河南省实验高中2021届高三上学期12月模拟数学(文科)试题 Word版含答案
河南省郑州市2021届高三一模数学试题及答案(文科)
2021年高中毕业年级第一次质量预测文科数学试题卷注意事项:1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2．回答选择题时，选出每小题答案后﹐用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设集合{}{}21,2,5,40A B x x x m ==-+=，若{}1A B ⋂=，则B =（ ）A. {}1,3-B. {}1,0C. {}1,3D. {}1,5【答案】C 【解析】 【分析】首先求m ，再求集合B .【详解】由{}1A B ⋂=可知21403m m -+=⇒=，当3m =时，2430x x -+=，解得：1x =或3x =，即{}1,3B =.故选：C2. 已知i为虚数单位，复数z满足21zi=-，则在复平面内z的共轭复数z对应的点位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D【解析】【分析】首先化简z，以及求得z，最后根据复数的几何意义判断选项.【详解】()()()2121111iz ii i i+===+--+，则1z i=-，z对应的点为()1,1-，位于第四象限.故选：D3. 刘徽(约公元225年-295年)，魏晋期间伟大的数学家，中国古典数学理论的奠基人之一.他在割圆术中提出的“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”，这可视为中国古代极限观念的佳作.割圆术的核心思想是将一个圆的内接正n边形等分成n个等腰三角形(如图所示)，当n变得很大时，这n个等腰三角形的面积之和近似等于圆的面积，运用割圆术的思想得到6sin的近似值为（）A.30π B.60π C.90π D.180π【答案】A 【解析】 【分析】首先判断等腰三角形的个数，根据割圆术的思想，等腰三角形的面积和近似为圆的面积，列出面积公式，求sin 6的近似值.【详解】圆的周角为360，360606=，所以当等腰三角形的顶角为6时，共割了60个等腰三角形，设圆的半径为r ，则由题意可知22160sin 62r r π⨯⨯≈，解得：sin 630π≈，所以sin 6的近似值是30π. 故选：A4. 设,a b 为单位向量，且1a b -=，则2a b +=（ ） A. 37 C. 3D. 7【答案】B 【解析】 【分析】先根据1a b -=得12a b →→⋅=，再根据向量模的公式计算即可得答案. 【详解】因为,a b →→为单位向量，且1a b -=，所以()21a b -=，所以222+1a a b b -⋅=，解得12a b →→⋅=， 所以222+2+2+447a b a ba ab b ==⋅+=.故选：B.5. 某调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄分布饼状图，90后从事互联网行业岗位分布条形图，则下列结论错误的是（ ）注：90后指1990年及以后出生，80后指19801989-年之间出生，80前指1979年及以前出生.A. 互联网行业从业人员中从事技术和运营岗位的人数占总人数的三成以上B. 互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的20%C. 互联网行业中从事运营岗位的人数90后一定比80前多D. 互联网行业中从事技术岗位的人数90后一定比80后多 【答案】D 【解析】 【分析】根据整个互联网行业从业者年龄分布饼状图、90后从事互联网行业岗位分布条形图，对四个选项逐一分析，即可得出正确选项.【详解】对于选项A ，因为互联网行业从业人员中，“90后”占比为56%， 其中从事技术和运营岗位的人数占的比分别为39.6%和17%，则“90后”从事技术和运营岗位的人数占总人数的()56%39.6%17%31.7%⨯+≈. “80前”和“80后”中必然也有从事技术和运营岗位的人，则总的占比一定超过三成，故选项A 正确；对于选项B ，因为互联网行业从业人员中，“90后”占比为56%， 其中从事技术岗位的人数占的比为39.6%，则“90后”从事技术岗位的人数占总人数的56%39.6%22.2%⨯≈.“80前”和“80后”中必然也有从事技术岗位的人，则总的占比一定超过20%，故选项B 正确；对于选项C ，“90后”从事运营岗位的人数占总人数的比为56%17%9.5%⨯≈，大于“80前”的总人数所占比3%，故选项C 正确；选项D ，“90后”从事技术岗位的人数占总人数的56%39.6%22.2%⨯≈，“80后”的总人数所占比为41%，条件中未给出从事技术岗位的占比，故不能判断，所以选项D 错误.故选：D.【点睛】关键点点睛：本题考查利用扇形统计图和条形统计图解决实际问题，解本题的关键就是利用条形统计图中“90后”事互联网行业岗位的占比乘以“90后”所占总人数的占比，再对各选项逐一分析即可.6. 设函数()cos (0)f x x x ωωω=+>，其图象的一条对称轴在区间(,)63ππ内，且()f x 的最小正周期大于π，则ω的取值范围为（ ）A. 1(,1)2B. (0,2)C. (1,2)D. [1,2)【答案】C 【解析】由题意()cos 2sin()(0)6f x x x x πωωωω=+=+>．令,62x k k Z ππωπ+=+∈，得,3k x k Z ππωω=+∈， ∵函数图象的一条对称轴在区间,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭内，∴,633k k Z ππππωω<+<∈， ∴3162,k k k Z ω+<<+∈．又()f x 的最小正周期大于π， ∴2ππω>，解得02ω<<．∴ω的取值范围为(1,2)．选C ．7. 运行如图所示的程序框图，若输入的a 值为2时，输出的S 的值为12，则判断框中可以填（ ）A. 3?k <B. 4?k <C. 5?k <D. 6?k <【答案】B 【解析】 【分析】本题可模拟程序框图的运行过程，即可得出输出的S 的值为12时判断框中可以填的条件.【详解】运行该程序： 输入2a =， 第一次循环：20212S ，2a =-，112k =+=； 第二次循环：22226S ，2a =，213k =+=；第三次循环：262312S，2a =-，314k =+=，因为输出的S 的值为12，所以判断框中可以填4k <， 故选：B.8. 2020年春节突如其来的新型冠状病毒肺炎在某省爆发，一方有难八方支援，全国各地的白衣天使走上战场的第一线，某医院抽调甲、乙.丙三名医生，抽调,,A B C 三名护士支援某市第一医院与第二医院，参加该市疫情狙击战.其中选一名护士与一名医生去第一医院，其他都在第二医院工作，则医生甲和护士A 被选去第一医院工作的概率为（ ）A.118B.112 C. 19D. 16【答案】C 【解析】 【分析】利用古典概型公式计算概率.【详解】选一名护士和一名医生去第一医院，共有11339C C =种方法，则医生甲和护士A 被选去第一医院工作的概率19P =. 故选：C 9.设120212020,a b log ==20211log 2020c =，则,,a b c 的大小关系为（ ） A. a b c >> B. c b a >> C. b a c >> D. a c b >>【答案】A 【解析】 【分析】首先根据指对数的性质，三个数先和中间值0,1比较大小，再比较,,a b c 的大小关系. 【详解】1202120201a =>，20202020log log 20201b =<=，20202020log log 10>=，()0,1b ∴∈，202120211log log 102020c =<=， 所以a b c >>.故选：A10. 设()f x 是R 上的奇函数且满足()()11f x f x -=+，当01x ≤≤时，()()51f x x x =-，则()2020.6f -=（ ）A.2125B.710C. 85-D. 65-【答案】D 【解析】【分析】由题意可知，()f x 是以2为周期的周期函数，进而可得出()()2020.60.6f f -=-，再利用奇函数的性质可求得结果.【详解】对任意的x ∈R ，()()11f x f x -=+，即()()2f x f x =+， 所以，函数()f x 是以2为周期的周期函数，()()2020.60.6f f ∴-=-， 由于函数()f x 为R 的奇函数，且当01x ≤≤时，()()51f x x x =-，因此，()()()()62020.60.60.650.610.65f f f -=-=-=-⨯⨯-=-.故选：D.【点睛】方法点睛：函数的三个性质：单调性、奇偶性和周期性，在高考中一般不会单独命题，而是常将它们综合在一起考查，其中单调性与奇偶性结合、周期性与抽象函数相结合，并结合奇偶性求函数值，多以选择题、填空题的形式呈现，且主要有以下几种命题角度；（1）函数的单调性与奇偶性相结合，注意函数的单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图象的对称性．（2）周期性与奇偶性相结合，此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行交换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解；（3）周期性、奇偶性与单调性相结合，解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解.11. 已知12,F F 知是椭圆221:14x C y +=与双曲线2C 的公共焦点，A 是12,C C 在第二象限的公共点.若12AF AF ⊥，则双曲线2C 的离心率为（ ）A. 65B.2【答案】B 【解析】 【分析】求出椭圆焦点得双曲线焦点，从而得双曲线的c ，利用勾股定理和椭圆的定义求得12AF AF -得双曲线的实轴长，可得双曲线离心率．【详解】易知椭圆221:14x C y +=的焦点坐标为(，设双曲线方程为22221(0,0)x y a b a b-=>>，则c =记12,AF m AF n ==，由A在椭圆上有2224x y x y +=⎧⎪⎨+=⎪⎩， ∴22222()2()()21248x y x y x y -=+-+=⨯-=，即2a x y =-=，a =∴双曲线离心率为2c e a ===． 故选：B ．【点睛】关键点点睛：本题考查求双曲线的离心率，解题关键是利用双曲线与已知椭圆共焦点，有公共点求出半焦距c 和半实轴长a ，注意点椭圆与双曲线的定义的不同：椭圆中是122PF PF a +=，双曲线中是122PF PF a -=． 12. 设n S 为数列{}n a 的前n 项和，*()(11),2n n n n S a n N -+=∈，则数列{}n S 的前7项和为（ ）A. 1256-B. 85256-C. 11024-D. 3411024-【答案】B 【解析】 【分析】由1n =求得1a ，在2n ≥时，由1n n n a S S -=-得{}n a 的递推式，按n 的奇偶分类讨论求得n a ．然后由已知式计算1(1)2nn n nS a =--，再计算{}n S 的前7项和． 【详解】∵(1)12nn n n S a -+=， ∴1n =时，1112S a +=-，即1112a a +=-，114a =-，由已知1(1)2nn n nS a =--， 2n ≥时，11111111(1)(1)(1)(1)222n n n nn n n n n n n n n n a S S a a a a -----=-=----+=-+-+(*)， (*)式中n 为偶数时，112n n n na a a -=++，112n n a -=-，此时1n -为奇数， ∴n 为奇数时112n n a +=-(*)式中n 为奇数时，112n n n n a a a -=--+，1122n n na a --=-，即1111112222n n n n a -+-⎛⎫=-⨯-+= ⎪⎝⎭，此时1n -为偶数，∴n 为偶数时，12n n a =， ∴11,21,2n n nn a n +⎧-⎪⎪=⎨⎪⎪⎩为奇数为偶数，由1(1)2nn n nS a =--，得 n 为奇数时，11122n n n S +=-，n 为偶数时，11022nn nS =-=， ∴数列{}n S 的前7项和为11111111421686432256128⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭11118541664256256=----=-． 故选：B ．【点睛】关键点点睛：本题考查求数列的前n 项和．解题关键是确定通项公式n a ，为此利用2n ≥时，1n n n a S S -=-得递推关系，然后按n 的奇偶分类计算求解．最后确定数列{}n S 中的各项，求出前7项和．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 设变量,x y 满足约束条件20,20,2,x y x y y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩，则目标函数2z x y =+的最小值为_______________________．【答案】4【解析】 【分析】作出可行域，由2z x y =+可得22x zy -=+，作01:2l y x =-将其沿可行域的方向平移即可求解.【详解】作出可行域如图所示：由2z x y =+可得22x zy -=+，作01:2l y x =-将其沿可行域的方向平移可知过点()0,2A 时2z最小，也即z 最小，所以min 0224z =+⨯=， 故答案为：4【点睛】方法点睛：线性规划求最值的常见类型：（1）线性目标函数求最值：转化为直线的截距问题，结合图形求解；（2）分式型目标函数最值：转化为平面区域内的点与定点连线的斜率问题，结合图形求解；（3）平方型目标函数求最值；转为两点间的距离问题，结合图形求解.14. 已知函数()f x lnx x =-，则()f x 的最大值为________________________． 【答案】1- 【解析】 【分析】利用导数得出单调性即可得出最值.【详解】11()1,0x f x x x x-'=-=> ()001,()01f x x f x x ''>⇒<<<⇒> 则函数()f x 在0,1上单调递增，在1,上单调递减即max ()(1)ln111f x f ==-=- 故答案为：1-15. 已知等比数列{}n a 中，各项都是正数，前n 项和为n S ，且3544,,2a a a 成等差数列，11a =，则5S =_______________________．【答案】31 【解析】 【分析】首先由条件可知534242a a a =+，再根据数列{}n a 是等比数列，求公比q ，最后根据公式求5S .【详解】由条件可知534242a a a =+，即2333242a q a a q =+，即()()220120q q q q --=⇔+-=，{}n a 是正项数列，0q ∴>，即2q，又11a =，55512213112S -∴==-=-.故答案为：3116. 如图所示，正方体1111ABCD A BC D -的棱长为4,MN 是它内切球的一条弦(我们把球面上任意两点之间的线段称为球的弦)，P 为正方体表面上的动点，当弦MN 的长度最大时，的PM PN ⋅取值围是_______________________．【答案】[]0,8 【解析】 【分析】首先确定弦MN 过球心O ，再通过建立空间直角坐标系，利用坐标法得到()()()22224PM PN x y z z ⋅=-+---，再通过构造几何意义求PM PN ⋅的最大值和最小值.【详解】当弦MN 的长度最大时，弦过球心O ，如图，建立空间直角坐标系，不妨设,M N 是上下底面的中心，则()2,2,4M ，()2,2,0N ，(),,P x y z ，()2,2,4PM x y z =---，()2,2,PN x y z =---， 则()()()22224PM PN x y z z ⋅=-+---()()()2222224x y z =-+-+--，而()()()222222x y z -+-+-表示点(),,P x y z 和定点()2,2,2距离的平方，很显然正方体的顶点到定点()2,2,2距离的平方最大，最大值是2221444122++= 正方体面的中心到定点的距离的平方最小，最小值是4，所以PM PN ⋅的最小值是440-=，最大值是1248-=.故答案为：[]0,8【点睛】关键点点睛：本题第一个关键点是确定MN 过球心O ，利用对称性设()2,2,4M ，()2,2,0N ，第二个关键点是构造两点间距离的几何意义()()()2222224PM PN x y z ⋅=-+-+--求最大值和最小值.三、解答题:共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22.23题为选考题，考生根据要求作答.(一)必考题：每题12分，共60分.17. 河阴石榴是河南省荥阳市的特产，距今已有2100多年的历史，河阴石榴籽粒大；色紫红，甜味浓，被誉为“中州名果”.河阴石榴按照果径大小可以分为四类；标准果、优质果、精品果、礼品果.某超市老板从采购的一批河阴石榴中随机抽取100个，根据石榴的等级分类标准得到的数据如表所示:（1）求a的值并计算礼品果所占的比例；（2）用样本估计总体，超市老板参考以下两种销售方案进行销售：方案1；不分类卖出，单价为20元/kg；方案2；分类卖出，分类后的水果售价如表所示:从超市老板的角度考虑，应该采用哪种方案较好?并说明理由.a ，礼品果所占的比例为0.2；（2）见解析.【答案】（1）20【解析】【分析】（1）求出a的值，再得出礼品果所占的比例；（2）求出方案2中水果的平均价格，并与方案一中的平均价格比较，从超市老板的销售利润角度考虑，采用方案2比较好，从超市老板后期对石榴分类的人力资源和时间成本角度考虑，采用方案1比较好.【详解】（1）20a =，比例是200.2100= （2）理由一:设方案2的石榴售价平均数为.13421618222420.610101010x =⨯+⨯+⨯+⨯= 因为20.620x =>所以从超市老板的销售利润角度考虑，采用方案2比较好. 理由二:设方案2的石榴售价平均数为x13421618222420.610101010x =⨯+⨯+⨯+⨯= 虽然20.620x =>，但20.6200.6-=从超市老板后期对石榴分类的人力资源和时间成本角度考虑，采用方案1比较好. 18. 在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知5,2,45b c B ==∠=.（1）求边BC 的长﹔（2）在边BC 上取一点D ，使得4cos 5ADB，求sin DAC ∠的值.【答案】（1）3BC =；（2 【解析】 【分析】（1）在ABC 中，利用余弦定理即可求解；（2）在ABC 中，由正弦定理可以求出sin C =，再利用ADC ∠与ADB ∠互补可以求出4cos 5ADC ∠=-，得出ADC ∠是钝角，从而可得C ∠为锐角，即可求出cos C 和sin ADC ∠的值，利用sin sin()DAC ADC C ∠=∠+∠展开代入数值即可求解.【详解】在ABC 中，因为b =c =45B ∠=， 由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，得2522a a =+-所以2230a a --=解得：3a =或1a =-（舍） 所以3BC =.（2）在ABC 中，由正弦定理sin sin b cB C=，245sin C=.所以sin C =在ADC 中，因为()4cos 180cos cos 5ADB ADB ADC -∠=-∠∠=-=，所以ADC ∠为钝角.而180ADC C CAD ∠+∠+∠=， 所以C ∠为锐角故cos C ==因为4cos 5ADC ∠=-，所以35sin ADC ∠===，()sin sin 180sin()DAC ADC C ADC C ∠=-∠-∠=∠+∠， sin cos cos sin ADC C ADC C =∠∠+∠∠34555525=⨯-⨯=【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是利用两角互补余弦互为相反数求出4cos 5ADC ∠=-，可得ADC ∠为钝角，从而C ∠为锐角，可确定cos C 的值.19. 如图，四面体ABCD 中，ABC 是正三角形，ACD ∆是直角三角形，ABD CBD ∠=∠，AB BD =.（1）证明:平面ACD ⊥平面ABC ；（2）设AB 长为1,点E 为BD 的中点，求点D 到平面ACE 的距离.【答案】（1）证明见解析；（2）3. 【解析】 【分析】（1）要证明面面垂直，需证明线面垂直，根据题中的垂直关系，可判断ACD △是等腰直角三角形，且AD DC =，利于垂直关系证明OB DO ⊥，OB AC ⊥，即可证明OB ⊥平面ACD ；（2）利于等体积转化,D ACE E ACD V V --=求点到平面的距离.【详解】()1证明:如图所示，取AC 的中点,O 连接,BO OD .ABC ∆是等边三角形，,OB AC ∴⊥ABD ∆与CBD ∆中，,,AB BD BC ABD CBD ==∠=∠,ABD CBD ∴∆≅∆AD CD ∴=ACD ∆是直角三角形，AC ∴是斜边，90,ADC ∴∠=︒12DO AC ∴=2222DO BO AB BD ∴+==90,BOD =∴︒∠OB OD ∴⊥又,DO AC O ⋂=OB ∴⊥平面ACD .又OB ⊂平面,ABC∴平面ACD ⊥平面ABC .()2设E 是BD 的中点，ABC ∆是等边三角形，边长为1，2cos ADB ∠==211112242242AE =+-⨯⨯=，122AE CE AE AC ====1124ACE S ∆==1111,3434D ACE E ACD V V h --=⨯⨯=，h =点D 到平面ACE 【点睛】关键点点睛：本题第一问的关键是证明,ABD CBD ∆≅∆才能确定ACD △的形状，为证明垂直关系打通桥梁，第二问的关键是求ACE △的面积.20. 已知抛物线2:2(0)E x py p =>的焦点为,F 点Р在抛物线E 上，点Р的横坐标为2,且2PF =.（1）求抛物线E 的标准方程；（2）若,A B 为抛物线E 上的两个动点(异于点P )，且AP AB ⊥，求点B 的横坐标的取值范围.【答案】（1）24x y =；（2）[)(,)610--⋃∞+∞，. 【解析】 【分析】()1由抛物线的定义可得022py =-，再代入可求得p ，可得抛物线E 的标准方程为24x y =.()2由直线垂直的条件建立关于点A 、B 的坐标的方程，由根的判别式可求得范围.【详解】解：()1依题意得0,,2p F ⎛⎫⎪⎝⎭设()002,,22p P y y =-，又点Р是E 上一点，所以4222p p ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，得2440p p -+=，即2p =，所以抛物线E 的标准方程为24x y =.()2由题意知()2,1P ， 设221212,,,,44x x A x B x ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则()2111114224APx kx x -==+-，因为12x ≠-，所以142AB k x =-+， AB 所在直线方程为()2111442x y x x x --=-+，联立24x y =. 因为1x x ≠，得11(216(0))x x x +++=，即()21122160x x x x ++++=，因为()224216)0(x x ∆=+-+≥，即24600x x --≥，故10x ≥或6x ≤-经检验，当6x =-时，不满足题意.所以点B 的横坐标的取值范围是[)(,)610--⋃∞+∞，. 【点睛】关键点点睛：解决本题的相关问题的关键在于，将目标条件转化到点的坐标的关系，由方程的根的判别式求得范围.21. 已知函数()ln x af x x+=. （1）若函数()f x 的图象在1x =处的切线为1y =，求()f x 的极值；（2）若()21xf x e x≤+-恒成立，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）()f x 的极大值为1，不存在极小值；（2）3a ≤. 【解析】【分析】（1）利用()10f '=即可求出a 的值，可得()f x 的解析式，再对其求导判断单调性即可求出极值；（2）()21xf x e x ≤+-等价于ln 21x x a e x x+≤+-，分离a 可得()1ln 2x a x e x ≤--+ 构造函数()()1ln 2xF x x e x =--+，0x >，只需()min a F x ≤ 利用导数求()F x 最小值即可求解.【详解】（1）()21ln a xf x x --'=， 由题意可得：()2110af x-'==，解得：1a = 此时函数()11f a ==，函数()f x 的图象在1x =处的切线为1y =成立 所以()ln 1x f x x+=，()2ln xf x x -'=，由()0f x '>可得01x <<，由()0f x '<可得1x >， 所以()f x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞ 上单调递减. 所以()f x 的极大值为()11f =，不存在极小值.()2由()21x f x e x ≤+-可得ln 21x x a e x x+≤+- 分离a 可得：()1ln 2xa x e x ≤--+()0x >令()()1ln 2,0xF x x e x x =--+>()()()111111,0x x x x x F x e xe e x x e x x x x '=-+⎛⎫-= ⎪+--⎝⎭=++> ()1,0.x h x e x x=->令()21'0xh x e x =+> 所以()h x 在()0,∞+上单调递增()120,110,2h h e ⎛⎫=<=-> ⎪⎝⎭存在唯一的01,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()00010xh x e x =-=当00x x <<时，()0h x <，即()0F x '<， 当0x x >时，()0h x >，即()0F x '>，故()F x 在()00,x 上单调递减，在()0,x +∞上单调递增.