用顶点式确定二次函数表达式

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确定二次的函数的表达式

确定二次的函数的表达式知识点1 用一般式确定二次函数表达式1.已知抛物线上的三点坐标，可以设函数解析式为)0(2≠++=a c bx ax y ，代入后得到一个三元一次方程，解之即可得到c b a ,,的值，从而求出函数解析式，这种解析式叫一般式.2.用待定系数法确定二次函数表达式的一般步骤：步骤一：设含有待定系数的二次函数表达式y =ax 2+bx +c (a ≠0)；步骤二：将题设中满足二次函数图象的点代入所设表达式，得到关于待定系数a 、b 、c 的方程组；步骤三：解这个方程组，得到待定系数a 、b 、c 的值；步骤四：将待定系数的值代入表达式，得到所求函数表达式.例1.已知二次函数的图象经过点(0,3)，(−3,0)，(2,−5)，且与x 轴交于A 、B 两点。

(1)试确定此二次函数的解析式； (2)求出抛物线的顶点C 的坐标；(3)判断点P (−2,3)是否在这个二次函数的图象上?如果在，请求出△P AB 的面积；如果不在，试说明理由。

例2.抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 过(0，0)，(12，0)，(6，3)三点，则此抛物线的表达式是 .知识点2 用顶点式确定二次函数表达式已知二次函数的顶点坐标为（h ,k ）的话，可以设成顶点式：y =a (x -h )2+k （a 、h 、k 为常数且a ≠0）然后再找一点带入二次函数的顶点式，即可求得a 的值，最后回代到顶点式即可（提示：最后一般要把二次函数的解析式化成一般式）。

例1.已知抛物线y =ax 2+bx +c 的图象顶点为(−2,3)，且过(−1,5)，则抛物线的表达式为______. 例2.已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c ，当x =2时，y 有最大值4，且过(1，2)点，此抛物线的表达式为 .例3.有一个二次函数，当x ＜-1时，y 随x 的增大而增大；当x ＞-1时，y 随x 的增大而减小；且当x =-1时，y =3，它的图象经过点（2，0），请用顶点式求这个二次函数的表达式.例4.由表格中的信息可知，若设y ＝ax 2＋bx ＋c ,则下列y 与x 之间的函数表达式正确的（）A . y ＝x 2－x ＋4B . y ＝x 2－x ＋6 C . y ＝x 2＋x ＋4 D . y ＝x 2＋x ＋6例5. 已知函数抛物线的顶点坐标为(-3，-2)，且过点(1，6)，求此抛物线的解析式。

