6-3多元函数的连续性
第1节多元函数的概念(二)
0
由于这种形式上的统一，使得多元函数的一些主 要概念、性质与二元函数类似. 因此，对于多元函数 微积分的研究主要以二元函数为主,多元函数微积分 可以由二元函数微积分类似推广.
小 结
一.多元函数的连续性
x x 0 , y y0
2.二元函数z=f (x, y)在区域D上的连续性 如果二元函数z=f (x, y)在平面区域D内 每一点都连续， 则函数z=f (x, y)在区域D内 连续，并称z=f (x, y)为区域D上的连续函数. 二元连续函数的图形 是空间中的一个不断开 (无孔无缝)的连续曲面。
四.多元函数的连续性
z
z f ( x, y )
x 0 y 0
lim
f ( x, y ) f ( x0 , y0 )
lim z 0
二.闭区域上连续函数的性质
作业:P302 5(1)
四.多元函数的连续性
思考题1
设为空间任一有界闭区域，P为外 一点。问上是否一定有到P点最远和 最近的点存在？为什么？
四.多元函数的连续性
思考题1解答 有. 设P点的坐标为 ( x0 , y0 , z0 )，Q( x , y , z )为上 任意一点 , 则两点间距离为
PQ ( x x 0 ) 2 ( y y0 ) 2 ( z z 0 ) 2
它 上 连 函 ， 是 的 续 数 由闭区域上连续函 数的性质可知，一定有最大值和最小值存在
在(0,0)的连续性． 解 取 y kx
xy k kx 2 lim 2 2 lim 2 2 2 2 x 0 x y x 0 x k x 1 k y0
y kx
多元函数的基本概念
sin xy lim ( x , y )( 0 , 2 ) x 2 sin( x y) (2) lim ( x , y ) ( 0 , 0 ) x 2 y 2
(1)
1 (3) lim ( x y ) sin 2 ( x , y ) ( 0 , 0 ) x y2
二 多元函数的极限
（一）有关概念 （二）多元函数极限的定义
二元函数的图形 对于在z=f(x,y)的定义域内任意取定的点P(x,y)，对应的
函数值为z=f(x,y). 当(x,y)遍取D上的一切点时，得到的空间点集
z
M
{( x, y, z ) | z f ( x, y ), ( x, y ) D}
称为二元函数的图形. 二元函数的图形通常是一张曲面. 二元函数的定义域
0
x2 y (2) f ( x , y ) 4 x y2
当 ( x , y ) (0,0) 时
多元函数的基本概念
一、多元函数的概念
二、多元函数的极限 三、多元函数的连续性
多元函数的基本概念
一、多元函数的概念
二、多元函数的极限 三、多元函数的连续性
三、 多元函数的连续性
（一）多元函数连续性的概念
空间点集
平面点集的有关概念 二维空间：
二元有序实数组(x,y)的全体, 即： {( x , y ) | x R, y R}
记作： R 2或 R R
注 (1) 二维空间的几何意义—坐标平面
(2) 二维空间的元素— P ( x, y ) 坐标平面内的点 平面点集： 二维空间的任一子集, 记作： E R2 注 平面点集E通常是具有某种性质的点的集合, 记作： E={(x,y)|(x,y)具有性质P}
多元函数的基本概念52774
E
定义： 如果点 P(可以属E于,也可不属E)于 的
任 一 邻 域 内 既 有 E的属点于 ,也 有 不 属 于E的 点,则 称P为E的 边 界.E点的 边 界 点 的 全 体 称 E的为边 界 ,记 为E.
P
E
定义：设E是平面上的一个,点 P是集平面上 的一个点 ,如果点P的任何一个邻域 内总有无限多个点点属集于 E,则称 P为E的聚点.
自变量、因变量等概念。
3、多元函数的图形（二元为例）
设函数z f (x, y)的定义域为 D,对于任意给定的 P(x, y)D,对应的函数值z为 f (x, y),这样,以x 为横坐标,以y为纵坐标,以z为竖坐标在空间就 确定一点M(x, y, z),当(x, y)取遍D上一切点时 ,得
到一个空间点x集, y, z) z f (x, y),(x, y)D,这
(2)找 两 种 不 同,趋 使li近 mf(方 x,y式 ) xx0 yy0 存 在 ,但 两 者,则 不 f(x等 ,y)在 点 (x0,y0) 处 极 限 不 . 存 在
四、多元函数的连续性
定义： 设n元函f(数 P)的定义域D 为 ,P0点 D集
是
其
聚 ,如点果 limf(P) PP0
（开集） （闭集） （都不属于）
6、区域与闭区域 定义：设D是开集 .如果对D于内任何两,都 点可 用折线连结起 ,且来该折线上的点都属 于D,则称开D集是连通(的 如下图 ).
y
连通的开集称为区域或开区域.
例 :{如 x ,(y )|1 x 2y2 4 }.
o
x
y
开区域连同它的边 起界 称一 为闭区 . 域
3多元函数的图形二元为例图形个点集称为二元函数的确定一点为竖坐标在空间就这样对应的函数值为对于任意给定的的定义域为设函数sinxy中的线性运算距离及重要子集类1线性运算线性组合的线性运算记为邻域是某一正数面上的一个点记为去心邻域称为中除去点常不写出以上不强调半径时的某一邻域如果存在点是平面上的一是平面上的一个点集记为的边界点的全体称为的边界的边界点也可不属于可以属于如果点内总有无限多个点属于的任何一个邻域如果点的一个点是平面上是平面上的一个点集1内点一定是聚点
8.2 多元函数的极限与连续
13
8.2
多元函数的极限与连续
x2 x+ y
3− x + y +9 （3） lim x→0 x2 + y2
2 2 y→0
1 （4） lim(1 + ) x →∞ x y →a
1 =− . 解： 3）原式 = lim 2 （ x→0 2 2 2 6 ( x + y )(3 + x + y + 9) y→0
9
8.2
多元函数的极限与连续
若在开区域（或闭区域） D 内某些孤立点，或者沿 D 内 若在开区域（或闭区域） 内某些孤立点， 某些曲线，函数没有定义，但在 D 内其余部分， f ( x , y ) 都 某些曲线，函数没有定义， 内其余部分， 部分 有定义， 有定义，则这些孤立点或这些曲线上的点都是函数 f ( x , y ) 的间断点。 的间断点。
证
y = kx 3 , 取
x3 y x 3 ⋅ kx 3 k lim 6 = lim 6 , = 2 x →0 x + y 2 x →0 x + k 2 x 6 1+ k y→ 0 y = kx 3
的不同而变化， 其值随 k 的不同而变化， 故极限不存在． 故极限不存在．
关于二元函数的极限概念， 关于二元函数的极限概念，可相应地推广到 n 元函数
2．函数 f ( x, y) 在区域 D 上的连续性
如果函数 上任意一点都连续， 如果函数 z = f ( x , y ) 在区域 D 上任意一点都连续，则称
f ( x , y ) 在区域 D 上连续。 上连续。
二元连续函数的图形是一个没有任何孔隙和裂缝的曲面。 二元连续函数的图形是一个没有任何孔隙和裂缝的曲面。 连续函数的图形是一个没有任何孔隙和裂缝的曲面
高等数学中的多元函数及解题方法
高等数学中的多元函数及解题方法多元函数是高等数学中的重要概念，它可以用来描述现实生活中各种事物的数学模型。
多元函数是指有两个或两个以上自变量的函数，通常用符号f(x,y,z...)表示。
在解题过程中，我们需要掌握多元函数的性质和解题方法，下面将详细介绍。
一、多元函数的性质1. 定义域和值域多元函数的定义域是自变量可以取值的范围，值域是函数的取值范围。
比如，一个函数f(x,y)=x^2+y^2的定义域是全平面，值域为非负实数。
2. 偏导数多元函数的偏导数是指在函数中，除了求解关于本变量的导数外，其余自变量都视为常数而求出的导数。
如f(x,y)=x^2y^3,其中对x求偏导数，得到f_x(x,y)=2xy^3，对y求偏导数，得到f_y(x,y)=3x^2y^2。
3. 连续性与可导性多元函数在一定条件下是可导的，也有时可能不可导。
对于连续函数来说，它们都是可导的，而像分段定义的函数等非连续函数则可能不可导。
4. 极值与最值多元函数在取极值或最值时，需要求偏导数并令其为0来解方程组，从而求出临界点，再进行分类讨论。
其中，当一阶偏导数都为0时，需要继续求解二阶偏导数，看是否为正或负，以确定是极大值点还是极小值点。
二、多元函数的解题方法1. 隐函数求导法隐函数求导法是多元函数求导的重要方法。
对于f(x,y)=0这样的方程组，我们需要对其做一个导数，所以可以通过隐函数求导法来求解。
具体来说，我们需要对方程组两边同时求导，得到（∂y/∂x）=-(∂f/∂x)/(∂f/∂y)，从而得到y关于x的导数式子。
2. 幂级数展开法多元函数幂级数展开法是指在求解某些多元函数的极值时，可以用Taylor级数的展开来进行分析。
首先通过求偏导数得到一阶导数，再求出二阶与三阶导数。
最后利用泰勒公式进行求解，进而得出极值。
3. 拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法是求多元函数的最值或最优解的一个重要方法。
对于有约束条件的多元函数，我们需要用拉格朗日乘子来进行求解。
02多元函数的极限与连续
f(x ) U a ,)(即 ,|f(x ) a |,则称
lim f(X)a
进
X X0
行
lim f(x)a.