()()0000000min 12ln 2x x F x x e lnx x e x x =--+=--+，由于()00010x h x e x =-=，得001xx e =，再对001xx e =两边取对数可得：00ln 0x x +=所以()0000min ln 21023xF x x e x x =--+=-+=，所以3a ≤即实数a 的取值范围3a ≤【点睛】方法点睛：求不等式恒成立问题的方法（1）分离参数法若不等式(),0f x λ≥()x D ∈（λ是实参数）恒成立，将(),0f x λ≥转化为()g x λ≥或()()g x x D λ≤∈恒成立，进而转化为()max g x λ≥或()()min g x x D λ≤∈，求()g x 的最值即可.（2）数形结合法结合函数图象将问题转化为函数图象的对称轴、区间端点的函数值或函数图象的位置关系（相对于x 轴）求解.此外，若涉及的不等式转化为一元二次不等式，可结合相应一元二次方程根的分布解决问题.（3）主参换位法把变元与参数变换位置，构造以参数为变量的函数，根据原变量的取值范围列式求解，一般情况下条件给出谁的范围，就看成关于谁的函数，利用函数的单调性求解.(二)选考题:共10分.请考生在第22，23题中任选一题作答.在答题卷上将所选题号涂黑，如果多做，则按所做的第一题计分.22. 在平面直角坐标系中，曲线C 的参数方程为1x cos y sin θθ=⎧⎨=+⎩（θ为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为6sin πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（1）求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程； （2）射线OP 的极坐标方程为6πθ=，若射线OP 与曲线C 的交点为A (异于点O )，与直线l 的交点为,B 求线段AB 的长.【答案】（1）()2211x y +-=，0x -=；（2）1. 【解析】 【分析】（1）利用22cos sin 1θθ+=消参后得到曲线C 的普通方程，以及利用cos x ρθ=，sin y ρθ=，转化为直线l 的直角坐标方程；（2）6πθ=分别代入曲线C 和直线l 的极坐标方程，求得ρ，再利用公式12AB ρρ=-求解.【详解】()1由1x cos y sin θθ=⎧⎨=+⎩可得22221(1)x y cos sin θθ+-=+=，所以曲线C 的普通方程为()2211x y +-=，由6sin πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭所以1022sin cos ρθρθ+=，所以直线l 的直角坐标方程为0x +-=.()2曲线C 的方程可化为2220x y y +-=，所以曲线C 的极坐标方程为2sin ρθ=，由题意设12,,,66ππρρ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A B将6πθ=代入12,sin ρθρ==1将6πθ=代入()6sin πρθ+=可得22ρ=， 所以121AB ρρ=-=.【点睛】方法点睛：本题考查弦长公式，一般求弦长的方法包含以下几点： 1.直角坐标系下的弦长公式AB=；2.利用直线参数方程t 的几何意义可知12AB t t =-；3.极坐标系下，过原点的直线与曲线相交的弦长12AB ρρ=-.23. 已知0a b >>，函数()()1f x x b a b =+-（1）若1a =，12b =，求不等式()2f x >的解集﹔（2）求证：()24f x x a +-≥.【答案】（1）{2x x >-或}6x <- ；（2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）由题意可得()4f x x =+，解不等式42x +>即可求解；（2）由题意可得需证()214x x a b a b ++-≥-，利用绝对值三角不等式可得()()2211x x a a b a b b a b ++-≥+--，再利用基本不等式结合0a b >>即可求证.31 / 31 【详解】（1）由1a =，12b =可得()4f x x =+， 则()2f x >即42x +>，所以42x +>或42x <-＋，解得：2x >-或6x <-故不等式()2f x >的解集为{2x x >-或}6x <-，（2）由题意即证，()214,x x a b a b ++-≥- 因()()()()222111x x a x x a a b a b b a b b a b ++-≥+--=+---， 因为0a b >>，所以0a b ->， 所以()2224b a b a b a b +-⎛⎫-≤= ⎪⎝⎭， 所以()()22221144a a a b a b b a b a +=+≥+≥=-- 当且仅当224a a b a b⎧=⎪⎨⎪=-⎩即a =2b = 所以()()22114x x a a b a b b a b ++-≥+≥-- 故()24f x x a +-≥成立. 【点睛】关键点点睛：本题要想到利用绝对值三角不等式得出()()221f x x a a b a b +-≥+-，这样不再含x ，而且()b a b a +-=即可用基本不等式消去b 转化为只含a 的代数式，再次利用基本不等式即可证明.。
2021年高三上学期12月测试数学试题 Word版含答案
2021年高三上学期12月测试数学试题 Word 版含答案班级 姓名 得分______一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上.1．已知复数满足（为虚数单位），则= ▲ ．22．已知集合A ＝{－1，0，1，2}，B ＝{x |x 2－1＞0}，则A ∩B ＝▲________．{2} 3. 设点是角终边上一点，若，则 ▲ .4．抛掷甲、乙两枚质地均匀且四面上分别标有1，2，3，4的正四面体，记底面上的数字分别为，则为整数的概率是 ▲ ．5. 执行如图所示的算法流程图，则输出的结果是 ▲ ．-16．直线截得的弦AB 的长为 ___8______7. 已知等差数列中，，若前5项的和，则其公差为 2 8. 已知双曲线的一条渐近线与直线平行，则实数 ▲ 9．设的内角的对边分别为，若，则 或3 ▲10．已知平行四边形ABCD 中，AD ＝2，∠BAD ＝60°．若E 为DC 中点，且AE →·BD →＝1，则BD →·BE →的值为▲________．311. 在平面直角坐标系中，已知椭圆的右顶点为，上顶点为，为线段的中点，若，则该椭圆的离心率的值为12．过点作曲线的切线,切点为，设在轴上的投影是点，过点再作曲线的切线,切点为，设在轴上的投影是点，依次下去，得到第个切点，则点的坐标为 ▲ ．13．如图，点C 为半圆的直径AB 延长线上一点，AB=BC=2， 过动点P 作半圆的切线PQ ，若,则的面积的 最大值为14．中，，．若椭圆以为长轴，且过点，则椭圆的离心率是 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内.[ 15. (本小题满分14分)在△ABC 中，，，点D 在BC 边上．（1）若AD 为的平分线，且BD 1，求△ABC 的面积；（2）若AD 为△ABC 的中线，且AD ，求证：△ABC 为等边三角形． 15．（1）在△ABD 中，，在△ACD 中，，相除得：AC =2AB ． ………………………………………3分 在△ABC 中，2222π2cos 393BC AB AC AB AC AB =+-⋅==，∴AB =，AC =2………………………………………6分 ∴……………………………7分（2）∵，∴()()22222112cos 44AD AB AC AB AC A AB AC AB AC =++⋅=++⋅∴………………………………9分 又，相减得，………………………………………11分 ∴，∴即∶AB =AC ，又∠C =60°，∴三角形ABC 为等边三角形．………………14分B CPQ16．(本小题满分14分)如图，在四棱锥中，与交于点且平面平面为棱上一点.（1）求证：（2）若求证：平面（1）因为平面底面，平面底面，，平面，所以平面，又因为平面，所以．……………………6分（2）因为，，与交于，所以，又因为，所以，所以，又因为平面，平面，所以平面．……………………14分17. (本小题满分14分)平面直角坐标系xOy中，已知⊙M经过点F1（0，－c），F2（0，c），A（c，0）三点，其中c＞0．（1）求⊙M的标准方程（用含的式子表示）；（2）已知椭圆（其中）的左、右顶点分别为D、B，⊙M与x轴的两个交点分别为A、C，且A点在B点右侧，C点在D点右侧．①求椭圆离心率的取值范围；②若A 、B 、M 、O 、C 、D （O 为坐标原点）依次均匀分布在x 轴上，问直线MF 1与直线DF 2的交点是否在一条定直线上？若是，请求出这条定直线的方程；若不是，请说明理由．解：（1）设⊙M 的方程为，则由题设，得解得2,0,.D E F c ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=-⎪⎪⎩………………………3分⊙M 的方程为，⊙M 的标准方程为． …………………………………5分 （2）⊙M 与轴的两个交点，，又，，由题设 即 所以………………………7分 解得，即 ．所以椭圆离心率的取值范围为．………………………………………10分 （3）由（1），得．由题设，得．∴，．∴直线MF 1的方程为， ①直线DF 2的方程为． ②…………………………………13分 由①②，得直线MF 1与直线DF 2的交点，易知为定值，∴直线MF 1与直线DF 2的交点Q 在定直线上．…………………14分18．(本小题满分16分)某地拟模仿图甲建造一座大型体育馆，其设计方案侧面的外轮廓线如图乙所示：曲线是以点为圆心的圆的一部分，其中（，单位：米）；曲线是抛物线的一部分；，且恰好等于圆的半径. 假定拟建体育馆的高米.（1）若要求米，米，求与的值；（2）若要求体育馆侧面的最大宽度不超过米，求的取值范围；（3）若，求的最大值.（参考公式：若，则）（1）因为，解得. …………… 2分此时圆，令，得，所以，将点代入中，解得. ………… 4分（2）因为圆的半径为，所以，在中令，得，则由题意知对恒成立， 8分所以恒成立，而当，即时，取最小值10，故，解得. ………… 10分（3）当时，，又圆的方程为，令，得，所以，从而，………… 12分又因为252)()5(2525t tf tt t t t-'==--⋅，令，得，………… 14分当时，，单调递增；当时，，单调递减，从而当时，取最大值为25.答：当米时，的最大值为25米. …………16分（说明：本题还可以运用三角换元，或线性规划等方法解决，类似给分）19. (本小题满分16分)已知数列，满足，，，．（1）求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式；（2）设数列满足，对于任意给定的正整数，是否存在正整数，()，使得，，成等差数列？若存在，试用表示，；若不存在，说明理由． 19．（1）因为，所以，则142242221221n nn n n n n n n na b b b a b a b b b +=-=-=-=++++， ………………………2分 所以，又，所以，故是首项为，公差为的等差数列， ……4分 即，所以． ………………………6分 （2）由（1）知，所以， ①当时，，，，若，，成等差数列，则（）， 因为，所以，，，，所以（）不成立． …………………………9分 ②当时，若，，成等差数列， 则，所以，即，所以， ………………………12分欲满足题设条件，只需，此时， ………………14分 因为，所以，，即． …………………………15分 综上所述，当时，不存在满足题设条件；当时，存在，，满足题设条件．…16分20. (本小题满分16分)已知函数(其中是自然对数的底数)，，． ⑴记函数，当时，求的单调区间；⑵若对于任意的，，，均有成立，求实数的取值范围． 解：⑴，，得或，…………………………………2分 列表如下：（，）的单调增区间为：，，减区间为； ……6分 ⑵设，是单调增函数，，2112121221()()|()()|()()()()()()f x f x g x g x f x f x g x g x f x f x ∴->-⇒-<-<-；…8分①由得：，即函数在上单调递增， 在上恒成立，在上恒成立； 令，， 时，；时，； ，； ………………………………12 ②由得：，即函数在上单调递增，在上恒成立， 在上恒成立；函数在上单调递减，当时，， ，综上所述，实数的取值范围为．…………………………16分Zr20543 503F 倿26709 6855 桕23753 5CC9 峉g33576 8328 茨25454 636E 据29111 71B7 熷 vx34469 86A5 蚥S28942 710E 焎。
河南省实验中学2021届高三第四次模拟考试文科数学试题
2021届河南省实验中学高三模拟4 文科数学（总分：150分，时间：120分钟）一、选择题（本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．设集合A＝{x|x2﹣3x﹣4≤0}，B＝{x|1＜x＜5}，则A∩B＝（）A．{x|﹣4＜x＜5} B．{x|﹣1≤x≤4} C．{x|1＜x≤4} D．{x|﹣1≤x＜5}2．若α，β表示两个不同的平面，m为平面α内一条直线，则（）A．“m∥β”是“α∥β”的充分不必要条件B．“m∥β”是“α∥β”的必要不充分条件C．“m⊥β”是“α⊥β”的必要不充分条件D．“m⊥β”是“α⊥β”的充要条件3．在平面直角坐标系中，不等式组，所表示的平面区域的面积是（）A．4 B．2 C．1 D．4．函数f（x）＝的部分图象大致为（）A．B．C．D．5．执行如图所示的程序框图，若输入的N＝10，则输出的X＝（）A． B． C． D．6．已知3x＝2y＝t，且，则t＝（）A．B．C．36 D．67．已知递增等差数列{a n}的前n项和为S n，若S5＝15，且a1，a2，a3+1成等比数列，则（）A．a1＝0，S10＝45 B．a1＝0，S10＝90C．a1＝1，S10＝100 D．a1＝1，S10＝558．已知函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示．现将函数f（x）图象上的所有点向右平移个单位长度后，横坐标再缩短到原来的倍得到函数g（x）的图象，则函数g（x）的解析式为（）A．g（x）＝2sin（x﹣）B．g（x）＝2sin（4x+）C．g（x）＝2sin（x+）D．g（x）＝2sin（4x﹣）9．已知过点（0，2）的直线l与圆心为C的圆（x﹣2）2+（y﹣1）2＝10相交于A，B两点，当△ABC面积最大时，直线l的方程为（）A．2x﹣y+2＝0 B．2x﹣y+2＝0或2x+y﹣2＝0C．x＝0 D．x＝0或2x+y﹣2＝010．如图，已知等边△ABC与等边△ABD所在平面成锐二面角的大小为，E，F分别为AB，AD中点，则异面直线EF与CD所成角的余弦值为（）A．B．C．D．11．已知以F为焦点的抛物线y2＝4x上的两点A，B满足＝3，则点A的横坐标为（）A．1 B．C．2 D．312．已知函数f（x）＝，如果关于x的方程[f（x）]2+t•f（x）+1＝0（t∈R）有四个不等的实数根，则t的取值范围（）A．（﹣∞，﹣e﹣） B．（﹣e﹣，﹣2） C．（2，e+） D．（e+，+∞）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．复数z满足|z+i|＝1，且z+＝2，则z＝．14．已知△ABC的内角A、B、C的对边分别是a、b、c，且b＝3，a﹣c＝2，A＝．则△ABC的面积为．15．已知||＝1，||＝3，且|﹣|＝2，则|+2|＝．16．将正奇数按如图所示的规律排列：则2021在第行，从左向右第个数．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知数列{a n}的前n项和为S n＝2n﹣1．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n＝na n，求数列{b n}的前n项和T n．18．某校食堂按月订购一种螺蛳粉，每天进货量相同，进货成本每碗6元，售价每碗10元，未售出的螺蛳粉降价处理，以每碗5元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关．如果最高气温不低于25，需求量为200碗；如果最高气温位于区间[20，25），需求量为300碗；如果最高气温低于20，需求量为500碗．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：最高气温[10，15）[15，20）[20，25）[25，30）[30，35）[35，40）天数 4 7 25 36 16 2以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率．（1）求六月份这种螺蛳粉一天的需求量不超过300碗的概率；（2）设六月份一天销售这种螺蛳粉的利润为Y（单位：元），当六月份这种螺蛳粉一天的进货量为450碗时，写出Y的所有可能值，并估计Y的平均值（精确到0.1）．19．如图，四边形ABCD是平行四边形，平面AED⊥平面ABCD，EF∥AB，AB＝2，DE＝3，BC＝EF＝1，AE＝，∠BAD＝60°，G为BC的中点．（1）求证：平面BED⊥平面AED；（2）求直线EF与平面BED所成角的正弦值．20．已知函数f（x）＝（x2﹣1）e x，其中a∈R．（1）求函数f（x）在x＝0处的切线方程；（2）∀x≥0，f（x）≥ax﹣1，求实数a的取值范围．21．已知椭圆E：+＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，椭圆上的点到焦点F1的距离的最小值为﹣1，以椭圆E的短轴为直径的圆过点（2，0）．（1）求椭圆E的标准方程；（2）若过F2的直线交椭圆E于A、B两点，过F1的直线交椭圆E于C，D两点，且AB⊥CD，求四边形ACBD面积的取值范围．请考生在22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分22．已知曲线C的参数方程为（t为参数）．（1）求曲线C的普通方程；（2）过点P（0，1）的直线l与曲线C交于A，B两点，求|PA|•|PB|的取值范围．23．设函数f（x）＝|2x+1|+|2x﹣1|．（1）求不等式f（x）≥6的解集；（2）若f（x）的最小值是m，a＞0，b＞0，且a+b＝m，求的最小值．2021届河南省实验中学高三下模拟4文科数学答案一．选择题1-5．CBCAB 6-10．BDDAC11-12．DA二．填空题13．1﹣i 14．15．7 16．32，50．三．解答题17．解：（Ⅰ）∵S n＝2n﹣1，∴当n＝1时，有S1＝2﹣1＝1＝a1，当n≥2时，有a n＝S n﹣S n﹣1＝2n﹣2n﹣1＝2n﹣1，综上，a n＝2n﹣1；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得：b n＝n×2n﹣1，∴T n＝1+2×21+3×22+…+n×2n﹣1，又2T n＝1×21+2×22+…+（n﹣1）•2n﹣1+n×2n，两式相减得：﹣T n＝1+2+22+…+2n﹣1﹣n×2n＝﹣n×2n，整理得：T n＝（n﹣1）•2n+1．18．解：（1）设六月份这种螺蛳粉一天的需求量不超过300碗为事件A，P（A）＝；（2）当一天需求量为200碗时，Y＝﹣450×6+200×10+（450﹣200）×5＝550元，当一天需求量为300碗时，Y＝﹣450×6+300×10+（450﹣300）×5＝1050元，当一天需求量为500碗时，Y＝﹣450×6+450×10＝1800元，所以Y的所有可能值为550，1050，1800；P（Y＝550）＝，P（Y＝1050）＝，P（Y＝1800）＝，所以E（Y）＝＝841.7元．19．（1）证明：在△ABD中，AD＝1，AB＝2，∠BAD＝60°，由余弦定理可得，所以AD2+BD2＝AB2，故BD⊥AD，又因为平面AED⊥平面ABCD，平面AED∩平面ABCD＝AD，BD⊂平面ABCD，所以BD⊥平面AED，又因为BD⊂平面BED，所以平面BED⊥平面AED；（2）解：因为EF∥AB，所以直线EF与平面BED所成的角即为直线AB与平面BED所成的角，过点A作AH⊥DE于点H，连结BH，如图所示，又平面BED∩平面AED＝ED，由（1）可知，AH⊥平面BED，所以直线AB与平面BED所成的角为∠ABH，在△ADE中，AD＝1，DE＝3，，由余弦定理可得，，所以，故，在Rt△AHB中，＝，故直线EF与平面BED所成角的正弦值为．20．解：（1）由f（x）＝（x2﹣1）e x，得f′（x）＝（x2+2x﹣1）e x，∴f′（0）＝﹣1，又f（0）＝﹣1，∴函数f（x）在x＝0处的切线方程为y+1＝﹣x，即x+y+1＝0；（2）x＝0时，不等式f（x）≥ax﹣1为﹣1≥﹣1，对任意实数a都成立；x＞0时，不等式化为f（x）﹣ax+1≥0，令g（x）＝f（x）﹣ax+1，则g′（x）＝f′（x）﹣a，由f′（x）＝（x2+2x﹣1）e x，令h（x）＝（x2+2x﹣1）e x，h′（x）＝（x2+4x+1）e x＞0，∴h（x）即f′（x）在（0，+∞）上单调递增，f′（x）＞f′（0）＝﹣1，∴g′（x）＞g′（0）＝﹣1﹣a，若﹣1﹣a≥0，即a≤﹣1，则g′（x）＞0在（0，+∞）上恒成立，g（x）在（0，+∞）上单调递增，g（x）＞g（0）＝0，不等式f（x）﹣ax+1≥0成立；若a＞﹣1，由上讨论可知，存在x0＞0，使得g′（x0）＝0，且当0＜x＜x0时，g′（x）＜0，g（x）单调递减，当x＞x0时，g′（x）＞0，g（x）单调递增，g（x）min＝g（x0），而g（0）＝0，因此，0＜x＜x0时，g（x）＜g（0）＝0，g（x）≥0不成立．综上，a≤﹣1．21．解：（1）由题意可知，b＝2，a﹣c＝﹣1，又a2＝b2+c2，解得a＝，c＝1，所以椭圆的标准方程为：；（2）设四边形ACBD的面积为S，则S＝，①当AB⊥x轴时，|AB|＝，|CD|＝2a，所以S＝，②当CD⊥x轴时，|CD|＝，|AB|＝2a，所以S＝，③当AB与CD都不与x轴垂直时，直线AB的斜率存在且不为0，设A（x1，y1），B（x2，y2），设直线AB的斜率为k，则直线CD的斜率为﹣，则设直线AB的方程为：y＝k（x﹣1），联立方程，消去y整理可得：（4+5k2）x2﹣10k2x+5k2﹣20＝0，所以x，所以|AB|＝＝（*），过F2做直线CD的平行线和椭圆E交于点C1，D1，由对称性知|C1D1|＝|CD|，在（*）中的k换成﹣，得|C1D1|＝＝，所以|CD|＝，所以S＝|B||CD|＝••＝，令t＝1+k2，则t＞1，所以S＝＝＝，令u＝，则u∈（0，1），所以S＝＝，因为﹣（u﹣）2+∈（20，]，所以S∈[，8）所以四边形ACBD面积的取值范围[，8 ]．22．解：（1）曲线C的参数方程为，消去参数t，可得5分（x 1）（2）直线代入曲线C得：（1+3cos2α）•t2+2sinα•t﹣3＝0设两根为t1，t2，故.10分．23．解：（1）f（x）＝|2x+1|+|2x﹣1|＝，因为f（x）≥6，所以或或，解得x≤﹣或x≥，故不等式f（x）≥6的解集为（﹣∞，﹣]∪[，+∞）．（2）由（1）可知f（x）的最小值为2，即m＝2，所以a+b＝2，则＝（）（a+b）＝（++10）≥×（6+10）＝8，当且仅当＝，即a＝，b＝时等号成立，故的最小值为8．。
河南省南阳市第一实验高级中学2021年高三数学文联考试卷含解析
河南省南阳市第一实验高级中学2020-2021学年高三数学文联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 把函数的图象上个点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再将图象向右平移个单位，那么所得图象的一个对称中心为（）A．B．C．D．参考答案：D【考点】HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】35 ：转化思想；4R：转化法；57 ：三角函数的图像与性质．【分析】利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得平移后的函数，结合三角函数的性质对称中心．【解答】解：函数的图象上个点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），可得y=sin（2x），再将图象向右平移个单位，可得：y=sin[2（x﹣）]=sin（2x）=﹣cos2x．令2x=，可得：x=，k∈Z．当k=0时，可得对称中点为（，0）．故选：D．2. 若是的重心，分别是角的对边，则角( )A． B. C． D.参考答案：D略3. 《张丘建算经》是我国南北朝时期的一部重要数学著作，书中系统的介绍了等差数列，同类结果在三百多年后的印度才首次出现．书中有这样一个问题，大意为：某女子善于织布，后一天比前一天织的快，而且每天增加的数量相同，已知第一天织布5尺，一个月（按30天计算）总共织布585尺，问每天增加的数量为多少尺?该问题的答案为（）A．尺B．尺C．1尺D．尺参考答案：C4. 已知等差数列中，，记，S13=( ) A．78 B．68 C．56 D．52参考答案：D5. 已知幂函数的图像过点，令，，记数列的前项和为，则=10时，的值是( )A. 110B. 120C.130 D. 140参考答案：1206. 已知均为锐角，则下列不等式成立的是 ( )A. B.C. D.参考答案：B7. 已知A={x|﹣4＜x＜1}，B={x|x2﹣x﹣6＜0}，则A∪B等于（）A．（﹣3，1）B．（﹣2，1）C．（﹣4，2）D．（﹣4，3）参考答案：D【考点】并集及其运算．【分析】先求出集合A，B，由此利用并集的定义能求出A∪B的值．【解答】解A={x|﹣4＜x＜1}=（﹣4，1），B={x|x2﹣x﹣6＜0}=（﹣2，3）∴A∪B=（﹣4，3）故选：D．8. 已知锐角满足,则的最大值为A． B． C． D．参考答案：D9. 已知a＞0，x，y满足约束条件，若z=2x+y的最大值为，则a=（）A．5 B．C．2 D．1参考答案：D【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义即可得到结论．【解答】解：先作出不等式，对应的区域，如图：若z=2x+y的最大值为，则2x+y≤，直线y=a（x﹣2）过定点（2，0），则直线2x+y=与x+y=3相交于A，由得，即A（，），同时A也在直线y=a（x﹣2）上，即a（﹣2）=，得a=1故选：D．10. 将二项式（x+）6展开式中各项重新排列，则其中无理项互不相邻的概率是（）A．B．C．D．参考答案：A【考点】二项式系数的性质．【分析】写出二项展开式的通项，求出所含有理项及无理项的个数，利用插空排列得到无理项互不相邻的事件数，由古典概型概率计算公式求得答案．【解答】解：由，可知，当r=0，2，4，6时，为有理项，则二项式（x+）6展开式中有4项有理项，3项为无理项．基本事件总数为．无理项互不相邻有．∴无理项互不相邻的概率是P=．故选：A．【点评】本题考查二项式系数的性质，考查了排列组合及古典概型概率计算公式，是中档题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知O是坐标原点，点A，若点M为平面区域上的一个动点，则的最小值是.参考答案：略12. 在等比数列{a n }中，a1=8，a 4=a 3?a 5，则a 7= ．参考答案：【考点】等比数列的通项公式．【专题】等差数列与等比数列．【分析】利用等比数列的通项公式即可得出．【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q，∵a1=8，a4=a3?a5，∴8q3=8q2?8q4，化为（2q）3=1，解得q=．∴a7==．故答案为：．【点评】本题考查了等比数列的通项公式，属于基础题．13. 已知为抛物线上的两点，点的横坐标分别为，过分别作抛物线的切线，两切线交于点，则点的纵坐标为。
