初一数学培优之数形结合

1．利用数轴能形象地表示有理数； 2．利用数轴能直观地解释相反数； 3．利用数轴比较有理数的大小； 4．利用数轴解决与绝对值相关的问题．
例题与求解
【例 1】 已知数轴上有 A，B 两点，A，B 之间的距离为 1，点 A 与原点 O 的距离为 3，那么所有满足 条件的点 B 与原点 O 的距离之和等于_____________．
数是_________________．
11．如图，已知 A, B 分别为数轴上两点， A 点对应的数为－20， B 点对应的数为 100． （1）求过 A, B 中点 M 对应的数． （2）现有一只电子蚂蚁 P 从 B 点出发，以 6 个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁 Q 恰好从 A 点出发，以 4 个单位/秒的速度向右运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的 C 点相遇，求 C 点对应的数． （3）若当电子蚂蚁 P 从 B 点出发时，以 6 个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁 Q 恰好从 A
（湖北省荆州市竞赛试题） 解题思路：通过设未知数，把调动的电脑台数用相关代数式表示出来．解题的关键是怎样将实际问
题转化为求 y x a1 x a2 ••• x an 的最小值．
【例 6】 如图， A 是数轴上表示－30 的点，B 是数轴上表示 10 的点，C 是数轴上表示 18 的点， 点 A, B,C 在数轴上同时向正方向运动．点 A 运动的速度是 6 个单位长度/秒，点 B 和点 C 运动的速度是
离较远的点对应的数是______________．
（江苏省竞赛试题）
ຫໍສະໝຸດ Baidu
2．如果数轴上点 A 到原点的距离为 3，点 B 到原点的距离为 5，那么 A, B 两点的距离为______________．
3．点 A, B 分别是数 3 ， 1 在数轴上对应的点，使线段 AB 沿数轴向右移动到 A'B' 的中点对应数 3， 2
）．
A． B 点外
B．线段 AC 的中点 C．线段 AC 外一点
D． 无穷多个 （“希望杯”邀请赛试题）
6．点 A1, A2 , A3,, An (n为正整数 ) 都在数轴上，点在原点 O 的左边，且 A1O 1，点 A2 在点 A1 的右
边，且 A2 A1 2 ，点 A3 在点 A2 的左边，且 A3 A2 3 ，点 A4 在点 A3 的右边，且 A4 A3 4 ， • • • ，依
思奇妙，给观众留下深刻的印象．若 A, B 站台分别位于－2，－1 处， AN 2NB ，则 N 站台用类似电
影里的方法称为“_________________站台”
（《时代学习报》数学文化节试题）
3．在数轴上，若 N 点与原点 O 的距离是 N 点与三〇若对应的点之间的距离的 4 倍，则 N 点表示的数
解题思路：从化简等式入手，而 c a b 是解题的关键． 2
【例 4】 （1）阅读下面材料：
点 A, B 在数轴上分别表示实数 a, b, A, B 两点之间的距离表示为 AB ．当 A, B 两点中有一点在原点
时， 当 A、B 两点都不在原点时， ①如图 2，点 A、B 都在原点的右边|AB|＝|OB|－|OA|＝|b|－|a|＝b－a＝|a－b|； ②如图 3，点 A、B 都在原点的左边，|AB|＝|OB|－|OA|＝|b|－|a|＝b－a＝|a－b|；③如图 4，点 A、 B 在原点的两边，|AB|＝|OB|－|OA|＝|b|－|a|＝－b－（－a）＝|a－b|； 综上，数轴上 A、B 两点之间的距离|AB|＝|a－b|． （2）回答下列问题： ①数轴上表示 2 和 5 的两点之间的距离是_________，数轴上表示－2 和－5 的两点之间的距离是 ______________，数轴上表示 1 和－3 的两点之间的距离是________________； ②数轴上表示 x 和－1 的两点 A 和 B 之间的距离是______________，如果|AB|＝2，那么 x 为_________； ③当代数式|x＋1|十|x－2|取最小值时________，相应的 x 的取值范围是___________．
初一数学培优之数形结合
阅读与思考
数学是研究数和形的学科，在数学里数和形是有密切联系的，我们常用代数的方法来处理几何问题； 反过来，也借助与几何图形来处理代数问题，寻找解题思路，这种数与形之间的相互作用叫数形结合， 是一种重要的数学思想．
运用数形结合思想解题的关键是建立数与形之间的联系，现阶段数轴是数形结合的有力工具，主要 体现在一下几个方面：
种情况来分析求解．
（2）先将 P, M , N 三个点在数轴上表示的数分别写出来，因点 M 始终在点 N 左侧，则分为“点 P
在 M , N 左边”，“点 P 在 M , N 之间”，“点 P 在 M , N 右边”三种情况来求解．
能力训练
A级
1．已知数轴上表示负数有理数 m 的点是点 M ，那么在数轴上与点 M 相距 m 个单位的点中，与原点距
D． D点
（“新世纪杯”广西初中数学竞赛试题）
9．已知 x 2 1 x 9 y 5 1 y ，求 x y 的最大值和最小值．
（江苏省竞赛试题）
10．如图，在环形运输线路上有 A, B,C, D, E, F 六个仓库，现有某种货物的库存量分别是 50 吨、84 吨、
80 吨、70 吨、55 吨和 45 吨．要对各仓库的存货进行调整，使得每个仓库的存货量相等，但每个仓库只 能相相邻的仓库调运，并使调运的总量最小．求各仓库向其他仓库的调运量．
