陕西省高中数学人教版选修2-2(理科)第二章推理与证明2.3数学归纳法同步练习
最新人教版选修2-2高中数学第二章 推理与证明2.3数学归纳法习题课 同步习题及答案
习题课 数学归纳法明目标、知重点1．进一步掌握数学归纳法的实质与步骤，掌握用数学归纳法证明等式、不等式、整除问题、几何问题等数学命题．2．掌握证明n ＝k ＋1成立的常见变形技巧：提公因式、添项、拆项、合并项、配方等．1．归纳法归纳法是一种由特殊到一般的推理方法，分完全归纳法和不完全归纳法两种，而不完全归纳法得出的结论不具有可靠性，必须用数学归纳法进行严格证明． 2．数学归纳法(1)应用范围：作为一种证明方法，用于证明一些与正整数n 有关的数学命题； (2)基本要求：它的证明过程必须是两步，最后还有结论，缺一不可； (3)注意点：在第二步递推归纳时，从n ＝k 到n ＝k ＋1必须用上归纳假设．题型一 用数学归纳法证明不等式思考 用数学归纳法证明不等式的关键是什么？答 用数学归纳法证明不等式，首先要清楚由n ＝k 到n ＝k ＋1时不等式两边项的变化；其次推证中可以利用放缩、比较、配凑分析等方法，利用归纳假设证明n ＝k ＋1时的结论．例 1 已知数列{b n }的通项公式为b n ＝2n ，求证：对任意的n ∈N *，不等式b 1＋1b 1·b 2＋1b 2·…·b n ＋1b n >n ＋1都成立． 证明 由b n ＝2n ，得b n ＋1b n ＝2n ＋12n ，所以b 1＋1b 1·b 2＋1b 2·…·b n ＋1b n ＝32·54·76·…·2n ＋12n.下面用数学归纳法证明不等式b 1＋1b 1·b 2＋1b 2·…·b n ＋1b n＝32·54·76·…·2n ＋12n>n ＋1成立． (1)当n ＝1时，左边＝32，右边＝2，因为32>2，所以不等式成立．(2)假设当n ＝k (k ≥1且k ∈N *)时不等式成立， 即b 1＋1b 1·b 2＋1b 2·…·b k ＋1b k ＝32·54·76·…·2k ＋12k>k ＋1成立． 则当n ＝k ＋1时，左边＝b 1＋1b 1·b 2＋1b 2·…·b k ＋1b k ·b k ＋1＋1b k ＋1＝32·54·76·…·2k ＋12k ·2k ＋32k ＋2 >k ＋1·2k ＋32k ＋2＝(2k ＋3)24(k ＋1)＝4k 2＋12k ＋94(k ＋1)>4k 2＋12k ＋84(k ＋1)＝4(k 2＋3k ＋2)4(k ＋1)＝4(k ＋1)(k ＋2)4(k ＋1)＝k ＋2＝(k ＋1)＋1. 所以当n ＝k ＋1时， 不等式也成立． 由(1)、(2)可得不等式b 1＋1b 1·b 2＋1b 2·…·b n ＋1b n ＝32·54·76·…·2n ＋12n>n ＋1对任意的n ∈N *都成立．反思与感悟 用数学归纳法证明不等式时要注意两凑：一凑归纳假设；二凑证明目标．在凑证明目标时，比较法、综合法、分析法都可选用．跟踪训练1 用数学归纳法证明122＋132＋142＋…＋1n 2<1－1n (n ≥2，n ∈N *)．证明 当n ＝2时，左式＝122＝14，右式＝1－12＝12，因为14<12，所以不等式成立．假设n＝k(k≥2，k∈N*)时，不等式成立，即122＋132＋142＋…＋1k2<1－1k，则当n＝k＋1时，1 22＋132＋142＋…＋1k2＋1(k＋1)2<1－1k＋1(k＋1)2＝1－(k＋1)2－kk(k＋1)2＝1－k2＋k＋1k(k＋1)2<1－k(k＋1)k(k＋1)2＝1－1k＋1，所以当n＝k＋1时，不等式也成立．综上所述，对任意n≥2的正整数，不等式都成立．题型二利用数学归纳法证明整除问题例2 求证：a n＋1＋(a＋1)2n－1能被a2＋a＋1整除，n∈N*.证明(1)当n＝1时，a1＋1＋(a＋1)2×1－1＝a2＋a＋1，命题显然成立．(2)假设当n＝k(k∈N*)时，a k＋1＋(a＋1)2k－1能被a2＋a＋1整除，则当n＝k＋1时，a k＋2＋(a＋1)2k＋1＝a·a k＋1＋(a＋1)2·(a＋1)2k－1＝aa k＋1＋(a＋1)2k－1]＋(a＋1)2(a＋1)2k－1－a(a＋1)2k－1＝aa k＋1＋(a＋1)2k－1]＋(a2＋a＋1)(a＋1)2k－1.由归纳假设，上式中的两项均能被a2＋a＋1整除，故n＝k＋1时命题成立．由(1)(2)知，对任意n∈N*，命题成立．反思与感悟证明整除性问题的关键是“凑项”，先采用增项、减项、拆项和因式分解等手段，凑成n＝k时的情形，再利用归纳假设使问题获证．跟踪训练2 证明x2n－1＋y2n－1(n∈N*)能被x＋y整除．证明(1)当n＝1时，x2n－1＋y2n－1＝x＋y，能被x＋y整除．(2)假设当n＝k(k∈N*)时，命题成立，即x2k－1＋y2k－1能被x＋y整除．那么当n＝k＋1时，x2(k＋1)－1＋y2(k＋1)－1＝x2k＋1＋y2k＋1＝x2k－1＋2＋y2k－1＋2＝x2·x2k－1＋y2·y2k－1＋x2·y2k－1－x2·y2k－1＝x2(x2k－1＋y2k－1)＋y2k－1(y2－x2)．∵x2k－1＋y2k－1能被x＋y整除，y2－x2＝(y＋x)(y－x)也能被x＋y整除，∴当n＝k＋1时，x2(k＋1)－1＋y2(k＋1)－1能被x＋y整除．由(1)，(2)可知原命题成立．题型三利用数学归纳法证明几何问题思考用数学归纳法证明几何问题的关键是什么？答用数学归纳法证明几何问题的关键是“找项”，即几何元素从k个变成k＋1个时，所证的几何量将增加多少，还需用到几何知识或借助于几何图形来分析，实在分析不出来的情况下，将n＝k＋1和n＝k分别代入所证的式子，然后作差，即可求出增加量，然后只需稍加说明即可，这也是用数学归纳法证明几何命题的一大技巧．例3 平面内有n(n∈N*，n≥2)条直线，其中任何两条不平行，任何三条不过同一点，证明：交点的个数f(n)＝n(n－1)2.证明(1)当n＝2时，两条直线的交点只有一个，又f(2)＝12×2×(2－1)＝1，∴当n＝2时，命题成立．(2)假设n＝k(k>2)时，命题成立，即平面内满足题设的任何k条直线交点个数f(k)＝12k(k－1)，那么，当n＝k＋1时，任取一条直线l，除l以外其他k条直线交点个数为f(k)＝12k(k－1)，l与其他k条直线交点个数为k，从而k＋1条直线共有f(k)＋k个交点，即f(k＋1)＝f(k)＋k＝12k(k－1)＋k＝12k(k－1＋2)＝12k(k＋1)＝12(k＋1)(k＋1)－1]，∴当n＝k＋1时，命题成立．由(1)(2)可知，对任意n∈N*(n≥2)命题都成立．反思与感悟用数学归纳法证明几何问题时，一要注意数形结合，二要注意有必要的文字说明．跟踪训练3 有n个圆，其中每两个圆相交于两点，并且每三个圆都不相交于同一点，求证：这n个圆把平面分成f(n)＝n2－n＋2部分．证明(1)n＝1时，分为2块，f(1)＝2，命题成立；(2)假设n＝k(k∈N*)时，被分成f(k)＝k2－k＋2部分；那么当n＝k＋1时，依题意，第k＋1个圆与前k个圆产生2k个交点，第k＋1个圆被截为2k段弧，每段弧把所经过的区域分为两部分，所以平面上净增加了2k个区域．∴f(k＋1)＝f(k)＋2k＝k2－k＋2＋2k＝(k＋1)2－(k＋1)＋2，即n＝k＋1时命题成立，由(1)(2)知命题成立．呈重点、现规律]1．数学归纳法证明与正整数有关的命题，包括等式、不等式、数列问题、整除问题、几何问题等．2．证明问题的初始值n0不一定，可根据题目要求和问题实际确定n0.3．从n＝k到n＝k＋1要搞清“项”的变化，不论是几何元素，还是式子；一定要用到归纳假设.一、基础过关1．用数学归纳法证明等式1＋2＋3＋…＋(n＋3)＝(n＋3)(n＋4)2(n∈N*)，验证n＝1时，左边应取的项是( )A．1 B．1＋2C．1＋2＋3 D．1＋2＋3＋4答案 D解析等式左边的数是从1加到n＋3.当n＝1时，n＋3＝4，故此时左边的数为从1加到4.2．用数学归纳法证明“2n>n2＋1对于n≥n0的自然数n都成立”时，第一步证明中的起始值n0应取( )A．2 B．3C．5 D．6答案 C解析当n取1、2、3、4时2n>n2＋1不成立，当n＝5时，25＝32>52＋1＝26，第一个能使2n>n2＋1的n值为5，故选C.3．已知f(n)＝1＋12＋13＋…＋1n(n∈N*)，证明不等式f(2n)>n2时，f(2k＋1)比f(2k)多的项数是( )A．2k－1项B．2k＋1项C．2k项D．以上都不对答案 C解析观察f(n)的表达式可知，右端分母是连续的正整数，f(2k)＝1＋12＋…＋12k，而f(2k＋1)＝1＋12＋…＋12k＋12k＋1＋12k＋2＋…＋12k＋2k.因此f(2k＋1)比f(2k)多了2k项．4．用数学归纳法证明不等式1n＋1＋1n＋2＋…＋12n>1124(n∈N*)的过程中，由n＝k递推到n＝k＋1时，下列说法正确的是( )A．增加了一项12(k＋1)B．增加了两项12k＋1和12(k＋1)C．增加了B中的两项，但又减少了一项1 k＋1D．增加了A中的一项，但又减少了一项1 k＋1答案 C解析当n＝k时，不等式左边为1k＋1＋1k＋2＋…＋12k，当n＝k＋1时，不等式左边为1k＋2＋1k＋3＋…＋12k＋12k＋1＋12k＋2，故选C.5．用数学归纳法证明“n3＋(n＋1)3＋(n＋2)3(n∈N*)能被9整除”，要利用归纳假设证n＝k＋1时的情况，只需展开( )A．(k＋3)3B．(k＋2)3C．(k＋1)3D．(k＋1)3＋(k＋2)3答案 A解析假设当n＝k时，原式能被9整除，即k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3能被9整除．当n＝k＋1时，(k＋1)3＋(k＋2)3＋(k＋3)3为了能用上面的归纳假设，只需将(k ＋3)3展开，让其出现k3即可．6．已知数列{a n}的前n项和为S n，且a1＝1，S n＝n2a n(n∈N*)．依次计算出S1，S2，S3，S4后，可猜想S n的表达式为________________．答案S n＝2n n＋1解析S1＝1，S2＝43，S3＝32＝64，S4＝85，猜想S n＝2nn＋1.7．已知正数数列{a n}(n∈N*)中，前n项和为S n，且2S n＝a n＋1an，用数学归纳法证明：a n＝n－n－1.证明(1)当n＝1时，a1＝S1＝12(a1＋1a1)，∴a21＝1(a n>0)，∴a1＝1，又1－0＝1，∴n＝1时，结论成立．(2)假设n＝k(k∈N*)时，结论成立，即a k＝k－k－1. 当n＝k＋1时，a k＋1＝S k＋1－S k＝12(a k＋1＋1ak＋1)－12(a k＋1ak)＝12(a k＋1＋1ak＋1)－12(k－k－1＋1k－k－1)＝12(a k＋1＋1ak＋1)－k.∴a2k＋1＋2ka k＋1－1＝0，解得a k＋1＝k＋1－k(a n>0)，∴n＝k＋1时，结论成立．由(1)(2)可知，对n∈N*都有a n＝n－n－1.二、能力提升8．对于不等式n2＋n≤n＋1 (n∈N*)，某学生的证明过程如下：①当n＝1时，12＋1≤1＋1，不等式成立．②假设n＝k (n∈N*)时，不等式成立，即k2＋k≤k＋1，则n＝k＋1时，(k＋1)2＋(k＋1)＝k2＋3k＋2<k2＋3k＋2＋(k＋2)＝(k＋2)2＝(k＋1)＋1，所以当n＝k＋1时，不等式成立，上述证法( )A．过程全部正确B．n＝1验证不正确C．归纳假设不正确D．从n＝k到n＝k＋1的推理不正确答案 D解析从n＝k到n＝k＋1的推理中没有使用归纳假设，不符合数学归纳法的证题要求．9．用数学归纳法证明122＋132＋…＋1(n＋1)2>12－1n＋2.假设n＝k时，不等式成立．则当n＝k＋1时，应推证的目标不等式是__________________________．答案122＋132＋…＋1k2＋1(k＋1)2＋1(k＋2)2>12－1k＋3解析观察不等式中的分母变化知，122＋132＋…＋1k2＋1(k＋1)2＋1(k＋2)2>12－1k＋3.10．证明：62n－1＋1能被7整除(n∈N*)．证明(1)当n＝1时，62－1＋1＝7能被7整除．(2)假设当n＝k(k∈N*)时，62k－1＋1能被7整除．那么当n＝k＋1时，62(k＋1)－1＋1＝62k－1＋2＋1＝36×(62k－1＋1)－35.∵62k－1＋1能被7整除，35也能被7整除，∴当n＝k＋1时，62(k＋1)－1＋1能被7整除．由(1)，(2)知命题成立．11．求证：1n＋1＋1n＋2＋…＋13n>56(n≥2，n∈N*)．证明(1)当n＝2时，左边＝13＋14＋15＋16>56，不等式成立．(2)假设当n＝k(k≥2，k∈N*)时命题成立，即1k＋1＋1k＋2＋…＋13k>56.则当n＝k＋1时，1 (k＋1)＋1＋1(k＋1)＋2＋…＋13k＋13k＋1＋13k＋2＋13(k＋1)＝1k＋1＋1k＋2＋…＋13k＋(13k＋1＋13k＋2＋13k＋3－1k＋1)>56＋(13k＋1＋13k＋2＋13k＋3－1k＋1)>56＋(3×13k＋3－1k＋1)＝56，所以当n＝k＋1时不等式也成立．