经典解方程技巧.doc

一元一次方程解题技巧

⒈去分母方程两边同时乘各分母的最小公倍数。

⒉去括号一般先去小括号，再去中括号，最后去大括号。但顺序有时可依据情况而定使计算简便。可根据乘法分配律。

⒊移项把方程中含有未知数的项移到方程的另一边，其余各项移到方程的另一边移项时别忘记了要变号。

⒋合并同类项将原方程化为ax=b(a≠0)的形式。

⒌系数化一方程两边同时除以未知数的系数。

⒍得出方程的解。

同解方程：如果两个方程的解相同，那么这两个方程叫做同解方程。

方程的同解原理：

⒈方程的两边都加或减同一个数或同一个等式所得的方程与原方程是同解方程。

⒉方程的两边同乘或同除同一个不为0的数所得的方程与原方程是同解方程。

做一元一次方程应用题的重要方法：

⒈认真审题

⒉分析已知和未知的量

⒊找一个等量关系

⒋设未知数

⒌列方程

⒍解方程

⒎检（jian三声）验

⒏写出答

一元一次方程应用题解题方法论初探

方程的应用问题的教学可以说贯穿了整个小学高年级学段和初中学段，在学生的数学学习活动中占有相当重要的地位（整个初中段方程及其应用题的教学学时为41学时，约占整个初中数学学时的11.5％），而一元一次方程应用题的教学，又是所有方程应用题教学中最基础的起始部分，因此，这一部分内容的教学成功，对后续包括二元一次方程组的应用、一元二次方程的应用的教学有着至关重要的作用。但由于初中一年级这一阶段学生的机械记忆力较强，分析能力却相对仍然较弱，因此，要提高初一年级数学应用题教学效果，除了要逐步提高学生的数学分析能力，及时地给学生以解题方法论的指导，也是每一位数学教师必须考虑和认真探索的问题。

显然，列方程解应用题的关键在于由题目中隐含的等量关系列出相应的方程。笔者通过多年的教学实践，认为初中数学应用题的教学基本可有如下几种方法：

一、直列法。即由题中的“和”、“少”、“倍”等表示数量关系的字眼，直接列出相关的方程。

例1 在甲处劳动的有27人，在乙处劳动的有19人，现在另调20人去支援，使在甲处人数为在乙处的人数的2倍，应调往甲、乙两处各多少人？

分析：显然，人员调动完成后，甲处人数＝2×乙处人数。

解：设调x人到甲处，则调（20-x）人到乙处，由题意得：

27+x=2(19+20-x)，

解之得x＝17

∴20-x＝20－17＝3（人）

答：应调往甲处17人，乙处3人。

二、公式法。学生熟识的公式诸如“路程＝速度×时间”、“工作总量＝工作效率×工作时间”、“利润＝售价－进价”、“利润率＝利润/进价”等都是解答相关方程应用题的工具。

例2 商品进价1800元，原价2250元，要求以利润率不低于5%的售价打折出售，则此商品最低可打几折出售？

分析：根据利润率公式，列出方程即可。

解：设最低可打x折。据题意有：

5%=（2250x-1800）/1800，

解之得x＝0.84

答：最低可打8.4折。

三、总分法。即根据总量等于各分量之和来列出方程，用此法要注意分量不可有所遗漏。

例3 “过路的人！这儿埋葬着丢番图。请计算下列题目，便可知他一生经过了多少寒暑。他一生的六分之一是幸福的童年，十二分之一是无忧无虑的少年。再过去七分之一的年程，他建立了幸福的家庭。五年后儿子出生，不料儿子竟先其父四年而终，只活到父亲岁数的一半。晚年丧子老人真可怜，悲痛之中度过了风烛残年。请你算一算，丢番图活到多大，才和死神见面？”

分析：本题即是著名的丢番图的“墓志铭”，题中巧妙地把丢番图的总年龄划分为了几个部分，解题时只需运用其总年龄＝各部分年龄的和即可得出解答。

解：设丢番图活了x年。据题意可得：

x=x/6+x/12+x/7+5+x/2+4

解之得x＝84

答：丢番图共活了84岁。

由此题的解答，我们还可知道古希腊的这位大数学家丢番图33岁结婚，38岁得子，80岁死了儿子，儿子活了42岁等。

四、同一法。这类题目的解题原理是：如果同一个量能用两个不同的代数式表达，则这两个代数式必然相等。

例4 一队学生从学校出发去部队军训，行进速度是5千米/时，走了4.5千米时，一名通讯员按原路返回学校报信，然后他随即追赶队伍，通讯员的速度是14千米/时，他在距离部队6千米处追上队伍，问学校到部队的距离是多少？（报信时间忽略不计）

分析：该题的解答关键在于，通讯员从返回学校到追上队伍所用时间与队伍走了4.5千米到距离部队6千米这段路程所用时间是相等的（同一段时间）。

解：设学校到部队的距离是x千米。据题意得：

(x-4.5-6)/5=(x+4.5-6)/14，

解之得：x＝15.5

答：学校到部队的距离是15.5千米。

当然，以上四种方法不是孤立使用的，如例4的解答必然要用到公式：“路程＝速度×时间”。并且一个题目的解法往往也不是唯一的，如例1的解答也可以用总分法：

解：设人员分配后乙处人数为x人，甲处为2x人。分配后的总人数为27+19+20＝66人，据题意有：

x+2x＝27+19+20，

解之得x＝22，

∴2x＝44，故44－27＝17（人），22－19＝39（人）

答：应调往甲处17人，乙处3人。

可见，方程应用题方法论的训练，不仅使大多数学生在解答相关问题时能“按图索骥”，而且对于培养学生思维的发散性和多元性也有着重要意义，使一题多解成为可能。

一元一次方程中列方程解应用题类型不外乎：

工程问题、行程问题、植树问题、行船问题、追击问题

1、首先要看清题、分析题意

2、根据题中所给的已知条件

3、隐含条件与未知条件之间的关系

4、列出它们之间的等量关系式，即方程。

具体的办法：

1、找出已知条件，写在演草纸上

2、找出隐含条件，写在演草纸上

3、把未知数设定，视为已知数，写在演草纸上

4、画出图形（这是最常用的，也是最直观的分析方法)，分析量与量之间的关系

5、根据图形分析，列出量与量之间的关系等式，就得出方程式

6、解方程，求出未知数（必要时根据数与数之间的关系求出问题中要求的结果）