思考题整理完整版

合集下载

化工原理实验思考题吐血整理

思考题过滤（1）通过实验你认为过滤的一维模型是否适用？答：是适用。

用此模型能很好地描述这个过程，且误差小。

（2）当操作压强增加一倍，其K 值是否也增加1倍？要得到同样的滤液量，其过滤时间是否缩短了1半？答：恒压过滤公式：q ２＋2qqe ＝K τ （4-46）当操作压强增加一倍，其K 值不一定增加一倍。

得到同样的滤液量，其过滤时间不一定是原来的一半。

由于S 的存在。

（3）影响过滤速率的主要因素有哪些？答：1 压强差P 2，滤饼厚度L 3，悬浮液的性质 4，滤饼的性质 5 悬浮液温度 6 过滤介质的阻力（4）滤浆浓度和操作压强对过滤常数K 值有何影响？答：滤浆浓度越大，过滤常数K 值越小。

操作压强越大，过滤常数K 值越大。

（5）为什么过滤开始时，滤液常常有点混浊，过段时间后才变清？答：悬浮液过滤时，当颗粒尺寸比过滤介质孔径小时，过滤开始会有部分颗粒进入过滤介质孔道里，迅速发生“架桥现象”，但也会有少量颗粒穿过过滤介质而与滤液一起流走，所以滤液常是浑浊的，随着滤渣的逐渐堆积，过滤介质上面会形成滤饼层，成为有效的过滤介质而得到澄清的滤液（6）若要做滤饼洗涤，管线应怎样安排？需增加什么设备？答：增加通洗涤液的管路，为了操作方便，最好添加泵。

Sr p K -12φμ∆=Sr p K -12φμ∆=六、传热（1）实验中冷流体和蒸汽的流向，对传热效果有无影响？有，逆流时温差大，换热效果好，传热效率高（2）蒸汽冷凝过程中，若存在不凝性气体，对传热有何影响？应采取什么措施？不凝性气体会减少制冷剂的循环量，使制冷量降低。

并且不凝性气体会滞留在冷凝器的上部管路内，致使实际冷凝面积减小，冷凝负荷增大，冷凝压力升高，从而制冷量会降低。

而且由于冷凝压力的升高致使排气压力升高，还会减少压缩机的使用寿命。

应把握好空气的进入，和空气的质量。

（3）实验过程中，冷凝水不及时排走，会产生什么影响？如何及时排走冷凝水？答：增加了额外的热阻，使给热系数大为下降。

中国特色社会主义理论与实践研究思考题(答案整理版)

'.;..中国特色社会主义理论与实践研究思考题导论1中国特色社会主义的基本问题有哪些？谈谈对这些基本问题的理解。

答: 1、什么是马克思主义、怎样对待马克思主义: 坚持和发展中国特色社会主义的思想前提,用马克思主义的态度（科学的认知方法）对待马克思主义 2、建设什么样的社会主义、怎样建设社会主义: 贯穿整个社会主义历史阶段的问题3、建设什么样的党、怎样建设党: 主要在两个方面：一是党自身的建设问题; 二是党领导的中国特色社会主义发展的问题。

4、实现社么样的发展、怎样发展，科学发展观对发展问题的重新认识。

发展终极目标：满足人的多个层面的需求和促进人的全面发展怎样发展：整体性(经济政治文化社会生态全面发展）；协调性（五个统筹）；可持续性2、中国特色社会主义的主要内容是什么？（1）道路—中国特色社会主义道路（坚持中国特色社会主义道路，就是真正坚持社会主义）：在中国共产党的领导下（领导力量），立足基本国情（现实依据），以经济建设为中心，坚持四项基本原则，坚持改革开放（基本路线），解放和发展社会中生产力（主要任务），巩固完善社会主义制度，建设社会主义市场经济，社会主义民主法治，社会主义先进文化，社会主义和谐社会（总体布局），建设富强民主文明和谐的社会主义现代化国家（奋斗目标）（2）理论体系：邓小平理论—“三个代表”重要思想—科学发展观（3）制度——中国特色社会主义制度：1根本政治制度（人民代表大会制度）2 基本政治制度3法律体系（中特法律体系）4基本经济制度（公有制为主题多种所有制共同发展） 5建立在这些制度基础上的具体制度第一讲当代中国的基本国情 1、如何概括当代中国的基本国情？（一）当代中国的基本国情：仍处在社会主义初级阶段（1）人口情况：人口大国而非人才强国，文盲半文盲比例高；（2）从人均国内生产总值看，中国仍处在世界后列（3）从人民生活水平看，中国人民生活仅在总体上达到小康（4）从资源占有情况看，中国人口众多，人均资源占有量少，面临很大的资源环境压力（5）从城市化程度看，中国仍低于世界平均水平（6）从工业化程度看，中国也低于世界平均水平（二）结论：三个没有变1我国仍然处于并将长期处于社会主义初级阶段的基本国情没有变2人民日益增长的物质文化生活的需要同落后的社会生产之间的社会主要矛盾没有变3我国是世界上最大的发展中国家的国际地位没有变2、当前中国发展阶段性特征有哪些？答：一、是经济实力显著增强，但生产力水平总体不高，自主创新能力不强，结构性矛盾和粗放式增长尚未根本改变。

30道逻辑思考题及答案

30道逻辑思考题及答案第1篇: 30道逻辑思考题及答案1.如何问问题?有甲、乙两人，其中，甲只说假话，而不说真话;乙则是只说真话，不说假话。

但是，他们两个人在回答别人的问题时，只通过点头与摇头来表示，不讲话。

有一天，一个人面对两条路：A与B，其中一条路是通向京城的，而另一条路是通向一个小村庄的。

这时，他面前站着甲与乙两人，但他不知道此人是甲还是乙，也不知道点头是表示是还是表示否。

现在，他必须问一个问题，才可能断定出哪条路通向京城。

那么，这个问题应该怎样问?2.他们的职业是分别什么?小王、小张、小赵三个人是好朋友，他们中间其中一个人下海经商，一个人考上了重点大学，一个人参军了。

此外他们还知道以下条件：小赵的年龄比士兵的大;大学生的年龄比小张小;小王的年龄和大学生的年龄不一样。

请推出这三个人中谁是商人?谁是大学生?谁是士兵?3.谁做对了?甲、乙、丙三个人在一起做作业，有一道数学题比较难，当他们三个人都把自己的解法说出来以后，甲说：我做错了。

乙说：甲做对了。

丙说：我做错了。

在一旁的丁看到他们的答案并听了她们的意见后说：你们三个人中有一个人做对了，有一个人说对了。

请问，他们三人中到底谁做对了?4.鞋子的颜色小丽买了一双漂亮的鞋子，她的同学都没有见过这双鞋了，于是大家就猜，小红说：你买的鞋不会是红色的。

小彩说：你买的鞋子不是黄的就是黑的。

小玲说：你买的鞋子一定是黑色的。

这三个人的看法至少有一种是正确的，至少有一种是错误的。

请问，小丽的鞋子到底是什么颜色的?5.谁偷吃了水果和小食品?赵女士买了一些水果和小食品准备去看望一个朋友，谁知，这些水果和小食品被他的儿子们偷吃了，但她不知道是哪个儿子。

，为此，赵女士非常生气，就盘问4个儿子谁偷吃了水果和小食品。

老大说道：是老二吃的。

老二说道：是老四偷吃的。

老三说道：反正我没有偷吃。

老四说道：老二在说谎。

这4个儿子中只有一个人说了实话，其他的3个都在撒谎。

那么，到底是谁偷吃了这些水果和小食品?6.谁在说谎，谁拿走了零钱?姐姐上街买菜回来后，就随手把手里的一些零钱放在了抽屉里，可是，等姐姐下午再去拿钱买菜的时候发现抽屉里的零钱没有了，于是，她就把三个妹妹叫来，问她们是不是拿了抽屉里的零钱，甲说：我拿了，中午去买零食了。

思考题整理完整版

思考题整理完整版思考题第⼆章1．论述微⽣物⽣长与⽔分活度的关系。

（1）各种微⽣物的⽣长发育下限Aw值：细菌0.94，酵母菌0.88，霉菌0.8。

⼤多数耐盐菌0.75，耐⼲燥霉菌和耐⾼渗酵母0.60。

⽔分活度〈0.6０绝⼤多数微⽣物均不能⽣长。

（2）⽔分活度与微⽣物耐热性：在1.0~0.8，微⽣物耐热降低；但嗜热脂肪芽孢梭菌在0.2~0.4之间耐热最⾼。

(3)⽔分活度与细菌芽孢、毒素的产⽣:芽孢的形成⽐营养细胞发育需更⾼的⽔分活度;毒素产⽣量随⽔分活度的降低⽽减少。

2．分析⼲燥过程中影响湿热传递的因素。

⾷品⼲燥的快慢取决于⾷品与环境之间热交换和质量交换的速度，与热物理性质有关。

⼲燥过程包括两个⽅⾯：⼀是⽔分转移；另⼀为热量传递。

⾷品的表⾯积，表⾯积↑，传递速率↑;⼲燥介质的温度，温度↑，传递速率↑空⽓流速，流速↑，传递速率↑;空⽓相对湿度，相对湿度↓，传递速率↑真空度，真空度↑，传递速率↑;⾷品组成与结构，由⽐热、导热系数、导温系数反映。

3. 如何反映⼲燥过程的特性。

（⼲燥曲线、⼲燥速度曲线、温度曲线)(１)⼲燥曲线（⾷品⽔分含量曲线）⼲燥曲线是表⽰⾷品⼲燥过程中绝对⽔分（W绝：⼲基）和⼲燥时间（τ）之间的关系曲线。

由ＡＢＣＤＥ线段组成。

A-B 热⼒平衡，⾷品被预热，⽔分开始蒸发，但因温度梯度影响，⽔分的下降缓慢。

ＢＣ⾃由⽔蒸发，速度快；D-E ⽔分平衡，最终⾷品的⽔分含量达到平衡点。

该曲线的形状取决于⾷品种类及⼲燥条件等因素，即内部⽔分迁移与表⾯⽔分蒸发或外部⽔分扩散所决定。

(2)⼲燥速率曲线:表⽰⼲燥过程中某个时间的⼲燥速度（u）与⼲燥时间之间对应关系的曲线。

由Ａ〞Ｂ〞Ｃ〞Ｄ〞Ｅ〞组成。

升速阶段Ａ〞Ｂ〞，B〃-C〃恒率⼲燥阶段，C〃-D〃降率⼲燥阶段。

(３)⾷品温度曲线表⽰⼲燥过程中⾷品温度和⼲燥时间之关系的曲线。

由Ａ′Ｂ′Ｃ′Ｄ′Ｅ′组成。

Ａ′Ｂ′⾷品初期加热阶段。

Ｂ′Ｃ′⾷品物料表⾯温度等于湿球温度并维持不变。

中特思考题答案整理

1、如何全面把握我国的国情？答：1.我国的社会生产力水平还比较低2.科学技术水平，民族文化素质还不够高3.社会主义具体制度还不完善，我国社会主义仍然处于初级阶段4.我国人口基数大，人均资源占有量少在认识我国的基本国情方面，应该把握4个方面：1，必须清醒认识我国社会主义初级阶段基本国情。

2，必须清醒认识当前我国发展的阶段性特征。

3、必须把社会主义初级阶段基本国情与我国发展的阶段性特征有机统一于发展中国特色社会主义新的伟大实践。

4、是按照人们的根本利益制定的怎样能够深刻地理解和把握我国的基本国情？只有把社会主义社会的性质同它的发展程度有机地统一起来，构成一个科学概念，才能够深刻地理解和把握我国的基本国情。

