2009年广东高考理科数学试题及答案完整版
2009年普通高考(广东卷)及详细答案 word版
2009年普通高等学校招生全国统一考试物 理 （广东A 卷） 本试卷共8页，20小题，满分150分。
考试用时120分钟。
注意事项：1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上，用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。
将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。
2.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
4.作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答。
漏涂、错涂、多涂的，答案无效。
5.考生必须保持答题卡的整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共12小题，每小题4分，共48分。
在每小题给出的四个选项中，有一个或一个以上选项符合题目要求，全部选对的得4分，选不全的得2分，有选错或不答的得0分。
1．物理学的发展丰富了人类对物质世界的认识，推动了科学技术的创新和革命，促进了物质生产的繁荣与人类文明的进步，下列表述正确的是A ．牛顿发现了万有引力定律B ．洛伦兹发现了电磁感应定律C ．光电效应证实了光的波动性D ．相对论的创立表明经典力学已不再适用2．科学家发现在月球上含有丰富的He 32（氦3），它是一种高效、清洁、安全的核聚变燃料，其参与的一种核聚变反应的方程式为He 32+He 32→H 112+He 42，关于He 32聚变下列表述正确的是A ．聚变反应不会释放能量B ．聚变反应产生了新的原子核C ．聚变反应没有质量亏损D ．目前核电站都采用He 32聚变反应发电3．某物体运动的速度图象如图1，根据图象可知 A ．0-2s 内的加速度为1m/s 2B ．0-5s 内的位移为10mC ．第1s 末与第3s 末的速度方向相同D ．第1s 末与第5s 末的速度方向相同4．硅光电池是利用光电效应原理制成的器件,下列表述正确的是A ．硅光电池是把光能转变为电能的一种装置B ．硅光电池中吸收了光子能量的电子都能逸出C ．逸出的光电子的最大初动能与入射光的频率无关D ．任意频率的光照射到硅光电池上都能产生光电效应5．发射人造卫星是将卫星以一定的速度送入预定轨道，发射场一般选择在尽可能靠近赤道的地方，如图2．这样选址的优点是，在赤道附近A ．地球的引力较大B ．地球自转线速度较大图1C ．重力加速度较大D ．地球自转角速度较大6．如图3所示，在一个粗糙水平面上，彼此靠近地放置两个带同种电荷的小物块，由静止释放后，两个物块向相反方向运动，并最终停止，在物块的运动过程中，下列表述正确的是A ．两个物块的电势能逐渐减少B ．物块受到的库仑力不做功C ．两个物块的机械能守恒D ．物块受到的摩擦力始终小于其受到的库仑力7．某缓冲装置可抽象成图4所示的简单模型，图中K 1、轻质弹簧，下列表述正确的是A ．缓冲效果与弹簧的劲度系数无关B ．垫片向右移动时，两弹簧产生的弹力大小相等C ．垫片向右移动时，两弹簧的长度保持相等D ．垫片向右移动时，两弹簧的弹性势能发生改变8．人在地面上用弹簧秤称得其体重为490N ，他将弹簧秤移至电梯内称其体重，t 0至t 3时间段内弹簧秤的示数如图5所示，电梯运行的v-t 图可能是（取电梯向上运动的方向为正）9．图6为远距离高压输电的示意图，关于远距离输电，下列表述正确的是A ．增加输电导线的横截面积有利于减少输电过程中的电能损失B ．高压输电是通过减小输电电流来减少电路的发热损耗C ．在输送电压一定时，输送的电功率越大，输电过程中的电能损失越小D ．高压输电必须综合考虑各种因素，不一定是电压越高越好10．如图7所示，电动势为E 、内阻不计的电源与三个灯泡和三个电阻相接，只合上开关S 1，三个灯泡都能正常工作，如果再合上S 2，则下列表述正确的是A ．电源输出功率减小B ．L 1上消耗的功率增大C．通过R 1上的电流增大 D ．通过R 3上的电流增大11．如图8所示，表面粗糙的斜面固定于地面上，并处于方向垂直纸面向外、强度为B 的t 图3 垫片 图4 图5 t t t匀强磁场中，质量为m 、带电量为+Q 的小滑块从斜面顶端由静止下滑。
2009年全国高考理科数学试题及答案-全国1
（D） 6
解：设切点 P ( x0 , y0 ) ，则切线的斜率为 y
|x x0 2 x0 .由题意有
y0 2 x0 又 y0 x0 2 1 x0
解得: x0 1,
2
b b 2, e 1 ( ) 2 5 . a a
(5) 甲组有 5 名男同学，3 名女同学；乙组有 6 名男同学、2 名女同学。若从甲、乙两组中 各选出 2 名同学，则选出的 4 人中恰有 1 名女同学的不同选法共有( （A）150 种 （B）180 种 （C）300 种 (D)345 种 解: 分两类(1) 甲组中选出一名女生有 C5 C3 C6 225 种选法
o
，动点 P、Q 分别在面α、β内，P 到β的距离为 3 ，
Q 到α的距离为 2 3 ，则 P、Q 两点之间距离的最小值为 （ C ） (A) (B)2 (C) 2 3
Q
(D)4
解:如图分别作 QA 于A, AC l于C , PB 于B,
B C A
PD l于D ，连 CQ, BD则ACQ PBD 60, AQ 2 3, BP 3 ， AC PD 2
。
解:在 ABC 中 AB AC 2 , BAC 120 ,可得 BC 2 3 ,由正弦定理,可得 ABC
外接圆半径 r=2,设此圆圆心为 O ，球心为 O ，在 RT OBO 中，易得球半径 R 故此球的表面积为 4 R 20 .
2
5，
16. 若
4
x
4 ，0 中心对称 3
2
4 13 k k (k Z ) 由此易得 | |min .故选 A 6 3 2 6
2009年高测验题——广东卷(数学理)Word缺答案
绝密★启用前试卷种类： B2009 年一般高等学校招生全国一致考试（广东卷）数学（理科）本试卷共 4 页， 21 小题，满分 150 分。
考试用时 120 分钟。
注意事项： 1．答卷前， 考生务必用黑色笔迹的钢笔或签宇笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。
用2B 铅笔将试卷种类（ B ）填涂在答题卡相应地点上。
将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。
2．选择题每题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点 涂黑；如需变动，用橡皮擦洁净后，再选涂其余答案。
答案不可以答在试卷上。
3．非选择题一定用黑色笔迹的钢笔或署名笔作答，答案一定写在答题卡各题目指定地区内相应地点上；如需变动，先划掉本来的答案，而后再写上新的答案； 禁止使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题组号对应的信息点，再作答。
漏涂、错涂、多涂的，答案无效。
5．考生一定保持答题卡的整齐。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
参照公式：锥体的体积公式 V1sh ，此中 S 是锥体的底面积， h 是锥体的高3一、选择题：本大题共8 小题，每题 5 分，满分40 分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的．１．巳知全集 UR ，会合 M { x 2 x 1 2}和 N { x x 2k 1, k1,2, } 的关系的韦恩（Ｖ enn ）图如图 1 所示，则暗影部分所示的会合的元素共有 A ． ３个 Ｂ．２个 Ｃ．１个Ｄ．无量个２．设 z 是复数， a( z) 表示知足 z n 1 的最小正整数 n ，则对虚数单位 i ， a(i )Ａ．８Ｂ．６Ｃ．４Ｄ．２３．若函数 yf ( x) 是函数 y a x (a 0,且 a 1) 的反函数，其图像经过点( a, a) ，则f (x)Ａ． log 2 xＢ． log 1 xＣ． 1Ｄ． x 222x４．已知等比数列{ a n } 知足 a n 0, n 1, 2, ，且 a 5a2n 522n (n 3)，则当 n 1 时，log 2 a 1 log 2 a 3log 2 a 2n 1Ａ． n(2 n 1)Ｂ． ( n 1)2Ｃ． n 2 Ｄ． (n 1)2-1-/55．给定以下四个命题：①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；③垂直于同向来线的两条直线相互平行；④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．其中，为真命题的是Ａ．①和②Ｂ．②和③Ｃ．.③和④Ｄ．②和④6．一质点遇到平面上的三个力F1, F2 , F3（单位：牛顿）的作用而处于均衡状态．已知F1, F2成600角，且 F1 , F2的大小分别为２和４，则F3的大小为Ａ．６Ｂ．２Ｃ．25Ｄ．277．2010 年广州亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不一样工作，若此中小张和小赵只好从事先两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不一样的选派方案共有Ａ．36 种Ｂ．12种Ｃ．18种Ｄ．48种8．已知甲、乙两车由同一同点同时出发 ,并沿同一路线〈假设为直线）行驶．甲车、乙车的速度曲线分别为 v甲和 v乙（如图2所示）．那么关于图中给定的 t0和 t1，以下判断中必定正确的选项是A．在t1时辰，甲车在乙车前方B．t1时辰后，甲车在乙车后边C．在t0时辰，两车的地点同样D．t0时辰后，乙车在甲车前方二、填空题：本大题共7 小题，考生作答 6 小题，每题 5 分，满分 30 分．（一）必做题（９～１２题）９．随机抽取某产品n 件，测得其长度分别为a1 , a2 ,, a n，则图3 所示的程序框图输出的s，s表示的样本的数字特点是．（注：框图中的赋值符号“=”也能够写成“←” “： =”）１０．若平面向量 a,b 满足a b 1 ， a b 平行于x轴，b ( 2, 1)，则 a．11．巳知椭圆G的中心在座标原点，长轴在x轴上，离心率为 3 ，2且 G 上一点到 G 的两个焦点的距离之和为12，则椭圆G的方程为．-2-/512．已知失散型随机变量X 的散布列如右表．若 EX 0 ， DX 1 ，则 a ， b．（二）选做题（ 13 ~ 15 题，考生只好从中选做两题）x 1 2t,x s, （ s 为 13．（坐标系与参数方程选做题） 若直线 l 1 :2 (t 为参数 ) 与直线 l 2 :y 1y kt. 2s.参数）垂直，则 k ．x 114．（不等式选讲选做题）不等式1 的实数解为．x215． ( 几何证明选讲选做题）如图4，点 A,B,C 是圆 O 上的点， 且AB 4, ACB 450 ，则圆 O 的面积等于．三、解答题：本大题共 6 小题，满分80 分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤，16． ( 本小题满分 12分）已知向量 a (sin , 2)与 b (1,cos ) 相互垂直，此中(0, )．2（ 1）求 sin 和 cos 的值；（ 2）若 sin()10 ，求 cos 的值．,010217．（本小题满分 12分） 依据空气质量指数API （为整数）的不一样，可将空气质量分级以下表:对某城市一年（365天）的空气质量进行监测，获取的API 数据依据区间[0,50],(50,100],(100,150],(150,200],(200,250],(250,300]进行分组，获取频次散布直方图如图 5（ 1）求直方图中 x 的值；（ 2）计算一年屮空气质量分别为良和稍微污染的天数；（ 3）求该城市某一周起码有 2天的空气质量为良或稍微污染的概率 . ( 结果用分数表示．已知-3-/55778125,27128,32738123,365735）1825365182518259125912518．（本小题满分１４分）如图６，已知正方体ABCD A1B1C1 D1的棱长为２，点Ｅ是正方形BCC1B1的中心，点Ｆ、Ｇ分别是棱C1D1, AA1的中点．设点 E1, G1分别是点Ｅ，Ｇ在平面DCC 1D1内的正投影．（１）求以Ｅ为极点，以四边形FGAE 在平面DCC1D1内的正投影为底面界限的棱锥的体积；（２）证明：直线FG1平面FEE1；（３）求异面直线E1G1与 EA 所成角的正统值19．（本小题满分１４分）已知曲线 C : y x2与直线 l : x y 2 0 交于两点 A(x A , y A ) 和 B( x B , y B ) ，且 x A x B．记曲线 C 在点 A 和点 B 之间那一段 L 与线段 AB 所围成的平面地区（含界限）为 D ．设点P(s,t)是 L 上的任一点，且点P 与点 A 和点 B 均不重合．（１）若点 Q 是线段AB的中点，试求线段PQ 的中点M的轨迹方程；（２）若曲线G : x22ax y2 4 y a2510与点D有公共点，试求a的最小值．2520．（本小题满分１４分）-4-/5已知二次函数y g( x) 的导函数的图像与直线y 2x 平行，且 y g( x) 在x 1 处获得极小值 m 1(m0)．设f ( x)g ( x)．x（１）若曲线 y f (x) 上的点P到点 Q(0, 2) 的距离的最小值为 2，求 m 的值；（２） k (k R) 怎样取值时，函数y f ( x)kx 存在零点，并求出零点．21．（本小题满分１４分）已知曲线 C n : x22nx y20(n 1,2, ) ．从点 P( 1,0) 向曲线 C n引斜率为 k n (k n0)的切线l n，切点为 P n ( x n , y n ) ．（１）求数列{ x n} 与{ y n } 的通项公式；（２）证明： x1 x3 x5x2 n 11x n 2 sinxn1x n y n-5-/5。
2009年广东理数B
2009年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（理科）本试卷共4页，21小题，满分150分。
考试用时120分钟。
注意事项：1 •答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签宇笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。
用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。
将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。
2 •选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息 点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。
答案不能答在试卷 上。
3 •非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案； 不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
4 •作答选做题时，请先用 2B 铅笔填涂选做题的题组号对应的信息点，再作答。
漏涂、错涂、多涂的，答案无效。
5 •考生必须保持答题卡的整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
1参考公式：锥体的体积公式 V sh ，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高3一、选择题：本大题共 8小题，每小题5分，满分40分.在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的.1•巳知全集U =R ，集合M 二｛x -2乞x-1乞2｝和N 二｛xx =2k-1,k =1,2川（｝的关系 的韦恩（V enn ）图如图1所示，则阴影部分所示的集合的元素共有 A. 3个 E.2个 C.1个D.无穷个2•设z 是复数，a （z ）表示满足z n =1的最小正整数n ,则对虚数单拦I |1位 i , a （i ）= A.8E.6 C.4 D.23•若函数y=f （x ）是函数y 二a x （a • 0,且a = 1）的反函数，其图像经过点 G a,a ），则f(x)=4 .巳知等比数列｛a n ｝满足a n 0, n=1,2川，且a5 a 2n _^ = 22n （n_3），则当n_1时,Iog 2a 1 Iog 2a 3 川 log 2a 2n_1 =A. log 2 xB. log 1 x2C. D.x 2A. n(2 n-1)B. (n 1)2 c. n2D. (n-1)2数学（理科）试题8第1页（共4页）5 .给定下列四个命题：①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；③垂直于同一直线的两条直线相互平行；④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直. 其中，为真命题的是A.①和② E.②和③ C..③和④ D.②和④6.一质点受到平面上的三个力F|, F2, F3（单位：牛顿）的作用而处于平衡状态. 已知F1, F2成60°角，且F2的大小分别为2和4,则F3的大小为A.6B.2C. 2.5D. 2.17.2010年广州亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有A. 36 种B. 12 种C. 18 种D. 48 种&已知甲、乙两车由同一起点同时出发，并沿同一路线〈假定为直线）行驶.甲车、乙车的速度曲线分别为V甲和V乙（如图2所示）.那么对于图中给定的 ^和屯，下列判断中一定正确的是A. 在t1时刻，甲车在乙车前面B. 匕时刻后，甲车在乙车后面C. 在t°时刻，两车的位置相同D. t0时刻后，乙车在甲车前面二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分.（一）必做题（9〜12题）9 .随机抽取某产品n件，测得其长度分别为a1,a2^l,a n，则图3所示的程序框图输出的S ，表示的样本的数字特征是_______ .（注：框图中的赋值符号“=”也可以写成=”）1 0 .若平面向量a,b满足a b =1 , a b平行于x轴，b =（2，- 1）则a = ____1*13一罷11.巳知椭圆G的中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率为,2垂直，则k =15.（几何证明选讲选做题）如图AB = 4,. ACB 二450，则圆O 的面积等于三、解答题：本大题共 6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证 明过程和演算步骤， 16.（本小题满分12分）已知向量a =（sin ’-2）与b=（1,cosv ）互相垂直，其中- （0/ ）2 °（1） 求 sin 二禾口 cos 二的值;■"10(2)若 sin( v - ) — ,0 ，求 cos 「的值.10 217. （本小题满分12分）根据空气质量指数 API （为整数）的不同，可将空气质量分级如下表 ：对某城市一年（365天）的空气质量进行监测，获得API 数据按照区间[0,50],(50,100],(100,150],(150,200],(200,250],(250,300]进行分组，得到频率分布直 方图如图5API 0 50 51 ~ 100 101 2 150 151 - 200 201 - 250 251 - 300> 300级别 InHIi1112V狀况优良轻微污染 轻度污染 中度污染 中度重污染 重度污染©©（1）求直方图中x 的值；（2 ）计算一年屮空气质量分别为良和轻微污染的天数；（3 ）求该城市某一周至少有 2天的空气质量为良或轻微污染的概率 （结果用分数表示.已知且G 上一点到G 的两个焦点的距离之和为 12,则椭圆G 的方程为 数学（理科）试题 B 第2页（共4页）EX =0 ,12•已知离散型随机变量 X 的分布列如右表•若DX =1,则 a , b.（二）选做题（13 ~ 15题，考生只能从中选做两题）11： 「x =1 _2ty ；kt （t 为参数）与直线1x = s,J y=1—2s. （s 为参数）X -1 0 1 2 Pab1C1214.（不等式选讲选做题）不等式匕1 > 1的实数解为x 2）若直线4，点A, B,C 是圆O 上的点,7 7 3 2 7 3 8 1235 =78125,2 =128，亠亠亠亠，365 =73 5)1825 365 1825 1825 9125 9125数学〈理科)试题B第3页(共4页)18. (本小题满分14分)如图6,已知正方体ABCD -ABGU的棱长为2,点E是正方形BCC1B1的中心，点F、DCC1D1内的正投影.G分别是棱C1D1, AA,的中点.设点E1,G1分别是点E、G在平面(1)求以E为顶点，以四边形FGAE在平面DCC1D1内的正投影为底面边界的棱锥的体积；(2)证明：直线FG _平面FEE1；(3)求异面直线E1G1与EA所成角的正统值19. (本小题满分14分)2已知曲线C : y = x与直线丨：x -y • 2 = 0交于两点A(x A, y A)和B(x B, y B),且x A：：：x B.记曲线C 在点A和点B之间那一段L与线段AB所围成的平面区域(含边界)为D .设点P(s, t)是L上的任一点，且点P与点A和点B均不重合.(1)若点Q是线段AB的中点，试求线段PQ的中点M的轨迹方程；2 2 2 51(2)若曲线G :x2-2ax y-4y a20与点D有公共点，试求a的最小值.2520. (本小题满分14分)已知二次函数y =g(x)的导函数的图像与直线y=2x平行，且y = g(x)在x - -1处取得极小值m -1(m =0).设f (x) = g(x).x(1)若曲线y=f(x)上的点P到点Q(0,2)的距离的最小值为..2，求m的值；(2)k(k • R)如何取值时，函数y = f (x) -kx存在零点，并求出零点.21 .(本小题满分14分)已知曲线G：x2 -2nx • y2 =0(n=1,2,ll|).从点P(-1,0)向曲线G引斜率为心(心0)的切线I n，切点为R(X n, Y n).(1)求数列｛xj与｛y n｝的通项公式;数学（理科）试题E 第4页（共4页）Whe n you are old and grey and full ofsleep,And no ddi ng by the fire, take dow n this book,And slowly read, and dream of the soft lookYour eyes had once, and of their shadows deep;How many loved your mome nts of glad grace,And loved your beauty with love false or true,But one man loved the pilgrim soul in you,And loved the sorrows of your cha nging face;And bending dow n beside the glow ing bars,Murmur, a little sadly, how love fledAnd paced upon the mountains overheadAnd hid his face amid a crowd of stars.The furthest dista nee in the worldIs not betwee n life and deathBut whe n I sta nd in front of you（2）证明:[_ x一x^X1X3m -二 T%Yet you don't know thatI love you.The furthest distance in the worldIs not when I stand in front of youYet you can't see my loveBut when undoubtedly knowing the love from both Yet cannot be together.The furthest distance in the worldIs not being apart while being in loveBut when I plainly cannot resist the yearningYet pretending you have never been in my heart. The furthest distance in the worldIs not struggling against the tidesBut using one's indifferent heartTo dig an uncrossable riverFor the one who loves you.。
2009年广州市普通高中毕业班综合测试(理科)(二)
试卷类型：A2009年广州市普通高中毕业班综合测试（二）数 学（理科）2009.４ 本试卷共4页，21小题， 满分150分。
考试用时120分钟。
注意事项：1．答卷前，考生务必用2B 铅笔在“考生号”处填涂考生号，用黑色字迹钢笔或签字笔将自己所在的市、县/区、学校，以及自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。
用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上。
2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题（或题组号）对应的信息点，再作答。
漏涂、错涂、多涂的，答案无效。
5．考生必须保持答题卡的整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
