正态总体均值及方差的假设检验表
8.2-0单正态假设检验
u X 0 . S/ n
拒绝域为| u | u / 2 ．查表得 u / 2 = u0.025 = 1.96 ．
由于
| u | | x 0 | 0.4 50 1.22 1.96 , s/ n 4
所以接受H0，即认为总体的均值μ=0．
147，150，149，154，152，153，148，151, 155
假设零件长度服从正态分布，问这批零件是否
合格（取 = 0.05）？
解 这里是在总体方差 2 未知的情况下，检验假设 H0： 0 150 ，H1： 150 ．
在H0成立时，检验统计量
T X 0 ~ t(n 1) .
| t | | x 0 | 1.096 2.306 .
s/ n
所以接受H0，即认为这批零件合格．
三、正态总体方差的假设检验— 2 检验
设总体 X ~ N (, 2 ) 平 ．
, (X1，X2，…，Xn)为X 的样本，给定显著性水
1．当 已知时，方差 2的假设检验
H0： 2
(5)由数据计算得x 112.8, s 1.1358
故T 112.8 112.6 0.4659 2.4469 1.1358 7
故接受H 0 ,即可认为用热敏电阻测温仪间接测量温度无系统 误差。
例2 某车间加工一种零件，要求长度为150mm， 今从一批加工后的这种零件中抽取 9 个，测得长度如 下：
2
2 (n)
或 2
2 1
2 (n)
2
2 0
2
2 0
2
2
两个正态总体的假设检验
由样本观察值算出的 F 满足
F0.95 (9 , 9) 1 3.18 F 1.95 3.18 F0.05 (9 , 9) .
可见它不落入拒绝域，因此不能拒绝原假设 H0 ：σ12 = σ22 ，
从而认为两个总体的方差无显著差异。
注意：在 μ1 与 μ2 已知时，要检验假设 H0 ：σ12 = σ22 ，其
检验方法类同均值未知的情况，此时所采用的检验统计量是：
1 n1
2
(
X
)
i 1
n1 i 1
F
1 n2
2
(
Y
)
i 2
n2 i 1
其拒绝域参看表8-5。
( 2 )单边检验可作类似的讨论。
F0.05 (n1 , n2 ) .
8-5
概率学与数理统计
体的样本，且 μ1 与 μ2 未知。现在要检验假设 H0 ： σ2 = σ02 ；
H1： σ2 ≠ σ02 。在原假设 H0 成立的条件下，两个样本方差的
比应该在1附近随机地摆动，所以这个比不能太大又不能太小。
于是我们选取统计量
S12
F 2.
S2
( 8.21 )
显然，只有当 F 接近1时，才认为有 σ12 = σ22 。
10 10 2
18
由( 8.20 )式计算得
2.063 2.059
t0
3.3 .
0.0000072 (2 10)
对于 α =0.01，查自由度为18的 t 分布表得 t 0.005( 18 )=2.878。
由于| t0|=3. 3 > t 0.005( 18 )=2.878 ，于是拒绝原假设 H0 ：μ1 = μ2 。
第二节 正态总体均值的假设检验
σ
~ N(0,1)
n
（σ 2 已知)
原假设 备择假设 检验统计量及其在 H0为真时的分布 H0 H1
=0 ≠0
X 0 T= ~ T(n 1) S n
接受域
x 0 s n
≤ tα
（σ 2未知）
2
待估参数
枢轴量及其分布 置信区间
X 0 T= ~ T(n 1) S n
( x tα
2
= 0 ≥ 0 ≤ 0
≠ 0 < 0 > 0
U=
X 0
σ
U ≥ zα
2
n
U ≤ zα
N(0,1)
U ≥ zα
未知) T 检验法 (σ2 未知) 原假设 备择假设 检验统计量及其 H0 H1 H0为真时的分布 拒绝域
= 0 ≥ 0 ≤ 0
≠ 0 < 0 > 0
X 0 T= S n ~ t(n 1)
（2）关于 σ
2
χ2检验法 的检验
拒绝域
原假设 备择假设 检验统计量及其在 H1 H0为真时的分布 H0
σ
2=σ 2 0
σ
2≠σ 2 0
χ =
2
∑(X )
i=1 i
n
χ ≤ χ (n)
2 2 1α 2
2
或 χ 2 ≥ χα2 (n)
2
σ 2≥σ 02 σ 2<σ 02
σ
2 0
~ χ (n)
2
χ ≤ χ (n)
(1) 关于均值差 1 – 2 的检验
原假设 备择假设 检验统计量及其在 H0为真时的分布 H0 H1
1 – 2 = δ 1 – 2 ≠ δ 1 – 2 ≥ δ 1 – 2 < δ 1 – 2 ≤ δ 1 – 2 > δ
正态总体方差的假设检验及应用
中国包头职大学报2008年第2期正态总体方差的假设检验及应用邢航(阜新高等专科学校，辽宁阜新123000)摘要：在生产实际及现实生活中有很多现象量的变化是呈非线性正态分布的。
而对有些正态总体问题的研究，在不可能利用总体的全部数据进行分析时，要采取从所研究的总体中随机抽取部分样本，然后通过对样本数据的分析推断总体现象的情况。
并对不同研究方法及假设所产生的差异进行检验。
文章论述亍正态总体方差的假设检验方法及部分应用。
关键词：正态分布；总体方差；假设检验；应用中图分类号：0212文献标识码：A文章编号：1671一1440(2008)02—0094—02假设检验是抽样推断中用于探讨不同研究方法之间差异产生的原因，是由抽样误差影响还是处理方法不同而引起的一种数理统计方法。
即是以样本信息推断总体特征时，产生的差异用样本统计量验证假设的统计推理方法。
在假设检验中有很多检验方法与方差有着密切的联系，下面讨论非线性正态总体方差的假设检验及有关应用问题。
一、单个正态总体方差的假设检验一x2检验设"石。
是总体随机变量工一Ⅳ(I．L，cr2)的样本的观测值，检验c r2与矗是否相等，也就是检验统计假设／／o：矿=矗是否成立。
假定总体均值“未知，检验统计量×2为：z2：堕掣(1)吒其中：．，z：苎!!二!!为c r2的估计值．n～l当d=商时，检验统计量x2服从自由度为n一1的x2分布，即：×2一x2(n一1)，若取显著性水平为d，查x2分布表得到检验临界值x2(n—1)．分双侧和单侧两种情况得结论．1．1双侧检验拒绝域为：{z2s如(一一1)}或{矿乏砬加一1)}(2)即：当不等式(2)成立时。
拒绝原假设胁。
接受域为：f《％<z2<嚷。
一I)j(3)即：当不等式(3)成立时，接受原假设风。
如图(1)z匆(n—1)碗(--t—1)图11．2单侧检验如果拒绝域分布在一侧，根据备择假设H一确定是进行右侧检验还是左侧检验。
总体均值的假设检验
总体均值的假设检验一、正态总体均值的检验设n X X X ，，， 21为总体),(２σμN 的一个容量为n 的样本． 1．方差2σ已知，μ的检验——u 检验法． 当202σσ=已知时，假设检验问题：0100μμμμ≠=：；：H H ． 选择检验统计量nX U /00σμ-=，当0H 成立时，)1,0(~N U ．给定显著性水平α，由标准正态分布分位点的定义, 有αα=>}|{|2/u U P ，故拒绝域}{}{}|{|2/2/2/αααu U u U u U W >-<=>= ，这种利用服从正态分布的检验统计量的检验方法称为u 检验法．有时我们只关心总体的均值是否增大（或减小）．比如，经过工艺改革后，产品的质量（如材料的强度）比以前是否提高，此时我们要研究的是新工艺下总体的均值μ是小于等于原来的均值0μ，还是大于0μ，即检验假设 0100μμμμ>≤：；：H H ． 可以证明，在显著性水平α下，上述假设检验问题和检验假设0100μμμμ>=：；：H H 有相同的拒绝域，因此，遇到形如00μμ≤：H 的检验问题，可归结为后一个假设检验问题讨论． 类似地，形如0100μμμμ<≥：；：H H 的检验问题， 可归结为检验假设 0100μμμμ<=：；：H H ．这都是单边检验问题．给定显著性水平α，求得的临界值点是上α分位点或上α-1分位点．