不了解当前我国的社会主义性质或者对其作出了错误的判断，就不可能对我国社会的基本特征，主要矛盾，根本任务和发展方向作出正确的分析，因而也不可能制定出符合实际的正确路线和政策，推动社会向前发展；不能正确地分析当前我国社会所处的发展阶段，就有可能出现超越阶段或者落后于形势的判断，从而作出错误的决策。

党的十一届三中全会以前，中国共产党对我国社会性质问题的判断是正确的，但对我国社会主义发展阶段的认识则不够清醒，提出的任务和政策脱离了国情，严重影响了社会主义现代化建设事业的发展。

因此正确把握国情必须全面地认识我国社会所处的历史方向，把社会性质同它的发展程度统一起来。

2、人口的增长与经济发展的关系。

中国的人口问题会影响经济发展。

人口问题从本质上讲是发展问题，我们在社会经济发展中遇到的许多问题，诸如吃饭问题、就业问题、教育问题、资源破坏、环境污染、生态失衡等等，都与人口基数大、增长快有着直接的关系。

没有对人口增长的合理控制，没有人口与经济、社会、资源、环境的协调发展，要实现国民经济持续、快速、健康发展和社会全面进步是很困难的。

在人口、资源与环境中，人口与计划生育是中国社会经济能否实现可持续发展的关键。

因此，我们要从可持续发展战略高度认识人口问题的重要性。

中国特色社会主义思考题-整理版1

1、中国特色社会主义道路答：这条道路归纳为四个方面：中国共产党的领导；…一个中心、两个基本点‟ 的基本路线；中国特色社会主义事业的总体布局；中国特色社会主义的发展战略和发展目标。

就是在中国共产党领导下，立足基本国情，以经济建设为中心，坚持四项基本原则，坚持改革开放，解放和发展社会生产力，巩固和完善社会主义制度，建设社会主义市场经济、社会主义民主政治、社会主义先进文化、社会主义和谐社会，建设富强民主文明和谐的社会主义现代化国家。

2、为什么说中国特色社会主义是当代中国马克思主义创新理论的最新概括？答：中国特色社会主义理论是马克思主义基本原理与中国社会主义建设尤其是中国改革开放以来的实践相结合的产物, 是当代中国的马克思主义。

毛泽东思想是对中国特色社会主义初步探索的理论成果, 邓小平理论、三个代表重要思想和科学发展观, 是中国特色社会主义理论的主要内容。

中国特色社会主义理论紧紧围绕社会主义建设、党的建设、社会发展三大基本问题, 用一系列相互贯通、紧密联系的新思想、新观点、新论断, 进一步丰富和深化了对于社会主义建设规律、党的执政规律、人类社会发展规律的认识, 是一个内涵丰富、逻辑严谨、结构完整的科学的理论体系。

这个理论体系凝结了几代中国共产党领导集体带领人民不懈探索实践的智慧和经验，是同马克思列宁主义、毛泽东思想既一脉相承又与时俱进的理论体系。

3、怎样在实践中坚持和丰富中国特色社会主义理论体系？答：中国特色社会主义理论体系包括是包括邓小平理论、“三个代表”重要思想，以及科学发展观在内的重大战略思想的理论体系。

中国特色社会主义理论体系涉及的重大理论问题，同时也是现实生活中的重大实践问题。

什么是社会主义、怎样建设社会主义，重在解决社会主义发展方向、发展道路的问题；建设什么样的党、怎样建设党，重在解决党的历史方位发生重大变化后如何加强党的建设的问题；实现什么样的发展、怎样发展，重在解决适应新的发展要求、推动经济社会又好又快发展的问题。

IC思考题(整理版)

思考题【1】CMP包括哪2个动力学过程？控制参数有哪些？答：（1）CMP是一个多相反应，有二个动力学过程：1.首先吸附在抛光布上的抛光液中的氧化剂、催化剂等与单晶片表面的硅原子在表面进行氧化还原的动力学过程（化学作用）如碱性抛光液中的OH-对Si的反应：Si ＋2OH- + H2O=== SiO32- + 2H22. 抛光表面反应物脱离硅单晶表面，即解吸过程，使未反应的硅单晶重新裸露出来的动力学过程（机械作用）（2）控制参数：1.抛光时间：2.磨头压力（向下压力）：3.转盘速率4.磨头速度磨料化学成分5.磨料流速6.硅片/磨料温度【2】异质外延对衬底和外延层有什么要求？答：异质外延的相容性1. 衬底与外延层不发生化学反应，不发生大量的溶解现象；2.衬底与外延层热力学参数相匹配，即热膨胀系数接近。

以避免外延层由生长温度冷却至室温时，产生残余热应力，界面位错，甚至外延层破裂。

3.衬底与外延层晶格参数相匹配，即晶体结构，晶格常数接近，以避免晶格参数不匹配引起的外延层与衬底接触的界面晶格缺陷多和应力大的现象。

【3】热氧化方法有哪几种？各有何优缺点？答：干氧氧化：在高温下氧直接与硅片反应生长二氧化硅的方法。

氧化膜致密性最好，针孔密度小，薄膜表面干燥，均匀性和重复性好，掩蔽能力强，与光刻胶接触良好、粘附好，光刻时不易产生浮胶，但是生长速率最慢；O2+Si--->SiO2 水蒸汽氧化：在高温下，硅与高纯水产生的蒸汽反应生成SiO2。

氧化膜致密性最差，针孔密度最大，薄膜表面潮湿，光刻难，浮胶。

但是，生长速率快。

H2+O2+Si--→SiO2+H2湿氧氧化：将干燥纯净的氧气在通入氧化炉前先经过一个水浴瓶，使氧气通过加热的高纯去离子水，携带一定量的水汽（水汽的含量由水浴温度－通常95℃左右和气流决定。

H2O(O2)+Si--→SiO2+H2水比氧在二氧化硅中有更高的扩散系数和大得多的溶解度，所以湿氧氧化有较高的氧化速度。

化工原理实验思考题整理

v1.0 可编辑可修改1.洞道干燥实验及干燥特性曲线的测定（1）什么是恒定干燥条件本实验装置中采用了哪些措施来保持干燥过程在恒定干燥条件下进行答：恒定干燥条件指干燥介质的温度、湿度、流速及与物料的接触方式，都在整个干燥过程中均保持恒定。

本实验中所采取的措施：干燥室其侧面及底面均外包绝缘材料、用电加热器加热空气再通入干燥室且流速保持恒定、湿物的放置要与气流保持平行。

（2）控制恒速干燥速率阶段的因素是什么降速的又是什么答：①恒速干燥阶段的干燥速率的大小取决于物料表面水分的汽化速率，亦取决定于物料外部的干燥条件，所以恒定干燥阶段又称为表面汽化控制阶段。

②降速阶段的干燥速率取决于物料本身结构、形状和尺寸，而与干燥介质的状态参数关系不大，故降速阶段又称物料内部迁移控制阶段。

（3）为什么要先启动风机，再启动加热器实验过程中干湿球温度计是否变化为什么如何判断实验已经结束答：①让加热器通过风冷慢慢加热，避免损坏加热器，反之如果先启动加热器，通过风机的吹风会出现急冷，高温极冷，损坏加热器；②理论上干、湿球温度是不变的，但实验过程中干球温度不变，但湿球温度缓慢上升，估计是因为干燥的速率不断降低，使得气体湿度降低，从而温度变化。

③湿毛毡恒重时，即为实验结束。

（4）若加大热空气流量，干燥速率曲线有何变化恒速干燥速率，临界湿含量又如何变化为什么答：干燥曲线起始点上升，下降幅度增大，达到临界点时间缩短，临界点含水量降低。

因为加快了热空气排湿能力。

（5）毛毡含水是什么性质的水分毛毡含水有自由水和平衡水，其中干燥为了除去自由水。

（6）实验过程中干、湿球温度计是否变化为什么答：实验结果表明干、湿球温度计都有变化，但变化不大。

理论上用大量的湿空气干燥少量物料可认为符合定态空气条件。

定态空气条件：空气状态不变（气流的温度t、相对湿度φ）等。

干球温度不变，湿球温度不变。

绝热增湿过程，则干球温度变小，湿球温度不变。

（7）什么是恒定干燥条件本实验装置中采用了哪些措施来保持干燥过程在恒定干燥条件下进行答：①指干燥介质的温度、湿度、流速及与物料的接触方式，均在整个干燥过程中保持恒定；②本实验中本实验用大量空气干燥少量物料，则可以认为湿空气在干燥过程温度。

3个合成实验思考题答案整理

苯妥英钠的合成1．安息香缩合反应的原理（没做）2. 制备苯妥英为什么在碱性条件下进行苯妥英显弱酸性，几乎不溶于水，与碱成盐改善其溶解性。

3.本品精制的原理是什么苯妥英与钠盐反应生成苯妥英钠盐类，其盐类在水中的溶解度小于氯化钠，当不断加入氯化钠至形成饱和溶液，苯妥英钠优先析出，再用活性炭洗去浮色即可得到纯品。

4.制备二苯乙二酮加入冰醋酸和水的作用是什么这个反应是一个氧化还原反应，冰醋酸在这里既作为一个溶剂，也作为一个酸性介质提供者，三氯化铁在酸性介质中能够发挥最强的氧化性。

同时三氯化铁及其容易水解，如果不在酸性介质中，很快就会完全水解成氢氧化物，氢氧化物不溶于水，就无法发挥氧化剂的作用。

加水是为了降低体系的饱和度，使析出的晶体较大。

磺胺醋酰钠的合成1、磺胺类药物有哪些理化性质在本实验中，是如何利用这些性质进行产品纯化的答：磺胺类药物一般为白色或微黄色结晶性粉末；无臭，无味。

具有一定熔点。

难溶于水，可溶于丙酮或乙醇。

①酸碱性因本类药物分子中有芳香第一胺，呈弱碱性；有磺酰氨基，显弱酸性,故本类药物呈酸碱两性，可与酸或碱成盐而溶于水②自动氧化反应本类药物含芳香第一胺，易被空气氧氧化。

③芳香第一胺反应磺胺类药物含芳香第一胺，在酸性溶液中，与亚硝酸钠作用，可进行重氮化反应，利用此性质可测定磺胺类药物的含量。

生成的重氮盐在碱性条件下，生成橙红色偶氮化合物，可作本类药物的鉴别反应。

④与芳醛缩合反应芳香第一胺能与多种芳醛（如对二甲氨基苯甲醛、香草醛等）缩合成具有颜色的希夫碱.⑤铜盐反应磺酰氨基上的氢原子，可被金属离子（如铜、银、钴等）取代，生成不同颜色的难溶性沉淀，可用于鉴别。

2、酰化液处理的过程中，pH 7时析出的固体是什么pH 5时析出的固体是什么10% 盐酸中的不溶物是什么答：pH=7时候析出的固体是未反应的磺胺；5的时候析出的是磺胺醋酰。

在10%盐酸溶液中磺胺醋酰生成盐酸盐而溶解，而磺胺双醋酰由于结构中无游离的芳伯胺基，不能和盐酸成盐故析出。

中特思考题答案整理

2，必须清醒认识当前我国发展的阶段性特征。

3、必须把社会主义初级阶段基本国情与我国发展的阶段性特征有机统一于发展中国特色社会主义新的伟大实践。

因此正确把握国情必须全面地认识我国社会所处的历史方向，把社会性质同它的发展程度统一起来。

2、人口的增长与经济发展的关系。

中国的人口问题会影响经济发展。

没有对人口增长的合理控制，没有人口与经济、社会、资源、环境的协调发展，要实现国民经济持续、快速、健康发展和社会全面进步是很困难的。

在人口、资源与环境中，人口与计划生育是中国社会经济能否实现可持续发展的关键。

因此，我们要从可持续发展战略高度认识人口问题的重要性。

30道逻辑思考题及答案范文(通用6篇)

