2、二次型及其矩阵表示
二次型及其矩阵表示
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二次型定义
二次型具有可加性、可乘性和可交换性，同时对于任意的实数或复数$c$，都有$c(aX+bY)=aXc+bYc$。
二次型的特性
什么是二次型
数学物理中的重要性
在数学和物理学中，许多问题都涉及到二次型的研究。例如，在数学中，二次型与欧几里得空间、平面几何等有密切关系；在物理学中，二次型常出现在力学、波动、热力学等领域。
二次型的矩阵表示的例子
设二次型 $f(x_1,x_2,x_3)=2x_1^2+3x_2^2+4x_3^2+2x_1x_2+4x_1x_3-2x_2x_3$，可以表示为矩阵形式 $F=\begin{bmห้องสมุดไป่ตู้trix} 2 & 1 & 2 \\ 1 & 3 & -1 \\ 2 & -1 & 4 \end{bmatrix}$。
实对称矩阵的主子式一定大于等于零，因此当主子式小于零时，该二次型一定是负定的。
当实对称矩阵A的主子式大于零时，该二次型一定是正定的。
对于一个二次型f(x1,x2,...,xn)=X^tAX，其中X是n维向量，A是n阶实对称矩阵，可以用A来表示该二次型。
二次型的矩阵表示
03
二次型的矩阵表示的应用
矩阵的特征值和特征向量
例2
05
二次型的矩阵表示的总结与展望
二次型与线性代数紧密相连，是研究多变量二次关系的重要工具。
二次型矩阵表示的小结
二次型的矩阵表示具有直观、简便、易于操作等特点，有利于快速求解二次型的数值解。
通过引入矩阵这一数学工具，可以将二次型表示为矩阵的形式，从而对其进行深入分析和计算。
线性代数：第五章二次型
线性代数：第五章⼆次型第五章⼆次型§1 ⼆次型及其矩阵表⽰⼀、⼆次型及其矩阵表⽰设是⼀个数域,⼀个系数在数域中的的⼆次齐次多项式称为数域上的⼀个元⼆次型，简称⼆次型.定义1 设是两组⽂字，系数在数域P中的⼀组关系式(2)称为由到的⼀个线性替换，或简称线性替换.如果系数⾏列式,那么线性替换(2)就称为⾮退化的.线性替换把⼆次型变成⼆次型.令由于所以⼆次型(1)可写成把(3)的系数排成⼀个矩阵(4)它称为⼆次型(3)的矩阵.因为所以把这样的矩阵称为对称矩阵，因此，⼆次型的矩阵都是对称的.令或应该看到⼆次型(1)的矩阵A的元素,当时正是它的项的系数的⼀半,⽽是项的系数，因此⼆次型和它的矩阵是相互唯⼀决定的.由此可得,若⼆次型且,则.令,于是线性替换（4）可以写成或者经过⼀个⾮退化的线性替换，⼆次型还是变成⼆次型，替换后的⼆次型与原来的⼆次型之间有什么关系，即找出替换后的⼆次型的矩阵与原⼆次型的矩阵之间的关系.设(7)是⼀个⼆次型，作⾮退化线性替换(8)得到⼀个的⼆次型，⼆、矩阵的合同关系现在来看矩阵与的关系.把（8）代⼊（7），有易看出，矩阵也是对称的，由此即得.这是前后两个⼆次型的矩阵的关系。
定义2 数域P上两个阶矩阵，称为合同的，如果有数域P上可逆的矩阵,使得.合同是矩阵之间的⼀个关系，具有以下性质:1) ⾃反性:任意矩阵都与⾃⾝合同.2) 对称性:如果与合同,那么与合同.3) 传递性:如果与合同,与合同,那么与合同.因此，经过⾮退化的线性替换，新⼆次型的矩阵与原来⼆次型的矩阵是合同的。
这样把⼆次型的变换通过矩阵表⽰出来，为以下的讨论提供了有⼒的⼯具。
最后指出，在变换⼆次型时，总是要求所作的线性替换是⾮退化的。
从⼏何上看，这⼀点是⾃然的因为坐标变换⼀定是⾮退化的。
⼀般地，当线性替换是⾮退化时，由上⾯的关系即得.这也是⼀个线性替换，它把所得的⼆次型还原.这样就使我们从所得⼆次型的性质可以推知原来⼆次型的⼀些性质.§2 标准形⼀、⼆次型的标准型⼆次型中最简单的⼀种是只包含平⽅项的⼆次型. （1）定理1 数域上任意⼀个⼆次型都可以经过⾮化线性替换变成平⽅和（1）的形式.易知，⼆次型（1）的矩阵是对⾓矩阵，反过来，矩阵为对⾓形的⼆次型就只包含平⽅项.按上⼀节的讨论，经过⾮退化的线性替换，⼆次型的矩阵变到⼀个合同的矩阵，因此⽤矩阵的语⾔，定理1可以叙述为：定理2 在数域上，任意⼀个对称矩阵都合同于⼀对⾓矩阵.定理2也就是说，对于任意⼀个对称矩阵都可以找到⼀个可逆矩阵使成对⾓矩阵.⼆次型经过⾮退化线性替换所变成的平⽅和称为的标准形.例化⼆次型为标准形.⼆、配⽅法1.