函数概念的形成与演变

德國於1966年 德國於1966年8月24日發行，紀念萊布 1966 24日發行， 日發行 尼茲的250 250週年忌辰 尼茲的250週年忌辰
十七世纪， 十七世纪，在对各种各样运动的 研究中， 研究中，人们愈来愈感到需要有一个 能准确表示各种量之间关系的数学 数学概 能准确表示各种量之间关系的数学概 经过深思熟虑， 念。经过深思熟虑，人们从笛卡尔的 变量思想中得到启示， 变量思想中得到启示，从而引出了函 数概念。据考证，十七世纪中叶， 数概念。据考证，十七世纪中叶，微 积分的创始人之一德国家莱布尼兹最 先使用函数（ 先使用函数（function）这个名词。 ）这个名词。 不过，他指的是变数x的幂 的幂x， ， 不过，他指的是变数 的幂 ，x，… 等等。后来才逐步扩展到多项式函数、 等等。后来才逐步扩展到多项式函数、 有理函数、幂函数、指数函数、 有理函数、幂函数、指数函数、对数 函数、 函数、三角函数和反三角函数以及由 它们的四则运算、 它们的四则运算、各种复合所形成的 初等函数。这些函数都是具体的， 初等函数。这些函数都是具体的，都 有解析表达式， 有解析表达式，并且和曲线紧密联系 在一起。 在一起。那时的函数就是表示任何一 个随着曲线的点的变动而变化的量。 个随着曲线的点的变动而变化的量。 至此，还没有函数的一般定义。 至此，还没有函数的一般定义。
在公元十六世纪之前， 公元十六世纪之前， 数学上占统治地位的是常量 数学，其特点是用孤立、 数学，其特点是用孤立、静 止的观点去研究事物。 止的观点去研究事物。具体 的函数在数学中比比皆是， 的函数在数学中比比皆是， 但没有一般的函数概念。 但没有一般的函数概念。
法國於1996年發行，紀念笛卡爾四百週年誕辰
1837年狄利克雷(Dirichlet， 1837年狄利克雷(Dirichlet， 年狄利克雷 1805－1859)认为怎样去 德，1805－1859)认为怎样去 建立x 之间的关系无关紧要， 建立x与y之间的关系无关紧要， 他拓广了函数概念，指出： 他拓广了函数概念，指出：“对 于在某区间上的每一个确定的x 于在某区间上的每一个确定的x 值，y都有一个或多个确定的值， 都有一个或多个确定的值， 那么y叫做x的函数。 那么y叫做x的函数。”狄利克雷 的函数定义， 的函数定义，出色地避免了以 往函数定义中所有的关于依赖 关系的描述，简明精确， 关系的描述，简明精确，以完 全清晰的方式为所有数学家无 条件地接受。至此， 条件地接受。至此，我们已可 以说，函数概念、 以说，函数概念、函数的本质 定义已经形成， 定义已经形成，这就是人们常 说的经典函数定义。 说的经典函数定义。
康托尔
从康托尔(Cantor， 从康托尔(Cantor，德， (Cantor 1845－1918)创立的集合论 1845－1918)创立的集合论 在数学中占有重要地位之后， 在数学中占有重要地位之后， 维布伦(Veblen (Veblen， 维布伦(Veblen，美，1880 1960)用 集合” 对应” －1960)用“集合”和“对应”的 概念给出了近代函数定义， 概念给出了近代函数定义， 通过集合概念， 通过集合概念，把函数的对 应关系、 应关系、定义域及值域进一 步具体化了，且打破了“ 步具体化了，且打破了“变 量是数”的极限， 量是数”的极限，变量可以 是数， 是数，也可以是其它对象 向量、 （点、线、面、体、向量、 矩阵等）。 矩阵等）。
德國於1983年 德國於1983年9月6日發行，紀念欧拉的200週 1983 日發行，紀念欧拉的200週 200 年忌辰
十八世纪初， 十八世纪初，贝努利最先 摆脱具体的初等函数的束缚， 摆脱具体的初等函数的束缚， 给函数一个抽象的不用几何 形式的定义： 形式的定义：“一个变量的 函数是指由这个变量和常量 的任何一种方式构成的一个 欧拉则更明确地说： 量。”欧拉则更明确地说： “一个变量的函数是该变量 和常数以任何一种方式构成 的解析表达式。 的解析表达式。”函数之间 的原则区别在于构成函数的 变量与常量的组合方式的不 同。欧拉最先把函数的概念 写进了教科书。 写进了教科书。在贝努利和 欧拉看来， 欧拉看来，具有解析表达式 是函数概念的关键所在。 是函数概念的关键所在。
法國於1989年11月10日發行，在他的200週年誕辰 法國於1989年11月10日發行，在他的200週年誕辰 1989 日發行 200