30道逻辑思考题及答案范文(通用6篇)【篇1】30道逻辑思考题及答案1】假设有一个池塘，里面有无穷多的水。

现有2个空水壶，容积分别为5升和6升。

问题是如何只用这2个水壶从池塘里取得3升的水。

【2】周雯的妈妈是豫林水泥厂的化验员。

一天，周雯来到化验室做作业。

做完后想出去玩。

"等等，妈妈还要考你一个题目，"她接着说，"你看这6只做化验用的玻璃杯，前面3只盛满了水，后面3只是空的。

你能只移动1只玻璃杯，就便盛满水的杯子和空杯子间隔起来吗?"爱动脑筋的周雯，是学校里有名的"小机灵"，她只想了一会儿就做到了。

请你想想看，"小机灵"是怎样做的?【3】三个小伙子同时爱上了一个姑娘，为了决定他们谁能娶这个姑娘，他们决定用手枪进行一次决斗。

小李的命中率是30%，小黄比他好些，命中率是50%，最出色的枪手是小林，他从不失误，命中率是100%。

由于这个显而易见的事实，为公平起见，他们决定按这样的顺序：小李先开枪，小黄第二，小林最后。

然后这样循环，直到他们只剩下一个人。

那么这三个人中谁活下来的机会最大呢?他们都应该采取什么样的策略?【4】一间囚房里关押着两个犯人。

每天监狱都会为这间囚房提供一罐汤，让这两个犯人自己来分。

起初，这两个人经常会发生争执，因为他们总是有人认为对方的汤比自己的多。

后来他们找到了一个两全其美的办法：一个人分汤，让另一个人先选。

于是争端就这么解决了。

可是，现在这间囚房里又加进来一个新犯人，现在是三个人来分汤。

必须寻找一个新的方法来维持他们之间的和平。

该怎么办呢?按：心理问题，不是逻辑问题【5】在一张长方形的桌面上放了n个一样大小的圆形硬币。

这些硬币中可能有一些不完全在桌面内，也可能有一些彼此重叠;当再多放一个硬币而它的圆心在桌面内时，新放的硬币便必定与原先某些硬币重叠。

请证明整个桌面可以用4n个硬币完全覆盖【6】一个球、一把长度大约是球的直径2/3长度的直尺.你怎样测出球的半径?方法很多，看看谁的比较巧妙【7】五个大小相同的一元人民币硬币。

《党的基本知识》学习思考题 (精心整理版)

厦门大学党委党校第50期学习班《党的基本知识》学习思考题1．为什么说中国共产党是中国工人阶级的先锋队，同时是中国人民和中华民族的先锋队？中国共产党是中国工人阶级的先锋队。

这是因为：第一，中国共产党是以工人阶级为阶级基础的。

我们党从成立之日起，就把自己定为中国工人阶级的政党，始终坚持工人阶级先锋队的性质，为保持自身的先进性奠定了坚实的阶级基础。

中国共产党正是鲜明地体现了中国工人阶级的阶级性质，坚定不移地代表着它的意志第二，中国共产党是由工人阶级先进分子组成的。

党应由工人阶级先进分子所组成，这是马克思列宁主义建党学说的一个重要原则。

第三，中国共产党是用先进理论武装起来的。

中国共产党是以马克思列宁主义、毛泽东思想、邓小平理论和“三个代表”重要思想武装起来的工人阶级政党，这是我们党具有先进性的重要因素。

第四，中国共产党是按照民主集中制的原则建立的。

中国共产党不是党员数量的简单相加，而是按照民主集中制组织起来的统一整体。

民主集中制是党的根本的组织原则和组织制度，也是党的根本的领导制度和工作制度。

中国共产党同时是中国人民和中华民族的先锋队的原因：第一，从我们党所代表的利益来看。

我们党不仅代表了工人阶级的利益，而且代表了中国人民和中华民族的利益。

”党的七大党章总纲中规定：“中国共产党，是中国工人阶级的先进的有组织的部队，是它的阶级组织的最高形式。

中国共产党代表中华民族与中国人民的利益。

”第二，从我们党的宗旨来看。

这同我们党的全心全意为人民服务的宗旨是完全一致的。

第三，“三个代表”是我们党始终成为中国工人阶级先锋队，同时成为中国人民和中华民族先锋队的根本指针。

坚持“三个代表”，最重要的是必须首先考虑并满足最大多数人的利益要求。

2．为什么说中国共产党的领导是历史和人民的必然选择？第一、党的领导地位是在长期的革命和建设中形成的。

没有共产党，就没有新中国。

有了共产党，中国的面貌就焕新一新。

这是中国人民从长期奋斗历程中得到的最基本最重要的结论。

机械设计思考题整理

1.推导单根v带传递的额定功率和和核算包角时，为何按小带轮进行？2.带传动中，弹性滑动是怎样产生的？造成什么后果？3.带传动中，打滑的产生？打滑的利弊各是什么？4.弹性滑动的物理意义是什么？如何计算弹性滑动率？5.工作时，带上所受的应力有那几种？最大应力在何处？6.带传动的主要失效形式？带传动设计的主要依据？7.带传动设计中如何确定参数（1）带轮直径（2）带速（3）小带轮包角（4）张紧力（5）带的根数（6）传动比8.多根v带传动时，当一根带失效时，为何全部带都要更换？9.为什么带传动的轴间距一般都设计为可调的？10.试分析带传动的中心距，预紧力，及带的根数大小对带传动的工作能力的影响？二．轴1.何为转轴，心轴，传动轴？自行车的前轴，中轴，后轴，踏板轴分别是什么轴？2.轴的强度计算方式有那几种？各适用于何种情况？3.按弯扭合成强度和按疲劳强度校核轴时，危险截面应如何确定？确定危险截面时考虑的因素有何分别？4.为什么要进行轴的静强度校核？这时是否要考虑应力集中等因素的影响？5.经校核，发现轴的疲劳强度不符合要求时，在不增大轴径的条件下可采取那些措施来提高轴的疲劳强度？6.何为轴的临界转速？轴的弯曲振动临界转速的大小与那些因素有关?7.什么叫刚性轴？什麽叫挠性轴？设计高速运动的轴时，应如何考虑轴的工作转速范围？三．滚动轴承1滚动轴承分为几大类？写出他们的类型代号与名称，并说明各类轴承能承受何种载荷？2.为什么30000型和70000型轴承常成对使用？成对使用时什麽叫反装及正装？什麽叫面对面及背靠背安装？试比较正装与反装的特点？3.轴承的寿命与基本额定寿命之间有什么区别?按公式计算出的A是什么含义？4.滚动轴承基本额定动载荷c的含义是什么？当滚动轴承上作用的当量当量动载荷不超过c 时，轴承是否就不会发生点蚀破坏？为什么？.5.同一型号的滚动轴承，在某一工况条件下的基本额定寿命为L时‘，若其他条件不变，仅将轴承所承受的当量动载荷增加一倍，轴承的基本额定寿命将是多少？6.滚动轴承常见失效形式有那些？公式L是针对那种失效形式建立的？7.你所学的滚动轴承中那几类是内外圈可分离的？8.什么类型的滚动轴承在安装时需要考虑需要调整轴承游隙？常用那些方法调整轴承游隙？9.滚动轴承支撑的轴系，其轴向固定的典型结构形式有三类：（1）两支点各单向固定（2）一支点双向固定，另一支点游动（3）两支点游动。

政治课思考题题目整理

1、中共十七届六中全会提出坚持中国特色社会主义文化发展道路，建设社会主义文化强国的目标，请从理论和实践相结合的角度谈谈你的认识。

2、现实生活中，有人提出，发展社会主义市场经济，社会经济成分多样化，指导思想可以搞多元化，也有人提出，多种分配方式并存，利益关系多样化，社会思想、价值观念日益多样化，就可以搞指导思想多元化，请对上述观点作出评析。

3、有人提出，发展是硬道理，提高国家软实力也是硬道理。

就此谈谈你是如何理解的。

4、中共十七大提出，要建设富强民主文明和谐的社会主义现代化国家。

请结合实际，谈谈为什么要把社会和谐作为中国特色社会主义的本质属性。

5、改善民生问题是社会建设的重点，当前，就业难、住房难、看病难、上学难等成为改善民生中最紧迫的问题。

请谈谈解决这些问题的意义和途径。

6、当前在如何解决贫富差距拉大问题上有两种观点：一种认为，应该把着力点放在持续发展经济上，只有经济发展了，蛋糕做大了，才有能力解决贫富差距问题；另一种认为，应把着力点放在完善分配体制上，只要分配公平了，蛋糕分合理了，就能缩小贫富差距。

请结合实际评述上述观点。

7、中共十七大报告指出，“必须把建设资源节约型、环境友好型社会放在工业化、现代化发展战略的突出位置，落实到每个单位、每个家庭。

”请谈谈你对这段话的理解。

8、理论上人们都知道，不能走先污染、后治理的老路，但在遇到实际问题时，不少企业、直至有的地方政府还是认为发展经济是最重要的，环境污染的问题等经济发展了，有经济实力再进行治理。

你认为这些现象产生的根本原因是什么？怎样才能真正把保护环境落实到实处？9、气候变化问题是国际热点问题之一，请你谈谈你对解决这一问题的认识。

10、目前，国际金融危机还没有结束，但其影响将极为深远，你如何看待当今世界发展的新变化？11、冷战结束后，国际上关于中国的前途和命运有各种不同的评论和预测，“中国崩溃论”、“中国威胁论”、“中国责任论”等各种论调反复出现，仅“中国威胁论”就演变出“中国人口威胁论”、“中国核威胁论”、“中国环境威胁论”等各种论调，你如何认识和评价国际范围内关于中国的各种预测？12、2011年9月，国务院新闻办公室发布了《中国的和平发展》白皮书，阐述了中国和平发展道路的总体目标，对外方针政策、历史必然性和世界意义。

