空间向量及其运算测试题

一、选择题

1 抛物线2

8

1x y -

=的准线方程是 ( ) A ． 32

1

=x B ． 2=y C ． 321=y D ． 2-=y

2．已知两点1(1,0)F -、2(1,0)F ，且12F F 是1PF 与2PF 的等差中项，则动点P 的轨迹

方程是

（ ）

A ．

22

1169x y += B ．

22

11612x y += C ．22

143x y += D ．22

134

x y += 1．已知向量a ＝(3，－2,1)，b =(－2,4,0)，则4a ＋2b 等于 （ ） A ．(16,0,4)

B ．(8，－16,4)

C ．(8,16,4)

D ．(8,0,4)

2．在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，若CA →＝a ，CB →＝b ，CC 1→＝c ，则A 1B →

＝ （ ）

A ．a ＋b －c

B ．a －b ＋c

C ．－a ＋b ＋c

D ．－a ＋b －c

4．在下列条件中，使M 与A 、B 、C 一定共面的是 （ ） ＝2OA →－OB →－OC → ＝15OA →＋13OB →＋12OC → ＋MB →＋MC →

＝0

＋OA →＋OB →＋OC →＝0

6．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，给出以下向量表达式：①(A 1D 1→－A 1A →)－AB →；②(BC →

＋ BB 1→)－D 1C 1→； ③(AD →－AB →)－2DD 1→；④(B 1D 1→＋A 1A →)＋DD 1→

.

其中能够化简为向量BD 1→

的是 （ ） A ．①② B ．②③ C ．③④ D ．①④

7．已知向量a ＝(1，－1,1)，b ＝(－1,2,1)，且k a －b 与a －3b 互相垂直，则k 的值是 A ．1 B ．15 C ．35 D ．－209

8．若a ＝(2，－3,1)，b ＝(2,0,3)，c ＝(0,2,2)，a ·(b ＋c )的值为 （ ）

A ．4

B ．15

C ．7

D ．3

9．已知四边形ABCD 满足：AB →·BC →>0，BC →·CD →>0，CD →·DA →>0，DA →·AB →

>0，则该四边形 为 （ ）

A ．平行四边形

B ．梯形

C ．长方形

D ．空间四边形

11. 如图所示，在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M 为A 1C 1与B 1D 1的交点．若AB →＝a ， AD →＝b ，AA 1→＝c ，则下列向量中与BM →

相等的向量是( ) A ．－12a ＋1

2b ＋c

B ．12a ＋12b ＋c

C ．－12a －12b ＋c

D ．12a －1

2b ＋c

11．已知A ，B 为双曲线E 的左，右顶点，点M 在E 上，ΔABM 为等腰三角形，且顶角为120°，则E 的离心率为

A ．5

B ．2

C ．3

D ．2

M 是椭圆22

1259

x y +

=上的点，1F 、2F 是椭圆的两个焦点，1260F MF ∠=，则12F MF ∆ 的面积等于 ．

已知双曲线过点()

4,3,且渐近线方程为1

2

y x =±

,则该双曲线的标准方程为 ． 14．已知向量a ＝(－1,2,3)，b ＝(1,1,1)，则向量a 在b 方向上的投影为________． 16．如果三点A (1,5，－2)，B (2,4,1)，C (a,3，b ＋2)共线，那么a －b ＝________. 19．已知空间三点A (0,2,3)，B (－2,1,6)，C (1，－1,5)．

(1)求以向量AB →，AC →

为一组邻边的平行四边形的面积S ；

(2)若向量a 分别与向量AB →，AC →

垂直，且|a |＝3，求向量a 的坐标．

21. 已知空间三点A (－2,0,2)，B (－1,1,2)，C (－3，0,4)，设a ＝AB →，b ＝AC →

.

(1)求a 与b 的夹角θ的余弦值；

(2)若向量k a ＋b 与k a －2b 互相垂直，求k 的值．

（本小题満分12分） 已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为（2,0），右顶点为)0,3(。 （1） 求双曲线C 的方程；（2） 若直线l ：2+

=kx y 与双曲线C 恒有两个不同的交

点A 和B ，且2>⋅OB OA （其中O 为原点），求k 的取值范围。

提示：4a ＋2b ＝4(3，－2,1)＋2(－2,4,0)＝(12，－8，4)＋(－4,8,0)＝(8,0,4)． 2. D 提示： A 1B →＝A 1A →＋AB →

＝－c ＋(b －a )＝－a ＋b －c .

