完整版二面角练习题

二面角应用题训练

二面角1.如图三棱锥 P-ABC 中，PC ⊥平面ABC ，PC =32 ，D 是 BC 的中点，且△ADC 是边长为 2的正三角形，求二面角 P-AB －C 的大小。

解2.如图在三棱锥 S-ABC 中，SA ⊥底面ABC ，AB ⊥BC ，DE 垂直平分SC ，且分别交 AC 、SC 于D 、E ，又SA =AB ，BS =BC ，求以BD 为棱，BDE 与BDC解：3. 如图：ABCD 是矩形，AB =8，BC =4，AC 与 BD相交于O 点，P 是平面 ABCD 外一点，PO ⊥面ABCD ，PO =4，M 是 PC 的中点，求二面角 M-BD-C 大小。

解：4.如图△ABC 与△BCD 所在平面垂直，且AB =BC =BD ，∠ABC =∠DBC =120，求二面角 A-BD-C 的余弦值。

解：ABAC5.已知正方体 AC'，M 、N 分别是BB'，DD'的中点，求截面 AMC'N 与面ABCD ，CC'D'D 所成的角。

解：6.如图 AC ⊥面BCD ，BD ⊥面ACD ，若AC =CD =1，∠ABC =30°，求二面角D -的大小。

解：7. 三棱锥 A-BCD 中，∠BAC =∠BCD =90°，∠DBC =30°，AB =AC =6，AD =4，求二面角 A-BC-D 的度数。

解：9. 如图所示，四棱锥P —ABCD 的底面是边长为a 的菱形，∠A ＝60°，PC ⊥平面ABCD ，PC ＝a,E 是PA 的中点.(1)求证平面BDE ⊥平面ABCD.(2)求点E 到平面PBC 的距离.(3)求二面角A —EB —D 的平面角大小. 解析：D ’B ’DAC ’BA ’CMNB F EACDDO ABC10. 如图，已知正方体ABCD —A1B1C1D1的棱长为1，E 、F 分别在棱AB 、BC 上，G 在对角线BD1上，且AE ＝41，BF ＝21，D1G ∶GB ＝1∶2，求平面EFG 与底面ABCD 所成的二面角的大小.11. 如图，设ABC —A1B1C1是直三棱柱，E 、F 分别为AB 、A1B1的中点，且AB ＝2AA1＝2a,AC ＝BC ＝3a. (1)求证：AF ⊥A1C(2)求二面角C —AF —B 的大小12．如图1111D C B A ABCD -是长方体，AB=2，11==AD AA ，求二平面C AB 1与1111D C B A 所成二面角的大小．13. 在正方体1111D C B A ABCD -中，1BB K ∈，1CC M ∈，且141BB BK =，143CC CM =.．求：平面AKM 与ABCD 所成角的大小．14. 如图，将边长为a 的正三角形ABC 按它的高AD 为折痕折成一个二面角C AD C --'．（1）若二面角C AD C --'是直二面角，求C C '的长；（2）求C A '与平面CD C '所成的角；（3）若二面角C AD C --'的平面角为120°，求二面角D C C A -'-的平面角的正切值．。

完整版二面角练习题

周练六1.如图，已知在三棱柱ABC ABQ,中，三个侧棱都是矩形，点D为AB的中点+AC 3,BC 4, AB 5,AA, 4 ,(I)求证AC BC i;(n )求证AC1 P平面CDB1;(川)求异面直线AC i与B i C所成角的余弦值+2 .如图，已知正方形ABCD和正方形ABEF所在平面成60°的二面角,所成角的正弦值。

求直线BD与平面ABEF A —"DF3.如图，在棱长为a的正方体ABC—ABCD中，求:(1 )面AABB与面ABCD所成角的大小；(2)二面角C-BD-C的正切值(3)二面角B1 BC1 DP4•过正方形ABCD的顶点A作PA A平面ABCD ,设PA=AB=a , (1)求二面角B- PC- D的大小；(2)求二面角C-PD-AB C5.如图所示，四棱锥P —ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形，/ BCD = 60°, E是CD的中点，PA丄底面ABCD , PA= .3•⑴证明：BE丄平面PAB;⑵求二面角A—BE—P的大小(3) PB与面PAC的角6如图，在底面为直角梯形的四棱锥P ABCD 中,AD//BC, ABC 90 ,PA 平面ABCD PA 3, AD 2, AB ^3 BC=6(1)求证：BD平面PAC；⑵求二面角P BD A的大小.(3)求二面角B-PC-A的大小7.如图，直二面角D —AB —E中，四边形ABCD是边长为2的正方形，AE=EB , F为CE 上的点，且BF丄平面ACE.(I)求证AE丄平面BCE;(H)求二面角B—AC —E的大小; (川)求点D到平面ACE的距离.8•如图，在四棱锥P ABCD中，底面ABCD是矩形•已知AB 3 , AD 2 ,PA 2 , PD 2近,/ PAB 60°.(I)证明AD 平面PAB ；(n)求异面直线PC与AD所成的角的大小;(川)求二面角P BD A的正切值.。

二面角习题及答案

二面角1.如图三棱锥 P-ABC 中，PC ⊥平面ABC ，PC =32 ，D 是 BC 的中点，且△ADC 是边长为 2的正三角形，求二面角 P-AB －C 的大小。

解：由已知条件，D 是BC 的中点∴ CD =BD =2 又△ADC 是正三角形 ∴ AD =CD =BD =2∴ D 是△ABC 之外心又在BC 上 ∴ △ABC 是以∠BAC 为直角的三角形， ∴ AB ⊥AC ，又 PC ⊥面ABC∴ PA ⊥AB (三垂线定理)∴∠PAC 即为二面角 P-AB-C 之平面角，易求 ∠PAC =30°2.如图在三棱锥 S-ABC 中，SA ⊥底面ABC ，AB ⊥BC ，DE 垂直平分SC ，且分别交 AC 、SC 于D 、E ，又SA =AB ，BS =BC ，求以BD 为棱，BDE 与BDC 为面的二面角的度数。

