常见混合像元分解方法简介二
混合像元分解算法的比较和改进
混合像元分解算法的比较和改进混合像元分解是一种图像处理算法，通过将一幅图像分解为几个基本的图像元素，然后再通过重新组合这些元素来实现图像处理。
混合像元分解算法在计算机视觉、图像识别等领域有广泛的应用。
本文将对混合像元分解算法进行比较和改进。
首先，我们将比较几种常用的混合像元分解算法，包括：均值漂移算法、Meanshift算法、K-Means算法以及高斯混合模型算法。
均值漂移算法是一种基于颜色直方图的算法，通过不断迭代寻找局部最大概率密度点来进行图像分割。
这种方法具有较好的抗噪声能力，但在处理大规模数据时，计算复杂度较高。
Meanshift算法是一种非参数化的聚类算法，通过估计图像颜色分布中心并将其与原始图像进行对比，来实现图像分割。
这种方法在处理复杂图像时，往往需要较长的收敛时间。
K-Means算法是一种基于聚类分析的算法，通过将图像像素点划分为不同的簇来实现分割。
这种方法的计算速度较快，但在处理高维数据时，由于存在样本划分不均衡的问题，容易导致结果不稳定。
高斯混合模型算法是一种概率模型，通过对图像像素点进行统计建模，进而进行分割。
这种方法在处理复杂图像时效果较好，但计算复杂度较高。
在比较了以上几种常用的混合像素分解算法后，我们可以发现它们各自具有一定的优势和不足之处。
为了改进这些算法，我们可以考虑以下几个方面：1. 改进聚类算法：针对K-Means算法存在的问题，可以考虑使用基于密度的聚类算法，如DBSCAN。
该算法不需要预先指定簇的数目，可以有效地解决样本划分不均衡的问题。
2.引入上下文信息：在图像分割过程中，通过引入上下文信息，如空间信息、纹理信息等，可以提高图像分割的准确性。
例如，可以将像素点与其周围像素点之间的关系纳入考虑，以更好地描述图像的结构特征。
3.结合深度学习方法：深度学习在图像处理任务中已经取得了重要的突破，可以将其应用于混合像素分解算法中。
通过使用深度神经网络来学习图像的特征表示，可以提高图像分割的性能。
混合像元分解法操作步骤
混合像元分解法操作步骤1.数据准备-获取多光谱图像数据，可以使用航空或卫星遥感数据。
- 准备高分辨率的真实地物标记（Ground Truth），用于评估分解结果的准确性。
2.选择变量-选择用于混合像元分解的变量，一般是多光谱图像的波段数据。
-可以利用统计学方法、专家知识或试错法来选择最适合的变量。
3.确定光谱参考-选择用于确定混合像元分解的光谱参考数据。
-光谱参考可以是单一的像素或像元组合。
-光谱参考应该具有代表性，并且包含不同地物的特征光谱。
4.混合像元分解-使用混合像元分解模型来计算每个像素的混合成分比例。
-混合像元分解模型通常假设图像中的每个像素是由多个地物的混合成分组成，并输出每个地物的比例。
- 常用的混合像元分解模型包括Spectral Mixture Analysis（SMA）和Linear Spectral Mixture Analysis（LSMA）等。
5.分解结果评估-使用真实地物标记来评估混合像元分解的准确性。
-可以使用混合像元分解的结果与真实地物标记进行对比，计算混淆矩阵或其他评估指标。
-可以根据评估结果来调整或优化混合像元分解模型的参数。
6.结果解释-根据混合像元分解得到的地物比例，进行图像分类、植被指数计算等应用。
-可以通过阈值或其他分类方法将分解得到的比例转化为具体的地物类别。
-可以根据混合像元分解的结果进行地物变化检测、遥感图像解译等分析。
7.结果可视化-可以使用各种图像处理软件将混合像元分解的结果可视化。
-可以使用颜色编码、图形绘制等方法将混合像元分解的结果与原始图像进行对比。
-可以生成分类图像或指数图像等用于进一步分析或展示的结果。
总之，混合像元分解法是一种通过对多光谱图像像素进行分解来获取地物混合成分比例的方法。
它具有广泛的应用前景，并可以通过合理的参数选择和模型优化来提高分解结果的精度和准确性。
python 混合像元分解方法 -回复
python 混合像元分解方法-回复什么是混合像元分解方法？混合像元分解方法（Mixture Pixel Decomposition）是一种用于解析遥感图像中复杂地物的探测和提取的技术。
遥感图像包含了不同地物的混合像元，即一个像素内存在多种地物的信号。
混合像元分解方法可以将混合像元分离为不同的地物成分，从而获得每个地物的光谱信息，进一步实现对地物进行分类和定量分析。
