a }，而M ∩（∁∪N ）＝{x |x ＝1，或x ≥3}，∴﹣2a ＝1，∴a =−12故选：C ．7．已知集合A ＝{x ∈N ||x |≤1}，集合B ={x ∈Z|y =√x +1⋅√3−x}，则图中的阴影部分表示的集合是（ ）A ．[1，3]B ．（1，3]C ．{﹣1，2，3}D ．{﹣1，0，2，3}【解答】解：A ＝{x ∈N ||x |≤1}＝{0，1}，由{x +1≥03−x ≥0得{x ≥−1x ≤3得﹣1≤x ≤3， 则B ＝{﹣1，0，1，2，3}，阴影部分对应的集合为∁B A ，则∁B A ＝{﹣1，2，3}，故选：C ．8．设集合A ＝{x ||x ﹣a |＜1}，B ＝{x |1＜x ＜5，x ∈R }，A ∩B ＝∅，则实数a 的取值范围是（ ）A ．{a |0≤a ≤6}B ．{a |a ≤2或a ≥4}C ．{a |a ≤0或a ≥6}D ．{a |2≤a ≤4}【解答】解：由|x ﹣a |＜1得﹣1＜x ﹣a ＜1，即a ﹣1＜x ＜a +1．如图由图可知a +1≤1或a ﹣1≥5，所以a ≤0或a ≥6．故选：C ．二．多选题（共4小题）9．已知全集U ＝{0，1，2，3，4}，集合M ＝{2，3，4}，N ＝{0，1，4}，则下列判断正确的是（ ）A ．M ∪N ＝{0，1，2，3，4}B ．（∁U M ）∩N ＝{0，1}C．∁U N＝{1，2，3}D．M∩N＝{0，4}【解答】解：M∪N＝{0，1，2，3，4}，故A正确，∁U M＝{0，1}，则（∁U M）∩N＝{0，1}，故B正确，∁U N＝{2，3}，故C错误，M∩N＝{4}，故D错误，故选：AB．10．设全集U＝R，若集合M⊆N，则下列结论正确的是（）A．M∩N＝M B．M∪N＝N C．∁U M⊆∁U N D．（M∪N）⊆N 【解答】解：因为M⊆N，则M∩N＝M，M∪N＝N，所以A，B正确，且∁U M⊇∁U N，（M∪N）⊆N，所以C错误，D正确，故选：ABD．11．已知非空集合A、B满足：全集U＝A∪B＝（﹣1，5]，A∩∁U B＝[4，5]，下列说法不一定正确的有（）A．A∩B＝∅B．A∩B≠∅C．B＝（﹣1，4）D．B∩∁U A＝（﹣1，4）【解答】解：∵A∩∁u B＝[4，5]，U＝A∪B＝（﹣1，5]，∴B＝U﹣A∩∁u B＝（﹣1，4），∴C正确．则集合A一定包含[4，5]，当A＝[4，5]时，A∩B＝∅，∴B错误．当A＝（3，5]时，A∩B＝（3，4），∴A错误．此时∁u A＝（﹣1，3]，B∩∁u A＝（﹣1，3]，∴D错误．故选：ABD．12．若非空数集M满足任意x，y∈M，都有x+y∈M，x﹣y∈M，则称M为“优集”．已知A，B是优集，则下列命题中正确的是（）A．A∩B是优集B．A∪B是优集C．若A∪B是优集，则A⊆B或B⊆AD．若A∪B是优集，则A∩B是优集【解答】解：选项A：任取x∈A∩B，y∈A∩B，因为集合A，B是优集，则x+y∈A，x+y∈B，则x+y∈A∩B，x﹣y∈A，x﹣y∈B，则x﹣y∈A∩B，所以A正确，选项B：取A＝{x|x＝2k，k∈Z}，B＝{x|x＝3m，m∈Z}，则A＝{x|x＝2k或x＝3k，k∈Z}，令x＝3，y＝2，则x+y＝5∉A∪B，B错误，选项C：任取x∈A，y∈B，可得x，y∈A∪B，因为A∪B是优集，则x+y∈A∪B，x﹣y∈A∪B，若x+y∈B，则x＝（x+y）﹣y∈B，此时A⊆B，若x+y∈A，则x＝（x+y）﹣y∈A，此时B⊆A，C正确，选项D：A∪B是优集，可得A⊆B，则A∩B＝A为优集，或B⊆A，则A∩B＝B为优集，所以A∩B是优集，D正确，故选：ACD．三．填空题（共6小题）13．设集合A＝{0，﹣4}，B＝{x|x2+2（a+1）x+a2﹣1＝0，x∈R}．若B⊆A，则实数a的取值范围是（﹣∞，﹣1]∪{1}．【解答】解：∵集合A＝{0，﹣4}，B＝{x|x2+2（a+1）x+a2﹣1＝0，x∈R}，B⊆A，∴当B＝∅时，x2+2（a+1）x+a2﹣1＝0无解，△＝4（a+1）2﹣4（a2﹣1）＜0，解得a＜﹣1；当B＝{0}时，把x＝0代入方程x2+2（a+1）x+a2﹣1＝0，得a＝±1；当a＝1时，B＝{0，﹣4}≠{0}，∴a≠1；当a＝﹣1时，B＝{0}，∴a＝﹣1；当B＝{﹣4}时，把x＝﹣4代入方程x2+2（a+1）x+a2﹣1＝0，得a＝1或a＝7；当a＝1时，B＝{0，﹣4}≠{﹣4}，∴a≠1；当a＝7时，B＝{﹣4，﹣12}≠{﹣4}，∴a≠7；当B＝{0，﹣4}时，则a＝1；当a＝1时，B＝{0，﹣4}，∴a＝1；综上所述：a≤﹣1或a＝1，∴实数a的取值范围是（﹣∞，﹣1]∪{1}．故答案为：（﹣∞，﹣1]∪{1}．14．设全集U＝{x|0＜x＜6，x∈N}，A＝{x|x2﹣5x+q＝0}，B＝{x|x2+px+12＝0}，（∁u A）∪B ＝{1，3，4，5}，则集合B＝{3，4}【解答】解：全集U＝{x|0＜x＜6，x∈N}＝{1，2，3，4，5}，。
高三数学练习题及答案
高三数学练习题及答案一、选择题1. 已知函数f(x) = 2x + 3，那么f(1)的值为（）。
A. 1B. 5C. 1D. 52. 若|a| = 5，则a的值为（）。
A. 5 或 5B. 0C. 5D. 53. 下列函数中，奇函数是（）。
A. y = x^2B. y = x^3C. y = |x|D. y = 1/x4. 在等差数列{an}中，若a1 = 1，a3 = 3，则公差d为（）。
A. 1B. 2C. 3D. 45. 若复数z满足|z 1| = |z + 1|，则z在复平面上的对应点位于（）。
A. 实轴上B. 虚轴上C. 原点D. 不在坐标轴上二、填空题1. 已知等差数列{an}的通项公式为an = 3n 2，则第7项的值为______。
2. 若向量a = (2, 3)，向量b = (4, 1)，则2a 3b = ______。
3. 不等式2x 3 > x + 1的解集为______。
4. 二项式展开式(a + b)^10中，含a^3b^7的项的系数为______。
5. 在三角形ABC中，a = 5, b = 8, sinA = 3/5，则三角形ABC的面积为______。
三、解答题1. 讨论函数f(x) = x^3 3x在区间(∞, +∞)上的单调性。
2. 设函数f(x) = (1/2)^x 2^x，求f(x)的单调递减区间。
3. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn = 2n^2 + n，求该数列的通项公式。
4. 在△ABC中，a = 10, b = 15, C = 120°，求sinA和cosA的值。
5. 解三角形ABC，已知a = 8, b = 10, sinB = 3/5。
6. 已知函数f(x) = x^2 + ax + 1在区间[1, 3]上的最小值为3，求实数a的值。
7. 设函数f(x) = x^2 2x + c，讨论函数在区间[0, 3]上的最大值和最小值。
山东省滨州市2023届高三模拟练习数学试题
(3)在（1）基础上，在直线 y = 2x ， y = -2x 上分别取点 G，Q，当 G，Q 分别位于第一、
二象限时，若
uuur GP
=
l
uuur PQ
，
l
Î
é êë
1 2
, 3ùúû
，求
△GOQ
面积的取值范围．
22．设函数 f (x) 的导函数为 f '(x) .若不等式 f (x) ³ f '(x) 对任意实数 x 恒成立，则称函
【分析】利用复数相等列方程组，解方程组求得 a, b ，由此求得 z 的虚部.
