(优选)数学建模方法及其应用中的随机模型讲解部分第章随机模型
数学建模中的随机性
数学建模中的随机性在数学建模的过程中，随机性是一个非常重要的因素。
它在许多问题中起到了至关重要的作用，例如金融、生物学、环境科学等等。
然而，在很多情况下，我们并不能直接获得所需的数据，因此，我们需要使用随机数来模拟实验结果。
在这篇文章中，我们将深入探讨数学建模中的随机性。
一、随机性的基本概念随机性是指事物在某一时刻或某一范围内出现的不确定性。
在数学中，我们使用随机变量来描述随机性。
随机变量是一个取值不确定的数学变量，它可以表示一个事件在某个范围内的可能性。
在描述随机性时，我们经常用到的概念是概率。
概率是指某个事件发生的可能性。
例如，抛一枚硬币，出现正面的概率是50%。
在数学建模中，我们通过概率的计算来预测某个事件发生的可能性。
二、随机数的应用在数学建模中，随机数起到了非常重要的作用。
通过随机数，我们可以模拟实验结果，预测某个事件的概率。
在计算机科学中，随机数可以通过伪随机数算法来生成。
伪随机数是通过计算机算法生成的数字序列，它看起来像是随机数，但实际上它是有规律的。
在使用伪随机数时，我们需要注意它的周期和分布情况，以确保生成的随机数符合我们的需求。
在金融和经济领域，随机数也被广泛应用。
例如，在股票价格的预测中，我们需要通过随机数来模拟未来的价格波动。
在风险分析中，我们也需要使用随机数来模拟各种可能的情境，以便更好地评估风险。
三、随机模型的建立在建立数学模型时，我们经常要使用随机模型。
随机模型可以帮助我们描述复杂的现实情况，从而更好地预测结果。
例如，在生态学中，我们需要使用随机模型来描述种群数量的变化。
随机模型可以考虑各种可能的因素，例如环境因素、食物供应等等，从而更好地预测未来种群数量的变化。
在工程学中，随机模型也经常被用到。
例如，在建筑物的设计中，我们需要使用随机模型来考虑各种可能的因素，例如风力、地震等等，从而确保建筑物更加牢固。
四、随机性的挑战随机性虽然在数学建模中起到了非常重要的作用，但它也带来了一些挑战。
数学建模之随机模型
G(n) = ∑[(a − b)r − (b − c)(n − r)] f (r ) +
r =0
n
r =n+1
∑ (a − b)nf (r)
∞
求 n 使 G(n) 最大
求解
n
将r视为连续变量
f (r ) ⇒ p (r ) (概率密度）
∞
G(n) = ∫0 [(a − b)r − (b − c)(n − r)]p(r)dr + ∫n (a − b)np(r)dr
u=1/m
模型解释
传送带效率(一周期内运走 产品数与生产总数之比）
m 1 n D = [1 − (1 − ) ] n m
若(一周期运行的)挂钩数m远大于工作台数n, 则
m n n ( n − 1) n −1 D ≈ [1 − (1 − + )] = 1 − 2 n m 2m 2m
定义E=1-D (一周期内未运走产品数与生产总数之比） 当n远大于1时, E ≈ n/2m ~ E与n成正比，与m成反比 若n=10, m=40, 提高效率 • 增加m D≈87.5% (89.4%) 的途径： • 习题1
两模型销售量预测比较
控制价格差x1=0.2元，投入广告费x2=6.5百万元
ˆ +β ˆ x +β ˆ x +β ˆ x2 ˆ=β y 0 1 1 2 2 3 2
ˆ = 8 .2933 (百万支) y
区间 [7.8230，8.7636]
2 ˆ ˆ ˆ ˆ xx ˆ y = β0 + β1x1 + β2 x2 + β3 x2 + β 4 1 2
y的90.54%可由模型确定 p远小于α=0.05
随机数学模型基础篇
第三章 随机数学模型§3.1 多元回归与最优逐步回归一、数学模型设可控或不可控的自变量x x x p 12,,, ；目标函数y y y m 12,,, ，已测得的n 组数据为： },,,,,,,{2121m p y y y x x x αααααα(1.1)其中y j m n j αα,,,,,,,,==1212 是系统的测试数据，相当于如下模型：设多目标系统为：为简化问题，不妨设该系统为单目标系统，且由函数关系y f x x x p =(,,,)12 ，可以设：y x x p p =+++βββ011(1.2)可得如下线性模型⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+++++=+++++=+++++=n np p n n n p p p p x x x y x x x y x x x y εββββεββββεββββ 22110222222211021112211101 (1.3)εεε12,,, n 为测量误差，相互独立，εσi N ～(,)0。
令Y y y y X x x x x x x x x x n p p n n np p n =⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪⎪=⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪=⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪⎪=⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪⎪121112121222120112111 ββββεεεε可得Y X =+βε(1.4)(1.4) 称为线性回归方程的数学模型。
y 1y 2y mx 1x 2x p利用最小二乘估计或极大似然估计，令 ∑=----=ni ip p i ix x yQ 12110][βββ 使Q Q =min ，由方程组⎪⎩⎪⎨⎧==p i Qi ,,2,1,00 ∂β∂(1.5)可得系数βββ01,,, p 的估计。
令 A X X p T =+设()1方阵可逆，由模型Y X =β 可得： X Y X X A T T ==ββ即有 β=-A X Y T 1 (1.6)可以证明(1.6)与(1.5)是同解方程组的解，它是最优线性无偏估量，满足很多良好的性质，另文补讲。
第三章(9)随机模拟-仿真模型、蒙特卡洛模拟
Matlab程序： function y=paidui(T) L=zeros(1,T+1);% 等待的顾客人数， T1=zeros(1,T+1); %等待时间的累加， T2=zeros(1,T+1); %服务时间的累加, L1=zeros(1,T+1);%到达顾客人数累加。 t=1; x=0:T; r=rand(1,T); for t=1:T if 0<=r(i) & r(i)<0.4 n=0; elseif 0.4<=r(i) & r(i)<0.7 n=1; else n=2; end;
蒙特卡罗模拟 （Monte Carlo Simulation）
第三章 常用数学模型及建模方法
当所求问题的解可以视为某个随机变量X的概率或期 望的函数时 通过随机抽样 即模拟随机变量X产生 望的函数时，通过随机抽样，即模拟随机变量 的“实验”；然后计算频率或平均值，以估计概率 或期望 或期望；从而得到所求问题的解。 得到 求 的解
p ( k ) : pi ,
i 1 kpຫໍສະໝຸດ (0) 0p ( k ) p ( k 1) ,
p (n) 1
取服从[0, 1]区间上均匀分布的随机数 R[0, 1]，则容易证明: P( “ p(k-1) < R < p(k) ” ) = pk = P ( “ = ak” ) 即随机事件 “ p((k-1)) < R < p((k)) ” 与 “ =ak” 有相同的概率分布。 因此，当p(k-1) < R < p(k)时， 则认为事件 =ak发生。 发生 每隔一分钟记录一次系统状态，模拟10分钟的 Matlab程序如下：