这时的变量替换为令,则上述变量替换相应于合同变换为计算，可令.于是和可写成分块矩阵,这⾥为的转置，为级单位矩阵.这样矩阵是⼀个对称矩阵，由归纳法假定，有可逆矩阵使为对⾓形，令,于是,这是⼀个对⾓矩阵，我们所要的可逆矩阵就是.2. 但只有⼀个.这时，只要把的第⼀⾏与第⾏互换，再把第⼀列与第列互换，就归结成上⾯的情形，根据初等矩阵与初等变换的关系，取⾏显然.矩阵就是把的第⼀⾏与第⾏互换，再把第⼀列与第列互换.因此，左上⾓第⼀个元素就是，这样就归结到第⼀种情形.3. 但有⼀与上⼀情形类似，作合同变换可以把搬到第⼀⾏第⼆列的位置，这样就变成了配⽅法中的第⼆种情形.与那⾥的变量替换相对应，取,于是的左上⾓就是,也就归结到第⼀种情形.4.由对称性，也全为零.于是,是级对称矩阵.由归纳法假定，有可逆矩阵使成对⾓形.取，就成对⾓形.例化⼆次型成标准形.§3 唯⼀性经过⾮退化线性替换，⼆次型的矩阵变成⼀个与之合同的矩阵.由第四章§4定理4，合同的矩阵有相同的秩，这就是说，经过⾮退化线性替换后，⼆次型矩阵的秩是不变的.标准形的矩阵是对⾓矩阵，⽽对⾓矩阵的秩就等于它对⾓线上不为零的平⽅项的个数.因之，在⼀个⼆次型的标准形中，系数不为零的平⽅项的个数是唯⼀确定的，与所作的⾮退化线性替换⽆关，⼆次型矩阵的秩有时就称为⼆次型的秩.⾄于标准形中的系数，就不是唯⼀确定的.在⼀般数域内，⼆次型的标准形不是唯⼀的，⽽与所作的⾮退化线性替换有关.下⾯只就复数域与实数域的情形来进⼀步讨论唯⼀性的问题.设是⼀个复系数的⼆次型，由本章定理1，经过⼀适当的⾮退化线性替换后，变成标准形，不妨假定化的标准形是. (1)易知就是的矩阵的秩.因为复数总可以开平⽅，再作⼀⾮退化线性替换(2)(1)就变成(3)(3)就称为复⼆次型的规范形.显然，规范形完全被原⼆次型矩阵的秩所决定，因此有定理3 任意⼀个复系数的⼆次型经过⼀适当的⾮退化线性替换可以变成规范形，且规范形是唯⼀的.定理3 换个说法就是，任⼀复数的对称矩阵合同于⼀个形式为的对⾓矩阵.从⽽有两个复数对称矩阵合同的充要条件是它们的秩相等.设是⼀实系数的⼆次型.由本章定理1，经过某⼀个⾮退化线性替换，再适当排列⽂字的次序，可使变成标准形(4)其中是的矩阵的秩.因为在实数域中，正实数总可以开平⽅，所以再作⼀⾮退化线性替换(5)(4) 就变成(6)(6)就称为实⼆次型的规范形.显然规范形完全被这两个数所决定.定理4 任意⼀个实数域上的⼆次型，经过⼀适当的⾮退化线性替换可以变成规范形，且规范形是唯⼀的.这个定理通常称为惯性定理.定义3 在实⼆次型的规范形中，正平⽅项的个数称为的正惯性指数；负平⽅项的个数称为的负惯性指数；它们的差称为的符号差.应该指出，虽然实⼆次型的标准形不是唯⼀的，但是由上⾯化成规范形的过程可以看出，标准形中系数为正的平⽅项的个数与规范形中正平⽅项的个数是⼀致的，因此，惯性定理也可以叙述为：实⼆次型的标准形中系数为正的平⽅项的个数是唯⼀的，它等于正惯性指数，⽽系数为负的平⽅项的个数就等于负惯性指数.定理5 （1）任⼀复对称矩阵都合同于⼀个下述形式的对⾓矩阵：.其中对⾓线上1 的个数等于的秩.（2）任⼀实对称矩阵都合同于⼀个下述形式的对⾓矩阵：,其中对⾓线上1的个数及-1的个数（等于的秩）都是唯⼀确定的，分别称为的正、负惯性指数，它们的差称为的符号差..§4 正定⼆次型⼀、正定⼆次型定义4 实⼆次型称为正定的，如果对于任意⼀组不全为零的实数都有.实⼆次型是正定的当且仅当.设实⼆次型(1)是正定的，经过⾮退化实线性替换(2)变成⼆次型(3)则的⼆次型也是正定的，或者说，对于任意⼀组不全为零的实数都有.因为⼆次型（3）也可以经⾮退化实线性替换变到⼆次型（1），所以按同样理由，当（3）正定时（1）也正定.这就是说，⾮退化实线性替换保持正定性不变.⼆、正定⼆次型的判别定理6 实数域上⼆次型是正定的它的正惯性指数等于.定理6说明，正定⼆次型的规范形为(5)定义5 实对称矩阵A称为正定的，如果⼆次型正定.因为⼆次型（5）的矩阵是单位矩阵E，所以⼀个实对称矩阵是正定的它与单位矩阵合同.推论正定矩阵的⾏列式⼤于零.定义6 ⼦式称为矩阵的顺序主⼦式.定理7 实⼆次型是正定的矩阵的顺序主⼦式全⼤于零.例判定⼆次型是否正定.定义7 设是⼀实⼆次型，如果对于任意⼀组不全为零的实数都有,那么称为负定的；如果都有，那么称为半正定的；如果都有，那么称为半负定的；如果它既不是半正定⼜不是半负定，那么就称为不定的.