xx0
整
理
现在进行形式上的推广
设 u f(X )X ,X 0为 的.聚点
若 0 , 0 ,当 X U ˆ ( X 点 0 ,) 时 ,
f(x ) U a ,)(即 ,|f(x ) a |,则称
lim f(x)a.
xx0
现在进行形式上的推广
回忆一元函数极限的概念的
uf(X )X X0为的聚点 设 yf(x )x Ix ,0为 I的.聚点
X U ˆ(X0,)
若 0 , 0 ,当 x U ˆ ( x 0 , 点 ) 时 ,
若 X l iX 0m (X )0 ,则(称 X )为 X X 0时的.无
应用这个性质,
lifm (X ) a f(X ) a 可将一元函数的
X X 0
极限运算法则和
其 ,X 中 U ˆ(X 0 )X ,l X i0m 0 .
性质推广到多元 函数中来.
例
求 lim x2 y2 .
x0 | x | | y |
y0
怎么办? 怎么办? 解 由于
0 x2 y2 x2 y2 | x | | y | |x|| y| |x|| y|
x2 y2 | x|| y| |x| | y|
而 lim (|x|| y|)0, 故由夹逼定理, 得 x0 y0 lim x2 y2 0 x0 | x | | y | y0
limy 2. x 0 yБайду номын сангаас2
多元函数连续性的判定
连续，且对其中一个变量单调，则 Ｓ （ ｘ ， Ｙ ） 在 Ｄ内
连续 。
证明：不妨设／ ， Ｙ ）对ｘ 单调递增 （ 单调减的情形证法类似）。 设Ｘ ｏ ， Ｙ 。 ） ∈ Ｄ，由己知，存在 ５ １ ＞ ０ ，当ｌ Ｘ － Ｘ ｏ ｌ ＜ 时，
二 、命题
命题 １ 设 ｒ （ ｘ ， Ｙ ） 在区 域 Ｄ内对ｘ 连续， 而关于 ｘ 对ｙ 是一致连续， 则ｒ （ ｘ ， Ｙ １ 在Ｄ内 连续。
一
多元 函数 的 自变 量多于一 个 ，相应 地连续情 况也 就不 像一元 函数那 么简单 ，且教材 中对 多元 函数 连续 的情况 讨论较 少。正 因为多元 函数极 限 与连 续 的复杂性 ，导 致初 学者只停 留在 定义的表 面形式 ，不能深入挖 掘。以二元 函数为例 ，若 厂 ， ） 在点 Ｍ（ ｘ 。 ， Ｙ 。 ） 连续 ，那 么一元 函数Ｓ （ ｘ ， Ｙ 。 ） 和 ／ （ ｇ ｏ ， ） 也分别在 ｏ 和 。点连续 。反之 ，由于二 元 函数的极限 中 ｏ 的方式是任意的 ，而不是 以特殊的方式 ，因此 ，由这 两个一 元 函数厂 ， Ｙ 。 ） 和 ｆ （ ｘ ） 分 别在 ０ 和 ｏ 点连续 ，并不能断定厂 ， ｙ ） 在
又 由单调 性， 有
致连 续的概念 在教材 中只是选学 内容 ，涉 及 较少 。鉴于有些 专业以 后可能要 用到 ，或 有考
， ｌ ， ） 一 厂 。 ， 。 】 ＜ 。又 存在 ＞ ｏ ，当 ｌ ｙ — 。 Ｉ ＜ 时，
ｌ ／ （ ｘ 。 ， ） 一 ｆ （ ｘ ｏ ， 】
作者 简介 ：杨淑荣 （ １ ９ ６ ３ － ） ，女 ，汉族 ，天津河东人 ，烟台南 山学院工学院 ，副教授 。
第 １ ３卷 第 ４期
多元函数的基本概念汇总
邻域 设P0(x0 y0)是xOy平面上的一个点 是某一正数 点P0的 邻域记为U(P0 ) 它是如下点集
U (P0, ) {P | | PP 0 | } 或 U (P0, ) {( x, y) | (x x0 )2 ( y y0 )2 } 点 P0 的去心 邻域 记作 U (P0, ) 即
f (x, y) 0
必须注意 (1)二重极限存在 是指P以任何方式趋于P0时 函数都无 限接近于A
(2) 如果当 P 以两种不同方式趋于 P0 时 函数趋于不同的
值 则函数的极限不存在 •讨论
xy 2 2 x y 0 2 2 函数 f (x, y) x y 在点(0 0)有无极限？ 2 2 0 x y 0
一、平面点集 n维空间
1.平面点集 坐标平面上具有某种性质P的点的集合 称为平面点集 记作 E{(x y)| (x y)具有性质P} 例如 平面上以原点为中心、r为半径的圆内所有点的集 合是 C{(x y)| x2y2<r2} 或 C{P| |OP|r} 其中P表示坐标为(x y)的点 |OP|表示点P到原点O的距离
•外点 如果存在点 P 的某个邻域 U(P) 使得U(P)E 则称P为E的外点 •边界点 如果点P的任一邻域内既有属 于E的点 也有不属于E的点 则称P点为 E的边点
外点
边界点
内点
E的边界点的全体 称为E的边界 记作E 提问 E的内点、外点、边界点是否都必属于E？
二元函数的图形 点集{(x y z)|zf(x y) (x y)D}称为 二元函数zf(x y)的图形 二元函数的图形是一张曲面 举例
zaxbyc表示一张平面
方程x2y2z2a2确定两个二元函数
多元函数的极限和连续性
多元函数的极限和连续性在高等数学中，多元函数的极限和连续性是比较基础的概念，对于学习后续的微积分、偏微分方程等内容都有重要的意义，因此本文将从多元函数极限和连续性的定义、求解及其应用等方面进行探讨和阐述。
一、多元函数的极限和连续性的定义在一元函数中，极限的概念是比较容易理解和推广的，而在多元函数中，由于独立变量的个数增加，问题变得更加复杂。
因此，我们需要重新定义多元函数的极限。
1. 多元函数的极限定义设$f(\boldsymbol{x})$是定义在某点$\boldsymbol{x_0}=(x_0,y_0, z_0, ...)$的某一邻域内的多元函数，$\boldsymbol{\alpha}=(\alpha_1, \alpha_2, ..., \alpha_n)$是任一常数向量，那么当对于任意$\epsilon>0$，都存在$\delta>0$，使得当$0<\Vert \boldsymbol{x}-\boldsymbol{x_0}\Vert<\delta$时，都有$\vert f(\boldsymbol{x})-f(\boldsymbol{x_0}+\boldsymbol{\alpha})\vert<\epsilon$成立，则称$\boldsymbol{x_0}$是$f(\boldsymbol{x})$的一个极限点，记作$\lim\limits_{\boldsymbol{x}\rightarrow\boldsymbol{x_0}}f(\boldsymbol{x})=f(\boldsymbol{x_0}+\boldsym bol{\alpha})$。
可以看出，多元函数的极限与一元函数的极限相似，但是需要考虑的变量更多。
在多元函数中，只有当$\boldsymbol{x}$从任意方向趋近于$\boldsymbol{x_0}$时，$\lim\limits_{\boldsymbol{x}\rightarrow\boldsymbol{x_0}}f(\boldsymbol{x})$才存在。
浅谈多元函数的连续及可微-转载1
浅析多元函数的连续及可微摘要：在学习多元函数以前，我们对于一元函数的认识都是非常熟悉的，对一元函数连续、可微之间的关系也都非常清楚.而多元函数是一元函数的推广，它具有比一元函数更复杂的性质.就一般的二元函数来说，学习数学分析之后，我们知道当二元函数的两个偏导数都连续时，函数可微.首先证明了当二元函数的一个偏导数存在，另一个偏导数连续时，函数可微.然后考虑了一般的多元函数的情形，得到了当多元函数的某个偏导数连续，而其余偏导数存在时，函数可微.由此可见可微性与偏导存在性间的关系是复杂的.本文通过具体实例对多元微分学中的几个重要概念间的进行分析讨论，主要研究二元函数的连续性，偏导存在性，可微性等概念以及它们之间因果关系.在了解本文之后，读者会对多元函数有更深刻的认识！关键词：可微; 偏导数; 连续目录1引言 (1)2多元函数的连续、偏导数及可微........................... ... (1)2.1多元函数的连续性 (1)2.2 多元函数的偏导数 (3)2.3多元函数的可微性 (4)2.4多元函数连续性、偏导数存在性、及可微间的关系 (7)2.4.1二元函数连续性与偏导存在性间的关系 (7)2.4.2二元函数的可微性与偏导存在性间的关系 (8)2.4.3二元函数的连续性与可微性间的关系 (10)3小结.................................... .. (11)参考文献 (12)致谢辞 (13)1 绪论在中学时，我们着重学习了一元函数，对于函数()y f x =在0x 极限存在、连续、可微，这三个概念的关系是很清楚的.比如说：可微一定连续，但连续不一定可微，连续一定有极限，但有极限不一定连续等一些性质.简单表示为：可微⇒连续⇒极限存在(且不可逆).在什么条件下可逆，我们也都曾经学习过.对于多元函数而言，主要是讲二元函数，它既不同于一元函数有可导与可微的等价关系，也没有一元函数的“可导必连续”的关系.但对于二元函数的可微性，是可以证明的.从二元函数的一些性质中，我们可以看到：若二元函数(,)z f x y =在点0p (0x ,0y )可微，则函数(,)f x y 在点0p （0x ，0y ） 连续，偏导存在；若二元函数(,)z f x y =的两个偏导数'x f （x,y ）与'y f (x,y)在点0p （0x ，0y ）连续，则函数(,)f x y 在0p （0x ，0y ）可微.因此对于函数的连续、偏导存在、可微、偏导连续，有下列蕴涵关系：偏导连续⇒可微⇒(连续，偏导存在);它们反方向结论不成立.当然，其可逆也是需要一定条件的.本文主要是就他们之间的关系作简单的分析.