由(1)和(2)可知，原不等式对一切n≥2，n∈N*均成立．12．已知数列{a n }中，a 1＝－23，其前n 项和S n 满足a n ＝S n ＋1S n＋2(n ≥2)，计算S 1，S 2，S 3，S 4，猜想S n 的表达式，并用数学归纳法加以证明． 解 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝S n ＋1S n＋2.∴S n ＝－1S n －1＋2(n ≥2)． 则有：S 1＝a 1＝－23，S 2＝－1S 1＋2＝－34，S 3＝－1S 2＋2＝－45，S 4＝－1S 3＋2＝－56，由此猜想：S n ＝－n ＋1n ＋2(n ∈N *)．用数学归纳法证明：(1)当n ＝1时，S 1＝－23＝a 1，猜想成立．(2)假设n ＝k (k ∈N *)猜想成立，即S k ＝－k ＋1k ＋2成立，那么n ＝k ＋1时，S k ＋1＝－1S k ＋2＝－1－k ＋1k ＋2＋2＝－k ＋2k ＋3＝－(k ＋1)＋1(k ＋1)＋2. 即n ＝k ＋1时猜想成立．由(1)(2)可知，对任意正整数n ，猜想结论均成立． 三、探究与拓展13．已知递增等差数列{a n }满足：a 1＝1，且a 1，a 2，a 4成等比数列．(1)求数列{a n }的通项公式a n ；(2)若不等式(1－12a 1)·(1－12a 2)·…·(1－12a n )≤m 2a n ＋1对任意n ∈N *，试猜想出实数m 的最小值，并证明．解 (1)设数列{a n }公差为d (d >0)，由题意可知a 1·a 4＝a 22，即1(1＋3d )＝(1＋d )2，解得d ＝1或d ＝0(舍去)．所以a n ＝1＋(n －1)·1＝n .(2)不等式等价于12·34·56·…·2n －12n ≤m 2n ＋1， 当n ＝1时，m ≥32；当n ＝2时，m ≥358； 而32>358，所以猜想，m 的最小值为32. 下面证不等式12·34·56·…·2n －12n ≤322n ＋1对任意n ∈N *恒成立． 下面用数学归纳法证明： 证明 (1)当n ＝1时，12≤323＝12，命题成立． (2)假设当n ＝k 时，不等式，12·34·56·…·2k －12k ≤322k ＋1成立， 当n ＝k ＋1时，12·34·56·…·2k －12k ·2k ＋12k ＋2≤322k ＋1·2k ＋12k ＋2， 只要证322k ＋1·2k ＋12k ＋2≤ 322k ＋3， 只要证2k ＋12k ＋2≤12k ＋3，只要证2k ＋12k ＋3≤2k ＋2， 只要证4k 2＋8k ＋3≤4k 2＋8k ＋4，只要证3≤4，显然成立．1 2·34·56·…·2n－12n≤322n＋1恒成立．所以，对任意n∈N*，不等式。
高中数学 第二章 推理与证明 2.3 数学归纳法高效测评 新人教A版选修2-2(2021年最新整理)
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新人教A版选修2—2一、选择题（每小题5分，共20分）1．用数学归纳法证明“1＋a＋a2＋…＋a2n＋1＝错误!(a≠1）”．在验证n＝1时，左端计算所得项为( )A．1＋a B．1＋a＋a2C．1＋a＋a2＋a3D．1＋a＋a2＋a3＋a4解析：将n＝1代入a2n＋1得a3，故选C。
答案：C2．用数学归纳法证明(n＋1）（n＋2）…（n＋n）＝2n·1·3·…·(2n－1)（n∈N＋)，从n＝k推导到n＝k＋1时，左边需要增乘的代数式为( )A．2（2k＋1) B．2k＋1C．错误!D．错误!解析：当n＝k时,等式左端为（k＋1）（k＋2）·…·（k＋k），当n＝k＋1时，等式左端为(k＋1＋1）（k＋1＋2）…(k＋k)（k＋k＋1)（2k＋2)，∴从n＝k推导到n＝k＋1时，左边需增乘的式子为2（2k＋1）．答案：A3．若命题A(n）(n∈N*）n＝k(k∈N*）时命题成立,则有n＝k＋1时命题成立．现知命题对n＝n(n0∈N*）时命题成立．则有（)A．命题对所有正整数都成立B．命题对小于n0的正整数不成立，对大于或等于n0的正整数都成立C．命题对小于n0的正整数成立与否不能确定，对大于或等于n0的正整数都成立D．以上说法都不正确解析：由题意知n＝n0时命题成立能推出n＝n0＋1时命题成立，由n＝n0＋1时命题成立，又推出n＝n0＋2时命题也成立…，所以对大于或等于n0的正整数命题都成立，而对小于n0的正整数命题是否成立不确定．答案: C4．k棱柱有f(k）个对角面,则(k＋1）棱柱的对角面个数f（k＋1）为（k≥3,k∈N*）（) A．f（k)＋k－1 B．f(k）＋k＋1C．f(k）＋k D．f（k）＋k－2解析：三棱柱有0个对角面，四棱柱有2个对角面(0＋2＝0＋（3－1）)；五棱柱有5个对角面(2＋3＝2＋（4－1)）;六棱柱有9个对角面(5＋4＝5＋（5－1）)．猜想：若k棱柱有f（k)个对角面，则（k＋1)棱柱有f（k)＋k－1个对角面．答案：A二、填空题(每小题5分，共10分）5．用数学归纳法证明“对于足够大的自然数n，总有2n〉n3"时，验证第一步不等式成立所取的第一个值n0最小应当是________．解析：∵210＝1 024>103,29＝512〈93，∴填10.答案：106．用数学归纳法证明：1＋2＋22＋…＋2n－1＝2n－1(n∈N＊)的过程如下：(1)当n＝1时，左边＝1,右边＝21－1＝1，等式成立．(2)假设当n＝k(k∈N*）时等式成立，即1＋2＋22＋…＋2k－1＝2k－1,则当n＝k＋1时，1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＝错误!＝2k＋1－1.所以当n＝k＋1时等式也成立．由此可知对于任何n∈N＊，等式都成立．上述证明的错误是________．解析：本题在由n＝k成立,证n＝k＋1成立时，应用了等比数列的求和公式,而未用上假设条件，这与数学归纳法的要求不符．答案: 未用归纳假设三、解答题（每小题10分，共20分）7．用数学归纳法证明：1－错误!＋错误!－错误!＋…＋错误!－错误!＝错误!＋错误!＋…＋错误!（n∈N＋）．证明: (1）当n＝1时，左边＝1－错误!＝错误!＝右边,等式成立．（2）假设当n＝k时等式成立，即1－错误!＋错误!－错误!＋…＋错误!－错误!＝错误!＋错误!＋…＋12k 。
高中数学人教版选修2-2(理科) 第二章推理与证明 2.3数学归纳法 同步练习A卷
高中数学人教版选修2-2（理科）第二章推理与证明 2.3数学归纳法同步练习A卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共1题；共2分)1. （2分）(2018高二下·济宁期中) 用数学归纳法证明（）时，从向过渡时，等式左边应增添的项是（）A .B .C .D .二、选择题 (共7题；共14分)2. （2分）用数学归纳法证明不等式2n>n2时，第一步需要验证n0=_____时，不等式成立（）A . 5B . 2和4C . 3D . 13. （2分）用火柴棒摆“金鱼”，如图所示：按照上面的规律，第n个“金鱼”图需要火柴棒的根数为（）A . 6n-2B . 8n-2C . 6n+2D . 8n+24. （2分）用数学归纳法证明“当n为正奇数时，xn+yn能被x+y整除”，第二步归纳假设应写成（）A . 假设n=2k+1（k∈N*）正确，再推n=2k+3正确B . 假设n=2k﹣1（k∈N*）正确，再推n=2k+1正确C . 假设n=k（k∈N*）正确，再推n=k+1正确D . 假设n=k（k≥1）正确，再推n=k+2正确5. （2分）已知，则f(k+1)= （）A .B .C .D .6. （2分）用数学归纳法证明“1＋2＋22＋…＋2n－1＝2n－1(n∈N＋)”的过程中，第二步n＝k时等式成立，则当n＝k＋1时，应得到（）A . 1＋2＋22＋…＋2k－2＋2k－1＝2k＋1－1B . 1＋2＋22＋…＋2k＋2k＋1＝2k－1＋2k＋1C . 1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＋1＝2k＋1－1D . 1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＝2k＋1－17. （2分）某个命题与正整数有关，若当n=k时该命题成立，那么可推得当 n=k+1 时该命题也成立，现已知当 n=4 时该命题不成立，那么可推得（）A . 当 n=5 时，该命题不成立B . 当 n=5 时，该命题成立C . 当 n=3 时，该命题成立D . 当 n=3 时，该命题不成立8. （2分）用数学归纳法证明“当 n 为正奇数时，xn+yn 能被 x+y 整除”，第二步归纳假设应该写成（）A . 假设当n=k时， xk+yk 能被 x+y 整除B . 假设当N=2K 时， xk+yk 能被 x+y 整除C . 假设当N=2K+1 时， xk+yk 能被 x+y 整除D . 假设当 N=2K-1时， x2k-1+y2k-1 能被 x+y 整除三、填空题 (共3题；共3分)9. （1分）用数学归纳法证明“当n为正奇数时，xn＋yn能被x＋y整除”，当第二步假设n＝2k－1(k∈N ＋)命题为真时，进而需证n＝________时，命题亦真．10. （1分）已知，则 f(n) 中共有________项．11. （1分）用数学归纳法证明：，在验证n＝1时，左边计算所得的项为________四、解答题 (共3题；共25分)12. （10分） (2016高二下·潍坊期末) 已知{fn（x）}满足f1（x）= （x＞0），fn+1（x）=f1[fn（x）]，（1）求f2（x），f3（x），并猜想fn（x）的表达式；（2）用数学归纳法证明对fn（x）的猜想．13. （5分）(2017·南通模拟) 已知数列{an}的前n项和为Sn ，通项公式为．（Ⅰ）计算f（1），f（2），f（3）的值；（Ⅱ）比较f（n）与1的大小，并用数学归纳法证明你的结论．14. （10分） (2017高二下·太原期中) 已知数列{an}的前n项和为Sn ，且满足a1= ，2Sn﹣SnSn﹣1=1（n≥2）．（1）猜想Sn的表达式，并用数学归纳法证明；（2）设bn= ，n∈N*，求bn的最大值．参考答案一、单选题 (共1题；共2分)1-1、二、选择题 (共7题；共14分)2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、三、填空题 (共3题；共3分)9-1、10-1、11-1、四、解答题 (共3题；共25分)12-1、12-2、13-1、14-1、14-2、。
陕西省高中数学人教版选修2-2(理科)第二章推理与证明2.2.2反证法同步练习
陕西省高中数学人教版选修2-2（理科）第二章推理与证明 2.2.2反证法同步练习姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共8题；共16分)1. （2分）用反证法证明：若整系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有有理数根，那么a、b、c中至少有一个是偶数．用反证法证明时，下列假设正确的是（）A . 假设a、b、c都是偶数B . 假设a、b、c都不是偶数C . 假设a、b、c至多有一个偶数D . 假设a、b、c至多有两个偶数2. （2分） (2018高二下·大连期末) 用反证法证明“若则或”时，应假设（）A . 或B . 且C .D .3. （2分）用反证法证明命题“三角形的内角至多有一个钝角”时，假设正确的是（）A . 假设至少有一个钝角B . 假设至少有两个钝角C . 假设没有一个钝角D . 假设没有一个钝角或至少有两个钝角4. （2分） (2017高二下·赣州期中) 用反证法证明命题“若自然数a，b，c的积为偶数，则a，b，c中至少有一个偶数”时，对结论正确的反设为（）A . a，b，c中至多有一个偶数B . a，b，c都是奇数C . a，b，c至多有一个奇数D . a，b，c都是偶数5. （2分） (2018高二下·葫芦岛期末) 甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，只有其中一位获奖．有人走访了四位歌手，甲说：“是乙或丙获奖．”乙说：“甲、丙都未获奖．”丙说：“我获奖了．”丁说：“是乙获奖．”四位歌手的话只有两句是对的，则获奖的歌手是（）A . 甲B . 乙C . 丙D . 丁6. （2分）用反证法证明“若a，b，c<3，则a，b，c中至少有一个小于1”时，“假设”应为（）A . 假设a，b，c至少有一个大于1B . 假设a，b，c都大于1C . 假设a，b，c至少有两个大于1D . 