【详解】设 z = a + bi ， a,b Î R ，则 z = a - bi ，
∵ zi = 2z + i ，
∴(a + bi)i = 2(a - bi) + i ， -b + ai = 2a + (1- 2b)i
即
ì-b = 2a íîa = 1- 2b
（2）若 ÐBAD = 60° ，求 D 点到面 B1BC 的距离． 20．第五届中国国际进口博览会于 2022 年 11 月 4 日在上海开幕，本次进口博览会共有 145 个国家、地区和国际组织参展，企业商业展延续食品及农产品、汽车、技术装备、 消费品、医疗器械及医药保健、服务贸易六大展区设置.进口博览会的举办向世界展示 了中国扩大开放的决心与自信、气魄与担当.为调查上海地区大学生对进口博览会展区 设置的了解情况，从上海各高校抽取 400 名学生进行问卷调查，得到部分数据如下表：
_______.
15．过点 M (1,1) 且与曲线 f ( x) = x3 +1相切的直线方程为______．
高中数学集合、复数必做题型(含解析)
集合，复数---高考题型一．选择题（共40小题）1．已知集合M＝{x||x﹣1|≥2}，N＝{﹣1，0，1，2，3}，则（∁R M）∩N＝（）A．{0，1，2}B．{1，2}C．{﹣1，0，1，2}D．{2，3}2．已知集合U＝{0，1，2，3}，S＝{0，3}，T＝{2}，则∁U（S∪T）＝（）A．{1}B．{0，2}C．{1，2，3}D．{0，1，2，3} 3．设集合A＝{x|x＜2}，，则（∁U A）∩B＝（）A．（1，2）B．[1，2]C．[2，3）D．[2，3]4．设集合M＝{2m﹣1，m﹣3}，若﹣3∈M，则实数m＝（）A．0B．﹣1C．0或﹣1D．0或15．已知集合M＝{x|x2+x﹣6＜0}，集合，则M∪N＝（）A．{x|﹣3＜x＜1}B．{x|﹣4＜x＜1}C．{x|﹣4＜x＜2}D．{x|﹣3＜x＜2} 6．设全集U＝{﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3}，集合A＝{﹣3，﹣2，2，3}，B＝{﹣3，0，1，2}，则（∁U A）∩B＝（）A．∅B．{1}C．{0，1}D．{0，1，2} 7．已知集合A＝{x|﹣1≤2x﹣1≤3}，B＝{x|x2﹣3x＜0}，则A∪B＝（）A．（0，2]B．[0，2]C．[0，3）D．[0，3]8．设集合A＝{x|0＜x≤1}，B＝{x|x2﹣2x≤0}，则A∩B＝（）A．[0，+∞）B．[0，1]C．（0，1]D．[0，1）9．已知集合A＝{x|x2≤4}，集合B＝{x|x＞0}，则A∪B＝（）A．（﹣∞，﹣2]B．[﹣2，0）C．[﹣2，+∞）D．（0，2]10．已知集合A＝{x|x2﹣2＜0}，且a∈A，则a可以为（）A．﹣2B．﹣1C．D．11．设集合A＝{x|1＜2x＜8}，B＝{x||x+1|≥3}，则A∩B＝（）A．（0，2]B．[2，3）C．（2，3]D．（0，3）12．已知集合，N＝{x||x﹣1|≤2}，则M∩N＝（）A．[﹣1，3]B．[1，2]C．[﹣1，2）D．（2，3]13．若集合A＝{x|2x2+3x﹣9≤0}，B＝{x|2x＞﹣3，x∈Z}，则A∩B＝（）A．{﹣3，﹣2，﹣1，0，1}B．{﹣2，﹣1，0}C．{﹣1，0，1}D．{﹣2，﹣1，0，1}14．已知集合A＝{x∈Z|x2﹣2x﹣3＜0}，则集合A的子集个数为（）A．3B．4C．8D．16 15．若集合M＝{x|x2﹣3x﹣4≤0}，N＝{x|﹣2≤x≤2}，则M∪N＝（）A．[﹣1，2]B．[﹣1，4]C．[﹣2，2]D．[﹣2，4] 16．已知集合A＝{x∈Z|x2﹣2x﹣3＜0}，B＝{﹣2，﹣1，0，1}，则A∪B＝（）A．{﹣2，﹣1}B．{﹣2，﹣1，0，1，2} C．{﹣2，﹣1，0}D．{0，1}17．已知集合，B＝{x||x﹣1|＜2}，则A∩B＝（）A．[2，3]B．[2，3）C．（2，3）D．（2，3] 18．已知集合A＝{x|﹣5＜x＜2}，B＝{x||x|＜3}，则A∪B＝（）A．（﹣∞，2）B．（﹣∞，3）C．（﹣3，2）D．（﹣5，3）19．已知集合A＝{x|﹣2≤x≤2}，B＝{x|0＜x＜2}，则（）A．A⊆B B．B⊆A C．A∪B＝R D．A∩B＝∅20．已知集合A＝{x|≥1}，B＝{x|﹣2＜x＜1}，则A∩（∁R B）＝（）A．（﹣2，2）B．[﹣1，1]C．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）21．设i是虚数单位，复数，则在复平面内z所对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限22．设复数z＝1﹣i，则＝（）A．B．C．D．23．已知i为虚数单位，则复数在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限24．若复数z满足z•（2+3i）＝3﹣2i，其中i为虚数单位，则|z|＝（）A．0B．﹣1C．D．1 25．复数的共轭复数是（）A．i+2B．i﹣2C．﹣i﹣2D．2﹣i26．若复数z＝2﹣i，则i•z的虚部是（）A．2i B．i C．2D．127．若复数z＝i（i﹣1），则|z﹣1|＝（）A．﹣2﹣i B．﹣i C．D．528．已知复数z满足z＝（2+i）（1+3i）（i为虚数单位），则复数z的共轭复数的虚部为（）A．﹣7i B．7i C．﹣7D．﹣129．已知a，b∈R，i为虚数单位，若，则|a+bi|＝（）A．3B．5C．9D．230．已知a，b∈R，a+i与3+bi互为共轭复数，则|a﹣bi|＝（）A．2B．3C．D．431．复数（2﹣3i）i的实部为（）A．﹣2B．2C．﹣3D．332．设复数z在复平面内对应的点为（2，5），则1+z在复平面内对应的点为（）A．（3，﹣5）B．（3，5）C．（﹣3，﹣5）D．（﹣3，5）33．已知复数（为虚数单位），则|z|＝（）A．2B．C．D．34．若复数z满足，则复数z的虚部为（）A．B．C．D．35．复平面内表示复数的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限36．已知z+i＝zi，则|z|＝（）A．B．0C．D．137．已知，i为虚数单位，则z＝（）A．﹣2+i B．2﹣i C．2+i D．﹣2﹣i38．已知复数，则＝（）A．B．C．D．39．若（z+1）i＝z，则z2+i＝（）A．B．C．D．40．已知复数z满足（1﹣i）（z+4i）＝2i，则z的虚部为（）A．﹣3B．﹣3i C．﹣1D．﹣i集合，复数---高考题型参考答案与试题解析一．选择题（共40小题）1．已知集合M＝{x||x﹣1|≥2}，N＝{﹣1，0，1，2，3}，则（∁R M）∩N＝（）A．{0，1，2}B．{1，2}C．{﹣1，0，1，2}D．{2，3}【解答】解：集合M＝{x||x﹣1|≥2}＝{x|x≥3或x≤﹣1}，则∁R M＝{x|﹣1＜x＜3}，又N＝{﹣1，0，1，2，3}，则（∁R M）∩N＝{0，1，2}．故选：A．2．已知集合U＝{0，1，2，3}，S＝{0，3}，T＝{2}，则∁U（S∪T）＝（）A．{1}B．{0，2}C．{1，2，3}D．{0，1，2，3}【解答】解：U＝{0，1，2，3}，S＝{0，3}，T＝{2}，根据集合补集的概念和运算得：S∪T＝{0，2，3}，∁U（S∪T）＝{1}．故选：A．3．设集合A＝{x|x＜2}，，则（∁U A）∩B＝（）A．（1，2）B．[1，2]C．[2，3）D．[2，3]【解答】解：集合A＝{x|x＜2}，＝{x|1≤x＜3}，∴∁U A＝{x|x≥2}，（∁U A）∩B＝{x|2≤x＜3}．故选：C．4．设集合M＝{2m﹣1，m﹣3}，若﹣3∈M，则实数m＝（）A．0B．﹣1C．0或﹣1D．0或1【解答】解：设集合M＝{2m﹣1，m﹣3}，∵﹣3∈M，∴2m﹣1＝﹣3或m﹣3＝﹣3，当2m﹣1＝﹣3时，m＝﹣1，此时M＝{﹣3，﹣4}；当m﹣3＝﹣3时，m＝0，此时M＝{﹣3，﹣1}；所以m＝﹣1或0．故选：C．5．已知集合M＝{x|x2+x﹣6＜0}，集合，则M∪N＝（）A．{x|﹣3＜x＜1}B．{x|﹣4＜x＜1}C．{x|﹣4＜x＜2}D．