由定理7不难看出负定⼆次型的判别条件.这是因为当是负定时，就是正定的.定理8 对于实⼆次型，其中是实对称的，下列条件等价：（1）是半正定的；（2）它的正惯性指数与秩相等；（3）有可逆实矩阵，使其中；（4）有实矩阵使.（5）的所有主⼦式皆⼤于或等于零；注意，在（5）中，仅有顺序主⼦式⼤于或等于零是不能保证半正定性的.⽐如就是⼀个反例.证明 Th8,设的主⼦式全⼤于或等于零，是的级顺序主⼦式，是对应的矩阵其中是中⼀切级主⼦式之和，由题设，故当时，，是正定矩阵.若不是半正定矩阵，则存在⼀个⾮零向量，使令与时是正定矩阵⽭盾，故是半正定矩阵.Th8记的⾏指标和列指标为的级主⼦式为，对应矩阵是，对任意，有,其中⼜是半正定矩阵,从⽽.若，则P234,12T，存在使与⽭盾，所以.◇设为级实矩阵，且，则都是正定矩阵.◇设为实矩阵，则都是半正定矩阵.证明是实对称矩阵，令，则是维实向量是半正定矩阵，同理可证是半正定矩阵.◇设是级正定矩阵，则时，都是正定矩阵.证明由于正定，存在可逆矩阵，使,,从⽽为正定矩阵.正定⼜正定， ,正定,正定.对称当时，,从⽽正定.当时,所以与合同，因⽽正定.第五章⼆次型(⼩结)⼀、⼆次型与矩阵1. 基本概念⼆次型;⼆次型的矩阵和秩;⾮退化线性替换;矩阵的合同.2. 基本结论(1) ⾮退化线性替换把⼆次型变为⼆次型.(2) ⼆次型可经⾮退化的线性替换化为⼆次型.(3) 矩阵的合同关系满⾜反⾝性、对称性和传递性.⼆、标准形1. 基本概念⼆次型的标准形;配⽅法.2. 基本定理(1) 数域上任意⼀个⼆次型都可经过⾮退化的线性替换化为标准形式.(2) 在数域上，任意⼀个对称矩阵都合同于⼀对⾓矩阵.三、唯⼀性1. 基本概念复⼆次型的规范形;实⼆次型的规范形,正惯性指数、负惯性指数、符号差.2. 基本定理(1) 任⼀复⼆次型都可经过⾮退化的线性替换化为唯⼀的规范形式的秩.因⽽有:两个复对称矩阵合同它们的秩相等.(2) 惯性定律:任⼀实⼆次型都可经过⾮退化线性替换化为唯⼀的规范形式的秩,为的惯性指数.因⽽两个元实⼆次型可经过⾮退化线性替换互化它们分别有相同的秩和惯性指数.(4) 实⼆次型的标准形式中系数为正的平⽅项的个数是唯⼀确定的,它等于正惯性指数，⽽系数为负的平⽅项的个数就等于负惯性指数.四、正定⼆次型1. 基本概念正定⼆次型，正定矩阵;顺序主⼦式，负定⼆次型，半正定⼆次型，半负定⼆次型，不定⼆次型.2. 基本结论(1) ⾮退化线性替换保持实⼆次型的正定性不变.(2) 实⼆次型正定①与单位矩阵合同,即存在可逆矩阵,使得;②的顺序主⼦式都⼤于零.③的正惯性指数等于.。
高等代数二次型及其矩阵表示
来曲线的性质，如：对圆 x21 + x22 = 1，令
( ) ( )( )
x1 = 1 0 y1 ,
x2
0 0 y2
得 y21 = 1 为两直线.
. . . .... .... .... . . . . .... .... .... . .
. .. . . ..
把方程 (1) 化成标准方程. 在二次曲面的研究中也有.... .... .... . .
. .. . . ..
二次型的代数观点
(1) 的左端是一个二次齐次多项式. 从代数的观点看，所谓化标 准方程就是用变量的线性替换 (2) 化简一个二次齐次多项式，使 它只含有平方项. 二次齐次多项式不但在几何中出现，而且在数 学的其它分支以及物理、力学中也常常会碰到. 这一章就是来介 绍它的一些基本性质.
二次型的几何背景
在解析几何中，我们看到，当坐标原点与中心重合时，一个有心 二次曲线的一般方程是
ax2 + 2bxy + cy2 = f
(1)
为了便于研究这个二次曲线的几何性质，我们可以选择适当的角 度 θ，作转抽 (反时针方向转轴)
x = x′ cos θ − y′ sin θ,
(2) y = x′ sin θ + y′ cos θ,
X = CY
称为变量 x1, x2, · · · , xn 到变量 y1, y2, · · · , yn 的一个非退化线性 替换.
. . . .... .... .... . . . . .... .... .... . .
. .. . . ..
非退化线性替换
n 元二次型 X′AX 经过非退化线性替换 X = CY 变成
. .. . . ..
