小学数学乘法交换律和结合律

合集下载

乘法交换和结合律

乘法交换和结合律在数学的广袤天地中，乘法交换律和结合律就像是两颗璀璨的明珠，闪耀着智慧的光芒，为我们解决数学问题提供了强大的工具。

让我们先来聊聊乘法交换律。

简单来说，乘法交换律就是两个数相乘，交换它们的位置，积不变。

用字母表示就是a×b ＝b×a 。

比如说，3×5 ＝ 5×3 ，结果都是 15 。

这好像很简单，对吧？但可别小看它，它在我们的计算中可发挥了大作用。

想象一下，你在商店买东西，一个苹果 3 元，你买了 5 个，那总价就是 3×5 ＝ 15 元。

但如果我们从另一个角度想，你买了 5 组，每组 3个苹果，总价就是 5×3 ，结果也是 15 元。

无论你先考虑苹果的个数还是组数，最终要付的钱是一样的。

乘法交换律还能帮助我们快速检验计算结果的正确性。

当你做完一道乘法题，比如 4×6 ，得到 24 ，那么交换 4 和 6 的位置，再算一次6×4 ，如果结果还是 24 ，那就说明你的计算大概率是正确的。

再来说说乘法结合律。

乘法结合律是指三个数相乘，先把前两个数相乘，再和另外一个数相乘，或先把后两个数相乘，再和另外一个数相乘，积不变。

用字母表示为（a×b)×c ＝ a×（b×c) 。

举个例子，2×3×4 ，我们可以先算 2×3 ＝ 6 ，再乘以 4 ，得到 24 ；也可以先算 3×4 ＝ 12 ，再乘以 2 ，结果还是 24 。

乘法结合律在简化计算时特别有用。

比如计算 25×4×7 ，我们可以先算 25×4 ＝ 100 ，再乘以 7 ，一下子就得出 700 。

如果不运用乘法结合律，直接从左到右依次计算，就会比较麻烦。

在实际生活中，乘法结合律也有很多应用。

比如计算装修一间房子需要多少块瓷砖，如果知道房间的长、宽和每块瓷砖的面积，就可以运用乘法结合律来快速算出需要的瓷砖数量。

人教版小学数学四年级下册乘法交换律和结合律

例题
有25个小组，每组要种五棵树，每棵树要浇2桶水。每组里4个人负责挖坑、种树，2人负责抬水、浇树。
（1）负责挖坑、种树的有多少人？
例题
有25个小组，每组要种五棵树，每棵树要浇2桶水。每组里4个人负责挖坑、种树，2人负责抬水、浇树。
（1）负责挖坑、种树的有多少人？
例题
有25个小组，每组要种五棵树，每棵树要浇2桶水。
乘法结合律：（a × b）× c = a × （b × c）三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变。
再见
乘法交换律
a ×b =b ×a
乘法结合律
（a × b）× c = a ×（b × c）
比较：乘法交换律和乘法结合律的相同点和不同点？相同：只含有乘法运算不同：因数的个数不同；
乘法交换律改变因数的位置；乘法结合律改变运算顺序。
比较加法交换律
乘法交换律
a+b=b+a a×b=b×a
两个数相加（乘），交换加（因）数的位置，和（积）不变。
每组里4个人负责挖坑、种树，2人负责抬水、浇树。
（1）负责挖坑、种树的有多少人？
25 × 4 = 100 4 × 25 = 100
25 × 4 4 × 25
例题
有25个小组，每组要种五棵树，每棵树要浇2桶水。每组里4个人负责挖坑、种树，2人负责抬水、浇树。
（1）负责挖坑、种树的有多少人？
25 × 4 = 100 4 × 25 = 100
（1）负责挖坑、种树的有多少人？负责抬水、浇树的有多少
人？ 25 × 4 = 100
25 × 4 4=× 25
4 × 25 = 100
25 × 2 = 50