解：∵ BS =BC ，又DE 垂直平分SC∴ BE ⊥SC ，SC ⊥面BDE ∴ BD ⊥SC ，又SA ⊥面ABC ∴ SA ⊥BD ，BD ⊥面SAC ∴ BD ⊥DE ，且BD ⊥DC 则 ∠EDC 就是所要求的平面角设 SA =AB =a ，则 BC =SB =2a 且 AC = 3易证 △SAC ∽△DEC ∴ ∠CDE =∠SAC =60°3. 如图：ABCD 是矩形，AB =8，BC =4，AC 与 BD 相交于O 点，P 是平面 ABCD 外一点，PO ⊥面ABCD ，PO =4，M 是 PC 的中点，求二面角 M-BD-C 大小。

DPCABEDBASC解：取OC 之中点N ，则 MN ∥PO ∵ PO ⊥面ABCD∴ MN ⊥面ABCD 且 MN =PO/2 =2，过 N 作 NR ⊥BD 于 R ，连MR ，则 ∠MRN 即为二面角 M-BD-C 的平面角过 C 作 CE ⊥BD 于S 则 RN =21CE 在 Rt △BCD 中，CD ·BC =BD ·CE ∴ 58BD BC CD CE =⋅=∴ 54RN =25RN MN MRN tan ==∠ ∴ 25a r c t a n M R N =∠4.如图△ABC 与△BCD 所在平面垂直，且AB =BC =BD ，∠ABC =∠DBC =0120，求二面角 A-BD-C 的余弦值。

(完整版)二面角练习题

1、如图，三棱锥P-ABC中，PB⊥底面ABC，AC⊥BC，PB=BC=AC,点E、F分别是PC、PA的中点．(Ⅰ）求证：PC⊥平面BEF；（Ⅱ）求二面角A-EB-F的大小．（直接证明）2、如图，在棱长为a的正方体ABCD—A1B1C1D1中,O是AC、BD的交点,E,F分别是AB与AD的中点．（1)求证:直线OD1与直线A1C1垂直；（2）求异面直线EF与A1C1所成角的大小；（3）求二面角B-AC-D1的大小．（三垂线定理）如图，已知四棱锥P—ABCD的底面为菱形,∠BCD=60°，PD⊥AD．点E是BC边上的中点．（1）求证:AD⊥面PDE；（2）若二面角P-AD—C的大小等于60°，且AB=4，PD=338；①求V P—ABED；②求二面角P—AB—C大小．（垂面法）已知在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD，PA=AD=1，AB=2，E、F分别是AB、PD的中点．（Ⅰ）求证：AF∥平面PEC;（Ⅱ)求PC与平面ABCD所成角的大小；(Ⅲ）求二面角P一EC一D的大小．如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是矩形，M、N分别为PA、BC的中点，PD⊥平面ABCD,且PD=AD=2,CD=1．（1）证明:MN∥平面PCD；(2）证明：MC⊥BD；（3）求二面角A-PB-D的余弦值．如图,在三棱锥P—ABC中，PB⊥平面ABC，△ABC是直角三角形，∠ABC=90°,AB=BC=2，∠PAB=45°，点D、E、F分别为AC、AB、BC的中点．(I）求证：EF⊥PD；（Ⅱ）求三棱锥D-PEF的体积；（Ⅲ)求二面角E—PF-B的正切值．。

高二数学二面角专项练习题及参考答案(精品)

高二数学二面角专项练习题及参考答案班级_____________姓名_____________一、定义法：直接在二面角的棱上取一点，分别在两个半平面内作棱的垂线，得出平面角. 例1 在四棱锥P-ABCD 中，ABCD 是正方形，PA ⊥平面ABCD ，PA=AB=a ，求二面角B-PC-D 的大小。

二、垂线法：已知二面角其中一个面内一点到一个面的垂线，用三垂线定理或逆定理作出二面角的平面角；例2 在四棱锥P-ABCD 中，ABCD 是平行四边形，PA ⊥平面ABCD ，PA=AB=a ，∠ABC=30°，求二面角P-BC-A 的正切。

三、垂面法：作棱的垂直平面，则这个垂面与二面角两个面的交线所夹的角就是二面角的平面角例3 在四棱锥P-ABCD 中，ABCD 是正方形，PA ⊥平面ABCD ，求B-PC-D 的大小。

四、投影面积法:一个平面α上的图形面积为S ，它在另一个平面β上的投影面积为S'，这两个平面的夹角为θ，则S'=Scos θ或cos θ=/SS .例4 在四棱锥P-ABCD 中，ABCD 为正方形，PA ⊥平面ABCD ，PA ＝AB ＝a ，求平面PBA 与平面PDC 所成二面角的大小。