假设a，b，c都不小于17. （2分）否定“自然数m，n，k中恰有一个奇数”时正确的反设为（）A . m，n，k都是奇数B . m，n，k都是偶数C . m，n，k中至少有两个偶数D . m，n，k都是偶数或至少有两个奇数8. （2分）用反证法证明命题：“已知a、b∈N* ，如果ab可被5整除，那么a、b 中至少有一个能被5整除”时，假设的内容应为（）A . a、b都能被5整除B . a、b都不能被5整除C . a、b不都能被5整除D . a不能被5整除二、填空题 (共3题；共3分)9. （1分） (2018高二下·长春月考) 用反证法证明命题“若可被5整除，则中至少有一个能被5整除”，反设的内容是________.10. （1分）完成反证法证题的全过程.设a1,a2,…,a7是1,2,…,7的一个排列,求证:乘积p=(a1-1)(a2-2)…(a7-7)为偶数.证明:假设p为奇数,则a1-1,a2-2,…,a7-7均为奇数.因奇数个奇数之和为奇数,故有奇数=________=0.但0≠奇数,这一矛盾说明p为偶数.11. （1分）用反证法证明命题：“如果a，b∈N，ab可被3整除，那么a，b中至少有一个能被3整除”时，假设的内容应为________ ．三、解答题 (共3题；共25分)12. （10分） (2018高三上·南阳期末) 已知，，函数的最小值为．（1）求的值；（2）证明：与不可能同时成立．13. （5分）若a2+b2=c2 ，求证：a，b，c不可能都是奇数．14. （10分）(2017·吴江模拟) 对于n维向量A=（a1 ， a2 ，…，an），若对任意i∈{1，2，…，n}均有ai=0或ai=1，则称A为n维T向量．对于两个n维T向量A，B，定义．（1）若A=（1，0，1，0，1），B=（0，1，1，1，0），求d（A，B）的值．（2）现有一个5维T向量序列：A1，A2，A3…，若A1=（1，1，1，1，1）且满足：d（Ai，Ai+1）=2，i∈N*．求证：该序列中不存在5维T向量（0，0，0，0，0）．参考答案一、选择题 (共8题；共16分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、二、填空题 (共3题；共3分)9-1、10-1、11-1、三、解答题 (共3题；共25分)12-1、12-2、13-1、14-1、14-2、。
高中数学选修2-2(人教A版)第二章推理与证明2.3知识点总结含同步练习及答案
) 个．
C．4 D．5
B．3
2. 设 a ，b ，c 均为正实数，则三个数 a + A．都大于 2
答案： D
1 1 1 ，b + ，c + b a a
(
)
C．至少有一个不大于 2
B．都不大于 2
D．至少有一个不小于 2
3. 设 x ∈ (0, 1) ， a = 1 + x ， b = 2√x ， c =
高中数学选修2-2(人教A版)知识点总结含同步练习题及答案
第二章 推理与证明 2.2 直接证明与间接证明
一、学习任务 了解分析法、综合法、反证法的思考过程和特点． 二、课后作业
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1. 下列表述：①综合法是执因导果法；②综合法是顺推法；③分析法是执果索因法；④分析法是间接证 法；⑤反证法是逆推法．其中正确的语句有 ( A．2
答案： 解析： 作差比较即可．
1 ，则 a 、 b 、 c 中最大的是 1−x
．
c
4. " x > 1 ，且 y > 1 "的充要条件是" x + y > 2 ，且
答案：
"．
(x − 1) (y − 1) > 0
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只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从
n0 开始的所有正整数 n 都成立．这种证明方法叫做
数学归纳法．
(2) 数学归纳法的框图表示
1．与正整数 n 有关的数学命题的证明只能用数学归纳法． 2．数学归纳法的第一步 n0 的初始值一定为 1.( × ) 3．数学归纳法的两个步骤缺一不可． ( √ )
(×)
＋ ＋1
k＋ 1
＋…＋ ＋2
3k＋ 3k＋ 1＋ 3k＋ 2＋ 3
k＋ 1
1
1
1
1
1
1
1
＝ k＋ 1＋ k＋2＋…＋ 3k＋ 3k＋ 1＋3k＋ 2＋3k＋ 3－ k＋1
5
1
1
1
1
>6＋ 3k＋ 1＋ 3k ( 分析法 )
5 下面证 (*) 式≥ 6，
1
2 k－ 1 a 即 ak ＝1＋ 2k－ 1－1 a，
所以当 n＝ k＋1 时，
2ka
2ak
1＋ 2k－1－ 1 a
ak＋1＝ 1＋ ak＝
2k －1 a
1＋ 1＋ 2 － k－1 1 a
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2ka ＝ 1＋ 2k －1－ 1 a＋2k－ 1a
k
2
a
＝ 1＋2×２k－1a－ a
4a ＝1＋ 7a.
1＋
1＋3a
20a (2) 因为 a1＝ a＝ 1＋ 20－ 1 a，
21a a2＝1＋ 21－ 1 a，…，
2 n－ 1a 猜想 an＝ 1＋ 2n－1－ 1 a.
下面用数学归纳法证明．
①当 n＝ 1 时， 20a
因为 a1＝ a＝1＋ 20－ 1 a，
人教版高中数学选修2-2习题第二章推理与证明2.3数学归纳法
第二章推理与 明2.3 数学 法A基 稳固一、1．等式 12＋ 22＋ 32＋ ⋯ ＋ n 2＝12(5n 2－ 7n ＋ 4)()A ． n 任何正整数都建立B ． 当 n ＝1， 2， 3 建立C ．当 n ＝4 建立， n ＝ 5 不建立D ． 当 n ＝ 4 不建立分析： ，n ＝ 1， 2， 3 建立， n ＝ 4， 5，⋯不建立 .答案： B2．用数学 法 明n 2“2＞ n ＋1 于n ≥n 0 的自然数 n 都建立 ” ，第一步 明中的开端n 0 取 ( )A ．2B ．3C ．5D ．6分析：当 n 取 1、 2、 3、 4 2n ＞ n 2＋ 1 不建立，当n ＝ 5 ， 25＝ 32＞ 52＋ 1＝ 26，第一个能使 2n ＞ n 2＋ 1 的 n5.答案： C13．用数学 法 明某命 ， 左式2＋ cos α＋ cos 3α＋ ⋯ ＋cos (2n － 1)α(α≠k π，k ∈ Z ，n ∈ N * )，在 n ＝ 1 ，左 所得的代数式()A.12B.1＋ cos α2C.12＋ cos α＋ cos 3α1D.2＋ cos α＋ cos 3α＋ cos 5α分析：令n ＝ 1，左式＝ 1＋ cos α.2答案： B4．已知 f(n)＝ 1＋1＋1＋ ⋯＋1(n ∈ N*)， 明不等式f(2n)＞ n， f(2k ＋1 )比 f (2k )多的 数2 3n2是 ()A ． 2k －1B ． 2k ＋1C ． 2 kD ．以上都不分析： 察f(n)的表达式可知，右端分母是 的正整数，f(2k)＝ 1＋ 1＋ ⋯ ＋ 1k ，而 f(2k2 2＋ 11 1111k ＋1kk)＝ 1＋2＋ ⋯ ＋ 2k ＋2k＋ 1＋ 2 k ＋ 2＋ ⋯ ＋ 2 k ＋ 2k ，所以 f(2)比 f(2 )多了 2 ．答案： C5．用数学 法 明(n ＋ 1)(n ＋ 2) ⋯⋯(n ＋ n)＝ 2n · 1×3⋯⋯ (2n ＋ 1)(n ∈N * )，从 “k 到 k ＋ 1”左端需增乘的代数式()A ． 2k ＋ 1B ． 2(2k ＋ 1)2k ＋ 12k ＋ 3C.k ＋ 1D.k ＋ 1分析：当 n ＝ k 左端 (k ＋ 1)(k ＋ 2) ⋯(k ＋ k)，当 n ＝ k ＋ 1 ，左端 (k ＋ 2)(k ＋ 3) ⋯(k ＋ 1＋ k － 1)( k ＋ 1＋ k)(k ＋ 1＋ k ＋ 1)，即 (k ＋ 2)( k ＋（ 2k ＋ 1）（ 2k ＋ 2）3) ⋯⋯(k ＋ k)(2k ＋ 1)(2k ＋ 2)． 察比 它 的 化知增乘了＝ 2(2k ＋ 1)．k ＋ 1答案： B二、填空6． 于不等式n 2＋ 4n ＜ n ＋ 2(n ∈ N * ) ，某学生的 明 程以下：(1)当 n ＝ 1 ，12＋ 4＜ 1＋ 2，不等式建立．(2) 假n ＝ k(k ∈ N * ) ， 不 等 式 成 立 ， 即k 2＋ 4k ＜ k ＋ 2 ，n ＝ k ＋ 1，（ k ＋ 1） 2＋ 4（ k ＋ 1）＝k 2＋ 6k ＋ 5＜ （ k 2＋ 6k ＋ 5）＋ 4＝ （ k ＋ 3） 2＝ (k ＋ 1)＋ 2.所以当 n ＝ k ＋ 1 ，不等式建立．上述 法第 ________步 ．分析：第二步 ， 明 程中没实用到 假 ．答案： (2)7．已知数列 {a n }的前 n 和S n ，且 a 1＝ 1， S n ＝ n 2 a n (n ∈ N * )挨次 算出 S 1、 S 2、S 3、S 4 后，可猜想 S n 的表达式 ________．分析： S ＝1，S ＝4，S ＝ 3＝ 6， S ＝8，12332445猜想 S n ＝ 2n.n ＋1答案：2nn ＋ 18． 随意 n ∈ N * ， 34n ＋ 2＋ a 2n ＋1 都能被14 整除， 最小的自然数 a ＝________．分析：当 n ＝ 1 ， 36＋ a 3 能被 14 整除的数a ＝3 或 5；当 a ＝3 且 n ＝ 2 ， 310＋ 35 不能被 14 整除，故a ＝ 5.答案： 5三、解答9．用数学 法 明：1 ＋1 ＋ 1 ＋ ⋯ ＋1 ＝2×4 4×6 6× 82n （ 2n ＋2）n4（ n ＋ 1） .明：(1)当 n ＝ 1 ，左 ＝1＝1，右 ＝1等式建立．2× 4 88(2)假 n ＝ k ，等式建立，即1 ＋ 1 ＋ 1＋ ⋯＋ 1 ＝ k 建立．2× 4 4×6 6×8 2k （ 2k ＋ 2） 4（ k ＋ 1）当 n ＝ k ＋ 1 ，1＋ 1 ＋1 ＋ ⋯ ＋1＋1＝k＋4× 6 6× 8（ 2k ＋ 2）（ 2k ＋ 4）2× 42k （ 2k ＋ 2）4（ k ＋ 1）1＝k （ k ＋ 2）＋ 1＝（ 2k ＋ 2）（2k ＋ 4）4（ k ＋ 1）（ k ＋ 2）（ k ＋1） 2＝k ＋1 ＝k ＋ 14（ k ＋ 1）（ k ＋ 2） 4（ k ＋ 2） 4[（ k ＋ 1）＋ 1].所以 n ＝ k ＋ 1 ，等式建立．由 (1) 、 (2)可得 全部 n ∈ N * ，等式建立．10．在数列 {a n }中， a 1＝ 1， a n ＋1＝2a n(n ∈ N * )．2＋ a n(1) 求： a 2、 a 3、 a 4 的 ，由此猜想数列 {a n }的通 公式 a n ；(2)用数学 法加以 明．2a n*(1)解：由 a 1＝1，an＋1＝2＋ a n (n ∈ N )，可得 a 2＝ 2， a 3＝ 2， a 4＝ 2.3 4 52由此能够猜想数列 {a n }的通 公式 a n ＝.2(2) 明：①当n ＝ 1 ， a 1＝＝ 1，猜想建立．②假 当n ＝ k(k ≥1， k ∈ N * )， ，猜想建立，即 a ＝ 2 ，kk ＋1当 n ＝ k ＋ 1 ， a k ＋ 1＝2a k＝2.2＋a k k ＋ 2明当 n ＝ k ＋1 ，猜想也建立．由①、②可知，猜想 全部的n ∈ N * 都建立．B 能力提高1．用数学 法 明1 ＋ 1 ＋ 1 ＋ ⋯ ＋ 1＜ 1(n ∈ N * ， n ≥ 2)，由 “k 到 k ＋ 1” ，不n ＋ 1 n ＋ 2 2nn 等式左端的 化是 ()A ．增添1一2（ k ＋ 1）B ．增添 1和 1 两2k ＋ 1 2（ k ＋ 1）C ．增添1 和 1 两 ，同 减少 1一2k ＋ 1 2（ k ＋ 1）kD ．以上都不分析： n ＝ k ，左 ＝1 1 1 1k ＋ ＋ ＋ k ＋ ＋⋯＋2k ，k 1 21 1 11 1 1），比 可知，增添n ＝ k ＋ 1 ，左 ＝＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ⋯ ＋2k ＋ ＋ ＋（ ＋k 1 k 2 k 32k 1 2 k 1 1 和 （ 1 ） 两 ，同 减少 12k ＋ ＋ k 一 ．1 2 k 1答案： C2．用数学 法 明：2＝ n 4＋ n 21＋ 2＋ 3＋ ⋯ ＋ n2， n ＝ k ＋ 1 的左端 在 n ＝k的左端加上 ______________________ ．分析： n ＝ k ，左 ＝1＋ 2＋ 3＋ ⋯ ＋ k 2， n ＝ k ＋ 1，左 ＝1＋ 2＋ 3＋ ⋯＋ k 2＋ (k 2＋1)＋ (k 2＋ 2)＋ ⋯ ＋ (k ＋ 1)2 比 可知，左端 加上(k 2＋ 1)＋ (k 2 ＋2)＋ ⋯ ＋ (k ＋ 1)2.答案： (k 2 ＋ 1)＋ (k 2＋ 2)＋ ⋯＋ (k ＋ 1)23．已知某数列的第一1，而且 全部的自然数n ≥2，数列的前 n 之 n 2.(1)写出 个数列的前5 ；(2)写出 个数列的通 公式并加以 明．解： (1) 已知 a 1＝ 1，由 意得 a 1· a 2＝ 22，所以 a 2＝ 22.因 a 1· a 2· a 3＝ 3232，所以 a 3＝ 2.2224 5同理，可得 a 4＝ 32， a 5＝ 42. 9 16 25所以 个数列的前5 分1，4， ，，.(2) 察 个数列的前5 ，猜 数列的通 公式 ：1， n ＝ 1，a n ＝n 2（ n － 1） 2， n ≥ 2.下边用数学 法 明当2nn ≥2 ， a n＝（n － 1） 2.①当 n ＝ 2 ， a ＝22 2＝ 22， 建立．2（2－ 1）②假 当n ＝ k(k ≥2， k ∈ N * ) ， 建立，k 2即 a k＝（k － 1） 2.因 a 1· a 2⋯ a k － 1＝ (k － 1)2，a 1· a 2⋯ a k － 1· a k · a k ＋ 1＝ (k ＋ 1)2，（ k ＋ 1） 2（ k ＋ 1） 2（ k － 1） 2（ k ＋ 1） 2所以 ak ＋1＝（ a－）a＝（ k － 1）2·k2＝ （＋）－2 .1a 2a k 1k[k 11]就是 当n ＝k ＋ 1 ， 也建立．依据①②可知，当n ≥2 ， 个数列的通 公式是2a n ＝ n（ n － 1）2.1， n ＝ 1，所以 个数列的通 公式a n ＝n 2（ n －1） 2， n ≥ 2.。
