铁路客流量预测

铁路客流量预测铁路客流量预测目录一、摘要 (2)二、选题背景与意义 (3)三、模型建立与求解 (5)3.1、ARIMA 模型 (5)3.1.1、自回归移动平均模型 (6)3.1.2、季节性预测法 (6)3.1.3、模型求解 (7)3.2、灰色预测模型 (12)3.2.1 、GM(1,1)模型. (6)3.2.2、模型检验 (8)3.2.3、模型求解 (9)四、模型分析与结论 (11)4.1 、方法分析 (11)4.2、模型缺点 (12)五、附录 (12)一、摘要摘要：文章以铁路客流量的短期预测作为切入点，采用定量的时间序列分析方法，建立季节自回归综合移动平均（季节性ARIMA 模型）模型对时间序列进行量化分析。

首先阐述基于该模型的预测的一般过程，即：平稳化处理、差分变换的阶数辨识、参数估计，时间序列模型的构建，然后利用标准 BIC 值，确定较适合的季节自回归综合移动平均模型，取得了较为理想的预测效果。

同时运用灰色预测模型建立铁路客流预测模型，对我国铁路客运量进行预测，灰色模型的方法简单，适合在数据少的情况下预测短期客流量，对未来的结果有很好的预测效果。

关键词：季节性ARIMA 灰色预测铁路客流量预测二、选题背景与意义宏观上来讲铁路客流预测是铁路客运系统合理规划的基础，只有在对规划年度客流的流量、流向、流径进行合理预测与分析的基础之上，才能合理规划未来铁路客运系统的设施设备，合理安排运量，合理确定系统各阶段的发展目标使整个铁路客运系统与社会经济发展、生产力布局相适应，确保国民经济的正常发展。

微观层上来讲主要有以下三方面。

一是铁路客流量预测是铁路设备建设投资的重要依据。

通过对各项客流预测结果分析，可以合理确定研究线路近期、中期、远期在路网中的功能和作用，从而为新线建设、旧线改造和相关客运场站技术设备修建与改造提供客观的依据。

二是铁路客流预测是编制铁路客流计划的基础。

由于我国目前整体运能不足，再加上铁路运输自身的特点，在日常的客流运输组织中需要定期编制相应的客流计划，而准确的客流资料就是该项工作的基础，如果客流资料不完备就会造成运力资源分配的不平衡，从而致使客流滞塞及运力虚糜。

三是铁路客流预测是项目评价及投资估算的依据。

铁路客运建设项目是否值得的投资，什么时候投资，投资规模如何，必须依据未来运量来确定。

系统建成后，其寿命期内获利多少，也需要借助于逐年的未来运量才能估量和计算。

如果没有科学、合理的运量为基础，就必然不能正确衡量和估算系统的经济成本和经济效益，致使经济评估失去真实性，导致投资决策的失误。

由以上分析可以看出铁路客流的预测对于系统的规划与建设、项目的投资与估算有着重要的依据三、模型建立与求解3.1、ARIMA 模型随机时间序列分析模型可划分为 3 种不同类别：自回归模型 ( AR)[1] 、滑动平均模型 ( MA)[2] 以及自回归滑动平均模型 ( ARMA) 。

而自回归滑动平均模型研究的仅为平稳时间序列，而对于非平稳时间序列则通常采用自回归综合移动平均模型ARIMA 。

ARIMA 模型亦可分为带趋势性的模型ARIMA p,d,q ，和既带有趋势又有季节性趋势的模型ARIMA p,d,q (P,D,Q)s。

自回归移动平均过程是由自回归和移动平均两部分组成的随机过程，形式化表示为ARMA(p,q)，其中p 和q分别为自回归和移动平均部分的最大阶数。

ARMA(p,q)的数学表达式为：Xt 1Xt 1 2Xp 2LpXt p t 1 t 1 1 t 2Lq t q 提取公因式，得到如下式子 :(1 1L 2L2L p L p)X t (1 1L 2L2L q L q) t 将其中的乘积项替换，亦可表示为 :(L)X t (L) t其中，(L)和(L)分别表示自变量L的p，q阶特征多项式ARMA 即自回归综合移动平均模型，它满足 如下条件， x t为自回归整和移动平均序列， 记为 ARIMA p,d,q ，其中， d 为整和阶数， p 为自回归系 数， q 为移动平均系数。

