江西省上饶市2021届高三第一次高考模拟考试数学(文)试卷
2021届江西省上饶市高三上学期第一次模拟考试文数试题Word版含答案
2021届江西省上饶市高三上学期第一次模拟考试文数试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{}1A x x =>，{}28x B x =<，则A B =( )A.()1,3B.(),1-∞C.()3,+∞D.()(),13,-∞+∞2.已知复数()2z i i =--，则该复数在复平面内对应的点在第( )象限 A.一B.二C.三D.四3.已知向量()3,1a =，(),2b m =，若a b ∥，则m =( ) A.6-B.6C.23D.23-4.已知双曲线22:13x C y -=，则右焦点F 到渐近线的距离为( )A.3B.1C.3D.25.运行如图所示的程序框图，则输出数值A 的个位数字是( )A.1B.7C.9D.36.将函数cos 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭向左平移6π个单位长度后，得到函数()f x 的图象，则()f x =( )A.cos2xB.cos2x -C.sin 2xD.sin2x - 7.在等比数列{}n a 中，3a 、15a 是方程27120x x -+=的两个根，则117a a a 的值为( )A.23±B.23C.23-D.48.函数xey x=的图象大致是( )ABCD9.如图，随机向大圆内投一粒豆子，则豆子落在阴影部分的概率为( )A.13B.4ππ- C.22ππ+ D.22ππ－ 10.榫卯是我国古代工匠极为精巧的发明，它是在两个构件上采用凹凸部位相结合的一种连接方式，我国在北京紫禁城、山西悬空寺、福建宁德的廊桥等建筑都用到了榫卯结构，如图所示是一种榫卯构件中榫的三视图，其表面积为( )A.1624π+B.1620π+C.2024π+D.2020π+11.三棱锥P ABC -的底面ABC 是边长为2的正三角形，顶点P 在底面的射影为BC 的中点，若该三棱锥的体积为1，则该几何体的外接球的表面积为( ) A.43πB.83πC.163πD.203π12.已知函数()1,0ln ,0x a x f x x x ⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩，若关于x 的方程()()f f x a =，(0a >且1a ≠)的实数解的个数有4个，则实数a 的范围为( ) A.0ln2a <<或12a <<B.ln21a <<或12a <<C.0ln2a <<或12a <<或2a >D.ln21a <<或12a <<或2a >二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.O 是坐标原点，若(),M x y 为平面区域222x y x y +≥⎧⎪≤⎨⎪≤⎩内的动点，则OM 的最小值是__________.14.已知tan 3α=，则()sin cos sin ααα-=__________. 15.正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11a =，若111n n n S S a +++=，则50a =__________. 16.如图，已知抛物线24y x =的焦点为F ，直线l 过F 且依次交抛物线及圆()22114x y -+=于点,,,A B C D 四点，则9AB CD +的最小值是__________.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.在ABC △中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，且cos cos 3sin B C Ab c +=. (1)求边b 的值；(2)若cos 3sin 2B B +=，求ABC △面积的最大值.18.如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABC 是菱形，2AB =，60BAD =∠°，3PA =，点E 是PC 上一点.(1)求证：平面BED ⊥平面PAC ；(2)若E 是PC 中點，求三棱椎P BDE -的体积.19.近年来我国电子商务行业迎来蓬勃发展的新机遇，2017年双11期间，某购物平台的销售业绩高达919亿人民币，与此同时，相关管理部门推出了针对电商的商品和服务的评价体系，现从评价系统中选出200次成功交易，并对其评价进行统计，对商品的好评率为0.6，对服务的好评率为0.8，其中对商品和服务都做出好评的交易为100次.(1)请填写下方的22⨯的列联表，并判断：是否可以在犯错误概率不超过10%的前提下，认为商品好评与服务好评有关？(2)在此200次成功交易中，对商品不满意的交易按分层抽样留取4次交易，在此4次交易中再一次性随机抽取2次，求：该2次交易均为“对服务好评”的概率. (温馨提示：()()()()()22,n ad bc K n a b c d a b c d a c b d ⎛⎫- ⎪==+++ ⎪++++⎝⎭其中) 20.已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为13，长轴长为6.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)是否存在点P 在圆()22:125M x y -+=上，过P 作直线1l ，2l 与椭圆1C 相切，分别记直线1l ，2l 的斜率为1k ，2k ，有121k k ⋅=-？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由. 21.已知函数()ln f x x mx =-，曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线斜率为1－. (1)求m 的值；(2)当0a >时，不等式()22f x ax ax >-+-在[]1,x e ∈上有解，求a 的取值范围.22.在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为4cos ρθ=，曲线2C 的参数方程为1x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数).(1)求曲线1C 的直角坐标方程及曲线2C 的普通方程；(2)設点P 的直角坐标为()1,0，曲线1C 与曲线2C 交于A 、B 两点，求PA PB +的值. 23.已知函数()13f x x x =+++的最小值为实数k . (1)求实数k 的值；(2)若正数,,a b c 满足22232a b c k ++=，求2ab bc +的最大值.2021届江西省上饶市高三上学期第一次模拟考试文数试题参考答案一、选择题(本题共12小题，每题5分，共60分)1 2 34 5 6 7 8 9 10 11 12 ADB [来源:Z.X.X.K]BCDBADADC二、填空题(共4个小题，每小题5分，共20分) 13.2 14.53- 15.725- 16.11 三．解答题 ： 17. 【答案】（1）3=b ； （2）()433max =∆ABC S 【解析】（1）由余弦定理和正弦定理得caabc c b a abc b c a 3322222222=-++-+化简得cabc a 33=，得3=b ； （2）由2sin 3cos =+B B 得26sin 2=⎪⎭⎫⎝⎛+πB 所以16sin =⎪⎭⎫⎝⎛+πB ()π，又0∈B 3π=∴B 由B ac c a b cos 2222⋅-+=得ac ac ac c a -≥-+=2322 3≤∴ac43323321sin 21=⋅⋅≤⋅=∴B ac S 当且仅当3==c a 时等号成立 所以ABC ∆面积的最大值为433。
江西省上饶市2021届高三第一次高考模拟考试数学(文)试题(含答案解析)
（2）若 ，求 的值域.
18．某保险公司给年龄在20~70岁的民众提供某种疾病的一年期医疗保险，现从10000名参保人员中随机抽取100名作为样本进行分析，按年龄段 分成了五组，其频率分布直方图如图所示，参保年龄与每人每年应交纳的保费如表所示.
年龄(单位：岁)
保费(单位：元)
A． B． C． D．
11．在 中， ，M为 内一点且满足 ， ，若 ， ，则 的面积 为（）
A． B． C． D．
12．已知定义在 上的函数 满足 ，其中 是函数 的导函数，若 ，则实数 的取值范围是（）
A． B． C． D．
二、填空题
13．若 （ 为虚数单位），则 的虚部为___________.
故选：A
【点睛】
方法点睛：求线性目标函数 的最值，当 时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最大，在y轴截距最小时，z值最小；当 时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最小，在y轴上截距最小时，z值最大.
9．C
【分析】
由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量
的值，裂项可求和，可得答案．
即 ，所以离心率 .
所以此双曲线的离心率的取值范围是 .
故选：B
【点睛】
关键点点睛：将问题转化为过点 且倾斜角为 的直线的斜率与渐近线 的斜率的大小关系求解是解题关键.
7．C
【分析】
假设直线方程为 ，利用垂径定理构造方程可求得结果.
【详解】
设所求直线方程为 ，即 ，
圆心到直线的距离 ，
，解得： .
故选： .
若 ，则直线 与抛物线有且只有一个公共点，不合乎题意.
设 ，抛物线 的焦点为 ，直线 的方程为 ，
江西省上饶市2021届高三数学上学期第一次模拟考试试题 理 答案
数学（理科）答案一．选择题二．填空题13. -8 14. -215. 25 16. 431. 由2111log )1log(0)1(log 22>⇒>-⇒>-⇒>-x x x x]3,2(=∴B A ，选D2. i i i i i i i i i z 5715263)21)(21()21)(3(213-=+--=-+--=+-=z ∴的虚部为57-，选D3. 当5.1,2==b a 时，05.0ln )ln(<=-b a ，故A 不成立；b a b a 33>⇒>，故B 不成立；03333>-⇒>⇒>b a b a b a ，故C 成立； 2,1-=-=b a ⇒||||b a <,故D 不成立.选C4. 分别过B M A ,,作准线的垂线，垂足分别为111,,B M A ，则32||2||||||111==+=AB BB AA MM .选A5.42.14614159.346014159.324230≈=⇒=⨯h h ，109.92136.5-146.42≈=(米),选B 6. 做出散点图，由散点图可知：0,0><b a ，选C. 7. 由图可知：641254πππ=-=T ,332232==∴=∴ππωπ，T ，)3sin()(ϕ+=∴x x f ，由)2|(|0)43sin(πϕϕπ<=+,得4πϕ=,而63)43()4(3πππ-=+--x x ，所以只需将f (x )的图象向右平移π6个单位长度，选B. 8.,3231)(3131AC AB AC AB AC CB AC CP AC AP +=-+=+=+= ))(3231()(AC AB AC AB AC AB AP ++=+⋅∴638212234323122=+⋅⋅+=+⋅+=AC AC AB AB ,选C. 9.∵βα，为锐角，)65,3(3),,0(πππβπβα∈+∈+∴1312)sin(,135)cos()21,23()3cos(,0)sin(=+∴-=+-∈+>+∴βαβαπββα ，舍去）又53(53)3cos(,54)3sin(-=+∴=+πβπβ6563541312)53(135)3sin()sin()3cos()cos()3()(cos )3cos(=⨯+-⨯-=+++++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+=-∴πββαπββαπββαπα选C 10. 23,3323321==⨯⨯=OO r 4153432212=+=+=∴r OO R πππ15415442=⨯==∴R S 表，选D 11.圆C （2,0），半径r ＝1，设P （x ，y ），因为两切线12l l ⊥，PA ⊥PB ，由切线性质定理，知：PA ⊥AC ，PB ⊥BC ，PA ＝PB ，所以，四边形PACB 为正方形，所以，｜PC则：2)2(22=+-y x ，即点P 的轨迹是以（2,0. 直线:2l y kx =-过定点（0，－2），直线方程即20kx y --=，只要直线与P 点的轨迹（圆）有交点即可，即大圆的圆心到直线的距离小于等于半径， 即：21|22|2≤+-=k k d ，解得：3232+≤≤-k ，即实数k 的取值范围是[]32,32+-.故选A.12.由x x f ≥)(得：x x x a x ae x≥-++)ln (ln ，即1ln ln ≥-++x x a xae x0ln ln 0)ln (ln +≥-++∴-+e x x a e x x a 在),0(+∞∈x 上恒成立；x e x g x +=)( 在R 上单调递增，0ln ln ≥-+∴x x a 在),0(+∞∈x 上恒成立； x x a -≥∴ln ln 在),0(+∞∈x 上恒成立，构造函数x x x h -=ln )(，xx x x h -=-='111)(， 当)1,0(∈x 时,0)(>'x h ,)(x h 单调递增;当)1(∞+∈，x 时,0)(<'x h ,)(x h 单调递减. 1)1()(max -==∴h x h ,1ln ≥∴a ,解得ea 1≥，选C.13.r r rr r r r x C x x C T 4443441)2()2(---+-=-⋅=，令04-4=r ，得1=r . 所以所求常数项为8)2(14-=-C ，故答案为-8.14. 满足22,2,440x y x y x y +≥⎧⎪-≤⎨⎪-+≥⎩的可行域为ABC ∆及其内部，其中)0,2(),1,0(),2,4(C B A ,且B 点为最优解，2120min -=⨯-=z ，答案为-2. 15.设M （x 0，y 0），F （c ，0），由02190=∠MF F ,可知021=⋅MF MF ， 又点M （x 0，y 0）在直线x a b y =上，所以⎪⎩⎪⎨⎧=+-=0202200y c x x a b y ,解得⎩⎨⎧==b y a x 00，即),(b a M据题意，有MN M F 232=，则)(23a c a -=-，即离心率25=e ，答案为25. 16.记BC 的中点为D ,AC 的中点为E , 则2222)()()(b c AC AB AC AB AC AB CB AD CB DO AD CB AO -=-=-⋅+=⋅=⋅+=⋅同理：22c a AC BO -=⋅0233222=-+⋅+⋅a b AC BO CB AO ，023*******2=-+-⋅+-∴a b c a b c ，4222c a b +=∴，43868)(32cos 22222=≥+=-+=∴ac ac ac c a ac b c a B （当且仅当b c a 2==时等号成立)答案为43. 三．解答题17. 解：（1）据题意：⎩⎨⎧==+862111q a q a a ， ………………2分 解得122a q =⎧⎨=⎩或⎪⎩⎪⎨⎧-==32181q a 1>q ，122a q =⎧∴⎨=⎩ ………………4分 即数列}{n a 的通项公式为：()*∈=N n a n n 2． ………………5分 （2）由（1）有n a b n n 2log 22==， ………………6分则11111=(1)(1)(21)(21)22121n n b b n n n n ⎛⎫=- ⎪+-+--+⎝⎭………………8分∴ n T )12)(12(1751531311-++⋅⋅⋅+⨯+⨯+⨯=n n )]121121()7151()5131()3111[(21+--+⋅⋅⋅+-+-+-=n n )1211(21+-=n 12+=n n………………12分18.