2021-2022学年河南省高考联盟高三(上)教学检测数学试卷(文科)(12月份)(附详解)
2021-2022学年河南省高考联盟高三（上）教学检测数学试卷（文科）（12月份）一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知集合U ={1,2,3,4,5}，A ={1,3}，B ={2,3}，则(∁U A)∩B =( )A. {2}B. {2,3}C. {1,2,3}D. {2,3,4,5}2. 等差数列{a n }满足a 3+a 4=4，a 7+a 8=8，则a 11+a 12=( )A. 10B. 12C. 14D. 163. 已知p ：f(x)是幂函数，q ：f(x)图象过点(0,0)，则p 是q 的( )A. 充要条件B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件4. 已知△ABC 的面积为|AB|2+|AC|2−|BC|24，则( )A. A =π4B. A =π2C. B =π4D. C =π25. 曲线f(x)=ln(x +1)+2sinx 在(0,f(0))处的切线方程为( )A. y =xB. y =2xC. y =3xD. y =4x6. 在一次“剧本杀”游戏中，甲、乙、丙、丁四人各自扮演不同的角色，四人发言如下：甲：我扮演警察； 乙：我扮演路人； 丙：我扮演嫌疑犯；丁：我扮演路人、嫌疑犯、受害者当中的一个． 若其中只有1人说谎，则说谎的人可能是( )A. 甲或丁B. 乙或丙C. 甲或乙D. 丙或丁7. 已知a =√6，b =√6，c =√636√6，则( )A. b >a >cB. a >c >bC. c >a >bD. a >b >c8. 下列函数的图象关于原点对称，又在定义域内单调递增的是( )A. y =x +1x B. y =x 3+x C. y =2x +2−xD. y =lg(10x −10−x )9. 把函数f(x)=sin2x 的图象向左平移π4个单位长度，再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到g(x)的图象，则g(x)的极大值点为( )A. x =kπ，k ∈ZB. x =kπ+π2，k ∈Z C. x =k4π，k ∈ZD. x =2kπ，k ∈Z10. 某正方体被一平面截去一部分后的空间几何体的三视图如图所示，根据图中数据，可得该几何体的表面积是( )A. 12+12√3B. 24+48√3C. 48+12√3D. 96+24√311. 已知D 是△ABC 内部(不含边界)一点，若S △ABD ：S △BCD ：S △CAD =5：4：3，AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +y AC⃗⃗⃗⃗⃗ ，则x +y =( ) A. 23B. 34C. 712D. 112. 定义在正整数上的函数满足f(k +2)=√3f(k +1)−f(k)(k ∈N ∗)，则f(65)=( )A. f(1)B. f(3)C. f(5)D. f(7)二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知向量a ⃗ =(2,3)，b ⃗ =(−1,7)，则|a ⃗ −b ⃗ |=______． 14. 已知函数f(x)=x+a e x，若f′(0)=2，则f(0)=______．15. 中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一，印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”.半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体．半正多面体体现了数学的对称美，如图是一个棱数为24的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的棱上，且此正方体的棱长为1.该多面体的外接球(即经过多面体所有顶点的球)的半径为______．16.若0<a<b<c<1，则下列结论正确的序号有______．①log a(log a b)<log b(log a b)；②log c(log c a)<log b(log c a)；③log a(log a b)+log b(log b c)+log c(log c a)>0；④log a(log a b)+log b(log b c)+log c(log c a)<0．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a=√b2+c2−bc．(1)求角A的大小；(2)若a=√3，B=π4，求c．18.已知函数f(x)=13x3+12(a−1)x2−ax+1．(1)若a=1，求f(x)的单调递增区间；(2)已知f(x)在区间(1,+∞)上单调递增，求实数a的取值范围．19.记S n为数列{a n}的前n项和，S n=2a n−2(n∈N∗)．(1)求{a n}的通项公式；(2)求T n=log2a1a1+log2a2a2+⋯+log2a na n．20.如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为正方形，E为侧棱PC的中点，PA⊥底面ABCD，且PA=AD=2．(1)在侧棱PD上是否存在点F，使得点A，B，E，F四点共面？若存在，指出F点的位置，并证明；若不存在，说明理由．(2)求几何体BEC−AFD的体积．21.已知向量a⃗=(sinx+cosx+1,sinxcosx)，其中x∈[0,π]．(1)若b⃗ =(2,1)，a⃗//b⃗ ，求a⃗；(2)若c⃗=(−m,1)，函数f(x)=a⃗⋅c⃗的最小值为−2，求实数m的值．22.已知函数f(x)=x⋅e x−e x−x+1，记g(x)=f′(x)．(2)记f(x)的极小值为f(x0)，证明：−12<f(x0)<−16．答案和解析1.【答案】A【解析】解：由U={1,2,3,4,5}，A={1,3}，得∁U A={2,4,5}，又B={2,3}，∴(∁U A)∩B={2}．故选：A．由已知利用补集运算求得∁U A，再由交集运算得答案．本题考查交、并、补集的混合运算，是基础题．2.【答案】B【解析】解：由于等差数列{a n}满足a3+a4=4，a7+a8=8，则a5+a6=6；a9+a10=10；a11+a12=12．故选：B．直接利用等差数列的性质的应用求出结果．本题考查的知识要点：等差数列的性质，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．3.【答案】D【解析】解：f(x)=x−2是幂函数，但其图象不过点(0,0)，故不充分；当f(x)图象过点(0,0)时，如f(x)=2x−1不是幂函数，故不必要；故选：D．利用充分条件和必要条件的定义判断．本题考查充分必要条件，属于基础题．4.【答案】A【解析】解：由题意得，2bccosA4=12bcsinA，所以sinA=cosA，即tanA=1，由A为三角形内角得A=π4．故选：A．由已知结合余弦定理及三角形面积公式进行化简可求tanA，进而可求A．本题主要考查了余弦定理及三角形面积公式的应用，属于基础题．5.【答案】C【解析】解：由f(x)=ln(x+1)+2sinx，得f′(x)=1x+1+2cosx，∴f′(0)=1+2=3，又f(0)=0，∴f(x)=ln(x+1)+2sinx在(0,f(0))处的切线方程为y=3x，故选：C．求得f′(x)=1x+1+2cosx，再求得f′(0)与f(0)，利用直线方程的点斜式可得答案．本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查直线的点斜式方程的应用，属于中档题．6.【答案】B【解析】解：假设甲说谎，乙、丙、丁没说谎，则乙扮演路人，丙扮演嫌疑犯，丁只能扮演受害者，甲只能扮演警察，矛盾，不符合；假设乙说谎，甲、丙、丁没说谎，则甲扮演警察，丙扮演嫌疑犯，则丁可以扮演受害者或路人，因为乙说谎，乙不扮演路人，只能扮演嫌疑犯，则丁扮演路人，符合；假设丙说谎，甲、乙、丁没说谎，则甲扮演警察，乙扮演路人，则丁可以扮演受害者或嫌疑犯，因为丙说谎，丙不扮演嫌疑犯，只能扮演受害者，则丁扮演嫌疑犯，符合；假设丁说谎，甲、乙、丙没说谎，则丁扮演警察，因为甲没说谎，甲也扮演警察，矛盾，不符合；故选：B．分别假设甲、乙、丙、丁说谎，判断是否符合题意即可．本题主要考查合情推理能力，主要抓住共同点及矛盾点去探索结果，本题属中档题．7.【答案】D【解析】解：根据三角函数线0<α<π2，所以sinα<α<tanα；故√6>√6>0；c=√636√6=26√6<0；故a>b>c；故选：D．直接利用三角函数的线的关系求出数的大小．本题考查的知识要点：三角函数线，数的大小比较，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．8.【答案】B【解析】解：对于A，f(x)的定义域为{x|x≠0}，f(−x)=−x+1−x =−(x+1x)=−f(x)，故函数f(x)是奇函数，图象关于原点对称，∵f(12)=f(2)，∴f(x)在定义域内不单调递增，故A错误，对于B，f(x)的定义域为R，f(−x)=−x3−x=−(x3+x)=−f(x)，故函数f(x)是奇函数，∵y=x3，y=x在定义域内都为增函数，∴f(x)在定义域内单调递增，故B正确，对于C，f(x)的定义域为R，f(−x)=2−x+2x=f(x)，故函数f(x)是偶函数，图象不关于原点对称，故C错误，对于D，∵10x−10−x>0，∴10x>10−x，解得x>0，故f(x)定义域为{x|x>0}，不关于原点对称，故D错误．故选：B．根据已知条件，结合函数的奇偶性，以及函数的单调性，即可求解．本题主要考查函数的奇偶性，以及函数的单调性，属于基础题．9.【答案】D【解析】解：函数f(x)=sin2x的图象向左平移π4个单位长度，得到y=sin(2x+π2)=cos2x的图象，再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到g(x)= cosx的图象，当x=2kπ(k∈Z)时，函数g(x)取得极大值点．故选：D．首先利用函数的图象的平移变换和伸缩变换求出函数g(x)=cosx，进一步求出函数的极值点．本题考查的知识要点：函数的图象的平移变换和伸缩变换，函数的极值，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．10.【答案】C【解析】解：由三视图可知，该几何体是将一个棱长为4的正方体沿着如图1所示的截面EFGHMN截去之后剩下的几何体如图2所示，表面积为3[(4+2)×22+2×4]+3×2×22+6×√34×(2√2)2=48+12√3，所以该几何体的表面积为48+12√3．故选：C．由三视图，还原几何体，利用表面积公式求解．本题考查了三视图的理解与应用，空间几何体结构特征以及表面积的求解，解题的关键是由三视图还原几何体，考查了空间想象能力，属于中档题．11.【答案】A【解析】解：根据题意，如图：设AD 与BC 交于点E ，设BE =xBC ，则有BE⃗⃗⃗⃗⃗ =x BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 若S △ABD ：S △BCD ：S △CAD =5：4：3，则有S △BCD ：S △ABC =45+4+3=13，则DE =13AE ，则有AD =23AE ，即AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 故S △ABD =23S △ABE =2x 3S △ABC ，又由S △ABD ：S △BCD ：S △CAD =5：4：3，即S △ABD ：S △ABC =5：(5+4+3)=5：12，则有2x 3=512，解可得x =58，即BE ⃗⃗⃗⃗⃗=58BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 故AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =23(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BE ⃗⃗⃗⃗⃗ )=23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +23×58BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +512BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +512(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=312AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +512AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 又由AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +y AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则x =312，y =512，故x +y =312+512=23， 故选：A ．根据题意，设AD 与BC 交于点E ，设BE =xBC ，则有BE⃗⃗⃗⃗⃗ =x BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，由三角形面积公式分析可得AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ，且x =58，进而由向量的线性运算公式分析，求出x 、y 的值，相加可得答案．本题考查平面基本定理的应用，涉及向量的线性运算，属于基础题，12.【答案】C【解析】解：∵f(k +2)=√3f(k +1)−f(k)(k ∈N ∗)①，∴f(k +3)=√3f(k +2)−f(k +1)=√3[√3f(k +1)−f(k)]−f(k +1)=2f(k +1)−√3f(k)，f(k +4)=√3(k +3)−f(k +2)=√3[2f(k +1)−√3f(k)]−f(k +2)=√3[2f(k +1)−√3f(k)]−[√3f(k +1)−f(k)]=√3f(k +1)−2f(k)②， 由①②可得，f(k +4)=f(k +2)−f(k)， ∴f(k +6)=f(k +4)−f(k +2)=−f(k)， ∴f(k +12)=−f(k +6)=f(k)，故函数的周期T =12，f(65)=f(12×5+5)=f(5)． 故选：C ．根据已知条件，结合换元法，求出函数的周期T=12，即可求解．本题主要考查求解函数的值，考查计算能力，属于基础题．13.【答案】5【解析】解：向量a⃗=(2,3)，b⃗ =(−1,7)，可得a⃗−b⃗ =(3,−4)则|a⃗−b⃗ |=√32+(−4)2=5．故答案为：5．利用向量的坐标运算以及向量的模的运算法则求解即可．本题考查向量的坐标运算，向量的模的求法，是基础题．14.【答案】−1【解析】解：∵f(x)=x+ae x ，∴f′(x)=ex−(x+a)e x(e x)2=1−x−ae x，∵f′(0)=2，∴1−a=2，∴a=−1，∴f(0)=−1，故答案为：−1．根据导数的运算公式即可得到结论．本题主要考查导数的基本运算，属于基础题．15.【答案】√22【解析】解：由图可知，该多面体由6个正方形与8个正三角形围成，因为正方体的棱长为1，所以正方形与正三角形的边长都为√22，由对称性可知，该几何体的外接球，是正四棱柱ABCD−EFGH的外接球，又因为正四棱柱的底面边长为√22，所以底面对角线的一半为12，因为正四棱柱的高等于正方体的棱长为1， 所以外接球的半径R =√(12)2+(12)2=√22，故答案为：√22．由图可知，该多面体由6个正方形与8个正三角形围成，可得正方形与正三角形的边长都为√22，根据该几何体的外接球是正四棱柱ABCD −EFGH 的外接球求解即可．本题主要考查球与多面体的切接问题，空间想象能力的培养等知识，属于中等题．16.【答案】①②④【解析】解：因为0<a <b <c <1，则0<log a b <1，log a (log a b)<log b (log a b)，故①正确； log a a >1，log c (log c a)<log b (log c a)，故②正确； 设log a b =m ，log b =n ，则m ，n ∈(0,1)， log c a =log b a log b c=1loga blog bc=1mn ， log a (log a b)+log b (log b c)+log c (log c a)=log a m +log b n +log c 1mm =log a m +log b n −log c m −log c n =1logma−1log mc+1log nb−1log nc=log m c−log m a log m alog m c+log n c−log n b log n blog n c=log mcalog m alog m c+log nc blogn blog n c．由0<a <b <c <1，得ca >1,cb >1,0<m <1,0<n <1，所以log m a >0,log m b >0,log n b >0,log n c >0,log m ca <0,log n cb <0，所以log mc alog ng alog m c+log nc blog n blog n c<0，所以③错误，④正确． 故答案为：①②④．根据对数函数的单调性判断．判断③④时，需要设log a b =m ，log b =n ，则m ，n ∈(0,1)，用换底公式变形后再判断．本题考查了命题真假的判断，利用对数单调性比较大小以及换底公式的应用，属于中档题．17.【答案】解：(1)因为a =√b 2+c 2−bc ，由余弦定理得：a 2=b 2+c 2−2bc ⋅cosA ， 所以cosA =12，结合A ∈(0,π)，故A =π3．(2)由(1)得：A =π3，于是C =π−A −B =π−π3−π4=5π12，由正弦定理得：asinA =csinC ，于是c =asinC sinA=√3sin(π3+π4)√32=√6+√22， 故c =√6+√22．【解析】(1)由已知结合余弦定理可求cosA ，进而可求A ； (2)由已知先求出C ，然后结合正弦定理即可直接求解．本题主要考查了与定理，正弦定理在求解三角形中的应用，属于基础题．18.【答案】解：(1)由题可知：f′(x)=x 2+(a −1)x −a =(x +a)(x −1)，当a =1时，f′(x)=(x +1)(x −1)，由f′(x)≥0，得x ≤−1或x ≥1， 故f(x)的单增区间为(−∞,−1]，[1,+∞)． (2)由(1)可知f′(x)=(x +a)(x −1)，若f(x)在区间(1,+∞)上单调递增，则f′(x)≥0对x ∈(1,+∞)恒成立， 即(x +a)(x −1)≥0对x ∈(1,+∞)恒成立，结合x −1>0，从而x +a ≥0，即a ≥−x 对∀x ∈(1,+∞)恒成立，于是a ≥−1， 即a 的取值范围是[−1,+∞)．【解析】(1)对f(x)求导，令f′(x)≥0，即可求解单调递增区间；(2)由题意可知f′(x)≥0对x ∈(1,+∞)恒成立，从而a ≥−x 对∀x ∈(1,+∞)恒成立，即可求解a 的取值范围．本题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查转化思想与运算求解能力，属于中档题．19.【答案】解：(1)当n =1时，S 1=2a 1−2，即a 1=2a 1−2，故a 1=2，当n ≥2时，S n =2a n −2，S n−1=2a n−1−2， 两式相减得a n =2a n −2a n−1，即a n =2a n−1，于是数列{a n }是以2为首项，以2为公比的等比数列，故a n =2n ． (2)由(1)可得：a n =2n ，故log 2a n a n =n 2n =n ⋅(12)n ， 记T n =log 2a 1a 1+log 2a 2a 2+⋯+log 2a n a n，则T n =1×(12)1+2×(12)2+⋯+n ×(12)n ， 故12T n =1×(12)2+2×(12)3+⋯+n ×(12)n+1，两式相减得12T n =1×(12)1+1×(12)2+1×(12)3+⋯+1×(12)n −n ×(12)n+1， 故12T n =12×1−(12)n1−12−n ×(12)n+1，即T n =2−(12)n−1−n ×(12)n =2−(n +2)⋅(12)n ．【解析】(1)根据已知条件，分n =1，n ≥2两种情况讨论，即可求解． (2)由(1)可得：a n =2n ，故log 2a n a n=n 2n=n ⋅(12)n ，再结合错位相加减方法，即可求解． 本题主要考查数列的求和，掌握错位相加减方法是掌握本题的关键，属于中档题．20.【答案】解：(1)当A ，B ，E ，F 四点共面时，F 为侧棱PD 中点．证明如下：∵E ，F 分别是PC 、PD 中点，∴EF//CD//AB ， 故A ，B ，E ，F 四点共面．(2)∵PA ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ， ∴CD ⊥PA ，又CD ⊥AD ，PA ∩AD =A ， ∴CD ⊥面PAD ，又PD ⊂平面PAD ，∴CD ⊥PD ，又 EF//CD ，∴EF ⊥PD.∵F 是PD 中点，PA =AD ，∴AF ⊥PD ， 而AF ∩EF =F ，∴PD ⊥平面AEF ，∴几何体EBC −FAD 的体积V =V P−ABCD −V P−ABEF =13⋅S ABCD ⋅PA −13⋅S ABEF ⋅PF =83−13⋅12(1+2)⋅√2⋅√2=53．【解析】(1)F为侧棱中点，EF//CD//AB可知共面；(2)先证CD⊥面PAD，再证明PD⊥平面AEF，V=V P−ABCD−V P−ABEF计算即可求得．本题考查点面问题与空间几何体的体积的求法，属基础题．21.【答案】解：(1)因为a⃗//b⃗ ，所以2sinxcosx=sinx+cosx+1，于是sinx+cosx+2=2sinxcosx+1=(sinx+cosx)2，因式分解得：(sinx+cosx+1)(sinx+cosx−2)=0，结合sinx+cosx=√2sin(x+π4)∈[−√2,√2]，解得sinx+cosx=−1，sinx+cosx=2(舍)，检验，sinx+cosx=−1，sinxcosx=0在x=π满足，故a⃗=(0,0)．(2)f(x)=a⃗⋅c⃗=−m(sinx+cosx+1)+sinxcosx，x∈[0,π]，设t=sinx+cosx=√2sin(x+π4)∈[−1,√2]，则sinxcosx=t2−12，因为函数f(x)的最小值为−2，所以y=−m(t+1)+t2−12=12t2−mt−m−12，t∈[−1,√2]，y的最小值为−2．根据对称轴所在范围讨论如下：①当对称轴在区间[−1,√2]左侧，即m<−1时，y在t∈[−1,√2]上单调递增，则当t=−1时，y取得最小值，故y min=12+m−m−12=0，不满足y的最小值为−2．②当对称轴在区间[−1,√2]上，即−1≤m≤√2时，当t=m时，y取得最小值，故y min=−12m2−m−12=−2，即m2+2m−3=0，解得m=1或m=−3(舍)．③当对称轴在区间[−1,√2]右侧，即m≥√2时，y在t∈[−1,√2]上单调递减，则当t=√2时，y取得最小值，故y min=1−√2m−m−12=−2，解得m=52(√2−1)，不满足m≥√2，综上，m =1．【解析】(1)由向量共线的坐标表示可求得sinx +cosx =−1，从而可得sinxcosx =0，即可求解a⃗ ； (2)由向量的数量积求出f(x)，利用换元法将函数转化为y =12t 2−mt −m −12，t ∈[−1,√2]，对m 分类讨论，求出y 的最小值，即可求解m 的值．本题主要考查向量平行的坐标运算、数量积的坐标运算，二次函数图象与性质的应用，考查分类讨论思想与转化思想的应用，考查运算求解能力，属于中档题．22.【答案】解：(1)由题可知g(x)=x ⋅e x −1，故g′(x)=(x +1)⋅e x ，由g′(x)≥0得：x ≥−1；由g′(x)≤0得：x ≤−1，故g(x)在x ∈(−∞,−1]上单调递减，在x ∈[−1,+∞)上单调递增， 当x <0时，xe x <0，进而x ⋅e x −1<−1；当x →+∞时，g(x)→+∞； 结合g(x)在x ∈(−∞,−1]上单调递减，在x ∈[−1,+∞)上单调递增， 作出g(x)图象如下：若g(x)=a 恰有两个不同零点，则a ∈(−1−1e ,−1)．(2)证明：设g(x 0)=0，即e x 0=1x 0，由g(x)≥0得：x ≥x 0；由g(x)≤0得：x ≤x 0，故f(x)在x ∈(−∞,x 0]上单调递减，在x ∈[x 0,+∞)上单调递增，于是f(x)的极小值为f(x 0)=x 0⋅e x 0−e x 0−x 0+1，代入e x 0=1x 0得f(x 0)=2−1x 0−x 0，现需估计x 0的范围：对g(x)=x ⋅e x −1，g(x)在x ∈[−1,+∞)上单调递增，g(12)=12⋅e 12−1，g(23)=23⋅e 23−1，由0<e <4得e 12<2，从而g(12)=12⋅e 12−1<0，由(32)3=278<e 2得32<e 23，从而g(23)=23⋅e 23−1>0，故12<x 0<23，于是f(x 0)=2−1x 0−x 0，12<x 0<23，设ℎ(x)=2−1x −x ，12<x <23，ℎ′(x)=1x 2−1=(1−x)(1+x)x 2>0，故ℎ(x)在x ∈(12,23)单调递增，因此ℎ(x)>ℎ(12)=−12，ℎ(x)<ℎ(23)=−16，于是−12<f(x 0)<−16．【解析】(1)由题可知g(x)=x ⋅e x −1，求导分析其单调性，作出图象，数形结合可得实数a 的取值范围；(2)设g(x 0)=0，即e x 0=1x 0，将f(x)的极小值f(x 0)=x 0⋅e x 0−e x 0−x 0+1，代入e x 0=1x 0得f(x 0)=2−1x 0−x 0，经估计x 0的范围为(12,23)，从而可得−12<f(x 0)<−16．本题考查利用导数研究函数的单调性与极值，考查转化化归思想、数形结合思想的综合运用，考查推理论证能力与运算求解能力，属于难题．。