混合像元分解方法的原理混合像元分解方法通过数学模型对混合像元进行分解，其中最常用的数学模型是线性模型。
假设一个像元包含K 个地物成分，那么混合像元可以表示为K 个地物的线性组合。
即：I = ∑( f * ρ)其中，I 是观测到的混合像元，f 是混合像元中每个地物的系数，表示该地物在混合像元中的比例，ρ是对应地物的光谱响应曲线。
通过对I 进行解析，可以求解出每个地物的成分系数f。
常见的混合像元分解方法1. N-FINDR：N-FINDR 法（Normalized Maximum Likelihood Feature Discrimination）是一种经典的混合像元分解方法。
它通过最大似然估计寻找最优的像元组合，将混合像元分解为基础地物。
N-FINDR 法常用于无监督的遥感图像分类。
2. SISMA：SISMA 法（Spectral Information Subtraction Maximum Likelihood Algorithm）是一种监督的混合像元分解方法。
它引入了监督样本，通过最大似然估计计算每个地物的成分系数。
SISMA 法可以有效地提高分类精度和抑制混合像元效应。
3. VCA：VCA 法（Vertex Component Analysis）是一种基于顶点的混合像元分解方法。
它通过在N 混合像元图中选择顶点，进行解析，找到与顶点最接近的纯地物光谱，从而实现混合像元的分解。
VCA 法适用于对大尺度遥感图像进行定量分析。
混合像元分解方法的应用混合像元分解方法广泛应用于遥感图像解析、地物分类、环境监测等领域。
高光谱遥感影像混合像元分解
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（4）随机几何模型
该模型和几何光学模型相类似，像元反射率同 样表示为四种状态i的面积权重的线性组合。 即：
R (,x) fi(x)R i(,x)
i
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（5）模糊模型
基本原理：将各种地物类别看成模糊集合，像元为模 糊集合的元素，每一像元均与一组隶属度值相对应， 隶属度也就代表了像元中所含此种地物类别的面积百 分比。
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线性光谱混合
非线性光谱混合
8.2 混合像元分解技术
把像元的反射率表示为端元组分的光谱特征和它们的 面积百分比（丰度）的函数。Charles 在1996年将像 元混合模型归结为以下五种类型：
（1）线性（linear）模型 （2）概率（probabilistic）模型 （3）几何光学（geometric—optical）模型 （4）随机几何（stochastic geometric）模型 （5）模糊分析（fuzzy）模型
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在线性混合模型中，每一光谱波段中单一像元 的反射率表示为它的端元组分特征反射率与它 们各自丰度的线性组合。
从遥感图像的像元光谱信号可以提取像元整体 的表观光谱信息，其表观光谱信息光谱辐亮度
L（）是端元光谱辐亮度Lj（ j）的线性组
合。
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植被
混合 像元
reflectance
KLS方法分解的组分影像
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KLS（核最小二乘 ）方法 分解结果的BDF图
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混合像元分解研究综述——端元内光谱差异问题
混合像元分解研究综述——端元内光谱差异问题或叫做端元变异，端元不稳定(Endmember variation)。
一般的混合像元分解算法假设相同地物都有相同的光谱特征，因而对整幅图像采用相同的端元光谱。
但由于同物异谱现象的存在，端元的光谱并非恒定的值，这就是端元内光谱差异现象。
这种现象的存在常常会导致分解结果的误差。
目前，解决该问题的方法可以分为四类：(1) 多端元方法多端元方法指对每一类地物选取多个端元光谱参与混合像元分解。