{x|﹣3＜x＜2}【解答】解：集合M＝{x|x2+x﹣6＜0}＝{x|﹣3＜x＜2}，集合＝{x|﹣4＜x＜1}，则M∪N＝{x|﹣4＜x＜2}．故选：C．6．设全集U＝{﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3}，集合A＝{﹣3，﹣2，2，3}，B＝{﹣3，0，1，2}，则（∁U A）∩B＝（）A．∅B．{1}C．{0，1}D．{0，1，2}【解答】解：∵U＝{﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3}，A＝{﹣3，﹣2，2，3}，B＝{﹣3，0，1，2}，∴∁U A＝{﹣1，0，1}，（∁U A）∩B＝{0，1}．故选：C．7．已知集合A＝{x|﹣1≤2x﹣1≤3}，B＝{x|x2﹣3x＜0}，则A∪B＝（）A．（0，2]B．[0，2]C．[0，3）D．[0，3]【解答】解：因为A＝{x|﹣1≤2x﹣1≤3}＝{x|0≤x≤2}＝[0，2]，B＝{x|x2﹣3x＜0}＝{x|0＜x＜3}＝（0，3），所以A∪B＝[0，2]∪（0，3）＝[0，3）．故选：C．8．设集合A＝{x|0＜x≤1}，B＝{x|x2﹣2x≤0}，则A∩B＝（）A．[0，+∞）B．[0，1]C．（0，1]D．[0，1）【解答】解：x2﹣2x≤0，x（x﹣2）≤0，∴0≤x≤2，B＝[0，2]，又A＝（0，1]，则A∩B＝（0，1]．故选：C．9．已知集合A＝{x|x2≤4}，集合B＝{x|x＞0}，则A∪B＝（）A．（﹣∞，﹣2]B．[﹣2，0）C．[﹣2，+∞）D．（0，2]【解答】解：由题意A＝{x|x2≤4}＝{x|﹣2≤x≤2}，B＝{x|x＞0}，所以A∪B＝{x|﹣2≤x≤2}∪{x|x＞0}＝{x|x≥﹣2}＝[﹣2，+∞）．故选：C．A．﹣2B．﹣1C．D．【解答】解：由题意可得集合A＝{x|﹣＜x＜}，因为a∈A，所以﹣＜a＜，故选项B正确，ACD错误．故选：B．11．设集合A＝{x|1＜2x＜8}，B＝{x||x+1|≥3}，则A∩B＝（）A．（0，2]B．[2，3）C．（2，3]D．（0，3）【解答】解：因为1＜2x＜8⇒20＜2x＜23，所以0＜x＜3，即A＝（0，3），且|x+1|≥3⇒x+1≥3或x+1≤﹣3，所以x≥2或x≤﹣4，即B＝（﹣∞，﹣4]∪[2，+∞），所以A∩B＝[2，3）．故选：B．12．已知集合，N＝{x||x﹣1|≤2}，则M∩N＝（）A．[﹣1，3]B．[1，2]C．[﹣1，2）D．（2，3]【解答】解：∵，N＝{x|﹣1≤x≤3}，∴M∩N＝（2，3]．故选：D．13．若集合A＝{x|2x2+3x﹣9≤0}，B＝{x|2x＞﹣3，x∈Z}，则A∩B＝（）A．{﹣3，﹣2，﹣1，0，1}B．{﹣2，﹣1，0}C．{﹣1，0，1}D．{﹣2，﹣1，0，1}【解答】解：由2x2+3x﹣9≤0解得，所以，因为B＝{x|2x＞﹣3，x∈Z}，所以，所以A∩B＝{﹣1，0，1}，故选：C．A．3B．4C．8D．16【解答】解：∵集合A＝{x|x∈Z|x2﹣2x﹣3＜0}＝{x∈Z|﹣1＜x＜3}＝{0，1，2}，∴集合A的子集个数为23＝8．故选：C．15．若集合M＝{x|x2﹣3x﹣4≤0}，N＝{x|﹣2≤x≤2}，则M∪N＝（）A．[﹣1，2]B．[﹣1，4]C．[﹣2，2]D．[﹣2，4]【解答】解：∵M＝{x|﹣1≤x≤4}，N＝{x|﹣2≤x≤2}，∴M∪N＝[﹣2，4]．故选：D．16．已知集合A＝{x∈Z|x2﹣2x﹣3＜0}，B＝{﹣2，﹣1，0，1}，则A∪B＝（）A．{﹣2，﹣1}B．{﹣2，﹣1，0，1，2} C．{﹣2，﹣1，0}D．{0，1}【解答】解：∵B＝{﹣2，﹣1，0，1}，集合A＝{x∈Z|x2﹣2x﹣3＜0}＝{0，1，2}，∴A∪B＝{﹣2，﹣1，0，1，2}．故选：B．17．已知集合，B＝{x||x﹣1|＜2}，则A∩B＝（）A．[2，3]B．[2，3）C．（2，3）D．（2，3]【解答】解：∵，B＝{x|﹣1＜x＜3}，∴A∩B＝（2，3）．故选：C．18．已知集合A＝{x|﹣5＜x＜2}，B＝{x||x|＜3}，则A∪B＝（）A．（﹣∞，2）B．（﹣∞，3）C．（﹣3，2）D．（﹣5，3）【解答】解：∵A＝{x|﹣5＜x＜2}，B＝{x|﹣3＜x＜3}，∴A∪B＝（﹣5，3）．故选：D．19．已知集合A＝{x|﹣2≤x≤2}，B＝{x|0＜x＜2}，则（）A．A⊆B B．B⊆A C．A∪B＝R D．A∩B＝∅【解答】解：∵集合A＝{x|﹣2≤x≤2}，B＝{x|0＜x＜2}，∴B⊆A，A∪B＝A，A∩B＝B，因此选项B正确，选项A，C，D错误；故选：B．20．已知集合A＝{x|≥1}，B＝{x|﹣2＜x＜1}，则A∩（∁R B）＝（）A．（﹣2，2）B．[﹣1，1]C．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）【解答】解：A＝{x|≥1}＝{x|x＜﹣1或x≥2}，B＝{x|﹣2＜x＜1}，则∁R B＝{x|x≥1或x≤﹣2}，故A∩（∁R B）＝（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）．故选：C．21．设i是虚数单位，复数，则在复平面内z所对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：＝，故在复平面内z所对应的点（﹣1，1）在第二象限．故选：B．22．设复数z＝1﹣i，则＝（）A．B．C．D．【解答】解：由题意，，故．故选：B．23．已知i为虚数单位，则复数在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：因为，所以，复数在复平面内对应的点的坐标为，位于第二象限．故选：B．24．若复数z满足z•（2+3i）＝3﹣2i，其中i为虚数单位，则|z|＝（）A．0B．﹣1C．D．1【解答】解：z•（2+3i）＝3﹣2i，则z＝，故|z|＝＝．故选：D．25．复数的共轭复数是（）A．i+2B．i﹣2C．﹣i﹣2D．2﹣i【解答】解：∵复数＝＝﹣2﹣i，∴共轭复数是﹣2+i故选：B．26．若复数z＝2﹣i，则i•z的虚部是（）A．2i B．i C．2D．1【解答】解：z＝2﹣i，则iz＝i（2﹣i）＝1+2i，其虚部为2．故选：C．27．若复数z＝i（i﹣1），则|z﹣1|＝（）A．﹣2﹣i B．﹣i C．D．5【解答】解：z＝i（i﹣1）＝﹣1﹣i，则z﹣1＝﹣2﹣i，故|z﹣1|＝|2﹣i|＝．故选：C．28．已知复数z满足z＝（2+i）（1+3i）（i为虚数单位），则复数z的共轭复数的虚部为（）A．﹣7i B．7i C．﹣7D．﹣1【解答】解：因为z＝（2+i）（1+3i）＝﹣1+7i，所以，所以复数z的共轭复数的虚部为﹣7．故选：C．29．已知a，b∈R，i为虚数单位，若，则|a+bi|＝（）A．3B．5C．9D．2【解答】解：若，则a+bi＝（2+i）（1﹣2i）＝4﹣3i，故|a+bi|＝＝5．故选：B．30．已知a，b∈R，a+i与3+bi互为共轭复数，则|a﹣bi|＝（）A．2B．3C．D．4【解答】解：∵a+i与3+bi互为共轭复数，∴a＝3，b＝﹣1，∴|a﹣bi|＝|3+i|＝＝．故选：C．31．复数（2﹣3i）i的实部为（）A．﹣2B．2C．﹣3D．3【解答】解：（2﹣3i）i＝3+2i，其实部为3．故选：D．32．设复数z在复平面内对应的点为（2，5），则1+z在复平面内对应的点为（）A．（3，﹣5）B．（3，5）C．（﹣3，﹣5）D．（﹣3，5）【解答】解：复数z在复平面内对应的点为（2，5），则z＝2+5i，故1+z＝1+2+5i＝3+5i，其在复平面内对应的点为（3，5）．故选：B．33．已知复数（为虚数单位），则|z|＝（）A．2B．C．D．【解答】解：，则＝．故选：D．34．若复数z满足，则复数z的虚部为（）A．B．C．D．【解答】解：设z＝a+bi（a，b∈R），则，∵，∴a﹣bi﹣3i＝a+bi，即﹣b﹣3＝b，解得b＝．故选：B．35．复平面内表示复数的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：＝﹣1﹣i，则z在复平面对应的点（﹣1，﹣1）位于第三象限．故选：C．36．已知z+i＝zi，则|z|＝（）A．B．0C．D．1【解答】解：z+i＝zi，则z（1﹣i）＝﹣i，故z＝，所以|z|＝．故选：A．37．已知，i为虚数单位，则z＝（）A．﹣2+i B．2﹣i C．2+i D．﹣2﹣i 【解答】解：，则z＝（1﹣2i）i＝2+i．故选：C．38．已知复数，则＝（）A．B．C．D．【解答】解：＝＝，则．故选：D．39．若（z+1）i＝z，则z2+i＝（）A．B．C．D．【解答】解：由（z+1）i＝z得：（1﹣i）z＝i，即，所以．故选：D．40．已知复数z满足（1﹣i）（z+4i）＝2i，则z的虚部为（）A．﹣3B．﹣3i C．﹣1D．﹣i【解答】解：因为，所以z的虚部为﹣3．故选：A．。
