(超全)带电粒子在有界磁场中运动的临界问题、极值问题和多解问题

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高考物理知识体系总论：带电粒子在匀强磁场中运动的临界极值及多解问题

PART 2
利用知识体系框架来解题
DREAM OF THE FUTURE
经典例题1
(多选)空间存在方向垂直于纸面向里的匀强磁场，图中的正方形为其边界。一细束由两种粒子组成的粒子流沿垂直于磁场的方向从O点入射。这两种粒子带同种电荷，它们的电荷量、质量均不同，但其比荷相同，且都包含不同速率的粒子。不计重力。下列说法正确的是(ꢀꢀ) A．入射速度相同的粒子在磁场中的运动轨迹一定相同 B．入射速度不同的粒子在磁场中的运动时间一定不同 C．在磁场中运动时间相同的粒子，其运动轨迹一定相同 D．在磁场中运动时间越长的粒子，其轨迹所对的圆心角一定越大
有些题目只告诉了磁感应强度的大小，而未具体指出磁感应强度的方向，此时必须考虑由磁感应强度方向
多解
不确定而形成的多解。如图所示。
4.运动的往复性形成多
解
带电粒子在匀强磁场中运动的临界极值及多解问题
大致框架
1.带电粒子
如图所示，带电粒子在洛伦兹力作用下飞越有界磁场
电性不确定
时，由于粒子运动轨迹是圆弧状，因此，它可能直接
带电粒子在匀强磁场中运动的临界极值及多解问题
大致框架
突破一ꢀ 带电粒子在匀强磁场中运动的临界极值问题
1.分析方法 2.四个结论
(1)刚好穿出磁场边界的条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相切。 (2)当速率v一定时，弧长越长，圆心角越大，则带电粒子在有界磁场中运动的时间越长。 (3)当速率v变化时，圆心角大的，运动时间长，解题时一般要根据受力情况和运动情况画出运动轨迹的草图，找出圆心，根据几何关系求出半径及圆心角等。 (4)在圆形匀强磁场中，当运动轨迹圆半径大于区域圆半径时，则入射点和出射点为磁场直径的两个端点时，轨迹对应的偏转角最大(所有的弦长中直径最长)。

(完整版)带电粒子在有界磁场中运动的临界问题

带电粒子在有界磁场中运动的临界问题当某种物理现象变化为另一种物理现象或物体从一种状态变化为另一种状态时，发生这种质的飞跃的转折状态通常称为临界状态。

粒子进入有边界的磁场，由于边界条件的不同，而出现涉及临界状态的临界问题，如带电粒子恰好不能从某个边界射出磁场，可以根据边界条件确定粒子的轨迹、半径、在磁场中的运动时间等。

如何分析这类相关的问题是本文所讨论的内容。

一、带电粒子在有界磁场中运动的分析方法1．圆心的确定因为洛伦兹力F指向圆心，根据F⊥v，画出粒子运动轨迹中任意两点（一般是射入和射出磁场两点），先作出切线找出v的方向再确定F的方向，沿两个洛伦兹力F的方向画其延长线，两延长线的交点即为圆心，或利用圆心位置必定在圆中一根弦的中垂线上，作出圆心位置，如图1所示。

2．半径的确定和计算利用平面几何关系，求出该圆的可能半径（或圆心角），并注意以下两个重要的几何特点：①粒子速度的偏向角φ等于转过的圆心角α，并等于AB弦与切线的夹角（弦切角）θ的2倍，如图2所示，即φ=α=2θ。

②相对的弦切角θ相等，与相邻的弦切角θ′互补，即θ+θ′=180°。

3．粒子在磁场中运动时间的确定若要计算转过任一段圆弧所用的时间，则必须确定粒子转过的圆弧所对的圆心角，利用圆心角α与弦切角的关系，或者利用四边形内角和等于360°计算出圆心角α的大小，并由表达式，确定通过该段圆弧所用的时间，其中T即为该粒子做圆周运动的周期，转过的圆心角越大，所用时间t越长，注意t与运动轨迹的长短无关。

4．带电粒子在两种典型有界磁场中运动情况的分析①穿过矩形磁场区：如图3所示，一定要先画好辅助线（半径、速度及延长线）。

a、带电粒子在穿过磁场时的偏向角由sinθ=L/R求出；（θ、L和R见图标）b、带电粒子的侧移由R2=L2-（R-y）2解出；（y见所图标）c、带电粒子在磁场中经历的时间由得出。

②穿过圆形磁场区：如图4所示，画好辅助线（半径、速度、轨迹圆的圆心、连心线）。

带电粒子在匀强磁场中运动的临界极值及多解问题

带电粒子在匀强磁场中运动的临界极值及多解问题突破有界磁场中临界问题的处理方法考向1 “放缩法”解决有界磁场中的临界问题1.适用条件(1)速度方向一定，大小不同粒子源发射速度方向一定、大小不同的带电粒子进入匀强磁场时，这些带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨迹半径随速度的变化而变化(2)轨迹圆圆心一一共线如图所示(图中只画出粒子带正电的情景)，速度V。

越大，运动半径也越大可以发现这些带电粒子射入磁场后，它们运动轨迹的圆心在垂直速度方向的直线PP,上.2.方法界定以入射点P为定点，圆心位于PP,直线上，将半径放缩作轨迹，从而探索出临界条件，这种方法称为“放缩法”.［典例1］如图所示，垂直于纸面向里的匀强磁场分布在正方形abcd区域内，O点是cd 边的中点.一个带正电的粒子仅在洛伦兹力的作用下，从O点沿纸面以垂直于cd边的速度射入正方形内，经过时间t。