大家都知道，多元函数是一元函数的推广，因此它保留着一元函数的许多性质，但也有某些差异，而且情况也更复杂一些.在我们研究多元函数的连续、偏导、可微之间的相互关系时，需要注意许多方面的问题.下面我们分别从多元函数的可微性、偏导存在性、连续性，进而到它们之间的关系进行具体的探讨.2多元函数的连续、偏导数及可微性2.1 多元函数的连续性一个一元函数若在某点存在左导数和右导数，则这个一元函数必在这点连续.但对于二元函数(,)f x y 来说，即使它在某点000(,)p x y 既存在关于x 的偏导数00(,)x f x y ，又存在关于y 的偏导数00(,)y f x y ，(,)f x y 也未必在000(,)p x y 连续.甚至，即使在000(,)p x y 的某邻域0()U p 存在偏导数(,)x f x y （或(,)y f x y ），而且(,)x f x y （或(,)y f x y ）在点000(,)p x y 连续，也不能保证(,)f x y 在000(,)p x y 连续.如函数(,)f x y =21sin ,00,0x y y y ⎧⎛⎫+≠⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎪⎪=⎩关于具体验算步骤不难得出.不过，我们却有如下的定理.定理1 设函数(,)f x y 在点000(,)p x y 的某邻域0()U p 内有定义，若0(,)f x y 作为y 的一元函数在点y=0y 连续，(,)x f x y 在0()U p 内有界，则(,)f x y 在点000(,)p x y 连续.证明 任取00(,)x x y y ++ 0()U p ∈，则0000(,)(,)f x x y y f x y ++-00000000(,)(,)(,)(,)f x x y y f x y y f x y y f x y =++-+++- （1） 由于(,)x f x y 在0()U p 存在，故对于取定的0y y + ，0(,)f x y y + 作为x 的一元函数在以0x 和0x x + 为端点的闭区间上可导，从而据一元函数微分学中的Lagrange 中值定理，存在(0,1)θ∈，使0000(,)(,)f x x y y f x y y ++-+ = 00(,)x f x x y y x θ++将它代入（1）式得0000(,)(,)f x x y y f x y ++-000000(,)(,)(,)x f x x y y x f x y y f x y θ=++++- （2） 由于00(,)x x y y θ++ 0()U p ∈，故00(,)x f x x y y θ++ 有界，因而当(,)(0,0)x y → 时，有00(,)0x f x x y y x θ++→又，据定理的条件知，0(,)f x y 在0y y =连续，故当(,)(0,0)x y → 时，又有0000(,)(,)0f x y y f x y +-→所以，由（2）知，有00000lim (,)(,)y x f x x y y f x y →→++- =0这说明(,)f x y 在00(,)x y 连续. 同理可证如下的定理定理2 设函数(,)f x y 在点000(,)p x y 的某邻域0()U p 有定义，(,)y f x y 在0()U p 内 有界，0(,)f x y 作为x 的一元函数在点0x x =连续，则(,)f x y 在点000(,)p x y 连续. 定理1和定理2可推广到更多元的情形中去.定理 3[5] 设函数12(,,,)n f x x x ⋅⋅⋅在点000012(,,,)n p x x x ⋅⋅⋅的某邻域0()U p 内有定义， 12(,,)i x n f x x x ⋅⋅⋅在0()U p 有界{}0111(1,2,),(,,,,)i i i n i n f x x x x x -+∈⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅作为111,,,i i n x x x x -+⋅⋅⋅⋅⋅⋅的n-1元函数在点0000111(,,,)i i n x x x x -+⋅⋅⋅⋅⋅⋅连续，则 12(,,,)n f x x x ⋅⋅⋅在 点000012(,,,)n p x x x ⋅⋅⋅连续. 证明 任取00001122(,,,,,)i i n n x x x x x x x x ++⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+ 0()U p ∈，则 000000111(,,,,)(,,)i i n n i n f x x x x x x f x x x +⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+-⋅⋅⋅⋅⋅⋅ =00011(,,,,)i i nn f x x x x x x +⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+ 00000111111(,,,,,)i i i i i n n f x x x x x x x x x --++-+⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+000000001111111(,,,,,)(,,,)i i i i i n n i n f x x x x x x x x x f x x x --++++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+-⋅⋅⋅⋅⋅⋅由于1(,,,i x i n f x x x ⋅⋅⋅⋅⋅⋅）在0(U p ）内存在，故对于固定的{}0(1,2,,j j x x j n +∈⋅⋅⋅ \{}),i 0000111111(,,,,,,)i i i i i n n f x x x x x x x x x --+++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+ 作为i x 的一元函数在以01x 和0i i x x +为端点的闭区间上可导，从而据一元微分学中的Lagrange 中值定理，存在(0,1)θ∈，使00000111111(,,,,,)i i i i i i n n f x x x x x x x x x x --+++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+ -00000111111(,,,,,)i i i i i nn f x x x x x x x x x --+++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+=00000111111(,,,,,)i x i i i i i i nn i f x x x x x x x x x x x θ--+++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+ 由于00000111111(,,,,,)i i i i i i n n x x x x x x x x x x θ--+++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+ 0()U p ∈故00000111111(,,,,,)i x i i i i i i n n f x x x x x x x x x x θ--+++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+ 有界因而，当111(,,,,,,)(0,,0)i i i n x x x x x -+⋅⋅⋅⋅⋅⋅→⋅⋅⋅ 时，00000111111(,,,,,)0i x i i i i i i n n i f x x x x x x x x x x x θ--+++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+→ .又，据定理的条件知，0111(,,,,,)i i i n f x x x x x -+⋅⋅⋅⋅⋅⋅作为111,,,,i i n x x x x -+⋅⋅⋅⋅⋅⋅的1n -元函数在点0111(,,,,)oi i nx x x x -+⋅⋅⋅⋅⋅⋅连续，故当111(,,,,,,)(0,0,0)i i i n x x x x x -+⋅⋅⋅⋅⋅⋅→⋅⋅⋅ 时，有00000111111(,,,,,)i i i i i n n f x x x x x x x x x --+++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+ 00000111(,,,,,)0i i i nf x x x x x -+-⋅⋅⋅⋅⋅⋅→ 所以，由（3）知，当111(,,,,,,)(0,0,0)i i i n x x x x x -+⋅⋅⋅⋅⋅⋅→⋅⋅⋅ 时，有00000111111(,,,,,)i i i i i i n n f x x x x x x x x x x --+++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+ 00000111(,,,,,)0i i i n f x x x x x -+-⋅⋅⋅⋅⋅⋅→ 这说明111(,,,,,,)i i i n f x x x x x -+⋅⋅⋅⋅⋅⋅在点000000111(,,,,,)i i i np x x x x x -+⋅⋅⋅⋅⋅⋅连续. 