>>r=rand(1,10); >>r=rand(1 10); >>for i=1:10; if r(i)<0.4 () ; n(i)=0; elseif 0.4<=r(i) & r(i)<0.7 n(i)=1; else n(i)=2; end; end
数学建模第五章随机模型
05
随机模拟
随机模拟的基本原理
随机模拟是一种基于概率统计的数值计算方法，通过模拟随机事件或过程来求解实 际问题。
随机模拟的基本原理包括抽样、统计推断和误差分析，其中抽样是随机模拟的核心 步骤，通过从概率分布中抽取样本，模拟随机事件的概率特征。
随机模拟的精度取决于样本数量和分布的准确性，样本数量越多，模拟结果越接近 真实情况。
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蒙特卡洛积分
蒙特卡洛积分是一种基于随机抽样的 数值积分方法，通过将积分转化为求 和的形式，利用大数定律和中心极限 定理来估计积分值。
蒙特卡洛积分在金融、物理、工程等 领域有广泛应用，可以用于求解复杂 的高维积分问题。
蒙特卡洛积分的精度与样本数量和积 分的可积性有关，对于不可积的积分， 可以通过增加样本数量来提高估计精 度。
马尔科夫链蒙特卡洛方法
总结词
马尔科夫链蒙特卡洛方法是一种基于马尔科夫链的随机抽样方法，常用于求解复杂数学 问题的不确定性。
详细描述
马尔科夫链蒙特卡洛方法通过构造一个马尔科夫链，使其平稳分布为目标分布，从而通 过抽样得到目标分布的近似解。这种方法在统计学、物理、经济学等领域有广泛应用， 可以用于求解复杂数学问题的不确定性，如概率论中的积分、统计推断中的参数估计等。
描述随机变量取值概率分布的函数称 为随机变量的分布函数。常见的分布 函数有离散型分布和连续型分布，如 二项分布、泊松分布、正态分布等。
03
随机过程
随机过程的定义与分类
定义
随机过程是随机变量在时间或空间上的扩展，描述了一个随机现象在连续时间或 离散时间上的变化。
分类
根据过程的性质和特点，随机过程可以分为平稳随机过程、非平稳随机过程、离 散随机过程和连续随机过程等。
常见数学建模模型
常见数学建模模型一、线性规划模型线性规划是一种常用的数学建模方法，它通过建立线性函数和约束条件，寻找最优解。
线性规划可以应用于各种实际问题，如生产调度、资源分配、运输问题等。
通过确定决策变量、目标函数和约束条件，可以建立数学模型，并利用线性规划算法求解最优解。
二、整数规划模型整数规划是线性规划的一种扩展形式，它要求决策变量为整数。
整数规划模型常用于一些离散决策问题，如旅行商问题、装箱问题等。
通过引入整数变量和相应的约束条件，可以将问题转化为整数规划模型，并利用整数规划算法求解最优解。
三、非线性规划模型非线性规划是一类目标函数或约束条件中存在非线性项的优化问题。
非线性规划模型常见于工程设计、经济优化等领域。
通过建立非线性函数和约束条件，可以将问题转化为非线性规划模型，并利用非线性规划算法求解最优解。
四、动态规划模型动态规划是一种通过将问题分解为子问题并以递归方式求解的数学建模方法。
动态规划常用于求解具有最优子结构性质的问题，如背包问题、最短路径问题等。
通过定义状态变量、状态转移方程和边界条件，可以建立动态规划模型，并利用动态规划算法求解最优解。
五、排队论模型排队论是一种研究队列系统的数学理论，可以用于描述和优化各种排队系统，如交通流、生产线、客户服务等。
排队论模型通常包括到达过程、服务过程、队列长度等要素，并通过概率和统计方法分析系统性能，如平均等待时间、系统利用率等。
六、图论模型图论是一种研究图结构和图算法的数学理论，可以用于描述和优化各种实际问题，如网络优化、路径规划、社交网络等。
图论模型通过定义节点、边和权重，以及相应的约束条件，可以建立图论模型，并利用图算法求解最优解。
七、随机模型随机模型是一种考虑不确定性因素的数学建模方法，常用于风险评估、金融建模等领域。
随机模型通过引入随机变量和概率分布，描述不确定性因素，并利用概率和统计方法分析系统行为和性能。
八、模糊模型模糊模型是一种用于处理模糊信息的数学建模方法，常用于模糊推理、模糊控制等领域。
随机规划模型
研究Pn(t)旳变化规律；得到X(t)旳期望和方差
模型假设
若X(t)=n, 对t到t+t旳出生和死亡概率作下列假设
1)出生一人旳概率与t成正比，记bnt ; 出生二人及二人以上旳概率为o(t).
2)死亡一人旳概率与t成正比，记dnt ; 死亡二人及二人以上旳概率为o(t).
3)出生和死亡是相互独立旳随机事件。
为拟定s，从工人考虑还是从挂钩考虑，哪个以便？
• 若求出一周期内每只挂钩非空旳概率p，则 s=mp
怎 设每只挂钩为空旳概率为q，则 p=1-q
样 求
设每只挂钩不被一工人触到旳概率为r，则 q=rn
概 设每只挂钩被一工人触到旳概率为u，则 r=1-u
率 一周期内有m个挂钩经过每一工作台旳上方
u=1/m
优化模型：求m 使J(m) 最小（已知l , ）
求解 J (m) m
P(m)
y
xm,
m,
l
J ()
( )
P(m)
l
p( x)dx
p(x)
1
e
(
xm)
2 2
2
2
z
(
z)
z
(
y)dy
(y)
1
y2
e2
2
J () ( )
J (z) ( z)
(z)
求 z 使J(z) 最小（已知 ）
• 能够用一种周期内传送带运走旳产品数占产品 总数旳百分比，作为衡量传送带效率旳数量指标。
• 工人们生产周期虽然相同，但稳态下每人生产 完一件产品旳时刻不会一致，能够以为是随机旳， 而且在一种周期内任一时刻旳可能性相同。
模型假设
1）n个工作台均匀排列，n个工人生产相互独立， 生产周期是常数；
数学模型之随机模型
用数学公式或位移寄存器的 移位操作来产生的随机数，实际 上是伪随机数
几种产生均匀随机数的方法
2
(1) 利用计算机移位寄存器的移位操作来产生均匀分 布的伪随机数
如 取 原 整 数 45086273, 可 以 得 到 第 一 个 随 机 数 0.45086273；
将 45086273 右 移 三 位 得 00045086 ， 将 45086273 与 00045086 按 位 相 加 得 45021259 ， 将 45021259 左 移 四 位 得 12590000, 将12590000 与 45021259 按位相加得57511259， 于是得到第二个随机数0.5751129；
X1 2lnU1 cos(2U2 )
X2 2lnU1 sin(2U2 ).
8
证明: 由
y1 2ln v1 cos(2v2)
y2 2ln v1 sin(2v2).
解得
v1 exp(( y12 y22 ) / 2)
v2
1
2
arctan(
y2 y1
)
F (x1, x2 ) P{X1 x1, X 2 x2}
再将 57511259与右移三位的数按位相加得57568760， 将57568760与左移四位的数相加得整数34168760，这就得 到第三个随机数0.34168760。按此规律一直重复下去，可以 得到一个随机数序列。
数学建模：随机模型
销售 周期 1 2 29 30 本公司价 格(元) 3.85 3.75 3.80 3.70 其他厂家 价格(元) 3.80 4.00 3.85 4.25 广告费用 (百万元) 5.50 6.75 5.80 6.80 价格差 （元） -0.05 0.25 0.05 0.55 销售量 (百万支) 7.38 8.51 7.93 9.26
3
§1 报童的诀窍
问题：
报童每天清晨从报社购进报纸零售，晚上将没有 卖掉的报纸退回。设报纸每份的购进价为b，零售 价为a，退回价为c，假设a>b>c。即报童售出一份 报纸赚a-b，退回一份赔b-c。报童每天购进报纸太 多，卖不完会赔钱；购进太少，不够卖会少挣钱。 试为报童筹划一下每天购进报纸的数量，以获得最 大收入。
9
模型假设
若X(t)=n, 对t到t+t的出生和死亡概率作以下假设 1)出生一人的概率与t成正比，记bnt ; 出生二人及二人以上的概率为o(t). 2)死亡一人的概率与t成正比，记dnt ; 死亡二人及二人以上的概率为o(t).