刚好从c点射出磁场.现设法使该带电粒子从O点沿纸面以与Od成30°的方向，以大小不同的速率射入正方形内，粒子重力不计.那么下列说法中正确的是()A.若该带电粒子从ab边射出，它经历的时间可能为t。

5tB.若该带电粒子从bc边射出，它经历的时间可能为十3C.若该带电粒子从cd边射出，它经历的时间号2tD.若该带电粒子从ad边射出，它经历的时间可能为43［解析］作出从ab边射出的轨迹①、从bc边射出的轨迹②、从cd边射出的轨迹③和从ad边射出的轨迹④.由带正电的粒子从O点沿纸面以垂直于cd边的速度射入正方形内，经过时间t o刚好从c点射出磁场可知，带电粒子在磁场中做圆周运动的周期是2t o.由图可知，从ab边射出经历的时间一定不大片；从bc边射出经历的时间一定不大于不从cd边射...... . 5t t出经历的时间一定是丁；从ad边射出经历的时间一定不大于可，C正确.3 3［答案］C考向2 “旋转法”解决有界磁场中的临界问题1.适用条件(1)速度大小一定，方向不同带电粒子进入匀强磁场时，它们在磁场中做匀速圆周运动的半径相同，若射入初速度为一.一一、 ,.一.一 mv __ _____v,则圆周运动半径为区=”0.如图所示.o qB(2)轨迹圆圆心一一共圆mv 带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心在以入射点P为圆心、半径R=京的圆上. qB2.方法界定mv将一半径为R=氤的圆绕着入射点旋转，从而探索出临界条件，这种方法称为“旋转法”.qB［典例2］如图所示，真空室内存在匀强磁场，磁场方向垂直于纸面向里，磁感应强度的大小B=0.60 T.磁场内有一块平面感光板ab,板面与磁场方向平行.在距ab为l = 16 cm处，有一个点状的a粒子放射源S,它向各个方向发射a粒子，a...................... . .. ....... q . .. ...... . . 粒子的速度都是v=3.0X106 m/s.已知a 粒子的比何m=5.0X107 C/kg,现只考虑在纸面内运动的a 粒子，求ab 板上被a 粒子打中区域的长度.［解题指导］过S 点作ab 的垂线，根据左侧最值相切和右侧最值相交计算即可.［解析］a 粒子带正电，故在磁场中沿逆时针方向做匀速圆周运动，用R 表示轨迹半径， 4 c V 2有 qvB=mR由此得R 瑞代入数值得R=10 cm,可见2R>l>R因朝不同方向发射的a 粒子的圆轨迹都过S,由此可知，某一圆轨迹在下图中N 左侧与 ab 相切，则此切点、就是a 粒子能打中的左侧最远点为确定、点的位置，可作平行于ab 的直线cd, cd 到ab 的距离为R,以S 为圆心，R 为半径，作圆弧交cd 于Q 点，过Q 作ab 的垂线，它与ab 的交点即为，即：NP=R 2—(1—R) 2 = 8 cm再考虑N 的右侧.任何a 粒子在运动中离S 的距离不可能超过2R,在N 点右侧取一点P 2, 取SP=20 cm,此即右侧能打到的最远点由图中几何关系得NP 2=M (2R) 2 — 12=12 cm所求长度为P 1P 2=NP 1+NP 2代入数值得P 1P 2 = 20 cm.［答案］20 cm考向1带电粒子电性不确定形成多解受洛伦兹力作用的带电粒子，可能带正电荷，也可能带负电荷，在相同的初速度的条件下，正、负粒子在磁场中运动轨迹不同，导致形成多解.［典例3］如图所示，宽度为d 的有界匀强磁场，磁感应强度为B, MM,和NN’是磁场左右的两条边界线.现有一质量为m 、电荷量为q 的带电粒子沿图示方向垂直磁场射入.要使粒子不能从右边界NN,射出，求粒子入射速率的最大值为多少？突破带电粒子在磁场中运动的多解问题fl 兄乂尹। x x J V X y K P 2 x b［解题指导］由于粒子电性不确定，所以分成正、负粒子讨论，不从NN,射出的临界条件是轨迹与NN,相切.［解析］题目中只给出粒子”电荷量为q”，未说明是带哪种电荷，所以分情况讨论. 若q 为正电荷，轨迹是如图所示的上方与NN,相切的（圆弧，则轨道半径R \12 （2+ 2） Bqd ............... 一一一一一 ......3 一 ........... 若q 为负电荷，轨迹是如图所示的下方与NN,相切的工圆弧，则轨道半径又—全解得『=（2-'⑵刎 m…… （2+ 2） Bqd （2— 2） Bqd,［答案］ --- 玄 ---- （q 为正电何）或 -- m ----- （q 为负电何）考向2磁场方向不确定形成多解有些题目只告诉了磁感应强度的大小，而未具体指出磁感应强度的方向，此时必须要考虑磁感应强度方向不确定而形成的多解.［典例4］（多选）一质量为m 、电荷量为q 的负电荷在磁感应强度为B 的匀强磁场中绕固mvBq又d=R 解得v=R,mv' Bq M N।■乂 ।1 ।*［典例5］（多选）长为l 的水平极板间有垂直纸面向里的匀强磁场，如图所示，磁感应强度为B,板间距离也为1,板不带电.现有质量为m 、电荷量为q 的带正电粒子（不计重力），从左边极板间中点处垂直磁感线以速度v 水平射入磁场，欲使粒子不打在极板上，可采用的办法是（）定的正电荷沿固定的光滑轨道做匀速圆周运动，若磁场方向垂直于它的运动平面，且作用在负电荷的电场力恰好是磁场力的三倍，则负电荷做圆周运动的角速度可能是（不计重力）（） A. R 瘦 D. m 2qB C .— m D. qB m［解析］根据题目中条件“磁场方向垂直于它的运动平面”，磁场方向有两种可能，且这两种可能方向相反.在方向相反的两个匀强磁场中，由左手定则可知负电荷所受的洛伦兹力的方向也是相反的.当负电荷所受的洛伦兹力与电场力方向相同时，根据牛顿第二定律可知 _ V2 _ 4BqR v 4Bq4Bqv=m 万，得v= ，此种情况下，负电何运动的角速度为3=5=-；；当负电何所受的R m R m 洛伦兹力与电场力方向相反时,有2B qv=m V2, 丫=等,此种情况下,负电荷运动的角速度v 2Bq为3=R=/",应选A 、C.［答案］AC考向3临界状态不唯一形成多解如图所示，带电粒子在洛伦兹力作用下飞越有界磁场时，由于粒子运动轨迹是圆弧状，因此，它可能直接穿过去了，也可能转过180°从入射界面反向飞出，于是形成了多解.如图 m所示.A.使粒子的速度v<Bq15BalB.使粒子的速度v>*C.使粒子的速度丫>平D.使粒子的速度v满足Bq^vV51a1［解析］带电粒子刚好打在极板右边缘，有r2 = (r-1)+12,又因r =%，解得v =誓；i V 12 i Bq i 4m粒子刚好打在极板左边缘，有r=l=M2，解得丫=整，故A、B正确. 2 4 Bq 2 4m［答案］AB考向4带电粒子运动的往复性形成多解空间中部分是电场，部分是磁场，带电粒子在空间运动时，运动往往具有往复性，因而形成多解.［典例6］如图所示，在x轴上方有一匀强磁场，磁感应强度为B；x轴下方有一匀强电场，电场强度为E.屏MN与y轴平行且相距L. 一质量m、电荷量为e的电子，在y轴上某点A 自静止释放，如果要使电子垂直打在屏MN上，那么：(1)电子释放位置与原点O的距离s需满足什么条件？(2)电子从出发点到垂直打在屏上需要多长时间？［解题指导］解答本题可分“两步走”：(1)定性画出粒子运动轨迹示意图.(2)应用归纳法得出粒子做圆周运动的半径r和L的关系.［解析］(1)在电场中，电子从A-O,动能增加eEs=1mv0在磁场中，电子偏转，半径为mv r = o r eB据题意，有(2n+1)r=L一eL2B2 . .所以S=2Em (2n+1)2(n=0,1,2,3,”)⑵在电场中匀变速直线运动的时间与在磁场中做部分圆周运动的时间之和为电子总的2s T T , Ee 2nm运动时间 t=(2n+1)、： w+z+nj,其中 a=%, T=—B-■. । a 乙ui e一— .一 BL , 、nm, 、整理后得 t=^+(2n+1)族("=。