发动机思考题整理

第一章绪论1、掌握内燃机的基本名词术语（燃烧室容积、气缸工作容积、气缸总容积和压缩比）2、内燃机工作循环由哪几个过程组成？简述四冲程汽油机、柴油机的工作原理3、阐述柴油机与汽油机工作原理的差别4、简述内燃机的分类情况5、发动机通常是由哪些机构和系统组成的？他们各有什么功能6、发动机汽缸排列有几种方式7、内燃机产品和型号的编制规则第二章内燃机的实际工作过程与性能指标1、内燃机进气终了压力和进气终了温度如何变化，为什么2、简述充气系数的定义，影响因素有哪些？提高充气系数措施有哪些3、什么叫配气相位、气门重叠角4、汽油、柴油的主要使用性能指标5、汽油机、柴油机燃烧过程分哪几个阶段6、点火提前角、喷油提前角的定义7、汽油机爆震燃烧产生的原因和危害8、汽油机、柴油机各工作过程温度、压力的对比9、什么是发动机示功图？有什么用途10、什么是发动机的指示指标和有效指标11、何谓机械效率？发动机的机械损失包括哪些12、简述有效扭矩Me、有效功率Ne的定义13、简述燃油消耗率、升功率的定义和计算方法第三章曲柄连杆机构1、曲柄连杆机构的组成与功能是什么2、机体组有哪些零件组成3、气缸体的功能是什么？它有哪几种结构形式4、发动机气缸套有何作用？什么是干缸套？什么是湿缸套5、活塞组的基本作用和组成各是什么6、活塞有哪几部分组成?柴油机、汽油机的活塞有什么不同7、气环、油环的类型及主要作用是什么8、连杆组的组成及功用9、连杆大头切口常见的定位方式有哪几种10、V型内燃机的连杆有哪几种结构形式11、连杆轴瓦有几种结构形式12、内燃机曲轴的结构、功用及类型13、曲轴为什么要轴向定位？怎样定位？为什么只能有一处定位14、多缸内燃机发火顺序的确定原则15、作用在曲轴连杆机构上的力有哪些？对外作用效果如何16、曲轴系统产生扭转共振的原因是什么？功用是什么第四章配气机构1、配气机构的功用是什么？由哪些零件组成2、凸轮轴轴向定位有几种方式3、配气机构的结构型式有哪几种？驱动机构的结构型式有那几种？各有什么优缺点4、气门弹簧有什么作用？为什么在装配气门弹簧时要预先压缩5、为什么一般发动机的配气机构中要留气门间隙？气门间隙过大或过小有何危害6、可变配气相位控制机构的作用是什么？基本原理是什么7、二冲程内燃机换气方式有哪几种第五章汽油机燃油供给系1、什么是空燃比？过量空气系数2、可燃混合气体成分对汽油机性能有何影响3、汽油机不同工况对可燃混合气的浓度有何要求4、电控汽油喷射系统有何优点？它由几个主要系统组成？各系统的功用如何5、电控汽油喷射系统基本分类有哪几种形式6、什么是空燃比闭环控制？为什么要采用闭环控制第六章柴油机燃油供给系1、柴油机与汽油机基本工作原理差别2、柴油机供给系作用及组成是什么3、柴油机燃烧室的基本类型及特点4、三个精密偶件是什么5、柴油机喷油泵的功用及工作原理6、柴油机为什么采用调速器？调速器分为几种类型7、喷油泵喷油提前角调节方法有哪些8、柴油喷油量、喷油提前角电子控制方法9、柴油机为什么比汽油机易于冒黑烟且难于冷启动第七章汽油机的点火系1、汽油机最佳点火提前角与转速、负荷有什么关系2、传统机械式点火系统组成及各部件作用3、传统机械式点火系统如何调整点火提前角？（真空点火提前和离心点火提前）4、无触点半导体点火系统基本组成是什么？点火信号发生器常用哪些类型的传感器5、微机控制的点火系组成及基本类型第八章冷却系1、冷却系的作用是什么？它有哪几种类型2、水冷系的大小循环是如何进行的3、3水冷系有哪些方式调节冷却强度第九章润滑系1、润滑系的作用是什么2、画出润滑系统的油路走向3、曲轴箱通风的目的是什么第十章起动系1、内燃机启动时要克服哪些阻力2、电动及气动装置一般由哪三大部分组成3、电动机启动中为什么需要离合机构第十一章内燃机特性与调节1、什么叫内燃机特性？研究内燃机特性的目的是什么2、简述外特性、部分速度特性和负荷特性的定义3、分析汽油机和柴油机外特性的差异4、表征工作稳定性的扭矩适应性系数的定义5、分析汽油机和柴油机负荷特性的差异6、为什么柴油机的燃油消耗率比汽油机低7、试述万有特性的作用第十二章内燃机增压1、内燃机增压的目的是什么？简述增压度和压比的定义2、增压系统有哪些基本类型3、废气涡轮增压系统基本类型4、增压内燃机相对非增压内燃机在结构上需要哪些改变第十三章内燃机的污染与控制1、汽车发动机中有害排放物的种类及危害2、汽油机有害排放物的主要来源3、汽油机排放物的生成机理和影响因素4、比较柴油机和汽油机的排放特性的不同点5、废气再循环作用及机理6、直接喷射柴油机空燃比（负荷）对排放物的影响7、汽油机瞬态工况排放特性8、三元催化转换器的作用及工作条件9、汽油蒸发控制系统的作用及原理10、轻型汽油车和重型柴油机的排放测试方法OBDII主要监测内容11、。

思考题30道

1、小芳今年8岁，他比爸爸小27岁，5年前爸爸比小芳大（）岁。

2、女儿今年8岁，6岁时父亲是女儿的2倍还多16岁，父亲今年（）岁。

3、把一根木头锯成9段，每锯一次4分钟，一共要锯（）分钟。

4、姐妹两人做花，姐姐做了30朵，妹妹做了22朵，姐姐给妹妹（）朵，两人的花就一样多。

5、一堆菜重37千克，每 5千克装一箱，需要（）个箱子能把菜装完。

6、有一堆花，比20朵多一些，比30少一些，把这些花，每7朵分给一个小朋友，正好分完，有（）个小朋友。

7、王师傅要锯5根木头，每根都锯成4段，每锯一次要用3分钟。

王师傅一共用了（）分钟。

8、一个三位数，它的十位数比个位数小3，比百位数大1，三个数位上的数字和不超过10，这个三位数可能是（）。

9、一根绳子长20米，对折以后，再对折，每折长（）米。

10、1，2，4，7，11，( )，2211、3，6，5，10，9，( )，( )12、小王在做一道加法题的时候,把个位上的3写成8,把十位上的5写成2,最后所得的和是47。

想一想，原来的和应是（）。

13、同学们排队，按照2名女同学3名男同学的顺序排队，45名学生中，有（）名女同学，有（）名男同学。

14、△+☆=9△+△+☆+☆+☆=25△=（）☆=（）15、李奶奶家养了10 只鸭，鸡的只数是鸭只数的3倍，要使鸭的只数和鸡的只数同样多，那么李奶奶还要买（）只鸭。

