九年级上册人教版二次函数y=ax2bxc的图像与性质精品PPT课件

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二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和性质
１.顶点坐标与对称轴 ２.位置与开口方向 ３.增减性与最值
根据图形填表：
抛物线 顶点坐标
对称轴 位置
开口方向
y=ax2+bx+c(a>0)
b 2a
,
4ac 4a
b2
直线x b
2a
由a,b和c的符号确定
向上
y=ax2+bx+c(a<0)
b 2a
,
4ac 4a
b2
直线x b
2a
由a,b和c的符号确定
向下
增减性 最值
在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大.
当x b 时,最小值为 4ac b2
2a
4a
在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小.
当x b 时,最大值为 4ac b2
配方
( 2 )“配”：括号内配成完全平方
（3）“化”：化成顶点式。
y= —1 (x―6)2 +3 2
老师提示:
配方后的表达 式通常称为配 方式或顶点式
直接画函数
y 1 x2 6x 21 2
的图象
解： y 1 x2 6x 21
2
提取二次项系数 1 x2 12x 42 2 配方 1 x2 12x 36 36 42 2 整理 1 x 62 6 2
,
1 3
对称轴x 1
3
当x
1 3
时，y最小值＝-
1 3
（2） y x2 2x
解: a = －1 < 0抛物线开口向下
x顶
2
2
1
1
22 y顶 4 1 1
顶点坐标为 1,1
对称轴x 1
当x 1时，y最大值＝1
（3） y 2x2 8x 8
解: a = －2 < 0抛物线开口向下
x2
二次函数 画法：
y=
—12 x2－6x
+21图象的
(1)“化” ：化成顶点式 ；
(2)“定”：确定开口方向、对称轴、顶 点坐标；
(3)“画”：列表、描点、连线。
公式为：y
a
x
b 2a
2
4ac 4a
b2
.
函数y=ax²+bx+c的顶点是
求次函数y=ax²+bx+c的对称轴和顶点坐标．
配方:
2、熟记二次函数y＝ax2＋bx＋c的顶点 坐标公式；
3、会画二次函数一般式y＝ax2＋bx＋c 的图象 。
函数y=ax²+bx+c的图象
怎样把函数 y 1 x2 6x 21 转化成
y=a(x-h）2+k的形式2 ?
用配方法。
y 1 x2 6x 21 2
你知道是怎样配 方的吗？
(1)“提”：提出二次项系数；
b
2
4ac
b2
.
化简:去掉中括号
2a
4a
人教版九年级下册第26章《二次函数》
26.1.3.1 二次函数 y ax2 bx c 的图像
归纳总结：
• 一般地，我们可以用配方法将 y ax2 bx c 配方成
a( x 2

b a
x
c) a
a
x
2
b a
x
( b )2 2a
( b )2 2a
请准备好你的数学课本、 笔记本以及学习用具等。
一般地，抛物线y=a(x-h)2 +k与 y=ax2的 形状 相同， 位置 不同
y=ax2 上加下减 y=a(x-h)2 +k 左加右减
抛物线y=a(x-h)2+k有如下特点:
1.当a﹥0时，开口向上 ， 当a﹤0时，开口 向下 ，
2.对称轴是直线X=h ；
这个结果通常 称为求顶点坐 标公式.
y ax2 bx c
a x2 b x c
提取二次项系数
a c
a
x2
b a
x
b 2a
2
b 2a
2
c a
配减数方去绝一对:加次值上项一再系半
a
x
b 2a
2
4ac b2 4a2
的平方
整理:前三项化为平方形 式,后两项合并同类项
a x
3.顶点坐标是 (h,k) 。
二次函数 开口方向 对称轴 顶点坐标
y=2(x+3)2+5 y = -3x(x-1)2 -2 y = 4(x-3)2 +7 y = -5(2-x)2 - 6
向上 直线x=–3 （－3，5）
向下 直线x=1 （1，－2）
向上 直线x=3 （3，7 ） 向下 直线x=2 （2，－6）
2
直接画函数 y 1 x2 6x 21 的图象
2
描点、连线，画出函数 y 1 x 62 3 图像.
2
问题：
y
1 2
x2
6x
21
1.看图像说说抛物线
y 1 x2 6x 21
2
的增减性。
●
●
5
●
●
●
●
●
（6,3）
O
5
10
2.怎样平移抛物线 y 1 x2 2
可以得到抛物线
y 1 x2 6x 21？
如何画出y 1 x2 6x 21的图象呢? 2
我们知道,像y=a(x-h)2+k这样的函数,
容易确定相应抛物线的顶点为(h,k), 二次函 数 y 1 x2 6x 21也能化成这样的形式吗？
2
22.1.4二次函数y=ax2+bx+c 图象和性质
y
o
x
1、会用公式法和配方法求二次函数一般 式y＝ax2＋bx＋c的顶点坐标、对称轴；
2a
4a
练习
1．写出下列抛物线的开口方向、对称轴及顶点坐标．当x为何值时y的
值最小（大）？
（1） y 3x2 2x
（2） y x2 2x
（3）y 2x2 8x 8
（4）
y
1 2
x2
4x
3
解: (1) a = 3 > 0抛物线开口向上
x顶
2 23
1 3
y顶
22 43
1 3
顶点坐标为
1 3
x顶
2
8
2
2
4 2 8 82
y顶
4 2
0
顶点坐标为2, 0
对称轴x 2
当x 2时，y最大值＝0
（4）
y
1 2
x2
4x
3
解: a = 0.5 > 0抛物线开口向上
c a
a(x b )2 4ac b2
2a
4a
由此可见函数的图像与函数的图像的形状、开口方向均相同，只是位置不同，可以 通过平移得到。
﹙1﹚二次函数 y ax2 bx c ( a≠0)的图象是一条
抛物线 ；
﹙2﹚对称轴是直线 x= b ； 顶点坐标是 2a
( b , 4ac b2 2a 4a
化简:去掉中括号 1 x 62 3.
2
直接画函数 y 1 x2 6x 21 的图象
2
根据顶点式确定开口方向,对称轴,顶点坐标. ∵a= 1 >0,
2
∴开口向上; 对称轴:直线x=6; 顶点坐标:(6,3).
列表:利用图像的对称性,选取适当值列表计算.
x
…3 4 5 6 7 8 9…
y 1 x 62 3 … 7.5 5 3.5 3 3.5 5 7.5 …