3\ D 提示：向量的夹角是两个向量始点放在一起时所成的角，经检验只有 ＝1

2. 4. C 提示：MA →＋MB →＋MC →＝0，即MA →＝－(MB →＋MC →

)，所以M 与A 、B 、C 共面． 5\ 解析 C ∵a ＋b ，a －b 分别与a 、b 、2a 共面，∴它们分别与a ＋b ，a －b 均不 能构成一组基底．

6. A 提示：①(A 1D 1→－A 1A →)－AB →＝AD 1→－AB →＝BD →1；②(BC →＋BB 1→)－D 1C 1→＝BC 1→－D 1C 1→

＝ BD 1→；③(AD →－AB →)－2DD 1→＝BD →－2DD 1→≠BD 1→；④(B 1D 1→＋A 1A →)＋DD 1→＝B 1D →＋DD 1→

＝B 1D 1→≠BD 1→

，故选A.

7. D 提示：∵k a －b ＝(k ＋1，－k －2，k －1)，a －3b ＝(4，－7，－2)，(k a －b )⊥(a －3b )，

∴4(k ＋1)－7(－k －2)－2(k －1)＝0，∴k ＝－20

9. 8\解析 D ∵b ＋c ＝(2,2,5)，∴a ·(b ＋c )＝(2，－3,1)·(2,2,5)＝3.

9. 解析 D 由已知条件得四边形的四个外角均为锐角，但在平面四边形中任一四边 形的外角和是360°，这与已知条件矛盾，所以该四边形是一个空间四边形．

10. 解析 A OG 1→＝OA →＋AG 1→＝OA →＋23×12(AB →＋AC →)＝OA →＋13[(OB →－OA →)＋(OC →－OA →

)] ＝13(OA →＋OB →＋OC →)，由OG ＝3GG 1知，OG →＝34OG 1→＝14(OA →＋OB →＋OC →

)，

∴(x ，y ，z )＝⎝⎛⎭

⎫14，14，14. 11\ A 解析 由图形知：BM →＝BB 1→＋B 1M →＝AA 1→＋12(AD →－AB →

)＝－12a ＋1

2b ＋c .

12. B 解析 ①中a 与b 所在的直线也有可能重合，故①是假命题；②中当a ＝0，b≠0 时，找不到实数λ，使b ＝λa ，故②是假命题；可以证明③中A ，B ，C ，M 四点共 面，因为13OA →＋13OB →＋13OC →＝OM →，等式两边同时加上MO →，则13(MO →＋OA →)＋1

3(MO →

＋ OB →)＋1

3(MO →＋OC →)＝0，即MA →＋MB →＋MC →＝0，MA →＝－MB →－MC →，则MA →与MB →，MC →

共面，又M 是三个有向线段的公共点，故A ，B ，C ，M 四点共面，所以M 是△ABC 的重心，所以点M 在平面ABC 上，且在△ABC 的内部，故③是真命题．

13. 解析 AB →＝(3,4,5)，AC →＝(1,2,2)，AD →＝(9,14,16)，设AD →＝xAB →＋yAC →

.即(9,14,16)

＝(3x ＋y,4x ＋2y,5x ＋2y )，∴⎩

⎪⎨⎪⎧

x ＝2，

y ＝3，从而A 、B 、C 、D 四点共面．

14. 43

3 解析 向量a 在b 方向上的投影为：|a |·cos a ，b ＝14×－1＋2＋314×3＝433.

15. 3 解析 因为OA →＋AG →＝OG →，OB →＋BG →＝OG →，OC →＋CG →＝OG →，且AG →＋BG →＋CG →

＝0， 所以OA →＋OB →＋OC →＝3OG →

.

16. 1 解析:AB →＝(1，－1,3)，BC →

＝(a －2，－1，b ＋1)，若使A 、B 、C 三点共线，须满