数值分析复习习题
数值分析期末试题及答案
数值分析期末试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 在数值分析中，下列哪个算法不是用于求解线性方程组的？A. 高斯消元法B. 牛顿法C. 雅可比法D. 追赶法答案：B2. 插值法中，拉格朗日插值法属于：A. 多项式插值B. 样条插值C. 线性插值D. 非线性插值答案：A3. 以下哪个选项不是数值分析中的误差来源？A. 截断误差B. 舍入误差C. 计算误差D. 测量误差答案：C4. 在数值积分中，梯形法则的误差项是：A. O(h^2)B. O(h^3)C. O(h)D. O(1)答案：A二、填空题（每题5分，共20分）1. 牛顿插值法中，插值多项式的一般形式为：______。
答案：f(x) = a_0 + a_1(x-x_0) + a_2(x-x_0)(x-x_1) + ...2. 牛顿迭代法求解方程的根时，迭代公式为：x_{n+1} = x_n -f(x_n) / __________。
答案：f'(x_n)3. 在数值分析中，______ 用于衡量函数在区间上的近似积分值与真实积分值之间的差异。
答案：误差4. 线性方程组的解法中，______ 法是利用矩阵的LU分解来求解。
答案：克兰特三、解答题（每题10分，共60分）1. 给定函数f(x) = e^(-x)，使用拉格朗日插值法，求x = 0.5时的插值值。
解答：首先选取插值节点x_0 = 0, x_1 = 0.5, x_2 = 1，对应的函数值分别为f(0) = 1, f(0.5) = e^(-0.5), f(1) = e^(-1)。
拉格朗日插值多项式为：L(x) = f(0) * (x-0.5)(x-1) / (0-0.5)(0-1) + f(0.5) * (x-0)(x-1) / (0.5-0)(0.5-1) + f(1) * (x-0)(x-0.5) / (1-0)(1-0.5)将x = 0.5代入得：L(0.5) = 1 * (0.5-0.5)(0.5-1) / (0-0.5)(0-1) + e^(-0.5) * (0.5-0)(0.5-1) / (0.5-0)(0.5-1) + e^(-1) * (0.5-0)(0.5-0.5) / (1-0)(1-0.5)计算得L(0.5) = e^(-0.5)。
《数值分析》期末复习题(1)
《数值分析》期末复习题一、单项选择题1. 数值x *的近似值x =0.32502×10-1，若x 有5位有效数字，则≤-*x x ( ).(A)21×10-3 (B) 21×10-4 (C) 21×10-5 (D) 21×10-6 2. 设矩阵A ＝10212104135⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦，那么以A 为系数矩阵的线性方程组A X ＝b 的雅可比迭代矩阵为( )(A)00.20.10.200.40.20.60--⎡⎤⎢⎥--⎢⎥--⎣⎦(B)10.20.10.210.40.20.61⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦(C) 00.20.10.200.40.20.60⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦ (D)021204130⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦3. 已知(1)1,(2)4,(3)9f f f ===，用拉格朗日2次插值，则(2.5)f =( )(A) 6.15 (B) 6.25 (C) 6.20 (D) 6.10 4. 抛物形求积公式的代数精度是( )A. 1，B. 2 ，C. 3，D. 45. 改进欧拉格式的 局部截断误差是( ). (),A O h 2. (),B O h 3. (),C O h 4. ().D O h二、填空题1、以722作为π的近似值，它有（ ）位有效数字； 2、经过)1,2( ),2,1( ),1,0(C B A 三个节点的插值多项式为（ ）； 3、用高斯-赛德尔迭代法解方程组⎩⎨⎧-=+-=+,10,232121x bx bx x 其中b 为实数，则方法收敛的充分条件是b 满足条件（ ）；4、取步长为1.0=h ，用欧拉法计算初值问题22',(0)0,y x y y ⎧=+⎨=⎩的解函数)(x y ，它在3.0=x 的近似值为（ ）；5、已知方程0sin 1=--x x 在)1,0(有一个根，使用二分法求误差不大于41021-⨯的近似解至少需要经过（ ）次迭代。
《数值分析》练习题及答案解析
《数值分析》练习题及答案解析一、单选题1. 以下误差公式不正确的是（ D ）A ．()1212x x x x ∆-≈∆-∆B ．()1212x x x x ∆+≈∆+∆C ．()122112x x x x x x ∆≈∆+∆D ．1122()x x x x ∆≈∆-∆ 2. 已知等距节点的插值型求积公式()()352kkk f x dx A f x =≈∑⎰，那么3kk A==∑（ C ）A ．1 B. 2 C.3 D. 4 3.辛卜生公式的余项为（ c ）A ．()()32880b a f η-''-B ．()()312b a f η-''-C ．()()()542880b a f η--D ．()()()452880b a f η--4. 用紧凑格式对矩阵4222222312A -⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦进行的三角分解，则22r ＝（ A ） A ．1 B ．12C ．–1D ．–25. 通过点()()0011,,,x y x y 的拉格朗日插值基函数()()01,l x l x 满足（ D ） A ．()00l x ＝0,()110l x = B ． ()00l x ＝0，()111l x = C ．()00l x ＝1，()111l x = D ． ()00l x ＝1，()111l x =6. 用二分法求方程()0f x =在区间[],a b 上的根，若给定误差限ε，则计算二分次数的公式是n ≥（ D ）A ．ln()ln 1ln 2b a ε-++ B. ln()ln 1ln 2b a ε-+-C.ln()ln 1ln 2b a ε--+ D. ln()ln 1ln 2b a ε--- 7.若用列主元消去法求解下列线性方程组,其主元必定在系数矩阵主对角线上的方程组是（ B )A ．123123123104025261x x x x x x x x x -+=⎧⎪-+=⎨⎪-+=-⎩ B 。
数值分析期末复习题
数值分析期末复习题⼀、填空题1.设真值x=983350,则其近似值y=98000的有效数字的位数，绝对误差为，相对误差为。
2.x=0.1062,y=0.947,计算x+y 其有效数字的位数为。
3.对f(x)=x 3+x+1,差商f[0,1,2,3]= ;f[0,1,2,3,4]= 。
4.设f(x)可微，求⽅程x=f(x)根的⽜顿迭代法格式是。
5.设⽅程x=?(x)有根x *,且设?(x)在含x *的区间(a,b)内可导，设x 0∈(a,b)则迭代格式x k+1=?(x k )收敛的充要条件为。
6.求解线性⽅程组Ax=b 的迭代格式x (k+1)=Jx (k)+f 收敛的充要条件为。
7.=011001001001....A ,||A||∝= ,cond(A)∝= 。
8.n 次Legendre 多项式的最⾼次项系数为。
9.中矩形公式：)()2()(a b b a f dx x f b a -+=?的代数精度为。
10.求积公式：)1(21)0()(10f f dx x f '+≈?的代数精度为。
11.在区间[1，2]上满⾜插值条件??==3)2(1)1(P P 的⼀次多项式P(x)= 。
12.设∑==n k k k n x f A f I 0)()(是函数f(x)在区间[a,b]上的插值型型求积公式，则 ∑=n k k A0= 。
13．梯形公式和改进的Euler 公式都是阶精度的。
⼆、计算题1.利⽤矩阵的⾼斯消元法，解⽅程组=++=++=++2053182521432321321321x x x x x xx x x2.设有函数值表试求各阶差商，并写出Newton 插值多项式。
