第6章无限脉冲响应滤波器的设计
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数字信号处理第三版西科大课后答案第6章
λp=1,
s
s p
4
(4) 求阶数N和ε。
N arch k 1
arch s
k 1
100.1as 1 100.1ap 1 1456.65
N arch 1456.65 3.8659 arch 4
为了满足指标要求， 取N=4。
100.1ap 1 0.2171
(3) 求归一化系统函数G(p)
3.2361p 1
或
G( p)
1
( p2 0.618 p 1)( p2 1.618 p 1)( p 1)
当然， 也可以先按教材（6.2.13）式计算出极点：
p ejπ
1 2
2k 1 2N
k
k 0,1, 2,3, 4
再由教材（6.2.12）式写出G(p)表达式为
G( p) 4 1
( p pk )
p1
ch0.5580 sin
π 8
j
ch0.5580 cos
π 8
0.4438
j1.0715
3π
3π
p2 ch0.5580sin 8 j ch0.5580 cos 8 1.0715 j0.4438
p3
ch0.5580 sin
5π 8
j
ch0.5580 cos
5π 8
1.0715
j0.4438
fp=20 kHz， 阻带截止频率fs=10 kHz， fp处最大衰减为3 dB，
阻带最小衰减as=15 dB。 求出该高通滤波器的系统函数Ha(s)。
解: (1) 确定高通滤波器技术指标要求：
p=20 kHz, ap=3 dB fs=10 kHz, as=15 dB
(2) 求相应的归一化低通滤波器技术指标要求： 套用图 5.1.5中高通到低通频率转换公式②， λp=1, λs=Ωp/Ωs， 得到
6无限脉冲响应数字滤波器的设计
解：(1) 设计模拟滤波器的指标为
p=2fp=104(rad/s)， α p=2dB
s=2fs=2.4×104(rad/s)， α s=30dB
(2Nk) ss确pp 定22滤l11gll00g波g0ff00ps...101k器aa2pssspp4的k2N2=s.s11pp4阶数022l.N11g000l20fgf004ps...10212aa2.ps4422k.N114sspp40.2.220l511g2,00l40fgf002ps...取1021Naa2.ps4N422为.1145540.2.052, 42N 5
N
4.25, N 5
lg 2.4
(3) 求极点
j 3 j 3
s0 sP00e5e ,5 ,
p e s s e e , , j 12k1 20 20N
j 3j 3 55
k
sP11
j 4
s1e5e
j 45s2Ps22
eje,j
,
s1 s1
j 4j 4
e e5 5
s2
e j ,
j 6j 6
FIR滤波器设计方法 (1)采用的是窗函数设计法和频率采样法， (2)用计算机辅助的切比雪夫最佳一致逼近法设计。
6.2 模拟滤波器的设计
理论和设计方法相当成熟，有若干典型的模拟滤波器可以选
择。如：巴特沃斯(Butterworth)滤波器、切比雪夫(Chebyshev)滤
波器、椭圆(Kllipse)滤波器、贝塞尔(Bessel)滤波器等，这些滤波 器都有严格的设计公式、现成的曲线Ha和H(jΩa (图)jΩ)表供设计人HH员aa (j使ΩΩ)) 用。
j 1 2 k1
p e 归一化极点 k
2 2N
p=2fp=104(rad/s)， α p=2dB
s=2fs=2.4×104(rad/s)， α s=30dB
(2Nk) ss确pp 定22滤l11gll00g波g0ff00ps...101k器aa2pssspp4的k2N2=s.s11pp4阶数022l.N11g000l20fgf004ps...10212aa2.ps4422k.N114sspp40.2.220l511g2,00l40fgf002ps...取1021Naa2.ps4N422为.1145540.2.052, 42N 5
N
4.25, N 5
lg 2.4
(3) 求极点
j 3 j 3
s0 sP00e5e ,5 ,
p e s s e e , , j 12k1 20 20N
j 3j 3 55
k
sP11
j 4
s1e5e
j 45s2Ps22
eje,j
,
s1 s1
j 4j 4
e e5 5
s2
e j ,
j 6j 6
FIR滤波器设计方法 (1)采用的是窗函数设计法和频率采样法， (2)用计算机辅助的切比雪夫最佳一致逼近法设计。
6.2 模拟滤波器的设计
理论和设计方法相当成熟，有若干典型的模拟滤波器可以选