例1 某厂生产的某种钢索的断裂强度X 服从),(２σμN ，其中40=σ(kg/cm 2)，现从这批钢索中抽取容量为9的样本，测得断裂强度的平均值x 较以往正常生产的μ大20(kg/cm 2)，设总体方差不变，问在1.00=α下，能否认为这批钢索质量有显著提高？解 依题意，检验假设0100μμμμ>≤：；：H H ， 由于40=σ已知，选择检验统计量nX U /0σμ-=因为0H 中的μ全部都比1H 中的μ要小，从直观上看，当0H 成立时，X 的取值x 不应比μ大很多，若偏差0μ-x 过大，则拒绝0H 而接受1H ．因为 0100μμμμ>=：；：H H 的拒绝域为}{αu U W >=， 故在显著性水平1.00=α下原假设的拒绝域为}{}{0nu X u U W σμαα+>=>=．本题中，9=n ，40=σ，200=-μx ，33.201.0=u ， 计算U 的值33.25.1/0<=-=nx u σμ因此在显著性水平1.00=α下不能拒绝0H ，即认为这批钢索质量没有显著提高．2．方差2σ未知，μ的检验——t 检验法． 检验假设0100μμμμ≠=：；：H H ．因为2σ未知，而样本方差2S 是总体方差2σ的无偏估计量，用S 代替σ． 选择检验统计量 nS X T /0μ-=，当0H 成立时，)1(~-n t T ．给定显著性水平α，由t 分布分位点的定义， 有αα=->)}1(|{|2/n t T P ，故拒绝域)}1({)}1({)}1(|{|2/2/2/->--<=->=n t T n t T n t T W ααα ， 这种利用服从t 分布的检验统计量的检验方法称为t 检验法．例2 某切割机工作正常时，切割每段金属棒的平均长度为10.5cm ．今在某段时间内随机地抽取15段进行测量，其结果如下(cm)：10.4 10.6 10.1 10.4 10.5 10.3 10.3 10.2 10.9 10.6 10.8 10.5 10.7 10.2 10.7问此段时间内该机工作是否正常(5.00=α)？假设金属棒长度服从正态分布．解 依题意，检验假设0100.510μμμμ≠==：；：H H ， 由于2σ未知，故选择检验统计量nS X T /0μ-=．在0H 下，)1(~-n t T ，15=n ．给定显著性水平5.00=α，查t 分布表， 得临界值1448.2)14()1(025.02/==-t n t α，故拒绝域)}1(|{|2/->=n t T W α．由已知条件可得48.102.15715111=⨯==∑=n i i x n x056.0784.0141)(11122=⨯=--=∑=n i ix x n s 故2366.0=s ．计算统计量的值3274.015/2366.05.1048.10/0-=-=-=ns x t μ因为)1(||2/-<n t t α，所以接受0H ，认为切割机工作正常．例3 设木材的小头直径),(~２σμN X ，12≥μcm 为合格，今抽出12根测得小头直径的样本均值为2.11=x cm ，样本方差为44.12=s cm 2，问该批木材是否合格(5.00=α)？解 依题意，检验假设010012μμμμ<=≥：；：H H ，选择检验统计量nS X T /0μ-=．在假设0100μμμμ<=：；：H H 下，)1(~-n t T ，12=n ．给定显著性水平5.00=α，查t 分布表，得临界值7959.1)11()1(05.0==-t n t α，故拒绝域)}1({--<=n t T W α，也是假设010012μμμμ<=≥：；：H H 的拒绝域． 由于2.11=x ，44.12=s ，计算统计量的值3094.212/44.1122.11/0-=-=-=ns x t μ因为)1(--<n t t α，故拒绝0H ，认为该批木材是不合格的． 二、正态总体方差的检验——2χ检验法设n X X X ，，， 21为来自总体),(２σμN 的一个样本，检验假设 20212020σσσσ≠=：；：H H ．1．均值μ已知． 因为)1,0(~N X i σμ-，n i ,,2,1 =，则选取检验统计量∑∑==-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=ni ini i XX 12201202)(1μσσμχ．当0H 成立时，)(~22n χχ，给定显著性水平α，由2χ分布表分位点的定义，有αχχχχαα=><-))}(())({(22/222/12n n P ，故得拒绝域)}({)}({22/222/12n n W ααχχχχ><=- ．2．均值μ未知．因为X 是总体均值μ的无偏估计量，用X 代替μ．选择检验统计量202122)1(σσχS n XX ni i -=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∑=． 当0H 成立时，)1(~22-n χχ，给定显著性水平α，由2χ分布表分位点的定义，有αχχχχαα=->-<-))}1(())1({(22/222/12n n P故得拒绝域)}1({)}1({22/222/12->-<=-n n W ααχχχχ ．类似地，在μ已知和μ未知时，可以求出检验假设20212020σσσσ>≤：；：H H 和20212020σσσσ<≥：；：H H的拒绝域．例如，在μ未知时，检验假设2020σσ≤：H 的拒绝域为)}1({22->=n W αχχ．上述检验所用的检验统计量均服从2χ分布，称这种检验方法为2χ检验法例4 某无线电厂生产的一种高频管，其中一指标服从正态分布),(２σμN ，今从一批产品中抽取8只管子，测得指标数据：68 43 70 65 55 56 60 72(1) 总体均值60=μ时，检验228=σ(取5.00=α)； (2) 总体均值μ未知时，检验228=σ(取5.00=α)． 解 本题是在显著性水平5.00=α下，检验假设2021220208σσσσ≠==：；：H H ，这里8=n ．(1) 60=μ已知时临界值35.517)8()(2025.022/==χχαn ，80.12)8()(2975.022/1==-χχαn ，而检验统计量的值359.10663641)(811222=⨯=-=∑=ni i x μχ， 由于)()(22/222/1n n ααχχχ<<-，故接受0H ．(2) μ未知时临界值13.016)7()1(2025.022/==-χχαn ，90.61)7()1(2975.022/1==--χχαn ，而125.614898111=⨯==∑=n i i x n x ，875.652)()1(122=-=-∑=ni i x x s n ，检验统计量的值2012.1075.86526412=⨯=χ， 由于)1()1(22/222/1-<<--n n ααχχχ，故接受0H ．§8.3 两个正态总体参数的假设检验设121n X X X ，，， 为总体),(~11２σμN X 的一个样本，221n Y Y Y ，，， 为总体),(~22２σμN Y 的一个样本．∑==1111n i i X n X 和∑==2121n i iYn Y 分别是两个样本的样本均值，∑=--=112121)(11n i i X X n S 和∑=--=212222)(11n i i Y Y n S 是相应的两个样本方差．设这两个样本相互独立．．一、两个正态总体均值的检验考虑检验假设 211210μμμμ≠=：；：H H ． 1．方差21σ与22σ已知——u 检验法． 选取 22212121)()(n n Y X U σσμμ+---=．当0H 成立时，检验统计量)1,0(~222121N n n YX U σσ+-=．给定显著性水平α，由标准正态分布表分位点的定义,有αα=>}|{|2/u U P ，故拒绝域}{}{}|{|2/2/2/αααu U u U u U W >-<=>= ．例1 设从甲乙两场所生产的钢丝总体X ，Y 中各取50束作拉力强度试验，得1208=x ，1282=y ，已知801=σ，942=σ，请问两厂钢丝的抗拉强度是否有显著差别(5.00=α)？