结合律和交换律的公式

结合律和交换律的公式介绍如下：
结合律和交换律是数学中常见的两个运算规律。

结合律是指数学运算在进行加法或乘法时，无论数值的先后顺序如何，其结果都是一样的。

交换律是指在进行加法或乘法时，数值的先后顺序可以改变，其结果仍然是一样的。

下面是结合律和交换律的公式：
1.结合律的公式
加法的结合律：a + (b + c) = (a + b) + c
乘法的结合律：a × (b × c) = (a × b) × c
2.交换律的公式
加法的交换律：a + b = b + a
乘法的交换律：a × b = b × a
这些公式是数学中常见的基础公式，可以应用于各种数学运算中，如代数、几何、概率等。

熟练掌握这些公式可以帮助我们更好地进行数学推理和解题。

乘法交换律和结合律

乘法交换律与结合律的关系
相互独立
乘法交换律和结合律在数学中是两个独立的概念。
不可互换
乘法交换律不能取代乘法结合律，结合律也不能取代交换律。
乘法交换律和结合律在实际问题中的应用
计算机数据传输
交换律和结合律在计算机数据传输和处理中起着重要的作用。
商品定价
在商品定价中，交换律和结合律可以帮助简化价格计算。
乘法交换律和结合律
乘法交换律和结合律是数学中的重要概念。交换律指出乘法运算可以交换顺序，结合律则表示乘法运算可以任意加括号进行结合。
乘法交换律的定义和作用
1 定义
乘法交换律指出两个数相乘的结果与交换顺序无关。
2 作用
乘法交换律使得乘法运算更加灵活，方便计算和表达。
乘法交换律的示例和应用
示例
3× 4= 4× 3
结论和总结
1 结论
乘法交换律和结合律是数学运算中的基本法则。
2 总结
熟练掌握乘法交换律和结合律可以在数学计算和实际问题中提高效率。
应用
在解方程和简化式子时，可以利用乘法交换律改变运算顺序。
乘法结合律的定义和作用
1 定义
乘法结合律指出多个数相乘的结果与加括号的结合方式无关。
2 作用
乘法结合律使得应用
示例
(2 × 3) × 4 = 2 × (3 × 4)
应用
在计算多个数相乘的结果时，可以根据需要加括号以改变运算的顺序。

乘法结合律乘法分配律乘法交换律公式

乘法结合律乘法分配律乘法交换律公式(a*b)*c=a*(b*c)也就是说，无论是先计算a、b相乘再和c相乘，还是先计算b、c相乘再和a相乘，最终的结果都是相同的。

这个规律同样适用于更多个数的相乘。

乘法分配律是指在进行加、减运算后再进行乘法运算时，乘法运算可以先对每个加、减项进行乘法运算，再将结果相加。

具体来说，对于任意三个数a、b、c，有：a*(b+c)=a*b+a*c(a+b)*c=a*c+b*c也就是说，可以先将b和c分别与a相乘，然后将结果相加，也可以先将a和b相加，再与c相乘，得到的结果都是相同的。