3.求解超定⽅程组= ?43231211121x x的最⼩⼆乘解。
4.给定下列函数值表：求3次⾃然样条插值函数5.给定x x f =)(在x=100, 121, 144 三点处的值，试以这三点建⽴f(x)的⼆次（抛物）插值公式，利⽤插值公式求115的近似值并估计误差。
数值分析试题及答案
数值分析试题及答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 以下哪个算法是数值分析中用于求解线性方程组的直接方法？A. 牛顿法B. 高斯消元法C. 梯度下降法D. 蒙特卡洛方法答案：B2. 插值法中，拉格朗日插值法和牛顿插值法的共同点是：A. 都是多项式插值B. 都使用差商C. 都只适用于等距节点D. 都需要预先知道所有数据点答案：A3. 在数值积分中，辛普森(Simpson)公式比梯形公式的误差：A. 更大B. 更小C. 相同D. 无法比较答案：B4. 以下哪个是数值稳定性分析中常用的方法？A. 条件数B. 收敛性C. 收敛速度D. 误差分析答案：A5. 在求解常微分方程的数值解时，欧拉方法属于：A. 单步法B. 多步法C. 隐式方法D. 显式方法答案：A6. 以下哪个是数值分析中求解非线性方程的迭代方法？A. 高斯-约当消元法B. 牛顿-拉弗森方法C. 雅可比迭代法D. 高斯-赛德尔迭代法答案：B7. 线性插值公式中，如果给定两个点\( (x_0, y_0) \)和\( (x_1, y_1) \)，插值多项式是：A. \( y = y_0 + \frac{y_1 - y_0}{x_1 - x_0}(x - x_0) \)B. \( y = y_0 + \frac{y_1 - y_0}{x_0 - x_1}(x - x_0) \)C. \( y = y_0 + \frac{x - x_0}{x_1 - x_0}(y_1 - y_0) \)D. \( y = y_1 + \frac{x_1 - x}{x_1 - x_0}(y_0 - y_1) \)答案：C8. 以下哪个是数值分析中用于求解特征值问题的算法？A. 幂法B. 共轭梯度法C. 牛顿法D. 欧拉法答案：A9. 在数值微分中，使用有限差分法来近似导数时，中心差分法的误差：A. 与步长成正比B. 与步长的平方成正比C. 与步长的立方成正比D. 与步长的四次方成正比答案：B10. 以下哪个是数值分析中用于求解线性最小二乘问题的算法？A. 梯度下降法B. 牛顿法C. 奇异值分解法D. 共轭梯度法答案：C二、简答题（每题10分，共30分）1. 简述数值分析中病态问题的特点及其对算法的影响。
数值分析复习题
数值分析复习题⼀、填空1.近似数x*=0.4231关于真值x=0.4229有位有效数字.2.设f(x)可微，则求⽅程x 2=f(x)根的⽜顿迭代格式为 .3.对f(x)=x 3+3x 2-x+5,差商f[0,1,2,3,4]= .4.⽅阵A 的谱半径是指 .5.求积分?ba dx x f )(的近似值，其⾟⼘⽣公式为 .⼆、已知观测数据（1，-5），（2，0），（4，5），（5，6），试⽤最⼩⼆乘法求形如xb ax x +=)(?的经验公式。
（10分）三、求⼀个次数不⾼于4的多项式p 4(x)，满⾜下列插值条件 x 0 1 2f(x) 0 1 1)(x f '0 1四、写出计算线性⽅程组=+-=+-=+-272135223121321x x x x x x x 的⾼斯⼀赛德尔迭代格式，并分析此格式的敛散性.五、⽤预估⼀校正法求初值问题=≤≤-='1)0(102y x y x y y在x=0.2处的数值解，步长取h=0.1。
（要求保留⼩数点后4位）六、把区间分成两等份，⽤复化⾟⼘⽣公式计算dxx+1七、在求⾮线性f(x)=0根的近似值时，论证简单迭代法⼀般为线性收敛，⽽⽜顿迭代法为平⽅收敛.⼀填空1．近似数x*=0.4231关于真值x=0.4229有位有效数字.2．设643()35f x x x x =-+-，则差商[0,1,2,3,4,5,6]f = 3．求积分()ba f x dx ?的近似值，其复化梯形公式为4．5点⾼斯求积公式，其代数精度为5．设f(x)可微，则求⽅程x 2=f(x)根的近似值的⽜顿迭代格式为 6．利⽤⼆分法求()0f x =在[,]a b 上根的近似值，误差限为 7．⽅阵A 的谱半径是指 8．矩阵A 的条件数是指 9．能⽤⾼斯消元法求解A x b =的充要条件是 10．设215314278A -??=，则1||||A = ⼆给定线性⽅程组1231232231242122316x x x x x x x x x -++=??-++=??++=? 1. ⽤列主元消元法求解所给线性⽅程组。
数值分析考试题
数值分析考试题一、选择题1. 以下哪个方法不是数值分析中常用的数值积分方法？A. 梯形法则B. 辛普森法则C. 牛顿法D. 龙格-库塔法2. 在求解线性方程组的直接方法中，高斯消元法属于以下哪种类型？A. 列主元消去法B. 行主元消去法C. 完全主元消去法D. 选主元消去法3. 非线性方程求根的二分法属于以下哪种类型的数值方法？A. 迭代法B. 直接法C. 优化算法D. 插值法4. 在数值分析中，用于度量舍入误差的常用指标是：A. 截断误差B. 舍入误差C. 估计误差D. 计算误差5. 插值多项式的最高次数与插值节点的数量关系是：A. 次数多于节点数量B. 次数少于节点数量C. 次数等于节点数量D. 与节点数量无关二、填空题1. 在数值分析中，__________是用来描述一个算法在实际运算中所需步数的度量。
2. 线性方程组的雅可比方法是一种__________消去法。
3. 牛顿法在求解非线性方程时，每次迭代都需要计算__________。
4. 龙格现象是指在数值积分中，由于__________而引起的误差。
5. 在多项式插值中，拉格朗日插值法是通过__________来构建插值多项式的。
三、简答题1. 请简述数值分析中的截断误差和舍入误差的区别。
2. 描述高斯-赛德尔迭代法的基本思想，并与雅可比迭代法进行比较。
3. 解释在数值积分中为什么需要使用自适应方法。
4. 讨论在求解非线性方程时，二分法与牛顿法的适用条件和优缺点。
5. 分析多项式插值与样条插值的主要区别及其各自的应用场景。
四、计算题1. 给定函数f(x) = sin(x)，在区间[0, π]上使用梯形法则计算积分的近似值，取4个等分点。
2. 设线性方程组如下：\[\begin{cases}2x + y + z = 6 \\x + 2y + 4z = 14 \\3x + y + 2z = 10\end{cases}\]使用高斯消元法求解该方程组的解。
数值分析试题及答案
数值分析试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列关于数值分析的说法，错误的是（）。
A. 数值分析是研究数值方法的科学B. 数值分析是研究数值方法的数学理论C. 数值分析是研究数值方法的误差分析D. 数值分析是研究数值方法的数学理论、误差分析及数值方法的实现答案：B2. 在数值分析中，插值法主要用于（）。
A. 求解微分方程B. 求解积分方程C. 求解线性方程组D. 通过已知数据点构造一个多项式答案：D3. 线性方程组的解法中，高斯消元法属于（）。
A. 直接方法B. 迭代方法C. 矩阵分解方法D. 特征值方法答案：A4. 牛顿法（Newton's method）是一种（）。
A. 插值方法B. 拟合方法C. 迭代方法D. 优化方法答案：C5. 在数值分析中，下列哪种方法用于求解非线性方程的根？A. 高斯消元法B. 牛顿法C. 雅可比方法D. 斯托尔-温格尔方法答案：B6. 下列关于误差的说法，正确的是（）。
A. 绝对误差总是大于相对误差B. 相对误差总是小于绝对误差C. 误差是不可避免的D. 误差总是可以消除的答案：C7. 在数值分析中，下列哪个概念与数值稳定性无关？A. 条件数B. 截断误差C. 舍入误差D. 插值多项式的阶数答案：D8. 用泰勒级数展开函数f(x)=e^x，下列哪一项是正确的？A. f(x) = 1 + x + x^2/2! + x^3/3! + ...B. f(x) = 1 - x + x^2/2! - x^3/3! + ...C. f(x) = x + x^2/2 + x^3/6 + ...D. f(x) = x - x^2/2 + x^3/6 - ...答案：A9. 插值多项式的次数最多为（）。