高中数学人教新课标A版选修2-2(理科) 第二章推理与证明 2.1.1合情推理 同步练习(II)卷
高中数学人教新课标A版选修2-2（理科）第二章推理与证明 2.1.1合情推理同步练习（II）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共8题；共16分)1. （2分）三角形的面积为a,b,c为三角形的边长，r为三角形内切圆的半径，利用类比推理，可得出四面体的体积为（）A .B .C . ,(h为四面体的高）D . （S1,S2,S3,S4分别为四面体的四个面的面积，r为四面体内切球的半径）2. （2分） (2019高二下·宁夏月考) 观察下列各式：72=49，73=343，74=2401，…，则72020的末两位数字为（）A . 01B . 43C . 07D . 493. （2分）如图，一条螺旋线是用以下方法画成的：△ABC是边长为1的正三角形，曲线CA1 ， A1A2 ， A2A3是分别以A、B、C为圆心，AC、BA1、CA2为半径画的圆弧，曲线CA1A2A3称为螺旋线的第一圈，然后又以A为圆心，AA3为半径画圆弧…这样画到第n圈，则所得螺旋线的长度ln为（）A . （3+n）πB . （3﹣n+1）πC .D .4. （2分）(2017·新余模拟) 我国古代数学名著《九章算术》的论割圆术中有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣．”它体现了一种无限与有限的转化过程．比如在表达式1+中“”即代表无数次重复，但原式却是个定值，它可以通过方程1+ =x求得x= ．类比上述过程，则 =（）A . 3B .C . 6D . 25. （2分）当n=1,2,3,4,5,6 时，比较 2n 和 n2 的大小并猜想，则下列猜想中一定正确的是（）A . 时，n2>2nB . 时， n2>2nC . 时， 2n>n2D . 时， 2n>n26. （2分）设n棱柱有f(n)个对角面，则(n+1)棱柱的对角面的个数f(n+1)等于（）A . f(n)+n+1B . f(n)+nC . f(n)+n-1D . f(n)+n-27. （2分）观察下列各式：，则的末四位数为（）A . 3125B . 5624C . 0625D . 81258. （2分）将个正整数、、、…、（）任意排成行列的数表.对于某一个数表,计算各行和各列中的任意两个数、（）的比值,称这些比值中的最小值为这个数表的“特征值”.当时,数表的所有可能的“特征值”最大值为（）A .B .C .D .二、填空题 (共3题；共4分)9. （2分）如图，△ABC是边长为1的正三角形，以A为圆心，AC为半径，沿逆时针方向画圆弧，交BA延长线于A1 ，记弧CA1的长为l1；以B为圆心，BA1为半径，沿逆时针方向画圆弧，交CB延长线于A2 ，记弧A1A2的长为l2；以C为圆心，CA2为半径，沿逆时针方向画圆弧，交AC延长线于A3 ，记弧A2A3的长为l3 ，则l1+l2+l3=________ ．如此继续以A为圆心，AA3为半径，沿逆时针方向画圆弧，交AA1延长线于A4 ，记弧A3A4的长为l4 ，…，当弧长ln=8π时，n=________10. （1分） (2017高一下·赣州期末) △ABC的三个内角A，B，C的对边长分别为a，b，c，R是△ABC的外接圆半径，有下列四个条件：⑴（a+b+c）（a+b﹣c）=3ab⑵sinA=2cosBsinC⑶b=acosC，c=acosB⑷有两个结论：甲：△ABC是等边三角形．乙：△ABC是等腰直角三角形．请你选取给定的四个条件中的两个为条件，两个结论中的一个为结论，写出一个你认为正确的命题________．11. （1分）(2020·银川模拟) 牛顿迭代法（Newton's method）又称牛顿–拉夫逊方法（Newton–Raphsonmethod），是牛顿在17世纪提出的一种近似求方程根的方法.如图，设是的根，选取作为初始近似值，过点作曲线的切线与轴的交点的横坐标，称是的一次近似值，过点作曲线的切线，则该切线与轴的交点的横坐标为，称是的二次近似值.重复以上过程，直到的近似值足够小，即把作为的近似解.设构成数列 .对于下列结论：① ；② ；③ ；④ .其中正确结论的序号为________．三、解答题 (共3题；共25分)12. （10分） (2015高三上·厦门期中) 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c．已知bsinA=3csinB，a=3，．（1）求b的值；（2）求的值．13. （5分） (2015高二下·金台期中) 如图，直棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E分别是AB，BB1的中点，AA1=AC=CB=AB．（Ⅰ）证明：BC1∥平面A1CD；（Ⅱ）求二面角D﹣A1C﹣E的余弦值．14. （10分） (2015高二上·济宁期末) 已知数列{bn}的前n项和是Sn ，且bn=1﹣2Sn ，又数列{an}、{bn}满足点{an ， 3 }在函数y=（）x的图象上．（1）求数列{an}，{bn}的通项公式；（2）若cn=an•bn+ ，求数列{an}的前n项和Tn．参考答案一、选择题 (共8题；共16分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、二、填空题 (共3题；共4分)9-1、10-1、11-1、三、解答题 (共3题；共25分)12-1、12-2、13-1、14-1、14-2、第11 页共11 页。
【专业资料】新版高中数学人教A版选修2-2习题：第二章推理与证明 2.3 含解析
2.3 数学归纳法课时过关·能力提升 基础巩固1用数学归纳法证明3n ≥n 3(n ≥3,n ∈N *),第一步应验证( ) A.当n=1时,不等式成立B.当n=2时,不等式成立C.当n=3时,不等式成立D.当n=4时,不等式成立解析由题知n 的最小值为3,所以第一步验证当n=3时,不等式成立,选C .答案C2已知f (n )=1n +1n+1+1n+2+…+1n 2,则( ) A.f (n )共有n 项,当n=2时,f (2)=12+13B.f (n )共有(n+1)项,当n=2时,f (2)=12+13+14C.f (n )共有(n 2-n )项,当n=2时,f (2)=12+13D.f (n )共有(n 2-n+1)项,当n=2时,f (2)=12+13+14 解析由题意知f (n )的最后一项的分母为n 2,故f (2)=12+13+122,排除选项A,选项C. 又f (n )=1n+0+1n+1+…+1n+(n 2-n ), 所以f (n )的项数为n 2-n+1.故选D.答案D3已知n 为正偶数,用数学归纳法证明1-12+13−14+…+1n -1−1n =2(1n+2+1n+4+ (12))时,若已假设当n=k (k ≥2,且为偶数)时,命题为真,则还需要用归纳假设再证( )A.当n=k+1时,等式成立B.当n=k+2时,等式成立C.当n=2k+2时,等式成立D.当n=2(k+2)时,等式成立解析因为假设n=k (k ≥2,且为偶数),故下一个偶数为k+2,故选B.答案B4用数学归纳法证明不等式1+12+14+…+12n -1>12764(n ∈N *)成立,其初始值至少应取( )A.7B.8C.9D.10 解析左边=1+12+14+…+12n -1=1-12n 1-12=2-12n -1,代入验证可知n 的最小值是8. 答案B 5用数学归纳法证明1-12+13−14+…+12n -1−12n =1n+1+1n+2+…+12n ,则当n=k+1时,等式左边应在n=k 的基础上加上( )A.12k+2 B.-12k+2 C.12k+1−12k+2 D.12k+1+12k+2 解析当n=k 时,左边=1-12+13−14+…+12k -1−12k ,当n=k+1时,左边=1-12+13−14+…+12k -1−12k +12k+1−12k+2. 答案C 6用数学归纳法证明“当n 为正奇数时,x n +y n 能被x+y 整除”,当第二步假设n=2k-1(k ∈N *)命题为真时,进而需证n= 时,命题为真.解析因为n 为正奇数,所以奇数2k-1之后的奇数是2k+1.答案2k+17在用数学归纳法证明“34n+2+52n+1(n ∈N *)能被14整除”的过程中,当n=k+1时,式子34(k+1)+2+52(k+1)+1应变形为 .答案(34k+2+52k+1)34+52k+1(52-34)8用数学归纳法证明122+132+142+…+1n 2<1-1n (n ≥2,n ∈N *). 分析验证当n=2时不等式成立→假设当n=k 时不等式成立→证明当n=k+1时不等式成立→结论证明(1)当n=2时,左边=122=14,右边=1-12=12. 因为14<12,所以不等式成立.(2)假设当n=k (k ≥2,k ∈N *)时,不等式成立,即122+132+142+ (1)2<1-1k , 则当n=k+1时,122+132+142+ (1)2+1(k+1)2<1-1k +1(k+1)2=1-(k+1)2-k k (k+1)2=1-k 2+k+1k (k+1)2<1-k (k+1)k (k+1)2 =1-1k+1. 所以当n=k+1时,不等式也成立.综上所述,对任意n ≥2的正整数,不等式都成立.9用数学归纳法证明1×4+2×7+3×10+…+n (3n+1)=n (n+1)2(其中n ∈N *).证明(1)当n=1时,左边=1×4=4,右边=1×22=4,左边=右边,等式成立.(2)假设当n=k (k ∈N *)时等式成立,即1×4+2×7+3×10+…+k (3k+1)=k (k+1)2,则当n=k+1时,1×4+2×7+3×10+…+k (3k+1)+(k+1)·[3(k+1)+1]=k (k+1)2+(k+1)[3(k+1)+1]=(k+1)(k 2+4k+4)=(k+1)[(k+1)+1]2, 即当n=k+1时等式也成立.根据(1)和(2),可知等式对任何n ∈N *都成立.能力提升1某同学解答“用数学归纳法证明√n (n +1)<n+1(n ∈N *)”的过程如下:证明:①当n=1时,显然命题是正确的;②假设当n=k (k ≥1,k ∈N *)时,有√k (k +1)<k+1,则当n=k+1时,√(k +1)2+(k +1)=√k 2+3k +2<√k 2+4k +4=(k+1)+1,所以当n=k+1时命题是正确的.由①②可知对于n ∈N *,命题都是正确的.以上证法是错误的,错误的原因在于( )A.从n=k 到n=k+1的推理过程中没有使用归纳假设B.假设的写法不正确C.从n=k 到n=k+1的推理不严密D.当n=1时,验证过程不具体解析由分析证明过程中的②可知,从n=k 到n=k+1的推理过程中没有使用归纳假设,故该证法不能叫数学归纳法,选A . 答案A2用数学归纳法证明“凸n (n ≥3,n ∈N *)边形的内角和公式”时,由n=k 到n=k+1增加的是( )A.π2B.πC.3π2D.2π解析如图,由n=k 到n=k+1时,凸n 边形的内角和增加的是∠1+∠2+∠3=π,故选B.答案B3用数学归纳法证明(n+1)(n+2)·…·(n+n )=2n ·1·3·…·(2n-1),从n=k 到n=k+1,左边需要增乘的代数式为( )A.2k+1B.2(2k+1)C.2k+1k+1D.2k+3k+1解析当n=k 时,等式左边为(k+1)(k+2)·…·(k+k ),而当n=k+1时,等式左边为(k+1+1)(k+1+2)·…·(k+1+k+1)=(k+2)·(k+3)·…·(k+k+2),前边少了一项(k+1),后边多了两项(k+k+1)(k+k+2),故增乘的代数式为(k+k+1)(k+k+2)k+1=2(2k+1). 