五、补形法：对于一类没有给出棱的二面角，应先延伸两个半平面，使之相交出现棱，然后再选用上述方法（尤其要考虑射影法）。

例5、在四棱锥P-ABCD 中，ABCD 为正方形，PA ⊥平面ABCD ，PA ＝AB ＝a ，求平面PBA 与平面PDC 所成二面角的大小。

方法归纳：二面角的类型和求法可用框图展现如下： [基础练习]1．二面角是指（） A 两个平面相交所组成的图形B 一个平面绕这个平面内一条直线旋转所组成的图形C 从一个平面内的一条直线出发的一个半平面与这个平面所组成的图形D 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形2．平面α与平面β、γ都相交，则这三个平面可能有（） A 1条或2条交线 B 2条或3条交线C 仅2条交线D 1条或2条或3条交线3．在300的二面角的一个面内有一个点，若它到另一个面的距离是10，则它到棱的距离是( )A 5B 20C 210 D225 4．在直二面角α-l-β中，RtΔABC 在平面α内，斜边BC 在棱l 上，若AB 与面β所成的角为600，则AC 与平面β所成的角为（） A 300 B 450 C 600 D 1200 5．如图，射线BD 、BA 、BC 两两互相垂直，AB=BC=1，BD=26，则弧度数为3的二面角是（） A D-AC-B B A-CD-BC A-BC-D D A-BD-C6．△ABC 在平面α的射影是△A 1B 1C 1，如果△ABC 所在平面和平面α成θ，则有（） A S △A1B1C1=S △ABC ·sinθ B S △A1B1C1= S △ABC ·cosθC S △ABC =S △A1B1C1·sinθD S △ABC =S △A1B1C1·cosθ7．如图，若P 为二面角M-l-N 的面N 内一点，PB ⊥l ，B 为垂足，A 为l 上一点，且∠PAB=α，PA 与平面M 所成角为β，二面角M-l-N 的大小为γ，则有（）A.sinα=sinβsinγB.sinβ=sinαsinγC.sinγ=sinαsinβ D 以上都不对AB C DAB M NP l C1A1B1D8．在600的二面角的棱上有两点A 、B ，AC 、BD 分别是在这个二面角的两个面内垂直于AB 的线段，已知：AB=6，AC=3，BD=4，则CD= 。

二面角真题

二面角（2010-2012真题）1.（2012年全国高考课标卷）如图，直三棱柱111ABC A B C -中112AC BC AA ==，D 是棱1AA 的中点，BD DC ⊥1。

（1）证明：BC DC ⊥1；（2）求二面角11C BD A --的大小。

2.（2012年全国高考全国卷一）如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，PA ⊥底面ABCD ，22AC =，2,PA E =是PC 上的一点，2PE EC =。

（1）证明：PC ⊥平面BED ；（2）设二面角A PB C --为90︒，求PD 与平面PBC 所成角的大小。

3.（2011年全国高考课标卷）如图，四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，∠DAB=60°,AB=2AD,PD ⊥底面ABCD 。

(Ⅰ)证明：PA ⊥BD ；(Ⅱ)若PD=AD ，求二面角A-PB-C 的余弦值。

ECBDAP4.（2011年全国高考全国卷一）如图，四棱锥S ABCD -中， //AB CD ,BC CD ⊥，侧面SAB 为等边三角形，2,1AB BC CD SD ====。

(Ⅰ)证明：SD ⊥平面SAB ；(Ⅱ)求AB 与平面SBC 所成角的大小。

5.（2010年全国高考全国卷一）如图，四棱锥S-ABCD 中，SD ⊥底面ABCD ，AB//DC ，AD ⊥DC ，AB=AD=1，DC=SD=2，E 为棱SB 上的一点，平面EDC ⊥平面SBC 。

（Ⅰ）证明：SE=2EB ；（Ⅱ）求二面角A-DE-C 的大小。

6.（2010年全国高考全国卷二）如图，直三棱柱111ABC A B C -中，AC BC =，1AA AB =，D 为1BB 的中点，E 为1AB 上的一点，13AE EB =。

（Ⅰ）证明：DE 为异面直线1AB 与CD 的公垂线；（Ⅱ）设异面直线1AB 与CD 的夹角为45°，求二面角111A AC B --的大小。

二面角习题及答案

二面角1.如图三棱锥 P-ABC 中，PC ⊥平面ABC ，PC =32 ，D 是 BC 的中点，且△ADC 是边长为 2的正三角形，求二面角 P-AB －C 的大小。

解：由已知条件，D 是BC 的中点 ∴ CD =BD =2 又△ADC 是正三角形∴ AD =CD =BD =2∴ D 是△ABC 之外心又在BC 上 ∴ △ABC 是以∠BAC 为直角的三角形， ∴ AB ⊥AC ，又 PC ⊥面ABC∴ PA ⊥AB (三垂线定理) ∴∠PAC 即为二面角 P-AB-C 之平面角，易求 ∠PAC =30°3. 如图：ABCD 是矩形，AB =8，BC =4，AC 与 BD 相交于O 点，P 是平面 ABCD 外一点，PO ⊥面ABCD ，PO =4，M 是 PC 的中点，求二面角 M-BD-C 大小。

解：取OC 之中点N ，则 MN ∥PO∵ PO ⊥面ABCD∴ MN ⊥面ABCD 且 MN =PO/2 =2，过 N 作 NR ⊥BD 于 R ，连MR ，则 ∠MRN 即为二面角 M-BD-C 的平面角过 C 作 CE ⊥BD 于S则 RN =21CE 在 Rt △BCD 中，CD ·BC =BD ·CE ∴ 58BD BC CD CE =⋅= ∴ 54RN = 25RN MN MRN tan ==∠ ∴ 25arctan MRN =∠11. 如图，设ABC —A1B1C1是直三棱柱，E 、F 分别为AB 、A1B1的中点，且AB ＝2AA1＝2a,AC ＝BC ＝3a.(1)求证：AF ⊥A1C(2)求二面角C —AF —B 的大小D PC AB S R NM O BDP A C分析本小题考查空间几何垂直的概念和二面角的度量等知识.解 (1)∵AC ＝BC ，E 为AB 中点，∴CE ⊥AB又∵ABC —A1B1C1为直棱柱，∴CE ⊥面AA1BB连结EF ，由于AB ＝2AA1∴AA1FE 为正方形∴AF ⊥A1E ，从而AF ⊥A1C(2)设AF 与A1E 交于O ，连结CO ，由于AF ⊥A1E ，知AF ⊥面CEA1∴∠COE 即为二面角C —AF —B 的平面角∵AB ＝2AA1＝2a,AC ＝BC ＝3a ∴CE ＝2a,OE ＝22a,∴tan ∠COE ＝a a222＝2.∴二面角C —AF —B 的大小是arctan2.13. 在正方体1111D C B A ABCD -中，1BB K ∈，1CC M ∈，且141BB BK =，143CC CM =.．求：平面AKM 与ABCD 所成角的大小．解析：由于BCMK 是梯形，则MK 与CB 相交于E ．A 、E 确定的直线为l ，过C 作CF ⊥l 于F ，连结MF ，因为MC ⊥平面ABCD ，CF ⊥l ，故MF ⊥l ．∠MFC 是二面角M-l-C 的平面角．设正方体棱长为a ，则a CM 43=，a BK 41=．在△ECM 中，由BK ∥CM 可得a EB 21=，a CF 53=，故45tan =∠MFC ．因此所求角的大小为45arctan 或45arctan π-．。