A. n-1B. nC. n+1D. 2n答案：B10. 下列关于数值积分的说法，错误的是（）。
A. 梯形法则是一种数值积分方法B. 辛普森法则是一种数值积分方法C. 龙格法则是数值积分方法中的一种D. 数值积分方法总是精确的答案：D二、填空题（每题3分，共15分）1. 在数值分析中，条件数是衡量问题的______。
数值分析复习题
一、判断题1. 区间[a,b]上，若f(a)f(b)<0，则方程f(x)=0在[a,b]内一定有实根。
2. 22/7作为π=3.1415926……近似值，它有3位有效数字。
3. 设P(x)和Q(x)都是n 次多项式，如果在n +1 个不同的节点x i 上都有P(x i )＝Q(x i )，则P(x)≡Q(x) 。
4. 取节点01231, 0, 2 ,4x x x x =-===作2()f x x =的插值多项式()p x ，则()p x 次数为2，插值基函数的次数为3。
5. 插值多项式严格通过所有的节点(x i ，y i )。
6. 若k<=n ，P(x)和Q(x)分别是 x k的通过n +1 个不同的节点的牛顿插值多项式和拉格朗日插值多项式则P(x)≡Q(x)≡x k。
7. 插值多项式次数越高，逼近效果越好。
8. 任何一组互异数据，逼近它们的多项式插值函数仅有一个。
9. 插值多项式次数与拟合曲线都严格通过所给定的数据点。
10. 求积公式：⎰30)(dx x f ≈。
f f f f 是插值型的)]3()2(3)1(3)0([83+++11. 牛顿-科特斯求积公式中的求积节点是等分的。
12. 牛顿法求方程ƒ(x)=0的单根, 在ƒ(x)可导的情况下, 至少二阶收敛。
13. 高斯型求积公式是插值型的。
14. 一阶亚当姆斯格式是单步法。
15. 显式的亚当姆斯公式：+-=+-()n n n n h y y f f 1132是单步法。
16. 求初值问题数值解的四阶亚当姆斯公式是多步法。
17. 如果有一常微分方程数值解法的局部截断误差3111()()n n n T y x y O h +++=-=，则该方法是3阶的。
18. 用一般迭代法求方程()0f x =的根，如其迭代过程()1k k x x ϕ+=发散，则方程()0f x = 的无解。
19. 牛顿法求方程ƒ(x)=0的根, 在ƒ(x)可导的情况下, 至少二阶收敛。
数值分析试题及答案
数值分析试题及答案一、单项选择题（每题3分，共30分）1. 线性代数中，矩阵A的逆矩阵记作（）。
A. A^TB. A^-1C. A^+D. A*答案：B2. 插值法中，拉格朗日插值多项式的基函数是（）。
A. 多项式B. 指数函数C. 正弦函数D. 余弦函数答案：A3. 在数值积分中，梯形规则的误差是（）阶的。
A. O(h^2)B. O(h^3)C. O(h)D. O(1/h)答案：A4. 求解线性方程组时，高斯消元法的基本操作不包括（）。
A. 行交换B. 行乘以非零常数C. 行加行D. 行除以非零常数答案：D5. 非线性方程f(x)=0的根的迭代法中，收敛的必要条件是（）。
A. f'(x)≠0B. f'(x)=0C. |f'(x)|<1D. |f'(x)|>1答案：C6. 利用牛顿法求解非线性方程的根时，需要计算（）。
A. 函数值B. 函数值和导数值C. 函数值和二阶导数值D. 函数值、一阶导数值和二阶导数值答案：B7. 矩阵的特征值和特征向量是（）问题中的重要概念。
A. 线性方程组B. 特征值问题C. 线性规划D. 非线性方程组答案：B8. 在数值分析中，条件数是衡量矩阵（）的量。
A. 稳定性B. 可逆性C. 正交性D. 稀疏性答案：A9. 利用龙格现象说明，高阶插值多项式在区间端点附近可能产生（）。
A. 振荡B. 收敛C. 稳定D. 单调答案：A10. 雅可比迭代法和高斯-塞德尔迭代法都是求解线性方程组的（）方法。
A. 直接B. 迭代C. 精确D. 近似答案：B二、填空题（每题4分，共20分）11. 线性代数中，矩阵A的行列式记作________。
答案：det(A) 或 |A|12. 插值法中，牛顿插值多项式的基函数是________。
答案：差商13. 在数值积分中，辛普森规则的误差是________阶的。
答案：O(h^4)14. 求解线性方程组时，迭代法的基本思想是从一个初始近似解出发，通过不断________来逼近精确解。
《数值分析》复习题(14)
《数值分析》复习题一、填空题1. 已知近似数 1.28y *=-，则其绝对误差限为 -0.005 ，相对误差限是 0.39% 。
2. 测量一支铅笔长是16cm ， 那么测量的绝对误差限是 0.5cm ，测量的相对误差限是3.125% 。
3. 度量一根杆子长250厘米，则其绝对误差限为 0.5cm ，相对误差限是 0.20% 。
4. 在数值计算中，当a1/(√(a+1) +√a ) 5. 在数值计算中，计算356-应变成3561+来计算。
6. 在数值计算中，计算1cos3-应变为2)5.1(sin 2⨯来计算。
7. 若543()2792100f x x x x x =-+-+，则12345[1,4,4,4,4,4]f =____2__________，123456[1,3,3,3,3,3,3]f = 0 。
8. 函数()f x 关于三个节点012,,x x x 的拉格朗日二次插值多项式为 f(x)=f(x0)[(x-x1)(x-x2)/(x0-x1)(x0-x2)] ，9. 当()f x x =时，(,)n B f x =∑f （k/n ）Pk(x)=x 。
10. 代数式222236()66x xR x x x +=++ ______________,323222122()23x x R x x x ++=++ __________________. 11. 已知方程组123123123103127322115x x x x x x x x x --=-⎧⎪-++=⎨⎪+-=-⎩，那么收敛的Jacobi 迭代格式为：，收敛的G S -迭代格式为：收敛理由是方程组的系数矩阵为严格对角占优阵12. 已知线性方程组1233111193234184x x x -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦，那么收敛的Jacobi 迭代格式：收敛的G-S 迭代格式： 。
收敛理由是 严格对角占优矩阵 ,13. 求积公式0()nn kk k I Af x ==∑至少有n 次代数精度的充要条件是__严格对角占优矩阵 __________________;当n 是偶数时，牛顿-柯特斯公式()0()()nn n kk k I b a Cf x ==-∑至少有___n+1________次代数精度；高斯求积公式()()()nbk k ak f x x dx A f x ρ=≈∑⎰至少有___2n+1_______次代数精度。
西安理工大学研究生《数值分析》复习题
1 1 1 2 1 3 1 x1 1 x 六 求解矛盾方程组 2 5 2 2 1 x3 2 3 1 5
七 已知初值问题 y ax b, y(0) 0 有精确解 y ( x)
2 1 5 10．设 A 3 1 4 ，则 || A ||1 2 7 8 2 x1 2 x2 3x3 12 二 给定线性方程组 4 x1 2 x2 x3 12 x 2 x 3x 16 2 3 1
1. 用列主元消元法求解所给线性方程组。 2. 写出 Gauss－Seidel 迭代格式，并分析该迭代格式是否收敛。 三 设 M 2 Span 1, x 四 对于积分
. 试在 M
2
2
中求 f ( x) | x | 在区间 [1,1] 上的最佳平方逼近元。
1
0
1 1 4 f ( x)dx ，若取节点 x0 , x1 , x2 , 试推导一个插值型求积公式，并用这个公式求 5 2 5
e
0
1
x
dx 的值。
五 给定方程 x Lnx 2 0 （1）分析该方程存在几个根，找出每个根所在的区间； （2）构造求近似根的迭代公式，并证明所用的迭代公式是收敛的。 六 已知观测数据（1，-5） ， （2，0） ， （4，5） ， （5，6） ，试用最小二乘法求形如 ( x) ax 七 已知初值问题 y ax b, y(0) 0 有精确解 y ( x)
x4 y4 . .