解 本题是在显著性水平5.00=α下， 检验假设211210μμμμ≠=：；：H H ， 这里5021==n n ．选取检验统计量222121n n YX U σσ+-=．给定显著性水平05.0=α，查标准正态分布表，得临界值96.1025.02/==u u α，故拒绝域}|{|2/αu U W >=．由于1208=x ，1282=y ，801=σ，942=σ， 计算检验统计量的值2392.450/)(2221-=+-=σσy x u ．由于2/||αu u >，故拒绝0H ，认为两厂钢丝的抗拉强度有显著差别． 2．方差21σ与22σ未知，但2221σσ=——t 检验法．选取 212111)()(n n S Y X T w+---=μμ．这里2)1()1(21222211-+-+-=n n S n S n S w ．当0H 成立时，检验统计量)2(~112121-++-=n n t n n S Y X T w．给定显著性水平α，由t 分布表分位点的定义， 有αα=-+>)}2(|{|212/n n t T P ，故拒绝域)}2({)}2({212/212/-+>-+-<=n n t T n n t T W αα ．例2 某烟厂生产两种香烟，独立地随机抽取样本容量相同的烟叶标本测其尼古丁含量的毫克数，分别测得：甲种香烟：25 28 23 26 29 22 乙种香烟：28 23 30 25 21 27假定尼古丁含量都服从正态分布且具有公共方差，在显著性水平5.00=α下，判断两种香烟的尼古丁含量有无显著差异？解 检验假设211210μμμμ≠=：；：H H ，这里621==n n ．.525=x ，67.625=y ，7386.21=s ，3267.32=s ，0469.3=w s ． 选取检验统计量2111n n S Y X T w+-=．给定显著性水平5.00=α，查t 分布表，得临界值2281.2)10()2(025.0212/==-+t n n t α，故拒绝域)}2(|{|212/-+>=n n t T W α．计算统计量的值0949.00469.33)667.255.25(1121-=⨯-=+-=n n s y x t w．由于)2(||212/-+<n n t t α，故接受0H ，认为两种香烟的尼古丁含量无显著差异． 二、两个正态总体方差的检验——F 检验法 考虑检验假设 2221122210σσσσ≠=：；：H H ． 1．均值1μ与2μ已知．因为)(~)(11212121211n Xn i iχμσχ∑=-=，)(~)(12212222222n Yn i iχμσχ∑=-=，选取221222211211222121/)(1/)(1//21σμσμχχ∑∑==--==n i i n i i Y n X n n n F ． 当0H 成立时，检验统计量),(~)(1)(1211222121121n n F Y n X n F n i i n i i ∑∑==--=μμ．给定显著性水平α，由F 分布分位点的定义，有ααα=><-))},(()),({(212/212/1n n F F n n F F P ， 故得拒绝域)},({)},({212/212/1n n F F n n F F W αα><=- ． 2．均值1μ与2μ未知．因为)1(~)1()(112212111221211--=-=∑=n S n X X n i i χσσχ，)1(~)1()(122222221222222--=-=∑=n S n Y Yn i iχσσχ，选取22222121222121//)1/()1/(σσχχS S n n F =--=．当0H 成立时，检验统计量)1,1(~212221--=n n F S S F ．给定显著性水平α，由F 分布分位点的定义，有ααα=-->--<-))}1,1(())1,1({(212/212/1n n F F n n F F P ， 故得拒绝域)}1,1({)}1,1({212/212/1-->--<=-n n F F n n F F W αα ．例3某烟厂生产两种香烟，独立地随机抽取样本容量相同的烟叶标本测其尼古丁含量的毫克数，分别测得：甲种香烟：25 28 23 26 29 22 乙种香烟：28 23 30 25 21 27假定尼古丁含量都服从正态分布且具有公共方差，在显著性水平5.00=α下，判断两种香烟的尼古丁含量的方差是否相等? 解 考虑检验假设2221122210σσσσ≠=：；：H H ． 由于两个正态总体的均值都未知，选取检验统计量)1,1(~212221--=n n F S S F ．给定显著性水平α，查F 分布表，得两个临界值：15.7)5,5()1,1(025.0212/==--F n n F α1399.015.71)5,5(1)5,5()1,1(025.0975.0212/1====---F F n n F α，故得拒绝域}15.7{}1399.0{><=F F W ． 计算统计量的值6777.03267.37386.2222221===s s F ．由于15.71399.0<<F ， 故接受0H ，认为两种香烟的尼古丁含量的方差也无显著差异．§8.4 非正态总体参数的大样本检验本节讨论一般总体参数的检验．设总体X 的均值为μ，方差为2σ， n X X X ，，， 21为总体X 的一个样本．由中心极限定理可知，当样本容量n 足够大时，nX U /σμ-=近似地服从标准正态分布．因此，我们可以用正态分布去近似．如果对均值μ进行检验，方差2σ未知时，可以用样本方差2S 代替2σ；如果对方差2σ进行检验，均值μ未知时，可以用样本均值X 代替μ．下面举两个例子．例1 设某段高速公路上汽车限速为104.6km/h ，现检验85辆汽车的样本，测出的平均车速为106.7km/h ，已知总体标准差为.413=σ km/h ，但不知总体是否服从正态分布．在显著性水平50.0=α下，试检验高速公路上的汽车是否比限制速度104.6km/h 显著地快？解 依题意，检验假设0100.6104μμμμ>=≤：；：H H ， 由于.413=σ已知，n =85足够大， 选择检验统计量nX U /0σμ-=近似地服从)10(，N ．其拒绝域}{αu U W >=，其中65.105.0==u u α． 计算U 的值449.4185/4.136.1047.106=-=u ，由于αu u <，因此接受0H ，没有理由认为高速公路上的汽车比限制速度104.6km/h 显著地快．例2 为比较甲乙两种小麦植株的高度(单位：cm)，分别抽得甲、乙小麦各100穗，在相同条件下进行高度测定，算得甲乙小麦样本均值和样本方差分别为28=x ，8.3521=s ，26=y ，3.3222=s ，问这两种小麦的株高有无显著差异(50.0=α)？解 依题意，检验假设 211210μμμμ≠=：；：H H ， 选取 22212121)()(n n Y X U σσμμ+---=，这里两个方差用样本方差代替．当0H 成立时， 检验统计量 222121n Sn S Y X U +-=近似地服从)1,0(N ．给定显著性水平05.0=α，查附表3，得临界值96.1025.02/==u u α， 得拒绝域}|{|2/αu U W >=．计算U 的值4236.21003.328.352628=+-=u ，由于αu u >，因此拒绝0H ，认为这两种小麦的株高有显著差异．当总体服从(0-1)分布),1(p b 时，由于只有一个参数p ，总体均值p 和方差)1(p p -均只与p 有关，这时对参数p 进行假设检验时，检验统计量可以直接用样本和参数p 表示出来．例3 某厂有一批产品须经检验后方可出厂．按规定二级品率不得超过10%，从中随机抽取100件产品进行检查，发现有二级品14件，问这批产品是否可以出厂(50.0=α)？解 这里n =100，14.0=x ．检验假设01001.0p p H p p H >=≤：；：， 选取检验统计量 np p p X U )1(000--=，U 近似地服从)1,0(N ．