带电粒子在磁场中运动的临界值与多解专题

－19
C，不计电子重力，电子源发射速度 v＝ 1.6× 106 m/s 的一个 )
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电子，该电子打在板上可能位置的区域的长度为 l，则 (Βιβλιοθήκη 高考调研 ·高三总复习 ·物理
A．θ ＝ 90°时， l＝9.1 cm B． θ ＝ 60°时， l＝ 9.1 cm C．θ ＝ 45°时， l＝4.55 cm D．θ ＝ 30°时， l＝4.55 cm
高考调研 ·高三总复习 ·物理
全国名校高中物理优质学案、专题汇编（附详解）
9 ．3
带电粒子在磁场中运动的临界值与多解专题
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高考调研 ·高三总复习 ·物理
专题综述
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高考调研 ·高三总复习 ·物理
一、带电粒子在有界磁场中运动的临界值问题单面边界磁场中的临界值．平行边界磁场中的临界值．直角边界磁场中的临界值．三角形边界磁场中的临界值．矩形边界磁场中的临界值．圆形边界磁场中的临界值．
第 9页
高考调研 ·高三总复习 ·物理
(一)单面边界磁场例1 (2015· 四川 )(多选 )如图所示， S 处
有一电子源，可向纸面内任意方向发射电子，平板 MN 垂直于纸面，在纸面内的长度 L＝ 9.1 cm，中点 O 与 S 间的距离 d＝ 4.55 cm， MN 与 SO 直线的夹角为 θ，板所在平面有电子源的一侧区域有方向垂直于纸面向外的匀强磁场，磁感应强度 B＝ 2.0× 10－4 T，电子质量 m＝ 9.1× 10－ 31 kg，电量 e＝－ 1.6× 10
第11页
高考调研 ·高三总复习 ·物理
【答案】
AD
【解析】电子在磁场中运动，洛伦兹力提供向心力： mv2 mv L －2 evB＝，R＝＝4.55× 10 m＝ 4.55 cm＝，利用“旋 R Be 2 转圆法 ”：θ＝90°时，击中板的范围如图甲，l＝2R＝ 9.1 cm， A 项正确； θ＝ 60°时，击中板的范围如图乙所示， l＜ 2R＝ 9.1 cm， B 项错误；θ＝30°时，如图丙所示 l＝R＝ 4.55 cm，C 项错误．θ ＝ 45°时，击中板的范围如图丁所示，l＞ R(R＝4.55 cm)， D 项正确．