解：（1）在线段AB 上取一点N ，使AN=CD=1，AB CD // ，AN CD AN CD =∴且//ANCD ∴是平行四边形AD CN //∴ ………………1分在中ABP ∆，41==AB AN PB PM ，所以AP MN //∴ ………………2分 PDA MCN 平面平面//∴， ………………3分又MCN CM 平面⊂PDA CM 平面//∴ ………………4分（2）以轴建立空间直角坐标系轴、轴、所在直线为、、为原点，z y x CP CD CB C ABCD PC 平面⊥BC PC ⊥∴ CD BC ⊥又 PCD BC 平面⊥∴所以PC PCD PB 内的摄影为在平面， 所成的角与平面为直线所以PCD PB BPC ∠即︒=∠45BPC 4==∴PC BC ………………6分所以()0,0,0C ， ()0,4,4A ，()3,0,1M()0,4,4=∴CA ()3,0,1=∴CM()0,1,01=n BCM 的法向量为面 ………………8分 ()z y x n ACM ,,2=的法向量为设平面则⎪⎩⎪⎨⎧=+=⋅=+=⋅0304422z x CM n y x CA n ，()1,3,32-=n 所以 ………………10分所以19193193,cos 21=>=<n n 所以平面BMC 与平面AMC 所成角的余弦值为19193………………12分19.（1）记“甲、乙两位同学共答对2题”为事件，则103)()(225242211141213=⋅+⋅⋅⋅=C C C C C C C M P ………………4分（2）由题意可知随机变量X 的可能取值为3、4、5、6，………………5分251)()3(32525111422=⋅⋅⋅==C C C C C X P ………………6分103)()4(===M P X P ………………7分 2512)()5(3252524121325111423=⋅⋅⋅+⋅⋅⋅==C C C C C C C C C X P ………………8分509)()6(325252423=⋅⋅==C C C C X P ………………9分所以，随机变量X 的分布列如下表所示：X 3 45 6 P251 103 2512 509 随机变量X 的数学期望为52450962512510342513=⨯+⨯+⨯+⨯=EX ………………10分A 校为优秀的概率………………12分20. 解：（1）由⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+===2222222c b a b a c ………………1分得⎪⎩⎪⎨⎧===112c b a ………………3分 ∴椭圆C 的标准方程为1222=+y x ………………4分（2）若直线l 的斜率不存在，设),(t s M ，则),(t s N -，此时21211112222==-=--⨯-=⋅s ss t s t s t k k PNPM ，与题设矛盾， 故直线l 的斜率必存在. ………………6分设),(),,(,:2211y x N y x M m kx y l +=，联立⎪⎩⎪⎨⎧=++=1222y x mkx y 得：0224)12(222=-+++m mkx x k ，0)12(822>+-=∆m k ，1222,1242221221+-=+-=+∴k m x x k mk x x ………………8分61)1())(1(1)(11212212122121212211=-++-+=++-=-⋅-=⋅x x m x x m k x x k x x y y y y x y x y k k PNPM整理得：0232=+-m m ,解得：2=m 或1=m （舍去），即直线过定点(0,2). ……12分 21解：（1）12a =时，，定义域为(),-∞+∞)1(-)1()(2x x x x e x e e x e x f -+=+-='， ……………1分令()1e xF x x =+-，则()1e xF x '=-，当(),0x ∈-∞，()0F x '>；当()0,x ∈+∞，()0F x '<；∴()F x 在(),0-∞递增，在()0,∞+上递减，∴()()00F x F ≤=，∴0)(≥'x f ，∴()f x 在(),-∞+∞上递增． ……………4分 （2），由x R ∀∈，，∴可得0a <， ………………6分令()()12e xg x x a =+-，则()g x 在R 上递增， 由()1120g ae--=->，且当0x <时，()12g x x a <+-，∴()2121120g a a a -<-+-=， ∴()021,1x a ∃∈--使得()00g x =，且当()0,x x ∈-∞时，()0g x <即()0f x >′； 当()00,x x ∈+∞时，()0g x >即()0f x <′， ∴()f x 在()0,x -∞递增，在()0,x +∞递减， ∴00020max )()(x x e x ae x f x f -==， ………………8分由()()00012e 0xg x x a =+-=，∴0012e x x a +=， 由a x f 2)(max-≤得0000200014e e e 2e 1x x x x x x x +-⋅≥+即001421x x -≥+， 由010<+x 得2018x -≤，∴031x -≤<-，设()()1312e x x h x x +=-≤<-，则02)(>-='xex x h ， 可知()h x 在[)3,1-上递增∴3)3()(e h x h -=-≥，即3e a -≥∴实数a 的最小值为3e -． ………………12分 22.（1）θθθρ222sin 4cos 2sin 312+=+=，4)sin 4(cos 222=+∴θθρ，即14,442222=+∴=+y x y x ………………5分（2）由曲线1C 的参数方程知其普通方程为4)2(22=-+y x ，它是以)2,0(C 为圆心，2为半径的圆，∵A 是曲线1C 上的动点，B 是曲线2C 上的动点，∴max max 2AB BC =+， 设)sin ,cos 2(ββB ，则8sin 4sin 3)2(sin cos 4||222+--=-+=ββββBC328)32(sin 32++-=β， ∴32sin -=β时，max 2822133BC ==，∴max 22123AB =+．………………10分 23.解：（1）⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥+<<---≤--=)21(13)212(3)2(31)(x x x x x x x f当2-≤x 时，[)+∞∈,5)(x f ，当212<<-x 时，)5,25()(∈x f ，当21≥x 时，⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞∈,25)(x f25)(min =x f . ………………5分（2）据题意：1)(+-<ax x f 在R 上有解， 作函数)(x f y =及1+-=ax y 的图象 由图可得：3>-a 或2-<-a所以a 的范围为）（（3,),2-∞-+∞ .………………10分。
2021届全国新高考仿真模拟试题(二)数学(文)(解析版)
∴CD⊥平面
ABD，∴CD
是三棱锥
C
ABD
的高，∴VC
ABD＝13×12×2×2×sin
60°×2＝2 3， 3
故选 A.
8．答案：C
解析：由射线测厚技术原理公式得I20＝I0e－7.6×0.8μ，∴12＝e－6.08μ，－ln 2＝－6.08μ，μ≈0.114，
故选 C.
9．答案：C
解析：从题图(1)可以看出，该品牌汽车在 1 月份所对应的条形图最高，即销售量最多，
商品销售 25.0 30.0 34.0 37.0 39.0 41.0 42.0 44.0 48.0 y10
额 y/万元
且已知 错误!i＝380.0
(1)求第 10 年的年收入 x10. (2)若该城市居民年收入 x 与该种商品的销售额 y 之间满足线性回归方程y^＝363x＋^a，
254 (ⅰ)求该种商品第 10 年的销售额 y10； (ⅱ)若该城市居民年收入为 40.0 亿元，估计这种商品的销售额是多少？(精确到 0.01) 附：①在线性回归方程y^＝b^x＋^a中，b^＝错误!，^a＝－y －b^－x ；
(1)求轨迹Γ的方程； (2)过点 F 作互相垂直的直线 AB 与 CD，其中直线 AB 与轨迹Γ交于点 A，B，直线 CD 与轨迹Γ交于点 C，D，设点 M，N 分别是 AB 和 CD 的中点，求△FMN 的面积的最小值．
-5-
21．(12 分)[2020·安徽省示范高中名校高三联考]函数 f(x)＝aex＋x2－ln x(e 为自然对数的底数，a 为常 数)，曲线 f(x)在 x＝1 处的切线方程为(e＋1)x－y＝0.
于 8 月份，所以该公司 7 月份汽车的总销售量比 8 月份少，所以选项 C 是错误的；从题图(1)
江西省上饶市2024届高三下学期第一次高考模拟考试语文试卷(含答案)
江西省上饶市2024届高三下学期第一次高考模拟考试语文试卷学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、现代文阅读阅读下面的文字，完成下面小题。
材料一：传统文论是千百年来在中华文化圈中形成的一个自足的话语体系，凸显着鲜明的中国特色。
传统文论注重文艺教化功能，闪耀着道德理想主义的情怀。
传统文论深受儒家思想影响，高度重视文艺的伦理教化功能，强调作家的伦理修养与德艺双馨，推崇作家培育崇高的道德情操和深厚的精神境界。
元代戏剧家高明呼吁“不关风化体，纵好也徒然”，直接强调作品要具备教化功能；刘熙载提出“诗品出于人品”，强调作者应具备高尚的道德品性，进而通过作品来影响读者。
源于中国史学的发达，传统文论注重文史哲贯通，积极汲取中国历史的叙事经验。
清代章学诚主张文史相通，提出“六经皆史”，并且认为“古文必推叙事，叙事实出史学”，揭示出中国文化的“史学”品性、中国史学的发达与历史叙事的深厚渊源。
杨义在《中国古典小说史论》里写道：“考虑到中国作为史学大国，从《春秋》，尤其是《左传》开始的史学作为‘小说之祖’的身份，是不应该忽略的。
小说家多从史籍中讨教叙事的章法，已经成为我国古代的重要传统。
”诚哉是言。
传统文论包含着由中国术语、范畴与原理构建的话语系统，折射着中国人独特的审美思维与审美情趣。
无邪、比兴、风骨、隐秀、意境、意象、兴味、性灵、教化等，都是传统文论的基本术语。
天人合一、道法自然、兴观群怨、立象尽意、文以载道与情景交融等，构成传统文论的基本原理。
比如王弼在《周易》中提出“尽意莫若象，尽象莫若言”，即强调审美主体需用意象来表达情感，语言文字对于意象表达又具有重要作用。
在语言与意象环环相扣的作用下，更好地反映主体的情感意愿。
严羽认为：“诗有别趣……诗者，吟咏情性也。
”话里昭示着中华民族的审美情趣，令人想到黑格尔说的“美是理念的感性显现”。
传统文论是深深扎根我们这片土地而生长出来的一束束“花朵”。
2021年高三上学期第一次模拟考试数学文试卷 含答案
2021年高三上学期第一次模拟考试数学文试卷含答案本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中第Ⅱ卷第22－24题为选考题，其它题为必考题．考生作答时，将答案答在答题卡上．在本试卷上答题无效．考试结束后，将答题卡交回．注意事项：1．答题前，考生务必先将自己的姓名、考号填写在答题卡上．2．选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚．3．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效．4．保持卡面清洁，不折叠，不破损．5．做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知复数=2+i，=3-i，其中i是虚数单位，则复数的实部与虚部之和为（）A．0 B．C．1 D．22．设x，y∈R，则“x≥2且y≥2”是“x2＋y2≥4”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．即不充分也不必要条件3．若平面向量与的夹角等于，，，则与的夹角的余弦值等于（）A．B．C．D．4．抛物线的焦点坐标为（）A．B．C．D．5．某连队身高符合中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利70周年阅兵标准的士兵共有45人，其中18岁～21岁的士兵有15人，22岁～25岁的士兵有20人，26岁～29岁的士兵有10人，若该连队有9个参加阅兵的名额，如果按年龄分层选派士兵，那么，该连队年龄在26岁～29岁的士兵参加国庆阅兵的人数为( )A．5 B．4 C．3 D．26．某程序框图如图所示，该程序运行后输出的的值是（）A． B． C． D．7．已知直线经过点，当截圆所得弦长最长时，直线的方程为（）A．B．C．D．8．已知A，B，C是ABC的三个内角，且是方程的两个实数根，则ABC是（）A、钝角三角形B、锐角三角形C、等腰三角形D、等边三角形9．已知等差数列满足，则有（）A、B、C、D、10．直线的倾斜角等于（）A．B．C．D．11．点M为圆P内不同于圆心的定点，过点M作圆Q与圆P相切，则圆心Q的轨迹是（）A.圆B.椭圆C.圆或线段D.线段12．已知是定义域为实数集的偶函数，，，若，则如果，，那么的取值范围为（）A．B． C．D．第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．设则。
上饶市重点中学2022年高三第一次模拟考试数学试卷含解析
2021-2022高考数学模拟试卷注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。
第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．将函数()sin(2)f x x ϕ=-的图象向右平移18个周期后，所得图象关于y 轴对称，则ϕ的最小正值是（ ） A ．8π B ．34π C ．2π D ．4π 2．函数()f x 的图象如图所示,则它的解析式可能是( )A ．()212xx f x -=B ．()()21xf x x =-C ．()ln f x x =D ．()1xf x xe =-3．设集合{}1,2,3A =，{}220B x x x m =-+=，若{3}A B ⋂=，则B =（ ）A ．{}1,3-B ．{}2,3-C ．{}1,2,3--D ．{}34．数列{a n }，满足对任意的n ∈N +，均有a n +a n +1+a n +2为定值.若a 7=2，a 9=3，a 98=4，则数列{a n }的前100项的和S 100=( ) A ．132B ．299C ．68D ．995．执行如图所示的程序框图，若输出的310S =，则①处应填写（ ）A ．3?k <B ．3?kC ．5?kD ．5?k <6．中国的国旗和国徽上都有五角星，正五角星与黄金分割有着密切的联系，在如图所示的正五角星中，以A 、B 、C 、D 、E 为顶点的多边形为正五边形，且512PT AP -=，则512AT ES --=（ ）A ．512QR + B ．512RQ + C ．512RD - D ．512RC - 7．如图所示，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1，线段B 1D 1上有两个动点E 、F 且EF =22，则下列结论中错误的是（ ）A ．AC ⊥BEB ．EF //平面ABCDC ．三棱锥A -BEF 的体积为定值D ．异面直线AE ,BF 所成的角为定值8．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高二丈，问：积几何?”其意思为：“今有底面为矩形的屋脊状的楔体，下底面宽3丈，长4丈，上棱长2丈，高2丈，问：它的体积是多少?”已知l 丈为10尺，该楔体的三视图如图所示，其中网格纸上小正方形边长为1，则该楔体的体积为（ ）A ．10000立方尺B ．11000立方尺C ．12000立方尺D ．13000立方尺9．已知椭圆2222:19x y C a a +=+，直线1:30l mx y m ++=与直线2:30l x my --=相交于点P ，且P 点在椭圆内恒成立，则椭圆C 的离心率取值范围为（ ）A ．20,2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭B ．22⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭C ．10,2⎛⎫⎪⎝⎭D ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭10．已知,αβ是空间中两个不同的平面，,m n 是空间中两条不同的直线，则下列说法正确的是（ ） A ．若,m n αβ⊂⊂，且αβ⊥，则 m n ⊥ B ．若,m n αα⊂⊂，且//,//m n ββ，则//αβ C ．若,//m n αβ⊥，且αβ⊥，则 m n ⊥ D ．若,//m n αβ⊥，且//αβ，则m n ⊥ 11．下列函数中，既是偶函数又在区间0,上单调递增的是（ ） A ．y x =B ．()sin f x x x =C ．()2f x x x =+ D ．1y x =+12．胡夫金字塔是底面为正方形的锥体，四个侧面都是相同的等腰三角形．研究发现，该金字塔底面周长除以2倍的塔高，恰好为祖冲之发现的密率355113≈π．设胡夫金字塔的高为h ，假如对胡夫金字塔进行亮化，沿其侧棱和底边布设单条灯带，则需要灯带的总长度约为 A ．24(4)h 2π+πB ．216(2h π+π+C ．2(8421)h π+π+D ．2(2216)h π+π+二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