y m0 m1 m2 m3 m4 则可利用 插值，其插值多项式的次方为 3 2 4.设 f(x)=3x +2x +1,则差商 f [0,1,2,3,4]=
数值分析练习题附答案
目录一、绪论------------------------------------------------------------------------------------- 2-2二、线性方程组直接解法列主元高斯LU LDL T GG T-------------------- 3-6二、线性方程组迭代法----------------------------------------------------------------- 7-10 三、四、非线性方程组数值解法二分法不动点迭代---------------------- 11-13五、非线性方程组数值解法牛顿迭代下山弦截法----------------- 14-15六、插值线性插值抛物线插值------------------------------------------------ 16-18七、插值Hermite插值分段线性插值-----------------------------------------19-22八、拟合------------------------------------------------------------------------------------ 23-24九、数值积分----------------------------------------------------------------------------- 25-29十、常微分方程数值解法梯形欧拉改进----------------------------------- 30-32 十一、常微分方程数值解法龙格库塔------------------------------------------ 33-35绪论1-1 下列各数都是经过四舍五入得到的近似值 ,试分别指出它们的绝对误差限,相对误差限和有效数字的位数.X 1 =5.420, X 2 =0.5420, X 3 =0.00542, X 4 =6000, X 5 =0.6×105注：将近似值改写为标准形式X 1 =（5*10-1+4*10-2+2*10-3+0*10-4）*101 即n=4,m=1 绝对误差限｜△X 1｜=｜X *1-X 1｜≤ 12×10m-n ＝12×10-3 相对误差限｜△r X 1｜= ｜X∗1−X1｜｜X∗1｜≤｜X∗1−X1｜｜X1｜= 12×10-3/5.4201-2 为了使101/2 的相对误差小于0.01%, 试问应取几位有效数字?1-3 求方程x 2 -56x+1=0的两个根, 使它们至少具有4位有效数字( √783≈27.982)注：原方程可改写为(x-28)2=783线性方程组解法（直接法）2-1用列主元Gauss消元法解方程组解：回代得解：X1=0 X2=-1 X3=12-2对矩阵A进行LU分解，并求解方程组Ax=b,其中解：(注：详细分解请看课本P25)A=(211132122)→(211(1/2)5/23/2(1/2)3/23/2)→(2111/25/23/21/2(3/5)3/5)即A=L×U=(11/211/23/51)×(2115/23/23/5)先用前代法解L y＝P b 其中P为单位阵（原因是A矩阵未进行行变换）即L y＝P b 等价为(11/211/23/51)(y1y2y3)＝(111)(465)解得 y 1=4 y 2=4 y 3=35再用回代解Ux ＝y ，得到结果x即Ux ＝y 等价为(2115/23/23/5)(x 1x 2x 3)＝(y 1y 2y 3)＝(443/5) 解得 x 1=1 x 2=1 x 3=1即方程组Ax=b 的解为x ＝(111)2-3 对矩阵A 进行LDL T 分解和GG T 分解，求解方程组Ax=b,其中A=(164845−48−422) ， b ＝(123)解：（注：课本 P 26 P 27 根平方法）设L=(l i j )，D=diag(d i )，对k=1,2,…,n,其中d k =a kk －∑l kj 2k−1j=1d jl ik =(a ik −∑l ij l kj k−1j=1d j )/ d k 即d 1=a 11－∑l 1j 20j=1d j =16－0=16因为 l 21=(a 21−∑l 2j l 1j 0j=1d j )/ d 1=a 21/ d 1=416=14 所以d 2=a 22－∑l 2j 21j=1d j =5－(14)2d 1=4同理可得d 3=9 即得 D=(1649)同理l 11=(a 11−∑l ij l 1j 0j=1d j )/ d 1=1616=1=l 22=l 33 l 21=(a 21−∑l 2j l 1j 0j=1d j )/ d 1=416=14 l 31=(a 31−∑l 3j l 1j 0j=1d j )/ d 1=816=12 l 32=(a 32−∑l 3j l 2j 1j=1d j )/ d 2=−4−12×14×164=−64=－32即L=(114112−321) L T=(114121−321) 即LDL T分解为A=(114112−321)(1649)(114121−321)解解：A=(164845−48−422)→(41212−32−33)故得GG T分解：A=(4122−33)(4122−33) LDL T分解为A=(114112−321)(1649)(114121−321) 由(114112−321)(y 1y 2y 3)＝(123) ，得(y 1y 2y 3)＝(0.250.8751.7083)再由(4122−33)(x 1x 2x 3)＝(0.250.8751.7083) ，得(x 1x 2x 3)＝(−0.54511.29160.5694)2-4 用追赶法求解方程组：解：(4−1−14−1−14−1−14−1−14)→(4−14−1154−415−15615−1556−120956−56209−1780209)由(4−1154−15615−120956−1780209)(y1y2y3y4y5)＝(100200)，得(y1y2y3y4y5)＝(256.66671.785700.4784753.718)再由(1−141−4151−15561−562091)(x1x2x3x4x5)＝(256.66671.785700.4784753.718)，得(x1x2x3x4x5)＝(27.0518.20525.769314.87253.718)线性方程组解法（迭代法）2-1 设线性方程组{4x 1−x 2+2x 3=1−x 1−5x 2+x 3=22x 1+x 2+6x 3=3（1） 写出Jacobi 法和SOR 法的迭代格式（分量形式） （2） 讨论这两种迭代法的收敛性（3） 取初值x (0)=(0，0，0)T ，若用Jacobi 迭代法计算时，预估误差 ｜｜x*-x (10)｜｜∞ （取三位有效数字）解：（1）Jacobi 法和SOR 法的迭代格式分别为Jacobi 法迭代格式SOR（2）因为A 是严格对角占优矩阵,但不是正定矩阵,故Jacobi 法收敛,SOR 法当0<ω≤1时收敛.⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+--=-+-=+-=+++216131525151412141)(2)(1)1(3)(3)(1)1(2)(3)(2)1(1k k k k k k k k k x x x x x x xx x ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-++-=+-+-=+-+-+=++++++)216131()525151()412141()(3)1(2)1(1)(3)1(3)(3)(2)1(1)(2)1(2)(3)(2)(1)(1)1(1k k k k k k k k k k k k k k k x x x x x x x x x x x x x x x ωωω（3）由(1)可见||B ||∞=3/4,且取x (0)=(0,0,0)T ,经计算可得x (1)=(1/4,-2/5,1/2)T ,于是||x (1)-x (0)||∞=1/2,所以有2-2 设方程组为{5x 1+2x 2+x 3=−12−x 1+4x 2+2x 3=202x 1−3x 2+10x 3=3试写出其Jacobi 分量迭代格式以及相应的迭代矩阵，并求解。