2021年高三上学期12月模拟考试(一)数学(文)试题 含答案
2021年高三上学期12月模拟考试（一）数学（文）试题含答案一、选择题(每小5分，共60分)1.是虚数单位，复数（）A. B. C. D.2.已知集合为实数，且，为实数，且，则的元素个数为（）A．4 B．3 C．2 D．13.从装有3个红球、2个白球的袋中任取3个球，则所取的3个球中至少有1个白球的概率是（）A．B．C． D．4.满足约束条件（为常数），能使的最大值为12的的值为（）A．－9 B．9 C．－12 D．125.某程序框图如下图所示，该程序运行后输出的S的值是（）A、－3B、－C、D、26.将函数的图象向左平移个单位，得到函数的函数图象，则下列说法正确的是（）()()()()...2.-02A y f xB y f xC y f x xD y f xπππ====⎛⎫= ⎪⎝⎭是奇函数的周期为的图象关于直线对称的图象关于点，对称7.设、是两条不同的直线，、是两个不同的平面，则（）A.若，，则B.若，，则C.若，，，则D.若，，，则8.已知垂直时k值为 ( )A．17 B．18 C．19 D．209.抛物线的准线与双曲线的一条渐近线交点的横坐标为，双曲线的离心率为（）A．B．C．2 D．10.等比数列的前n项和为，已知，,则（A）38 （B）20 （C）10 （D）911.函数的图象大致是（）12.已知函数则函数的所有零点之和是（）A. B. C. D.第II卷（非选择题）二、填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分）13.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是.（15题图）（13题图）14.若实数x,y满足xy=1,则+的最小值为______________.15.如图，等边△中，，则_________.16.若函数y=f（x）对定义域的每一个值x1，在其定义域内都存在唯一的x2，使f（x1）f（x2）=1成立，则称该函数为“依赖函数”．给出以下命题：①y=是“依赖函数”；②y=是“依赖函数”；③y=2x是“依赖函数”；④y=lnx是“依赖函数”；⑤y=f（x），y=g（x）都是“依赖函数”，且定义域相同，则y=f（x）．g（x）是“依赖函数”．其中所有真命题的序号是．三、解答题（本题共6道题,第17题10分,第18-22题每题12分,共70分）17.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,满足,.（1）求角C的大小;（2）求△ABC面积的最大值.18.已知数列的前项和，数列满足（Ⅰ）求数列，通项公式;（Ⅱ）设，求数列的前项和19.为预防病毒爆发，某生物技术公司研制出一种新流感疫苗，为测试该疫苗的有效性（若疫苗有效的概率小于%，则认为测试没有通过），公司选定个流感样本分成三组，测试结果如下表：已知在全体样本中随机抽取个，抽到组疫苗有效的概率是．（1）现用分层抽样的方法在全体样本中抽取个测试结果，问应在组抽取样本多少个？（2）已知，30，求通过测试的概率．20.如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，点E在线段AD上，且CE∥AB。
2021届 高三化学上学期12月检测题(二)(附答案)
2020-2021学年上学期12月检测（二）高三化学注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
相对原子质量：H 1 C 12 O 16 Na 23 Mg 24 Al 27 P 31 S 32 Fe56 Cu 64一、选择题（每小题2分，共20分，每小题只有一个选项符合题意）1．中华优秀传统文化涉及到很多的化学知识。
下列有关说法不正确的是A．“火树银花合，星桥铁索开”，其中的“火树银花”涉及到焰色反应B．古剑沈卢“以剂钢为刃，柔铁为茎干，不尔则多断折”，剂钢是铁的合金C．“青蒿一握，以水二升渍，绞取汁”，这种对青蒿素的提取方法属于物理变化D．《天工开物》中有“至于矾现五色之形，硫为群石之将，皆变化于烈火”，其中的矾指的是金属硫化物2．次氯酸钠溶液与氨气反应可制备联氨：NaClO+2NH3=====催化剂N2H4+NaCl+H2O。
下列表示相关微粒的化学用语正确的是A．中子数为9的氮原子：97N B．H2O的电子式：C．Cl−的结构示意图：D．N2H4的结构式：3．25℃时，下列各组离子在指定溶液中一定能大量共存的是A．由水电离产生的c(H+)=1×10−13mol·L−1的溶液中：Na+、Ba2+、NO−3、Cl−B．在含有大量HCO−3的溶液中：Na+、NO−3、Cl−、AlO−2C．1.0mol·L−1的HNO3溶液中：K+、[Ag(NH3)2]+、Cl−、SO2−4D．0.1mol·L−1的Fe(NO3)2溶液中：Na+、H+、SCN−、Cl−4．下列物质性质与应用对应关系正确的是A．Na2O2能与水或二氧化碳反应生成氧气，可用作供氧剂B．二氧化锰具有还原性，可用于实验室制备氯气C．碳酸钠溶液呈碱性，可用于治疗胃酸过多D．活性炭具有还原性，可用于除去水体中的重金属离子5．用下列实验装置进行相应实验，能达到实验目的的是图甲图乙图丙图丁A．用图甲所示装置验证反应产物二氧化碳B．用图乙装置吸收氨气并防止倒吸C．图甲装置配制100mL 1mol·L−1的硫酸D．用图丁装置除去氯气中的氯化氢6．下列有关物质的性质描述正确的是A．室温下，铁不与浓硫酸反应B．室温下，镁很易可与水反应析出氢气C．室温下，CO2通入饱和CaCl2的溶液中，有白色沉淀生成D．室温下，稀盐酸与Na2SiO3溶液混合产生胶状沉淀7．下列指定反应的离子方程式正确的是A．用氨水吸收足量的SO2气体：2OH−+SO2＝SO2−3+H2OB．NaAlO2溶液中AlO−2的水解：AlO−2+2H2O＝Al(OH)3↓+OH−C．加入NaClO将污水中的NH3氧化成N2：3ClO−+2NH3＝N2+3Cl−+3H2OD．MnO2与浓盐酸混合加热：MnO2+4H++4Cl−====△MnCl2+Cl2↑+2H2O8．下列说法正确的是A．氯化钠和氯化铯晶体中氯离子的配位数相同B．常温下，反应2Na2O2(s)+2CO2(g)=2Na2CO3(s)+O2(g)能自发进行，该反应ΔH<0C．反应C(s)+H2O(g)CO(g)+H2(g)达平衡后，缩小容器体积，H2O(g)平衡转化率不变D．0.1mol·L－1 NH4Cl溶液加水稀释，c(OH−)减小9．海水晒盐后精制得NaCl，氯碱工业电解饱和NaCl(aq)得到Cl2和NaOH，以NaCl、NH3、CO2等为原料可得到NaHCO3；向海水晒盐得到的卤水中通Cl2可制溴；从海水中还能提取镁。
2021年高三12月模拟考试(二)数学(文)试题 含答案
故选：D．
5．【考点】简单线性规划．
【分析】画出可行域，数形结合求得目标函数z=2x+y的最大值．
【解答】解：由变量x，y满足约束条件，可得可行域为如图所示的图形
为三角形ABO及其内部区域，
故当直线y=﹣2x+z经过点B（1，1）时，z=2x+y取得最大值为3，
故选：B．
6．【考点】程序框图．
由于=≤（当且仅当x=1时，取等号），故的最大值为，
∴a≥，即a得最小值为，
故选：C．
10．【考点】数列递推式．
【分析】利用作差法求出lnan=（3n+2），n≥2，进行求解即可．
【解答】解：∵•…=（n∈N*），
∴当n≥2时，•…==，
两式作商得=÷=，
则lnan=（3n+2），n≥2，
则lna10=3×10+2=32，
【解答】解：对于①，若α是方程（）x+sinx﹣1=0的一个解，
则满足（）α=1﹣sinα，当α为第三、四象限角时（）α＞1，
此时α＜0，因此该方程存在小于0的实数解，得①不正确；
对于②，原方程等价于（）x﹣1=﹣sinx，
当x≥0时，﹣1＜（）x﹣1≤0，而函数y=﹣sinx的最小值为﹣1
且用无穷多个x满足﹣sinx=﹣1，
则等价为f（x）﹣g（x）＞0或f（x）﹣g（x）＜0恒成立，
即x2﹣ax﹣b﹣aln（x﹣1）＞0或，x2﹣ax﹣b﹣aln（x﹣1）＜0恒成立，
即x2﹣ax﹣aln（x﹣1）＞b或x2﹣ax﹣aln（x﹣1）＜b恒成立，
设h（x）=x2﹣ax﹣aln（x﹣1），则函数h（x）的定义域为（1，+∞），
则a10=e32，故选：C
2021年高三上学期12月质检数学试卷(文科)含解析
2021年高三上学期12月质检数学试卷（文科）含解析一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设全集M={0，1，2}，N={x|x2+x﹣2≤0}，则M∩N=（） A． {1} B． {2} C． {0，1} D． {1，2}2．全称命题：任意x∈R，x2＞0的否定是（）A．任意x∈R，x2≤0 B．存在x∈R，x2＞0C．存在x∈R，x2＜0 D．存在x∈R，x2≤03．若复数i满足z（1+i）=2i，则在复平面内z对应的点的坐标是（） A．（1，1） B．（1，﹣1） C．（﹣1，1） D．（﹣1，﹣1）4．等差数列{an }中，a1+a4+a7=39，a2+a5+a8=33，则a6的值为（）A． 10 B． 9 C． 8 D． 75．已知正数x，y满足，则x+2y的最小值为（） A． 8 B． 4 C． 2 D． 06．函数f（x）=ln（x+1）﹣的零点所在的大致区间是（） A．（0，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，4）7．函数y=cos2x的图象可以看作由y=cos2x+sinxcosx的图象（）得到．A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度C．向左平移单位长度 D．向右平移单位长度8．已知直线l，m平面α，β，且l⊥α，m⊂β，给出下列四个命题：①若α∥β，则l⊥m；②若l⊥m，则α∥β；③若α∥β，则l∥m；④若l∥m，则α⊥β．其中真命题是（）A．①② B．①③ C．①④ D．②④9．圆x2+y2﹣2x+4y﹣4=0与直线2tx﹣y﹣2﹣2t=0（t∈R）的位置关系是（） A．相离 B．相切 C．相交 D．以上都有可能10．已知以双曲线C的两个焦点及虚轴的两个端点为顶点的四边形中，有一个内角为60°，则双曲线C的离心率为（）A． B． C． D． 2二、填空题：本大题共5小题．每小题5分，共25分．11．已知向量= ．12．已知若9a=3，log3x=a，则x= ．13．若x、y满足条件，则z=x+3y的最大值是．14．若抛物线y2=2px的焦点与椭圆=1的右焦点重合，则P的值为．15．如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm），图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm，高为6c m的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤．16．已知向量=（﹣cosA，sinA），=（cosB，sinB），且=，其中A，B，C分别为△ABC的三边a，b，c所对的角．（1）求角C的大小；（2）已知b=4，△ABC的面积为6，求边长c的值．17．已知{a n}是递增的等差数列，a2，a4是方程x2﹣5x+6=0的根．（1）求{a n}的通项公式；（2）求数列{}的前n项和．18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为a的正方形，E、F分别为PC、BD的中点，侧面PAD⊥底面ABCD，且PA=PD=AD．（1）求证：EF∥平面PAD；（2）求证：平面PAB⊥平面PCD．19．已知函数f（x）=ax3+bx2的图象经过点M（1，4），曲线在点M处的切线恰好与直线x+9y=0垂直．（1）求实数a，b的值；（2）若函数f（x）在区间上单调递增，求m的取值范围．20．已知椭圆的一个顶点为A（0，﹣1），焦点在x轴上．若右焦点到直线x﹣y+2=0的距离为3．（1）求椭圆的方程；（2）设椭圆与直线y=kx+m（k≠0）相交于不同的两点M、N．当|AM|=|AN|时，求m的取值范围．xx学年山东省滨州市邹平县黄山中学高三（上）12月质检数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设全集M={0，1，2}，N={x|x2+x﹣2≤0}，则M∩N=（）A． {1} B． {2} C． {0，1} D． {1，2}考点：交集及其运算．专题：集合．分析：由x2+x﹣2≤0求出集合N，再由交集的运算求出M∩N．解答：解：由x2+x﹣2≤0得，﹣2≤x≤1，则集合N={x|﹣2≤x≤1}，又M={0，1，2}，所以M∩N={0，1}，故选：C．点评：本题考查交集及其运算，以及二次不等式的解法，属于基础题．2．全称命题：任意x∈R，x2＞0的否定是（）A．任意x∈R，x2≤0 B．存在x∈R，x2＞0C．存在x∈R，x2＜0 D．存在x∈R，x2≤0考点：命题的否定．专题：阅读型．分析：欲写出命题的否定，必须同时改变两个地方：①：“任意”；②：“＞”即可，据此分析选项可得答案．解答：解：命题：任意x∈R，x2＞0的否定是：存在x∈R，x2≤0．故选D．点评：这类问题的常见错误是没有把全称量词改为存在量词，或者对于“＞”的否定用“＜”了．这里就有注意量词的否定形式．如“都是”的否定是“不都是”，而不是“都不是”．特称命题的否定是全称命题，“存在”对应“任意”．3．若复数i满足z（1+i）=2i，则在复平面内z对应的点的坐标是（）A．（1，1） B．（1，﹣1） C．（﹣1，1） D．（﹣1，﹣1）考点：复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：把已知等式两边同时乘以，然后利用复数的除法运算化简，则答案可求．解答：解：由z（1+i）=2i，得．∴在复平面内z对应的点的坐标是（1，1）．故选：A．点评：本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．4．等差数列{a n}中，a1+a4+a7=39，a2+a5+a8=33，则a6的值为（）A． 10 B． 9 C． 8 D． 7考点：等差数列的性质．专题：等差数列与等比数列．分析：依题意，利用等差数列的性质，可知a3+a6+a9=27，再利用等差中项的性质可得答案．解答：解：∵等差数列{a n}中，a1+a4+a7=39，a2+a5+a8=33，∴a3+a6+a9=27，∴3a6=27，∴a6=9，故选：B．点评：本题考查等差数列的性质，求得a3+a6+a9=27是关键，属于基础题．5．已知正数x，y满足，则x+2y的最小值为（）A． 8 B． 4 C． 2 D． 0考点：基本不等式在最值问题中的应用．专题：不等式的解法及应用．分析：先把x+2y转化成x+2y=（x+2y）•（）展开后利用均值不等式即可求得答案，注意等号成立的条件．解答：解：∵，∴x+2y=（x+2y）•（）=4+≥4+2=8，当且仅当即x=2y=4时等号成立，∴x+2y的最小值为8．故选A．点评：本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用．基本不等式一定要把握好“一正，二定，三相等”的原则．属于中档题．6．函数f（x）=ln（x+1）﹣的零点所在的大致区间是（）A．（0，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，4）考点：函数的零点与方程根的关系．专题：计算题．分析：函数f（x）=ln（x+1）﹣的零点所在区间需满足的条件是函数在区间端点的函数值符号相反．解答：解：∵f（1）=ln（1+1）﹣2=ln2﹣2＜0，而f（2）=ln3﹣1＞lne﹣1=0，∴函数f（x）=ln（x+1）﹣的零点所在区间是（1，2），故选B．点评：本题考查函数的零点的判定定理，连续函数在某个区间存在零点的条件是函数在区间端点处的函数值异号．7．函数y=cos2x的图象可以看作由y=cos2x+sinxcosx的图象（）得到． A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度C．向左平移单位长度 D．向右平移单位长度考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的图像与性质．分析：利用诱导公式化简函数 y=cos2x+sinxcosx的解析式为cos（2x﹣），再根据y=Asin （ωx+∅）的图象变换规律得出结论．解答：解：由于函数 y=cos2x+sinxcosx==cos（2x﹣），把它的图象向左平移个单位，可得y=cos=cos2x的图象，故选A．点评：本题主要考查函数y=Asin（ωx+∅）的图象变换规律，诱导公式的应用，属于中档题．8．已知直线l，m平面α，β，且l⊥α，m⊂β，给出下列四个命题：①若α∥β，则l⊥m；②若l⊥m，则α∥β；③若α∥β，则l∥m；④若l∥m，则α⊥β．其中真命题是（）A．①② B．①③ C．①④ D．②④考点：平面与平面之间的位置关系；空间中直线与直线之间的位置关系．专题：综合题．分析：在空间中：①由α∥β，且l⊥α，m⊂β，容易得出l⊥m；②由l⊥m，且l⊥α，m⊂β，不一定有α∥β；③由α∥β，且l⊥α，m⊂β，不能得出l∥m；④由l∥m，且l⊥α，m⊂β，可以得出β⊥α．解答：解：①是真命题，因为当α∥β，且l⊥α时，有l⊥β，又m⊂β，∴l⊥m；②是假命题，因为当l⊥m时，由m⊂β，不能得出l⊥β，故不能得α∥β；③是假命题，因为当α∥β时，由l⊥α，得l⊥β，且m⊂β，∴l⊥m，故l∥m错误；④是真命题，因为当l∥m时，由l⊥α，得m⊥α，又m⊂β，∴α⊥β．所以，正确的命题有①④；故选C．点评：本题通过几何符号语言考查了空间中线线，线面，面面之间的平行和垂直关系，是基础题，也是易错题．9．圆x2+y2﹣2x+4y﹣4=0与直线2tx﹣y﹣2﹣2t=0（t∈R）的位置关系是（） A．相离 B．相切 C．相交 D．以上都有可能考点：直线与圆的位置关系．专题：直线与圆．分析：观察动直线2tx﹣y﹣2﹣2t=0（t∈R）可知直线恒过点（1，﹣2），然后判定点（1，﹣2）在圆内，从而可判定直线与圆的位置关系．解答：解：直线2tx﹣y﹣2﹣2t=0恒过（1，﹣2）而12+（﹣2）2﹣2×1+4×（﹣2）﹣4=﹣9＜0∴点（1，﹣2）在圆x2+y2﹣2x+4y﹣4=0内则直线2tx﹣y﹣2﹣2t=0与圆x2+y2﹣2x+4y﹣4=0相交故选C．点评：本题主要考查了直线与圆的位置关系的判定，解题的关键找出直线恒过的定点，属于基础题．10．已知以双曲线C的两个焦点及虚轴的两个端点为顶点的四边形中，有一个内角为60°，则双曲线C的离心率为（）A． B． C． D． 2考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：根据题设条件，先设∠B2F1B1=60°，求出双曲线的离心率．再设∠F1B2F2=60°，求出双曲线的离心率．解答：解：设双曲线C的焦点坐标是F1和F2，虚轴两个端点是B1和B2，则四边形F1B1F2B2为菱形．若∠B2F1B1=60°，则∠B2F1F2=30°．由勾股定理可知c=b，∴a=b，故双曲线C的离心率为e==．若∠F1B2F2=60°，则∠F1B2B1=30°，由勾股定理可知b=c，不满足c＞b，所以不成立．综上所述，双曲线C的离心率为．故选：C．点评：解题时应该分∠B2F1B1=60°和∠F1B2F2=60°两种情况求出双曲线的离心率．解题时要注意a，b，c中c最大．二、填空题：本大题共5小题．每小题5分，共25分．11．已知向量= ﹣3 ．考点：数量积判断两个平面向量的垂直关系．专题：计算题．分析：由已知中三个向量坐标，利用向量线性运算可得的坐标，进而根据两个向量垂直的数量积为0，构造关于k的方程，解方程可得k值．解答：解：∵，∴=（，3）∵∴k+3=0解得k=﹣3故答案为：﹣3点评：本题考查的知识点是数量积判断两个向量的垂直关系，其中熟练掌握两个向量垂直向量积为0是关键．12．已知若9a=3，log3x=a，则x= ．考点：函数的零点．专题：函数的性质及应用．分析：利用已知条件求出a，然后利用对数的运算法则求解即可．解答：解：9a=3，∴，∴log3x=a=，解得x=．故答案为：．点评：本题考查指数函数以及对数函数的运算法则的应用，函数的零点的求法，基本知识的考查．13．若x、y满足条件，则z=x+3y的最大值是11 ．考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式对应的平面区域，利用z的几何意义，进行平移即可得到结论．解答：解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z=x+3y得y=，平移直线y=，当直线y=经过点A时，对应的直线的截距最大，此时z也最大，由，解得，即A（2，3），此时z=2+3×3=11，故答案为：11点评：本题主要考查线性规划的应用，利用z的几何意义，利用数形结合是解决本题的关键．14．若抛物线y2=2px的焦点与椭圆=1的右焦点重合，则P的值为 4 ．考点：椭圆的简单性质；抛物线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：先根据椭圆方程求出其右焦点的坐标，在于抛物线的性质可确定p的值．解答：解：椭圆=1的右焦点为（2，0），所以抛物线y2=2px的焦点为（2，0），则p=4，故答案为：4．点评：本题主要考查椭圆的简单性质和抛物线的简单性质，基本知识的考查．15．如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm），图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm，高为6c m的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为．考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：由三视图判断几何体的形状，通过三视图的数据求解几何体的体积即可．解答：解：几何体是由两个圆柱组成，一个是底面半径为3高为2，一个是底面半径为2，高为4，组合体体积是：32π•2+22π•4=34π．底面半径为3cm，高为6cm的圆柱体毛坯的体积为：32π×6=54π切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为：=．故答案为：点评：本题考查三视图与几何体的关系，几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤．16．已知向量=（﹣cosA，sinA），=（cosB，sinB），且=，其中A，B，C分别为△ABC的三边a，b，c所对的角．（1）求角C的大小；（2）已知b=4，△ABC的面积为6，求边长c的值．考点：余弦定理；平面向量数量积的运算．专题：解三角形．分析：（1）由两向量的坐标以及平面向量的数量积运算法则化简已知等式，求出cosC的值，即可确定出C的度数；（2）利用三角形面积公式列出关系式，把b，sinC以及已知面积代入求出a的值，再利用余弦定理即可求出c的值即可．解答：解：（1）∵向量=（﹣cosA，sinA），=（cosB，sinB），且=，∴﹣cosAcosB+sinAsinB=﹣cos（A+B）=cosC=，∵C为三角形内角，∴C=；（2）∵b=4，sinC=，△ABC的面积为6，∴×4a×=6，即a=3，由余弦定理得：c2=a2+b2﹣2abcosC=18+16﹣24=10，则c=．点评：此题考查了余弦定理，平面向量的数量积运算，以及三角形面积公式，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．17．已知{a n}是递增的等差数列，a2，a4是方程x2﹣5x+6=0的根．（1）求{a n}的通项公式；（2）求数列{}的前n项和．考点：数列的求和；等差数列的通项公式．专题：综合题；等差数列与等比数列．分析：（1）解出方程的根，根据数列是递增的求出a2，a4的值，从而解出通项；（2）将第一问中求得的通项代入，用错位相减法求和．解答：解：（1）方程x2﹣5x+6=0的根为2，3．又{a n}是递增的等差数列，故a2=2，a4=3，可得2d=1，d=，故a n=2+（n﹣2）×=n+1，（2）设数列{}的前n项和为S n，S n=，①S n=，②①﹣②得S n==，解得S n==2﹣．点评：本题考查等的性质及错位相减法求和，是近几年高考对数列解答题考查的主要方式．18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为a的正方形，E、F分别为PC、BD的中点，侧面PAD⊥底面ABCD，且PA=PD=AD．（1）求证：EF∥平面PAD；（2）求证：平面PAB⊥平面PCD．考点：直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定．专题：空间位置关系与距离．分析：（1）连结AC，则F是AC的中点，E为PC的中点，利用三角形中位线的性质，可知EF∥PA，利用线面平行的判定定理，即可得出结论；（2）先证明CD⊥平面PAD，可得CD⊥PA，再证明PA⊥PD，可得PA⊥平面PCD，从而可得平面PAB⊥平面PCD．解答：证明：（1）连结AC，则F是AC的中点，E为PC的中点，故在△CPA中，EF∥PA，…（2分）∵PA⊂平面PAD，EF⊄平面PAD，∴EF∥平面PAD…（6分）（2）因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，CD⊥AD，所以，CD⊥平面PAD，∵PA⊂平面PAD，∴CD⊥PA又，所以△PAD是等腰直角三角形，且，即PA⊥PD又CD∩PD=D，∴PA⊥平面PCD，又PA⊂平面PAB，∴平面PAB⊥平面PCD…（12分）点评：本题考查线面平行的判定，考查面面垂直，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．19．已知函数f（x）=ax3+bx2的图象经过点M（1，4），曲线在点M处的切线恰好与直线x+9y=0垂直．（1）求实数a，b的值；（2）若函数f（x）在区间上单调递增，求m的取值范围．考点：函数的单调性与导数的关系；导数的几何意义．专题：计算题．分析：（1）将M的坐标代入f（x）的解析式，得到关于a，b的一个等式；求出导函数，求出f′（1）即切线的斜率，利用垂直的两直线的斜率之积为﹣1，列出关于a，b的另一个等式，解方程组，求出a，b的值．（2）求出 f′（x），令f′（x）＞0，求出函数的单调递增区间，据题意知⊆（﹣∝，﹣2]∪∵函数f（x）在区间上单调递增∴⊆（﹣∝，﹣2]∪[0，+∝）∴m≥0或m+1≤﹣2∴m≥0或m≤﹣3点评：注意函数在切点处的导数值是曲线的切线斜率；直线垂直的充要条件是斜率之积为﹣1．20．已知椭圆的一个顶点为A（0，﹣1），焦点在x轴上．若右焦点到直线x﹣y+2=0的距离为3．（1）求椭圆的方程；（2）设椭圆与直线y=kx+m（k≠0）相交于不同的两点M、N．当|AM|=|AN|时，求m的取值范围．考点：椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题．专题：计算题；压轴题．分析：（1）依题意可设椭圆方程为，由题设解得a2=3，故所求椭圆的方程为．（2）设P为弦MN的中点，由得（3k2+1）x2+6mkx+3（m2﹣1）=0，由于直线与椭圆有两个交点，∴△＞0，即m2＜3k2+1．由此可推导出m的取值范围．解答：解：（1）依题意可设椭圆方程为，则右焦点F（）由题设解得a2=3故所求椭圆的方程为；（2）设P为弦MN的中点，由得（3k2+1）x2+6mkx+3（m2﹣1）=0由于直线与椭圆有两个交点，∴△＞0，即m2＜3k2+1①∴从而∴又|AM|=||AN|，∴AP⊥MN，则即2m=3k2+1②把②代入①得2m＞m2解得0＜m＜2由②得解得．故所求m的取范围是（）．点评：本题考查直线与椭圆的位置关系，解题时要认真审题，仔细解答．37064 90C8 郈35640 8B38 謸•S'6 ~B|22692 58A4 墤R€J。