3)出生和死亡是相互独立的随机事件。
进一步假设 bn与n成正比，记bn=n , ~出生概率；
n
( a b ) p ( r ) dr
n
( b c ) p ( r ) dr ( a b ) p ( r ) dr
0 n
dG dn
0
p ( r ) dr
0
n
a b b c
7
n
数学建模方法及其应用
一、层次分析法层次分析法[1] (analytic hierarchy process，AHP)是美国著名的运筹学家T．L．Saaty教授于20世纪70年代初首先提出的一种定性与定量分析相结合的多准则决策方法[2，3，4]．该方法是社会、经济系统决策的有效工具，目前在工程计划、资源分配、方案排序、政策制定、冲突问题、性能评价等方面都有广泛的应用．(一) 层次分析法的基本原理层次分析法的核心问题是排序，包括递阶层次结构原理、测度原理和排序原理[5]．下面分别予以介绍．1．递阶层次结构原理一个复杂的结构问题可以分解为它的组成部分或因素，即目标、准则、方案等．每一个因素称为元素．按照属性的不同把这些元素分组形成互不相交的层次，上一层的元素对相邻的下一层的全部或部分元素起支配作用，形成按层次自上而下的逐层支配关系．具有这种性质的层次称为递阶层次．2．测度原理决策就是要从一组已知的方案中选择理想方案，而理想方案一般是在一定的准则下通过使效用函数极大化而产生的．然而对于社会、经济系统的决策模型来说，常常难以定量测度．因此，层次分析法的核心是决策模型中各因素的测度化．3．排序原理1层次分析法的排序问题，实质上是一组元素两两比较其重要性，计算元素相对重要性的测度问题．(二) 层次分析法的基本步骤层次分析法的基本思路与人对一个复杂的决策问题的思维、判断过程大体上是一致的[1]．1． 成对比较矩阵和权向量为了能够尽可能地减少性质不同的诸因素相互比较的困难，提高结果的准确度．T ．L ．Saaty 等人的作法，一是不把所有因素放在一起比较，而是两两相互对比，二是对比时采用相对尺度．假设要比较某一层个因素对上层一个因素的影响，每次取两个因素和，用表示和n n C C ,,1 O i C j C ij a i C 对的影响之比，全部比较结果可用成对比较阵j C O 表示，称为正互反矩阵．()1,0,ij ij ji n nijA a a a a ⨯=>=A 一般地，如果一个正互反阵满足：A （1）,ij jk ik a a a ⋅=,,1,2,,i j k n = 则称为一致性矩阵，简称一致阵．容易证明阶一致阵有下列性质：A n A ①的秩为1，的唯一非零特征根为；A A n ②的任一列向量都是对应于特征根的特征向量．A n 如果得到的成对比较阵是一致阵，自然应取对应于特征根的、归一化的特征向量（即分量之和为1）表n示诸因素对上层因素的权重，这个向量称为权向量．如果成对比较阵不是一致阵，但在不一致的n C C ,,1 O A 容许范围内，用对应于最大特征根(记作)的特征向量（归一化后）作为权向量，即满足：A λw w （2）Aw w λ=直观地看，因为矩阵的特征根和特征向量连续地依赖于矩阵的元素，所以当离一致性的要求不远时,A ij a ij a 的特征根和特征向量也与一致阵的相差不大．（2）式表示的方法称为由成对比较阵求权向量的特征根法．A 2． 比较尺度当比较两个可能具有不同性质的因素和对于一个上层因素的影响时，采用Saaty 等人提出的尺i C j C O 91-度，即的取值范围是及其互反数．ij a 9,,2,1 91,,21,1 3． 一致性检验成对比较阵通常不是一致阵，但是为了能用它的对应于特征根的特征向量作为被比较因素的权向量，其λ不一致程度应在容许范围内．若已经给出阶一致阵的特征根是，则阶正互反阵的最大特征根，而当时是一致阵．所以n n n A n λ≥n λ=A 比大得越多，的不一致程度越严重，用特征向量作为权向量引起的判断误差越大．因而可以用数值λn A n λ-的大小衡量的不一致程度．Saaty 将A3(3)1nCI n λ-=-定义为一致性指标．时为一致阵；越大的不一致程度越严重．注意到的个特征根之和恰好等0CI =A CI A A n 于，所以相当于除外其余个特征根的平均值．n CI λ1n -为了确定的不一致程度的容许范围，需要找到衡量的一致性指标的标准，又引入所谓随机一致性指A A CI 标，计算的过程是：对于固定的，随机地构造正互反阵，然后计算的一致性指标．RI RI n A 'A 'CI 表1 随机一致性指标的数值RI 表中时，是因为阶的1,2n =0RI =2,1正互反阵总是一致阵．对于的成对比较阵，将它3n ≥A 的一致性指标与同阶（指相同）CI n 的随机一致性指标之比称为一致性比率，当RI CR (4)0.1CICR RI=<时认为的不一致程度在容许范围之内，可用其特征向量作为权向量．A 对于利用(3)，(4)式和表1进行检验称为一致性检验．当检验不通过时，要重新进行成对比较，或对已A 有的进行修正．A n1234567891011RI00．580．901．121．241．321．411．451．491．514． 组合权向量由各准则对目标的权向量和各方案对每一准则的权向量，计算各方案对目标的权向量，称为组合权向量．一般地，若共有层，则第层对第一层（设只有个因素）的组合权向量满足：s k 1 （5）()()()1,3,4,k k k w W w k s -== 其中是以第层对第层的权向量为列向量组成的矩阵．于是最下层对最上层的组合权向量为:()k W k 1k - （6）()()()()()132sss w W W W w -= 5． 组合一致性检验在应用层次分析法作重大决策时，除了对每个成对比较阵进行一致性检验外，还常要进行所谓组合一致性检验，以确定组合权向量是否可以作为最终的决策依据．组合一致性检验可逐层进行．如第层的一致性指标为(是第层因素的数目)，随机一致p ()()p n p CI CI ,,1 n 1-p 性指标为，定义()()1,,p p n RI RI ()()()()11,,P p p p n CI CI CI w -⎡⎤=⎣⎦ ()()()()11,,p p p p n RI RI RI w-⎡⎤=⎣⎦ 则第层的组合一致性比率为:p5(7)()()(),3,4,,pp p CI CRp s RI== 第层通过组合一致性检验的条件为．p ()0.1p CR <定义最下层(第层)对第一层的组合一致性比率为：s (8)()2*sP p CR CR ==∑对于重大项目，仅当适当地小时，才认为整个层次的比较判断通过一致性检验．*CR 层次分析法的基本步骤归纳如下:(1) 建立层次结构模型 在深入分析实际问题的基础上，将有关的各个因素按照不同属性自上而下地分解成若干层次．同一层的诸因素从属于上一层的因素或对上层因素有影响，同时又支配下一层的因素或受到下层因素的作用，而同一层的各因素之间尽量相互独立．最上层为目标层，通常只有个因素，最下层通常为1方案或对象层，中间可以有个或几个层次，通常称为准则或指标层，当准则过多时（比如多于个）应进一19步分解出子准则层．(2) 构造成对比较阵 从层次结构模型的第层开始，对于从属于上一层每个因素的同一层诸因素，用成2对比较法和比较尺度构造成对比较阵，直到最下层．91-(3) 计算权向量并做一致性检验 对于每一个成对比较阵计算最大特征根及对应特征向量，利用一致性指标，随机一致性指标和一致性比率做一致性检验．若检验通过，特征向量（归一化后）即为权向量；若不通过，重新构造成对比较阵．(4)计算组合权向量并做组合一致性检验利用公式计算最下层对目标的组合权向量，并酌情作组合一致性检验．若检验通过，则可按照组合权向量表示的结果进行决策，否则需重新考虑模型或重新构造那些一致性比率较大的成对比较阵．