初一数学培优之数形结合
七年级培优讲义第2讲 数轴——数形结合入门
七年级培优讲义第2讲数轴——数形结合入门【思维入门】1．如图1－2－1，数轴上一点A向左移动2个单位长度到达点B，再向右移动5个单位长度到达点C.若点C表示的数为1，则点A表示的数是 ( )图1－2－1A．7 B．3 C．－3 D．－22．在数轴上和表示－3的点的距离等于5的点所表示的数是 ( ) A．－8 B．2 C．－8和2 D．13．如图1－2－2，数轴的一部分被墨水污染，被污染的部分内含有的整数为__，．图1－2－24．如图1－2－3，直径为1个单位长度的圆从原点沿着数轴无滑动的逆时针滚动一周到达A点，则A点表示的数是____．图1－2－35．一辆货车从超市出发，向东行驶3 km到达小彬家，继续向东行驶1.5 km到达小李家，又向西行驶9.5 km到达小明家，最后回到超市．(1)请以超市为原点，以向东方向为正方向，用1个单位长度表示1 km，画出数轴，并在数轴上表示出小明家、小李家、小彬家的位置；(2)小明家距小彬家有多远？(3)货车一共行驶了多少千米？【思维拓展】6．如图1－2－4，在数轴上有六个点，且AB＝BC＝CD＝DE＝EF，则这条数轴的原点在( )图1－2－4A．点A，B之间B．点B，C之间C．点C，D之间D．点D，E之间7．数轴上表示整数的点称为整点．某数轴的单位长度是1 cm，若在这个数轴上随意画出一条长为2 015 cm的线段AB，则线段AB盖住的整点的个数是( )A．2 013或2 014 B．2 014或2 015C．2 015或2 016 D．2 016或2 0178．在数轴上，点A对应的数是－2 012，点B对应的数是19，点C对应的数是－4 032，记A，B两点间的距离为d1，A，C两点间的距离为d2，B，C两点间的距离为d3，则有( )A．d1>d2 B．d2>d3C．d1>d3 D．d3＝2d1＋19．在数轴上有若干个点，每相邻两点之间的距离是1个单位长度，有理数a，b，c，d所表示的点是这些点中的4个，且在数轴上的位置如图1－2－5所示，如果3a＝4b－3，那么c＋2d＝____．图1－2－5【思维升华】10．电子跳蚤落在数轴上的某点k0，第一步从k0向左跳1个单位到k1，第二步由k1向右跳2个单位到k2，第三步由k2向左跳3个单位到k3，第四步由k3向右跳4个单位到k4，…，按以上规律跳了100步时，电子跳蚤落在数轴上的点k100所表示的数恰是19.94.求电子跳蚤的初始位置k0点所表示的数．答案：第2讲数轴——数形结合入门【思维入门】1．如图1－2－1，数轴上一点A向左移动2个单位长度到达点B，再向右移动5个单位长度到达点C.若点C表示的数为1，则点A表示的数是 ( D )图1－2－1A．7 B．3 C．－3 D．－2【解析】逆向移动，即把C点左移5个单位，再右移2个单位得到A.2．在数轴上和表示－3的点的距离等于5的点所表示的数是 ( C ) A．－8 B．2 C．－8和2 D．13．如图1－2－2，数轴的一部分被墨水污染，被污染的部分内含有的整数为__－1，0，1，2__．图1－2－24．如图1－2－3，直径为1个单位长度的圆从原点沿着数轴无滑动的逆时针滚动一周到达A点，则A点表示的数是__－π__．图1－2－35．一辆货车从超市出发，向东行驶3 km到达小彬家，继续向东行驶1.5 km到达小李家，又向西行驶9.5 km到达小明家，最后回到超市．(1)请以超市为原点，以向东方向为正方向，用1个单位长度表示1 km，画出数轴，并在数轴上表示出小明家、小李家、小彬家的位置；(2)小明家距小彬家有多远？(3)货车一共行驶了多少千米？解：(1)如答图所示；第5题答图(2)小明家距小彬家3＋5＝8(km)；(3)3＋1.5＋9.5＋5＝19(km)．答：小明家距小彬家有8 km，货车一共行驶了19 km.【思维拓展】6．如图1－2－4，在数轴上有六个点，且AB＝BC＝CD＝DE＝EF，则这条数轴的原点在( B )图1－2－4A．点A，B之间B．点B，C之间C．点C，D之间D．点D，E之间【解析】∵|11－(－5)|＝16，AB＝BC＝CD＝DE＝EF，∴AB＝BC＝CD＝DE＝EF＝3.2，∴这条数轴的原点在B与C之间．7．数轴上表示整数的点称为整点．某数轴的单位长度是1 cm，若在这个数轴上随意画出一条长为2 015 cm的线段AB，则线段AB盖住的整点的个数是( C )A．2 013或2 014 B．2 014或2 015C．2 015或2 016 D．2 016或2 017【解析】若线段AB的两个端点正好在两个整数点上，则线段AB覆盖住2 016个整数点；若AB 的两个端点都不在整数点上，则AB覆盖住2 015个整数点．8．在数轴上，点A对应的数是－2 012，点B对应的数是19，点C对应的数是－4 032，记A，B两点间的距离为d1，A，C两点间的距离为d2，B，C两点间的距离为d3，则有( A )A．d1>d2 B．d2>d3C．d1>d3 D．d3＝2d1＋1【解析】根据点A，B，C在数轴上的分布，可知d1＝|－2 012－19|＝2 031，d2＝|－4 032－(－2 012)|＝2 020，d3＝|－4 032－19|＝4 051.故可得d1>d2.9．在数轴上有若干个点，每相邻两点之间的距离是1个单位长度，有理数a，b，c，d所表示的点是这些点中的4个，且在数轴上的位置如图1－2－5所示，如果3a＝4b－3，那么c＋2d＝__－2__．图1－2－5【解析】由数轴可知，b＝a＋2，又3a＝4b－3，得3a＝4(a＋2)－3，a＝－5，所以c＝a＋3＝－2，d＝a＋5＝0，c＋2d＝－2＋0＝－2.【思维升华】10．电子跳蚤落在数轴上的某点k0，第一步从k0向左跳1个单位到k1，第二步由k1向右跳2个单位到k2，第三步由k2向左跳3个单位到k3，第四步由k3向右跳4个单位到k4，…，按以上规律跳了100步时，电子跳蚤落在数轴上的点k100所表示的数恰是19.94.求电子跳蚤的初始位置k0点所表示的数．解：k0点所对应的数为19.94－100＋99－98＋97－…－6＋5－4＋3－2＋1＝－30.06.。
七年级上册数形结合思想
七年级上册――数形结合思想一、数形结合思想(一)、利用数轴（规定了原点、单位长度、正方向的直线）这一图形来解有关“有理数”的题目。
有理数加减法运算：1、线段的加减作图法：如图： ①作一条线段，使它与AB+CD相等。
②作一条线段，使它与AB-CD 相等。
2、有理数的加减：根据数形结合的思想，实质就是在数轴上进行的线段的加试着利用以上数轴图，解释有理数加法（加上一个正数，从该数右边继续画一条线段，若加上一个负数，从这个数左边画一条线段，得到结果） 试解释：2+3=_____ －2+3=____ 4+(－6)=____ －2+(－3)=____ 并因此归纳出加法法则：____________________________________ __________________________________________________________ 练习：1、用“＜ ”、“＞”或“＝”连接：（1）－2 ＋6 ； （2） 0 －1.8 ； （3）23-_____ 45- 2、如图所示，点M 表示的数是（ ）A. 2.5B. -15.C. -25.D. 1.53、在一条东西向的跑道上，小亮先向东走了8米，记作“＋8米”，又向西走了10米，此时他的位置可记作（ ）。
A 、＋2米B 、－2米C 、＋18米D 、－18米A B D1、一般性行程问题例：一只船从甲码头到乙码头是顺流行驶，用了2小时；从乙码头返回到甲码头是逆流行驶，用了2.5小时。
如果水流的速度是3千米/小时，求船在静水中的速度？练习：一架飞机在两城之间飞行，风速为24小时/时，顺风飞行需要2小时50分，逆风飞行需要3小时，求无风时飞机的航速和两城之间的航程？2、相遇问题例题：甲、乙骑自行车同时从相距60千米的两地相向而行，5小时相遇．甲比乙每小时多骑2千米，求甲、乙的速度各是多少？练习：A、B两地相距36千米. 甲每小时走5千米，乙每小时走4千米.甲、乙两人分别从A、B两地同时出发，相向而行，几小时后两人相遇？3、追及问题：例：龟兔进行赛跑，兔子的速度为每秒3.5米，乌龟的速度为每秒0.5米。
探究初中数学教学中的数形结合思想
探究初中数学教学中的数形结合思想初中数学教学中的数形结合思想是指在数学教学中将数学知识与几何图形相结合，通过图形来帮助学生理解数学概念，加深对数学知识的认识和理解。
数形结合思想的运用可以激发学生的兴趣，提高学习效果。
下面我们就来探究一下初中数学教学中的数形结合思想。
数形结合思想可以帮助学生理解抽象的数学概念。
对于一些抽象的数学概念，学生往往很难形象地理解，容易产生死记硬背的现象。
而通过引入几何图形，可以将抽象的数学概念具象化，帮助学生更好地理解。
学习平面几何图形时，可以使用正方形、长方形等几何图形，来解释边长、面积等概念，通过图形的具体表现形式，学生可以直观地理解数学概念。
数形结合思想可以帮助学生建立数学模型。
在解决实际问题时，学生往往会遇到一些复杂的数学模型。
而通过运用数形结合思想，可以将实际问题转化为几何图形，进一步建立数学模型，有助于学生分析和解决问题。
在学习二次函数时，可以通过绘制抛物线的图形，来帮助学生理解二次函数的性质和变化规律，同时也可以用图形来解决实际问题，如求最值、求交点等。
通过将数学问题转化为几何图形，学生可以更好地理解问题，提高解决问题的能力。
数形结合思想可以加强学生的空间想象能力。
几何图形是空间的具象表现，学生在绘制和观察图形时，需要运用空间想象能力。
通过练习绘制几何图形、观察几何图形的性质等活动，可以锻炼学生的空间想象能力。
而良好的空间想象能力对于学习数学有着重要的作用，不仅能够帮助学生理解几何概念和性质，还能提高学生的思维能力，培养学生的创造力和创新能力。
数形结合思想可以激发学生的兴趣，提高学习效果。
对于很多学生来说，数学是一门枯燥的学科，容易产生学习兴趣不高的问题。
而通过引入几何图形，将抽象的数学概念转化为具象的图形，可以使数学问题变得更加有趣和形象，激发学生的学习兴趣。
学生在学习过程中，可以通过绘制图形、观察图形的性质等活动，参与到学习中来，积极主动地思考和探索，提高学习效果。
初中数学竞赛奥数培优资料第三辑专题27 数形结合