答案B★4某个与正整数有关的命题:若当n=k (k ∈N *)时,命题成立,则可以推出当n=k+1时,该命题也成立.现已知当n=5时,命题不成立,则可以推得( )A.当n=4时,命题不成立B.当n=6时,命题不成立C.当n=4时,命题成立D.当n=6时,命题成立解析“若n=k 时,命题成立,则n=k+1时,该命题也成立”的等价命题是“若n=k+1时,命题不成立,则n=k 时,命题也不成立.”故选A.答案A★5用数学归纳法证明“n 3+5n 能被6整除”的过程中,当n=k+1时,式子(k+1)3+5(k+1)应变形为 .解析采取凑配法,凑出归纳假设k 3+5k 来,(k+1)3+5(k+1)=k 3+3k 2+3k+1+5k+5=(k 3+5k )+3k (k+1)+6.答案(k 3+5k )+3k (k+1)+66设实数c>0,整数p>1,n ∈N *.(1)用数学归纳法证明:当x>-1,且x ≠0时,(1+x )p >1+px ;(2)数列{a n }满足a 1>c 1p ,a n+1=p -1p a n +c p a n 1-p ,证明:a n >a n+1>c 1p . 证明(1)①当p=2时,(1+x )2=1+2x+x 2>1+2x ,原不等式成立.②假设当p=k (k ≥2,k ∈N *)时,不等式(1+x )k >1+kx 成立.则当p=k+1时,(1+x )k+1=(1+x )(1+x )k >(1+x )(1+kx )=1+(k+1)x+kx 2>1+(k+1)x.所以当p=k+1时,原不等式也成立.综合①②可得,当x>-1,x ≠0时,对一切整数p>1,不等式(1+x )p >1+px 均成立.(2)先用数学归纳法证明a n >c 1p .①当n=1时,由题设a 1>c 1p 知a n >c 1p 成立.②假设当n=k (k ≥1,k ∈N *)时,不等式a k >c 1p 成立.由a n+1=p -1p a n +c p a n 1-p 及a 1>c 1p >0,易知a n >0,n ∈N *.则当n=k+1时,a k+1a k =p -1p +c p a k -p =1+1p (c a k p -1). 由a k >c 1p >0,得-1<-1p <1p (c a k p -1)<0. 由(1)中的结论得(a k+1a k )p =[1+1p (c a k p -1)]p >1+p ·1p (c a k p -1)=c a k p .因此a k+1p >c ,即a k+1>c 1p . 所以当n=k+1时,不等式a n >c 1p 也成立.综合①②可得,对一切正整数n ,不等式a n >c 1p 均成立.因此a n+1>c 1p 也成立. 再由a n+1a n =1+1p (c a n p -1)可得a n+1a n <1, 即a n+1<a n .综上所述,a n >a n+1>c 1p ,n ∈N *.7已知集合X={1,2,3},Y n ={1,2,3,…,n }(n ∈N *),设S n ={(a ,b )|a 整除b 或b 整除a ,a ∈X ,b ∈Y n }.令f (n )表示集合S n 所含元素的个数.(1)写出f (6)的值;(2)当n ≥6时,写出f (n )的表达式,并用数学归纳法证明.解(1)f (6)=13.(2)当n ≥6时,f (n )={ n +2+(n 2+n 3),n =6t ,n +2+(n -12+n -13),n =6t +1,n +2+(n 2+n -23),n =6t +2,n +2+(n -12+n 3),n =6t +3,n +2+(n 2+n -13),n =6t +4,n +2+(n -12+n -23),n =6t +5(t ∈N *). 下面用数学归纳法证明: ①当n=6时,f (6)=6+2+62+63=13,结论成立;②假设当n=k (k ≥6)时结论成立,那么n=k+1时,S k+1在S k 的基础上新增加的元素在(1,k+1),(2,k+1),(3,k+1)中产生,分以下情形讨论:1)若k+1=6t ,则k=6(t-1)+5,此时有f (k+1)=f (k )+3=k+2+k -12+k -23+ 3=(k+1)+2+k+12+k+13,结论成立;2)若k+1=6t+1,则k=6t ,此时有f (k+1)=f (k )+1=k+2+k 2+k 3+1=(k+1)+2+(k+1)-12+(k+1)-13,结论成立;3)若k+1=6t+2,则k=6t+1,此时有 f (k+1)=f (k )+2=k+2+k -12+k -13+2 =(k+1)+2+k+12+(k+1)-23,结论成立;4)若k+1=6t+3,则k=6t+2,此时有 f (k+1)=f (k )+2=k+2+k 2+k -23+2=(k+1)+2+(k+1)-12+k+13,结论成立;5)若k+1=6t+4,则k=6t+3,此时有 f (k+1)=f (k )+2=k+2+k -12+k 3+2=(k+1)+2+k+12+(k+1)-13,结论成立;6)若k+1=6t+5,则k=6t+4,此时有 f (k+1)=f (k )+1=k+2+k 2+k -13+1=(k+1)+2+(k+1)-12+(k+1)-23,结论成立.综上所述,结论对满足n ≥6的自然数n 均成立.。
陕西省高中数学人教新课标A版选修2-2(理科)第二章推理与证明2.1.1合情推理同步练习
陕西省高中数学人教新课标A版选修2-2（理科）第二章推理与证明 2.1.1合情推理同步练习姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共8题；共16分)1. （2分） (2017高二下·微山期中) 按照下列三种化合物的结构式及分子式的规律，写出后一种化合物的分子式是（）A . C4H9B . C4H10C . C4H11D . C6H122. （2分） (2016高二上·晋江期中) 古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数，例如：他们研究过图1中的1，3，6，10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图2中的1，4，9，16…这样的数成为正方形数．下列数中既是三角形数又是正方形数的是（）A . 289B . 1024C . 1225D . 13783. （2分）某人坚持早晨在一条弃用的旧公路上步行锻炼身体，同时数数训练头脑，他先从某地向前走2步后退1步，再向前走4步后退2步，··· ，再向前走步后退n步，··· .当他走完第2008步后就一直往出发地走.此人从出发地到回到原地一共走了（）步.A . 3924B . 3925C . 3926D . 39274. （2分） (2016高二下·龙海期中) 在等差数列{an}中，若an＞0，公差d＞0，则有a4•a6＞a3•a7 ，类比上述性质，在等比数列{bn}中，若bn＞0，q＞1，则b4 ， b5 ， b7 ， b8的一个不等关系是（）A . b4+b8＞b5+b7B . b5+b7＞b4+b8C . b4+b7＞b5+b8D . b4+b5＞b7+b85. （2分） (2017高二下·沈阳期末) 在平面内，一条抛物线把平面分成两部分，两条抛物线最多把平面分成七个部分，设条抛物线至多把平面分成个部分，则（）A .B .C .D .6. （2分）设n棱柱有f(n)个对角面，则(n+1)棱柱的对角面的个数f(n+1)等于（）A . f(n)+n+1B . f(n)+nC . f(n)+n-1D . f(n)+n-27. （2分）观察下列各式：，则的末四位数为（）A . 3125B . 5624C . 0625D . 81258. （2分）当n=1,2,3,4,5,6 时，比较 2n 和 n2 的大小并猜想，则下列猜想中一定正确的是（）A . 时，n2>2nB . 时， n2>2nC . 时， 2n>n2D . 时， 2n>n2二、填空题 (共3题；共4分)9. （1分） (2015高二下·宜春期中) 观察下列等式：13+23=32 ， 13+23+33=62 ， 13+23+33+43=102 ，…，根据上述规律，得到一般结论是________．10. （2分） (2019高一下·余姚月考) 在锐角三角形中，已知，则角B的取值范围是________，的取值范围是________.11. （1分）(2019高一上·长春期中) 设函数，则________.三、解答题 (共3题；共35分)12. （10分） (2018高一下·柳州期末) 已知，且是第二象限角.（1）求的值；（2）求的值.13. （15分） (2016高二上·定州开学考) 在如图所示的几何体中，四边形ABCD是平行四边形，∠ABD=90°，EB⊥平面ABCD，EF∥AB，AB=2，EB= ，EF=1，BC= ，且M是BD的中点．．（1）求证：EM∥平面ADF；（2）求直线DF和平面ABCD所成角的正切值；（3）求二面角D﹣AF﹣B的大小．14. （10分） (2018高一下·石家庄期末) 已知数列的前项和为， .（1）求数列的通项公式；（2）数列的前项和为，求 .参考答案一、选择题 (共8题；共16分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、二、填空题 (共3题；共4分)9-1、10-1、11-1、三、解答题 (共3题；共35分)12-1、12-2、13-1、13-2、13-3、14-1、14-2、。
2020学年高中数学第二章推理与证明2.3数学归纳法课后课时精练新人教A版选修2-2(最新整理)
2.3 数学归纳法A级：基础巩固练一、选择题1．用数学归纳法证明“1＋a＋a2＋…＋a n＋1＝错误!(n∈N*，a≠1）”．在验证n＝1时，左边计算所得项为( )A．1＋a B．1＋a＋a2C．1＋a＋a2＋a3D．1＋a＋a2＋a3＋a4答案B解析当n＝1时，n＋1＝2，所以左边＝1＋a＋a2.2．设f（n)＝1＋12＋…＋1n(n∈N＊),那么f（n＋1)－f(n)等于( ）A。
错误! B.错误!－错误!C。
错误!－错误!D。
错误!答案D解析∵f（n＋1）＝1＋错误!＋…＋错误!＋错误!,f(n）＝1＋错误!＋…＋错误!，∴f(n＋1）－f（n)＝错误!。
3．某个与正整数有关的命题:如果当n＝k（k∈N＊）时命题成立，则可以推出当n＝k＋1时该命题也成立．现已知n＝5时命题不成立，那么可以推得( ）A．当n＝4时命题不成立B．当n＝6时命题不成立C．当n＝4时命题成立D．当n＝6时命题成立答案A解析因为当n＝k(k∈N＊)时命题成立，则可以推出当n＝k＋1时该命题也成立，所以假设当n＝4时命题成立,那么n＝5时命题也成立，这与已知矛盾，所以当n＝4时命题不成立．4．下面四个判断中，正确的是( )A．式子1＋k＋k2＋…＋k n(n∈N＊)中，当n＝1时，式子的值为1B．式子1＋k＋k2＋…＋k n－1（n∈N＊）中，当n＝1时，式子的值为1＋kC．式子1＋错误!＋错误!＋…＋错误!(n∈N*)中，当n＝1时，式子的值为1＋错误!＋错误!D．设f(n）＝错误!＋错误!＋…＋错误!（n∈N*），则f（k＋1)＝f（k)＋错误!＋错误!＋13k＋4答案C解析A中，n＝1时，式子＝1＋k；B中，n＝1时，式子＝1;C中,n＝1时，式子＝1＋错误!＋错误!;D中，f(k＋1）＝f（k)＋错误!＋错误!＋错误!－错误!.5．一个与正整数n有关的命题，当n＝2时命题成立，且由n＝k时命题成立可以推得n ＝k＋2时命题也成立，则( )A．该命题对于n>2的自然数n都成立B．该命题对于所有的正偶数都成立C．该命题何时成立与k的取值无关D．以上答案都不对答案B解析由n＝k时命题成立，可推出n＝k＋2时命题也成立，又n＝2时命题成立，根据递推关系，该命题对于所有的正偶数都成立，故选B。
高中数学人教版选修2-2(理科) 第二章推理与证明 2.3数学归纳法 同步练习(II)卷