CR(三) 层次分析法的优点1．系统性层次分析把研究对象作为一个系统，按照分解、比较判断、综合的思维方式进行决策，成为继机理分析、统计分析之后发展起来的系统分析的重要工具．2．实用性层次分析把定性和定量方法结合起来，能处理许多用传统的最优化技术无法着手的实际问题，应用范围很广．同时，这种方法将决策者与决策分析者相互沟通，决策者甚至可以直接应用它，这就增加了决策的有效性．3．简洁性具有中等文化程度的人即可了解层次分析的基本原理和掌握它的基本步骤，计算也非常简便，且所得结果简单明确，容易为决策者了解和掌握．(四) 层次分析法的局限性层次分析法的局限性可以用囿旧、粗略、主观等词来概括．第一，它只能从原有的方案中选优，不能生成新方案；第二，它的比较、判断直到结果都是粗糙的，不适于精度要求很高的问题；第三，从建立层次结构模型到给出成对比较矩阵，人的主观因素的作用很大，这就使得决策结果可能难以为众人接受．当然，采取专家群体判断的方法是克服这个缺点的一种途径．(五) 层次分析法的若干问题层次分析法问世以来不仅得到广泛的应用而且在理论体系、计算方法等方面都有很大发展，下面从应用的角度讨论几个问题．1．正互反阵最大特征根和对应特征向量的性质成对比较阵是正互反阵．层次分析法中用对应它的最大特征根的特征向量作为权向量，用最大特征根定义一致性指标进行一致性检验．这里人们碰到的问题是：正互反阵是否存在正的最大特征根和正的特征向量；一致性指标的大小是否反映它接近一致阵的程度，特别，当一致性指标为零时，它是否就为一致阵．下面两个定理可以回答这些问题．定理1对于正矩阵（的所有元素为正数）A A1）的最大特征根是正单根；Aλ2）对应正特征向量（的所有分量为正数）；λwω73），其中，是对应的归一化特征向量．w IA I I A k k k =T ∞→lim ()T=1,1,1 I w λ定理2 阶正互反阵的最大特征根；当时是一致阵．n A n λ≥n λ=A 定理2和前面所述的一致阵的性质表明,阶正互反阵是一致阵的充要条件为 的最大特征根．n A A n λ=2． 正互反阵最大特征根和特征向量的实用算法众所周知，用定义计算矩阵的特征根和特征向量是相当困难的，特别是矩阵阶数较高时．另一方面，因为成对比较阵是通过定性比较得到的比较粗糙的量化结果，对它精确计算是不必要的，下面介绍几种简单的方法．(1) 幂法 步骤如下：a ．任取维归一化初始向量n ()0w b ．计算()()1,0,1,2,k k wAw k +== c ．归一化,即令()1k w+ ()()()∑=+++=ni k ik k ww1111~~ωd ．对于预先给定的精度,当 时,即为所求的特征向量；否则返回bε()()()1||1,2,,k k i i i n ωωε+-<= ()1k w +e.计算最大特征根()()111k n i k i in ωλω+==∑9这是求最大特征根对应特征向量的迭代法,可任选或取下面方法得到的结果．()0w (2) 和法 步骤如下：a.将的每一列向量归一化得A 1nij ij iji a aω==∑ b ．对按行求和得ij ω1ni ij j ωω==∑ c ．将归一化即为近似特征向量．i ω()*121,,,ni i n i w ωωωωωωT===∑ d.计算，作为最大特征根的近似值．()11n ii iAw n λω==∑这个方法实际上是将的列向量归一化后取平均值，作为的特征向量．A A (3) 根法 步骤与和法基本相同，只是将步骤b 改为对按行求积并开次方，即．根法是将和法ij ω n 11nn i ij j ωω=⎛⎫= ⎪⎝⎭∏ 中求列向量的算术平均值改为求几何平均值．3． 为什么用成对比较阵的特征向量作为权向量当成对比较阵是一致阵时,与权向量的关系满,那么当不是一致阵时，权向量A ij a ()T =n w ωω,,1 iij ja ωω=A的选择应使得与相差尽量小．这样,如果从拟合的角度看确定可以化为如下的最小二乘问题：w ij a ijωωw (9)()21,,11min i nniij i n i j j a ωωω===⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭∑∑ 由(9)式得到的最小二乘权向量一般与特征根法得到的不同．因为(9)式将导致求解关于的非线性方程组，i ω计算复杂，且不能保证得到全局最优解,没有实用价值．如果改为对数最小二乘问题：(10)()21,,11min ln ln i nniij i n i j j a ωωω===⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭∑∑ 则化为求解关于的线性方程组．可以验证，如此解得的恰是前面根法计算的结果．ln i ωi ω特征根法解决这个问题的途径可通过对定理2的证明看出．4． 成对比较阵残缺时的处理专家或有关学者由于某种原因无法或不愿对某两个因素给出相互比较的结果，于是成对比较阵出现残缺．应如何修正,以便继续进行权向量的计算呢？11一般地，由残缺阵构造修正阵的方法是令()ij A a =()ij Aa = ,,0,,1,ij ij ij ij i i a a i j a a i j m m i i jθθθ≠≠⎧⎪==≠⎨⎪+=⎩ 为第行的个数,(11)表示残缺．已经证明，可以接受的残缺阵的充分必要条件是为不可约矩阵．θA A (六) 层次分析法的广泛应用层次分析法在正式提出来之后，由于它在处理复杂的决策问题上的实用性和有效性，很快就在世界范围内得到普遍的重视和广泛的应用．从处理问题的类型看，主要是决策、评价、分析、预测等方面． 这个方法在20世纪80年代初引入我国，很快为广大的应用数学工作者和有关领域的技术人员所接受，得到了成功的应用．层次分析法在求解某些优化问题中的应用[5]举例 假设某人在制定食谱时有三类食品可供选择：肉、面包、蔬菜．这三类食品所含的营养成分及单价如表所示表 肉、面包、蔬菜三类食品所含的营养成分及单价2食品维生素A/(IU/g)维生素B/(mg/g)热量/(kJ/g)单价/（元/g ）肉面包蔬菜0.3527250.00210.00060.002011.9311.511.040.02750.0060.0.007该人体重为kg，每天对各类营养的最低需求为：55维生素A 国际单位 (IU)7500维生素B mg1.6338热量 R kJ8548.5考虑应如何制定食谱可使在保证营养需求的前提下支出最小？用层次分析法求解最优化问题可以引入包括偏好等这类因素．具体的求解过程如下：①建立层次结构②根据偏好建立如下两两比较判断矩阵表3 比较判断矩阵13W D ED 13E311，，，主特征向量max 2λ=10CI =100.1CR =<()0.75,0.25W T=故第二层元素排序总权重为()10.75,0.25W T=表4 比较判断矩阵D ABR A 112B 112R5.05.01，主特征向量111max 1113,0,0,0.58CI CR RI λ====()0.4,0.4,0.2W T=故相对权重()210.4,0.4,0.2,0P T=③ 第三层组合一致性检验问题因为,()()2111211112120;0.435CI CI CI W RI RI RI W ====212200.1CR CR CI RI =+=<故第三层所有判断矩阵通过一致性检验，从而得到第三层元素维生素A 、维生素B 、热量Q 及支出的总权重E15为：()()221221120.3,0.3,0.15,0.25W P W P P W T===求第四层元素关于总目标的排序权重向量时，用到第三层与第四层元素的排序关系矩阵，可以用原始W 的营养成分及单价的数据得到．注意到单价对人们来说希望最小，因此应取各单价的倒数，然后归一化．