江西省上饶市2022届高三一模数学(文)试题(含答案解析)
江西省上饶市2022届高三一模数学（文）试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合{}40M x x =-<，{}16,N x x x Z =<<∈，则M N =（ ）A ．{}2,3,4,5B ．{}4,5,6C ．{}4,5D ．{}52．已知复数22z i =-，z 是z 的共轭复数，则z z ⋅=（ ） A．B ．8C ．44i +D ．44i -3．已知0.76a =，20220.7b =，20211log 2022c =，则（ ） A ．a b c >>B ．a c b >>C ．c a b >>D ．b a c >>4．某学校对高三年级500名学生进行系统抽样，编号分别为001，002，…，500，若样本相邻的两个编号为031，056，则样本中编号最大的为（ ） A ．479B ．480C ．481D ．4825．22021x >是22022x >的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．已知实数x ，y 满足1022010x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪+-≥⎩，则23z x y =-的最小值为（ ）A ．3B ．-3C ．-6D ．-77．ABC 为直角三角形，60B ∠=︒，90A ∠=︒，则以A ，B 为焦点且过点C 的椭圆的离心率为（ ） AB ．12C1 D．28．设等比数列{}n a 满足1320a a +=，2410a a +=，则使123n a a a a ⋅⋅⋅⋅⋅最大的n 为（ ） A ．4B ．5C ．4或5D ．69．已知函数()cos2sin 22f x a x x a b =-+在0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上的图象如图所示，则a ，b 的值分别为（ ）A ．2a =，1b =B ．2a =，3b =C ．2a =-，5b =-D ．32a =-，2b =-10．已知菱形ABCD 中，满足8AB =，32AB AC ⋅=，若点G 在线段BD 上，则GA GB ⋅的最小值是( ) A ．12-B ．2C ．0D ．4-11．某几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球的表面积为（ ）A ．200πB ．100πC ．1252π D ．50π12．已知不等式()21xkx k e x +<+恰有2个整数解，求实数k 的取值范围（ ）A ．23243k e e ≤<B ．23243k e e<≤ C ．324354k e e<≤D ．324354k e e ≤< 二、填空题13．已知a ，b 均为正数且满足32a b +=，则13a b+，的最小值为___________.14．已知数列{}n a 是等差数列，53a =，则9S =___________.15．已知平面向量a ，b ，c 不共线且两两所成的角相等，2a b c ===，则a b c ++=___________.16．光线从椭圆的一个焦点发出，被椭圆反射后会经过椭圆的另一个焦点；光线从双曲线的一个焦点发出，被双曲线反射后的反射光线等效于从另一个焦点射出，如图①，一个光学装置由有公共焦点1F ､2F 的椭圆Γ与双曲线Ω构成，现一光线从左焦点1F 发出，依次经Ω与Γ反射，又回到了点1F ，历时3秒；若将装置中的Ω去掉，如图①，此光线从点1F 发出，经Γ两次反射后又回到了点1F ，历时t 秒；已知Γ与Ω的离心率之比为2：5，则t =___________.三、解答题17．电影《长津湖》让年轻人重新了解那一段历史，见证中国人民爱国团结､不畏强权的钢铁意志，自上映以来，已经打破了29项记录，现总票房已经有56.98亿，已经超越《战狼2》，成为中国电影历史排名的第1名.某校高三年级10个班共360人，其中男生240名，女生120名，现对学生观看《长津湖》情况进行问卷调查，各班观影男生人数记为A 组，各班观影女生人数记为B 组，得到如下茎叶图.(1)根据茎叶图完成22⨯列联表，并判断是否有99%的把握认为观看《长津湖》电影与性别有关：6 5 4 3 1 1 1 378 7 7 3 2 2 02 1 3(2)若从高三年级所有学生中按男女比例分层抽样选取6人参加座谈，并从参加座谈的学生中随机抽取2位同学赠送电影票，求抽取的2位同学均为男生的概率. 参考数据()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，n a b c d =+++18．已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .且)()sin sin sin b B a A c A B -=-+.(1)求A 的大小；(2)过点C 作CD BA ∥，在梯形ABCD 中，4BC =，CD =120ABC ∠=︒，求AD 的长.19．如图所示，在等腰梯形ABCD 中，//AB CD ，2BC CD ==，1CF =，120BCD ∠=，四边形ACFE 为矩形且满足AE ⊥平面ABCD .(1)证明：EF ⊥平面BCF ；(2)若M 是EF 的中点，求点C 到平面BFM 的距离.20．已知抛物线()2:20E x py p =>的焦点F 到准线的距离为2.(1)求抛物线E 的方程：(2)直线:1l y kx =+与抛物线E 交于A 、B 两点，若以AB 为直径的圆与6x =相切，求实数k 的值.21．已知函数()2ln 1f x x ax =++.(1)若1a =，求()f x 在()()1,1P f 处的切线方程； (2)当20e x <≤时，()()23ag x f x ax x=--+有最小值2，求a 的值. 22．在直角坐标系xOy 中，已知曲线1C 的参数方程为cos tan a x y ϕϕ⎧=⎪⎨⎪=⎩（ϕ为参数），0a >.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为cos a ρθ=. (1)求曲线1C 的普通方程和曲线2C 的直角坐标方程；(2)已知点M 为曲线1C 的右焦点，点P 在曲线2C 上，且直线PM 与曲线2C 相切，若1sin 2PMO ∠=，求实数a 的值. 23．已知函数()223f x x a x =--+，()2g x x =-. (1)当1a =时，解不等式()2f x ≥；(2)若()()f x g x ≤在[]0,1x ∈时有解，求实数a 的取值范围.参考答案：1．D 【解析】 【分析】求出集合M N 、再求交集即可. 【详解】集合{}4=>M x x ，{}{}|162,3,4,5=∈<<=N x Z x ， 则{}5⋂=M N . 故选：D. 2．B 【解析】 【分析】由已知可得22i z =+，根据复数的乘法公式计算即可得出结果. 【详解】22z i =-，∴22i z =+，()()222i 22i 44i 448z z ⋅=-+=-+∴==.故选：B 3．A 【解析】 【分析】根据对数函数、指数函数的单调性比较大小即可. 【详解】因为0.70661a =>=，202200.7100.7<<==b ，202120211log log 202202022==-<c ， 故a b c >>. 故选：A. 4．C 【解析】 【分析】由已知相邻两项的差得到组距，进而得到样本中的编号的一般表达式5625k +,根据5625500k +≤，求得整数k 的最大值，即可得到最大的编号.【详解】组距为563125-=，所以样本中的编号的一般表达式5625k +,Z k ∈, 且15625500k ≤+≤. 由5625500k +≤，解得191725k ≤,①max 17k =, 562517481+⨯=，故选：C 5．B 【解析】 【分析】利用两者之间的推出关系可得两者之间的条件关系. 【详解】若22022x >，因为20222021>，故22021x >， 故“22022x >”可以推出“22021x >”，取22021.5x =，则满足22021x >，但22022x >不成立， 所以 “22021x >”不能推出“22022x >”，所以“22021x >”是“22022x >”的必要不充分条件， 故选：B ． 6．C 【解析】 【分析】根据约束条件画出可行域，将目标函数写成斜截式，考察直线的截距与目标函数值z 的关系，平移目标函数对应的直线，根据几何意义可以得到何时目标函数值最小. 【详解】根据约束条件画出可行域如图所示中的阴影三角形及其内部，其中顶点A 的坐标由方程组10220x y x y -+=⎧⎨--=⎩解得，为()3,4A .目标函数23z x y =-可以化为2133y x z =-，纵截距13b z =-，平移直线2133y x z =-,使之经过A 时，直线2133y x z =-的纵截距最大， 即目标函数23z x y =-的函数值z 取得最小值， 将A 点坐标()3,4代入，得到23346min z =⨯-⨯=-， 故选：C.7．D 【解析】 【分析】根据直角三角形的性质，结合椭圆的定义、椭圆离心率公式进行求解即可. 【详解】因为90A ∠=︒，60B ∠=︒所以直角ABC 中，设AB k =，所以AC =,2BC k =， 因为椭圆是以A ，B 为焦点且过点C ，因此2,22AB c k BA BC a k ==+==，因此该椭圆的离心率为222c c e a a ==== 故选：D 8．C 【解析】 【分析】因为等比数列{}n a 满足1320a a +=，2410a a +=，所以116a =，公比12q =，求得通项公式即可得结果． 【详解】因为{}n a 为等比数列，1320a a +=，2410a a +=，所以1324101202a a a a q =++== 213111202016a a a a q a +=⇒+⋅=⇒=所以1512n nn a a q --=⋅=2921232n n n a a a a -⋅⋅⋅=，当n = 4或5时，292n n -取得最大值10，故123n a a a a ⋅⋅⋅的最大值为1021024=故选：C 9．C 【解析】 【分析】根据函数最小值与特殊值列方程讨论即可求解． 【详解】由()cos 2sin 222sin 226f x a x x a b a x a b π⎛⎫=-+=+-+ ⎪⎝⎭cos sin 2312f a a b a b πππ⎛⎫=-+=-+= ⎪⎝⎭，()0cos0sin 020f a a b a b =-+=-+<又因为()f x 的最小值为5-当0a <时有225a a b -+=-，得2a =-，5b =-；当0a >时有225a a b --+=-，得6a =，19b =，与0a b -+<不符， 故选：C 10．A 【解析】 【分析】由题意可知ABC 为等边三角形，以菱形ABCD 的对角线为轴建立坐标系，根据平面向量的坐标运算，将所求的数量积的最小值转化为求二次函数的最小值问题． 【详解】因为8AB =，cos 32AB AC AB AC BAC ⋅=⋅∠=，即8cos 32AC BAC ⨯∠=，①cos 4AC BAC ∠=，连接AC 交BD 于O ，则O 为AC ，BD 的中点，2AC AO =，所以2cos 4cos 2AO BAC AO BAO ⋅∠=⇒⋅∠=，① 又在Rt ABO 中，cos AO AB BAO =⋅∠，① 由①①可得，1cos 2BAO ∠=，所以60BAO ∠=︒，即ABC 为等边三角形， 以O 为坐标原点，BD ，AC 所在的直线为x 轴，y 轴建立平面直角坐标系，故()()0,4,A B -，设(),0G x ，故()(),4,43,0GA x GB x =-=，所以()()()(22,4,012GA GB x x x x x x ⋅=-⋅=-=-+=--，所以当x = GA GB ⋅有最小值为12-. 故选：A ． 11．D 【解析】 【分析】由三视图在长方体中找到对应的几何体，利用长方体的性质得到长方体的对角线，即为题中几何体外接球直径，再由球的面积公式求得表面积. 【详解】由三视图可得该几何体为如图的长方体中的四面体A 1BC 1D,四面体A 1BC 1D 与长方体的外接球是同一个球，长方体的外接球的直径即为长方体的对角线，2R d == 所以外接球的表面积为224ππ50πR d ==， 故选：D.12．A 【解析】 【分析】原不等式()21xkx k e x +<+等价于，1(2)e xx k x ++<，设g()(2)x k x =+，1()e x x f x +=，然后转化为函数的交点结合图象可求. 【详解】原不等式()21xkx k e x +<+等价于，1(2)e xx k x ++<， 设g()(2)x k x =+，1()e xx f x +=， 所以()0ex xf x -'==，得0x =. 当0x <时，()0f x '>，所以在(,0)-∞上单调递增， 当0x >时，()0f x '<，所以在(0,)+∞上单调递减， 又(1)0f -=，0x >时，()0f x >， 因此g()(2)x k x =+与1()e xx f x +=的图象如下， 当0k ≤时，显然不满足条件，当0k >时，只需要满足(1)(1)(2)(2)f g f g >⎧⎨≤⎩，即223e34e k k ⎧>⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩，解得2324e 3ek ≤<.故选：A 13．8 【解析】 【分析】巧用值的代换拼凑()1311332a b a b a b ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭，展开利用基本不等式即求得最小值.【详解】 因为32a b +=，故()(13113113133123101082222a b a b a b a b a b b a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+⨯=++=++≥+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 当且仅当33=a b b a时即12a b ==时等号成立，故最小值为8.故答案为：8. 14．27 【解析】 【分析】根据等差数列前n 项和公式和等差数列下标的性质可以直接求出9S 的值. 【详解】因为数列{}n a 是等差数列,所以195959()9(2)92722a a a S a ⋅+⋅====. 故答案为：27. 15．0 【解析】【分析】由向量的数量积的定义和向量的模的计算公式可得答案. 【详解】解：由题意三个平面向量a ，b ，c 两两所成的角相等，可得任意两向量的夹角是120︒， 又同2a b c ===2||||444222a b c a b c a b a c c b ∴++=++=+++⋅+⋅+⋅ 2()a b a c c b =⋅+⋅+⋅cos12022cos12022cos120)12120=+⨯⨯+⨯⨯=-=，故答案为：0. 16．10 【解析】 【分析】根据椭圆和双曲线的定义推得1ABF 和1CF D 的周长，然后根据时间速度以及路程之间的关系列出等式，即可解得答案. 【详解】设12||2F F c = ，设椭圆的长轴长为12a ，双曲线的实轴长为22a ，光速为ν ， 而Γ与Ω的离心率之比为2：5，即1225ca c a = ，即2125a a = ，在图①中，121212||||2,||||2BF BF a AF AF a +=-= ， 两式相减得：122112||||||||22BF BF AF AF a a +-+=-， 即1112||||||22BF AB AF a a ++=-.