专题27数形结合阅读与思考数学研究的对象是现实世界中的数量关系与空间形式，简单地说就是“数”与“形”，对现实世界的事物，我们既可以从“数”的角度来研究，也可以从“形”的角度来探讨，我们在研究“数”的性质时，离不开“形”；而在探讨“形”的性质时，也可以借助于“数”．我们把这种由数量关系来研究图形性质，或由图形的性质来探讨数量关系，即这种“数”与“形”的相互转化的解决数学问题的思想叫作数形结合思想.数形结合有下列若干途径：1．借助于平面直角坐标系解代数问题；2．借助于图形、图表解代数问题；3．借助于方程（组）或不等式（组）解几何问题；4．借助于函数解几何问题.现代心理学表明：人脑左半球主要具有言语的、分析的、逻辑的、抽象思维的功能；右半球主要具有非言语的、综合的、直观的、音乐的、几何图形识别的形象思维的功能．要有效地获得知识，则需要两个半球的协同工作，数形结合分析问题有利于发挥左、右大脑半球的协作功能.代数表达及其运算，全面、精确、入微，克服了几何直观的许多局限性，正因为如此，笛卡尔创立了解析几何，用代数方法统一处理几何问题．从而成为现代数学的先驱．几何问题代数化乃是数学的一大进步．例题与求解【例l 】设1342222+-+++=x x x x y ，则y 的最小值为___________.（罗马尼亚竞赛试题）解题思路：若想求出被开方式的最小值，则顾此失彼．()()921122+-+++=x x y ＝()()()()2222302101-+-+-++x x ，于是问题转化为：在x 轴上求一点C (x ，0)，使它到两点A （－1，1）和B (2，3)的距离之和（即CA ＋CB ）最小.【例2】直角三角形的两条直角边之长为整数，它的周长是x 厘米，面积是x 平方厘米，这样的直角三角形()A ．不存在B ．至多1个C ．有4个D ．有2个（黄冈市竞赛试题）解题思路：由题意可得若干关系式，若此关系式无解，则可推知满足题设要求的直角三角形不存在；若此关系式有解，则可推知这样的直角三角形存在，且根据解的个数，可确定此直角三角形的个数．【例3】如图，在△ABC 中，∠A ＝090，∠B ＝2∠C ，∠B 的平分线交AC 于D ，AE ⊥BC 于E ，DF ⊥BC 于F .求证：BEAE BF AE DF BD ⋅+⋅=⋅111.（湖北省竞赛试题）解题思路：图形中含多个重要的基本图形，待证结论中的代数迹象十分明显．可依据题设条件，分别计算出各个线段，利用代数法证明．【例4】当a 在什么范围内取值时，方程a x x =-52有且只有相异的两实数根？（四川省联赛试题）解题思路：从函数的观点看，问题可转化为函数x x y 52-=与函数a y =(a ≥0)图象有且只有相异两个交点．作出函数图象，由图象可直观地得a 的取值范围．【例5】设△ABC 三边上的三个内接正方形（有两个顶点在三角形的一边上，另两个顶点分别在三角形另两边上）的面积都相等，证明：△ABC 为正三角形．（江苏省竞赛试题）解题思路：设△ABC 三边长分别为a ，b ，c ，对应边上的高分别为a h ，b h ，c h ，△ABC 的面积为S ，则易得三个内接正方形边长分别为a h a S +2，b h b S +2，ch c S+2，由题意得c b a h c h b h a +=+=+，即L c S c b S b a S a =+=+=+222．则a ，b ，c 适合方程L xS x =+2.【例6】设正数x ，y ，z 满足方程组⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=++=+=++1693253222222x zx z z y y xy x ，求zx yz xy 32++的值．（俄罗斯中学生数学竞赛试题）能力训练1.不查表可求得tan 015的值为__________.2.如图，点A ，C 都在函数xy 33=(0>x )的图象上，点B ，D 都在x 轴上，且使得△OAB ，△BCD 都是等边三角形，则点D 的坐标为______________.（全国初中数学联赛试题）3．平面直角坐标系上有点P (－1，－2)和点Q (4，2)，取点R (1，m )，当=m ________时，PR ＋RQ 有最小值.4.若0>a ，0<b ，要使b a b x a x -=-+-成立，x 的取值范围是__________.5.已知AB 是半径为1的⊙O 的弦，AB 的长为方程012=-+x x 的正根，则∠AOB 的度数是______________.（太原市竞赛试题）6.如图，所在正方形的中心均在坐标原点，且各边与x 轴或y 轴平行，从内到外，它们的边长依次为2，4，6，8，…，顶点依次用1A ，2A ，3A ，4A ，…表示，则顶点55A 的坐标是()A.(13，13)B ．(－13，－13)C.(14，14)D.(－14，一14)第2题图第6题图7．在△ABC 中，∠C ＝090，AC ＝3，BC ＝4．在△ABD 中，∠A ＝090，AD ＝12.点C 和点D 分居AB 两侧，过点D 且平行于AC 的直线交CB 的延长线于E ．如果nmDB DE =，其中，m ，n 是互质的正整数，那么n m +=()A.25B.128C.153D.243E.256（美国数学统一考试题）8．设a ，b ，c 分别是△ABC 的三边的长，且cb a b a b a +++=，则它的内角∠A ，∠B 的关系是()A ．∠B ＞2∠AB ．∠B=2∠AC ．∠B ＜2∠AD ．不确定9．如图，a S AFG 5=∆，a S ACG 4=∆，a S BFG 7=∆，则=∆AEG S ()A ．a 1127B ．a 1128C ．a 1129D ．a 113010.满足两条直角边边长均为整数，且周长恰好等于面积的整数倍的直角三角形的个数有()A.1个B ．2个C ．3个D ．无穷多个11.如图，关于x 的二次函数m mx x y --=22的图象与x 轴交于A (1x ，0)，B (2x ，0)两点(2x ＞0＞1x )，与y 轴交于C 点，且∠BAC ＝∠BCO .(1)求这个二次函数的解析式；(2)以点D （2，0）为圆心⊙D ，与y 轴相切于点O ，过＝抛物线上一点E (3x ，t )(t ＞0，3x ＜0)作x 轴的平行线与⊙D 交于F ，G 两点，与抛物线交于另一点H ．问是否存在实数t ，使得EF ＋GH ＝CF ?如果存在，求出t 的值；如果不存在，请说明理由．（武汉市中考题）12.已知正数a，b，c，A，B，C满足a＋A＝b＋B＝c＋C＝k.求证：a B十b C＋c A＜k2.13.如图，一个圆与一个正三角形的三边交于六点，已知AG＝2，GF＝13，FC＝1，HI＝7，求DE．（美国数学邀请赛试题）14.射线QN与等边△ABC的两边AB，BC分别交于点M，N，且AC//QN，AM＝MB＝2cm，QM＝4cm.动点P从点Q出发，沿射线QN以每秒1cm的速度向右移动，经过t秒，以点P为圆心，3cm为半径的圆与△ABC的边相切（切点在边上）．请写出t可以取的一切值：_______________（单位：秒）．15.如图，已知D 是△ABC 边AC 上的一点，AD ：DC ＝2：1，∠C ＝045，∠ADB ＝060．求证：AB 是△BCD 的外接圆的切线．（全国初中数学联赛试题）16.如图，在△ABC 中，作一条直线l ∥BC ，且与AB 、AC 分别相交于D ，E 两点，记△ABC ，△BED 的面积分别为S ，K ．求证：K ≤S 41．（长春市竞赛试题）17.如图，直线OB 是一次函数x y 2 的图象，点A 的坐标为(0，2).在直线OB 上找点C ，使得△ACO 为等腰三角形，求点C 的坐标．（江苏省竞赛试题）专题27 数形结合例 1 5 提示:作出 B 点关于 x 轴的对称点 B '(2,-3)，连结 AB '交 x 轴于 C ，则 AB '=AC 十 CB ' 为所要求的最小值.例2D 提示:设两直角边长为a ，b ，斜边长为c ，由题意得a +b +c =x ，x ab =21,又222c b a =+，得().424b b a --=.因a ,h 为边长且是整数.故当⎩⎨⎧>->-,04,02b b 得b<2，取34,1==a b 不是整数;当⎩⎨⎧<-<-,04,02b b 得b>4，要使a ,b 为整数，只有两种取法:若b =5时，a =12(或b =12,a =5);若b =8时，a =6(或b =6,a =8).例3设AB =x ，则BC =2x ,AC =x 3,BE =x 21,DF =DA=.32,31x BD x =.在Rt △AEB 中求得AE=,,23x BF x =代入证明即可.例4如图，作出函数x x y 52-=图象，由图象可以看出:当a =0时，y =0与x x y 52-=有且只有相异二个交点;当4250<<a 时，y =a 与x x y 52-=图象有四个不同交点;当425=a 时，y =a 与x x y 52-=图象有三个不同交点，当425>a 时，y =a 与x x y 52-=图象有且只有相异二个交点.例5由L c s c b s b a s a =+=+=+222①,知正数c b a ,,适合方程.2L x sx =+当0≠x 时，有022=+-s Lx x ②，故c b a ,,是方程②的根.但任何二次方程至多只有两个相异的根，所以c b a ,,中的某两数必相同.设b a =,若a c ≠，由①得()()c a ac sa c s c a -=⎪⎭⎫⎝⎛-=-2112，则ac =2s =a a h ，这样△ABC 就是以∠B 为直角的直角三角形，b >a ，矛盾，故a =c ，得证.例6,ABC AOC BOC AOB S S S S ∆∆∆∆=++,3421120sin 21321150sin 321⨯⨯=+∙+∙∙∴ xz y z y x即,6232132121321=∙+∙+⨯∙xz y z y x 化简得.32432=++zx yz xy 能力训练1.32-提示:构造含15的Rt △ABC .2.()062，提示:如图，分别过点A ,C 作x 轴的垂线，垂足分别为E ,F .设OE =a ,BF =b ，则AE =a 3,CF =b 3，所以点A ,C的坐标为()().3,2,3,b b a a a +()⎩⎨⎧=+=∴33233332b a b a 解得⎩⎨⎧-==.363b a ∴点D 坐标为()0,62.3.52-提示:当R ,P ，Q 三点在一条直线上时，PR +RQ 有最小值.4.ax b ≤≤5.36提示:由012=-+x x 得21x x -=<1，则有AB <OB .在OB 上截取OC =AB =x ，又由012=-+x x 得x x x 11=-，即ABOABC AB =，则OAB ∆∽△ABC ,AB =AC =OC .6.C 提示:由题所给的数据结合坐标系可得，55A 是第14个正方形上的第三个顶点，位于第一象限，所以55A 的横纵坐标都是14.7.A8.B 提示：由条件,22b ab ac ab a +=++即()bca abc a a b +=∴+=,2，延长CB 至D ，使BD =AB ，易证△ABC ∽△DAC ，得∠ABC =∠D +∠BAD =2∠D =2∠BAC .9.D10.C 提示:设直角三角形的两条直角边长为(),,b a b a ≤则abk b a b a 2122∙=+++(k b a ,,均为正整数)，化简得()()⎩⎨⎧=-=-⎩⎨⎧=-=-∴=--44,2484,14,844kb ka kb ka kb ka 或解得⎪⎩⎪⎨⎧===⎪⎩⎪⎨⎧===⎪⎩⎪⎨⎧===8,6,14,3,212,5,1b a k b a k b a k 或或即有3组解.11.