专题训练(二)确定二次函数的表达式五种方法

专题训练（二）确定二次函数的表达式五种方法 ►　方法一　利用一般式求二次函数表达式1．已知抛物线过点A(2，0)，B(－1，0)，与y轴交于点C，且OC＝2.则这条抛物线的表达式为( )A．y＝x2－x－2B．y＝－x2＋x＋2C．y＝x2－x－2或y＝－x2＋x＋2D．y＝－x2－x－2或y＝x2＋x＋22．若二次函数y＝x2＋bx＋c的图象经过点(－4，0)，(2，6)，则这个二次函数的表达式为______________．3．一个二次函数，当自变量x＝－1时，函数值y＝2；当x＝0时，y＝－1；当x＝1时，y＝－2.那么这个二次函数的表达式为____________．4．如图2－ZT－1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A(－2，－4)，O(0，0)，B(2，0)三点．(1)求抛物线的表达式；(2)若M是该抛物线的对称轴上的一点，求AM＋OM的最小值．图2－ZT－1►　方法二　利用顶点式求二次函数表达式5．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，当x ＝1时，有最大值8，其图象的形状、开口方向与抛物线y ＝－2x 2相同，则这个二次函数的表达式是( )A ．y ＝－2x 2－x ＋3B ．y ＝－2x 2＋4C ．y ＝－2x 2＋4x ＋8D ．y ＝－2x 2＋4x ＋66．已知y 是x 的二次函数，根据表中的自变量x 与函数y 的部分对应值，可判断此函数的表达式为( )x …－1012…y…－154254…A .y ＝x 2B ．y ＝－x 2C ．y ＝(x －1)2＋234D ．y ＝－(x －1)2＋2347．[2018·巴中改编]一位篮球运动员在距离篮框中心水平距离4m 处起跳投篮，球沿一条抛物线运动，当球运动的水平距离为2.5m 时，达到最大高度3.5m ，然后准确落入篮框内．已知篮框中心距离地面高度为3.05m ．在如图2－ZT －2所示的平面直角坐标系中，此抛物线的表达式是________．8．已知抛物线y 1＝ax 2＋bx ＋c 的顶点坐标是(1，4)，它与直线y 2＝x ＋1的一个交点的横坐标为2.(1)求抛物线的函数表达式；(2)在如图2－ZT －3所示的平面直角坐标系中画出抛物线y 1＝ax 2＋bx ＋c 及直线y 2＝x ＋1，并根据图象，直接写出使得y 1≥y 2成立的x 的取值范围．图2－ZT －3►　方法三　利用交点式求二次函数表达式9．若抛物线的最高点的纵坐标是，且过点(－1，0)，(4，0)，则该抛物线的表达式为( )254A ．y ＝－x 2＋3x ＋4 B ．y ＝－x 2－3x ＋4C ．y ＝x 2－3x －4D ．y ＝x 2－3x ＋410．抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴的两个交点坐标为(－1，0)，(3，0)，其形状及开口方向与抛物线y ＝－2x 2相同，则抛物线的函数表达式为( )A ．y ＝－2x 2－x ＋3B ．y ＝－2x 2＋4x ＋5C ．y ＝－2x 2＋4x ＋8D ．y ＝－2x 2＋4x ＋6►　方法四　利用平移求二次函数表达式11．[2018·广西]将抛物线y ＝x 2－6x ＋21向左平移2个单位后，得到新抛物线的表达式12为( )A ．y ＝(x －8)2＋5B ．y ＝(x －4)2＋51212C ．y ＝(x －8)2＋3D ．y ＝(x －4)2＋3121212．如果将抛物线y ＝2x 2＋bx ＋c 先向左平移3个单位，再向下平移2个单位，得到了抛物线y＝2x2－4x＋3.(1)试确定b，c的值；(2)求出抛物线y＝2x2＋bx＋c的顶点坐标和对称轴．►　方法五　利用对称轴求二次函数表达式13．如图2－ZT－4，已知抛物线y＝－x2＋bx＋c的对称轴为直线x＝1，且与x轴的一个交点坐标为(3，0)，那么它对应的函数表达式是______________．图2－ZT－414．如果两个二次函数的图象关于y轴对称，我们就称这两个二次函数互为“关于y轴对称二次函数”，如图2－ZT－5，二次函数y1＝x2＋2x＋2与y2＝x2－2x＋2是“关于y轴对称二次函数”．(1)直接写出两条“关于y轴对称二次函数”图象所具有的特点．(2)二次函数y＝2(x＋2)2＋1的“关于y轴对称二次函数”的表达式为__________；二次函数y＝a(x－h)2＋k的“关于y轴对称二次函数”的表达式为____________；(3)平面直角坐标系中，记“关于y轴对称二次函数”的图象与y轴的交点为A，它们的两个顶点分别为B，C，且BC＝6，顺次连接点A，B，O，C，得到一个面积为24的菱形，求“关于y轴对称二次函数”的表达式．图2－ZT－5教师详解详析1．[解析]C 由题意可知点C 的坐标是(0，2)或(0，－2)．设抛物线的表达式为y ＝ax 2＋bx ＋c .由抛物线经过点(2，0)，(－1，0)，(0，2)，得解得{4a ＋2b ＋c ＝0，a －b ＋c ＝0，c ＝2，)则抛物线的表达式是y ＝－x 2＋x ＋2.同理，由抛物线经过点(2，0)，(－1，0)，(0，－2)求{a ＝－1，b ＝1，c ＝2，)得该抛物线的表达式为y ＝x 2－x －2.故这条抛物线的表达式为y ＝－x 2＋x ＋2或y ＝x 2－x －2.2．[答案]y ＝x 2＋3x －4[解析]将点(－4，0)，(2，6)代入y ＝x 2＋bx ＋c ，得解得{16－4b ＋c ＝0，4＋2b ＋c ＝6，){b ＝3，c ＝－4，)∴这个二次函数的表达式为y ＝x 2＋3x －4.3．y ＝x 2－2x －14．解：(1)把A (－2，－4)，O (0，0)，B (2，0)代入y ＝ax 2＋bx ＋c ，得{4a －2b ＋c ＝－4，4a ＋2b ＋c ＝0，c ＝0，)解这个方程组，得{a ＝－12，b ＝1，c ＝0，)所以抛物线的表达式为y ＝－x 2＋x .12(2)由y ＝－x 2＋x ＝－(x －1)2＋，可得抛物线的对称轴为直线x ＝1，并且对称轴垂直121212平分线段OB ，∴OM ＝BM ，∴AM ＋OM ＝AM ＋BM .连接AB 交直线x ＝1于点M ，则此时AM ＋OM 的值最小．过点A 作AN ⊥x 轴于点N ，在Rt △ABN 中，AB ＝＝＝4，因此AM ＋OM 的最小值为4.AN 2＋BN 242＋42225．D6．[解析]D ∵函数图象过点(0，)和(2，)，∴函数图象的对称轴为直线x ＝1，故该函数5454图象的顶点坐标为(1，2)．设函数表达式为y ＝a (x －1)2＋2.把(－1，－1)代入，得4a ＋2＝－1，解得a ＝－，∴此函数表达式为y ＝－(x －1)2＋2.34347．[答案]y ＝－x 2＋3.515[解析]∵抛物线的顶点坐标为(0，3.5)，∴可设抛物线的表达式为y ＝ax 2＋3.5.∵篮框中心(1.5，3.05)在抛物线上，将它的坐标代入表达式，得3.05＝a ×1.52＋3.5，∴a ＝－，∴y ＝－x 2＋3.5.15158．解：(1)∵抛物线与直线y 2＝x ＋1的一个交点的横坐标为2，∴交点的纵坐标为2＋1＝3，即此交点的坐标为(2，3)．设抛物线的表达式为y 1＝a (x －1)2＋4.把(2，3)代入，得3＝a (2－1)2＋4，解得a ＝－1，∴抛物线的表达式为y 1＝－(x －1)2＋4＝－x 2＋2x ＋3.(2)令y 1＝0，即－x 2＋2x ＋3＝0，解得x 1＝3，x 2＝－1，∴抛物线与x 轴的交点坐标为(3，0)和(－1，0)．在平面直角坐标系中画出抛物线与直线，如图所示：根据图象可知，使得y 1≥y 2成立的x 的取值范围为－1≤x ≤2.9．[解析]A 由抛物线的轴对称性可知该抛物线的对称轴为直线x ＝×(－1＋4)＝，故1232该抛物线的顶点坐标为(，)．设该抛物线的表达式为y ＝a (x ＋1)(x －4)．将(，)代入，得3225432254＝a (＋1)(－4)，解得a ＝－1，故该抛物线的表达式为y ＝－(x ＋1)(x －4)＝－x 2＋3x ＋4.注2543232意：本题也可运用顶点式求抛物线的表达式．10．[解析]D 设抛物线的函数表达式为y ＝a (x －x 1)(x －x 2)．因为抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴的两个交点坐标为(－1，0)，(3，0)，所以y ＝a (x －3)(x ＋1)．又因为其形状及开口方向与抛物线y ＝－2x 2相同，所以y ＝－2(x －3)(x ＋1)，即y ＝－2x 2＋4x ＋6.11．[解析]D y ＝x 2－6x ＋2112＝(x 2－12x )＋2112＝[(x －6)2－36]＋2112＝(x －6)2＋3，12故y ＝(x －6)2＋3向左平移2个单位后，12得到新抛物线的表达式为y ＝(x －4)2＋3.1212．解：(1)∵y ＝2x 2－4x ＋3＝2(x 2－2x ＋1－1)＋3＝2(x －1)2＋1，∴将其向上平移2个单位，再向右平移3个单位可得原抛物线，即y ＝2(x －4)2＋3，∴y ＝2x 2－16x ＋35，∴b ＝－16，c ＝35.(2)由y ＝2(x －4)2＋3得顶点坐标为(4，3)，对称轴为直线x ＝4.13．[答案]y ＝－x 2＋2x ＋3[解析]∵抛物线y ＝－x 2＋bx ＋c 的对称轴为直线x ＝1，∴＝1，解得b ＝2，b2又∵抛物线与x 轴的一个交点坐标为(3，0)，∴0＝－9＋6＋c ，解得c ＝3，故函数表达式为y ＝－x 2＋2x ＋3.14．解：(1)(答案不唯一)顶点关于y 轴对称，对称轴关于y 轴对称．(2)y ＝2(x －2)2＋1　y ＝a (x ＋h )2＋k (3)若点A 在y 轴的正半轴上，如图所示：顺次连接点A ，B ，O ，C ，得到一个面积为24的菱形，由BC ＝6，得OA ＝8，则点A 的坐标为(0，8)，点B 的坐标为(－3，4)．设一个抛物线的表达式为y ＝a (x ＋3)2＋4.将点A 的坐标代入，得9a ＋4＝8，解得a ＝.49二次函数y ＝(x ＋3)2＋4的“关于y 轴对称二次函数”的表达式为y ＝(x －3)2＋4.4949根据对称性，开口向下的抛物线也符合题意，则“关于y 轴对称二次函数”的表达式还可以为y ＝－(x ＋3)2－4，y ＝－(x －3)2－4.4949综上所述，“关于y 轴对称二次函数”的表达式为y ＝(x ＋3)2＋4，y ＝(x －3)2＋4或4949y ＝－(x ＋3)2－4，y ＝－(x －3)2－4.4949。