高三数学集合与复数练习试卷
高三数学集合与复数练习试卷第I 卷（选择题）一、单选题1．集合{}|A x x x =-≤240， {}1,0,1,2B =-，则A B =（ ）A ．{}1,1,2-B ．{}012，， C ．{}0,1,2,4 D ．{}12， 2．命题“2,20x R x x ∀∈++>”的否定是（ ）A ．2000,20x R x x ∃∈++<B ．2000,20x R x x ∃∈++≤C ．2000,20x R x x ∃∈++>D ．2000,20x R x x ∀∈++≤3．在ABC 中，已知:,:sin sin p A B q A B ==，则p q 是的（ ）条件A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充要D ．既不充分也不必要4．{}11,A x x x R =-≥∈，{}2log 1,B x x x R =>∈，则“x B ∈”是“x A ∈”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件5．已知集合{}22{Z |1},20A x x B x x mx =∈≤=-+=，若{1}A B ⋂=，则A B ⋃=（ ） A ．{1,0,1}- B ．{|11}x x -≤≤ C ．{1,0,1,2}- D ．{|12}x x -≤≤6．设全集{}0,1,2,3,4,5U =，{}1,3A =，{}2,4B =，则()()B C A C U U （ ）A ．{}0,5B ．{}1,2,3,4C ．{}0,1,2,3,4,5D ．{}0,1,2,57．命题“11,21x x -∀≥≥都有”的否定是（ ）A ．11,21x x -∃≥<使得B ．11,21x x -∃≥≥使得C ．11,21x x -∀≥<都有D ．11,21x x -∃<<使得 8．已知全集U =R ，()3,4A =-，(],2B =-∞，则()B A C R （ ）A ．(]3,2-B ．(](),32,∞∞--⋃+C ．(),4-∞D ．[)4,+∞9．设全集{|1}U x R x =∈≥，集合{}2|3A x R x +=∈≥，则A C U （ ）A ．⎡⎣B ．⎡⎣C ．)+∞D ．)+∞ 10．若全集{}14U x x =≤≤，集合{}3327x A x =≤≤，则A C U （ ） A ．[]1,3 B ．(]3,4 C ．[]3,4 D ．()3,411．已知集合{}20A x R x a =∈+>，且2A ∉，则实数a 的取值范围是（ ）A ．{}4a a ≤B ．{}4a a ≥C ．{}4a a ≤-D ．{}4a a ≥-12．“4m <”是“2210x mx -+>在()1,x ∈+∞上恒成立”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件13．已知集合(){}2log 1A x y x ==+，{}24xB x =≤，则A B =（ ）A ．{}12x x -<≤B ．{}11x x -<≤C ．{}12x x -≤≤D ．{}11x x -<≤14．已知集合ln {|()}2A x y x ==－，2{|430}B x x x =-+≤则A B ⋃=（ ）A ．[13]，B ．(2]3，C ．[1)+∞，D ．(2)+∞，15．若复数z 满足(1i)2i z +=+，则复数z 在复平面内对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限16．复数1i1i -=+z ，则||z =（ ）A ．-1B ．1C ．-2D ．217．复数2i 1i z =+-（i 表示虚数单位）在复平面内对应的点为（ ）A ．（－1，2）B ．（1，－2）C ．（1，2）D ．（2，1）18．在复平面内，复数z 对应的点为()1,1-，则()1i z +=（ ）A ．2B ．2iC ．2i -D ．2-19．已知i 为虚数单位，且013i12i z -=+，复数z 满足01z z -=，则复数z 对应点的轨迹方程为（）A ．()()22114x y -++=B ．()()22114x y -++=C ．()()22111x y +++=D ．()()22111x y -+-=20．已知复数i 1z =+，i 是虚数单位，z 是z 的共轭复数，则z z ⋅=（ ）A ．0B ．1C ．2D ．421．设复数i112i 12i z =+-+（i 为虚数单位），则z =（ ）A ．25 B C ．23 D 22．已知复数34i z =-，z 为z 的共轭复数，则zz =（ ）A ．724i 55- B ．241i 25+ C ．724i 2525-+ D ．724i 55-+23．设复数13i z =-，z 是z 的共轭复数，则(1i)z ⋅-=（ ）A ．24i --B ．42i -C ．24i -+D ．42i +24．复数()11i z x x =+∈R ，2i z y =+，若12z z =，则1z （ ）A ．1i +B ．1i -C ．1i -+D ．1i --二、多选题 25．若复数123i z =+，21i z =-，其中i 是虚数单位，则下列说法正确的是（ ）A ．1z 在复平面内对应的点位于第四象限B ．若()1R z a a +∈是纯虚数，那么2a =-C ．121i z z ⋅=-+D ．若1z 、2z 在复平面内对应的向量分别为OA 、OB （O 为坐标原点），则17AB =26．已知复数cos isin z θθ=+（其中i 为虚数单位），下列说法正确的是（ ）A ．i z z ⋅=B ．1z z+为实数 C ．若8π3θ=，则复数z 在复平面上对应的点落在第一象限 D ．若()0,πθ∈，复数z 是纯虚数，则π2θ= 第II 卷（非选择题）三、填空题27．已知复数ππsin i cos 33z =+，则z =________． 28．下列说法正确的序号为______．①若复数3i z =+，则13i 1010z =-； ①若全集为复数集，则实数集的补集为虚数集； ①已知复数1z ，2z ，若12z z >，则1z ，2z 均为实数；①复数3i 1z =-+的虚部是1．四、解答题 29．设集合(){}1A x x x a a =+-≤，{}260B x x x =+-<，{}260C x x x =--≤. (1)求B C ⋃.(2)若()Φ=B C A U，求实数a 的取值范围．30．已知集合A ＝{x |24x >}，B ＝{x ||x －a |＜2}，其中a ＞0且a ≠1．(1)当a ＝2时，求A ①B 及A ∩B ；(2)若集合C ＝{x |log a x ＜0}且C ⊆B ，求a 的取值范围．参考答案：1．B 【详解】由240x x -≤，得04x ≤≤，所以{}|04A x x =≤≤，{}1,0,1,2B =-，所以|041,0,1,2012A B x x ，，故选：B.2．B 【详解】命题2,20x R x x ∀∈++>的否定是2000,20x R x x ∃∈++≤故选：B3．C 【详解】若A B =，则sin sin A B =成立；在ABC 中，sin sin A B =,得2Rsin Rsin A B =2及正弦定理， 即a b =，所以A B =成立.所以“A B =”是“sin sin A B =”的充要条件,即p q 是的充要条件.故选：C. 4．A 【详解】解不等式可得{}{11,0A x x x R x x =-≥∈=≤或}2x ≥，{}{}2log 1,2B x x x R x x =>∈=>，故B A ⊆，所以“x B ∈”是“x A ∈”的充分不必要条件，故选：A. 5．