二面角专项训练(人教A版)(含答案)

二面角专项训练（人教A版）一、单选题(共7道，每道10分)1.等于90°的二面角内有一点P，过P有PA⊥α于点A，PB⊥β于点B，如果PA=PB=a，则P 到交线的距离为( )A. B.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：与二面角有关的点、线、面间的距离计算2.如图，在三棱锥F-ABC中，FC⊥底面ABC，CA=CB=CF，∠ACB=120°，则二面角F-AB-C的正切值为( )A. B.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：二面角的平面角及求法3.如图，在四棱锥V-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，其他四个侧面都是腰长为的等腰三角形，则二面角V-AB-C的平面角为( )A.30°B.45°C.60°D.90°答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：二面角的平面角及求法4.如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，AC⊥AB，PA=AB=2，AC=1，则二面角A-PC-B的正弦值为( )A. B.C. D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：二面角的平面角及求法5.如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=BC=AA1，∠ACB=90°，D是棱AA1的中点，则二面角B-DC1-C的余弦值为( )A. B.C. D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：二面角的平面角及求法6.如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=BC=AA1，D是棱AA1的中点，DC1⊥BD，则二面角A1-BD-C1的大小为( )A.30°B.45°C.60°D.90°答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：二面角的平面角及求法7.如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB1⊥A1C，AB=4，AC=BC=3，D为AB的中点，则二面角A1-CD-C1的平面角的余弦值为( )A. B. C. D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：二面角的平面角及求法。

二面角典型习题

二面角1.二面角的计算：1）定义法；2）三垂线定理法；3）垂面法；4）面积射影法；例1、已知P 是二面角棱上一点，过P 分别在内引射线PM ，PN ，且AB αβ--αβ、，求此二面角的度数。

45,60BPM BPN MPN ∠=∠=︒∠=︒例2、已知P 为锐二面角棱上的点，，则二l αβ--,4530PQ PQ l αβ⊂︒︒与成，与成面角的度数是多少。

l αβ--例3、已知二面角的度数为，在面内有一条射线AB 与棱l 成锐角，与面l αβ--θαδ，则必有（）βγ成角（A ）（B ）sin sin sin θδγ=sin sin cos θδγ=（C ）（D ）cos cos sin θδγ=cos cos cos θδγ=例4、在的二面角的面、内分别有A 、B 两点，且A 、B 到棱l 的距离120︒l αβ--αβAC 、BD 分别长2、4，AB=10，求：（1）直线AB 与棱l 所成角的正弦值。

（2）直线AB 与平面所成角的正弦值。

β例5、已知二面角为，上的射影，且C 在棱MN αβ--60︒,,A B BC AB αββ∈∈为在MN 上，AB 与所成角为，且，求线段AB 的长。

β60︒45AC MCB =∠=︒例6、已知二面角的度数为，的面积为S ，且DC=m ，DC αβ--θ,,A B ADC αβ∈∈∆，AB 与平面成角，当变化时，求面积最大值。

AB DC ⊥β30︒θDBC ∆in例7、已知C是以AB为直径的圆周上的一点，，30ABC∠=︒，求二面角A-45PA ABC PBA⊥∠=︒面，PB-C的正弦值。

例8、在正方体中，利用解下列各题1111ABCD A B C D-cosSSθ=射影1）P、Q分别为的中点，求平面与底面ABCD所成角的余弦值1,A A AB1C PQ2）求二面角的大小；11C BD C--3）M是棱BC的中点，求二面角的余弦值。

111D B M C--例9、已知D 、E 分别是边长为a 的等边三角形ABC 的边AB 、AC 上的点，DE//BC ，现沿DE 将三角形ADE 折起，是二面角A-DE-B 成60度角，当DE 在什么位置时，使折起后的顶点A 到BC 边距离最短？最短是多少？例10、等腰Rt 和Rt 有公共边AC ，，ADC ∆BCA ∆90,60ADC BCA ABC ∠=∠=︒∠=︒以AC 为棱折起多少度的二面角时，有BD=BC ？两个平面垂直1、两个平面垂直的证明1）定义2）判定定理2、两个平面垂直的性质例1、已知ABCD 为矩形，E 为半圆CED 上一点，且平面ABCD 平面CDE ⊥1）求证DE 是AD 与BE 的公垂线2）若AD=DE=AB ，求AD 与BE 所成角的大小。

二面角习题及答案

二面角1.如图三棱锥 P-ABC 中，PC ⊥平面ABC ，PC =32 ，D 是 BC 的中点，且△ADC 是边长为 2的正三角形，求二面角 P-AB －C 的大小。

解：由已知条件，D 是BC 的中点∴ CD =BD =2 又△ADC 是正三角形 ∴ AD =CD =BD =2∴ D 是△ABC 之外心又在BC 上 ∴ △ABC 是以∠BAC 为直角的三角形， ∴ AB ⊥AC ，又 PC ⊥面ABC∴ PA ⊥AB (三垂线定理)∴∠PAC 即为二面角 P-AB-C 之平面角，易求 ∠PAC =30°2.如图在三棱锥 S-ABC 中，SA ⊥底面ABC ，AB ⊥BC ，DE 垂直平分SC ，且分别交 AC 、SC 于D 、E ，又SA =AB ，BS =BC ，求以BD 为棱，BDE 与BDC 为面的二面角的度数。

