高中物理--约束问题与临界值
高中物理专题讲解——在动力学中临界极值问题的处理
在动力学中临界极值问题的处理物理学中的临界和极值问题牵涉到一定条件下寻求最佳结果或讨论其物理过程范围的问题，此类问题通常难度较大技巧性强，所涉及的内容往往与动力学、电磁学密切相关，综合性强。
在高考命题中经常以压轴题的形式出现，临界和极值问题是每年高考必考的内容之一。
一．解决动力学中临界极值问题的基本思路所谓临界问题是指当某种物理现象（或物理状态）变为另一种物理现象（或另一物理状态）的转折状态叫临界状态．可理解成“恰好出现”或“恰好不出现”．某种物理现象转化为另一种物理现象的转折状态称为临界状态。
至于是“出现”还是“不出现”，需视具体问题而定。
极值问题则是在满足一定的条件下，某物理量出现极大值或极小值的情况。
临界问题往往是和极值问题联系在一起的。
解决此类问题重在形成清晰的物理图景，分析清楚物理过程，从而找出临界条件或达到极值的条件，要特别注意可能出现的多种情况。
动力学中的临界和极值是物理中的常见题型，同学们在刚刚学过的必修1中匀变速运动规律、共点力平衡、牛顿运动定律中都涉及到临界和极值问题。
在解决临办极值问题注意以下几点：○1临界点是一个特殊的转换状态，是物理过程发生变化的转折点，在这个转折点上，系统的一些物理量达到极值。
○2临界点的两侧，物体的受力情况、变化规律、运动状态一般要发生改变，能否用变化的观点正确分析其运动规律是求解这类题目的关键，而临界点的确定是基础。
○3许多临界问题常在题目的叙述中出现“恰好”、“最大”、“至少”、“不相撞”、“不脱离”……等词句对临界问题给出了明确的暗示，审题是只要抓住这些特定词语其内含规律就能找到临界条件。
○4有时，某些临界问题中并不包含常见的临界术语，但审题时发现某个物理量在变化过程中会发生突变，如运动中汽车做匀减速运动类问题，则该物理量突变时物体所处的状态即为临界状态。
○5临界问题通常具有一定的隐蔽性，解题灵活性较大，审题时应力图还原习题的物理情景，抓住临界状态的特征，找到正确的解题方向。
高中物理的涉及的临界问题(全)
• 分析：（1）球与挡板脱离的临界条件：球 与挡板的支持力等于零，二者速度相等，加 速度相等，然后对球受力分析求出位移X， 在运动学公式。
（2）球速达到最大的临界条件：球合外 力为零
点击高考1：（全国理综Ⅲ卷）如图所示，
在倾角为θ的光滑斜面上有两个用轻质弹簧相
连接的物块A、B，它们的质量分别为mA、mB， 弹簧的劲度系数为k,C为一固定挡板。系统处一
(1)警车要多长时间才能追上违章的货车？
(2)在警车追上货车之前，两车间的最大距离是多 大？
解析：利用速度相等这一临界条件求解，警车和货车速 度相等时相距最远． v 警＝at，v 货＝v0，由 v 警＝v 货得 at1＝v0 即相距最远时警车所用的时间为 t1＝va0＝82 s＝4 s 此时货车和警车前进的距离分别为 x 货＝v0(t0＋t1)＝8×(2.5＋4) m＝52 m x 警＝12at12＝12×2×42 m＝16 m
• 在追碰问题中，两车最容易相撞的时刻应是两车 速度相等即V乙=V甲，而不是V乙=0，这是本题的 临界条件
二.力学中的临界问题
**力学中的平衡问题涉及到平衡和运动等具体问 题平衡问题的临界状态是指物体的所处的平衡 状态将要被破坏而尚未被破坏的状态。解决这 类问题的基本方Байду номын сангаас是假设推理法。
**临界问题往往是和极值问题联系在一起的。
分析 本题可以利用解析法和正交分解法进行分 析，通过列出的平衡方程求出绳b和绳c的拉力表 达式，若要使两绳都伸直，则必须保证两绳的拉 力都大于或等于零，进而求出F的极值．
[解析] 作出物体 A 的受力分析图如图所示，由平衡条件得
Fsinθ＋F1sinθ－mg＝0
①
Fcosθ－F2－F1cosθ＝0
高中物理临界问题
高中物理临界问题引言：高中物理中，临界问题是一个重要的概念，它涉及到电流、温度、速度等多个领域。
临界问题在物理学的研究中有着广泛的应用，对于理解和解决实际问题具有重要意义。
本文将围绕高中物理临界问题展开讨论，介绍其基本概念和相关应用。
一、临界问题的基本概念临界问题是指在某种条件下，系统的一些物理性质会发生剧变或突变的问题。
具体而言，临界问题可以分为电流临界、温度临界和速度临界等。
在临界点上，系统的某个物理量会发生突变，从而导致系统的性质发生改变。
1.1 电流临界问题电流临界是指在电路中，当电流达到一定数值时，电路中的元器件或电源会发生突变或破坏，从而导致电路的性质发生改变。
举个例子，当我们连接一个电阻到电路中时，如果电流超过了电阻的最大承受电流，电阻就会发热并可能烧坏。
1.2 温度临界问题温度临界是指在物质的温度达到某个特定值时，物质的性质会发生剧变。
例如，当我们加热水至100摄氏度时，水的状态会发生改变，从液态变为气态，这是水的临界温度。
1.3 速度临界问题速度临界是指在物体运动中，当速度达到某一特定值时，物体的性质会发生剧变。
例如，当我们抛出一个物体时，物体的速度达到一定值时，会克服空气的阻力，进入自由落体状态，这是速度临界的一个实例。
二、临界问题的应用临界问题在物理学的研究和实际应用中具有重要意义，下面将分别介绍电流临界、温度临界和速度临界的应用。
2.1 电流临界的应用电流临界在电路设计和电器安全方面有着重要的应用。
例如，在电路设计中，我们需要根据电子元器件的电流承受能力来选择合适的元器件，以避免电路发生过载或短路的现象。
在电器安全方面，了解电器的电流临界值可以帮助我们正确使用和维护电器设备，避免因电流过大导致的安全事故。
2.2 温度临界的应用温度临界在材料科学和物理实验中有着广泛的应用。
例如，在材料科学中，了解材料的临界温度可以帮助我们选择合适的材料用于不同的环境和工艺要求。
在物理实验中，控制温度临界可以使实验结果更加准确和可靠，避免温度对实验结果的影响。
物理临界值的解题思路
物理临界值的解题思路物理学是一门基础学科，它探究自然界的规律和现象，为人类社会的发展提供了重要的科学依据。
在物理学中，临界值是一个非常重要的概念，它是指某个物理量达到某个临界值时，系统的状态会发生重要的变化。
本文将介绍物理临界值的概念、分类以及解题思路。
一、物理临界值的概念物理临界值是指某个物理量达到某个特定值时，系统的状态会发生重要的变化。
这个变化可能是相变、共振、失稳等，具体表现为物理量的突变、震荡或者翻转等。
临界值是物理学中的一个重要概念，它与系统的稳定性、相互作用等密切相关。
二、物理临界值的分类根据物理量的不同性质，临界值可以分为多种类型。
下面列举几种常见的物理临界值：1. 相变临界值相变是物质从一种状态向另一种状态转化的过程，例如水从液态向固态转化为冰。