其他营养成分的数据直接进行归一化计算，可得表5表5 各营养成分数据的归一化食品维生素A维生素B 热量R单价F肉0.0139 0.44680.48720.1051面包0.00000.12770.47020.4819蔬菜0.98610.42550.04260.4310则最终的第四层各元素的综合权重向量为：，结果表明，按这个人的偏好，肉、()3320.2376,0.2293,0.5331W P W T==面包和蔬菜的比例取较为合适．引入参数变量，令，，，0.2376:0.2293:0.533110.2376x k =20.2293x k =30.5331x k =代入()1LP 123min 0.02750.0060.007f x x x =++131231231230.352725.075000.00210.00060.002 1.6338..(1)11.930011.5100 1.048548.5,,,0x x x x x s t LP x x x x x x +≥⎧⎪++≥⎪⎨++≥⎪⎪≥⎩则得kf 0116.0min =()13.411375000.0017 1.6338..26.02828548.50k k s t LP k k ≥⎧⎪≥⎪⎨≥⎪⎪≥⎩容易求得，故得最优解；最优值，即肉g ，面1418.1k =()*336.9350,325.1650,755.9767x T=*16.4497f =336.94g ，蔬菜g ，每日的食品费用为元．325.17755.9816.45总之，对含有主、客观因素以及要求与期望是模糊的优化问题，用层次分析法来处理比较适用．二、模糊数学法模糊数学是1965年美国控制论专家L．A．Zadeh创立的．模糊数学作为一门新兴学科，它已初步应用于模糊控制、模糊识别、模糊聚类分析、模糊决策、模糊评判等各方面．在气象、结构力学、控制、心理学方面已有具体的研究成果．(一) 模糊数学的研究内容一一一研究模糊数学的理论，以及它和精确数学、随机数学的关系；一一一研究模糊语言和模糊逻辑，并能作出正确的识别和判断；一一一研究模糊数学的应用．(二) 模糊数学在数学建模中应用的可行性1．数学建模的意义在于将数学理论应用于实际问题[6]．而模糊数学作为一种新的理论，本身就有其巨大的应用背景，国内外每年都有大量的相关论文发表，解决了许多实际问题．目前在数学建模中较少运用模糊数学方法的原因不在于模糊数学理论本身有问题，而在于最新的研究成果没有在第一时间进入数学建模的教科书中，就其理论本身所具有的实用性的特点而言，模糊数学应该有助于我们解决建模过程中的实际问题．2．数学建模的要求是模型与实际问题尽可能相符．对实际问题有这样一种分类方式：白色问题、灰色问题和黑色问题．毫无疑问，引进新的方法对解决这些问题大有裨益．在灰色问题和黑色问题中有很多现象是17用“模糊”的自然语言描述的．在这种情况下，用模糊的模型也许更符合实际．3． 数学建模活动的目的之一是培养学生的创新精神．用新理论、新方法解题应该受到鼓励．近年来，用神经网络法、层次分析法等新方法建立模型的论文屡有获奖，这也说明了评审者对新方法的重视．我们相信，模糊数学方法应该很好，同样能够写出优秀的论文．(三) 模糊综合评判法中的最大隶属原则有效度在模糊统计综合评判中，如何利用综合评判结果向量,其中， ，为()12,,,m b b b b =01j b <<m 可能出现的评语个数，提供的信息对被评判对象作出所属等级的判断，目前通用的判别原则是最大隶属原则[7]．在实际应用中很少有人注意到最大隶属原则的有效性问题，在模糊综合评判的实例中最大隶属原则无一例外地被到处搬用，然而这个原则并不是普遍适用的．最大隶属原则有效度的测量1． 有效度指标的导出在模糊综合评判中，当时，最大隶属原则最有效；而在11max 1,1nj j j n j b b ≤≤===∑()1max 01,j j nb c c ≤≤=<<时，最大隶属原则完全失效，且越大（相对于而言），最大隶属原则也越有效．由此可1njj bnc ==∑1max j j nb ≤≤1njj b=∑19认为，最大隶属原则的有效性与在中的比重有关，于是令：1max j j nb ≤≤1njj b=∑ (12)11max njjj nj b bβ≤≤==∑显然，当时，则为的最大值，当, 时，有为11max 1,1nj j j n j b b ≤≤===∑1β=β()1max 01j j nb c c ≤≤=<<1nj j b nc ==∑1n β=的最小值，即得到的取值范围为:．由于在最大隶属原则完全失效时，而不为，所以不宜ββ11n β≤≤1n β=0直接用值来判断最大隶属原则的有效性．为此设：β (13)()()11111n n n n βββ--'==--则可在某种程度上测定最大隶属原则的有效性．而最大隶属原则的有效性还与（的含义是β'j n j b ≤≤1sec j nj b ≤≤1sec 向量各分量中第二大的分量）的大小有很大关系，于是我们定义：b (14)11sec njjj nj b bγ≤≤==∑可见： 当时，取得最大值．()1,1,0,0,,0b = γ12当时，取得最小值．()0,1,0,0,,0b = γ0即的取值范围为，设．一般地，值越大最大隶属原则有效程度越高；而值越大，γ012γ≤≤()02120γγγ-'==-β'γ'最大隶属原则的有效程度越低．因此，可以定义测量最大隶属原则有效度的相对指标：(15)()112121n n n n βββαγγγ'--⎛⎫===⎪'--⎝⎭使用指标能更准确地表明实施最大隶属原则的有效性．α2. 指标的使用α从指标的计算公式看出与成反比，与成正比．由与的取值范围，可以讨论的取值范围：ααγββγα当取最大值，取最小值时，将取得最小值；γβα0当取最小值，取最大值时，将取得最大值：因为 ，所以可定义时，．即：γβα0limγα→=+∞0γ=α=+∞．0α≤<+∞由以上讨论，可得如下结论：当 时，可认定施行最大隶属原则完全有效；当时，可认为α=+∞1α≤<+∞施行最大隶属原则非常有效；当时，可认为施行最大隶属原则比较有效，其有效程度即为值；当0.51α≤<α21时可认为施行最大隶属原则是最低效的；而当时，可认定施行最大隶属原则完全无效．有了测00.5α<<0α=量最大隶属原则有效度的指标，不仅可以判断所得可否用最大隶属原则确定所属等级，而且可以说明施行最大隶属原则判断后的相对置信程度，即有多大把握认定被评对象属于某个等级．讨论a ． 在很多情况下，可根据值的大小来直接判断使用最大隶属原则的有效性而不必计算值．根据与βαα之间的关系，当，且时，一定存在．通常评价等级数取和之间，所以这一条件往往β0.7β≥4n >1α>494n >可以忽略，只要就可免算值，直接认定此时采取最大隶属原则确定被评对象的等级是很有效的．0.7β≥αb ． 如果对进行归一化处理而得到，则可直接根据进行最大隶属原则的有效度测量．()12,,,m b b b b = b 'b '(四) 模糊数学在数学建模中的应用模糊数学有诸多分支，应用广泛．如模糊规划、模糊优化设计、综合评判、模糊聚类分析、模糊排序、模糊层次分析等等．这些方法在工业、军事、管理等诸多领域被广泛应用．举例 带模糊约束的最小费用流问题[8]问题的提出 最小费用流问题的一般提法是：设是一个带出发点和收点的容量-费用网络，(),,,D V A c ω=s v t v 对于任意，表示弧上的容量，表示弧上通过单位流量的费用，是给定的非负数，问(),i j v v A ∈ij c (),i j v v ij ω(),i j v v 0v 怎样制定运输方案使得从到恰好运输流值为的流且总费用最小？如果希望尽可能地节省时间并提高道路s v t v 0v的通畅程度，问运输方案应当怎样制定？