择。如：巴特沃斯(Butterworth)滤波器、切比雪夫(Chebyshev)滤
波器、椭圆(Kllipse)滤波器、贝塞尔(Bessel)滤波器等，这些滤波 器都有严格的设计公式、现成的曲线Ha和H(jΩa (图)jΩ)表供设计人HH员aa (j使ΩΩ)) 用。
j 1 2 k1
p e 归一化极点 k
2 2N
第6章 无限脉冲响应数字滤波器的设计
p 10lg s 10lg
H a ( j ) H a ( j ) H a ( j s )
2 2
H a ( j p )
2
(6.2.1)
2
(6.2.2)
18
如果Ω=0处幅度已归一化到1，即 |Ha(j0)|=1,αp和αs表示为
p 10lg H a ( j p ) s 10lg H a ( j s )
低通 0 H a (j Ω) Ω 0 H a (j Ω)
高通 Ω
带通 c Ω 0
带阻 Ω
图6.2.1
各种理想滤波器的幅频特性
17
1.模拟低通滤波器的设计指标及逼近方法 模拟低通滤波器的设计指标有αp, Ωp,α s 和Ω s 。其中Ω p 和Ω s 分别称为通带截止频率 和阻带截止频率，αp是通带Ω(=0~Ωp)中的最 大衰减系数，αs是阻带Ω≥Ωs的最小衰减系数， αp和αs一般用dB数表示。对于单调下降的幅 度特性，可表示成：
H
a
(s) G ( p) |
p
s c
25
表6.2.1
极点位置 阶数N 1 2 3 4 5 6 7 8 9
巴特沃斯归一化低通滤波器参数
P1, N 2
P2, N 3
P0, N 1
-1.0000 -0.7071±j0.7071 -0.5000±j0.8660 -0.3827±j0.9239 -0.3090±j0.9511 0.2588±j0.9659 -0.2225±j0.9749 0.1951±j0.9808 -0.1736±j0.9848
通常用的数字滤波器一般属于选频滤波器。假设数字滤波 器的传输函数H(e jω)用下式表示：
H ( e j ) H ( e j ) e j ( )
数字信号处理第六章--无限脉冲响应数字滤波器的设计PPT课件
（3）按频率特性确定增益常数 。
.
16
3、巴特沃斯低通滤波器设计方法 (1)、幅度平方函数
|H (j )|21(j 1 /j c)2N N1 ,2 , ,
当 =0 时，|H( j)|2 =1
当 c 时，|H( j)|2 =0.5,取3dB值
当 速度 愈 快c 时，，过随渡带 愈加窄大，幅度迅速.下降，
由上面两式可得：
1(p c
)2N
10ap /10
同理
1(s )2N 10as /10 c
上两式得：
(p )N s
10ap /10 1 10as /10 1
（1） （2）
令
sp s /p,ksp
10ap/10 1 10as/10 1
.
则
N lg ksp lg sp 25
c 的确定:
由(1)式
.
18
求极点：
1( s )2N 0 jC
( s )2N 1 jC
1
j (1 2 k 1 )
∴ sk 12 Nj C C e 2 2 N
k=0,1,2,…,2N-1
2N个极点等间隔分布在半径为Ωc的圆上,间隔为 N
设N=3，极点间隔为π/3
.
19
为形成稳定的滤波器，2N个极点中只取s平面左半平 面的N个极点构成Ha(s)
.
23
举例：求出三阶巴特沃斯低通滤波器的传输函数Ha (s)
设 c 2ra/ds
N3
查表得
Ha(p)12p12p2p3
将
p s c
代入上式得
1 Ha(s)12( sc)2( sc)2( sc)3
8
88s4s2 s3
下面介绍如何确定阶数N
.
16
3、巴特沃斯低通滤波器设计方法 (1)、幅度平方函数
|H (j )|21(j 1 /j c)2N N1 ,2 , ,
当 =0 时，|H( j)|2 =1
当 c 时，|H( j)|2 =0.5,取3dB值
当 速度 愈 快c 时，，过随渡带 愈加窄大，幅度迅速.下降，
由上面两式可得：
1(p c
)2N
10ap /10
同理
1(s )2N 10as /10 c
上两式得：
(p )N s
10ap /10 1 10as /10 1
（1） （2）
令
sp s /p,ksp
10ap/10 1 10as/10 1
.
则
N lg ksp lg sp 25
c 的确定:
由(1)式
.
18
求极点：
1( s )2N 0 jC
( s )2N 1 jC
1
j (1 2 k 1 )
∴ sk 12 Nj C C e 2 2 N
k=0,1,2,…,2N-1
2N个极点等间隔分布在半径为Ωc的圆上,间隔为 N
设N=3，极点间隔为π/3
.
19
为形成稳定的滤波器，2N个极点中只取s平面左半平 面的N个极点构成Ha(s)
.