相变临界值是指物质在达到一定温度、压力等条件下，从一种状态向另一种状态转化的临界值。
例如，水在0℃下达到冰点，会发生相变，这个温度就是水的相变临界值。
2. 共振临界值共振是指两个或多个物体在一定频率下发生相互作用的现象。
共振临界值是指两个物体在达到一定频率下，能够产生共振的临界值。
例如，两个钟摆在特定频率下会发生共振，这个频率就是两个钟摆的共振临界值。
3. 失稳临界值失稳是指系统在达到一定条件下，从稳定状态转化为不稳定状态的过程。
失稳临界值是指系统在达到一定条件下，从稳定状态转化为不稳定状态的临界值。
例如，一个平衡在桌子边缘的物体，在达到一定角度时会失去平衡，这个角度就是失稳临界值。
三、物理临界值的解题思路在解决物理临界值问题时，我们需要掌握一些基本的解题思路。
下面列举几个常用的解题思路：1. 分析物理量的变化趋势在解题时，我们需要分析物理量的变化趋势，找出其变化的规律。
例如，水的温度随着时间的变化呈现出一定的上升趋势，我们需要通过分析这个趋势，找出水的相变临界值。
2. 利用公式计算在解题时，我们可以利用相关的公式计算物理量的临界值。
例如，计算物体的失稳临界值时，我们可以利用牛顿第二定律、重心高度等公式计算。
高中物理临界值问题
高中物理临界值问题一、物理中不同的临界情况对应着不同的临界条件，现列表如下：临界情况临界条件速度达到最大值物体所受合力为零刚好不相撞两物体最终速度相等或者接触时速度相等刚好分离两物体仍然接触、弹力为零，原来一起运动的两物体分离时，不只弹力为零且速度和加速度相等粒子刚好飞出（飞不出）两个极板的匀强电场粒子运动轨迹与极板相切粒子刚好飞出（飞不出）磁场粒子运动轨迹与磁场边界相切物体刚好滑出（滑不出）小车物体滑到小车一端时与车的速度刚好相等刚好运动到某一点到达该点时的速度为零绳端物体刚好通过最高点物体运动到最高点时重力等于向心力，速度大小为杆端物体刚好通过最高点物体运动到最高点时速度为零圆形磁场区的半径最小磁场区是以公共弦为直径的圆使通电导线倾斜导轨上静止的最小磁感强度安培力平行于斜面两个物体的距离最近（远）速度相等绳系小球摆动，绳碰到（离开）钉子圆运动半径变化，拉力骤变刚好发生（不发生）全反射入射角等于临界角总之，解决物理临界问题要仔细题目，搞清已知条件，判断出临界状态的条件，才能解决问题。
二、例题分析1．中国女排享誉世界排坛，曾经取得辉煌的成就。
在某次比赛中，我国女排名将冯坤将排球从底线A点的正上方以某一速度水平发出，排球正好擦着球网落在对方底线的B点上，且AB平行于边界CD。
已知网高为h，球场的长度为s，不计空气阻力且排球可看成质点，则排球被发出时，击球点的高度H和水平初速度v分别为( )A．H＝43h B．H＝32h C．v＝s3h3gh D．v＝s4h6gh解析：选AD 由平抛知识可知12gt2＝H，H－h＝12g(t2)2得H＝43h，A正确，B错误。
由vt＝s，得v＝s4h6gh，D正确，C错误。
2．如图所示，小车内有一质量为m的物块，一根弹簧与小车和物块相连，处于压缩状态且在弹性限度内。
弹簧的劲度系数为k，形变量为x，物块和小车之间的动摩擦因数为μ。
设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，运动过程中，物块和小车始终保持相对静止。
力学中的临界值问题
力学中的临界值问题 一、临界状态 何谓临界状态？当物体由一种物理状态变为另一种物理状态时，可能存在一个过渡的转折点，这时物体所处的状态通常称为临界状态，也可理解为“恰好出现”或“恰好不出现”某种现象的状态。
与之相关的物理条件则称为临界条件。
二、临界问题特点 许多临界问题，题干中常用“恰好”、“最大”、“至少”、“不相撞”、“不脱离”等词语对临界值问题给出了明确的暗示，所以临界值问题往往也是极值问题。
三、解决临界问题的基本思路 1．分析临界状态 一般采用极端分析法，即把问题中的物理量推向极值，就会暴露出物理过程，常见的有A．发生相对滑动；B．绳子绷直；C．与接触面脱离。
所谓临界状态一般是即将要发生质变时的状态，也是未发生质变时的状态。
此时物体所处的运动状态常见的有：A．平衡状态；B．匀变速运动；C．圆周运动等。
2．找出临界条件 上述临界状态其对应临界条件是： （1）相对滑动与相对静止的临界条件是静摩擦力达最大值； （2）绳子松弛的临界条件是绳中拉力为零； （3）相互接触的两个物体将要脱离的临界条件是相互作用的弹力为零。
3．列出状态方程 将临界条件代到状态方程中，得出临界条件下的状态方程。
4．联立方程求解 有些临界问题单独临界条件下的状态方程不能解决问题，则需结合其他规律联立方程求解。
例1．半径为R的光滑球面固定在水平面上，一小球由顶端开始无初速释放，则小球在球面上能滑行多远？ 解析：（1）把问题中的物理量滑动路程S推向极大，则小球会脱离球面，临界状态仍为没有脱离时的圆周运动，其对应临界条件为，小球受力如图2所示，设脱离时与竖直方向的夹角为，则其临界条件下的状态方程为 例2．有一小甲虫，在半径为R的半球碗中向上爬行，设虫足与碗壁的动摩擦因数，试问它能爬到的最高点离碗底多高？ 解析：（1）把问题中的物理量距碗底高度h推向极大，则小甲虫会与碗壁发生相对滑动，此时其状态仍为没有发生相对滑动时的平衡状态，对应的临界条件为达到最大静摩擦，小甲虫受力如图3所示，设脱离时与竖直方向的夹角为，则其临界条件下状态方程为 例3．如图3所示，质量为m=1kg的物块放在倾角为的斜面体上，斜面质量为，斜面与物块间的动摩擦因数为，地面光滑，现对斜面体施一水平推力F，要使物体m相对斜面静止，试确定推力F的取值范围。
高中物理-专题练习-临界问题分析
第6课时临界问题分析一．知识点：1.临界问题：当物体运动加速度不同时，物体由一种状态向另一状态转化的中间状态，特别是题目中出现“最大”、“至少”、“刚好”等词语。
当物体的运动变化到某个特定状态时，有关的物理量将发生突变，该物理量的值叫临界值，这个特定状态称之为临界状态。
2．几类问题的临界条件(1)相互接触的两物体脱离的临界条件是相互作用的弹力为零，即N=0。
(2)绳子松弛的临界条件是绳中张力为零，即T=0。
(3)存在静摩擦的连接系统，相对静止与相对滑动的临界条件静摩擦力达最大值，即f静=f m。
3．解题关键：解决此类问题的关键是对物体运动情况的正确描述，对临界状态的判断与分析，确定临界值和对应的临界条件。
二．例题分析：1. 存在接触面支持力作用的临界问题：就是看弹力突变时接触物体间的脱离与不脱离；【例1】质量为0.2kg的小球用细线吊在倾角为θ=60°的斜面体的顶端，斜面体静止时，小球紧靠在斜面上，线与斜面平行，如图所示，不计摩擦，求在下列情况下，细线对小球的拉力（取g=10 m/s2）（1）斜面体以23m/s2的加速度向右加速运动；(2) 斜面体以43m/s2，的加速度向右加速运动；2.存在绳子拉力作用的临界问题。