二次型的矩阵表示与规范形
二次型的矩阵表示与规范形二次型是数学中一种重要的函数形式，它在线性代数、微分方程、物理学等多个领域中都有广泛的应用。
在研究二次型时，通过矩阵表示和规范形可以更加清晰地理解和分析其性质和特点。
本文将介绍二次型的矩阵表示和规范形的概念及其应用。
1. 二次型的矩阵表示二次型是一个多元二次齐次函数，通常表示为Q(x) = x^TAX，其中x为n维列向量，A为一个n×n的实对称矩阵。
这里的x^T表示x的转置矩阵。
实际上，二次型Q(x)可以看作是向量x和矩阵A的乘积，而矩阵A起到了描述二次型性质的作用。
为了将二次型表示为矩阵形式，我们可以将x表示为列向量，A表示为矩阵，然后将二次型的表达式展开为矩阵的乘积形式。
具体来说，对于一个n维列向量x = (x_1, x_2, ..., x_n)^T，其中x_i表示向量x的第i个分量，我们可以将二次型Q(x)表示为：Q(x) = x^TAX = x_1a_{11}x_1 + x_1a_{12}x_2 + ... + x_na_{nn}x_n 将上式中的二次项系数（a_{ij}）按照矩阵的形式排列，即可得到矩阵A。
这样，二次型Q(x)就可以表示为矩阵A的乘积形式。
2. 二次型的规范形二次型的规范形是一种特殊的矩阵表示形式，通过对矩阵A进行特殊的相似变换，可以将二次型化为规范形。
规范形对于分析二次型的性质和特征有很大的帮助。
对于一个二次型Q(x) = x^TAX，通过合同变换（转置和相似变换的组合），我们可以将矩阵A转化为对角矩阵D = diag(λ_1, λ_2, ..., λ_n)，其中λ_i表示矩阵D的第i个对角元素。
这样，二次型Q(x)就可以表示为：Q(x) = x^TAX = x^TP^TDPx = (Px)^TD(Px)其中P为可逆矩阵，称之为合同变换矩阵。
从上式可以看出，二次型Q(x)经过合同变换后可以化为规范形，其中规范形的矩阵D是对角矩阵，每个对角元素表示了相应方向上的特征值，而合同变换矩阵P则是由特征向量构成。
化二次型为标准型的方法
化二次型为标准型的方法【1】二、 二次型及其矩阵表示在解析几何中，我们看到，当坐标原点与中心重合时，一个有心二次曲线的一般方程是 22ax 2bxy cy f ++=. （1） 为了便于研究这个二次曲线的几何性质，我们可以选择适当的角度θ，作转轴（反时针方向转轴）''''x x cos y sin y x sin y cos θθθθ⎧=-⎪⎨=+⎪⎩ （2）把方程（1）化成标准方程。
在二次曲面的研究中也有类似的情况。
（1）的左端是一个二次齐次多项式。
从代数的观点看，所谓化标准方程就是用变量的线性替换（2）化简一个二次齐次多项式，使它只含平方项。
二次齐次多项式不但在几何中出现，而且数学的其他分支以及物理、力学中也常会碰到。
现在就来介绍它的一些最基本的性质。
设P 是一数域，一个系数在数域P 上的12n x ,x ,...,x 的二次齐次多项式22212n 11112121n 1n 2222n 2n nn n f (x ,x ,...,x )a x 2a x x ...2a x x a x ...2a x x ...a x =++++++++称为数域P 上的一个n 元二次型，或者在不致引起混淆时简称二次型。
设12n x ,x ,...,x ；12n y ,y ,...,y 是两组文字，系数在数域P 中的一组关系式11111221n n 22112222n n 33113223n n n n12n22nn nx c y c y ...c y x c y c y ...c y x c y c y ...c y ...........x c y c y ...c y =++⎧⎪=++⎪⎪=++⎨⎪⎪=++⎪⎩ （4） 称为由12n x ,x ,...,x 到12n y ,y ,...,y 的一个线性替换，。
如果ij c 0≠，那么线性替换（4）就称为非退化的。
在讨论二次型时，矩阵是一个有力的工具，因此把二次型与线性替换用矩阵来表示。
6考研基础复习(线性代数)二次型
A = (a ij ) n×n , AT = A .
一、二次型的基本内容
1、二次型及其矩阵表示 、
的矩阵， 对称阵 A 称为二次型 f ( x ) 的矩阵， 的二次型. 二次型 f ( x ) 称为对称阵 A 的二次型.
是实 A 数时， 是实二次型， 为实对称阵. 数时，f ( x ) 是实二次型， 为实对称阵.
（ 定二次型， （负） 正 则称该二次型为正 负） 定二次型， 定二次型的矩阵 A 称为正（负）定矩阵. 称为正（ 定矩阵.
4、二次型和矩阵的正定性及其判别 、
f ( x 1 , L , x n ) = x T Ax ， 如果实二次型
对于任意一组不全为零的实数 x = ( x 1 , L , x n ) T ，都有
二、典型题型分析及举例
例6.6
——题型 ：基本概念题 题型I： 题型
4、二次型和矩阵的正定性及其判别 、
正定； 特征值全正； ② A 正定； 特征值全正； 一切主子式全 > 0 ； 一切顺序主子式全 > 0 ； A 与 E 合同 A 1 正定； 正定； 存在可逆矩阵 C ，使 A = C T C ；
4、二次型和矩阵的正定性及其判别 、
A 正定； 正定；
的矩阵为： 的矩阵为： 二次型的秩为： 二次型的秩为：
， .
二、典型题型分析及举例
例6.2
——题型 ：基本概念题 题型I： 题型
二次型： 二次型：
2 2 2 f ( x1 , x 2 , x 3 ) = 2 x1 + x 2 + x 3 + 2 x1 x 2 + tx 2 x 3
是正定的，那么 t 应满足不等式： 应满足不等式： 正定的， .