即1ABF 的周长为1222a a -， 在图①中，1CF D 的周长为12121||||||||4CF CF DF DF a +++=, 由题意可知：121322,4a a t a νν=-= ， 则1212233410a a t a -== ，故10t = （秒），故答案为：10.17．(1)列联表答案见解析，没有99%的把握认为观看该影片与性别有关 (2)25【解析】 【分析】（1）根据茎叶图分类列出列联表，并利用给出公示计算2K 的值，与相应临界值比较，看是否超过临界值，进而做出判断；（2）设选出的2个女生为A ，B ，选出的4个男生为a ，b ，c ，d ，利用列举法计数，根据古典概型求得概率. (1)解：列联表如图()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++2360(2202010020)45 5.625 6.635240*********⨯⨯-⨯===<⨯⨯⨯所以没有99%的把握认为观看该影片与性别有关. (2)解：选出的女生人数为12062360⨯=，选出的男生人数为24064360⨯=. 设选出的2个女生为A ，B ，选出的4个男生为a ，b ，c ，d ，共有(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,)A B A a A b A c A d B a B b B c (,),(,),(,),(,),(,),(,),(,)B d a b a c a d b c b d c d 15种情况，记抽取的2位同学均为男生为事件M ，其中2位同学均为男生的有6种， 所以62()155P M ==. 18．(1)45︒【解析】 【分析】（1）由正弦定理化简可得22)b a c c -=-，利用余弦定理计算即可得出结果.（2）在BCD △中，由正弦定理求得AC =ACD △中，由余弦定理2222cos AD AC CD AC CD ACD =+-⋅∠计算即可求得结果.(1)由正弦定理可得：22)b a c c -=-，即222b c a +-，所以222cos 2b c a A bc +-==0180A <<,所以45A =︒. (2)在BCD △中，由正弦定理得sin sin BC ACBAC ABC=∠∠，因为445,120BC BAC ABC =∠=︒∠=︒，，所以AC =在ACD △中，由余弦定理可得，222222cos 2cos 4515AD AC CD AC CD ACD =+-⋅∠=+-⨯︒=所以AD =19．(1)证明见解析；. 【解析】 【分析】（1）证明出AC ⊥平面BCF ，结合//EF AC 可证得结论成立；（2）计算出BCF △、BFM 的面积，可知点F 到平面CBF的距离为MF =积法可求得点C 到平面BFM 的距离. (1)证明：在等腰梯形ABCD 中，2BC CD ==，120BCD ∠=，则120ADC ∠=，2AD =， 由余弦定理可得2222cos12012AC AD CD AD CD =+-⋅=，且30CAD ACD ∠=∠=， 所以，90ACB BCD ACD ∠=∠-∠=，即AC BC ⊥， 因为四边形ACFE 为矩形，则//AE CF ，AE 平面ABCD ，则CF ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，则AC CF ⊥，因为CFBC C =，AC ∴⊥平面BCF ，因为//AC EF ，因此，EF ⊥平面BCF . (2)解：EF ⊥平面BCF ，BF ⊂平面BCF ，则EF BF ⊥，CF ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，则CF BC ⊥，所以，BF1122MF EF AC ===1122BFM S MF BF ∴=⋅⋅=△，1121122BCF S BC CF =⋅⋅=⨯⨯=△， 点M 到面BCF的距离为MF =，设点C 到平面BFM 的距离为h ， 所以M BCF C BFM V V --=，即1133BCF BFM S MF S h ⋅⋅=⋅⋅△△，则BCF BFM S MF h S ⋅==△△ 20．(1)24x y =； (2)2k =-或1. 【解析】 【分析】（1）由已知条件求出p 的值，可得出抛物线E 的方程；（2）设点()11,A x y 、()22,B x y ，将直线l 的方程与抛物线E 的方程联立，列出韦达定理，求出线段AB 的中点坐标以及AB ，根据已知条件可得出关于k 的方程，求解即可. (1)解：因为抛物线的焦点到准线的距离为2，所以2p =，所以抛物线E 的方程为24x y =.(2)解：设()11,A x y 、()22,B x y ，联立214y kx x y=+⎧⎨=⎩，整理得2440x kx --=，216160k ∆=+>，由韦达定理可得124x x k +=，124x x =-，所以244AB k ==+.设线段AB 的中点为M ，则()22,21Mk k +.又因为以AB 为直径的圆与6x =相切，则244622k k +-=，即231k k -=+，当30k -≥时，220k k +-=，解得2k =-或1， 当30k -<时，240k k -+=，无解. 所以2k =-或1. 21．(1)310x y --=； (2)22e a =. 【解析】 【分析】（1）求出()1f 、()1f '的值，利用导数的几何意义可求得所求切线的方程； （2）求得()2x ag x x-'=，分0a ≤、2e a ≥、20e a <<三种情况讨论，利用导数分析函数()g x 在区间(20,e ⎤⎦上的单调性，结合()min 2g x =可求得实数a 的值.(1)解：当1a =时，()2ln 1f x x x =++，可得()12f x x x'=+，则()13f '=，()12f =， 所以切线斜率为3，且切点为()1,2，故所求切线方程为()231y x -=-，即310x y --=. (2)解：()()23ln 2a ag x f x ax x x x =--+=+-，其中20e x <≤，则()221a x a g x x x x-'=-=. 若0a ≤，则()0g x '>，()g x 在(20,e ⎤⎦上单调递增，函数()g x 无最小值，不符合题意；若0a >，当()0g x '>时，x a >，当()0g x '<时，0x a <<.①2e a ≥，对任意的(20,e x ⎤∈⎦，()0g x '≥，函数()g x 在(20,e ⎤⎦上单调递减，则()()2222min e ln e 22e ea a g x g ==+-==，解得22e a =，合乎题意； ①20e a <<，函数()g x 在(]0,a 单调递减，在(2,e a ⎤⎦上单调递增，所以()()min ln 22ag x g a a a==+-=，解得3e a =，不合题意. 综上所述，存在22e a =符合题意. 22．(1)2221x y a-=，220x ax y -+=(2)a =【解析】 【分析】小问1：根据三角消参求得1C 的普通方程，由cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩求得2C 的直角坐标方程；小问2：设圆心为Q ，依题意得QM a =，根据双曲线性质可得QM OM OQ =-，即可求解实数a 的值． (1)因为2222222222211sin tan tan =1cos cos cos x a y a a ϕϕϕϕϕϕ--=-=-=， 所以曲线1C 的普通方程2221x y a-=， 又因为2cos a ρρθ=，即2cos 0a ρρθ-=， 所以曲线2C 的直角坐标方程220x ax y -+=； (2)由（1）得，曲线2C 为圆，假设圆心为Q ，因为直线PM 与曲线2C 相切， 所以1sin 2PQ PMO QM ∠==，又因为2aPQ =，所以QM a =.由（1）得，曲线2C 为双曲线，所以OM 2a QM OM OQ =-=，则2a QM a ==，解得a =．23．(1){|1}x x ≤- (2)[5,8]- 【解析】 【分析】（1）先对函数化简，然后分32x <-和3122x -≤<两种情况解不等式即可，（2）由题意可得535x a x -≤≤+在[]0,1x ∈有解，从而可求出实数a 的取值范围 (1)当1a =时，34,231()212342,2214,2x f x x x x x x ⎧<-⎪⎪⎪=--+=---≤<⎨⎪⎪-≥⎪⎩，当32x <-时，()2f x ≥恒成立，当3122x -≤<时，由422x --≥，得312x -≤≤-， 综上，1x ≤-所以不等式()2f x ≥的解集为{|1}x x ≤-. (2)()()f x g x ≤，即2232x a x x --+≤-，又因为[]0,1x ∈，则2232x a x x ---≤-， 整理得25x a x -≤+，则525x x a x --≤-≤+， 即535x a x -≤≤+在[]0,1x ∈有解，则58a -≤≤所以实数a的取值范围为[5,8]试卷第15页，共15页。
江西省上饶市横峰中学、铅山一中、余干一中2021届高三上学期第一次联考文科数学试题
【校级联考】江西省上饶市横峰中学、铅山一中、余干一中2019届高三上学期第一次联考文科数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．设复数z 满足26z z i +=+（i 是虚数单位），则复数z 在复平面内所对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 2．已知全集U =R ，1218x N x⎧⎫=<<⎨⎬⎩⎭，(){}ln 1M x y x ==--，则图中阴影部分表示的集合是A ．(3,1)--B ．()3,0-C ．[)1,0-D ．(),3-∞- 3．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，点10081010(,)a a 在直线20x y +-=上，则2017S =（ ）A ．4034B ．2017C ．1008D ．1010 4．随机抛掷一枚质地均匀的骰子，记正面向上的点数为a ，则函数f(x)=x 2+2ax +2有两个不同零点的概率为( )A ．13B ．12C ．23D ．56 5．设123log 2,ln 2,5a b c -===则A ．a b c <<B ．b c a <<C ．c a b <<D ．c b a << 6．已知平面向量,a b 的夹角为3π ，且11,2a b == ，则2a b -= （ ）A ．1BC ．2D ．327．如图给出的是计算1111352017++++的值的一个程序框图，则判断框内应填入的条件是（ ）A ．1009i ≤B ．1009i >C ．1010i ≤D ．1010i > 8．如图，网格纸上小正方形的边长为2，粗实线及粗虚线画出的是某四棱锥的三视图，则该四棱锥的最长棱长为( )A ．B ．4C ．6D ．9．若实数x ，y 满足不等式组{x +y −1≥0 x −y +1≥0 2x +y −4≤0 ，则目标函数z =y−54−x 的最大值是( )A ．−1B ．−54C ．54D ．−14 10．已知()sin 2019cos 201963f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最大值为A ，若存在实数1x 、2x ，使得对任意实数x 总有()()12()f x f x f x ≤≤成立，则12A x x -的最小值为（ ） A ．2019π B ．42019π C ．22019π D ．4038π 11．过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点F 且平行于其一条渐近线的直线l 与另一条渐近线交于点A ，直线l 与双曲线交于点B ，且2BF AB ＝，则双曲线的离心率为（ ）A B C D ．212．在正方体1111ABCD A B C D -中，，面1A DB 与面11A DC 的重心分别为E 、F ，求正方体外接球被EF 所在直线截的弦长为( )ABCD二、填空题13．若a ，b 为正实数，且a +b =1，则12a +2b 的最小值为______14．（2017新课标全国II 理科）等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，33a =，410S =，则11n k kS ==∑____________． 15．已知AB 为圆O ：221x y +=的直径，点P 为椭圆22143x y +=上一动点，则PA PB ⋅的最小值为______．16．已知函数()3484x x f x x x e e=-+-+，其中e 是自然对数的底数.若()()2120f a f a -+≤，则实数a 的取值范围是______．三、解答题17．已知等差数列{}n a 中，235220a a a ++=，且前10项和10100S =．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若11n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 18．为了政府对过热的房地产市场进行调控决策，统计部门对城市人和农村人进行了买房的心理预期调研，用简单随机抽样的方法抽取110人进行统计，得到如下列联表：已知样本中城市人数与农村人数之比是3：8．()1分别求样本中城市人中的不买房人数和农村人中的纠结人数；()2用独立性检验的思想方法说明在这三种买房的心理预期中哪一种与城乡有关？参考公式：()()()22()n ad bc K a b c d b d -=+++．19．在正三棱柱111ABC A B C -中，底面边长为2，侧棱长为3，D 、E 分别为AB 、BC 的中点，F 为1CC 的三等分点，靠近点1C ．()1求证//DE 面111A B C ；()2求1A DEF V -．20．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的短轴长为． （1）求椭圆C 的方程；（2）已知A 为椭圆C 的上顶点，点M 为x 轴正半轴上一点，过点A 作AM 的垂线AN 与椭圆C 交于另一点N ，若60AMN ∠=︒，求点M 的坐标．21．已知函数()()21ln 112f x a x x a x =++++． ()1当1a =-时，求函数()f x 的单调增区间；()2若函数()f x 在()0,+∞上是增函数，求实数a 的取值范围；()3若0a >，且对任意1x ，()20,x ∈+∞，12x x ≠，都有()()12122f x f x x x ->-，求实数a 的最小值．22．（选修4-4：坐标系与参数方程） 平面直角坐标系中，直线1的参数方程是x t y =⎧⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为2222cos sin 2sin 30ρθρθρθ+--=（1）求直线l 的极坐标方程；（2）若直线l 与曲线C 相交于A B 、两点，求AB .23．已知函数f(x)=|x|−|x +3|．(1)解不等式f(x −2)+x >0；(2)若关于x 的不等式f(x)≤a 2−2a 在R 上的解集为R ，求实数a 的取值范围．参考答案1．D【解析】【分析】设(),z a bi a b R =+∈，代入26z z i +=+，得()26a bi a bi i ++-=+，由复数相等的条件列式求得a ，b 的值，则答案可求．【详解】解：设(),z a bi a b R =+∈， 由26z z i +=+，得()26a bi a bi i ++-=+，即36a bi i -=+，{361a b =∴-=，解得2a =，1b =-．∴复数z 在复平面内所对应的点的坐标为()2,1-，位于第四象限．故选D ．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题． 2．C【分析】阴影部分用集合表示为U N C M ⋂，只要求出M 、N 进行集合的运算即可．【详解】解：图中阴影部分表示的集合U N C M ⋂， 由1{|21}{|30}8x N x x x =<<=-<<，(){|ln 1{|1},M x y x x x ==--=<- 则{|1}U C M x x =≥-，则{|10}U N C M x x ⋂=-≤<．故选C ．【点睛】正确理解集合M 、N 所表达的含义，以及正确理解韦恩图所表达的集合是解决本题的关键．