通常有两种情况即绳子达到最大承受的拉力和绳子松弛拉力为零。
【例2】如图所示，轻绳AB与竖直方向的夹角θ=37°，绳BC水平，小球质量m=0.4 kg，问当小车分别以2.5 m/s2、8 m/s2的加速度向右做匀加速运动时，绳AB的张力各是多少？（取g=10m/s2）3.存在静摩擦力作用的临界问题。
“刚好不发生相对滑动”是摩擦力发生突变（由静摩擦力突变为滑动摩擦力）的临界状态，由此求得的最大静摩擦力是解题的突破口，同时注意研究对象的选择。
【例3】如图，质量，m＝lkg的物块放在倾角为θ的斜面上，斜面体质量M=2kg，斜面与物块的动摩擦因数μ＝0.2，地面光滑，θ=37°，现对斜面体施一水平推力F，要使物体m相对斜面静止，力F应为多大?(设物体与斜面的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，g取10m／s2)三．课堂练习：1. 两个质量相同的物体，用细绳连接后，放在水平桌面上，细绳能承受的最大拉力为T。
约束问题与临界值问题例析
约束问题与临界值问题例析在物理习题中，经常出现某些物理变化在一定的约束条件限制下进行.这种限制物理变化的约束条件常可分为明约束和隐约束.原题中已经给出约束条件的，叫明约束；原题中没有直接给出约束条件，需分析推理后，才能找到的约束，叫隐约束.现行高中物理教材的各种版本中，虽都未曾提及“约束”两字，但实际上存在大量的有关约束问题的习题，在高考中也屡见不鲜，以下举例分析.一、有关约束问题如果某一物体被限制在某一曲面或曲线上运动，我们就说该物体的运动受到约束.那么该曲线或曲面就称为约束.例：如图1中单摆小球被限制在圆弧上运动；图2中物体m沿（光滑或粗糙的）斜面下滑，物体m被限制在斜面上运动；图3中导体ab被限制在导电滑轨MN上运动等等，都属于约束问题.图1中的摆线，图2中的斜面，图3中的滑轨等都叫约束.由此可以看出，约束既可以是实在的物体，也可以是某些物体对别的物体运动限制作用的抽象.约束的分类随依据不同而异.按约束随时间改变与否，可分为稳定约束与不稳定约束.例如图2中，如果斜面体是固定的，则称为稳定约束，如果斜面体是放在光滑的水平面上，当m下滑时，斜面体本身也做加速运动，则称为不稳定约束.按其约束的方向来分，可分为单向约束和多向约束.如图1中，小球每时刻都只在沿绳伸长的方向受限制，则称为单向约束；图4中，带电小圆环沿绝缘杆在电磁场中下滑时，除沿杆的方向以外，其他方向都受到限制，称为多向约束.从约束的光滑情况来分，又可分为光滑约束和有摩擦约束.力学中把约束对物体的作用力，称为约束反力.例如图1中绳子对小球的拉力，图2中斜面对物体的支持力等等都叫作约束反力.由上述定义可以看出，约束反力是因其起源和作用而得名，在含义上有其狭义的规定性，就性质而言都属于弹力，且都是约束对研究物体的作用力.例1 （2012年高考理综全国卷第26题）一探险队员在探险时遇到一山沟，山沟的一侧竖直，另一侧的坡面呈抛物线形状.此队员从山沟的竖直一侧，以速度v0沿水平方向跳向另一侧坡面，如图5所示.以沟底的O点为原点建立坐标系Oxy.已知，山沟竖直一侧的高度为2h，坡面的抛物线方程为y=，探险队员的质量为m. 人视为质点，忽略空气阻力，重力加速度为g.（1）求此人落到坡面时的动能；（2）此人水平跳出的速度为多大时，他落在坡面时的动能最小？动能的最小值为多少？解法1 （1）由平抛运动规律得：x=v0t，2h-y=gt2，又y=x2，联立解得y=. 由动能定理，mg（2h-y）=Ek-m，解得Ek=m（2h-）+m=m（+）.（2）Ek=m（+）=m（++gh-gh）.当++gh最小，即v0=时，他落在坡面时的动能最小.解法2 （1）设探险队员跳到坡面上时水平位移为x，竖直位移为H，由平抛运动规律有：x=v0t，H=gt2，整个过程中，由动能定理可得：mgH=Ek-m. 由几何关系，y=2h-H，坡面的抛物线方程y=x2，解以上各式得：Ek=m+.（2）由Ek=m+，令=ngh，则Ek=mgh+=mgh（+），当n=1时，即=gh，探险队员的动能最小，最小值为Ekmin=，v0=.本题是典型的约束与临界值问题，主要考查平抛运动和动能定理的应用，以及函数最值的计算，意在考查考生的综合分析及数学计算能力.二、单向约束解除的可能性，即临界值问题所谓“临界状态”就是指物理现象发生质的飞跃的转折状态.与这种状态相关的一些物理量的值，通常叫临界值.临界值常具有隐含性，不仔细分析、确定，就会造成解题失误.因此在解题中寻找、确定临界值至关重要.物理临界问题虽然在考试说明中没有明确提出，但近几年来高考的物理试题中较频繁出现.对于物理临界问题的考查主要集中在力和运动，通常有两类：一类是具有明显临界点，另一类是临界点不易发现.如果约束对物体的限制是单侧的，即它只限制物体不得从某一侧脱离约束，但却允许物体从另一侧脱离，在这类约束中，约束反力也是单侧的.对于这种单侧约束，应当注意约束解除的可能性.约束解除问题也称临界值问题.在具体问题中，何时解除约束，往往不能预先知道.为了找出约束解除的时刻（或位置）即临界值状态，常用的方法是：先假定物体不脱离约束、将假设的约束反力代入牛顿运动方程中求解，解出约束反力的表达式后，令其约束反力等于零（这就意味着约束解除），由此可求出相应的时刻或位置.例2 一个光滑的圆锥体固定在水平桌面上，其轴线沿竖直方向，母线与轴线之间的夹角θ为30°（图6），一条长度为L的绳（质量不计）一端固定在圆锥体的顶点A处，另一端系着一质量为m的小物体（小物体可看作质点），物体以速度v绕着圆锥体的轴线做水平匀速圆周运动（物体和绳在附图中都没画出）.求（1）当v=时，绳对物体的拉力.（2）当v=时，绳对物体的拉力.解析设v=物体是贴着锥面做匀速圆周运动的，物体不仅受绳的力，而且同时受到锥面的力.受力如图7所示.沿圆周运动的法向和切向建立直角坐标系，根据牛顿运动定律的方程得Tsin30°-Nsin30°=m ①30°+Tcos30°=mg ②解得N=mgsin30°-=mg-mg=mg（3-）T=mgcos30°+mg=（2+1）mg.N为正值说明N的方向与假设相符合.（2）当N=0时，斜面对物体的约束解除，物体处于临界状态，设此时速度为v0，Tsin30°= ①Tcos30°=mg ②==Lg，解得v0=.由于>，面做圆锥摆运动.设绳与竖直夹角为α，受力如图8所示，那么T′sinα= ①T′cosα=mg ②解得T′=2mg α= 45°本题中，无论v为何值，绳子的约束是不能解除的.物理中不同的临界情况对应着不同的临界条件（详见表1）.总之，解决物理临界问题要综合运用动量守恒定律、机械能守恒定律、动能定理、功能关系等知识，高考物理临界问题的考查往往比较复杂，必须仔细审题，搞清已知条件，判断出临界状态的条件，才能解决问题.。