(1)122--=x x y (2)过D 作DM ⊥EH 于M ，连结DG ,2,===DO DG t DM ,.2222t MG FG -==若EF +GH =FG 成立，则EH =2FG .由4EF //x 轴，设H 为(x ,t )，又∵E ,H 为抛物线上的两个点，,12323t x x =--∴,12424t x x =--即43,x x 是方程t x x =--122的两个不相等的实数根，()t x x x x +-==+∴1,24343，()2432433422222,224t t t x x x x x x EH -∙=+∴+=-+=-=,解得8197,819711+-=-=t t (舍去).12.a 十A =b +B =c 十C =k ，可看作边长为k 的正三角形，而从2k 联想到边长为k 的正方形的面积.如图，将aB +bC +cA 看作边长分别为a 与B ,b 与C ,c 与A 的三个小矩形面积之和，将三个小矩形不重叠地嵌入到边长为k 的正方形中，显然aB +bC +cA <k 2.13.AC =AG +GF +FC =16，由AH ·AI =AG ·AF ，得AH(AH ＋7)＝2×(2＋13)，解得AH ＝3，从而HI ＝7，BI ＝6．设BD ＝x ，CE ＝y ，则由圆幂定理得•CD ＝CF •CG•BE ＝BI •BH (16－x )＝1×14(16－y )＝6×13.＝10－22＝6－22.故DE ＝16－(x ＋y )＝222.14.t ＝2或3≤t ≤7或t ＝8.提示：本题通过点的移动及直线与圆相切，考查分类讨论思想.由题意知∠AMQ ＝60°，MN ＝2．当t ＝2时，圆P 与AB 相切；当3≤t ≤7时，点P 到AC 的距离为3，圆P 与AC 相切；当t ＝8时，圆P 与BC 相切．15．设AD ＝2，DC ＝1，作BE ⊥AC ，交AC 于E ．又设ED ＝x ,则BE ＝3x ,BE ＝EC ＝3x ．又1＋x ＝3x ,∴x ＝3＋12,BE ＝3＋32,AE ＝AD －ED ＝2－x ＝3－32，AB 2＝AE 2＋BE 2＝（3－32）2＋（3＋32）2＝6，而AD •AC ＝6．∴AB 2＝AD •AC .故由切割线定理逆定理知，AB 是△BCD 的外接圆的切线．16．设AD AB ＝AEAC ＝m (0≤m ≤1).∵S △ABE S △ABC＝AE AC ＝m ，∴S △ABE ＝m S △ABC ．又∵S △BDE S △ABE ＝BD AB ＝AB －AD AB ＝1－m ，∴S △BDE ＝(1－m )•S △ABE ＝m (1－m )•S △ABC ．即K ＝(1－m )•mS ，整理得Sm 2－Sm ＋K ＝0,由△≥0得K ≤14S .17．分以下几种情况：①若此等腰三角形以OA 为一腰，且∠BAC 为顶角，则AO ＝AG ＝2．设C 1（―x ,2x ），则x 2＋（2x －2）2＝22，解得x ＝85，得C 1（85，165）．②若此等腰三角形以OA 为一腰，且O 为顶角顶点，则OC 2＝OC 3＝OA ＝2．设C 2（x ′，2x ′）,则x ′2＋（2x ′）2＝22，解得x ′＝255，得C 2（255，455）．又由点C 2与C 3关于原点对称，得C 3（―255，―455）．③若等腰三角形以OA 为底边，则C 4的纵坐标为1，其横坐标为12，得C 4(12，1)．所以，满足题意的点C 有4个，坐标分别为：（85，165）,（255，455）,（―255，―455）,(12，1).。
初中数学教学中数形结合方法的运用和分析
初中数学教学中数形结合方法的运用和分析初中数学教学中，数形结合方法是一种非常重要的教学手段，它能够帮助学生更好地理解数学知识，提高他们的数学思维能力和解决问题的能力。
本文将从数形结合方法的定义、优点、运用和分析等方面进行探讨，希望能够对初中数学教学中数形结合方法的运用提供一些参考。
一、数形结合方法的定义数形结合是指数学教学中将数和图形结合起来，通过图形的形状、结构和变化来描述和解释数学问题。
数形结合方法通过将抽象的数学概念转化为直观的图形形式，帮助学生更好地理解和把握数学知识。
二、数形结合方法的优点1.增强学生的数学直观数学是一门抽象的学科，通过数形结合方法，学生不仅可以看到数学概念的抽象形式，还能够通过图形直观地感受数学知识，增强数学的直观性。
2.培养学生的数学思维数形结合方法可以锻炼学生的思维能力，帮助他们从不同的角度理解和解决数学问题，培养他们的逻辑思维和创造力。
3.提高学生的学习兴趣通过数形结合方法，学生可以在实际图形中感受数学知识的魅力，提高学习的兴趣，从而更加主动地学习数学知识。
三、数形结合方法的运用1.几何图形与运算的结合在教学中，可以通过几何图形和运算的结合，帮助学生更好地理解和掌握几何图形的性质和运算的方法。
比如通过实际的图形，让学生感受平行线与角度的关系，从而更好地理解几何运算。
2.函数图像与函数性质的结合在函数的教学中，可以通过函数图像和函数性质的结合，帮助学生更好地理解函数的性质和图像的特点。
比如通过函数的图像，让学生理解函数的增减性、奇偶性等性质。
3.统计图表与数据分析的结合在统计的教学中，可以通过统计图表和数据分析的结合，帮助学生更好地理解和分析数据。
比如通过实际的数据图表，让学生进行数据的比较和分析，从而更好地理解统计知识。
1.灵活运用数形结合方法需要根据不同的数学知识和学生的实际情况灵活运用，不能一概而论。
教师需要根据学生的学习水平和需求，选择合适的数形结合方法进行教学。
初中数学对学生数形结合思想的有效构建
初中数学对学生数形结合思想的有效构建数形结合思想是一种培养学生综合能力、全面发展思维的有效方法，在初中数学中起到了非常重要的作用。
下面就初中数学对学生数形结合思想的有效构建展开阐述。
数学与几何图形相结合，可以帮助学生形成直观的数学概念。
几何图形具有直观、形象的特点，能够帮助学生更好地理解和记忆数学概念。
将代数运算与平面图形相结合，可以帮助学生更好地理解和记忆二次根式的性质。
通过绘制图形，学生可以直观地观察到数值之间的关系，从而帮助他们深入理解数学概念。
数学与几何图形相结合，可以培养学生的空间想象能力。
几何图形是一种空间模型，通过探索几何图形的性质，可以培养学生的空间思维能力。
在学习平行线的性质时，可以通过绘制平行线的示意图，让学生通过观察图形来发现平行线之间的关系，进而培养他们的空间想象能力。
通过数形结合的学习，学生可以逐渐培养出良好的空间想象力，从而更好地理解和解决数学问题。
数学与几何图形相结合，可以提高学生解决实际问题的能力。
数学是一种抽象的学科，而几何图形则是对现实世界的一种具体表现。
通过将数学与几何图形相结合，可以将抽象的数学问题具体化，使学生更好地理解和运用数学知识解决实际问题。
在学习解方程时，可以通过绘制图形，将方程的解与图形的交点相联系，使学生能够更加直观地理解解的概念。
通过数形结合的学习，学生能够培养出解决实际问题的能力，提高他们的数学素养。
数学与几何图形相结合，可以激发学生对数学的兴趣和热爱。
几何图形是一种具有美感的形式，它可以激发学生对数学的兴趣和热爱，使他们对数学的学习更加主动和积极。
在学习平面几何时，可以引导学生体验绘制图形的乐趣，让他们发现图形中隐藏的美丽和规律，从而激发他们对数学的热爱。
通过数形结合的学习，学生可以体验到数学的美妙，进而提高他们的学习兴趣和主动性。
数形结合思想在初中数学中的应用是非常重要的。
通过数形结合的学习，可以帮助学生形成直观的数学概念，培养空间想象能力，提高解决实际问题的能力，并激发学生对数学的兴趣和热爱。
数形结合在初中数学教学中的有效运用
数形结合在初中数学教学中的有效运用数形结合是指将数学问题与几何形状相结合，通过对几何形状的分析和运算来解决数学问题。
在初中数学教学中，数形结合可以有效地帮助学生理解抽象的概念和性质，并提高学生的问题解决能力和创造力。
1.运用数形结合分析平行四边形的性质：让学生通过观察和实验，发现平行四边形的对角线互相平分。
通过实际测量验证这一性质，并用数学符号和公式进行表达和解释。
同时，通过数形结合指导学生使用平行四边形的性质解决相关的几何问题。
2.运用数形结合分析正方形的性质：通过展示正方形的数学模型，引导学生发现正方形的对角线相等、垂直相交、角平分线互相垂直等性质。
可以让学生通过观察和实验，通过数学表达和推理验证这些性质，并运用这些性质解决实际问题。
3.运用数形结合分析相似三角形的性质：通过比较不同大小的三角形，引导学生发现相似三角形的对应边成比例并且对应角相等的性质。
通过数学推理和证明，让学生理解相似三角形的定义和判定条件，并能够运用这些条件解决实际问题。
1.运用数形结合分析立方体的性质：通过展示立方体的数学模型，引导学生发现立方体的对角线相等、由正方形组成的表面等性质。
可以让学生通过观察和实验，通过数学表达和推理验证这些性质，并运用这些性质解决实际问题。
2.运用数形结合分析正方体的性质：通过展示正方体的数学模型，引导学生发现正方体的所有棱和角都相等，并具有由正方形组成的表面等性质。
可以让学生通过观察和实验，通过数学表达和推理验证这些性质，并运用这些性质解决实际问题。
1.运用数形结合分析图形的相似变换：通过比较原图形和变换后的图形，引导学生发现图形在进行相似变换时，对应的边成比例且对应角相等的性质。
通过数学推理和证明，让学生理解相似变换的定义和判定条件，并能够运用这些条件解决实际问题。
2.运用数形结合分析图形的旋转变换：通过比较原图形和旋转后的图形，引导学生发现图形在进行旋转变换时，对应的边长度不变且对应角度相等的性质。
初中数学学习中的解题技巧——数形结合