解：∵ BS =BC ，又DE 垂直平分SC∴ BE ⊥SC ，SC ⊥面BDE ∴ BD ⊥SC ，又SA ⊥面ABC ∴ SA ⊥BD ，BD ⊥面SAC ∴ BD ⊥DE ，且BD ⊥DC 则 ∠EDC 就是所要求的平面角设 SA =AB =a ，则 BC =SB =2a 且 AC = 3易证 △SAC ∽△DEC ∴ ∠CDE =∠SAC =60°3. 如图：ABCD 是矩形，AB =8，BC =4，AC 与 BD 相交于O 点，P 是平面 ABCD 外一点，PO ⊥面ABCD ，PO =4，M 是 PC 的中点，求二面角 M-BD-C 大小。

AB解：取OC 之中点N ，则 MN ∥PO ∵ PO ⊥面ABCD∴ MN ⊥面ABCD 且 MN =PO/2 =2 过 N 作 NR ⊥BD于 R ，连MR ，则 ∠MRN 即为二面角 M-BD-C 过 C 作 CE ⊥BD 于S 则 RN =21CE 在 Rt △BCD 中， ∴ 58BD BC CD CE =⋅=∴ 54RN =25RN MN MRN tan ==∠ ∴ 25arctanMRN =∠ 4.如图△ABC 与△BCD 所在平面垂直，且AB =BC =BD ，∠ABC =∠DBC =0120，求二面角 A-BD-C 的余弦值。

五种方法求二面角及练习题

- - 优质资料五种方法求二面角及练习题一、定义法：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角, 这条直线叫做二面角的棱, 这两个半平面叫做二面角的面，在棱上取点，分别在两面内引两条射线与棱垂直，这两条垂线所成的角的大小就是二面角的平面角。

1．如图，在棱长为a 的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，求：（1）二面角C 1—BD —C 的正切值（2）二面角11B BC D --2.如图，四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为矩形，SD ⊥底面ABCD ，2AD =，2DC SD ==，点M 在侧棱SC 上，ABM ∠=60，M 在侧棱SC 的中点（1）求二面角S AM B --的余弦值。

二、三垂线法：三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直．通常当点P 在一个半平面上则通常用三垂线定理法求二面角的大小。

1. 如图，在直四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 为等腰梯形，AB//CD ，AB=4, BC=CD=2, AA 1=2, E 、E 1、F 分别是棱AD 、AA 1、AB 的中点。

（1）证明：直线EE 1//平面FCC 1；（2）求二面角B-FC 1-C 的余弦值。

E ABCFE 1A B 1C 1DDABCD A D C B- - 优质资料2.如图，在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是矩形．已知60,22,2,2,3=∠====PAB PD PA AD AB ．（Ⅰ）证明⊥AD 平面PAB ；（Ⅱ）求异面直线PC 与AD 所成的角的大小；（Ⅲ）求二面角A BD P --的大小．三．补棱法本法是针对在解构成二面角的两个半平面没有明确交线的求二面角题目时，要将两平面的图形补充完整，使之有明确的交线（称为补棱），然后借助前述的定义法与三垂线法解题。

即当二平面没有明确的交线时，一般用补棱法解决1.已知斜三棱柱ABC —A 1B 1C 1的棱长都是a ，侧棱与底面成600的角，侧面BCC 1B 1⊥底面ABC 。

二面角习题及标准答案

二面角习题及答案————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：二面角1.如图三棱锥 P-ABC 中，PC ⊥平面ABC ，PC =32 ，D 是 BC 的中点，且△ADC是边长为 2的正三角形，求二面角 P-AB －C 的大小。

解2.如图在三棱锥 S-ABC 中，SA ⊥底面ABC ，AB ⊥BC ，DE 垂直平分SC ，且分别交 AC 、SC 于D 、E ，又SA =AB ，BS =BC ，求以BD 为棱，BDE 与BDC 为面的二面角的度数。

解：3. 如图：ABCD 是矩形，AB =8，BC =4，AC 与 BD 相交于O 点，P 是平面 ABCD 外一点，PO ⊥面ABCD ，PO =4，M 是 PC 的中点，求二面角 M-BD-C 大小。

解：4.如图△ABC 与△BCD 所在平面垂直，且AB =BC =BD ，∠ABC =∠DBC =0120，求二面角 A-BD-C 的余弦值。

解：DPC A BE DB ASCS R NMO B DPA CB A EC5.已知正方体 AC'，M 、N 分别是BB'，DD'的中点，求截面 AMC'N 与面ABCD ，CC'D'D 所成的角。