乘法交换律是指在进行乘法运算时，两个数的顺序不影响最终的结果。

具体来说，对于任意两个数a、b，有：a*b=b*a也就是说，无论是先将a与b相乘，还是先将b与a相乘，最终的结果都是相同的。

这三个公式在数学中被广泛应用，并在解决实际问题中提供了便利。

下面我们来看一些例子来说明这些公式的应用。

例子1：乘法结合律假设有三个数a=2，b=3，c=4，我们来验证乘法结合律。

左边：(a*b)*c=(2*3)*4=6*4=24右边：a*(b*c)=2*(3*4)=2*12=24可见，左右两边的结果都是24，乘法结合律成立。

例子2：乘法分配律假设有三个数a=2，b=3，c=4，我们来验证乘法分配律。

左边：a*(b+c)=2*(3+4)=2*7=14右边：a*b+a*c=2*3+2*4=6+8=14左右两边的结果都是14，乘法分配律成立。

例子3：乘法交换律假设有两个数a=2，b=3，我们来验证乘法交换律。

左边：a*b=2*3=6右边：b*a=3*2=6左右两边的结果都是6，乘法交换律成立。

通过上述例子，我们可以看到乘法结合律、乘法分配律和乘法交换律的应用，在解决实际问题中能够简化计算，提高效率。

总结起来，乘法结合律、乘法分配律和乘法交换律是基本的数学规律，它们在代数运算中发挥着重要的作用。

对于学习数学的学生来说，深入理解和掌握这些规律，能够更好地应对复杂的计算和问题求解。

小学数学教学课例《乘法交换律和结合律》教学设计及总结反思

=2×5×47=47×(2×5)
=10×47=47×10
=470=470
思考:不同的算法，第一步各运用了什么运算律对
于这两种写法，你有什么想法
四、课堂总结
1.引导思考:今天探索乘法运算律和前面探索加法
运算律有什么相似的地方
2.我们用今天学到的猜想、举例验证的方法还可以
去研究哪些规律
课例研究综
【设计意图:在学生经历探索乘法交换律的基础
的作用，让学生把前后内容联系起来，从而更好地服务
于简便计算，达到灵活运用的目的与效果。
一、经验唤醒
1.用简便方法计算。
36+(51+64)362+504
(1)独立练习，将简便的主要步骤写出来。
(2)思考:在计算过程中分别应用了什么运算律
2.回顾探索加法运算律的过程。
教学过程
教师根据学生的回答适时板书:列式、举例、用字
展”
本节课力求突出以学生发展为本的教育思想，所以
整个教学过程要求以学生自主学习、自主探索为主，通
过学生的观察、验证、归纳、运用等数学学习形式，让
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
教学策略选学生去感受数学问题的探索性和挑战性。学生在认知的
择与设计过程中可能对于在使用乘法结合律的基础上又运用乘
法交换律有冲突，老师在其中只是起到一个“穿针引线”
先独立计算，再比较每组中两道题的计算过程，交
流各自的体会。
3.练习“想想做做”中的第 3 题。
采用小组比赛的形式(快速地将结果写在卡片上)
汇报交流:请速度快的介绍自己的经验。
4.练习“想想做做”中的第 4 题。
(1)学生独立计算，教师巡视，收集信息。
(2)汇报交流。

《乘法交换律和结合律》教案

3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“乘法交换律和结合律在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
《乘法交换律和结合律》教案
一、教学内容
本节课选自《数学》四年级上册第八单元第一课时《乘法交换律和结合律》。教学内容主要包括：
1.乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，它们的积不变，用字母表示为a×b=b×a。
2.乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或先把后两个数相乘，它们的积不变，用字母表示为a×b×c=a×(b×c)。
举例解释：
-通过具体的数字例子（如2×3=3×2），引导学生观察并发现乘法交换律的规律，强调无论因数的位置如何变化，积都保持不变。
-通过三个数相乘的例子（如2×3×4=2×(3×4)），让学生理解乘法结合律，即先乘前两个数或先乘后两个数，积都是相同的。
-练习一些简便计算题目，如12×25，通过运用乘法交换律和结合律，将其转化为3×4×25或3×(4×25)，简化计算过程。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解乘法交换律和结合律的基本概念。乘法交换律是指两个数相乘，交换因数的位置，它们的积不变。结合律是指三个数相乘，先把前两个数相乘，或先把后两个数相乘，它们的积不变。这两个运算律在简化计算和解决实际问题时起到重要作用。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。通过计算12×25，展示如何运用乘法交换律和结合律简化计算过程，从而得到答案300。