1.3不共线三点确定二次函数的表达式教案

湘教版九年级下册数学教案1.3 不共线三点确定二次函数的表达式教学目标1．掌握用待定系数法确定二次函数的表达式.2．知道满足何种条件的三点确定一个二次函数.重点：用待定系数法确定二次函数的表达式.难点：知道满足何种条件的三点确定一个二次函数.教学设计一.预习导学学生通过自主预习P21-P23完成下列各题：1. 二次函数的表达式一般式：y= ax2+bx+c顶点式：y= y=a(x-h)2+k交点式： y=a（x-x1）（x-x2），其中x1，x2是抛物线与 x 轴的两个交点的横坐标.2.用待定系数法确定二次函数表达式的步骤有哪些？(1)设出合适的函数表达式；（2）把已知条件（自变量与函数的对应值）代入函数表达式中，得到关于待定系数的方程（方程组）；（3）解方程（组）求出待定系数的值，从而写出函数表达式.设计意图：通过学生自主预习教材，初步理解掌握用待定系数法确定二次函数的表达式，知道满足何种条件的三点确定一个二次函数，培养学生的自学能力.二.探究展示(一)合作探究与一次函数相类似，如果已知二次函数图象上三个点的坐标（也就是函数的三组对应值），将它们代入函数表达式，列出一个关于待定系数a，b，c的三元一次方程组，求出a，b，c的值，就可以确定二次函数的表达式.1.已知一个二次函数的图象经过三点（1,3）（-1，-5），（3，-13 ）求这个二次函数的表达式.将三个点的坐标（1，3），（-1，-5），（3，-13），分别代入函数表达式，得到关于a，b，c的三元一次方程组：2.已知三个点的坐标，是否有一个二次函数，它的图象经过这三个点？（1） P （1，-5）， Q （-1，3）， R （2，-3）；（2） P （1，-5）， Q （-1，3）， M （2，-9）.解（1）设有二次函数y=ax 2+bx+c ，它的图象经过 P ，Q ，R 三点，则得到关于a ，b ，c 的三元一次方程组：解得 a= 2 ，b= -4 ，c= -3 .因此，二次函数 y=2x 2-4x-3 的图象经过P ，Q ，R 三点.（2）设有二次函数y=ax 2+bx+c ，它的图象经过 P ，Q ，R 三点，则得到关于a ，b ，c 的三元一次方程组：解得 a= 0 ，b= -4 ，c= -1 .因此，一次函数 y=-4x-1 的图象经过P ，Q ，M 三点.这说明没有一个这样的二次函数，它的图象能经过P ，Q ，M 三点.例2中，两点P （1，-5）， Q （-1，3）确定了一个一次函数y=-4x-1.点R （2，-3）的坐标不适合y=-4x-1，因此点R 不在直线PQ 上，即P ，Q ，R 三点不共线.点M （ 2，-9）的坐标适合y=-4x-1，因此点M 在直线PQ 上，即P ，Q ，M 三点共线. 例2表明：若给定不共线三点的坐标，且它们的横坐标两两不等，则可以确定一个二次函数；而给定共线三点的坐标，不能确定二次函数.a+b+c=5a-b+c=34a+2b+c=-3a+b+c=5 a-b+c=3 4a+2b+c=-9可以证明：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象上任意三个不同的点都不在一条直线上. 还可以证明：若给定不共线三点的坐标，且它们的横坐标两两不等，则可以确定唯一的一个二次函数，它的图象经过这三点.设计意图：通过探究，进一步理解掌握用待定系数法确定二次函数的表达式，知道满足何种条件的三点确定一个二次函数.培养学生通过解决问题的能力.(二)展示提升1.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象经过三点A（0，2）， B（1，3），C（-1，-1），求这个二次函数的表达式.2.已知二次函数的图象经过A（1，3）， B（-4，-12），C（3，-5）三点.(1)求此抛物线的解析式；(2)求出这条抛物线与x轴、y轴的交点P、Q、R的坐标.3.已知二次函数的图象与x轴的交点的横坐标分别是x1=-3，x2=1，且与y轴的交点为（0,2），求这个二次函数的表达式.设计意图：可点名展示，也可分组展示，培养学生分析问题的能力；同时增强学生团结协作的精神。

二次函数一般式怎么化顶点式

二次函数一般式怎么化顶点式二次函数一般式和顶点式都是描述二次函数的两种常见形式，它们之间的转化是求解二次函数的重要步骤。

在学习数学、物理等学科时，二次函数是非常重要的知识点，对于解决实际问题和理解某些现象都有很大的帮助。

二次函数是一种二次多项式函数，它的一般式可以表示为：$y = ax^2 + bx + c $其中a、b、c均为常数，a不等于0。

这个a决定了二次函数的开口方向和大小。

如果a大于0，则代表开口向上，形如一个U形，如果a小于0，则代表开口向下，形如一个倒U形。

比如，二次函数y = 2x^2 + 4x + 1代表开口向上的二次函数。

其中a、h、k均为常数，a不等于0。

这个h和k确定了二次函数的顶点坐标，也就是他们能够描述二次函数的开口方向和大小，以及顶点的位置。

对于已知二次函数一般式，我们需要将其转化为顶点式来描述。

首先，我们需要将一般式中的x配方成一个完全平方数，然后将整个式子移项，利用配方法得到顶点式中的h、k常数。

具体步骤如下：依据因式公式：$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$我们可以将一般式中的二次项配方成一个完全平方数的形式：$ax^2+bx+c=a((\frac{b}{2a}+x)^2-\frac{b^2}{4a^2})+c$这里，$\frac{b}{2a}$就是完全平方数的前半部分，将$x^2$与它进行配平，剩下的便是完全平方数的后半部分。

2. 将整个式子移项，得到顶点式中的h、k常数。

这里我们需要加减逆运算，将配方得到的式子移项，两边同时加上一个c，也就是一般式中的常数项。

这时，我们的一般式就被转化为了顶点式的形式。

其中，顶点的横坐标为$\frac{-b}{2a}$，纵坐标为$c-\frac{b^2}{4a}$。

例如，已知函数f(x) = 2x^2 + 4x + 1，我们可以通过上面的方法将它转化为顶点式：这里我们将a=2，b=4，c=1代入公式进行求解，然后移项得到h=-1，k=-1。

已知三点确定二次函数解析式

例题3.已知二次函数与X轴交与（-1,0），（3，0），且与y轴交与（0,6）求二次函数解析式
• 解：设二次函数解析式为y=a(x-x1)(x-x2), 因为与X轴交与（-1,0），（3,0）则x1=-1,x2=3,所以可得： y=a(x+1)(x-3) 把点（0,6）代入得6=a(0+1)(0-3) 得a=-2 所以二次函数解析式为y=-2(x+1)(x-3) 即y=-2x2+4x+6
议一议一个二次函数的图象经过A(0,1),B(1,2),C(2,1)，你能确定这个二次函数的表达式吗？你有几种方法？与同伴进行交流。
做一做 1.已知二次函数的图象经过(0,2),(1,0)和(-2,3)，求这个二次函数的表达式。
2.已知二次函数的图像经过（2,0）（-3,0）和（4，6），求这个二次函数的表达式。
a-b+c=10 a+b+c=4 4a+2b+c=7
2
a=2 解这个方程组得：b=-3 c=5
∴抛物线的解析式是 y=2x2-3x+5 3 2 31 ∵y=2x -3x+5=2(x- ) + 4 8 3 3 31 ∴抛物线的对称轴是 x= ，顶点坐标是（，） 4 4 8
例1.已知:抛物线y=ax2+bx+c过点（2，1）、（1，-2 ）（0， 5）三点，求抛物线的解析式.
解：把（2，1）、（1，-2）、（0，5）分别代 2 入抛物线 y=ax +bx+c 得：
4a+2b+c=1 a+b+c=-2 c=5 a=2 解这个方程组得：b=-12 c=5
已知三点确定二次

二次函数的表达式常见的三种形式

二次函数的表达式常见的三种形式：
1、一般式：)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 为常数，且，
当已知抛物线上任意三点坐标时，通常设其函数表达式为一般式，然后列出关于c b a ,,的三元一次方程组求解；
2、顶点式：)0,,(2≠++=a k h a k h x a y 为常数，且）（，当已知抛物线的顶点坐标和抛
物线上另一点的坐标时，通常先设函数的表达式为顶点式，然后将另一点的坐标带入，解关于a 的一元一次方程；
3、交点式（拓展）：)0,,)()((2121≠--=a x x a x x x x a y 为常数，且，其中21,x x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标.当已知抛物线与x 轴的交点及抛物线上另一点坐标时，通常先设其函数表达式为))((21x x x x a y --=，然后将另一点的坐标带入求出待定系数a .。