初中数学学习中的解题技巧——数形结合数形结合：就是通过数与形之间的对应和转化来解决数学问题,它包含“以形助数”和“以数解形”两个方面.利用它可使复杂问题简单化,抽象问题具体化,它兼有“数的严谨”与“形的直观”之长,是优化解题过程的重要途径之一,是一种基本的数学方法.用数形结合的思想解题可分两类：(1)利用几何图形的直观性表示数的问题,它常借用数轴、函数图象等；(2)运用数量关系来研究几何图形问题,常常要建立方程(组)或建立函数关系式等.数形结合所涉及的热点内容：在初中教材中，“数”的常见表现形式为: 实数、代数式、函数和不等式等，而“形”的常见表现形式为: 直线型、角、三角形、四边形、多边形、圆、抛物线、相似、勾股定理等.在直角坐标系下，一次函数图象对应一条直线，二次函数的图像对应着一条抛物线，这些都是初中数学的重要内容.1. 如图所示，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，按照这样的规律摆下去，则第n个图形需要黑色棋子的个数是．【思路点拨】首先计算几个特殊图形，发现：数出每边上的个数，乘以边数，但各个顶点的重复了一次，应再减去.第1个图形是2×3-3，第2个图形是3×4-4，第3个图形是4×5-5，按照这样的规律摆下去，则第n个图形需要黑色棋子的个数是（n+1）（n+2）-（n+2）=n^2+2n．【答案与解析】第1个图形是三角形，有3条边，每条边上有2个点，重复了3个点，需要黑色棋（2×3-3）个；第2个图形是四边形，有4条边，每条边上有3个点，重复了4个点，需要黑色棋子（3×4-4）个；第3个图形是五边形，有5条边，每条边上有4个点，重复了5个点，需要黑色棋子（4×5-5）个；按照这样的规律摆下去，则第n个图形需要黑色棋子的个数是（n+1）（n+2）-（n+2）=n（n+2）.故答案为n（n+2）=n2+2n.【总结升华】这样的试题从最简单的图形入手.找出图形中黑点的个数与第n个图形之间的关系，找规律需要列出算式，一律采用原题中的数据，不要用到计算出来的结果来找规律.举一反三：【变式】用棋子按下列方式摆图形，依照此规律，第n 个图形比第(n-1)个图形多_____枚棋子．解：设第n个图形的棋子数为S1．第1个图形，S1=1；第2个图形，S2=1+4；第3个图形，S3=1+4+7；第n个图形，Sn=1+4+…+3n-2；第（n-1）个图形，Sn-1=1+4+…+[3（n-1）-2]；则第n个图形比第（n-1）个图形多（3n-2）枚棋子．2.已知实数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简|a+b|-|c-b|的结果是 .A.a+cB.-a-2b+cC.a+2b-cD.-a-c【思路点拨】首先从数轴上a、b、c的位置关系可知：c＜a＜0；b＞0且|b|＞|a|，接着可得a+b＞0，c-b＜0，然后即可化简|a+b|-|c-b|可得结果．具体步骤为：① a,b,c的具体位置，在原点左边的小于0，原点右边的大于0.②比较绝对值的大小.|a|＜|c|＜|b|.③化简原式中的每一部分，看看绝对值内部（二次根式中的被开方数的底数）的性质，若大于零，直接提出来，若小于零，则取原数的相反数.④进行化简计算，得出最后结果.【答案与解析】从数轴上a、b、c的位置关系可知：c＜a＜0；b＞0且|b|＞|a|，故a+b＞0，c-b＜0，即有|a+b|-|c-b|=a+b+c-b=a+c．故选A．【总结升华】此题主要考查了利用数形结合的思想和方法来解决绝对值与数轴之间的关系，进而考察了非负数的运用.数轴的特点：从原点向右为正数，向左为负数，及实数与数轴上的点的对应关系．非负数在初中的范围内，有三种形式：绝对值（|a|），完全平方式(a±b)2，二次根式.性质：非负数有最小值是0；几个非负数的和等于0，那么每一个非负数都等于0.3. 图①是一个边长为的正方形，小颖将图①中的阴影部分拼成图②的形状，由图①和图②能验证的式子是A.B.C.D.【思路点拨】这是完全平方公式的几何背景，用几何图形来分析和理解完全平方公式的实质.是一个很典型的“数形结合”的例子，用图形的变换来帮助理解代数学中的枯燥无味的数学公式.根据图示可知，阴影部分的面积是边长为（m+n）的正方形的面积减去中间白色的小正方形的面积（m2+n2），即为对角线分别是2m，2n的菱形的面积．据此即可解答．【答案】B.【解析】（m+n）2-（m2+n2）=2mn．故选B．【总结升华】本题是利用几何图形的面积来验证（m+n）2-（m2+n2）=2mn，解题关键是利用图形的面积之间的相等关系列等式．举一反三【变式】如图1是一个长为2m，宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个空心正方形．（1）你认为图2中的阴影部分的正方形的边长是多少？（2）请用两种不同的方法求出图2中阴影部分的面积；（3）观察图2，你能写出下列三个代数式：（m+n）2、（m-n）2、mn之间的关系吗？解：（1）图②中阴影部分的正方形的边长等于（m-n）；（2）（m-n）2；（m+n）2-4mn；（3）（m-n）2=（m+n）2-4mn．4.我们知道：根据二次函数的图象，可以直接确定二次函数的最大（小）值；根据“两点之间，线段最短”，并运用轴对称的性质，可以在一条直线上找到一点，使得此点到这条直线同侧两定点之间的距离之和最短．这种“数形结合”的思想方法，非常有利于解决一些实际问题中的最大（小）值问题．请你尝试解决一下问题：（1）在图1中，抛物线所对应的二次函数的最大值是_____.（2）在图2中，相距3km的A、B两镇位于河岸（近似看做直线CD）的同侧，且到河岸的距离AC=1千米，BD=2千米，现要在岸边建一座水塔，直接给两镇送水，为使所用水管的长度最短，请你：①作图确定水塔的位置；②求出所需水管的长度（结果用准确值表示）.（3）已知x+y=6，求的最小值？此问题可以通过数形结合的方法加以解决，具体步骤如下：①如图3中，作线段AB=6，分别过点A、B，作CA⊥AB，DB⊥AB，使得CA= ____DB= ____.②在AB上取一点P，可设AP= _____，BP= _____.最小值为 ___．【思路点拨】（1）利用二次函数的顶点坐标就可得出函数的极值；（2）①延长AC到点E，使CE=AC，连接BE，交直线CD 于点P，则点P即为所求；②过点A作AF⊥BD，垂足为F，过点E作EG⊥BD，交BD 的延长线于点G，则有四边形ACDF、CEGD都是矩形，进而利用勾股定理求出即可；（3）①作线段AB=6，分别过点A、B，作CA⊥AB，DB⊥AB，使得CA=3，BD=5，②在AB上取一点P，可设AP=x，BP=y；最小值利用勾股定理求出即可.【答案与解析】（1）抛物线所对应的二次函数的最大值是4；（2）①如图所示，点P即为所求．（作法：延长AC到点E，使CE=AC，连接BE，交直线CD 于点P，则点P即为所求.说明：不必写作法和证明，但要保留作图痕迹；不连接PA不扣分；（延长BD，同样的方法也可以得到P点的位置．）②过点A作AF⊥BD，垂足为F，过点E作EG⊥BD，交BD 的延长线于点G，则有四边形ACDF、CEGD都是矩形．∴FD=AC=CE=DG=1，EG=CD=AF．∵AB=3，BD=2，∴BF=BD-FD=1，BG=BD+DG=3，∴在Rt△ABF中，AF2=AB2-BF2=8，∴AF=2EG=2.∴在Rt△BEG中，BE2=EG2+BG2=17，∴BE=（cm）.∴PA+PB的最小值为cm.即所用水管的最短长度为cm.（3）图3所示，①作线段AB=6，分别过点A、B，作CA⊥AB，DB⊥AB，使得CA=3，BD=5，②在AB上取一点P，可设AP=x，BP=y，③的最小值即为线段 PC和线段 PD长度之和的最小值，∴作C点关于线段AB的对称点C′，连接C′D，过C′点作C′E⊥DB，交BD延长线于点E，∵AC=BE=3，DB=5，AB=C′E=6，∴DE=8，..∴最小值为10．故答案为：①4；②x，y；③PC，PD，10．【总结升华】此题主要考查了函数最值问题与利用轴对称求最短路线问题，结合已知画出图象利用数形结合以及勾股定理是解题关键．作图题不要求写出作法，但必须保留痕迹.最后点题，即“xx即为所求”.5.如图,二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向上,图象过点(-1,2)和(1,0),且与y轴相交与负半轴.以下结论（1）a＞0；（2）b＞0；（3）c＞0；（4）a+b+c=0；（5）abc<0；（6）2a+b＞0;（7）a+c=1；（8）a＞1中,正确结论的序号是.【思路点拨】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y 轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x 轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．【答案与解析】解：①由抛物线的开口方向向上，可推出a＞0，正确；②因为对称轴在y轴右侧，对称轴为x=＞0，又因为a＞0，∴b＜0，错误；③由抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴上，∴c＜0，错误；④由图象可知：当x=1时y=0，∴a+b+c=0，正确；⑤∵a＞0，b＜0，c＜0，∴abc＞0，错误；⑥由图象可知：对称轴x=＞0且对称轴x=＜1，∴2a+b ＞0，正确；⑦由图象可知：当x=-1时y=2，∴a-b+c=2， ---①当x=1时y=0，∴a+b+c=0， ---②①+②，得2a+2c=2，解得 a+c=1，正确；⑧∵a+c=1，移项得a=1-c，又∵c＜0，∴a＞1，正确．故正确结论的序号是①④⑥⑦⑧．【总结升华】考查二次函数的解析式、图象，及综合应用相关知识分析问题、解决问题的能力．二次函数y=ax2+bx+c图象与系数之间的关系：（1）a由抛物线开口方向确定：开口方向向上，则a＞0；否则a＜0．（2）b由对称轴和a的符号确定：由对称轴公式x=判断符号．存在着“左同右异”，即a,b同号.对称轴在y轴的左边，a,b异号，对称轴在y轴的右边.（3）c由抛物线与y轴的交点确定：交点在y轴正半轴，则c＞0；否则c＜0．（4）b2-4ac由抛物线与x轴交点的个数确定：2个交点，b2-4ac＞0；1个交点，b2-4ac=0；没有交点，b2-4ac＜0．（5）当x=±1时，ax2+bx+c就变成了a±b+c了.这道题的第7小题：当x=1时，a+b+c=0……①当x=-1时，a-b+c=2……②,①+②得，2a+2c=2，即a+c=1.举一反三【变式】已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，x=是该抛物线的对称轴．根据图中所提供的信息，请你写出有关a，b，c的四条结论，并简单说明理由．解：①∵开口方向向上，∴a＞0，②∵与y轴的交点为在y轴的正半轴上，∴c＞0，③∵对称轴为x=＞0，∴a、b异号，即b＜0，④∵抛物线与x轴有两个交点，∴b2-4ac＞0，⑤当x=1时，y=a+b+c＜0，⑥当x=-1时，y=a-b+c＞0．结论有：a＞0，b＜0，c＜0，a+b+c＜0，a-b+c＞0等．。
七年级数形结合知识点
七年级数形结合知识点七年级的数学学科主要包括数学基本概念、线性函数、数形结合、初中数学的应用等方面的学习内容。
数形结合是其中的一大重点，通过数学与几何图形之间的结合，深化学生对于数学的理解，提高数学水平。
