2009年广东高考理科数学试题及答案完整版

绝密★启用前 试卷类型：B

2009年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）

数学（理科）

本试卷共4页，21小题，满分150分。考试用时120分钟。

注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签宇笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题

卡上。用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。

2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。

4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题组号对应的信息点，再作答。漏涂、错涂、多涂的，答案无效。

5．考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。 参考公式：锥体的体积公式1

3

V sh =

，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求

的． １．巳知全集U R =，集合{212}M x x =-≤-≤和{21,1,2,}N x x k k ==-=L 的关系的韦恩（Ｖenn ）图如图1所示，则阴影部分所示的集合的元素共有 A ．３个 Ｂ．２个 Ｃ．１个 Ｄ．无穷个

２．设z 是复数，()a z 表示满足1n

z =的最小正整数n ，则对虚数单

位i ，()a i =

Ａ．８ Ｂ．６ Ｃ．４ Ｄ．２

３．若函数()y f x =是函数(0,1)x

y a a a =>≠且的反函数，其图像经过点,)a a ，则()f x =

Ａ．2log x Ｂ．12

log x Ｃ．

12

x

Ｄ．2

x 3。

４．巳知等比数列{}n a 满足0,1,2,n a n >=L ，且25252(3)n

n a a n -⋅=≥，则当1n ≥时，

2123221log log log n a a a -+++=L

Ａ．(21)n n - Ｂ．2

(1)n + Ｃ．2n Ｄ．2

(1)n - 4

5．给定下列四个命题：

①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行； ②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直； ③垂直于同一直线的两条直线相互平行；

④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．其中，为真命题的是

Ａ．①和② Ｂ．②和③ Ｃ．.③和④ Ｄ．②和④

6．一质点受到平面上的三个力123,,F F F （单位：牛顿）的作用而处于平衡状态．已知12,F F 成0

60角，且12,F F 的

大小分别为２和４，则3F 的大小为

Ａ．６ Ｂ．２ Ｃ．25 Ｄ．27

7．2010年广州亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，

若其中小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则

不同的选派方案共有

Ａ．36种 Ｂ．12种 Ｃ．18种 Ｄ．48种

8．已知甲、乙两车由同一起点同时出发,并沿同一路线〈假定为直线）行驶．甲车、乙车的速度曲线分别为v v 乙甲和（如图2所示）．那么对于图中给定的01t t 和，下

列判断中一定正确的是

A ．在1t 时刻，甲车在乙车前面

B ．1t 时刻后，甲车在乙车后面

C ．在0t 时刻，两车的位置相同

D ．0t 时刻后，乙车在甲车前面

二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． （一）必做题（９～１２题）

９．随机抽取某产品n 件，测得其长度分别为12,,,n a a a L ，则图3所示的程序框图输出的s = ，表示的样本的数字特征是 ．（注：框图中的赋值符号“=”也可以写成“←”

“：=”）

１０．若平面向量,a b 满足1a b +=，a b +平行于x 轴，

(2,1)b =-，则a = ．

3

，且11．巳知椭圆G 的中心在坐标原点，长轴在x 轴上，离心率为

G 上一点到G 的两个焦点的距离之和为12，则椭圆G 的方程

为

_________________ ．

12．已知离散型随机变量X 的分布列如右表．若0EX =，1DX =，则a = ，b = ．

（二）选做题（13 ~ 15题，考生只能从中选做两题） 13．（坐标系与参数方程选做题）若直线

112,:()2.x t l t y kt =-⎧⎨=+⎩为参数与直线2,

:12.x s l y s =⎧⎨

=-⎩（s 为参数）垂直，则

k = ．

14．（不等式选讲选做题）不等式1

12

x x +≥+的实数解为 ．

F 1

F 2

F 3

O

A B

C D

15．(几何证明选讲选做题）如图4，点,,A B C 是圆O 上的点， 且0

4,45AB ACB =∠=，则圆O 的面积等于 ．

三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤，

16．(本小题满分12分）

已知向量(sin ,2)(1,cos )a b θθ=-=与互相垂直，其中(0,)2

π

θ∈．

（1）求sin cos θθ和的值； （2）若10sin(),02

π

θϕϕ-=

<<，求cos ϕ的值．

17．（本小题满分12分）

根据空气质量指数API （为整数）的不同，可将空气质量分级如下表:

对某城市一年（365天）的空气质量进行监测，获得API 数据按照区间

[0,50],(50,100],(100,150],(150,200],(200,250],(250,300]进行分组，得到频率分布直方图如图5 （1）求直方图中x 的值；

（2）计算一年中空气质量分别为良和轻微污染的天数； （3）求该城市某一周至少有2天的空气质量为良或轻微污染的

概率.

(结果用分数表示．已知1282,7812557

7

==,

9125123

912581825318257365218253=

++++, 573365⨯=）

18．（本小题满分１４分） 如图６，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为２，点Ｅ是正

方形11BCC B 的中心，点Ｆ、Ｇ分别是棱111,C D AA 的中点．设点11,E G 分别是点Ｅ、Ｇ在平面11DCC D 内的正投

影．

（１）求以Ｅ为顶点，以四边形FGAE 在平面11DCC D 内 的正投影为底面边界的棱锥的体积；

（２）证明：直线11FG FEE ⊥平面； （３）求异面直线11E G EA 与所成角的正弦值 19．（本小题满分１４分）

已知曲线2

:C y x =与直线:20l x y -+=交于两点(,)A A A x y 和