【解析】点()10081010,a a 在直线20x y +-=上，所以100810102a a +=.()()1201710081010201720172017220172017222a a a a S +⨯+⨯⨯====. 故选B.4．D 【解析】【分析】抛掷一枚质地均匀的骰子包含6个基本事件，由函数f(x)=x 2+2ax +2有两个不同零点，得a 的取值有2，3，4，5，6，共5种结果，由此能求出函数f(x)=x 2+2ax +2有两个不同零点的概率．【详解】解：抛掷一枚质地均匀的骰子包含6个基本事件，由函数f(x)=x 2+2ax +2有两个不同零点，得△=4a 2−8>0，解得a <−√2或a >√2．又a 为正整数，故a 的取值有2，3，4，5，6，共5种结果，所以函数f(x)=x 2+2ax +2有两个不同零点的概率为56．故选：D ．【点睛】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用． 5．C【分析】由ln 2ln 2ln 3a b =<=及311log ,22a c >==<=可比较大小. 【详解】∵2031a ln ln =＞，＞，∴ln 2ln 2ln 3a b =<=，即a b <．又3311log 2log ,22a c =>==<=．∴a c >．综上可知：c ab <<【点睛】本题主要考查了指数与对数的运算性质及对数函数的单调性比较大小，属于中档题. 6．A【解析】分析：结合题意设出,a b 的坐标，求出2a b -的坐标，从而求出2a b -的模即可． 详解：平面向量,a b 的夹角为3π，且11,2a b ==，不妨设a =（1，0），b =（14，4），则2a b -=（12，﹣2）， 故| 2a b - |=1，故选A ．点睛：这个题目考查了向量的点积运算和模长的求法；对于向量的题目一般是以小题的形式出现，常见的解题思路为：向量基底化，用已知长度和夹角的向量表示要求的向量，或者建系实现向量坐标化，或者应用数形结合.7．A【解析】由算法流程图所提供的算法程序可知：当1009i =时，2100912017i =⨯-=，运算程序结束，所以当1009i >时运算程序不再继续，故应填1009i ≤，应选答案A ．8．C【解析】【分析】根据三视图得出空间几何体是镶嵌在正方体中的四棱锥O ABCD -，正方体的棱长为2，A ，D 为棱的中点，即可得出结论．【详解】由三视图解：根据三视图得出：该几何体是镶嵌在正方体中的四棱锥O ABCD -，正方体的棱长为4，A ，D 为棱的中点，根据几何体可以判断：该四棱锥的最长棱为AO ，6AO ==．故选C ．【点睛】本题考查由三视图求棱长，关键是由三视图还原原几何体，是中档题．9．A【解析】【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数z 的几何意义为动点M(x,y)到定点P(4,5)的斜率的相反数，利用数形结合即可得到z 的最大值．【详解】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由目标函数z =y−54−x ，得目标函数的几何意义是，可行域内的点与P(4,5)连线的斜率的相反数，可知PA 连线的斜率是最小值，则z 是最大值，由{x −y +1=0x+y−1=0 ，解得A(0,1)，此时z 的最大值为z =1−54−0=−1． 故选：A ． 【点睛】本题主要考查线性规划的应用以及两点之间的斜率公式的计算，利用z 的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键． 10．C 【分析】先化简()2sin 20193f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，得2A =，根据题意即求半个周期的A 倍． 【详解】解：依题意()sin2019coscos2019sincos2019cossin2019sin6633f x x x x x ππππ=+++cos2019x x =+,2sin 20196x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，2A ∴=，22019T π=， 12||22019min T x x π∴-==，12A x x ∴-的最小值为22019π，故选C ． 【点睛】本题考查了正弦型三角函数的图像与性质，考查三角函数恒等变换，属中档题． 11．C 【分析】利用几何法先分析出A B 、的坐标，B 代入方程即可． 【详解】由图像，利用几何关系解得A ,22c bc a ⎛⎫⎪⎝⎭，因为2BF AB =，利用向量的坐标解得2B ,33c bc a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，点B在双曲线上，故222222331e 3e c bc a a b⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-=⇒=⇒= 故答案为C. 【点睛】利用几何中的线量关系，建立a,b,c 的关系式，求离心率，不要盲目的列方程式算． 12．D 【分析】由题意画出图形，建立空间直角坐标系，求出球心O 到EF 中点的距离，再求出多面体外接球的半径，由勾股定理求解． 【详解】解：如下图所示，以点D 为坐标原点，DA 、DC 、1DD 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系D xyz -，则A 0，0)，1A 、)B、(1C 、(0,D 0，0)、E ⎝⎭、F ⎝⎭、O ⎝⎭，6,666OE ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭，33EF ⎛=- ⎝⎭，∴点O 到直线EF 的距离2||()3OE d OE EF=-=，而球O 的半径为2R ==，因此，正方体外接球被EF 所在直线截的弦长为：==故选D ． 【点睛】本题考查多面体及其外接球的关系，考查空间想象能力与思维能力，考查计算能力，是中档题． 13．92 【解析】 【分析】由已知可得，12a +2b =(a +b)(12a +2b )，利用基本不等式即可求解 【详解】解：∵a +b =1，且a >0，b >0， 则12a +2b =(a +b)(12a +2b )=52+b2a +2a b≥52+2=92，当且仅当b 2a =2ab且a +b =1，即a =13，b =23时取得最小值92 故答案为：92 【点睛】本题主要考查了利用基本不等式求解最值，解题关键是对应用条件的配凑，1的代换是求解条件配凑的关键 14．21n n + 【解析】设等差数列的首项为1a ，公差为d ，由题意有1123434102a d a d +=⎧⎪⎨⨯+=⎪⎩，解得111a d =⎧⎨=⎩ ， 数列的前n 项和()()()111111222n n n n n n n S na d n --+=+=⨯+⨯=， 裂项可得12112()(1)1k S k k k k ==-++， 所以1111111122[(1)()()]2(1)223111nk knS n n n n ==-+-++-=-=+++∑． 点睛:等差数列的通项公式及前n 项和公式，共涉及五个量a 1，a n ，d ，n ，S n ，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想解决问题．数列的通项公式和前n 项和公式在解题中起到变量代换作用，而a 1和d 是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用得方法．使用裂项法求和时，要注意正、负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点． 15．2 【解析】 【分析】方法一：通过对称性取特殊位置，设出P 的坐标，利用向量的数量积转化求解最小值即可． 方法二：利用向量的数量积，转化为向量的和与差的平方，通过圆的特殊性，转化求解即可． 【详解】解：方法一：依据对称性，不妨设直径AB 在x 轴上，(2cos P x )x ，()1,0A -，()1,0B ．从而(2cos PA PB ⋅= 1)(2cos x - 221)3sin 2cos 2x x x ++=+≥．故答案为2．方法二：22222()()441||144PA PB PA PB PO PA PB PO PO +---⋅===-=-，而||min PO 2． 故答案为2． 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系、椭圆方程的几何性质.考查转化思想以及计算能力． 16．][1,1,2⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭【分析】根据函数的奇偶性以及函数的单调性得到关于a 的不等式，解出即可． 【详解】解：因为()()33484484xx xx f x x x ee x x ef x e--=--+=--+=-， 所以函数()f x 是奇函数， 又因为()24'384xxf x x e e =-+--22438438x x x e x e ⎛⎫=-+-+≤-+- ⎪⎝⎭230x =-≤，所以()f x 在R 上单调递减， 又()()2120f a f a -+≤，即()()()2211f af a f a ≤--=-，即221a a ≥-，解得1a ≤-或12a ≥， 故a 的取值范围是][1,1,2⎛⎫-∞-⋃+∞⎪⎝⎭，故答案为][1,1,2⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭． 【点睛】本题考查了函数的单调性，奇偶性问题，考查转化思想，是一道中档题． 17．(1)a n ＝2n －1(2)T n ＝21nn + 【分析】(1)本题首先可以对235220a a a ++=化简得到14820a d +=，再对10100S =化简得到11045100a d +=，最后两式联立，解出1d a 、的值，得出结果；(2)可通过裂项相消法化简求出结果． 【详解】(1)由已知得235111248201091010451002a a a a d a d a d ++=+=⎧⎪⎨⨯+=+=⎪⎩， 解得11d 2a ==，，所以{}n a 的通项公式为()12121n a n n =+-=-， (2)()()1111212122121n b n n n n ⎛⎫==- ⎪-⋅+-+⎝⎭，所以数列{}n b 的前n 项和11111112335212121n nT n n n ⎛⎫=-+-++-= ⎪-++⎝⎭． 【点睛】裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：(1)()1111n n k k n n k ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭；（2） 1k=； （3）()()1111212122121n n n n ⎛⎫=- ⎪-+-+⎝⎭；（4）()()()()()1111122112n n n n n n n ⎡⎤=-⎢⎥+++++⎢⎥⎣⎦；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误．18．（1）样本中城市人中的不买房人数为10人，农村人中的纠结人数为50人；（2）有97.5%的把握认为不买房与城乡有关. 【分析】()1设城市人中的不买房人数为x ，农村人中的纠结人数为y ，根据题意列出方程组求解即可；()2设三种心理障碍都与性别无关，由()1得到列联表，对于上述三种心理障碍分别构造三个随机变量21K ，22K ，23K ；由表中数据计算21K 、22K 和23K 的值，对照数表得出结论． 【详解】解：()1设城市人中的不买房人数为x ，农村人中的纠结人数为y ，则()()2033082030110x y x y +⎧=⎪+⎨⎪+++=⎩，解得{1050x y ==；∴样本中城市人中的不买房人数为10人，农村人中的纠结人数为50人；()2设三种心理障碍都与性别无关，由()1得到列联表如下；对于上述三种心理障碍分别构造三个随机变量21K ，22K ，23K ；由表中数据可得221110(5602520)0.853 2.70630802585K ⨯⨯-⨯=≈<⨯⨯⨯；222110(10702010) 6.366 5.024********K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯；223110(15301550) 1.410 2.70630806545K ⨯⨯-⨯=≈<⨯⨯⨯；所以，没有充分的证明显示买房与城乡有关， 有97.5%的把握认为不买房与城乡有关， 没有充分的证明显示纠结与城乡有关． 【点睛】本题考查了数学模型与独立性检验的应用问题，是中档题．19．（1）详见解析（2【分析】()1推导出底面//ABC 底面111A B C ，由此能证明//DE 面111A B C ．()2以A 为原点，AC 为y 轴，1AA 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出1A DEF V -． 【详解】 证明：()1正三棱柱111ABC A B C -中，底面//ABC 底面111A B C ，D 、E 分别为AB 、BC 的中点，DE ∴⊂底面ABC ，//DE ∴面111A B C ．解：()2以A 为原点，AC 为y 轴，1AA 为z 轴，建立空间直角坐标系，1(0,A 0，3)，1,02D ⎫⎪⎪⎝⎭，3,02E ⎫⎪⎪⎝⎭，(0,F 2，2)，11,32DA ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，(0,DE =1，0)，3,22DF ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，设平面DEF 的法向量(,n x =y ，)z ，则033202n DE y n DF x y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=-++=⎪⎩，取4x =，得(4,n =0， ∴点1A 到平面DEF 的距离1319DA n d n⋅==32cos ,7DE DF DE DF DE DF⋅===⋅,sin ,114DE DF ∴==，1sin,2DEFS DE DF DEDF ∴=⨯⨯⨯, 1121428=⨯=， 111332812A DEF DEFV Sd -=⨯⨯=⨯=． 【点睛】本题考查线面平行的证明，考查三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．20．(1) 22162x y +=.(2) ,0)3. 【解析】分析：（1）由题意可得关于,,a b c 的方程组，解得,,a b c 后可得椭圆的方程．（2）设(),0M m （0m >）,由题意得AM k m=-，从而AN k =，故得直线AN的方程为y x =21232N mx m -=+，故21232m AN m =+．在直角AMN ∆中，由AN =，解得m =点M的坐标为⎫⎪⎪⎝⎭．详解：（1）因为椭圆C的短轴长为，所以2222,3b c a a b c ⎧=⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩解得2a b c ⎧=⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩所以椭圆C 的方程为22162x y +=．（2）因为A 为椭圆C的上顶点，所以(A ． 设(),0M m （0m >），则AM k m=-. 又AM AN ⊥，所以AN k =，所以直线AN的方程为y x=+由22162y xx y⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩消去y整理得()2223120m x mx++=，所以21232Nmxm-=+，所以21232N AmAN xm=-=+，在直角AMN∆中，由60AMN∠=︒，得AN=，21232mm=+解得3m=.所以点M的坐标为⎫⎪⎪⎝⎭．点睛：本题主要考查待定系数法的应用，特别是在求点M的坐标的过程中更是体现了这一点．另外在解答解析几何问题中，要注意平面几何图形性质的运用，利用图形中的位置关系和数量关系将问题转化为代数计算的问题处理．21．