本文将从数形结合的定义、概念、方法等方面入手，详细介绍七年级数形结合知识点。
一、数形结合的定义数形结合是指将数学和几何图形结合起来分析、研究问题的一种数学方法。
七年级数学中的数形结合主要是在几何图形的周长、面积、体积等数量上进行数学运算，并运用代数方法解题。
数形结合要求学生掌握一些基本技能，如使用数字、公式等方法求解几何图形的周长、面积等数量。
此外，还需要学生能够熟练掌握大量的几何图形的公式，如正方形、长方形、圆等，以便运用到实际问题中去。
二、数形结合的概念数形结合主要是通过将数学的代数学与几何学相结合，使学生对于几何图形的性质和特点有更深入的认识和掌握，从而更好地运用到解决实际问题中。
通过数形结合，学生不仅可以加深对数学概念的理解，还能掌握一些数学方法，并培养逐步发展的计算习惯。
三、数形结合的方法数形结合存在与多种数学领域中，例如：代数、几何、统计学、微积分学等。
以下是数形结合在七年级数学中常见的几种方法：1、找规律找规律是解决数形结合问题中最常用的方法之一。
通过找到问题中存在的规律，使学生更快速地理解问题并进行求解。
例如：求边长为3的正方形的面积。
解法：由于正方形的面积公式为L*L，因此该问题的解答为3*3=9。
通过找到公式规律，学生能够十分快速地解出该问题。
2、代数运算代数运算是数形结合解决问题的另一种常用方法。
通过使用代数式解决问题，能够简化多项式解决问题的难度。
例如：计算边长为x的正方形的周长。
解法：由于正方形的周长公式为4L，因此该问题的解答为4x。
通过使用代数变量，学生可以更快速地解决该问题。
3、几何转换几何转换是另一种常用的数形结合方法，在解决问题时，将问题的形式进行转换，从而更容易解答。
数形结合在初中数学教学中的应用
数形结合在初中数学教学中的应用
数形结合是指在数学教学中，通过通过画图的形式，把数学中的抽象概念变成直观的
图形，达到加深学生对数学知识的理解和记忆，提高数学应用能力的教学方法。
在初中数
学教学中，数形结合具有以下优点。
一、提高学生的学习兴趣
二、加深学生的理解和记忆
通过图形的呈现，学生们可以更直观地看到数学知识的本质和特点，有助于加深对知
识的理解。
特别是在初中数学中，数学知识的逻辑性和连贯性非常重要，数形结合可以帮
助学生更好地把握数学知识的思维路径和关系，从而加深对知识的记忆。
三、提高数学应用能力
数学中的许多问题都需要学生们运用知识进行推导和解决。
而数形结合的教学方法，
能够帮助学生更好地理解各种数学问题的本质和特点，从而更灵活地运用所学知识解决实
际问题，提高数学应用能力。
四、增强交流与合作
数形结合的教学方法通常需要学生们配合老师或同学进行讲解和解答。
在这个过程中，学生们需要尽可能地将自己的想法表达清晰，同时也要注意听取他人的意见并做出合理的
反应。
这不仅有助于增强学生的交流能力和口头表达能力，还能够增强学生的合作精神和
团队意识。
五、适用范围广泛
数形结合的教学方法适用范围非常广泛。
无论是初中数学中的几何、代数等方面，还
是高中数学中的微积分、概率论等方面，都可以采用数形结合的教学方法，增强学生的理
解和记忆，提高数学应用能力。
总之，数形结合是一种有效的数学教学方法，在初中数学教学中具有不可替代的作用。
教师应该充分借助数形结合的教学方法，为学生们带来更生动、直观和有趣的数学学习体验。
初中代数教学中的数形结合思想
初中代数教学中的数形结合思想数形结合思想是指通过数学符号和图形的相互转换，来帮助学生理解和解决数学问题的思维方式。
在初中代数教学中，数形结合思想可以帮助学生从图形的角度去理解代数表达式和方程式，通过代数符号的运算，也能够进一步推导和验证图形的性质和关系。
下面，我将就初中代数教学中的数形结合思想进行详细的阐述。
一、数形结合思想的基本理念数形结合思想是一种将抽象的代数符号与具体的图形形象相结合的学习方法。
通过将代数符号与具体的图形形象相对应，可以让学生更加直观地理解和解决问题。
数形结合思想的基本理念如下：2. 图形能够验证代数的推理。
通过对图形的观察和推理，可以验证代数的推理过程是否正确。
通过代数符号的运算，也可以推导和验证图形的性质和关系。
3. 数形结合思想是数学思维的重要组成部分。
数形结合思想能够激发学生的思维，培养学生的数学思维能力和解决问题的能力。
通过数形结合思想，学生可以从不同的角度去理解和解决问题，培养学生的创造性思维。
1. 代数表达式与图形的转换在初中代数教学中，数形结合思想可以用于将代数表达式的含义转化为具体的图形形象。
学生可以通过画图的方式来理解和解释代数表达式的含义。
对于表达式2x+3，学生可以将x代表未知数，在坐标平面上画出直线y=2x+3，并通过图形的位置和斜率来解释和理解表达式的含义。
2. 图形的性质和关系的解释和验证数形结合思想也可以用于解释和验证图形的性质和关系。
在讲解线段、角、三角形等几何概念时，可以通过代数符号的运算来推导和验证图形的性质和关系。
对于两条平行线的性质，可以通过代数的角度来解释和验证其性质。
3. 解方程式的几何解释4. 几何问题的代数求解数形结合思想在初中代数教学中还可以用于几何问题的代数求解。
对于一道求解三角形面积的问题，可以通过代数的角度来求解。
通过将三角形的底和高表示为代数表达式，将其带入面积公式中，可以求解出三角形的面积。
2. 不足：数形结合思想在初中代数教学中也存在一定的不足之处。
初中数学教学中数形结合思想的应用方法
初中数学教学中数形结合思想的应用方法在初中数学教育中，数学与几何几乎是无法分割的，随着近年来我国数学教育改革的不断推行，数学教育也逐渐呈现出多元化的特点，经常将数学知识与实际生活和社会实践相结合，培养学生的实践动手能力和创造思维，让学生能够将抽象的数学知识结合实际认识和学习。
本篇论文旨在探讨初中数学教学中数形结合思想的应用方法，提供一些具体事例，帮助初中数学教师更好地教授数学知识。
一、数形结合思想的含义数形结合是将数学理论与几何理论有机结合起来，形成新的数学思考方式。
具体而言，它指的是在使用极限、微积分等数学方法论的基础上，应用几何理论将数学问题展现在空间中，因此可以对这些数学问题进行可视化、贴切地阐述和解答，且数学问题与几何模型相结合往往能够使数学理论更加实际和具体化，让学生深入理解和掌握数学知识。
二、数形结合思想的应用方法1.利用数学知识探究实际问题对于许多实际问题，数学是解决问题的重要基石，例如评估地震的震级，研究地壳运动规律等等。
因此，教师可以通过选取与生活实际有关的问题，在数学课堂中将知识与实践相结合，提升学生学科知识的综合应用能力。
比如教师可以选取一个与地震灾害有关的课题，探究地震波的传输速度。
学生们可以通过理论计算、观察现象，发现地震波传输速度与地质岩石的性质有关，尝试建立一个准确的数学模型来预测地震波传输的速度，从而更深刻地了解和掌握数学知识。
2.利用几何形态分析证明数学原理在几何学中，形态分析是一种将几何形态与数学原理相结合、用形态进行证明的基本方法。
例如，几何学中最基本的概念是圆周，通过加深圆周的意义，将圆周进行反复的切割、旋转、等分，可以逐渐展示出圆周长的公式πr^2，从而帮助学生更好地掌握圆周及其公式。
又如，教师可带领学生通过几何形态证明勾股定理。
可以用由a和b的边长围成的正方形被分割成两个边长相等的小正方形以及由边长c的直角三角形和两个四边形环形组成的大正方形表述和说明。
浅谈初中数学解题技巧之数形结合
浅谈初中数学解题技巧之数形结合一、认识数形结合数形结合，顾名思义就是将数学问题中的数字和图形结合起来进行分析和解答。
在很多初中数学题中，都需要通过数形结合的方式来进行解题，比如几何题、函数图像题等。
通过观察图形、抽象数据和数学关系的联系，可以更清晰地理解问题并找到解决问题的方法。
二、数形结合的应用2. 函数图像题在解决函数图像题时，数形结合也是非常重要的。
通过观察函数的图像和计算函数的关系式，可以更好地理解函数的性质和图像的特点。
求解函数的解析式、函数的增减性、最值等问题，都需要通过观察图形和计算数据来进行解答。
在这种情况下，数学问题中的函数图像和关系式是相辅相成的，通过它们的结合可以更好地理解和解决问题。
1. 提高问题理解能力通过数形结合的方式，可以更清晰地理解问题并找到解决问题的方法。
通过观察图形和计算数据，可以更好地理解数学问题中的各种性质和关系，从而提高问题的理解能力。
3. 培养数学思维通过数形结合的方式，可以培养学生的数学思维。
在解题过程中，需要通过观察图形和计算数据来进行分析和思考，从而培养学生的思维能力。
四、数形结合的学习方法1. 多观察图形学生在解题时，需要多观察图形，理解图形的性质和特点，并通过图形去理解问题。
3. 多练习题目学生在学习数学时，需要多练习各种类型的数学题，尤其是需要数形结合的题目，从而熟练掌握数形结合的解题方法和技巧。
4. 多总结经验学生在学习数形结合的解题方法和技巧时，需要多总结经验，找到适合自己的解题方法和技巧，从而提高解题效率和质量。
五、结语数形结合是初中数学解题中常见且有效的方法，通过观察图形和计算数据的结合，可以更好地理解和解决数学问题。
学生在学习数学时，需要灵活运用数形结合的方式进行解题，从而提高解题的能力和水平。
希望通过本文的介绍和讨论，可以帮助学生更好地掌握数形结合的解题方法和技巧，提高数学学习的效果。
部编数学七年级上册培优专题01借助数轴将数与形结合解析版含答案
答卷时应注意事项１、拿到试卷，要认真仔细的先填好自己的考生信息。
２、拿到试卷不要提笔就写，先大致的浏览一遍，有多少大题，每个大题里有几个小题，有什么题型，哪些容易，哪些难，做到心里有底；３、审题，每个题目都要多读几遍，不仅要读大题，还要读小题，不放过每一个字，遇到暂时弄不懂题意的题目，手指点读，多读几遍题目，就能理解题意了；容易混乱的地方也应该多读几遍，比如从小到大，从左到右这样的题；４、每个题目做完了以后，把自己的手从试卷上完全移开，好好的看看有没有被自己的手臂挡住而遗漏的题；试卷第１页和第２页上下衔接的地方一定要注意，仔细看看有没有遗漏的小题；５、中途遇到真的解决不了的难题，注意安排好时间，先把后面会做的做完，再来重新读题，结合平时课堂上所学的知识，解答难题；一定要镇定，不能因此慌了手脚，影响下面的答题；６、卷面要清洁，字迹要清工整，非常重要；７、做完的试卷要检查，这样可以发现刚才可能留下的错误或是可以检查是否有漏题，检查的时候，用手指点读题目，不要管自己的答案，重新分析题意，所有计算题重新计算，判断题重新判断，填空题重新填空，之后把检查的结果与先前做的结果进行对比分析。
亲爱的小朋友，你们好!经过两个月的学习，你们一定有不小的收获吧，用你的自信和智慧，认真答题，相信你一定会闯关成功。
相信你是最棒的！培优专题01 借助数轴将数与形结合【专题精讲】在数学里“数”和“形”是有密切联系的,我们常用代数的方法来处理几何问题;反过来,也借助于几何图形来处理代数问题,寻找解题思路,这种“数”与“形”之间的相互作用叫数形结合,它是一种重要的数学思想。