C 【详解】解不等式21x ≤得：11x -≤≤，于是得{Z |11}{1,0,1}A x x =∈-≤≤=-，因{1}A B ⋂=，即1B ∈，解得3m =，则{1,2}B =，所以{1,0,1,2}A B =-.故选：C6．A 【详解】{}U 0,2,4,5A =，{}U 0,1,3,5B =，所以()()U U A B ={}0,5.故选：A7．A 【详解】因为命题“11,21x x -∀≥≥都有”是全称量词命题，所以其否定是存在量词命题，即“11,21x x -∃≥<使得”，故选：A8．B 【详解】(]3,2A B ⋂=-，()(](),32,A B ∞∞⋂=--⋃+R .故选：B.9．A 【详解】由题意，集合{|A x x =≥，又由{|1}U x R x =∈≥，所以{|1[1U A x x =≤=.故选：A. 10．B 【详解】3327x ≤≤13x ⇒≤≤，因为{}14U x x =≤≤，{}13A x x =≤≤，所以(]U 3,4A =． 故选：B11．C 【详解】由题意可得220a +≤，解得4a ≤-，故选：C12．B 【详解】2210x mx -+>在()1,x ∈+∞上恒成立，即12m x x<+在()1,x ∈+∞上恒成立，12(3,)x x+∈+∞ 故3m ≤，“4m <”是“3m ≤”的必要不充分条件，故选：B 13．A 【详解】集合(){}{}2log 11A x y x x x ==+=>-, {}2B x x =≤.所以A B ={}12x x -<≤. 故选：A14．C 【详解】因为(2,)A =+∞，[13]B =，，所以[1,)A B =+∞.故选：C 15．D 【详解】由题意2i (2i)(1i)22i i 131i 1i (1i)(1i)222z ++--++====-++-，对应点坐标为31(,)22-，在第四象限．故选：D ．16．B 【详解】1i i 1iz -==-+，||1z =故选：B17．C 【详解】因为()21i 2i i 12i 1i 2z +=+=+=+-，所以在复平面内对应的点为（1，2），故选:C 18．A 【详解】由复数的几何意义可知1i z =-，故()()()1i 1i 1i 2z +=-+=.故选：A.19．C 【详解】()()013i 12i 13i 1i 12i 5z ---===--+，表示点(1,1)--，故复数z 的轨迹是以(1,1)--为圆心，半径为1的圆.故选：C20．C 【详解】解：因为复数i 1z =+，i 是虚数单位，z 是z 的共轭复数，所以i 1z =-+，所以21i 2z z ⋅=-=.故选：C 21．B 【详解】i 1i 212i 1i 11i 12i 12i (12i)(12i)555z -+---=+===---+-+，z =.故选：B 22．C 【详解】因34i z =-，则i 34z =+，所以234i (34i)724i 724i 34i (34i)(34i)252525z z ++-+====-+--+. 故选：C23．D 【详解】解：由13i z =-，则13i z =+，所以()()2i 13(1i)1i 13i 3i 4i i 2z ⋅-=⋅-=+-+-=+故选：D24．B 【详解】由题12z z =，即1i i x y +=+，即1,1x y ==，所以11i z =+，11i z =-，故选：B 25．ABD 【详解】对于A 选项，123i z =-，则1z 在复平面内对应的点位于第四象限，A 对； 对于B 选项，()()123i R z a a a +=++∈为纯虚数，则20a +=，可得2a =-，B 对；对于C 选项，()()1223i 1i 5i z z ⋅=+⋅-=+，C 错；对于D 选项，由已知可得()2,3OA =，()1,1OB =-，则()1,4AB OB OA =-=--， 所以，(AB =-=D 对.故选：ABD.26．BD 【详解】选项A ：()()cos isin cos isin 1z z θθθθ-⋅=+=.判断错误；选项B ：11=cos isin +cos isin z z θθθθ+++()()cos isin =cos isin +=cos isin +cos isin =2c cos isin cos isin θθθθθθθθθθθθ-++-+- )isin =cos isin +cos isin =2cos cos isin θθθθθθθθ+--，则1z z+为实数.判断正确； 选项C ：若8π3θ=，则8π8π1cos isin =332z =+-+ 则复数z 在复平面上对应的点为12Z ⎛- ⎝⎭，落在第二象限.判断错误；选项D ：若()0,πθ∈，复数z 是纯虚数，则0πcos 0sin 0θθθ<<⎧⎪=⎨⎪≠⎩，解之得π2θ=. 判断正确.故选：BD27．1【详解】①1sin i cos i 33π2πz =+=①1z =.故答案为：1 28．①①①【详解】对于①，因为3i z =+，所以()()113i 3i 3i 3i 3i 3i 101010z --====-++-，故①正确； 对于①，复数集=实数集虚数集，故①正确；对于①，复数集包含实数集，只在其实数集内才能比较大小，由12z z >，得1z ，2z 均为实数，故①正确； 对于①，复数3i 1z =-+的虚部是3-，故①不正确.故答案为：①①①.29．(1){}33B C x x ⋃=-<≤，(2)23a -<<【解析】(1){}32B x x =-<<，{}23C x x =-≤≤，则{}33B C x x ⋃=-<≤；(2)()(){}10A x x a x =+-≤，由()R A B ⋂=∅得A B ⊆，①当<1a -时，即1a >-时，{}1A x a x =-≤≤，只需3a ->-，即13a -<<；①当1a -=时，即1a =-时，{}1A x x ==，满足条件；①当1a ->时，即1a <-时，{}1A x x a =≤≤-，只需2a -<，即21a -<<-；综上可得：a 的取值范围是23a -<<.30．(1)A ①B ＝{x |x ＞0}，A ∩B ＝{x |2＜x ＜4}；(2){a |1＜a ≤2},【解析】(1)①A ＝{x |2x ＞4}＝{x |x ＞2}，B ＝{x ||x －a |＜2}＝{x |a －2＜x ＜a +2}，①当a ＝2时，B ＝{x |0＜x ＜4}，所以A ①B ＝{x | x ＞0}，A ∩B ＝{x |2＜x ＜4}； (2)当a ＞1时，C ＝{x |log ax ＜0}＝{x |0＜x ＜1}，因为C ⊆B ，所以2021a a -≤⎧⎨+≥⎩，解得－1≤ a ≤2， 因为a ＞1，此时1＜a ≤2，当0＜a ＜1时，C ＝{x |log ax ＜0}＝{x |x ＞1}，此时不满足C ⊆B ，综上，a 的取值范围为{a |1＜a ≤2}．。
复数的运算大题专项训练(30道)(人教A版2019必修第二册)试卷及答案
专题7. 7 复数的运算大题专项训练（30道）【人教A版2019必修第二册】姓名：___________班级：___________考号：___________ 1．（2023·高一课时练习）已知复数z=−21+√3i，求1+z+z2+⋯+z2022的值．2．（2023·高一课时练习）已知非零复数z1，z2满足|z1+z2|=|z1−z2|，求证：(z1z2)2一定是负数．3．（2023·高三课时练习）已知z是复数，z+2i、z2−i均为实数（i为虚数单位），且复数(z+a i)2在复平面上对应的点在第一象限，求实数a的取值范围．4．（2022春·陕西榆林·高二校考期中）已知复数z=b i（b∈R，i是虚数单位），z+31−i是实数.(1)求b的值；(2)若复数(m−z)2−8m在复平面内对应的点在第二象限，求实数m的取值范围.5．（2022春·广西桂林·高二校考期中）已知复数z=m2−2m−15+(m2−9)i，其中m∈R.(1)若z为实数，求m的值；(2)若z为纯虚数，求z1+i的值.6．（2022·高一单元测试）设复数z1=1−a i(a∈R),z2=3−4i.(1)若z1+z2是实数，求z1⋅z2；(2)若z1z2是纯虚数，求z1的共轭复数.7．（2022春·重庆酉阳·高一阶段练习）已知复数z=1+b i（i为虚数单位，b>0，且z2为纯虚数．