高中数学人教版选修2-2（理科）第二章推理与证明 2.3数学归纳法同步练习（II）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共1题；共2分)1. （2分）(2018高二下·济宁期中) 用数学归纳法证明（）时，从向过渡时，等式左边应增添的项是（）A .B .C .D .二、选择题 (共7题；共14分)2. （2分） (2016高二下·会宁期中) 用数学归纳法证明1+ + +…+ ＜n（n∈N* ， n＞1）时，第一步应验证不等式（）A .B .C .D .3. （2分） (2015高二下·九江期中) 用数学归纳法证明34n+1+52n+1（n∈N）能被8整除时，当n=k+1时34（k+1）+1+52（k+1）+1可变形（）A . 56×34k+1+25（34k+1+52k+1）B . 34k+1+52k+1C . 34×34k+1+52×52k+1D . 25（34k+1+52k+1）4. （2分） (2018高二下·重庆期中) 用数学归纳证明：时，从到时，左边应添加的式子是（）A .B .C .D .5. （2分） (2018高二下·河南期中) 用数学归纳法证明不等式“ ”时的过程中，由到，不等式的左边增加的项为（）A .B .C .D .6. （2分）用数学归纳法证明，则当n=k+1时左端应在n=k的基础上增加（）A . k2+1B . （k+1）2C .D . （k2+1）+（k2+2）+（k2+3）+…+（k+1）27. （2分）凸n边形有f(n)条对角线，则凸n+1边形的对角线的条数f(n+1)为（）A . f(n)+n+1B . f(n)+nC . f(n)+n-1D . f(n)+n-28. （2分）下列代数式(其中k∈N＋)能被9整除的是（）A . 6＋6·7kB . 2＋7k－1C . 2(2＋7k＋1)D . 3(2＋7k）三、填空题 (共3题；共3分)9. （1分）用数学归纳法证明“ n3+5n 能被6整除”的过程中，当 n=k+1 时，式子(k+1)3+5(k+1) 应变形为________．10. （1分） (2018高二下·邗江期中) 利用数学归纳法证明“ ，（）”时，在验证成立时，左边应该是 ________．11. （1分）用数学归纳法证明：第一步应验证的等式是________．四、解答题 (共3题；共25分)12. （5分） (2015高二下·和平期中) 用数学归纳法证明：12﹣22+32﹣42+…+（﹣1）n﹣1n2=（﹣1）n﹣1．13. （10分）(2017·南通模拟) 设．有序数组经m次变换后得到数组，其中，（ 1，2，，n），，．例如：有序数组经1次变换后得到数组，即；经第2次变换后得到数组．（1）若，求的值；（2）求证：，其中 1，2，，n．（注：当时，， 1，2，，n，则．）14. （10分） (2017高二下·郑州期中) 设正项数列{an}的前n项和为Sn ，且满足．（1）计算a1，a2，a3的值，并猜想{an}的通项公式；（2）用数学归纳法证明{an}的通项公式．参考答案一、单选题 (共1题；共2分)1-1、二、选择题 (共7题；共14分)2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、三、填空题 (共3题；共3分)9-1、10-1、11-1、四、解答题 (共3题；共25分)12-1、13-1、13-2、14-1、14-2、。
高中数学人教版选修2-2(理科) 第二章推理与证明 2.3数学归纳法 同步练习A卷
高中数学人教版选修2-2（理科）第二章推理与证明 2.3数学归纳法同步练习A卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共1题；共2分)1. （2分） (2019高二上·上海月考) 用数学归纳法证明：，在验证时，左边为（）A . 1B .C .D . 都不正确二、选择题 (共7题；共14分)2. （2分） (2017高二下·定西期中) 在数学归纳法的递推性证明中由假设n=k时成立推导n=k+1时成立时f （n）=1+ + +…+ 增加的项数是（）A . 1B . 2k+1C . 2k﹣1D . 2k3. （2分） (2015高二下·郑州期中) 用数学归纳法证明“（n+1）（n+2）…（n+n）=2n•1•2…（2n﹣1）（n∈N+）时，从“n=k到n=k+1”时，左边应增添的式子是（）A . 2k+1B . 2k+3C . 2（2k+1）D . 2（2k+3）4. （2分）凸n边形有f(n)条对角线，则凸n+1边形的对角线的条数f(n+1)为（）A . f(n)+n+1B . f(n)+nC . f(n)+n-1D . f(n)+n-25. （2分）用数学归纳法证明(n∈N* ， n>1)时，第一步应验证不等式（）A .B .C .D .6. （2分） (2018高二下·河南月考) 用数学归纳法证明“ ”时，由不等式成立，推证时，左边应增加的项数是（）A .B .C .D .7. （2分）用数学归纳法证明1+2+3+...+2n =2n-1+22n-1时,假设n=k时命题成立，则当n=k+1时，左端增加的项数是（）A . 1项B . k-1 项C . k 项D . 2k 项8. （2分）用数学归纳法证明等式时，第一步验证 n=1 时，左边应取的项是（）A . 1B . 1+2C . 1+2+3D . 1+2+3+4三、填空题 (共3题；共3分)9. （1分）已知数列 ,通过计算得,由此可猜测Sn＝________.10. （1分）用数学归纳法证明命题：，从“第 k 步到 k+1 步”时，两边应同时加上________．11. （1分）用数学归纳法证明“ n3+5n 能被6整除”的过程中，当 n=k+1 时，式子(k+1)3+5(k+1) 应变形为________．四、解答题 (共3题；共25分)12. （10分）(2019高二下·涟水月考) 已知，.（1）当时，分别比较与的大小（直接给出结论）；（2）由（1）猜想与的大小关系，并证明你的结论.13. （5分）(2017·南通模拟) 已知数列{an}的前n项和为Sn ，通项公式为．（Ⅰ）计算f（1），f（2），f（3）的值；（Ⅱ）比较f（n）与1的大小，并用数学归纳法证明你的结论．14. （10分） (2016高二下·东莞期中) 在数列{an}中，，an+1= ．（1）计算a2，a3，a4并猜想数列{an}的通项公式；（2）用数学归纳法证明你的猜想．参考答案一、单选题 (共1题；共2分)1-1、二、选择题 (共7题；共14分)2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、三、填空题 (共3题；共3分)9-1、10-1、11-1、四、解答题 (共3题；共25分)12-1、12-2、13-1、14-1、14-2、。
最新人教版选修2-2高中数学第二章 推理与证明2.3数学归纳法 同步习题及答案
【创新设计】2016-2017学年高中数学第二章推理与证明2.3 数学归纳法课时作业新人教版选修2-2明目标、知重点1．了解数学归纳法的原理.2.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．1．数学归纳法证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：①(归纳奠基)证明当n取第一个值n0(n0∈N*)时命题成立；②(归纳递推)假设当n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当n＝k＋1时命题也成立．2．应用数学归纳法时特别注意：(1)用数学归纳法证明的对象是与正整数n有关的命题．(2)在用数学归纳法证明中，两个基本步骤缺一不可．(3)步骤②的证明必须以“假设当n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立”为条件．情境导学]多米诺骨牌游戏是一种用木制、骨制或塑料制成的长方形骨牌，玩时将骨牌按一定间距排列成行，保证任意两相邻的两块骨牌，若前一块骨牌倒下，则一定导致后一块骨牌倒下．只要推倒第一块骨牌，就必然导致第二块骨牌倒下；而第二块骨牌倒下，就必然导致第三块骨牌倒下…，最后不论有多少块骨牌都能全部倒下．请同学们思考所有的骨牌都一一倒下蕴涵怎样的原理？探究点一数学归纳法的原理思考1 多米诺骨牌游戏给你什么启示？你认为一个骨牌链能够被成功推倒，靠的是什么？答(1)第一张牌被推倒；(2)任意相邻两块骨牌，前一块倒下一定导致后一块倒下．结论：多米诺骨牌会全部倒下．所有的骨牌都倒下，条件(2)给出了一个递推关系，条件(1)给出了骨牌倒下的基础．思考2 对于数列{a n}，已知a1＝1，a n＋1＝an1＋a n，试写出a1，a2，a3，a4，并由此作出猜想．请问这个结论正确吗？怎样证明？答a1＝1，a2＝12，a3＝13，a4＝14，猜想a n＝1n(n∈N*)．以下为证明过程：(1)当n＝1时，a1＝1＝11，所以结论成立．(2)假设当n＝k(k∈N*)时，结论成立，即a k＝1 k ，则当n＝k＋1时a k＋1＝ak1＋a k(已知)＝1k1＋1k(代入假设)＝1kk＋1k(变形)＝1k＋1(目标)即当n＝k＋1时，结论也成立．由(1)(2)可得，对任意的正整数n都有a n＝1n成立．思考3 你能否总结出上述证明方法的一般模式？答一般地，证明一个与正整数n有关的命题P(n)，可按下列步骤进行：(1)(归纳奠基)证明当n 取第一个值n 0(n 0∈N *)时命题成立；(2)(归纳递推)假设当n ＝k (k ≥n 0，k ∈N *)时命题成立，证明当n ＝k ＋1时命题也成立．只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n 0开始的所有正整数n 都成立． 上述证明方法叫做数学归纳法．思考 4 用数学归纳法证明1＋3＋5＋…＋(2n －1)＝n 2，如采用下面的证法，对吗？若不对请改正．证明：(1)n ＝1时，左边＝1，右边＝12＝1，等式成立． (2)假设n ＝k 时等式成立，即1＋3＋5＋…＋(2k －1)＝k 2， 则当n ＝k ＋1时，1＋3＋5＋…＋(2k ＋1)＝(k ＋1)×[1＋(2k ＋1)]2＝(k ＋1)2等式也成立．由(1)和(2)可知对任何n ∈N *等式都成立．答 证明方法不是数学归纳法，因为第二步证明时，未用到归纳假设．从形式上看这种证法，用的是数学归纳法，实质上不是，因为证明n ＝k ＋1正确时，未用到归纳假设，而用的是等差数列求和公式． 探究点二 用数学归纳法证明等式 例1 用数学归纳法证明 12＋22＋…＋n 2＝n (n ＋1)(2n ＋1)6(n ∈N *)．证明 (1)当n ＝1时，左边＝12＝1， 右边＝1×(1＋1)×(2×1＋1)6＝1，等式成立．(2)假设当n ＝k (k ∈N *)时等式成立，即 12＋22＋…＋k 2＝k (k ＋1)(2k ＋1)6，那么，12＋22＋…＋k 2＋(k ＋1)2 ＝k (k ＋1)(2k ＋1)6＋(k ＋1)2＝k (k ＋1)(2k ＋1)＋6(k ＋1)26＝(k ＋1)(2k 2＋7k ＋6)6＝(k ＋1)(k ＋2)(2k ＋3)6＝(k ＋1)[(k ＋1)＋1][2(k ＋1)＋1]6，即当n ＝k ＋1时等式也成立．根据(1)和(2)，可知等式对任何n ∈N *都成立．反思与感悟 (1)用数学归纳法证明与正整数有关的一些等式命题，关键在于“先看项”，弄清等式两边的构成规律，等式的两边各有多少项，项的多少与n 的取值是否有关．由n ＝k 到n ＝k ＋1时，等式的两边会增加多少项，增加怎样的项． 跟踪训练1 求证：1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n (n ∈N *)．证明 当n ＝1时，左边＝1－12＝12，右边＝12，所以等式成立． 假设n ＝k (k ∈N *)时， 1－12＋13－14＋…＋12k －1－12k ＝1k ＋1＋1k ＋2＋ (12)成立． 那么当n ＝k ＋1时，1－12＋13－14＋…＋12k －1－12k ＋12(k ＋1)－1－12(k ＋1)＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k ＋12k ＋1－12(k ＋1) ＝1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12k ＋12k ＋1＋1k ＋1－12(k ＋1)]＝1(k ＋1)＋1＋1(k ＋1)＋2＋…＋1(k ＋1)＋k ＋12(k ＋1)，所以n ＝k ＋1时，等式也成立．综上所述，对于任何n ∈N *，等式都成立． 探究点三 用数学归纳法证明数列问题 例2 已知数列11×4，14×7，17×10，…，1(3n －2)(3n ＋1)，…，计算S 1，S 2，S 3，S 4，根据计算结果，猜想S n 的表达式，并用数学归纳法进行证明． 解 S 1＝11×4＝14； S 2＝14＋14×7＝27； S 3＝27＋17×10＝310； S 4＝310＋110×13＝413. 可以看出，上面表示四个结果的分数中，分子与项数n 一致，分母可用项数n 表示为3n ＋1. 于是可以猜想S n ＝n 3n ＋1.下面我们用数学归纳法证明这个猜想． (1)当n ＝1时，左边＝S 1＝14，右边＝n 3n ＋1＝13×1＋1＝14，猜想成立．(2)假设当n ＝k (k ∈N *)时猜想成立，即11×4＋14×7＋17×10＋…＋1(3k －2)(3k ＋1)＝k 3k ＋1， 那么，11×4＋14×7＋17×10＋…＋1(3k －2)(3k ＋1)＋1[3(k ＋1)－2][3(k ＋1)＋1]＝k3k＋1＋1(3k＋1)(3k＋4)＝3k2＋4k＋1 (3k＋1)(3k＋4)＝(3k＋1)(k＋1) (3k＋1)(3k＋4)＝k＋13(k＋1)＋1，所以，当n＝k＋1时猜想也成立．根据(1)和(2)，可知猜想对任何n∈N*都成立．