小学数学四则运算交换律结合律分配律及去括号汇总

小学数学四则运算交换律结合律分配律及
去括号汇总
小学数学四则运算的基本规律包括交换律、结合律、分配律和去括号。

交换律指的是在加减乘除运算中，交换数的位置不影响结果。

例如，A＋B＋C＝A＋C＋B。

结合律指的是在加减乘除运算中，可以通过加上括号改变计算顺序，但结果不变。

例如，A×B×C＝A×（B×C）。

分配律指的是在乘法运算中，可以将一个数乘以括号中的两个数之和，等价于将这个数分别乘以括号中的两个数之和再相加。

例如，A×（B＋C）＝A×B＋A×C。

去括号指的是在只有加减运算的算式中，去掉括号后，括号内的符号不变；在只有乘除运算的算式中，去掉括号后，括号内的符号不变，但是在除法中，括号内的符号需要取相反数。

乘法交换律和乘法结合律

乘法交换律和乘法结合律一、乘法交换律的定义乘法交换律是数学中的一条基本性质，指的是两个数相乘的结果与顺序无关。

换句话说，对于任意的实数a和b，均有a×b=b×a。

乘法交换律在数学运算中非常常见，不仅适用于整数、分数和小数，还适用于向量、矩阵等更高阶的数学概念。

乘法交换律的简单表达方式是“翻转不变性”，即将乘法操作中的两个数交换位置，最终的结果保持不变。

二、乘法交换律的证明乘法交换律可以通过数学归纳法来证明。

首先，考虑乘法交换律在两个数相乘时的情况，即a×b=b×a。

当a和b均为0时，显然等式成立。

当a为0时，无论b取任何实数值，等式也成立。

同样地，当b为0时，无论a取任何实数值，等式也成立。

接下来，我们假设乘法交换律对于k个数的相乘也成立，即a₁×a₂×…×aₖ=b₁×b₂×…×bₖ。

那么，乘法交换律对于k+1个数的相乘亦成立。

也就是说，a₁×a₂×…×aₖ×aₖ₊₁=b₁×b₂×…×bₖ×bₖ₊₁。

因此，根据数学归纳法，乘法交换律对于任意个数的相乘都成立。

三、乘法交换律的应用举例乘法交换律在实际生活和数学中的应用非常广泛。

以下是一些具体的举例：1. 计算器乘法运算在计算器中，用户可以输入两个数进行乘法运算。

无论用户以什么顺序输入，计算器最终都会按照乘法交换律进行计算，并给出相同的结果。

这使得计算器的使用更加方便和灵活。

2. 矩阵乘法矩阵乘法是线性代数中一项重要运算。

在矩阵乘法中，乘法交换律能够简化计算过程，提高效率。

通过交换乘法中的两个矩阵的位置，可以减少运算量，得到相同的结果。

3. 科学计算和物理实验在科学计算和物理实验中，有时需要对多个变量进行乘法运算。

乘法交换律使得科学家和研究人员在进行计算和实验时，不需要过于担心乘法的顺序，可以更加专注于实验过程和数据分析。

乘法交换律、结合律和简便计算

结合律的证明
代数证明
通过代数表达式可以证明乘法结合律。设三个数为a、b和c，则(a×b)×c=a×(b×c)，这表明改变乘法的顺序不会影响结果。
几何证明
在几何学中，乘法结合律可以通过面积和长度等几何量来证明。例如，对于两个矩形，其长和宽分别为a、 b和c，则(a×b)×c=a×(b×c)，这表明乘法的结合性在几何量中也有体现。
验证算法
在验证某些算法或公式时，可以利用交换律来变换因数的位置，从而验证其正确性。
交换律的证明
基础证明
通过一个简单的例子，如2乘以3等于3乘以2，可以直观地理解交换律。
严格证明
使用数学归纳法或反证法等严格证明方法，可以证明乘法交换律在任何数上都成立。
03
乘法结合律
定义和性质
定义
乘法结合律是指三个数相乘，任意改变它们的顺序，结果都相等。
练习巩固
学生需要通过大量的练习来巩固这些计算技巧，提高计算的准确性和速度。
灵活运用
学生在解决实际问题时，应灵活运用交换律、结合律和简便计算方法，根据具体情况选择合适的策略。
培养兴趣
学生应培养对数学的兴趣，积极探索数学问题，提高数学素
养和综合能力。
THANKS
感谢观看
实例演示
例如
计算125×48时，可以将48拆分成40和8，先计算125×8=1000，再计算1000×40=40000，这样比直接计算 125×48更简便。
又如
计算(8×7)×125时，可以利用结合律先计算8和125的乘积，再与7相乘，即8×125=1000，再计算 1000×7=7000，这样比直接计算(8×7)×125更简便。
04
简便计算
利用交换律和结合律进行简便计算