(1)求复数z；(2)若复数ω=z1−i，求ω的模．8．（2023·高一课时练习）设复数ω=−12+√32i，求证：(1)ω，ω2，1都是1的立方根；(2)1+ω+ω2=0．9．（2022春·重庆沙坪坝·高一期中）已知a，b R，i是虚数单位，若复数z1=a−i与z2=2+b i 互为共轭复数.(1)判断复平面内z2对应的点在第几象限;(2)计算(a+b i)2.10．（2023·高一单元测试）已知f(z)=z−1，且f(z1−z2)=4+4i，若z1=2−2i．(1)求复数z1的三角形式与arg z1；(2)求|z1−z2z1+z2|．11．（2023·高一课时练习）已知复数z=3x−(x2−x)i(x∈R)的实部与虚部的差为f(x)．(1)若f(x)=8，且x>0，求复数i z的虚部；(2)当f(x)取得最小值时，求复数z的实部．1+2i12．（2022春·广西玉林·高一阶段练习）已知复数z=(1−i)2+3(1+i)．2−i(1)求z的共轭复数；(2)若az+b=1−i，求实数a，b的值．13．（2023·高一课时练习）复数z=(1+i)2+2i，其中i为虚数单位．1−i(1)求z及|z|；(2)若z2+az̅+b=2+3i，求实数a，b的值．14．（2022秋·山东日照·高二统考期中）已知z是复数，z+2i（i为虚数单位）为实数，且z+z̅=8.(1)求复数z；(2)若复数(z+a i)2在复平面上对应的点在第四象限，求实数a的取值范围.15．（2022·湖南·模拟预测）国际数学教育大会（ICME）是世界数学教育规模最大、水平最高的学术性会议，第十四届大会将在上海召开，其会标如图，包含若许多数学元素，主画面是非常优美的几何化的中心对称图形，由弦图、圆和螺线组成，主画面标明的ICME—14下方的“”是用中国古代八进制的计数符号写出的八进制数3744，也可以读出其二进制码（0）11111100100，换算成十进制的数是n，求(1+i)2n及(1+i√2)n的值．16．已知z=1+i.(1)设ω=z2+3z̅−4，求ω的三角形式；(2)如果z2+az+bz2−z+1=1−i，求实数a，b的值.17．（2022春·河南郑州·高二期中）已知复数z=1+m i（i是虚数单位，m∈R），且z̅⋅(3+i)为纯虚数(z̅是z的共轭复数).(1)设复数z1=m+2i1-i，求|z1|；(2)设复数z2=a-i2022z，且复数z2所对应的点在第一象限，求实数a的取值范围.18．（2022春·浙江·高一期中）已知复数z使得z+2i∈R，z2−i∈R，其中i是虚数单位．(1)求复数z的模；(2)若复数(z+m i)2在复平面上对应的点在第一象限，求实数m的取值范围．19．（2022秋·广东中山·高二阶段练习）已知z1=1+2i,z2=3−4i，i是虚数单位．(1)求z1⋅z2；(2)设复数z1、z2、z3在复平面内所对应的点分别为Z1、Z2、Z3，O为坐标原点，若O、Z1、Z2、Z3所构成的四边形为平行四边形，求复数z3．20．（2022秋·浙江台州·高二开学考试）复数z1=a−i，z2=1−2 i，其中i是虚数单位，为纯虚数．且z1z2(1)求复数z1；(2)若复数(z1+b+2)2(b∈R)在复平面内对应的点在第四象限,求b的取值范围．21．（2022春·江苏盐城·高一期中）若复数z1=1+a i(a∈R)，复数z2=3−4i．(1)若z1+z2∈R，求实数a的值；(2)若a=2，求z1．z222．（2022春·福建福州·高一期末）已知−1+2i是关于x的方程x2+px+q=0(p，q∈R)的一个根，其中i为虚数单位.(1)求p，q的值;(2)记复数z=p+q i，求复数z的模.1+i23．（2022春·北京昌平·高一期中）已知复数z=(1−i)2+5i.1−2i(1)求(z+2)2；(2)若−mz+n=1+i(m,n∈R)，求mn.24．（2022秋·山东临沂·高二开学考试）已知复数z=3−i2+i（i是虚数单位）.(1)求复数z的共轭复数和模；(2)若z2+az+b=z(a,b∈R).求a，b的值.25．（2022秋·黑龙江齐齐哈尔·高二开学考试）已知复数z1=3+4i，z2=−2i，i为虚数单位．(1)若z=z1z2，求z的共轭复数；(2)若复数z1+az2在复平面上对应的点在第一象限，求实数a的取值范围．26．（2022·全国·高一专题练习）已知复数z满足z2−2z+4=0，虚数z1满足z12+az1+b= 0(a,b∈R).(1)求|z|；(2)若z1+z1=z̅z +zz̅，求a的值.27．（2022春·广西百色·高二期末）已知复数z1=(2+i)2，z2=4−3i.(1)求|z1⋅z2|；(2)求z1z2+(z1z2)2+(z1z2)3+⋅⋅⋅+(z1z2)2020.28．（2022春·上海长宁·高一阶段练习）已知复数z满足|z|=√2，z2的虚部为2．(1)求复数z；(2)若Rez>0，设z、z2、4z−z2在复平面上的对应点分别为A、B、C，求△ABC的面积．29．（2023·高一课时练习）设i 为虚数单位，n 为正整数，θ∈[0,2π)．(1)观察(cosθ+i sinθ)2=cos2θ+i sin2θ，(cosθ+i sinθ)3=cos3θ+i sin3θ，(cosθ+i sinθ)4=cos4θ+i sin4θ，…猜测：(cosθ+i sinθ)n （直接写出结果）； (2)若复数z =√3−i ，利用（1）的结论计算z 10．30．（2022春·上海普陀·高一阶段练习）已知复数z 1、z 2对应的向量为OZ 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,OZ 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . (1)若向量OZ 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−3,4)，且OZ 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥OZ 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，|OZ 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OZ 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |.求OZ 2对应的复数z 2;(2)容易证明:(z 1+z 2)2+(z 1−z 2)2=2z 12+2z 22，类比到对应的向量，请写出类似的结论，并加以证明;(3)设|z 1|=1,|z 2|=2,2z 1+z 2=−1+3i ，求z1z 2的值.专题7. 7 复数的运算大题专项训练（30道）【人教A版2019必修第二册】姓名：___________班级：___________考号：___________9．（2022春·重庆沙坪坝·高一期中）已知a，b R，i是虚数单位，若复数z1=a−i与z2=2+b i 互为共轭复数.(1)判断复平面内z对应的点在第几象限;因为f(x)=8，所以x 2+2x =8， 又x >0，所以x =2，即z =6−2i ， 则iz =i(6−2i)=2+6i ， 所以复数i z 的虚部为6．（2）因为f(x)=x 2+2x =(x +1)2−1，所以当x =−1时，f(x)取得最小值， 此时，z =−3−2i ， 则z1+2i =−3+2i1+2i =−(3+2i)(1−2i)5=−75+45i ，所以z 1+2i 的实部为−75．12．（2022春·广西玉林·高一阶段练习）已知复数z =(1−i )2+3(1+i )2−i．(1)求z 的共轭复数；(2)若az +b =1−i ，求实数a ，b 的值．【解题思路】（1）根据复数乘方、除法的运算法则，结合共轭复数的定义进行求解即可； （2）根据复数相等的定义进行求解即可. 【解答过程】（1）z =(1−i )2+3(1+i )2−i=1−2i −1+3+3i2−i=(3+i )(2+i )(2−i )(2+i )=6+3i +2i −15=1+i ，所以z 的共轭复数为1−i ；（2）az +b =1−i ⇒a(1+i )+b =1−i ⇒a +b +a i =1−i ⇒{a +b =1a =−1⇒a =−1,b =2.13．