由显著性水平50.0=α，可以得到拒绝域}{αu U W >=，其中65.105.0==u u α，计算U 的值333.31100.90.10.104.10=⨯-=u ，由于αu u <，因此接受0H ，认为这批产品二级品率没有超过10%，可以出厂．§8.5 分布的拟合检验前几节的检验都是参数的检验．实际问题中，有时需要对分布作出假设，进行检验．本节只介绍一种分布的检验方法——皮尔逊2χ检验法，它只适合于大样本的情形，一般要求样本容量50≥n ．设总体X 的分布函数为)(x F ，)(0x F 为一个已知的分布函数，n X X X ，，， 21为总体X 的一个样本，我们来检验关于总体分布的假设)()()()(0100x F x F H x F x F H ≠=：；：．一、基本原理2χ检验法的基本思想是：将随机试验的所有可能结果的全体分成k 个两两互不相容的事件k A A A ，，， 21，在n 次试验中，将i A 发生的次数i f 叫做i A 发生的频数，如果0H 为真，则由大数定律，在n 次试验中(n 足够大)，i A (k i ，，， 21=)出现的实际频率nf i与理论频率)(i i A P p =(可由分布函数)(0x F 算出)不应相差很大．基于这种想法，皮尔逊构造了统计量∑=-=ki i i i np np f 122)(χ或∑=-=ki i i i p n p n f 122ˆ)ˆ(χ， 其中i p ˆ是由)(ˆ0x F 计算出来的理论频率，)(ˆ0x F 是)(0x F 中未知参数估计出后的分布函数，并证明了如下定理：定理1 若n 足够大，当0H 成立时，统计量2χ总是近似地服从自由度为1--r k 的2χ分布，其中r 是已知的分布函数)(0x F 中未知参数的个数．直观上看，2χ值表示实际观测结果与理论期望结果的相对差异的总和，当它的取值大于临界值时，应拒绝0H ． 二、检验步骤如果)(0x F 为不带有未知参数的已知分布，皮尔逊2χ检验法的具体步骤如下： （1） 将总体X 的值域划分成k 个不交的区间i A (k i ，，， 21=)，使得每个区间包含的理论频数满足5≥i np ，否则将区间适当调整； （2） 在0H 成立时，计算各理论频率即概率i p 的值：)()()(100--==i i i i y F y F A P p ，k i ，，， 21=．这里1-i y 与i y 为区间i A 的端点，即](1i i i y y A ，-=；（3） 数出i A 中含有样本值的个数，即i A 的频数i f ，并计算统计量∑=-=ki ii i np np f 122)(χ 的值2χ；（4） 由2χ分布，对于给定的显著性水平α，找出临界值)1(2-k αχ； （5） 判断：若)1(22->k αχχ，则拒绝0H ，否则可接受0H ． 如果总体X 是离散型的，则假设0H 相当于假设总体X 的概率分布00}{i i p x X P H ==：， ，，21=i ．如果总体X 是连续型的，则假设0H 相当于)()(00x f x f H =：，这里)(x f 为总体的概率密度．例1 至1984年底，南京市开办有奖储蓄以来，13期兑奖号码中诸数码的频数汇总如表8.1：表8.1试检验器械或操作方法是否有问题(50.0=α)．解 设抽取的数码为X ，它可能的取值为0~9，如果检验器械或操作方法没有问题，则0~9出现是等可能的，即检验假设 1010=i p H ：，9210，，，， =i ，这里}{i X P p i ==． 依题意知k =10，令}{i A i =，9210，，，， =i ，n =350，则理论频数35=i np ．57.61935688)(922==-=∑=i i i i np np f χ给定显著性水平5.00=α，查2χ分布表，得临界值9.16)9()1(205.02==-χχαk ．由于19.675>16.9，故拒绝0H ，即认为器械或操作方法有问题．如果)(0x F 为带有未知参数的已知分布，未知参数为r θθθ，，， 21，这时用这r 个未知参数的极大似然估计量r θθθˆˆˆ21，，， 来代替)(0x F 中的参数r θθθ，，， 21，得到分布函数)(ˆ0x F ，然后建立统计量∑=-=ki i i i p n p n f 122ˆ)ˆ(χ， 这里i p ˆ是由)(ˆ0x F 计算出来的理论频率，再用以上检验步骤进行检验，但此时检验统计量2χ近似服从)1(2--r k χ分布(这里k >r +1)．例2 某高校对100名新生的身高(厘米)做了检查，把测得的100个数据按由大到小的顺序排列，相同的数合并得表8.2：表8.2试问，在显著性水平5.00=α下是否可以认为学生身高X 服从正态分布？ 解 这里n =100，我们来检验假设222)(021)(σμσπ--=x ex f H ：，+∞<<∞-x ，这里)(x f 为正态分布),(2σμN 的概率密度，设其分布函数为)(x F ，μ与0>σ为未知参数．先求μ与2σ的极大似然估计值μˆ，2ˆσ： 33.1661ˆ1==∑=n i i x n μ， 06.28)ˆ(1ˆ212=-=∑=μσn i i x n ． 设服从正态分布)ˆ,ˆ(2σμN 的随机变量为Y ，分布函数为)(ˆy F ．按照分组要求，每个小区间的理论频数i pn ˆ不应小于5，因此我们将数据分成了7个组，使得每组的实际频数不小于5，各计算结果如下表8.3所示．表8.3中第3列i pˆ的计算如下： )(ˆ)(ˆ}{ˆ11---=≤<=i i i i i y F y F y Y y P p ，7210，，，， =i ， 例如，}06.2833.1665.164ˆˆ06.2833.1665.161{}5.1645.161{ˆ3-≤-<-=≤<=σμY P Y P p1837.0)911.0()345.0(=-Φ--Φ=．给定显著性水平5.00=α，查2χ分布表，得临界值488.9)4()127()1(205.0205.02==--=--χχχαr k ．由于1.8843<9.488，故接受0H ，即认为学生身高服从正态分布．。
一个正态总体期望与方差的假设检验
W { 2 2.7 or 2 19.023}
而这里
2 / 2 (n
1)
2
2 1
/
2
(n
1)
即样本观测值落在拒绝域之外, 故接受原假设,认为该批金
属丝折断力的方差与64无显著差异.
以上对方差的检验属于双侧检验,另外还有单侧检验:
H0
:
2
2 0
;
H1
:
2
第八章
第二节 一个正态总体 期望与方差的假设检验
一、期望值的假设检验
二、方差的假设检验－ 2检验
一、期望值的假设检验
1、方差
2
2为已知时对期望值
0
的检验—
u
检验
设样本 X1, X 2, , X n 来自正态总体 N (, 2 ), 方
差 2已知,对 的检验问题由上节中的五个步骤来进行.
u
0 t (n 1)
(c) H1 : 0
W {t t1 (n 1)}
W {t t1 (n 1)}
W {t t (n 1)}
2 （备择假设、拒绝域和显著性水平）
例3 电视台广告部称某类企业在该台黄金时段内播放 电视广告后的平均受益量(平均利润增加量)至少为15万元,
2未知, 由抽样分布定理知,若用样本标准差 s 代替 , U
统计量变为 t 统计量,
即
t
x 0
~ t(n 1)
s/ n
(8.2.2)
相应于上述三对假设,拒绝域见下图.
/2
/2
t
t (n 1) 0 t1 (n 1)
两个正态总体均值的检验.
S
2 w
(n1
1)S1*2 (n2 1)S2*2 n1 n2 2
.
当H0为真时, 根据第六章§3定理2知,
T ~ t(n1 n2 2).
第八章 假设检验
§8.3 两个正态总体参数的假设检验
对给定的 ， 由t分布的分位表可查得 t/ 2(n1 n2 2).
X Y
使得P{ Sw
1 1 t / 2 (n1 n2 2)}
,
2均为
2
未
知.