二次型及其矩阵表示
二次型的标准型的意 义
标准型在二次型的理论和应用中具有 重要意义。例如，通过研究标准型， 我们可以更好地了解二次型的性质和 特点。此外，标准型也常常用于求解 二次型的最小二乘问题等应用中。
二次型的标准化的方 法
二次型的标准化方法包括将二次型转 化为标准型的过程。这个过程可以通 过正交变换来实现，具体来说就是通 过一系列可逆变换将二次型转化为其 同类中最为简单的一种形式。
02
二次型的矩阵表示
二次型的矩阵形式
二次型的矩阵形式
二次型可以表示为矩阵的形式，其中矩阵元素是二次项系数。对于一个二次型 $f(x_1, x_2, \ldots, x_n)$，其矩阵形式可以表示为 $f = x^T A x$，其中 $A$ 是一个对称矩阵。
矩阵的对称性
对于一个二次型 $f = x^T A x$，如果存在一个可逆矩阵 $P$，使得 $f = (Px)^T A (Px)$ ，则称该二次型是正定的。正定二次型的矩阵 $A$ 是对称正定的。
正定二次型的性质
正定二次型具有一些特殊的性质。例如，正定二次型的标准型是唯一的，并且可以通过正 交变换将任何一个正定二次型转化为标准型。此外，正定二次型的矩阵是正定的，即其所 有特征值都是正的。
二次型的标准型介绍
二次型的标准型定义
二次型的标准型是指将二次型转化为 其同类中最为简单的一种形式。通过 作可逆变换，任何一个二次型都可以 化为标准型。
03
二次型的计算方法
二次型的矩阵计算
矩阵的二次型
对于一个给定的矩阵A，其二次型可以通过对其进行矩阵乘法 得到。
矩阵的奇异值分解
奇异值分解是一种将矩阵分解为三个矩阵的乘积的方法，这种 方法可以用于计算二次型的值。
线性代数二次型与二次型矩阵
线性代数二次型与二次型矩阵二次型在线性代数中扮演了重要的角色，它是数学中一种重要的函数形式。
本文将介绍线性代数中的二次型以及与之相关的二次型矩阵。
1. 二次型的定义在线性代数中，二次型是指一个二次齐次多项式，它的形式可以表示为：$$Q(x_1, x_2, \ldots, x_n) = a_{11}x_1^2 + a_{22}x_2^2 + \ldots +a_{nn}x_n^2 + 2a_{12}x_1x_2 + 2a_{13}x_1x_3 + \ldots + 2a_{n-1,n}x_{n-1}x_n$$其中，$x_1, x_2, \ldots, x_n$ 是 $n$ 个实数变量，$a_{ij}$ 是实数系数。
2. 二次型矩阵对于一个二次型 $Q(x_1, x_2, \ldots, x_n)$，可以将其对应的系数矩阵标记为 $A$。
矩阵 $A$ 的元素 $a_{ij}$ 即为二次型中 $x_i$ 和$x_j$ 的系数。
例如，$a_{11}$ 对应的是 $x_1^2$ 的系数。
对应于上述的二次型，我们可以将其系数矩阵表示为：$$A = \begin{bmatrix}a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n} \\a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n} \\\ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\a_{n1} & a_{n2} & \ldots & a_{nn} \\\end{bmatrix}$$其中，$A$ 是一个 $n \times n$ 的矩阵。
3. 二次型矩阵的性质二次型矩阵具有一些重要的性质，下面列举其中几个：- 如果矩阵 $A$ 是一个对称矩阵，即 $A = A^T$，那么对应的二次型就是轴对称的。
- 二次型矩阵 $A$ 的秩等于二次型的秩，即 $rank(A) = rank(Q)$。
第四节二次型及其矩阵表示
3
定义： n 个变量x1, x2, ⋯, xn 的二次齐次多项式
f ( x1 , x2 ,
, xn ) a11 x12 2a12 x1 x2 2a13 x1 x3 2a1n x1 xn
a22 x22 2a23 x2 x3 2a2n x2 xn a33 x32 2a3n x3 xn
0 1
解：二次型 f 的矩阵为
A
1 2
0 5
2
5 0
,
1 1 5
可逆替换的矩阵为
C
1 0
1 0
2 1
,
4
设 f ( x1 , x2 , x3 ) X T AX Y T BY g( y1, y2 , y3 ),
B CT AC
1 1 0 0 1 2 1 1 5
1 5
1 2
0 1
1 2
0
三．可逆线性替换与二次型 定义: 设 x1, x2 , , xn 到 y1，y2， ，yn 的线性替换为
x1 c11 y1 c12 y2 c1n yn
x2
c21 y1
c22
y2Βιβλιοθήκη c2n yn⑴xn
cn1 y1
cn2
y2
cnn yn
x1
c11 c12
若X
x2
,C
c21
c22
证： E A AAT A A AT E
A A E A E 1n E A
∵ n 是奇数，故有
EA EA
EA 0.
0
23． 设A为n 阶方阵，Ak O (k 2的正数 ),
求: E A 1 .
解： Ak O ,
二次型及其矩阵表示
半正定二次型：矩阵的所有特征值都是非负数
半负定二次型：矩阵的所有特征值都是非正数
实二次型：矩阵的系数都是实数
对称二次型：矩阵是对称矩阵
正定二次型：矩阵的所有特征值都是正数
负定二次型：矩阵的所有特征值都是负数
二次型的矩阵表示方法
01
02
03
04
标准二次型：二次型可以表示为矩阵乘以向量的形式，其中矩阵是对称矩阵。
02
二次型在经济学中的应用
生产函数：二次型可以用来表示生产函数，分析生产过程中的投入与产出关系。
成本函数：二次型可以用来表示成本函数，分析生产过程中的成本与产量关系。
效用函数：二次型可以用来表示效用函数，分析消费者在消费过程中的满足程度与消费量关系。
投资函数：二次型可以用来表示投资函数，分析投资者在投资过程中的收益与投资量关系。
主成分分析在二次型中的应用
01
主成分分析（PCA）是一种用于降维和多元数据分析的统计学方法。
04
02
03
在二次型中，主成分分析可以用来寻找数据的主成分，即数据的主要方向。
通过主成分分析，我们可以将二次型矩阵分解为两个矩阵的乘积，其中一个矩阵是对角矩阵，另一个矩阵是低秩矩阵。
这种分解方法可以简化二次型的计算，提高计算效率。
二次型在物理学中的应用
电磁学：二次型在电磁学中用于描述电磁场的分布和相互作用，如麦克斯韦方程组、高斯定理等。
03
量子力学：二次型在量子力学中用于描述粒子的状态和运动规律，如薛定谔方程、海森堡不确定性原理等。
04
力学：二次型在力学中用于描述物体的运动和受力情况，如牛顿第二定律、胡克定律等。
01
光学：二次型在光学中用于描述光的传播和折射现象，如菲涅尔方程、折射定律等。
二次型及其矩阵表示
f ( x1, x2 ,L , xn ) a11x12 a12 x1x2 L L a1n x1xn
a21 x2 x1 a22 x22 L a2n x2 xn L L L L L L L L
an1 xn x1 an2 xn x2 L ann xn2
nn
aij xi x j .