高中物理-动力学中的临界问题
动力学中的临界问题1．当物体的运动从一种状态转变为另一种状态时必然有一个转折点，这个转折点所对应的状态叫做临界状态；在临界状态时必须满足的条件叫做临界条件。
用变化的观点正确分析物体的受力情况、运动状态变化情况，同时抓住满足临界值的条件是求解此类问题的关键。
2．临界或极值条件的标志（1）有些题目中有“刚好”、“恰好”、“正好”等字眼，表明题述的过程存在着临界点；（2）若题目中有“取值范围”、“多长时间”、“多大距离”等词语，表明题述的过程存在着“起止点”，而这些起止点往往就是临界状态；（3）若题目中有“最大”、“最小”、“至多”、“至少”等字眼，表明题述的过程存在着极值，这个极值点往往是临界点；（4）若题目要求“最终加速度”、“稳定加速度”等，即是要求收尾加速度或收尾速度。
3．产生临界问题的条件（1）接触与脱离的临界条件：两物体相接触或脱离，临界条件是：弹力F N=0。
（2）相对滑动的临界条件：两物体相接触且处于相对静止时，常存在着静摩擦力，则相对滑动的临界条件是：静摩擦力达到最大值。
（3）绳子断裂与松弛的临界条件：绳子所能承受的张力是有限的，绳子断与不断的临界条件是绳中张力等于它所能承受的最大张力，绳子松弛的临界条件是F T=0。
（4）加速度最大与速度最大的临界条件：当物体在受到变化的外力作用下运动时，其加速度和速度都会不断变化，当所受合外力最大时，具有最大加速度；合外力最小时，具有最小加速度。
当出现速度有最大值或最小值的临界条件时，物体处于临界状态，所对应的速度便会出现最大值或最小值。
例1：如图所示，质量均为m的A、B两物体叠放在竖直弹簧上并保持静止，用大小等于mg的恒力F 向上拉B，运动距离h时，B与A分离，下列说法正确的是( )A．B和A刚分离时，弹簧长度等于原长B．B和A刚分离时，它们的加速度为gC．弹簧的劲度系数等于mg hD．在B和A分离前，它们做匀加速直线运动例2：如图所示，质量为m =1 kg 的物块放在倾角为θ=37°的斜面体上，斜面体质量为M=2 kg ，斜面体与物块间的动摩擦因数为μ=0.2，地面光滑，现对斜面体施一水平推力F ，要使物块m 相对斜面静止，试确定推力F 的取值范围。
高中物理力学中的临界问题分析-人教版高三全册物理试题
第八讲高中物理力学中的临界问题分析临界问题与分析方法1. 临界问题：在一种运动形式(或某种物理过程和物理状态)变化的过程中，存在着分界的现象。
这是从量变到质变的规律在物理学中的生动表现，这种界限通常以临界值和临界状态的形式出现在不同的物理情景中。
利用临界值和临界状态作为求解问题的思维起点，是一个重要的解题方法。
2．临界问题的处理方法(1)极限法：在题目中如出现“最大〞“最小〞“刚好〞等词语时，一般隐含着临界问题，处理这类问题时，应把物理问题(或过程)推向极端，从而使临界现象(或状态)暴露出来，达到尽快求解的目的。
(2)假设法：有些物理过程中没有明显出现临界问题的线索，但在变化过程中可能出现临界问题，也可能不出现临界问题，解答这类题，一般用假设法。
(3)数学法：将物理过程转化为数学公式，根据数学表达式求解得出临界条件。
注意：(1) 临界点的两侧，物体的受力情况、变化规律、运动状态一般要发生变化。
(2) 临界问题通常具有一定的隐蔽性，解题的灵活性较大，审题时应尽量复原物理情景，抓住临界状态的特征，找到正确的解题方向。
一. 运动学中的临界问题在在追与与相遇问题中常常会出现临界现象，仔细审题，挖掘题设中的隐含条件，寻找与“刚好〞、“最多〞、“至少〞等关键词对应的临界条件是解题的突破口。
一般来说两物体速度相等是题中隐含的临界条件，解题时正确处理好两物体间的时间关系和位移关系是解题的关键。
当同一时刻两物体在同一位置时，两物体相遇，此时假设后面物体的速度大于前面物体的速度即相撞，因此两物不相撞的临界条件是两物体的速度相等。
假设两物体相向运动，当两物体发生的位移大小之和等于开始时两物体的距离时相遇，此时只要有一个物体的速度不为零如此为相撞。
例题1. 一辆汽车在十字路口等待绿灯,当绿灯亮时汽车以3m/s2的加速度开始行驶,恰在这时一辆自行车以6m/s的速度匀速驶来,从后边超过汽车.试问:〔1〕汽车从路口开动后,在赶上自行车之前经过多长时间两车相距最远?此时距离是多少?〔2〕当两车相距最远时汽车的速度多大？例题2. 在水平轨道上有两列火车A和B相距s，A车在后面做初速度为v0、加速度大小为2a的匀减速直线运动，而B车同时做初速度为零、加速度为a的匀加速直线运动，两车运动方向一样.要使两车不相撞，求A车的初速度v0应满足什么条件？二、平衡现象中的临界问题在平衡问题中当物体平衡状态即将被打破时常常会出现临界现象，分析这类问题要善于通过研究变化的过程与物理量来寻找临界条件。
高中物理临界问题
高中物理临界问题物理学中的临界问题是指当某个物理量达到某个特定值时，系统发生突变或产生显著变化的现象。
在高中物理中，临界问题是一个重要的概念，涉及到多个物理学领域。
本文将以高中物理临界问题为标题，探讨其中的几个典型问题及其应用。
一、临界角问题在光学中，临界角是指光线从光密介质射向光疏介质时，入射角的临界值。
当入射角大于临界角时，光线将发生全反射现象。
这个现象在我们的日常生活中也比较常见，比如当我们在水中看向水面时，水面上的景物会发生全反射，我们无法看清水面下的东西。
临界角的计算公式为：sinθc = n2 / n1，其中θc为临界角，n1和n2分别为光的入射介质和出射介质的折射率。
临界角问题常常涉及到计算临界角的大小，或者给定入射角，判断是否发生全反射。
二、临界频率问题在电磁学中，临界频率是指当光照射到金属表面时，金属中的自由电子能够吸收光子的最低频率。
当光的频率大于临界频率时，金属才能吸收光能，并产生光电效应。
这个现象在光电池、光电二极管等光电器件中都有广泛应用。
临界频率与光的波长和普朗克常数有关，计算公式为：f = (φ - W)/ h，其中f为临界频率，φ为光的频率，W为金属的逸出功，h为普朗克常数。
三、临界温度问题在热学中，临界温度是指物质在一定压强下，从液体相转变为气体相所需要的最低温度。
当温度高于临界温度时，物质将不再存在液体相，而是呈现为气体相。
这个现象在液化气的储存和运输中有很大的实际应用。
临界温度与物质的性质有关，不同物质的临界温度不同。
例如，水的临界温度为374摄氏度，而二氧化碳的临界温度为31摄氏度。
在实际问题中，临界温度问题常常涉及到计算物质的临界温度，或者给定温度和压强，判断物质处于液体相还是气体相。