23
举例：求出三阶巴特沃斯低通滤波器的传输函数Ha (s)
设 c 2ra/ds
N3
查表得
Ha(p)12p12p2p3
将
p s c
代入上式得
1 Ha(s)12( sc)2( sc)2( sc)3
8
88s4s2 s3
下面介绍如何确定阶数N
无限脉冲响应数字滤波器的设计
上的频带，以免产生频谱混叠现象。
第6章 无限脉冲响应数字滤波器的设计
图6.3.2 脉冲响应不变法的频谱混叠现象示意图
第6章 无限脉冲响应数字滤波器的设计
脉冲响应不变法的优点：
（1）频率变换关系是线性的，即ω=ΩT，如果不存在
频谱混叠现象，用这种方法设计的数字滤波器会很好地 重现原模拟滤波器的频响特性。 （2）数字滤波器的单位脉冲响应完全模仿模拟滤波器 的单位冲激响应波形，时域特性逼近好。
将s平面沿着jΩ轴分割成一条条宽为2π/T的水平带，每 条水平面都按照前面分析的映射关系对应着整个z平面。
第6章 无限脉冲响应数字滤波器的设计
图6.3.1 脉冲响应不变法s平面和z平面之间的映射关系
第6章 无限脉冲响应数字滤波器的设计
如果原ha(t)的频带不是限于±π/T之间，则会在奇数 π/T附近产生频谱混叠，对应数字频率在ω=±π附近产生 频率混叠。脉冲响应不变法的频谱混叠现象如图6.3.2 所 示。
脉冲响应不变法的缺点：
有限阶的模拟滤波器不可能是理想带限的，所以，
脉冲响应不变法会产生不同程度的频率混叠失真，适用
于低通、带通滤波器的设计，不适合用于高通、带阻滤
第6章 无限脉冲响应数字滤波器的设计
5. 用双线性变换法设计IIR数字低通滤波器
脉冲响应不变法的主要缺点是会产生频谱混叠现象，
使数字滤波器的频响偏离模拟滤波器的频响特性。 为了克服这一缺点，可以采用非线性频率压缩方法， 将整个模拟频率轴压缩到±π/T之间，再用 z=esT 转换到z平
这种频谱混叠现象会使设计出的数字滤波器在ω=±π
附近的频率响应特性程度不同地偏离模拟滤波在π/T附近 的频率特性，严重时使数字滤波器不满足给定的技术指标。 为此，希望设计的模拟滤波器是带限滤波器，如果不 是带限的，例如高通滤波器、带阻滤波器，需要在高通和
第6章 无限脉冲响应数字滤波器的设计
图6.3.2 脉冲响应不变法的频谱混叠现象示意图
第6章 无限脉冲响应数字滤波器的设计
脉冲响应不变法的优点：
（1）频率变换关系是线性的，即ω=ΩT，如果不存在
频谱混叠现象，用这种方法设计的数字滤波器会很好地 重现原模拟滤波器的频响特性。 （2）数字滤波器的单位脉冲响应完全模仿模拟滤波器 的单位冲激响应波形，时域特性逼近好。
将s平面沿着jΩ轴分割成一条条宽为2π/T的水平带，每 条水平面都按照前面分析的映射关系对应着整个z平面。
第6章 无限脉冲响应数字滤波器的设计
图6.3.1 脉冲响应不变法s平面和z平面之间的映射关系
第6章 无限脉冲响应数字滤波器的设计
如果原ha(t)的频带不是限于±π/T之间，则会在奇数 π/T附近产生频谱混叠，对应数字频率在ω=±π附近产生 频率混叠。脉冲响应不变法的频谱混叠现象如图6.3.2 所 示。
脉冲响应不变法的缺点：
有限阶的模拟滤波器不可能是理想带限的，所以，
脉冲响应不变法会产生不同程度的频率混叠失真，适用
于低通、带通滤波器的设计，不适合用于高通、带阻滤
第6章 无限脉冲响应数字滤波器的设计
5. 用双线性变换法设计IIR数字低通滤波器
脉冲响应不变法的主要缺点是会产生频谱混叠现象，
使数字滤波器的频响偏离模拟滤波器的频响特性。 为了克服这一缺点，可以采用非线性频率压缩方法， 将整个模拟频率轴压缩到±π/T之间，再用 z=esT 转换到z平
这种频谱混叠现象会使设计出的数字滤波器在ω=±π
附近的频率响应特性程度不同地偏离模拟滤波在π/T附近 的频率特性，严重时使数字滤波器不满足给定的技术指标。 为此，希望设计的模拟滤波器是带限滤波器，如果不 是带限的，例如高通滤波器、带阻滤波器，需要在高通和
第6章无限脉冲响应数字滤波器的设计
滤波技术
① 滤波器设计：根据给定滤波器的频率特性，求得满足 该特性的传输函数。 ② 滤波过程的实现：获得传输函数后，以何种方式达到 对输入信号进行滤波的目的。
6.1 数字滤波器的基本概念
数字滤波器：是指输入、输出均为数字信号， 通过数值运算处理改变输入信号所含频率成分 的相对比例，或者滤除某些频率成分的数字器 件或程序。
二、巴特沃斯低通滤波器的设计
巴特沃斯逼近又称最平幅度逼近，它具有通 带内最大平坦的振幅特性,且随Ω的增大，幅频 特性随Ω单调下降。
1、原理
巴特沃斯低通滤波器的幅度平方函数为：
Ha(
j) 2
1
1
c
2N
式中N为正整数，代表滤波器的阶次,
c称为3dB截止频率。
二、巴特沃斯低通滤波器的设计
x(n) s(n) u(n)
加性噪声
若 x(n) 中的有用成分 s(n) 和希望去除的成分 u(n)
各自占有不同的频带, 通过一个线性系统可将 u(n)
有效去除.