其中最典型的方法是由Roberts等(1998)[49]提出的MESMA(Multiple Endmember Spectral Mixture Analysis)方法。
该方法首先为每类地物选取多条光谱，并以此生成多个端元组合（每个端元组合由不同地物中的某一条光谱组成），接着对每个像元寻找最小二乘法误差最小的端元组合，进而求出每个像元的端元比例。
该方法在很多研究中被证实是十分有效的[50-54]。
Bateson等(2000)[55]提出了一种端元束的方法，该方法对每类地物生成端元束（一个端元束由许多同一类地物的光谱组成），将所有端元束的光谱作为端元进行混合像元分解。
因为端元数目超过光谱波段数，方程组欠定，所以只能求解出每一类地物（也就是一个端元束内所有光谱的比例之和）的最小值和最大值，再对其作平均得到每类地物的比例。
该方法的优点在于可以得到每类地物比例的误差范围。
多端元方法机制明确，但计算复杂，耗时过长。
(2) 光谱变换在很多情况下，同类地物的光谱的差别来自绝对值的变化，而光谱形状是相似的。
因此通过对光谱进行一定的变换可以减少端元的光谱差异。
Wu（2003）[56]提出将光谱除以各个波段的均值，再作混合像元分解，并应用于城市监测；Garcia-Haro等（2005）[57]将光谱作标准化后再作混合像元分解；Asner等(2003)[58]将光谱作微分后再作混合像元分解。
Juan Pablo Guerschman等(2009)[59]利用原始光谱计算出归一化差分植被指数（Normalized Difference VegetationIndex, NDVI）和纤维素吸收指数（Cellulose Absorption Index，CAI），假设两个指数也满足线性混合模型，利用两个指数求得光合植被、非光合植被及裸土的比例。
混合像元分解提取植被
混合像元分解提取植被
混合像元分解是一种常用的遥感图像处理方法，它可以将遥感图像中的每个像元分解为不同的成分，从而提取出图像中的各种信息。
其中，植被是遥感图像中常见的一种成分，因此混合像元分解可以被用来提取植被信息。
混合像元分解的基本原理是将遥感图像中的每个像元分解为不同的成分，这些成分包括植被、土壤、水体等。
其中，植被成分可以通过NDVI指数来计算得到。
NDVI指数是一种反映植被覆盖度的指数，它的计算公式为：
NDVI = (NIR - RED) / (NIR + RED)
其中，NIR代表近红外波段的反射率，RED代表红色波段的反射率。
通过计算NDVI指数，可以得到遥感图像中每个像元的植被覆盖度。
除了NDVI指数，混合像元分解还可以使用其他的方法来提取植被信息。
例如，基于像元的分类方法可以将遥感图像中的每个像元分为不同的类别，其中包括植被、土壤、水体等。
通过对每个类别进行统计分析，可以得到遥感图像中植被的分布情况。
混合像元分解可以被广泛应用于植被监测、土地利用、环境保护等领域。
例如，在植被监测中，可以通过混合像元分解来提取植被信息，从而得到植被的分布情况、生长状态等信息。
在土地利用中，可以通过混合像元分解来分析土地利用类型的分布情况，从而为土
地规划和管理提供参考。
在环境保护中，可以通过混合像元分解来监测水体和土壤的污染情况，从而及时采取措施进行治理。
混合像元分解是一种非常有用的遥感图像处理方法，可以被用来提取植被信息以及其他各种信息。
在实际应用中，需要根据具体的需求选择合适的方法和参数，以得到准确的结果。
高光谱遥感影像混合像元分解
04
混合像元分解实验与分析
实验数据介绍
数据来源
01
实验数据来自中国的某高光谱遥感卫星，覆盖了多个地区和不
同的土地利用类型。
数据特点
02
数据具有高光谱分辨率，包含了数百个波段，能够提供丰富的
地物光谱信息。
数据预处理
03
为了提高混合像元分解的精度，需要进行数据预处理，包括辐
射定标、大气校正、几何校正等。
端元数量与分解精度
实验结果表明，随着端元数量的增加，混合像元分解的精度逐渐提高。但端元数量过多会导致解的不稳定，因此需要 选择合适的端元数量。
不同土地利用类型的识别
通过混合像元分解，可以有效地识别不同类型的土地利用，如植被、水体、城市等。这为土地利用变化监测、生态保 护等方面提供了有力支持。
比较不同方法的结果
混合像元分解的必要性
为了更准确地提取地物信息，提高遥感应用的效果，对高光谱遥感影像进行混合像元分解是必要的。通过混合像 元分解，可以将一个混合像元分解成若干个纯像元的线性组合，从而更准确地表达地物的光谱特征。