数值分析试题及答案汇总
数值分析试题及答案汇总一、单项选择题（每题5分，共20分）1. 在数值分析中，下列哪个方法用于求解线性方程组？A. 牛顿法B. 插值法C. 迭代法D. 泰勒展开法答案：C2. 以下哪个选项是数值分析中用于求解非线性方程的迭代方法？A. 高斯消元法B. 牛顿法C. 多项式插值D. 辛普森积分法答案：B3. 以下哪个选项是数值分析中用于数值积分的方法？A. 牛顿法B. 辛普森积分法C. 牛顿-拉弗森迭代D. 拉格朗日插值答案：B4. 在数值分析中，下列哪个方法用于求解常微分方程的初值问题？A. 欧拉法B. 牛顿法C. 辛普森积分法D. 高斯消元法答案：A二、填空题（每题5分，共20分）1. 插值法中，拉格朗日插值法的插值多项式的阶数是______。
答案：n2. 泰勒展开法中，如果将函数展开到第三阶，那么得到的多项式是______阶多项式。
答案：三3. 在数值分析中，牛顿法求解非线性方程的迭代公式为______。
答案：x_{n+1} = x_n - f(x_n) / f'(x_n)4. 辛普森积分法是将积分区间分为______等分进行近似计算。
答案：偶数三、简答题（每题10分，共30分）1. 请简述数值分析中插值法的基本原理。
答案：插值法的基本原理是根据一组已知的数据点，构造一个多项式函数，使得该函数在给定的数据点上与数据值相等，以此来估计未知数据点的值。
2. 解释数值分析中误差的概念，并说明它们是如何影响数值计算结果的。
答案：数值分析中的误差是指由于计算方法或计算工具的限制，导致计算结果与真实值之间的差异。
误差可以分为舍入误差和截断误差。
舍入误差是由于计算机表示数值的限制而产生的，而截断误差是由于计算方法的近似性质而产生的。
这些误差会影响数值计算结果的准确性和稳定性。
3. 请说明在数值分析中，为什么需要使用迭代法求解线性方程组。
答案：在数值分析中，迭代法用于求解线性方程组是因为对于大规模的方程组，直接方法（如高斯消元法）的计算成本很高，而迭代法可以在较少的计算步骤内得到近似解，并且对于稀疏矩阵特别有效。
(完整word版)数值分析复习题及答案
数值分析复习题一、选择题1.3.142和3.141分别作为二的近似数具有（）和（）位有效数字A . 4 和 3B . 3 和 2C . 3 和 4D . 4 和 421 r 「2 11 f xdx『1 A f (-)-f (2) 2.已知求积公式6 3 6，则 A =() 11 1 2A .6B .32D . 33•通过点X 0,y 。
，x 1,y 1的拉格朗日插值基函数l ox ,h x 满足（）4.设求方程f X =o的根的牛顿法收敛，则它具有（ ）敛速。
A .超线性B .平方C .线性D .三次X j 2x 2 x 3 = o “ 2% +2x 2 +3x 3 =35.用列主元消元法解线性方程组 厂X | — 3x 2 = 2 作第一次消元后得到的第3个方程 -X 2 X 3 =2 -2X 2 1.5X 3 二 3.5 C .—2x 2 x 3 = 3x 2 - o.5x 3 二、填空1.设-2.3149541...,取5位有效数字，则所得的近似值 x=f X 1,X 2 =2.设一阶差商 f X 2 - f X x 2 一為 1 -4 2-1 f X 1,X 2,X 3= ___________f X 2,X 3=f X 3 - f X 2X 3 -X 2().=-1.56-1 _ 5 4-2 2I 。
* )= 0, h(X 1 )=0Io (X 。
)= 0,)=1C . I o (X o )= 1 h (X 1 ) = 1Io(Xo ) = 1 h(X 1)=18、若线性代数方程组 AX=b 的系数矩阵A 为严格对角占优阵，则雅可比迭代和高斯 9、解常微分方程初值问题的欧拉(Euler )方法的局部截断误差为y=10 +丄 + 2 310、为了使计算 x-1 (x-1) (x-1)的乘除法运算次数尽量的少，应将表达式改写12•—阶均差f x ),x1-13.已知n =3时，科茨系数=8，C/心=8，那么C 33 =18.设 X=(2,一3,7)T,则 ||X|1 厂3•设 X =(2, -3,-1),则 ||X ||2 二,l|X Id4 •求方程x 2-X-仁5" 的近似根，用迭代公式 x 「x425，取初始值x=1 ,那么x1二5 •解初始值问题 y 、f(x,y)y (x0)= y °近似解的梯形公式是yk 16、 一5 1丿，则A 的谱半径Q(A)= 7、设f(x) =3x +5, X k=kh, k =0,1,2，...,则f 1人,焉 1,X n.2】 =-塞德尔迭代都11•设 X=(2,3T T ,则 ||X|"l|X||2 =14.因为方程f x =^4 2 =0在区间1,2I 上满足，所以f x =0在区间内有根。
数值分析期末考试复习题及其答案
数值分析期末考试复习题及其答案1. 已知325413.0,325413*2*1==X X 都有6位有效数字，求绝对误差限.(4分）解：由已知可知，n=65.01021,0,6,10325413.0016*1=⨯==-=⨯=ε绝对误差限n k k X 2分 620*21021,6,0,10325413.0-⨯=-=-=⨯=ε绝对误差限n k k X 2分2. 已知⎢⎢⎢⎣⎡=001A 220- ⎥⎥⎥⎦⎤440求21,,A A A ∞ （6分)解:{},88,4,1max 1==A 1分 {},66,6,1max ==∞A 1分 ()A A A T max 2λ= 1分⎢⎢⎢⎣⎡=001A A T 420 ⎥⎥⎥⎦⎤-420⎢⎢⎢⎣⎡001 220- ⎥⎥⎥⎦⎤440=⎢⎢⎢⎣⎡001 080 ⎥⎥⎥⎦⎤3200 2分 {}3232,8,1max )(max ==A A T λ 1分 24322==A3. 设32)()(a x x f -= （6分) ① 写出f(x ）=0解的Newton 迭代格式② 当a 为何值时,)(1k k x x ϕ=+ （k=0,1……）产生的序列{}k x 收敛于2解:①Newton 迭代格式为:xa x x x ax a x x a x x x f x f x x k k k k k k k k k k 665)(665)(6)()(')(22321+=+=---=-=+ϕ 3分②时迭代收敛即当222,11210)2(',665)('2<<-<-=-=a a x a x ϕϕ 3分4. 给定线性方程组Ax=b ，其中：⎢⎣⎡=13A ⎥⎦⎤22，⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=13b 用迭代公式)()()()1(k k k Ax b x x -+=+α（k=0，1……）求解Ax=b ，问取什么实数α，可使迭代收敛 (8分）解:所给迭代公式的迭代矩阵为⎥⎦⎤--⎢⎣⎡--=-=ααααα21231A I B 2分其特征方程为0)21(2)31(=----=-αλαααλλB I 2分即，解得αλαλ41,121-=-= 2分 要使其满足题意，须使1)(<B ρ，当且仅当5.00<<α 2分5. 