分类: 低通(LP), 高通(HP),带通(BP), 带阻(BS)
一、数字滤波器的分类
现代滤波器
x(n) s(n)u(n) x(n) s(n) *u(n)
一、数字滤波器的分类
设输入为一个低频正弦波与一个高频正弦波 叠加而成。 滤波前：
滤波后：
左边为时域波形， 右边为它的频谱。
二、 数字滤波器的技术指标
数字滤波器的频率特性：
H
(e
j
)
|
H
(e
j
)
|
e幅j频(特) 性表示信号通过该滤波
器后各频率成分振幅衰减情况
① 滤波器设计：根据给定滤波器的频率特性，求得满足 该特性的传输函数。 ② 滤波过程的实现：获得传输函数后，以何种方式达到 对输入信号进行滤波的目的。
6.1 数字滤波器的基本概念
数字滤波器：是指输入、输出均为数字信号， 通过数值运算处理改变输入信号所含频率成分 的相对比例，或者滤除某些频率成分的数字器 件或程序。
二、巴特沃斯低通滤波器的设计
巴特沃斯逼近又称最平幅度逼近，它具有通 带内最大平坦的振幅特性,且随Ω的增大，幅频 特性随Ω单调下降。
1、原理
巴特沃斯低通滤波器的幅度平方函数为：
Ha(
j) 2
1
1
c
2N
式中N为正整数，代表滤波器的阶次,
c称为3dB截止频率。
二、巴特沃斯低通滤波器的设计
x(n) s(n) u(n)
加性噪声
若 x(n) 中的有用成分 s(n) 和希望去除的成分 u(n)
各自占有不同的频带, 通过一个线性系统可将 u(n)
有效去除.
分类: 低通(LP), 高通(HP),带通(BP), 带阻(BS)
一、数字滤波器的分类
现代滤波器
x(n) s(n)u(n) x(n) s(n) *u(n)
一、数字滤波器的分类
设输入为一个低频正弦波与一个高频正弦波 叠加而成。 滤波前：
滤波后：
左边为时域波形， 右边为它的频谱。
二、 数字滤波器的技术指标
数字滤波器的频率特性：
H
(e
j
)
|
H
(e
j
)
|
e幅j频(特) 性表示信号通过该滤波
器后各频率成分振幅衰减情况
数字信号处理 第6章
H ( z ) h( n) z n
n 0
N 1
(6.1.2)
(6.1.1)式中的H(z)称为N阶IIR数字滤波器系统函数; (6.1.2) 式中的H(z)称为N－1阶FIR数字滤波器系统函数。这两种 数字滤波器的设计方法有很大区别，因此下面分成两章分 别进行学习。
第6章 无限脉冲响应数字滤波器的设计
s 20 lg
| H (e j0 ) |
j s
dB
(6.1.4b)
p 20 lg | H (e
j p
) | dB
(6.1.5)
s 20 lg | H (e js ) | dB
(6.1.6)
第6章 无限脉冲响应数字滤波器的设计
当幅度下降到 2 / 2 时，标记ω=ωc，此时 p 3dB，称 ωc为3 dB通带截止频率。ωp、ωc和ωs统称为边界频率， 它们是滤波器设计中所涉及到的很重要的参数。对其他 类型的滤波器，(6.1.3b)式和(6.1.4b)式中的H(ej0)应改 成
拟滤波器得到系统函数Ha (s)，然后将Ha(s)按某种方法转
换成数字滤波器的系统函数H(z)。这是因为模拟滤波器的 设计方法已经很成熟，不仅有完整的设计公式，还有完善
的图表和曲线供查阅； 另外，还有一些典型的优良滤波
器类型可供我们使用。直接法直接在频域或者时域中设计 数字滤波器，由于要解联立方程，设计时需要计算机辅助 设计。FIR滤波器不能采用间接法，常用的设计方法有窗 函数法、频率采样法和切比雪夫等波纹逼近法。
第6章 无限脉冲响应数字滤波器的设计
图6.1.3所示的单调下降幅频特性，p和s别可以表
示为
p 20 lg
| H (e j0 ) | | H (e
无限脉冲响应滤波器的设计
2 2 N
它可写为
sk 1 CN ( )j j p r
切比雪夫多项式的任一定义都可求解分母的 根。现在选第一个公式求解分母的根。先设
3
模拟滤波器的幅频特性|H(Ω)|用分贝表示 时叫衰减函数，
| H ( ) | 2 max A( ) 10lg (分贝) | H ( ) | 2
如果|H(Ω)|max=1，则衰减函数变为
A( ) 20lg | H ( ) | (分贝)
幅频特性的平方|H(Ω)|2 叫做幅度平方响应， 也是描述模拟滤波器的方法。因h(t)是实数， 故H*(Ω)=H(-Ω)。
N决定幅频特性的波动密度和过渡带宽度，r 决定幅频特性波动的幅度。 将s=jΩ代入幅度平方函数，得