十九世纪20 十九世纪20 年代， 年代，微积分严 格理论的奠基者 柯西的函数概念， 柯西的函数概念， 可以说是现代函 数概念的基础， 数概念的基础， 他认识到函数是 变量与变量之间 的一种关系， 的一种关系，但 不足之处是仍然 没有摆脱“表达式 没有摆脱“ 之说。 ”之说。
十六世纪， 十六世纪，随着欧洲过渡到 新的资本主义生产方式， 新的资本主义生产方式，迫切 需要天文知识和力学原理。 需要天文知识和力学原理。当 时，自然科学研究的中心转向 对运动、 对运动、对各种变化过程和变 化着的量之间依赖关系的研究。 化着的量之间依赖关系的研究。 数学研究也从常量数学转向了 变量数学。 变量数学。数学的这个转折主 要是由法国数学家笛卡尔完成 他在《几何学》 的，他在《几何学》一文中首 先引入变量思想，称为“ 先引入变量思想，称为“未知和 未定的量” 未定的量”，同时引入了两个变 量之间的相依关系。 量之间的相依关系。这便是函 数概念的萌芽。 数概念的萌芽。
1734年 欧拉用记号y=f( x)表示变量 的函数， 表示变量x 1734年，欧拉用记号y=f( x)表示变量x的函数，其 中的“f”取自“function”的第一个字母。 “f”取自“function”的第一个字母 中的“f”取自“function”的第一个字母。

蘇聯於1957年4月17日發行，紀念欧拉的250週年誕辰
函数概念的形成与演变
函数概念是数学中最基本的概念 函数概念是数学中最基本的概念 之一，但它不像算术产生于远古时代， 之一，但它不像算术产生于远古时代， 函数概念的产生非常晚， 函数概念的产生非常晚，至今只有三 百余年历史。 百余年历史。函数概念的演变大体上 可分为萌芽阶段、形成阶段、 可分为萌芽阶段、形成阶段、成熟阶 近代阶段和现代阶段等五个阶段。 段、近代阶段和现代阶段等五个阶段。
1914年豪斯道夫(F．Hausdorff) 1914年豪斯道夫(F．Hausdorff)在《集 年豪斯道夫(F 合论纲要》中用“序偶”来定义函数。 合论纲要》中用“序偶”来定义函数。其优 点是避开了意义不明确的“变量” 对应” 点是避开了意义不明确的“变量”、“对应”概 其不足之处是又引入了不明确的概念“ 念，其不足之处是又引入了不明确的概念“ 序偶” 库拉托夫斯基(Kuratowski) 序偶”。库拉托夫斯基(Kuratowski)于1921 年用集合概念来定义“序偶” 即序偶(a (a， 年用集合概念来定义“序偶”，即序偶(a，b) 为集合{{a} {b}}，这样， {{a}， 为集合{{a}，{b}}，这样，就使豪斯道夫的 定义很严谨了。1930年新的现代函数定义 定义很严谨了。1930年新的现代函数定义 若对集合M的任意元素x 总有集合N 为，若对集合M的任意元素x，总有集合N 确定的元素y与之对应，则称在集合M 确定的元素y与之对应，则称在集合M上定 义一个函数，记为y=f(x) 元素x y=f(x)。 义一个函数，记为y=f(x)。元素x称为自变 元素y称为因变元。 元，元素y称为因变元。
函数概念的定义经过三百多年的 锤炼、变革， 锤炼、变革，形成了函数的现代定义 形式， 形式，但这并不意味着函数概念发展 的历史终结， 世纪 年代， 世纪40年代 的历史终结，20世纪 年代，物理学 研究的需要发现了一种叫做Dirac－δ 研究的需要发现了一种叫做 － 函数，它只在一点处不为零， 函数，它只在一点处不为零，而它在 全直线上的积分却等于1， 全直线上的积分却等于 ，这在原来的 函数和积分的定义下是不可思议的， 函数和积分的定义下是不可思议的， 但由于广义函数概念的引入，把函数、 但由于广义函数概念的引入，把函数、 测度及以上所述的Dirac－δ函数等概 测度及以上所述的 － 函数等概 念统一了起来。因此， 念统一了起来。因此，随着以数学为 基础的其他学科的发展， 基础的其他学科的发展，函数的概念 还会继续扩展。 还会继续扩展。
十八世纪中期， 十八世纪中期，由于偏微 中期 分方程中的弦振动问题引起了 关于函数概念的争论， 关于函数概念的争论，迫使数 学家接受一个更广泛的概念。 学家接受一个更广泛的概念。 1755年欧拉给函数下了一个新 1755年欧拉给函数下了一个新 的定义： 的定义：如果某些量这样地依 赖于另一些量， 赖于另一些量，当后者改变时 它经常变化， 它经常变化，那么称前者为后 者的函数。 者的函数。 法国数学家傅立叶的工作 法国数学家傅立叶的工作 更广泛地展现了函数究竟是什 么的问题， 么的问题，他的工作动摇了十 八世纪的信念， 八世纪的信念，那种视函数仅 为解析式的观点作为揭示函数 关系真谛的巨大障碍终于排除 了。