证毕.2.2多元函数的偏导数我们知道高等数学及数学分析教材中有：////0000(,)(,)xyyx f x y f x y =此式成立的条件为：偏导数//xy f 和//yx f 在00(,)x y 都连续.下面给出一个更若条件下二元混合偏导数求导次序无关的条件.定理4 若函数(,)f x y 在0p 00(,)x y 的某邻域内偏导数/x f ，/y f 及//yx f 存在，且//yx f 在0p 对y 连续，则偏导数//xy f 在0p 存在，且 ////0000(,)(,)xyyx f x y f x y = 证明 不妨设000(,)p x y 的邻域为 ：{}000()(,)(,),(,)U p x y x U x y y δδ=∈∈ 又设x在0x 有增量x 00(0,(,))x x x U x δ≠+∈ ，y在0y 有增量y 00(0,(,))y y y U y δ≠+∈ ，则要证极限////0000000(,)(,)(,)lim x x xyy f x y y f x y f x y y→+-= （1）存在且值为//00(,)xyf x y . 因为/x f 在0()U p 存在，所以/0000000(,)(,)(,)limx x f x x y y f x y y f x y y x→++-++=及 /0000000(,)(,)(,)limx x f x x y f x y f x y x→+-=都存在，将其代入（1）式右端得//00(,)xy f x y 00lim limy x →→= [][]00000000(,)(,)(,)(,)f x x y y f x y y f x x y f x y y x++-+-+- （2）作辅助函数 (,)(,)(,)x y f x x y f x y ϕ=+-因为/y f 在0()U p 存在，所以///(,)(,)(,)yy y x y f x x y f x y ϕ=+- 在0()U p 存在，故对函数0(,)x y ϕ，在以0y 和0y y + 为端点的区间上应用Lagrange 中值定理，得/000000(,)(,)(,)y x y y x y x y y y ϕϕϕθ+-=+ (01)θ<<而由(,)x y ϕ的构造可知，上式即[]0000(,)(,)f x x y y f x y y ++-+ []0000(,)(,)f x x y f x y -+-//0000(,)(,)y y f x x y y f x y y θθ⎡⎤=++-+⎣⎦ y (01)θ<<将其代入（2）式右端得//0000//0000(,)(,)(,)lim lim y y xy y x f x x y y f x y y y f x y y xθθ→→⎡⎤++-+⎣⎦=//000000(,)(,)lim limy y y x f x x y y f x y y xθθ→→++-+= (0)y ≠又因为//yx f 在0()U p 存在，所以//00000(,)(,)limy y x f x x y y f x y y xθθ→++-+ //00(,)yx f x y y θ=+//////0000000(,)lim (,)(,)xy yx yx y f x y f x y y f x y θ→=+= （//yx f 在0p 对y 连续）定理得证.2.3 多元函数的可微性考察函数的可微性时，如果知道偏导数连续，则函数一定可微.但是偏导数连续性条件常常不满足，或不易判断.熟知函数在点0p 可微的必要条件是各个偏导数在0p 处存在.如果函数(,)z f x y =在0p 处的全增量可表示为：z=A x+B y+()ορ则常数A 与B 一定为A=x f (0p ) B=y f (0P ) 且函数在0P 处可微.于是验证函数可微性的一个方法是检验极限：0limρ→00()()x y Z f p f p yρ-- 是否等于零,然而这先要求偏导数A=0()x f p 和B=0()y f p .有无可能不求偏导数，而设法判断可微性？例1 考虑函数Z=()()22221()sin ,0,00,,0,0x y x y x y x y ⎧+≠⎪+⎪⎨⎪⎪=⎩在（0，0）处的可微性.由 Z =22221()()sin()()x y x y ⎡⎤+⎣⎦+ 知22221limlim ()()sin0()()Zx y x y ρρρ→→=+=+ 能否判定此函数在（0，0）可微？事实上，上式极限等价于()Z o ρ= 或写成00()Z x y o ρ=++ 由全微分定义即知此函数在（0,0）可微，(0,0)(0,0)0x y f f ==且(0,0)dz =0这个例子启示我们有可能通过考察极限0limZρρ→ 判断某些函数的可微性.我们可以证明如下的定理定理5[2] 设n 元函数()z f p =在0p 的某个邻域内有定义，且极限0lim Zρρ→ 存在，记为α(1) 若0α≠，则函数()z f p =在0p 处不可微；(2) 若α=0，则函数在0p 处可微且00dz p =，其中221()()n x x ρ=+⋅⋅⋅+ . 我们以二元函数为例证明.证明（1）反证.设函数(,)z f x y =在000(,)p x y =处可微，则()Z A x B y o ρ=++由0lim0zραρ→=≠ 及上式可得220A B +≠ 考察等式()A xB yZo ρρρρ+=-两边的极限.令cos ,sin ,02x y ρθρθθπ==≤< ，则 左=0limlim(cos sin )A x B yA B ρρθθρ→→+=+ 极限不存在 （220A B +≠）右=0lim0Zραρ→=≠ 矛盾.故函数(,)z f x y =在0p 处不可微.（2）若0lim0Zρρ→= 即()Z o ρ= 则有 00()Z x y o ρ=++故z=f(x,y)在0p 处可微.且00dz p = 这时有0000(,)(,)0x y f x y f x y == 需要说明的是，0limZρρ→ 不存在时，函数()z f p =在0p 点的可微性不确定.我们熟知如果一个多元函数的所有偏导数在某一点都存在并连续，则它一定在该点可微.那么是不是非得满足这一条件才可微呢？以下我们介绍一个较弱条件小关于多元函数可微的定理.定理6[3] 若n+1元函数1(,,)n f x x y ⋅⋅⋅关于y 的偏导数对n+1个变量连续，关于1,n x x ⋅⋅⋅可微（即把1,(,)n f x x y ⋅⋅⋅中的y 看成常数后可微），则n+1元函数1,(,)n f x x y ⋅⋅⋅可微.证明 因为1,(,)n f x x y ⋅⋅⋅关于1,n x x ⋅⋅⋅可微，所以1//111(,,)(,,)n x n x n n f a a b x f a a b x ⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅⋅⋅= 1111(,...,)(,...,)()n n n f a x a x b f a a b ορ++-+ （1） 其中2211()()n x x ρ=+⋅⋅⋅ 有因为1(,,)n f x x y ⋅⋅⋅关于y 有连续的偏导数，有Lagrange 中值定理，在b 与b+y 之间存在ζ满足/11(,,)y n n f a x a x y ζ+⋅⋅⋅+=1111(,,)(,,)n n n n f a x a x b y f a x a x b +⋅⋅⋅++-+⋅⋅⋅+由连续性有//1110lim (,)(,,)y n n y n f a x a x f a a b ρζ→+⋅⋅⋅+=⋅⋅⋅其中2221()()()n x x y ρ=+⋅⋅⋅++ ，所以//111(,,)(,,)()y n y n n f a a b y f a x a x y o ζρ⋅⋅⋅=+⋅⋅⋅++=1111(,,)(,,)()n n n n f a x a x b y f a x a x b o ρ+⋅⋅⋅++-+⋅⋅⋅++ （2）（1）+（2）得1///1111(,,)(,,)(,,)n x n x n n y n f a a b x f a a b x f a a b y ⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=1111(,,)(,,)()()n n n f a x a x b y f a a b o o ρρ+⋅⋅⋅++-⋅⋅⋅++因为10ρρ≤≤，所以1()()o o ρρ=，即1(,,)n f x x y ⋅⋅⋅可微.推论 若n(n ≥2)元函数1(,,)n f x x ⋅⋅⋅的偏导数存在，且至多有一个偏导不连续，则1(,,)n f x x ⋅⋅⋅可微.证明 对n 作数学归纳.当n=2时，不妨设2/x f 连续，而由一元函数可导与可微的关系知12(,)f x x 关于1x 可微，由定理12(,)f x x 可微.设n=k 时结论成立，则当n=k+1时，不妨设11(,,)k k f x x x +⋅⋅⋅关于1k x +有连续偏导数，此时1//,k x x f f ⋅⋅⋅仍最多有一个不连续，由假设11(,,)k k f x x x +⋅⋅⋅关于1,k x x ⋅⋅⋅可微.所以11(,,)k k f x x x +⋅⋅⋅可微.2.4 多元函数连续性、偏导数存在性、及可微间的关系多元函数是一元函数的推广，因此它保留着一元函数的许多性质，但也有些差异，这些差异主要是由多元函数的“多元”而产生的.