基本结论
1、二次型经过线性替换仍为二次型. 2、二次型X´AX经非退化线性替换化为二次型Y´BY
A 与 B合同，即存在可逆阵 C Pnn，使 B CAC.
3、矩阵的合同关系具有反身性、对称性、传递性.
§5.1 二次型及其矩阵表示
f ( x1, x2 ,L , xn ) a11x12 2a12 x1x2 L 2a1n x1xn
a22 x22 L L L 2a2n x2 xn
a33 x32 L 2a3n x3 xn
①
Байду номын сангаас
L L L L
ann xn2
称为数域P上的一个n元二次型（Quadratic Form）．
§5.1 二次型及其矩阵表示
)
2 7
4 8
6 5
x2 x3
n
3. xi2
xi x j
i 1
1i jn
n
4. ( xi x)2,
i 1
其中
x
1 n
n i 1
xi .
§5.1 二次型及其矩阵表示
二、非退化线性替换
1、定义 x1, x2 ,L , xn; y1, y2 ,L , yn 是两组文字,
cij P,i, j 1,2,...n
非退化线性替换：
x1 c11 y1 c12 y2 L c1n yn
二次型就是二次齐次多项式本章通过矩阵乘法将二次型与
2 2 f ( x1 , x2 ,K , 3; K + d n xn
是正定的当且仅当 di > 0, i = 1, 2, ⋅⋅⋅, n 定义5 定义5 实对称矩阵 A 称为正定的，如果二次型 X ′AX 正定。 称为正定的， 正定。
10
4. 正定二次型（续1） 正定二次型（
实二次型的标准形中系数为正的平方项的个数是唯一确定 的，它等于正惯性指数，而系数为负的平方项的个数就等于 它等于正惯性指数， 负惯性指数。 负惯性指数。
9
4. 正定二次型
定义4 定义4 实二次型
f ( x1 , x2 ,K , xn )
称为正定的，如果对于任 称为正定的，
意一组不全为零的实数 c1 , c2 ,K , cn都有 f (c1 , c2 ,K , cn ) > 0 。 实二次型
(1)
KKKK
2 ann xn +
称为数域 P 上的一个 n 元二次型（简称二次型）。 元二次型（简称二次型）。
2
08高数—— 矩阵、二次型知识点速记
1、定义对于n 阶方阵A ，如果数λ和n 维非零列向量x 满足Ax x λ=，则数λ称为方阵A 的特征值，非零向量x 称为方阵A 对应特征值λ的特征向量。
Ax x λ=可写成()0A E x λ-=或()0E A x λ-=。
该齐次线性方程组有非零解的充要条件是系数行列式：0A E λ-=或0E A λ-=0E A λ-=是以λ为未知数的一元n 次方程，叫做方阵A 的特征方程。
特征方程0E A λ-=的解，称为方阵A 的特征值，且n 次方程有n 个特征值。
设i λλ=为A 的一个特征值，则由方程()0i E A x λ-=可求得非零解i x P =，i P 就是方阵A 对应于特征值i λ的特征向量。
2、求n 阶矩阵A 的特征值与特征向量的步骤1）求0E A λ-=的全部根12,,,n λλλ 。
2）将i λλ=，分别代入()0E A x λ-=，得齐次线性方程组()0i E A x λ-=。
3）方程组()0i E A x λ-=的基础解系，就是A 对应于i λ的特征向量，基础解系的线性组合（0除外）就是A 对应于i λλ=的全部特征向量。
若在计算特征值时，有0λ=，那么0Ax =的所有非零解向量，即为特征值0λ=对应的特征向量。
3、特征值和特征向量的几个重要性质1）若线性无关的非零向量1x ，2x 都是矩阵A 属于特征值λ的特征向量，对任意不全为零的数1k 、2k ，向量1122x k k x +也是矩阵A 的属于特征值λ的特征向量。
2）方阵A 的属于不同特征值的特征向量是线性无关的。
3）如果12,,,m λλλ 是方阵A 的m 个特征值，向量12,,,m x x x 是依次与之对应的特征向量，如果12,,,m λλλ 是两两互不相同的，那么向量组12,,,m x x x 一定线性无关。
方阵的特征值与特征向量高 数矩阵、二次型知识点速记4）如果n 阶方阵A 的全部特征值是12,,,n λλλ ，那么：①121122n nn a a a λλλ+++=++⋯+ （其中1122,,,nn a a a 为A 主对角元素）；②12n A λλλ= 。
线性代数中的二次型矩阵表示
线性代数中的二次型矩阵表示在线性代数中，二次型是一种重要的概念，它与矩阵表示有着密切的联系。
本文将介绍二次型的定义及其矩阵表示的相关知识，帮助读者更好地理解和应用线性代数中的二次型。
一、二次型的定义二次型是指一个关于n个变量的二次齐次多项式，其一般形式可以表示为：Q(x_1, x_2, ..., x_n) = \sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}a_{ij}x_ix_j其中，x_1, x_2, ..., x_n为变量，a_{ij}为系数。
二次型可以用矩阵来表示，即二次型矩阵。
二、二次型矩阵的构造将二次型中的系数构成一个矩阵A = [a_{ij}]_{n\times n}，则矩阵A 为二次型的矩阵表示。
其中，a_{ij}为二次型中的系数。
例如，对于一个二次型Q(x_1, x_2, x_3) = 2x_1^2 + 3x_1x_2 +4x_2x_3，其矩阵表示为：A = \begin{bmatrix} 2 & \frac{3}{2} & 0\\ \frac{3}{2} & 0 & 2 \\ 0 &2 & 0 \end{bmatrix}三、二次型矩阵的性质1. 对称性：二次型矩阵A是对称矩阵，即A^T = A，其中A^T为A 的转置矩阵。
2. 正定性：若对于任意非零向量x，都有x^TAx > 0，则称二次型矩阵A为正定矩阵。
3. 半正定性：若对于任意非零向量x，都有x^TAx \geq 0，则称二次型矩阵A为半正定矩阵。