河南省实验中学2021-2022学年高三上学期期中考试数学(文)试卷及答案
绝密★启用前河南省实验中学2021-2022学年高三上学期期中考试数学（文）试题注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上一、单选题1．已知全集U =R ，集合{}|14A x Z x =∈≤≤，4|01x B x R x -⎧⎫=∈≥⎨⎬-⎩⎭，则()U A B ⋂=( ) A ．(1,4)B ．[)1,4C ．{}1,2,3D ．{}2,3,42．已知复数z 满足()()i 2i 62i z -+=-，则z =（ ）A B ．2C D3．sin15cos15=（ ）A ．14B ．14-C D ．4．已知命题p ：“x ∀∈N ，22x x <”的否定是“0x ∃∈N ，0202x x <”；命题q ：0α∃∈R ，00sin cos 1αα+=．下列说法不正确的是( )．A ．()p q ⌝∧为真命题B ．()p q ∨⌝为真命题C ．p q ∨为真命题D ．q ⌝为假命题5．已知实数x ，y 满足221,x y +≤，则y x ≥的概率为（ ） A ．12B ．1πC ．2πD ．12π6．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．1B ．12 C ．13D ．147．下列函数既是奇函数又是减函数的是（ ） A ．1()2xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭B ．3()f x x =-C ．1()f x x=D ．3()log f x x =-8．已知0x >，0y >，且821x y +=，则x y +的最小值是（ ）A ．10B ．15C ．18D ．239．已知函数()()sin 2f x x x R π⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭，下面结论错误的是（ ）A ．函数()f x 的最小正周期为2πB ．函数()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数C ．函数()f x 的图像关于直线0x =对称D ．函数()f x 是偶函数10．在正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F ，P ，Q 分别为1A B ，11B D ，1A D ，1CD 的中点，则直线EF 与PQ 所成角的大小是（ ）． A ．π4B ．π6C ．π3D ．π211．已知椭圆221167x y +=的右焦点为,F A 是椭圆上一点，点()0,4M ，则AMF 的周长最大值为（ ） A ．14B ．16C ．18D ．2012．若不等式1lnln xe x mx m x++≥+对任意x>0恒成立，则正实数m 的最大值为（ ） A ．2 B ．e C ．3 D ．e 2二、填空题13．已知向量(2,3)a →=-，(1,3)b →=-，(1,)c λ→=，若(2)a b c →→→+⊥，则λ=______. 14．若双曲线的两条渐近线相交所成的锐角为60°，则它的离心率为________．15．已知实数x ，y 满足不等式组326033030x y x y x y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪+≥⎩，则目标函数3z x y =+的最大值为___________.16．如图所示，点D 在线段AB 上，∠CAD＝30°，∠CDB＝45°．给出下列三组条件（已知线段的长度）：①AC，BC ；②AD，DB ；③CD，DB．其中，使△ABC 唯一确定的条件的所有序号为____．三、解答题17．某科技公司研发了一项新产品A ，经过市场调研，对公司1月份至6月份销售量及销售单价进行统计，销售单价x （千元）和销售量y （千件）之间的一组数据如下表所示：（1）试根据1至5月份的数据，建立y关于x 的回归直线方程；（2）若由回归直线方程得到的估计数据与剩下的检验数据的误差不超过065．千元，则认为所得到的回归直线方程是理想的，试问（1）中所得到的回归直线方程是否理想？参考公式：回归直线方程ˆˆˆybx a =+，其中i ii 122ii 1ˆnnx y n x yb xnx==-⋅⋅=-∑∑.参考数据：5i i i 1392x y ==∑，52i i 1502.5x ==∑.18．已知四棱锥P ABCD -的底面为直角梯形，//AB DC ，90DAB ∠=︒，PA AD ⊥，且222PA AB AD DC ====，PB =.（1）证明：平面PAC ⊥平面PBC ； （2）求四棱锥P ABCD -的侧面积.19．已知等差数列{}n a 的前四项和为10，且237,,a a a 成等比数列 （1）求数列{}n a 通项公式（2）设2nn n b a =+，求数列{}n b 的前n 项和n S20．已知双曲线C ：22221x y a b -=(0a >，0b >)的左、右焦点分别为1F ，2F ，双曲线的C 右顶点A在圆O ：221x y +=上，且121AF AF →→=-． (1)求双曲线C 的标准方程；(2)动直线l 与双曲线C 恰有1个公共点，且与双曲线C 的两条渐近线分别交于点M 、N ，问OMN (O 为坐标原点)的面积是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，试说明理由． 21．已知函数21()ln(1)()(1)f x a x a R x =++∈-.（1）设()()1g x f x =-，若()g x 在区间()1,2上单调递增，求实数a 的取值范围； （2）若对任意()1,1x ∈-，()1f x ≥，求实数a 的值.22．已知平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为cos ,sin ,x t y t αα=⎧⎨=⎩其中t 为参数，[0,)απ∈，曲线2C 的参数方程为12cos ,2sin ,x y θθ=+⎧⎨=⎩其中θ为参数.以坐标原点O 为极点，x 轴非负半轴为极轴，建立极坐标系.（1）求曲线1C ，2C 的极坐标方程； （2）若3πα=，曲线1C ，2C 交于M ，N 两点，求||||OM ON ⋅的值.23．已知函数()21f x x a x =++-． （1）当2a =时，求不等式()4f x ≤的解集；（2）若[]1,2x ∃∈，使得不等式()2f x x >成立，求实数a 的取值范围．参考答案 1．C首先根据题意求出集合A ，然后通过分式不等式的解法求出集合B ，再利用集合间的运算即可求解. 解：由题意，易知{}1,2,3,4A =， 因为401x x -≥-， 所以(1)(4)0x x --≥且10x -≠，解得，1x <或4x ≥， 故{|1B x R x =∈<或4}x ≥， 又因为U =R 所以{|14}UB x R x =∈≤<，故(){1,2,3}U A B ⋂=. 故选：C. 2．C利用复数的运算先求z ，再利用复数的模长公式求解. 解：因为()()i 2i 62i z -+=-， 所以()()()()62i 2i 62i i=i 2i 2i 2i z ---=++++-， =22i+i=2i --，所以故选：C. 3．A结合倍角公式以及特殊角的三角函数值即可求出结果. 解：1111sin15cos15sin 302224==⨯=，故选：A. 4．B首先根据命题的否定概念判断命题p 的真假，然后再根据特值法判断命题q 的真假，最后根据逻辑联结词的含义即可求解.因为“x ∀∈Ν，22x x <”的否定是“0x ∃∈Ν，0202x x ≥”，故命题p 为假命题，当00α=时，00sin cos 1αα+=，故0α∃∈R ，00sin cos 1αα+=，所以命题q 为真命题．所以p ⌝为真命题，q ⌝为假命题，()p q ⌝∧为真命题，()p q ∨⌝为假命题，p q ∨为真命题．故A ，C ，D 正确，B 错误. 故选:B ． 5．A作出221x y +=，y x =的图象，由图象结合几何概型求解. 解：作出221x y +=，y x =的图象，如图，由图象可知y x ≥的概率12p =，故选：A 6．C由三视图易知该几何体为锥体，求得底面积与高即可求出几何体的体积． 解：由三视图易知该几何体为锥体，所以V ＝13Sh ，其中S 指的是锥体的底面积，即俯视图中四边形的面积，易知S ＝1，h 指的是锥体的高， 从正视图和侧视图易知h ＝1，所以V ＝13Sh ＝13故选：C由函数奇偶性和单调性的判断方法，分别对各选项逐个分析，即可得出在其定义域内，既是奇函数又是减函数的选项. 解：对于A ：1()2xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭是指数函数，为非奇非偶函数，A 错误；对于B ：3()f x x =-在定义域R 上是减函数，又33()()()f x x x f x -=--==-，所以函数3()f x x =-在定义域上是奇函数，B 正确； 对于C ：1()f x x=在定义域上没有单调性，C 错误； 对于D ：3()log f x x =-是对数函数，是非奇非偶函数，D 错误. 故选：B 8．C利用“1的代换”的方法，结合基本不等式求得正确结论. 解：∴()2882101018y xx y x y y x xy ⎛⎫+=++=++≥= ⎪⎝⎭， （当且仅当82y xx y=，即12x =，6y =时，等号成立）. 故选：C 9．B先化简函数得()()sin cos 2f x x x x R π⎛⎫=+=∈ ⎪⎝⎭，然后逐个分析判断即可解：解：()()sin cos 2f x x x x R π⎛⎫=+=∈ ⎪⎝⎭，对于A ，()f x 的最小正周期为2π，所以A 正确； 对于B ，()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是减函数，所以B 错误；对于C ，因为()0cos01f ==，所以()f x 的图像关于直线0x =对称，所以C 正确； 对于D ，因为()()cos()cos f x x x f x -=-==，所以()f x 是偶函数，所以D 正确， 故选：B首先把两条直线平移了有交点，再求其直线所成的角. 解：如图连接11A C ，1BC ，则F 是11A C 的中点，又E 为1A B 的中点，所以1//EF BC ，连接1DC ，则Q 是1DC 的中点， 又P 为1A D 的中点，所以11//PQ AC ，于是11AC B ∠是直线EF 与PQ 所成的角或其补角． 易知11A C B △是正三角形，所以11π3AC B ∠=． 故选：C 11．C设椭圆的左焦点为F '，由题可知5MF MF '==，28AF AF a '+==，利用AM AF MF ''-≤，即可得出． 解：如图所示设椭圆的左焦点为F '，则(3,0),(3,0)F F '-5MF MF '==， 则8AF AF '+=，AM AF MF ''-≤，APF ∴△的周长858518AF AM MF AM MF AF '=++=++-≤++=，当且仅当三点M ，F '，A 共线时取等号．APF ∴△的周长最大值等于18．故选：C ． 12．B由已知得ln ln()xxe e mx mx +≥+，构造函数()lnf x x x =+，根据单调性可得x e mx ≥，即xe m x≥，构造函数()xe g x x =，利用导数求出单调性，求出()g x 的最小值即可.解：由题意得，ln()x e x mx mx +≥+，即ln ln()x x e e mx mx +≥+， 令()ln f x x x =+，易知函数()f x 在（0，+∞）上单调递增，从而不等式转化为()()xf e f mx ≥，则xe mx ≥，即xe m x≥，令()x e g x x=，则2(1)()x e x g x x '-=，当0<x<1时，()0g x '<，()g x 单调递减；当x>1时，()0g x '>，()g x 单调递增， 则当x=1时，()g x 有最小值，即min ()(1)g x g e ==，则m 的最大值为e. 故选：B. 13．49利用向量的坐标运算求2a b →→+，然后结合已知条件利用向量的数量积的坐标运算公式即可求解. 解：因为(2,3)a →=-，(1,3)b →=-，所以2(4,9)a b →→+=-， 又因为(2)a b c →→→+⊥，(1,)c λ→=， 所以4190λ⨯-=，解得49λ=. 故答案为：49.14．2或根据已知条件求得b a 或ab，由此求得双曲线的离心率.解：当60tan 2b a ︒=e ===当60tan 2a b ︒=2e ===，当tan 60b a =︒=2e =，当tan 60a b =︒=e =所以双曲线的离心率为：2. 故答案为：215．487由约束条件画出可行域，将问题转化为3y x z =-+在y 轴截距最大值的求解，利用数形结合的方式可求得结果. 解：由约束条件可得可行域如下图阴影部分所示：当3z x y =+最大时，3y x z =-+在y 轴截距最大， 由图象可知：当3y x z =-+过A 时，在y 轴截距最大， 由303260x y x y +=⎧⎨+-=⎩得：18767x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，186,77A ⎛⎫∴- ⎪⎝⎭，max 186483777z ∴=⨯-=. 故答案为：487. 16．②③由已知求得∠ACD＝15°，∠CDA＝130°．然后利用正弦定理与三角形的解法逐一判断即可． 解：解：∵∠CAD＝30°，∠CDB＝45°．∴∠ACD＝15°，∠CDA＝130°．①在△ABC 中，知道AC ，BC 的长度及角A ，由sin sin 30AC BC B ︒=，求得sinB ，AC 与BC 的大小不定，角B 不一定唯一，则△ABC 不一定唯一．②在△ADC 中，知道AD 长及各角度，由正弦定理可得出AC 长度．BD 长度已知，CD 长度可求，△ABC 唯一确定．③同②可知，△ADC 中，已知一边及各角度，在△ACB 中，已知一角及其夹边△ABC 唯一确定． 故答案为：②③．17．（1）ˆ3240y x =-+．；（2）是.（1）先由表中的数据求出,x y ，再利用已知的数据和公式求出,b a ，从而可求出y 关于x 的回归直线方程；（2）当8x =时，求出y 的值，再与15比较即可得结论解：（1）因为()199.51010.511105x =++++=，()1111086585y =++++=， 所以23925108ˆ 3.2502.5510b -⨯⨯==--⨯， 得()ˆ8 3.21040a=--⨯=， 于是y 关于x 的回归直线方程为 3.240ˆyx =-+； （2）当8x =时，ˆ 3.284014.4y=-⨯+=， 则ˆ14.4150.60.65yy -=-=<， 故可以认为所得到的回归直线方程是理想的.18．（1）证明见解析；（2）3（1）由AP ⊥平面ABCD 得PA BC ⊥，再结合几何关系得BC CA ⊥，进而BC ⊥平面APC ，再根据判定定理即可得平面PAC ⊥平面PBC .（2）由（1）知PA ⊥平面ABCD 四棱锥的四个侧面均为直角三角形，再计算即可得答案.解：（1）由2PA AB ==，PB ==222PA AB PB +=，故AB PA ⊥，又PA AD ⊥，AB AD A ⋂=，AB ，AD ⊂平面ABCD ，所以AP ⊥平面ABCD .因为BC ⊂平面ABCD ，所以PA BC ⊥.又在直角梯形ABCD中，易求得AC BC =所以222AC CB AB +=，故BC CA ⊥.又AP AC A ⋂=，AP ，AC ⊂平面APC ，所以BC ⊥平面APC .又CB ⊂平面PCB ，所以平面PAC ⊥平面PBC .（2）由（1）知PA ⊥平面ABCD 四棱锥的四个侧面均为直角三角形， 所以112PAD S PA AD =⨯=△，122PAB S PA AB =⨯=△，11122PDC S PD CD =⨯==△，1122PBC S PC BC =⨯==△故四棱锥P ABCD -的侧面积为3S =19．（1）52n a =或35n a n =-；（2）见解析. （1）设等差数列{}n a 的公差为d ，由等差数列的通项公式结合等比数列的性质即可得解；（2）由分组求和法结合等差、等比数列的前n 项和公式即可得解.解：（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，由题意，得()()()123412111461062a a a a a d a d a d a d +++=+=⎧⎪⎨++=+⎪⎩，解得1520a d ⎧=⎪⎨⎪=⎩或123a d =-⎧⎨=⎩， 所以52n a =或()23135n a n n =-+-=-； （2）当52n a =时，522n n b =+， 此时()11221255222122n n n n b b b n n S +-=++⋅⋅⋅+=+=+--； 当35n a n =-时，()352n n b n =-+，此时()1212212235372221222n n n n n b b b n n n S +--+-=++⋅⋅⋅+=⋅+=+---. 20．(1) 221x y -=；(2)OMN 的面积是为定值，定值为1.(1)首先根据121AF AF →→=-以及222+=a b c 求出b ，然后利用A (,0)a 在圆O ：221x y +=上求出a 即可；(2)根据已知条件设出动直线l ：y kx m =+，并与双曲线方程联立，结合已知可得到m 与k 之间的关系，然后令l 分别与渐近线联立方程求点M 、N ，从而可求出||MN 的长度，再结合点到直线的距离，可表示出OMN 的面积，结合m 与k 之间的关系即可求解.解：(1)不妨设1F (,0)c -，2F (,0)c ，因为A (,0)a ，从而1(,0)AF a c →=+，2(,0)AF a c →=-，故由22121AF AF a c →→=-=-，又因为222+=a b c ，所以1b =，又因为A (,0)a 在圆O ：221x y +=上，所以1a =，所以双曲线C 的标准方程为：221x y -=.(2)由于动直线l 与双曲线C 恰有1个公共点，且与双曲线C 的两条渐近线分别交于点M 、N ， 当动直线l 的斜率不存在时，:1l x =±，2MN =，11212OMN S =⨯⨯=△ 当动直线l 的斜率存在时，且斜率1b k a≠±=±， 不妨设直线l ：y kx m =+， 故由22222(1)2101y kx m k x mkx m x y =+⎧⇒----=⎨-=⎩， 从而222(2)4(1)(1)0mk k m ∆=-----=，化简得，221k m =+，又因为双曲线C 的渐近线方程为：y x =±， 故由11m x y kx m k y x m y k ⎧=⎪=+⎧⎪-⇒⎨⎨=⎩⎪=⎪-⎩，从而点(,)11m m M k k --，同理可得，(,)11m m N k k -++，所以||MN = 又因为原点O 到直线l ：0kx y m -+=的距离d =所以221||2|1|OMNm S MN d k ==-△，又由221k m =+，所以221|1|OMN m S k ==-△， 故OMN 的面积是为定值，定值为1.21．（1）[)2,-+∞；（2）2-.（1）求出()'g x ，由()0g x '≥在(1,2)上恒成立，转化为求函数的最值，得出结论．（2）求出导函数()'f x ，()'f x 的分母在已知区间上恒为负，因此对分子引入新函数，由新函数的导数分类讨论确定正负，得()f x 的单调性，先定性分析确定()'f x 的零点，再证明其唯一性得具体值，从而得出结论．解：（1）因为21()ln(1)(1)f x a x x =++-， 所以21()ln (2)g x a x x =+-，32()(2)a g x x x'=-+-， 因为()g x 在区间()1,2上单调递增，所以()0g x '≥，即320(2)a x x -+≥-，即32(2)x a x ≥-在()1,2恒成立， 令32()(12)(2)x h x x x =<<-，44(1)()0(2)x h x x -+'=<-， 所以()h x 在()1,2上单调递减.则()2h x <-，所以2a ≥-，故实数a 的取值范围为[)2,-+∞.（2）3332(1)2(1)()(1)1(1)(1)a a x x f x x x x x --+'=-+=-++-. 因为()1,1x ∈-，所以()()3110x x +-<， 令3()(1)2(1)m x a x x =--+，当0a ≥时，因为()1,1x ∈-，所以()0m x <，则()0f x '>，()f x 在()1,1-单调递增，又()01f =，所以当()1,0x ∈-时，()1f x <，不满足题意；当0a <时，()18m a -=-，()14m =-，又()2()3120m x a x '=--<， 所以()m x 在()1,1-单调递减，存在()01,1x ∈-，使得()00m x =，且当()01,x x ∈-时，()0m x >，即()0f x '<；当()0,1x x ∈时，()0m x <，即()0f x '>，所以()f x 在()01,x -单调递减，在()0,1x 单调递增，()f x 在()1,1x ∈-有唯一的最小值点.因为()01f =，要使得()1f x ≥恒成立，当且仅当00x =，则()()000f x f ''==，即20a --=，解得2a =-，综上，实数a 的值为2-.【点睛】本题考查用由函数的单调区间确定参数范围，用导数证明不等式．解题关键是问题的转化，本题证明不等式时，一是确定要求函数的最小值，因此求出导函数()'f x ，二是对()'f x 分行拆解，分子与分母分别确定正负．复杂的分子需再引入新函数，由新函数的导数确定零点，推导结论．本题属于难题．22．（1）(R)θαρ=∈，22cos 30ρρθ--=；（2）3.(1)先将参数方程化为普通方程，再利用极坐标与直角坐标的互化公式求解；（2）将3πα=代入2C 的极坐标方程，根据极坐标的几何意义求解即可. 解：解：（1）依题意，曲线1C 的普通方程为cos sin 0y x αα⋅-⋅=即曲线1C 的极坐标方程为(R)θαρ=∈；曲线2C 的普通方程为22(1)4x y -+=，即22230x y x +--=，故曲线2C 的极坐标方程为22cos 30ρρθ--=.（2）将3πθ=代入曲线2C 的极坐标方程22cos 30ρθρ-⋅-=中，可得230ρρ--=，设上述方程的两根分别是12,ρρ，则123ρρ=-，故12||||3OM ON ρρ⋅=⋅=.23．（1）40,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦；（2）()1,2,4⎛⎫-∞--+∞ ⎪⎝⎭． （1）分2x -≤、21x -<≤、1x >三种情况解不等式()4f x ≤，综合可得出不等式()4f x ≤的解集；（2）分析可得知，[]1,2x ∃∈使得232a x x >-+或22a x x <-+-成立，利用二次函数的基本性质可求得实数a 的取值范围.解：（1）当2a =时，()221f x x x =++-．当2x -≤时，()2224f x x x =---+≤，解得43x ≥-，此时x ∈∅； 当21x -<≤时，()2224f x x x =+-+≤，解得0x ≥，此时01x ≤≤；当1x >时，()2224f x x x =++-≤，解得43x ≤，此时413x <≤． 因此，当2a =时，不等式()4f x ≤的解集为40,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦； （2）当12x ≤≤时，221x a x x ++->可化为222x a x x +>-+，所以，222x a x x +>-+或222x a x x +<-+-，即存在[]1,2x ∈，使得232a x x >-+或22a x x <-+-．22313224a x x x ⎛⎫>-+=-- ⎪⎝⎭，因为[]1,2x ∈，所以21324x x -+≥-，则14a >-， 2217224a x x x ⎛⎫<-+-=--- ⎪⎝⎭，因为[]1,2x ∈，所以222x x -+-≤-，所以2a <-， 因此，实数a 的取值范围为()1,2,4⎛⎫-∞--+∞ ⎪⎝⎭．。