人教版小学数学四年级下册3.4《乘法交换律和结合律》教案

① 乘法交换律：a × b = b × a
② 乘法结合律：(a × b) × c = a × (b × c)
③ 实际应用：通过例题展示乘法交换律和结合律在解决问题中的运用。
2. 关键词：
① 乘法交换律
② 乘法结合律
③ 实际应用
3. 板书设计：
```
乘法交换律和结合律
---------------------
发放预习材料，引导学生提前了解乘法交换律和结合律的学习内容，标记出有疑问或不懂的地方。
设计预习问题，激发学生思考，为课堂学习乘法交换律和结合律的内容做好准备。
教师备课：
深入研究教材，明确乘法交换律和结合律的教学目标和重难点。
准备教学用具和多媒体资源，确保乘法交换律和结合律教学过程的顺利进行。
设计课堂互动环节，提高学生学习乘法交换律和结合律的积极性。
2. 鼓励学生进行课后自主学习和探究：
（1）深入了解乘法交换律和结合律在实际问题中的应用，尝试解决一些相关的数学问题。
（2）探索乘法交换律和结合律的推广，了解其他数学运算定律及其应用。
（3）参加数学竞赛或活动，提高自己的数学能力和竞争力。
（4）加入数学社团或小组，与他人分享学习心得和经验，共同进步。
2. 例题二：
题目：计算下列乘法表达式，并说明使用了哪种运算定律。
(a) 5 × 7 + 5 × 3
(b) (5 × 7 + 5 × 3) × 2
解答：
(a) 5 × 7 + 5 × 3
= 35 + 15
= 50
(b) (5 × 7 + 5 × 3) × 2
= 50 × 2
= 100
在(a)中，我们使用了分配律，即将5乘以7和3分别计算，然后相加。在(b)中，我们使用了结合律，即将(5 × 7 + 5 × 3)和2相乘。

小学四年级数学关于乘法交换律和乘法结合律的教案

一、教学目标1.理解乘法交换律和乘法结合律的概念；2.掌握乘法交换律和乘法结合律的运用方法；3.培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。

二、教学内容乘法交换律和乘法结合律三、教学重点1.理解乘法交换律的概念；2.掌握乘法交换律的运用方法；3.理解乘法结合律的概念；4.掌握乘法结合律的运用方法。

四、教学准备1.教材《小学数学教材》；2.黑板、彩色粉笔、草稿纸；3.教具：数字卡片、挂图、练习册。

五、教学过程一、导入（5分钟）1.通过拿出两个数字卡片，让学生使用乘法交换律把数字进行交换，并验证结果是否相等。

2.引导学生讨论和总结交换数字的规律。

二、呈现（15分钟）1.法一：通过挂图，让学生观察并发现其中有几道题目是一样的，然后引导学生使用乘法结合律计算结果，让学生找出规律，并总结乘法结合律的规则。

2.法二：设计一个简单的数学问题，引导学生从不同的角度思考问题，并使用乘法结合律解决问题。

三、讲解（25分钟）1.讲解乘法交换律的基本概念和运用方法，并通过几个例题进行说明。

2.讲解乘法结合律的基本概念和运用方法，并通过几个例题进行说明。

四、练习（30分钟）1.练习册中相关习题的完成。

2.分组竞赛，在黑板上出题，并进行小组比赛。

五、小结（5分钟）1.汇总学生在实际操作中出现的问题，并进行订正；2.总结乘法交换律和乘法结合律的规则；3.提醒学生进行课后复习。

六、拓展延伸1.在日常生活中，找出一些实际应用乘法交换律和乘法结合律的例子；2.完成一些拓展练习，加强对乘法交换律和乘法结合律的理解。

七、教学反思通过本课的教学，学生在实际操作中对乘法交换律和乘法结合律有了更深层次的理解。

同时，通过小组竞赛的形式，激发了学生的学习兴趣，增强了学生的合作意识和解决问题的能力。

乘法交换律和结合律及其运用

=80
=120
=1000 =100
=90 =200
乘法交换律和结合律实际运用
课本P28第3题
7×2×50 = 7×(2×50) = 7×100 = 700(米) 答：他每次游700米。