2.3 确定二次函数的表达式教案

一、情境导入一副眼镜镜片的下半部分轮廓对应的两条抛物线关于y 轴对称，如图．AB ∥x 轴，AB ＝4cm ，最低点C 在x 轴上，高CH ＝1cm ，BD ＝2cm.你能确定右轮廓线DFE 所在抛物线的函数解析式吗？二、合作探究探究点：用待定系数法确定二次函数解析式【类型一】已知顶点坐标确定二次函数解析式已知抛物线的顶点坐标为M (1，－2)，且经过点N (2，3)，求此二次函数的解析式．解析：因为抛物线的顶点坐标为M (1，－2)，所以设此二次函数的解析式为y ＝a (x －1)2－2，把点N (2，3)代入解析式解答．解：已知抛物线的顶点坐标为M (1，－2)，设此二次函数的解析式为y ＝a (x －1)2－2，把点N (2，3)代入解析式，得a －2＝3，即a ＝5，∴此函数的解析式为y ＝5(x －1)2－2.方法总结：若题目给出了二次函数的顶点坐标，则采用顶点式求解简单．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练” 第9题【类型二】已知三个点确定二次函数解析式已知：抛物线经过A (－1，8)、B (3，0)、C (0，3)三点． (1)求抛物线的表达式；(2)写出该抛物线的顶点坐标．解析：(1)设一般式y ＝ax 2＋bx ＋c ，再把A 、B 、C 三点坐标代入得到关于a 、b 、c 的方程组，然后解方程组求出a 、b 、c 即可；(2)把(1)中的解析式配成顶点式即可得到抛物线的顶点坐标．解：(1)设抛物线的解析式为y ＝ax 2＋bx ＋c ，根据题意得⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＋c ＝8，9a ＋3b ＋c ＝0，c ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－4，c ＝3.所以抛物线的解析式为y ＝x 2－4x ＋3；(2)y ＝x 2－4x ＋3＝(x －2)2－1，所以抛物线的顶点坐标为(2，－1)．方法总结：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练” 第4题【类型三】已知两交点或一交点和对称轴确定二次函数解析式已知下列抛物线满足以下条件，求各个抛物线的函数表达式． (1)抛物线经过两点A (1，0)，B (0，－3)，且对称轴是直线x ＝2；(2)抛物线与x 轴交于(－2，0)，(4，0)两点，且该抛物线的顶点为(1，－92)．解析：(1)可设交点式y ＝a (x －1)(x －3)，然后把B 点坐标代入求出a 即可；(2)可设交点式y ＝a (x ＋2)(x －4)，然后把点(1，－92)代入求出a 即可．解：(1)∵对称轴是直线x ＝2，∴抛物线与x 轴另一个交点坐标为(3，0)．设抛物线解析式为y ＝a (x －1)(x －3)，把B (0，－3)代入得a (－1)×(－3)＝－3，解得a ＝－1，∴抛物线解析式为y ＝－(x －1)(x －3)＝－x 2＋4x －3；(2)设抛物线解析式为y ＝a (x ＋2)(x －4)，把(1，－92)代入得a (1＋2)×(1－4)＝－92，解得a ＝12，所以抛物线解析式为y ＝12(x ＋2)(x －4)＝12x 2－x －4.方法总结：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x 轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第6题【类型四】二次函数解析式的综合运用如图，抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 过点A (－4，－3)，与y 轴交于点B ，对称轴是x ＝－3，请解答下列问题：(1)求抛物线的解析式；(2)若和x 轴平行的直线与抛物线交于C ，D 两点，点C 在对称轴左侧，且CD ＝8，求△BCD 的面积．解析：(1)把点A (－4，－3)代入y ＝x 2＋bx ＋c 得16－4b ＋c ＝－3，根据对称轴是x ＝－3，求出b ＝6，即可得出答案；(2)根据CD ∥x 轴，得出点C 与点D 关于x ＝－3对称，根据点C 在对称轴左侧，且CD ＝8，求出点C 的横坐标和纵坐标，再根据点B 的坐标为(0，5)，求出△BCD 中CD 边上的高，即可求出△BCD 的面积．解：(1)把点A (－4，－3)代入y ＝x 2＋bx ＋c 得16－4b ＋c ＝－3，∴c －4b ＝－19.∵对称轴是x ＝－3，∴－b2＝－3，∴b ＝6，∴c ＝5，∴抛物线的解析式是y ＝x 2＋6x ＋5；(2)∵CD ∥x 轴，∴点C 与点D 关于x ＝－3对称．∵点C 在对称轴左侧，且CD ＝8，∴点C 的横坐标为－7，∴点C 的纵坐标为(－7)2＋6×(－7)＋5＝12.∵点B 的坐标为(0，5)，∴△BCD 中CD 边上的高为12－5＝7，∴△BCD 的面积＝12×8×7＝28.方法总结：此题考查了待定系数法求二次函数的解析式以及二次函数的图象和性质，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第6题三、板书设计确定二次函数的表达式1．运用顶点式确定二次函数解析式 2．运用三点式确定二次函数解析式 3．运用交点式确定二次函数解析式。

二次函数表达式的确定(原创)