混合像元分解研究现状
早期研究方法
早期的研究主要采用端元提取和丰度反 演的方法进行混合像元分解。端元提取 的方法主要基于空间和光谱的统计分析 ，从高光谱数据中提取出纯像元；丰度 反演的方法则是基于线性混合模型，通 过优化算法反演出各纯像元的丰度。
VS
近期研究方法
近年来，随着深度学习技术的发展，越来 越多的研究开始采用深度学习的方法进行 混合像元分解。深度学习方法能够自动地 学习和提取高光谱数据中的复杂结构和特 征，从而更准确地分解混合像元。目前， 常见的深度学习方法包括卷积神经网络 （CNN）、生成对抗网络（GAN）等。
混合像元分解和其应用ENVI操作讲解
混合像元分解和其应用ENVI操作讲解混合像元分解的过程可以通过光谱混合分析法（SMA）来实现。
SMA假设观测到的光谱是由一个像元中每个地物类别的光谱能量线性组合得到的。
为了进行混合像元分解，需要预先获取每个地物类别的光谱特征。
常见的方法是通过野外调查、实地采样或其他遥感图像分类结果来获取这些特征。
在ENVI软件中，实施混合像元分解可以通过以下步骤完成：1.打开ENVI软件并加载需要进行混合像元分解的遥感图像。
2. 选择"Raster"菜单中的"Spectral"，然后选择"Spectral Indices"子菜单。
在弹出窗口中，选择需要进行混合像元分解的图像。
3. 在"Spectral Indices"窗口中，可以选择多种混合像元分解算法。
常见的算法有Jeffries-Matusita Distance、SMA、Parallel Factor Analysis (PARAFAC)等。
选择适合自己需求的算法并点击"OK"进行计算。
4.完成计算后，ENVI将在新窗口中显示出分解后的图像。
每个地物类别将以不同的颜色表示。
5.可以通过调整图像的对比度、亮度等参数，以及使用ENVI软件中的其他图像分析工具来进一步分析和提取分解后的地物类别。
1.土地利用和土地覆盖分类：混合像元分解可以提取出每个像元中不同地物类别的能量贡献，帮助识别和分类土地利用和土地覆盖类型。
这对于土地规划、农业生产、环境保护等有很大的指导作用。
2.环境监测：混合像元分解可以提取出不同地物类别在像元中的分布比例，从而可以监测和分析环境中不同地物的变化。
例如，可以通过监测城市中不同地物类别的分布变化来评估城市扩张对生态环境的影响。
3.自然资源管理：混合像元分解可以提取出影像中的不同地物信息，例如森林、水体、草地等，从而帮助管理和保护自然资源。
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端元就相当于一个像素里的亚像元，只包含一种地物的光谱信息，根据多光谱或高光谱的高光谱分辨率可以提取出来。
端元只包含一种地物信息，一般的像元都为混合像元，包括多种地物，在进行混合像元分解的时候，可以对一个像元中包括的几种端元进行定量描述，求得每个像元中几种端元在这个像元中的面积百分比，即端元的丰度。
混合像元分解(2011-06-10 14:46:57)转载▼分类：ENVI/IDL学习标签：杂谈混合像元是指在一个像元内存在有不同类型的地物，主要出现在地类的边界处。
混合像元的存在是影响识别分类精度的主要因素之一,特别是对线状地类和细小地物的分类识别影响较为突出，在土地利用遥感动态监测工作中,经常遇到混合像元的难题，解决这一问题的关键在于通过一定方法找出组成混合像元的各种典型地物的比例。
线性混合像元分解由于线性模型是应用最广泛，也是研究最多的算法，下面重点介绍基于线性模型的混合像元分解算法。
一般而言，混合像元分解算法包括数据降维、端元选取和反演三个步骤。
１.数据降维尽管数据降维不是混合像元分解算法的一个必需步骤，但由于大多数算法都将其作为一个流程，我们也将其当作一个步骤。
常用的降维算法有主成分分析（Principle Component Analysis，PCA）、最大噪声比变换（Maximum Noise Fraction，MNF）和奇异值分解（Singular Value Decomposition，SVD）。
(1) 主成分分析：遥感图像各波段之间经常是高度相关的，因此所有的波段参加分析是不必要的。
PCA就是一种去除波段之间相关性的变换。
PCA通过对原数据进行线性变换，获得新的一组变量，即主成分。