四、临界质量问题在核物理中，临界质量是指能够维持核链式反应的最低质量。
当核反应堆中的裂变物质质量超过临界质量时，核链式反应将发生，释放出大量的能量。
这个现象在核电站中得到了广泛应用。
人教版(教材)高一物理必修第一册第四章运动与力动力学中的临界问题
般用假设法,即假设出现某种临界状态,分析物体的受力情况及
运动状态与题设是否相符,然后根据实际情况进行处理。
典型例题Biblioteka 例1：A、B两物体叠放在光滑水平面上，A、B间动摩擦
/ s2 )
(3)a 3 g呢
典型例题
(4)当斜面和小球以a = 3g/4的加速度向左匀加速运动时， 【教学方法】探究拓展法。
《荆轲刺秦王》是节选自《战国策·燕刺》中的一篇深受人们喜爱的名篇。本文反映的事件是重大的，文字十分精炼生动，情节发展波
小球对绳的拉力和对斜面的压力分别为多大？ 澜有致，人物形象栩栩如生。
秦晋历史上关系一直很好；更重要的是，秦也有向外扩张的欲望，于是秦晋联合也就必然了。
（大部分同学会说郑伯是一个礼贤下士、从谏如流的君主。）
规律总结
三类临界问题的临界条件：
（1）相互接触的两个物体将要脱离的临界条件是：相 互作用的弹力为零；
（2）绳子松弛的临界条件是：绳中拉力为零； （3）存在静摩擦的连接系统，当系统外力大于最大静
2. 《庄子·逍遥游》中以“朝菌”和“蟪蛄”为例来说明“小年”一词的两句是：朝菌不知晦朔，蟪蛄不知春秋。
目的。 11.写作者在江面上自由飘荡，似乎是在浩荡的宇宙间乘风飞行，飘飘忽忽升入仙境里去的句子：浩浩乎如冯虚御风，而不知其所止；
飘飘乎如遗世独立，羽化而登仙。 战国末期燕秦两国的斗争形势
(2)假设法 《史记》里有简单的几句：“郑使人言穆公”、“乃使人私于秦”、“乃间令使谓秦穆公”。“人”“使”二字使烛之武成了无名英
高中物理中的临界与极值问题
有关“物理”的临界与极值问题高中物理中的临界与极值问题涉及到多个知识点，包括牛顿第二定律、圆周运动、动量守恒等。
有关“物理”的临界与极值问题如下：1.牛顿第二定律与临界问题：●牛顿第二定律描述了物体的加速度与合外力之间的关系。
当物体受到的合外力为零时，物体处于平衡状态。
●在某些情况下，物体受到的合外力不为零，但物体仍然处于平衡状态，这是因为物体受到的合外力恰好等于某个临界值。
这种状态被称为“临界平衡”。
●在解决与临界平衡相关的问题时，通常需要考虑物体的平衡条件和牛顿第二定律。
通过分析物体的受力情况，可以确定物体是否处于临界平衡状态，以及需要施加多大的力才能使物体离开临界平衡状态。
2.圆周运动中的极值问题：●圆周运动中的极值问题通常涉及向心加速度和线速度的最大值和最小值。
●当物体在圆周运动中达到最大速度时，其向心加速度最小。
此时，物体的线速度最大，而向心加速度为零。
●当物体在圆周运动中达到最小速度时，其向心加速度最大。
此时，物体的线速度最小，而向心加速度为最大值。
●在解决与圆周运动中的极值问题相关的问题时，通常需要考虑向心加速度和线速度之间的关系，以及如何通过分析物体的受力情况来确定其最大速度和最小速度。
3.动量守恒与极值问题：●动量守恒定律描述了系统在不受外力作用的情况下，系统内各物体的动量之和保持不变。
●在某些情况下，系统受到的外力不为零，但系统仍然保持动量守恒。
这是因为系统受到的外力恰好等于某个临界值。
这种状态被称为“临界动量守恒”。
在解决与临界动量守恒相关的问题时，通常需要考虑系统的动量守恒条件和外力的作用。
通过分析系统的受力情况，可以确定系统是否处于临界动量守恒状态，以及需要施加多大的外力才能使系统离开临界动量守恒状态。
高二物理牛顿定律运用中的临界和极值
α
T1
图3
mg
牛顿定律运用中的临界和极值问题
例题分析：2、质量m=1kg的物体，放在θ=370的斜面上， 物体与斜面的动摩擦因数μ=0.3，要是物体与斜面体一起 沿水平方向向左加速运动，则其加速度多大？
图2
mgsinθ
f2
图3 mgsinθ
例题3全解
解：因μ＜tgθ，物体的初速为零。开始阶段，物体相对于传送带斜 向上运动，其受到的滑动摩擦力斜向下，下滑力和摩擦力的合 力使物体产生加速度，物体做初速度为零的匀加速运动。如图2。 A 图1
根据牛顿第二定律，mgsinθ+μmgcosθ=ma1
a1=g(sinθ+μcosθ)=10× (0.6+0.5×0.8)m/s2=10m/s2
300 图1
分析：讨论涉及静摩擦力的临界问题的一般方法是：1、抓住静摩擦力方向的
可能性。2、物体即将由相对 静止的状态即将变为相对 滑动状态的条件是 f=μN（最大静摩擦力）。本题有两个临界状态，当物体具有斜向上的 运动趋 势时，物体受到的摩擦力为最大静摩擦力；当物体具有斜向下的运动趋势时， 物体受到的摩擦力为最大静摩擦力。 N y f1 当物体具有斜向下的运动趋势时，受力分析如图2所示， sin300 N1 - f1 cos300=ma0 (1) f1 sin300+N1 cos300=mg (2) f 1 =μN1 (3) a 01=？ 当物体具有斜向上的运动趋势时，受力分析如图3所示， N2sin300+ f2 cos300=ma0 (1) N2 cos300=mg + f2 sin300(2) f 2 =μN2 (3) a 02=？ （求出加速度的取值范围）
高中物理解题难点突破临界与极值问题解题思路及方法(整理全)
高中物理中的临界问题与极值问题精品讲学案一、临界与极值概念所谓物理临界问题是指各种物理变化过程中，随着条件的逐渐变化，数量积累达到一定程度就会引起某种物理现象的发生，即从一种状态变化为另一种状态发生质的变化（如全反射、光电效应、超导现象、线端小球在竖直面内的圆周运动临界速度等），这种物理现象恰好发生（或恰好不发生）的过度转折点即是物理中的临界状态。
与之相关的临界状态恰好发生（或恰好不发生）的条件即是临界条件，有关此类条件与结果研究的问题称为临界问题，它是哲学中所讲的量变与质变规律在物理学中的具体反映。
极值问题则是指物理变化过程中，随着条件数量连续渐变越过临界位置时或条件数量连续渐变取边界值（也称端点值）时，会使得某物理量达到最大（或最小）的现象，有关此类物理现象及其发生条件研究的问题称为极值问题。
临界与极值问题虽是两类不同的问题，但往往互为条件，即临界状态时物理量往往取得极值，反之某物理量取极值时恰好就是物理现象发生转折的临界状态，除非该极值是单调函数的边界值。
因此从某种意义上讲，这两类问题的界线又显得非常的模糊，并非泾渭分明。
高中物理中的临界与极值问题，虽然没有在教学大纲或考试说明中明确提出，但近年高考试题中却频频出现。
从以往的试题形式来看，有些直接在题干中常用“恰好”、“最大”、“至少”、“不相撞”、“不脱离”……等词语对临界状态给出了明确的暗示，审题时，要抓住这些特定的词语发掘其内含的物理规律，找出相应的临界条件。