对于多元函数，我们着重讨论二元函数，在掌握了二元函数的有关理论和研究方法之后，在将它推广到一般的多元函数中去.本文将通过具体实例来讨论二元函数连续性、偏导数存在性、及可微间的关系. 2.4.1 二元函数连续性与偏导存在性间的关系(1) 函数(,)f x y 在点000(,)p x y 连续，但偏导不一定存在. 例 2证明函数(,)f x y 22x y =+在点(0,0)连续偏导数不存在. 证明：因为22(,)(0,0)(,)(0,0)lim (,)lim0(0,0)x y x y f x y x y f →→=+==， 故函数22(,)f x y x y =+在点(0,0)连续.由偏导数定义：2001,0(0,0)(0,0)(0,0)limlim 1,x x x x f x f x f x x x →→>⎧+-===⎨-<⎩故(0,0)x f 不存在.同理可证(0,0)y f 也不存在.(2)函数(,)f x y 在点000(,)p x y 偏导存在，但不一定连续.例 3 函数22,0(,)1,0x y xy f x y xy ⎧+=⎪=⎨⎪≠⎩在点(0,0)处(0,0)x f ，(0,0)y f 存在，但不连续证明 由偏导数定义：00(0,0)(0,0)(0,0)lim lim 0x x x f x f f x x→→+-=== 同理可求得(0,0)0y f =因为22(,)(0,0)(,)(0,0)lim(,)lim ()1(0,0)0x y x y f x y x y f →→=+=≠=故函数22,0(,)1,0x y xy f x y xy ⎧+=⎪=⎨⎪≠⎩在点(0,0)处不连续.综上可见，二元函数的连续性与偏导存在性间不存在必然的联系. 2.4.2 二元函数的可微性与偏导存在性间的关系(1) 可微与偏导存在定理7 （可微的必要条件）若二元函数(,)f x y 在其定义域内一点000(,)p x y 处可微，则f 在该点关于每个自变量的偏导都存在，且000000(,)(,)(,)x y df x y f x y dx f x y dy =+注1 定理1的逆命题不成立，及二元函数(,)f x y 在点000(,)p x y 处的偏导即使存在，也不一定可微.例 4 证明函数222222,0(,)0,0xy x y x yf x y x y ⎧+≠⎪+⎪=⎨⎪⎪+=⎩在原点两个偏导存在，但不可微.证明 由偏导数定义：00(0,0)(0,0)00(0,0)lim lim 0x x x f x f f xx →→+--=== 同理可求得(0,0)0y f =下面利用可微的定义来证明其不可微性. 用反证法.若函数f 在原点可微，则[]22(0,0)(0,0)(0,0)(0,0)x y x y f df f x y f f dx f dy x y⎡⎤-=++--+=⎣⎦+应是较22x y ρ=+ 的高阶无穷小量，为此考察极限220limlimf dfx y x y ρρρ→→-=+当动点(,)x y 沿直线y mx =趋于(0,0)时，则(,)(0,0)2222(,)(0,0)limlim 11x y y mxx y xy m mx y m m →=→==+++ 这一结果说明动点沿不同斜率m 的直线趋于原点时，对应的极限值也不同.因此所讨论的极限不存在.故函数f 在原点不可微.(2) 偏导连续与可微定理8 （可微的充分条件）若二元函数(,)z f x y =的偏导在点000(,)p x y 的某邻域内存在，且x f 与y f 在点000(,)p x y 处连续，则函数(,)f x y 在点000(,)p x y 可微.注2 偏导连续是函数可微的充分而非必要条件.例5 证明函数()222222221sin ,0(,)0,0x y x y x y f x y x y ⎧++≠⎪+⎪=⎨⎪⎪+=⎩在点（0，0）处可微，但(,)x f x y ，(,)y f x y 在（0，0）点却间断.证明 22(,),0x y x y ∀+≠，有222222121(,)2sin cos x x f x y x x y x y x y =-+++ 222222121(,)2sincos y y f x y y x y x y x y=-+++ （1）当y=x 时，极限22111lim (,)lim(2sincos )22x x x f x x x x x x→→=-不存在，则(,)x f x y 在（0，0）点间断.同理可证(,)y f x y 在（0，0）点间断.（2）因200(,0)(0,0)1(0,0)limlim sin 0x x x f x f f x x x →→-=== 200(0,)(0,0)1(0,0)limlim sin 0y y y f y f f y y y→→-=== 则(0,0)(0,0)0,x y df f dx f dy =+=2222222211(,)(0,0)()sinsin ((,):0)f f x y f x y x y x y x y ρρ=-=+=∀+≠+ 从而2221sin1limlimlim sin0f dfρρρρρρρρρ→→→-===即函数(,)f x y 在点（0，0）可微. 2.4.3二元函数的连续性与可微性间的关系类似于一元函数的连续性与可微性间的关系，即二元函数(,)f x y 在000(,)p x y 可微 则必然连续，反之不然.例6 证明函数(,)f x y xy =在点（0，0）连续，但它在点（0，0）不可微.证明 （1）因为00lim (,)lim 0(0,0)x x y y f x y xy f →→→→===故函数(,)f x y xy =在点(0,0)连续.（2）因为(0,0)(0,0)f f x y f x y =++-=(0,0)(0,0)0x y df f dx f dy =+=所以2222limlim lim x x y y x y x y f dfx yx yρρ→→→→→-==++当动点(,)x y 沿着线y x = 趋于(0,0)时，有221lim 02x y x y x y →→=≠+即0lim0f dfρρ→-≠ ，故(,)f x y 在原点(0,0)不可微.综上所述二元函数连续性、偏导存在性及可微性间的关系如图所示：3 小结对于多元函数的连续性，偏导存在性，可微性等概念以及它们之间因果关系的研究，是多元微分学中的一个难点.本文在分别给出了一系列关于多元函数可微、可偏导，可连续的定理之后，主要以二元函数为例，通过具体实例对多元微分学中的几个重要概念间的关系进行了一些探讨.和一元微分学相比，尽管多元微分学有许多和一元微分学情形相似，但一元函数到多元函数确有不少质的飞跃，而从二元到三元以上的函数，则只有技巧上的差别，而无本质上的不同.学习多元微分学就要紧紧抓住这两个特点，既看到它们的相同之处，又要注意不同之点.偏导连续可微连续 偏导存在参考文献：[1] 同济大学应用数学系，高等数学.（第五版，下册）[M] 北京：高等教育出版社，2002，6.[2] 刘波,李晓楠.关于多元函数可微性的一个注记[J]高等数学研究，2008.3：36—38.[3] 汪明瑾 . 一个关于多元函数可微的定理[J] 高等数学研究，2001.3：8.[4] 李晓芬 . 关于混合偏导求导次序无关的条件[J] 山西师大学报（自然科学版）1996.6：1—2.[5] 李超. 有关多元函数连续性的几个新结论[J] 韶关学院学报（自然科学版）2002.6:1－4.[6] 华东师范大学数学系.数学分析（三版）[M]北京：高等教育出版社，2004，5.[7] 张鸿,门艳红. 讨论二元函数连续性、偏导存在性、及可微性间关系[J] 哈尔滨师范大学自然科学学报，2006.1：32—34.[8] 周良金,王爱国.偏导数存在、函数连续及可微间的关系[J]高等函授学报（自然科学版），2005，10：34—40.[9] 刘玉琏，傅沛仁．数学分析讲义（三版）[M]北京：高等教育出版社，2001，2.[10] 刘玉琏，等．数学分析讲义学习辅导书（二版）[M]北京：高等教育出版社，2004，7.谢辞经过半年的忙碌和工作，本次毕业论文设计已经接近尾声，作为一个本科生的毕业论文，由于经验的匮乏，难免有许多考虑不周全的地方，如果没有导师的督促指导，以及一起工作的同学们的支持，想要完成这个设计是难以想象的.在这里首先要感谢我的论文指导老师张璐老师.张老师平日里工作繁多，但在我做毕业设计的每个阶段，从选题到查阅资料，论文提纲的确定，中期论文的修改，后期论文格式调整等各个环节中都给予了我悉心的指导.除了敬佩张老师的专业水平外，他的治学严谨和科学研究的精神也是我永远学习的榜样，并将积极影响我今后的学习和工作，在此谨向张老师致以诚挚的谢意和崇高的敬意！在论文即将完成之际，我的心情无法平静，从开始进入课题到论文的顺利完成，有多少可敬的师长、同学、朋友给了我无言的帮助，在这里请接受我诚挚的谢意!最后我还要感谢培养我长大含辛茹苦的父母，谢谢你们!最后，我要向在百忙之中抽时间对本文进行审阅、评议和参加本人论文答辩的各位师长表示感谢！。
多元函数的极限及连续性
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一、二重极限
定义1 设二元函数 f 定义在 D R2 上, P0 为 D 的
一个聚点, A 是一实数. 若 0, 0, 使得当
P U (P0; ) D 时, 都有 | f (P) A | ,
则称 f 在 D 上当 P P0 时以 A 为极限, 记作 lim f (P) A.