（2023·高一课时练习）复数z =(1+i )2+2i1−i ，其中i 为虚数单位． (1)求z 及|z |；(2)若z 2+az̅+b =2+3i ，求实数a ，b 的值．【解题思路】（1）首先根据复数的运算求解出复数z ，进而根据复数的模长公式求解|z |； （2）首先将z =−1+3i 代入等式，然后根据等式关系构造方程组，解方程组即可得到实数a ，b 的值.【解答过程】（1）∵z =(1+i )2+2i1−i =1+2i +i 2+2i (1+i )(1+i )(1−i )=2i +i (1+i )=−1+3i ， ∴|z |=√(−1)2+32=√10．（2）由（1）可知z =−1+3i ，z =−1−3i由z 2+az̅+b =2+3i ，得：(−1+3i )2+a(−1−3i )+b =2+3i ， 即(−8−a +b)+(−6−3a)i =2+3i ，∴{−8−a +b =2,−6−3a =3.，解得{a =−3,b =7.14．（2022秋·山东日照·高二统考期中）已知z 是复数，z +2i （i 为虚数单位）为实数，且z +z̅=8. (1)求复数z ；(2)若复数(z +a i )2在复平面上对应的点在第四象限，求实数a 的取值范围.【解题思路】（1）设z =c +d i （c ，d ∈R ），利用复数的运算法则、复数为实数的条件即可得出；（2）根据复数的运算法则和几何意义即可得出.【解答过程】（1）根据题意，设复数z =c +d i （c ，d ∈R ）， 则z +2i =c +(d +2)i 为实数，即d +2=0，解得d =−2， 所以z =c −2i ，z̅=c +2i.又∵z +z̅=c +2i +c −2i =8，∴2c =8，得c =4， 所以复数z =4−2i.（2）由（1）知，(z +a i )2=(4−2i +a i )2=16−(a −2)2+8(a −2)i 对应的点在第四象限，所以{16−(a −2)2>0,8(a −2)<0, 解得：{−2<a <6a <2 ，即−2<a <2.所以实数a 的取值范围是(−2,2).15．（2022·湖南·模拟预测）国际数学教育大会（ICME ）是世界数学教育规模最大、水平最高的学术性会议，第十四届大会将在上海召开，其会标如图，包含若许多数学元素，主画面是非常优美的几何化的中心对称图形，由弦图、圆和螺线组成，主画面标明的ICME—14下方的“”是用中国古代八进制的计数符号写出的八进制数3744，也可以读出其二进制码（0）11111100100，换算成十进制的数是n ，求(1+i )2n及(1+i √2)n 的值．【解题思路】利用进位制求出n 的值，然后利用复数代数形式的乘除运算化简即可求出结果. 【解答过程】∵11111100100=1×210+1×29+1×28+1×27+1×26 +1×25+0×24+0×23+1×22+0×21+0×20=2020． ∴n =2020，∴(1+i )2n =[(1+i )2]n =(2i)2020=22020i 2020=22020， (1+i √2)n =(1+i √2)2020=(1+i √2)2×1010=i 1010=−1．16．已知z =1+i.(1)设ω=z 2+3z̅−4，求ω的三角形式； (2)如果z 2+az+bz 2−z+1 =1−i ，求实数a ，b 的值.【解题思路】（1）求出z =1+i 的共轭复数，代入ω=z 2+3z̅−4化简，再求ω，最后再整理成ω的三角形式；（2）根据z 2+az+b z 2−z+1 =1−i ，得到(a +b )+(a +2)i =1+i ，列方程组即可求解.(1)求复数z的模；(2)若复数(z+m i)2在复平面上对应的点在第一象限，求实数m的取值范围．【解题思路】（1）设复数z=a+b i，(a,b∈R)，由复数的运算性质和复数为实数的条件，虚部为0，解方程即可得到复数z，从而求出其模；（2）计算复数(z+m i)2，由复数对应的点在第一象限，可得m的不等式组，解不等式即可得到m的范围．【解答过程】（1）解：设复数z=a+b i，(a,b∈R)，根据题意，z+2i=a+b i+2i=a+(b+2)i，所以b+2=0，即b=−2；又z2−i =(a+b i)(2+i)5=2a−b5+2b+a5i，所以2b+a=0，即a=−2b=4，所以z=4−2i，则|z|=√42+(−2)2=2√5；（2）解：由（1）可知z=4−2i，所以(z+m i)2=(4−2i+m i)2=[4+(m−2)i]2=16−(m−2)2+8(m−2)i。
最新高三数学集合和复数练习题
集合与简易逻辑 复数班级_____________ 学号______________ 姓名______________ 成绩____________ 一、选择题：（每小题只有一个正确答案。
每小题5分，共60分）1.方程2321x y x y -=⎧⎨+=⎩的解集是：（ ）A.(1,1)-B.{(1,1)}-C.{(1,1)}-D.{1,1}- 2.符合{}{,,}a P a b c ⊆⊆的集合P 的个数是： （ ）A. 2B. 3C. 4D. 5 3.若不等式|2|6ax +<的解集为(1,2)-，则实数a 等于： （ ）A. 8B. 2C. -4D. -84.设{(,)|30}T x y ax y =+-=，{(,)|0}S x y x y b =--=若{(2,1)}S T =∩，则,a b 的值为：（ ）A.1,1a b ==-B.1,1a b =-=C.1,1a b ==D.1,1a b =-=-5.设全集{2,3,5}U =，{|5|,2}A a =-，{}U C A S =，则实数a 的值为： （）A. 2B. 8C. 3或5D. 2或86.若,p q 是两个简单命题，且“p q 或”的否定是真命题，则必有： （ ）A.p q 真真B. p q 假假C. p q 真假D. p q 假真 7.“0ab ≥”是“0ab≥”的________条件：（）A.充分不必要B.必要不充分C.充要D.既不充分又不必要8.若|31|3x -<的结果是： （）A.62x -B.6-C.6D.26x -9.已知集合2{|10}A x x =-=，{|1}B x mx ==且A B A =∪，则m 的值为： （ ）A. 1B. 1-C. 1或1-D.1或1-或010.已知复平面的复数2(1)(4)6Z m i m i i =+-+-所对应的点在第二象限，则实数m 的取值范围是：（）A.(0,3)B.(2,0)-C.(3,4)D.(,2)-∞-11.设复数z 满足11zi z-=+，则|1|z += （ ）A. 0B. 1C.D. 212.2(2)(1)12i i i +-=-（ ）A. 2B. 2-C.2iD. -2i 二、填空题：（每小题4分，共16分）13.已知集合{,},{2,2}A x y B y ==，若A=B ，则x y +=__________________;14.不等式220ax bx ++>的解集是11{|}23x x -<<，则a b +=________________；15.已知2|2|,|4|1x a x -<-<成立，则正数a 的取值范围是__________________；16.复数z 满足52z z z z i ⋅+-=+，则z =_________________。
高三数学练习题及答案(一)