解：6.如图 AC ⊥面BCD ，BD ⊥面ACD ，若AC =CD =1，∠ABC =30°，求二面角D AB C --的大小。

解：7. 三棱锥 A-BCD 中，∠BAC =∠BCD =90°，∠DBC =30°，AB =AC =6，AD =4，求二面角 A-BC-D 的度数。

解：9. 如图所示，四棱锥P —ABCD 的底面是边长为a 的菱形，∠A ＝60°，PC ⊥平面ABCD ，PC ＝a,E 是PA 的中点.(1)求证平面BDE ⊥平面ABCD.(2)求点E 到平面PBC 的距离.(3)求二面角A —EB —D 的平面角大小. 解析：D BD ACBAC M N B F E ACDDOA BC10. 如图，已知正方体ABCD —A1B1C1D1的棱长为1，E 、F 分别在棱AB 、BC 上，G 在对角线BD1上，且AE ＝41，BF ＝21，D1G ∶GB ＝1∶2，求平面EFG 与底面ABCD 所成的二面角的大小.11. 如图，设ABC —A1B1C1是直三棱柱，E 、F 分别为AB 、A1B1的中点，且AB ＝2AA1＝2a,AC ＝BC ＝3a. (1)求证：AF ⊥A1C(2)求二面角C —AF —B 的大小12．如图1111D C B A ABCD -是长方体，AB=2，11==AD AA ，求二平面C AB 1与1111D C B A 所成二面角的大小．13. 在正方体1111D C B A ABCD -中，1BB K ∈，1CC M ∈，且141BB BK =，143CC CM =.．求：平面AKM 与ABCD 所成角的大小．14. 如图，将边长为a 的正三角形ABC 按它的高AD 为折痕折成一个二面角C AD C --'．（1）若二面角C AD C --'是直二面角，求C C '的长；（2）求C A '与平面CD C '所成的角；（3）若二面角C AD C --'的平面角为120°，求二面角D C C A -'-的平面角的正切值．参考答案解：由已知条件，D 是BC 的中点∴ CD =BD =2 又△ADC 是正三角形 ∴ AD =CD =BD =2∴ D 是△ABC 之外心又在BC 上 ∴ △ABC 是以∠BAC 为直角的三角形， ∴ AB ⊥AC ，又 PC ⊥面ABC ∴ PA ⊥AB (三垂线定理)∴∠PAC 即为二面角 P-AB-C 之平面角，易求 ∠PAC =30°2、解：∵ BS =BC ，又DE 垂直平分SC ∴ BE ⊥SC ，SC ⊥面BDE ∴ BD ⊥SC ，又SA ⊥面ABC ∴ SA ⊥BD ，BD ⊥面SAC ∴ BD ⊥DE ，且BD ⊥DC 则 ∠EDC 就是所要求的平面角设 SA =AB =a ，则 BC =SB =2a 且 AC = 3易证 △SAC ∽△DEC ∴ ∠CDE =∠SAC =60° 3、解：取OC 之中点N ，则 MN ∥PO ∵ PO ⊥面ABCD∴ MN ⊥面ABCD 且 MN =PO/2 =2，过 N 作 NR ⊥BD 于 R ，连MR ，则 ∠MRN 即为二面角 M-BD-C 的平面角过 C 作 CE ⊥BD 于S则 RN =21CE 在 Rt △BCD 中，CD ·BC =BD ·CE ∴ 58BD BC CD CE =⋅=DPCA BE DBASCS R N MO B DPA C∴ 54RN =25RN MN MRN tan ==∠ ∴ 25arctanMRN =∠ 4. 解：过 A 作 AE ⊥CB 的延长线于E ，连结 DE ， ∵ 面ABC ⊥面BCD ∴ AE ⊥面BCD∴ E 点即为点A 在面BCD 内的射影∴ △EBD 为△ABD 在面BCD 内的射影设 AB =a 则AE =DE =ABsin60°=a 23 ∴ AD =41ABD cos 26=∠， ∴ sin ∠ABD =415∴ 22ABD a 815415a 21S =⨯=∆ 又 a 21BE = ∴ 2BDE a 83a 21a 2321S =⋅⋅=∆ ∴ 55S S cos ABD BDE ==θ∆∆ 5. 解：设边长为a ，易证 ANC'N 是菱形且MN =a 2，A'C =a 3 ∴Ｓ□AMC'N = 2a 26'AC 21MN =⋅由于AMC'N 在面ABCD 上的射影即为正方形ABCD ∴ Ｓ□ABCD =2aD B D AC BAC MN∴ 36a 26a cos 221==θ ∴ 36arccos1=θ 取CC'的中点M'，连结DM'则平行四边形DM'C'N 是四边形AMC'N 在CC'D'D 上的射影，Ｓ□DM'C'M =2a 21 ∴ 66a 26a21cos 222==θ ∴66arccos2=θ 6. 解：作DF ⊥AB 于F ，CE ⊥AB 于E ， ∵ AC =CD =1 ∠ABC =30° ∴ AD =2，BC =3 ， AB =2， BD =2 在Rt △ABC 中， 23231AB BC AC CE =⨯=⋅=，同理 1222ABBDAD DF =⨯=⋅= ∴ 1DF BD BF 22=-=21CE AC AE 22=-= ∴ 212112EF =--= ∴ θ⋅-++=cos DF EF 2EF DF CE CD 2222∴ 33cos =θ BF E ACD即所求角的大小为33arccos。

二面角习题与答案

∴sin∠ABD =
∴ 又
∴
∴
5.解：设边长为a，易证ANC'N是菱形
且MN = ，A'C =
∴Ｓ□AMC'N=
由于AMC'N在面ABCD上的射影即
为正方形ABCD
∴Ｓ□ABCD=
∴
∴
取CC'的中点M'，连结DM'
则平行四边形DM'C'N是四边形AMC'N在CC'D'D上的射影，
Ｓ□DM'C'M=
∴
5.已知正方体AC'，M、N分别是BB'，DD'的中点，求截面AMC'N与面ABCD，CC'D'D所成的角。
解：
6.如图AC⊥面BCD，BD⊥面ACD，若AC =CD =1，∠ABC =30°，求二面角的大小。
解：
7.三棱锥A-BCD中，∠BAC =∠BCD =90°，∠DBC =30°，AB =AC = ，AD =4，求二面角A-BC-D的度数。
14.如图，将边长为a的正三角形ABC按它的高AD为折痕折成一个二面角．
（1）若二面角是直二面角，求的长；
（2）求与平面所成的角；
（3）若二面角的平面角为120°，求二面角的平面角的正切值．
参考答案
解：由已知条件，D是BC的中点
∴CD =BD =2又△ADC是正三角形
∴AD =CD =BD =2
∴CE＝ a,OE＝ a,∴tan∠COE＝＝2.
∴二面角C—AF—B的大小是arctan2.
12、解析：∵ 平面ABCD∥平面，∴ 平面与平面的交线l为过点且平行于AC的直线．直线l就是二平面与所成二面角的棱．又 ⊥平面，过作AH⊥l于H，连结AH．则为二面角的平面角．可求得．因此所求角的大小为或

(完整)二面角习题及答案

二面角1.如图三棱锥 P-ABC 中，PC ⊥平面ABC ，PC =32 ，D 是 BC 的中点，且△ADC 是边长为 2的正三角形，求二面角 P-AB －C 的大小。

解2。

如图在三棱锥 S —ABC 中,SA ⊥底面ABC ，AB ⊥BC ，DE 垂直平分SC ，且分别交 AC 、SC 于D 、E ，又SA =AB ，BS =BC ，求以BD 为棱,BDE 与BDC 解：3. 如图：ABCD 是矩形，AB =8，BC =4，AC 与 BD 相交于O 点，P 是平面 ABCD 外一点，PO ⊥面ABCD ，PO =4,M 是 PC 的中点，求二面角 M-BD-C 大小。