模型和解法 问题可以归结为：怎样制定满足以下三个条件的最优运输方案？(1)从到运送的流的值恰好为；(2)总运输费用最小;(3)在容量大的弧 上适当多运输．如果仅考虑s v t v 0v ij c (),i j v v 条件(1)和(2)，易写出其数学模型为：()()()()()()()}(),0,,0,,,,min()..0,0i j s j j s t j j t i j j i ij ijv v Asj js v v A v v A tj jt v v A v v A ij ji i s t v v A v v A ij ijf f f v f f v M s t f f v V v v f c ω∈∈∈∈∈∈∈⎧-=⎪⎪-=-⎪⎪⎨⎪-=∈⎪⎪≤≤⎪⎩∑∑∑∑∑∑∑把条件(3)中的“容量大”看作上的一个模糊子集，定义其隶属函数：为：A Aμ[]0,1A →()()00,0,1,ij ij ij i j A d c c v ij c c v v e c cμμ--≤≤⎧⎪==⎨->⎪⎩其中（平均容量）()1,i j ij v v c A c -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎣⎦∑:23()()()()21,21,0,11i j i j ij v v A ij v v A A c c d A c c -∈-∈⎧⎡⎤⎪⎢⎥-≤⎪⎢⎥⎣⎦⎪=⎨⎡⎤⎪⎢⎥->⎪⎢⎥⎪⎣⎦⎩∑∑::建立是为了量化“适当多运输”这一模糊概念．对条件(2)作如下处理：对容量大的弧，人为地降低ij μij c (),i j v v 运价，形成“虚拟运价”，其中满足：越大，相应的的调整幅度也越大．选取为，ij ωij ωij ωij c ij ωij ω()1k ij ij ij ωωμ=-．其中是正参数，它反映了条件(2)和条件(3)在决策者心目中的地位．决策者越看重条件(3)，取值(),ijv v A ∈k k 越小；当取值足够大时，便可忽略条件(3) ．一般情况下，合适的值最好通过使用一定数量的实际数据进k k 行模拟、检验和判断来决定．最后，用代替原模型中的，得到一个新的模型．用现有的方法求解这ij ωM ij ωM '个新的规划问题，可期望得到满足条件(3)的解．模型的评价此模型在原有的数学规划模型和解法的基础上，增加了模糊约束．新模型比较符合实际，它的解包含了原模型的解，因而它是一个较为理想的模型．隶属度的确定在模糊数学中有多种方法，可以根据不同的实际问题进行调整．同样的思想方法可以处理其他的模糊约束问题．三、灰色系统客观世界的很多实际问题，其内部结构、参数以及特征并未全部被人们了解，对部分信息已知而部分信息未知的系统，我们称之为灰色系统．灰色系统理论是从系统的角度出发来研究信息间的关系，即研究如何利用已知信息去揭示未知信息．灰色系统理论包括系统建模、系统预测、系统分析等方面．(一) 灰色关联分析理论及方法灰色系统理论[9]中的灰色关联分析法是在不完全的信息中，对所要分析研究的各因素，通过一定的数据，在随机的因素序列间，找出它们的关联性，找到主要特性和主要影响因素．计算方法与步骤：1． 原始数据初值化变换处理分别用时间序列的第一个数据去除后面的原始数据，得出新的倍数列，即初始化数列，量纲为一，()k 各值均大于零，且数列有共同的起点．2． 求关联系数()()()()()()()()()0000min min ||max max ||||max max ||k i k k i k ikiki k k i k k i k ikx x x x x x x x ρξρ-+-=-+-3． 取分辨系数01ρ<<254． 求关联度 ()()11ni k i k k r n ξ==∑(二) 灰色预测1． 灰色预测方法的特点(1) 灰色预测需要的原始数据少，最少只需四个数据即可建模；(2) 灰色模型计算方法简单，适用于计算机程序运行，可作实时预测；(3) 灰色预测一般不需要多因素数据，而只需要预测对象本身的单因素数据，它可以通过数据本身的生成，寻找系统内在的规律；(4) 灰色预测既可做短期预测，也可做长期预测，实践证明，灰色预测精度较高，误差较小．2． 灰色预测GM(1，1)模型的一点改进一些学者为了提高预测精度做出了大量的研究工作，提出了相应的方法．本文将在改善原始离散序列光滑性的基础上，进一步研究GM(1，1)预测模型的理论缺陷及改进方法[10]．问题的存在及改进方法如下：传统灰色预测GM(1，1)模型的一般步骤为：（1）1-ADO ：对原始数据序列进行一次累加生成序列(){}0k x ()1,2,,k n = ()()101kk i i x x =⎧⎫=⎨⎬⎩⎭∑()1,2,,k n =。
随机数学建模方法及其应用
随机数学建模方法及其应用It was last revised on January 2, 2021随机数学建模方法及其应用学院：数学与计算机科学学院回归分析法概述回归分析法是通过研究两个或两个以上变量之间的相关关系，运用数理统计方法从事物的抑制状况预测未来的一种信息研究定量方法。
优点：首先它利用降维技术用少数几个综合变量来代替原始多个变量，综合变量集中了原始变量的大部分信息。
其次它通过计算综合主成分函数得分，对客观经济现象进行科学评价。
再次它在应用上侧重于信息贡献影响力综合评价。
缺点：是当主成分的因子负荷的符号有正有负时，综合评价函数意义就不明确。
命名清晰性低。
案例分析以某医院的病例调查为例，对多元线性回归的显着性判断进行说明。
某医院为了解病人对医院工作的满意程度、病人的年龄、病情的严重程度、病人的忧虑程度之间的关系随机调查该医院的10位病人，可得到如下表格。
年龄病情程度忧虑程度满意度50 51 4836 46 5740 48 6641 44 7028 43 8949 54 3642 50 4645 48 5452 62 2629 50 77步骤：1、将数据导入spss2、打开分析--回归--- 线性3、依次打开界面的每个选项进行对应选择。
可得到以下结果。
模型汇总b系数a模型 非标准化系数标准系数B标准 误差试用版tSig.1(常量) .000 年龄 .389 .024 病情程度 .799.545 忧虑程度.163a. 因变量: 满意度由上表可以得出：321645.195117.01713.15249.175x x x y ---=聚类分析法概述聚类分析法是将个体（样品）或者对象（变量）按相似程度（距离远近）划分类别，使得同一类中的元素之间的相似性比其他类的元素的相似性更强。
目的在于使类Anova b模型 平方和df均方FSig. 1回归 3 .001a残差 6总计9a. 预测变量: (常量), 忧虑程度, 年龄, 病情程度。
随机模型