16、小东从1楼走到8楼，共上了63级台阶，一层楼有（）级台阶。

17、用5、8、0、2这四个数组成（）个不同的四位数，最大数是（），最小数是（）。

18、想一想，□与○各代表什么数时，下面的算式成立。

○+□=26 ○÷3=6□=( ) ○=( )19、一桶水连桶重260千克，用去一半后，连桶还重145千克，用去（）千克水；满桶水重（）千克。

20、两个数的和比第一个数多445，比第二个数多268，这两个数的和是（）。

21、一根绳子对折以后，再对折，每折长6米。

数学分析思考题集

数学分析思考题集目录第一章函数 (1)第二章数列极限 (8)第三章函数极限 (22)第四章函数的连续性 (28)第五章导数与微分 (35)第六章中值定理与导数应用 (38)第七章极限与连续性(续) (48)第八章不定积分 (52)第九章定积分 (57)第一章函数思考题：1．何谓函数，函数关系，函数值？2．函数y=f(x)与方程y=f(x)在概念上有何区别？ 3．怎样确定函数的定义域？4．怎样才算完全确定了一个函数？应该如何规定两个函数相等？下面各对函数是否相等？(1)f(x)=x ，)2； (2)f(x)=x -1，g(x)=2x 1x 1−+；(3)f(x)= | x | ，；，(5)f(x)=2x 1,x 11,x 1−≥⎧⎨<⎩，x +；(6)1,x 1f (x)x,1x 11,x 1−<−⎧⎪=−≤≤⎨⎪>⎩，{1g(x)|1x ||1x |}2=+−−.5．若函数y=f(x)的反函数就是它本身，试问此函数的图象有什么样的特点？ 6．下列函数是否是初等函数？说明理由.(1)f(x)= | x | ； (2)x cosx f (x)(x sin x)=+；(3)f(x)=x 00,x 0>≤⎝， (4)f(x)=c,x cx,c x c c,x c−<−⎧⎪−≤≤⎨⎪>⎩. 7．设f(u)与u=(x)ϕ能复合为f((x)ϕ)，(1)若f(u)递增(递减)，(x)ϕ递减，试研究f((x)ϕ)的单调性.(2)若f(u)为奇(偶)函数，(x)ϕ为偶(奇)函数，试研究f((x)ϕ)的奇偶性. (3)若f(u)为任意函数，(x)ϕ为偶函数，试研究f((x)ϕ)的奇偶性.(4)若f(u)为有界函数，(x)ϕ为任意函数，试问f((x)ϕ)是否一定是有界函数？ (5)若f(u)为任意函数，(x)ϕ为周期函数，试问f((x)ϕ)是否一定是周期函数？ 8．判断下列命题是否正确，为什么？(1)若f(x)在]，[βα∀(a,b)⊂上有界，则f(x)在(a, b)上有界.(2)设f(x)在[a, b]上有定义，且在(,)[a,b]∀αβ⊂上有界，则f(x)在[a, b]上有界. 9．适合下列条件的函数存在吗？为什么？ (1)在R=(-∞, + ∞)上严格递增的有界函数. (2)在R=(-∞, + ∞)上严格递增的偶函数. (3)在R=(-∞, + ∞)上严格递减的奇函数.(4)在(- , )内为偶函数，且在R=(-∞, + ∞)上又为奇函数. (5)在R 上严格递增的周期函数.10．设f(x)在R 上有定义，且满足f(x)≠0，f(x·y)=f(x)·f(y)，试求f(1990). 11．用肯定语气叙述：在(-∞, +∞)上(1)f(x)不是偶函数； (2)f(x)不是周期函数； (3)f(x)不是单增函数； (4)f(x)不是单调函数. 12．用肯定语气叙述： (1)f(x)在[a, b]上无下界； (2)f(x)在[a,b)上没有零点；(3)f(x)在(a, b)上没有比中点函数值大的点.13．若f(x)是一一对应的奇函数，试证其反函数也是奇函数.14．设f(x)满足关系式2f(x)+ 1kf ()x x=(k 为常数)，证明：f(x)为奇函数.15．设f(x)为(-∞, + ∞)上的奇函数，且在[0,)+∞上严格增，求证：f(x)在(-∞, +∞)上严格增.16．设0a 1≤≤，函数f(x)及g(x)对任意的12x ,x 分别满足1212f[ax (1a)x ]af (x )(1a)f (x )+−≥+−及 1212g[ax (1a)x ]ag(x )(1a)g(x )+−≤+− 且g(x)为单减函数，试证：1212g[f (ax (1a)x )]ag[f (x )](1a)g[f (x )]+−≤+−.17．设f(x)在(-∞, + ∞)上严格增，且恒有f[f(f(x))]=f(x)，试证：必有f(x)=x. 18．若f(x)是在(-∞, + ∞)上单增的偶函数，且f(0)=0，则f(x)≡0. 19．若f(x)满足条件：对x R ∀∈有f(x + )=-f(x) ( >0)，证明：f(x)是以为周期的函数.20．设常数a>0，函数f(x)0≠，且f(x +a)=1f (x)，x R ∈，试证：f(x)是以2a 为周期的周期函数.21．若y=f(x)(x R ∈)的图形关于两直线x=a 与x=b(a<b)对称，试证f(x)为周期函数. 22．设f(x)和g(x)分别是以 1和 2为周期的函数，且12nm= (m, n 为互质的正整数)，证明：F(x)=f(x)+ g(x)， G(x)=f(x)·g(x)，是以 =m 1=n 2为周期的函数.23．证明：若f(x)是以T 为周期的周期函数，则f(ax)(a>0)是以Ta为周期的周期函数. 24．函数y=f(x)具有反函数的充要条件是什么？ 25．选择填空：(1)奇、偶函数的定义域一定是________.(A)R (B)关于原点对称的区间 (C)关于原点对称的点集 (D)A 、B 、C 都不对 (2)函数f(x)=cosx |x sin x |e ,x (,)∈−∞+∞是________. (A)有界函数 (B)单调函数 (C)周期函数 (D)偶函数 (3)函数 D(x)=1,x 0,x ⎧⎨⎩为有理数为无理数是________.(A)非奇非偶函数 (B)有界函数 (C)非周期函数 (D)偶函数(E)有界周期偶函数(4)若f(x)为奇函数，则下列________款中的函数也是奇函数. (A)f(x)+ a (a 0≠，为常数) (B)f[f(x)] (C))f(-x)+ a (a 0≠，为常数) (D)f(x)+f(-x) (5)设f(x)222x ,|x |12x ,|x |1⎧−≤⎪⎨+>⎪⎩，)x (ϕ=2,|x |10,|x |1≤⎧⎨>⎩ ，则复合函数f[(x)]ϕ由_____________款表示.(A)f[(x)ϕ]=2,|x |12,|x |1−≤⎧⎨>⎩ (B)f[(x)ϕ]=6,|x |12,|x |1≤⎧⎨>⎩(C)f[(x)ϕ]=22x ,|x |12,|x |1⎧+≤⎨>⎩ (D)f[(x)ϕ]=222x ,|x |12x ,|x |1⎧+≤⎪⎨−>⎪⎩(6)函数y=xx 221+的反函数是____________.(A)22log xy log (1x)=− (B)22y log x log (1x)=−−(C)2x y log 1x =− (D)x y lg 1x=− 补充题1．|a |=对吗？(2)如果在 | x | >b 中去掉绝对值记号，应该怎样写？ (3)试用 | a + b |，| a -b | 表示Max{a, b}，Min{a, b}. 2．证明下列不等式： (1)n!>2n (n>3) (2)2n >n 2 (n 5≥) (3)n n ≤(n!)2 (n 3≥)(4)132n 1242n −⋅< (5)n!<nn 12+⎛⎞⎜⎟⎝⎠(n>1)(6)若x>-1，则(1 + x)n≥(1 + nx)(n N∈) (这个不等式称为Bernoulli不等式) (7)设i a0> (i=1, 2, ,n)且12a a⋅ a n=1，则a1 + a2 + … + a n≥n.(8)设a i>0(i=1, 2, …, n)，则12na a an+…≤，12nn111a a a+++.(9)12n12n|x x x x||x|(|x||x||x|++++≥−+++)(10)设a1, a2, …, a n；b1, b2, …, b n为两组实数，则2n n n22i i i ii1i1i1a b a b===⎛⎞⎛⎞⎛⎞≤⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠⎝⎠∑∑∑3．解下列不等式(1)| 2x + 4 | >10；(2)| x(x-1)| <0.1；(3)| x-5 | < | x + 1 | ；(4)| x + 1 | - | x-1|<1；(5)| x + 2 | + | x-2 |12≤; (6)| x + 2 | - | x | >1；(7) 2<1|x2|+<3.4．设f(x)=arctgx，g(x)=tgx，求f[g(x)与g[f(x)].5．设0,x0f(x)x,x0≤⎧=⎨>⎩，20,x0g(x)x,x0≤⎧=⎨−>⎩，求f [g(x)]; g[f(x)]; f[f(x)]; g[g(x)]. 6．设xln(1x),0x2f(x)2,2x46x,4x6+≤<⎧⎪=≤≤⎨⎪−<≤⎩，求f(1), f(2), f(π), f(4.5).7．验证：1Max{f(x),g(x)}[f(x)g(x)|f(x)g(x)|]2=++−Min|])x(g)x(f|)x(g)x(f[21)}x(g),x(f{−−+=8．设f(x), g(x)在(a, b)上单增，求证：(1)Max{f(x), g(x)} (2)min{f(x), g(x)} 也在(a, b)上单增.9．设f(x)在(0,)+∞上有定义，x 1>0, x 2>0，求证：若f (x)x单增，则f(x 1+x 2)≥f(x 1)+f(x 2). 10．一半径为a 的圆铁片，自中心剪去一角形，将剩余部分(中心角为θ)围成一个无底圆锥，试建立圆锥容积V 与中心角θ之间的函数关系.11．证明：函数f(x)=a x (a>0, a ≠1)，对一切实数x 1≠x 2恒有1212x x 1f ()[f (x )f (x )]22+<+. 12．设x xae be f (x)a b−+=+ (a b ≠−)，证明：f(2x)-f(-2x)=f 2(x)-f 2(-x).13．设f(x)=1xlg1x−+，试证： y zf (y)f (z)f ()1yz++=+. 14．设f(x)=x 32x 1+−，解方程12f ()f ()x 13=−. 15．(1)设f(x+1x )=221x x+，求f(x). (2)设x f (sin )1cosx 2=+，求f(cos x2).16．设f(x)为(-∞, +∞)上的奇函数，f(1)=a ，且对任意x 值均有：f(x+2)-f(x)=f(2)(1)试用a 表示f(2)与f(5)；(2)问a 取什么值时，f(x)是以2为周期的周期函数？ 17．研究下列函数有界性 (1)f(x)=2x1x+； (2)f(x)=x 2分别在(a, b)及(-∞, +∞)上；(3)f(x)=x 2+； (4)f(x)=21x x 1++.18．在物理及工程技术中还用到“双曲函数”，它们的定义为：双曲正弦 x xe e shx 2−−=双曲余弦 x xe e chx 2−+=双曲正切 x xx x shx e e thx chx e e −−−==+ 双曲余切 x xx xchx e e cthx shx e e −−+==− 试证：(1)22ch x sh x 1−=(2)sh(x y)shxchy chxshy +=+(3)22ch2x ch x sh x =+， sh2x 2shxchx = (4)2211th x ch x=−(5)1sh x ln(x −= (-∞<x<+∞)1ch x ln(x −= (x 1)≥第二章数列极限思考题：1．下列说法能否表明a 是数列{}n a 的极限(与n n lim a a →∞=的定义是否等价？)(1)对0∀ε>，N ∃，当n N >时，有n a a −<ε. (2)对0∀ε>，存在无限多项n a ，使n a a −<ε. 3)对0∀ε>，N ∃，当n ≥N 时，有n a a −<ε.(4)对0∀ε>，N ∃，当n >N 时，有100n a a −<ε.(5)对0∀ε>，N ∃，当n >N 时，有n a a k −<ε，(其中k 是与ε，n 无关的常数). (6)对0∀ε>，N ∃，当n >N 时，有n a a N −<ε. (7)对0∀ε>，A R ∃∈，当n >A 时，有n a a −<ε. (8)N ∃，对0∀ε>，当n>N 时，有n a a −<ε.(9)对()a,∀ε∈+∞(a>0)，N ∃，当n>N 时，有n a a −<ε. (10)对∀ε：01<ε<，N ∃，当n>N 时，有n a a −<ε. (11)对无限个ε>0，N ∃，当n>N 时，有n a a −<ε. (12)对m N ∀∈，N ∃，当n>N 时，有n 1a a m−<. (13)设k 0ε→()k →∞，0k >ε，对每个k ε，k N ∃，当k n N >时有n a a −<εk . 2．有人说，n n lim x a →∞=定义与“对(,)∀αβ(a (,)∈αβ)，∃N ，当n>N 时，有n x (,)∈αβ”等价，对吗？3．一个数列去掉或添加或改变有限项是否会改变它的收敛性与它的极限值？ 4．证明：设a, b 为两个定数，(1)若对0∀ε>都有 a b ≤+ε，则a b ≤； (2)若对0∀ε>都有 |a b |−<ε，则a=b.5．若{a n }收敛，{b n }发散，则{a n ±b n }、{a n b n }收敛性如何？举例说明. 6．{a n }与{b n }均发散，则{a n ±b n }、{a n b n }是否发散？举例说明.7．若n n lim a a →∞=，是否必有n 1n lim a a +→∞=？又能否断定n 1n na lim1a +→∞=.8．若对0∀ε>，∃N ，当n>N 时，就有n 1n |a a |+−<ε，则{a n }是否收敛？ 