二次函数表达式的确定待定系数法确定二次函数表达式的步骤：（1）设出适当的二次函数表达式，(2)根据已知信息，构建关于常数的方程（组），(3)解方程(组)，(4)把求出的常数的值代入所设的表达式一般式：顶点式：，其中(h，k)为顶点，交点式：，其中x1，x2为抛物线与x轴的两个交点的横坐标；.1．已知抛物线过(1，－1)，(2，－4)和(0，4)三点，求二次函数表达式2．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c，当x＝－2时，y＝5，当x＝1时，y＝－4，当x＝3时，y＝0，求抛物线的函数表达式3.已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象经过A(－1，－1)，B(0，2)，C(1，3)．(1)求二次函数的表达式；(2)画出二次函数的图象4.已知抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点A(0，3)，B(3，0)，C(4，3)．(1)求抛物线的表达式；(2)求抛物线的顶点坐标和对称轴；5.在平面直角坐标系内，二次函数图象的顶点为A(1，－4)，且过点B(3，0)，求该二次函数的表达式．6.在平面直角坐标系中，二次函数的图象顶点为，且过点，求与的函数关系式为6.已知抛物线的顶点为A(1，4)，与y轴交于点B(0，3)，与x轴交于C，D两点，点P是x轴上的一个动点．(1)求此抛物线的表达式；(2)当PA＋PB的值最小时，求点P的坐标．7.抛物线与x轴交于点(－1，0)和(3，0)，与y轴交于点(0，－3)，求此抛物线的表达式8.已知抛物线过三点：（－1，0）、（1，0）、（0，3）．（1）.求这条抛物线所对应的二次函数的关系式；9.如图，已知抛物线过A，B，C三点，点A的坐标为(－1，0)，点B的坐标为(3，0)，且3AB＝4OC，求抛物线的表达式10.如图，已知二次函数的图象与x轴交于A(－2，0)，B(4，0)两点，且函数的最大值为9.11.已知二次函数的图象的顶点为A(2，－2)，并且经过B(1，0)，C(3，0)，求这条抛物线的函数表达式．10.已知二次函数图象上部分点的坐标满足下表：求该二次函数的解析式；用配方法求出该二次函数图象的顶点坐标和对称轴．1. 已知二次函数的图象如图所示求这个二次函数的表达式A. y ＝x 2－2x ＋3B. y ＝x 2－2x －3C. y ＝x 2＋2x －3D. y ＝x 2＋2x ＋32. 一抛物线和抛物线y ＝－2x 2的形状、开口方向完全相同，顶点坐标(－1，3)，则该抛物线的表达式为( ) A. y ＝－2(x －1)2＋3 B. y ＝－2(x ＋1)2＋3 C. y ＝－(2x ＋1)2＋3 D. y ＝－(2x －1)2＋33. 抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 经过A (－1，0)，B (3，0)两点，则这条抛物线的解析式为( )A. y ＝x 2－2x －3B. y ＝x 2－2x ＋3C. y ＝x 2＋2x －3D. y ＝x 2＋2x ＋3 4. 由表格中信息可知，若设y ＝ax 2＋bx ＋c ，则下列y 与x 之间的函数表达式正确的是( )A. y ＝x 2－4x ＋3 5. 如果抛物线经过点A (2，0)和B (－1，0)，且与y 轴交于点C ，若OC ＝2，则这条抛物线的表达式是( ) A. y ＝x 2－x －2B. y ＝－x 2－x －2或y ＝x 2＋x ＋2C. y ＝－x 2＋x ＋2D. y ＝x 2－x －2或y ＝－x 2＋x ＋2 7.已知二次函数的图象以A (－1，4)为顶点，且过点B (2，－5)，则该函数的表达式为 . 8. 如图，抛物线的表达式为，直线BC 的表达式为，S △ABC ＝ .9. 如图，已知抛物线y ＝－x 2＋bx ＋c 的对称轴为直线x ＝1，且与x 轴的一个交点为(3，0)，那么它对应的函数表达式是 .10. 已知二次函数的图象经过原点及点(－12，－14)，且图象与x 轴的另一交点到原点的距离为1，则该二次函数的表达式为 .11. 如图，已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象经过A(－1，－1)，B(0，2)，C(1，3).(1)求二次函数的解析式；(2)画出二次函数的图象.12. 已知抛物线y＝ax2＋bx经过点A(－3，－3)和点P(t，0)，且t≠0.(1)若该抛物线的对称轴经过点A，请通过观察图象，指出此y的最小值，并写出t的值；(2)若t＝－4，求a，b的值，并指出此时抛物线的开口方向；(3)直接写出使该抛物线开口向下的t的一个值.15. 如图，顶点为A(3，1)的抛物线经过坐标原点O，与x轴交于点B.(1)求抛物线对应的二次函数的表达式；(2)过B作OA的平行线交y轴于点C，交抛物线于点D，求证：△OCD≌△OAB.16. 如图，二次函数y＝ax2＋bx的图象经过点A(2，4)与B(6，0).(1)求a，b的值；(2)点C是该二次函数图象上A，B两点之间的一动点，横坐标为x(2＜x＜6).写出四边形OACB的面积S关于点C的横坐标x的函数表达式，并求S的最大值.参考答案1. B2. B3. A4. A5. D6. y ＝－23(x ＋2)2＋1 7. y ＝－(x ＋1)2＋48. y ＝45x 2－165x －4 y ＝45x －4 12 9. y ＝－x 2＋2x ＋3 10. y ＝x 2＋x 或y ＝－13x 2＋13x11. 解：(1)∵二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象经过A (－1，－1)，B (0，2)，C (1，3).∴2(1)(1)1,2,3,a b c c a b c ìï?+?+=-ïïï=íïï++=ïïî解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝2，c ＝2，∴y ＝－x 2＋2x ＋2.(2)画图略.12. 解：(1)y 的最小值为－3，t ＝－6.(2)分别把(－4，0)和(－3，－3)代入y ＝ax 2＋bx ，得⎩⎪⎨⎪⎧ 0＝16a －4b ，－3＝9a －3b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝4.∴抛物线表达式为y ＝x 2＋4x ，∵a ＝1＞0，∴抛物线开口向上. (3)－1(答案不唯一)13. 解：(1)∵y ＝x 2＋bx ＋c 过原点，∴c ＝0.又∵y ＝x 2＋bx 过点A (2，0)，∴b ＝－2，∴y ＝x 2－2x . (2)y ＝x 2－2x ＝(x －1)2－1，∴顶点坐标为(1，－1)，对称轴为直线x ＝1.(3)∵点A 的坐标为(2，0)，∴OA ＝2.∵S △OAB ＝3，∴12OA ·||y B ＝3，∴||y B ＝3.∵抛物线最低点坐标为(1，－1)，∴y B ＝3，∴3＝x 2－2x ，即x 2－2x －3＝0，(x －3)(x ＋1)＝0，∴x 1＝－1，x 2＝3.∴点B 坐标(－1，3)或(3，3).14. 解：(1)把A (2，0)，B (0，－6)的坐标代入y ＝－12x 2＋bx ＋c ，得⎩⎪⎨⎪⎧ －2＋2b ＋c ＝0，c ＝－6，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝4，c ＝－6.∴这个二次函数的表达式为y ＝－12x 2＋4x －6.(2)∵该抛物线的对称轴为直线x ＝－412()2?＝4，∴点C 的坐标为(4，0).∴AC ＝OC －OA ＝4－2＝2.∴S △ABC＝12·AC ·OB ＝12×2×6＝6. 15. 解：(1)∵抛物线顶点为A (3，1)，设抛物线对应的二次函数的表达式为y ＝a (x －3)2＋1，将原点坐标(0，0)代入表达式，得a ＝－13.∴抛物线对应的二次函数的表达式为y ＝－13x 2＋233x .(2)将y ＝0代入y ＝－13x 2＋233x 中，解得x ＝0(舍去)或x ＝23，∴B 点坐标为(23，0)，设直线OA 对应的一次函数的表达式为y ＝kx ，将A (3，1)代入表达式y ＝kx 中，得k ＝33，∴直线OA 对应的一次函数的表达式为y ＝33x .∵BD ∥AO ，设直线BD 对应的一次函数的表达式为y ＝33x ＋b ，将B (23，0)代入y ＝33x＋b 中，解得b ＝－2，∴直线BD 对应的一次函数的表达式为y ＝33x －2.由⎩⎨⎧y ＝33x －2，y ＝－13x 2＋233x ，得交点D的坐标为(－3，－3)，将x ＝0代入y ＝33x －2中，得C 点的坐标为(0，－2)，由勾股定理，得OD ＝23，又OA ＝2＝OC ，AB ＝2＝CD ，OB ＝23＝OD .在△OAB 与△OCD 中，⎩⎪⎨⎪⎧OA ＝OC AB ＝CDOB ＝OD，∴△OAB ≌△OCD .(2)如图，过点A 作x 轴的垂线，垂足为D (2，0)，连接CD ，CB ，过点C 作CE ⊥AD ，CF ⊥x 轴，垂足分别为E ，F ，S △OAD ＝12OD ·AD ＝12×2×4＝4，S △ACD ＝12AD ·CE ＝12×4×(x －2)＝2x －4；S △BCD ＝12BD ·CF ＝12×4×(－12x 2＋3x )＝－x 2＋6x ，则S ＝S △OAD ＋S △ACD ＋S △BCD ＝4＋2x －4－x 2＋6x ＝－x 2＋8x ，∴S 关于x 的函数表达式为S ＝－x 2＋8x (2＜x ＜6)，∵S ＝－x 2＋8x ＝－(x －4)2＋16，∴当x ＝4时，四边形OACB 的面积S 有最大值，最大值为16.。

专题02 确定二次函数的表达式(原卷版)

第二讲确定二次函数的表达式目录必备知识点 (1)考点一顶点式求表达式 (2)考点二两点式求表达式 (3)考点三一般式求表达式 (4)知识导航必备知识点知识点1 二次函数的解析式的常见形式（1）一般式：y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0），该形式的优势是能直接根据解析式知道抛物线与y轴的交点坐标是（0，c）。