参考公式：锥体的体积公式Sh V 31=， 其中S 是锥体的底面积， h 是锥体的高． 球的表面积公式24S R π=，其中R 为球的半径．如果事件A 、B 互斥，那么()()()P A B P A P B +=+． 如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么在n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率()()C 1n kk kn nP k p p -=-．一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．如果复数()()22356i m m m m -+-+是纯虚数，则实数m 的值为 A ．0B ．2C ．0或3D ．2或32．已知函数()()()4040.x x x f x x x x ⎧+<⎪=⎨-⎪⎩≥，，， 则函数()f x 的零点个数为A ．1B ．2C ．3D ．43．已知全集U =R ，集合{3A x =≤}7x <，{}27100B x x x =-+<，则() A B R =I ðA ．()(),35,-∞+∞UB ．()[),35,+∞UC ．(][),35,-∞+∞UD ．(](),35,-∞+∞U4．命题“x ∃∈R ，2210x x -+<”的否定是 A ．x ∃∈R ，221x x -+≥0 B ．x ∃∈R ，2210x x -+> C ．x ∀∈R ，221x x -+≥0D ．x ∀∈R ，2210x x -+<1?x <开始 输入x1?x >y =x否是否是 图2结束 输出y y =1 y =x 2-4x +45．已知点()1,0A ，直线l ：24y x =-，点R 是直线l 上的一点，若RA AP =u u u r u u u r，则点P 的轨迹方程为A ．2y x =-B ．2y x =C ．28y x =-D ．24y x =+ 6．函数()cos f x x x =的导函数()f x '在区间[],ππ-上的图像大致是A. B. C. D. 7．现有4种不同颜色要对如图1所示的四个部分进行着色，要求有公共边界的两块不能用同一种颜色，则不同的着色方法共有 A ．24种B ．30种C ．36种D ．48种8．设直线l 与球O 有且只有一个公共点P ，从直线l 出发的两个半平面α、β截球O 的两个截面圆的半径分别为1和3，二面角l αβ--的平面角为150o，则球O 的表面积为A ．4πB ．16πC ．28πD ．112π 二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． （一）必做题（9～12题）9．在空间直角坐标系中，以点()4 1 9A ，，，()101 6B -，，，() 4 3C x ，，为顶点的ABC ∆是以BC 为斜边的等腰直角三角形，则实数x 的值为 ．10．在某项才艺竞赛中，有9位评委，主办单位规定计算参赛者比赛成绩的规则如下：剔除评委中的一个最高分和一个最低分后，再计算其他7位评委的平均分作为此参赛者的比赛成绩．现有一位参赛者所获9位评委一个最高分为86分、一个最低分为45分，若未剔除最高分与最低分时9位评委的平均分为76分，则这位参赛者的比赛成绩为 分． 11．阅读如图2所示的程序框图，若输出y 的值为0， 则输入x 的值为 ．12．在平面内有n (*,n n N ∈≥)3条直线，其中任何两条不平行，任何三条不过同一点，若这n 条直线把平面分成()f n 个平面区域，则()5f 的值是 ，()f n 的表达式是 ．（二）选做题（13～15题，考生只能从中选做两题）图3图113．（几何证明选讲选做题）如图3所示，在四边形ABCD 中，EF BC P ，FG AD P ，则EF FGBC AD+的值为 ． 14．（不等式选讲选做题） 函数()f x ＝12x x -++的最小值为 ．（坐标系与参数方程选做题）直线()24,13x t t y t=-+⎧⎨=--⎩为参数被圆25cos ,15sin x y θθ=+⎧⎨=+⎩（θ为参数）所截得的弦长为 ．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）已知向量2cos 12x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，m ，sin 12x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，n ()x ∈R ，设函数()1f x =-g m n ．（1）求函数()f x 的值域；（2） 已知锐角ABC ∆的三个内角分别为A ，B ，C ，若()513f A =，()35f B =，求()f C 的值．17．（本小题满分12分）在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB BC ==，过1A 、1C 、B 三点的平面截去长方体的一个角后，得到如图4所示的几何体111ABCD AC D -（1）求棱1A A 的长；（2）在线段1BC 上是否存在点P ，使直线1A P 与1C D 垂直，如果存在，求线段1A P 的长，如果不存在，请说明理由．18．（本小题满分14分）已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若m a ，2m a +，1m a +(m ∈断m S ，2m S +，1m S +是否成等差数列，并证明你的结论． 19．（本小题满分14分）一个口袋中装有2个白球和n 个红球（n ≥2且*n ∈N ），每次从袋中摸出两个球（每次摸球后把这两个球放回袋中），若摸出的两个球颜色相同为中奖，否则为不中奖．（1）试用含n 的代数式表示一次摸球中奖的概率p ； （2）若3n =，求三次摸球恰有一次中奖的概率；（3）记三次摸球恰有一次中奖的概率为()f p ，当n 为何值时，()f p 最大？ 20．（本小题满分14分）已知函数()2a f x x x=+，()ln g x x x =+，其中0a >．（1）若1x =是函数()()()h x f x g x =+的极值点，求实数a 的值；（2）若对任意的[]12,1x x e ∈，（e 为自然对数的底数）都有()1f x ≥()2g x 成立，求实数a 的取值范围．21．（本小题满分14分）已知双曲线C ：22221x y a b-=00（，）a b >>，左、右焦点分别为1F 、2F ，在双曲线C 上有一点M ，使12MF MF ⊥，且12MF F ∆的面积为1． （1）求双曲线C 的方程； （2）过点()3,1P 的动直线l 与双曲线C 的左、右两支分别相交于两点A 、B ，在线段AB 上取异于A 、B 的点Q ，满足AP QB AQ PB =g g ．证明：点Q 总在某定直线上．2009年广州市普通高中毕业班综合测试（二）数学（理科）试题参考答案及评分标准说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数．2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本大题考查基本知识和基本运算．共8小题，每小题5分，满分40分．二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，满分30分．其中13~15题是选做题，考生只能选做二题，三题全答的，只计算前二题得分．第12题第1个空3分，第2个空2分.9．2 10．79 11．0 或 2 12．16，222n n ++13．1 14．3 15．6三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题主要考查三角函数性质和三角函数的基本关系等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及运算求解能力）解：（1）()12cos 1sin 1122x x f x ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭g g ，，m n 2cos sin 11sin 22x xx =+-=．∵x ∈R ，∴函数()f x 的值域为[]1 1-，．（2）∵()513f A =，()35f B =，∴5sin 13A =，3sin 5B =．∵,A B 都为锐角，∴12cos 13A ==，4cos 5B ==．∴()()()sin sin sin f C C A B A B π==-+=+⎡⎤⎣⎦sin cos cos sin A B A B =+541235613513565=⨯+⨯=． ∴()f C 的值为5665．17．（本小题主要考查空间线面关系、几何体的表面积与体积等基本知识，考查数形结合的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力） 解：（1）设1A A h =,∵几何体111ABCD AC D -的体积为403，PABCD1A1C 1DQ ∴1111111111403ABCD A C D ABCD A B C D B A B C V V V ---=-=， 即11114033ABCD A B C S h S h ∆⨯-⨯⨯=， 即11402222323h h ⨯⨯-⨯⨯⨯⨯=，解得4h =． ∴1A A 的长为4． （2）在线段1BC 上存在点P ，使直线1A P 与1C D 垂直． 以下给出两种证明方法：方法1：过点1D 作1C D 的垂线交1C C 于点Q ，过点Q 作PQ BC P 交1BC 于点P ．∵11C D D Q ⊥，111C D A D ⊥，1111D Q A D D =I ， ∴1C D ⊥平面11A D Q ．∵1AQ ⊂平面11A D Q ，∴11C D AQ ⊥． ∵1C D PQ ⊥，∴1C D ⊥平面1A PQ ． ∵1A P ⊂平面1A PQ ，∴11C D A P ⊥． 在矩形11CDD C 中，∵11Rt D C Q ∆∽1Rt C CD ∆，∴1111C Q D C CD C C =，即1224C Q =，∴11C Q =． ∵1C PQ ∆∽1C BC ∆，∴1111C P C Q C B C C =，即11425=，∴15C P =．在11A PC ∆中，∵1122AC =，∴111111102cos A C A C P C B ∠==． 由余弦定理，得221111111112cos A P AC C P AC C P AC P =+-⨯⨯⨯∠551029822242102=+-⨯⨯⨯=． ∴在线段1BC 上存在点P ,使直线1A P 与1C D 垂直，且线段1A P 的长为292． 方法2：以点D 为坐标原点，分别以DA ，DC ，1DD 所在的直线为x 轴，y 轴，z 轴建立如图的空间直角坐标系，由已知条件与（1）可知，()10,2,4C ，()12,0,4A ，()0,0,0D ，假设在线段1BC 上存在点()P x y z ，，(0≤x ≤2，2y =，0≤z ≤)4 使直线1A P 与1C D 垂直，过点P 作PQ BC ⊥交BC 于点Q ．由BPQ ∆∽1BC C ∆，得1PQ BQC C BC=， ∴124422BQ xPQ C C x BC -=⨯=⨯=-． ∴42z x =-． ∴()12 2 2A P x x =--u u u r ，，，()10 2 4C D =--u u u u r ，，． ∵11A P C D ⊥，∴110A P C D =u u u r u u u u rg， 即()()2 2 20 2 40x x ----=g ，，，，，∴12x =． 此时点P 的坐标为1 2 32⎛⎫⎪⎝⎭，，，在线段1BC 上． ∵13 2 12A P ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭u u u r ，，，∴1A P ==u u u r ． ∴在线段1BC 上存在点P ，使直线1A P 与1C D 垂直，且线段1AP 的长为2． 18．（本小题主要考查等差数列、等比数列的通项公式与前n 项和公式等基础知识，考查化归与转化、分类与整合的数学思想方法，以及推理论证能力和运算求解能力）解：设等比数列{}n a 的首项为1a ，公比为q ()10,0a q ≠≠， 若m a ，2m a +，1m a +成等差数列， 则22m a +=m a +1m a +． ∴111112m m m a qa q a q +-=+．∵10a ≠，0q ≠，∴2210q q --=． 解得1q =或12q =-． 当1q =时，∵1m S ma =，()111m S m a +=+，()212m S m a +=+，∴212m m m S S S ++≠+．∴当1q =时，m S ，2m S +，1m S +不成等差数列．当12q =-时，m S ，2m S +，1m S +成等差数列．下面给出两种证明方法． 证法1：∵()()()1211222m m m m m m m m m S S S S S a S a a ++++++-=++-++122m m a a ++=-- 112m m a a q ++=-- 11122m m a a ++⎛⎫=--- ⎪⎝⎭0=， ∴212m m m S S S ++=+．∴当12q =-时，m S ，2m S +，1m S +成等差数列． 证法2：∵212211212412113212m m m a S a +++⎡⎤⎛⎫--⎢⎥ ⎪⎡⎤⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦==--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦+， 又1111111111222112113221122m m m m m m a a S S a +++⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫----⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎡⎤⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎛⎫⎛⎫⎣⎦⎣⎦+=+=----⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦++ 221211242322m m a ++⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-⨯-+⨯-⎢⎥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦2141132m a +⎡⎤⎛⎫=--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦， ∴212m m m S S S ++=+．∴当12q =-时，m S ，2m S +，1m S +成等差数列．19．（本小题主要考查等可能事件、互斥事件和独立重复试验等基础知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及推理论证能力和运算求解能力）解：（1）∵一次摸球从2n +个球中任选两个，有22C n +种选法，任何一个球被选出都是等可能的，其中两球颜色相同有222C C n +种选法，∴一次摸球中奖的概率2222222C C 2C 32n n n n p n n ++-+==++． （2）若3n =，则一次摸球中奖的概率25p =， 三次摸球是独立重复试验，三次摸球恰有一次中奖的概率是123354(1)C (1)125P p p =⋅⋅-=． （3）设一次摸球中奖的概率为p ，则三次摸球恰有一次中奖的概率为()()213233(1)C 1363f p P p p p p p ==⋅⋅-=-+，01p <<，∵()()()291233131f p p p p p '=-+=--，∴()f p 在10 3⎛⎫ ⎪⎝⎭，上为增函数，在1 13⎛⎫ ⎪⎝⎭，上为减函数．∴当13p =时，()f p 取得最大值． ∵2221323n n p n n -+==++(n ≥)*2,n ∈N 且， 解得2n =．故当2n =时，三次摸球恰有一次中奖的概率最大．20．（本小题主要考查函数的性质、函数与导数等知识，考查化归与转化、分类与整合的数学思想方法，以及抽象概括能力、推理论证能力和运算求解能力）（1）解法1：∵()22ln a h x x x x=++，其定义域为()0 +∞，， ∴()2212a h x x x'=-+．∵1x =是函数()h x 的极值点，∴()10h '=，即230a -=．∵0a >，∴a =经检验当a =1x =是函数()h x 的极值点，∴a =解法2：∵()22ln a h x x x x =++，其定义域为()0+∞，， ∴()2212a h x x x'=-+．令()0h x '=，即22120a x x-+=，整理，得2220x x a +-=．∵2180a ∆=+>，∴()0h x '=的两个实根114x -=（舍去），214x -+=，当x 变化时，()h x ，()h x '的变化情况如下表：1=，即23a =，∵0a >，∴a = （2）解：对任意的[]12,1x x e ∈，都有()1f x ≥()2g x 成立等价于对任意的[]12,1x x e ∈，都有()min f x ⎡⎤⎣⎦≥()max g x ⎡⎤⎣⎦．当x ∈［1，e ］时，()110g x x'=+>．∴函数()ln g x x x =+在[]1e ，上是增函数．∴()()max1g x g e e ==+⎡⎤⎣⎦．∵()()()2221x a x a a f x x x +-'=-=，且[]1,x e ∈，0a >． ①当01a <<且x ∈［1，e ］时，()()()20x a x a f x x +-'=>，∴函数()2a f x x x=+在［1，e ］上是增函数，∴()()2min 11f x f a ==+⎡⎤⎣⎦.由21a +≥1e +，得a又01a <<，∴a 不合题意．②当1≤a ≤e 时， 若1≤x ＜a ，则()()()20x a x a f x x +-'=<，若a ＜x ≤e ，则()()()2x a x a f x x+-'=>． ∴函数()2a f x x x=+在[)1,a 上是减函数，在(]a e ，上是增函数．∴()()min 2f x f a a ==⎡⎤⎣⎦.由2a ≥1e +，得a ≥12e +， 又1≤a ≤e ，∴12e +≤a ≤e ． ③当a e >且x ∈［1，e ］时，()()()2x a x a f x x+-'=<，∴函数()2a f x x x=+在[]1e ，上是减函数．∴()()2min a f x f e e e ==+⎡⎤⎣⎦.由2a e e+≥1e +，得a又a e >，∴a e >．综上所述，a 的取值范围为1,2e +⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．21．（本小题主要考查双曲线、解方程和直线与圆锥曲线的位置关系等知识，考查化归与转化、数形结合的数学思想方法，以及抽象概括能力、推理论证能力和运算求解能力）（1）解：∵双曲线22221x y a b-=()0,0a b >>∵12MF MF ⊥，且12MF F ∆的面积为1．∴1212112MF F S MF MF ∆==，即122MF MF =． ∵122MF MF a -=，∴222112224MF MF MF MF a -+=． ∴221244F F a -=．∴()222444a b a +-=，∴21b =． ② 将②代入①，得23a =． ∴双曲线C 的方程为2213x y -=． （2）解法1：设点Q A B ，，的坐标分别为（x y ，），（11x y ，），（22x y ，），且1x ＜2x ＜3，又设直线l 的倾斜角为θ2πθ⎛⎫≠ ⎪⎝⎭，分别过点P Q A B ，，，作x 轴的垂线，垂足分别为1111P Q A B ，，，， 则 1113cos cos A P x AP θθ-＝＝，112cos cos PB x PB θθ-３＝＝ ， 112cos cos Q B x x QB θθ-=＝，111-cos cos AQ x x AQ θθ=＝， ∵AP QB AQ PB g g ＝，∴（3-1x ）（2x x -）＝123x x x --（）（），即[]1212126()3()2x x x x x x x -+=+-. ③ 设直线l 的方程为1(3)y k x -=-， ④将④代入223x y -＝1中整理，得 （1-3222)6133(13)10k x k k x k ⎡⎤----+=⎣⎦（）.依题意1x ，2x 是上述方程的两个根，且2130k -≠， ∴()()1222122613133131.13k k x x k k x x k -⎧+=⎪-⎪⎨⎡⎤-+⎪⎣⎦=-⎪-⎩， ⑤将⑤代入③整理，得2(3)x k x -=-. ⑥ 由④、⑥消去k 得21x y -=-，这就是点Q 所在的直线方程. ∴点Q （x y ，）总在定直线 10x y --=上.解法2：设点Q ，A B ，的坐标分别为,（x ）y ，11,（）x y ，22（，）x y ，且1x ＜2x ＜3， ∵AP QB AQ PB g g ＝， ∴AP AQ PB QB＝－，即112233x x x x x x --=---， 即[]1212126()3()2x x x x x x x -+=+-.以下同解法1.解法3：设点Q A B ，，的坐标分别为1122() () ()x y x y x y ，，，，，， 由题设知 AP PB AQ QB ，，，均不为零，记AP AQ PB QB λ==． ∵过点P 的直线l 与双曲线C 的左、右两支相交于两点A ，B ，∴0λ>且1λ≠．∵A P B Q ，，，四点共线， ∴ AP PB AQ QB λλ=-=u u u r u u u r u u u r u u u r ，． 即()()()()112211223,13,1,,,.x y x y x x y y x x y y λλ--=---⎧⎪⎨--=--⎪⎩ ∴1212311x x x x x λλλλ-⎧=⎪⎪-⎨+⎪=⎪+⎩③ 由③消去λ，得[]1212126()3()2x x x x x x x -+=+-. 以下同解法1.解法4：设点Q A B ，，的坐标分别为1122() () ()x y x y x y ，，，，，， 由题设知 AP PB AQ QB ，，，均不为零，记AP PB AQ QBλ==． ∵过点P 的直线l 与双曲线C 的左、右两支分别相交于两点A B 、， ∴0λ>且1λ≠． ∵A P B Q ，，，四点共线， 设12 PA AQ PB BQ λλ==u u u r u u u r u u u r u u u r ，，则120λλ+=．即()()()()11111222223,1,,3,1,.x y x x y y x y x x y y λλ--=--⎧⎪⎨--=--⎪⎩ ∴111111311.1x x y y λλλλ+⎧=⎪+⎪⎨+⎪=⎪+⎩， 2222223,11.1x x y y λλλλ+⎧=⎪+⎪⎨+⎪=⎪+⎩∵点11()A x y ，，22()B x y ，在双曲线C 上， ∴22313311i i i i x y λλλλ⎛⎫⎛⎫++-= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，其中1 2i =，． ∴12λλ，是方程22313311x y λλλλ++⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭的两个根. 即12 λλ，是方程()()222336130x y x y λλ--+--+=的两个根． ∵120λλ+=，且22330x y --≠， ∴()122261033x y x y λλ--+=-=--，即10x y --=． ∴点()Q x y ，总在定直线10x y --=上．。
特别聚焦_2009年广东高考数学_理科卷_
面区域（含边界）为D． 设点P（s，t）是
L上的任一点， 且点P与点A和点B均
不重合．
（Ⅰ）若 点 Q 是 线 段 AB的 中 点 ，试
求线段PQ的中点M的轨迹方程；
（Ⅱ）若 曲 线G：x2－2ax+y2－4y+a2+
51 =0与D有公共点，试求a的最小值． 25
失分原因：不习惯用数形结合思
维来考虑问题，难于审明题意，不能
（Ⅰ）忽 略 表 格 中 的 “鬼 头 ”，一 边 看文字表述和表 格 ，一 边 看 对 应 的 频 率分布直方图，可知6个小长方形的 面积和 为1，调 用 参 考 数 据 ，不 难 得x 的值为 119 ．
18250 （Ⅱ）顺 着 思 路 ，可 求 得 空 气 质 量 分别为良和轻微污染的天数分别为 119天、100天． （Ⅲ）求 出 一 年 之 中 的 任 何 一 天 空气质量为良或轻微污染的概率后， 分 别 计 算 一 周 中 至 少 有 0天 、1天 、2天 的空气质量为良或轻微污染的概率， 可发现它属于二项分布型的概率模 型，用间接法求得结果为 76653 ．
频率 组距
x 2 365 7 1825
3
1825 8
9125 0
API 50 100 150 200 250 300
图1
（Ⅰ）求直方图中x的值；
（Ⅱ）计 算 一 年 中 空 气 质 量 分 别
为良和轻微污染的天数；
（Ⅲ）求 该 城 市 某 一 周 至 少 有 2 天
的空气质量为良或轻微污染的概率． （结果用分数表示． 已知57=78125，27= 128 ， 3 + 2 + 7 + 3 +
概率与统计第7题2010年广州亚运会组委会要从小张小赵小李小罗小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译导游礼仪司机四项不同工作若其中小张和小赵只能从事前两项工作其余三人均能从事这四项工作则不同的选派方案共有a
2009年高考广东数学(理科)B卷试题及参考答案(估分)-中大网校
2009年高考广东数学(理科)B卷试题及参考答案(估分)总分：150分及格：90分考试时间：120分一、选择题：本卷共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分。
(1)(2)(3)(4)(5)选做题（{TSE}题，考生只能从中选做两题）(6)(7)三、解答题：本大题共6小题，满分80分。
解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤。
(1)(2)(3)(4)(5)(6)答案和解析一、选择题：本卷共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
(1) :暂无答案(2) :暂无答案(3) :暂无答案(4) :暂无答案(5) :暂无答案(6) :暂无答案(7) :暂无答案(8) :暂无答案二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分。
(1) :暂无答案(2) :暂无答案(3) :暂无答案(4) :暂无答案(5) :暂无答案(6) :暂无答案(7) :暂无答案三、解答题：本大题共6小题，满分80分。
解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤。
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2009年广东高考理科数学试题及答案完整版
绝密★启用前 试卷类型：B2009年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（理科）本试卷共4页，21小题，满分150分。
考试用时120分钟。
注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签宇笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。
用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。
将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。