带电粒子在磁场中运动的临界值与多解专题课件

例 7 如图所示，宽度为 d 的有界匀强磁场，磁感应强度为 B，MM′和 NN′是它的两条边界．现有质量为 m，电荷量为 q 的带电粒子沿图示方向垂直磁场射入．要使粒子不能从边界 NN′射出，则粒子入射速率 v 的最大值可能是多少．
【答案】 (2＋ 2)Bmqd(q 为正电荷)或(2－ 2)Bmqd(q 为负电
(四)三角形边界磁场例 4 如图，直角三角形 abc 内有方向垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度的大小为 B， ∠a＝30°，ac＝2L，P 为 ac 的中点．在 P 点有一粒子源可沿平行 cb 方向发出动能不同的同种正粒子，粒子的电荷量为 q、质量为 m，且粒子动能最大时，恰好垂直打在 ab 上．不考虑重力，下列判断正确的是( )
(一)单面边界磁场例 1 (多选)如图所示，S 处有一电子源，可向纸面内任意方向发射电子，平板 MN 垂直于纸面，在纸面内的长度 L＝9.1 cm，中点 O 与 S 间的距离 d＝4.55 cm，MN 与 SO 直线的夹角为θ，板所在平面有电子源的一侧区域有方向垂直于纸面向外的匀强磁场，磁感应强度 B＝2.0×10 －4 T，电子质量 m＝9.1×10－31 kg，电量 e＝－1.6×10－19 C，不计电子重力，电子源发射速度 v＝1.6×106 m/s 的一个电子，该电子打在板上可能位置的区域的长度为 l，则( )
已知粒子在磁场中做圆周运动的半径介于a2到 a 之间，从发射粒子到粒子全部离开磁场经历的时间，恰好为粒子在磁场中做圆周运动周期的四分之一．求最后离开磁场的粒子从粒子源射出时：
(1)速度的大小； (2)速度方向与 y 轴正方向夹角的正弦值．
【答案】
(1)(2－ 26)amqB
6－ 6 (2) 10

第3课时带电粒子在磁场中运动的特例(临界、极值及多解问题)

随堂自测过关
要点探究冲关
界、极值问题
1.解决此类问题的关键
自我解答·合作探究
要点一带电粒子在有界磁场中运动的临
找准临界点. 2.找临界点的方法以题目中的“恰好”“最大”“最高”“至少”等词语为突破口,借助半径 R 和速度 v(或磁场 B)之间的约束关系进行动态运动轨迹分析,确定轨迹圆和边界的关系,找出临界点,然后利用数学方法求解极值.
3.常用到的结论 (1)临界值刚好穿出(穿不出)磁场边界的条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相切. (2)时间极值 ①当速度 v 一定时,弧长(弦长)越长,圆周角越大, 则带电粒子在有界磁场中运动的时间越长. ②当速率 v 变场边界为圆形时,从入射点到出射点连接起来的线段就是圆磁场的一条弦,以该条弦为直径的圆就是最小圆,可求出圆形磁场区的最小面积.
B 最小.
,r=
mv 1 ,从上式看出,r∝ B qB
,当 r 最大时,
由题图可知,当粒子从 b 点射出时,磁场的磁感应强度为最小值,
由几何关系得 rmax=
2 2
L,所以 Bmin
2m v0 = qL
.
m v0 答案:(1) 2qh
(2)
2
2
v0 指向第Ⅳ象限与 x 轴正方向成 45°角
2m v0 (3) qL
要点二带电粒子在匀强磁场中运动的多解
问题
1.带电粒子电性不确定形成多解受洛伦兹力作用的带电粒子,可能带正电,也可能带负电,在相同的初速度的条件下,正负粒子在磁场中运动轨迹不同,形成多解. 如图(甲)带电粒子以速率 v 垂直进入匀强磁场,如带正电,其轨迹为 a,如带负电,其轨迹为 b.
(2 2 )dqB . 2 )d,v = m

超全带电粒子在有界磁场中运动的临界问题极值问题和多解问题

二．带电粒子在平行直线边界磁场中的运动
QP
P
QPQ
B
S 圆心在磁场
原边界上
S
圆心在过入射点跟边界垂直的直线上
S
圆心在过入射点跟跟速度方向垂直的直线上
①速度较小时，作半圆运动后从原边界飞出； ②速度增加为某临界值时，粒子作部分圆周运动其轨迹与另一边界相切；③速度较大时粒子作部分圆周运动后从另一边界飞出
பைடு நூலகம்
后从原边界飞出；②速度在某一范
围内从上侧面边界飞；③速度较大
时粒子做部分圆周运动从右侧面边
界飞出；④速度更大时粒子做部分
圆周运动从下侧面边界飞出。
量变积累到一定程度发生质变，出现临界状态（轨迹与边界相切）
(1)若使电子源发射的电子能到达挡板，则发射速度最小为多大？
(2)如果电子源S发射电子的速度为第(1)问中的2倍，则挡扳上被电子击中的区域范围有多大？
(2)要使正离子从O′孔垂直于N 板射出磁场，正离子射入磁场时的速度v0的可能值．
量变积累到一定程度发生质变，出现临界状态
三．带电粒子在矩形边界磁场中的运动
B
o
圆心在磁场原边界上
①速度较小时粒子作半圆运动后从原边界飞出；② 速度在某一范围内时从侧面边界飞出；③速度较大时粒子作部分圆周运动从对面边界飞出。
圆心在
过入射
点跟速
d
c 度方向
垂直的
直线上 B
θ
a
b
①速度较小时粒子做部分圆周运动
①速度较小时，作圆周运动通过射入点； ②速度增加为某临界值时，粒子作圆周运动其轨迹与另一边界相切；③速度较大时粒子作部分圆周运动后从另一边界飞出