4. 负定性和半负定性的定义与正定性和半负定性类似，只是不等式的方向相反。
四、二次型矩阵的特征值与特征向量对于二次型矩阵A，存在n个实数\lambda_1, \lambda_2, ...,\lambda_n，使得存在非零向量x_1, x_2, ..., x_n，满足Ax_i =\lambda_ix_i，其中i = 1, 2, ..., n。
二次型的矩阵表示与规范化
二次型的矩阵表示与规范化二次型是线性代数中的重要概念，它在矩阵表示和规范化方面都有着深入的应用。
本文将探讨二次型的矩阵表示与规范化问题。
一、二次型的定义及矩阵表示二次型是指形如\[Q(x) = x^T A x\]的实数值函数，其中\(x\)是一个n维实向量，\(A\)是一个对称n阶实矩阵。
这里的\(x^T\)表示\(x\)的转置。
给定一个二次型\(Q(x)\)，我们可以将其表示为矩阵形式。
设\(x = [x_1, x_2, ..., x_n]^T\)，即为x的列向量形式，那么\(Q(x)\)可以简化为\[Q(x) = \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} a_{ij} x_i x_j\]其中\(a_{ij}\)表示矩阵\(A\)的第\(i\)行第\(j\)列的元素。
进一步，我们可以使用矩阵\(A\)来表示二次型。
即令\[A = [a_{ij}]\]则有\[Q(x) = x^T A x\]这个形式就是二次型的矩阵表示。
二、二次型的规范化对于给定的二次型，我们希望找到一种变换，将其规范化为简单形式。
规范化的目的是为了研究二次型的性质和方便计算。
1. 主轴变换通过主轴变换，我们可以将二次型规范化为只含平方项的形式。
具体步骤如下：首先，找到矩阵\(A\)的特征值和对应的特征向量。
设特征值为\(\lambda_1, \lambda_2, ..., \lambda_n\)，对应的特征向量为\(u_1, u_2, ..., u_n\)。
然后，构造正交矩阵\(P = [u_1, u_2, ..., u_n]\)。
将矩阵\(A\)通过相似变换\(P\)进行对角化，即\[P^T A P = \Lambda = \text{diag}(\lambda_1, \lambda_2, ...,\lambda_n)\]最后，进行变量替换\[x = Py\]即可得到规范化后的二次型。
2. 标准型变换在主轴变换的基础上，我们可以进一步将二次型规范化为标准型。
二次型
第六章 二 次 型I 重要知识点一、二次型及其矩阵表示1、二次型的定义：以数域P 中的数为系数，关于x 1，x 2，…，x n 的二次齐次多项式f (x 1，x 2，…，x n )=a 11x 12+2a 12x 1x 2+ … +2a 1n x 1x n+a 22x 22+ … +a 2n x 2x n + … (3) +a nn x n 2称为数域P 上的一个n 元二次型，简称二次型。
2、二次型的矩阵表示 设n 阶对称矩阵A =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛nn nnn n a a a a a a a a a 212221211211 则n 元二次型可表示为下列矩阵形式：f (x 1，x 2，…，x n )=( x 1，x 2，…，x n ) ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛nn nnn n a a a a a a a a a212221211211⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛n x x x 21=X TAX其中 X =( x 1，x 2，…，x n )T 。
对称矩阵A 称为二次型的系数矩阵，简称为二次型的矩阵。
矩阵A 的秩称为二次型f (x 1，x 2，…，x n )的秩。
二次型与非零对称矩阵一一对应。
即，给定一个二次型，则确定了一个非零的对称矩阵作为其系数矩阵；反之，给定一个非零的对称矩阵，则确定了一个二次型以给定的对称矩阵为其系数矩阵。
3、线性变换设x 1，x 2，…，x n 和y 1，y 2，…，y n 为两组变量，关系式⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+++=+++=+++=nnn n n n nn nn y c y c y c x y c y c y c x y c y c y c x 22112222121212121111 其中c ij (i ，j =1，2，…，n )为实数域R (或复数域C )中的数，称为由x 1，x 2，…，x n 到y 1，y 2，…，y n 线性变换，简称线性变换。
线性变换的矩阵表示，设n 阶矩阵C =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛nn n n n n c c c c c c c c c212222111211则从x 1，x 2，…，x n 到y 1，y 2，…，y n 线性变换可表示为下列矩阵形式：X =CY其中X =( x 1，x 2，…，x n )T 和Y =( y 1，y 2，…，y n )T ，C 称为线性变换的系数矩阵。
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n
a1 j x j
( x1,
x2 ,...,
xn )
j1 n
a2 j x j
j1
n
anj x j
j1
§5.1 二次型及其矩阵表示
x1
令
X
x2
xn
n
n
x1 a1 j x j x2 a2 j x j
j1
j1
n
xn anj x j
j1
n
n
nn
( xi aij x j )
（这表明在选定文字 x1, x2 ,..., xn 下，二次型 f ( x1, x2 ,..., xn ) X AX 完全由对称矩阵A决定.)