2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。
答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题组号对应的信息点，再作答。
漏涂、错涂、多涂的，答案无效。
5．考生必须保持答题卡的整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
参考公式：锥体的体积公式13V sh =，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． １．巳知全集U R =，集合{212}M x x =-≤-≤和{21,1,2,}N x x k k ==-=L 的关系的韦恩（Ｖenn ）图如图1所示，则阴影部分所示的集合的元素共有 A ．３个 Ｂ．２个 Ｃ．１个 Ｄ．无穷个２．设z 是复数，()a z 表示满足1nz =的最小正整数n ，则对虚数单位i ，()a i =Ａ．８ Ｂ．６ Ｃ．４ Ｄ．２３．若函数()y f x =是函数(0,1)xy a a a =>≠且的反函数，其图像经过点,)a a ，则()f x =Ａ．2log x Ｂ．12log x Ｃ．12xＤ．2x 3。
４．巳知等比数列{}n a 满足0,1,2,n a n >=L ，且25252(3)nn a a n -⋅=≥，则当1n ≥时，2123221log log log n a a a -+++=LＡ．(21)n n - Ｂ．2(1)n + Ｃ．2n Ｄ．2(1)n - 45．给定下列四个命题：①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行； ②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直； ③垂直于同一直线的两条直线相互平行；④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．其中，为真命题的是Ａ．①和② Ｂ．②和③ Ｃ．.③和④ Ｄ．②和④6．一质点受到平面上的三个力123,,F F F （单位：牛顿）的作用而处于平衡状态．已知12,F F 成060角，且12,F F 的大小分别为２和４，则3F 的大小为Ａ．６ Ｂ．２ Ｃ．25 Ｄ．277．2010年广州亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有Ａ．36种 Ｂ．12种 Ｃ．18种 Ｄ．48种8．已知甲、乙两车由同一起点同时出发,并沿同一路线〈假定为直线）行驶．甲车、乙车的速度曲线分别为v v 乙甲和（如图2所示）．那么对于图中给定的01t t 和，下列判断中一定正确的是A ．在1t 时刻，甲车在乙车前面B ．1t 时刻后，甲车在乙车后面C ．在0t 时刻，两车的位置相同D ．0t 时刻后，乙车在甲车前面二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． （一）必做题（９～１２题）９．随机抽取某产品n 件，测得其长度分别为12,,,n a a a L ，则图3所示的程序框图输出的s = ，表示的样本的数字特征是 ．（注：框图中的赋值符号“=”也可以写成“←”“：=”）１０．若平面向量,a b 满足1a b +=，a b +平行于x 轴，(2,1)b =-，则a = ．3，且11．巳知椭圆G 的中心在坐标原点，长轴在x 轴上，离心率为G 上一点到G 的两个焦点的距离之和为12，则椭圆G 的方程为_________________ ．12．已知离散型随机变量X 的分布列如右表．若0EX =，1DX =，则a = ，b = ．（二）选做题（13 ~ 15题，考生只能从中选做两题） 13．（坐标系与参数方程选做题）若直线112,:()2.x t l t y kt =-⎧⎨=+⎩为参数与直线2,:12.x s l y s =⎧⎨=-⎩（s 为参数）垂直，则k = ．14．（不等式选讲选做题）不等式112x x +≥+的实数解为 ．F 1F 2F 3OA BC D15．(几何证明选讲选做题）如图4，点,,A B C 是圆O 上的点， 且04,45AB ACB =∠=，则圆O 的面积等于 ．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤，16．(本小题满分12分）已知向量(sin ,2)(1,cos )a b θθ=-=与互相垂直，其中(0,)2πθ∈．（1）求sin cos θθ和的值； （2）若10sin(),02πθϕϕ-=<<，求cos ϕ的值．17．（本小题满分12分）根据空气质量指数API （为整数）的不同，可将空气质量分级如下表:对某城市一年（365天）的空气质量进行监测，获得API 数据按照区间[0,50],(50,100],(100,150],(150,200],(200,250],(250,300]进行分组，得到频率分布直方图如图5 （1）求直方图中x 的值；（2）计算一年中空气质量分别为良和轻微污染的天数； （3）求该城市某一周至少有2天的空气质量为良或轻微污染的概率.(结果用分数表示．已知1282,78125577==,9125123912581825318257365218253=++++, 573365⨯=）18．（本小题满分１４分） 如图６，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为２，点Ｅ是正方形11BCC B 的中心，点Ｆ、Ｇ分别是棱111,C D AA 的中点．设点11,E G 分别是点Ｅ、Ｇ在平面11DCC D 内的正投影．（１）求以Ｅ为顶点，以四边形FGAE 在平面11DCC D 内 的正投影为底面边界的棱锥的体积；（２）证明：直线11FG FEE ⊥平面； （３）求异面直线11E G EA 与所成角的正弦值 19．（本小题满分１４分）已知曲线2:C y x =与直线:20l x y -+=交于两点(,)A A A x y 和(,)B B B x y ，且A B x x <．记曲线C 在点A 和点B 之间那一段L 与线段AB 所围成的平面区域（含边界）为D ．设点(,)P s t 是L 上的任一点，且点P 与点A 和点B 均不重合．（１）若点Q 是线段AB 的中点，试求线段PQ 的中点M 的轨迹方程；（２）若曲线22251:24025G x ax y y a -+-++=与D 有公共点，试求a 的最小值．20．（本小题满分１４分）已知二次函数()y g x =的导函数的图像与直线2y x =平行，且()y g x =在1x =-处取得极小值1(0)m m -≠．设()()g x f x x=． （１）若曲线()y f x =上的点P 到点(0,2)Q，求m 的值； （２）()k k R ∈如何取值时，函数()y f x kx =-存在零点，并求出零点． 21．（本小题满分１４分）已知曲线22:20(1,2,)n C x nx y n -+==K ．从点(1,0)P -向曲线n C 引斜率为(0)n n k k >的切线n l ，切点为(,)n n n P x y ．（１）求数列{}{}n n x y 与的通项公式；（２）证明：13521n n nxx x x x y -⋅⋅⋅⋅<<L答 案1.解：}31|{≤≤-=x x M ，},5,3,1{Λ=N ，所以 }3,1{=N M I 故，选B2. 解：因为12-=i ，i i -=3， 14=i ，所以满足1=ni 的最小正整数n 的值是4。
2009年广东省广州市普通高中毕业班综合测试理科数学试题广州一测及参考答案
2009年广州市普通高中毕业班综合测试(一)数 学(理 科) 2009.3本试卷共4页,21小题, 满分150分。
考试用时120分钟。
注意事项:1.答卷前,考生务必用2B 铅笔在“考生号”处填涂考生号,用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的市、县/区、学校,以及自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡。
用2B 铅笔将试卷类型(A)填涂在答题卡相应位置上。
2.选择题每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案,答案不能答在试卷上。
3. 非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
4.作答选做题时,请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点,再作答。
漏涂、错涂、多涂的,答案无效。
5.考生必须保持答题卡的整洁。
考试结束后,将试卷和答题卡一并交回。
参考公式:锥体的体积公式Sh V 31=, 其中S 是锥体的底面积, h 是锥体的高. 如果事件A 、B 互斥,那么()()()P A B P A P B +=+.如果事件A 、B 相互独立,那么()()()B P A P AB P ⋅=.一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,满分40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.函数()x x f 2sin =的最小正周期为A .π B.π2 C. π3 D. π42.已知z =i(1+i)(i 为虚数单位),则复数z 在复平面上所对应的点位于 A .第一象限 B .第二象限 C .第三象限 D .第四象限3.某商场在国庆黄金周的促销活动中,对10月2号9时至14时 的销售额进行统计,其频率分布直方图如图1所示.已知9时 至10时的销售额为2.5万元,则11时至12时的销售额为 A . 6万元 B . 8万元C . 10万元D .12万元4.已知过()a A ,1-、()8,a B 两点的直线与直线012=+-y x 平行,则a 的值为A. 10-B. 17C. 5D. 25.阅读图2的程序框图(框图中的赋值符号“=”也可以写成“←”或“:=”),若输出的S 的值等于16,那么在程序框图中的判断框内应填写的条件是A .5>i ? B. 6>i ?C. 7>i ?D. 8>i ?6.已知p :关于x 的不等式022>-+a ax x 的解集是R ,q :01<<-a ,则p 是q 的A .充分非必要条件B .必要非充分条件C .充分必要条件D .既非充分又非必要条件7.在()n n nx a x a x a x a a x +⋅⋅⋅++++=-3322101中,若0252=+-n a a ,则自然数n 的值是A.7B.8C.9D.108.在区间[]1,0上任意取两个实数b a ,,则函数()b ax x x f -+=321在区间[]1,1-上有且仅 一个零点的概率为 A.81 B.41C.43D.87二、填空题:本大题共7小题,考生作答6小题,每小题5分,满分30分.(一)必做题(9～12题)9. 若()22log 2=+a ,则=a3 .10.若⎰ax 0d x =1, 则实数a 的值是 .11.一个几何体的三视图及其尺寸(单位:cm)如图3所示, 则该几何体的侧面积为 cm 2.12.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,对任意∈n N *都有3132-=n n a S , 且91<<k S (∈k N *),则1a 的值为 ,k 的值为 .(二)选做题(13～15题,考生只能从中选做两题) 13.(坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中,直线24sin =⎪⎭⎫⎝⎛+πθρ被圆4=ρ截得的弦长为__ .14.(几何证明选讲选做题)已知PA 是圆O (O 为圆心)的切线,切点为A ,PO 交圆O 于C B , 两点,︒=∠=30,3PAB AC ,则线段PB 的长为 .15.(不等式选讲选做题)已知∈c b a ,,R ,且432,2222=++=++c b a c b a ,则实数a 的取值范围为_____________.三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16.(本小题满分12分)已知△ABC 的内角C B A ,,所对的边分别为,,,c b a 且53cos ,2==B a . (1)若4=b , 求A sin 的值;(2) 若△ABC 的面积,4=∆ABC S 求c b ,的值.17.(本小题满分14分)甲、乙两名同学参加一项射击游戏,两人约定,其中任何一人每射击一次,击中目标得2分,未击中目标得0分. 若甲、乙两名同学射击的命中率分别为53和p , 且甲、乙两人各射击一次所得分数之和为2的概率为209.假设甲、乙两人射击互不影响. (1)求p 的值；(2)记甲、乙两人各射击一次所得分数之和为ξ,求ξ的分布列和数学期望.18. (本小题满分14分)如图4, 在三棱锥ABC P -中,⊥PA 平面ABC ,AC AB ⊥,F E D ,,分别是棱PC PB PA ,,的中点,连接EF DF DE ,,.(1) 求证: 平面//DEF 平面ABC ;(2) 若2==BC PA , 当三棱锥ABC P -的体积最大时, 求二面角D EF A --的平面角的余弦值.图419.(本小题满分12分)某车间有50名工人,要完成150件产品的生产任务,每件产品由3个A 型零件和1个B 型零件配套组成.每个工人每小时能加工5个A 型零件或者3个B 型零件,现在把这些工人分成两组同时工作(分组后人数不再进行调整),每组加工同一种型号的零件.设加工A 型零件的工人人数为x 名(∈x N *).(1)设完成A 型零件加工所需时间为()x f 小时,写出()x f 的解析式； (2)为了在最短时间内完成全部生产任务,x 应取何值？20.(本小题满分14分)已知动圆C 过点()0,2-A ,且与圆()642:22=+-y x M 相内切.(1)求动圆C 的圆心的轨迹方程；(2)设直线:l y k x m =+(其中,)k m Z ∈与(1)中所求轨迹交于不同两点B ,D ,与双曲线112422=-y x 交于不同两点,E F ,问是否存在直线l ,使得向量DF BE +=0,若存在,指出这样的直线有多少条？若不存在,请说明理由.21. (本小题满分14分)已知数列{}n a 的相邻两项1,+n n a a 是关于x 的方程022=+-n n b x x ∈n (N )*的两根,且11=a .(1) 求数列{}n a 和{}n b 的通项公式;(2) 设n S 是数列{}n a 的前n 项和, 问是否存在常数λ,使得0>-n n S b λ对任意∈n N *都成立,若存在, 求出λ的取值范围; 若不存在, 请说明理由.2009年广州市普通高中毕业班综合测试(一)数学(理科)试题参考答案及评分标准说明:1.参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力,并给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与参考答案不同,可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数.2.对解答题中的计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度,可视影响的程度决定后继部分的得分,但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误,就不再给分.3.解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数.4.只给整数分数,选择题和填空题不给中间分.一、选择题:本大题主要考查基本知识和基本运算.共8小题,每小题5分,满分40分.题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A B C D A C B D二、填空题:本大题主要考查基本知识和基本运算.本大题共7小题,每小题5分,满分30分.其中13～15是选做题,考生只能选做两题. 第12题第一个空2分,第二个空3分.9.9 10.2 11.80 12.-1；4 13.34 14.1 15. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,112三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16.(本小题满分12分)(本小题主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函数的基本关系等基础知识,考查运算求解能力)解: (1)∵053cos >=B , 且π<<B 0, ∴ 54cos 1sin 2=-=B B .由正弦定理得BbA a sin sin =. ∴524542sin sin =⨯==b B a A . (2)∵,4sin 21==∆B ac S ABC∴454221=⨯⨯⨯c .∴ 5=c .由余弦定理得B ac c a b cos 2222-+=,FEDAP ∴175352252cos 22222=⨯⨯⨯-+=-+=B ac c a b .17.(本小题满分14分)(本小题主要考查概率、随机变量的分布列及其数学期望等基础知识,考查运算求解能力)解:(1)记“甲射击一次,击中目标”为事件A ,“乙射击一次,击中目标”为事件B ,“甲射击一次,未击中目标”为事件A ,“乙射击一次,未击中目标”为事件B , 则()()52,53==A P A P ,()()p B P p B P -==1,. 依题意得()209531153=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-p p , 解得43=p . 故p 的值为43.(2)ξ的取值分别为,4,2,0.()()()()10141520=⨯=⋅===B P A P B A P P ξ, ()2092==ξP , ()()()()20943534=⨯=⋅===B P A P AB P P ξ, ξ∴的分布列为ξ0 2 4p101 209 209∴E .1027209420921010=⨯+⨯+⨯=ξ18.(本小题满分14分)(本小题主要考查空间中线面的位置关系、空间的角、几何体体积等基础知识,考查空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力) (1) 证明: ∵E D ,分别是棱PB PA ,的中点,∴DE 是△PAB 的中位线.∴AB DE //. ∵⊄DE 平面⊂AB ABC ,平面,ABC∴//DE 平面ABC . 同理可证 //DF 平面ABC .∵⊂=DE D DF DE , 平面DEF ,⊂DF 平面DEF ,∴平面DEF // 平面ABC .(2) 求三棱锥ABC P -的体积的最大值, 给出如下两种解法: 解法1: 由已知⊥PA 平面ABC , AB AC ⊥,2==BC PA ∴4222==+BC AC AB .∴三棱锥ABC P -的体积为ABC S PA V ∆⨯⨯=31AC AB PA ⨯⨯⨯⨯=2131 AC AB ⨯⨯⨯=26123122AC AB +⨯≤2312BC ⨯=32=. 当且仅当AC AB =时等号成立,V 取得最大值,其值为32, 此时AC AB =2=.解法2:设x AB =,在R t △ABC 中,2224x AB BC AC -=-=()20<<x .∴三棱锥ABC P -的体积为ABC S PA V ∆⨯⨯=31AC AB PA ⨯⨯⨯⨯=2131 2431x x -= 42431x x -=()423122+--=x . ∵40,202<<<<x x ,GFEDCBAP∴ 当22=x ,即2=x 时,V 取得最大值,其值为32,此时2==AC AB .求二面角D EF A --的平面角的余弦值, 给出如下两种解法: 解法1:作EF DG ⊥,垂足为G , 连接AG .∵ ⊥PA 平面ABC ,平面//ABC 平面DEF , ∴ ⊥PA 平面DEF .∵ ⊂EF 平面DEF ,∴ ⊥PA EF .∵ D PA DG = ,∴ ⊥EF 平面PAG . ∵⊂AG 平面PAG , ∴⊥EF AG .∴ AGD ∠是二面角D EF A --的平面角. 在R t △EDF 中,121,2221=====BC EF AB DF DE , ∴21=DG . 在R t △ADG 中,2541122=+=+=DG AD AG , 552521cos ===∠AG DG AGD . ∴二面角D EF A --的平面角的余弦值为55. 解法2:分别以AP AC AB ,,所在直线为x 轴, y 轴, z 轴,建立如图的空间直角坐标系xyz A -,则()()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1,22,0,1,0,22,1,0,0,0,0,0F E D A . ∴⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛=0,22,22,1,0,22.设n ()z y x ,,=为平面AEF 的法向量,∴⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅.0,0EF n n即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=+.02222,022y x z x令2=x , 则1,2-==z y .∴n ()1,2,2-=为平面AEF 的一个法向量.∵平面DEF 的一个法向量为()100-=,,DA ,∴()()()5511221222=⨯-++==n cos . ∴二面角D EF A --的平面角的余弦值为55. 19.(本小题满分12分)(本小题主要考查函数最值、不等式、导数及其应用等基础知识,考查分类与整合的数学思想方法,以及运算求解能力和应用意识)解:(1)生产150件产品,需加工A 型零件450个,则完成A 型零件加工所需时间()x f ∈==x xx (905450N *,且)491≤≤x . (2)生产150件产品,需加工B 型零件150个,则完成B 型零件加工所需时间()x g ()∈-=-=x xx (5050503150N *,且)491≤≤x .设完成全部生产任务所需时间为()x h 小时,则()x h 为()x f 与()x g 的较大者. 令()()x g x f ≥,即xx -≥505090, 解得71321≤≤x . 所以,当321≤≤x 时,()()x g x f >；当4933≤≤x 时,()()x g x f <.故()()()⎪⎩⎪⎨⎧≤≤∈-≤≤∈=4933,,5050321,,90**x N x xx N x x x h .当321≤≤x 时,()0902'<-=x x h ,故()x h 在[]32,1上单调递减, 则()x h 在[]32,1上的最小值为()1645329032==h (小时)；当4933≤≤x 时,()()050502'>-=x x h ,故()x h 在[]49,33上单调递增,则()x h 在[]49,33上的最小值为()175033505033=-=h (小时)；()()3233h h > ,∴()x h 在[]49,1上的最小值为()32h .32=∴x .答:为了在最短时间内完成生产任务,x 应取32.20.(本小题满分14分)(本小题主要考查圆、椭圆、直线等基础知识和数学探究,考查数形结合、分类与整合的数学思想方法,以及推理论证能力、运算求解能力和创新意识) 解:(1)圆()642:22=+-y x M , 圆心M 的坐标为()0,2,半径8=R .∵R AM <=4,∴点()0,2-A 在圆M 内. 设动圆C 的半径为r ,圆心为C ,依题意得CA r =,且r R CM -=,即AM CA CM >=+8. ∴圆心C 的轨迹是中心在原点,以M A ,两点为焦点,长轴长为8的椭圆,设其方程为()012222>>=+b a b y a x , 则2,4==c a . ∴12222=-=c a b .∴所求动圆C 的圆心的轨迹方程为1121622=+y x .(2)由⎪⎩⎪⎨⎧=++=.11216,22y x m kx y 消去y 化简整理得:()0484843222=-+++m kmx x k . 设11(,)B x y ,22(,)D x y ,则122834kmx x k+=-+.△1()()()04844348222>-+-=m k km . ①由⎪⎩⎪⎨⎧=-+=.1124,22y x m kx y 消去y 化简整理得:()01223222=----m kmx x k . 设()()4433,,,y x F y x E ,则24332kkmx x -=+,△2()()()012342222>+-+-=m k km . ② ∵DF BE +=0,∴4231()()0x x x x -+-=,即1234x x x x +=+,∴2232438kkmk km -=+-. ∴02=km 或2231434kk -=+-. 解得0k =或0m =. 当0k =时,由①、②得 3232<<-m , ∵∈m Z ,∴m 的值为2,3-- 1-,0,13,2,;当0m =,由①、②得 33<<-k , ∵∈k Z ,∴1,0,1-=k .∴满足条件的直线共有9条. 21.(本小题满分14分)(本小题主要考查数列的通项公式、数列前n 项和、不等式等基础知识,考查化归与转化、分类与整合、特殊与一般的数学思想方法,以及推理论证能力、运算求解能力和抽象概括能力) 解: (1) ∵1,+n n a a 是关于x 的方程022=+-n n b x x ∈n (N )*的两根,∴⎩⎨⎧==+++.,211n n n n n n a a b a a求数列{}n a 的通项公式, 给出如下四种解法: 解法1: 由n n n a a 21=++,得⎪⎭⎫⎝⎛⨯--=⨯-++n n n n a a 23123111, 故数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧⨯-n n a 231是首项为31321=-a ,公比为1-的等比数列.∴()1131231--⨯=⨯-n n n a , 即()[]nn n a 1231--=. 解法2: 由n n n a a 21=++,两边同除以()11+-n , 得()()()nnnn n a a 21111--=---++,令()nnn a c 1-=, 则()nn n c c 21--=-+.故()()()123121--++-+-+=n n n c c c c c c c c ()()()()13222221-----------=n()()[]()2121211----⋅---=-n()[]1231--=n ()2≥n . 且1111-=-=a c 也适合上式, ∴()nna 1-()[]1231--=n , 即()[]n n n a 1231--=. 解法3: 由n n n a a 21=++,得1212+++=+n n n a a , 两式相减得n n n n n a a 22212=-=-++.当n 为正奇数时,()()()235131--++-+-+=n n n a a a a a a a a 25322221-+++++=n41412121-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=-n312+=n ()3≥n . 且11=a 也适合上式.当n 为正偶数时,()()()246242--++-+-+=n n n a a a a a a a a 264222221-+++++=n41414122-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=-n312-=n ()4≥n . 且12112=-=a a 也适合上式.∴ 当∈n N *时,n a ()[]nn 1231--=. 解法4:由nn n a a 21=++,11=a ,得122-=a ()()()1231212122-=---+-=,()()()123121211222332223+=----=+-=-=a a .猜想n a ()[]nn 1231--=. 下面用数学归纳法证明猜想正确. ① 当1=n 时,易知猜想成立;② 假设当k n =∈k (N *)时,猜想成立,即()[]kk k a 1231--=, 由k k k a a 21=++,得()[]()[]1111231123122+++--=---=-=k k k k k k k k a a ,故当1+=k n 时,猜想也成立.由①、②得,对任意∈n N *,n a ()[]nn 1231--=.∴()[]()[]111121291+++--⨯--==n n n n n n n a a b ()[]1229112---=+nn . (2)n n a a a a S ++++= 321 ()()()()[]{}nn 111222231232-++-+--++++=()⎥⎦⎤⎢⎣⎡----=+21122311n n .要使0>-n n S b λ对任意∈n N *都成立,即()[]1229112---+n n ()02112231>⎥⎦⎤⎢⎣⎡-----+nn λ(*)对任意∈n N *都成立.① 当n 为正奇数时, 由(*)式得[]1229112-++n n ()01231>--+n λ, 即()()1212911+-+n n ()01231>--+n λ, ∵0121>-+n ,∴()1231+<nλ对任意正奇数n 都成立. 当且仅当1=n 时, ()1231+n有最小值1.∴1<λ.② 当n 为正偶数时, 由(*)式得[]1229112--+n n ()02231>--+n λ, 即()()1212911-++n n ()01232>--nλ, ∵012>-n,∴()12611+<+n λ对任意正偶数n 都成立. 当且仅当2=n 时, ()12611++n 有最小值23.∴<λ23.综上所述, 存在常数λ,使得0>-n n S b λ对任意∈n N *都成立, λ的取值范围是()1,∞-.。