第 1 页 共 24 页高三数学练习题及答案一、单项选择题：1．已知集合{(,)|2},{(,)|4}M x y x y N x y x y =+==-=, 那么集合M N ⋂为（ ） A ．3,1x y ==- B ．{}(,)|31x y x y ==-或 C ．(3,1)- D ．{}(3,1)-【答案】D【解析】2(,)|{,4x y M N x y x y +=⎧⎫⋂=⎨⎬-=⎩⎭解方程组2{4x y x y +=-=得3, 1.x y ==- MN ={}(3,1)-,故选D2．某校高一年级从815名学生中选取30名学生参加庆祝建党98周年的大合唱节目，若采用下面的方法选取：先用简单随机抽样从 815 人中剔除5人，剩下的810人再按系统抽样的方法抽取，则每人入选的概率（ ） A ．不全相等B ．均不相等C ．都相等，且为6163D ．都相等，且为127【答案】C【解析】抽样要保证机会均等，故从815名学生中抽取30名，概率为306815163=，故选C.3．甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩，老师说：你们四人中第 2 页 共 24 页有2位优秀，2位良好，我现在给丁看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给甲看丁的成绩．看后丁对大家说：我还是不知道我的成绩，根据以上信息，则（ ） A ．甲、乙可以知道对方的成绩 B ．甲、乙可以知道自己的成绩 C ．乙可以知道四人的成绩 D ．甲可以知道四人的成绩【答案】B【解析】由丁不知道自己的成绩可知：乙和丙只能一个是优秀，一个是良好； 当乙知道丙的成绩后，就可以知道自己的成绩，但是乙不知道甲和丁的成绩； 由于丁和甲也是一个优秀，一个良好，所以甲知道丁的成绩后，能够知道自己的成绩，但是甲不知道乙和丙的成绩． 综上所述，甲，乙可以知道自己的成绩． 故选B ．4．已知0a >,设函数120193()20191x xf x ++=+([,]x a a ∈-)的最大值为M , 最小值为N ,那么M N +=( ) A ．2025 B ．2022 C ．2020 D ．2019【答案】B【解析】由题可知1201932016()20192019120191x x x f x ++==-++，20162019()201920191xxf x ⋅-=-+ ()()201620162102403840389201920162102xx f x f x -+⋅+-=-=+=，2016()201920191xf x =-+在[,]x a a ∈-为增函数，()()++2022M N f a f a ∴=-=第 3 页 共 24 页故选：B5．已知向量a =(2，3)，b =(−1，2)，若(m a ＋n b )∥(a −2b )，则mn等于 A ．−2B ．2C ．−12D ．12【答案】C【解析】由题意得m a ＋n b =(2m −n ，3m ＋2n )，a −2b =(4，−1)，∵(m a ＋n b )∥(a −2b )，∴−(2m −n )−4(3m ＋2n )=0，∴12m n =-，故选C ． 6．如图为从空中某个角度俯视北京奥运会主体育场“鸟巢”顶棚所得的局部示意图，在平面直角坐标系中，下列给定的一系列直线中（其中θ为参数，R θ∈），能形成这种效果的只可能是（ ）A ．sin 1y x θ=+B ．cos y x θ=+C ．cos sin 10x y θθ++=D ．cos sin y x θθ=+【答案】C【解析】由图形分析知转化为：原点到各圆周切线的距离为定值．第 4 页 共 24 页对A：d =d 不是固定值，故舍去；对B：d =，此时d 不是固定值，故舍去；对C ：1d =，正确；对D：d =，此时d 不是固定值，故舍去；故选：C.7．已知复数(,)z x yi x y R =+∈，且|2|z -=，则1y x+的最大值为（ ） ABC．2+ D．2【答案】C【解析】∵复数(,)z x yi x y R =+∈，且2z -== ∴()2223x y -+=．设圆的切线:1l y kx =-=化为2420k k --=，解得2k =． ∴1y x+的最大值为2 故选：C ．第 5 页 共 24 页8．椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左右焦点分别是1F 、2F ，以2F 为圆心的圆过椭圆的中心，且与椭圆交于点P ，若直线1PF 恰好与圆2F 相切于点P ，则椭圆的离心率为（ ）AB1 CD【答案】B【解析】由1PF 恰好与圆2F 相切于点P ，可知2||PF c =，且 12PF PF ⊥， 又12||||2PF PF a +=，可知1||2PF a c =-， 在12Rt PF F ∆中，222(2)4a c c c -+=， 即2222a ac c -=所以2220,(0,1)e e e +-=∈，解得212e -+==， 故选：B二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分。
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高三数学集合和复数练
习题
-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
2
集合与简易逻辑 复数
班级_____________ 学号______________ 姓名______________ 成绩
____________
一、选择题：（每小题只有一个正确答案。
每小题5分，共60分） 1.方程23
21
x y x y -=⎧⎨
+=⎩的解集是：
（
）
A.(1,1)-
B.{(1,1)}-
C.{(1,1)}-
D.{1,1}- 2.符合{}{,,}a P a b c ⊆⊆的集合P 的个数是：
（
） A. 2
B. 3
C. 4
D. 5 3.若不等式|2|6ax +<的解集为(1,2)-，则实数a 等于： （
）
A. 8
B. 2
C. -4
D. -8
4.设{(,)|30}T x y ax y =+-=，{(,)|0}S x y x y b =--=若{(2,1)}S T =∩，则,a b 的值为：
（
）
A.1,1a b ==-
B.1,1a b =-=
C.1,1a b ==
D.1,1a b =-=-
5.设全集{2,3,5}U =，{|5|,2}A a =-，{}U C A S =，则实数a 的值为： （
）
A. 2
B. 8
C. 3或5
D. 2或8
6.若,p q 是两个简单命题，且“p q 或”的否定是真命题，则必有： （
） A.p q 真真
B. p q 假假
C. p q 真假
D. p q 假真
3
7.“0ab ≥”是“0a b
≥”的________条件： （ ）
A.充分不必要
B.必要不充分
C.充要
D.既不充分又不必
要
8.若|31|3x -<
的结果是： （
） A.62x -
B.6-
C.6
D.26x -
9.已知集合2{|10}A x x =-=，{|1}B x mx ==且A B A =∪，则m 的值为： （ ）
A. 1
B. 1-
C. 1或1-
D.1或1-或0
10.已知复平面的复数2(1)(4)6Z m i m i i =+-+-所对应的点在第二象限，则实数
m 的取值范围是：
（ ）
A.(0,3)
B.(2,0)-
C.(3,4)
D.(,2)-∞- 11.设复数z 满足11z
i z
-=+，则|1|z += （ ）
A. 0
B. 1
D. 2 12.2(2)(1)12i i i
+-=-
（ ）
A. 2
B. 2-
C.2i
D. -2i
二、填空题：（每小题4分，共16分）
13.已知集合{,},{2,2}A x y B y ==，若A=B ，则x y +=__________________; 14.不等式220ax bx ++>的解集是11{|}2
3
x x -<<，则a b +=________________； 15.已知2|2|,|4|1x a x -<-<成立，则正数a 的取值范围是__________________； 16.复数z 满足52z z z z i ⋅+-=+，则z =_________________。
三、解答题：（共6个小题，共74分）
4
17.设22{3,21},{1,21,3},{3}A x B x x x A B =-+=+--=-∩，求A B ∪。
18.已知集合2{|1030},{|121}A x x x B x m x m =+-≥=+≤≤-如果A B =∅∩，求m 的取值范围。
19.解关于x 的不等式22(1)40(0)ax a a -++>>。
20.已知21
:|52|3:
045
p x q x x ->≥+- ，则p q ⌝⌝是成立的什么条件。
21.设集合22{|320}{|20}A x x x B x x ax a =-+≤=-+≤ ，且B A ⊆，求实数a 的取值范围。
22.已知1z i =+，,a b 为实数。
⑴若234z z ω=+-，求||ω；
⑵若2211
z az b i z z ++=--+，求,a b 的值。