带电粒子在磁场中的运动(单边界、双边界、三角形、四边形、圆边界、临界问题、多解问题)(解析版)

带电粒子在磁场中的运动（单边界、双边界、三角形、四边形、圆边界、临界问题、多解问题）建议用时：60分钟带电粒子在磁场中的运动A．M带正电，N带负电B．M的速率小于N的速率A．1kBL，0°B3【答案】B【详解】若离子通过下部分磁场直接到达根据几何关系则有：R由：2v qvB mR=可得：qBLv kBLm==根据对称性可知出射速度与当离子在两个磁场均运动一次时，如图乙所示，因为两个磁场的磁感应强度大小均为根据洛伦兹力提供向心力，有：可得：122qBLv kBLm==此时出射方向与入射方向相同，即出射方向与入射方向的夹角为：通过以上分析可知当离子从下部分磁场射出时，需满足：此时出射方向与入射方向的夹角为：A．从ab边射出的粒子的运动时间均相同B．从bc边射出的粒子在磁场中的运动时间最长为C．粒子有可能从c点离开磁场D．若要使粒子离开长方形区域，速率至少为可见从ab射出的粒子做匀速圆周运动的半径不同，对应的圆心角不相同，所以时间也不同，故B．从bc边射出的粒子，其最大圆心角即与A ．粒子的速度大小为2qBdmB ．从O 点射出的粒子在磁场中的运动时间为C ．从x 轴上射出磁场的粒子在磁场中运动的最长时间与最短时间之比为D ．沿平行x 轴正方向射入的粒子离开磁场时的位置到得：R d=由洛仑兹力提供向心力可得：Bqv m=得：qBd v m=A 错误；A ．如果0v v >，则粒子速度越大，在磁场中运动的时间越长B ．如果0v v >，则粒子速度越大，在磁场中运动的时间越短C ．如果0v v <，则粒子速度越大，在磁场中运动的时间越长D ．如果0v v <，则粒子速度越大，在磁场中运动的时间越短【答案】B该轨迹恰好与y 轴相切，若上移，可知，对应轨迹圆心角可知，粒子在磁场中运动的时间越短，故CD ．若0v v <，结合上述可知，飞出的速度方向与x 轴正方向夹角仍然等于A ．粒子能通过cd 边的最短时间B ．若粒子恰好从c 点射出磁场，粒子速度C ．若粒子恰好从d 点射出磁场，粒子速度7．（2024·广西钦州·模拟预测）如图所示，有界匀强磁场的宽度为粒子以速度0v垂直边界射入磁场，离开磁场时的速度偏角为（）A．带电粒子在匀强磁场中做圆周运动的轨道半径为B．带电粒子在匀强磁场中做圆周运动的角速度为C．带电粒子在匀强磁场中运动的时间为D．匀强磁场的磁感应强度大小为【答案】B【详解】A．由几何关系可知，带电粒子在匀强磁场中做圆周运动的轨道半径为：A．该匀强磁场的磁感应强度B．带电粒子在磁场中运动的速率C．带电粒子在磁场中运动的轨道半径D．带电粒子在磁场中运动的时间C．根据几何关系可得：cos30aR = o所以：233R a =故C正确；AB．在磁场中由洛伦兹力提供向心力，即：A．从c点射出的粒子速度偏转角度最大C．粒子在磁场运动的最大位移为10．（2024·四川乐山·三模）如图所示，在一个半径为面向里的匀强磁场，O 为区域磁场圆心。

高中物理带电粒子在有界磁场中运动临界问题极值问题和多解问题

(1)综合③④结论知，所有从 ab 上射出的粒子的入射速度 v0 的范围应为q3Bml<v0<qmBl.
临界状态（轨迹与边界相切）
d
c
临界Байду номын сангаас态
B
θv
（轨迹与边界相切）
a
b
圆心在过入射点跟速度方向垂直的直线上
①速度较小时粒子做部分圆周运动后从原边界飞出；
②速度在某一范围内从上侧面边界飞；
③速度较大时粒子做部分圆周运动从右侧面边界飞出；
④速度更大时粒子做部分圆周运动从下侧面边界飞出。
例1 如图所示，S为一个电子源，它可以在纸面内360°范围内发射速率相同的质量为m、电量为e的电子，MN是一块足够大的挡板，与S的距离OS＝L，挡板在靠近电子源一侧有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B，问：
PQ
v
S
圆心在过入射点跟跟速度方向垂直的直线上 ①速度较小时，作圆弧运动后从原边界飞出； ②速度增加为某临界值时，粒子作部分圆周运动其轨迹与另一边界相切； ③速度较大时粒子作部分圆周运动后从另一边界飞出
量变积累到一定程度发生质变，出现临界状态
二、带电粒子在矩形边界磁场中的运动
vB
o
圆心在磁场原边界上 ①速度较小时粒子作半圆运动后从原边界飞出； ②速度在某一范围内时从侧面边界飞出； ③速度较大时粒子作部分圆周运动从对面边界飞出。
(1)若使电子源发射的电子能到达挡板，则发射速度最小为多大？
(2)如果电子源S发射电子的速度为第(1)问中的2倍，则挡扳上被电子击中的区域范围有多大？
【解析】 (1)电子射出方向不同，其在匀强磁场中的轨迹不同，每个电子的圆轨道的圆心都位于以射出点 S 为圆心、半径 r＝mBev的圆弧上，如图所示．欲使电子有可能击中挡板，电子的轨道半径至少为L2，如图所示．