9．下列命题是否正确？为什么？(1)设n n lim a 0→∞=，{b n }为任意数列，则n n n lim a b 0→∞=.(2)若n n n lim x y 0→∞=，则可断定或n n lim x 0→∞=或n n lim y 0→∞=.(3)n n n n lim x 0lim |x |0→∞→∞=⇒=.(4)若{a n }收敛于a ，则将a n 的顺序重新排列后所得的数列{'n a }仍收敛于a. 10．下面的计算方法有无错误，原因何在？ (1)1=n n n n 111limlim ()n n n n →∞→∞=+++个=n n 11limlim 0n n→∞→∞++= . (2)n n n 1111lim (1)lim[(1)(1)(1)]n n n n→∞→∞+=+++ =n n n 111lim (1)lim (1)lim (1)1n n n→∞→∞→∞+++= . (3)n n 111lim(1)(1)(1111n 1n 22n→∞−−−=⋅++ 个=1. (4)假设n n lim q a(q 1)→∞=>，则因n 1n q q q +=⋅，两边同时取极限得：q=q a ⋅，从而a=0，故有n n lim q 0→∞=(q>1).(5)n lim =10nn limn n 1→∞==.11．若n n n lim (y x )0→∞−=，n n lim x a →∞=，求证n n lim y a →∞=，请看下面的证法是否正确？n n n n n n n 0lim (y x )lim y lim x →∞→∞→∞=−=−∵=n n lim y a →∞−n n lim y a →∞∴=.定义：在给定的数列a 1, a 2, …，a n , …中，如果任意地挑选出无穷多项，并按照原有的次序排列出1n a , 2n a , …, k n a , … (n 1<n 2<…<n k <…)就得到一个足标为k 的数列{k n a }，称为原数列的子数列.12．若数列{a n }的两个子列{a 2n }与{a 2n -1}都收敛，则{a n }是否也收敛？ 13．举例给出满足下列要求的数列 (1)无界数列，但不趋于无穷； (2)非单调的收敛数列； (3)无收敛子列的数列.14．若把满足柯西准则条件的数列叫做柯西列(或基本列)(1)若对∀ε>0，N ∃，当n>N 时有n N |a a |−<ε，能否断定{a n }为柯西列？ (2)若对∀ε>0和p N,N ∈∃，当n>N 时有n p n |a a |+−<ε，能否断定{a n }为柯西列？(3){a n }、{b n }为两个柯西列，能否断定{a n +b n }、{a n b n }也是柯西列？ 15．下面的证法有无错误？设n 11x 12n =+++ ，(n=1, 2, …)，证明n {x }收敛.证：n p n 11|x x |n 1n p +−=++++∵ <11pn 1n 1n 1+…+=+++ 0∀ε>，取pN [1]1=−+ε，则当n N >时，就有n p n |x x |+−<ε.根据柯西准则知数列{x n }收敛.16．用“ε—N ”语言叙述{a n }不是柯西列.17．数列{x n }收敛的充要条件有哪几个？ 18．证明数列{x n }发散有哪些方法？ 19．用肯定语气叙述 (1){x n }不是单调数列； (2)数列{x n }无上界；(3)区间[a, b]上每个数都不是数列{x n }的极限； (4)n n lim x →∞≠+∞.20．若对任给0x R,0∈∃ε>，对N ∀∈N ，0n N ∃>，使0n 0|x x |−≥ε,能说明数列{x n }具有什么性质？22．证明：若n n lim x →∞=+∞，则在{x n }中至少有一项0n x ，使0n n x x ≤ (n=1, 2, …).23．选择填空(1)若{a n }有界，则{a n }_________.(A)收敛 (B)发散(C)可能收敛，也可能发散 (D)A 、B 、C 中结论都不对 (2)若{a n }无界，则{a n }___________.(A)为无穷大量 (B)发散(C)可能收敛，也可能发散 (D)A 、B 、C 中结论都不对 (3)若{a n +b n }发散，则____________.(A){a n }、{b n }都发散 (B){a n +b n }无界(C){a n }与{b n }中至少有一个发散 (D)A 、B 、C 中结论都不对 (4)若n n lim a a →∞=，n n lim b a →∞=，则数列a 1, b 1, a 2, b 2, …, a n , b n , …_________.(A)收敛，但极限未必是a (B)一定收敛于a(C)未必收敛 (D)A 、B 、C 中结论都不对 (5)设{a n }中有无穷多项a n =1，则{a n }=__________.(A)可能是正无穷大量 (B)可能是无穷小量 (C)一定收敛于1 (D)A 、B 、C 中结论都不对 (6)若{a n }中有无穷多个子列都趋于a ，则{a n }___________. (A)一定收敛于a (B)可能是无穷大量 (C)未必收敛，但一定不是无穷大量 (D)A 、B 、C 中结论都不对 (7)设非常数数列{a n }收敛，且n n lim a a →∞=，则___________.(A){a n }为单调有界数列 (B){a n }非单调有界数列(C)在{}n a 中必存在一个子列是单调有界数列 (D)在{}n a 中不一定存在单调有界的子列补充题1．按定义证明下列极限(1)22n n n 51lim 33n 2n 4→∞−+=+− (2)()[]n lim ln n 1ln n 0→∞+−=2．求下列极限(1)n lim(2)n 12n n lim n 22→∞+++⎛⎞−⎜⎟+⎝⎠ (3)NN n 11lim12n →∞=+++∑ (4)222n 132n 1lim n nn→∞−⎛⎞+++⎜⎟⎝⎠ (5)2n n 132n 1lim 222→∞−⎛⎞+++⎜⎟⎝⎠(6)n lim (7)()()()()n242n lim 1x 1x 1x 1x →∞++++ (|x|<1)(8)n n n a lim 1a →∞+ (a 1≠−) (9)nn 1n a lim 1a a −→∞+++ (a>0)(10)n 1lim n →∞ (11)34n 3n n 1lim n 2→∞⎛⎞−⎜⎟−⎝⎠(12)n lim(13)nn k lim →∞=(14)(n lim →∞ (15)222n 111lim 11123n →∞⎛⎞⎛⎞⎛⎞−−−⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠⎝⎠(16)n lim(17)2n n lim →∞ (18)n 111lim n 1n 22n →∞⎛⎞+++⎜⎟++⎝⎠提示：利用n 11lim 1ln n C 2n →∞⎛⎞+++−=⎜⎟⎝⎠C 为欧拉常数(19)nn k 1lim →∞=∑ (提示：利用两边夹定理)(20)m 2m n lim 1m →∞⎛⎞−⎜⎟⎝⎠(21)(n lim sin →∞3．设{}n a 为正项数列，且n 1n na lim0a +→∞=，证明{}n a 当n 充分大后为单调数列.4．证明：若数列{}n a 无上界，则必有严格增加且趋于+∞的子数列. 5．若nn na limb →∞= ( ≠0)且n n lim a 0→∞=，则n n lim b 0→∞=.6．设数列{}n a 满足n 0a 1<<，()n n 111a a 4+−>，证明{}n a 单调增加，且n n 1lim a 2→∞=.7．设{}n a 为单调数列，它的某一子列k n a a →()k →∞，试证n n lim a a →∞=.8．设n n lim x a →∞=，n n lim y b →∞=，求证n n n lim Max(x ,y )Max(a,b)→∞=.9．利用柯西收敛准则，判断下列数列{}n a 的收敛性. (1)()n cos1cos2!cos n!a 1223n n 1=+++⋅⋅+ (2)()()()n a cos2bsin 2a cos3bsin 3a cos n bsin na 22sin 2!33sin 3!n n sin n!+++=++++++ (a ，b 是常数) (3)n h h h111a 123n =++++ (h ≤1) (4)n 111a ln 2ln 3ln n=+++ (n=2，3，…)(5)若对n ∀≥1，有n 2n 1a a ++−≤n 1n 1a a 2+−，证明{}n a 收敛. 10．试证：n n x x x sin xlim cos cos cos 24x 2→∞=. 11．利用单调有界定理求证下列极限 (1)求数列n n!a (2n 1)!!=− (n=1，2，…)的极限.(2)设数列{}n x 满足1x 1<，且()n n 12x x 1+−=，求n n lim x →∞.(3)证明数列n 2n 111x 111222⎛⎞⎛⎞⎛⎞=+++⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠⎝⎠收敛.12．设n a 0>(n=1，2，…)且n n lim a a →∞=，证明：(1)n 12nnlima 111a a a →∞=+++ ，(2)n lim a =.13．设n a 0>(n=1，2，…)且n 1n na lim a a +→∞=，证明：n lim a =.14．设{}n a 为单增数列，12nn a a a S n+++= ，试证：若n n lim S a →∞=，则n n lim a a →∞=.例题：例1．试证：n 11x 1ln n 2n =+++− 收敛(其极限值称为欧拉常数).证：nn n k 1k 2123n 1k 1x ln ln k 12n 1k 1k 1n ==⎛⎞⎛⎞=−⋅⋅=−+⎜⎟⎜⎟−−−⎝⎠⎝⎠∑∑ 而 ()k 11k 111ln 1ln 11ln e 0k 1k 1k 1k 1k−⎡⎤⎛⎞−=−+>−=⎜⎟⎢⎥−−−−⎝⎠⎣⎦ (注意k 11k ⎛⎞+⎜⎟⎝⎠严格增且趋于e) ∴ n x 0>，(n=1，2，…)又 n 1n 1n 1n 11x x ln 1ln 10n 1n 1n 1n ++⎛⎞⎛⎞−=+=−+<⎜⎟⎜⎟+++⎝⎠⎝⎠ (∵n !11n +⎛⎞+⎜⎟⎝⎠↘且→e(当n →∞时))可见{}n x 为单调减少，且有下界的数列，所以收敛. 记其极限值为C ，故有 n 11lim 1ln n C 2n →∞⎛⎞+++−=⎜⎟⎝⎠.例2．设110a b <<，n 1n 1n n 1n 12a b a a b −−−−=+，n b = (n=2，3，…)，试证{}n a 单增，{}n b 单减，且有相同的极限.证：①先证n a ≤n b 由n n n 1n 1a b −−==≤1 立明. ②次证{}n a ↑2n n n n nn 1n n n n n n2a b a b a a a a a b a b +−−=−=++≥0 ∴n 1a +≥n a ③再证{}n b↓ n 1b+=n b =从而有 1a ≤n a ≤n b ≤b 1，(n=1，2，…) {}n a ⇒，{}n b 都收敛，设n n lim a a →∞=，n n lim b b →∞=.⇒b>0 ④后证a=b在n b =中令n→∞得 b=0=， ∵b 0≠ ∴a b =.例3．证明施笃兹(stolz)定理.设 1)n 1n y y +> (n=1，2，…) 2)n n lim y →∞=+∞ 3)n n 1n n n 1x x limy y −→∞−−−a =则 n n n 1n n n n n 1x x x limlim a y y y −→∞→∞−−==−.证：对0∀ε>，N ∃，当n N >时有n n 1n n 1x x a y y 2−−−ε−<−.于是下面的分数N 1N N 1N x x y y ++−−，N 2N 1N 2N 1x x y y ++++−−，…，n 1n 2n 1n 2x x y y −−−−−−，n n 1n n 1x x y y −−−−都在a 2ε−和a 2ε+之间，从而 n N n N x x a a 2y y 2−εε−<<+− 即n N n N x x a y y 2−ε−<−又N N N n N n n n n n N x ay y x x x a 1a y y y y y −−⎛⎞⎛⎞−=+−−⎜⎟⎜⎟−⎝⎠⎝⎠可得nnx a y −≤NN n N n n N x ay x x a y y y −−+−− 由上知，当n N >时，右端第二项小于2ε. 又当n →∞时，第一项→0，故N '∃≥N ，当n N ′>时，第一项2ε<，于是，当n N ′>时，有nnx a y −<ε. ∴ nn nx lima y →∞=.注1：若将条件3)改为n n 1n n n 1x x limy y −→∞−−=+∞−(或−∞)，结论仍然成立.注2：(型stolz 定理)设对一切充分大的n ，{}n b 严格递减，且n n n n lim a lim b 0→∞→∞==，若n n 1n n n 1a a limb b +→∞+−−存在，则n n n a limb →∞也存在，且n n n 1n n n n n 1a a a lim limb b b +→∞→∞+−=−.证：设n n 1n n n 1a a limS b b +→∞+−=−，则对0∀ε>，N ∃，当n N >时有n n 1n n 1a a S Sb b ++−−ε<<+ε− ⇒()()()()n n 1n n 1n n 1S b b a a S b b +++−ε−<−<+ε− 把上式中n 改为n+1，n+2，…，n+p -1，并把结果相加得 ()()()()n n p n n p n n p S b b a a S b b +++−ε−<−<+ε− 当p →∞时，上式取极限得 ()n S b −ε≤n a ≤()n S b +ε 故当n N >时，有nna Sb −≤ε. ∴ nn na limS b →∞=.