广东省湛江市2009年普通高考测试题一数学理科
广东省湛江市2009年普通高考测试题（一）试卷类型：A数学（理 科）本试卷共4页，共21小题，满分150分。
考试用时120分钟。
注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号填写在答题卡上。
用2B 铅笔将答题卡试卷类型（A ）填涂在答题卡上。
在答题卡右上角的“试室号”和“座位号”栏填写试室号、座位号，将相应的试室号、座位号信息点涂黑。
2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
4．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
参考公式： 如果事件A 、B 互斥，那么()()()P A B P A P B +=+如果事件A 、B 相互独立，那么()()()P A B P A P B ⋅=⋅一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知U = { 2，3，4，5，6，7 }，M = { 3，4，5，7 }，N = { 2，4，5，6 }，则 A ．M ∩N = { 4，6 } B ．M ∪N = UC ．(Cu N )∪M = UD ．(Cu M )∩N = N2．若将复数ii-+11表示为a + bi （a ，b ∈R ，i 是虚数单位）的形式，则a + b = A ．0 B ．1 C ．–1 D ．23．如图，样本数为9的四组数据，它们的平均数都是5，频率条形图如下，则标准差最大的一组是第一组 第二组 第三组 第四组A ．B ．C ．D ． 4．已知等差数列}{n a 的前13项之和为39，则876a a a ++等于A ．6B ．9C ． 12D ．185．已知函数x x x f sin cos )(=)(R x ∈，给出下列四个命题：①若)()(21x f x f -=，则21x x -= ②)(x f 的最小正周期是π2 ③在区间]4,4[ππ-上是增函数． ④)(x f 的图象关于直线43π=x 对称 其中真命题是A ．①②④B ．①③C ．②③D ．③④6．若过点A (3 , 0 ) 的直线l 与曲线 1)1(22=+-y x 有公共点，则直线l 斜率的取值范围为A ．(3-, 3 )B ．[3-, 3 ]C ．(33-, 33 ) D ．[33-, 33 ] 7．命题p ：),0[+∞∈∀x ，1)2(log 3≤x，则A ．p 是假命题，p ⌝：1)2(log ),,0[030>+∞∈∃x xB ．p 是假命题，p ⌝：1)2(log ),,0[3≥+∞∈∀x xC ．p 是真命题，p ⌝：),0[0+∞∈∃x ，1)2(log 03>xD ．p 是真命题，p ⌝：1)2(log ),,0[3≥+∞∈∀x x8．函数xx x f 52)(+=图象上的动点P 到直线x y 2=的距离为1d ，点P 到y 轴的距离为2d ，则=21d d A ．5 B ．5 C ．55D ．不确定的正数二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分. （一）必做题（9~12题）9.抛物线24x y =的焦点坐标是__________________.10.用单位立方块搭一个几何体，使它的主视图和俯视图如下图所示，则它的体积的最小值为 ，最大值为 .11. 若x , y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≥+-≥+30030x y x y x ，则y x z -=2的最大值为 ．主视图12.已知某算法的流程图如图所示，若将输出的 (x , y )(x 1 , y 1 )，(x 2 , y 2 )，……(x n , y n )，…….(1) 若程序运行中输出的一个数组是(9 , t)，则t = ； (2) 程序结束时，共输出(x , y )的组数为 .（二）选做题（13-15题，考生只能从中选做二题） 13. （坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，若过点)0,3(A 且与极轴垂直的直线交曲线θρcos 4=于A 、B 两点，则=||AB ____ _．14.（不等式选讲选做题）设1=++z y x ，则22232z y x F ++=的最小值为________．15.（几何证明选讲选做题）如图，已知PA 、PB 是圆O 的切线，A 、B 分别为切点，C 为圆O 上不与A 、B 重合的另一点，若∠ACB = 120°，则∠APB = ．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16.（本小题满分12分）在一次国际大型体育运动会上，某运动员报名参加了其中5个项目的比赛．已知该运动员在这5个项目中，每个项目能打破世界纪录的概率都是0.8，那么在本次运动会上： （Ⅰ）求该运动员至少能打破3项世界纪录的概率；（Ⅱ）若该运动员能打破世界纪录的项目数为ξ，求ξ的数学期望ξE （即均值）． 17．（本小题满分12分）已知向量)3,cos 2(2x a =→-，)2sin ,1(x b =→-，函数→-→-⋅=b a x f )(，2)(→-=b x g ． （Ⅰ）求函数)(x g 的最小正周期；（Ⅱ）在∆ABC 中，c b a ,,分别是角C B A ,,的对边，且3)(=C f ，1=c ，32=ab ，且b a >，求b a ,的值．18．（本小题满分14分）如图，在三棱锥P-ABC 中， PA=3，AC=AB=4，PB=PC=BC=5，D 、E 分别是BC 、AC 的中点，F 为PC 上的一点，且PF :FC=3:1． （Ⅰ）求证：PA ⊥BC ；（Ⅱ）试在PC 上确定一点G ，使平面ABG ∥平面DEF ； （Ⅲ）在满足（Ⅱ）的情况下，求二面角G-AB-C 的平面角的正切值．19．（本小题满分14分）已知函数x x a x f ln )21()(2+-=.（R a ∈）（Ⅰ）当1=a 时，求)(x f 在区间[1，e ]上的最大值和最小值；（Ⅱ）若在区间（1，+∞）上，函数)(x f 的图象恒在直线ax y 2=下方，求a 的取值范围． 20．（本小题满分14分）已知定圆,16)3(:22=++y x A 圆心为A ，动圆M 过点)0,3(B ，且和圆A 相切，动圆的圆心M 的轨迹记为C ． (Ⅰ)求曲线C 的方程；(Ⅱ)若点),(00y x P 为曲线C 上一点，探究直线044:00=-+y y x x l 与曲线C 是否存在交点? 若存在则求出交点坐标, 若不存在请说明理由．21．（本小题满分14分）设数列{n a }的前n 项和为n S ，并且满足n a S n n +=22，0>n a （n ∈N*）.（Ⅰ）求1a ，2a ，3a ；（Ⅱ）猜想{n a }的通项公式，并加以证明；（Ⅲ）设0>x ，0>y ，且1=+y x ，证明：11+++y a x a n n ≤)2(2+n .APBD EF广东省湛江市2009年普通高考测试题（一）数学（理 科）参考答案及评分意见一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1.B2. B3. D4.B5.D6.D7.C8. B .二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）9.（0，161）. 10. 10（2分），16（3分）. 11.9. 12. 4-（2分），1005（3分）. 13. 32. 14. 116. 15. 60.三、解答题（本大题共6小题，共80分） 16.（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）依题意，该运动员在每个项目上“能打破世界纪录”为独立事件，并且每个事件发生的概率相同. 设其打破世界纪录的项目数为随机变量ξ，“该运动员至少能打破3项世界纪录”为事件A ，则有 ………………………………………………………………2分)5()4()3()(=+=+==ξξξP P P A P …………………………………………4分55544523358.02.08.02.08.0C C C +⨯+⨯=…………………………………6分94208.0=. ………………………………………………………………8分（Ⅱ）由（Ⅰ）解答可知，ξ～B （5，0.8），故所求数学期望为48.05=⨯=ξE . ………………………………………………………………12分 17．（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）234cos 2124cos 112sin 1)(22+-=-+=+==→-x x x bx g ---------2分 ∴函数)(x g 的最小周期242ππ==T ----------4分 （Ⅱ）x x x x b a x f 2sin 3cos 2)2sin ,1()3,cos 2()(22+=⋅=⋅=→-→- 1)62sin(22sin 312cos ++=++=πx x x -------------6分 31)62sin(2)(=++=πC C f ∴1)62s i n (=+πC ------------7分C 是三角形内角 ∴)613,6(62πππ∈+C ， ∴262ππ=+C 即：6π=C -------------8分∴232cos 222=-+=ab c a b C 即：722=+b a ----------------10分将32=ab 可得：71222=+aa 解之得：432或=a ∴23或=a ∴32或=bb a > ∴2=a 3=b ------------12分18．（本小题满分14分）解：(Ⅰ) 在△PAC 中，∵PA=3，AC=4，PC=5，∴222PC AC PA =+，∴AC PA ⊥；……1分 又AB=4，PB=5，∴在△PAB 中，同理可得 AB PA ⊥ …………………………2分 ∵A AB AC = ，∴ABC PA 平面⊥……3分 ∵⊂BC 平面ABC ，∴PA ⊥BC. …………4分(Ⅱ) 如图所示取PC 的中点G ，…………………5分 连结AG ，BG ，∵PF:FC=3:1,∴F 为GC 的中点 又D 、E 分别为BC 、AC 的中点，∴AG ∥EF ，BG ∥FD ，又AG∩GB=G ，EF∩FD=F ……………7分 ∴面ABG ∥面DEF即PC 上的中点G 为所求的点 …………… 9分(Ⅲ)由(Ⅱ)知G 这PC 的中点，连结GE ，∴GE ⊥平面ABC ，过E 作EH ⊥AB 于H ，连结GH ，则GH ⊥AB ，∴∠EHG 为二面角G-AB-C 的平面角 …………… 11分 ∵839521==∆∆ABC ABE S S 又EH AB S ABE ⋅=∆21∴16395443952===∆ABS EH ABE又2321==PA GE …………… 13分 ∴653983951623tan =⨯==∠EH EG EHG ∴二面角G-AB-C 的平面角的正切值为65398 …………… 14分解：（Ⅰ）当1=a 时，x x x f ln 21)(2+=，x x x x x f 11)(2+=+='；………………2分对于∈x [1，e ]，有0)(>'x f ，∴)(x f 在区间[1，e ]上为增函数，…………3分∴21)()(2max e e f x f +==，21)1()(min ==f x f .……………………………5分（Ⅱ）令x ax x a ax x f x g ln 2)21(2)()(2+--=-=，则)(x g 的定义域为（0，+∞）.……………………………………………6分在区间（1，+∞）上，函数)(x f 的图象恒在直线ax y 2=下方等价于0)(<x g 在区间（1，+∞）上恒成立.∵xx a x x ax x a x a x a x g ]1)12)[(1(12)12(12)12()(2---=+--=+--='① 若21>a ，令0)(='x g ，得极值点11=x ，1212-=a x ，………………8分 当112=>x x ，即121<<a 时，在（2x ，+∞)上有0)(>'x g ，此时)(x g 在区间(2x ，+∞)上是增函数，并且在该区间上有)(x g ∈()(2x g ，+∞)，不合题意；………………………………………9分当112=<x x ，即1≥a 时，同理可知，)(x g 在区间(1，+∞)上，有)(x g ∈()1(g ，+∞)，也不合题意；………………………………………10分② 若21≤a ，则有012≤-a ，此时在区间(1，+∞)上恒有0)(<'x g ， 从而)(x g 在区间(1，+∞)上是减函数；……………………………………12分 要使0)(<x g 在此区间上恒成立，只须满足021)1(≤--=a g 21-≥⇒a ， 由此求得a 的范围是[21-，21]. 综合①②可知，当a ∈[21-，21]时，函数)(x f 的图象恒在直线ax y 2=下方.………………………………………………14分解：(Ⅰ) 圆A 的圆心为4),0,3(1=-r A 半径， ……………… 1 分设动圆M 的圆心为.||,,),,(22MB r r y x M =依题意有半径为 ………… 2分 由|AB|=32，可知点B 在圆A 内，从而圆M 内切于圆A ，故|MA|=r 1-r 2， 即|MA|+|MB|=4， ……………… 4分所以，点M 的轨迹是以A ，B 为焦点的椭圆，设椭圆方程为12222=+by a x ，由.1,4,322,4222====b a c a 可得故曲线C 的方程为.1422=+y x ……………… 6分 (Ⅱ)当2,14,0020200±==+=x y x y 可得由时，)..0,2(,2,0,2000有且只有一个交点与曲线直线的方程为直线时当C l x l y x ===).0,2(,2,0,2000--==-=有且只有一个交点与曲线直线的方程为直线时当C l x l y x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=-=≠.14,44:,44,02200000y x y x x y y x x y l y 联立方程组的方程为直线时当 ………………8分 消去.016168)4(,20022020=-+-+y x x x x y y 得 ① …………… 10分由点),(00y x P 为曲线C 上一点，.44.1420202020=+=+x y y x 可得得 于是方程①可以化简为.022002=+-x x x x 解得0x x =， …………… 12分),,(,44000000y x P C l y y y xx y x x 有且有一个交点与曲线故直线可得代入方程将=-== ……………………………………………………………13分 综上，直线l 与曲线C 存在唯一的一个交点，交点为),(00y x P . …………… 14分解：（Ⅰ）分别令1=n ，2，3，得⎪⎩⎪⎨⎧+=+++=++=3)(22)(212233212221211a a a a a a a a a ∵0>n a ，∴11=a ，22=a ，33=a .………………………………………3分 （Ⅱ）证法一：猜想：n a n =，………………………………………………………4分由 n a S n n +=22 ① 可知，当n ≥2时，)1(2211-+=--n a S n n ②①-②，得 12212+-=-n n n a a a ，即12212-+=-n n n a a a .………………6分1）当2=n 时，1122222-+=a a ，∵02>a ，∴22=a ；……………7分 2）假设当k n =（k ≥2）时，k a k =. 那么当1+=k n 时，122121-+=++k k k a a a 1221-+=+k a k 0)]1()][1([11=-++-⇒++k a k a k k ， ∵01>+k a ，k ≥2，∴0)1(1>-++k a k ， ∴11+=+k a k .这就是说，当1+=k n 时也成立，∴n a n =（n ≥2）. 显然1=n 时，也适合.故对于n ∈N*，均有n a n =.………………………………………9分 证法二：猜想：n a n =，………………………………………………………4分 1）当1=n 时，11=a 成立；…………………………………………………5分 2）假设当k n =时，k a k =.…………………………………………………6分那么当1+=k n 时，12211++=++k a S k k .∴1)(2211++=+++k a S a k k k ，∴)1(22121+-+=++k S a a k k k )1()(221+-++=+k k k a k )1(221-+=+k a k（以下同证法一）…………………………………………………………9分 （Ⅲ）证法一：要证11+++ny nx ≤)2(2+n ，只要证1)1)(1(21++++++ny ny nx nx ≤)2(2+n ，………………10分 即+++2)(y x n 1)(22+++y x n xy n ≤)2(2+n ，…………………11分将1=+y x 代入，得122++n xy n ≤2+n ，即要证)1(42++n xy n ≤2)2(+n ，即xy 4≤1. …………………………12分 ∵0>x ，0>y ，且1=+y x ，∴xy ≤212=+y x , 即xy ≤41，故xy 4≤1成立，所以原不等式成立. ………………………14分 证法二：∵0>x ，0>y ，且1=+y x ，∴121+⋅+nnx ≤2121+++n nx ①当且仅当21=x 时取“=”号. …………………………………11分∴121+⋅+n ny ≤2121+++nny ② 当且仅当21=y 时取“=”号. …………………………………12分①+②，得 （++1nx 1+ny ）12+n ≤24)(n y x n +++2+=n ， 当且仅当21==y x 时取“=”号. ……………………………………13分 ∴11+++ny nx ≤)2(2+n .………………………………………14分证法三：可先证b a +≤)(2b a +. ………………………………………10分∵ab b a b a 2)(2++=+，b a b a 22))(2(2+=+，b a +≥ab 2，……………………………11分第 11 页 共 11 页 ∴b a 22+≥ab b a 2++， ∴)(2b a +≥b a +，当且仅当b a =时取等号. ………………12分令1+=nx a ，1+=ny b ，即得11+++ny nx ≤)11(2+++ny nx )2(2+=n ，当且仅当1+nx 1+=ny 即21==y x 时取等号. ………………………14分如上各题若有其它解法，请评卷老师酌情给分.。
2009年高考广东省B卷数学(理)试题答案
1、 测试的基本任务是获取有用的信息，而信息总是蕴涵在某些物理量之中，并依靠它们来传输的。
这些物理量就是 信号 ，其中目前应用最广泛的是电信号。
2、 信号的时域描述，以 时间 为独立变量；而信号的频域描述，以 频率 f 为独立变量。
3、 周期信号的频谱具有三个特点：离散，谐波、收敛， 。
4、 非周期信号包括 准周期 信号和 瞬态非周期 信号。
5、 描述随机信号的时域特征参数有 均值x μ，均方值2x ψ，方差2x σ。
6、 对信号的双边谱而言，实频谱（幅频谱）总是 偶 对称，虚频谱（相频谱）总是奇 对称。
7、 传感器的灵敏度越高，就意味着传感器所感知的 被测量 越小。
8、 属于能量控制型的传感器有电阻、电感、电容、涡流；等，属于能量转换型的传感器有压电、磁电 等（每个至少举例两个）。
9、 金属电阻应变片与半导体应变片的物理基础的区别在于：前者利用金属丝的几何变形，引起的电阻变化，后者利用 半导体材料的电阻率变化 变化引起的电阻变化。
10、为了提高变极距电容式传感器的灵敏度、线性度及减小外部条件变化对测量精度的影响，实际应用时常常采用差动 工作方式。
11、涡流式传感器的变换原理是利用了金属导体在交流磁场中的 涡电流 效应。
12、磁电式速度计的灵敏度单位是 mv / (m/s) 。
压电式传感器是利用某些物质的 压电效应 而工作的1、 、电桥的作用是把电感、电阻、电容的变化转化为电压或电流 输出的装置。
2、 在桥式测量电路中，按照激励电压的性质，电桥可分为直流和交流电桥在桥式测量电路中，根据工作时阻抗参与变化的桥臂数可将其分为半桥与全桥测量电路。
调幅是指一个高频的正（余）弦信号与被测信号相乘，使高频信号的幅值随被测信号的 而变化。
信号调幅波可以看作是载波与调制波的相乘 、3、 调频是利用信号电压的幅值控制一个振荡器，使其输出为等幅波，而频率与信号电压成正比。
常用滤波器的上、下截止频率1c f 、2c f 的定义为 幅频特性曲线降为最大值的21倍时对应的频率为截止频率 ，其带宽B ＝ 12c c f f B -= ，RC 低通滤波器中RC 值愈 大 ，则上截止频率愈低。
2009年广东省高考数学试题B卷(理数)
2012年上八年级物理半期试题班级姓名考号一、选择题1. 某阻值为4Ω的定值电阻，通过的电流为0.5A，则1min内产生的热量是（）A. 2JB. 30JC. 60JD. 120J2. 如图所示是小红测定小灯泡电阻的电路图，当闭合开关S时，发现灯L不亮，电流表、电压表均无示数。
若电路故障只出现在灯L和变阻器R中的一处，则下列判断正确的是（）A. 灯L短路B. 灯L断路C. 变阻器R短路D. 变阻器R断路3. 如图所示，电源电压保持不变，闭合开关，将滑动变阻器的滑片向右移动。
电表的变化情况是（）A. 电压表和电流表示数都变小B. 电压表和电流表示数都变大C. 电压表示数变大，电流表示数变小D. 电压表示数变小，电流表示数变大4. 标有"2V 1W”字样的小灯泡和标有“20Ω1A”字样的滑动变阻器，连接在如图所示的电路中，已知电源电压为6V，电流表的量程为“0—0.6A”，电压表的量程为“0—3V”，闭合开关，移动滑动变阻器滑片，电流表、电压表示数的变化范围是（）A. 0.25A—0.5A 1V—2VB. 0.25A—0.6A 1V—2VC. 0.3A—0.5A lV—1.5VD. 0.25A—0.5A 1.5V—2V5. 有甲、乙两盏电灯，甲灯上标有“36V 60W”，乙灯上标有“220V 60W”，当它们分别在其额定电压下工作发光时，其亮度是（）A. 乙灯比甲灯更亮B. 甲灯比乙灯更亮C. 两盏灯一样亮D. 无法判定哪盏灯更亮6. 小刚利用电能表测某家用电器的电功率．当电路中只有这个用电器工作时，测得在15min内，消耗电能0.3 KW·h，这个用电器可能是（）A. 空调器B. 电冰箱C. 电视机D. 收音机7．小灯泡额定电压为6V，额定功率估计在7W～l2W之间，小佳按如下图所示甲的电路测定灯的功率，所用电流表有0.6A、3A两档，电压表有3V、l5V两档，将它们连入电路时小佳作了正确选择与操作，变阻器滑到某处时两电表示数如图的乙、丙所示，则（）A. 小灯泡额定功率为7.5WB. 在5V时小灯泡的功率为7.5WC. 在1V电压下小灯泡功率7.5WD. 在5V时小灯泡功率为1.5W8. 把标有“6v 6W”的L1灯和标有“6V 3W”的L2灯串联，接在6V的电源上，则（）A、两灯一样亮B、L1比L2亮C、11比L2暗 D、两灯都能正常发光9. 如右图所示，将两只额定电压相同的灯泡L1、L2串联在电路中，闭合开关S后，发现灯泡L1较亮，灯泡L2较暗，此现象说明（）A. 灯泡L1的阻值大于灯泡L2的阻值B. 灯泡L1的额定功率大于灯泡L2的额定功率C. 灯泡L1两端的电压小于灯炮L2两端的电压D. 通过灯泡L1的电流大于通过灯炮L2的电流10. 用电器R1和R2上都标有“6V”字样，它们的电流随电压变化关系如右图所示。
2009年广东省高考数学试题B卷(理数)
试卷代号：1161中央广播电视大学2006—2007学年度第一学期“开放本科”期末考试各专业英语Ⅱ(1) 试题2007年1月第一部分交际用语(共计10分，每小题2分)1—5小题阅读下面的小对话，从A、B、C、D四个选项中选出一个能填入空白处的最佳选项，并在答题纸上写出所选的字母符号。