在一般的自回归移动平 均模型中，无季节性，仅有趋势性。

假设 x t表示 随机序列，并假定： Lx t某些不平稳的时间序列既具有趋势演化 性，又会随进行周期性的演化， 通常若一个序列 的演化周期为 S ，那么该序列将每隔 S 个时间间隔 均呈类似的变化。

假定有整数 D 0 ，以及随机序列 x t,t 0, 1,... ，满足式： s d sL s x t L t3.1 1 、 自回归移动平均模型x t 13.1 其中 L 是滞后算子L 式中函数表示为：L L d dx t 如果存在非负整数 d ，满足： L111LL 2 L L L 2 L L pL p p pL p p 1， (L) 与 (L)互质， E( t 2) 。

且L 存在 E( t ) 0 ， 0；｛ ｝是白噪音序列，2 、 季节性预测法 [3]则时间序列 x t表示季节性 ARIMA P,D,Q 过程，其中 1 L S ，为季节差分算子， S 为季节性周期，则：S s x t 1 L x t x t x t sD S D D 1 s x t 1 L x t x t x t其中， D 为季节性差分阶数。

且：L s 1 1L s 2L 2sL LL s 1 1L s 2L 2s L L 其中 P 为季节性自回归阶数， 自回归部分的参数， Q 为季节性滑动平均阶数，1, 2,L , p 为季节性移动平均阶数部分的参数。

将 两式融合，变为一般的季节 ARIMA 模型，即：s D d s p L P L x t q L Q L t这里， p 、 d 、q 、P 、 D 和Q 的不同是为了调整不 同算子的阶数，可称得到的季节 ARIMA 模型为 ARIMA p,d,q (P,D,Q)s 。

3.1.3 、 模型求解我们从国家统计局得到的 2008.1-2016.9 铁 路客流量月数据作为时间序列数据， 用上述模型 进行分析，并通过建立的模型来预测未来一年铁路客流量的变化情况,L , n 为季节性从上面的时间序列图可以看出，在每年快春节的时候和十一的时候，客流量是明显高于其他每月的，这也正与实际相吻合，受到春节，假日的影响；同时从图中可以很直观的看出整个客流量呈现出稳定的上升趋势，所以说铁路客流量具有明显的周期性和趋势性，所以我们采用季节性ARIMA模型，即求出p 、d 、q 、P 、D 和Q的值则确定了模型。

由于时间序列明显有上升趋势，所以该时间序列是非平稳的，所以我们先进行一阶差分处理，消除其显著的趋势性，得到下图。

从一阶差分序列图可以发现序列图围绕值上下波动，其方差明显有界，所以时间序列的趋势性有所消除，而一阶处理后的铁路客流量自相关和偏自相关函数值如下所示。

如图所示， ACF与 PACF均呈拖尾形态在零值邻域波动，而且 1，2，10，12 阶相关函数大于 0，与春节，国庆等假日很有关。

为了取得更好的效果，使时间序列更加合理，我们再比对二阶非季节性差分处理的结果，以求得更恰当的参数。

由二阶差分序列图可以看出效果并没有很大的改善，在 2012年 12月之前的序列是更加平稳了，但后面时间的并不理想，所以我们还是先采用一阶差分处理，即选取d 1 ，从图取得拖尾阶数选择p 2，q 2。

下图为一阶季节性差分和一阶非季节性差分的自相关图和偏自相关图。

由于在实际情况中 [] ，p,d,q,P,D,Q (0,1,2)且不全为 0，所以也验证了上面选取p,q也是合理的。

由于一般情况下，季节性差分阶数D 1，由于季节自回归阶数P ，季节移动平均阶数Q 难以确定，为精确起见，我们同时建立多个模型，在系数显著的情况下使用了 BIC 准则来进行比较。