解：4.如图△ABC 与△BCD 所在平面垂直,且AB =BC =BD ，∠ABC =∠DBC =，求二面角 A-BD —C 的余弦值。

解：ABAC5.已知正方体 AC ’,M 、N 分别是BB ’，DD'的中点，求截面 AMC'N 与面ABCD ，CC'D ’D 所成的角. 解：6。

如图 AC ⊥面BCD ，BD ⊥面ACD ，若AC =CD =1，∠ABC =30°，求二面角D AB C --的大小。

解：7。

三棱锥 A —BCD 中，∠BAC =∠BCD =90°，∠DBC =30°，AB =AC =6,AD =4，求二面角 A-BC-D 的度数。

解：9。

如图所示，四棱锥P-ABCD 的底面是边长为a 的菱形，∠A ＝60°，PC ⊥平面ABCD,PC ＝a ，E 是PA 的中点。

（1）求证平面BDE ⊥平面ABCD 。

（2)求点E 到平面PBC 的距离。

(3）求二面角A —EB —D 的平面角大小. 解析：10。

如图，已知正方体ABCD —A1B1C1D1的棱长为1，E 、F 分别在棱AB 、BC上,G 在对角线BD1上，且AE ＝41，BF ＝21,D1G ∶GB ＝1∶2，求平面EFG 与底面ABCD 所成的二面角的大小.D ’B ’DAC ’BA ’CMNBF EACDDOABC11。

二面角习题与答案

二面角1.如图三棱锥 P-ABC 中，PC ⊥平面ABC ，PC =32 ，D是 BC 的中点，且△ADC 是边长为 2的正三角形，求二面角 P-AB －C 的大小。

解2.如图在三棱锥 S-ABC 中，SA ⊥底面ABC ，AB ⊥BC ，DE 垂直平分SC ，且分别交 AC 、SC 于D 、E ，又SA =AB ，BS =BC ，求以BD 为棱，BDE 与BDC 为面的二面角的度数。

解：3. 如图：ABCD 是矩形，AB =8，BC =4，AC 与 BD 相交于O 点，P 是平面 ABCD 外一点，PO ⊥面ABCD ，PO =4，M 是 PC 的中点，求二面角 M-BD-C 大小。

解：DPCABEDBAS CP4.如图△ABC 与△BCD 所在平面垂直，且AB =BC =BD ，∠ABC =∠DBC =0120，求二面角 A-BD-C 的余弦值。

解：5.已知正方体 AC'，M 、N 分别是BB'，DD'的中点，求截面 AMC'N 与面ABCD ，CC'D'D 所成的角。

解：6.如图 AC ⊥面BCD ，BD ⊥面ACD ，若AC =CD =1，∠ABC =30°，求二面角D AB C --的大小。

解：DBA ECD ’B ’DAC ’BA ’C MNEACD7. 三棱锥 A-BCD 中，∠BAC =∠BCD =90°，∠DBC =30°，AB =AC =6，AD =4，求二面角 A-BC-D 的度数。

解：9. 如图所示，四棱锥P —ABCD 的底面是边长为a 的菱形，∠A ＝60°，PC ⊥平面ABCD ，PC ＝a,E 是PA 的中点.(1)求证平面BDE ⊥平面ABCD.(2)求点E 到平面PBC 的距离.(3)求二面角A —EB —D 的平面角大小. 解析：10. 如图，已知正方体ABCD —A1B1C1D1的棱长为1，E 、F 分别在棱AB 、BC 上，G 在对角线BD1上，且AE ＝41，BF ＝21，D1G ∶GB ＝1∶2，求平面EFG 与底面ABCD 所成的二面角的大小.DOABC11. 如图，设ABC —A1B1C1是直三棱柱，E 、F 分别为AB 、A1B1的中点，且AB ＝2AA1＝2a,AC ＝BC ＝3a. (1)求证：AF ⊥A1C(2)求二面角C —AF —B 的大小12．如图1111D C B A ABCD -是长方体，AB=2，11==AD AA ，求二平面C AB 1与1111D C B A 所成二面角的大小．13. 在正方体1111D C B A ABCD -中，1BB K ∈，1CC M ∈，且141BB BK =，143CC CM =.．求：平面AKM 与ABCD 所成角的大小．14. 如图，将边长为a 的正三角形ABC 按它的高AD 为折痕折成一个二面角C AD C --'．（1）若二面角C AD C --'是直二面角，求C C '的长；（2）求C A '与平面CD C '所成的角；（3）若二面角C AD C --'的平面角为120°，求二面角D C C A -'-的平面角的正切值．参考答案解：由已知条件，D 是BC 的中点P∴ CD =BD =2 又△ADC 是正三角形 ∴ AD =CD =BD =2∴ D 是△ABC 之外心又在BC 上 ∴ △ABC 是以∠BAC 为直角的三角形， ∴ AB ⊥AC ，又 PC ⊥面ABC ∴ PA ⊥AB (三垂线定理)∴∠PAC 即为二面角 P-AB-C 之平面角，易求 ∠PAC =30°2、解：∵ BS =BC ，又DE 垂直平分SC∴ BE ⊥SC ，SC ⊥面BDE∴ BD ⊥SC ，又SA ⊥面ABC ∴ SA ⊥BD ，BD ⊥面SAC ∴ BD ⊥DE ，且BD ⊥DC则 ∠EDC 就是所要求的平面角设 SA =AB =a ，则 BC =SB =2a 且 AC = 3易证 △SAC ∽△DEC ∴ ∠CDE =∠SAC =60° 3、解：取OC 之中点N ，则 MN ∥PO ∵ PO ⊥面ABCD∴ MN ⊥面ABCD 且 MN =PO/2 =2，过 N 作 NR ⊥BD 于 R ，连MR ，EDBASCSR NMOD PC则 ∠MRN 即为二面角 M-BD-C 的平面角过 C 作 CE ⊥BD 于S则 RN =21CE 在 Rt △BCD 中，CD ·BC =BD ·CE∴ 58BDBC CD CE =⋅=∴ 54RN =25RNMN MRN tan ==∠ ∴ 25arctanMRN =∠4. 解：过 A 作 AE ⊥CB 的延长线于E ，连结 DE ， ∵ 面ABC ⊥面BCD ∴ AE ⊥面BCD∴ E 点即为点A 在面BCD 内的射影∴ △EBD 为△ABD 在面BCD 内的射影设 AB =a 则AE =DE =ABsin60°= a 23 ∴ AD =41ABD cos 26=∠， ∴ sin ∠ABD =415∴ 22ABD a 815415a 21S =⨯=∆ 又 a 21BE = ∴ 2BDEa 83a 21a 2321S =⋅⋅=∆ ∴ 55S S cos ABDBDE==θ∆∆5. 解：设边长为a ，易证 ANC'N 是菱形D ’ C ’且MN =a 2，A'C =a 3∴Ｓ□AMC'N = 2a 26'AC 21MN =⋅ 由于AMC'N 在面ABCD 上的射影即为正方形ABCD ∴ Ｓ□ABCD =2a ∴ 36a 26a cos 221==θ∴ 36arccos 1=θ取CC'的中点M'，连结DM'则平行四边形DM'C'N 是四边形AMC'N 在CC'D'D 上的射影，Ｓ□DM'C'M =2a 21∴ 66a 26a21cos 222==θ∴66arccos2=θ6. 解：作DF ⊥AB 于F ，CE ⊥AB 于E ， ∵ AC =CD =1 ∠ABC =30° ∴ AD =2，BC =3 ，AB =2， BD =2在Rt △ABC 中，BF EA CD23231ABBCAC CE =⨯=⋅=，同理 1222ABBDAD DF =⨯=⋅= ∴ 1DF BD BF 22=-=21CE AC AE 22=-= ∴ 212112EF =--=∴ θ⋅-++=cos DF EF 2EF DF CE CD 2222 ∴ 33cos =θ 即所求角的大小为33arccos。