设方程Ax=b,其中⎢⎢⎢⎣⎡=211A 212 ⎥⎥⎥⎦⎤-112，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=765b 试讨论解此方程的Jacobi 迭代法的收敛性，并建立Gauss —Seidel 迭代格式 （9分)解：U D L A ++=⎢⎢⎢⎣⎡--=+-=-210)(1U L D B J 202-- ⎥⎥⎥⎦⎤-012 3分0,03213=====-λλλλλJ B I 2分即10)(<=J B ρ，由此可知Jacobi 迭代收敛 1分 Gauss-Seidel 迭代格式:⎪⎩⎪⎨⎧--=--=+-=++++++)1(2)1(1)1(3)(3)1(1)1(2)(3)(2)1(12276225k k k k k k k k k x x x x x x x x x （k=0,1，2,3……） 3分6. 用Doolittle 分解计算下列3个线性代数方程组：i i b Ax =（i=1，2,3）其中⎢⎢⎢⎣⎡=222A 331 ⎥⎥⎥⎦⎤421，23121,,974x b x b b ==⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡= （12分）解：①11b Ax =⎢⎢⎢⎣⎡222 331 ⎥⎥⎥⎦⎤421⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=9741x A=⎢⎢⎢⎣⎡111 110 ⎥⎥⎥⎦⎤100⎢⎢⎢⎣⎡002 021 ⎥⎥⎥⎦⎤211=LU 3分 由Ly=b1，即⎢⎢⎢⎣⎡111 110 ⎥⎥⎥⎦⎤100y=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡974 得y=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡234 1分 由Ux1=y ，即⎢⎢⎢⎣⎡002 021 ⎥⎥⎥⎦⎤211x1=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡234 得x1=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡111 2分 ②22b Ax =⎢⎢⎢⎣⎡222 331 ⎥⎥⎥⎦⎤421x2=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡111 由Ly=b2=x1，即⎢⎢⎢⎣⎡111 110 ⎥⎥⎥⎦⎤100y=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡111 得y=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡001 1分 由Ux2=y,即⎢⎢⎢⎣⎡002 021 ⎥⎥⎥⎦⎤211x2=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡001 得x2=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡005.0 2分③33b Ax =⎢⎢⎢⎣⎡222 331 ⎥⎥⎥⎦⎤421x3=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡005.0由Ly=b3=x2，即⎢⎢⎢⎣⎡111 110 ⎥⎥⎥⎦⎤100y=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡005.0 得y=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-05.05.0 1分 由Ux3=y ，即⎢⎢⎢⎣⎡002 021 ⎥⎥⎥⎦⎤211x3=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-05.05.0 得x3=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-025.0375.0 2分7. 已知函数y=f （x)有关数据如下：要求一次数不超过3的H 插值多项式,使'11'33)(,)(y x H y x H i i == (6分）解:作重点的差分表，如下：3分21021101011001003))(](,,,[))(](,,[)](,[][)(x x x x x x x x f x x x x x x x f x x x x f x f x H --+--+-+= =-1+（x+1）-x （x+1）+2x.x(x+1)=232x x + 3分8. 有如下函数表:试计算此列表函数的差分表，并利用Newton 前插公式给出它的插值多项式 （7分)解：由已知条件可作差分表，3分i ih x x i =+=0 (i=0，1，2，3）为等距插值节点，则Newton 向前插值公式为： 033210022100003!3))()((!2))((!1)()(f h x x x x x x f h x x x x f h x x f x N ∆---+∆--+∆-+==4+5x+x （x-1)=442++x x 4分9. 求f （x ）=x 在[-1，1]上的二次最佳平方逼近多项式)(2x P ，并求出平方误差 （8分）解：令22102)(x a x a a x P ++= 2分取m=1, n=x ， k=2x ,计算得： （m ，m)=dx ⎰-111=0 (m,n ）=dx x ⎰-11=1 （m,k)=dx x ⎰-112=0(n,k ）=dx x ⎰-113=0。
数值分析练习题
数值分析练习题一、数值逼近1.1 利用泰勒公式求函数f(x) = e^x在x=0处的二阶近似表达式。
1.2 给定函数f(x) = sin(x)，在区间[0, π]上，用插值法求三次多项式插值函数。
1.3 设已知点(0, 1)，(1, 2)，(2, 5)，(3, 10)，求通过这四个点的拉格朗日插值多项式。
x: 0, 1, 2, 3, 4y: 1, 3, 7, 11, 171.5 对于函数f(x) = e^(x^2)，在区间[1, 1]上，求最佳平方逼近多项式。
二、数值积分与数值微分2.1 利用梯形公式计算定积分I = ∫(0, 1) e^x dx。
2.2 给定函数f(x) = x^3 3x，使用辛普森公式计算定积分I =∫(0, 2) f(x) dx。
2.3 对函数f(x) = 1/(1+x^2)，在区间[5, 5]上，使用高斯勒让德求积公式计算定积分。
2.4 利用数值微分公式求函数f(x) = sin(x)在x=π/4处的导数。
2.5 给定数据点(x, y)，其中x = 0, 1, 2, 3, 4, y = 1, 3, 7, 11, 17，求y在x=2处的导数。
三、常微分方程数值解法3.1 用欧拉法求解初值问题y' = x + y，y(0) = 1，步长h=0.1，计算y(0.5)的近似值。
3.2 对于初值问题y' = y + x^2，y(0) = 1，使用改进的欧拉法（梯形法）求解y(1)。
3.3 利用龙格库塔方法求解初值问题y' = 2xy，y(0) = 1，计算y(0.5)的近似值。
3.4 给定边值问题y'' + 4y = 0，y(0) = 0，y(π) = 1，使用有限差分法求解。
四、线性方程组数值解法4.1 利用高斯消元法求解线性方程组：3x + 4y z = 72x 3y + 5z = 8x + 2y + 3z = 35x + 2y z = 102x 6y + 3z = 4x + 0.5y + 4z = 74.3 给定矩阵A，使用共轭梯度法求解线性方程组Ax = b，其中：A = [[4, 1, 0], [1, 4, 1], [0, 1, 4]]b = [12, 9, 3]A = [[2, 1, 0], [1, 2, 1], [0, 1, 2]]b = [1, 0, 1]五、非线性方程数值解法5.1 使用二分法求解方程f(x) = x^3 2x 5 = 0在区间[2, 3]内的根。