H ( )
2
( j p ) 2 N r 2 2 2( N 1) ( s s1 )(s s 2 ) ( s s 2 N )
14
其分母有2N个根。求解的依据是
sk 1 r C ( ) 0 (k 1 ~ N ) j p
2N
( j c ) 2 N 2N s ( j c ) 2 N
s 1 j c ( j c ) 2 N ( s s1 )(s s2 ) ( s s2 N )
s 2 N ( jc ) 2 N 0 求解的依据是：
6
因-1= ej(2πk-π)，k=1~2N，故极点
12
7.1.3 切比雪夫滤波器的设计 切比雪夫滤波器有两种类型：
切比雪夫1型滤波器的幅度平方函数
| H ( ) | 2 1 1 [rC N ( / p )]2
13
切比雪夫多项式的定义
cos[N arccos(x)] (| x | 1) C N ( x) (| x | 1) ch[ Narch( x)]
它可写为
sk 1 CN ( )j j p r
切比雪夫多项式的任一定义都可求解分母的 根。现在选第一个公式求解分母的根。先设
3
模拟滤波器的幅频特性|H(Ω)|用分贝表示 时叫衰减函数，
| H ( ) | 2 max A( ) 10lg (分贝) | H ( ) | 2
如果|H(Ω)|max=1，则衰减函数变为
A( ) 20lg | H ( ) | (分贝)
幅频特性的平方|H(Ω)|2 叫做幅度平方响应， 也是描述模拟滤波器的方法。因h(t)是实数， 故H*(Ω)=H(-Ω)。
N决定幅频特性的波动密度和过渡带宽度，r 决定幅频特性波动的幅度。 将s=jΩ代入幅度平方函数，得
H ( )
2
( j p ) 2 N r 2 2 2( N 1) ( s s1 )(s s 2 ) ( s s 2 N )
14
其分母有2N个根。求解的依据是
sk 1 r C ( ) 0 (k 1 ~ N ) j p
2N
( j c ) 2 N 2N s ( j c ) 2 N
s 1 j c ( j c ) 2 N ( s s1 )(s s2 ) ( s s2 N )
s 2 N ( jc ) 2 N 0 求解的依据是：
6
因-1= ej(2πk-π)，k=1~2N，故极点
12
7.1.3 切比雪夫滤波器的设计 切比雪夫滤波器有两种类型：
切比雪夫1型滤波器的幅度平方函数
| H ( ) | 2 1 1 [rC N ( / p )]2
13
切比雪夫多项式的定义
cos[N arccos(x)] (| x | 1) C N ( x) (| x | 1) ch[ Narch( x)]
医学课件第6无限脉冲响应滤波器的设计
M
br zr
H(z)
r0 N
1 ak zk
k 1
N 1
H (z) h(n)zn
n0
从功能上来分类： 低通滤波器 高通滤波器
第六章 无限脉冲响应滤波器的设计
带通滤波器 带阻滤波器
第六章 无限脉冲响应滤波器的设计
2 假设数字滤波器的传输函数H(ejω)用下式表示：
H (e j ) H (e j ) e j()
Ha ( p)
p5
3.2361 p4
1 5.2361 p3 5.2361 p2
3.2361 p 1
系统函数的因式分解形式
Ha
(
p)
(
p2
0.618
p
1)(
1 p2 1.618
p
1)(
p
1)
第六章 无限脉冲响应滤波器的设计
(3) Ha(p)去归一化。先求3dB截止频率Ωc。
如果希望阻带指标有富裕，则
H a ( j) 2 H a (s)H a (s) |s j
H
a
(
j)H
* a
(
j)
上式的关系从Ha(s)的因式相乘表达式推出。
（2）根据幅度平方函数和系统的极点应该在s的左半平面，
求出传递函数。
第六章 无限脉冲响应滤波器的设计
2. 巴特沃斯低通滤波器的设计方法 巴特沃斯低通滤波器的幅度平方函数用下式和图表示。
p 20 lg H (e jp ) dB
(6.1.3)
H (e j0)
s 20 lg H (e js ) dB
(6.1.4)
如将|H(ej0)|归一化为1，(6.1.3)和(6.1.4)式则表示成：
无限脉冲响应数字滤波器的设计
a
27
只有当模拟滤波器的频率响应是限带的，且带限于折叠频率以内时，即：
Ha(j)0
| |
T
s 2
才能使数字滤波器的频率响应在折叠频率以内重现模拟滤波器的频率响 应，而不产生混叠失真，即
H(ej)Haj T ,||<