的一个聚点. 若 M 0, 0, 使得 P( x, y)U (P0; ) D, 都有 f ( x, y) M ,
则称 f 在 D 上当 P P0 时, 有非正常极限 , 记作 lim f ( x, y) ,
( x, y ) ( x0 , y0 )
2007年8月
南京航空航天大学 理学院 数学系
x2 y2 0, 而并不要求 x y 0.
(证法二) 作极坐标变换 x r cos, y r sin. 这时
( x, y) (0, 0) 等价于 r 0 ( 对任何 ). 由于
| f (x, y) 0 |
x2 y2 xy x2 y2
1 r 2 | sin 4 | 1 r 2 ,
y2 y
lim lim
lim
lim( y 1) 1,
y0 x0
x y
y0 y
y0
x2 y2 x y
x2 x
lim lim
lim
lim( x 1) 1.
x0 y0
x y
x0 x
x0
当沿斜率不同的直线 y mx, ( x, y) (0, 0) 时, 有
x2 y2 x y 1 m
x)
lim ( x 1)
x0
1,
( y x2x)
2007年8月
南京航空航天大学 理学院 数学系
多元函数的基本概念与极限
例2. 求函数
解:
f ( x, y )
2
arcsin(3 x y ) x y
2
2
2
的连续域.
3 x2 y2 1
x y 0 2 x2 y2 4 x y2
y O
2
2
x
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有界闭区域上二元连续函数的性质
闭域上多元连续函数有与一元函数类似的如下性质: 定理：若 f (P) 在有界闭域 D 上连续, 则
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3. 二元函数的极限
P P0
lim f ( P) A
4. 二元函数的连续性 1) 函数f ( P) 在 P0 连续 有界定理 ; 最值定理 ;
P P0
lim f ( P) f ( P0 )
2) 闭域上的多元连续函数的性质:
介值定理
3) 一切多元初等函数在定义区域内连续
lim
f ( x, y ) A
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定义2.
设二元函数
在P0 ( x0 , y0 ) 的某一去心邻域内有定义， 若对任意正数 , 总存在正数 , 使得适合不等式
0 PP0 ( x x0 )2 ( y y0 )2 的一切点（ P x, y) D
则称 A 为函数 f ( x, y )
x
O
1 2x
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整个平面 是最大的开域 , 也是最大的闭域 ;
y
1O 1
点集
( x, y )
x 1 是开集，
第十六章 多元函数的极限与连续
数组(x, y, z)时, 三维欧氏空间3中的点集
S {( x, y, z) | z f ( x, y),( x, y) D} R3
就是二元函数 f 的图象. 通常z f (x, y)的图象是一空 间曲面, f 的定义域D便是该曲面在xOy平面上的投影.
第 十 六 章 多 元 函 数 的 极 限 与 连 续
R 2 ( x, y ) x , y .
C ( x, y) x 2 y 2 r 2 .
S ( x, y ) a x b, c y d .
第 十 六 章 多 元 函 数 的 极 限 与 连 续
§1 平面点集与多元函数
n n n
n 0. 也等价于 lim n
第 十 六 章 多 元 函 数 的 极 限 与 连 续
§1 平面点集与多元函数
定理16.1(柯西准则) 平面点列{Pn}收敛的充要条件 是: 任给正数, 存在正整数N, 使得当nN时, 对一切 正整数p, 都有
Pn , Pn p .
E U (O; r )
其中O是坐标原点, 则称E是有界点集. 否则就是 无界点集.
第 十 六 章 多 元 函 数 的 极 限 与 连 续
§1 平面点集与多元函数
点集E的直径—点集E的直径就是
d ( E) sup P 1, P 2 ,
P 1, P 2 E
其中 (P1, P2)表示P1与P2两点之间的距离, 当P1, P2的坐标分别为(x1, y1)和(x2, y2)时, 有
由于点A的任一圆邻域可以包含在点A的某一方邻域 邻域”泛指这两种形状的邻域, 并以记号U(A; )或 U(A)来表示.
多元函数微分学
2 2
问在(0,0)处，f(x, y)的偏导数是否存在？偏 Biblioteka 数是否连续？f(x, y)是否可微？
5.方向导数 , 定义5 设 z f ( x , y )在 点M 0 ( x0, y0 )的 某 邻 域 内 有 定 义
xy si n x y ) （ 证 明l i m 0. 2 2 x 0 x y y 0
si n ( ) xy 求lim x 0 y y 0
例2
例3
xy 2 lim 2 是否存在? 4 x 0 x y y0
xy l n (x 2 y 2 ) x 2 y 2 0, 研 究 函 数 ( x, y) f 0 x2 y2 0 在( 0,0)处 的 连 续 性 。
(2) z x 4 y 3 2 x
在1, 2处
( 34dx 12dy)
xy x2 y2 0 2 例9 设f ( x , y ) x y 2 x2 y2 0 0 求f x (0,0), f y (0,0), 并 讨 论 f ( x , y ) 在 (0,0) 处 的 可 微 性 .