1. --Hello, Sally. How's everything?A. Good for youB. Oh, I agreeC. That's rightD. Just so-so2. --Excuse me, would you lend me your calculator?A. Certainly. Here you areB. Please don't mention itC. It's nothingD. Yes, I have a hand3. --I don't like the spots programs on Sundays.A. So do IB. Neither do IC. So am ID. Neither am I4. --What's the problem, Harry?A. No problemB. No trouble at allC. Thank you for asking me about itD. I can't remember where I left my glasses5. --What kind of TV program do you like best?A. I like them very muchB. I only watch them at weekendC. It's hard to say, actuallyD. I'm too busy to say第二部分词汇与结构(20分，每小2分)6—20小尾阅读下面的句子，从A、B、C。
2009年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)数学(理科)解析
2009年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)数学(理科)解析一、整体难度评价2009年普通高等学校招生全国统一考试广东卷数学(理科)难度整体为中等难度。
难度主要体现在试卷的组合和综合运用上，比如要求考生从三个不同的题型中取一定数量的题目，难度较大。
二、试题分析1. 选择题部分选择题部分共10题，每题4分，共计40分。
难度较为适中。
其中，第2题到第4题是典型的运用知识点的题目，第6题到第10题是要求考生运用一定的解题技巧才能解题。
2. 简答题部分简答题部分共6个题目，分值为每题12分，共72分，难度为中等难度。
其中第13题、第14题考查了考生对方程解法的理解和应用；第15题、第16题考查了考生对向量的理解和应用；第17题考查了考生对数学思维方法的理解和应用。
3. 计算题部分计算题部分共4个大题，分值为每题16分，共64分，难度为中等难度。
其中第18题、第19题考查了考生对导数的理解和应用，第20题要考生运用三角函数知识和解析几何知识来进行计算。
三、试题评价本次广东卷的数学试题整体难度适中，题型齐全，覆盖了数学的各个方面。
其中选择题和计算题考查了考生记忆与计算能力，完形填空和解答题考查了考生的应用能力和思维能力。
这套试卷对于学生的基础要求较高，对数学思维和解题能力也具有一定的考查。
相比于其他科目试题来说，数学试题中有很多的方法需要记忆和进行推理，考查了考生的综合能力。
在考生备考时应该多加练习和思考，熟悉数学基本知识和公式的运用，注意发现问题中的关键点，进行求解。
四、注意事项备考之前考生需要注意以下几点：1.充分理解试卷要求，对每种题型和分值进行评估，并制订相应的策略。
2.做题要认真审题，特别是一些多选题以及以题目中的关键词为主的题目，一定要使用正确的方法进行解题。
3.考试过程中，要有一定的时间规划和分配，遇到不会做的题目可以略过，等到后面有时间再回来做。
4.机读卡要仔细填涂，保持清晰；同时要保证每道题目的答案对应正确的题号和机读卡上的答题区域。
广东省广州市2009年普通高中毕业班综合测试数学理科2009.3
2009年广州市普通高中毕业班综合测试（一）数 学（理 科） 2009.3本试卷共4页，21小题， 满分150分。
考试用时120分钟。
注意事项：1．答卷前，考生务必用2B 铅笔在“考生号”处填涂考生号，用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的市、县/区、学校，以及自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡。
用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上。
2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3. 非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答。
漏涂、错涂、多涂的，答案无效。
5．考生必须保持答题卡的整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
参考公式：锥体的体积公式Sh V 31=, 其中S 是锥体的底面积, h 是锥体的高. 如果事件A 、B 互斥，那么()()()P A B P A P B +=+.如果事件A 、B 相互独立，那么()()()B P A P AB P ⋅=.一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．函数()x x f 2sin =的最小正周期为A ．π B.π2 C. π3 D. π42．已知z =i （1+i ）（i 为虚数单位），则复数z 在复平面上所对应的点位于 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限3．某商场在国庆黄金周的促销活动中，对10月2号9时至14时 的销售额进行统计，其频率分布直方图如图1所示．已知9时 至10时的销售额为2.5万元，则11时至12时的销售额为 A . 6万元 B . 8万元C . 10万元D .12万元4．已知过()a A ,1-、()8,a B 两点的直线与直线012=+-y x 平行，则a 的值为A. 10-B. 17C. 5D. 25．阅读图2的程序框图(框图中的赋值符号“=”也可以写成“←”或“:=”)，若输出的S 的值等于16,那么在程序框图中的判断框内应填写的条件是A ．5>i ? B. 6>i ?C. 7>i ?D. 8>i ?6．已知p ：关于x 的不等式022>-+a ax x 的解集是R ，q ：01<<-a ，则p 是q 的A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充分必要条件D ．既非充分又非必要条件7．在()n n nx a x a x a x a a x +⋅⋅⋅++++=-3322101中，若0252=+-n a a ，则自然数n 的值是A ．7B ．8C ．9D ．108．在区间[]1,0上任意取两个实数b a ,，则函数()b ax x x f -+=321在区间[]1,1-上有且仅 一个零点的概率为 A ．81 B ．41C ．43D ．87二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分.（一）必做题（9～12题）9. 若()22log 2=+a ，则=a3 .10．若⎰ax 0d x =1, 则实数a 的值是 .11.一个几何体的三视图及其尺寸（单位：cm ）如图3所示， 则该几何体的侧面积为 cm 2.12．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，对任意∈n N *都有3132-=n n a S ， 且91<<k S （∈k N *），则1a 的值为 ，k 的值为 .（二）选做题（13～15题，考生只能从中选做两题） 13．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，直线24sin =⎪⎭⎫⎝⎛+πθρ被圆4=ρ截得的弦长为__ .14.（几何证明选讲选做题）已知PA 是圆O （O 为圆心）的切线，切点为A ，PO 交圆O 于C B , 两点，︒=∠=30,3PAB AC ，则线段PB 的长为 .15．（不等式选讲选做题）已知∈c b a ,,R ，且432,2222=++=++c b a c b a ，则实数a 的取值范围为_____________．三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16.（本小题满分12分）已知△ABC 的内角C B A ,,所对的边分别为,,,c b a 且53cos ,2==B a . （1）若4=b , 求A sin 的值;(2) 若△ABC 的面积,4=∆ABC S 求c b ,的值.17.（本小题满分14分）甲、乙两名同学参加一项射击游戏，两人约定，其中任何一人每射击一次，击中目标得2分，未击中目标得0分. 若甲、乙两名同学射击的命中率分别为53和p , 且甲、乙两人各射击一次所得分数之和为2的概率为209.假设甲、乙两人射击互不影响. （1）求p 的值；（2）记甲、乙两人各射击一次所得分数之和为ξ，求ξ的分布列和数学期望.18. （本小题满分14分）如图4, 在三棱锥ABC P -中，⊥PA 平面ABC ，AC AB ⊥,F E D ,,分别是棱PC PB PA ,,的中点，连接EF DF DE ,,.(1) 求证: 平面//DEF 平面ABC ;(2) 若2==BC PA , 当三棱锥ABC P -的体积最大时, 求二面角D EF A --的平面角的余弦值.图419．(本小题满分12分)某车间有50名工人，要完成150件产品的生产任务，每件产品由3个A 型零件和1个B 型零件配套组成.每个工人每小时能加工5个A 型零件或者3个B 型零件，现在把这些工人分成两组同时工作(分组后人数不再进行调整)，每组加工同一种型号的零件.设加工A 型零件的工人人数为x 名（∈x N *）.（1）设完成A 型零件加工所需时间为()x f 小时，写出()x f 的解析式； （2）为了在最短时间内完成全部生产任务，x 应取何值？20．（本小题满分14分）已知动圆C 过点()0,2-A ，且与圆()642:22=+-y x M 相内切.（1）求动圆C 的圆心的轨迹方程；（2）设直线:l y kx m =+（其中,)k m Z ∈与（1）中所求轨迹交于不同两点B ，D ，与双曲线112422=-y x 交于不同两点,E F ，问是否存在直线l ，使得向量DF BE +=0，若存在，指出这样的直线有多少条？若不存在，请说明理由．21. (本小题满分14分)已知数列{}n a 的相邻两项1,+n n a a 是关于x 的方程022=+-n n b x x ∈n (N )*的两根,且11=a .(1) 求数列{}n a 和{}n b 的通项公式;(2) 设n S 是数列{}n a 的前n 项和, 问是否存在常数λ,使得0>-n n S b λ对任意∈n N *都成立,若存在, 求出λ的取值范围; 若不存在, 请说明理由.2009年广州市普通高中毕业班综合测试（一）数学（理科）试题参考答案及评分标准说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数．2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本大题主要考查基本知识和基本运算．共8小题，每小题5分，满分40分．二、填空题：本大题主要考查基本知识和基本运算．本大题共7小题，每小题5分，满分30分．其中13～15是选做题,考生只能选做两题. 第12题第一个空2分，第二个空3分．9．9 10．2 11．80 12．-1；4 13．34 14．1 15. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,112三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）（本小题主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函数的基本关系等基础知识，考查运算求解能力）解: (1)∵053cos >=B , 且π<<B 0, ∴ 54cos 1sin 2=-=B B .由正弦定理得BbA a sin sin =. ∴524542sin sin =⨯==b B a A . (2)∵,4sin 21==∆B ac S ABC∴454221=⨯⨯⨯c .∴ 5=c .由余弦定理得B ac c a b cos 2222-+=,FEDAP ∴175352252cos 22222=⨯⨯⨯-+=-+=B ac c a b . 17．（本小题满分14分）（本小题主要考查概率、随机变量的分布列及其数学期望等基础知识，考查运算求解能力） 解：（1）记“甲射击一次,击中目标”为事件A ，“乙射击一次,击中目标”为事件B ，“甲射击一次,未击中目标”为事件A ，“乙射击一次,未击中目标”为事件B ， 则()()52,53==A P A P ，()()p B P p B P -==1,. 依题意得()209531153=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-p p ， 解得43=p . 故p 的值为43.（2）ξ的取值分别为,4,2,0.()()()()10141520=⨯=⋅===B P A P B A P P ξ， ()2092==ξP ， ()()()()20943534=⨯=⋅===B P A P AB P P ξ， ξ∴的分布列为∴E .1027209420921010=⨯+⨯+⨯=ξ18．（本小题满分14分）（本小题主要考查空间中线面的位置关系、空间的角、几何体体积等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力） (1) 证明: ∵E D ,分别是棱PB PA ,的中点，∴DE 是△PAB 的中位线.∴AB DE //. ∵⊄DE 平面⊂AB ABC ,平面,ABC∴//DE 平面ABC . 同理可证 //DF 平面ABC .∵⊂=DE D DF DE , 平面DEF ,⊂DF 平面DEF ,∴平面DEF // 平面ABC .(2) 求三棱锥ABC P -的体积的最大值, 给出如下两种解法: 解法1: 由已知⊥PA 平面ABC , AB AC ⊥,2==BC PA ∴4222==+BC AC AB .∴三棱锥ABC P -的体积为ABC S PA V ∆⨯⨯=31AC AB PA ⨯⨯⨯⨯=2131 AC AB ⨯⨯⨯=26123122AC AB +⨯≤2312BC ⨯=32=. 当且仅当AC AB =时等号成立，V 取得最大值,其值为32, 此时AC AB =2=.解法2：设x AB =，在R t △ABC 中，2224x AB BC AC -=-=()20<<x .∴三棱锥ABC P -的体积为ABC S PA V ∆⨯⨯=31AC AB PA ⨯⨯⨯⨯=2131 2431x x -= 42431x x -=()423122+--=x . ∵40,202<<<<x x ,GFEDCBAP∴ 当22=x ，即2=x 时，V 取得最大值，其值为32，此时2==AC AB .求二面角D EF A --的平面角的余弦值, 给出如下两种解法: 解法1:作EF DG ⊥,垂足为G , 连接AG .∵ ⊥PA 平面ABC ，平面//ABC 平面DEF , ∴ ⊥PA 平面DEF .∵ ⊂EF 平面DEF ,∴ ⊥PA EF .∵ D PA DG = ,∴ ⊥EF 平面PAG . ∵⊂AG 平面PAG , ∴⊥EF AG .∴ AGD ∠是二面角D EF A --的平面角. 在R t △EDF 中,121,2221=====BC EF AB DF DE , ∴21=DG . 在R t △ADG 中,2541122=+=+=DG AD AG , 552521cos ===∠AG DG AGD . ∴二面角D EF A --的平面角的余弦值为55. 解法2:分别以AP AC AB ,,所在直线为x 轴, y 轴, z 轴,建立如图的空间直角坐标系xyz A -,则()()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1,22,0,1,0,22,1,0,0,0,0,0F E D A . ∴⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛=0,22,22,1,0,22.设n ()z y x ,,=为平面AEF 的法向量,∴⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅.0,0EF n n即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=+.02222,022y x z x令2=x , 则1,2-==z y .∴n ()1,2,2-=为平面AEF 的一个法向量.∵平面DEF 的一个法向量为()100-=,,DA ,∴()()()5511221222=⨯-++==n cos . ∴二面角D EF A --的平面角的余弦值为55. 19．（本小题满分12分）（本小题主要考查函数最值、不等式、导数及其应用等基础知识，考查分类与整合的数学思想方法，以及运算求解能力和应用意识）解：（1）生产150件产品，需加工A 型零件450个，则完成A 型零件加工所需时间()x f ∈==x xx (905450N *，且)491≤≤x . （2）生产150件产品，需加工B 型零件150个，则完成B 型零件加工所需时间()x g ()∈-=-=x xx (5050503150N *，且)491≤≤x .设完成全部生产任务所需时间为()x h 小时，则()x h 为()x f 与()x g 的较大者. 令()()x g x f ≥，即xx -≥505090， 解得71321≤≤x . 所以，当321≤≤x 时，()()x g x f >；当4933≤≤x 时，()()x g x f <.故()()()⎪⎩⎪⎨⎧≤≤∈-≤≤∈=4933,,5050321,,90**x N x xx N x x x h .当321≤≤x 时，()0902'<-=x x h ，故()x h 在[]32,1上单调递减， 则()x h 在[]32,1上的最小值为()1645329032==h （小时）；当4933≤≤x 时，()()050502'>-=x x h ，故()x h 在[]49,33上单调递增，则()x h 在[]49,33上的最小值为()175033505033=-=h （小时）；()()3233h h > ，∴()x h 在[]49,1上的最小值为()32h .32=∴x .答：为了在最短时间内完成生产任务，x 应取32.20．（本小题满分14分）（本小题主要考查圆、椭圆、直线等基础知识和数学探究，考查数形结合、分类与整合的数学思想方法，以及推理论证能力、运算求解能力和创新意识）解：（1）圆()642:22=+-y x M ， 圆心M 的坐标为()0,2，半径8=R .∵R AM <=4，∴点()0,2-A 在圆M 内. 设动圆C 的半径为r ，圆心为C ，依题意得CA r =，且r R CM -=， 即AM CA CM >=+8. ∴圆心C 的轨迹是中心在原点，以M A ,两点为焦点，长轴长为8的椭圆,设其方程为()012222>>=+b a b y a x , 则2,4==c a . ∴12222=-=c a b .∴所求动圆C 的圆心的轨迹方程为1121622=+y x .(2)由⎪⎩⎪⎨⎧=++=.11216,22y x m kx y 消去y 化简整理得：()0484843222=-+++m kmx x k . 设11(,)B x y ，22(,)D x y ，则122834kmx x k+=-+.△1()()()04844348222>-+-=m k km . ①由⎪⎩⎪⎨⎧=-+=.1124,22y x m kx y 消去y 化简整理得：()01223222=----m kmx x k . 设()()4433,,,y x F y x E ，则24332kkmx x -=+,△2()()()012342222>+-+-=m k km . ② ∵DF BE +=0，∴4231()()0x x x x -+-=，即1234x x x x +=+，∴2232438kkmk km -=+-. ∴02=km 或2231434kk -=+-. 解得0k =或0m =. 当0k =时,由①、②得 3232<<-m ， ∵∈m Z ,∴m 的值为2,3-- 1-，0，13,2,;当0m =，由①、②得 33<<-k ， ∵∈k Z ,∴1,0,1-=k .∴满足条件的直线共有9条． 21．（本小题满分14分）（本小题主要考查数列的通项公式、数列前n 项和、不等式等基础知识，考查化归与转化、分类与整合、特殊与一般的数学思想方法，以及推理论证能力、运算求解能力和抽象概括能力） 解: (1) ∵1,+n n a a 是关于x 的方程022=+-n n b x x ∈n (N )*的两根,∴⎩⎨⎧==+++.,211n n n n n n a a b a a求数列{}n a 的通项公式, 给出如下四种解法: 解法1: 由n n n a a 21=++,得⎪⎭⎫⎝⎛⨯--=⨯-++n n n n a a 23123111, 故数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧⨯-n n a 231是首项为31321=-a ,公比为1-的等比数列.∴()1131231--⨯=⨯-n n n a , 即()[]nn n a 1231--=. 解法2: 由n n n a a 21=++,两边同除以()11+-n , 得()()()nnnn n a a 21111--=---++,令()nnn a c 1-=, 则()nn n c c 21--=-+.故()()()123121--++-+-+=n n n c c c c c c c c ()()()()13222221-----------=n()()[]()2121211----⋅---=-n()[]1231--=n ()2≥n . 且1111-=-=a c 也适合上式, ∴()nna 1-()[]1231--=n , 即()[]n n n a 1231--=. 解法3： 由n n n a a 21=++，得1212+++=+n n n a a ， 两式相减得n n n n n a a 22212=-=-++.当n 为正奇数时,()()()235131--++-+-+=n n n a a a a a a a a 25322221-+++++=n41412121-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=-n312+=n ()3≥n . 且11=a 也适合上式.当n 为正偶数时,()()()246242--++-+-+=n n n a a a a a a a a 264222221-+++++=n41414122-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=-n312-=n ()4≥n . 且12112=-=a a 也适合上式.∴ 当∈n N *时，n a ()[]nn 1231--=. 解法4：由nn n a a 21=++，11=a ，得122-=a ()()()1231212122-=---+-=，()()()123121211222332223+=----=+-=-=a a .猜想n a ()[]nn 1231--=. 下面用数学归纳法证明猜想正确. ① 当1=n 时,易知猜想成立;② 假设当k n =∈k (N *)时,猜想成立,即()[]kk k a 1231--=, 由k k k a a 21=++,得()[]()[]1111231123122+++--=---=-=k k k k k k k k a a ,故当1+=k n 时,猜想也成立.由①、②得，对任意∈n N *，n a ()[]nn 1231--=.∴()[]()[]111121291+++--⨯--==n n n n n n n a a b ()[]1229112---=+nn . (2)n n a a a a S ++++= 321 ()()()()[]{}nn 111222231232-++-+--++++=()⎥⎦⎤⎢⎣⎡----=+21122311n n .要使0>-n n S b λ对任意∈n N *都成立,即()[]1229112---+n n ()02112231>⎥⎦⎤⎢⎣⎡-----+nn λ(*)对任意∈n N *都成立.① 当n 为正奇数时, 由(*)式得[]1229112-++n n ()01231>--+n λ, 即()()1212911+-+n n ()01231>--+n λ, ∵0121>-+n ,∴()1231+<nλ对任意正奇数n 都成立. 当且仅当1=n 时, ()1231+n有最小值1.∴1<λ.② 当n 为正偶数时, 由(*)式得[]1229112--+n n ()02231>--+n λ, 即()()1212911-++n n ()01232>--nλ, ∵012>-n,∴()12611+<+n λ对任意正偶数n 都成立. 当且仅当2=n 时, ()12611++n 有最小值23.∴<λ23.综上所述, 存在常数λ,使得0>-n n S b λ对任意∈n N *都成立, λ的取值范围是()1,∞-.。
2009年广州市数字试题(理科)