其中前几个主成分包含了原数据主要方差，同时各个主成分之间是不相关的。
(2) 最大噪声比变换：最大噪声比变换（Maximum Noise Fraction，MNF）[24]由Green等（1989）提出，该变换通过引入噪声协方差矩阵以实现对噪声比率的估计。
首先，通过一定方式（比如对图像进行高通滤波）获取噪声的协方差矩阵，然后将噪声协方差矩阵对角化和标准化，即可获得对图像的变换矩阵，该变换实现了噪声的去相关和标准化，即变换后的图像包含的噪声在各个波段上方差都为1，并且互不相关。
最后对变换后的图像再做主成分变换，从而实现了MNF变换，此时得到的图像的主成分的解释方差量对应于该主成分的信噪比大小。
(3) 奇异值分解：奇异值分解（Singular Value Decomposition, SVD）也是遥感图像处理中常用的变换，与PCA类似，SVD能够找出包含原始数据大部分方差的特征方向，不同的是，SVD特别适合于波段间高度相关的数据，而PCA在这种情况下很有可能会失败[25]。
2.端元选取选取合适的端元是成功的混合像元分解的关键[26, 27]。
端元选取包括确定端元数量以及端元的光谱。
理论上，只要端元数量m小于等于L+1（L表示波段数），线性方程组就可以求解。
然而实际上由于端元波段间的相关性，选取过多的端元会导致分解结果更大的误差，尽管此时残差会减少[28]。
在能够描述一个场景内光谱的大部分方差的前提下，越少的端元数量是越好的选择[29]。
对于城市地区，最常用的端元选取方式是由Ridd等（1995）[30]提出的植被-不透水层-土壤端元模型（Vegetation - Impervious surface–Soil, V-I-S），V-I-S模型在很多研究中得到应用[2,31-35]。
而在非城市地区，一般采用植被-土壤-阴影（或干植被）端元模型。
端元的数量和类型确定后，下一步是确定端元的光谱。
端元光谱的确定有两种方式：(1) 使用光谱仪在地面或实验室测量到的“参考端元”；(2) 在遥感图像上得到的“图像端元”。
参考端元虽然可以精确测量，但由于各种因素（包括不同传感器、大气影响、辐射条件及物候等）造成的噪声，可能会导致其与图像上像元光谱的不一致。
要将二者匹配起来需要进行复杂的校正，而且参考端元的微弱噪声就可能引起最后计算得到的端元比例有很大误差。
相对而言，直接从图像上寻找端元更加直接方便，因而得到广泛研究。
图像端元选取的方法大致可以分为两类：交互式端元提取和自动端元提取。
2.1交互式端元提取从图像上选取端元的各种方法，都基于这样一种思想：在特征空间中，所有的混合像元都存在于由端元连接而成的多边形（或多面体）内。
这样的混合像元才能满足端元面积比例为正值并且总和为1的条件。
因此，最简单的交互式提取方法就是在特征空间中（通常是前两个或三个主成分构成的特征空间）目视寻找多边形的顶点作为端元。
为了减少目视选取的主观性，一些定量化方法被引进作为选取端元时的参考，这些方法的特点是仍然需要人工参与，所以被称为交互式提取。
(1)PPI指数[36]：像元纯度指数（Pixel Purity Index）是最成功的方法之一。
首先对图像进行MNF变换以实现数据降维，接着在由MNF的前几个主要成分组成的特征空间中，随机生成穿过数据云的测试向量，然后将数据点投影到测试向量上。
投影在测试向量两端的数据点有较大的可能性属于端元，用一个阈值选出在这个测试向量两端的极值点。
继续生成新的随机向量，重复上述步骤，记录图像中每个像元作为极值点的频度，即为PPI指数。
PPI指数越高意味着像元的纯度也越高。
(2)MEST算法[37]：MEST（Manual Endmember Selection Tool）算法通过主成分分析来确定混合物中端元的数目。
对于三维及三维以内的数据而言，可以直接通过目视选取多边形的顶点来确定端元，但对于更高维数的数据，显示上存在困难。
MEST提供了一种在高维空间中寻找端元光谱的方法。
(3)CAR和EAR指数[38]：由于端元内的光谱差异，一类端元往往对应很多条光谱，这两个指数用于解决从多条光谱中选择最具代表性的光谱问题。
CAR（Class Average RMSE）计算A类端元光谱用B类端元光谱来分解产生的残差,显然残差越小，A、B两类端元的混淆性越大。
EAR（Endmember average RMSE）计算A端元内某一条光谱用A端元内其他光谱来分解产生的残差。