运用数形结合思想解题的关键是建立“数”与“形”之间的联系,现阶段数轴是数形结合的有力工具,主要体现在以下几个方面：(1)利用数轴能形象地表示有理数；(2)利用数轴能直观地解释相反数;(3)利用数轴比较有理数的大小;(4)利用数轴解决与绝对值相关的问题;(5)巧用数轴可以探究动点的规律;(6)应用数轴解决行程问题◎类型一：利用数轴比较有理数的大小解题方法：利用“数轴上的点表示的数,右边的总比左边的大”的性质把有理数表示在数轴上,由相对位置得出大小.1．（2022·陕西咸阳·七年级阶段练习）在数轴上表示：3.5，0，2.5，－1，－3，－12，并把这些数由小到大用“＜”号连接起来．2．（2021·江苏盐城·七年级期中）已知一组数：12，0 ，－3.5，3，123-．(1)把这些数在下面的数轴上表示出来：(2)请将这些数按从小到大的顺序排列（用“＜”连接）．．；（2）顺序为：113.520332--＜＜＜＜．115 3.5140 2.522+---，，，，，，，并用“<”把这些数连接起来．用“<”符号连接为：114 3.510 2.5522-<-<-<<<<+．并用“＜”号连接．根据上图可知：4025-<<<-．【点睛】本题考查在数轴上表示数，有理数的大小比较，理解数轴上表示数的意义是解题◎类型二：利用数轴表示相反数、绝对值解题方法：确定数轴上点所表示的数,首先要确定原点的位置,再根据此点在原点的左右得到其符号,根据此点到原点的距离得到绝对值。
培优专题：数形结合,正确看图、用图,借助图像思考
（2）已知关于x的方程
kx 3 x 1 2 x 1 x 2 (k 0)
有三个解，求k的取值范围。 y
解析：令y=kx+3,则， y x 1 2 x 1 x 2
y=kx+3
5A
y x 1 2 x 1 x 2 (k 0) 4
3
有3个交点。
2
y=kx+3过定点（0，3）
1
x
当y=800时，x=6 乙参与播种的天数：6-2=4（天）
另解：两天后每天播种150亩，800200=600（亩），需 600÷150=4（天）.
3 工程项目管理规划
y（亩）
800
350
200
0
N M
23
Q
x(天） 6
3、如图所示的函数图像反映的过程是：小明从家去书店，又去学校取信后马上
回家，其中x表示时间，y表示小明离他家的距离，则小明从学校回家的平均速
1、若小敏他们是一开始接水的，即前8位同学接完水，只需要2分钟，与接水 时间恰好3分钟不符合。
2、若小敏他们是在只使用一个放水笼头的情况下接水的，则需8×2÷4=4分 钟，与接水时间恰好3分钟不符合。
3、若小敏他们是在若干位同学接完水后开始接水的，
设8位同学从t分钟开始接水的， 当0<t≤2时，
由8（2-t）+4[3-(2-t)]=8×2 得t=1.
3 工程项目管理规划
C
B
O
4
12 x/h
例5、已知函数 y x 1 2 x 1 x 2
（1)在直角坐标系中在作出函数图像；
5(x 2)
y
y
2x 1(2 x 1)
4x 1(1
x
初中数学学习方法数形结合的思想
初中数学学习方法：数形结合的思想引言初中数学学习是培养学生逻辑思维、抽象思维和创造性思维的重要环节。
数学是一门亲和力强的学科，但对许多初中生来说，数学学习常常是一种枯燥乏味的过程。
因此，如何采用有效的学习方法激发学生对数学的兴趣和动力是非常重要的。
数学学习方法中，数形结合的思想是一种非常有效的策略，通过将抽象的数学概念与具体的图形形象结合起来，可以帮助学生更好地理解和记忆数学知识。
本文将介绍初中数学学习中如何运用数形结合的思想，以提高学生的数学学习效果。
什么是数形结合的思想？数形结合的思想是指将抽象的数学概念与具体的几何图形相结合，通过观察图形来认识和探究数学规律。
数形结合不仅能够帮助学生理解抽象的数学概念，还能培养学生的空间想象力和探索能力。
数形结合的思想在初中数学学习中有着广泛的应用，例如在代数、几何等方面均可使用。
它既可以帮助学生理解数学中的抽象概念，又能够使学生在解决问题时能够更加灵活地运用数学知识。
数形结合在代数学习中的应用图示解方程在初中代数学习中，我们常常需要解一元一次方程，数形结合的思想可以帮助我们更好地理解方程的解法。
例如，给定方程2x + 3 = 7，我们可以通过绘制一个与此方程有关的图形来解决问题。
我们可以将2x + 3的值表示为一个线段的长度，将7表示为另一个线段的长度，通过观察这两个线段的关系，我们可以找到使它们相等的x的值。
这样的图形可以让学生更加直观地理解方程的解，从而提高解方程的效率和准确性。
求解平方根在学习求解平方根时，数形结合的思想同样可以帮助学生理解平方根的性质和求解的方法。
例如，给定一个正实数x，我们可以通过绘制一个正方形和一个边长为x的正方形，在这个过程中可以观察到正方形的面积和边长x之间的关系。
通过这种观察，我们可以发现，正方形的面积等于边长的平方，从而引出平方根的概念。
这样的图形可以帮助学生更好地理解平方根的概念和求解方法，提高对平方根的掌握程度。
数形结合在几何学习中的应用几何图形的性质数形结合的思想在学习几何的基本概念和性质时起着关键作用。
初中数学思想方法篇——数形结合
解题思想之数形结合一、注解：数形结合思想指将数量与图形结合起来，对题目中的给定的题设和结论既进行代数方面的分析，又从几何含义方面进行分析，将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，使抽象思维与形象思维相结合，也可以使图形的性质通过数量之间的计算与分析，达到更加完整、严密和准确。
在解决数学问题的过程时要善于由形思数，由数思形，数形结合，通过数量与图形的转化，把数的问题利用图形直观的表示出来，力图找到解题思路。
数形结合是数学学习的一个重要方法，通常与平面直角坐标系，数轴及其他数学概念同时使用。
二、实例运用：1.在实数中的运用【例1】如图，在所给数轴上表示出实数—3，—1，2-的点，并把这组数从小到大用“＜”连接。
【例2】已知a＜0，b＜0，且a＜b，则（）A —b＞—aB —b＞aC —a ＞bD b＞a2.在不等式中的运用【例3】不等式组2030xx-⎧⎨-≥⎩的正整数解的个数为（）A 1个B 2个C 3个D 4个【例4】关于x的不等式组521xx a-≥-⎧⎨-⎩无解，则a的取值范围是。
3.在方程（组）中的运用【例5】利用图像法解方程组24212x yx y-=⎧⎨+=⎩4.在函数中的运用【例6】某水电站的蓄水池有2个进水口和1个出水口，每个进水口进水量与时间的关系如图甲所示，出水口出水量与时间的关系如图乙所示。
已知某天0点到6点进行机组试运行，试机时至少打开一个水口，且该水池的蓄水量与时间的关系如图丙所示。
给出三个判断：（1）0点到3点，只进水不出水；（2）3点到4点，不进水只出水；（3）4点到6点，不进水不出水。
则以上判断正确的是（）A （1）B （2）C （2）（3）D （1）（2）（3）【例7】已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则在（1）a＜0,（2）b＞0（3）c＜0（4）b2-4ac＞0中，正确的判断是（）A （1）（2）（3）（4）B （4）C（1）（2）（3）D（1）（4）5.在统计与概率中的运用【例8】近年来，某市旅游业蓬勃发展，吸引了大批海内外游客前来观光，下面两图分别反映了该市2001—2004年旅客总人数和旅游业总收入的情况。
初一数学培优之数形结合
初一数学培优之数形结合阅读与思考数学是研究数和形的学科，在数学里数和形是有密切联系的，我们常用代数的方法来处理几何问题；反过来，也借助与几何图形来处理代数问题，寻找解题思路，这种数与形之间的相互作用叫数形结合，是一种重要的数学思想．运用数形结合思想解题的关键是建立数与形之间的联系，现阶段数轴是数形结合的有力工具，主要体现在一下几个方面：1．利用数轴能形象地表示有理数； 2．利用数轴能直观地解释相反数； 3．利用数轴比较有理数的大小；4．利用数轴解决与绝对值相关的问题．例题与求解【例1】 已知数轴上有A ，B 两点，A ，B 之间的距离为1，点A 与原点O 的距离为3，那么所有满足条件的点B 与原点O 的距离之和等于_____________．（北京市“迎春杯”竞赛试题）解题思路：确定A ，B 在数轴上的位置，求出A ，B 两点所表示的有理数．【例2】 在数轴上和有理数c b a ,,对应的点的位置如图所示．有下面四个结论：①0<abc ，②c a c b b a -=-+-，③0))()((>---a c c b b a ，④bc a -<1，其中，正确的结论有（ ）个．A ．4B ．3C ．2D ．1（“希望杯”邀请赛试题）解题思路：从数轴上得到101<<<<-<c b a ，再对代数式进行逐以一判断．【例3】 如图所示，已知数轴上点C B A ,,所对应的数c b a ,,都不为0，且C 是AB 的中点．如果0222=-+--+--+c b a c b c a b a ，试确定原点O 的大致位置．解题思路：从化简等式入手，而2ba c +=是解题的关键．【例4】 （1）阅读下面材料：点B A ,在数轴上分别表示实数,,b a B A ,两点之间的距离表示为AB ．当B A ,两点中有一点在原点时，当A 、B 两点都不在原点时，①如图2，点A 、B 都在原点的右边|AB |＝|OB |－|OA |＝|b |－|a |＝b －a ＝|a －b |；②如图3，点A 、B 都在原点的左边，|AB |＝|OB |－|OA |＝|b |－|a |＝b －a ＝|a －b |；③如图4，点A 、B 在原点的两边，|AB |＝|OB |－|OA |＝|b |－|a |＝－b －（－a ）＝|a －b |； 综上，数轴上A 、B 两点之间的距离|AB |＝|a －b |． （2）回答下列问题：①数轴上表示2和5的两点之间的距离是_________，数轴上表示－2和－5的两点之间的距离是______________，数轴上表示1和－3的两点之间的距离是________________； ②数轴上表示x 和－1的两点A 和B 之间的距离是______________，如果|AB |＝2，那么x 为_________； ③当代数式|x ＋1|十|x －2|取最小值时________，相应的x 的取值范围是___________．④求1997...321-++-+-+-x x x x 的最小值．（江苏省南京市中考试题）解题思路：通过观察图形，阅读理解代数式b a -所表示的意义，来回答所提出的具体问题．【例5】 某城市沿环形路有五所小学，依次为一小、二小、三小、四小、五小，它们分别有电脑15，7，11，3，14台，现在为使各校电脑台数相等，各调几台给邻校，现规定一小给二小，二小给三小，三小给四小，四小给五小，五小给一小，要使电脑调动台数最小，应该做怎样的安排？