2009年广州市普通高中毕业班综合测试（二）数 学（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．如果复数()()22356i m m m m -+-+是纯虚数，则实数m 的值为 A ．0 B ．2 C ．0或3 D ．2或32．已知函数()()()4040.x x x f x x x x ⎧+<⎪=⎨-⎪⎩≥，，， 则函数()f x 的零点个数为A ．1B ．2C ．3D ．43．已知全集U =R ，集合{3A x =≤}7x <，{}27100B x x x =-+<，则() AB R =ðA ．()(),35,-∞+∞B ．()[),35,-∞+∞C ．(][),35,-∞+∞D ．(](),35,-∞+∞4．命题“x ∃∈R ，2210x x -+<”的否定是 A ．x ∃∈R ，221x x -+≥0 B ．x ∃∈R ，2210x x -+> C ．x ∀∈R ，221x x -+≥0D ．x ∀∈R ，2210x x -+<5．已知点()1,0A ，直线l ：24y x =-，点R 是直线l 上的一点，若RA AP =，则点P 的轨迹方程为 A ．2y x =- B ．2y x = C ．28y x =- D ．24y x =+6．函数()cos f x x x =的导函数()f x '在区间[],ππ-上的图像大致是A. B. C. D.7．现有4种不同颜色要对如图1所示的四个部分进行着色，要求有公共边界的两块不能用同一种颜色，则不同的着色方法共有 A ．24种 B ．30种C ．36种D ．48种8．设直线l 与球O 有且只有一个公共点P ，从直线l 出发的两个半平面α、β截球O 的两个截面圆的半径分别为1，二面角l αβ--的平面角为150，则球O 的表面积为 A ．4πB ．16πC ．28πD ．112π图12图2 二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． （一）必做题（9～12题）9．在空间直角坐标系中，以点()4 1 9A ，，，()101 6B -，，，() 4 3C x ，，为顶点的ABC ∆是以BC 为斜边的等腰直角三角形，则实数x 的值为 ．10．在某项才艺竞赛中，有9位评委，主办单位规定计算参赛者比赛成绩的规则如下：剔除评委中的一个最高分和一个最低分后，再计算其他7位评委的平均分作为此参赛者的比赛成绩．现有一位参赛者所获9位评委一个最高分为86分、一个最低分为45分，若未剔除最高分与最低分时9位评委的平均分为76分，则这位参赛者的比赛成绩为 分．11．阅读如图2所示的程序框图，若输出y 的值为0， 则输入x 的值为 ．12．在平面内有n (*,n n N ∈≥)3条直线，其中任何两条不平行，任何三条不过同一点，若这n 条直线把平面分成()f n 个平面区域，则()5f 的值是 ，()f n 的表达式是 ．（二）选做题（13～15题，考生只能从中选做两题） 13．（几何证明选讲选做题）如图3所示，在四边形ABCD 中，EF BC ，FGAD ，则EF FGBC AD+的值为 ．14．（不等式选讲选做题） 函数()f x ＝12x x -++的最小值为 ．15．（坐标系与参数方程选做题）直线()24,13x t t y t=-+⎧⎨=--⎩为参数被圆25c o s ,15s i n x y θθ=+⎧⎨=+⎩（θ为参数）所截得的弦长为 ．图3数学（理科）试题参考答案及评分标准 第 3 页 共 12 页三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）已知向量2cos 12x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，m ，sin 12x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，n ()x ∈R ，设函数()1f x =-m n ． （1）求函数()f x 的值域；（2） 已知锐角ABC ∆的三个内角分别为A ，B ，C ，若()513f A =，()35f B =，求()f C 的值．17．（本小题满分12分）在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB BC ==，过1A 、1C 、B 三点的平面截去长方体的一个角后，得到如图4所示的几何体111ABCD AC D -（1）求棱1A A 的长；（2）在线段1BC 上是否存在点P ，使直线1A P 与1C D 垂直，如果存在，求线段1A P 的长，如果不存在，请说明理由．18．（本小题满分14分）已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若m a ，2m a +，1m a +()*m ∈N 成等差数列，试判断m S ，2m S +，1m S +是否成等差数列，并证明你的结论．19．（本小题满分14分）一个口袋中装有2个白球和n 个红球（n ≥2且*n ∈N ），每次从袋中摸出两个球（每次摸球后把这两个球放回袋中），若摸出的两个球颜色相同为中奖，否则为不中奖． （1）试用含n 的代数式表示一次摸球中奖的概率p ； （2）若3n =，求三次摸球恰有一次中奖的概率；（3）记三次摸球恰有一次中奖的概率为()f p ，当n 为何值时，()f p 最大？420．（本小题满分14分）已知函数()2a f x x x=+，()ln g x x x =+，其中0a >．（1）若1x =是函数()()()h x f x g x =+的极值点，求实数a 的值；（2）若对任意的[]12,1x x e ∈，（e 为自然对数的底数）都有()1f x ≥()2g x 成立，求实数a 的取值范围．21．（本小题满分14分）已知双曲线C ：22221x y a b-=00（，）a b >>，左、右焦点分别为1F 、2F ，在双曲线C 上有一点M ，使12MF MF ⊥，且12MF F ∆的面积为1． （1）求双曲线C 的方程；（2）过点()3,1P 的动直线l 与双曲线C 的左、右两支分别相交于两点A 、B ，在线段AB 上取异于A 、B 的点Q ，满足AP QB AQ PB =．证明：点Q 总在某定直线上．数学（理科）试题参考答案及评分标准 第 5 页 共 12 页2009年广州市普通高中毕业班综合测试（二）数学（理科）试题参考答案及评分标准一、选择题：本大题考查基本知识和基本运算．共8小题，每小题5分，满分40分．二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，满分30分．其中13~15题是选做题，考生只能选做二题，三题全答的，只计算前二题得分．第12题第1个空3分，第2个空2分.9．2 10．79 11．0 或 2 12．16，222n n ++13．1 14．3 15．6三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（本小题主要考查三角函数性质和三角函数的基本关系等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及运算求解能力）解：（1）()12cos 1sin 1122x x f x ⎛⎫⎛⎫=-=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，m n2cos sin 11sin 22x xx =+-=．∵x ∈R ，∴函数()f x 的值域为[]1 1-，．（2）∵()513f A =，()35f B =，∴5sin 13A =，3sin 5B =． ∵,A B 都为锐角，∴12cos 13A ==，4cos 5B ==．∴()()()sin sin sin f C C A B A B π==-+=+⎡⎤⎣⎦sin cos cos sin A B A B =+541235613513565=⨯+⨯=． ∴()f C 的值为5665．17．（本小题主要考查空间线面关系、几何体的表面积与体积等基本知识，考查数形结合的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力） 解：（1）设1A A h =,∵几何体111ABCD AC D -的体积为403， ∴1111111111403ABCD A C D ABCD A B C D B A B C V V V ---=-=， 即11114033ABCD A B C S h S h ∆⨯-⨯⨯=，6A即11402222323h h ⨯⨯-⨯⨯⨯⨯=，解得4h =． ∴1A A 的长为4． （2）在线段1BC 上存在点P ，使直线1A P 与1C D 垂直． 以下给出两种证明方法：方法1：过点1D 作1C D 的垂线交1C C 于点Q ，过点Q 作PQ BC交1BC 于点P ．∵11C D D Q ⊥，111C D A D ⊥，1111D Q A D D =，∴1C D ⊥平面11A D Q ．∵1AQ ⊂平面11A D Q ，∴11C D AQ ⊥． ∵1C D PQ ⊥，∴1C D ⊥平面1A PQ ． ∵1A P ⊂平面1A PQ ，∴11C D A P ⊥． 在矩形11CDD C 中，∵11Rt D C Q∆∽1Rt C CD ∆，∴1111C QD C CD C C =，即1224C Q =，∴11C Q =． ∵1C PQ ∆∽1C BC ∆，∴1111C P C Q C B C C =14=，∴1C P =．在11APC ∆中，∵11AC =1111112cos A C A C P C B ∠==由余弦定理，得1A P =2==． ∴在线段1BC 上存在点P ,使直线1A P 与1C D 垂直，且线段1A P 的长为2． 方法2：以点D 为坐标原点，分别以DA ，DC ，1DD 所在的直线为x 轴，y 轴，z 轴建立如图的空间直角坐标系，由已知条件与（1）可知，()10,2,4C ，()12,0,4A ，()0,0,0D ， 假设在线段1BC 上存在点()P x y z ，，(0≤x ≤2，2y =，0≤z ≤)4 使直线1A P 与1C D 垂直，过点P 作PQ BC ⊥交BC 于点Q ．由BPQ ∆∽1BC C ∆，得1PQ BQC C BC=， ∴124422BQ xPQ C C x BC-=⨯=⨯=-． ∴42z x =-． ∴()12 2 2A P x x =--，，，()10 2 4C D =--，，． ∵11A P C D ⊥，∴110A P C D =，即()()2 2 20 2 40x x ----=，，，，，∴12x =．数学（理科）试题参考答案及评分标准 第 7 页 共 12 页此时点P 的坐标为1 2 32⎛⎫ ⎪⎝⎭，，，在线段1BC 上． ∵13 2 12A P ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，，，∴12A P ⎛=-= ． ∴在线段1BC 上存在点P ，使直线1A P与1C D 垂直，且线段1A P 的长为2． 18．（本小题主要考查等差数列、等比数列的通项公式与前n 项和公式等基础知识，考查化归与转化、分类与整合的数学思想方法，以及推理论证能力和运算求解能力）解：设等比数列{}n a 的首项为1a ，公比为q ()10,0a q ≠≠， 若m a ，2m a +，1m a +成等差数列， 则22m a +=m a +1m a +． ∴111112m m m a qa q a q +-=+．∵10a ≠，0q ≠，∴2210q q --=． 解得1q =或12q =-． 当1q =时，∵1m S ma =，()111m S m a +=+，()212m S m a +=+，∴212m m m S S S ++≠+．∴当1q =时，m S ，2m S +，1m S +不成等差数列．当12q =-时，m S ，2m S +，1m S +成等差数列．下面给出两种证明方法． 证法1：∵()()()1211222m m m m m m m m m S S S S S a S a a ++++++-=++-++122m m a a ++=-- 112m m a a q ++=-- 11122m m a a ++⎛⎫=--- ⎪⎝⎭0=， ∴212m m m S S S ++=+．∴当12q =-时，m S ，2m S +，1m S +成等差数列． 证法2：∵212211212412113212m m m a S a +++⎡⎤⎛⎫--⎢⎥ ⎪⎡⎤⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦==--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦+，又1111111111222112113221122m m m m m m a a S S a +++⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫----⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎡⎤⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎛⎫⎛⎫⎣⎦⎣⎦+=+=----⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦++ 221211242322m m a ++⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-⨯-+⨯-⎢⎥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦2141132m a +⎡⎤⎛⎫=--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦， ∴212m m m S S S ++=+．∴当12q =-时，m S ，2m S +，1m S +成等差数列．19．（本小题主要考查等可能事件、互斥事件和独立重复试验等基础知识，考查化归与转化的数学思想方8法，以及推理论证能力和运算求解能力）解：（1）∵一次摸球从2n +个球中任选两个，有22C n +种选法，任何一个球被选出都是等可能的，其中两球颜色相同有222C C n +种选法，∴一次摸球中奖的概率2222222C C 2C 32n n n n p n n ++-+==++． （2）若3n =，则一次摸球中奖的概率25p =， 三次摸球是独立重复试验，三次摸球恰有一次中奖的概率是123354(1)C (1)125P p p =⋅⋅-=． （3）设一次摸球中奖的概率为p ，则三次摸球恰有一次中奖的概率为()()213233(1)C 1363f p P p p p p p ==⋅⋅-=-+，01p <<，∵()()()291233131f p p p p p '=-+=--，∴()f p 在10 3⎛⎫ ⎪⎝⎭，上为增函数，在1 13⎛⎫ ⎪⎝⎭，上为减函数．∴当13p =时，()f p 取得最大值． ∵2221323n n p n n -+==++(n ≥)*2,n ∈N 且， 解得2n =．故当2n =时，三次摸球恰有一次中奖的概率最大．20．（本小题主要考查函数的性质、函数与导数等知识，考查化归与转化、分类与整合的数学思想方法，以及抽象概括能力、推理论证能力和运算求解能力）（1）解法1：∵()22ln a h x x x x=++，其定义域为()0 +∞，， ∴()2212a h x x x'=-+．∵1x =是函数()h x 的极值点，∴()10h '=，即230a -=．∵0a >，∴a =经检验当a =1x =是函数()h x 的极值点，∴a =解法2：∵()22ln a h x x x x =++，其定义域为()0+∞，， ∴()2212a h x x x'=-+．令()0h x '=，即22120a x x-+=，整理，得2220x x a +-=．∵2180a ∆=+>，∴()0h x '=的两个实根1x =（舍去），2x =当x 变化时，()h x ，()h x '的变化情况如下表：1=，即23a=，∵0a>，∴a=（2）解：对任意的[]12,1x x e∈，都有()1f x≥()2g x成立等价于对任意的[]12,1x x e∈，都有()mi nf x⎡⎤⎣⎦≥()maxg x⎡⎤⎣⎦．当x∈［1，e］时，()110g xx'=+>．∴函数()lng x x x=+在[]1e，上是增函数．∴()()max1g x g e e==+⎡⎤⎣⎦．∵()()()2221x a x aaf xx x+-'=-=，且[]1,x e∈，0a>．①当01a<<且x∈［1，e］时，()()()2x a x af xx+-'=>，∴函数()2af x xx=+在［1，e］上是增函数，∴()()2min11f x f a==+⎡⎤⎣⎦.由21a+≥1e+，得a又01a<<，∴a不合题意．②当1≤a≤e时，若1≤x＜a，则()()()2x a x af xx+-'=<，若a＜x≤e，则()()()2x a x af xx+-'=>．∴函数()2af x xx=+在[)1,a上是减函数，在(]a e，上是增函数．∴()()min2f x f a a==⎡⎤⎣⎦.由2a≥1e+，得a≥12e+，又1≤a≤e，∴12e+≤a≤e．③当a e>且x∈［1，e］时，()()()2x a x af xx+-'=<，∴函数()2af x xx=+在[]1e，上是减函数．∴()()2minaf x f e ee==+⎡⎤⎣⎦.数学（理科）试题参考答案及评分标准第9 页共12 页10由2a e e+≥1e +，得a，又a e >，∴a e >．综上所述，a 的取值范围为1,2e +⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．21．（本小题主要考查双曲线、解方程和直线与圆锥曲线的位置关系等知识，考查化归与转化、数形结合的数学思想方法，以及抽象概括能力、推理论证能力和运算求解能力）（1）解：∵双曲线22221x y a b -=()0,0a b >>，∴3a =．即223a b =． ① ∵12MF MF ⊥，且12MF F ∆的面积为1．∴1212112MF F S MF MF ∆==，即122MF MF =．∵122MF MF a -=，∴222112224MF MF MF MF a -+=．∴221244F F a -=．∴()222444a b a +-=，∴21b =． ② 将②代入①，得23a =．∴双曲线C 的方程为2213x y -=． （2）解法1：设点Q A B ，，的坐标分别为（x y ，），（11x y ，），（22x y ，），且1x ＜2x ＜3，又设直线l 的倾斜角为θ2πθ⎛⎫≠ ⎪⎝⎭，分别过点P Q A B ，，，作x 轴的垂线，垂足分别为1111P Q A B ，，，， 则 1113cos cos A P x AP θθ-＝＝，112cos cos PB x PB θθ-３＝＝ ，112cos cos Q B x x QB θθ-=＝，111-cos cos AQ x x AQ θθ=＝， ∵AP QB AQ PB ＝，∴（3-1x ）（2x x -）＝123x x x --（）（），即[]1212126()3()2x x x x x x x -+=+-. ③ 设直线l 的方程为1(3)y k x -=-， ④将④代入223x y -＝1中整理，得 （1-3222)6133(13)10k x k k x k ⎡⎤----+=⎣⎦（）.依题意1x ，2x 是上述方程的两个根，且2130k -≠，数学（理科）试题参考答案及评分标准 第 11 页 共 12 页∴()()1222122613133131.13k k x x k k x x k -⎧+=⎪-⎪⎨⎡⎤-+⎪⎣⎦=-⎪-⎩， ⑤将⑤代入③整理，得2(3)x k x -=-. ⑥ 由④、⑥消去k 得21x y -=-，这就是点Q 所在的直线方程. ∴点Q （x y ，）总在定直线 10x y --=上.解法2：设点Q ，A B ，的坐标分别为,（x ）y ，11,（）x y ，22（，）x y ，且1x ＜2x ＜3， ∵AP QB AQ PB ＝，∴AP AQ PB QB＝－，即112233x x x x x x --=---， 即[]1212126()3()2x x x x x x x -+=+-.以下同解法1.解法3：设点Q A B ，，的坐标分别为1122() () ()x y x y x y ，，，，，， 由题设知 AP PB AQ QB ，，，均不为零，记AP AQ PB QBλ==． ∵过点P 的直线l 与双曲线C 的左、右两支相交于两点A ，B ，∴0λ>且1λ≠．∵A P B Q ，，，四点共线， ∴ AP PB AQ QB λλ=-=，． 即()()()()112211223,13,1,,,.x y x y x x y y x x y y λλ--=---⎧⎪⎨--=--⎪⎩∴1212311x x x x x λλλλ-⎧=⎪⎪-⎨+⎪=⎪+⎩③ 由③消去λ，得[]1212126()3()2x x x x x x x -+=+-. 以下同解法1.解法4：设点Q A B ，，的坐标分别为1122() () ()x y x y x y ，，，，，， 由题设知 AP PB AQ QB ，，，均不为零，记AP PB AQ QBλ==． ∵过点P 的直线l 与双曲线C 的左、右两支分别相交于两点A B 、， ∴0λ>且1λ≠． ∵A P B Q ，，，四点共线， 设12 PA AQ PB BQ λλ==，，则120λλ+=．12 即()()()()11111222223,1,,3,1,.x y x x y y x y x x y y λλ--=--⎧⎪⎨--=--⎪⎩ ∴111111311.1x x y y λλλλ+⎧=⎪+⎪⎨+⎪=⎪+⎩， 2222223,11.1x x y y λλλλ+⎧=⎪+⎪⎨+⎪=⎪+⎩∵点11()A x y ，，22()B x y ，在双曲线C 上， ∴22313311i i i i x y λλλλ⎛⎫⎛⎫++-= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，其中1 2i =，． ∴12λλ，是方程22313311x y λλλλ++⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭的两个根. 即12 λλ，是方程()()222336130x y x y λλ--+--+=的两个根． ∵120λλ+=，且22330x y --≠， ∴()122261033x y x y λλ--+=-=--，即10x y --=． ∴点()Q x y ，总在定直线10x y --=上．。
2009年广州市普通高中毕业班综合测试(理科)(二)
数学（理科）试题参考答案及评分标准 第 1 页 共 105 页试卷类型：A2009年广州市普通高中毕业班综合测试（二）数 学（理科）2009.４ 本试卷共4页，21小题， 满分150分。
考试用时120分钟。
注意事项：1．答卷前，考生务必用2B 铅笔在“考生号”处填涂考生号，用黑色字迹钢笔或签字笔将自己所在的市、县/区、学校，以及自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。
用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上。
2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题（或题组号）对应的信息点，再作答。
漏涂、错涂、多涂的，答案无效。
5．考生必须保持答题卡的整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
参考公式：锥体的体积公式Sh V 31=， 其中S 是锥体的底面积， h 是锥体的高． 球的表面积公式24S R π=，其中R 为球的半径．如果事件A 、B 互斥，那么()()()P A B P A P B +=+． 如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么在n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率()()C 1n kk k n n P k p p -=-．一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．如果复数()()22356i m m m m -+-+是纯虚数，则实数m 的值为 A ．0B ．2C ．0或3D ．2或32．已知函数()()()4040.x x x f x x x x ⎧+<⎪=⎨-⎪⎩≥，，， 则函数()f x 的零点个数为A ．1B ．2C ．3D ．43．已知全集U =R ，集合{3A x =≤}7x <，{}27100B x x x =-+<，则() A B R =I ðA ．()(),35,-∞+∞UB ．()[),35,-∞+∞UC ．(][),35,-∞+∞UD ．(](),35,-∞+∞U数学（理科）试题参考答案及评分标准 第 2 页 共 105 页1?x <开始 输入x 1?x >y =x否是否是 图2结束 输出y y =1 y =x 2-4x +44．命题“x ∃∈R ，2210x x -+<”的否定是 A ．x ∃∈R ，221x x -+≥0 B ．x ∃∈R ，2210x x -+> C ．x ∀∈R ，221x x -+≥0D ．x ∀∈R ，2210x x -+<5．已知点()1,0A ，直线l ：24y x =-，点R 是直线l 上的一点，若RA AP =u u u r u u u r，则点P 的轨迹方程为A ．2y x =-B ．2y x =C ．28y x =-D ．24y x =+ 6．函数()cos f x x x =的导函数()f x '在区间[],ππ-上的图像大致是A. B. C. D. 7．现有4种不同颜色要对如图1所示的四个部分进行着色，要求有公共边界的两块不能用同一种颜色，则不同的着色方法共有 A ．24种B ．30种C ．36种D ．48种8．设直线l 与球O 有且只有一个公共点P ，从直线l 出发的两个半平面α、β截球O 的两个截面圆的半径分别为13，二面角l αβ--的平面角为150o，则球O 的表面积为A ．4πB ．16πC ．28πD ．112π 二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． （一）必做题（9～12题）9．在空间直角坐标系中，以点()4 1 9A ，，，()101 6B -，，，() 4 3C x ，，为顶点的ABC ∆是以BC 为斜边的等腰直角三角形，则实数x 的值为 ．10．在某项才艺竞赛中，有9位评委，主办单位规定计算参赛者比赛成绩的规则如下：剔除评委中的一个最高分和一个最低分后，再计算其他7位评委的平均分作为此参赛者的比赛成绩．现有一位参赛者所获9位评委一个最高分为86分、一个最低分为45分，若未剔除最高分与最低分时9位评委的平均分为76分，则这位参赛者的比赛成绩为 分． 11．阅读如图2所示的程序框图，若输出y 的值为0， 则输入x 的值为 ．图1数学（理科）试题参考答案及评分标准 第 3 页 共 105 页ABCD1A1C1D图412．在平面内有n (*,n n N ∈≥)3条直线，其中任何两条不平行，任何三条不过同一点，若这n 条直线把平面分成()f n 个平面区域，则()5f 的值是 ，()f n 的表达式是 ．（二）选做题（13～15题，考生只能从中选做两题） 13．（几何证明选讲选做题）如图3所示，在四边形ABCD 中，EF BC P ，FG AD P ，则EF FGBC AD+的值为 ． 14．（不等式选讲选做题） 函数()f x ＝12x x -++的最小值为 ．（坐标系与参数方程选做题）直线()24,13x t t y t=-+⎧⎨=--⎩为参数被圆25cos ,15sin x y θθ=+⎧⎨=+⎩（θ为参数）所截得的弦长为 ．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）已知向量2cos 12x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，m ，sin 12x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，n ()x ∈R ，设函数()1f x =-g m n ．（1）求函数()f x 的值域；（2） 已知锐角ABC ∆的三个内角分别为A ，B ，C ，若()513f A =，()35f B =，求()f C 的值．17．（本小题满分12分）在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB BC ==，过1A 、1C 、B 三点的平面截去长方体的一个角后，得到如图4所示的几何体111ABCD AC D -，且这个几何体的体积为3． （1）求棱1A A 的长；（2）在线段1BC 上是否存在点P ，使直线1A P 与1C D 垂直，如果存在，求线段1A P 的长，如果不存在，请说明理由．图3数学（理科）试题参考答案及评分标准 第 4 页 共 105 页18．（本小题满分14分）已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若m a ，2m a +，1m a +()*m ∈N 成等差数列，试判断m S ，2m S +，1m S +是否成等差数列，并证明你的结论． 19．（本小题满分14分）一个口袋中装有2个白球和n 个红球（n ≥2且*n ∈N ），每次从袋中摸出两个球（每次摸球后把这两个球放回袋中），若摸出的两个球颜色相同为中奖，否则为不中奖． （1）试用含n 的代数式表示一次摸球中奖的概率p ； （2）若3n =，求三次摸球恰有一次中奖的概率；（3）记三次摸球恰有一次中奖的概率为()f p ，当n 为何值时，()f p 最大？ 