11．如图，数轴上标有 2n 1个点，它们对应的整数是 n,(n 1),,2,1,0,1,2,, n 2, n 1, n ．为 了确保从这些点中可以取出 2006 个，使任何两个点之间的距离都不等于 4．求 n 的最小值．
（“华罗庚金杯”少年邀请赛试题）
点出发，以 4 单位/秒的速度也向左运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的 D 点相遇，求 D 点对应的数．
B级
1．有理数 a, b, c 在数轴上的位置如图所示：
则化简 a b b 1 a c 1 c 的结果为_____________________．
2．电影＜＜哈利·波特＞＞中小哈利·波特穿墙进入“ 9 3 站台”的镜头（如示意图中 M 站台），构 4
照上述规律，点 A2008 , A2009 所表示的数分别为（
）．
A．2008，－2009 B．－2008，2009 C．1004，－1005 D．1004，－1004 （福建省泉州市中考试题）
7．设 y x 1 x 1 ，则下列四个结论中正确的是（ ）．
A． y 没有最小值 C．有限个 x （不止一个）使 y 去最小值
C．3
D．4
（“祖冲之”邀请赛试题）
7．有理数 a,b, c 在数轴上的位置如图所示，式子 a b a b b c 化简结果为（ ）． A． 2a 3b c B． 3b c C． b c D． c b
8．如图所示，在数轴上有六个，且 AB BC CD DE EF ，则与点 C 所表示的数最接近的整数
有（ ）个．
A．4
B．3
C．2
D．1
（“希望杯”邀请赛试题）
解题思路：从数轴上得到 a 1 0 b c 1 ，再对代数式进行逐以一判断．
【例 3】 如图所示，已知数轴上点 A, B,C 所对应的数 a, b, c 都不为 0，且 C 是 AB 的中点．如 果 a b a 2c b 2c a b 2c 0，试确定原点 O 的大致位置．
④求 x 1 x 2 x 3 ... x 1997 的最小值．
（江苏省南京市中考试题）
解题思路：通过观察图形，阅读理解代数式 a b 所表示的意义，来回答所提出的具体问题．
【例 5】 某城市沿环形路有五所小学，依次为一小、二小、三小、四小、五小，它们分别有电脑 15，7，11，3，14 台，现在为使各校电脑台数相等，各调几台给邻校，现规定一小给二小，二小给三小， 三小给四小，四小给五小，五小给一小，要使电脑调动台数最小，应该做怎样的安排？
5．在数轴上任取一条长度为1999 1 的线段，则此线段在数轴上最多能盖住的整数点的个数是（
）．
9
A．1998
B．1999
C．2000
D．2001
（重庆市竞赛试题）
6．如图，a, b 为数轴上的两点表示的有理数，在 a b,b 2a, a b , b a 中，负数的个数有（ ）
A．1
B．2
3 个单位长度/秒．设三个点运动的时间为 t（秒）． （1）当 t 为何值时，线段 AC＝6（单位长度）？ （2）t≠5 时，设线段 OA 的中点为 P，线段 OB 的中点为 M，线段 OC 的中点为 N，求 2PM－PN＝2 时 t 的值．
（湖北省荆州市竞赛试题）
解题思路：（1） A, B, C 三点在数轴上同时向正方向运动，分别当 A 点运动到 C 点左侧和右侧两
（北京市“迎春杯”竞赛试题） 解题思路：确定 A，B 在数轴上的位置，求出 A，B 两点所表示的有理数．
【例 2】 在数轴上和有理数 a, b, c 对应的点的位置如图所示．有下面四个结论：
① abc 0 ，② a b b c a c ，③ (a b)(b c)(c a) 0 ，④ a 1 bc ，其中，正确的结论
则点 A' 对应的数是________________，点 A 移动的距离是____________．
（“希望杯”邀请赛试题）
4．已知 a 0 ，b 0 且 a b 0 ，那么有理数 a,b,a, b 的大小关系是_________________________．（用
“＜”号连接）
（北京市“迎春杯”竞赛试题）
B．只有一个 x 使 y 去最小值 D．有无穷多个 x 使 y 取最小值
（全国初中数学联赛试题）
8．如图，数轴上标出若干个点，每相邻两个点相距 1 个单位，点 A, B,C, D 对应的数分别是整数 a, b, c, d ， 且 b 2a 9，那么数轴的原点对应点是（ ）．
A． A点
B． B点
C． C点
是（
）．
A．－1
B．0
C．1
D．2
（“希望杯”邀请赛试题）
9．已知 a, b, c, d 为有理数，在数轴上的位置如图所示：
且 6 a 6b 3c 4 d 6 ，求 3a 2d 3b 2a 2b c 的值．
10．电子跳蚤落在数轴上的某点 Ko ，第一步从 Ko 向左挑一个单位到 K1 ，第二步由 K1 向右跳 2 个单位 到 K2 ，第三步由 K2 向左跳 3 个单位到 K3 ，第四步由 K3 向右跳 4 个单位到 K4 ，…，按以上规律跳了 100 步时，电子跳蚤落在数轴上的点 K100 所表示的数恰是 19.94．则电子跳蚤的初始位置 Ko 点所表示的
是_________________． （河南省竞赛试题）
4．若 a 0,b 0 ，则使 x a x b a b 成立的 x 的取值范围是__________________．
（武汉市选拔赛试题）
5．如图，直线上有三个不同的点 A, B,C ，且 AB BC ，那么，到 A, B,C 三点距离的和最小的点为（