数值分析复习题及答案
数值分析复习题P56 16.1716.试就f （x ）=2x^3+5求商f （1，2，3，4），f （1，2，3，4，5）的值 解：根据n 阶差商定义递推展开式01102110),...,,(),...,,(),...,,(x x x x x f x x x f x x x f n n n n --=-原函数f （x ）=2x^3+5，；令0x =1，1x =2，2x =3，...3)3,2,1()4,3,2()4,3,2,1(x x f f f --==2(n=3)同理对f （12345）进行递推可计算得出等于017.给定函数f （x ）x^3—4x ，试建立关于节点Xi=i+1(i=0,1……，5)的差商表，并列出关于节点x0,x1,x2,x3的插值多项式p （x ） 解：因为x x x f i i x i 4)()5...,1,0(13-==+= 列出差商表如下： i x i y 一阶差商 二阶差商 三阶差商 四阶差商 五阶差商 1 -3 2 0 3 3 15 15 6 4 48 33 9 1 5 105 57 12 1 0 619287151插值多项式：p(x)=-3+3(x-1)+6(x-1)(x-2)+(x-1)(x-2)(x-3) P94 2.3.42.试判断下列求积公式的代数进度：)(41)31(43)(1x f f dx x f +≈⎰解：当f （x ）=1时，左边=1，右边3/4+1/4=1，左边=右边当f （x ）=x 时，左边=1/2，右边3/4X1/3+1/4X1=1/2，左边=右边 当f （x ）=x^2时，左边=1/3，右边3/4x1/9+1/4x1=1/3，右边=右边当f （x ）=x^3时，左边=1/6，右边3/4x1/27+1/4x1=5/18，左边于右边不相等根据代数精度定义求积公式对于mx 次多项式成立，对1+m x不成立则该求积公式具有m次代数精度，所以该求积公式的代数精度为2 次。
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第一作者李欣指导邹曦数值分析复习习题第一章1. 下列各数都是经过四舍五入得到的近似值，试分别指出它们的绝对误差限，相对误差限和有效数字的位数.x1=5.420,x2=0.5420, x3=0.00542, x4=6000,x5=0.6 105.解绝对误差限分别为：1=0.5 10-3, 2=0.5 10-4,3=0.5 10-5, 4=0.5, 5=0.5 104 .相对误差限分别为：r1=0.5 10-3/5.420=0.00923%,「2=0.00923%,「3=0.0923%,「4=0.0083%,「5=8.3%.有效数位分别为：4位,4位,3位,4位,1位.第二章1. 讨论求解方程组Ax=b的J迭代法和G-S迭代法的收敛性.其中2 1 1 1 2 2(1)A 1 1 1 (2)A 1 1 11 12 2 2 1解(1) J迭代法和G-S迭代法的迭代矩阵分别为0 2 ? 0 2B D 1(L U) 1 0 1 , G (D L) 1U 0 g g* 舟0 0 0 g(B)= , (G)=1/2,故J迭代法不收敛,G-S迭代法收敛.2x y 4z 6x第一作者z李欣指导邹曦(2)类似可得(B)=0, (G)=2,故J迭代法收敛,G-S迭代法不收敛.2. 给定方程组第一作者李欣指导邹曦3x y z 2试建立一个收敛的迭代格式，并说明收敛的理由解可建立如下形式的迭代格式1) 2 1、, 1 (k)x —-y —z3 3 3、，1)3 1你）1y —x —z4 4 4(k 1) 3 1x(k)1 、，z —x —y2 2 4因为迭代矩阵为MM 3 1所以此迭代法收敛第三章1用列主元Gauss消元法解方程组3 2 6 x1 410 7 0 x275 1 5 x3 63 2 64 10 7 0 7 10 7 0 7「1 $ 消兀10 7 0 7 3 2 6 4 0 0.1 6 6.15 1 56 5 1 5 6 0 2.5 5 2.510 7 0 7 10 7 0 73 消元0 2.5 5 2.5 0 2.5 5 2.50 0.1 6 6.1 0 0 6.2 6.2回代得解x3=1, x2=-1, x1=02x y 4z 6x 第一作者z 李欣 指导邹曦2.对矩阵 A 进行LU 分解,并求解方程组 Ax=b,其中2 1 1 4A1 32 ,b 61 225解2 1 1 2 1 1 1 2 1 1A1 32 1 2 522 A 4 1 53 22 1 2 2123 5 3 54 i 13 51y 14 y 1 4解2 1y 26，得 y 2 41 23 51y 35y 33 52 1 1 X 14 X 1 1再解5 2 3 2 X 2 4，得 x 213 5X 33 5X 313. 对矩阵A 进行Crout 分解，其中2 1 2A45 6解6 15152 1 22 1~2 1 A4 5 64 3 2 ■3 6 15 15612 121 4 1故得 Crou it 分解：A431 16 12 114.对任意矩阵范:数，求证:(2) 1 I = AA-1 A A-1 ，故 IA 1 闪.(3) A-1-B-1 = A-1(B-A)B-1A-1 B-1 A-B(1) I证明 1A3)11AB(1)因为 I = AI5.证明:⑴如果A为正交矩阵，贝U Cond2(A)=1;(2)如果A为对称正定矩阵，则Cond2(A)= 1/ n, 1 和n分别为A的最大和最小特征值.证明⑴A 正交，则ATA=AAT=l,Cond2(A)= A 2 A-1 2=1.(2) A 对称正定，ATA=A2, A 2= 1. A-1 2=1/ n. 第七章1. 设(x)=cosx,证明：任取x0,迭代式xk+1= (xk),k=0,1,2, •均收敛于方程x= (x)的根.证明因为对任意x0,都有x仁cosxO ［-1,1］,所以只需证明迭代式在区间［-1,1］收敛.因为(x)=cosx 连续可导,| (x)|=|sinx| sin1<1,所以(x)是区间［-1,1］上的压缩映射，因此结论成立.2. 验证区间［0,2］是方程x3+2x-5=0的有根区间，并建立一个收敛的迭代格式，使对任何初值x0 ［0,2］都收敛，并说明理由.解记(x)=x3+2x-5 C［0,2］,且(0)= -5<0, ⑵=7>0, 所以方程在区间［0,2］内有根，建立迭代格式X k 1 35 2x k ,k 0,1,2,这里迭代函数(x)= 3 5 2x，由于0<1 (x) 3 5<2 , x [0,2]2 2且 |(x)|= 3(5 2x)2/3<1 , x [0,2]所以(x)是区间[0,2]上的压缩映射，故迭代式收敛. 3.给定函数 (x),设对一切 x, (x)存在且 0<m (x)M,证明对任意 (0,2/M),迭代式X k 1 X k f (x k ),k 0,1,2,均收敛于(x)=0的根 .证明这里(x)=x- (x),由于对任意(0,2/M)-1=1 -2v (x)=1-(x)<1所以| ( )|<1,故迭代法收敛 4.已知1.3是 4 3的一个近似值 ，用Newton 迭代法求 4 3的更好近似值，要求准确到小数点后五位.解 对方程(x)=x4-3=0建立Newton 迭代格式，则有所以取x3=1.3160740,已精确到小数点后 6位. 第四章1. 当x=1,-1,2时,(x)分别为0,-3,4,求(x)的二次插值多项式k 01 23xk 1.3 1.3163746 1.3160741 1.3160740 |xk+1-xk|0.0163746 0.0003005 0.0000001取 x0=1. X k i X k 34X k算结3P2(x).