2、二次型及其矩阵表示

xi .
§5.1 二次型及其矩阵表示
二、非退化线性替换
1、定义 x1, x2 , , xn; y1, y2 , , yn 是两组文字,
cij P,i, j 1, 2,...n
x1 c11 y1 c12 y2 c1n yn
关系式
x2
c11 y1
c12
y2
c1n yn
③
xn
cn1
y1
y
x
sin
y cos
是非退化的.
§5.1 二次型及其矩阵表示
2、线性替换的矩阵表示
x1
y1
c11 c12 ... c1n
令
X
x2
,Y
y2
,C
c21
c22
...
c2n
xn
yn
cn1 cn2 ... cnn
则③可表示为
X=CY
④
若|C| ≠0，则④为非退化线性替换.
f ( x1 , x2 ,, xn ) aii xi2 2 aij xi x j .
i 1
1i jn
§5.1 二次型及其矩阵表示
2、二次型的矩阵表示
（1） 约定①中aij=aji，i<j ，由 xixj＝xjxi，有
f ( x1, x2 , , xn ) a11 x12 a12 x1 x2
第五章 二次型
§5.1 二次型及其矩阵表示 §5.2 标准形 §5.3 唯一性 §5.4 正定二次型
§5.1 二次型及其矩阵表示
一、n元二次型 二、非退化线性替换 三、矩阵的合同 四、小结
§5.1 二次型及其矩阵表示
问题的引入
解析几何中
中心与坐标原点重合的有心二次曲线 f ax2 2bxy cy2
a1n x1 xn
a21 x2 x1 a22 x22
a2n x2 xn
an1 xn x1 an2 xn x2 ann xn2
nn
aij xi x j .
②
i1 j1
§5.1 二次型及其矩阵表示
a11 a12 ... a1n
令
A
a21
a22
...
a2
n
an1 an2 ... ann
aij xi x j
i 1
j 1
i1 j1
于是有 f ( x 1 , x 2 ,..., xn ) X AX .
§5.1 二次型及其矩阵表示
注意 1. 二次型的矩阵总是对称矩阵，即A A. 2. 二次型与它的矩阵相互唯一确定，即 若 X AX X BX 且 A A, B B，则 A B.
( A P nn )
则矩阵A称为二次型 f ( x1, x2 , , xn ) 的矩阵 （matrix）.
§5.1 二次型及其矩阵表示
（2）
a11 a12 ... a1n x1
X AX
( x1,
x2 ,...,
xn
)
a21
a22
...
a2n
x2
an1 an2 ... ann xn
a22 x22
2a2n x2 xn
a33 x32 2a3n x3 xn
①
ann xn2
称为数域P上的一个n元二次型（Quadratic Form）．
§5.1 二次型及其矩阵表示
注意
1. 为了计算和讨论的方便,式①中 xi x j i j 的系数
写成 2aij .
2. 式① 也可写成
n
2. 实数域R上的3元二次型 f ( x1, x2 , x3 ) 2 x12 4 x1 x2 6 x1 x3 5 x22 3 x2 x3 7 x32
3. 复数域C上的4元二次型 f ( x1, x2 , x3 , x4 ) ix1 x2 3 x1 x4 5 x22 (3 i)x2 x3
选择适当角度 θ,逆时针旋转 坐标轴
x xcos ysin y xcos ysin
f ax2 cy2
(标准方程)
§5.1 二次型及其矩阵表示
二次齐次多项式
代数观点下
f ( x1, x2 , , xn )
作适当的非退 化线性替换
x1 c11 y1 c12 y2
x2
c11
y1
c12
cn2
y2
cnn yn
称为由 x1, x2 , , xn到y1, y2 , , yn 的一个线性替换;
若系数行列式|cij|≠0,则称③为非退化线性替换 (non-degenerate linear transformation).
§5.1 二次型及其矩阵表示
y
.
y
x
0
x
例1
变换
x x cos y sin
y2
xn cn1 y1 cn2 y2
只含平方项的多项式
(标准形)
c1n yn c1n yn
cnn yn
§5.1 二次型及其矩阵表示
一、n元二次型
1、定义 设P为数域， aij P, i, j 1, 2, , n,
n个文字 x1, x2 , , xn 的二次齐次多项式
f ( x1, x2 , , xn ) a11 x12 2a12 x1 x2 2a1n x1 xn
§5.1 二次型及其矩阵表示
3、二次型经过非退化线性替换仍为二次型
X CY
f
( x1, x2 ,..., xn )
X AX
————————
| C | 0
(CY ) A(CY )
Y (CAC )Y 令——B————C——AC Y BY g( y1, y2 ,..., yn )
又 B (CAC ) CAC CAC B
（这表明在选定文字 x1, x2 ,..., xn 下，二次型 f ( x1, x2 ,..., xn ) X AX 完全由对称矩阵A决定.)
正因为如此，讨论二次型时矩 阵是一个有力的工具.
§5.1 二次型及其矩阵表示
练习1 写出矩阵表示
1. 实数域R上的2元二次型 f ax2 2bxy cy2
§5.1 二次型及其矩阵表示
练习2 写出下列二次型的矩阵
1. 4 x1 x2 2 x1 x3 2 x2 x3
1 3 5 x1
2.
(
x1
,
x2
,
x3
)
2 7
4 8
6 5
x2 x3
n
3. xi2
xi x j
i 1
1i jn
n
4. ( xi x)2,
i 1
其中
x
1 n
n i 1
n
a1 j x j
( x1,
x2 ,...,
xn )
j1 n
a2 j x j
j1
Leabharlann Baidu
n
anj x j
j1
§5.1 二次型及其矩阵表示
x1
令
X
x2
xn
n
n
x1 a1 j x j x2 a2 j x j
j1
j1
n
xn anj x j
j1
n
n
nn
( xi aij x j )