需要检验假设:
H0
:
2 1
22,
H1 :12 22 ,
第八章 假设检验
§8.3 两个正态总体参数的假设检验
当 H0 为真时,
E
(
S1*
2
)
2 1
2 2
E(S2*2 ),
当 H1 为真时,
E(
S1*2
)
2 1
22
E(S2*2 ),
当 H1 为真时,
观
察
值S1*
S
* 2
2 2
有 偏
大
或
偏
小
的
趋
势
故拒绝域的形式为 s1*2 s2* 2
k1或
s1* 2 s2* 2
k2,
此处 k1和k2 的值由下式确定:
第八章 假设检验
P
S1* S2*
2 2
k1
S1*2 S2*2
k2
§8.3
两个正态总体参数的假设检验
为了计算方便, 习惯上取
P
S1* S2*
2 2
k1
,
2
P
P{| ( X Y ) /
故拒绝域为
正态分布总体的区间估计与假设检验汇总表
（单侧检验）
2
(n
1)S 2
2 0
～2n1
2
2 /2
n
1
或
2
2 1- / 2
n 1
2 2 n 1
2
≥
2 0
2
<
2 0
（单侧检验）
2
2 1-
n
1
2. 两个正态总体均值及方差的假设检验表(显著性水平 α)
条件 原假设 H0 备择假设 H1
检验统计量
拒绝域
12
，
2 2
已知
1 =2 1 2 1 2
1 2
1 2
（单侧检验）
SW
(n1 1)S12 (n2 1)S22 n1 n2 2
T < - t (n1 n2 2)
1，2
未知
2 1
=
2 2
2 1
≤
2 2
2 1
≠
2 2
（双侧检验）
2 1
>
2 2
（单侧检验）
F
S12 S22
～
F ( n1 - 1, n2 - 1)
F ≥ F /2 n1 1, n2 1
已知
0 / n
X
0 n
u
/2,
X
0 n
u
/2
2 未知 T X 0 ～ t(n 1) S/ n
X
S n 1
t / 2
n
1 ,
X
S n
1
t
/
2
n
1
方差 2
未知
2
(n 1)S 2
2 0
～2n1
(n 2 /
1)S 2
假设检验
假设检验一、基本思想与基本步骤(一)假设检验问题[例1.6-1]某厂生产某种化纤的纤度X服从正态分布N(μ，0.042)，其中μ的设计值为1.40，每天都要对“μ=1.40”作例行检验，以观生产是否正常运行。
某天从生产线中随机抽取25根化纤，测得纤度值为:x1，x2，…，x25其纤度平均值=1.38，问当日生产是否正常。
几点评论:(1)这不是一个参数估计问题。
(2)这里要求对某个命题“μ=1.40”回答:是与否。
(3)这一类问题被称为(统计)假设检验问题。
(4)这类问题在质量管理中普遍存在。
(二)假设检验的基本步骤假设检验的基本思想是:根据所获样本，运用统计分析方法，对总体X的某种假设H0做出接受或拒绝的判断。
具体做法如下:1.建立假设H0:μ=1.40这是原假设，其意是:“与原设计一致”，“当日生产正常”等。
要使当日生产与1 40无差别是办不到的，若差异仅是由随机误差引起的，则可认为H0成立；若由其他特殊因素引起的，则认为差异显著，则应拒绝H0。
H1:μ≠1.40 这是备择假设，它是在原假设被拒绝时而应接受的假设。
在这里，备择假设还有两种设置形式，它们是:H12:μ<1.40，或H13:μ>1.40 备择假设的不同将会影响下面拒绝域的形式，今后称H0对H1的检验问题是双边假设检验问题H0对H12的检验问题是单边假设检验问题H0对H13的检验问题也是单边假设检验问题注:若假设是关于总体参数的某个命题，称为参数的假设检验问题，比如:H0:μ=μ0，H1:μ≠μ0，H0:σ2≤σ20，H1:σ2>σ20，H0:P≥P0，H1:P<P0，都是参数假设检验问题。
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7-2正态总体参数的检验
一、单个正态总体均值的检验 二、两个正态总体均值差的检验 三、正态总体方差的检验
同上节) 标准要求长度是32.5毫米 毫米. 例2(同上节 某工厂生产的一种螺钉 标准要求长度是 同上节 某工厂生产的一种螺钉,标准要求长度是 毫米
实际生产的产品，其长度 假定服从正态分布N( σ 未知， 实际生产的产品，其长度X 假定服从正态分布 µ,σ2 ) ,σ2 未知， 现从该厂生产的一批产品中抽取6件 得尺寸数据如下: 现从该厂生产的一批产品中抽取 件, 得尺寸数据如下
(1)与(4); (2)与(5)的拒绝域形式相同 与 的拒绝域形式相同. 与 的拒绝域形式相同
一、单个正态总体均值的检验
是来自N( σ 的样本 的样本, 设x1,…,xn是来自 µ,σ2)的样本 关于µ的三种检验问题是 (µ0是个已知数 是个已知数)
(1) H0 : µ ≤ µ0 vs H1 : µ > µ0 (2) H0 : µ ≥ µ0 vs H1 : µ < µ0 (3) H0 : µ = µ0 vs H1 : µ ≠ µ0
对于检验问题 对于检验问题
(2) H0 : µ ≥ µ0 vs H1 : µ < µ0
x − µ0
仍选用u统计量 u = 选用 统计量 相应的拒绝域的形式为: 相应的拒绝域的形式为
取显著性水平为α 取显著性水平为α，使c满足 P 0 (u ≤ c) = α 满足 µ
由于μ = μ 0时，u ~ N(0,1),故 c = uα,如图 故 , 因此拒绝域为: 因此拒绝域为 或等价地: 或等价地 φ(x)
检 H0 : µ = µ0 vs H1 : µ ≠ µ0 验
x − µ0 s/ n
接受域为: 接受域为
两正态分布均值差检验
两正态总体均值差的假设检验基于Wolfram Mathematica ,给出了两正态分布Ν[μ1,σ1]、Ν[μ2,σ2]总体均值差μ1-μ2在两总体方差已知、未知但相等、未知但样本量相等、未知但已知方差比、未知近似、未知精确的假设检验方法。
"一.两总体方差σ12=σ102、σ22=σ202已知,Z 检验"定理1:U =X 1--X 2--(μ1-μ2)σ12Ｎ[0,1],σ12=需要Needs ["HypothesisTesting`"]σ1=1;σ2=2;X1=伪随机变数RandomVariate [正态分布NormalDistribution [3,σ1],1000];X2=伪随机变数RandomVariate [正态分布NormalDistribution [2,σ2],1500];μ0=1.02;α=0.01;n1=长度Length [X1];n2=长度Length [X2];m =平均值Mean [X1]-平均值Mean [X2];σ=u =m -μ0σ;"1.双侧Z 检验H 0:μ1-μ2=μ0,H 1:μ-μ2≠μ0"p =2 1-⋯CDF [正态分布NormalDistribution [0,1],绝对值Abs [u ]]ZTest {X1,X2}, σ12,σ22 ,μ0,"TestDataTable",备择假设AlternativeHypothesis →"不等Unequal" "2.右侧Z 检验H 0:μ1-μ2≤μ0,H 1:μ1-μ2>μ0"p =1-⋯CDF [正态分布NormalDistribution [0,1],u ]Z 检验ZTest {X1,X2}, σ12,σ22 ,μ0,"TestDataTable",备择假设AlternativeHypothesis →"大于Greater" "3.左侧Z 检验H 0:μ1-μ2≥μ0,H 1:μ1-μ2<μ0"p =⋯CDF [正态分布NormalDistribution [0,1],u ]Z 检验ZTest {X1,X2}, σ12,σ22 ,μ0,"TestDataTable",备择假设AlternativeHypothesis →"小于Less"1.双侧Z 检验H 0:μ1-μ2=μ0,H 1:μ-μ2≠μ0.6402322.右侧Z 检验H 0:μ1-μ2≤μ0,H 1:μ1-μ2>μ0.3201163.左侧Z 检验H 0:μ1-μ2≥μ0,H 1:μ1-μ2<μ00.679884"二.两总体方差σ12=σ22未知,T 检验"定理2:T =X 1--X 2--(μ1-μ2)S Wt n 1+n 2-2 ，S W =2 正态分布\\正态分布统计分析\\两正态分布均值差检验.nb需要Needs ["HypothesisTesting`"]σ1=σ2=2;X1=伪随机变数RandomVariate [正态分布NormalDistribution [3,σ1],1000];X2=伪随机变数RandomVariate [正态分布NormalDistribution [2,σ2],1500];μ0=1.05;α=0.01;n1=长度Length [X1];n2=长度Length [X2];m =平均值Mean [X1]-平均值Mean [X2];V1=方差Variance [X1];V2=方差Variance [X2];Sw =t =m -μ0Sw;"1.双侧T 检验H 0:μ1-μ2=μ0,H 1:μ-μ2≠μ0"p =2 1-⋯CDF [学生t 分布StudentTDistribution [n1+n2-2],绝对值Abs [t ]]TTest [{X1,X2},μ0,"TestDataTable",备择假设AlternativeHypothesis →"不等Unequal"]"2.