空间向量及其运算测试题
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一、选择题
1 抛物线2
8
1x y -
=的准线方程是 ( ) A . 32
1
=x B . 2=y C . 321=y D . 2-=y
2.已知两点1(1,0)F -、2(1,0)F ,且12F F 是1PF 与2PF 的等差中项,则动点P 的轨迹
方程是
( )
A .
22
1169x y += B .
22
11612x y += C .22
143x y += D .22
134
x y += 1.已知向量a =(3,-2,1),b =(-2,4,0),则4a +2b 等于 ( ) A .(16,0,4)
B .(8,-16,4)
C .(8,16,4)
D .(8,0,4)
2.在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,若CA →=a ,CB →=b ,CC 1→=c ,则A 1B →
= ( )
A .a +b -c
B .a -b +c
C .-a +b +c
D .-a +b -c
4.在下列条件中,使M 与A 、B 、C 一定共面的是 ( ) =2OA →-OB →-OC → =15OA →+13OB →+12OC → +MB →+MC →
=0
+OA →+OB →+OC →=0
6.在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,给出以下向量表达式:①(A 1D 1→-A 1A →)-AB →;②(BC →
+ BB 1→)-D 1C 1→; ③(AD →-AB →)-2DD 1→;④(B 1D 1→+A 1A →)+DD 1→
.
其中能够化简为向量BD 1→
的是 ( ) A .①② B .②③ C .③④ D .①④
7.已知向量a =(1,-1,1),b =(-1,2,1),且k a -b 与a -3b 互相垂直,则k 的值是 A .1 B .15 C .35 D .-209
8.若a =(2,-3,1),b =(2,0,3),c =(0,2,2),a ·(b +c )的值为 ( )
A .4
B .15
C .7
D .3
9.已知四边形ABCD 满足:AB →·BC →>0,BC →·CD →>0,CD →·DA →>0,DA →·AB →
>0,则该四边形 为 ( )
A .平行四边形
B .梯形
C .长方形
D .空间四边形
11. 如图所示,在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,M 为A 1C 1与B 1D 1的交点.若AB →=a , AD →=b ,AA 1→=c ,则下列向量中与BM →
相等的向量是( ) A .-12a +1
2b +c
B .12a +12b +c
C .-12a -12b +c
D .12a -1
2b +c
11.已知A ,B 为双曲线E 的左,右顶点,点M 在E 上,ΔABM 为等腰三角形,且顶角为120°,则E 的离心率为
A .5
B .2
C .3
D .2
M 是椭圆22
1259
x y +
=上的点,1F 、2F 是椭圆的两个焦点,1260F MF ∠=,则12F MF ∆ 的面积等于 .
已知双曲线过点()
4,3,且渐近线方程为1
2
y x =±
,则该双曲线的标准方程为 . 14.已知向量a =(-1,2,3),b =(1,1,1),则向量a 在b 方向上的投影为________. 16.如果三点A (1,5,-2),B (2,4,1),C (a,3,b +2)共线,那么a -b =________. 19.已知空间三点A (0,2,3),B (-2,1,6),C (1,-1,5).
(1)求以向量AB →,AC →
为一组邻边的平行四边形的面积S ;
(2)若向量a 分别与向量AB →,AC →
垂直,且|a |=3,求向量a 的坐标.
21. 已知空间三点A (-2,0,2),B (-1,1,2),C (-3,0,4),设a =AB →,b =AC →
.
(1)求a 与b 的夹角θ的余弦值;
(2)若向量k a +b 与k a -2b 互相垂直,求k 的值.
(本小题満分12分) 已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为(2,0),右顶点为)0,3(。 (1) 求双曲线C 的方程;(2) 若直线l :2+
=kx y 与双曲线C 恒有两个不同的交
点A 和B ,且2>⋅OB OA (其中O 为原点),求k 的取值范围。
提示:4a +2b =4(3,-2,1)+2(-2,4,0)=(12,-8,4)+(-4,8,0)=(8,0,4). 2. D 提示: A 1B →=A 1A →+AB →
=-c +(b -a )=-a +b -c .
3\ D 提示:向量的夹角是两个向量始点放在一起时所成的角,经检验只有 =1
2. 4. C 提示:MA →+MB →+MC →=0,即MA →=-(MB →+MC →
),所以M 与A 、B 、C 共面. 5\ 解析 C ∵a +b ,a -b 分别与a 、b 、2a 共面,∴它们分别与a +b ,a -b 均不 能构成一组基底.
6. A 提示:①(A 1D 1→-A 1A →)-AB →=AD 1→-AB →=BD →1;②(BC →+BB 1→)-D 1C 1→=BC 1→-D 1C 1→
= BD 1→;③(AD →-AB →)-2DD 1→=BD →-2DD 1→≠BD 1→;④(B 1D 1→+A 1A →)+DD 1→=B 1D →+DD 1→
=B 1D 1→≠BD 1→
,故选A.
7. D 提示:∵k a -b =(k +1,-k -2,k -1),a -3b =(4,-7,-2),(k a -b )⊥(a -3b ),
∴4(k +1)-7(-k -2)-2(k -1)=0,∴k =-20
9. 8\解析 D ∵b +c =(2,2,5),∴a ·(b +c )=(2,-3,1)·(2,2,5)=3.
9. 解析 D 由已知条件得四边形的四个外角均为锐角,但在平面四边形中任一四边 形的外角和是360°,这与已知条件矛盾,所以该四边形是一个空间四边形.
10. 解析 A OG 1→=OA →+AG 1→=OA →+23×12(AB →+AC →)=OA →+13[(OB →-OA →)+(OC →-OA →
)] =13(OA →+OB →+OC →),由OG =3GG 1知,OG →=34OG 1→=14(OA →+OB →+OC →
),
∴(x ,y ,z )=⎝⎛⎭
⎫14,14,14. 11\ A 解析 由图形知:BM →=BB 1→+B 1M →=AA 1→+12(AD →-AB →
)=-12a +1
2b +c .
12. B 解析 ①中a 与b 所在的直线也有可能重合,故①是假命题;②中当a =0,b≠0 时,找不到实数λ,使b =λa ,故②是假命题;可以证明③中A ,B ,C ,M 四点共 面,因为13OA →+13OB →+13OC →=OM →,等式两边同时加上MO →,则13(MO →+OA →)+1
3(MO →
+ OB →)+1
3(MO →+OC →)=0,即MA →+MB →+MC →=0,MA →=-MB →-MC →,则MA →与MB →,MC →
共面,又M 是三个有向线段的公共点,故A ,B ,C ,M 四点共面,所以M 是△ABC 的重心,所以点M 在平面ABC 上,且在△ABC 的内部,故③是真命题.
13. 解析 AB →=(3,4,5),AC →=(1,2,2),AD →=(9,14,16),设AD →=xAB →+yAC →
.即(9,14,16)
=(3x +y,4x +2y,5x +2y ),∴⎩
⎪⎨⎪⎧
x =2,
y =3,从而A 、B 、C 、D 四点共面.
14. 43
3 解析 向量a 在b 方向上的投影为:|a |·cos a ,b =14×-1+2+314×3=433.
15. 3 解析 因为OA →+AG →=OG →,OB →+BG →=OG →,OC →+CG →=OG →,且AG →+BG →+CG →
=0, 所以OA →+OB →+OC →=3OG →
.
16. 1 解析:AB →=(1,-1,3),BC →
=(a -2,-1,b +1),若使A 、B 、C 三点共线,须满