随机模型在现实世界中, 不确定现象是普遍存在的. 例如, 漂浮在液面上的微小粒子不断地进行着杂乱无章运动, 粒子在任一时刻的位置是不确定的; 又如公共汽车站等车的人数在任一时刻也是不确定的, 因为随时都可能有乘客的到来和离去. 这类不确定现象, 表面看来无法把握, 其实, 在其不确定的背后, 往往隐藏着某种确定的概率规律, 因此, 以概率和数理统计为基础的随机模型就成为解决此类问题最有效的工具之一.依随机规律是否随时间的变化而变化, 随机时模型可分为静态和动态两类, 前者只涉及到随机变量(向量)的概率分布及其数字特征, 后者则要处理随机过程和随机微分方程, 本讲章主要讨论前者.§1 电梯问题有r 个人在一楼进入电梯, 楼上有n 层, 设每个乘客在任何一层出电梯的概率相同, 试建立一个概率模型, 求直到电梯中的乘客下完时, 电梯需停次数的数学期望.分析: 对于此问题, 容易想到该问题为离散随机变量求数学期望的问题, 既然求电梯需停次数的数学期望, 那么电梯需停次数便为要定义的随机变量, 用X 表示, 显然X 的取值范围为}},min{,,2,1{n r ", 然后需计算}{i X P =, 那么所求的答案即为}{},min{1i X p i n r i =⋅∑=, 用上述思路求解电梯问题理论上完全正确, 然而我们却很难得到问题的一个简洁的表达式结果, 原因是古典概率}{i X P =的计算相当复杂, 而且要依据r , n 的不同情况具体来求. 下面我们看一些具体的例子,例1: 取2=r , 3=n 时, 此时X 的取值范围为}2,1{13211{1}33C P X ⋅=== 23222{2}33C P X ⋅=== 从而所求的解为35322311=⋅+⋅ 例2: 取3=r , 2=n 时, 此时X 的取值范围为}2,1{12311{1}24C P X ⋅=== 43222}2{33=−==X P 从而所求的解为47432411=⋅+⋅ 例3: 取3=r , 4=n 时, 此时X 的取值范围为}3,2,1{14311{1}416C P X ⋅=== 3433!6{3}416C P X ⋅=== 313443413!9{2}416C C P X −⋅−⋅=== 从而所求的解为1637166316921611=⋅+⋅+⋅ 上述三例是在r , n 给出具体数据的情况下的计算, 可以看出, 随着r , n 数据的增大, 计算变的愈加复杂, 且没有明显的规律可言. 而当r , n 未给出具体数据时, 用上述思路求解问题, 想要得到具体的表达式就更为困难.下面我们换个角度考虑该问题, 我们将电梯在第i 层是否停下来这一事件作为随机变量i Y , 1=i Y 表示停下来, 0=i Y 表示电梯未停, 其中i 取值为},,2,1{n ", 这样问题便转化为求i Y 的期望之和, 由题意容易得知电梯在任何楼层上是否停留这一概率完全相同即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧−−−=r r i n n n n Y )1(0)1(11 从而i Y 的期望即为r i nn Y E )1(1)(−−= 那么原问题的解即为]1(1[)(1r ni i n n n Y E −−⋅=∑= 显然要比刚才的方法来得简单, 而且得到了统一的表达式结果, 避免了用第一种方法在计算古典概率时对r , n 大小的具体讨论.我们用前面的三个例子验证上面的结论:例1中, 取2=r , 3=n 时, 得到的结果为35, 而 35])313(1[32=−−⋅ 例2中, 取3=r , 2=n 时, 得到的结果为47, 而 47])212(1[23=−−⋅例3中, 取3=r , 4=n 时, 得到的结果为1637, 而 1637])414(1[43=−−⋅ 通过电梯问题求解的讨论, 可以看出在解决带随机性现象的问题中, 方法的选取是非常重要的, 只有采取合适的方法才会事半功倍.§2钓鱼问题为了估计湖中鱼的数量, 先从湖中钓出r 条鱼做上记号后又放回湖中, 然后再从湖中钓出S 条鱼, 结果发现S 条鱼中有x 条鱼标有记号. 问应该如何估计湖中鱼的数量N ?分析与求解该问题就是要从第二次钓出的标有记号的鱼所占的比例估计出湖中鱼的数量. 首先我们假设放回湖中的鱼在湖中的分布是均匀的. 则第二次钓出的标有记号的鱼数X 是一个随机变量, X 服从超几何分布{}x s x r N r s NC C P X x C −−⋅== (*) 其中x 为整数, 且],min[)](,0max[s r x r N s ≤≤−−. 用),(N x L 表示(*)式的右端, 则取使),(N x L 达到极大值的N 作为N 的估计量. 直接对N 求导考察极值比较困难, 我们用比值法来研究),(N x L 的变化(,)(,)(,1)()()L x N N r N s A x N L x N N N r s x −−==⋅−−−− 22()()N r s N rs N r s N Nx−++=−++ (**) 从(**)式看出, 当且仅当xrs N <时, )1,(),(−>N x L N x L , 而当且仅当xrs N >时, )1,(),(−<N x L N x L . 因此),(N x L 在x rs 附近取得极大值, 于是N 的估计值N ˆ为][x rs 或[x rs +1, 取使得),(N x L 的值更大的一个即可.上面的求解方法实际上是运用了概率统计中的极大似然原理, 即现在这个事件发生了, 那么客观情况使得它最有可能发生.下面我们换个角度考虑上述问题, 既然假设放回湖中的鱼在湖中的分布是均匀的, 我们可以认为湖中整个鱼群中含带有记号的鱼群比例与湖中任意一部分鱼群中含带有记号的鱼群比例完全相同, 即sx N r = 从而srx N =, 取整即与上述分析所得的结果完全相同. 从这一问题, 我们可以学到估计类似问题的一种实际操作方法.§3 广告中的数学在我们的现实生活中, 广告无所不在.广告给商家带来了丰厚的利润, 广告中蕴藏着诸多学问.以房产销售广告为例, 房产开发商为了扩大销售, 提高销售量, 通常会印制精美的广告分发给大家.虽然买房人的买房行为是随机的, 他可能买房, 也可能暂时不买, 可能买这家开发商的房子, 也可能买另一家开发商的房子, 但与各开发商的广告投入有一定的关联.一般地, 随着广告费用的增加, 潜在的购买量会增加, 但市场的购买力是有一定限度的.表3.1给出了某开发商以往9次广告投入及预测的潜在购买力.表3.1 广告投入与潜在购买力统计( 单位: 百万元)广告投入0.2 0.4 0.5 0.52 0.56 0.65 0.67 0.69 1购买力10340 10580 10670 10690 10720 10780 10800 10810 10950下面从数学角度, 通过合理的假设为开发商制定合理的广告策略, 并给出单位面积成本700元, 售价为4000元条件下的广告方案.模型假设(1) 假设单位面积成本为1p 元, 售价为2p 元, 忽略其他费用, 需求量r 是随机变量, 其概率密度为()p r .(2) 假设广告投入为p 百万元, 潜在购买力是p 的函数记作()s p ,实际供应量为y .模型建立开发商制定策略的好坏主要由利润来确定, 好的策略应该获得好的利润(平均意义下), 为此, 必须计算平均销售量()E x .0()()()y y E x rp r dr yp r dr +∞=+∫∫上面右边第二项表示当需求量大于等于供应量时, 取需求量等于供应量.因此, 利润函数为21()()R y p E x p y p =−−利用0()1p r dr +∞=∫得到2120()()()()yR y p p y p p y r p r dr =−−−−∫ ( 3.1)上式中, 第一项表示已售房毛利润, 第二项为广告成本, 第三项为未售出房的损失.模型求解为了获得最大利润, 只需对(3.1)式求导并令其为零, 设()R y 获得最大值时y 的最优值为*y , 则2120()()()0y dR y p p p p r dr dy=−−=∫因此, *y 满足关系式*2102()y p p p r dr p −=∫ ( 3.2) 通过(3.2)式知道, 在广告投入一定的情况下, 可以求出最优的供应量, 但依赖于需求量的概率分布.为使问题更加明确, 增加如下假设:(3) 假设需求量r 服从[0,()]U s p 分布, 即10()()()0r s p s p p r ⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩其他 (3.3) 将(3.3)代人(3.2)得到212*()p p y s p p −= ( 3.4) 即最优的供应量等于毛利率与由广告费确定的潜在购买力的乘积.