人教版四年级下册
第三章运算定律
• 加法交换律和结合律及其运用 • 连减及其运用 • 乘法交换律和结合律及其运用 • 乘法分配律及其运用
乘法交换律
两个数相乘，交换两个因数的位置，积不变，这叫做乘法交换律。
a×b=b×a
实例：甲×乙=乙×甲
198×21=21×198
你还能举出类似的例子吗？
乘法交换律
你还能举出类似的例子吗？
乘法结合律
三个数相乘，先乘前两个数或者先乘后两个数，积不变，这叫做乘法结合律。
(a×b)×c=a×(b×c)
课本P26做一做
7
125 8 40
乘法交换律和结合律实际运用
课本P28第2题
15
25 4
8
25
14
8
85
乘法交换律和结合律实际运用
课本P28第1题
=60
=70
两个数相乘，交换两个因数的位置，积不变，这叫做乘法交换律。
a×b=b×a
课本P26做一做
12
75 108
乘法结合律
三个数相乘，先乘前两个数或者先乘后两个数，积不变，这叫做乘法结合律。
(a×b)×c=a×(b×c)
实例： (甲×乙)×丙=甲×(乙×丙)
(198×25)×4=198

乘法结合律和交换律

乘法结合律和交换律
目录
• 引言 • 乘法结合律 • 乘法交换律 • 乘法结合律与交换律的比较 • 练习与思考
01
引言
主题简介
乘法结合律
指在乘法运算中，改变因数的组合方式，其积不变的性质。
乘法交换律
指在乘法运算中，改变因数的位置，其积不变的性质。
重要性及应用场景
01
02
03
数学基础
乘法结合律和交换律是数学基础运算规则，是学习代数、几何等数学领域的基础。
01
02
03
04
1. 计算 (3 × 4) × 5 的值。
2. 计算 3 × (4 × 5) 的值。
3. 计算 (3 × 4) × (5 × ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ) 的值。
4. 计算 (3 + 4) × 5 的值。
相关数学概念的扩展思考
要点一
乘法结合律
指在乘法运算中，改变乘数的组合顺序，其结果不变。例如， (a × b) × c = a × (b × c)。
证明过程
证明方法
通过数学归纳法和排列组合的知识来证明乘法结合律。
证明过程
首先，考虑三个数的乘积，我们可以将其表示为三个数的排列组合，然后根据排列组合的性质，证明任意改变它们的结合顺序，其积不变。
乘法结合律的应用
应用场景
乘法结合律在数学和物理等多个领域都有广泛的应用，例如在计算几何形状的面积和体积时，以及在解决物理问题时。
代数证明
乘法交换律是代数证明中的基本工具之一，可以用于证明其他代数性质和定理。
组合数学
在组合数学中，乘法交换律用于计算组合数和排列数等。
04
乘法结合律与交换律的比较

四年级乘法交换律和结合律

三个数相乘,先把前两个数相乘, 再同第三个数相乘,或者先把后两个数相乘,再同第一个数相乘, 他们的积不变.
(a×b)×c=a×(b×c)
这就是乘法结合律
15×16=16× 15 25×7 × 4= 25 × 4 × 7 (60×25)× 8 =60×( 25 × 8) 125×(8× 14 )=(125× 8 )×14 3×4×8×5 =(3×4) ×( 8 × 5 )
乘法运算定律
一共有25个小组,每组里 4人负责挖坑、种树。 4人负责挖坑、种树。负责挖坑、种树的一共有25个小组,每组里一共有多少人？ 4人负责挖坑、种树。
两个数相乘,交换因数的位置,它们的积不变.
a×b=b×
这就是乘法交换律
每组要种5棵树,每棵树要浇2桶水。一共有25个小组, 一共要浇多少桶水?
每瓶2元。买这些矿泉水一共要花多少钱？
24×2×5 = 48×5 = 240(元)
24×(2×5) = 24×10 = 240(元)
12×5= 60 35×2= 70 25×4=100 15×4=60 45×2= 90 25×8= 200
80 24×5=120125×8= 1000 16×5=