（1）()1,+∞（2）[)0,+∞（3）3-【分析】()1把1a=-代入函数解析式，求其导函数，由导函数大于0求函数()f x的单调增区间；()2求原函数的导函数()()()()211'1x a x a x x aaf x x ax x x+++++=+++==，由函数()f x在()0,+∞上是增函数，说明其导函数在()0,+∞上大于等于0恒成立，在导函数中x 与()1x+恒大于0，只需0x a+≥对()0,x∈+∞恒成立，则a可求；()3由()2知，当0a>时()f x在()0,+∞上是增函数，任取1x，()20,x∈+∞，且规定12x x>，则不等式()()12122f x f x x x->-可转化为()()112222f x x f x x->-恒成立，引入函数()()2g x f x x =-，说明该函数为增函数，则其导函数在()0,+∞上大于等于0恒成立，分离变量后利用基本不等式可求a 的最小值．【详解】解：()1当1a =-时，()21ln 12f x x x =-++． 则()1'.f x x x=-+ 令()'0f x >，得10x x -+>，即210x x->，解得：0x <或1x >． 因为函数的定义域为{}0x x ，所以函数()f x 的单调增区间为()1,+∞． ()2由函数()()21ln 112f x a x x a x =++++． 因为函数()f x 在()0,+∞上是增函数，所以()()()()211'10x a x a x x a a f x x a x x x+++++=+++==≥对()0,x ∈+∞恒成立. 即0x a +≥对()0,x ∈+∞恒成立．所以0.a ≥即实数a 的取值范围是[)0,+∞． ()3因为0a >，由()2知函数()f x 在()0,+∞上是增函数．因为1x ，()20,x ∈+∞，12x x ≠，不妨设12x x >，所以()()12.f x f x >由()()12122f x f x x x ->-恒成立，可得()()()12122f x f x x x ->-，即()()112222f x x f x x ->-恒成立．令()()()212ln 1122g x f x x a x x a x x =-=++++-，则()g x 在()0,+∞上应是增函数. 所以()()()21'120x a x a a g x x a x x +-+=+++-=≥对()0,x ∈+∞恒成立． 即()210x a x a +-+≥对()0,x ∈+∞恒成立．即21x x a x -≥-+对()0,x ∈+∞恒成立因为2213311x x x x x -⎛⎫-=-++-≤- ⎪++⎝⎭当且仅当211x x +=+即1x =时取等号)，所以3a ≥-所以实数a 的最小值为3-．【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性，考查了数学转化思想，训练了分离变量法和利用基本不等式求函数的最值.此题是有一定难度的题目．22．(Ⅰ)()3R πθρ=∈；(Ⅱ【详解】分析：（1）利用消参得到直线l 的普通方程，利用极坐标公式得到曲线C 的直角坐标方程.（2）利用解三角形求弦长|AB|.详解：（1）直线l 的普通方程为y =； cos xsin y ρθρθ=⎧⎨=⎩，sin cos ρθθ∴= 故直线l 的极坐标方程为()3R πθρ=∈，（2）曲线C 的直角坐标方程为22230x y y +--=；即曲线:C ()2214x y +-=圆心()0,1到直线y =的距离12d ==； 圆的半径2r； 2221154244AB r d ⎛⎫∴=-=-= ⎪⎝⎭，∴ AB =点睛：本题主要考查参数方程、极坐标和直角坐标的互化，考查圆的弦长的计算，属于基础题.23．（1）{x|−3<x<1，或x>3}（2）a≤−1或a≥3【解析】【分析】(1)不等式f(x−2)+x>0可化为|x−2|+x>|x+1|，利用零点分段法，可得答案；(2)利用绝对值三角形不等式求出函数f(x)的最大值，进而构造关于a的不等式，解得答案．【详解】解：(1)不等式f(x−2)+x>0可化为|x−2|+x>|x+1|．当x<−1时，−(x−2)+x>−(x+1)，解得x>−3，即−3<x<−1；当−1≤x≤2时，−(x−2)+x>x+1，解得x<1，即−1≤x<1；当x>2时，x−2+x>x+1，解得x>3，即x>3，综上所述，不等式f(x−2)+x>0的解集为{x|−3<x<1，或x>3}.(2)由不等式f(x)≤a2−2a可得|x|−|x+3|≤a2−2a，∵|x|−|x+3|≤|x−(x+3)|=3，∴a2−2a≥3，即a2−2a−3≥0，解得a≤−1或a≥3，故实数a的取值范围是a≤−1或a≥3.【点睛】本题考查的知识点是绝对值不等式的解法，绝对值三角不等式，难度中档．。
2021届江西省上饶市普通高中高三年级上学期第一次高考模拟(期末)考试数学(理)试题
棱锥的外接球的表面积为（▲）
A． 21π
11．已知圆 挨
B． 6π
C． 24π
D．15
，直线 l : y kx 2 ，若直线 l 上存在点 P ，过点 P 引圆 C 的两条
切线 l1, l2 ,使得 l1 l2 ，则实数 k 的取值范围是（▲）
A．[ 2 3 , 2 3 ] B． 0, 2 3 2 3, C． , 0 D．0， ）
答。第22题-第23题为选考题，考生根据要求作答。
二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．请把答案填在答题卡上）．
13．
x
2 x3
4
的展开式的常数项是▲（用数字作答）．
x 2y 2,
14．已知实数 x, y 满足约束条件 x y 2, ，则 z x 2 y 的最小值为▲.
12．已知函数 f (x) aex x(ln a x ln x) ，若不等式 f (x) x 在 x (0,) 上恒成立，则实数
a 的取值范围是（▲）
A． 1,
B．
2 e
,
C．
1 e
,
D．
1 e2
,
第Ⅱ卷（非选择题）
本卷包括必考题和选考题两个部分。第13题-第21题为必考题，每个考生都必须作
7．函数 f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω＞0，|φ|＜ π )的图象如图所示，为了得到 g(x)＝sin(3x－ π )的图象，只
2
4
需将 f(x)的图象（▲）
A．向左平移 π 个单位长度 6
B．向右平移 π 个单位长度 6
C．向左平移 π 个单位长度 2
D．向右平移 π 个单位长度 2
8．点 P 是边长为 2 的正 ABC 的边 BC 上一点，且 CP 1 CB ，则 AP AB AC （▲） 3
2021届江西省上饶市高三第一次高考模拟考试数学(理)试卷解析
绝密★启用前2021届江西省上饶市高三第一次高考模拟考试数学（理）试题注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上一、单选题1．设{}13A x x =≤≤，(){}2log 10B x x =->，则A B =（）A ．(),2-∞B ．[)1,2C ．1,2D ．(]2,3答案：D解对数不等式化简集合B ，再求交集.由()()22log 10log 1log 1112x x x x ->⇒->⇒->⇒> ∴(]2,3AB =故选：D 2．设复数312iz i-=+，则复数z 的虚部是（） A ．75i B ．75C ．75i -D ．75-答案：D由复数的四则运算求出z ，从而得出虚部.()()()()31233627112121255i i i i i z i i i i -----+====-++-∴z 的虚部为75- 故选：D3．若a b >，则下列不等式正确的是（） A ．n 0()l a b -> B ．33a b <C ．33a b >D ．a b >答案：C举出反例可判断A 、D ，由指数函数的单调性可判断B ，由幂函数的单调性可判断C ， 对于A ，当2a =， 1.5b =时，满足a b >，()ln ln0.50a b -=<，故A 不成立； 对于B ，由a b >可得33a b >，故B 不成立；对于C ，由a b >可得33a b >，故C 成立；对于D ，当1a =-，2b =-时，满足a b >，但a b <，故D 不成立. 故选：C.4．已知F 为抛物线2:4C y x =的焦点，过点F 的直线l 交抛物线C 于A ，B 两点，若6AB =，则线段AB 的中点M 到抛物线C 的准线的距离为（） A ．3 B ．4C ．5D ．6答案：A分别过A ，M ，B 作准线的垂线，垂足分别为1A ，1M ，1B ，再由抛物线的定义结合梯形的性质得出M 到抛物线C 的准线的距离.分别过A ，M ，B 作准线的垂线，垂足分别为1A ，1M ，1B则111322AA BB AB MM +===故选：A5．埃及金字塔是古埃及的帝王（法老）陵墓，世界七大奇迹之一，其中较为著名的是胡夫金字塔.令人吃惊的并不仅仅是胡夫金字塔的雄壮身姿，还有发生在胡夫金字塔上的数字“巧合”.如胡夫金字塔的底部周长如果除以其高度的两倍，得到的商为3.14159，这就是圆周率较为精确的近似值，胡夫金字塔底部形为正方形，整个塔形为正四棱锥，经古代能工巧匠建设完成后，底座边长大约230米.因年久风化，胡夫金字塔现高约为136.5米，则与建成时比较顶端约剥落了（） A ．8米 B ．10米C ．12米D ．14米答案：B由题设条件求出建成时的高度h ，从而得出答案.23044603.14159146.422 3.14159h h ⨯=⇒=≈，146.42136.59.9210-=≈（米） 故选：B6．根据如下样本数据，得到回归直线方程y bx a =+，则（）x3 4 5 6 7 8 y-3.0-2.00.5-0.52.54.0A ．0a >，0b >B ．0a >，0b <C ．0a <，0b >D ．0a <，0b <答案：C做出散点图，由散点图判断ˆˆ,ab 的正负.从整体上看这些点大致分布在一条直线的周围，且该回归直线的斜率为正，在y 轴上的截距为负则ˆ0a<，ˆ0b > 故选：C7．函数()sin()0,||2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭的图象如图所示，为了得到g()sin 34x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，只需将()f x 的图象（）A ．向右平移π6个单位长度B ．向左平移π6个单位长度 C ．向右平移π2个单位长度D ．向左平移π2个单位长度答案：A首先根据函数()f x 的图象得到()sin 34f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再根据三角函数的平移变换即可得到答案. 由题知：541246T πππ=-=，所以223T ππω==，解得3ω=. 3sin 044f ππϕ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以324k πϕππ+=+，k Z ∈，解得24k ϕπ=+π，k Z ∈. 又因为2πϕ<，所以4πϕ=，()sin 34f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭. 因为4436πππ--=-，所以只需将()f x 的图象向右平移π6个单位长度.故选：A8．点P 是边长为2的正ABC 的边BC 上一点，且13CP CB =，则()AP AB AC ⋅+=（） A ．2 B ．4C ．6D ．8答案：CABC中，利用向量的加减法运算法则，化简()()1233AP AB AC AB AC AB AC ⎛⎫⋅+=++ ⎪⎝⎭，再按照数量积运算公式，计算求值.()11123333AP AC CP AC CB AC AB AC AB AC =+=+=+-=+，∴()()1233AP AB AC AB AC AB AC ⎛⎫⋅+=++⎪⎝⎭221241822633323AB AB AC AC =+⋅+=+⋅⋅+=， 故选：C.9．已知α，β均为锐角，()5cos 13αβ+=-，4sin 35πβ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则cos 3πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭（） A ．3365B ．3365-C ．6365D ．3365或6365答案：C先根据已知求出()12sin 13αβ+=和3cos 35πβ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，再把3πα-拆成()3παββ⎛⎫+-+⎪⎝⎭，利用两角差的余弦公式求值.∵α，β为锐角，∴()0,αβπ+∈，5,336πππβ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭∴()sin 0αβ+>，1cos ,322πβ⎛⎫⎛⎫+∈- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∵()5cos 13αβ+=-，∴()12sin 13αβ+= 又∵4sin 35πβ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，∴3cos 35πβ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭（35舍去） ∴()cos cos 33ππααββ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=+-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ ()()5312463cos cos sin sin 3313513565ππαββαββ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++++=-⨯-+⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭故选：C点评：利用三角公式求三角函数值的关键： (1)角的范围的判断；(2)根据条件进行合理的拆角，如()()2()βαβαααβαβ=+-=++-，等． 10．在三棱锥A BCD -中，AB ⊥平面BCD ，BCD △是边长为3的正三角形，AB =A ．21πB ．6πC ．24πD ．15π答案：D利用正弦定理求出BCD △的外接圆的半径，再由勾股定理求出三棱锥的外接球的半径，进而得出表面积.设BCD △的外接圆圆心为1O ，半径为r ，该三棱锥的外接球的球心为O ，半径为R ∵32sin 60r =︒，r ∴=12OO =，∴2221315344R OO r =+=+=∴21544154S R πππ==⨯=表 故选：D点评：关键点睛：解决本题的关键在于利用正弦定理求出BCD △的外接圆的半径，结合勾股定理得出三棱锥的外接球的半径.11．已知圆()22:21C x y -+=，直线:2l y kx =-，若直线l 上存在点P ，过点P 引圆C 的两条切线1l ，2l 使得12l l ⊥，则实数k 的取值范围是（）A．2⎡⎣B ．()0,223,⎡++∞⎣C ．(),0-∞D ．[)0,+∞答案：A先分析点P 的轨迹是以()2,0为半径的圆，再根据直线与圆相交，计算k 的范围.圆()2,0C ，半径1r =，设(),P x y ，因为两切线12l l ⊥，PA⊥PB，由切线性质定理，知：PA⊥AC，PB⊥BC，PA ＝PB ，所以，四边形PACB为正方形，所以，PC =则：()2222x y -+=，即点P 的轨迹是以()2,0为半径的圆. 直线:2l y kx =-过定点()0,2-，直线方程即20kx y --=，只要直线与P 点的轨迹（圆）有交点即可，即大圆的圆心到直线的距离小于等于半径，即：d =≤22k ≤≤，即实数k的取值范围是2⎡⎣.故选:A.点评：解析几何问题常见处理方法：(1)正确画出图形，利用平面几何知识简化运算； (2)坐标化，把几何关系转化为坐标运算．12．已知函数()()ln ln xf x ae x a x x =++-，若不等式()f x x ≥在()0,x ∈+∞上恒成立，则实数a 的取值范围是（） A ．[)1,+∞ B ．2,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．1,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．