在 点M 0沿 任 一 方 向的 方 向 导 数 都 存 在 ， 且 l
M0 M0
当 l 与grad f ( M 0 )同方向时，z在M 0的方向 导数取最大值，且最大 grad f ( M 0 )， 值 当 l 与grad f ( M 0 )反方向时，z在M 0的方向 导数取最小值，且最小 grad f ( M 0 ) 值
多元函数微分法
1. 多元函数的极限:
多元函数连续,可导,可微之间的关系
多元函数连续,可导,可微之间的关系函数的概念是数学中最基本的概念之一，它是将某一变量作为自变量，唯一确定另一变量作为因变量的运算关系的数学模型。
比较常见的函数有一元函数和多元函数，一元函数只有一个自变量，多元函数有两个或两个以上的自变量。
其中，多元函数连续、可导、可微之间存在着密切的关系，因此，认识其中的关系是非常重要的，本文将介绍多元函数连续、可导、可微之间的关系，以期更好的理解这些概念的内涵。
首先，我们来讨论多元函数的连续性。
连续性是指曲线上的数据是连续的，也就是说，曲线上的数据若有偏差，它们的偏差是有限的。
总的来说，多元函数的连续性可由以下几点表述：（1）多元函数在其定义域上的值只有有限多个，不存在无限多个；（2）两个连续的多元函数在其定义域上就一定会有一个点，使得它们的值相同；（3）多元函数在可微区域上的偏导数是连续的，也就是说，它在可微区域内的偏导数也只有有限多个，不存在无限多个。
其次，我们来讨论多元函数的可导性，以及多元函数可导与可微之间的关系。
可导性是指多元函数在其定义域内存在可以求得的导数，而且可以根据多元函数的偏导数来判断该函数的凹凸性。
总的来说，可导和可微是密不可分的，也就是说具有可导性的函数必然具有可微性，反之亦然。
此外，如果多元函数的可导性得以证明，则可以说此多元函数的连续性也得以证明。
最后，我们来看多元函数的可微性，它是指函数在可微区域内可以求得它的偏导数，而在可微区域外则不能求得它的偏导数。
多元函数的可微性是一个非常重要的概念，在证明某些函数的连续性或可导性时，可微性是一个非常重要的前提条件。
综上所述，多元函数的连续性、可导性和可微性之间存在着密切的关系，也就是说，只有在多元函数连续且可导的前提下，它才有可能具备可微性，而可微性又是该函数的连续性和可导性的前提条件。
因此，认识这三者之间的关系，对于更好的理解多元函数连续、可导和可微十分必要。
多元函数
.
外点
. .
边界点
内点
聚点
如果对于 任意给定的δ>0, 点 P 的去心邻域U(P,δ ) 内总 有E中的点, 则称P是E的聚点.
点集E的聚点P本身, 可以属于E, 也可能不属于E. 例如, 设平面点集 E={(x, y)|1<x2+y2≤2}. 满足1<x2+y2<2的一切点(x, y)都是E的内点; 满足x2+y2=1的一切点(x, y)都是E的边界点, 它们都不属于E; 满足x2+y2=2的一切点(x, y)也是E的边界点, 它们都属于E; 点集E以及它的界边∂E上的一切点都是E的聚点.
o
U(P , δ ) ={P| 0<| P P|<δ}. 0 0
o
注：如果不需要强调邻域的半径δ, 则用U(P0)表示点P0的某个 o 邻域, 点P0的某个去心邻域记作U(P ) 0
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点与点集之间的关系 任意一点P∈R2与任意一个点集E⊂R2之间必有以下三种 关系中的一种: •内点: 如果存在点P的某一邻域U(P), 使得U(P)⊂E, 则称P为E的内点; •外点: 如果存在点P的某个邻域U(P), 使得U(P)∩E=∅, 则称P为E的外点; •边界点: 如果点P的任一邻域内既有属 于E的点, 也有不属于E的点, 则称P点为 E的边点. E的边界点的全体, 称为E的边界, 记作∂E. 提问: E的内点、外点、边界点是否都必属于E？
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•两点间的距离 Rn中点x=(x1, x2, ⋅ ⋅ ⋅ , xn)和点y=(y1, y2, ⋅ ⋅ ⋅ , yn)间的距离, 记作ρ(x, y), 规定
多元函数的连续性
数，且 P0 是 f (P ) 的定义域的内点，则 f (P ) 在
点 P0
处连续，于是 lim P P0
f (P)
f (P0 ).
例７ 求 lim xy 1 1.
x0
xy
y0
解 原式 lim xy 1 1 lim
x0 xy( xy 1 1) x0
y0
y0
1 xy 1 1
1. 2
第三节
多元函数的连续性
连续的概念
定义3 设n 元函数 f ( P ) 的定义域为点集D, P0
是其聚点且
P0
D
，如果
lim
P P0
f (P)
f ( P0 )
则称n 元函数 f ( P ) 在点P0 处连续.
设P0 是函数 f (P ) 的定义域的聚点，如果 f (P )在点P0 处不连续，则称P0 是函数 f (P )的
lim
x0
x2
kx 2 k2
x2的不同而变化， 极限不存在．
故函数在(0,0)处不连续．
闭区域上连续函数的性质
（1）最大值和最小值定理 在有界闭区域D上的多元连续函数，在D
上至少取得它的最大值和最小值各一次．
（2）介值定理 在有界闭区域D上的多元连续函数，如
果在D上取得两个不同的函数值，则它在D上 取得介于这两值之间的任何值至少一次．
2
f ( x, y) f (0,0) 2
lim f ( x, y) f (0,0),
( x, y )(0,0)
故函数在(0,0)处连续.
例6 讨论函数
f
(
x,
y)
x
2
xy
y2
,
高职应用数学 6
例2 方程 x2 y2 z2 4x 2z 0 表示怎样的曲面？
解 通过配方可将原方程写成
(x 2)2 y2 (z 1)2 5
将上式与 (x x0 )2 ( y y0 )2 (z z0 )2 R2 对比，可知它表示球心在点 (2 ，0 ，1) ，半径为 5 的球面。
2）柱面
高 职 应用数学
第6章 多元函数的微积分初步
2
9
本章
4
内容
8
6
1
空间解析几何简介
2 多元函数的概念、极限与连续性
3
偏导数
4
全微分
5 多元复合函数的求导法则与隐
函数的求导公式
6 二元函数的极值和最值
7 二重积分的概念与性质
8
二重积分的计算
9 二重积分在几何上的应用
6.1 空间解析几何简介
01
02
空间直角坐标系
图6-2
2．空间点的坐标
设M为空间中一点，过M点作三个平
面分别垂直于三条坐标轴，它们与x轴、y
轴、z轴的交点依次为P，Q，R，如图6-3
所示，设P，Q，R三点在三个坐标轴的坐
标依次为x，y，z。由此，空间一点M就唯 一地确定了一个有序三维数组 (x ，y ，z) ，
称为点M的直角坐标，x，y，z分别称为点
动直线L沿定曲线C平行移动所形成的曲面称为柱面。定曲线C称为柱面的 准线，动直线L称为柱面的母线，如图6-6所示。
设一个圆柱面的母线平行于z轴，准线C是 xOy平面上以原点为圆心，R为半径的圆。在平 面直角坐标系中，准线C的方程为x2 y2 R2 ， 现在我们来求这个圆柱面的方程。
图6-6
设点 M (x ，y ，z) 为圆柱面上任意一点，过点M的母线与xOy平面的交点 M0 (x ，y ，0) 一定在准线C上，如图6-7所示。因此，不论点M坐标中的z取 什么值，它的横坐标x和纵坐标y必定满足方程 x2 y2 R2。反之，不在圆 柱面上的点的坐标不满足该方程，因此所求圆柱面的方程为x2 y2 R2。
16.2.3 多元函数的连续性
多元函数的连续性0(),.n D R f p D p D ∈设为的非空子集,是定义在上的函数定义16.2.60()(),f p f p ε-<0().f p p 则称函数在点连续00,0,(,),p U p D εδδ∀>∃>∀∈⋂若有00(1),,().p D f p p 由定义可知当是的孤立点时函数必在点连续000,()lim ()p p p D f p p f p →当是的聚点时函数在点连续的充分必要条件是存在注00()lim ()=().p p D f p f p →关于集合且2000(2),(,)D R p x y =当为的非空子集时可用的方形邻域来叙述0().f p p 函数在点连续的定义00(),()f p p p f p 若函数在点不连续则称是函数的间断点.0(),.nD R f p D p D ∈设为的非空子集,是定义在上的函数定理16.2.400(){},k f p p D p p 则函数在点连续的充要条件是:对中任意收敛到的点列均有0lim ()=().k k f p f p →∞证明:必要性0()(),f p f p ε-<0(),f p p 若函数在点连续00,0,(,),p U p D εδδ∀>∃>∀∈⋂则有0{},k D p p 对中任意收敛到的点列0,,(,).k N N k N p U p D δ+∃∈∀>∈⋂有,从而由上式有0()().k f p f p ε-<因此0lim ()=().k k f p f p →∞充分性0(),f p p 假若函数在点不连续00()().f p f p ε'-≥0{},k D p p 由此可得中收敛到的点列000,0,(,),p U p D εδδ'∃>∀>∃∈⋂则有0().f p p 因此函数在点连续1,,,k k N kδ+∈=特别地对每一令00()().k f p f p ε-≥0(,),k k p U p D δ∈⋂∃则由上式知,有{}0(()),.k f p f p 但对应的数列却不收敛于这与条件相矛盾().nD R f p D 设为的非空子集,函数在上有定义()f p D 若在上的每容易证明下面的定理.