显然EAR越低表明这条光谱的代表性越好，如果很高则证明这条光谱可能是离群点，没有代表性。
因此，利用CAR和EAR指数可以为端元的合并或分离提供依据，进而指导端元选取。
2.2自动端元提取自动端元提取指不需要人工参与的端元提取方法。
相对于交互式提取方法，自动方法的提取结果不受个人的主观性影响，但是由于自动提取方法一般采用纯数学判据，有时可能产生不具有物理意义的端元。
常见的自动提取方法有：N-FINDR、IEA、CCA和ORASIS。
(1) N-FINDR[39]：N-FINDR寻找这样一组像元，它们在特征空间中构成的单形体具有最大的体积。
首先对图像作MNF变换，随机选择m个像元作为端元，计算这些像元构成的单形体的体积。
然后依次将每个像元光谱代入各个端元位置，计算体积，若体积增大，则将该像元光谱替换为端元。
不断循环直至体积不再增大，此时得到的端元即最终的端元。
(2) IEA[40]：IEA（Iterative Error Analysis）寻找端元使得最小二乘法的拟合残差最小。
IEA 无需对数据进行降维，它首先选择图像均值作为初始向量，根据这个向量开始进行第一次分解，得到一幅残差图像。
选择一定数量的残差最大的像元形成像元集，对该集合中光谱角较小的像元光谱求平均作为第一个端元。
然后，以第一个端元为初始向量开始第二次分解，重复以上步骤得到了第二个端元。
以此类推，最后直到得到了规定数量的端元或残差图像小于某个阈值，停止运算，所得到的端元即为最终的端元。
(3) ORASIS[42]：在ORASIS (Optical Real-time Adaptative Spectral Identification System)系统中，有一个称之为“样本选择”的算法来选择端元。
首先选择一组样本像元，再与图像的其他数据作光谱角匹配，去除光谱角相近的像元，只保留光谱角超过某个阈值的像元作为新的样本光谱。
接着利用修正的Gram–Schmidt正交化过程得到数目较少的一组基来构成子空间，再将样本光谱投影到子空间中，利用最小体积算法找到子空间中包含所有数据点的外接单形体，单形体的角点即为端元。
由于外接单形体的角点并不一定是图像上的数据点，因此即使图像上没有包含纯像元，ORASIS也可能找到端元光谱。
(4) 结合空间信息的方法：上述几种方法都只是利用了像元的光谱信息，近年来一些学者提出了结合空间信息的方法。
Plaza等（2002）[43]提出了一种基于数学形态学的AMEE算法(Automated Morphological Endmember Extraction)。
它首先将建立在二值图像上的腐蚀和膨胀算子拓展到多光谱图像中，Plaza等证明了腐蚀算子能够寻找到结构元里的混合最严重的像元，而膨胀算子则可寻找到其中的最纯像元，并提出MEI指数用于表示结构元中纯像元的纯度。
将结构元依次通过图像中的每个像元，可以在结构元定义的邻域中找出最纯的像元及其MEI指数。
不断增加结构元的大小，重复计算像元的MEI，并将不同大小结构元的MEI 作平均得到最终的MEI图像。
MEI指数大于一定阈值即为纯像元。
另外，Rogge等（2007）[44]提出的SSEE算法（Spatial-Spectral Endmember Extraction）通过结合先验的空间知识来获取更准确的端元光谱。
该算法的主要思想是：在图像的特定区域，混合像元包含特定的几个端元组分，进而可以将特征空间中的数据按照真实空间位置划分成不同的组，再做端元提取，以获取更高的精度。
Plaza等（2004）[45]比较了各种端元选取方法的优劣，结果表明结合空间信息的AMEE比其他单纯利用光谱信息的方法更具优势。
4.3反演最简单的线性混合模型反演过程是无约束的最小二乘法，该方法假设观测误差w为高斯白噪声，此时估计的比例有解析表达式：F=(X’X)-1X’r。
考虑到端元比例的物理意义，需要满足约束条件Σfi=1，则可通过拉格朗日乘子法求解部分约束最小二乘法（abundance sum-to-one constraint，ASC），也有解析解。
Heinz等(2001)[46] 提出全约束最小二乘（fully constrained least squares，FCLS）的求解方法。
FCLS在原方程组里添加方程Σfi=1，并给予其很大的权重，再用ANC对新的方程组求解，则求得的解近似满足两个约束条件。
由于该方法能够同时满足两个约束条件以及高效的运算效率，因而得到广泛认可。