21,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭答案：C根据式子结构分析，把()f x x ≥转化为()ln ln 0ln ln 0a x x e a x x e +-++-≥+，构造()x g x e x =+，利用()g x 的单调性解不等式，求出a 的范围.由()f x x ≥得：()ln ln xae x a x x x ++-≥，即ln ln 1xae a x x x++-≥∴()ln ln 0ln ln 0a x x e a x x e +-++-≥+在()0,x ∈+∞上恒成立； ∵()xg x e x =+在R 上单调递增，∴ln ln 0a x x +-≥在()0,x ∈+∞上恒成立； ∴ln ln a x x ≥-在()0,x ∈+∞上恒成立， 构造函数()ln h x x x =-，()111x h x x x-'=-=， 当()0,1x ∈时，()0h x '>，()h x 单调递增；当()1x ∈+∞，时，()0h x '<，()h x 单调递减.∴()()max 11h x h ==-，∴ln 1a ≥，解得1a e≥. 故选：C.点评：(1)根据同构式构造新函数，利用导数判断函数单调性，是导数的常考题型之一； (2)利用单调性解不等式通常用于：①分段函数型不等式；②复合函数型不等式；③抽象函数型不等式；④解析式较复杂的不等式．解题的一般策略是：利用函数的单调性，将函数值的的大小关系转化为自变量的关系，解不等式即可． 二、填空题13．432x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的常数项是______（用数字作答）. 答案：-8利用二项展开式的通项公式，计算求解.()()434414422rrr r rr r T C x x C x ---+=⋅-=-，令4-40r =，得1r =.所以所求常数项为14(2)8C -=-， 故答案为:-8.14．已知实数x ，y 满足约束条件22,2,,440x y x y x y +≥⎧⎪-≤⎨⎪-+≥⎩则2z x y =-的最小值为______. 答案：2-.作出可行域，作出目标函数对应的直线，平移该直线可得最优解．作出可行域，如图ABC 及其内部（含边界），其中()0,1A ，()2,0B ，()4,2C ， 作直线:20l x y -=，由2z x y =-得1122y x z =-，直线向上平移时截距增大，z 减小，当直线l 过(0,1)A 时，min 0212z =-⨯=-， 故答案为：2-.15．已知点1F 、2F ，分别为双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点，()()0000,0,0M x y x y >>是该双曲线的渐近线上一点，且满足1290F MF ∠=︒，线段2F M 的延长线交y 轴于N 点，若2M :||3:2F MN =，则此双曲线的离心率为________. 答案：52由1290F MF ∠=︒得M 在以12F F 为直径的圆上，又由点()00,M x y 在直线b y x a=，列方程组求得M 点坐标，由2M :||3:2F MN =得232F M MN =，由此可得2,,M N F 横坐标的关系，从而求得离心率．设()00,M x y ，(),0F c ，由1290F MF ∠=︒，可知M 在以12F F 为直径的圆上，又点()00,M x y 在直线b y x a =上，所以00222000b y x ax c y ⎧=⎪⎨⎪-+=⎩，解得00x a y b =⎧⎨=⎩，即(,)M a b 据题意，有232F M MN =，则3()2a c a -=-，即离心率52e =， 故答案为：52. 点评：本题考查求双曲线的离心率，解题关键是找到关于,,a b c 的齐次等式．解题方法是利用1290F MF ∠=︒及M 点在渐近线上，列方程组求得M 点坐标，再由线段比值转化为向量的共线，得出横坐标关系，即为所要找的齐次等式，从而求得离心率． 16．已知ABC 的外心为O ，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，2223320AO CB BO AC b a ⋅+⋅+-=，则cos B 的最小值为_______.答案：34首先分别取BC 的中点为D ，AC 的中点为E ，再转化向量数量积，利用外心的几何性质化简，得2224a cb +=，再根据余弦定理，通过基本不等式求cos B 的最小值.记BC 的中点为D ，AC 的中点为E ， 则()()()12AO CB AD DO CB AD CB AB AC AB AC ⋅=+⋅=⋅=+⋅- ()()22221122AB AC c b =-=- 同理：()2212BO AC a c -⋅=∵2223320AO CB BO AC b a ⋅+⋅+-=，∴22222233202a c c b b a --+⋅+-=，∴2224a cb +=， ∴()22222363cos 2884a c a cb ac B ac ac ac ++-==≥=（当且仅当a c ==时等号成立） 答案为34. 点评：关键点点睛：本题的关键是利用外心的性质，转化()AO CB AD DO CB ⋅=+⋅，利用DO CB ⊥，得0DO CB ⋅=，化简向量的数量积. 三、解答题17．已知公比q 大于1的等比数列{}n a 满足126a a +=，38a =. （1）求{}n a 的通项公式；（2）令22log n nb a =，求数列()()111n n b b ⎧⎫⎪⎪⎨⎬-+⎪⎪⎩⎭的前n 项和n T .答案：（1）()2nn a n N =∈*；（2）21n nT n =+. （1）由等比数列的通项公式计算基本量从而得出{}n a 的通项公式； （2）先求出1111=(1)(1)22121n n b b n n ⎛⎫- ⎪+--+⎝⎭，再由裂项相消法求和即可.解：（1）据题意：112168a a q a q +=⎧⎨=⎩解得122a q =⎧⎨=⎩或11823a q =⎧⎪⎨=-⎪⎩∵1q >，∴122a q =⎧⎨=⎩ 即数列{}n a 的通项公式为：()2nn a n N =∈*．（2）由（1）有22log 2n n b a n ==则11111=(1)(1)(21)(21)22121n n b b n n n n ⎛⎫=- ⎪+-+--+⎝⎭∴n T ()()11111335572121n n =+++⋅⋅⋅+⨯⨯⨯+-1111111111112133557212122121n n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-+⋅⋅⋅+-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 点评：关键点睛：解决第二问的关键在于由1111=(1)(1)22121n n b b n n ⎛⎫- ⎪+--+⎝⎭，结合裂项相消求和法进行求解.18．四棱锥P ABCD -中，PC ⊥面ABCD ，直角梯形ABCD 中，90B C ∠=∠=︒，4AB =，1CD =，4PC =，点M 在PB 上且4PB PM =.PB 与平面PCD 所成角为45°.（1）求证：//CM 面PAD ；（2）求平面BMC 与平面AMC 所成锐二面角的余弦值. 答案：（1）证明见解析；（2）31919. (1)证明线面平行，用面面平行的判定定理，作平面MCN∥PAD ,从而得到//CM 面PAD ；(2)建立空间直角坐标系，利用向量法求二面角的余弦值．解：（1）在线段AB 上取一点N ，使1AN CD ==， ∵//CD AB ，∴//CD AN 且CD AN = ∴ANCD 是平行四边形 ∴//CN AD又,CN CMN AD CMN ⊆⊄,//AD CMN ∴ 在ABP △中，14PM AN PB AB ==，∴//MN AP ，同理可证：//AP CMN ∴ 又ADAP A =∴平面//MCN 平面PDA ，又CM ⊂平面MCN ，∴//CM 平面PDA ，（2）以C 为原点，CB 、CD 、CP 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系 ∵PC ⊥平面ABCD∴PC BC ⊥又BC CD ⊥∴BC ⊥平面PCD 所以PB 在平面PCD 内的射影为PC ， 所以BPC ∠为直线PB 与平面PCD 所成的角 即45BPC ∠=︒∴4BC PC == 所以()0,0,0C ，()4,4,0A ，()1,0,3M ∴()4,4,0CA =∴()1,0,3CM = 面BCM 的法向量为()10,1,0n = 设平面ACM 的法向量为()2,,n x y z = 则2244030n CA x y n CM x z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，可得：()23,3,1n =-所以()121222222212031301319cos ,||||010331n n n n ⨯-+⨯+⨯==++⨯-++所以平面BMC 与平面AMC 319 点评：立体几何解答题的基本结构：(1)第一问一般是几何关系的证明，用判定定理；(2)第二问是计算，求角或求距离（求体积通常需要先求距离），通常可以建立空间直角坐标系，利用向量法计算．19．上饶市正在创建全国文明城市，我们简称创文.全国文明城市是极具价值的无形资产和重要城市品牌.创文期间，将有创文检查人员到学校随机找学生进行提问，被提问者之间回答问题相互独立、互不影响.对每位学生提问时，创文检查人员将从规定的5个问题中随机抽取2个问题进行提问.某日，创文检查人员来到A 校，随机找了三名同学甲、乙、丙进行提问，其中甲只能答对这规定5个问题中的3个，乙能答对其中的4个，而丙能全部答对这5个问题.计一个问题答对加10分，答错不扣分，最终三人得分相加，满分60分，达到50分以上（含50分）时该学校为优秀. （1）求甲、乙两位同学共答对2个问题的概率；（2）设随机变量X 表示甲、乙、丙三位同学共答对的问题总数，求X 的分布列及数学期望，并求出A 校为优秀的概率. 答案：（1）310；（2）分布列见解析，期望值245，3350. （1）首先事件甲、乙两位同学共答对2个问题，分为两人各答对1题，或是乙答对2题，再求互斥事件和的概率；（2）由条件可知3,4,5,6X =,再根据随机变量对应的事件，分别求概率，再列出分布列，并计算数学期望,根据分布列，列出该学校为优秀的概率.（1）记“甲、乙两位同学共答对2题”为事件A ，则()()111122324124225310C C C C C C P M C ⋅⋅⋅+⋅==（2）由题意可知随机变量X 的可能取值为3、4、5、6，()()211224153251325C C C C P X C ⋅⋅⋅===()()3410P X P M ===()()211211223415324532512525C C C C C C C C P X C ⋅⋅⋅+⋅⋅⋅===()()2223453259650C C C P X C ⋅⋅===所以，随机变量X 的分布列如下表所示：随机变量X 的数学期望为13129243456251025505EX =⨯+⨯+⨯+⨯=A 校为优秀的概率()()1293356255050P X P X =+==+=. 点评：关键点点睛：本题的关键是分清随机变量代表的事件，其中容易错的是乙同学会5题中的四个题，所以两个题，至少会一题.20．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为2且短轴长为2.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若直线l 与椭圆C 交于M ，N 两点，()0,1P ，直线PM 与直线PN 的斜率之积为16，证明直线l 过定点并求出该定点坐标. 答案：（1）2212x y +=；（2）证明见解析，()0,2.（1）由离心率和短轴长列方程组解得,,a b c ，可得椭圆方程；（2）讨论直线l 斜率不存在时，是否符合题意，斜率存在时设直线方程为:l y kx m =+，()11,M x y ，()22,N x y ，直线方程代入椭圆方程，有0∆>，应用韦达定理得1212,x x x x +，然后代入16PM PN k k =中求得m 值，即得定点坐标． 解：（1）由22222c a b a b c ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩得11a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩ ∴椭圆C 的标准方程为2212x y +=（2）若直线l 的斜率不存在，设(),M s t ，则(),N s t -，此时22221111122PM PNst t t k k s s s s ----⋅=⨯===，与题设矛盾， 故直线l 的斜率必存在.设:l y kx m =+，()11,M x y ，()22,N x y ，联立2212y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得：()222214220kx mkx m +++-=，()228210k m ∆=-+>， ∴122421mk x x k +=-+，21222221m x x k -=+∵()()()2212121212121212121111()116PM PNk x x k m x x m y y y y y y k k x x x x x x +-++----++⋅=⋅===代入122421mk x x k +=-+，21222221m x x k -=+整理得：2320m m -+=， 解得：2m =或1m =（舍去），即直线过定点()0,2.点评：本题考查求椭圆方程，考查直线与椭圆相交中的定点问题．解题方法是“设而不求”的思想方法，即设交点坐标为1122(,),(,)x y x y ，设直线方程，代入椭圆方程后应用韦达定理得1212,x x x x +（需要根据方便性，可能得1212,y y y y +），代入定点对应的表达式，利用恒等式知识求得定点坐标，利用基本不等式或函数的性质求得最值等等． 21．已知()2xx f x ae xe =-.（1）若12a =，讨论()f x 的单调性； （2）x R ∀∈，()2f x a≤-，求实数a 的最小值.答案：（1）答案见解析；（2）3e -.（1）求导函数()'f x 地，确定()'f x 的正负，为此引入新函数由导数确定新函数的正负后可得()'f x 的正负，然后得单调区间；（2）由出()'f x 变形为()(12)xxf x e x ae '=-+-，由不等式恒成立，特殊值也成立2(0)f a≤-得0a <，可确定函数12xy x ae =+-递增，存在唯一零点0x ，由零点存在定理确定()021,1x a ∈--，从而可得0x 是()f x 的极大值点，由零点得0012ex x a +=，把02()f x a ≤-转换为0x 的不等式解得0x 的范围，再由0012e x x a +=求得a 的最小值．解：（1）12a =时，()212x xf x e xe =-，定义域为(),-∞+∞()()()211x x x x f x e x e e x e '=-+=-+-，令()1e xF x x =+-，则()1e xF x '=-，当(),0x ∈-∞，()0F x '>；当()0,x ∈+∞，()0F x '<；∴()F x 在(),0-∞递增，在()0,∞+上递减，∴()()00F x F ≤=， ∴()0f x '≥，∴()f x 在(),-∞+∞上递增．（2）()()()22112xx x xf x aex e e x ae ⎡⎤=-+=-+-⎣'⎦， 由x R ∀∈，()2f x a ≤-，∴()20f a a=≤-可得0a <， 令()()12e xg x x a =+-，则()g x 在R 上递增，由()1120g ae --=->，且当0x <时，()12g x x a <+-，∴()2121120g a a a -<-+-=， ∴()021,1x a ∃∈--使得()00g x =，且当()0,x x ∈-∞时，()0g x <即()0f x >′； 当()00,x x ∈+∞时，()0g x >即()0f x <′， ∴()f x 在()0,x -∞递增，在()0,x +∞递减， ∴002max 00()()x x f x f x aex e ==-，由()()00012e 0xg x x a =+-=，∴0012e x x a +=， 由max2()f x a ≤-得0000200014e e e 2e 1x x x x x x x +-⋅≥+即001421x x -≥+， 由010x +<得2018x -≤，∴031x -≤<-，设()()1312e x x h x x +=-≤<-，则()02xxh x e -'=>， 可知()h x 在[)3,1-上递增∴3()(3)h x h e ≥-=-，即3a e ≥- ∴实数a 的最小值为3e -．