我们考虑对p,d,q,P,D,Q 取不同的值共有 9 种组合，来算 BIC 与考察序列残差是否是白噪声。

在这 9 种不同的组合中我们选取 BIC的值最小的组合。

下面是我们得到的表。

p d q P D Q平稳的R方标准化BIC15.012 1 2 0 1 0 0.72112 1 2 0 1 1 0.725 15.3115.05 2 1 2 0 1 2 0.799 415.322 1 2 1 1 0 0.72215.302 1 2 1 1 1 0.741915.122 1 2 1 1 2 0.797515.202 1 2 2 1 0 0.767515.482 1 2 2 1 1 0.710 515.132 1 2 2 1 2 0.8084由该表，我们得到了p 2,d 1,q 2,P 0,D 1,Q 0的组合，此时 BIC=15.011 最小。

因此我们选用参数定阶对客流量进行预测，经 SPSS处理后得到未来一年铁路客流量的变化以及与原数据比较得到的残差的自相关和偏自相关图。

由预测时序图可以看出整个趋势以及每月的变化预测的还是较为合理残差序列的样本自相关函数与偏自相关函数基本可控制数均可控制 95%的置信区间之内，因此，残差序列为白噪声过程（随机变化过程）在季节性ARIMA 预测法在短期内能输出较理想的预测结果，但随预测时间的增加，预测的误差将逐渐增大，因为预测时间的增加使得预测置信区间的宽度也变大，所以该模型更适用于短期预测。

3.2、灰色预测模型灰色系统预测理论的基本思路是按某种规则将已知的数据序列构成非动态的或动态的白色模块，然后按照某种变换解决来求解未来的灰色模型。

在灰色系统理论中，常用的模型是微分方程所描述的动态方程，最简单的是基于灰色系统理论模型GM (1,1)模型的预测分析。

灰色预测分析可分为几类，即数列预测，灾变预测，季节性灾变预测，拓扑预测及系统综合预测。

GM (1,1)模型[4]灰色理论的微分方程模型称为GM 模型，GM (1,1)表示一阶、单个变量的微分方程。

GM (1,1)是一阶单序列的线性动态模型，用于时间t 序列预测的是其离散形式的微分方程模型，具体形式为dxax udt由上式可知，这是一个单变量 x 对时间的一阶微分方程，是连续的，实际使用的是其离散的单个数据形式。

设有数列x(0)共有n个观察值x(0)(1)，x(0)(2)，x(0)(3)，L ，x(0)(n) ，对x(0)作一次累加生成，得到新的数列x(1)，表达式为ix(1)(i) x(1) (m), i 1,2,L ,nm1対一阶生成数列x(1)建立预测模型，其方程为dx(1)dt 式中：a ，u为待估参数，分别称为发展灰数和内生控制灰数。

将上式的离散形式展开，可得k 1, x(1) (2)a 1(x(1) (1) x (1) (2)) u ;2k 2,x(1)(3)a 1 ( x(1) (2) x(2) (3)) u ;2 MMk n, x(1) (n)1(1) (2)a (x(1)(n 1) x(2) ( n)) u ;2将两个待估模型参数表示为向量形式得aa?u将上述离散方程组用最小二乘法求解，得T 1 Ta? (B T B) 1B T y n将a? 代入上式，解微分方程，得到GM (1,1)的预测模型为x?(1)(k 1) x(0) (1) u e ak uaa式中y n [ x(0) (2), x(0) (3)L ,x(0)(n)]T ;1(x (1)(1) x (1)(2)) 1 2B 12(x (1) (2) x (1)(3)) 1 MM12(x (1)(n 1) x (1)(n)) 1 模型检验灰色预测模型的检验， 有关联检验、 后验检 验和残差检验。