注3．应用stolz 定理立得 (1)若n n lim a a →∞=，则12nn a a a lima n→∞+++= .(2)k k k k 1n 12n lim n +→∞+++ (k ≥0)1k 1=+. (3)若()n 1n n lim a a a +→∞−=，则nn a lima n→∞=.(4)设有两个数列{}n a ，{}n b 且n b 0>，nk n k 1lim b →∞==+∞∑，则有12n n n n 12n na a a alimlim b b b b →∞→∞+++=+++ .(5)设k a 0>，nk n k 1lim a →∞==+∞∑，n n lim b b →∞=，则1122n nn 12na b a b a b limb a a a →∞+++=+++ .(6)设n {x }满足n n 2x x 0(n )−−→→∞，则 n n 1n x x lim0n −→∞+=.(7)设数列n {s }，令01nn s s s ,(n 0,1,2,)n 1+++δ==+对n 1≥，再设n n n 1a s s −=−，证明：若n n lim na 0→∞=，且n {}δ收敛，则n {s }也收敛，且n n n n lim s lim →∞→∞=δ.(提示：nn n k k 11s Ka n 1=−δ=+∑∵，再用stolz 定理)(8)若n n lim a a →∞=，则12nn a 2a na lima 12n→∞+++=+++ .(9)若n n lim a a →∞=则12n 2n a 2a na alim2n →∞+++= .例4．证明：n 111lim (1)e 1!2!n!→∞++++= . 证：记n 2n n 11n(n 1)11x (1)1n ()()n n 2!n n−=+=++++ =1111211k 12(1)(1)(1)(1)(1)2!n 3!n n k!n n −+−+−−++−− 112n 1(1)(1)(1)n!n n n−++−−− 11112k 12(1)(1)(1)(1)2!n k!n n n−>+−++−−− 固定k ，令n →+∞，在上式两端取极限111e 22!3!k!≥++++ 于是当k=n 时n 111e 2x 2!3!n!≥++++> 而n n lim x e →∞=，n 11lim (2e 2!n!→∞∴+++= 例5．证明n lim sin n →∞不存在. 证：“反证法” 假定{sin n}收敛，设n lim sin n a →∞=. 则n lim sin(n 2)a →∞+=，有 n n lim[sin(n 2)sin n]lim 2sin1cos(n 1)0→∞→∞+−=+= n lim cos(n 1)0→∞⇒+=， n lim cos n 0→∞⇒= n n lim sin 2n lim 2sinncos n 0→∞→∞⇒== a 0⇒=从而n n lim sin n 0,lim cos n 0→∞→∞== n lim sin n →∞∴不存在. 例6．设n n lim a a →∞=，n n lim b b →∞=，证明： 1n 2n 1n 1n a b a b a b limab n −→∞+++= . 证：由n a a →，n b b →可得n a c,(n 1,2,)≤=12n n a a a a a a A 0n −+−++−=→ 12n n b b b b b b B 0n−+−++−=→ 故对0,N ∀ε>∃，当n N >时，n n A ,B <ε<ε,从而当n N >时，有1n 2n 1n 11n n 1a b a b a b (a b ab)(a b ab)ab n n−+++−++−−= =1n 11n 1n n (a b a b a b ab)(a b a b a b ab)n−+−++−+− 1n 2n 1n 112n a (b b)a (b b)a (b b)(a a)(a a)(a a)bn n −−+−++−−+−++−≤+ n n cB b A c b (c b )≤+<ε+ε=+ε1n 2n 1n 1n a b a b a b lim ab n −→∞+++∴= .例7．证明a n log nlim 0n →∞= (a 1)>.证：对0a 1ε∀ε>⇒>n lim 1=∵，故N ∃，当n>Na ε<从而 a 1log n n <ε即当n>N 时有a a 11log n 0log n n n −=<εa n 1lim log n 0n →∞∴=.例8．若已知n lim ln p n→∞= (p>0，为常数)，求n n lim (3→∞ (a>0，b>0，c>0).解：n 3∵=3(13⎡+⎢⎢⎥⎣⎦=ln[(1∴原式=n 1lim 3e →∞(其中n 3h 03→∞=⎯⎯⎯→) =1[lna ln b lnc]ln e 3e ++=1lnabc 3e =第三章函数极限思考题1．函数极限x alim f (x)A →=定义与下列形式是否等价？为什么？ (1)n 1,02∀∃δ>，当0x a <−<δ时，n 1f (x)A 2−<. (2)10,0n ∀ε>∃>，当10x a n<−<时，f (x)A −<ε. (3)0,0∀ε>∃δ>，当0x a <−<εδ时，f (x)A −<ε.(4)0,0∀ε>∃δ>，当0x a <−<δ时，f (x)A −<.(5)0,0∀ε>∃δ>，当0x a <−<δ时，f (x)A −<δε.2．f(x)在a 点极限与f(x)在a 处的情况是否有关？3．定义：称a D ∈为D 的孤立点，当且仅当存在开区间I ，使I D {a}∩=. 试问，讨论f(x)在a 点极限时，a 可否是f(x)定义域的孤立点？4．若对0,0∀ε>∃δ>，当x a −<δ时，有f (x)A −<ε，试问，x a lim f (x)→是否存在？如果存在，极限值A 等于什么？5．0∀ε>，对0∀δ>，当0x a <−<δ时，均有f (x)A −<ε，问f(x)的变化情况如何？6．若0∃ε>，对0∀δ>，当0x a <−<δ时，有f (x)A −<ε，问f(x)的变化情况如何？7．对:01,:01∀ε<ε<∃δ<δ<，当0x a <−<δ时，有f (x)A −<ε，问x alim f (x)→=A 成立否？ 8．设0x x lim f (x)→=A ，且f(x)在x 0点有定义，问在x →x 0的过程中是否可以取x=x 0? f(x)能取值A 吗？又是否必有A=f(x 0)?9.试用“ε−δ”语言写出当x →x 0+时，f(x)不以A 为极限.10．若x 0lim +→f(x)=A ，则是否成立n 1lim f ()A n→∞=？反之是否成立？ 11．举出满足下列各要求的例子.(1)虽然x 0lim →f(x 2)存在，但x 0lim →f(x)不存在； (2)0x x lim f (x)→存在，但0x x lim →f(x)不存在； (3)f(x)在其定义域内每一点都不存在极限；(4)f(x)在其定义域内仅在一点极限存在.12．选择填空：(1)若f(x)在点x 0的某邻域内有界，则0x x lim →f(x)________. (A)存在 (B)不存在 (C)未必存在(2)若f(x)在点x 0某邻域内无界，则0x x lim →f(x)________. (A)存在 (B)不存在 (C)可能存在(3)若0x x lim →f(x)存在，则f(x)在x 0点处定义. (A)有 (B)无 (C)不一定有13．设f(x)在D 上有定义，则f(x)在D 上无上界的充要条件是：n x D ∃∈(n=1, 2, …)，使n n lim f (x )→∞=+∞. 14．若对()0,M 0,∀ε>∃ε>使当x>M 时，有f (2x)f (x)−<ε，则x lim →+∞f(x)是否一定存在？ 15．下列说法是否正确？(1)无穷小量是非常小的量；无穷大量是非常大的量；(2)无穷小量小于任何实数；无穷大量大于任何实数；(3)无穷大量总大于无穷小量；(4)无穷大量与有界量的乘积是无穷大量；(5)两个无穷大量之和仍为无穷大量；(6)无穷大量与无穷小量的乘积为无穷小量；(7)无穷大量与无穷小量的乘积为无穷大量.16．证明f(x)在x 0点极限不存在，有哪些常用的方法？17．若f(x)在(x 0, x 0+η)(η>0)上单增有上界，问0x x lim +→f(x)是否存在？ 18．下列算法是否有误？错在哪里？ (1)x 0sin x 0lim 1x 0→==； (2)2x x x lim12→∞+∞==+∞； (3)x x 1lim (1)11x∞→∞+==； (4)33x 0x 0tgx sin x x x lim lim 0x x →→−−==； (5)x x x tgx tgx x lim lim lim 1sin x x sin x→π→π→π=⋅=； (6)22x 0x 0x 0x 0111lim x sin lim x lim sin 0lim sin 0x x x→→→→=⋅=⋅=； (7)x 0x 01sin 1x lim x sin lim 11x x→→==； (8)2x 3x 3x 3x 3x 3lim(x 3)lim(x 3)x 9lim lim(x 3)6x 3lim(x 3)→→→→→−⋅+−==+=−−. 19.设f(x)=3x ,x 12,x 1⎧≠⎨=⎩，证明：()x 1limf x 1→=. 试问下面两种证法是否有错误？证法1：当x ≠1时，32f (x)1x 1x 1x x 1−=−=−⋅++先设 0<x 1−<1，这时()x x 112f x 1x 1≤−+<⇒−=−2x x 17x 1⋅++≤−对0,7ε∀ε>δ=取，则当0<x 1−<δ时 ()f x 1−<ε()x 1limf x 1→∴=. 证法2：当x ≠1时，()2f x 1x 1x x 1−=−⋅++令2x 1,x x 13≤++≤则，要使()f x 13x 1−≤−<ε，只要0<x 13ε−<，对0∀ε>，取min{1,}3εδ=，则当0|x 1|<−<δ时，有 ()f x 1−<ε()x 1limf x 1→∴=. 补充题1．求下列极限(1))x lim x →−∞； (2)x →(3)x 0lim x→ (4)x lim →； (5)x 2x x lim ;1x →∞⎛⎞⎜⎟⎝⎠+ (6)2x 0cosx cos3x lim x →− (7)3x 0tgx sin x lim x →−； (8)()x 1x lim 1x tg ;2→π− (9)2x 01cosx cos2x cos3x lim ;sin x→− (10)x → (11)()2ctg x 2x 0lim 13tg x ;→+ (12)x 01lim x x →⎡⎤⎢⎥⎣⎦；(13)()x a 0→> (14)()1x x x x 12n i x 0a a a lim a 0n →⎛⎞++…+>⎜⎟⎝⎠.2．讨论单侧极限(1)()x21,0x 12f x x ,1x 22x ,2x 3⎧<≤⎪⎪=<<⎨⎪<<⎪⎩，在在0，1，2三点. (2)()111f x x x x n⎡⎤=−=⎢⎥⎣⎦在各点. 3．证明下列关系式31~x 4(x →0).(2)sin 2~nπ (n →∞). (3)22sin x 1O 1x x ⎛⎞=⎜⎟⎝⎠+ (x →∞). (4)42x 21o x 3x +⎛⎞=⎜⎟⎝⎠+ (x →∞). 4．设f(x)在(a,+∞)上单调上升，n n lim x →∞=+∞，若()n n lim f x A →∞=，求证：x lim f (x)A →∞=. (A 可以为无穷) 5．设f(x)在(a,+∞)上严格增，若()()n n x lim f x lim f x →∞→∞=，求证：n n lim x →∞=+∞. 6．设f(x)在[a,b]上严格递增，如果对于x n ∈[a,b],(n=1, 2, …)有()()n lim f x f a →∞=成立，则 n n lim x a →∞=. 7．设f(x)是(),−∞+∞上的周期函数，又()x lim f x 0→∞=，求证：()f x 0≡.8.设32x 1x ax x 4lim x 1→−−−++有有限极限值L ，试求a=? L=? 9．设()f x 在点0x 的某邻域()0U x (点x 0可能例外)内有定义，试证：如果对任意点列()()}{n n 0n 0n 10n 0x x U x ,x x n ,0|x x ||x x |+∈→→∞<−<− 都有()n n lim f x A →∞=，则0x x lim f (x)A →=. [提示：可用反证法]10．证明：若m i i 1a 0==∑，则m i x i 1lima 0→+∞==∑.第四章函数的连续性函数f(x)在点x 0连续有下列各种等价叙述(1)()()00x x lim f x f x →=. (2)0,0∀ε>∃δ>，()()00x :x x f x f x ∀−<δ⇒−<ε.(3)()()()000x 0lim y 0,x x x ,y f x x f x Δ→Δ=Δ=−Δ=+Δ−其中. (4)()()()000f x 0f x 0f x +=−=.(5)n n 0x :x x ∀→，有()()n 0n lim f x f x →∞=. (6)()[]()()000,0f U x ,U f x ,∀ε>∃δ>⇒δ⊂ε.引进记号：用C[a,b]表示定义在[a,b]上所有连续函数全体. 思考题：1．(1)试用“ε−δ”言语写出f(x)在x=x 0点左连续的定义.