也有一些临界问题中并不显含上述常见的“临界术语”，具有一定的隐蔽性，解题灵活性较大，审题时应力图还原习题的物理情景，周密讨论状态的变化。
可用极限法把物理问题或物理过程推向极端，从而将临界状态及临界条件显性化；或用假设的方法，假设出现某种临界状态，分析物体的受力情况及运动状态与题设是否相符，最后再根据实际情况进行处理；也可用数学函数极值法找出临界状态，然后抓住临界状态的特征，找到正确的解题方向。
高中物理约束问题与临界值
高中物理约束问题与临界值现行高中物理教材的各种版本中，都未曾提及约束咨询题。
然而，有关约束咨询题的习题却许多，确实是在高考中也常显现这类题型。
至于中学物理竞赛试题中更是屡见不鲜，并常以拔高题显现。
下面拟就中学物理中有关约束咨询题，作一浅析。
1．有关约束咨询题的差不多概念假如某一物体被限制在某一曲面或曲线上运动，我们就讲该物体的运动受到约束。
那么该曲线或曲面就称为约束。
例如图1中单摆小球被限制在圆弧上运动；图2中物体m沿〔光滑或粗糙的〕斜面下滑，物体m被限制在斜面上运动；图3中导体ab被限制在导电滑轨M N上运动等等，都属于约束咨询题。
图1中的摆线，图2中的斜面，图3中的滑轨等都叫约束。
由此能够看出，约束既是实在的物体，又是某些物体对不的物体运动限制作用的抽象。
约束的分类随依据不同而异。
按约束随时刻改变与否，可分为稳固约束与不稳固约束。
例如图2中，假如斜面体是固定的，那么称为稳固约束，假如斜面体是放在光滑的水平面上，当m下滑时，斜面体本身也作加速运动，那么称为不稳固约束。
按其约束的方一直分，可分为单向约束和多向约束。
如图1中，小球每时刻都只在沿绳伸长的方向受限制，那么称为单向约束；图4中，带电小圆环沿绝缘杆在电磁场中下滑时，除沿杆的方向以外，其他方向都受到限制，称为多向约束。
从约束的光滑情形来分，又可分为光滑约束和有摩擦约束。
力学中把约束对物体的作用力，称为约束反力。
例如图1中绳子对小球的拉力，图2中斜面对物体的支持力等等都叫做约束反力。
由上述定义能够看出，约束反力是因其起源和作用而得名，在含意上有其狭义的规定性，就性质而言都属于弹力，且差不多上约束对研究物体的作用力。
2．约束反力的求解约束反力的大小及其变化情形，往往不能预先明白，也不是都能由平稳条件运算出来的，而需要依照物体的运动被限制在约束上这一条件，运用牛顿运动定律列方程求解。
[例1]一质量为m的小球，与长为l的细绳组成一单摆。
现将此单摆拉到与竖直线成α角的位置，由静止开释，在摆动途中，摆绳被一钉子A所阻，钉子与摆的悬挂点o相距r，两者连线与竖直线成β角。
高中物理力学中的边界约束问题
1 如图为固定在竖直平面内的轨道，直轨道AB与光滑圆弧轨道BC相切，圆弧轨道的圆心角为37°，半径为r=0．25m，C端水平，AB段的动摩擦因数μ为0．5．竖直墙壁CD高H=0．2m，紧靠墙壁在地面上固定一个和CD 等高，底边长L=0．3m的斜面．一个质量m=0．1kg的小物块（视为质点）在倾斜轨道上从距离B点l=0．5m处由静止释放，从C点水平抛出．重力加速度g=10m/s2，sin37°=0．6，cos37°=0．8．求：（1）小物块运动到C 点时对轨道的压力的大小；（2）小物块从C点抛出到击中斜面的动能的最小值．解：（1）小物块从A到C的过程，由动能定理得：代入数据解得：在C点，由牛顿第二定律得：代入数据解得：N =2.2 N由牛顿第三定律得，小物块运动到C点时对轨道的压力的大小为2.2N．（2）如图，设物体落到斜面上时水平位移为x，竖直位移为y，代入得：x=0.3－1.5y由平抛运动的规律得：x=v0t，联立得代入数据解得：（3）由上知x=0.3－1.5 y可得：小物体击中斜面时动能为：解得：当y =0.12m ，E kmin =0.15J答：（1）小物块运动到C 点时对轨道的压力的大小是2.2N ； （2）小物块从C 点抛出到击中斜面的时间是s ；（3）改变小物体从轨道上释放的初位置，小物体击中斜面时动能的最小值是0.15J ．2一探险队员在探险时遇到一山沟，山沟的一侧竖直，另一侧的坡面呈抛物线形状。
此队员从山沟的竖直一侧，以速度v 0沿水平方向跳向另一侧坡面。
如图所示，以沟底的O 点为原点建立坐标系Oxy 。
已知，山沟竖直一侧的高度为2h ，坡面的抛物线方程为y =221x h，探险队员的质量为m 。
人视为质点，忽略空气阻力，重力加速度为g 。
（1）求此人落到坡面时的动能；（2）此人水平跳出的速度为多大时，他落在坡面时的动能最小？动能的最小值为多少？=，-m==此人水平跳出的速度为时，值为．作用的最长时间为s解：（1）108.026.120⨯==g y xv m/s=4 m/s （3分）（2）设拉力F 作用的距离为s 1由动能定理有：21121)()(mv s s mg s mg F =---μμ （2分） 21145.021)5(105.05.0)105.05.05(⨯⨯=-⨯⨯-⨯⨯-s ss 1=3.3m （2分）或：20121mv mgs Fs =-μ2145.0215105.05.05⨯⨯=⨯⨯⨯-s s 1=3.3m（3）设小物块离开水平台阶的速度为v ，击中挡板时的水平位移为x ，竖直位移为y ， 则gy x v 2=○1 m g y mv E K +=221…○2 y y x 532422=+…○3， 由○1○3代入○2即可解得8=K E J （5分） 6 如图（1）所示是根据某平抛运动轨迹制成的内壁光滑的圆管轨道，轨道上端与水平面相切。
高中物理常见临界问题
高中物理常见临界问题（极值问题）分析处理训练一问题概述：当物体由一种运动形式（物理过程与物理状态）变为另一种运动形式（物理过程与物理状态）时，可能存在一个过渡的转折点，即分界限的现象。
这时物体所处的状态通常称为临界状态，与之相关的物理条件则称为临界条件。
这是量变质变规律在物理中的生动表现。
如:力学中的刚好滑动；正常行驶;宇宙速度，共振；电学中电源最大输出功率；光学中的临界角；光电效应中的极限频率等解决临界问题，通常以定理、定律为依据，分析所研究问题的一般规律和一般解的形式及其变化情况，然后找出临界状态，临界条件，从而通过临界条件求出临界值，再根据变化情况，直接写出条件。
所谓极值问题，一般而言，就是在一定条件下求最值结果。
求解极值问题的方法从大的角度可分为物理方法和数学方法。
物理方法即用临界条件求极值。
数学方法包括（1）利用矢量图求极值（2）用三角函数关系求极值；（3）用二次方程的判别式求极值；（4）用不等式的性质求极值。
（5）导数法求解。
一般而言，用物理方法求极值直观、形象，对构建模型及动态分析等方面的能力要求较高，而用数学方法求极值思路严谨，对数学能力要求较高.若将二者予以融合，则将相得亦彰，对增强解题能力大有裨益。