20．（本小题满分14分）已知函数()2a f x x x=+，()ln g x x x =+，其中0a >．（1）若1x =是函数()()()h x f x g x =+的极值点，求实数a 的值；（2）若对任意的[]12,1x x e ∈，（e 为自然对数的底数）都有()1f x ≥()2g x 成立，求实数a 的取值范围．21．（本小题满分14分）已知双曲线C ：22221x y a b-=00（，）a b >>，左、右焦点分别为1F 、2F ，在双曲线C 上有一点M ，使12MF MF ⊥，且12MF F ∆的面积为1． （1）求双曲线C 的方程； （2）过点()3,1P 的动直线l 与双曲线C 的左、右两支分别相交于两点A 、B ，在线段AB 上取异于A 、B 的点Q ，满足AP QB AQ PB =g g ．证明：点Q 总在某定直线上．数学（理科）试题参考答案及评分标准 第 5 页 共 105 页2009年广州市普通高中毕业班综合测试（二）数学（理科）试题参考答案及评分标准说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数．2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本大题考查基本知识和基本运算．共8小题，每小题5分，满分40分．二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，满分30分．其中13~15题是选做题，考生只能选做二题，三题全答的，只计算前二题得分．第12题第1个空3分，第2个空2分.9．2 10．79 11．0 或 2 12．16，222n n ++13．1 14．3 15．6三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题主要考查三角函数性质和三角函数的基本关系等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及运算求解能力）解：（1）()12cos 1sin 1122x x f x ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭g g ，，m n 2cos sin 11sin 22x xx =+-=．∵x ∈R ，数学（理科）试题参考答案及评分标准 第 6 页 共 105 页∴函数()f x 的值域为[]1 1-，．（2）∵()513f A =，()35f B=，∴5sin 13A =，3sin 5B =． ∵,A B 都为锐角，∴12cos 13A ==，4cos 5B ==．∴()()()sin sin sin f C C A B A B π==-+=+⎡⎤⎣⎦sin cos cos sin A B A B =+541235613513565=⨯+⨯=． ∴()f C 的值为5665．17．（本小题主要考查空间线面关系、几何体的表面积与体积等基本知识，考查数形结合的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力） 解：（1）设1A A h =,∵几何体111ABCD AC D -的体积为403， ∴1111111111403ABCD A C D ABCD A B C D B A B C V V V ---=-=， 即11114033ABCD A B C S h S h ∆⨯-⨯⨯=， 即11402222323h h ⨯⨯-⨯⨯⨯⨯=，解得4h =． ∴1A A 的长为4． （2）在线段1BC 上存在点P ，使直线1A P 与1C D 垂直． 以下给出两种证明方法：方法1：过点1D 作1C D 的垂线交1C C 于点Q ，过点Q 作PQ BC P 交1BC 于点P ．∵11C D D Q ⊥，111C D A D ⊥，1111D Q A D D =I ， ∴1C D ⊥平面11A D Q ．∵1AQ ⊂平面11A D Q ，∴11C D AQ ⊥． ∵1C D PQ ⊥，∴1C D ⊥平面1A PQ ． ∵1A P ⊂平面1A PQ ，∴11C D A P ⊥． 在矩形11CDD C 中，∵11Rt D C Q ∆∽1Rt C CD ∆，数学（理科）试题参考答案及评分标准 第 7 页 共 105 页∴1111C Q D C CD C C =，即1224C Q =，∴11C Q =． ∵1C PQ ∆∽1C BC ∆，∴1111C P C Q C B C C =，即11425=，∴15C P =．在11A PC ∆中，∵1122AC =，∴111111102cos 10A C A C P CB ∠==． 由余弦定理，得221111111112cos A P AC C P AC C P AC P =+-⨯⨯⨯∠551029822242102=+-⨯⨯⨯=． ∴在线段1BC 上存在点P ,使直线1A P 与1C D 垂直，且线段1A P 的长为29． 方法2：以点D 为坐标原点，分别以DA ，DC ，1DD 所在的直线为x 轴，y 轴，z 轴建立如图的空间直角坐标系，由已知条件与（1）可知，()10,2,4C ，()12,0,4A ，()0,0,0D ，假设在线段1BC 上存在点()P x y z ，，(0≤x ≤2，2y =，0≤z ≤)4 使直线1A P 与1C D 垂直，过点P 作PQ BC ⊥交BC 于点Q ．由BPQ ∆∽1BC C ∆，得1PQ BQC C BC=， ∴124422BQ xPQ C C x BC -=⨯=⨯=-． ∴42z x =-． ∴()12 2 2A P x x =--u u u r ，，，()10 2 4C D =--u u u u r ，，． ∵11A P C D ⊥，∴110A P C D =u u u r u u u u rg， 即()()2 2 20 2 40x x ----=g ，，，，，∴12x =． 此时点P 的坐标为1 2 32⎛⎫⎪⎝⎭，，，在线段1BC 上． ∵13 2 12A P ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭u u u r ，，，∴()2221329212A P ⎛⎫=-++-= ⎪⎝⎭u u u r ．数学（理科）试题参考答案及评分标准 第 8 页 共 105 页∴在线段1BC 上存在点P ，使直线1A P 与1C D 垂直，且线段1A P． 18．（本小题主要考查等差数列、等比数列的通项公式与前n 项和公式等基础知识，考查化归与转化、分类与整合的数学思想方法，以及推理论证能力和运算求解能力）解：设等比数列{}n a 的首项为1a ，公比为q ()10,0a q ≠≠， 若m a ，2m a +，1m a +成等差数列， 则22m a +=m a +1m a +． ∴111112m m m a qa q a q +-=+．∵10a ≠，0q ≠，∴2210q q --=． 解得1q =或12q =-． 当1q =时，∵1m S ma =，()111m S m a +=+，()212m S m a +=+，∴212m m m S S S ++≠+．∴当1q =时，m S ，2m S +，1m S +不成等差数列．当12q =-时，m S ，2m S +，1m S +成等差数列．下面给出两种证明方法． 证法1：∵()()()1211222m m m m m m m m m S S S S S a S a a ++++++-=++-++122m m a a ++=-- 112m m a a q ++=-- 11122m m a a ++⎛⎫=--- ⎪⎝⎭0=， ∴212m m m S S S ++=+．∴当12q =-时，m S ，2m S +，1m S +成等差数列． 证法2：∵212211212412113212m m m a S a +++⎡⎤⎛⎫--⎢⎥ ⎪⎡⎤⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦==--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦+， 又1111111111222112113221122m m m m m m a a S S a +++⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫----⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎡⎤⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎛⎫⎛⎫⎣⎦⎣⎦+=+=----⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦++ 221211242322m m a ++⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-⨯-+⨯-⎢⎥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦2141132m a +⎡⎤⎛⎫=--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，数学（理科）试题参考答案及评分标准 第 9 页 共 105 页∴212m m m S S S ++=+． ∴当12q =-时，m S ，2m S +，1m S +成等差数列． 19．（本小题主要考查等可能事件、互斥事件和独立重复试验等基础知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及推理论证能力和运算求解能力）解：（1）∵一次摸球从2n +个球中任选两个，有22C n +种选法，任何一个球被选出都是等可能的，其中两球颜色相同有222C C n +种选法，∴一次摸球中奖的概率2222222C C 2C 32n n n n p n n ++-+==++． （2）若3n =，则一次摸球中奖的概率25p =， 三次摸球是独立重复试验，三次摸球恰有一次中奖的概率是123354(1)C (1)125P p p =⋅⋅-=． （3）设一次摸球中奖的概率为p ，则三次摸球恰有一次中奖的概率为()()213233(1)C 1363f p P p p p p p ==⋅⋅-=-+，01p <<， ∵()()()291233131f p p p p p '=-+=--，∴()f p 在10 3⎛⎫ ⎪⎝⎭，上为增函数，在1 13⎛⎫ ⎪⎝⎭，上为减函数．∴当13p =时，()f p 取得最大值． ∵2221323n n p n n -+==++(n ≥)*2,n ∈N 且， 解得2n =．故当2n =时，三次摸球恰有一次中奖的概率最大．20．（本小题主要考查函数的性质、函数与导数等知识，考查化归与转化、分类与整合的数学思想方法，以及抽象概括能力、推理论证能力和运算求解能力）（1）解法1：∵()22ln a h x x x x=++，其定义域为()0 +∞，， ∴()2212a h x x x'=-+．∵1x =是函数()h x 的极值点，∴()10h '=，即230a -=．∵0a >，∴a =经检验当a =1x =是函数()h x 的极值点，数学（理科）试题参考答案及评分标准 第 10 页 共 105 页∴a =解法2：∵()22ln a h x x x x =++，其定义域为()0+∞，， ∴()2212a h x x x'=-+．令()0h x '=，即22120a x x-+=，整理，得2220x x a +-=．∵2180a ∆=+>，∴()0h x '=的两个实根1x =，2x =，当x 变化时，()h x ，()h x '的变化情况如下表：依题意，114-+=，即23a =， ∵0a >，∴a = （2）解：对任意的[]12,1x x e ∈，都有()1f x ≥()2g x 成立等价于对任意的[]12,1x x e ∈，都有()min f x ⎡⎤⎣⎦≥()max g x ⎡⎤⎣⎦．当x ∈［1，e ］时，()110g x x'=+>．∴函数()ln g x x x =+在[]1e ，上是增函数．∴()()max1g x g e e ==+⎡⎤⎣⎦．∵()()()2221x a x a a f x x x+-'=-=，且[]1,x e ∈，0a >． ①当01a <<且x ∈［1，e ］时，()()()2x a x a f x x+-'=>， ∴函数()2a f x x x=+在［1，e ］上是增函数，∴()()2min 11f x f a ==+⎡⎤⎣⎦.由21a +≥1e +，得a数学（理科）试题参考答案及评分标准 第 11 页 共 105 页又01a <<，∴a 不合题意．②当1≤a ≤e 时， 若1≤x ＜a ，则()()()20x a x a f x x +-'=<，若a ＜x ≤e ，则()()()20x a x a f x x +-'=>．∴函数()2a f x x x=+在[)1,a 上是减函数，在(]a e ，上是增函数．∴()()min 2f x f a a ==⎡⎤⎣⎦.由2a ≥1e +，得a ≥12e +， 又1≤a ≤e ，∴12e +≤a ≤e ． ③当a e >且x ∈［1，e ］时，()()()20x a x a f x x +-'=<，∴函数()2a f x x x=+在[]1e ，上是减函数．∴()()2min a f x f e e e ==+⎡⎤⎣⎦.由2a e e+≥1e +，得a又a e >，∴a e >．综上所述，a 的取值范围为1,2e +⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．21．（本小题主要考查双曲线、解方程和直线与圆锥曲线的位置关系等知识，考查化归与转化、数形结合的数学思想方法，以及抽象概括能力、推理论证能力和运算求解能力）（1）解：∵双曲线22221x y a b-=()0,0a b >>∴3a =223a b =． ① ∵12MF MF ⊥，且12MF F ∆的面积为1．∴1212112MF F S MF MF ∆==，即122MF MF =．数学（理科）试题参考答案及评分标准 第 12 页 共 105 页∵122MF MF a -=， ∴222112224MF MF MF MF a -+=．∴221244F F a -=．∴()222444a b a +-=，∴21b =． ② 将②代入①，得23a =．∴双曲线C 的方程为2213x y -=． （2）解法1：设点Q A B ，，的坐标分别为（x y ，），（11x y ，），（22x y ，），且1x ＜2x ＜3，又设直线l 的倾斜角为θ2πθ⎛⎫≠⎪⎝⎭，分别过点P Q AB ，，，作x 轴的垂线，垂足分别为1111P Q A B ，，，， 则 1113cos cos A P x AP θθ-＝＝，112cos cos PB x PB θθ-３＝＝ ，112cos cos Q B x x QB θθ-=＝，111-cos cos AQ x x AQ θθ=＝， ∵AP QB AQ PB g g ＝，∴（3-1x ）（2x x -）＝123x x x --（）（），即[]1212126()3()2x x x x x x x -+=+-. ③ 设直线l 的方程为1(3)y k x -=-， ④将④代入223x y -＝1中整理，得 （1-3222)6133(13)10k x k k x k ⎡⎤----+=⎣⎦（）.依题意1x ，2x 是上述方程的两个根，且2130k -≠，∴()()1222122613133131.13k k x x k k x x k -⎧+=⎪-⎪⎨⎡⎤-+⎪⎣⎦=-⎪-⎩， ⑤将⑤代入③整理，得2(3)x k x -=-. ⑥数学（理科）试题参考答案及评分标准 第 13 页 共 105 页由④、⑥消去k 得21x y -=-，这就是点Q 所在的直线方程.∴点Q （x y ，）总在定直线 10x y --=上.解法2：设点Q ，A B ，的坐标分别为,（x ）y ，11,（）x y ，22（，）x y ，且1x ＜2x ＜3， ∵AP QB AQ PB g g ＝， ∴AP AQPB QB＝－，即112233x x x x x x --=---， 即[]1212126()3()2x x x x x x x -+=+-.以下同解法1.解法3：设点Q A B ，，的坐标分别为1122() () ()x y x y x y ，，，，，， 由题设知 AP PB AQ QB ，，，均不为零，记AP AQPB QBλ==． ∵过点P 的直线l 与双曲线C 的左、右两支 相交于两点A ，B ，∴0λ>且1λ≠． ∵A P B Q ，，，四点共线，∴ AP PB AQ QB λλ=-=u u u r u u u r u u u r u u u r，． 即()()()()112211223,13,1,,,.x y x y x x y y x x y y λλ--=---⎧⎪⎨--=--⎪⎩∴1212311x x x x x λλλλ-⎧=⎪⎪-⎨+⎪=⎪+⎩③由③消去λ，得[]1212126()3()2x x x x x x x -+=+-.以下同解法1.解法4：设点Q A B ，，的坐标分别为1122() () ()x y x y x y ，，，，，， 由题设知 AP PB AQ QB ，，，均不为零，记AP PBAQ QBλ==． ∵过点P 的直线l 与双曲线C 的左、右两支分别相交于两点A B 、， ∴0λ>且1λ≠． ∵A P B Q ，，，四点共线，数学（理科）试题参考答案及评分标准 第 14 页 共 105 页设12 PA AQ PB BQ λλ==u u u r u u u r u u u r u u u r ，，则120λλ+=．即()()()()11111222223,1,,3,1,.x y x x y y x y x x y y λλ--=--⎧⎪⎨--=--⎪⎩ ∴111111311.1x x y y λλλλ+⎧=⎪+⎪⎨+⎪=⎪+⎩， 2222223,11.1x x y y λλλλ+⎧=⎪+⎪⎨+⎪=⎪+⎩∵点11()A x y ，，22()B x y ，在双曲线C 上，∴22313311i i i i x y λλλλ⎛⎫⎛⎫++-= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，其中1 2i =，． ∴12λλ，是方程22313311x y λλλλ++⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭的两个根.即12 λλ，是方程()()222336130x y x y λλ--+--+=的两个根． ∵120λλ+=，且22330x y --≠，∴()122261033x y x y λλ--+=-=--，即10x y --=． ∴点()Q x y ，总在定直线10x y --=上．2008年广州市普通高中毕业班综合测试（一）数 学（文科） 2008．3本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟． 注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上．用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上．2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上．3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再将答案填写在对应题号的横线上。
2009年广东省高考数学试卷(理科)及答案
2009年广东省高考数学试卷（理科）一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1．（5分）已知全集U=R，集合M={x|﹣2≤x﹣1≤2}和N={x|x=2k﹣1，k=1，2，…}的关系的韦恩（Venn）图如图所示，则阴影部分所示的集合的元素共有（）A．3个 B．2个 C．1个 D．无穷多个2．（5分）设z是复数，a（z）表示z n=1的最小正整数n，则对虚数单位i，a（i）=（）A．8 B．6 C．4 D．23．（5分）若函数y=f（x）是函数y=a x（a＞0，且a≠1）的反函数，其图象经过点（，a），则f（x）=（）A．log2x B．C．D．x24．（5分）已知等比数列{a n}满足a n＞0，n=1，2，…，且a5•a2n﹣5=22n（n≥3），则当n≥1时，log2a1+log2a3+…+log2a2n﹣1=（）A．（n﹣1）2B．n2C．（n+1）2D．n2﹣15．（5分）给定下列四个命题：①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；③垂直于同一直线的两条直线相互平行；④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．其中，为真命题的是（）A．①和②B．②和③C．③和④D．②和④6．（5分）一质点受到平面上的三个力F1，F2，F3（单位：牛顿）的作用而处于平衡状态．已知F1，F2成60°角，且F1，F2的大小分别为2和4，则F3的大小为（）A．6 B．2 C．2 D．27．（5分）2010年广州亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有（）A．36种B．12种C．18种D．48种8．（5分）已知甲、乙两车由同一起点同时出发，并沿同一路线（假定为直线）行驶．甲车、乙车的速度曲线分别为V甲和V乙（如图所示）．那么对于图中给定的t0和t1，下列判断中一定正确的是（）A．在t1时刻，甲车在乙车前面 B．t1时刻后，甲车在乙车后面C．在t0时刻，两车的位置相同D．t0时刻后，乙车在甲车前面二、填空题（共7小题，每小题5分，满分30分）9．（5分）随机抽取某产品m件，测得其长度分别为k（k∈R），则如图所示的程序框图输出的S=，s表示的样本的数字特征是．（注：框图中的赋值符号“=”也可以写成“←”“：=”）10．（5分）若平面向量，满足，平行于x轴，，则=．11．（5分）已知椭圆G的中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率为，且G 上一点到G的两个焦点的距离之和为12，则椭圆G的方程为．12．（5分）已知离散型随机变量X的分布列如表．若EX=0，DX=1，则a=，b=．X﹣1012P a b c13．（5分）若直线（t为参数）与直线（s为参数）垂直，则k=．14．不等式的实数解为．15．（5分）如图，点A，B，C是圆O上的点，且AB=4，∠ACB=45°，则圆O的面积等于．三、解答题（共6小题，满分80分）16．（12分）已知向量=（sinθ，﹣2）与=（1，cosθ）互相垂直，其中θ∈（0，）．（Ⅰ）求sinθ和cosθ的值；（Ⅱ）若sin（θ﹣φ）=，0＜φ＜，求cosφ的值．17．（12分）根据空气质量指数API（为整数）的不同，可将空气质量分级如下表：API0～5051～100101～150151～200201～2050251～300＞300级别ⅠⅡⅢⅢⅣⅣⅤ状况优良轻微污染轻度污染中度污染中度重污染重度污染对某城市一年（365天）的空气质量进行监测，获得的API数据按照区间[0，50]，（50，100]，（100，150]，（150，200]，（200，250]，（250，300]进行分组，得到频率分布直方图如图．（1）求直方图中x的值；（2）计算一年中空气质量分别为良和轻微污染的天数；（3）求该城市某一周至少有2天的空气质量为良或轻微污染的概率．（结果用分数表示．已知57=78125，27=128，，365=73×5）18．（14分）如图，已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，点E是正方形BCC1B1的中心，点F，G分别是棱C1D1，AA1的中点．设点E1，G1分别是点E，G在平面DCC1D1内的正投影．（1）求以E为顶点，以四边形FGAE在平面DCC1D1内的正投影为底面边界的棱锥的体积；（2）证明：直线FG1⊥平面FEE1；（3）求异面直线E1G1与EA所成角的正弦值．19．（14分）已知曲线C：y=x2与直线l：x﹣y+2=0交于两点A（x A，y A）和B（x B，y B），且x A＜x B．记曲线C在点A和点B之间那一段L与线段AB所围成的平面区域（含边界）为D．设点P（s，t）是L上的任一点，且点P与点A和点B均不重合．（1）若点Q是线段AB的中点，试求线段PQ的中点M的轨迹方程；（2）若曲线G：x2﹣2ax+y2﹣4y+a2+=0与D有公共点，试求a的最小值．20．（14分）已知二次函数y=g（x）的导函数的图象与直线y=2x平行，且y=g （x）在x=﹣1处取得极小值m﹣1（m≠0）．设．（1）若曲线y=f（x）上的点P到点Q（0，2）的距离的最小值为，求m的值；（2）k（k∈R）如何取值时，函数y=f（x）﹣kx存在零点，并求出零点．21．（14分）已知曲线C n：x2﹣2nx+y2=0（n=1，2，…）．从点P（﹣1，0）向曲线C n引斜率为k n（k n＞0）的切线l n，切点为P n（x n，y n）．（1）求数列{x n}与{y n}的通项公式；（2）证明：．2009年广东省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1．（5分）（2009•广东）已知全集U=R，集合M={x|﹣2≤x﹣1≤2}和N={x|x=2k ﹣1，k=1，2，…}的关系的韦恩（Venn）图如图所示，则阴影部分所示的集合的元素共有（）A．3个 B．2个 C．1个 D．无穷多个【分析】根据题意，分析可得阴影部分所示的集合为M∩N，进而可得M与N 的元素特征，分析可得答案．【解答】解：根据题意，分析可得阴影部分所示的集合为M∩N，又由M={x|﹣2≤x﹣1≤2}得﹣1≤x≤3，即M={x|﹣1≤x≤3}，在此范围内的奇数有1和3．所以集合M∩N={1，3}共有2个元素，故选B．2．（5分）（2009•广东）设z是复数，a（z）表示z n=1的最小正整数n，则对虚数单位i，a（i）=（）A．8 B．6 C．4 D．2【分析】复数z n=1，要使i n=1，显然n是4的倍数，则a（i）=4．【解答】解：a（i）=i n=1，则最小正整数n为4．故选C．3．（5分）（2009•广东）若函数y=f（x）是函数y=a x（a＞0，且a≠1）的反函数，其图象经过点（，a），则f（x）=（）A．log2x B．C．D．x2【分析】欲求原函数y=a x的反函数，即从原函数式中反解出x，后再进行x，y 互换，即得反函数的解析式．【解答】解：∵y=a x⇒x=log a y，∴f（x）=log a x，∴a==⇒f（x）=log x．故选B．4．（5分）（2009•广东）已知等比数列{a n}满足a n＞0，n=1，2，…，且a5•a2n﹣5=22n （n≥3），则当n≥1时，log2a1+log2a3+…+log2a2n﹣1=（）A．（n﹣1）2B．n2C．（n+1）2D．n2﹣1【分析】先根据a5•a2n﹣5=22n，求得数列{a n}的通项公式，再利用对数的性质求得答案．