反思与感悟归纳法分为不完全归纳法和完全归纳法，数学归纳法是“完全归纳”的一种科学方法，对于无穷尽的事例，常用不完全归纳法去发现规律，得出结论，并设法给予证明，这就是“归纳——猜想——证明”的基本思想．跟踪训练2 数列{a n}满足S n＝2n－a n(S n为数列{a n}的前n项和)，先计算数列的前4项，再猜想a n，并证明．解由a1＝2－a1，得a1＝1；由a1＋a2＝2×2－a2，得a2＝3 2；由a1＋a2＋a3＝2×3－a3，得a3＝7 4；由a1＋a2＋a3＋a4＝2×4－a4，得a4＝15 8.猜想a n＝2n－1 2n－1.下面证明猜想正确：(1)当n＝1时，由上面的计算可知猜想成立．(2)假设当n＝k时猜想成立，则有a k＝2k－1 2k－1，当n＝k＋1时，S k＋a k＋1＝2(k＋1)－a k＋1，∴a k＋1＝122(k＋1)－S k]＝k＋1－12(2k－2k－12k－1)＝2k＋1－1 2(k＋1)－1，所以，当n＝k＋1时，等式也成立．由(1)和(2)可知，a n＝2n－12n－1对任意正整数n都成立．1．若命题A(n)(n∈N*)在n＝k(k∈N*)时命题成立，则有n＝k＋1时命题成立．现知命题对n＝n0(n0∈N*)时命题成立，则有( )A．命题对所有正整数都成立B．命题对小于n0的正整数不成立，对大于或等于n0的正整数都成立C．命题对小于n0的正整数成立与否不能确定，对大于或等于n0的正整数都成立D．以上说法都不正确答案 C解析由已知得n＝n0(n0∈N*)时命题成立，则有n＝n0＋1时命题成立；在n＝n0＋1时命题成立的前提下，又可推得n＝(n0＋1)＋1时命题也成立，依此类推，可知选C.2．用数学归纳法证明“1＋a＋a2＋…＋a2n＋1＝1－a2n＋21－a(a≠1)”．在验证n＝1时，左端计算所得项为( )A．1＋a B．1＋a＋a2C．1＋a＋a2＋a3D．1＋a＋a2＋a3＋a4答案 C解析将n＝1代入a2n＋1得a3，故选C.3．用数学归纳法证明1＋2＋22＋…＋2n －1＝2n －1(n ∈N *)的过程如下： (1)当n ＝1时，左边＝1，右边＝21－1＝1，等式成立．(2)假设当n ＝k (k ∈N *)时等式成立，即1＋2＋22＋…＋2k －1＝2k －1，则当n ＝k ＋1时，1＋2＋22＋…＋2k －1＋2k ＝1－2k ＋11－2＝2k ＋1－1.所以当n ＝k ＋1时等式也成立．由此可知对于任何n ∈N *，等式都成立． 上述证明的错误是________． 答案 未用归纳假设 解析 本题在由n ＝k 成立， 证n ＝k ＋1成立时， 应用了等比数列的求和公式， 而未用上假设条件， 这与数学归纳法的要求不符．4．用数学归纳法证明1＋n 2≤1＋12＋13＋…＋12n ≤12＋n (n ∈N *)证明 (1)当n ＝1时，左式＝1＋12，右式＝12＋1，所以32≤1＋12≤32，命题成立．(2)假设当n ＝k (k ∈N *)时，命题成立，即1＋k 2≤1＋12＋13＋…＋12k ≤12＋k ，则当n ＝k ＋1时，1＋12＋13＋…＋12k ＋12k ＋1＋12k ＋2＋…＋12k ＋2k >1＋k 2＋2k ·12k ＋1＝1＋k ＋12. 又1＋12＋13＋…＋12k ＋12k ＋1＋12k ＋2＋…＋12k ＋2k <12＋k ＋2k ·12k ＝12＋(k ＋1)，即当n ＝k ＋1时，命题成立．由(1)和(2)可知，命题对所有的n ∈N *都成立． 呈重点、现规律]在应用数学归纳法证题时应注意以下几点：(1)验证是基础：找准起点，奠基要稳，有些问题中验证的初始值不一定为1；(2)递推是关键：正确分析由n＝k到n＝k＋1时式子项数的变化是应用数学归纳法成功证明问题的保障；(3)利用假设是核心：在第二步证明中一定要利用归纳假设，这是数学归纳法证明的核心环节，否则这样的证明就不是数学归纳法证明.一、基础过关1．某个命题与正整数有关，如果当n＝k(k∈N*)时，该命题成立，那么可推得n ＝k＋1时，该命题也成立．现在已知当n＝5时，该命题成立，那么可推导出( ) A．当n＝6时命题不成立B．当n＝6时命题成立C．当n＝4时命题不成立D．当n＝4时命题成立答案 B2．一个与正整数n有关的命题，当n＝2时命题成立，且由n＝k时命题成立可以推得n＝k＋2时命题也成立，则( )A．该命题对于n>2的自然数n都成立B．该命题对于所有的正偶数都成立C．该命题何时成立与k取值无关D．以上答案都不对答案 B解析由n＝k时命题成立可以推出n＝k＋2时命题也成立．且n＝2，故对所有的正偶数都成立．3．在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为12n(n－3)条时，第一步验证n等于( )A．1 B．2 C．3 D．0答案 C解析因为是证凸n边形，所以应先验证三角形，故选C.4．若f(n)＝1＋12＋13＋…＋12n＋1(n∈N*)，则n＝1时f(n)是( )A．1 B.1 3C．1＋12＋13D．以上答案均不正确答案 C5．已知f(n)＝1n＋1n＋1＋1n＋2＋…＋1n2，则( )A．f(n)中共有n项，当n＝2时，f(2)＝12＋13B．f(n)中共有n＋1项，当n＝2时，f(2)＝12＋13＋14C．f(n)中共有n2－n项，当n＝2时，f(2)＝12＋13D．f(n)中共有n2－n＋1项，当n＝2时，f(2)＝12＋13＋14答案 D解析观察分母的首项为n，最后一项为n2，公差为1，∴项数为n2－n＋1.6．在数列{a n}中，a1＝2，a n＋1＝an3a n＋1(n∈N*)，依次计算a2，a3，a4，归纳推测出an的通项表达式为( )A.24n－3B.26n－5C.24n＋3D.22n－1答案 B解析a1＝2，a2＝27，a3＝213，a4＝219，…，可推测a n＝26n－5，故选B.7．用数学归纳法证明(1－13)(1－14)(1－15)…(1－1n ＋2)＝2n ＋2(n ∈N *)． 证明 (1)当n ＝1时，左边＝1－13＝23，右边＝21＋2＝23，等式成立． (2)假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时等式成立，即(1－13)(1－14)(1－15)…(1－1k ＋2)＝2k ＋2， 当n ＝k ＋1时，(1－13)(1－14)(1－15)…(1－1k ＋2)·(1－1k ＋3) ＝2k ＋2(1－1k ＋3)＝2(k ＋2)(k ＋2)(k ＋3)＝2k ＋3＝2(k ＋1)＋2， 所以当n ＝k ＋1时等式也成立．由(1)(2)可知，对于任意n ∈N *等式都成立．二、能力提升8．用数学归纳法证明等式(n ＋1)(n ＋2)…(n ＋n )＝2n ·1·3·…·(2n －1)(n ∈N *)，从k 到k ＋1左端需要增乘的代数式为( )A ．2k ＋1B ．2(2k ＋1) C.2k ＋1k ＋1D.2k ＋3k ＋1 答案 B解析 n ＝k ＋1时，左端为(k ＋2)(k ＋3)…(k ＋1)＋(k －1)]·(k ＋1)＋k ]·(2k ＋2)＝(k ＋1)(k ＋2)…(k ＋k )·(2k ＋1)·2，∴应增乘2(2k ＋1)．9．已知f (n )＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋13n －1(n ∈N *)，则f (k ＋1)＝________. 答案 f (k )＋13k ＋13k ＋1＋13k ＋2－1k ＋110．证明：假设当n ＝k (k ∈N *)时等式成立，即2＋4＋…＋2k ＝k 2＋k ，那么2＋4＋…＋2k ＋2(k ＋1)＝k 2＋k ＋2(k ＋1)＝(k ＋1)2＋(k ＋1)，即当n ＝k ＋1时等式也成立．因此对于任何n ∈N *等式都成立．以上用数学归纳法证明“2＋4＋…＋2n ＝n 2＋n (n ∈N *)”的过程中的错误为________．答案 缺少步骤归纳奠基11．用数学归纳法证明12－22＋32－42＋…＋(－1)n －1·n 2＝(－1)n －1·n (n ＋1)2. 证明 (1)当n ＝1时，左边＝1，右边＝(－1)1－1×1×22＝1， 结论成立．(2)假设当n ＝k 时，结论成立．即12－22＋32－42＋…＋(－1)k －1k 2＝(－1)k －1·k (k ＋1)2， 那么当n ＝k ＋1时，12－22＋32－42＋…＋(－1)k －1k 2＋(－1)k (k ＋1)2＝(－1)k －1·k (k ＋1)2＋(－1)k (k ＋1)2＝(－1)k·(k ＋1)－k ＋2k ＋22 ＝(－1)k·(k ＋1)(k ＋2)2. 即n ＝k ＋1时结论也成立．由(1)(2)可知，对一切正整数n 都有此结论成立．12．已知数列{a n }的第一项a 1＝5且S n －1＝a n (n ≥2，n ∈N *)，S n 为数列{a n }的前n 项和．(1)求a 2，a 3，a 4，并由此猜想a n 的表达式；(2)用数学归纳法证明{a n }的通项公式．(1)解 a 2＝S 1＝a 1＝5，a 3＝S 2＝a 1＋a 2＝10，a 4＝S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝5＋5＋10＝20，猜想a n ＝⎩⎨⎧ 5 (n ＝1)5×2n －2， (n ≥2，n ∈N *).(2)证明 ①当n ＝2时，a 2＝5×22－2＝5，公式成立．②假设n＝k(k≥2，k∈N*)时成立，即a k＝5×2k－2，当n＝k＋1时，由已知条件和假设有ak＋1＝S k＝a1＋a2＋a3＋…＋a k＝5＋5＋10＋…＋5×2k－2.＝5＋5(1－2k－1)1－2＝5×2k－1.故n＝k＋1时公式也成立．由①②可知，对n≥2，n∈N*，有a n＝5×2n－2. 所以数列{a n}的通项公式为a n ＝⎩⎨⎧5 (n＝1)5×2n－2(n≥2，n∈N*).三、探究与拓展13．已知数列{a n}的前n项和S n＝1－na n(n∈N*)．(1)计算a1，a2，a3，a4；(2)猜想a n的表达式，并用数学归纳法证明你的结论．解(1)计算得a1＝12；a2＝16；a3＝112；a4＝120.(2)猜想：a n＝1n(n＋1).下面用数学归纳法证明①当n＝1时，猜想显然成立．②假设n＝k(k∈N*)时，猜想成立，即a k＝1k(k＋1).那么，当n＝k＋1时S k＋1＝1－(k＋1)a k＋1，即S k＋a k＋1＝1－(k＋1)a k＋1.又S k＝1－ka k＝kk＋1，所以kk＋1＋a k＋1＝1－(k＋1)a k＋1，从而a k＋1＝1(k＋1)(k＋2)＝1(k＋1)[(k＋1)＋1].即n＝k＋1时，猜想也成立．故由①和②，可知猜想成立．。
高中数学人教A版选修2-2习题 第2章 推理与证明2.3 Word版含答案
选修第二章选择题．(·郑州市高二检测)用数学归纳法证明＋＋＋…＋＋＝(∈*，≠)，在验证＝时，左边所得的项为( )．．＋＋．＋．＋＋＋[答案][解析]因为当＝时，＋＝，所以此时式子左边＝＋＋.故应选.．用数学归纳法证明＋＋＋…＋(－)＝(－)过程中，由＝递推到＝＋时，不等式左边增加的项为( )．() ．(＋)．(＋) ．(＋)[答案][解析]用数学归纳法证明＋＋＋…＋(－)＝(－)的过程中，第二步，假设＝时等式成立，即＋＋＋…＋(－)＝(－)，那么，当＝＋时，＋＋＋…＋(－)＋(＋)＝(－)＋(＋)，等式左边增加的项是(＋)，故选.．对于不等式≤＋(∈＋)，某学生的证明过程如下：()当＝时，≤＋，不等式成立．()假设＝(∈＋)时，不等式成立，即<＋，则＝＋时，＝<＝＝(＋)＋，∴当＝＋时，不等式成立，上述证法( )．过程全都正确．＝验证不正确．归纳假设不正确．从＝到＝＋的推理不正确[答案][解析]＝的验证及归纳假设都正确，但从＝到＝＋的推理中没有使用归纳假设，而通过不等式的放缩法直接证明，不符合数学归纳法的证题要求．故应选.．用数学归纳法证明命题“当是正奇数时，＋能被＋整除”，在第二步的证明时，正确的证法是( )．假设＝(∈*)时命题成立，证明＝＋时命题也成立．假设＝(是正奇数)时命题成立，证明＝＋时命题也成立．假设＝(是正奇数)时命题成立，证明＝＋时命题也成立．假设＝＋(∈)时命题成立，证明＝＋时命题也成立[答案][解析]∵为正奇数，当＝时，下面第一个正奇数应为＋，而非＋.故应选.．凸边形有()条对角线，则凸＋边形对角线的条数(＋)为( )．()＋＋．()＋．()＋－．()＋－[答案][解析]增加一个顶点，就增加＋－条对角线，另外原来的一边也变成了对角线，故(＋)＝()＋＋＋－＝()＋－.故应选.．观察下列各式：已知＋＝，＋＝，＋＝，＋＝，＋＝，…，则归纳猜测＋＝( ) ．．．．[答案][解析]观察发现，＋＝＋＝＋＝＋＝＋＝，∴＋＝.二、填空题．用数学归纳法证明“当为正偶数时，－能被＋整除”，第一步应验证＝时，命题成立；第二步归纳假设成立应写成[答案]－能被＋整除[解析]因为为正偶数，故第一步取＝，第二步假设取第个正偶数成立，即＝，故应假设成－能被＋整除．．(·九江高二检测)观察下列等式，照此规律，第个等式为＝＋＋＝＋＋＋＋＝＋＋＋＋＋＋＝…[答案]＋(＋)＋(＋)＋…＋(－)＝(－)[解析]将原等式变形如下：＝＝＋＋＝＝＋＋＋＋＝＝＋＋＋＋＋＋＝＝…由图知，第个等式的左边有－项，第一个数是，是－个连续整数的和，则最后一个数为＋(－)－＝－，右边是左边项数－的平方，。