极值问题与临界问题从本质上说是有区别的，但高考中极值问题通常都可用物理临界法求解。
解答临界问题的关键是找临界条件。
许多临界问题，题干中常用“恰好”、“最大”、“至少”、“不相撞”、“不脱离”……等词语对临界状态给出了明确的暗示，审题时，一定要抓住这些特定的词语发掘其内含规律，找出临界条件。
有时，有些临界问题中并不显含上述常见的“临界术语”，具有一定的隐蔽性，解题灵活性较大，审题时应力图还原习题的物理情景，耐心讨论状态的变化，可用极限法（把物理问题或过程推向极端，从而将临界状态及临界条件显露出来）假设法（即假设出现某种临界状态，物体的受力情况及运动状态与题设是否相符，最后再根据实际情况进行处理。
高中物理_临界问题的求解
临界问题的求解临界问题是物理现象中的常见现象。
所谓临界状态就是物理现象从一种状态变化成另一种状态的中间过程，临界状态通常具有以下特点：瞬时性、突变性、关联性、极值性等。
临界状态往往隐藏着关键性的隐含条件，是解题的切入口，在物理解题中起举足轻重的作用。
求解临界问题通常有如下方法：极限法、假设法、数学分析法（包括解析法、几何分析法等）、图象法等。
极限法：在题目中如出现“最大”、“最小”、“刚好”、“要使”等词语时，一般隐含着临界问题。
处理问题时，一般把物理问题（或过程）设想为临界状态，从而使隐藏着的条件暴露出来，达到求解的目的。
假设法：有些物理过程中没有明显出现临界问题的线索，但在变化过程中可能出现临界问题，解决办法是采用假设法，把物理过程按变化的方向作进一步的外推，从而判断可能出现的情况。
数学分析法；是一种很理性的分析方式，把物理现象转化成数学语言，用数学工具加以推导，从而求出临界问题，用这种分析方法一定要注意理论分析与物理实际紧密联系起来，切忌纯数学理论分析。
图象法：将物理过程的变化规律反映到物理图象中，通过图象分析求出临界问题。
下面列举的是高中物理各知识系统中典型的临界问题。
一、运动学中的临界问题例1、一列客车以速度v 1前进，司机发现前方在同一轨道上有一列货车正在以速度v 2匀速前进，且v1v 2，货车车尾与客车车头相距s 0，客车立即刹车做匀减速运动，而货车仍保持匀速运动。
求客车的加速度a 符合什么条件两车才不会撞上？分析：这一类问题一般用数学方法（解析法）来求解。
若要客车不撞上货车，则要求客车尽可能快地减速，当客车的速度减小到与货车速度相等时两车相对静止，若以后客车继续减速，则两车的距离又会增大；若以后客车速度不变，则两车将一直保持相对静止。
可见，两车恰好相碰时速度相等是临界状态，即两车不相碰的条件是：两车速度相等时两车的位移之差△S ≤S 0。
下面用两种方法求解。
解法一：以客车开始刹车时两车所在位置分别为两车各自位移的起点，则，客车：21112s v t at =-，货车：22s v t =， 两车不相撞的条件：21,v v at =-120s s s -≤。
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约束问题与临界值现行高中物理教材的各种版本中，都未曾提及约束问题。
然而，有关约束问题的习题却不少，就是在高考中也常出现这类题型。
至于中学物理竞赛试题中更是屡见不鲜，并常以拔高题出现。
下面拟就中学物理中有关约束问题，作一浅析。
1．有关约束问题的基本概念如果某一物体被限制在某一曲面或曲线上运动，我们就说该物体的运动受到约束。
那么该曲线或曲面就称为约束。
例如图1中单摆小球被限制在圆弧上运动；图2中物体m沿（光滑或粗糙的）斜面下滑，物体m被限制在斜面上运动；图3中导体ab被限制在导电滑轨M N上运动等等，都属于约束问题。
图1中的摆线，图2中的斜面，图3中的滑轨等都叫约束。
由此可以看出，约束既是实在的物体，又是某些物体对别的物体运动限制作用的抽象。
约束的分类随依据不同而异。
按约束随时间改变与否，可分为稳定约束与不稳定约束。
例如图2中，如果斜面体是固定的，则称为稳定约束，如果斜面体是放在光滑的水平面上，当m下滑时，斜面体本身也作加速运动，则称为不稳定约束。
按其约束的方向来分，可分为单向约束和多向约束。
如图1中，小球每时刻都只在沿绳伸长的方向受限制，则称为单向约束；图4中，带电小圆环沿绝缘杆在电磁场中下滑时，除沿杆的方向以外，其他方向都受到限制，称为多向约束。
从约束的光滑情况来分，又可分为光滑约束和有摩擦约束。
力学中把约束对物体的作用力，称为约束反力。
例如图1中绳子对小球的拉力，图2中斜面对物体的支持力等等都叫做约束反力。
由上述定义可以看出，约束反力是因其起源和作用而得名，在含意上有其狭义的规定性，就性质而言都属于弹力，且都是约束对研究物体的作用力。
2．约束反力的求解约束反力的大小及其变化情况，往往不能预先知道，也不是都能由平衡条件计算出来的，而需要根据物体的运动被限制在约束上这一条件，运用牛顿运动定律列方程求解。
[例1]一质量为m的小球，与长为l的细绳组成一单摆。
现将此单摆拉到与竖直线成α角的位置，由静止释放，在摆动途中，摆绳被一钉子A所阻，钉子与摆的悬挂点o相距r，两者连线与竖直线成β角。
如图5所示。
试求：（1）摆绳为钉子所阻后，绳子张力的表达式。
（2）小球在继续上升的过程中，若摆绳发生弯曲，在此情况下，L、r、β、α之间的关系。
[解析]（1）小球从开始摆动到摆绳发生弯曲之间，都属于单向约束问题。
小球摆到图示位置B时，是以钉子A为圆心的，以L—r为半径的圆周运动。
设绳子对小球的约束反力为T，AB线与竖直夹角为θ，由机械能守恒定律得由牛顿运动定律得此时法向方向方程式（1）、（2）联立解得（2）若绳子发生弯曲，则T=0，意味着约束解除，由此条件求得1＜cosθ＜0即由此得出的L，r，α，β应满足的条件为3（L-r）＜-2（rcosβ-Lcosα）＜0即3．双向约束问题中约束反力的转换如果约束从两侧限制物体的运动，则约束反力的方向是可能发生改变的，这一点可以通过下面的例子看出。
[例2]用细线把质量为M的大圆环挂起来，环上套有两个质量均为m的小环，它们可以在大环上无摩擦地滑动。
若两小环同时从大环顶部由则大环会升起来。
并求大环开始上升时小环位置θ为多少？[解析]此题中小环受到双向约束。
设细线张力为T，小环与大环间相互作用力为N（即约束反力），小球滑到位置θ角时的速度为v。
则由式（1）、（2）可解得约束反力N=mg（3cosθ-2）变方向。
小环对大环的反作用力将可以提供向上的分力，从而可能使大环升起。
对大环：T=Mg＋2Ncosθ（3）当大环升起时，绳子张力T=0，（绳对大环的约束解除）∴T=Mg+2Ncosθ=Mg+2mg（3cosθ-2）cosθ=06mcos2θ-4mcosθ+M=0cosθ有解，此时小环的位置用θ角表示为4.有摩擦力的约束中的区间问题约束反力在约束（曲线或曲面）的垂直方向（法向），如果有摩擦存在，它却在约束的切线方向。