【解答】解：∵a5•a2n﹣5=22n=a n2，a n＞0，∴a n=2n（n≥3），∴log2a1+log2a3+…+log2a2n﹣1=log2（a1a3…a2n﹣1）=log221+3+…+（2n﹣1）=log2=n2．故选：B．5．（5分）（2009•广东）给定下列四个命题：①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；③垂直于同一直线的两条直线相互平行；④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．其中，为真命题的是（）A．①和②B．②和③C．③和④D．②和④【分析】从直线与平面平行与垂直，平面与平面平行与垂直的判定与性质，考虑选项中的情况，找出其它可能情形加以判断，推出正确结果．【解答】解：①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；如果这两条直线平行，可能得到两个平面相交，所以不正确．②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；这是判定定理，正确．③垂直于同一直线的两条直线相互平行；可能是异面直线．不正确．④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．正确．故选：D．6．（5分）（2009•广东）一质点受到平面上的三个力F1，F2，F3（单位：牛顿）的作用而处于平衡状态．已知F1，F2成60°角，且F1，F2的大小分别为2和4，则F3的大小为（）A．6 B．2 C．2 D．2【分析】三个力处于平衡状态，则两力的合力与第三个力大小相等，方向相反，把三个力化到同一个三角形中，又知角的值，在任意三角形中用余弦定理求得结果，最后不要忽略开方运算．【解答】解：∵F32=F12+F22﹣2F1F2cos（180°﹣60°）=28，∴，故选D7．（5分）（2009•广东）2010年广州亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有（）A．36种B．12种C．18种D．48种【分析】根据题意，小张和小赵只能从事前两项工作，由此分2种情况讨论，①若小张或小赵入选，②若小张、小赵都入选，分别计算其情况数目，由加法原理，计算可得答案．【解答】解：根据题意分2种情况讨论，①若小张或小赵入选，则有选法C21C21A33=24；②若小张、小赵都入选，则有选法A22A32=12，共有选法12+24=36种，故选A．8．（5分）（2009•广东）已知甲、乙两车由同一起点同时出发，并沿同一路线（假定为直线）行驶．甲车、乙车的速度曲线分别为V甲和V乙（如图所示）．那么对于图中给定的t0和t1，下列判断中一定正确的是（）A．在t1时刻，甲车在乙车前面 B．t1时刻后，甲车在乙车后面C．在t0时刻，两车的位置相同D．t0时刻后，乙车在甲车前面【分析】利用定积分求面积的方法可知t0时刻前甲走的路程大于乙走的路程，则在t0时刻甲在乙的前面；又因为在t1时刻前利用定积分求面积的方法得到甲走的路程大于乙走的路程，甲在乙的前面；同时在t0时刻甲乙两车的速度一样，但是路程不一样．最后得到A正确，B、C、D错误．【解答】解：当时间为t0时，利用定积分得到甲走过的路程=v甲dt=a+c，乙走过的路程=v乙dt=c；当时间为t1时，利用定积分得到甲走过的路程=v甲dt=a+c+d，而乙走过的路dt=c+d+b；程=v乙从图象上可知a＞b，所以在t1时刻，a+c+d＞c+d+b即甲的路程大于乙的路程，A 正确；t1时刻后，甲车走过的路程逐渐小于乙走过的路程，甲车不一定在乙车后面，所以B错；在t0时刻，甲乙走过的路程不一样，两车的位置不相同，C错；t0时刻后，t1时刻时，甲走过的路程大于乙走过的路程，所以D错．故答案为A二、填空题（共7小题，每小题5分，满分30分）9．（5分）（2009•广东）随机抽取某产品m件，测得其长度分别为k（k∈R），则如图所示的程序框图输出的S=，s表示的样本的数字特征是平均数．（注：框图中的赋值符号“=”也可以写成“←”“：=”）【分析】由程序框图中的运算过程可以看出，当i=1时，s=a1，i=2时，s=，i=3时，…，s的值代表的是前i个数的平均值，故可得s的表达式．【解答】解：依据流程线的方向进行运算知当i=1时，s=a1，i=2时，s=，i=3时，…，归纳知，此程序框图中的算法是求解n 个数的平均值，故程序结束时，s=；其数字特征是平均数故两个空就依次填；平均数．10．（5分）（2009•广东）若平面向量，满足，平行于x轴，，则=（﹣1，1）或（﹣3，1）．【分析】与x平行的单位向量有（1，0）和（﹣1，0），根据向量加法的坐标运算公式，构造方程组，解方程组即可求解．【解答】解：∵，平行于x轴，∴或（﹣1，0），则，或故答案为：（﹣1，1）或（﹣3，1）11．（5分）（2009•广东）已知椭圆G的中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率为，且G上一点到G的两个焦点的距离之和为12，则椭圆G的方程为．【分析】由题设条件知，2a=12，a=6，b=3，由此可知所求椭圆方程为．【解答】解：由题设知，2a=12，∴a=6，b=3，∴所求椭圆方程为．答案：．12．（5分）（2009•广东）已知离散型随机变量X的分布列如表．若EX=0，DX=1，则a=，b=．X﹣1012P a b c【分析】根据题目条件中给出的分布列，可以知道a、b、c和之间的关系，根据期望为0和方差是1，又可以得到两组关系，这样得到方程组，解方程组得到要求的值．【解答】解：由题知，﹣a+c+=0，，∴，故答案为：；．13．（5分）（2009•广东）若直线（t为参数）与直线（s为参数）垂直，则k=﹣1．【分析】将直线（t为参数）与直线化为一般直线方程，然后再根据垂直关系求解．【解答】解：∵直线（t为参数）∴y=2+×k=﹣x+2+，直线（s为参数）∴2x+y=1，∵两直线垂直，∴，得k=﹣1．故答案为﹣1．14．（2009•广东）不等式的实数解为x且x≠﹣2．【分析】可直接转化为，两边平方去绝对值解决，注意|x+2|≠0【解答】解：且x≠﹣2故答案为：15．（5分）（2009•广东）如图，点A，B，C是圆O上的点，且AB=4，∠ACB=45°，则圆O的面积等于8π．【分析】要求圆O的面积，关键是求圆的半径R，求半径有如下方法：构造含半径R的三角形，解三角形求出半径R值；或是根据正弦定理，===2R，求出圆的半径后，代入圆的面积公式即可求解．【解答】解：法一：连接OA、OB，则∠AOB=90°，∵AB=4，OA=OB，∴R=，=；则S圆法二：，则S=圆三、解答题（共6小题，满分80分）16．（12分）（2009•广东）已知向量=（sinθ，﹣2）与=（1，cosθ）互相垂直，其中θ∈（0，）．（Ⅰ）求sinθ和cosθ的值；（Ⅱ）若sin（θ﹣φ）=，0＜φ＜，求cosφ的值．【分析】（1）根据两向量垂直，求得sinθ和cosθ的关系代入sin2θ+cos2θ=1中求得sinθ和cosθ的值．（2）先利用φ和θ的范围确定θ﹣φ的范围，进而利用同角三角函数基本关系求得cos（θ﹣φ）的值，进而利用cosφ=cos[θ﹣（θ﹣ϕ）]根据两角和公式求得答案．【解答】解：（1）∵与互相垂直，则，即sinθ=2cosθ，代入sin2θ+cos2θ=1得，又，∴（2）∵0＜φ＜，，∴﹣＜θ﹣φ＜，则cos（θ﹣φ）==，∴cosφ=cos[θ﹣（θ﹣φ）]=cosθcos（θ﹣φ）+sinθsin（θ﹣φ）=．17．（12分）（2009•广东）根据空气质量指数API（为整数）的不同，可将空气质量分级如下表：API0～5051～100101～150151～200201～2050251～300＞300级别ⅠⅡⅢⅢⅣⅣⅤ状况优良轻微污染轻度污染中度污染中度重污染重度污染对某城市一年（365天）的空气质量进行监测，获得的API数据按照区间[0，50]，（50，100]，（100，150]，（150，200]，（200，250]，（250，300]进行分组，得到频率分布直方图如图．（1）求直方图中x的值；（2）计算一年中空气质量分别为良和轻微污染的天数；（3）求该城市某一周至少有2天的空气质量为良或轻微污染的概率．（结果用分数表示．已知57=78125，27=128，，365=73×5）【分析】（1）根据所有矩形的面积和为1，建立等量关系，解之即可；（2）空气质量分别为良和轻微污染，在频率直方图中在第二组和第三组，求出这两组的频率分别再乘以365即可求出所求；（3）先求出该城市一年中每天空气质量为良或轻微污染的概率，然后根据对立事件的概率和为1求出气质量不为良且不为轻微污染的概率，根据概率公式即可求出一周至少有两天空气质量为良或轻微污染的概率．【解答】解：（1）由图可知x=1﹣×50，解得；（2）一年中空气质量分别为良和轻微污染的天数为：，；（3）该城市一年中每天空气质量为良或轻微污染的概率为，则空气质量不为良且不为轻微污染的概率为，一周至少有两天空气质量为良或轻微污染的概率为．18．（14分）（2009•广东）如图，已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，点E 是正方形BCC1B1的中心，点F，G分别是棱C1D1，AA1的中点．设点E1，G1分别是点E，G在平面DCC1D1内的正投影．（1）求以E为顶点，以四边形FGAE在平面DCC1D1内的正投影为底面边界的棱锥的体积；（2）证明：直线FG1⊥平面FEE1；（3）求异面直线E1G1与EA所成角的正弦值．【分析】（1）依题作点E、G在平面DCC1D1内的正投影E1、G1，则E1、G1分别为CC1、DD1的中点，四边形FGAE在平面DCC1D1内的正投影为底面边界即为四边形DE 1FG1，面积为，由题意可证EE1为该棱锥的高，代入体积公式可求；（2）以D为坐标原点，DA、DC、DD1所在直线分别作x轴，y轴，z轴；要证直线FG1⊥平面FEE1⇔FG1⊥FE，FG1⊥FE1⇔，利用空间向量的数量积可证；（3）异面直线E1G1与EA所成角⇔所成的角，利用公式可求；【解答】解：（1）依题作点E、G在平面DCC1D1内的正投影E1、G1，则E1、G1分别为CC1、DD1的中点，连接EE1、EG1、ED、DE1，则所求为四棱锥E﹣DE1FG1的体积，其底面DE1FG1面积为=，（3分）又EE1⊥面DE1FG1，EE1=1，∴．（6分）（2）以D为坐标原点，DA、DC、DD1所在直线分别作x轴，y轴，z轴，得E1（0，2，1）、G1（0，0，1），又G（2，0，1），F（0，1，2），E（1，2，1），则，，，∴，，即FG1⊥FE，FG1⊥FE1，又FE1∩FE=F，∴FG1⊥平面FEE1．（10分）（3），，则，设异面直线E1G1与EA所成角为θ，则．（14分）19．（14分）（2009•广东）已知曲线C：y=x2与直线l：x﹣y+2=0交于两点A（x A，y A）和B（x B，y B），且x A＜x B．记曲线C在点A和点B之间那一段L与线段AB 所围成的平面区域（含边界）为D．设点P（s，t）是L上的任一点，且点P与点A和点B均不重合．（1）若点Q是线段AB的中点，试求线段PQ的中点M的轨迹方程；（2）若曲线G：x2﹣2ax+y2﹣4y+a2+=0与D有公共点，试求a的最小值．【分析】（1）欲求线段PQ的中点M的轨迹方程，设线段PQ的中点M坐标为（x，y），即要求x，y间的关系式，先利用x，y列出点P（s，t）的坐标结合点P在曲线C上即得；（2）处理圆与D有无公共点的问题，须分两种情形讨论：当时和当a ＜0时．对于后一种情形，只须只需考虑圆心E到直线l：x﹣y+2=0的距离即可，从而求得求a的最小值．【解答】解：（1）联立y=x2与y=x+2得x A=﹣1，x B=2，则AB中点，设线段PQ的中点M坐标为（x，y），则，即，又点P在曲线C上，∴化简可得，又点P是L上的任一点，且不与点A和点B重合，则，即，∴中点M的轨迹方程为（）．（2）曲线G：x2﹣2ax+y2﹣4y+a2+=0，即圆E：，其圆心坐标为E（a，2），半径由图可知，当时，曲线G：x2﹣2ax+y2﹣4y+a2+=0与点D有公共点；当a＜0时，要使曲线G：x2﹣2ax+y2﹣4y+a2+=0与点D有公共点，只需圆心E到直线l：x﹣y+2=0的距离，得，则a的最小值为．20．（14分）（2009•广东）已知二次函数y=g（x）的导函数的图象与直线y=2x 平行，且y=g（x）在x=﹣1处取得极小值m﹣1（m≠0）．设．（1）若曲线y=f（x）上的点P到点Q（0，2）的距离的最小值为，求m的值；（2）k（k∈R）如何取值时，函数y=f（x）﹣kx存在零点，并求出零点．【分析】（1）先根据二次函数的顶点式设出函数g（x）的解析式，然后对其进行求导，根据g（x）的导函数的图象与直线y=2x平行求出a的值，进而可确定函数g（x）、f（x）的解析式，然后设出点P的坐标，根据两点间的距离公式表示出|PQ|，再由基本不等式表示其最小值即可．（2）先根据（1）的内容得到函数y=f（x）﹣kx的解析式，即（1﹣k）x2+2x+m=0，然后先对二次项的系数等于0进行讨论，再当二次项的系数不等于0时，即为二次方程时根据方程的判别式进行讨论即可得到答案．【解答】解：（1）依题可设g（x）=a（x+1）2+m﹣1（a≠0），则g'（x）=2a（x+1）=2ax+2a；又g'（x）的图象与直线y=2x平行∴2a=2∴a=1∴g（x）=（x+1）2+m﹣1=x2+2x+m，，设P（x o，y o），则=当且仅当时，|PQ|2取得最小值，即|PQ|取得最小值当m＞0时，解得当m＜0时，解得（2）由（x≠0），得（1﹣k）x2+2x+m=0（*）当k=1时，方程（*）有一解，函数y=f（x）﹣kx有一零点；当k≠1时，方程（*）有二解⇔△=4﹣4m（1﹣k）＞0，若m＞0，，函数y=f（x）﹣kx有两个零点，即；若m＜0，，函数y=f（x）﹣kx有两个零点，即；当k≠1时，方程（*）有一解⇔△=4﹣4m（1﹣k）=0，，函数y=f（x）﹣kx有一零点综上，当k=1时，函数y=f（x）﹣kx有一零点；当（m＞0），或（m＜0）时，函数y=f（x）﹣kx有两个零点；当时，函数y=f（x）﹣kx有一零点．21．（14分）（2009•广东）已知曲线C n：x2﹣2nx+y2=0（n=1，2，…）．从点P（﹣1，0）向曲线C n引斜率为k n（k n＞0）的切线l n，切点为P n（x n，y n）．（1）求数列{x n}与{y n}的通项公式；（2）证明：．【分析】（1）设直线l n：y=k n（x+1），联立x2﹣2nx+y2=0得（1+k n2）x2+（2k n2﹣2n）x+k n2=0，则△=（2k n2﹣2n）2﹣4（1+k n2）k n2=0，由此可知，（2）由题设条件知，令函数，则=0，得，再由函数f（x）在上单调递减可知．【解答】解：（1）设直线l n：y=k n（x+1），联立x2﹣2nx+y2=0得（1+k n2）x2+（2k n2﹣2n）x+k n2=0，则△=（2k n2﹣2n）2﹣4（1+k n2）k n2=0，∴（舍去），即，∴（2）证明：∵∴由于，可令函数，则，令f′（x）=0，得，给定区间，则有f′（x）＜0，则函数f（x）在上单调递减，∴f（x）＜f（0）=0，即在恒成立，又，则有，即．。
2009年高考数学(广东.理)含详解
，
x = 1 − 2t , (t为参数) y = 2 + kt.
直线 l2 :
x = s, s为 y = 1 − 2 s.
x +1 x+2
≥ 1 的实数解为
．
15 ．(几何证明选讲选做题 ．
的点，姓且
AB = 4, ∠ACB = 450 ，则圆 O 的面积等于
a, b 满 足 a + b = 1 ， a + b
．
w.w.w.k.s.5.u.c.o. m
行于 x 轴，
b = (2, −1) ，则 a =
11． 知椭圆 G 的中心在坐标原点， 长轴在 x 轴 ， 离心率为 且G 程为
3 ， 2
一点到 G 的两个焦点的距离之和为 12，则椭圆 G 的方 ．
12． 知离散型随机 X的 列如右表．若 EX = 0 ， DX = 1 ，则 a = b= ． 选做题 13 ~ 15 题，考生只能从中选做两题 13． 坐标系 参数方程选做题 若直线 l1 : 参数 垂直，则 k = 14． 等式选讲选做题 ． 等式
组，得到频率 直方 如 5姓姓姓姓姓姓姓姓姓姓姓姓姓姓姓姓姓姓姓姓姓姓姓姓姓姓姓 1 求直方 中 x 的值 姓姓 以 计算一 屮空气质 别为良和轻微污染的天数 姓 3 求该城 某一周至少有以天的空气质 为良或轻微污染的概率.姓 (结果用 数表示． 知姓 行
w.w.w.k.s.5.u.c.o. m
17． 本小题满 令以 姓 根据空气质 指数 A布I 为整数 的
，可将空气质
级如 表:姓
对某城
一
365 天
的空气质
进 行 监 测 ， 获 得 的 A布I 数 据 按 照 区 间
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绝密★启用前 试卷类型：B2009年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（理科）本试卷共4页，21小题，满分150分。
考试用时120分钟。
注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签宇笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。
用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。
将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。
2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。
答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题组号对应的信息点，再作答。
漏涂、错涂、多涂的，答案无效。
5．考生必须保持答题卡的整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
参考公式：锥体的体积公式13V sh =，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． １．巳知全集U R =，集合{212}M x x =-≤-≤和{21,1,2,}N x x k k ==-=L 的关系的韦恩（Ｖenn ）图如图1所示，则阴影部分所示的集合的元素共有 A ．３个 Ｂ．２个 Ｃ．１个 Ｄ．无穷个２．设z 是复数，()a z 表示满足1nz =的最小正整数n ，则对虚数单位i ，()a i =Ａ．８ Ｂ．６ Ｃ．４ Ｄ．２３．若函数()y f x =是函数(0,1)xy a a a =>≠且的反函数，其图像经过点,)a a ，则()f x =Ａ．2log x Ｂ．12log x Ｃ．12xＤ．2x 3。
４．巳知等比数列{}n a 满足0,1,2,n a n >=L ，且25252(3)nn a a n -⋅=≥，则当1n ≥时，2123221log log log n a a a -+++=LＡ．(21)n n - Ｂ．2(1)n + Ｃ．2n Ｄ．2(1)n - 45．给定下列四个命题：①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行； ②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直； ③垂直于同一直线的两条直线相互平行；④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．其中，为真命题的是Ａ．①和② Ｂ．②和③ Ｃ．.③和④ Ｄ．②和④6．一质点受到平面上的三个力123,,F F F （单位：牛顿）的作用而处于平衡状态．已知12,F F 成060角，且12,F F 的大小分别为２和４，则3F 的大小为Ａ．６ Ｂ．２ Ｃ．25 Ｄ．277．2010年广州亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有Ａ．36种 Ｂ．12种 Ｃ．18种 Ｄ．48种8．已知甲、乙两车由同一起点同时出发,并沿同一路线〈假定为直线）行驶．甲车、乙车的速度曲线分别为v v 乙甲和（如图2所示）．那么对于图中给定的01t t 和，下列判断中一定正确的是A ．在1t 时刻，甲车在乙车前面B ．1t 时刻后，甲车在乙车后面C ．在0t 时刻，两车的位置相同D ．0t 时刻后，乙车在甲车前面二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． （一）必做题（９～１２题）９．随机抽取某产品n 件，测得其长度分别为12,,,n a a a L ，则图3所示的程序框图输出的s = ，表示的样本的数字特征是 ．（注：框图中的赋值符号“=”也可以写成“←”“：=”）１０．若平面向量,a b 满足1a b +=，a b +平行于x 轴，(2,1)b =-，则a = ．3，且11．巳知椭圆G 的中心在坐标原点，长轴在x 轴上，离心率为G 上一点到G 的两个焦点的距离之和为12，则椭圆G 的方程为_________________ ．12．已知离散型随机变量X 的分布列如右表．若0EX =，1DX =，则a = ，b = ．（二）选做题（13 ~ 15题，考生只能从中选做两题） 13．（坐标系与参数方程选做题）若直线112,:()2.x t l t y kt =-⎧⎨=+⎩为参数与直线2,:12.x s l y s =⎧⎨=-⎩（s 为参数）垂直，则k = ．14．（不等式选讲选做题）不等式112x x +≥+的实数解为 ．F 1F 2F 3OA BC D15．(几何证明选讲选做题）如图4，点,,A B C 是圆O 上的点， 且04,45AB ACB =∠=，则圆O 的面积等于 ．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤，16．(本小题满分12分）已知向量(sin ,2)(1,cos )a b θθ=-=与互相垂直，其中(0,)2πθ∈．（1）求sin cos θθ和的值； （2）若10sin(),02πθϕϕ-=<<，求cos ϕ的值．17．（本小题满分12分）根据空气质量指数API （为整数）的不同，可将空气质量分级如下表:对某城市一年（365天）的空气质量进行监测，获得API 数据按照区间[0,50],(50,100],(100,150],(150,200],(200,250],(250,300]进行分组，得到频率分布直方图如图5 （1）求直方图中x 的值；（2）计算一年中空气质量分别为良和轻微污染的天数； （3）求该城市某一周至少有2天的空气质量为良或轻微污染的概率.(结果用分数表示．已知1282,78125577==,9125123912581825318257365218253=++++, 573365⨯=）18．（本小题满分１４分） 如图６，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为２，点Ｅ是正方形11BCC B 的中心，点Ｆ、Ｇ分别是棱111,C D AA 的中点．设点11,E G 分别是点Ｅ、Ｇ在平面11DCC D 内的正投影．（１）求以Ｅ为顶点，以四边形FGAE 在平面11DCC D 内 的正投影为底面边界的棱锥的体积；（２）证明：直线11FG FEE ⊥平面； （３）求异面直线11E G EA 与所成角的正弦值 19．（本小题满分１４分）已知曲线2:C y x =与直线:20l x y -+=交于两点(,)A A A x y 和(,)B B B x y ，且A B x x <．记曲线C 在点A 和点B 之间那一段L 与线段AB 所围成的平面区域（含边界）为D ．设点(,)P s t 是L 上的任一点，且点P 与点A 和点B 均不重合．（１）若点Q 是线段AB 的中点，试求线段PQ 的中点M 的轨迹方程；（２）若曲线22251:24025G x ax y y a -+-++=与D 有公共点，试求a 的最小值．20．（本小题满分１４分）已知二次函数()y g x =的导函数的图像与直线2y x =平行，且()y g x =在1x =-处取得极小值1(0)m m -≠．设()()g x f x x=． （１）若曲线()y f x =上的点P 到点(0,2)Q，求m 的值； （２）()k k R ∈如何取值时，函数()y f x kx =-存在零点，并求出零点． 21．（本小题满分１４分）已知曲线22:20(1,2,)n C x nx y n -+==K ．从点(1,0)P -向曲线n C 引斜率为(0)n n k k >的切线n l ，切点为(,)n n n P x y ．（１）求数列{}{}n n x y 与的通项公式；（２）证明：13521n n nxx x x x y -⋅⋅⋅⋅<<L答 案1.解：}31|{≤≤-=x x M ，},5,3,1{Λ=N ，所以 }3,1{=N M I 故，选B2. 解：因为12-=i ，i i -=3， 14=i ，所以满足1=ni 的最小正整数n 的值是4。
故，选C.解：由函数()y f x ＝是函数(0,1)xy a a a =>≠且的反函数，可知x x f a log )(=，又其图像经过点)a ，即a a a=log ，所以a=21, x x f 21log )(=。
故答B。
解：在25252(3)n n a a n -⋅=≥中，令n=5,得251025)2(2==a ，令n=3,得6152=⋅a a ，又0,1,2,n a n >=L ，所以552=a ，21=a ，从而解得，公比2=q ，nn a 2=，12122--=n n a ，12log 122-=-n a n ，所以2123221log log log n a a a -+++=L 1+3+…+（2n-1）=22)121(n n n =-+5.解： 显然 ①和③是假命题，故否定A,B,C, 答 D.6.解：依题意，可知321=++F F F ，所以)(213F F F +-=，o F F 60)(221+=+=+==214224222⨯⨯⨯++=28.所以，力3F7228==， 答D 。
7。
解：若小张和小赵两人都被选中，则不同的选派方案有122322=⋅A A 种，若小张和小赵两人只有一人都被选中，则不同的选派方案有24331212=⋅A C C 种，故， 总的不同的选派方案共有12+24=36种。
答A 。
8. 解：因为速度函数)(t v 是路程函数)(t s 的导函数，即)()(t v t s ='，所以dt t v t s t⎰=)()(，根据定积分的定义，比较图中速度曲线v v 乙甲和分别与x 轴及直线0t t =，1t t =围成的图形的面积，即可看出，应选A 。
9.解：记k i =时求得的S 值为k S ,记初始值为00=S ,则1101101a a S S =+⨯=,22121212a a a S S +=+⨯=,332321323a a a a S S ++=+⨯=,……,n a a a n a S n S nn n n +++=+⨯-=-Λ211)1(故,答案为(1) na a a n+++Λ21 ；(2)这n 件产品的平均长度。
10。
解：设),(y x =，则)1,2(-+=+y x ，依题意，得⎪⎩⎪⎨⎧=-=-++011)1()2(22y y x ，解得⎩⎨⎧=-=11y x 或⎩⎨⎧=-=13y x ，所以)1,1(-=a 或)1,3(-=a 。