线性规划经典例题及详细解析

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一、 已知线性约束条件，探求线性目标关系最值问题

1. 设变量x 、y 满足约束条件⎪⎩

⎪

⎨⎧≥+-≥-≤-1122y x y x y x ,则y x z 32+=的最大值为 。

二、 已知线性约束条件,探求非线性目标关系最值问题

2. 已知1,10,220x x y x y ≥⎧⎪-+≤⎨⎪--≤⎩

则22

x y +的最小值是 。

3. 已知变量x ，y 满足约束条件+201-70x y x x y -≤⎧⎪

≥⎨⎪+≤⎩

,则 错误! 的取值范围是（ )。 A 。 ［错误!，6] B.（－∞，错误!］∪［6，＋∞）

C.（－∞，3］∪［6，＋∞） D 。 ［3，6］ 三、 研究线性规划中的整点最优解问题

4. 某公司招收男职员x 名，女职员y 名，x 和y 须满足约束条件⎪⎩

⎪

⎨⎧≤≥+-≥-.112,932,22115x y x y x 则1010z x y =+的最大

值是 。

四、 已知最优解成立条件，探求目标函数参数范围问题

5. 已知变量x ，y 满足约束条件14

22x y x y ≤+≤⎧⎨

-≤-≤⎩

。若目标函数z ax y =+(其中0a >）仅在点(3,1)处

取得最大值，则a 的取值范围为 。

6. 已知x 、y 满足以下约束条件5503x y x y x +≥⎧⎪

-+≤⎨⎪≤⎩

,使z=x+a y (a >0) 取得最小值的最优解有无数个，则a 的

值为（ ）

A. －3

B. 3 C 。 －1 D. 1

五、 求可行域的面积

7. 不等式组260302x y x y y +-≥⎧⎪

+-≤⎨⎪≤⎩

表示的平面区域的面积为 （ ）

A. 4

B. 1

C. 5 D 。 无穷大

图1

2 / 6 解析：

1.如图1，画出可行域，得在直线2x—y=2与直线x-y=-1的交点A(3，4)处，目标函数z最大值为18。

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图2

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2. 如图2，只要画出满足约束条件的可行域，而2

2

x y +表示可行域内一点到原点的距离的平方.由图易

知A （1，2）是满足条件的最优解。2

2

x y +的最小值是为5。

点评：本题属非线性规划最优解问题。求解关键是在挖掘目标关系几何意义的前提下，作出可行域，寻求最优解.

3. 错误!是可行域内的点M(x,y ）与原点O （0，0)连线的斜率，当直线

OM 过点（错误!，错误!）时，错误!取得最小值错误!；当直线OM 过点（1，6)时，错误!取得最大值6。 答案A

点评：当目标函数形如y a

z x b

-=

-时，可把z 看作是动点(,)P x y 与定点(,)Q b a 连线的斜率，这样目标函数的最值就转化为PQ 连线斜率的最值。

4. 如图,作出可行域，由101010

z

z x y y x =+⇒=-+

,它表示为斜率为1-，纵截距为

10

z

的平行直线系，要使1010z x y =+最得最大值。当直线1010z x y =+通过119

(,)22

A z 取得最大

值.因为,x y N ∈，故Ａ点不是最优整数解.于是考虑可行域内A 点附近整点B(5，4)、C(4，4),经检验直线经过Ｂ点时，max 90.Z = 点评：在解决简单线性规划中的最优整数解时，可在去掉限制条件求得的最优解的基础上，调整优解法，通过分类讨论获得最优整数解。

5. 如图，作出可行域,由z ax y y ax z =+⇒=-+其表示为斜率为a -，

纵截距为ｚ的平行直线系， 要使目标函数z ax y =+(其中0a >）仅在点(3,1)处取得最大值。则直线y ax z =-+过A 点且在直线

4,3x y x +==（不含界线）之间。即1 1.a a -<-⇒>则a 的取值范

围为(1,)+∞。

点评：本题通过作出可行域,在挖掘a z -与的几何意义的条件下，借助用数形结合利用各直线间的斜率变化关系,建立满足题设条件的a 的不等式组即可求解。求解本题需要较强的基本功，同时对几何动态问题的能力要求较高。

6. 如图，作出可行域,作直线l ：x+ay ＝0，要使目标函数z=x+ay （a >0)

取得最小值的最优解有无数个，则将l 向右上方平移后与直线x+y ＝5重合，故a =1，选D.

x + y = 5

x – y + 5 = 0

O

y

x

x=3

7.如图，作出可行域，△ABC的面积即为所求,由梯形OMBC的面积减

去梯形OMAC的面积即可，选B。

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