正因为如此，讨论二次型时矩 阵是一个有力的工具.
§5.1 二次型及其矩阵表示
练习1 写出矩阵表示
1. 实数域R上的2元二次型 f ax2 2bxy cy2
选择适当角度 θ,逆时针旋转 坐标轴
x xcos ysin y xcos ysin
f ax2 cy2
(标准方程)
§5.1 二次型及其矩阵表示
二次齐次多项式
代数观点下
f ( x1, x2 , , xn )
作适当的非退 化线性替换
x1 c11 y1 c12 y2
x2
c11
y1
c12
y2
xn cn1 y1 cn2 y2
只含平方项的多项式
(标准形)
c1n yn c1n yn
cnn yn
§5.1 二次型及其矩阵表示
一、n元二次型
1、定义 设P为数域， aij P, i, j 1, 2, , n,
n个文字 x1, x2 , , xn 的二次齐次多项式
f ( x1, x2 , , xn ) a11 x12 2a12 x1 x2 2a1n x1 xn
f ( x1 , x2 ,, xn ) aii xi2 2 aij xi x j .
i 1
1i jn
§5.1 二次型及其矩阵表示
2、二次型的矩阵表示
（1） 约定①中aij=aji，i<j ，由 xixj＝xjxi，有
f ( x1, x2 , , xn ) a11 x12 a12 x1 x2
2. 实数域R上的3元二次型 f ( x1, x2 , x3 ) 2 x12 4 x1 x2 6 x1 x3 5 x22 3 x2 x3 7 x32
3. 复数域C上的4元二次型 f ( x1, x2 , x3 , x4 ) ix1 x2 3 x1 x4 5 x22 (3 i)x2 x3
xi .
§5.1 二次型及其矩阵表示
二、非退化线性替换
1、定义 x1, x2 , , xn; y1, y2 , , yn 是两组文字,
cij P,i, j 1, 2,...n
x1 c11 y1 c12 y2 c1n yn
关系式
x2
c11 y1
c12
y2
c1n yn
③
xn
cn1
y1
§5.1 二次型及其矩阵表示
3、二次型经过非退化线性替换仍为二次型
X CY
f
( x1, x2 ,..., xn )
X AX
————————
| C | 0
(CY ) A(CY )
Y (CAC )Y 令——B————C——AC Y BY g( y1, y2 ,..., yn )
又 B (CAC ) CAC CAC B
a1n x1 xn
a21 x2 x1 a22 x22
a2n x2 xn
an1 xn x1 an2 xn x2 ann xn2
nn
aij xi x j .
②
i1 j1
§5.1 二次型及其矩阵表示
a11 a12 ... a1n
令
A
a21Βιβλιοθήκη a22...a2
n
an1 an2 ... ann
y
x
sin
y cos
是非退化的.
§5.1 二次型及其矩阵表示
2、线性替换的矩阵表示
x1
y1
c11 c12 ... c1n
令
X
x2
,Y
y2
,C
c21
c22
...
c2n
xn
yn
cn1 cn2 ... cnn
则③可表示为
X=CY
④
若|C| ≠0，则④为非退化线性替换.
cn2
y2
cnn yn
称为由 x1, x2 , , xn到y1, y2 , , yn 的一个线性替换;
若系数行列式|cij|≠0,则称③为非退化线性替换 (non-degenerate linear transformation).
§5.1 二次型及其矩阵表示
y
.
y
x
0
x
例1
变换
x x cos y sin
( A P nn )
则矩阵A称为二次型 f ( x1, x2 , , xn ) 的矩阵 （matrix）.
§5.1 二次型及其矩阵表示
（2）
a11 a12 ... a1n x1
X AX
( x1,
x2 ,...,
xn
)
a21
a22
...
a2n
x2
an1 an2 ... ann xn
aij xi x j
i 1
j 1
i1 j1
于是有 f ( x 1 , x 2 ,..., xn ) X AX .
§5.1 二次型及其矩阵表示
注意 1. 二次型的矩阵总是对称矩阵，即A A. 2. 二次型与它的矩阵相互唯一确定，即 若 X AX X BX 且 A A, B B，则 A B.
a22 x22
2a2n x2 xn
a33 x32 2a3n x3 xn
①
ann xn2
称为数域P上的一个n元二次型（Quadratic Form）．
§5.1 二次型及其矩阵表示
注意
1. 为了计算和讨论的方便,式①中 xi x j i j 的系数
写成 2aij .
2. 式① 也可写成
n
第五章 二次型
§5.1 二次型及其矩阵表示 §5.2 标准形 §5.3 唯一性 §5.4 正定二次型
§5.1 二次型及其矩阵表示
一、n元二次型 二、非退化线性替换 三、矩阵的合同 四、小结
§5.1 二次型及其矩阵表示
问题的引入
解析几何中
中心与坐标原点重合的有心二次曲线 f ax2 2bxy cy2
§5.1 二次型及其矩阵表示
练习2 写出下列二次型的矩阵
1. 4 x1 x2 2 x1 x3 2 x2 x3
1 3 5 x1
2.
(
x1
,
x2
,
x3
)
2 7
4 8
6 5
x2 x3
n
3. xi2
xi x j
i 1
1i jn
n
4. ( xi x)2,
i 1
其中
x
1 n
n i 1