带电粒子在有界磁场中运动的临界问题

带电粒子在有界磁场中运动的临界问题“临界问题”大量存在于高中物理的许多章节中，如“圆周运动中小球能过最高点的速度条件”“动量中的避免碰撞问题”等等，这类题目中往往含有“最大”、“最高”、“至少”、“恰好”等词语，其最终的求解一般涉及极值，但关键是找准临界状态。

带电粒子在有界磁场中运动的临界问题，在解答上除了有求解临界问题的共性外，又有它自身的一些特点。

一、解题方法画图→动态分析→找临界轨迹。

（这类题目关键是作图，图画准了，问题就解决了一大半，余下的就只有计算了──这一般都不难。

）二、常见题型（B为磁场的磁感应强度，v0为粒子进入磁场的初速度）分述如下：第一类问题：例1 如图1所示，匀强磁场的磁感应强度为B，宽度为d，边界为CD和EF。

一电子从CD边界外侧以速率v0垂直匀强磁场射入，入射方向与CD边界夹角为θ。

已知电子的质量为m，电荷量为e，为使电子能从磁场的另一侧EF射出，求电子的速率v0至少多大？分析：如图2，通过作图可以看到：随着v0的增大，圆半径增大，临界状态就是圆与边界EF相切，然后就不难解答了。

第二类问题：例2如图3所示，水平线MN下方存在垂直纸面向里的磁感应强度为B的匀强磁场，在MN线上某点O正下方与之相距L的质子源S，可在纸面内360°范围内发射质量为m、电量为e、速度为v0=BeL/m 的质子，不计质子重力，打在MN上的质子在O点右侧最远距离OP=________，打在O点左侧最远距离OQ=__________。

分析：首先求出半径得r=L，然后作出临界轨迹如图4所示（所有从S发射出去的质子做圆周运动的轨道圆心是在以S为圆心、以r=L为半径的圆上，这类问题可以先作出这一圆──就是圆心的集合，然后以圆上各点为圆心，作出一系列动态圆），OP=，OQ=L。

【练习】如图5所示，在屏MN的上方有磁感应强度为B的匀强磁场，磁场方向垂直纸面向里。

P为屏上的一小孔，PC与MN垂直。

一群质量为m、带电荷量为－q的粒子（不计重力），以相同的速率v，从P处沿垂直于磁场的方向射入磁场区域。

高中物理磁场(三)带电粒子在匀强磁场中运动的临界极值问题与多解问题

带电粒子在匀强磁场中运动的临界极值问题与多解问题一、带电粒子在磁场中运动的临界极值思维方法物理系统由于某些原因而要发生突变时所处的状态，叫做临界状态．突变过程是从量变到质变的过程，在临界状态的前后，系统服从不同的物理规律，按不同的规律变化。

在高考试题中涉及的物理过程中常常出现隐含着一个或几个临界状态，需要通过分析思考，运用所学的知识和已有的能力去分析临界条件，挖掘出临界值，那么如何确定它们的临界条件？下面介绍三种寻找临界点的两种有效方法：1．对称思想带电粒子垂直射入磁场后，将做匀速圆周运动。

分析粒子运动，会发现它们具有对称的特点，即：粒子的运动轨迹关于入射点P与出射点Q的中垂线对称，轨迹圆心O位于对称线上，入射速度、出射速度与PQ 线间的夹角(也称为弦切角)相等，并有＝＝2＝t，如图所示。

应用这一粒子运动中的“对称性”不仅可以轻松地画出粒子在磁场中的运动轨迹，对于某些临界问题的求解也非常便捷。

【典例】如图所示，半径r＝10cm的圆形区域内有匀强磁场，其边界跟y轴在坐标原点O处相切；磁场B＝0．33T垂直于纸面向内，在O处有一放射源S可沿纸面向各个方向射出速率均为v=3.2×106m/s的α粒子；已知α粒子质量为m=6.6×10-27kg，电量q=3.2×10-19c，则α粒子通过磁场空间的最大偏转角θ及在磁场中运动的最长时间t各多少？【审题指导】本题α粒子速率一定，所以在磁场中圆周运动半径一定，由于α粒子从点O进入磁场的方向不同故其相应的轨迹与出场位置均不同，则粒子通过磁场的速度偏向角θ不同，要使α粒子在运动中通过磁场区域的偏转角θ最大，则必使粒子在磁场中运动经过的弦长最大，因而圆形磁场区域的直径即为粒子在磁场中运动所经过的最大弦，依此作出α粒子的运动轨迹进行求解。

【名师点睛】当速度一定时，弧长（或弦长）越长，圆周角越大，则带电粒子在有界磁场中运动的时间越长。

2．放缩法带电粒子以任意速度沿特定方向射入匀强磁场时，它们将在磁场中做匀速圆周运动，其轨迹半径随速度的变化而变化，如图所示(图中只画出粒子带正电的情景)，速度v0越大，运动半径也越大。