但是，任何一个实际的模拟滤波器频率响应都不是严格限带的，变换后 就会产生周期延拓分量的频谱交叠，即产生频率响应的混叠失真。这时 数字滤波器的频响就不同于原模拟滤波器的频响，而带有一定的失真。
17
a
18
a
19
例 已 知 通 带 截 止 频 率 fc=5kHz ， 通 带 最 大 衰 减 Rp=2dB ， 阻 带 截 止 频 率 fs=12kHz ， 阻 带 最 小 衰 减 As=30dB，按照以上技术指标设计巴特沃斯低通滤波器。
解 (1) 求阶数N
Nlg(1 1 0 0 0 0 ..1 1 R A s p 1 1)/2lg( sp t)4.25 , 取 N5
c p / 2N 100.1Rp 1 c s / 2N 100.1As 1
总结以上，低通巴特沃斯滤波器的设计步骤如下： (1)根据技术指标Ωp,Rp,Ωst和As，求出滤波器的阶数N。 (2)确定滤波器极点。 (3)确定系统函数Ha(s)。
a
16
表 巴特沃斯归一化低通滤波器参数
查P370 表7.2 7.3a7.4
设计方法: 先设计模拟低通滤波器，再通过频率变换的方法将低通滤波 器转换为其它类型的滤波器。
a
7
H a (jΩ)
H a (jΩ)
低通
高通
0
Ω0
Ω
H a (jΩ)
H a (jΩ)
数字信号处理--第6章无限脉冲响应数字滤波器的设计
1 0 0.1a p 1 k sp 1 0 0.1as 1 0 .0 2 4 2
sp
2 2
fs fp
2.4
N lg 0.0242 4.25, N 5 lg 2.4
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(2) 按照(6.2.12)式，其极点为
j3
s0 e 5 ,
滤波器幅频特性。其幅度平方函数用A2(Ω)表示：
A2()Ha(j)2 12C1N 2( p)
(6.2.19)
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图6.2.5 切比雪夫Ⅰ型滤波器幅频特性
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式中，ε为小于1的正数，表示通带内幅度波动的 程度，ε愈大，波动幅度也愈大。Ωp称为通带截止频率。 令λ=Ω/Ωp，称为对Ωp的归一化频率。CN(x)称为N阶切 比雪夫多项式，定义为
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例6.2.1 已知通带截止频率fp=5kHz，通带最大衰减 αp=2dB ， 阻 带 截 止 频 率 fs=12kHz ， 阻 带 最 小 衰 减 αs=30dB，按照以上技术指标设计巴特沃斯低通滤波器。
解 (1) 确定阶数N。
(6.2.3) (6.2.4)
以上技术指标用图6.2.2表示。图中Ωc称为3dB截止 频率，因 H a (j c ) 1 /2 , 2 0 lg H a (j c ) 3 d B
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图6.2.2 低通滤波器的幅度特性
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滤波器的技术指标给定后，需要设计一个传输函
数字信号处理[第六章_无限脉冲响应数字滤波器的设计]
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关键是求N
28
无限脉冲响应数字滤波器的设计
关键是求N
cos( N arccos x ), x 1 CN ( x) ch( N Archx), x 1
[例]：例如，一低通DF的指标：在 0.2 的通带范围， 0.3 的阻带范围，衰 幅度特性下降小于1dB；在 减大于15dB；抽样率 f s ；试将这一指标转换成AL 10kHz F的技术指标。 [解]： H (e j 0 ) H (e j 0 ) dB 15 p 20 lg dB 1 s 20 lg j 0.3 j 0.2 H (e ) H (e ) 归一化后：
第六章 无限脉冲响应 数字滤波器的设计
无限脉冲响应数字滤波器的设计
数字滤波器的基本概念
主 要 内 容
模拟滤波器的设计
数字滤波器的间接设计方法
数字滤波器的直接设计方法
2