（湖北省荆州市竞赛试题）解题思路：通过设未知数，把调动的电脑台数用相关代数式表示出来．解题的关键是怎样将实际问题转化为求n a x a x a x y -+•••+-+-=21的最小值．【例6】 如图，A 是数轴上表示－30的点，B 是数轴上表示10的点，C 是数轴上表示18的点，点C B A ,,在数轴上同时向正方向运动．点A 运动的速度是6个单位长度/秒，点B 和点C 运动的速度是3个单位长度/秒．设三个点运动的时间为t （秒）． （1）当t 为何值时，线段AC ＝6（单位长度）？（2）t ≠5时，设线段OA 的中点为P ，线段OB 的中点为M ，线段OC 的中点为N ，求2PM －PN ＝2时t 的值．（湖北省荆州市竞赛试题）解题思路：（1）C B A ,,三点在数轴上同时向正方向运动，分别当A 点运动到C 点左侧和右侧两种情况来分析求解．（2）先将N M P ,,三个点在数轴上表示的数分别写出来，因点M 始终在点N 左侧，则分为“点P 在N M ,左边”，“点P 在N M ,之间”，“点P 在N M ,右边”三种情况来求解．能力训练A 级1．已知数轴上表示负数有理数m 的点是点M ，那么在数轴上与点M 相距m 个单位的点中，与原点距离较远的点对应的数是______________．（江苏省竞赛试题）2．如果数轴上点A 到原点的距离为3，点B 到原点的距离为5，那么B A ,两点的距离为______________．3．点B A ,分别是数3-，21-在数轴上对应的点，使线段AB 沿数轴向右移动到''B A 的中点对应数3，则点'A 对应的数是________________，点A 移动的距离是____________．（“希望杯”邀请赛试题）4．已知0>a ，0<b 且0<+b a ，那么有理数b a b a ,,,-的大小关系是_________________________．（用“＜”号连接）（北京市“迎春杯”竞赛试题）5．在数轴上任取一条长度为911999的线段，则此线段在数轴上最多能盖住的整数点的个数是（ ）． A ．1998 B ．1999 C ．2000 D ．2001（重庆市竞赛试题）6．如图，b a ,为数轴上的两点表示的有理数，在a b b a a b b a ---+,,2,中，负数的个数有（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4（“祖冲之”邀请赛试题）7．有理数c b a ,,在数轴上的位置如图所示，式子c b b a b a -++++化简结果为（ ）． A ．c b a -+32 B ．c b -3 C ．c b + D ．b c -8．如图所示，在数轴上有六个，且EF DE CD BC AB ====，则与点C 所表示的数最接近的整数是（ ）．A ．－1B ．0C ．1D ．2（“希望杯”邀请赛试题）9．已知d c b a ,,,为有理数，在数轴上的位置如图所示：且64366====d c b a ，求c b a b d a -+---22323的值．10．电子跳蚤落在数轴上的某点o K ，第一步从o K 向左挑一个单位到1K ，第二步由1K 向右跳2个单位到2K ，第三步由2K 向左跳3个单位到3K ，第四步由3K 向右跳4个单位到4K ，…，按以上规律跳了100步时，电子跳蚤落在数轴上的点100K 所表示的数恰是19.94．则电子跳蚤的初始位置o K 点所表示的数是_________________．11．如图，已知B A ,分别为数轴上两点，A 点对应的数为－20，B 点对应的数为100． （1）求过B A ,中点M 对应的数．（2）现有一只电子蚂蚁P 从B 点出发，以6个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q 恰好从A 点出发，以4个单位/秒的速度向右运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的C 点相遇，求C 点对应的数．（3）若当电子蚂蚁P 从B 点出发时，以6个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q 恰好从A点出发，以4单位/秒的速度也向左运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的D 点相遇，求D 点对应的数．B 级1．有理数c b a ,,在数轴上的位置如图所示：则化简c c a b b a ------+11的结果为_____________________． 2．电影＜＜哈利·波特＞＞中小哈利·波特穿墙进入“站台439”的镜头（如示意图中M 站台），构思奇妙，给观众留下深刻的印象．若B A ,站台分别位于－2，－1处，NB AN 2=，则N 站台用类似电影里的方法称为“_________________站台”（《时代学习报》数学文化节试题）3．在数轴上，若N 点与原点O 的距离是N 点与三〇若对应的点之间的距离的4倍，则N 点表示的数是_________________．（河南省竞赛试题） 4．若0,0<>b a ，则使b a b x a x -=-+-成立的x 的取值范围是__________________．（武汉市选拔赛试题）5．如图，直线上有三个不同的点C B A ,,，且BC AB ≠，那么，到C B A ,,三点距离的和最小的点为（ ）．A ．B 点外 B ．线段AC 的中点 C ．线段AC 外一点D ． 无穷多个（“希望杯”邀请赛试题）6．点)(,,,,321为正整数n A A A A n ⋅⋅⋅都在数轴上，点在原点O 的左边，且11=O A ，点2A 在点1A 的右边，且212=A A ，点3A 在点2A 的左边，且323=A A ，点4A 在点3A 的右边，且434=A A ，•••，依照上述规律，点20092008,A A 所表示的数分别为（ ） ．A ．2008，－2009B ．－2008，2009C ．1004，－1005D ．1004，－1004（福建省泉州市中考试题）7．设11++-=x x y ，则下列四个结论中正确的是（）．A ．y 没有最小值B ．只有一个x 使y 去最小值C ．有限个x （不止一个）使y 去最小值D ．有无穷多个x 使y 取最小值（全国初中数学联赛试题）8．如图，数轴上标出若干个点，每相邻两个点相距1个单位，点D C B A ,,,对应的数分别是整数d c b a ,,,，且92=-a b ，那么数轴的原点对应点是（ ）．A ．点AB ．点BC ．点CD ．点D（“新世纪杯”广西初中数学竞赛试题） 9．已知y y x x +---=-++15912，求y x +的最大值和最小值．（江苏省竞赛试题）10．如图，在环形运输线路上有F E D C B A ,,,,,六个仓库，现有某种货物的库存量分别是50吨、84吨、80吨、70吨、55吨和45吨．要对各仓库的存货进行调整，使得每个仓库的存货量相等，但每个仓库只能相相邻的仓库调运，并使调运的总量最小．求各仓库向其他仓库的调运量．11．如图，数轴上标有12+n 个点，它们对应的整数是n n n n n ,1,2,,2,1,0,1,2,),1(,--⋅⋅⋅--⋅⋅⋅---．为了确保从这些点中可以取出2006个，使任何两个点之间的距离都不等于4．求n 的最小值．（“华罗庚金杯”少年邀请赛试题）。
初中生利用数形结合思想数学解题能力的培养分析共3页文档
初中生利用数形结合思想数学解题能力的培养分析数形结合的方法是求解初中数学题目较为常用的解题思路，其中“数”指的是代数，“形”指的是几何，二者都为初中数学知识的重点内容，并且存在密切的关联。
在求解数学题目时，可以借助“形”对“数”的知识点进行直观理解，借助“数”对“形”的内容更深入的掌握。
所以，作为初中数学老师，应指导学生借助数形结合的思想提高解题能力。
以下简要针对其相关内容进行探讨，仅供参考。
一、在初中数学课程中引入数形结合思想的重要意义随着新课改的深入，教学观念及方法发生了较大的转变，在新课程标准中提出：不但需要指导学生掌握基础的数学知识、技巧，同时还需要培养学生的问题思考、处理能力，并且让学生可以利用学习过的知识解决生活中的问题。
这也就需要教师利用大量的实际例子将较为抽象的数学内容变得具体、想象，帮助学生进行理解。
然而当前，很多学生能够正确求解课本中的习题，然而却并不了解解题思路，仅按照模式进行计算，如果题目出现变化，学生就会感觉无从入手。
当前，很多学生在求解习题时经常发生数、形分离的问题，仅关注数或者注意形，没有将二者联系起来，从而解题结果出现错误。
对于数形结合来讲，其是一种十分关键的解题思想，也是解题方法。
借助数形结合，能够将数、形的特点全面发挥出来，由不同的角度对题目进行细致分析，有助于增强学生们的解题水平。
因此，作为初中数学老师，利用数形结合的思想培养学生们的解题能力具有十分重要的意义。
二、利用数形结合的思想提高学生解题能力的措施1.利用数形结合的思想培养学生解决不等式题目的能力在求解有理数相关的题目时，引入数形结合思想能够帮助学生更准确的解决习题。
因为在数轴上，每个有理数都有其特定的位置，所以，在学生遇到比较有理数的题目时，就可以通过有理数在数轴上的位置关系进行对比，同样，绝对值、相反数等题目也可以借助此方法进行教学。
例如：现有在数轴上存在实数a、b点，对应位置如下图所示，则分别比较a、-a、b、-b的大小。
初中数形结合教案
初中数形结合教案一、教学目标1. 让学生理解数形结合的概念，认识到数形结合在数学问题解决中的重要性。
2. 培养学生运用数形结合思想解决问题的能力，提高学生的数学思维水平。
3. 通过数形结合的教学，激发学生的学习兴趣，提高学生对数学学科的热爱。
二、教学内容1. 数形结合的概念及意义2. 数形结合在初中数学教学中的应用案例3. 数形结合思想的培养策略三、教学过程1. 导入：通过一个简单的数学问题，引导学生思考如何将数与形结合起来解决问题。
2. 讲解：详细介绍数形结合的概念，解释数形结合在数学问题解决中的作用。
3. 案例分析：选取几个典型的初中数学问题，引导学生运用数形结合思想进行解决。
4. 讨论：让学生分享自己在解决问题时运用数形结合思想的体验，讨论数形结合思想的培养策略。
5. 练习：布置一些练习题，让学生运用数形结合思想进行解答。
6. 总结：对本节课的内容进行总结，强调数形结合思想在数学学习中的重要性。
四、教学方法1. 讲授法：讲解数形结合的概念、意义及应用案例。
2. 引导法：引导学生思考、讨论，培养学生运用数形结合思想解决问题的能力。
3. 实践法：让学生在练习中运用数形结合思想，提高解题能力。
五、教学评价1. 课堂参与度：观察学生在课堂上的发言、讨论情况，评价学生对数形结合思想的掌握程度。