高考物理一轮复习第八章第4节带电粒子在有界磁场中运动的临界极值问题和多解问题课件新人教版选修3

3．当速率 v 变化时，圆周角大的，运动时间③ ________.
二、带电粒子在有界磁场中的多解问题带电粒子在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，由于多种因素的影响，使问题形成多解，多解形成原因一般包含下述几个方面：
1．带电粒子电性不确定形成多解：受洛伦兹力作用的带电粒子，可能带正电荷，也可能带负电荷，在相同的初速度下，正负粒子在磁场中运动轨迹④________，导致形成双解．
由③④式解得
rr12＝n＋n 1 (n＝1,2,3……)⑤ 联立①②⑤式可得 B1、B2 应满足的条件 BB21＝n＋n 1 (n＝1,2,3……) 【答案】 BB21＝n＋n 1 (n＝1,2,3……)
跟踪训练 2 如图甲所示，M、N 为竖直放置彼此平行的两块平板，板间距离为 d，两板中央各有一个小孔 O、 O′且正对，在两板间有垂直于纸面方向的磁场，磁感应强度随时间的变化如图乙所示，有一束正离子在 t＝0 时垂直于 M 板从小孔 O 射入磁场．已知正离子的质量为 m，
带电荷量为 q，正离子在磁场中做匀速圆周运动的周期与磁感应强度变化的周期都为 T0，不考虑由于磁场变化而产生的电场的影响，不计离子所受重力．求：
(1)磁感应强度 B0 的大小； (2)要使正离子从 O′孔垂直于 N 板射出磁场，正离子射入磁场时的速度 v0 的可能值．诱思启导先分析正离子在交变磁场中的运动性质，明确物理过程，然后判断出要使正离子垂直于 N 板射出磁场，必须让正离子从 O 孔垂直于 M 板射入磁场，且在磁场中运动的时间正好是磁场变化周期的整数倍．
②因矩形区域 abcd 足够长，所以当轨道与 cd 相切时，其半径应是所有从 ab 上射出的粒子中最大的，对应粒子的速度也最大．设上述切点为 M，则该粒子轨道的圆心必在过 M 且与 cd 垂直的直线上．

带电粒子在磁场中运动——极值多解问题模板

带电粒子在Ⅱ区磁场中运动轨迹的圆心在 OA4 的中点，即 R2＝12r 在Ⅱ区磁场中运动的时间为 t2＝12T2
带电粒子从射入到射出磁场所用的总时间 t＝t1＋t2 由以上各式可得 B1＝56πqmt ，B2＝53πqmt
答案
5πm 6qt
5πm 3qt
建模感悟粒子在多个磁场中连续运动时，会画出不同的轨迹，从复杂的轨迹中找出规律，寻找解决问题的突破口，解这类问题时，关键在于能画出轨迹，想清楚粒子的运动过程，借助圆周运动的特点解决问题．
1)
B
． R vO0
·
S
t
总r
(n
1)R
tan
n 1
n2
v
v
5．如图所示，在半径为R的圆筒内有匀强磁场，质量
为m、带电量为q的正离子在小孔S处，以速度v0向着圆心射入，施加的磁感应强度为多大，此粒子才能在
最短的时间内从原孔射出？（设相碰时电量和动能均
无损失）
B
解:粒子经过n=2,3,4……次与圆筒
碰撞从原孔射出，其运动轨迹具
有对称性．当发生最少碰撞次数
r
． R vO0
n=2时 600
r R cot 300 3R
·
O’
r
S
qvB m v2 B mv0 mv0
r
qr 3qR
t 3 1 T m 3R
6 qB v0
当发生碰撞次数n=3时
900
（1）若能打到P点，则粒子速度的最小值为多少？（2）若能打到P点，则粒子在磁场中运动的最长时间为多少？
例1.如图所示，一带电质点，质量为m，电量为q，以平行于Ox轴的速度v从y轴上的a点射入图中第一象限所示的区域.为了使该质点能从x轴上的b点以垂直于Ox轴的速度v射出，可在适当的地方加一个垂直于xy平面、磁感应强度为B的匀强磁场.若此磁场仅分布在一个圆形区域内，试求这圆形磁场区域的最小半径.重力忽略不计. （若磁场为矩形，或正三角形又如何？）

带电粒子在有界磁场中运动的临界问题解析

带电粒子在有界磁场中运动的临界问题解析“带电粒子在磁场中的运动”是历年高考中的一个重要考点，而“带电粒子在有界磁场中的运动” 则是此考点中的一个难点．其难点在于带电粒子进入设定的有界磁场后只运动一段圆弧就飞出磁场边界，其轨迹不是完整的圆，它要求考生根据带电粒子运动的几何图形去寻找几何关系，然后应用数学工具和相应物理规律分析解决问题．下面举例谈谈带电粒子在不同形状有界磁场中运动的一些临界问题．一、带电粒子在“圆形磁场区域”中的运动例1、如图1，半径为cm r 10=的匀强磁场区域边界跟y 轴相切于坐标原点O ，磁感强度T B 332.0=，方向垂直纸面向里．在O 处有一放射源S ，可向纸面各个方向射出速度为s m v /102.36⨯=的粒子．已知α粒子质量kg m 271064.6-⨯=，电量C q 19102.3-⨯=，试画出α粒子通过磁场空间做圆周运动的圆心轨道，求出α粒子通过磁场空间的最大偏角．解：由qvB =Rv m 2可求R =0.2m由圆心角=偏向角，当粒子从O 点射出后穿过磁场路径最大时，对应圆心角最大。