(2)如果极限()0x x lim f x →存在，那么f(x)在x 0点是否连续，若不连续，有哪些可能的间断情况？2．能否补充定义f(0)，使得下列函数f(x)在x=0点连续？(1)f(x)=()1x 1x ,+ x ≠0.(2)()1x f x e ,= x ≠0.(3)()f x=x ≠0. 3.证明(1)设对于所有的x ，函数f 满足()f x x ≤，则f(x)在x=0点连续.(2)设函数g 在0点连续，且g(0)=0及()()f x g x ≤，则f(x)在x=0连续.(3)设f 只可能有可去不连续点，定义g(x)=()y x lim f y ,→则g(x)为连续函数.(4)设y=f(x)在(),−∞+∞上满足f(x+t)=f(x)+f(t)，且在x=0点连续，则f(x)在(,−∞+∞)上任一点a 处连续.4．设在点x 0处，f(x)连续，g(x)不连续，问f(x)+g(x)与f(x)⋅g(x)在x 0点是否连续？若f(x)与g(x)在点x 0处都不连续，结果怎样？5．试作出两个处处不连续的函数的复合函数是处处连续函数的例子.6．试作出一个定义在(),−∞+∞上只有两个连续点的函数.7．作一函数f(x)，使它在(),−∞+∞处处不连续，而()f x 在(),−∞+∞上处处连续.8．设()1,x g x 0,x ⎧=⎨⎩为有理数有无理数，[]x 1,1∈−，研究函数x ⋅g(x)，x [1,1]∈−的连续性. 9．设()[]()()f x C a,b f a f b ∈<且，则它的值域是否就是()()[]f a ,f b ？若f(x)在[a,b]上还是单增的，结果如何？10．若f(x)在[a,b]上仅有一个()0x a,b ∈第一类间断点，证明f(x)在[a,b]上有界. 11．试举例说明，根的存在性定理(零值定理)对于在[a,b]上有定义，在(a,b)内连续的函数不一定成立.12．若f(x)是连续的奇函数，则f(x)至少有一个根.13．设f(x)在(a, b)内连续，且恒为正，a<x 1<x 2<… <x n <b ，证明：至少存在一点()a,b ζ∈，使()f ζ=.14．设f(x)，g(x)∈C[a,b]，且f(a)>g(a), f(b)<g(b)，求证：在(a,b)内至少有一点ζ，使()()f g ζ=ζ.15．设f(x)在(),−∞+∞上连续，且f[f(x)]=x ，求证：存在()0x ,∈−∞+∞，使()00f x x =.16．若()[]f x C a,b ∈，且对任何x [a,b]∈，存在相应的()y a,b ∈使得()()1f y f x 2≤，则至少存在一点[]a,b ,ζ∈ 使()f 0ζ=. 17．设()[]f x C a,b ∈，令()t f (x),f x t,⎧=⎨⎩ ()[]()[]f x t x a,b f x t x a,b >∈≤∈的的，求证：()[]t f x C a,b ∈. 18．设f(x)，g(x)∈C[a,b]，若在一切有理点x ∈[a,b]上f(x)=g(x)，证明：在[a,b]上()()f x g x ≡.19．研究函数()0,x 0f x 1p ,x ,p,q q q⎧⎪=⎨=⎪⎩当为大于的无理数当为互质的正整数的连续性. 20．设f(x)在x=0处连续，且对()12x ,x ,∀∈−∞+∞恒有()()()121212f x x f x f x 2x x +=+−证明：(1)f(c)=0.(2)f(x)在(),−∞+∞上连续.21．设f(x)C(0,)∈+∞，且满足f(x 2)=f(x)，(x>0)证明：f(x)为一常数.22．设f (x)C [0,1]∈，值域为[0,1]，则至少存在一点[]x 0,1∈，使()f x x =.23．若()[]f x C a,b ∈且f(x)恒为有理数，问f 应为怎样的函数？24．设f(x)满足介值性，并且对每一值，f 只取得一次，证明f 是连续的.25．设f 是连续函数，且()()n nx x f x f x lim lim 0x x →+∞→−∞==，证明：当n 是奇数时，必有一数ζ满足()n f 0ζ+ζ=.26．设f(x)在[a,b]上递增，且有介值性，证明f (x)C[a,b]∈.27．设f (x)C[a,b]∈，且f(a)=f(b)，证明：一定存在0a b x [a,]2+∈，使00b a f (x )f (x 2−=+. 28．下面说法是否成立？为什么？(1)若f(x)分别在[a,b]与[c,d]上都一致连续，则f(x)在[a,b]∪[c,d]上也一致连续.(2)若f(x)分别在(a,b)与(b,c)上均一致连续，则f(x)在(a,b)∪(b,c)上也一致连续.(3)若f 和g 在区间I 上一致连续，则f (x)g(x)±在I 上也一致连续.29．有人说：若f(x)在[a,)+∞上一致连续，则x lim f (x)→+∞必存在，对吗？ 30．证明：若f(x)在(a,b)内连续，单调有界，则f(x)在(a,b)内一致连续. 若在条件中将单调去掉，结论是否还成立？31．证明：设f 在(a,)+∞上连续，且当x →+∞时，y=f(x)以直线y=bx+c 为渐近线，即满足x lim [f (x)(bx c)]0→+∞−+=，则f(x)在[a,)+∞上一致连续. (提示：方法1，按一致连续定义证. 方法2，先考虑函数ϕ(x)=f(x)-(bx+c)的一致连续性)补充题：1．试决定常数a, b, c 使函数2ax bx c ,0x 1f (x)1,x 01,x 1⎧++<<⎪=−=⎨⎪≥⎩在(,)−∞+∞上处处连续.2．证明Dirichlet 函数1,x D(x)0,x ⎧=⎨⎩为有理数为无理数在(,)−∞+∞上处处不连续.3．用定义证明x,x f (x)0,x ⎧=⎨⎩为有理数为无理数仅在x=0连续.4．证明：方程x=asinx+b (a>0,b>0)至少有一个正根，并且它不超过a+b.5．设f(x)在(a,b)上连续，极限x a lim f (x)+→与x blim f (x)−→都存在且异号，证明：必有一点(a,b)ξ∈，使f ()0ξ=.6．已知f(x)在[0，1]上非负连续，且f(0)=f(1)=0，则对任意实数(0,1)∈ ，必有点0x [0,1]∈，使00f (x )f (x )=+ .7．设f(x)在(a,b)内连续，若有数列n n n n x ,y (a,b),x a,y a ∈→→,使极限n n lim f (x )A →∞=，n n lim f (y )B →∞=存在，则对A 与B 之间的任意数μ，必可找到数列n z a →，使n n lim f (z )→∞=μ. 8．若f(x)在[a,b]上只有第一类间断点，则f(x)在[a, b]上有界.9．证明：若f(x)在(a,b)上连续，且f(a+0), f(b -0)存在有限，则f(x)可取到f(a+0)与f(b -0)之间的所有值，但f(a+0),f(b -0)不一定能取到.10．设f(x)在区间I 上有定义，0x I ∈，则f(x)在x 0点连续⇔对n n 0x I,x x ∀∈→，都有n 0n lim f (x )f (x )→∞=. 11．试证：若f(x)为连续但不等于常数的周期函数，则f(x)必有最小正周期.12．设f (x)C[a,b]∈,若数列n x [a,b]∈存在极限n n lim f (x )A →∞=，则必存在0x [a,b]∈,使f(x 0)=A.13．举例(1)有上界无下界的无界集.(2)既无上界又无下界的无界集.(3)有最小上界，无最大下界的数集.(4)含有最小上界但不含有最大下界的数集.(5)既含有最小上界又含有最大下界的数集.14．证明：若f(x),g(x)在有限的区间I 上一致连续，则f(x)·g(x)在I 上一致连续，并举例说明此命题对无限区间不成立.15．证明：若f(x)在(a, b)内连续，且f(a 0)f(b-0)+==+∞，则f(x)在(a,b)内能取得最小值.16．证明：若f(x)在(a, b)上连续：a<c<d<b ，且k, 为正数，则至少存在一点(a,b)ξ∈，使kf (c)f (d)(k )f ()+=+ξ .17．设f(x)定义在(,)−∞+∞上，对x,y (,)∀∈−∞+∞，有f (x y)f (x)f (y)+=+且f(x)在x=0点连续.(1)求f(0)=?(2)证明f(x)为奇函数.(3)证明f(x)在(,)−∞+∞上一致连续.18．用“ε−δ”语言写出f(x)在(a,b)上不一致连续的涵义.19．求证：sin x f (x)x=在(-1，0)和(0，1)上都一致连续，但在0x 1<<上并非一致连续.20．证明：(1)f (x)cosx =在(,)−∞+∞上一致连续. (2)1f (x)sin x =在(0，1)上不一致连续. (3)1f(x)x cos x=在(1,)+∞上一致连续. (4)2f (x)sin x =在(,)−∞+∞上不一致连续. (5)ln(1x)f (x)x+=在(0,)+∞上一致连续. 21．设f(x)为(,)−∞+∞上的周期连续函数，证明：f(x)在(,)−∞+∞上一致连续. 定义：设函数f(x)定义在(a,b)上，若存在常数M>0，使对一切12x ,x (a,b)∈，有2121f (x )f (x )M x x −≤−则称f(x)在(a,b)上满足李普希兹(Lipschitz)条件.22．若f(x)在(a,b)上满足lipschitz 条件，证明f(x)在(a,b)上一致连续.23．设f(x)在[a,)(a 0)+∞>上满足lipschitz 条件，证明f (x)x在[a,)+∞上一致连续. 24．设f (x)C[a,b]∈,且只有唯一的最小值点x 0,又设n x [a,b]∈，有n 0n lim f (x )f (x )→∞=，求证：n 0n lim x x →∞=. 定义：若对[,]I,f (x)∀αβ⊂在[,]αβ上都一致连续，则称f(x)在区间I 上内闭一致连续.25．下列说法是否正确，为什么？(1)若f(x)在有限区间I 上无界，则f(x)在I 上必非一致连续.(2)若f(x)在区间I 上无界，则f(x)在I 上必非一致连续.(3)f(x)在(a, b)上一致连续f (x)⇔在(a, b)上内闭一致连续.(4)f(x)在区间I 上内闭一致连续⇔f(x)在I 上连续.(5)f(x)在区间I 上一致连续⇔对区间I 中满足n n n lim (x y )0→∞−=的任何两个数列n {x }, n {y }总有n n n lim[f (x )f (y )]0→∞−=.第五章导数与微分思考题：1．是否成立？(1)0000f '(x )[f (x )]';f '(x )f '(x 0)+==+.(2)若0f '(x )存在，则000n 1lim n[f (x f (x )]f '(x )n→∞+−=. 2．若连续函数f(x)在x=x 0处不可导，问曲线y=f(x)在点(x 0,f(x 0))处的切线能否存在？ 3．设f(x)在x 0点可导，g(x)在x 0点不可导，问f(x)+g(x)及f(x)·g(x)在x 0点是否可导？ 4．能否说：初等函数在其定义域内都是可导的？5．若f(x)在x 0点可导，能否推出必存在点x 0的某邻域U(x 0),使f(x)在U(x 0)内可导？6．设f(x)在(,)−∞+∞上有定义，且满足：(1)f(x)=f(x 2), x (,)∈−∞+∞，(2)在x=0点可导,求df(0).7．设f(x)对12x ,x (,)∀∈−∞+∞有f(x 1+x 2)=f(x 1)·f(x 2),且f '(0)=1，证明：f '(x)=f(x).8．若f(x)在(,)−∞+∞上有定义，且存在常数k 与a>1，使对12x ,x (,)∀∈−∞+∞, 有a 1212f (x )f (x )k(x x )−≤−，证明f(x)为一常数.9．设f(x)在(,)−∞+∞内有连续导函数f '(x)，且x lim f (x)0→∞=，证明：至少存在一点(,)ξ∈−∞+∞，使f '()0ξ=.10．证明：若f(x),g(x)在x=0处可导，且g'(0)≠0，又f(0)=g(0)=0，则x 0f (x)f '(0)limg(x)g'(0)→=. 补充题：1．研究函数①xarctg ,x 0f (x)0,x 0⎧>⎪=⎨⎪≤⎩在x=0点的可导性. ②1x 1,x 01ef (x)0,x 0⎧≠⎪⎪+=⎨⎪⎪=⎩ 在x=0的可导性.2．设23x ,x 0f (x)x ,x 0⎧≥=⎨<⎩ ，求f '(x). 3．设21x e ,x 0f (x)0,x 0−⎧⎪≠=⎨⎪=⎩，你能用几种方法求出f '(0)?4．设f(x)在(,)−∞+∞上二阶导数连续，且f(0)=0，对于函数f (x),x 0g(x)x a,x 0⎧≠⎪=⎨⎪=⎩ (1)确定a 的值，使g(x)在(,)−∞+∞上连续.(2)证明确定的a 值，可使g(x)在(,)−∞+∞上一阶导数连续.5．设ϕ(x)当x ≤x 0有定义，并且二阶导数存在，应该怎样选取系数a,b,c ，才能使函数02000(x),x x f (x)a(x x )b(x x )c ,x x ϕ≤⎧=⎨−+−+>⎩的二阶导数存在？ 6．设a 为常数，a 1x sin ,x 0f (x)x 0,x 0⎧>⎪=⎨⎪≤⎩，请回答下列问题： (1)在什么情况下，f(x)不是连续函数？(2)在什么情况下，f(x)是有界函数？(3)在什么情形下，f(x)连续，但不可导？(4)在什么情形下，f(x)可导，但f '(x)不连续？(5)在什么情形下，f '(x)连续？7．设f(x)在0x (a,b)∈处可导，而n 0n a x b ,(n 1,2,)<α<<β<= 及n 0x ,α→ n 0x β→，试证n n 0n n nf ()f ()lim f '(x )→∞α−β=α−β. 8.设423sin 2x ,x 02x f (x)(1x )cos2x 1,x 0⎧>⎪=⎨⎪−+−≤⎩ (1)研究f(x)在x=0处连续性与可导性.(2)求f '(x).。