右侧T 检验H 0:μ1-μ2≤μ0,H 1:μ1-μ2>μ0"p =1-⋯CDF [学生t 分布StudentTDistribution [n1+n2-2],t ]T 检验TTest [{X1,X2},μ0,"TestDataTable",备择假设AlternativeHypothesis →"大于Greater"]"3.左侧T 检验H 0:μ1-μ2≥μ0,H 1:μ1-μ2<μ0"p =⋯CDF [学生t 分布StudentTDistribution [n1+n2-2],t ]T 检验TTest [{X1,X2},μ0,"TestDataTable",备择假设AlternativeHypothesis →"小于Less"]1.双侧T 检验H 0:μ1-μ2=μ0,H 1:μ-μ2≠μ00.1818342.右侧T 检验H 0:μ1-μ2≤μ0,H 1:μ1-μ2>μ00.9090833.左侧T 检验H 0:μ1-μ2≥μ0,H 1:μ1-μ2<μ00.0909169正态分布\\正态分布统计分析\\两正态分布均值差检验.nb3"三.两总体方差σ12、σ22未知,但样本容量n1=n2=n,T检验"定理3:T=X-(μ1-μ2)S X n t n-1 ,X=X1-X2.4正态分布\\正态分布统计分析\\两正态分布均值差检验.nb需要Needs ["HypothesisTesting`"]n =1000;X1=伪随机变数RandomVariate [正态分布NormalDistribution [3,2],n ];X2=伪随机变数RandomVariate [正态分布NormalDistribution [2,1],n ];μ0=1.0;α=0.01;X =X1-X2;m =平均值Mean [X ];S =标准偏差StandardDeviation [X ];t =m -μ0Sn;"1.双侧T 检验H 0:μ1-μ2=μ0,H 1:μ-μ2≠μ0"p =2 1-⋯CDF [学生t 分布StudentTDistribution [n -1],绝对值Abs [t ]]TTest [{X1,X2},μ0,"TestDataTable",备择假设AlternativeHypothesis →"不等Unequal"]"2.右侧T 检验H 0:μ1-μ2≤μ0,H 1:μ1-μ2>μ0"p =1-⋯CDF [学生t 分布StudentTDistribution [n -1],t ]TTest [{X1,X2},μ0,"TestDataTable",备择假设AlternativeHypothesis →"大于Greater"]"3.左侧T 检验H 0:μ1-μ2≥μ0,H 1:μ1-μ2<μ0"p =⋯CDF [学生t 分布StudentTDistribution [n -1],t ]T 检验TTest [{X1,X2},μ0,"TestDataTable",备择假设AlternativeHypothesis →"小于Less"]1.双侧T 检验H 0:μ1-μ2=μ0,H 1:μ-μ2≠μ00.3169872.右侧T 检验H 0:μ1-μ2≤μ0,H 1:μ1-μ2>μ00.8415063.左侧T 检验H 0:μ1-μ2≥μ0,H 1:μ1-μ2<μ00.158494"四.两总体方差σ12、σ22未知,但已知方差比σ12σ22=r,T 检验"正态分布\\正态分布统计分析\\两正态分布均值差检验.nb5定理4:X 1--X 2--(μ1-μ2)S X 1t n 1-1 ,X 1--X 2--(μ1-μ2)S X2t n 2-1 ,X 1--X 2--(μ1-μ2)t n 1+n 2-2 .需要Needs ["HypothesisTesting`"]X1=伪随机变数RandomVariate [正态分布NormalDistribution [3,2],1200];X2=伪随机变数RandomVariate [正态分布NormalDistribution [2,1],2500];μ0=1.1;α=0.01;r =4;n1=长度Length [X1];n2=长度Length [X2];m =平均值Mean [X1]-平均值Mean [X2];S1=标准偏差StandardDeviation [X1];S2=标准偏差StandardDeviation [X2];"(一) X 1--X 2--(μ1-μ2)S X1t (n 1-1)"Sw =S1t =m -μ0Sw;"1.双侧T 检验H 0:μ1-μ2=μ0,H 1:μ-μ2≠μ0"p =2 1-⋯CDF [学生t 分布StudentTDistribution [n1-1],绝对值Abs [t ]]TTest [{X1,X2},μ0,"TestDataTable",备择假设AlternativeHypothesis →"不等Unequal"]"2.右侧T 检验H 0:μ1-μ2≤μ0,H 1:μ1-μ2>μ0"p =1-⋯CDF [学生t 分布StudentTDistribution [n1-1],t ]TTest [{X1,X2},μ0,"TestDataTable",备择假设AlternativeHypothesis →"大于Greater"]"3.左侧T 检验H 0:μ1-μ2≥μ0,H 1:μ1-μ2<μ0"p =⋯CDF [学生t 分布StudentTDistribution [n1-1],t ]TTest [{X1,X2},μ0,"TestDataTable",备择假设AlternativeHypothesis →"小于Less"]"(二) X 1--X 2--(μ1-μ2)SX 2t (n 2-1)"Sw =S2t =m -μ0Sw;6 正态分布\\正态分布统计分析\\两正态分布均值差检验.nb"1.双侧T 检验H 0:μ1-μ2=μ0,H 1:μ-μ2≠μ0"p =2 1-⋯CDF [学生t 分布StudentTDistribution [n2-1],绝对值Abs [t ]]TTest [{X1,X2},μ0,"TestDataTable",备择假设AlternativeHypothesis →"不等Unequal"]"2.右侧T 检验H 0:μ1-μ2≤μ0,H 1:μ1-μ2>μ0"p =1-⋯CDF [学生t 分布StudentTDistribution [n2-1],t ]TTest [{X1,X2},μ0,"TestDataTable",备择假设AlternativeHypothesis →"大于Greater"]"3.左侧T 检验H 0:μ1-μ2≥μ0,H 1:μ1-μ2<μ0"p =⋯CDF [学生t 分布StudentTDistribution [n2-1],t ]TTest [{X1,X2},μ0,"TestDataTable",备择假设AlternativeHypothesis →"小于Less"]"(三X 1--X 2--(μ1-μ2)t (n 1+n 2-2)"Sw = 1n1+(n2-1)S12++(n2-1)S22;t =m -μ0Sw;"1.双侧T 检验H 0:μ1-μ2=μ0,H 1:μ-μ2≠μ0"p =2 1-⋯CDF [学生t 分布StudentTDistribution [n2-1],绝对值Abs [t ]]TTest [{X1,X2},μ0,"TestDataTable",备择假设AlternativeHypothesis →"不等Unequal"]"2.右侧T 检验H 0:μ1-μ2≤μ0,H 1:μ1-μ2>μ0"p =1-⋯CDF [学生t 分布StudentTDistribution [n2-1],t ]TTest [{X1,X2},μ0,"TestDataTable",备择假设AlternativeHypothesis →"大于Greater"]"3.左侧T 检验H 0:μ1-μ2≥μ0,H 1:μ1-μ2<μ0"p =⋯CDF [学生t 分布StudentTDistribution [n2-1],t]TTest [{X1,X2},μ0,"TestDataTable",备择假设AlternativeHypothesis →"小于Less"](一)X 1--X 2--(μ1-μ2)S X 1t (n 1-1)1.双侧T 检验H 0:μ1-μ2=μ0,H 1:μ-μ2≠μ00.05165612.右侧T 检验H 0:μ1-μ2≤μ0,H 1:μ1-μ2>μ00.974172正态分布\\正态分布统计分析\\两正态分布均值差检验.nb73.左侧T 检验H 0:μ1-μ2≥μ0,H 1:μ1-μ2<μ00.0258281(二)X 1--X 2--(μ1-μ2)S X 2t (n 2-1)1.双侧T 检验H 0:μ1-μ2=μ0,H 1:μ-μ2≠μ00.04846952.右侧T 检验H 0:μ1-μ2≤μ0,H 1:μ1-μ2>μ00.9757653.左侧T 检验H 0:μ1-μ2≥μ0,H 1:μ1-μ2<μ0.0242347(三X 1--X 2--(μ1-μ2)t (n 1+n 2-2)1.双侧T 检验H 0:μ1-μ2=μ0,H 1:μ-μ2≠μ00.09177842.