定理16.2.50()(),f p g p p 若函数与在点连续则函数0()()(),()(),()(),(()0)()f p f pg p f p g p f p g p g p g p +-⋅≠0.p 在点也都连续,()f p D 一点都连续则称函数在上连续.定理16.2.600(,),(,)(,),D u x y v x y x y ϕψ==若定义在上的二元函数在点连续00((,),)(,)U u v r f u v 又若定义在上的二元函数00((,),(,))(,)f x y x y x y ϕψ则复合函数在点也连续.证明:00(,)(,).f u v f u v ε-<000,0,(,){(,):,},2r u v u v u u v v εδδδ∀>∃<<∀∈-<-<则有0000((,),)(,)(,),U u v r f u v u v 由上的二元函数在点连续000000(,),(,).u x y v x y ϕψ==设00(,),u v 在点连续00000000(,),(,)(,),(,),(,),u x y v x y x y u x y v x y ϕψϕϕ====又由在点连续000,0,(,){(,):,},x y x y x x y y δηηη>∃>∀∈-<-<对以上的有000(,)(,)(,),x y x y x y u ϕϕϕδ-=-<000(,)(,)(,).x y x y x y v ψψψδ-=-<,于是有0000((,),(,))((,),(,)).f x y x y f x y x y ϕψϕψε-<00,((,),(,))(,)f x y x y x y ϕψ因此复合函数在点连续.定理16.2.700000(,)(,),(,).D u x y x y u x y ϕϕ==若定义在上的二元函数在点连续000(),((,))(,)f u u f x y x y ϕ又若一元函数在点连续则复合函数在点也连续.下面三个定理的证明比较简单,证明略去.定理16.2.8000()(1,2,,),()(1,2,,).i i i x t i n t x x t i n === 若一元函数在点连续设000000121212((,,),)(,,,)(,,),n n n U x x x r n f x x x x x x 又若定义在上的元函数在点连续120((),(),,())n f x t x t x t t 则复合函数在点也连续.定理16.2.9(保序性)000()()(()),n f p p D f p A f p A ∈><若元函数在点连续且00,(,),()(()).p U p D f p A f p A δδ∃>∀∈⋂><则有注(),(),x y ϕψ一元函数均可看成是特殊的二元函数我们可设(,)(),;F x y x y R ϕ=∈(,)(),.G x y y x R ψ=∈0(),x x ϕ若在点连续0,y R ∀∈00(,)()(,).F x y x x y ϕ=即在点连续则0000000lim (,)lim ()()(,),x x x x y y y y F x y x x F x y ϕϕ→→→→===0000(),,(,)()(,).y y x R G x y y x y ψψ∀∈=同理可证,若在点连续则在点连续。
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在D 的边界点 P0 连续
• P0
0, 0, 使得当 PU P0 I D
时, 有 f P f P0 .
D
定理４（有界性定理）
设函数 f P在 有界闭区域 上D连续，则 在 f 上P有 界．D
即存在常数 M 0 使
f P M P D.
都存在 >0, 使得 f U P0 U P0 .
如果在区域Ｄ中每一点都连续，则称 f 在Ｄ
中连续．
４．有界闭区域上连续函数的性质
在一维空间中, 闭区间一定是有界的. 在空间 Rn (n 2) 中, 闭区域不一定有界.
一元连续函数在闭区间上的性质, 推 广到多元函数中应是连续函数在有界闭区 域上的性质.
(x, y)(0, 0) xy
(x,y)(0, 0) xy( xy11)
xy11 lim ( xy11)( xy11)
) xy
(x,y)(0, 0) xy( xy11)
lim
1 1
(x,y)(0, 0) xy11 2
例
求函数 z xy 的间断点. x y
r 0
x0 y0
x2 y2
故函数在点(0, 0)处连续.
例 讨论函数
f
(
x,
y)
x
2
xy
y2
,
x2 y2 0
0,
x2 y2 0
在(0,0)的连续性．
解 取 y kx
lim
x0
x
2
xy
y
2
y0
lim
x0
x2
kx 2 k2
x2
ykx
1
k k
2
其值随k的不同而变化， 极限不存在．
故函数在(0,0)处不连续．
根据连续性求极限
如果f(P)是初等函数 且P0是f(P)的定义域的内点 则
lim f (P) f (P0)
PP0
例例7 求 lim x y (x, y)(1,2) xy
解 函数 f (x, y) x y 是初等函数 它的定义域为 xy
设函数 f P在 闭区域 上D连续，并假定Ｍ 与m分别是 f 在P 上D的最大值和最小值，
则对于任意的 : m M ,
一定有一点 P0 D 使得 f P0 .
例
讨论函数
f
( x,
y)
x3
x
2
y3 y2
,
( x, y) (0,0)
Hale Waihona Puke ,( x, y) (0,0)
４．有界闭区域上连续函数的性质 定理５ 最大(小)值定理
设函数 f P在 有界闭区域 上D连续，则 在 f 上P达 到最D大值和最小值．
即存在点 P1, P2 D , 使
f P f P1, f P2 f P. P D.
４．有界闭区域上连续函数的性质 定理６（介值定理）
D{(x y)|x0 y0}
因为P0(1 2)为D的内点 所以
lim f (x, y) f (1, 2) 3
(x, y)(1,2)
2
例例 8 求 lim xy11 (x, y)(0, 0) xy
解 lim xy11 lim ( xy11)( xy11)
例
求函数 z tan(x2 y2 ) 的间断点.
解 由三角函数知识可知,
所求间断点为
x2 y2 k
2 ( k 0,1, 2, )
y
O
x
同心圆
解 由分母不能为零,
直线 x y 0 上 的一切点均为函 数的间断点.
y
O
D( f )
x
x y 0
多元函数间断点 情形比较复杂
多元函数的间断点可以构成一些 直线、曲线、曲面等, 也可以是 某些点的集合.
例
求函数 z 1 的间断点 .
x2 y2
解 由分母不能为零,
当x2 y2 0时, 函数无定义. 故点 (0, 0) 为函数的间断点.
6-3 多元函数的连续性 1. 多元函数的连续性
多元函数的连续性与一元函数的连续性类似, 与函数的极限密切相关.
定义 设 u f x, y在点 x0, y0 的一个邻域内
有定义,若
lim f
x, yx0 , y0
x, y
f
x0, y0 ,
则称 f x, y 在 x0, y0 点连续.
故函数在(0,0)处连续.
lim f ( x, y) f (0,0),
( x, y )(0,0)
例 讨论函数在点(0, 0) 处的连续性:
f (x, y)
| (y x) x |, x2 y2 0,
x2 y2 0 x2 y2 0,
解 根据函数连续的定义,只需证明
lim f (x, y) 0 .
在(0,0)处的连续性．
解 取 x cos , y sin
f ( x, y) f (0,0)
(sin3 cos3 ) 2 0, ,
2
当 0 x2 y2 时 f ( x, y) f (0,0) 2
若 g x0, y0 0,则 w f x, y / g x, y
在 x0 , y0 点连续．
定理２ (复合函数的连续性)
设z f x, y 在点 x0 ,y0 附近内有定义, 且在 x0 ,y0 连续，
又设 且在
u
z0
g
z 在点 z0 f x0, y0 的附近有定义,
若 u f x, y 在区域Ｄ内有定义且在Ｄ内每一 点都连续，则称 u f x, y 在区域Ｄ内连续
2. 关于二元函数连续性的几个定理
定理1 设 f x, y与 g x, y 在点x0, y0 处连续，
u f x, y g x, y 及 v f x, y g x, y 在点 x0, y0 处也连续．
x0 y0
运用极坐标 x r cos , y r sin ,
x2 y2 r 2 , (x , y) (0, 0) r 0
运用夹逼定理:
0 | ( y x)x | r2 | (sin cos ) cos | 2r
x2 y2
r
lim 2r 0 lim | ( y x) x | 0
点连续，则复合函数
u g f x, y 在 x0,y0 点连续．
定理 3 二元初等函数在其定义域内是连续的.
３．映射的连续性
定义
设f : D Rm是Rn中的区域D到Rm的一个映射, 又设P0 D是区域D中的一点, 称f : D Rm在
P0点是连续的, 如果对于任意给定的 0,