高中数学人教版选修2-2(理科)第二章推理与证明2.3数学归纳法
高中数学人教版选修2-2（理科）第二章推理与证明2.3数学归纳法学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．在用数学归纳法证明时，在验证当时，等式左边为（ ）A ．1B ．C ．D ． 2．用数学归纳法证明，当时，左端应在的基础上加上（ ）A ．B ．C ．D ．3．用数学归纳法证明()()()12321121n n n +++++=++时，从n k =到1n k =+，左边需增添的代数式是（ ） A ．22k + B ．23k +C ．21k +D ．()()2223k k +++4．1++21n -由n k =变成1n k =+时，左边增加了（ ）A ．1项B ．k 项C ．12k -项D ．2k 项5．用数学归纳法证明()412135N n n n +++∈能被8整除时，当1n k =+时，()()41121135k k +++++可变形为（ ）A ．()4141215632535k k k +++⋅++ B ．412135k k +++ C ．4412213355k k ++⨯+⨯ D ．()41212535k k +++6．用数学归纳法证明()11111223341n n ++++=⋅⋅⋅+由n k =到1n k =+，不等式左端应增加的式子为（ ）A ．()11k k +B ．()()()11112k k k k ++++ C ．()12k k + D ．()()112k k ++ 7．用数学归纳法证明“对一切*n N ∈，都有222n n >-”这一命题，证明过程中应验证 A ．1n =时命题成立B ．1n =，2n=时命题成立 C ．3n =时命题成立D ．1n =，2n =，3n =时命题成立 8()*1n n ≤+∈N ，某学生的证明过程如下：（1）当1n =11≤+，不等式成立． （2）假设n k =()*n ∈N1k <+，则1n k =+时，()11k =<==++， ∴当1n k =+时，不等式成立，上述证法（ ）A ．过程全都正确B ．1n =验证不正确C ．归纳假设不正确D ．从n k =到1n k =+的推理不正确 二、填空题9．用数学归纳法证明“221n n >+对于0n n ≥的自然数n 都成立”时，第一步证明中的起始值0n 应取_____________．10．用数学归纳法证明22n n n a b a b ++⎛⎫≥ ⎪⎝⎭（,a b 是非负实数，*n ∈N ）时，假设n k =命题成立之后，证明1n k =+命题也成立的关键是________．11．用数学归纳法证明()(1)(2)()21221n n n n n n ++⋅⋅+=⨯⨯⨯⨯-，从n k =到1n k =+，左边需要增乘的代数式为___________.三、解答题12．已知数列{}n a 满足21n n S a n +=+.（1）写出1a ，2a ，3a ，并推测n a 的表达式.（2）用数学归纳法证明所得的结论.13 14．已知{()}n f x 满足1()0)f x x =>，11()[()]n n f x f f x +=．（1）求23(),()f x f x ，并猜想()n f x 的表达式；（2）用数学归纳法证明对()n f x 的猜想.参考答案1．C【解析】根据数学归纳法的步骤可知，当时，等式的左边应为，故选C. 考点：数学归纳法.2．D【详解】当n k =时，等式左端，当1n k =+时，等式左端，增加的项为()21k ++，故选D ．考点：数学归纳法．3．D【解析】当n k =时，原式左侧为()12321k +++++，当1n k =+时，原式左侧为123[2(1)1]k ++++++，所当从n k =到1n k =+，左边需增添的代数式是()()2223k k +++，故选D ．考点：数学归纳法．4．D【解析】当n k =时，不等式的左侧为1111++++21k -，当1n k =+时，不等式的左侧11111++2122121k k k k +++++-+-，所以n k =变成1n k =+时，左边增1121k +++-考点：数学归纳法.5．A【解析】当1n k =+时，()()41121144121413533255563k k k k k ++++++++=⨯+⨯=⋅ ()41212535k k ++++，两个表达式都能被8整除，故选A ．考点：数学归纳法．6．D【解析】当n k =时，左边=()11111223341k k ++++⋅⋅⋅+， 当1n k =+时，左边=()()()11111122334112k k k k +++++⋅⋅⋅+++， ∴由n k =递推到1n k =+时等式左边增加了()()112k k ++. 考点：数学归纳法.7．D【解析】假设n k =时不等式成立，即222k k >-，当1n k =+时，1222k k +=⋅> ()222k -，()()2222212230k k k k -≥+-⇒--≥ ()()1303k k k ⇔+-≥⇒≥，因此需要验证1n =，2，3时命题成立．故选D ．【答案】D【解析】1n =的验证及归纳假设都正确，但从n k =到1n k =+的推理中没有使用归纳假设，而通过不等式的放缩法直接证明，不符合数学归纳法的证题要求．故选D. 考点：数学归纳法.9．5【解析】由于n=1时，221n n =+；n=2时，221n n <+；n=3时，221n n <+；n=4时，221n n <+；n=5时，221n n >+.所以当5n ≥时，221n n >+成立. 考点：数学归纳法.10．两边同乘以2a b + 【解析】要想办法出现11k k a b +++，两边同乘以2a b +，右边也出现了要证的1.2k a b ++⎛⎫ ⎪⎝⎭考点：数学归纳法.11．2(21)k +【解析】由题意得，当n k =时，等式的左边为(1)(2)()k k k k ++++，当1n k =+时，等式的左边为(11)(12)(11)(2)(3)(2)k k k k k k k k ++++⋅⋅+++=++⋅⋅++，则从n k =到1n k =+，左边需要增乘的代数式为(2)2)()k k k k ⋅⋅++⋅⋅+考点：数学归纳法.12．（1）132a =，274a =，3158a =，122n n a =- （2）详见解析 【解析】（1）将n=1，2，3分别代入可得132a =，274a =，3158a =，猜想122n n a =-. （2）①由（1）得n=1时，命题成立；②假设n=k 时，命题成立，即122k ka =-， 那么当1n k =+时，()1211211k k k a a a a a k ++++⋯+++=++， 且1221k k a a a k a ++⋯+=+-，所以()121221123k k k a a k k ++-+=++=+，所以112222k k a +=+-，11122k k a ++=-，即当1n k =+时，命题也成立. 根据①②得，对一切n ∈N *，122n n a =-都成立. 考点：数学归纳法.13．详见解析【解析】（ⅰ）当1=n 时，左边=1112=，右边=3411214=+⨯⨯，左边<右边，即不等式成立； （ⅱ）假设*()n k k =∈N 时，不等式成立，即222211114123421k k k ++++⋅⋅⋅+<+， 则当1+=k n 时，22222211111411234(1)21(1)k k k k k ++++⋅⋅⋅++<++++， 问题可通过证明1)1(2)1(4)1(11242+++<+++k k k k k 来实现. 要证32441)1(2)1(4)1(11242++=+++<+++k k k k k k k ， 只需证1243244)1(12+-++<+k k k k k ，只需证)12)(32(4)1(12++<+k k k 只需证2)1(4)32)(12(+<++k k k ，只需证22483484k k k k ++<++，只需证43<，∵43<显然成立，∴1)1(2)1(4)1(11242+++<+++k k k k k ， 即当1+=k n 是不等式也成立. 由（ⅰ）（ⅱ）可得，对于一切的n *∈N ，不等式恒成立. 考点：数学归纳法的证明.14．（1）2()f x =3()f x =，()n f x = （2）证明见解析 【解析】（1）221111221)(1)()]([)(x x x f x f x f f x f +=+==， 222221331)(1)()]([)(x xx f x f x f f x f +=+==，n ∈*N ）. （2n ∈*N ）. ①当1=n 时，211)(x xx f +=，显然成立；②假设当(n k k =∈*N ）时，猜想成立，即21)(kx xx f k +=，则当1+=k n时，11()[()]k k f x f f x +===即对1+=k n 时，猜想也成立. 结合①②可知，猜想21)(nx xx f n +=对一切n ∈*N 都成立. 考点：合情推理与演绎推理，数学归纳法．。
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陕西省高中数学人教版选修2-2（理科）第二章推理与证明 2.3数学归纳法同步练
习
姓名:________ 班级:________ 成绩:________
一、单选题 (共1题；共2分)
1. （2分） (2019高二上·上海月考) 用数学归纳法证明：，在验证
时，左边为（）
A . 1
B .
C .
D . 都不正确
二、选择题 (共7题；共14分)
2. （2分）在用数学归纳法证明时，在验证当n=1时，等式左边为（）
A . 1
B . 1+a
C . 1+a+a2
D . 1+a+a2+a3
3. （2分）用数学归纳法证明不等式(,且n>1)时，不等式在n=k+1时的形式是（）
A .
B .
C .
D .
4. （2分）用数学归纳法证明(n＋1)(n＋2)(n＋3)…(n＋n)＝2n·1·3·…·(2n－1)(n∈N*)时，从n＝k 到n＝k＋1，左端需要增加的代数式为（）
A . 2k＋1
B . 2(2k＋1)
C .
D .
5. （2分） (2018高二下·西湖月考) 证明：，当时，中间式子等于（）
A . 1
B .
C .
D .
6. （2分） (2018高二下·河南月考) 用数学归纳法证明“ ”时，由不等式成立，推证时，左边应增加的项数是（）
A .
B .
C .
D .
7. （2分） (2018高二下·重庆期中) 用数学归纳证明：时，
从到时，左边应添加的式子是（）
A .
B .
C .
D .
8. （2分）凸n边形有f(n)条对角线，则凸n+1边形的对角线的条数f(n+1)为（）
A . f(n)+n+1
B . f(n)+n
C . f(n)+n-1
D . f(n)+n-2
三、填空题 (共3题；共3分)
9. （1分） (2018高二下·邗江期中) 用数学归纳法证明“ 能被整除”的过程中，当
时，式子应变形为________
10. （1分） (2018高二下·邗江期中) 利用数学归纳法证明“ ，（）
”时，在验证成立时，左边应该是 ________．
11. （1分）已知数列{an}的通项公式(n∈N＋)，f(n)＝(1－a1)(1－a2)…(1－an)，试通过计算f(1)，f(2)，f(3)的值，推测出f(n)的值是________
四、解答题 (共3题；共35分)
12. （10分）(2019·浙江) 设等差数列{an}的前n项和为Sn ， a3=4.a4=S3 ，数列{bn}满足：
对每个n∈N* ， Sn+bn ， Sn+1+bn、Sn+2+bn成等比数列
（1）求数列{an}，{bn}的通项公式
（2）记Cn= ，n∈N*，证明：C1+C2+…+Cn＜2 ，n∈N*
13. （15分）设曲线在点处的切线斜率为 ,且 .对一切实数 x ,不等式恒成立(a ≠0).
（1）
求的值；
（2）
求函数的表达式；
（3）
求证:
14. （10分） (2016高二下·潍坊期末) 已知{fn（x）}满足f1（x）= （x＞0），fn+1（x）=f1[fn（x）]，
（1）
求f2（x），f3（x），并猜想fn（x）的表达式；
（2）
用数学归纳法证明对fn（x）的猜想．
参考答案一、单选题 (共1题；共2分)
1-1、
二、选择题 (共7题；共14分)
2-1、
3-1、
4-1、
5-1、
6-1、
7-1、
8-1、
三、填空题 (共3题；共3分)
9-1、
10-1、
11-1、
四、解答题 (共3题；共35分)
12-1、
12-2、13-1、
13-2、
13-3、
14-1、答案：略14-2、答案：略。