右侧T 检验H 0:μ1-μ2≤μ0,H1:μ1-μ2>μ00.9541113.左侧T 检验H 0:μ1-μ2≥μ0,H 1:μ1-μ2<μ00.0458892"五.两总体方差σ12、σ22未知,近似T检验"定理5:X --Y --(μ1-μ2)~t (n ),n =舍入Round++.8 正态分布\\正态分布统计分析\\两正态分布均值差检验.nb需要Needs ["HypothesisTesting`"]X1=伪随机变数RandomVariate [正态分布NormalDistribution [3,2],1800];X2=伪随机变数RandomVariate [正态分布NormalDistribution [2,1],1000];μ0=1.0;α=0.01;m =平均值Mean [X1]-平均值Mean [X2];V1=方差Variance [X1];V2=方差Variance [X2];n =舍入Round+2+;t =m -μ0"1.双侧T 检验H 0:μ1-μ2=μ0,H 1:μ-μ2≠μ0"p =2 1-⋯CDF [学生t 分布StudentTDistribution [n ],绝对值Abs [t ]]TTest [{X1,X2},μ0,"TestDataTable",备择假设AlternativeHypothesis →"不等Unequal"]"2.右侧T 检验H 0:μ1-μ2≤μ0,H 1:μ1-μ2>μ0"p =1-⋯CDF [学生t 分布StudentTDistribution [n ],t ]T 检验TTest [{X1,X2},μ0,"TestDataTable",备择假设AlternativeHypothesis →"大于Greater"]"3.左侧T 检验H 0:μ1-μ2≥μ0,H 1:μ1-μ2<μ0"p =⋯CDF [学生t 分布StudentTDistribution [n ],t ]T 检验TTest [{X1,X2},μ0,"TestDataTable",备择假设AlternativeHypothesis →"小于Less"]1.双侧T 检验H 0:μ1-μ2=μ0,H 1:μ-μ2≠μ00.6178232.右侧T 检验H 0:μ1-μ2≤μ0,H 1:μ1-μ2>μ00.6910893.左侧T 检验H 0:μ1-μ2≥μ0,H 1:μ1-μ2<μ00.308911"六.两总体方差σ12、σ22未知,T 检验(n 1<n 2)"正态分布\\正态分布统计分析\\两正态分布均值差检验.nb9定理6:T =X 1--X 2--(μ1-μ2)S X nt n 1-1 ,X 3i =X 2i i =1,2,⋯,n 1 ,X i =X 1iX 3i+X 3-X 2,X =1n 1i =1n 1X i ,S X =需要Needs ["HypothesisTesting`"]X1=伪随机变数RandomVariate [正态分布NormalDistribution [3,2],1200];X2=伪随机变数RandomVariate [正态分布NormalDistribution [2,1],1500];μ0=1.0;α=0.01;n1=长度Length [X1];n2=长度Length [X2];m1=平均值Mean [X1];m2=平均值Mean [X2];X3=X2[[1;;n1]];m3=平均值Mean [X3];X =X1-平方根Sqrt n1 n2 X3+平方根Sqrt n1 n2 m3-m2;m =平均值Mean [X ];S =标准偏差StandardDeviation [X ];t =m -μ0Sn1;"1.双侧T 检验H 0:μ1-μ2=μ0,H 1:μ-μ2≠μ0"p =2 1-⋯CDF [学生t 分布StudentTDistribution [n1-1],绝对值Abs [t ]]TTest [{X1,X2},μ0,"TestDataTable",备择假设AlternativeHypothesis →"不等Unequal"]"2.右侧T 检验H 0:μ1-μ2≤μ0,H 1:μ1-μ2>μ0"p =1-⋯CDF [学生t 分布StudentTDistribution [n1-1],t ]TTest [{X1,X2},μ0,"TestDataTable",备择假设AlternativeHypothesis →"大于Greater"]"3.左侧T 检验H 0:μ1-μ2≥μ0,H 1:μ1-μ2<μ0"p =⋯CDF [学生t 分布StudentTDistribution [n1-1],t ]T 检验TTest [{X1,X2},μ0,"TestDataTable",备择假设AlternativeHypothesis →"小于Less"]1.双侧T 检验H 0:μ1-μ2=μ0,H 1:μ-μ2≠μ00.6180772.右侧T 检验H 0:μ1-μ2≤μ0,H 1:μ1-μ2>μ00.30903810 正态分布\\正态分布统计分析\\两正态分布均值差检验.nb正态分布\\正态分布统计分析\\两正态分布均值差检验.nb113.左侧T检验H0:μ1-μ2≥μ0,H1:μ1-μ2<μ00.690962。
3总体均值的假设检验
• 第3步：在分析工具中选择“t检验：平均值的成对二样 本分析”
• 第4步：当出现对话框后
•
在“变量1的区域”方框内键入数据区域
•
在“变量2的区域”方框内键入数据区域
• 为0)
在“假设平均差”方框内键入假设的差值(这里
•
在“”框内键入给定的显著性水平
1 - 29
质量管理 学实验
匹配样本
(数据形式)
质量管理
实验三
学实验 总体均值的假设检验
1 一个（单）总体均值的检验 2 两个（双）总体均值之差的检验
1 -1
质量管σ2理已知时,样本均值的抽样分布 学实验
总体是否正态分布
否
是
样本容量n
大
小
正态分布
x
~N
(, 1 2 )
n
或Z x ~ N (0,1) / n
1 -2
正态分布 非正态分布
x
~N
•第1步：将原始数据输入到Excel工作表格中
•第2步：选择“工具”下拉菜单并选择“数据分析”选项
•第3步：在“数据分析”对话框中选择 “t-检验：双样本异方 差假设”
•第4步：当对话框出现后
•
在“变量1的区域”方框中输入第1个样本的数据区域
•
在“变量2的区域”方框中输入第2个样本的数据区域
•
在“假设平均差”方框中输入假定的总体均值之差
•
在“”方框中输入给定的显著性水平(本例为0.05)
•
在“输出选项”选择计算结果的输出位置，然后“确
定”
1 - 25
质量管理 学实验
两个总体均值之差的 检验
(匹配样本)
1 - 26
质量管理 两个总体均值之差的检验
8.2正态总体均值的假设检验
t t ( n1 n2 2).
x y 因为 t 4.295, 1 1 sw 10 10
t0.05 (18) 1.7341,
所以拒绝 H 0 ,
即认为建议的新操作方法较原来的方法为优.
例5 有甲、乙两台机床加工相同的产品, 从这两台机床加工 的产品中随机地抽取若干件, 测得产品直径(单位:mm)为 机床甲: 20.5, 19.8, 19.7, 20.4, 20.1, 20.0, 19.0, 19.9
X 0 P Z / n
拒绝域为 Z Z
或 H0： 0；H1：0
X 0 P Z / n
拒绝域为 Z Z
2、方差未知 问题：总体 X~N（，2），2未知 假设 H0：=0；H1：≠0 构造T统计量 T X 0 ~ t (n 1)
t检验 双边检验
X 0 由 P t 2 (n 1) S n 确定拒绝域 T t 2 (n 1) x 0 如果统计量的观测值 T t 2 (n 1) S n
则拒绝原假设；否则接受原假设
S
n
例2 化工厂用自动包装机包装化肥，每包重量服从正态 分布，额定重量为100公斤。某日开工后，为了确定包 装机这天的工作是否正常，随机抽取9袋化肥，称得平 均重量为99.978，均方差为1.212，能否认为这天的包 装机工作正常？（=0.1） 解 由题意可知：化肥重量X~N（，2），0=100 方差未知，要求对均值进行检验，采用T检验法。
得 k t / 2 (n1 n2 2).
故拒绝域为
( x y) t t / 2 ( n1 n2 2). 1 1 sw n1 n2
第二章均值向量和协方差阵的检验
Co v( X1, Y1) Co v( X1, Y2 ) Co v( X1, Ym )
Co v( X2, Y1) Co v( X2, Y2 ) Co v( X2, Ym )
Co v( Xn, Y1) Co v( Xn, Y2 ) Co v( Xn, Ym )
2
2
检验统计量: T X μ0 ~ t(n1) Sn
由p{|T|＞t/2(n 1)} =,
得水平为的拒绝域为
|T|＞t/2(n1)
·右侧HT问题 H0： =0 ；H1： >0
·左侧HT问题 H0： =0 ；H1： <0
检验统计量: T X μ0 ~ t(n1) Sn
注: t1 (n) t (n)
t (n)
例 查表 t0.025(10)= 2.23
t1 (n)
t (n)
三、F—分布
1.构造 若1 ~2(n1)， 2~2(n2)，1， 2独立，则
F
1 / n1 2 / n2
~
F(n1, n2 ).