（2）顶点式：y=a（x-h）2+k（a，h，k是常数，a≠0），其中（h，k）为顶点坐标，该形式的优势是能直接根据解析式得到抛物线的顶点坐标为（h，k）。

（3）交点式：y=a（x-x1）（x-x2）（a，b，c是常数，a≠0），该形式的优势是能直接根据解析式得到抛物线与x轴的两个交点坐标（x1，0），（x2，0）。

知识点2 二次函数与一元二次方程关系（1）对于二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）来说，当y＝0时，就得一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a ≠0）．抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交点的横坐标，就是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根；2、二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象与x轴的交点有三种情况（也即一元二次方ax2＋bx＋c ＝0根的情况）①抛物线y＝ax2＋bx＋c （a≠0）的图象与x轴有两个交点（x1，0）（x2，0）当Δ＞0时，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）有两个不相等的实数根x1，x2，②抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）与x轴有一个交点，恰好就是抛物线的顶点当＝0时，方程ax2＋bx＋c＝0有两个相等的实数根③抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）与x轴没有交点当Δ＜0时，方程ax2＋bx＋c＝0没有实数根。

知识点3 待定系数法求二次函数的解析式在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．考点一顶点式求表达式1．二次函数的图象如图所示，则这个二次函数的表达式为（）A．y＝x2+2x﹣3B．y＝x2﹣2x﹣3C．y＝﹣x2+2x﹣3D．y＝﹣x2﹣2x+32．一个二次函数图象的顶点坐标是（2，4），且过另一点（0，﹣4），则这个二次函数的解析式为（）A．y＝﹣2（x+2）2+4B．y＝2（x+2）2﹣4C．y＝﹣2（x﹣2）2+4D．y＝2（x﹣2）2﹣43．如图，抛物线与直线交于点A（﹣4，﹣1）和点B（﹣2，3），抛物线顶点为A，直线与y轴交于点C．（1）求抛物线和直线的解析式；（2）若y轴上存在点P使△P AB的面积为9，求点P的坐标．考点二两点式求表达式4．已知二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象过点A（3，0）、C（﹣1，0）．（1）求此二次函数的解析式；（2）如图，二次函数的图象与y轴交于点B，二次函数图象的对称轴与直线AB交于点P，则P 点的坐标．5．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点A（﹣1，0）、B（3，0）两点，与y 轴交于点C（0，3），D为抛物线的顶点．（1）求此二次函数的表达式；（2）求△CDB的面积．（3）在其对称轴右侧的抛物线上是否存在一点P，使△PDC是等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．6．如图，已知抛物线经过A（4，0），B（1，0），C（0，﹣2）三点．（1）求该抛物线的解析式；（2）在直线AC上方的该抛物线上是否存在一点D，使得△DCA的面积最大，若存在，求出点D 的坐标及△DCA面积的最大值；若不存在，请说明理由．考点三一般式求表达式7．如图，抛物线y＝x2+bx+c经过点A（﹣1，0），点B（2，﹣3），与y轴交于点C，抛物线的顶点为D．（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线上是否存在点P，使△PBC的面积是△BCD面积的4倍，若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．8．已知：在直角坐标系中直线y＝﹣x+4与x轴、y轴相交于点A、B，抛物线y＝﹣+bx+c经过点A 和点B．（1）求抛物线的解析式；（2）如果直线AB与抛物线的对称轴相交于点C，求OC的长；（3）P是线段OA上一点，过点P作直线AB的平行线，与y轴相交于点Q，把△OPQ沿直线PQ翻折，点O的对应点是点D，如果点D在抛物线上，求点P的坐标．9．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点A（﹣1，0），点B（3，0），点C（0，3），连接AC．（1）求二次函数的表达式；（2）点P是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象上位于第一象限内的一点，过点P作PQ∥AC，交直线BC于点Q，若PQ＝AC，求点P的坐标．。

初中数学二次函数如何化为顶点式

初中数学二次函数如何化为顶点式二次函数是指一元二次方程，其一般形式为：y=ax^2+bx+c，其中a、b和c为实数且a≠0。

顶点式是一种表示二次函数的方式，其形式为：y=a(x-h)^2+k，其中(h,k)为二次函数的顶点坐标。

将一般形式的二次函数化为顶点式的步骤：1. 先将一般形式的二次函数y=ax^2+bx+c中的常数项c移到等式的右边，得到y=ax^2+bx=-c。

2. 将等式两边同时除以a，得到y=(ax^2+bx)/a=-c/a。

3.下一步是将等式右边的二次项和一次项合并，即将右边的表达式中的二次项和一次项写成完全平方的形式。

要实现这一点，可以采用“配方法”。

配方法的具体步骤是：对于y=(ax^2+bx)/a=-c/a，先对等式右边进行平方，得到右边的平方项和两倍积项。

然后，在等式左边加上相应的平方项和两倍积项，即可使等式两边保持相等。

具体来说，对于y=(ax^2+bx)/a=-c/a，我们将等号右边的表达式加上(b/2a)^2，得到左边的表达式也要加上(b/2a)^2，即y=(ax^2+bx)/a+(b/2a)^2=-c/a+(b/2a)^24.等式右边的部分，取公共因式a，得到y=(ax^2+bx)/a+(b/2a)^2=a(x^2+(b/2a)x+(b/2a)^2)=-c/a+(b/2a)^25.将等式右边的部分进行因式分解，得到y=a(x+(b/2a))^2-c/a+(b/2a)^26.最后，对于等式右边的后两项进行合并化简，得到y=a(x+(b/2a))^2-(c/a-(b/2a)^2)。

7.观察等式右边的表达式，可以发现顶点坐标(h,k)是(-b/2a,c/a-(b/2a)^2)。

8.故而，原二次函数的顶点式为y=a(x-h)^2+k，其中h=-b/2a，k=c/a-(b/2a)^2将一般形式的二次函数化为顶点式，需要进行合并化简和配方法，接下来通过具体的例子来进一步说明：例题：将二次函数y=2x^2+4x+3化为顶点式。

用待定系数法求二次函数的解析式---顶点式

解：抛物线的形状、开口方向与y=-3x2+1相同，所以a=-3．顶点在（2，5），所以是y=-3（x-2）2+5，所以y=-3x2-12x-7．
4.已知：二次函数的图象经过原点，对称轴是直线x=-2，最高点的纵坐标为4，求：该二次函数解析式．
解：∵二次函数的图象对称轴是直线x=-2，最高点的纵坐标为4， ∴抛物线的顶点坐标为（-2，4）， ∴设y=a（x+2）2+4（a≠0）， ∵二次函数的图象经过原点， ∴代入（0，0）点，则有0=a（0+2）2+4，解得a=-1， ∴二次函数解析式为：y=-x2-4x．
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已知二次函数的图象过坐标原点，它的顶点坐标是(1，－2)，求这个二次
函数的关系式. 解：设二次函数的解析式为y=a(x−1)2－2， ∵二次函数的图象经过原点， ∴0=a(0−1)2－2， ∴a=2， ∴二次函数的解析式为y=2(x−1)2－2，即y=2x2－4x．
例2 已知某二次函数的最大值为2，图象的顶点在直线y=x+1上，并且图
y=a(x+2)2+1，再把点（1，-8）代入上式得
a(1+2)2+1=-8，解得 a=-1. ∴所求的二次函数的表达式是y=-(x+2)2+1或y=-x2-4x-3.
顶点法求二次函数的方法
这种知道抛物线的顶点坐标，求表达式的方法叫做顶点法. 其步骤是： ①设函数表达式是y=a(x-h)2+k； ②先代入顶点坐标； ③将另一点的坐标代入解析式求出a值； ④a用数值换掉，写出函数表达式.
解：对称轴是x=3，顶点是（3，2），设解析式是y=a（x-3）2+2，根据题意得：a+2=1，解得a=-1， ∴解析式是：y=-（x-3）2+2，即y=-x2+6x-7．