点评：关键点点睛：本题考查用导数研究函数的单调性，研究不等式恒成立问题．在确定()'f x 的正负及零点时，有时需要对()'f x （或其中部分函数）求导，利用导数确定单调性得()'f x 零点的存在及零点范围．由0()0f x '=可得0x 和参数的关系或0x 本身的性质，这样函数的最值0()f x 可以转化变形为易求解的形式，从而求得结论．22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为2cos 22sin x y αα=⎧⎨=+⎩（α为参数）.以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程ρ=（1）求曲线2C 的普通方程；（2）设A 是曲线1C 上的动点，B 是曲线2C 上的动点，求AB 的最大值.答案：（1）2214x y +=；（2）max2AB =. （1）由cos ,sin x y ρθρθ==求出曲线2C 的普通方程；（2）将AB 的最大值转化为求max 2BC +，设()2cos ,sin B ββ，由点到直线的距离公式结合正弦函数的性质得出最值. （1）ρ==，∴()222cos 4sin 4ρθθ+=，即2244x y +=，∴2214x y +=（2）由曲线1C 的参数方程知其普通方程为()2224x y +-=，它是以()0,2C 为圆心，2为半径的圆∵A 是曲线1C 上的动点，B 是曲线2C 上的动点，∴max max 2AB BC =+ 设()2cos ,sin B ββ，则BC ===∴2sin 3β=-时，max 3BC ==，∴max2AB =+． 点评：关键点睛：在解决第二问时，关键是由圆的性质将AB 的最大值转化为求max 2BC +，再结合点到直线的距离公式以及正弦函数的性质求出AB 的最大值.23．设函数()221x x f x =++-. （1）求()f x 的最小值；（2）若集合(){}10x R f x ax ∈+-<≠∅，求实数a 的取值范围. 答案：（1）()min 52f x =；（2）()()2,,3+∞⋃-∞-. （1）首先利用零点分段法，去绝对值，求得函数的最小值；（2）()1f x ax <-+在R 上有解，画出函数()f x 的图象，并且1y ax =-+过点()0,1，利用数形结合分析实数a的取值范围.解：（1）()1321 ()3221312x xf x x xx x⎧⎪--≤-⎪⎪⎛⎫=--<<⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫+≥⎪ ⎪⎝⎭⎩当2x-≤时，()[)5,f x∈+∞，当122x-<<时，()5,52f x⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，当12x≥时，()5,2f x⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭()min52f x=.（2）据题意：()1f x ax<-+在R上有解，作函数()y f x=及1y ax=-+的图象,1y ax=-+恒过点()0,1，且直线的斜率k a=-，51220ACk-==---,且直线BC的斜率3BCk=由图可得：3a->或2a-<-所以a的范围为()()2,,3+∞⋃-∞-.点评：关键点点睛：本题的第二问的关键是数形结合分析问题，理解1y ax=-+表示过点()0,1的直线，并且直线的斜率k a=-，结合（1）的分段函数，画出函数的图象，分析临界斜率，求a的取值范围.。
2021年江西省上饶市高考数学三模试卷(文科)(解析版)
2021年江西省上饶市高考数学三模试卷（文科）一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）.1．已知全集U＝{x∈Z|0≤x≤4}，集合A＝{1，2，3，4}，B＝{0，2，4}，则∁U（A∩B）＝（）A．{1，3}B．{0，1，3}C．{0，4}D．{0，1，2，3，4} 2．已知复数z＝a+bi（a，b∈R），且共轭复数＝，则a+b＝（）A．﹣2B．2C．﹣1D．13．sin195°＝（）A．B．C．D．4．已知x、y满足，则z＝﹣2x+y+3的最小值是（）A．1B．﹣2C．﹣1D．45．若a、b、c∈R，且（）a＜（）b，则下列不等式中一定成立的是（）A．ac＞bc B．（a﹣b）•c2＞0C．D．a3＞b36．已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且在（0，+∞）上单调递增，则（）A．f（﹣3）＜f（﹣log313）＜f（20.6）B．f（﹣3）＜f（20.6）＜f（﹣log313）C．f（20.6）＜f（﹣log313）＜f（﹣3）D．f（20.6）＜f（﹣3）＜f（﹣log313）7．已知函数g（x）＝f（x）+x2是奇函数，当x＞0时，函数f（x）的图象与函数y＝log2x 的图象关于y＝x对称，则g（﹣1）＝（）A．﹣5B．﹣3C．﹣1D．18．下列说法错误的是（）A．“若x≠2，则x2﹣5x+6≠0”的逆否命题是“若x2﹣5x+6＝0，则x＝2”B．“x＞3”是“x2﹣5x+6＞0”的充分不必要条件C．“∀x∈R，x2﹣5x+6≠0”的否定是“∃x0∈R，x02﹣5x0+6＝0”D．命题：“在锐角△ABC中，sin A＜cos B”为真命题9．一个四面体各棱长都为，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（）A．3πB．4πC．D．6π10．南宋著名数学家杨辉在1261年所著的《详解九章算法》中首次提出“杨辉三角”，如图所示，这是数学史上的一个伟大的成就．在“杨辉三角”中，已知每一行的数字之和构成的数列为等比数列且数列前n项和为S n，b n＝2log2（S n+1）﹣1，则b2021的值为（）A．4041B．4043C．4039D．403711．双曲线（a＞0，b＞0）的右焦点为F，过F作与双曲线的两条渐近线平行的直线且与渐近线分别交于A、B两点，若四边形OAFB（O为坐标原点）存在外接圆，则双曲线的离心率为（）A．B．C．2D．312．已知函数f（x）为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）＝，则关于x的函数g（x）＝f（x）+a（0＜a＜2）的所有零点之和为（）A．10B．21﹣2a C．0D．1﹣2a二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在答题卡上．13．椭圆＝1的离心率为．14．为了营造同学们学习党史的氛围，提高同学们学习历史的积极性，某中学开展，“党史学习”闯关活动，各选手在第一轮要进行党史知识抢答的比拼，第二轮进行党史知识背诵的比拼．已知某学生通过第一关的概率为0.8，在已经通过第一关的前提下通过第二关的概率为0.5，则该同学两关均通过的概率为．15．已知＝（m，﹣1），＝（﹣1，2），若⊥，则实数m＝．16．关于函数f（x）＝|cos x|﹣|sin|x||有下述四个结论：①f（x）是偶函数；②f（x）是周期为π的函数；③f（x）在区间（π，）上单调递减；④f（x）的最大值为．其中正确结论的编号为．三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．已知在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且＝．（1）求b的值；（2）若cos B+sin B＝2，求ABC面积的最大值．18．如图，在圆柱W中，点O1、O2分别为上、下底面的圆心，平面MNFE是轴截面，点H 在上底面圆周上（异于N、F），点G为下底面圆弧的中点，点H与点G在平面MNFE 的同侧，圆柱W的底面半径为1，高为2．（1）若平面FNH⊥平面NHG，证明：NG⊥FH；（2）若直线O1H∥平面FGE，求H到平面NGF的距离．19．目前我市逐步建立了以政府为主导以企业为主体，全社会共同推进的节能减排工作机制，某企业响应号召，对现有设备进行改造，为了分析设备改造前后的效果，现从设备改造前后生产的大量产品中各抽取了200件产品作为样本，检测一项质量指标值，若该项质量指标值落在[20，40）内的产品视为合格品，否则为不合格品．如图是设备改造前的样本的频率分布直方图，如表是设备改造后的样本的频数分布表．质量指标值[15，20）[20，25）[25，30）[30，35）[35，40）[40，45）频数4369628324设备改造后样本的频数分布图（1）完成下面的2×2列联表，并判断是否有99%的把握认为该企业生产的这种产品的质量指标值与设备改造有关；设备改造前设备改造后合计合格品不合格品合计（2）根据市场调查，设备改造后，每生产一件合格品企业可获利180元，一件不合格品亏损100元，用频率估计概率，则生产1000件产品企业大约能获利多少元？附：P（K2≥k0）0.1500.1000.0500.0250.010 k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 K2＝．20．已知曲线C在x轴的上方，且曲线C上的任意一点到点F（0，1）距离比到直线y＝﹣2的距离都小1．（1）求曲线C的方程；（2）设m＞0，过点M（0，m）直线与曲线C相交于A、B两点，若＜0恒成立，求实数m的取值范围．21．已知函数f（x）＝e x+xlnx﹣x2+（1﹣a）x．（1）曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为0，求a的值；（2）若f（x）≥0恒成立，求a的取值范围．四、请考生在第22.23两题中任选一题作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑．注意所做题目必须与所涂题目一致，并在答题卡选答区域指定位置答题．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，直线l：，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝﹣2cosθ．（1）求曲线C的直角坐标标准方程；（2）求曲线C上一点P到直线l距离的最大值．[选修4-5：不等式选讲]23．设实数a，b，满足a+＝1．（1）若|7﹣b|＜|2a|+3，求a的取值范围；（2）若a＞0，b＞0，求y＝的最小值．参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
上饶市2021届高三上学期期末考试 理科数学试题(含答案)
第Ⅰ卷（选择题）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设A = {x |1≤ x ≤ 3}，{}0)1(log |2>-=x x B ，则A B = （▲）A ．()2,∞-B ．[)21，C ．()21，D ．(]32，2．设复数312iz i-=+，则复数z 的虚部是（▲）A ．75i B ．75C ．75i -D ．75-3．若b a >，则以下选项中正确的是（▲）A ．()0ln >-b a B.b a 33< C.033>-b a D.ba >4．已知F 为抛物线2:4C y x =的焦点，过点F 的直线l 交抛物线C 于 쑸᥋两点，若6||=AB ，则线段AB 的中点M 到抛物线C 的准线的距离为（▲）A ．3B ．4C ．5D ．65．埃及金字塔是古埃及的帝王（法老）陵墓，世界七大奇迹之一，其中较为著名的是胡夫金字塔。
令人吃惊的并不仅仅是胡夫金字塔的雄壮身姿，还有发生在胡夫金字塔上的数字“巧合”。
如胡夫金字塔的底部周长如果除以其高度的两倍，得到的商为3.14159，这就是圆周率较为精确的近似值,胡夫金字塔底部形为正方形,整个塔形为正四棱锥,经古代能工巧匠建设完成后，底座边长大约230米。
因年久风化，胡夫金字塔现高约为136.5米，则与建成时比较顶端约剥落了（▲）A ．8米B ．10米C ．12米D ．14米6．根据如下样本数据，得到回归直线方程 ，则（▲）x 345678y－3.0－2.00.5－0.52.54.0A ． 00a b >> ，B ． 00a b>< ，C ． 00a b<> ，D ． 00a b<< ，7．函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0，|φ|＜π2)的图象如图所示，为了得到g(x )＝sin(3x －π4)的图象，只需将f (x )的图象（▲）A ．向左平移π6个单位长度B ．向右平移π6个单位长度C ．向左平移π2个单位长度D ．向右平移π2个单位长度8．点P 是边长为2的正ABC ∆的边BC 上一点，且CB CP 31=，则()=+⋅AC AB AP （▲）A ．2B ．4C ．6D ．89．已知 ， 均为锐角，54)3sin(,135)cos(=+-=+πββα，则=-)3cos(πα（▲）A ．6533B ．6533-C ．6563D ．65636533或10．在三棱锥BCD A -中，⊥AB 平面BCD ,BCD ∆是边长为3的正三角形，3=AB ，则该三棱锥的外接球的表面积为（▲）A ．21πB ．6πC ．24πD ．π1511．已知圆 挨 ，直线2l kx-l 上存在点P ，过点P 引圆C 的两条切线12,l l ,使得12l l ⊥，则实数k 的取值范围是（▲）A ．[2,2+]B ．()0,22⎡-++∞⎣ C ．(),0-∞D ．[0∞+，）12．已知函数)ln (ln )(x x a x ae x f x -++=，若不等式x x f ≥)(在),0(+∞∈x 上恒成立，则实数a 的取值范围是（▲）A ．[)+∞,1B ．⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,2eC ．⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,1eD ．⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,12e 第Ⅱ卷（非选择题）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在答题卡上）．13．432⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x 的展开式的常数项是▲（用数字作答）．14．已知实数y x ,满足约束条件22,2,440x y x y x y +≥⎧⎪-≤⎨⎪-+≥⎩，则y x z 2-=的最小值为▲.15．已知点21F F 、分别为双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x的左、右焦点，),(00y x M )0,0(00>>y x 是该双曲线的渐近线上一点，且满足9021=∠MF F ，线段M F 2的延长线交y 轴于N 点，若2:3|||M |2=MN F ：，则此双曲线的离心率为▲.高三数学（理科）试题卷上饶市2021届第一次高考模拟考试16．已知ABC ∆的外心为O ，c b a ,,分别为内角C B A ,,的对边，0233222=-+⋅+⋅a b AC BO CB AO ，则cos B 的最小值为▲.三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17.（本小题满分12分）已知公比q 大于1的等比数列{}n a 满足621=+a a ，83=a .（1）求{}n a 的通项公式；（2）令22log n n a b =，求数列1(1)(1)n n b b ⎧⎫⎨⎬-+⎩⎭的前n 项和n T ．18．（本小题满分12分）四棱锥P －ABCD 中，PC ⊥面ABCD ，直角梯形ABCD 中，∠B =∠C =90°，AB =4，CD =1，PC =4，点M 在PB 上且PB =4PM ．PB 与平面PCD 所成角为45°．（1）求证：CM ∥面PAD ；（2）求平面BMC 与平面AMC 所成角的余弦值．19．（本小题满分12分）上饶市正在创建全国文明城市，我们简称创文。