河南省实验中学2021届高三毕业班上学期12月高考模拟考试数学(文)试题及答案
绝密★启用前河南省实验中学2021届高三毕业班上学期12月高考模拟考试数学(文)试题2020年12月（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集I R =，集合{}2340A x x x =--≥∣，{}21B y N y x =∈=+，则()I C A B =（ ）A ．{}1,1-B ．{}0,1C ．{}3D ．{}1,32．若复数1Z ，2Z 在复平面内的对应点关于虚轴对称，11Z i =-，则12Z Z =（ ） A ．i B ．i - C ．1 D ．1-3．已知两个命题:p 对任意x ∈R ，总有22x x >；:q “1ab >”是“1a >，1b >”的充分不必要条件．则下列说法正确的是（ ）A ．p q ∨为真命题B ．q ⌝为假命题C ．p q ∧为假命题D ．()p q ⌝∨为假命题 4．设平向量(2,3)a =-，(1,2)b =-，则若(2)//(3)a b a b λ+-，则实数λ=（ ）A ．32B ．23C ．23-D ．32- 5．已知公差不为0的等差数列{}n a 中，26a =，3a 是1a ，9a 的等比中项，则{}n a 的前5项之和5S =（ ）A ．30B ．45C ．63D ．8476．函数1()sin ln 1x f x x -⎛⎫= ⎪+⎝⎭的图象大致为（ ） A ． B ．C ．D ．7．斗拱是中国典建筑最富装饰性的构件之一，并为中国所持有，图一图二是北京故宫太和殿斗拱实物图，图三是斗拱构件之一的“斗”的几何体，本图中的斗是棱台与长方体形凹槽（长方体掉一个长相等，宽和高分别为原长方体一半的小长方体）组成．若棱台两底面面积分别是2400cm ，2900cm ，高为9cm ，长方体形槽的高为12cm ，斗的密度是30.50/g cm ．那么这个斗的质量是（ ）图一 图二 图三A ．3990gB ．3010gC ．6900gD ．6300g8．若以抛物线()220y px p =>上的点()1,P a 为圆心，2为半径的圆恰好与抛物线的线相切，则a 的值为（ ）。
2021-2022学年河南省六市重点高中高三上学期质检数学试卷(文科)(12月份)(含答案解析)
2021-2022学年河南省六市重点高中高三上学期质检数学试卷(文科)(12月份)一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合M={x|(x−4)2<16}，N={2,5,8,11}，则M∩N=()A. {2}B. {2,5}C. {2,5,8}D. {2,5,8,11}2.若“a<x<|a|+1”是“x2−x−6<0”的充分不必要条件，则a的取值范围是()A. −2<a<2B. −2<a≤2C. −2≤a<2D. −2≤a≤23.某小区有居民12000人，若要按不同年龄段抽取一个600人的样本，其中抽取60岁以上的老年人210人，则该小区60岁以上老年人的人数为()A. 3000B. 3600C. 4200D. 48004.函数f(x)=x⋅2x−12x+1的图象大致是()A. B.C. D.5.已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，则点D1到平面A1BC1的距离为()A. √33B. 2√33C. √3D. √66.函数f(x)=x(lnx)2的减区间是()A. (0,1e2) B. (0,1e) C. (1e2,1) D. (1e,1)7.已知a=log311，b=log1127，c=√3，则a，b，c的大小关系是()A. b<c<aB. b<a<cC. c<b<aD. a<b<c8.函数f(x)=sin2x+2sinxcosx+3cos2x在区间(0,π2)上的一个对称中心是(m,n)，则m+n的值为()A. π8B. 3π8C. π8+2 D. 3π8+29. 已知双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的右焦点为F ，渐近线为l 1，l 2，过F 的直线与l 1垂直，且交l 1于点M ，交l 2于点N ，若MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =FM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则双曲线的离心率为( )A. √2B. √3C. 2D. √510. 在△ABC 中，BC =7，AC =8，M 为AB 的中点，CQ⃗⃗⃗⃗⃗ =2QA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，BQ 交CM 于N ，则CN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =( )A. −6B. −3C. 3D. 611. 如图，在四棱锥P −ABCD 中，四边形ABCD 为平行四边形，E 为PC 的中点，则平面ABE 截四棱锥上下两部分的体积之比为( )A. 1：2B. 2：3C. 3：4D. 3：512. 已知抛物线C ：x 2=4y 的准线上有一点M ，过点M 作C 的切线MA ，MB ，切点分别为A ，B ，点F 为C 的焦点，则对于以下命题： ①A ，B ，F 三点共线； ②∠AMB =90°； ③MF ⊥AB ； ④x A x B =−4．其中正确命题的个数是( )A. 1B. 2C. 3D. 4二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知tanα=3，tan(α−β)=−2，则tanβ=______．14. 若x ，y 满足约束条件{x +2y ⩽42x −y ⩽82x +y ⩾0，则z =x +y 的最大值为______．15. 某数除以2余1，除以3余2，除以5余2，若该数不超过2022，则该数的最大值为______．16.已知在平面四边形ABCD中，AB=3，BC=4，CD=5，DA=6，四个内角满足A+C=B+D，则四边形ABCD的面积为______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）(n+2a1+a2−3)．17.已知数列{a n}满足S n=n2(1)求{a n}的通项公式；}的前n项和．(2)求数列{1S n18.在三角形ABC中，D为BC的中点，BC=6，AD=4，AB=2AC．(1)求cos∠ADC的值；(2)求三角形ABC的面积．19.已知⊙O：x2+y2=r2(r>0)，过圆外一点M(7,1)引圆的两条切线MA，MB，切点分别为A，B，且MA⊥MB．(1)求r；(2)直线l交⊙O所得弦长为2，且分别交x轴、y轴于P(a,0)，Q(0,b)，a>0，b>0，求a2+2b2的最小值．20.在四棱锥P−ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD，∠ABC=∠BCD=90°，PC=PD，PA=AB=BC=1，CD=2．(1)证明：PA⊥平面ABCD；(2)求点C到平面PBD的距离．x2．21.已知函数f(x)=e x−e2(1)证明：f(x)在R上为增函数；(2)若f(x1)+f(x2)=e，x1<x2，证明：x1+x2<2．22.已知圆O1：x2+y2=3，圆O2：x2+y2=4，端点为原点的射线l交圆O1于M，交圆O2于N，过M作平行(或重合)于x轴的直线l1，过N作平行(或重合)于y轴的直线l2，l1与l2交于点E.记E的轨迹为曲线C．(1)求C的方程；(2)若点A，B是曲线C与x轴的交点(x A<x B)，直线y=k(x−m)(k≠0)交曲线C于P，Q，k AP=2k BQ，求m．参考答案及解析1.答案：B解析：∵集合M ={x|(x −4)2<16}={x|0<x <8}， N ={2,5,8,11}， ∴M ∩N ={2,5}． 故选：B ．求出集合M ，利用交集定义能求出M ∩N ．本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.答案：B解析：由a <x <|a|+1， 当a ≥0时，得a <x <1+a ， 当a <0时，得a <x <1−a ， 由x 2−x −6<0，解得−2<x <3，若“a <x <|a|+1”是“x 2−x −6<0”的充分不必要条件， 则{a ≥−2a +1≤3a ≥0或{a ≥−21−a ≤3a <0， 解得−2≤a ≤2，经检验a =−2不合题意， 故a 的取值范围为−2<a ≤2， 故选：B ．先化简不等式，根据条件，得到关于a 的不等式，再求出a 的取值范围即可．本题主要考查充分条件和必要条件的应用，考查了转化思想和分类讨论思想，属于基础题．3.答案：C解析：因为12000×210600=4200(人)， 所以估计该小区60岁以上老年人有4200(人)． 故选：C ．根据分层抽样原理，计算即可．本题考查了分层抽样原理应用问题，是基础题．4.答案：B解析：f(−x)=−x ⋅2−x −12−x +1=−x ⋅1−2x1+2x=x ⋅2x −12x +1=f(x)，则f(x)是偶函数，排除A，D，当x→﹢∞，f(x)→+∞，排除C，故选：B．判断函数的奇偶性和对称性，利用极限思想进行判断即可．本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数的奇偶性和对称性，利用极限思想是解决本题的关键，是中档题．5.答案：B解析：由题意知，△A1BC1是边长为2√2的等边三角形，所以S△A1BC1=12⋅2√2⋅2√2⋅sin60°=2√3，设点D1到平面A1BC1的距离为ℎ，因为V D1−A1BC1=V B−A1C1D1，所以13ℎ⋅S△A1BC1=13⋅2⋅12⋅2⋅2，所以ℎ=2√33．故选：B．利用等体积法V D1−A1BC1=V B−A1C1D1，即可得解．本题考查点到面的距离的计算，熟练掌握等体积法是解题的关键，考查空间立体感，运算求解能力，属于基础题．6.答案：C解析：∵f(x)=x(lnx)2=x⋅lnx⋅lnx，∴f′(x)=x′⋅lnx⋅lnx+x⋅(lnx)′⋅lnx+x⋅lnx⋅(lnx)′=lnx⋅lnx+x⋅1x ⋅lnx+x⋅lnx⋅1x=lnx(lnx+2)，令f′(x)=lnx(lnx+2)<0得，1e2<x<1，故函数f(x)=x(lnx)2的减区间是(1e2,1)，故选：C．求函数f(x)=x(lnx)2的减区间转化为解不等式f′(x)<0，从而判断函数的单调性．本题考查了导数的综合应用，同时考查了转化思想应用，属于中档题．7.答案：A解析：∵log311>log39=2，32<√3<2，1=log1111<log1127<log1111√11=32，∴b<c<a，故选：A．利用对数函数单调性特值32，2比较三个数的大小即可．本题考查了对数函数单调性的应用，属于基础题．8.答案：D解析：f(x)=sin2x+2sinxcosx+3cos2x=1−cos2x2+sin2x+3⋅1+cos2x2=sin2x+cos2x+2=√2sin(2x+π4)+2．令2x+π4=kπ，则x=kπ2−π8，k∈Z．当k=1时，m=3π8，n=2．∴m+n=3π8+2．故选：D．利用倍角公式降幂，再由辅助角公式化积，然后由2x+π4=kπ，k∈Z求得x值，取k值得答案．本题考查三角函数的恒等变换应用，考查y=Asin(ωx+φ)型函数的图象与性质，是基础题．9.答案：C解析：解：如图，l1的方程为y=bax，l2的方程为y=−bax，∵FM⊥OM，∴直线FM的方程为y=−ab(x−c)，由{y =ba x y =−a b(x −c)可得M(a 2c ,ab c )， ∵MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =FM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴x N −x M =x M −c ，y N −y M =y M −0， 即可得N(2a 2−c 22,2ab c)，∴2ab c=−ba⋅2a 2−c 2c，整理可得c 2=4a 2，则双曲线的离心率为ca =2． 故选：C ．可设直线FM 的方程为y =−ab (x −c)，由{y =ba x y =−ab (x −c)可得M(a 2c ,ab c )，从而求得N(2a 2−c 22,2ab c )，利用点在y =−ba x 上，即可求得双曲线的离心率．本题考查双曲线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力．属于中档题．10.答案：A解析：设CN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =k ⋅CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =k ⋅12(CB ⃗⃗⃗⃗⃗ +CA ⃗⃗⃗⃗⃗ )=k2⋅(CB ⃗⃗⃗⃗⃗ +32⋅CQ ⃗⃗⃗⃗⃗ )=k2⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗ +3k 4⋅CQ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 因为B 、N 、Q 三点共线，所以k2+3k 4=1，解得k =45，所以CN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =45CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =45⋅12⋅(CB ⃗⃗⃗⃗⃗ +CA ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(CB ⃗⃗⃗⃗⃗ −CA ⃗⃗⃗⃗⃗ )=25(CB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2−CA ⃗⃗⃗⃗⃗ 2)=25(72−82)=−6， 故选：A ．根据三点共线条件及向量数量积运算性质求解．本题考查了平面向量数量积的性质及其运算，属于中档题．11.答案：D解析：设平面ABE 交棱PD 于点F ，连接AF ，EF ，则V P−ABEF =V P−AFB +V P−EFB ，。
河南省部分重点高中2021届高三12月联合考试——数学(文)
河南省部分重点高中2021届高三12月联合考试数学试卷（文科）（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A ＝{x ｜ln （x －2）≥0}，B ＝{x ｜2x 2－9x －5＜0}，则A ∩B ＝ A ．（2，5） B ．[2，5） C ．[3，5） D ．（3，5） 2．已知复数61iz i＝＋，则｜z ｜＝A ．3B ．CD ．6 3．函数()11f x x ＝＋的图象在点（12，f （12））处的切线斜率为 A ．2 B ．－2 C ．4 D ．－44．已知A （1，0），B （3，0）为△ABC 的两个顶点，点C 在抛物线x 2＝4y 上，且到焦点的距离为13，则△ABC 的面积为A ．12B ．13C ．14D ．155．在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝3，BC ＝2，D 为BC 的中点，E ，F 都在线段AB 上，且AE ＝EF ＝FB ，则DE ·CF ＝A ．149B ．229C ．－2D ．26．已知函数()()cos f x x ωϕ＝＋（ω＞0，｜ϕ｜＜2π），其图象相邻两条对称轴之间的距离为4π，且直线x ＝12π是其中一条对称轴，则下列结论错误的是A ．函数f （x ）的最小正周期为2πB ．f （38π）＝－12C ．函数f （x ）在区间[－6π，12π]上单调递增 D ．点（－724π，0）是函数f （x ）图象的一个对称中心 7．已知一组数据x 1，x 2，x 3的平均数是5，方差是4，则由2x 1＋1，2x 2＋1，2x 3＋1，11这4个数据组成的新的一组数据的方差是A ．16B ．14C ．12D ．8 8．下列函数有两个零点的是A ．f （x ）＝e x －x －1B ．()1112f x x x ＝＋－－ C ．f （x ）＝x 3＋3x 2＋3x －1 D ．f （x ）＝lnx －x9．如图，战国商鞅铜方升是公元前344年商鞅督造的标准量器．秦始皇统一中国后，仍以商鞅所规定的制度和标准统一全国的度量衡．经测量，该铜方升内口（长方体）深1寸，内口长是宽的1．8倍，内口的表面积（不含上底面）为33平方寸，则该铜方升内口的容积为A ．5．4立方寸B ．8立方寸C ．16立方寸D ．16．2立方寸10．斐波那契螺线又叫黄金螺线，广泛应用于绘画、建筑等，这种螺线可以按下列方法画出：如图，在黄金矩形ABCD （51AB BC －＝）中作正方形ABFF ，以F 为圆心，AB 长为半径作弧BE ；然后在黄金矩形CDEF 中作正方形DEHG ，以H 为圆心，DE 长为半径作弧EG ；……；如此继续下去，这些弧就连接成了斐波那契螺线．记弧BE ，EG ，GI 的长度分别为l ，m ，n ，则下列结论正确的是A ．12m l n ＝＋ B ．m 2＝l ·nC ．2m ＝l ＋nD ．111m l n＝＋ 11．如图，在三棱锥P —ABC 中，PC ⊥AC ，PC ⊥AB ，PC ＝4357，AC ＝4，BC ＝5，AB ＝6，则三棱锥P —ABC 的外接球的表面积为 A ．32π B ．36π C ．48π D ．72π12．设a ＝log 0．30．5，b ＝log 40．5，则下列结论错误的是A ．ab ＜0B ．a ＋b ＞0C ．2（ab ＋1）＜aD ．2211a b ＋＞6 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置．13．已知函数()33log 010x x f x x x ⎧⎨⎩，＞，＝－，≤，，若f （a ）＝2，则a ＝__________． 14．若x ，y 满足约束条件2402040x y x y x y ⎧⎪⎨⎪⎩＋－≥，＋－≤，－＋≥，则z ＝x ＋3y 的最小值为__________．15．已知圆C ：x 2＋y 2－16y ＋48＝0与双曲线E ：22221y x a b－＝（a ＞0，b ＞0）的渐近线相切，则E 的离心率为__________．16．已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，b ＝2，6cosA ＋acos B ＝b ＋c ，若D 是BC 边的中点，AD＝2，则c ＝__________． 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每道试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分． 17．（12分） 设数列{n a }的前n 项和为n S ，已知1a ＝1，111n n S S n n －－＝－（n ≥2）． （1）求数列{n a }的通项公式； （2）设2111n n b a ＋＝－，数列{n b }的前n 项和为n T ，若n T ＝1145，求n 的值．18．（12分）某调研机构就美国总统大选对中国台海形势的影响在街头随机调查了2000人，这2000人的年龄分布在18岁～78岁之间，分组为第一组[18，28），第二组[28，38），第三组[38，48），第四组[48，58），第五组[58，68），第六组[68，78]，按各年龄段受访人数绘制成如图所示的频率分布直方图．由于绘图人员的疏忽，三组数据对应的直方图小矩形的高没有标出，经过比对得出最后三组数据（第四组到第六组）对应的直方图小矩形的高依次成等差数列．（1）求出第六组受访者的人数；（2）现在从第一组和第二组受访者中，用分层抽样的方法抽出5人进行深度采访，并从这5人中随机选出2人的采访视频送电视台播放，求选出的2个采访视频都是第二组受访者的视频的概率． 19．（12分）如图，在三棱锥A —BCD 中，AB ＝AD ＝CD ＝12BC ＝2，E 为BC 的中点，BD ⊥CD ， 且AE ＝2．（1）证明：平面ACD ⊥平面ABD ． （2）求点C 到平面ADE 的距离． 20．（12分）已知椭圆C ：22213x y a ＋＝（a ＞3）的左、右顶点分别为A 1，A 2，点P 为椭圆C 上异于A 1，A 2的一点，且直线PA 1，PA 2的斜率之积为－34． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）直线l 过右焦点F 2与椭圆C 交于M ，N 两点（M ，N 与A 1不重合），l 不与x 轴垂直，若11A M A N MN k k k ＋＝－，求｜MN ｜． 21．（12分）已知函数()2ln x f x e x x e ⎛⎫ ⎪⎝⎭＝＋．（1）求函数()()21x h x f x e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭＝－＋的单调区间． （2）证明：f （x ）－x ＞0．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22．[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）在平面直角坐标系xOy 中，直线l ：()1tan y x α＝－（2π＜α＜π）．以坐标原点为极 点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2sin cos 4ρθθ＝．（1）求曲线C 的直角坐标方程；（2）若l 与C 相交于A ，B 两点，且｜AB ｜＝16，求α．23．[选修4—5：不等式选讲]（10分） 已知函数f （x ）＝｜x ｜．（1）求不等式3f （x －1）－f （x ＋1）＞2的解集；（2）若不等式f （x －a ）＋f （x ＋2）≤f （x ＋3）的解集包含[－2，－1]，求a 的取值范围．。
2021年河南省实验中学高考数学四模试卷(文科)-含答案与解析
2021年河南省实验中学高考数学四模试卷（文科）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．设集合A＝{x|x2﹣3x﹣4≤0}，B＝{x|1＜x＜5}，则A∩B＝（）A．{x|﹣4＜x＜5} B．{x|﹣1≤x≤4} C．{x|1＜x≤4} D．{x|﹣1≤x＜5} 2．若α，β表示两个不同的平面，m为平面α内一条直线，则（）A．“m∥β”是“α∥β”的充分不必要条件B．“m∥β”是“α∥β”的必要不充分条件C．“m⊥β”是“α⊥β”的必要不充分条件D．“m⊥β”是“α⊥β”的充要条件3．在平面直角坐标系中，不等式组，所表示的平面区域的面积是（）A．4 B．2 C．1 D．4．函数f（x）＝的部分图象大致为（）A．B．C．D．5．执行如图所示的程序框图，若输入的N＝10，则输出的X＝（）A．B．C．D．6．已知3x＝2y＝t，且，则t＝（）A．B．C．36 D．6 7．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若S5＝15，且a1，a2，a3+1成等比数列，则（）A．a1＝0，S10＝45 B．a1＝0，S10＝90C．a1＝1，S10＝100 D．a1＝1，S10＝558．已知函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示．现将函数f（x）图象上的所有点向右平移个单位长度后，横坐标再缩短到原来的倍得到函数g（x）的图象，则函数g（x）的解析式为（）A．g（x）＝2sin（x﹣）B．g（x）＝2sin（4x+）C．g（x）＝2sin（x+）D．g（x）＝2sin（4x﹣）9．已知过点（0，2）的直线l与圆心为C的圆（x﹣2）2+（y﹣1）2＝10相交于A，B两点，当△ABC面积最大时，直线l的方程为（）A．2x﹣y+2＝0 B．2x﹣y+2＝0或2x+y﹣2＝0C．x＝0 D．x＝0或2x+y﹣2＝010．如图，已知等边△ABC与等边△ABD所在平面成锐二面角的大小为，E，F分别为AB，AD中点，则异面直线EF与CD所成角的余弦值为（）A．B．C．D．11．已知以F为焦点的抛物线y2＝4x上的两点A，B满足＝3，则点A的横坐标为（）A．1 B．C．2 D．3 12．已知函数f（x）＝，如果关于x的方程[f（x）]2+t•f（x）+1＝0（t∈R）有四个不等的实数根，则t的取值范围（）A．（﹣∞，﹣e﹣）B．（﹣e﹣，﹣2） C．（2，e+）D．（e+，+∞）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．复数z满足|z+i|＝1，且z+＝2，则z＝．14．已知△ABC的内角A、B、C的对边分别是a、b、c，且b＝3，a﹣c＝2，A＝．则△ABC的面积为．15．已知||＝1，||＝3，且|﹣|＝2，则|+2|＝．16．将正奇数按如图所示的规律排列：则2021在第行，从左向右第个数．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n＝2n﹣1．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n＝na n，求数列{b n}的前n项和T n．18．（12分）某校食堂按月订购一种螺蛳粉，每天进货量相同，进货成本每碗6元，售价每碗10元，未售出的螺蛳粉降价处理，以每碗5元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关．如果最高气温不低于25，需求量为200碗；如果最高气温位于区间[20，25），需求量为300碗；如果最高气温低于20，需求量为500碗．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：最高气温[10，15） [15，20） [20，25） [25，30） [30，35） [35，40）天数 4 7 25 36 16 2以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率．