二面角练习题

二面角练习题1、在三棱锥P-ABC中，已知PB⊥底面ABC，AC⊥BC，PB=BC=AC，点E、F分别是PC、XXX的中点．我们需要证明两个结论：Ⅰ）PC⊥平面BEF；Ⅱ）二面角A-EB-F的大小等于120°。

为证明（Ⅰ），我们可以通过三角形的性质来解决。

首先连接PE、PF，因为PE、PF分别是三角形PBC、PAC的中线，所以PE=PF=1/2BC=1/2AC。

又因为PB=BC=AC，所以△PBE和△PBF是等腰三角形，∠PBE=∠PBF。

又因为EF是△PBE和△PBF的中线，所以EF⊥PB，即EF⊥平面ABC。

又因为BE⊥平面ABC，所以PC⊥平面BEF。

为证明（Ⅱ），我们可以利用向量的知识，设向量PA=a，向量PB=b，则向量PC=a+b。

由于PB⊥平面ABC，所以向量PB在平面ABC上的投影为0，即b在平面ABC的法向量上。

又因为AC⊥BC，所以向量AC在平面ABC的法向量上，且向量AC与向量b的夹角为60°。

因此，向量PC在平面ABC的法向量上的投影为a的模长乘以cos60°，即PC在平面ABC的法向量上的投影为1/2PA。

由于PE、PF分别是△PAC、△PBC的中线，所以PE=PF=1/2PA=1/2PC。

因此，向量PE和向量PF在平面BEF上的投影相等，即二面角A-EB-F的大小等于120°。

2、在正方体ABCD-A1B1C1D1中，已知O是AC、BD的交点，E、F分别是AB、AD的中点。

我们需要证明三个结论：1）直线OD1与直线A1C1垂直；2）异面直线EF与A1C1所成角的大小等于60°；3）二面角B-AC-D1的大小等于90°。

为证明（1），我们可以利用向量的知识。

设向量OA1=a，向量OC1=b，则向量OD1=a+b。

因为正方体ABCD-A1B1C1D1中，向量OA1和向量OC1垂直且长度相等，所以向量OA1和向量OC1的夹角为90°。

二面角习题及答案

D’
且 MN = 2a ，A'C = 3a
A
’
∴Ｓ□AMC'N = MN 1 AC' 6 a 2
2
2
由于 AMC'N 在面 ABCD 上的射影即
为正方形 ABCD A
∴ Ｓ□ABCD = a 2
∴
cos 1
a2 6 6 a2 3
2
N D
∴
1 arccos
6 3
取 CC'的中点 M'，连结 DM'
二面角
2
1.如图三棱锥 P-ABC 中，PC⊥平面 ABC，PC = ，D 是 BC 的中点，且△ADC 是
3
P
边长为 2 的正三角形，求二面角 P-AB－C 的大小。
解
C D
B
A
2.如图在三棱锥 S-ABC 中，SA⊥底面 ABC，AB⊥BC，DE 垂直平分 SC，且分别交
AC、SC 于 D、E，又 SA =AB，BS =BC，求以 BD 为棱，BDE 与 BDC 为面的二面角的度 S
∴EO∥平面 PBC，于是点 O 到平面 PBC 的距离等于 E 到平面 PBC 的距离. 作 OF⊥BC 于 F，
∵EO⊥平面 ABCD，EO∥PC，PC 平面 PBC，∴平面 PBC⊥平面 ABCD，于是 OF⊥平
面 PBC，OF 的长等于 O 到平面 PBC 的距离.
a
a33
3
由条件可知，OB＝ 2 ,OF＝ 2 × 2 ＝ 4 a，则点 E 到平面 PBC 的距离为 4 a.
易证 △SAC∽△DEC
∴ ∠CDE =∠SAC =60°
3、解：取 OC 之中点 N，则 MN∥PO