称为第一自由度为n1 ，第二自由度为n2的F—分布, 其概率密度为
n
n
n
ai Xi ~ N (
ai i ,
ai2
2 i
)
i 1
i 1
i 1
§2 数理统计中的某些常用分布
统计量的分布称为抽样分布。数理统 计中常用到如下三个分布：
2—分布、 t —分布和F—分布。
一、 2—分布
iid
n
1. 构造 设 X1,, X n ~ N (0,1), 则 2
34两个正态总体均值和方差的假设检验
(n1 n2 2)
(
x sw
y 1 n1
1 n2
k)
2
概率统计
在显著性水平 下, H0 的拒绝域:
x y
sw
11 n1 n2
t (n1 n2 2)
2
注:
当
2 1
2 2
2
未知时
检验假设 H0 : 1 2 , H1 : 1 2
H1
:
2 1
2 2
单边检验
H1
:
2 1
2 2
同上面双边检验的讨论类似，可得 H0的拒绝域为:
s12 s22
F (n1
1, n2
1)
习惯上亦称两个总体 方差相等的检验为： 两总体方差齐性的检验
或
s12 s22
F1 (n1
1, n2
1)
概率统计
例2. 现要检测两批葡萄酒的醇含量，分别对它们
设有 n 对相互独立的观察结果：
( X1 ,Y1 ) , ( X 2 ,Y2 ) , , ( X n ,Yn )
令：D1 X1 Y1 , D2 X 2 Y2 , , Dn ( X n ,Yn ) 则 D1 , D2 , , Dn相互独立。又由于 D1 , D2 , , Dn 是由同一因素所引起的，所以可认为它们服从同 一分布。
例4 现要比较甲、乙两种橡胶制成的轮胎的耐磨性。
今从甲、乙两种轮胎中各随机的取 8 个，又从 两组中各取一个组成一对，共 8 对； 再随机的取 8 架飞机，将 8 对轮胎随机地搭配 给这 8 架飞机作耐磨性试验，当飞机飞行了一 定时间后测得轮胎的磨损量的数据(单位：毫克) 如下：
正态总体均值的假设检验
拒绝域为 u u u0.05 1.645 ．
现在 u x 0 41.25 40 3.125 1.645 ， / n 2 / 25
即 u 的取值落在拒绝域中，所以在显著性水
平 = 0.05下拒绝 H0，接受 H1，即认为这
2
2 0
2 0
H0：
，H1：
．
其中
为已知常数．检验统计量
T
1
2 0
n
(Xi )2
i 1
~ 2 (n) .
对于给定的显著性水平 ，拒绝域为
t 12 / 2 (n) 或
t
2
/
2
(n)
．
上述检验的统计量服从 2 分布，称此种检
验为 2 检验，类似地可以进行单边检验（见表
右边检验的拒绝域为 t k ，左边检验的拒绝域为 t k ．
例2 某工厂生产的固体燃料推进器的燃烧率
服从正态分布 N (, 2 ), 40cm / s ， 2cm/ s ,
现在用新方法生产了一批推进器，从中抽取 n=25 只，测得样本均值为 x 41.25cm / s ．设在新方
二、两类错误
由于检验法则是依据样本作出的，因此假设 检验的结果可能犯两类错误：
第一类错误：当原假设H0为真时，作出的决 定却是拒绝H0，犯这类错误的概率记为 ，即
P{拒绝H0|H0为真}= ． 第二类错误：当原假设H0不正确时，作出的决定却是接受H0，犯这类错 误的概率记为 ，即
P{接受H0|H0不正确} = ．
在H0成立时，检验统计量
正态总体的均值和方差的假设检验
2
(x)
2
2
O 12 /2(n 1) 2 / 2(n 1)
x
P{ χ 2
χ12α / 2(n 1)}
P{ χ 2
χα2/ 2n 1}
α, 2
拒绝域：
W 1 {( x1, x2, , xn ) : χ 2 χ12α / 2(n 1)}
U{( x1,
x2 , ,
xn )
:
2
2 /2
是否可以认为由新工艺炼出的铁水含碳质量分
数的方差仍为0.1082（ = 0.05）？
解 检验假设
(1)H0 : 2 0.1082, H1: 2 0.1082 ,
(2)取检验统计量：
χ2
(n 1)Sn*2 σ02
~
χ 2(n 1),(当H0为真时)
由n = 5, = 0.05算得,
χα2/ 2n 1 χ02.0254 11.1, χ12α / 2n 1 χ02.9754 0.484.
问： 若总体的均值 已知,则如何设计假设检验？
n
( Xi μ)2
构造χ 2 i1 σ2
~ χ 2(n)可类似进行检验.
例3 某炼钢厂铁水含碳质量分数X在正常情况下
服从正态分布 N ( μ,σ 2 ),现对操作工艺进行了改 革又测量了5炉铁水,含碳质量分数分别为：
4.421，4.052，4.357，4.287，4.683
t/2 n1 n2 2 t0.025 18 2.10
由| t | 2.49 2.10 t0.025 18 W1,
故拒绝假设H0,认为物品处理前后含脂率的均值 有显著差异。
3. 两正态总体方差的检验
设总体
X
~
N
一个正态总体期望与方差的假设检验
第二节 一个正态总体 期望与方差的假设检验
一、期望值的假设检验
检验 二、方差的假设检验－
2
一、期望值的假设检验
2 2 1、方差 0 为已知时对期望值 的检验— u 检验
设样本 X 1 , X 2 ,
, X n 来自正态总体 N ( , 2 ), 方
差 2已知,对 的检验问题由上节中的五个步骤来进行. ①建立假设 关于正态均值 常用的三对假设 (a) H0 : 0 ,H1 : 0 ; (双边假设检验问题) (b) H0 : 0 ,H1 : 0 ; (单边假设检验问题) } (c) H0 : 0 ,H1 : 0 . 选择哪一种假设应根据问题的需要.
② 检验统计量都选择 U 统计量
U
X 0
/ n
~ N (0,1)
(8.2.1)
③ 确定显著性水平
显著性水平 的大小应根据研究问题的需要而定,
一般为0.05. ④ 确定临界值,给出拒绝域 对于三种不同的假设,其拒绝域如图所示,其中u1 / 2 是标准正态分布的 1 分位数, 其他意义相同. 2
即样本观测值落在拒绝域之外, 故接受原假设, 认为该批金 属丝折断力的方差与64无显著差异.
以上对方差的检验属于双侧检验,另外还有单侧检验:
2 2 H0 : 2 0 ;H1 : 2 0
(8.2.8)
2 2 H0 : 2 0 ;H1 : 2 0 (8.2.9) 关于假设检验问题 2 2 (8.2.10) H0 : 2 0 ;H1 : 2 0 它与假设检验问题式(8.2.8)在同一显著性水平α下的检验 方法是一样的,其他的单侧检验也类同. 例4 某车间生产一种保险丝,规定保险丝熔化时间的 方差不得超过400.今从一批产品中抽处25个,测得其熔化时 间的方差为388.58, 试根据所给数据, 检验这批产品的方差 是否符合要求(α=0.05). 已知保险丝的熔化时间服从正态 分布.
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或
≤
>
≥
<
a未知
=
≠
或
≤
>
≥
<
2个正态总体均值及方差的假设检验表(显著性水平α)
条件
原假设H0
备择假设H1
检验统计量
拒绝域
， 已知
a1=a2
a1≠a2
N(0,1)
|U|≥
a1≤a2
a1>a2
U≥
a1≥a2
a1<a2
U≤-
= 未知
a1=a2
a1≠a2
,
|T|≥
a1≤a2
a1>a2
T≥
a1≥a2
a1<a2
， 已知
N(0,1)
= 未知
方差
a1，a2已知
a1，a2未知
， ， ．
（注：专业文档是经验性极强的领域，无法思考和涵盖全面，素材和资料部分来自网络，供参考。可复制、编制，期待你的好评与关注）
T≤-
a1，a2已知
=
≠
或
≤
>
≥
<
a1，a2未知
=
≠
或
≤
>
≥
<
2个配对样本正态总体均值的假设检验表(显著性水平α)
Z=ξ-η～N(a1-a2， + )，Zi=ξi-ηi.
条件
原假设H0
备择假设H1
检验统计量
拒绝域
， 已知
a1=a2
a1≠a2ຫໍສະໝຸດ N(0,1)|U|≥a1≤a2
a1>a2
U≥
a1≥a2
a1<a2
U≤-
= 未知
a1=a2
a1≠a2
|T|≥
a1≤a2
a1>a2
T≥
a1≥a2
a1<a2
T≤-
单正态总体均值及方差的区间估计(置信度1-α)
待估参数
条件
检验统计量
拒绝域
均值a
已知
N(0,1)
未知
方差
a=a0已知
a未知
2个正态总体均值差及方差比的区间估计(置信度1-α)
待估参数
条件
检验统计量
拒绝域
均值a1-a2
正态总体均值及方差的假设检验表：
单正态总体均值及方差的假设检验表(显著性水平α)
条件
原假设H0
备择假设H1
检验统计量
拒绝域
σ2= 已知
a=a0
a≠a0
N(0,1)
|U|≥
a≤a0
a>a0
U≥
a≥a0
a<a0
U≤-
σ2未知
a=a0
a≠a0
|T|≥
a≤a0
a>a0
T≥
a≥a0
a<a0
T≤-
a=a0已知
=