无限脉冲响应数字滤波器的设计 数字滤波器的基本概念 所谓数字滤波器是指输入、输出均为数字信号，通 过一定运算关系改变输入信号所含频率成分的相对比例 或者滤除某些频率成分的器件。（Digital Filter)
s 2 N 1 ( ) 10 s /10 C
10 p 1 ( )N S 10 s /10 2
23
p
/10
无限脉冲响应数字滤波器的设计 低通巴特沃斯滤波器的设计步骤： 1.根据技术指标求出滤波器的阶数N；
p；s；c； p； s
C p (10
0.1 p
一是窗函数法和频率采样法
二是计算机辅助设计，如切比雪夫等波纹逼近法
13
无限脉冲响应数字滤波器的设计 模拟滤波器的设计 巴特沃斯滤波器 单调下降的幅频特性
第6章 无限长单位脉冲响应(IIR)滤波器的设计方法
计算机辅助设计法。
第6章 无限长单位冲激响应（IIR）数字滤波器的设计方法
本章着重讨论第一种方法。利用模拟滤波器来设计数字滤 波器，就是从已知的模拟滤波器传递函数Ha(s)设计数字滤波器 的系统函数H(z)。因此，它归根结底是一个由S平面映射到Z平面 的变换，这个变换通常是复变函数的映射变换，这个映射变换 必须满足以下两条基本要求： （1）H(z)的频率响应要能模仿Ha(z)的频率响应，也即S平面 虚轴jΩ必须映射到Z平面的单位圆ejω上。
ji ji i 1
M
2
此外还可以有其他许多种误差最小的准则，如最大误差最小准则等。
第6章 无限长单位冲激响应（IIR）数字滤波器的设计方法
第二步，求在此最佳准则下滤波器系统函数的系数ak, bk。 一般是通过不断改变滤波器系数ak、bk，分别计算ε; 最后，找到 使ε为最小时的一组系数ak, bk，从而完成设计。这种设计需要进 行大量的迭代运算，故离不开计算机。所以最优化方法又称为
第6章 无限长单位冲激响应（IIR）数字滤波器的设计方法
6.2 IIR滤波器设计的特点
IIR滤波器的系统函数用极、零点表示如下：
M M
H ( z)
b z
k k 0 N k 1
k
1 ak z k
A
(1 c z
k k 1 N k 1
1
)
(1 d k z 1 )
（6-2b）
式 中 ， 假 定 |H(ej0)|=1( 已 被 归 一 化 ) 。 例 如 |H(ejω)| 在 ωc 处 满 足
|H(ejωc)|=0.707，则δ1=3 dB；在ωst处满足|H(ejωst)|=0.001，则δ2 =60 dB（参考图6-2）。(注：lg是log10的规范符号表示。)
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(6.1.4)
如将|H(ej0)|归一化为1，(6.1.3)和(6.1.4)式则表示成：
p 20lg H(e jp ) dB s 20lg H(e js ) dB
(6.1.5) Biblioteka 6.1.6)第六章 无限脉冲响应滤波器的设计
3. 数字滤波器的设计方法 IIR滤波器设计方法是：
从模拟滤波器变到数字滤波器的设计， 直接在离散频域或时域中设计。 FIR滤波器的设计方法是： 窗函数法， 频率采样法。
第六章 无限脉冲响应滤波器的设计
第6章无限脉冲响应滤波器的设计
第六章 无限脉冲响应滤波器的设计
6.1 数字滤波器的基本概念
数字滤波器指用运算的方法改变数字信号的频率 分量的相对比例的器件。与模拟滤波器相比，数字滤 波器的精度高、稳定、体积小、重量轻、灵活、不要 求阻抗匹配？等优点。
1. 数字滤波器的分类 从网络结构或者单位脉冲响应分类：
s2
1)
3c
j2
j2
(sce 3 )(sc)(sce 3 )
第六章 无限脉冲响应滤波器的设计
由于各滤波器的幅频特性不同，为使设计统一，
将所有的频率归一化。这里采用对3dB截止频率Ωc归
一化，归一化后的Ha(s)表示为
Ha(s)
N 1
(
1 s
sk
)
k0 c c
(6.2.10)
式中，s/Ωc=jΩ/Ωc。
0
π
2π
高通
H (e j )
π
0
π
2π
带通
H (e j )
π
0
π
2π
带阻
H (e j )
π
0
π
2π
第六章 无限脉冲响应滤波器的设计
2 数字滤波器的技术要求 假设数字滤波器的传输函数H(ejω)用下式表示：
H(ej)H(ej)ej()
选频滤波器的技术指标只要求幅频特性。 线性相位滤波器的技术指标则两样都要求。
想一想阶数N与幅频特性下降坡度的关系？
Ha(
j)