（1）求六月份这种螺蛳粉一天的需求量不超过300碗的概率；（2）设六月份一天销售这种螺蛳粉的利润为Y（单位：元），当六月份这种螺蛳粉一天的进货量为450碗时，写出Y的所有可能值，并估计Y的平均值（即加权平均数）．19．（12分）如图，四边形ABCD是平行四边形，平面AED⊥平面ABGCD，EF∥AB，AB ＝2，DE＝3，BC＝EF＝1，AE＝，∠BAD＝60°，G为BC的中点．（1）求证：平面BED⊥平面AED；（2）求直线EF与平面BED所成角的正弦值．20．（12分）已知函数f（x）＝（x2﹣1）e x，其中a∈R．（1）求函数f（x）在x＝0处的切线方程；（2）∀x≥0，f（x）≥ax﹣1，求实数a的取值范围．21．（12分）已知椭圆E：+＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，椭圆上的点到焦点F1的距离的最小值为﹣1，以椭圆E的短轴为直径的圆过点（2，0）．（1）求椭圆E的标准方程；（2）若过F2的直线交椭圆E于A、B两点，过F1的直线交椭圆E于C，D两点，且AB⊥CD，求四边形ACBD面积的取值范围．请考生在22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分22．（10分）已知曲线C的参数方程为（t为参数）．（1）求曲线C的普通方程；（2）过点P（0，1）的直线l与曲线C交于A，B两点，求|PA|•|PB|的取值范围．23．设函数f（x）＝|2x+1|+|2x﹣1|．（1）求不等式f（x）≥6的解集；（2）若f（x）的最小值是m，a＞0，b＞0，且a+b＝m，求的最小值．参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．设集合A＝{x|x2﹣3x﹣4≤0}，B＝{x|1＜x＜5}，则A∩B＝（）A．{x|﹣4＜x＜5} B．{x|﹣1≤x≤4} C．{x|1＜x≤4} D．{x|﹣1≤x＜5} 【分析】可求出集合A，然后进行交集的运算即可．【解答】解：∵A＝{x|﹣1≤x≤4}，B＝{x|1＜x＜5}，∴A∩B＝{x|1＜x≤4}．故选：C．【点评】本题考查了描述法的定义，一元二次不等式的解法，交集及其运算，考查了计算能力，属于基础题．2．若α，β表示两个不同的平面，m为平面α内一条直线，则（）A．“m∥β”是“α∥β”的充分不必要条件B．“m∥β”是“α∥β”的必要不充分条件C．“m⊥β”是“α⊥β”的必要不充分条件D．“m⊥β”是“α⊥β”的充要条件【分析】根据两平行平面其中一个平面内的任意一直线平行于另一个平面，以及面面垂直的判定定理，然后根据充分条件、必要条件的定义进行判定即可．【解答】解：因为m为平面α内一条直线，m∥β，所以α∥β或α与β相交，故“m∥β”不能推出“α∥β”，而α∥β，则两平面没有公共点，而m为平面α内一条直线，所以m∥β，所以“α∥β”可以推出“m∥β”，所以“m∥β”是“α∥β”的必要不充分条件，故A不正确，B正确；根据面面垂直的判定可知，m为平面α内一条直线，“m⊥β”可以推出“α⊥β”，但“α⊥β”不能推出“m⊥β”，所以“m⊥β”是“α⊥β”的充分不必要条件，故C、D不正确．故选：B．【点评】本题主要考查了充分条件、必要条件的判定，以及线面位置关系、面面平行和面面垂直的判定定理等，同时考查了推理能力，属于基础题．3．在平面直角坐标系中，不等式组，所表示的平面区域的面积是（）A．4 B．2 C．1 D．【分析】由约束条件作出可行域，求出三角形三个顶点的坐标，再由三角形面积公式求解．【解答】解：由约束条件作出可行域如图中阴影部分，由图可知，A（1，0），C（0，1），联立，解得A（1，2），∴平面区域的面积S＝．故选：C．【点评】本题考查简单的线性规划，考查数形结合思想，是中档题．4．函数f（x）＝的部分图象大致为（）A．B．C．D．【分析】先判断函数的奇偶性，再考虑x→+∞时，f（x）的取值情况，即可作出选择．【解答】解：∵f（﹣x）＝＝﹣f（x），∴函数f（x）为奇函数，排除选项B和C，当x→+∞时，e x比x增长的快，∴f（x）→0，排除选项D，故选：A．【点评】本题考查函数的图象与性质，一般可从函数的单调性、奇偶性或特殊点处的函数值等方面着手思考，考查学生的逻辑推理能力和运算求解能力，属于基础题．5．执行如图所示的程序框图，若输入的N＝10，则输出的X＝（）A．B．C．D．【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量X 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：模拟程序的运行，可得X＝，n＝2X＝，n＝3X＝，n＝4…X＝，n＝11＞N，故输出的X＝．故选：B．【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．6．已知3x＝2y＝t，且，则t＝（）A．B．C．36 D．6 【分析】化指数式为对数式可得x，y，代入，再由对数的运算性质求解t．【解答】解：∵3x＝2y＝t，∴x＝log3t，y＝log2t，又，∴＝2，则t＝．故选：B．【点评】本题考查有理指数幂的运算，考查指数式与对数式的互化，是基础题．7．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若S5＝15，且a1，a2，a3+1成等比数列，则（）A．a1＝0，S10＝45 B．a1＝0，S10＝90C．a1＝1，S10＝100 D．a1＝1，S10＝55【分析】设等差数列{a n}的公差为d，由已知列关于首项与公差的方程组，求得首项与公差，则S10可求，答案可求．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，由S5＝15，且a1，a2，a3+1成等比数列，得，即，解得：或．结合选项可知，a1＝1，则d＝1，∴．故选：D．【点评】本题考查等差数列的通项公式及前n项和，考查等比数列的性质，是基础题．8．已知函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示．现将函数f（x）图象上的所有点向右平移个单位长度后，横坐标再缩短到原来的倍得到函数g（x）的图象，则函数g（x）的解析式为（）A．g（x）＝2sin（x﹣）B．g（x）＝2sin（4x+）C．g（x）＝2sin（x+）D．g（x）＝2sin（4x﹣）【分析】由函数f（x）的部分图象求出A、T、ω和φ的值，写出f（x）的解析式，再利用图象平移变换求得函数g（x）的解析式．【解答】解：由函数f（x）＝A sin（ωx+φ）的部分图象知，A＝2，＝﹣＝，解得T＝π，所以ω＝＝2，又f（）＝2sin（+φ）＝﹣2，即sin（+φ）＝﹣1，解得+φ＝+2kπ，k∈Z，所以φ＝+2kπ，k∈Z，又|φ|＜，解得φ＝，所以f（x）＝2sin（2x+），将函数f（x）图象上的所有点向右平移个单位长度，得y＝f（x﹣）＝2sin （2x﹣），横坐标再缩短到原来的倍，得y＝2sin（4x﹣）的图象，则函数g（x）＝2sin（4x﹣）．故选：D．【点评】本题考查了三角函数关系式的恒等变换以及函数图象的平移变换与函数解析式的应用问题，是基础题．9．已知过点（0，2）的直线l与圆心为C的圆（x﹣2）2+（y﹣1）2＝10相交于A，B两点，当△ABC面积最大时，直线l的方程为（）A．2x﹣y+2＝0 B．2x﹣y+2＝0或2x+y﹣2＝0C．x＝0 D．x＝0或2x+y﹣2＝0【分析】当△ABC的面积最大时，CA⊥CB，求出圆心到直线的距离，分析可知直线的斜率存在，设出直线方程，再由点到直线的距离公式列式求解斜率，则直线方程可求．【解答】解：当△ABC的面积最大时，CA⊥CB，∵圆C：（x﹣2）2+（y﹣1）2＝10的半径为，∴圆心C到AB的距离d＝，当直线斜率不存在时，不合题意；故直线斜率存在，设直线方程为y＝kx+2，即kx﹣y+2＝0．C（2，1）到直线kx﹣y+2＝0的距离d＝，解得k＝2．∴当△ABC的面积最大时直线l的方程为y＝2x+2，即2x﹣y+2＝0，故选：A．【点评】本题考查直线与圆的位置关系，考查点到直线距离公式的应用，考查运算求解能力，是中档题．10．如图，已知等边△ABC与等边△ABD所在平面成锐二面角的大小为，E，F分别为AB，AD中点，则异面直线EF与CD所成角的余弦值为（）A．B．C．D．【分析】由E，F分别为AB，AD中点，可得EF∥BD，从而可得异面直线EF与CD所成角为∠BDC或其补角，再利用余弦定理即可求解．【解答】解：如图，连接CE，DE，因为△ABC与△ABD都是等边三角形，E为AB中点，所以CE⊥AB，DE⊥AB，所以∠CED即为平面ABC与平面ABD所成二面角的平面角，所以∠CED＝，因为CE＝DE，所以△CED为等边三角形，设BC＝2，则CE＝DE＝CD＝，因为E，F分别为AB，AD中点，所以EF∥BD，所以异面直线EF与CD所成角为∠BDC或其补角，在△BCD中，由余弦定理可得cos∠BDC＝＝＝．即异面直线EF与CD所成角的余弦值为．故选：C．【点评】本题主要考查异面直线所成的角的求法，余弦定理，考查转化思想与运算求解能力，属于中档题．11．已知以F为焦点的抛物线y2＝4x上的两点A，B满足＝3，则点A的横坐标为（）A．1 B．C．2 D．3 【分析】设直线AB斜率为k，联立方程组，根据根与系数的关系得出A，B两点横坐标的关系，结合＝3求出A，B两点的横坐标即可．【解答】解：设直线AB的斜率为k，则直线AB的方程为：y＝k（x﹣1），联立方程组，消元得：k2x2﹣（2k2+4）x+k2＝0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1x2＝1．∵＝3，F（1，0），∴1﹣x1＝3（x2﹣1），解方程组，可得x1＝3，x2＝，故选：D．【点评】本题考查了抛物线的性质，直线与抛物线的位置关系的应用，属于中档题．12．已知函数f（x）＝，如果关于x的方程[f（x）]2+t•f（x）+1＝0（t∈R）有四个不等的实数根，则t的取值范围（）A．（﹣∞，﹣e﹣）B．（﹣e﹣，﹣2） C．（2，e+）D．（e+，+∞）【分析】根据分段函数的解析式，利用导数研究函数f（x）的性质，作出函数f（x）的图象，将方程有四个不等的实数根转化为方程m2+tm+1＝0有两个不同的实数根进行求解，进一步得到t的取值范围．【解答】解：函数f（x）＝，当x≥0时，f（x）＝xe x，则f'（x）＝e x（x+1）＞0，故f（x）在[0，+∞）上单调递增，当x＜0时，f（x）＝﹣xe x，所以f'（x）＝﹣e x（x+1），所以f（x）在（﹣∞，﹣1）上单调递增，在（﹣1，0）上单调递减，且f（﹣1）＝，作出函数f（x）的图象如图所示，令f（x）＝m，由图象可知，当m＝时，f（x）与y＝m有两个交点，当m＞或m＝0时，f（x）与y＝m有1个交点，当0＜m＜时，f（x）与y＝m有3个交点，当m＜0时，f（x）与y＝m没有交点，因为[f（x）]2+t•f（x）+1＝0（t∈R）有四个不等的实数根，则方程m2+tm+1＝0有两个不同的实数根，m1＜m2，因为m1m2＝1，m1+m2＝﹣t，所以m1≠0，所以，且m2＝，所以m1+m2＝m1+，m1，设g（x）＝，，则，所以g（x）在上单调递减，则g（x）＞，故，所以．故选：A．【点评】本题考查了函数的零点与方程的根的综合应用，解决函数零点或方程根的问题，常用的方法有：（1）方程法（直接解方程得到函数的零点）；（2）图象法（直接画出函数的图象分析得解）；（3）方程+图象法（令函数为零，再重新构造两个函数，数形结合分析得解），属于中档题．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．复数z满足|z+i|＝1，且z+＝2，则z＝1﹣i．【分析】利用待定系数法设出复数z＝a+bi，然后由已知条件列出等式，求解即可．【解答】解：设复数z＝a+bi，，解得a＝1，又z+i＝a+（b+1）i＝1+（b+1）i，且|z+i|＝1，所以，解得b＝﹣1，所以z＝1﹣i．故答案为：1﹣i．【点评】本题考查了复数的求解，主要考查了待定系数法求复数的应用，属于基础题．14．已知△ABC的内角A、B、C的对边分别是a、b、c，且b＝3，a﹣c＝2，A＝．则△ABC的面积为．【分析】结合余弦定理列出关于a，b，c的方程组，求出c，套用面积公式计算即可；【解答】解：由已知得，将前两个式子代入第三个式子后解得：c＝5，a＝7．故S△ABC＝＝＝．故答案为：．【点评】本题考查正余弦定理以及面积公式的应用，属于中档题．15．已知||＝1，||＝3，且|﹣|＝2，则|+2|＝7 ．【分析】根据题意，对|﹣|＝2变形可得•的值，又由|+2|2＝2+42+4•，计算可得答案．【解答】解：根据题意，||＝1，||＝3，且|﹣|＝2，则有|﹣|2＝2+2﹣2•＝10﹣2•＝4，变形可得•＝3，则|+2|2＝2+42+4•＝49，故|+2|＝7，故答案为：7．【点评】本题考查向量数量积的计算，涉及向量模的计算，属于基础题．16．将正奇数按如图所示的规律排列：则2021在第32 行，从左向右第50 个数．【分析】首先根据正奇数的排列规律，第一行有1个正奇数，第二行有3个正奇数，…第n行有2n﹣1个正奇数，利用等差数列的求和公式，求出前n行一共有多少个正奇数，然后根据第n个正奇数a n＝2n﹣1（n＝1、2、3…）解答即可．【解答】解：由题意知，第一行有1个奇数，第二行有3个奇数，…第n行有2n﹣1个奇数，则前n行共有正奇数1+3+5+…+2n﹣1＝n2个，所以第n行的最后一个正奇数为2n2﹣1，当n＝31时，第31行的最后一个正奇数为1921当n＝32时，第32行的最后一个正奇数为2047，所以2021在第32行，前31行共有312＝961个正奇数，2021是第1011个正奇数，1011﹣961＝50，所以2021在第32行，从左向右第50个数．【点评】本题从观察数阵的排列规律，考查了数列的求和应用问题；解题时，关键是发现规律并应用所学知识，来解答问题．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n＝2n﹣1．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n＝na n，求数列{b n}的前n项和T n．【分析】（Ⅰ）由题设利用a n＝求得结果即可；（Ⅱ）先由（Ⅰ）求得b n，再利用错位相减法求得其前n项和．【解答】解：（Ⅰ）∵S n＝2n﹣1，∴当n＝1时，有S1＝2﹣1＝1＝a1，当n≥2时，有a n＝S n﹣S n﹣1＝2n﹣2n﹣1＝2n﹣1，综上，a n＝2n﹣1；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得：b n＝n×2n﹣1，∴T n＝1+2×21+3×22+…+n×2n﹣1，又2T n＝1×21+2×22+…+（n﹣1）•2n﹣1+n×2n，两式相减得：﹣T n＝1+2+22+…+2n﹣1﹣n×2n＝﹣n×2n，整理得：T n＝（n﹣1）•2n+1．【点评】本题主要考查数列通项公式的求法及错位相减法在数列求和中的应用，属于中档题．18．（12分）某校食堂按月订购一种螺蛳粉，每天进货量相同，进货成本每碗6元，售价每碗10元，未售出的螺蛳粉降价处理，以每碗5元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关．如果最高气温不低于25，需求量为200碗；如果最高气温位于区间[20，25），需求量为300碗；如果最高气温低于20，需求量为500碗．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：最高气温[10，15） [15，20） [20，25） [25，30） [30，35） [35，40）天数 4 7 25 36 16 2以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率．（1）求六月份这种螺蛳粉一天的需求量不超过300碗的概率；（2）设六月份一天销售这种螺蛳粉的利润为Y（单位：元），当六月份这种螺蛳粉一天的进货量为450碗时，写出Y的所有可能值，并估计Y的平均值（即加权平均数）．【分析】（1）根据需求量不超过300碗的天数应该是气温大于等于20度的天数，结合概率公式可求出所求；（2）分别求出销售这种螺蛳粉200碗、300碗、500碗的利润Y，然后分别求出相应的概率，最后利用求解数学期望的公式进行求解．【解答】解：（1）设六月份这种螺蛳粉一天的需求量不超过300碗为事件A，P（A）＝；（2）当一天需求量为200碗时，Y＝﹣450×6+200×10+（450﹣200）×5＝550元，当一天需求量为300碗时，Y＝﹣450×6+300×10+（450﹣300）×5＝1050元，当一天需求量为500碗时，Y＝﹣450×6+450×10＝1800元，所以Y的所有可能值为550，1050，1800；P（Y＝550）＝，P（Y＝1050）＝，P（Y＝1800）＝，所以E（Y）＝＝841.7元．【点评】本题主要考查了概率问题，以及数学期望，同时考查了分析问题和运算求解的能力，属于基础题．19．（12分）如图，四边形ABCD是平行四边形，平面AED⊥平面ABGCD，EF∥AB，AB ＝2，DE＝3，BC＝EF＝1，AE＝，∠BAD＝60°，G为BC的中点．（1）求证：平面BED⊥平面AED；（2）求直线EF与平面BED所成角的正弦值．【分析】（1）在△ABD中，由余弦定理求BD，由勾股定理得到BD⊥AD，利用面面垂直的性质定理可证BD⊥平面AED，结合面面垂直的判定定理证明即可；（2）过点A作AH⊥DE于点H，连结BH，利用面面垂直的性质定理可证AH⊥平面BED，由线面角的定义得到直线AB与平面BED所成的角为∠ABH，在三角形中利用边角关系求解即可．【解答】（1）证明：在△ABD中，AD＝1，AB＝2，∠BAD＝60°，由余弦定理可得，所以AD2+BD2＝AB2，故BD⊥AD，又因为平面AED⊥平面ABCD，平面AED∩平面ABCD＝AD，BD⊂平面ABCD，所以BD⊥平面AED，又因为BD⊂平面BED，所以平面BED⊥平面AED；（2）解：因为EF∥AB，所以直线EF与平面BED所成的角即为直线AB与平面BED所成的角，过点A作AH⊥DE于点H，连结BH，如图所示，又平面BED∩平面AED＝ED，由（1）可知，AH⊥平面BED，所以直线AB与平面BED所成的角为∠ABH，在△ADE中，AD＝1，DE＝3，，由余弦定理可得，，所以，故，在Rt△AHB中，＝，故直线EF与平面BED所成角的正弦值为．【点评】本题考查了面面垂直的判定定理的应用以及线面角的求解，在使用几何法求线面角时，可通过已知条件，在斜线上取一点作该平面的垂线，找出该斜线在平面内的射影，通过解直角三角形求得，属于中档题．20．（12分）已知函数f（x）＝（x2﹣1）e x，其中a∈R．（1）求函数f（x）在x＝0处的切线方程；（2）∀x≥0，f（x）≥ax﹣1，求实数a的取值范围．【分析】（1）求出原函数的导函数，得到函数在x＝0处的导数，再求出f（0）的值，可得函数f（x）在x＝0处的切线方程；（2）分析可知，x＝0时不等式f（x）≥ax﹣1为﹣1≥﹣1，对任意实数a都成立；x＞0时，不等式化为f（x）﹣ax+1≥0，令g（x）＝f（x）﹣ax+1，利用导数求最值，可得a≤﹣1，g（x）在（0，+∞）上单调递增，g（x）＞g（0）＝0，不等式f（x）﹣ax+1≥0成立；当a＞﹣1时，存在x0＞0，当0＜x＜x0时，g（x）单调递减，当x＞x0时，g（x）单调递增，g（x）min＝g（x0），结合g（0）＝0，可得0＜x＜x0时，g（x）＜g（0）＝0，g（x）≥0不成立，由此可得a的范围．【解答】解：（1）由f（x）＝（x2﹣1）e x，得f′（x）＝（x2+2x﹣1）e x，∴f′（0）＝﹣1，又f（0）＝﹣1，∴函数f（x）在x＝0处的切线方程为y+1＝﹣x，即x+y+1＝0；（2）x＝0时，不等式f（x）≥ax﹣1为﹣1≥﹣1，对任意实数a都成立；x＞0时，不等式化为f（x）﹣ax+1≥0，令g（x）＝f（x）﹣ax+1，则g′（x）＝f′（x）﹣a，由f′（x）＝（x2+2x﹣1）e x，令h（x）＝（x2+2x﹣1）e x，h′（x）＝（x2+4x+1）e x＞0，∴h（x）即f′（x）在（0，+∞）上单调递增，f′（x）＞f′（0）＝﹣1，∴g′（x）＞g′（0）＝﹣1﹣a，若﹣1﹣a≥0，即a≤﹣1，则g′（x）＞0在（0，+∞）上恒成立，g（x）在（0，+∞）上单调递增，g（x）＞g（0）＝0，不等式f（x）﹣ax+1≥0成立；若a＞﹣1，由上讨论可知，存在x0＞0，使得g′（x0）＝0，且当0＜x＜x0时，g′（x）＜0，g（x）单调递减，当x＞x0时，g′（x）＞0，g（x）单调递增，g（x）min＝g（x0），而g（0）＝0，因此，0＜x＜x0时，g（x）＜g（0）＝0，g（x）≥0不成立．综上，a≤﹣1．【点评】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，训练了利用导数求最值，体现了分类讨论的数学思想，是中档题．21．（12分）已知椭圆E：+＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，椭圆上的点到焦点F1的距离的最小值为﹣1，以椭圆E的短轴为直径的圆过点（2，0）．（1）求椭圆E的标准方程；（2）若过F2的直线交椭圆E于A、B两点，过F1的直线交椭圆E于C，D两点，且AB⊥CD，求四边形ACBD面积的取值范围．【分析】（1）由题意可得b的值，和到左焦点的距离的最小值可得a，c的关系，再由a，b，c之间的关系求出a，b的值，进而求出椭圆的标准方程；（2）设直线AB的方程，由题意可得直线CD的方程，取过右焦点平行于CD的直线C1D1的方程，由椭圆的对称性可得|CD|＝|C1D1|，将直线AB，C1D1的方程分别与椭圆联立求出两根之和及两根之积，求出弦长|AB|，|C1D1|的值，代入四边形的面积公式，设函数，由函数的单调性可得面积的取值范围．【解答】解：（1）由题意可知，b＝2，a﹣c＝﹣1，又a2＝b2+c2，解得a＝，c＝1，所以椭圆的标准方程为：；（2）设四边形ACBD的面积为S，则S＝，①当AB⊥x轴时，|AB|＝，|CD|＝2a，所以S＝，②当CD⊥x轴时，|CD|＝，|AB|＝2a，所以S＝，③当AB与CD都不与x轴垂直时，直线AB的斜率存在且不为0，设A（x1，y1），B（x2，y2），设直线AB的斜率为k，则直线CD的斜率为﹣，则设直线AB的方程为：y＝k（x﹣1），联立方程，消去y整理可得：（4+5k2）x2﹣10k2x+5k2﹣20＝0，所以x，所以|AB|＝＝（*），过F2做直线CD的平行线和椭圆E交于点C1，D1，由对称性知|C1D1|＝|CD|，在（*）中的k换成﹣，得|C1D1|＝＝，所以|CD|＝，所以S＝|AB||CD|＝••＝，令t＝1+k2，则t＞1，所以S＝＝＝，令u＝，则u∈（0，1），所以S＝＝，因为﹣（u﹣）2+∈（20，]，所以S∈[，8）所以四边形ACBD面积的取值范围[，8]．【点评】本题考查求椭圆的方程及直线与椭圆的综合，换元法求函数的值域，属于中难题．请考生在22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分22．（10分）已知曲线C的参数方程为（t为参数）．（1）求曲线C的普通方程；（2）过点P（0，1）的直线l与曲线C交于A，B两点，求|PA|•|PB|的取值范围．【分析】（1）曲线C的参数方程为，消去参数t，可得曲线C的普通方程；（2）直线l与曲线C联立C得：（1+3cos2α）•t2+2sinα•t﹣3＝0，利用参数的几何意义，即可求|PA|•|PB|的取值范围．【解答】解：（1）曲线C的参数方程为，消去参数t，可得5分（除不除x＝1均可）（2）直线代入曲线C得：（1+3cos2α）•t2+2sin α•t﹣3＝0设两根为t1，t2，故.10分．【点评】本题考查椭圆的参数方程，考查直线与椭圆的位置关系，正确运用参数的几何意义是关键．23．设函数f（x）＝|2x+1|+|2x﹣1|．（1）求不等式f（x）≥6的解集；（2）若f（x）的最小值是m，a＞0，b＞0，且a+b＝m，求的最小值．【分析】（1）将f（x）写为分段函数的形式，然后由f（x）≥6，利用零点分段法解不等式即可；（2）由（1）可知a+b＝2，然后利用乘“1”法及基本不等式求出的最小值．【解答】解：（1）f（x）＝|2x+1|+|2x﹣1|＝，因为f（x）≥6，所以或或，解得x≤﹣或x≥，故不等式f（x）≥6的解集为（﹣∞，﹣]∪[，+∞）．（2）由（1）可知f（x）的最小值为2，即m＝2，所以a+b＝2，则＝（）（a+b）＝（++10）≥×（6+10）＝8，当且仅当＝，即a＝，b＝时等号成立，故的最小值为8．【点评】本题考查了绝对值不等式的解法和利用基本不等式求最值，考查了转化思想与运算求解能力，属于中档题。
河南省实验中学2021届上学期高三年级期中考试数学试卷(文科)