北师大版九年级数学下册《二次函数——确定二次函数的表达式》教学PPT课件(4篇)

y=ax2+bx+c,把（－3，0），（－1，0），
1.设：
（表达式）
（0，－3）代入y=ax2+bx+c得
2.代：
a=－1，
9a
－
3b+c=0，
（坐标代入）
a－b+c=0，解得 b=－4，
3.解：
c=－3，
c=－3.
方程（组）
4.还原：
∴所求的二次函数的表达式是
（写表达式）
y=－x2－4x－3.
第二章二次函数
3 确定二次函数的表达式
CONTENTS
目
录
1
学习目标
2
新课导入
3
新课讲解
4
课堂小结
5
当堂小练
6
拓展与延伸
学习目标
1.用一般式(三点式)确定二次函数表达式
2.用顶点式确定二次函数表达式
3.用交点式确定二次函数表达式（重点、难点）
新课导入
1. 一次函数的表达式是什么?如何求出它的表达式?
2
(2)△ABC的面积是6.
O
B
A
C
x
随堂即练
6.已知一条抛物线经过E（0，10），F（2，2），G
（4，2），H（3，1）四点，选择其中两点用待定系
a b c 6

9a 3b c 0
c 3

解这个方程组，得a= 0.5，b= – 2.5，c=3
∴所求得的函数解析式为y=0.5x²– 2.5x+3
当堂小练
已知：二次函数的图像的对称轴为直线x= –3，并且函数有最
大值为5，图像经过点(–1,–3)，求这个函数的解析式。

二次函数的顶点式

二次函数的顶点式二次函数是一种常见的数学函数，它的一般形式可以表示为：y = ax^2 + bx + c其中，a、b和c是常数，且a不等于 0。

二次函数的图形是一条平滑的曲线，通常被称为抛物线。

抛物线开口的方向由二次项系数a的正负号决定。

在数学中，有多种形式的二次函数表示方法，其中之一是顶点式。

顶点式可以使我们更轻松地确定抛物线的最高或最低点，即顶点。

顶点式的推导过程我们可以通过完成平方项的平方来推导出顶点式。

首先，从标准形式的二次函数出发：y = ax^2 + bx + c接下来，我们可以通过完成平方项的平方将二次项进行转换。

这个过程可以通过以下步骤实现：1.将一次项系数b分解成两个相等的项，并记为2px。

这样，我们可以得到一个新的函数表达式：y = ax^2 + 2px + c2.然后，将a提取出来，得到a(x^2 + (2p/a)x) +c。

3.接下来，我们将平方项x^2 + (2p/a)x完善为一个完全平方的项。

完善这个平方项的最佳方法是将其形式化为(x + p/a)^2。

4.为了保持等式平衡，在新项的前面添加一个适当的常数来补偿，也就是(x + p/a)^2 - (p/a)^2。

5.最后，这个过程将给我们带来一个新的函数表达式，即二次函数的顶点式：y = a(x + p/a)^2 - (p/a)^2 + c顶点式的含义二次函数的顶点式为我们提供了有关抛物线的重要信息。

其中，(h, k)是顶点的坐标，其中h表示横坐标，k表示纵坐标。

顶点式的形式是(x - h)^2 + k，其中h和k可以通过标准形式的二次函数的系数计算得出。

公式如下：h = -b/2ak = f(h) = ah^2 + bh + c这意味着，二次函数的顶点V(h, k)位于x轴对称的位置，且为抛物线的最高或最低点。

通过顶点式，我们可以直观地了解抛物线的开口方向、最高或最低点的坐标以及其他方程的性质。

使用顶点式的例子假设我们需要确定二次函数y = 2x^2 - 8x + 5的顶点。

确定二次函数表达式(已知三个条件)

确定二次函数的表达解析式时，应该根据条件的特点，恰当地选用一种函数表达方式.
上时，ON=t，MN= 3t，所以S= 3 t2（0≤t≤2）；当点M在AB上时，MN的
2
值不变为 2 3，所以S= 3t（2≤t≤4），故选C.
你学到哪些二次函数表达式的求法？（1）已知图象上三点的坐标或给定x与y的三对对应值，通常选择一般式. （2）已知图象的顶点坐标,对称轴和最值,通常选择顶点式. （3）已知图象与x轴的交点坐标,通常选择交点式.
【跟踪训练】
（西安·中考）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过
A（-1，0），B（3，0），C（0，-1）三点.
求该抛物线的表达式.
y
【解析】设该抛物线的表达式为y=ax2+bx+c,
根据题意，得
a b c 0, 9a 3b c 0, c 1.
a

1 3
【例题】
【例1】已知一个二次函数的图象过（－1，10），（1， 4），（2，7）三点，求这个函数的表达式.
解析：设所求的二次函数为y=ax2+bx+c，
a-b+c=10，
a=2,
由条件得： a+b+c=4，解方程组得： b=-3,
4a+2b+c=7，
c=5.
因此，所求二次函数的表达式是
y=2x2-3x+5.
3 确定二次函数的表达式
1.会用待定系数法确定二次函数的表达式. 2.会求简单的实际问题中的二次函数表达式.
二次函数表达式有哪几种表达方式？一般式：y=ax2+bx+c 顶点式：y=a(x-h)2+k 交点式：y=a(x-x1)(x-x2)

二次函数顶点坐标公式的推导过程

⼆次函数顶点坐标公式的推导过程⼆次函数顶点坐标公式的推导过程是什么呢?感兴趣的⼩伙伴快来和⼩编⼀起看看吧。

下⾯是由店铺⼩编为⼤家整理的“⼆次函数顶点坐标公式的推导过程”，仅供参考，欢迎⼤家阅读。

⼆次函数顶点坐标公式的推导过程⼆次函数的顶点式：y=a(x-h)^2+k k(a≠0,a、h、k为常数),顶点坐标为(h,k) 推导过程：y=ax^2+bx+cy=a(x^2+bx/a+c/a) y=a(x^2+bx/a+b^2/4a^2+c/a-b^2/4a^2) y=a(x+b/2a)^2+c-b^2/4a y=a(x+b/2a)^2+(4ac-b^2)/4a 对称轴x=-b/2a顶点坐标(-b/2a,(4ac-b^2)/4a) 拓展阅读：⼆次函数的顶点表达式 y=a(x-h)²+k(a≠0,a、h、k为常数),顶点坐标为(h,k) [4] ，对称轴为直线x=h，顶点的位置特征和图像的开⼝⽅向与函数y=ax²的图像相同，当x=h时，y最⼤(⼩)值=k.有时题⺫会指出让你⽤配⽅法把⼀般式化成顶点式。

例：已知⼆次函数y的顶点(1,2)和另⼀任意点(3,10)，求y的解析式。

解：设y=a(x-1)²+2，把(3,10)代⼊上式，解得y=2(x-1)²+2。

注意：与点在平⾯直⾓坐标系中的平移不同，⼆次函数平移后的顶点式中，h>0时，h越⼤，图像的对称轴离y轴越远，且在x轴正⽅向上，不能因h前是负号就简单地认为是向左平移。