2
1(
1
)2N
c
第六章 无限脉冲响应滤波器的设计
为了求出幅度平方函数，将|Ha(jΩ)|2写成s的函数：
Ha(s)Ha(s) 1(
1 s
)2N
此幅度平方函数有2N个极j点c ，极点
1
j(12k 1)
sk( 1)2N(j c) ce 2 2N
它们均匀的分布在半径为Ωc的圆上，间隔是π/N弧度。
无限脉冲响应(IIR)滤波器 有限脉冲响应(FIR)滤波器
M
brzr
H (z)
r0 N
1
a k z k
k 1
N 1
H ( z ) h ( n ) z n
n0
从功能上来分类：
低通滤波器
2π
高通滤波器
2π
带通滤波器
2π
带阻滤波器
2π
第六章 无限脉冲响应滤波器的设计
低通
H (e j )
π
Ha(j)2 Ha(s)Ha(s)|sj Ha(j)Ha*(j) 上式的关系从Ha(s)的因式相乘表达式推出。 （2）根据幅度平方函数和系统的极点应该在s的左半平面， 求出传递函数。
第六章 无限脉冲响应滤波器的设计
2. 巴特沃斯低通滤波器的设计方法 巴特沃斯低通滤波器的幅度平方函数用下式和图表示。
设计模拟滤波器是先设计低通滤波器，再把低通 滤波器变换为希望的滤波器。
H a (jΩ)
第六章 无限脉冲响应滤波器的设计 H a (jΩ)
低通
高通
0
Ω0
Ω
H a (jΩ)
H a (jΩ)
带通
c
Ω0
带阻 Ω
图6.2.1 各种理想滤波器的幅频特性
第六章 无限脉冲响应滤波器的设计
1.模拟低通滤波器的指标和设计方法
模拟低通滤波器的设计指标有αp, Ωp,αs和Ωs。其 中Ωp和Ωs分别称为通带截止频率和阻带截止频率，αp 是通带Ω(=0~Ωp)中的最大衰减系数，αs是阻带Ω≥Ωs的 最小衰减系数，αp和αs一般用dB数表示。对于单调下 降的幅度特性，可表示成：
p 10 lg
H a( j0) 2
2
H a ( j p )
第六章 无限脉冲响应滤波器的设计
6.2 模拟滤波器的设计
模拟滤波器的理论和设计方法已发展得相当成熟， 有若干典型的模拟滤波器供我们选择，如巴特沃斯 (Butterworth)滤波器、切比雪夫(Chebyshev)滤波器、 椭圆(Ellipse)滤波器、贝塞尔(Bessel)滤波器等，这些 滤波器都有严格的设计公式、现成的曲线和图表供设 计人员使用。
图6.1.2 低通滤波器的技术要求
第六章 无限脉冲响应滤波器的设计
通带和阻带内都允许有衰减误差。允许的衰减用
dB数表示。通带内允许的最大衰减用αp表示，阻带内 允许的最小衰减用αs表示。αp和αs分别定义为：
H (e j0 ) p 2 0 l g H ( e ) j p d B
(6.1.3)
H (e j0 ) s 2 0 l g H ( e ) j s d B
第六章 无限脉冲响应滤波器的设计
从技术指标推出N和Ωc：
Nlgksp ,
lgsp
ksp
10p 101 10s 101
sp s p
用上式求出的N可能有小数部分，应取大于等于N的最 小整数？。
当
c
p (100.1p
1
1) 2N
当
c
s (100.1s
s 10 lg
H a( j0) 2 H a ( j s ) 2
第六章 无限脉冲响应滤波器的设计
以上技术指标用低通滤波器的幅度特性图表示。图中 Ωc称为3dB截止频率？
第六章 无限脉冲响应滤波器的设计
模拟低通滤波器的设计方法是：
（1）根据滤波器的技术指标设计传输函数Ha(s)的幅度平 方函数，它与系统函数有关系
令λ=Ω/Ωc，λ称为归一化频率；令p=jλ，p称为归 一化复变量，这样归一化巴特沃斯的传输函数为
Ha ( p) N1 1
( p pk )
k 0
(6.2.11)
第六章 无限脉冲响应滤波器的设计
式中，pk为归一化极点，用下式表示：
j(12k1)
pke 2 2N,k0,1,,N1
这样设计巴特沃斯滤波器的步骤是： a. 根据技术指标确定阶数N， b. 求出归一化极点pk， c. 求出归一化传递函数Ha(p) ， d. 用Ωc去归一化到实际传递函数Ha(s) 。
第六章 无限脉冲响应滤波器的设计
例如N=3的三阶巴特沃斯滤波器，为形成稳定的滤波 器，在6个极点中取s平面左半平面的3个极点构成Ha(s)，而 右半平面的3个极点构成Ha(-s)。三阶巴特沃斯滤波器的极 点分布如下：
如此可得到系统函数
第六章 无限脉冲响应滤波器的设计
Ha(s)
(s
s0
1)(s
1 s1 1)(s