解法一.基函数法：p2(x)= IO(x)yO+11(x)y1 + I2(x)y2=-3 I1(x)+4l2(x) l i(x) ,(x x0)(x x2)、1(x 1)(x 2)(X i X o)(X i X2) 6(x X 0)(Xxi)11)(x 1)(X2 X o)(X2 xj 3p2(x)=-3I1(x)+4I2(x)1 4尹1)(x 2)尹1)(x 1)^(x 1)(5x 14)6解法二.待定系数法，设p2(x)=(x-1)(ax+b),则有2(a-b)=-3, 2a+b=4 ,解得,a=5/6, b=7/3,所以p2(x)=1/6(x-1)(5x+14)解法三.牛顿插值法，构造差商表2. 设I0(x),I1(x), --I,(x)是以x0,x1, --xn 为节点的n 次Lagrange插值基函数，求证：n k k(1) X j l j(x) X , k 0,1, ,n.j 0nk(2) (X j x) l j(x) 0, k 0,1, ,n.j 0证明⑴记(x)=xk,则yj= (xj)= xjk,j=0,1, …于是n f (n 1)()nx k f (x) y j l j(x) - :「n 1(X)x j|j(x)j 0 (n 1)! j 0⑵记(t)=(t-x)k,则yj= (xj)=(xj-x)k,j=0,1, …于是n - (n 1) ( ) n(t x)k f(t) y j l j(t)- 辟n l(t) (X j x)k|j(t)j 0 (n 1)! j 0n取t=x,则有(X j x)k|j(x) 0j 03. 设(x) C2［a,b］,且(a)= (b)=0,证明f(x) 1(b a)2M2, a x b其中，M 2 max f (x).a x b证明以a,b为节点作(x)的线性插值有L1(x)=0，故| (x)| = | (x)-L1(x)| —2^(x a)(x b) 8(b a) M24. 设(x)=x4+2x3+5,在区间［-3,2］上,对节点x0=-3,x1=-1,求出(x)的分段三次Hermite插值多项式在小区间［x0, x1］上的表达式及误差公式解在［-3,-1］上,由y0=32,y1=4,y0 =-54,y1 =2, h=2,得H3(x)=32 0(x)+4 1(x)-54 0(x)+2 1(x)令0(x)=(x+1)2(ax+b), 可得a=1/4,b=1, 所以0(x)=(x+1)2(x+4)/4同理可得：1(x)=-(x+3)2x/40(x)=(x+3)(x+1)2/41(x)=(x+3)2(x+1)/4所以有H3(x)=8(x+1)2(x+4)-(x+3)2x-13.5(x+3)(x+1)2+0.5(x+3)2(x+1) 二6x3-22x2-24x-4误差为R(x)=(x+3)2(x+1)25.给出函数表试分别作出线性，二次曲线拟合，并给出均方误差. 解线性拟合，即形如y=a+bx的拟合曲线.构造向量0=(1,1,1,1,1,1)T, 1=(-1,-0.5,0,0.25,0.75,1)T,=(0.22,0.8,2,2.5,3.8,4.2)T.贝U得正贝U方程组:6a+0.5b=13.52a 2.078971b 2.0923530.5a+2.875b=7.055所以，线性拟合曲线为：y=2.078971+2.092353x均方误差为：II * II 2= (a bx i y i)2=0.38659 二次拟合，即形如y=a+bx+cx2的拟合曲线.构造向量0=(1,1,1,1,1,1)T, 1=(-1,-0.5,0,0.25,0.75,1)T,2=(1,0.25,0,0.0625,0.5625,1)T , =(0.22,0.8,2,2.5, 3.8,4.2)T. 则得正则方程组：6a+0.5b+2.875c=13.520.5a+2.875b+0.3125c=7.0552.875a+0.3125b+2.3828125c=6.91375解得:a=1.94448,b=2.0851,c=0.28191二次拟合曲线为：y=1.94448+2.0851x+0.28191x2.均方误差为：II * II 2= J (a bX i c2 yj2=0.06943.第五章1.确定下列积分公式中的待定参数，使其代数精度尽可能高，并说明代数精度是多少？h(1) h f (x)dx A/( h) A o f(O) Af(h)解令公式对(x)=1,x,x2都精确成立，则有A- 1+A0+A1=2h-hA -1+hA1=0h2A -1+h2A1=2h3/3解得：A- 1=A1=h/3,A0=4h/3hL*求积公式为：h f(x)dx -[f( h) 4f(0) f(h)](x)=x3时，左=右=0,公式也精确成立(x)=x4时，左=2h5/5,右=2h5/3,公式不精确成立 所以公式的代数精确为 3. 2•用辛普森公式计算积分1x 4dx的近似值，并估计结点误差113.对积分oln -f (x)dx,导出两点Gauss 型求积公式 入解 区间[0,1]上权函数为ln(1/x)的正交多项式为 P0(x)=1, p1(x)=x-1/4, p2(x)=x2-(5/7)x+17/252第六章1.用梯形方法和四阶标准 R-K 方法求解初值问题y +y=0 ， 0<x 1 y(0)=i令 p2(x)=0 ，解出Gauss 点为：x 115 -1064215 -10642再令公式对(x)=1, x 精确成立，可得A1+A2=1,A1x1+A2x2=1/4 ,由此解出1 92 4、106A 2丄 9 2 4、106所以两点Gauss 型求积公式为11Jn f (x)dx1 9 */15 .106 19 */15 .106、2 4J09)f(^^)(2 4、109)f(^^)取步长h=0.1,并与精确解y=e-x相比较.解这里(x,y)=-y ,故梯形公式为：yn+仁yn-0.05(yn+yn+1), 也就yn+1=(0.95/1.05)yny0=1四阶标准R-K公式为：yn+仁yn+(0.1/6)(K1+2K2+2K3+K4)K仁-yn,K2=-(yn+0.05K1),K3=-(yn+0.05K2),K4=-(yn+0.1K3)就是：yn+1=0.9048375yny0=1计算结果为第八章1•利用Jacobi方法求矩阵A的所有特征值，其中解记4 2 1A(0'2 4 21 2 4取i=1，j=2，则有d(0) (0) ai1a22 2諧0,cos sin 0 0.7071 0.7071 0 R 1 R 12()sin cos 0 0.7071 0.7071 00 1 016 0 2.12132A ⑴R 1T A (0)R20.707112.12132 0.707114类似地有7.34521 0.37868 0 7.34521 0.32583 0.19295A ⑵0.37868 20.59716A ⑶0.32583 1.64638 00.59716 2.654790.192953.008411 7.37228 ,2 2.99991 ,3 1.627812. 设矩阵H = l-2xxT,向量x 满足xTx=1,证明：(1)H 为对称矩阵，即HT=H;⑵H 为正交矩阵，即HTH = I; (3)H 为对合矩阵，即H2=l.证明 ⑴因为HT=(l-2xxT)T= I-2xxT=H,故H 对称. (2)因为 HTH=(I-2xxT)T( I-2xxT)= I-4xxT+4xxTxxT= I, 故H 正交.⑶由⑴和⑵即得,H 是对合矩阵.cos =(1+t2)-1/2=0.7071,sin =tcos =0.70717.36378 0 0.19264 A ⑷1.627810.010980.19264 0.01098 3.008417.37228 0.00048 0A (5)0.00048 1.62781 0.010970 0.01097 2.99991所以取。