因此在研究有摩擦的约束问题时，先要根据物体有几个可能的运动方向，确定相应的摩擦力的方向。
最常见的情况是存在两种可能的运动方向，故而摩擦力的方向也就有两种可能取向。
因此，在运用牛顿运动定律列方程时，也将会出现两组，这就导致某些相关量参数有一变化区间。
[例3]有一顶角为60°的锥形容器，在距顶点o为L=1.0m处有一质量m=1.0kg的小物体，让物体m与容器一起绕通过o点的竖直轴线作匀速转动（见图7）。
（1）若ω1=5rad/ s，则摩擦因数μ至少应为多大才能实现这一情况？（2）若ω2=8rad/s时，μ应为多大才能实现这一情况？[解析]（1）先假设物体有向下滑动的趋势，则摩擦力将沿斜面向上，物体受力如图8所示，沿圆周的切向和法向建立直角坐标系，则牛顿运动定律方程为解得N＝mgsinθ+mω2Lsinθcosθ=15.8（N）f=mgcosθ－mω2Lsin2θ=2.41（N）f＞0，说明方向上与假设相符。
（2）由f=mgcosθ-mω2－mω2Lsin2θ可知当f = 0时，w有一个临界角速度ω0存在。
由此得mgcosθ=mω2Lsin2θ即当ω＜ω0时，有下滑的趋势，摩擦力向上；当ω＞ω0时，有上滑趋势，摩擦力向下。
ω2=8rad/s＞ω0，故f向下，受力如图9所示。
牛顿运动定律方程Ncosθ+fsinθ=ω2mLsinθNsinθ=mg+fcosθ解得∴μ2= f / N=7.34/32.7=0.22本题中，如果μ是恒定的，则要使m在确定的高度与锥形容器一起作圆周运动，则角速度ω必有一个变化范围，即当ω＜ω0时，有下滑趋势，f向上，相应建立牛顿运动方程求出ω的最小值ωmax；当ω＞ω0时，有上滑趋势，f向下，相应建立牛顿运动方程，求出ω的最大值ωmax，则ω的变化范围是ωmin＜ω＜ωmax。
5.单向约束解除的可能性（临界值问题）如果约束对物体的限制是单侧的，即它只限制物体不得从某一侧脱离约束，但却允许物体从另一侧脱离，在这类约束中，约束反力也是单侧的。
对于这种单侧约束，应当注意约束解除的可能性。
如在例1中，θ角在0°～90°的范围内是不会解除约束的，当其α角足够大，小球摆动，使θ角＞90°，才可能向内作抛体运动，即约束解除有可能。
如θ=180°，而小球仍没有离开圆周，则以后再也不可能离开圆周了。
所以约束解除的范围只能在90°＜θ＜180°。
如果α角大到可以使小球能以A为圆心，L—r为半径作圆周运动，则小球的单向约束将不能被解除。
约束解除问题也称临界值问题。
在具体问题中，何时解除约束，往往不能预先知道。
为了找出约束解除的时刻（或位置）即临界值状态，常用的方法是：先假定物体不脱离约束、将假设的约束反力代入牛顿运动方程中求解，解出约束反力的表达式后，令其约束反力等于零（这就意味着约束解除），由此可求出相应的时刻（或位置）。
[例4]（83年高考题）一个光滑的圆锥体固定在水平桌面上，其轴线沿竖直方向，母线与轴线之间的夹角为30°（图示10），一条长度为L的绳（质量不计）一端固定在圆锥体的顶点A处，另一端系着一质量为m的小物体（小物体可看作质点），物体以速度v绕着圆锥体的轴线作水平匀速圆周运动（物体和绳在附图中都没画出）。
求运动的，物体不仅受绳的力，而且同时受到锥面的力。
受力如图11所示。
沿圆周运动的法向和切向建立直角坐标系，根据牛顿运动定律的方程得Nsin30°+Tcos30°=mg （2）解得N为正值说明N的方向与假设相符合。
（2）当N=0时，斜面对物体的约束解除物体处于临界状态，设此时速度为v0，那么Tcos30°=mg（2）解得面做圆锥摆运动。
设绳与竖直夹角为α，受力如图12所示，那么解得T'=2mgα= 45°本题中，无论v为何值，绳子的约束是不能解除的。
下面两例也是临界问题[例5]光滑的斜面上用绳拴一质量为m的小球，如图13所示。
当斜求绳上张力分别是多大？[解析]当加速度较小时，小球是压在斜面上的，小球受重力G、支持力N和张力T三个力的作用，受力如图14所示。
当加速度很大时，小球将飘离斜面，此时小球只受重力G和张力T'的作用，受力如图15所示。
为准确判断是属于哪一种情况，必须以小球压在斜面上还是飘离斜面为界，求出其制约参量加速度的临界值a0。
当a＜a0时，小球压在斜面上，且有支持力存在。
当a＞a0时，小球飘离斜面，当然也就没有支持力存在了。
因此解这类问题时，可以先求出临界加速度小球将要飘离斜面时，N=0，但绳子与斜面仍然平行。
受力如图15所示，其运动方程为Tcos45°=ma0（1）Tsin45°=mg （2）联立式（1）、（2）解出a0=g此时小球受力如图14所示。
其运动方程为Tsin45°+Ncos45°=mg（4）力如图15所示。
此时绳与斜面已不再平行，设这时绳与水平方向的夹角为α，其运动方程为T′sinα= mg（6）[例6]一支圆柱形的玻璃管，质量为20g，密度为2g/cm3，高12cm，容积为20cm3。
它的一端封闭，一端开口。
现将其开口端竖直向下压入水中，在下压过程中管内的空气不跑出，且温度保持不变。
求，当将管口压入水中H1=4m和H2=14m深处时，放手后管将如何运动？[解析]设管口压入某一深度H0时，放手后管处于平衡状态。
这时管内空气的体积为V2，管内液面与管口的距离为h2，与水面的距离为h1，如图16所示。
设玻璃管的体积为V3，以系统为对象，由平衡条件（忽略管内空气的重力）：mg=（V3+V2）ρ水g （1）代入（1）式解得V2=10g/cm3再以管内封闭的空气为研究对象，取压入水中前为状态1，玻璃管平衡时为状态2，由玻意耳定律有：P1V1=P2V2（2）∵P2=P1+P水P水=P2-P1=1×105（Pa）∴P水=ρ水gh1h1=10(m)这是一种不稳定平衡，当压入的深度H1=4m＜H0时，浮力大于重力，玻璃管将会变加速上浮；当H2=14m＞H0时，浮力小于重力，玻璃管将变加速下沉。
H0是以玻璃管上浮或下沉为界时制约参量水的深度的临界值。
[例7]如图17所示，一质量为m的小球，带正电荷Q，固定在绝缘细绳oA的B点，oB = r，A端套在以o为圆心，R为半径的光滑圆环上。
整个系统同处在光滑绝缘的水平面上，且平面所在的区域具有强度为B方向竖直向上的匀强磁场。
当A、B绕o以匀角速ω在水平面上顺时针旋转时，试讨论AB和oB两段绳的张力大小和方向。
[解析]设当ω=0时，两段绳刚好伸直且张力都为零，而且绳子只能有张力不可能有压力。
小球在作圆周运动时，可能受到任一段绳子的张力，令这个张力为T，规定沿半径指向圆心的为正。
小球受到的洛仑兹力F B= BQv = BQωr，它的方向总是沿半径指向圆心的。