具体可分为下⾯⼏种情况：当h>0时，y=a(x-h)²的图像可由抛物线y=ax²向右平⾏移动h个单位得到; 当h>0时，y=a(x+h)²的图像可由抛物线y=ax²向左平⾏移动h个单位得到;当h>0,k>0时，将抛物线y=ax²向右平⾏移动h个单位，再向上移动k个单位，就可以得到y=a(x-h)²+k的图像; 当h>0,k>0时，将抛物线y=ax²向左平⾏移动h个单位，再向下移动k个单位，就可以得到y=a(x+h)²-k的图像; 当h<0,k>0时，将抛物线y=ax²向左平⾏移动|h|个单位，再向上移动k个单位可得到y=a(x-h)²+k的图像; 当h<0,k<0时，将抛物线y=ax²向左平⾏移动|h|个单位，再向上移动|k|个单位可得到y=a(x-h)²+k的图像。

北师大数学九年级下册第二章-确定二次函数的表达式(含解析)

第02讲_确定二次函数的表达式知识图谱二次函数解析式的求法知识精讲一般式 ()20y ax bx c a =++≠已知任意3点坐标，可用一般式求解二次函数解析式待定系数法已知抛物线2y ax bx c =++过()1,1-、()2,4-和()0,4三点，求a b c、、的值解：把点()1,1-，()2,4-和()0,4代入抛物线解析式可得14244a b c a b c c ++=-⎧⎪++=-⎨⎪=⎩，解得164a b c =⎧⎪=-⎨⎪=⎩，顶点式 ()2y a x h k =-+()0a ≠已知顶点坐标或对称轴时，可用顶点式求解二次函数解析式顶点式求解析式一抛物线和y =﹣2x 2的形状和开口方向完全相同，且顶点坐标是（﹣2，1），求其解析式解：∵两条抛物线形状与开口方向相同，∴a =﹣2，又∵顶点坐标是（﹣2，1），∴y =﹣2（x +2）2+1易错点：顶点式中符号容易代错，例如顶点为()1,3-，错把解析式设为()213y a x =-+三．二次函数的两根式两根式 1．已知抛物线与x 轴的两个交点坐标，可用两根式求解析式； 2. 已知抛物线经过两点，且这两点的纵坐标相等时，可在两根式的基础上求解析式两根式求解析式已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 过点A （－1，1），B （3，1），3(2,)2C - 求解析式解：设抛物线的解析式为y ＝a （x ＋1）（x －3）+1把3(2,)2c -代入解析式，求出a 即可易错点：（1）任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示（2）二次函数解析式的这三种形式可以互化三点剖析一．考点：二次函数解析式的求法．二．重难点：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化．三．易错点：顶点式中符号容易代错，例如顶点为()1,3-，错把解析式设为()213y a x =-+．待定系数法例题1、已知抛物线2y ax bx c =++过()1,1-、()2,4-和()0,4三点，那么a b c 、、的值分别是（）A.164a b c =-=-=，，B.164a b c ==-=-，，C.164a b c =-=-=-，，D.164a b c ==-=，，【答案】 D【解析】把点()1,1-，()2,4-和()0,4代入抛物线解析式可得14244a b c a b c c ++=-⎧⎪++=-⎨⎪=⎩，解得164a b c =⎧⎪=-⎨⎪=⎩，故答案为D 选项．例题2、已知二次函数的图象经过（0，0）（－1，－1），（1，9）三点．（1）求这个函数的解析式；（2）求这个函数图象的顶点坐标．【答案】（1）y ＝4x 2＋5x（2）（58-，2516-）．【解析】（1）设所求二次函数的解析式为y ＝ax 2＋bx ＋c （a≠0），根据题意，得019c a b c a b c =⎧⎪-+=-⎨⎪++=⎩，解得450a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴所求二次函数的解析式为y ＝4x 2＋5x ．（2）由22525454()816y x x x x =+=+-， ∴顶点坐标为（58-，2516-）．例题3、已知抛物线2y x bx c =-++经过点A （3，0），B （－1，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）求抛物线的对称轴．【答案】（1）y=-x 2+2x+3（2）x=1【解析】暂无解析随练1、已知二次函数的图像经过点()1,5--，()0,4-和()1,1，则这个二次函数的解析式为（） A.2634y x x =-++ B.2234y x x =-+- C.224y x x =+- D.2234y x x =+-【答案】 D【解析】由待定系数法可求得2234y x x =+-．随练2、已知一个二次函数过()0,0，()1,11-，()1,9三点，求二次函数的解析式．【答案】 210y x x =-【解析】设二次函数的解析式为2y ax bx c =++（0a ≠），因为抛物线经过点()0,0，()1,11-，()1,9，所以0119c a b c a b c =⎧⎪-+=⎨⎪++=⎩，解得1010a b c =⎧⎪=-⎨⎪=⎩，所以二次函数解析式为210y x x =-．顶点式例题1、函数21212y x x =++写成y ＝a （x －h ）2＋k 的形式是（） A.21(1)22y x =-+ B.211(1)22y x =-+ C.21(1)32y x =-- D.21(2)12y x =+- 【答案】 D【解析】 22211121(44)21(2)1222y x x x x x =++=++-+=+-．例题2、二次函数的顶点为（﹣2，1），且过点（2，7），则二次函数的解析式为_____________．【答案】 y=23(x 2)18++ 【解析】设抛物线解析式为y=a （x+2）2+1，把（2，7）代入得a•（2+2）2+1=7，解得a=38，所以抛物线解析式为y=38（x+2）2+1。

用“顶点式”求二次函数解析式

用“顶点式”求二次函数解析式-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1§“顶点式”求二次函数解析式——提前自学日期 2010年11月主备华伯清审核毛锡东建议时间：15分钟实际时间：____分钟一、自学目标：1、会用抛物线的顶点式y=a(x-h)2+k求抛物线的解析式；2、通过求二次函数的解析式，进一步加深对各种形式的二次函数性质的理解；3、会利用二次函数的有关知识解决一些简单的实际问题。

二、自学过程：（一）、复习回顾1、已知二次函数的图象经过A(0，1)，B(1，3)，C(－1，1）。

(1)求二次函数的关系式，(2)画出二次函数的图象；(3)说出它的顶点坐标和对称轴。

2、二次函数y＝ax2＋bx＋c，（1）写出它的顶点式；（2）写出顶点坐标.（二）想一想已知抛物线对称轴是直线x＝2，且经过(3，1)和(0，－5)两点，求二次函数的关系式。

（完．成以下步骤．．．．．）．解法1：设所求二次函数的解析式是y＝ax2＋bx＋c，解法2：设所求二次函数的关系式为y ＝a(x－2)2＋k，∵二次函数的图象过点(0，－5)，∵图象经过(3，1)和(0，－5)两点，可以得到∴ c＝－5，∴所求的二次函数的关系式为_________________. ∴所求的二次函数的关系式为________________.（三）试一试已知一个二次函数的图象过点(0，1)，它的顶点坐标是(8，9)，请用设顶点式的方法求这个二次函数的关系式。

23§ “顶点式”求二次函数解析式——归理与拓展（一）回顾与检测1、若二次函数241y ax x a =++-的最小值为2，则a 的值为_______.2、如图，二次函数y =ax 2+bx +c (a ≠0).图象的顶点为D ，其图象与x 轴的交点A 、B 的横坐标分别为–1、3，与y轴负半轴交于点C .下面四个结论：①2a +b =0；②a +b +c >0；③只有当a = 12 时，△ABD 是等腰直角三角形；④使△ACB 为等腰三角形的a 的值可以有三个.那么，其中正确的结论是 .（只填你认为正确结论的序号）3、函数y ＝x 2＋px ＋q 的最小值是4，且当x ＝2时，y ＝5，则p=___, q=________.4、若抛物线y ＝－x 2＋bx ＋c 的最高点为(－1，－3)，则b=______,c=_______.5、已知二次函数当x ＝－3时，有最大值－1，且当x ＝0时，y ＝－3，求二次函数的关系式。