2. 练习题解答情况：分析学生解答练习题的方法，评价学生运用数形结合思想解决问题的能力。
3. 学生反馈：收集学生对数形结合教学的意见和建议，不断优化教学方法。
六、教学资源1. 教材：选用符合新课程标准的初中数学教材。
2. 课件：制作生动、形象的课件，帮助学生更好地理解数形结合思想。
3. 练习题：挑选一些具有代表性的练习题，让学生在实践中掌握数形结合思想。
4. 教学视频：为学生提供一些数形结合思想在实际问题中应用的视频资料，帮助学生更好地理解数形结合的意义。
通过本节课的教学，使学生认识到数形结合思想在数学问题解决中的重要性，培养学生运用数形结合思想解决问题的能力，提高学生的数学思维水平。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
阅读与思考
数学是研究数和形的学科，在数学里数和形是有密切联系的，我们常用代数的方法来处理几何问题； 反过来，也借助与几何图形来处理代数问题，寻找解题思路，这种数与形之间的相互作用叫数形结合， 是一种重要的数学思想．
运用数形结合思想解题的关键是建立数与形之间的联系，现阶段数轴是数形结合的有力工具，主要 体现在一下几个方面：
11．如图，数轴上标有 2n 1个点，它们对应的整数是 n,(n 1),,2,1,0,1,2,, n 2, n 1, n ．为 了确保从这些点中可以取出 2006 个，使任何两个点之间的距离都不等于 4．求 n 的最小值．
（“华罗庚金杯”少年邀请赛试题）
是（
）．
A．－1
B．0
C．1
D．2
（“希望杯”邀请赛试题）
9．已知 a, b, c, d 为有理数，在数轴上的位置如图所示：
且 6 a 6b 3c 4 d 6 ，求 3a 2d 3b 2a 2b c 的值．
10．电子跳蚤落在数轴上的某点 Ko ，第一步从 Ko 向左挑一个单位到 K1 ，第二步由 K1 向右跳 2 个单位 到 K2 ，第三步由 K2 向左跳 3 个单位到 K3 ，第四步由 K3 向右跳 4 个单位到 K4 ，…，按以上规律跳了 100 步时，电子跳蚤落在数轴上的点 K100 所表示的数恰是 19.94．则电子跳蚤的初始位置 Ko 点所表示的
数是_________________．
11．如图，已知 A, B 分别为数轴上两点， A 点对应的数为－20， B 点对应的数为 100． （1）求过 A, B 中点 M 对应的数． （2）现有一只电子蚂蚁 P 从 B 点出发，以 6 个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁 Q 恰好从 A 点出发，以 4 个单位/秒的速度向右运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的 C 点相遇，求 C 点对应的数． （3）若当电子蚂蚁 P 从 B 点出发时，以 6 个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁 Q 恰好从 A
点出发，以 4 单位/秒的速度也向左运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的 D 点相遇，求 D 点对应的数．
B级
1．有理数 a, b, c 在数轴上的位置如图所示：
则化简 a b b 1 a c 1 c 的结果为_____________________．
2．电影＜＜哈利·波特＞＞中小哈利·波特穿墙进入“ 9 3 站台”的镜头（如示意图中 M 站台），构 4
④求 x 1 x 2 x 3 ... x 1997 的最小值．
（江苏省南京市中考试题）
解题思路：通过观察图形，阅读理解代数式 a b 所表示的意义，来回答所提出的具体问题．
【例 5】 某城市沿环形路有五所小学，依次为一小、二小、三小、四小、五小，它们分别有电脑 15，7，11，3，14 台，现在为使各校电脑台数相等，各调几台给邻校，现规定一小给二小，二小给三小， 三小给四小，四小给五小，五小给一小，要使电脑调动台数最小，应该做怎样的安排？
（湖北省荆州市竞赛试题） 解题思路：通过设未知数，把调动的电脑台数用相关代数式表示出来．解题的关键是怎样将实际问
题转化为求 y x a1 x a2 ••• x an 的最小值．
【例 6】 如图， A 是数轴上表示－30 的点，B 是数轴上表示 10 的点，C 是数轴上表示 18 的点， 点 A, B,C 在数轴上同时向正方向运动．点 A 运动的速度是 6 个单位长度/秒，点 B 和点 C 运动的速度是
则点 A' 对应的数是________________，点 A 移动的距离是____________．
（“希望杯”邀请赛试题）
4．已知 a 0 ，b 0 且 a b 0 ，那么有理数 a,b,a, b 的大小关系是_________________________．（用
“＜”号连接）
（北京市“迎春杯”竞赛试题）
解题思路：从化简等式入手，而 c a b 是解题的关键． 2
【例 4】 （1）阅读下面材料：
点 A, B 在数轴上分别表示实数 a, b, A, B 两点之间的距离表示为 AB ．当 A, B 两点中有一点在原点
时， 当 A、B 两点都不在原点时， ①如图 2，点 A、B 都在原点的右边|AB|＝|OB|－|OA|＝|b|－|a|＝b－a＝|a－b|； ②如图 3，点 A、B 都在原点的左边，|AB|＝|OB|－|OA|＝|b|－|a|＝b－a＝|a－b|；③如图 4，点 A、 B 在原点的两边，|AB|＝|OB|－|OA|＝|b|－|a|＝－b－（－a）＝|a－b|； 综上，数轴上 A、B 两点之间的距离|AB|＝|a－b|． （2）回答下列问题： ①数轴上表示 2 和 5 的两点之间的距离是_________，数轴上表示－2 和－5 的两点之间的距离是 ______________，数轴上表示 1 和－3 的两点之间的距离是________________； ②数轴上表示 x 和－1 的两点 A 和 B 之间的距离是______________，如果|AB|＝2，那么 x 为_________； ③当代数式|x＋1|十|x－2|取最小值时________，相应的 x 的取值范围是___________．
离较远的点对应的数是______________．
（江苏省竞赛试题）
2．如果数轴上点 A 到原点的距离为 3，点 B 到原点的距离为 5，那么 A, B 两点的距离为______________．
3．点 A, B 分别是数 3 ， 1 在数轴上对应的点，使线段 AB 沿数轴向右移动到 A'B' 的中点对应数 3， 2
C．3
D．4
（“祖冲之”邀请赛试题）
7．有理数 a,b, c 在数轴上的位置如图所示，式子 a b a b b c 化简结果为（ ）． A． 2a 3b c B． 3b c C． b c D． c b
8．如图所示，在数轴上有六个，且 AB BC CD DE EF ，则与点 C 所表示的数最接近的整数
D． D点
（“新世纪杯”广西初中数学竞赛试题）
9．已知 x 2 1 x 9 y 5 1 y ，求 x y 的最大值和最小值．
（江苏省竞赛试题）
10．如图，在环形运输线路上有 A, B,C, D, E, F 六个仓库，现有某种货物的库存量分别是 50 吨、84 吨、
80 吨、70 吨、55 吨和 45 吨．要对各仓库的存货进行调整，使得每个仓库的存货量相等，但每个仓库只 能相相邻的仓库调运，并使调运的总量最小．求各仓库向其他仓库的调运量．
3 个单位长度/秒．设三个点运动的时间为 t（秒）． （1）当 t 为何值时，线段 AC＝6（单位长度）？ （2）t≠5 时，设线段 OA 的中点为 P，线段 OB 的中点为 M，线段 OC 的中点为 N，求 2PM－PN＝2 时 t 的值．
（湖北省荆州市竞赛试题）
解题思路：（1） A, B, C 三点在数轴上同时向正方向运动，分别当 A 点运动到 C 点左侧和右侧两
是_________________． （河南省竞赛试题）
4．若 a 0,b 0 ，则使 x a x b a b 成立的 x 的取值范围是__________________．
（武汉市选拔赛试题）
5．如图，直线上有三个不同的点 A, B,C ，且 AB BC ，那么，到 A, B,C 三点距离的和最小的点为（
B．只有一个 x 使 y 去最小值 D．有无穷多个 x 使 y 取最小值
（全国初中数学联赛试题）
8．如图，数轴上标出若干个点，每相邻两个点相距 1 个单位，点 A, B,C, D 对应的数分别是整数 a, b, c, d ， 且 b 2a 9，那么数轴的原点对应点是（ ）．
A． A点
B． B点
C． C点
有（ ）个．
A．4
B．3
C．2
D．1
（“希望杯”邀请赛试题）
解题思路：从数轴上得到 a 1 0 b c 1 ，再对代数式进行逐以一判断．
【例 3】 如图所示，已知数轴上点 A, B,C 所对应的数 a, b, c 都不为 0，且 C 是 AB 的中点．如 果 a b a 2c b 2c a b 2c 0，试确定原点 O 的大致位置．
种情况来分析求解．
（2）先将 P, M , N 三个点在数轴上表示的数分别写出来，因点 M 始终在点 N 左侧，则分为“点 P
在 M , N 左边”，“点 P 在 M , N 之间”，“点 P 在 M , N 右边”三种情况来求解．
能力训练
A级
1．已知数轴上表示负数有理数 m 的点是点 M ，那么在数轴上与点 M 相距 m 个单位的点中，与原点距
照上述规律，点 A2008 , A2009 所表示的数分别为（
）．
A．2008，－2009 B．－2008，2009 C．1004，－1005 D．1004，－1004 （福建省泉州市中考试题）
7．设 y x 1 x 1 ，则下列四个结论中正确的是（ ）．
A． y 没有最小值 C．有限个 x （不止一个）使 y 去最小值
（北京市“迎春杯”竞赛试题） 解题思路：确定 A，B 在数轴上的位置，求出 A，B 两点所表示的有理数．
【例 2】 在数轴上和有理数 a, b, c 对应的点的位置如图所示．有下面四个结论：
① abc 0 ，② a b b c a c ，③ (a b)(b c)(c a) 0 ，④ a 1 bc ，其中，正确的结论
）．
A． B 点外
B．线段 AC 的中点 C．线段 AC 外一点
D． 无穷多个 （“希望杯”邀请赛试题）
6．点 A1, A2 , A3,, An (n为正整数 ) 都在数轴上，点在原点 O 的左边，且 A1O 1，点 A2 在点 A1 的右
边，且 A2 A1 2 ，点 A3 在点 A2 的左边，且 A3 A2 3 ，点 A4 在点 A3 的右边，且 A4 A3 4 ， • • • ，依