河南省实验中学2021届上学期高三年级期中考试数学试卷（文科）（时间：120分钟，满分：150分）一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 1．设复数满足i zi +=3-，则z 虛部是（） A ．3iB ．﹣3iC ．3D ．﹣32．已知集合M ＝{|2＜4}，N ＝{|x2log ＜2}，则N M ＝（ ） A ．{|﹣2＜＜3}B ．{|0＜＜4}C ．{|﹣2＜＜2}D ．{|0＜＜2}3．函数y ＝2)1(ln +x x 在＝1处的切线方程为（ ） A ．y ＝42 B ．y ＝2﹣4 C ．y ＝4﹣2D ．y ＝244．窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸是中国古老的传统民间艺术之一，它历史悠久，风格独特，深受国内外人士所喜爱．如图所示的四叶形窗花是由一些圆弧构成的旋转对称图形，若设外围虚线正方形的边长为a ，则窗花的面积为（ ）A ．（22﹣1﹣2π）2a B ．（22﹣12π）2a C ．（π2﹣1）2aD ．（2π2﹣1）2a5．数列{a n }中，a 3＝5，a 7＝2，若⎭⎬⎫⎩⎨⎧-14n a （*∈N n ）是等比数列，则a 5＝（ ）A ．﹣1或3B ．﹣1C ．3D ．106．从2名男生和3名女生中任选三人参加比赛，选中1名男生和2名女生的概率为（ ） A ．51 B ．52 C ．53 D ．54 7．设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则m ⊥n 的一个充分不必要条件是（ ） A ．m ⊥α，n ∥β，α⊥β B ．m ⊥α，n ⊥β，α∥β C ．m ⊂α，n ∥β，α⊥β D ．m ⊂α，n ⊥β，α∥β8．设a ＞0，b ＞0，且2ab ＝1，则ba a a ++21（ ） A ．有最小值为122+ B ．有最小值为12+ C ．有最小值为314D ．有最小值为49．执行如图所示的程序框图，若输出的为30，则判断框内填入的条件不可能是（ ）≥29 B ．≥30 C ．≥14D ．≥1610．已知)cos sin 3(cos 2)(x x x x f +=，将函数f （）的图象向右平移3π个单位长度，则平移后图象的对称轴为（ ） A ．2πk x =，∈Z B ．212ππk x +=，∈Z C ．24ππk x +=，∈Z D ．23ππk x +=，∈Z 11．设函数f （）的定义域为R ，满足2f （）＝f （2），且当∈[﹣2，0）时，f （）＝﹣（2）．若对任意∈（﹣∞，m ]，都有f （）≤3，则m 的取值范围是（ ） A ．（﹣∞，25] B ．（﹣∞，27]C ．[25，∞） D ．[27，∞） 12．已知球O 的表面上有A ，B ，C ，D 四点，且AB ＝2，BC ＝22，4π=∠ABC ．若三棱锥B ﹣ACD 的体积为324，且AD 经过球心O ，则球O 的表面积为（ ） A ．8πB ．12πC ．16πD ．18π二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13．已知a ＝3.0log 2，b ＝2log 3.0，c ＝3.02，则a 、b 、c 三者的大小关系为 ．14．假设要考察某公司生产的500克袋装牛奶的三聚青氨是否超标，现从800袋牛奶中抽取60袋进行检验，利用随机数表抽取样本时，先将800袋牛奶按000，001，…，799进行编号，如果从随机数表第7行第8列的数开始向右读，请你依次写出最先检测的5袋牛奶的编号 （下面摘取了随机数表第7行至第9行） 31 88 67 25 76 59 19 75 07 79 29 82 38 42 5415．已知向量→a ，→b 满足|→a →b |＝|→a ﹣2→b |，其中→b 是单位向量，则→a 在→b 方向上的投影为 ． 16．数列{n a }满足n a n a n n 2)12sin2(1+-=+π，则数列{n a }的前20项和为 ．三．解答题（第17-21题为必考题，每题12分，每个试题考生都必须作答；第22、23题为选考题，每题10分，考生根据要求作答；本大题共6小题，共60分）17．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，C b cos ＝（A b B a cos cos +）B cos （1）若C B A sin sin 2sin 2=，判断△ABC 的形状； （2）若A tan ＝715，△ABC 的面积为415，求△ABC 的周长． 18．已知数列{a n }是公差不为0的等差数列，数列{b n }是正项等比数列，其中a 1＝b 1＝1，5a ＝3b ，93a a ﹣4＝5b ． （1）求数列{a n }、{b n }的通项公式；（2）求数列{n n b a }的前n 项和T n ．19．“孝敬父母，感恩社会”是中华民族的传统美德．从出生开始，父母就对我们关心无微不至，其中下表是某位大学毕业生统计的父母为我花了多少钱的数据：岁数1 2 6 12 16 17花费累积y （万元） 1 3 9 17 22 26假设花费累积y 与岁数符合线性相关关系，求（1）花费累积y 与岁数的线性回归直线方程（系数保留3位小数）；（2）24岁大学毕业之后，我们不再花父母的钱，假设你在30岁成家立业之后，在你50岁之前偿还父母为你的花费（不计利息）．那么你每月要偿还父母约多少元钱参考公式：∑∑==∧---=ni ini iix x y yx x b 121)())((，x b y a ∧∧-=20．如图，四棱锥2-ax x a ）（2-x ln x xax e x f x )12()(---≤a xOy⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=ααsin 21cos 2121y x θθρ222sin 4cos 4+=kxy =3≥++cab c a b 2)2>++++cb ac b a （⊥α，n ∥β，α⊥β，可得m与n 平行、相交或为异面直线，因此无法得出m ⊥n ，因此不正确；B、α∥β，m⊥α，n⊥β，可得m∥n，因此无法得出m⊥n，因此不正确；C、α⊥β，m⊂α，n∥β，可得m与n平行、相交或为异面直线，因此无法得出m⊥n，因此不正确．D、α∥β，m⊂α，n⊥β，可得n⊥α，因此可得m⊥n，因此正确；故选：D．【点评】本题考查了空间线面位置关系的判定与性质定理、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．8．【解答】解：根据题意，，因为a＞0，b＞0，所以，当且仅当，即时等号成立，故有最小值为．故选：A．【点评】本题考查的知识要点：基本不等式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．9．【解答】解：执行程序，可得＝2，2是偶数，＝3，3不是偶数，＝6，不符合判断框内的条件，执行否，＝7，7不是偶数，＝14，不符合判断框内的条件，执行否，＝15，不是偶数，＝30，此时应该满足条件，结束循环，故判断框内的条件为＝14时不符合要求，＝30时符合要求，故A，B，D选项均满足．故选：C．【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．10．【解答】解：，f（）图象向右平移个单位长度得到的解析式为，令2＝π，则，所以对称轴为，∈Z．故选：A．【点评】本题主要考查了函数y＝A sin（ωφ）的图象变换规律和余弦函数的图象和性质的应用，考查了转化思想和函数思想，属于基础题．11．【解答】解：函数f（）的定义域为R，满足2f（）＝f（2），可得f（0）＝2f（﹣2）＝0，当∈时，函数f（）在[﹣2，﹣1）上递增，在（﹣1，0）上递减，所以f（）ma＝f（﹣1）＝1，由2f（﹣2）＝f（），可得当图象向右平移2个单位时，最大值变为原来的2倍，最大值不断增大，由f（）＝f（2），可得当图象向左平移2个单位时，最大值变为原来的倍，最大值不断变小，当∈[﹣4，﹣2）时，f（）ma＝f（﹣3）＝，当∈[0，2）时，f（）ma＝f（1）＝2，当∈[2，4）时，f（）ma＝f（3）＝4，设∈[2，4）时，﹣4∈[﹣2，0），f（﹣4）＝﹣（﹣4）（﹣2）＝f（），即f（）＝﹣4（﹣4）（﹣2），∈[2，4），由﹣4（﹣4）（﹣2）＝3，解得＝或＝，根据题意，当m≤时，f（）≤3恒成立，故选：A．【点评】本题考查函数类周期性的应用、分段函数求解析式、恒成立问题等，考查数形结合思想和方程思想，属于难题．12．【解答】解：由题意可知画出图形，如图所示：球O的球心在AD的中点，取BC的中点E，连接AE，OE，由余弦定理得：，所以AC＝2，即AC2AB2＝BC2，所以△ABC为直角三角形．则点E为△ABC的外接圆的圆心．由球的对称性可知：OE⊥平面ABC，由于，所以，即，解得OE＝，由于AE⊂平面ABC，OE⊥AE，AE＝＝，所以球的半径R＝OA＝，所以球的表面积为S＝4π•22＝16π．故选：C．【点评】本题考查的知识要点：余弦定理，球的对称性，线面垂直的判定和性质，球的表面积公式，锥体的体积公式，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题．二．填空题（共4小题）13．答案为：a＜b＜c【解答】解：∵a＝，b＝，c＝，=−，c＝＞0，∴a＝＜＝﹣1，0＞b＝＞103∴a＜b＜c．14．【解答】解：找到第7行第8列的数开始向右读，第一个符合条件的是331，第二个数是572，第三个数是455，第四个数是068，第五个数是877它大于799故舍去，第五个数是047．故答案为：331、572、455、068、047【点评】抽样方法，随机数表的使用，考生不要忽略．在随机数表中每个数出现在每个位置的概率是一样的，所以每个数被抽到的概率是一样的15．【解答】解：∵，，∴，∴，∴在方向上的投影是．故答案为：．【点评】本题考查了向量数量积的运算，投影的计算公式，考查了计算能力，属于基础题．16．220三．解答题（共7小题）17．【解答】（本题满分为12分）解：（1）∵b cos C＝（a cos Bb cos A）cos B．∴由正弦定理可得：sin B cos C＝（sin A cos B sin B cos A）cos B＝sin（AB）cos B，可得：sin B cos C＝sin C cos B，可得：sin（B﹣C）＝0，由于B，C∈（0，π），可得：B﹣C∈（﹣π，π），所以：B＝C，可得：b＝c，…4分因为：sin2A＝2sin B sin C，所以由正弦定理可得：a2＝2bc，可得：a2＝b2c2，所以△ABC是等腰直角三角形…6分（2）∵tan A＝＝，sin2A cos2A＝1，∴cos A＝，sin A＝＝，…8分由（1）知b＝c，∵cos A＝＝＝，∴b＝2a，…10分∵△ABC的面积为，可得S＝bc sin A＝＝，∴a＝1，b＝2，△ABC的周长abc＝5a＝5…12分【点评】本题主要考查了正弦定理，三角函数恒等变换的应用，同角三角函数基本关系式，余弦定理，三角形面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．18．【解答】解：（1）设数列{a n}的公差为d（d≠0），数列{b n}的公比为q（q＞0），由题设可得：，解得：d＝2，q＝3，∴a n＝12（n﹣1）＝2n﹣1，b n＝3n﹣1；（2）由（1）知：a n b n＝（2n﹣1）•3n﹣1，∴T n＝1×303×315×32…（2n﹣1）•3n﹣1，又3T n＝1×313×32…（2n﹣3）•3n﹣1（2n﹣1）•3n，两式相减得：﹣2T n＝12（3132…3n﹣1）﹣（2n﹣1）•3n＝12×（1﹣2n）•3n，整理可得：T n＝（n﹣1）•3n1．【点评】本题主要考查等差、等比数列的基本量的计算及错位相减法在数列求和中的应用，属于中档题．19．【解答】解：（1）由表可知，，，∴＝＝＝，．∴花费累积y与岁数的线性回归直线方程为．（2）当＝24时，＝×24﹣≈35（万元），30岁成家立业之后，在50岁之前偿还，共计20年，所以每月应还元．【点评】本题考查回归直线方程的求法与应用，考查学生的运算能力，属于基础题．20．【解答】解：（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴BD⊥AC，O是AC的中点，∵BD⊥Q的面积S△MQ＝．【点评】本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，极径的应用，三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．23．【解答】解：（1）a，b，c＞0，≥3•；当且仅当a＝b＝c取等号，故原命题成立；（2）已知a，b，c为一个三角形的三边长，要证＞2，只需证明，即证2，则有，即，所以，同理，，三式左右相加得2，故命题得证．【点评】考查了基本不等式的应用，中档题．。
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河南省实验中学2021届高三模拟试卷数学（文科）2020．12（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集I R =，集合{}2340A x x x =--≥∣，{}21B y N y x =∈=+，则()I C A B =（ ）A ．{}1,1-B ．{}0,1C ．{}3D ．{}1,32．若复数1Z ，2Z 在复平面内的对应点关于虚轴对称，11Z i =-，则12Z Z =（ ） A ．iB ．i -C ．1D ．1-3．已知两个命题:p 对任意x ∈R ，总有22xx >；:q “1ab >”是“1a >，1b >”的充分不必要条件．则下列说法正确的是（ ） A ．p q ∨为真命题B ．q ⌝为假命题C ．p q ∧为假命题D ．()p q ⌝∨为假命题4．设平向量(2,3)a =-，(1,2)b =-，则若(2)//(3)a b a b λ+-，则实数λ=（ ） A ．32B ．23C ．23-D ．32-5．已知公差不为0的等差数列{}n a 中，26a =，3a 是1a ，9a 的等比中项，则{}n a 的前5项之和5S =（ ）A ．30B ．45C ．63D ．8476．函数1()sin ln1x f x x -⎛⎫= ⎪+⎝⎭的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．7．斗拱是中国典建筑最富装饰性的构件之一，并为中国所持有，图一图二是北京故宫太和殿斗拱实物图，图三是斗拱构件之一的“斗”的几何体，本图中的斗是棱台与长方体形凹槽（长方体掉一个长相等，宽和高分别为原长方体一半的小长方体）组成．若棱台两底面面积分别是2400cm ，2900cm ，高为9cm ，长方体形槽的高为12cm ，斗的密度是30.50/g cm ．那么这个斗的质量是（ ）图一 图二 图三 A ．3990gB ．3010gC ．6900gD ．6300g8．若以抛物线()220y px p =>上的点()1,P a 为圆心，2为半径的圆恰好与抛物线的线相切，则a 的值为（ ） A ．2±B ．2C ．2-D ．1±9．已知样本数据点集合(){},1,2,,ii x y i n =，得的回归直线方程为ˆ 1.50.5yx =+，3x =，现发现两个数据点()1.2,2.2和()4.8,7.8误差较大，去除后重新求得的归直线l 的斜率为1.2，则（ ） A ．变量x 与y 具有负相关关系 B ．去除后的回归方程为ˆ 1.2 4.4yx =+ C ．去除后y 的估计值增加速度变快D ．去除后机应于样本点()2,3.75的残差为0.0510．已知函数()f x 定义域为R ，且满足下列三个条件①任意12(4,0)x x ≠∈-，都有()()21210f x f x x x ->-；②()(4)f x f x =-+；③(4)y f x =+为偶函数，则（ ） A ．(2019)(15)(2)f f f >> B ．(2)(2019)(15)f f f >> C ．(2)(15)(2019)f f f >>D ．(15)(2)(2019)f f f >>11．设椭圆22122:1(0)x y C a b a b +=>>的左、右焦点分别是1F ，2F ，离心率为34，双曲线22222:1(,0)x y C m n m n-=>的渐近线交椭圆1C 于点P ，12PF PF ⊥，双曲线2C 的离心率是（ ）AB．8C．4D．212．已知正方体ABCD A B C D ''''-的棱长为4，E ，F 分别为BB '，C D ''的中点，点P 在平面ABB A ''中，PF =N 在线段AE 上，则下列结论正确的个数是（ ）①点P 的轨迹长度为2π；②线段FP 的轨迹与平面A B CD ''的交线为圆弧； ③NP的最小值为105； ④过A 、E 、F作正方体的截面，则该截面的周长为103A ．4B ．3C ．2D ．1二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．13．已知实数x ，y 满足约束条件20201x y x y x +-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩，则2z x y =-的最大值为________．14．已知数列{}n a 满足()2*12323n a a a na n n +++=∈N ．设()1(1)n n n n b a a +=-+，数列{}n b 的前n项和为n S ，则100S =________．15．已知点()4,1A -，()8,2B 和直线:10l x y --=，动点(),P x y 在直线l 上，则PA PB +的最小值为________．16．已知函数1()xf x e ex =+（其中e 为自然对数的底数）若关于x 的方程2()xm f x e x⋅=有4个实根，则实数m 的取值范围为________．三、解答题：本大题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分．17．在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，2a =． （1）若sin sin 2sin sin C A b B A c--=+，求角B ；（2）若2c b =，当角B 最大时，求ABC ∆的面积．18．华为手机作为全球手机销量第二位，一直深受消费者喜欢．据调查数据显示，2019年度华为手机（含荣耀）在中国市场占有率接近40%！小明为了考查购买新手机时选择华为是否与年龄有一定关系，于是随机调100个2019年购买新手机的人，得到如下不完整的列表．定义30岁以下为“年轻用户”，30岁以上为“非年轻用户”．附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++（1）将列表填充完整，并判断是否有90%的把握认为购买手机时选择华为与年龄有关？（2）若采用分层抽样的方法从购买华为手机用户中抽出6个人，再随机抽2人，求恰好抽到的两人都是非年轻用户的概率．19．已知四边形ABCD 是梯形（如图甲）．//AB CD ，AD DC ⊥，4CD =，2AB AD ==，E 为CD 的中点，以AE 为折痕把ADE ∆折起，使点D 到达点P 的位置（如图乙），2PB =．甲 乙（1）求证：平面PAE ⊥平面ABCE ； （2）求点A 到平面PBE 的距离．20．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，长轴的长度为4．（1）求椭圆C 的方程；（2）设()1,0P ，过点P 做两条直线1l ，2l ，直线1l 与椭圆C 交于A 、B 两点，直线2l 与椭圆C 交于D 、E 两点，AB 的中点为M ，DE 的中点为N ；若直线1l 直线2l 的斜率之积为13，判断直线MN 是否过定点，若过定点，求出此定点的坐标，若不过定点，请说明理由． 21．已知函数()2ln 1af x x x=++的图象在()()2,2f 处切线与直线3420x y -+=平行． （1）求实数a 的值，并判断()f x 的单调性；（2）若函数()()21g x f x m =--有两个零点1x ，2x ，且12x x <，证明121x x +>．（二）选考题：共10分．请考生在22、23题中任选一题作答如果多做，则按所作的第一题计分．22．在平面直角坐标系中，已知曲线C 的普通方程为22210250x y x y +--+=，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，线l 的极坐标方程为()4πθρ=∈R ．（1）求直线l 的普通方程及曲线C 的参数方程；（2）过直线l 上的任意一点G 向曲线C 引切线GQ ，Q 为切点，求切线GQ 的最短长度． 23．已知不等式|22||2|2x x +-->的解集为M ．（1）求集合M ；（2）已知t 为集合M 中的最小正整数，若1a >，1b >，1c >，且(1)(1)(1)a b c t ---=，求证：8abc ≥．河南省实验中学2021届高三模拟试卷文数答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1-5：DACDB6-10：BCABD11-12：AC二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．414．1001011516．21,04e ⎛⎫-⎪⎝⎭三、解答题（本大题满分70分）17．解：（1）由正弦定理可得2c a b b a c--=+， 即c a b ab a c--=+ 所以()()()b a b a c a c +-=-，化简可得222c a b ac +-=，有余弦定理得2cos ac B ac =，即1cos 2B =，因为0B π<<，所以3B π=．（2）在ABC ∆中，2222cos b a c ac B =+-，2c b =，243cos 82b B b +∴=≥，当且仅当3b =时取等号，此时6B π=，2C π=，所以S =18．解：（1）填写列联表为：由表中数据，计算22100(12362428)251.0422.7064060366424K ⨯⨯-⨯==≈<⨯⨯⨯， 所以没有90%的把握认为购买手机时选择华为与年龄有关； （2）采用分层抽样法从购买华为手机用户中抽出6个， 年轻用户有126236⨯=人，记为A 、B ，非年轻用户有624-=人，记为c 、d 、e 、f ． 设“从这6人中再随机抽2人，恰好抽到的两人都是非年轻用户”为事件A ， 从这6人中再随机抽2人，基本事件为：AB 、Ac 、Ad 、Ae 、Af 、Bc 、Bd 、Be 、Bf 、cd 、ce 、cf 、de 、df 、ef 共15种恰好抽到的两人都是非年轻用户的基本事件为：cd 、ce 、cf 、de 、df 、ef 共6种，所以62()155P A ==． 故所求的概率为2519．解：（1）证明：连接BE ，因为//AB CD ，AD DC ⊥，4CD =，E 为CD 的中点，2AB AD ==，所以四边形ABED 是边长为2的正方形，且BE EC =． 取AE 的中点M ，连接PM ，BM ．因为2AP PE ==，所以PM AE ⊥，BM AE ⊥，且AE =PM AM BM ===又2PB =，所以222PM MB PB +=，所以PM MB ⊥． 又AEMB M =，所以PM ⊥平面ABCE ．又PM ⊂平面PAE ，所以平面PAE ⊥平面ABCE ．（2）解：由（1）知，PM ⊥平面ABCE ，PBE ∆为正三角形且边长为2． 设点A 到平面PBE 的距离为d ， 则1133P ABE ABE PBE V S PM S d -∆∆=⨯⨯=⨯⨯所以21112223234d ⨯⨯⨯=⨯⨯⨯，解得3d =故点A 到平面PBE的距离为3甲 乙 20．解：（1）由题意知24a =，c e a ==， 所以2a =，c = 由222a b c =+可得21b =，所以椭圆C 的方程为2214x y +=． （2）由题意知的1l ，2l 斜率必存在设1l 的斜率为1k ，2l 的斜率为2k ，()11,A x y ，()22,B x y设1l 的方程为1(1)y k x =-，联立122(1)14y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩ 消元可得()2222111148440k x k x k +-+-=，0∆>恒成立，由韦达定理211221814k x x k +=+；2112214414k x x k -=+ 所以2121414M k x k =+，()1121114M M k y k x k -=-=+同理可得22212221211449411494149N k k x k k k ⨯===+++⨯，21122212113311494149N k k k y k k k ---===+++⨯ ()()()()()1122221111111222221111122113314919414444144944139414MNk k k k k k k k k k k k k k k k k -+-+++++===+-++-++ ()1122211134:9494413k k MN y x k k k ⎛⎫-∴-=- ⎪+++⎝⎭即()121(4)413k y x k =-+∴直线MN 过定点，且定点坐标为()4,021．解：（1）由题知，22()af x x x'=-，((0,))x ∈+∞， (2)14af '∴=-，由题意知，3144a -=， 可解得1a =．221()x f x x-'∴=∴当10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，()f x 单调递减，当1,2x ⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭时，()0f x '>，()f x 单调递增． （2）证明：由题意知()()210g x f x m =--=，即12ln 2x m x+= 令1()2ln F x x x =+，221()F x x x '=-知()F x 在10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭递减，1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭递增． 12102x x ∴<<<112212ln 212ln 2x m x x mx ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩， 1122122lnx x x x x x -∴= 设12(01)x t t x =<<， 则112ln t x t -=，2112ln t x t -=，1212ln t t x x t-+= 设1()2ln (01)h t t t t t =--<<，212()10h t t t'=+-≥， ()h t ∴为()0,1上增函数，(1)0h =，()0h t ∴<，又01t <<，ln 0t ∴<，12112ln t t x x t-∴+=>， 综上可知，121x x +>．22．解：（1）依题意得，直线l 的普通方程为0x y -=， 曲线C 的普通方程为22210250x y x y +--+=， 即22(1)(5)1x y -+-=∴曲线C 的参数方程为1cos 5sin x y θθ=+⎧⎨=+⎩（θ为参数）综上，直线l 的普通方程为0x y -=，曲线C 的参数方程为1cos 5sin x y θθ=+⎧⎨=+⎩（θ为参数）；（2）因为||GQ ，要使切线长GQ 最短，则需CG 最短，CG 的最小值为圆心()1,5C 到直线l=GQ =∴切线GQ．23．解：（1）|22||2|2x x +-->等价于122(2)2x x x ≤-⎧⎨---->⎩ 或1222(2)2x x x -<<⎧⎨+-->⎩或222(2)2x x x ≥⎧⎨+-->⎩ 解得6x <-或223x <<或2x ≥， 则2(,6),3M ⎛⎫=-∞-+∞ ⎪⎝⎭． （2）证明：由（1）可得1t =，1a >，1b >，1c >，且(1)(1)(1)1a b c ---=，则(1)10a a =-+≥>，（当且仅当2a =时等号成立），(1)10b b =-+≥>，（当且仅当2b =时等号成立），(1)10c c =-+≥>，（当且仅当2c =时等号成立），则8abc ≥=，（当且仅当2a b c ===时等号成立），即8abc ≥。