立体几何中的最值问题(一)

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立体几何中的最值问题（一）

立体几何主要研究空间中点、线、面之间的位置关系，与空间图形有关的线段、角、体积等最值问题常

常在试题中出现。下面举例说明解决这类问题的常用方法。

一、运用变量的相对性求最值

例1. 在正四棱锥S-ABCD 中，SO⊥平面ABCD 于O，SO=2，底面边长为，点P、Q 分别在线

段BD、SC 上移动，则P、Q 两点的最短距离为（）

A. B. C. 2 D. 1

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解析：如图1，由于点P、Q 分别在线段BD、SC 上移动，先让点P 在BD 上固定，Q 在SC 上移动，

当OQ 最小时，PQ 最小。过O 作OQ⊥SC，在Rt△SOC 中，OQ = 中。又P 在BD 上运动，且当

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P 运动到点O 时，PQ 最小，等于OQ 的长为，也就是异面直线BD 和SC 的公垂线段的长。故选B。

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图 1

二、定性分析法求最值

例2. 已知平面α//平面β，AB 和CD 是夹在平面α、β之间的两条线段。AB⊥CD，AB=3，直线AB 与平面α成30°角，则线段CD 的长的最小值为。

解析：如图2，过点B 作平面α的垂线，垂足为O，连结AO，则∠BAO=30°。过B 作BE//CD 交平

面α于E，则BE=CD。连结AE，因为AB⊥CD，故AB⊥BE。则在Rt△ABE 中，BE=AB·tan∠BAE≥AB·tan ∠BAO=3·tan30°= 。故CD ≥。

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图 2

三、展成平面求最值

例 3. 如图 3-1，四面体 A-BCD 的各面都是锐角三角形，且 AB=CD=a ，AC=BD=b ，AD=BC=c 。平面α分别截棱 AB 、BC 、CD 、DA 于点 P 、Q 、R 、S ，则四边形 PQRS 的周长的最小值是（

）

A. 2a

B. 2b

C. 2c

D. a+b+c

图 3-1

解析：如图 3-2，将四面体的侧面展开成平面图形。由于四面体各侧面均为锐角三角形，且 AB=CD ， AC=BD ，AD=BC ，所以，A 与 A’、D 与 D’在四面体中是同一点，且 AD

// BC // A ' D ' ， AB // CD '，

A 、C 、A’共线，D 、

B 、D’共线， AA ' = DD ' = 2BD 。又四边形 PQRS 在展开图中变为折线 S’PQRS ， S’与 S 在四面体中是同一点。因而当 P 、Q 、R 在 S’S 上时， S ' P + PQ + QR + RS 最小，也就是四边形 PQRS 周长最小。又 S ' A = SA '，所以最小值 L = SS ' = DD ' = 2BD = 2b 。故选 B 。

图 3-2

四、利用向量求最值

例 4. 在棱长为 1 的正方体 ABCD-EFGH 中，P 是 AF 上的动点，则 GP+PB 的最小值为 。

2x 2 - 4x +

3 (x - 1)2

+ 0 - ⎝ ⎛ ⎪ 2 ⎭ 2 ⎫2 2 1 + 2

2 2 + 2 2 解析：以 A 为坐标原点，分别以 AB 、AD 、AE 所在直线为 x ，y ，z 轴，建立如图 4 所示的空间直角

→

坐标系， 则 B （ 1， 0， 0）， G （ 1， 1， 1）。根据题意设 P （ x ， 0， x ）， 则 BP = (x - 1，0，x ) ， →

GP = (x - 1，- 1，x - 1) ，那么

图 4

GP + PB = +

⎛ ⎫

⎪ = ⎪ ⎪ ⎝ ⎭

式子 ⎛ 2 ⎫ + ⎛ 1 1 ⎫ 可以看成 x 轴正半轴上一点（x ，0， 0）到 xAy 平面上两点 1， ，0⎪ 、 ， ，0⎪ 的距离之和，其最小值为 。所以 GP+PB 的最

⎝ 2 ⎭ ⎝ 2 2 ⎭

小值为 ⋅ = 。

立体几何中的最值问题

一、线段长度最短或截面周长最小问题

例 1. 正三棱柱 ABC —A 1B 1C 1 中，各棱长均为 2，M 为 AA 1 中点，N 为 BC 的中点，则在棱柱的表面上从点 M 到点 N 的最短距离是多少?并求之.

2x 2 - 2x + 1

⎛ 1 ⎫2 x - + 0 - ⎝ 2 ⎭ ⎪ ⎛ 1 ⎫2 ⎝ 2 ⎭ ⎪

(x -

1)2

+ 0 - ⎝

⎛ ⎪ 2 ⎭ 2 ⎫2

⎛ 1 ⎫2 x - + 0 - ⎝ 2 ⎭ ⎪ ⎛ 1 ⎫2

⎝ 2 ⎭ ⎪ 1 + 2 2 +

AM 2 + AN 2 10 AM 2 + AN 2

- 2 A M ⋅ AN cos120︒ 12 + ( 3)2 + 2 ⨯1⨯ 3 ⨯ 1

2

4 + 3

4 + 3

10 4 + 3

(1 - CP ) 2 + BQ 2 =

解析： (1)从侧面到N ，如图1，沿棱柱的侧棱AA 1剪开，并展开，则MN ＝

＝

＝

(2) 从底面到 N 点，沿棱柱的 AC 、BC 剪开、展开，如图 2.

则 MN ＝

＝

＝

∵

＜

∴ MN min ＝

.

例 2.如图，正方形 ABCD 、ABEF 的边长都是 1,而且平面 ABCD 、ABEF 互相垂直。点 M 在 AC 上移动， 点 N 在 BF 上移动，若 CM=BN= a (0 < a <

2). （1）求 MN 的长；

（2）当 a 为何值时，MN 的长最小； （3）当 MN 长最小时，求面 MNA 与面 MNB 所成的二面角的

大小。

解析：（1）作 MP ∥AB 交 BC 于点 P ，NQ ∥AB 交 BE 于点 Q ，连接 PQ ，依题意可得 MP ∥NQ ，且MP=NQ ，即 MNQP 是平行四边形。∴MN=PQ,由已知，CM=BN=a,CB=AB=BE=1,

∴ AC = BF = CP

a BQ , , 1 2 1

a

, 即

2 CP = BQ = a , 2

∴ MN = PQ =

= = (a -

2

) 2 + 1

(0 < a < 2) 2 2

（2）由（1）知:

当a =

时，MN = 2 ，

即M , N 分别移动到AC , BF 的中点时

2

MN 的长最小，最小值为 2

2

12 + (2 +1)2

2 2

2

(1 - a ) 2 + ( a ) 2 2 2 =