由几何关系圆心角为60º 故最大偏角为60 º二、带电粒子在“长方形磁场区域”中的运动例2、如图2，长为L 间距为d 的水平两极板间，有垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感强度为B ，两板不带电，现有质量为m ，电量为q 的带正电粒子（重力不计），从左侧两极板的中心处以不同速率v 水平射入，欲使粒子不打在板上，求粒子速率v 应满足什么条件．解：两种情形1.当粒子以较小速度射入从磁场左边界射出，对应最大速度为v 1，半径为r 1图2⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯→∙d LvmqBdv dr r v m B qv 4 4111211===可求2.以较大速度射入从磁场右边界射出对应最小速度v 2，半径r 2mdL d qB v L dr r r mv B qv 4)4()2( 222222222222+=+-==可求三、带电粒子在“三角形磁场区域”中的运动例3、在边长为a 2的ABC ∆内存在垂直纸面向里的磁感强度为B 的匀强磁场，（边界无磁场）有一带正电q ，质量为m 的粒子从距Ａ点a 3的Ｄ点垂直ＡＢ方向进入磁场，如图3所示，若粒子能从ＡＣ间离开磁场，求粒子速率应满足什么条件．解：若粒子恰好与AC 相切.轨道半径为r 1，速度为v 1mqBa v mqBam qBa v a r r a r v r BC mqBa v a r r mv B qv a r r 3)336(3 330cos ])32([)336()336( 330cos 22222211121111<<-===-+-=-===+故可求速度为相切半径为若粒子恰好与可求图3DB四、带电粒子在“宽度一定的无限长磁场区域”中的运动例4、如图4所示，A 、B 为水平放置的足够长的平行板，板间距离为m d 2100.1-⨯=, A 板中央有一电子源P ，在纸面内能向各个方向发射速度在s m /102.3~07⨯范围内的电子，Ｑ为P 点正上方B 板上的一点，若垂直纸面加一匀强磁场，磁感应强度T B 3101.9-⨯=，已知电子的质量kg m 31101.9-⨯=，电子电量C e 19106.1-⨯=，不计电子的重力和电子间相互作用力，且电子打到板上均被吸收，并转移到大地．求：（1）沿P Ｑ方向射出的电子击中A 、B 两板上的范围．（２）若从Ｐ点发出的粒子能恰好击中Ｑ点，则电子的发射方向（用图中θ角表示）与电子速度的大小v 之间应满足的关系．解：①粒子运动的最大半径处至点右侧从板范围为打在范围点至距板上范围为打在m m Q B m d P P A mqB mv r mm 222210110)32(100.12102----⨯⨯-⨯=⨯==6108sin sin 2⨯====mqBdv qBmv r dr θθ则②五、带电粒子在“单边磁场区域”中的运动例5、如图5所示，在真空中坐标xoy 平面的0>x 区域内，有磁感强度T B 2100.1-⨯=的匀强磁场，方向与xoy 平面垂直，在x 轴上的)0,10(p 点，有一放射源，在xoy 平面内向各个方向发射速率s m v /100.14⨯=的带正电的粒子，粒子的质量为kg m 25106.1-⨯=，电量为C q 18106.1-⨯=，求带电粒子能打到y 轴上的范围．解：y 轴范围mqBmvr rr 1.03==-至从练习1.在半径为R 的半圆形区域中有一匀强磁场，磁场的方向垂直于纸面，磁感应强度为B 。

高考物理复习 (超全)带电粒子在有界磁场中运动的临界问题、极值问题和多解问题

第八章第4节
高考调研
高三物理（新课标版）
一、带电粒子在有界磁场中运动的临界极值问题规律方法 1．解决此类问题关键是找准临界点，审题应抓住题目中的“恰好”“最大”“最高”“至少”等词语作为突破口，挖掘隐含条件，分析可能的情况，如有必要则画出几个不同半径相应的轨迹图，从而分析出临界条件．寻找临界点的两种有效方法：
第八章第4节
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3．临界状态不唯一形成多解带电粒子在洛伦兹力作用下飞越有界磁场时，由于粒子运动轨迹是圆弧状，因此，它可能穿过去了，也可能转过 180°从入射界面这边反向飞出，如图所示，于是形成了多解．
第八章第4节
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4．运动的往复性形成多解 (1)带电粒子在部分是电场、部分是磁场的空间运动时，运动往往具有往复性，从而形成多解．如图所示．
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(2)带电粒子在磁场中运动时，由于磁场方向突然反向等，使得运动具有往复性而形成多解．
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例 2 如图所示，在 x<0 与 x>0 的区域中，存在磁感应强度大小分别为 B1 与 B2 的匀强磁场，磁场方向均垂直于纸面向里，且 B1>B2.一个带负电荷的粒子从坐标原点 O 以速度 v 沿 x 轴负方向射出，要使该粒子经过一段时间后又经过 O 点，B1 与 B2 的比值应满足什么条件？
可能
第八章第4节
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3．临界状态⑥_不__同_____形成多解：带电粒子在洛伦兹力作用下飞越有界磁场时，由于粒子运动速度不同，因此，它可能穿过去了，可能转过 180°从入射界面这边反向飞出，如图所示，于是形成多解．