将( 3.4)式代入( 3.1)式, 得到最大利润为2212()(*)()2p p R y s p p p −=− ( 3.5) 对(3.5)式关于p 求导, 得驻点*p 满足的方程为22212'(*)()p s p p p =− ( 3.6) 因此, 只要知道了潜在购买力函数, 就可以给出最优的广告投入.下面根据开发商获得的相关数据, 来确定潜在购买力函数. 通过对表3.1数据分析, 得知其符合log istic 型曲线增长率, 经拟合得到52()10/(9)p s p e −=+ ( 3.7)记52221210()p l p p −=×− 将(3.7)式代入(3.6)式, 当1180l −>时, 求得*11ln(19ln 22p l l =−−−+ (3.8) 将120.0007,0.004p p ==代入(3.8)式得到*0.49p =(百万元).§4 报童的策略背景简介报童问题即单周期库存问题(Single-Period Problem), 是供应链管理中最重要的模型之一, 其历史可以追溯到1888年著名经济学家Edgeworth 应用它解决银行的现金流(cash-flow)问题, 1955年, Whitin 首次建立了受价格影响的报童问题模型. 目前, 报童问题在生产、服务、管理和金融等领域成功地取得了广泛的应用. 现在报童问题衍生出许多扩展问题.与众多扩展模型相比, 经典报童问题模型是最简单最基本的问题, 它可以描述为: 报童每天早晨以单位批发价b 从报社买进报纸, 然后以单位零售价a 出售, 晚上将没有卖掉的报纸当作废品以价格c (c b a >>)处理掉. 同时假设:(1) 报童拥有购买足够多报纸的资金;(2) 报纸过剩只能以低于零售价的价格v 处理;(3) 报纸供应不足, 会遭受缺货惩罚;(4) 不计其他费用(如交通费、摊位费等).报童应该如何确定订购量而获得最高的利润呢? 显然, 报童应该根据市场需求量来确定订购量, 而市场需求量是随机的. 假设报童通过经验已经掌握了市场需求量的随机规律, 我们就可以建立随机优化模型来求解报童问题了.报童每天清晨从报社购进报纸零售, 晚上将没有买掉的报纸退回. 每份报纸的购进价为元b, 零售价为a元, 退回价a−元, 退回一份报纸赔为c元,. 报童售出一份报纸赚bcb−元. 报童每天如果购进的报纸太少, 不够卖时会少赚钱, 如果购进的报纸太多, 卖不完时会赔钱. 试为报童筹划每天应如何确定购进的报纸数使得收益最大?模型一问题分析报童应该根据需求量确定购进量, 而需求量是随机的,所以这是一个风险决策问题. 假定报童已经通过自己每天的卖报经验或其它渠道掌握了需求量的分布规律, 需求量r 为一连续型随机变量, 密度函数为)(r f ,假设每天的购进量为n , 由于需求量r 是随机的, 可以小于n 、等于n 或大于n , 这就导致报童每天的收入也是随机的, 所以作为优化模型的目标函数, 不能是报童每天的收入函数, 而应该是他长期卖报的日平均收入. 从概率论大数定律的观点看这相当于报童每天收入的期望值, 以下简称它为平均利润.模型建立显然, 若n r >, 则以a 价售出r 份报纸, 以c 价售出n r −份报纸, 若n r ≤, 则全部n 以a 价售出, 故平均利润为 0()[()()()]()n F n a b r b c n r f r dr =−−−−∫()()n a b nf r dr +∞+−∫ 0()()()()na b n a c n r f r dr =−−−−∫0()()()()n dF n a b a c f r dr dn=−−−∫ 由一元函数极值存在的必要条件可知()0dF n dn=, 得 0()n a b f r dr a c−=−∫ 而22()()()0d F n a c f n dn=−−<. 从而知满足上式的n 可以使平均利润达到最大. 易知上式等价于()()n nf r dr a b b cf r dr +∞−=−∫∫ 上式左边是报童订购n 份报纸时, 不能将它卖完的概率与能将它卖完的概率之比, 右边则表示卖出一份报纸的盈利与退回一份报纸亏损之比, 该式表明最优购进量是使这两个比相等的购进量.实例: 如3.0,6.0,1===c b a , 需求量r 服从正态分布)10,100(2N , 则当报童的订报量n 满足0()43()n nf r dr a b b c f r dr +∞−==−∫∫或等价于 04()7n a b f r dr a c −==−∫ 不难计算得到102n =时长期平均收益最大. 若3.0,6.0,2.1===c b a 此时 02()3na b f r dr a c −==−∫, 104n =时长期平均收益最大. 若2.0,6.0,8.0===c b a 此时01()3n a b f r dr a c −==−∫,96n =时长期平均收益最大.再如, a b −=0.3, b c −=0.1, 需求量r 为服从[2000,4000]上均匀分布的连续型随机变量, 其密度函数为1200020004000()0x f r ≤≤⎧=⎨⎩其它 由0()n a b f r dr a c−=−∫知, 2000()n f r dr ∫a b a c −=−=0.30.30.1+=0.75, 于是, 有 n -2000=1500, 因此, 报童的最优策略是订购3500份.模型二(报童问题)报童每天要到邮局去订报, 出售一份报纸可获得利润()A a b =−元, 但如卖不出退回邮局, 每份报纸要损失()B b c =−元. 根据以往经验, 得知每天需求量为k 份的概率为k p . 问报童每天应订购多少份报纸, 才能使它获利的期望值最大.如果卖报童问题中的顾客每天需求量X 是一个离散型随机变量, 设报童每天订购的份数为n 份, 于是有()k P X k p ==, 记出售一份报纸可获得利润()A a b =−(元)退回邮局一份报纸要损失()B b c =−(元)则报童每天的利润()f X 可用下列公式来表示:()()An X n f X AX n X B X n≥⎧=⎨−−<⎩ 因此报童获利的期望值为:()C n =0(())()()k E f X f k P X k ∞===∑=10[()]n k k k k n Ak n k B p Anp −∞==−−+∑∑ (4.1)报童需要做出的决策: 确定一个订购数n , 使得(())E f X 最大. 于是所求模型为10max ()[()]n k k k k n C n Ak n k B p Anp −∞===−−+∑∑我们采用边际分析法来求解, 也即利用价格结构来检验和判断在什么情况下, 再多订一份报纸是合算的.假设报纸订购数取n 份是合算的, 现考察再多订一份报纸是否合算, 也就是考察第n +1件报纸的利润期望值. 第n +1份报纸售出时, 获利为A 元, 售不出去时获利为B −元. 因此, 此时多订一份报纸的利润期望值为:()(1)()Ap B p A B p B +−−=+−其中(1)p P X n =≥+. 所谓合算, 就是利润期望值大于零.故由()0A B p B +−>, 可解得售出概率p 应满足下述不等式B p A B>+ (4.2) 其中100(1)()1()1n n i i n i i p P X n P X i P X i p ∞=+===≥+===−==−∑∑∑.即001nn i i i i B A p p A B A B ==−>⇒<++∑∑ 于是, 报纸的最佳订购量*n 应满足:*()B P X n A B≥>+, (4.3) 其中B A B+称为临界值. 那么, 最好的n 应满足(1)(),(1)()c n c n c n c n −≤+≤即10n n i i i i A p p A B −==≤≤+∑∑ 例如, 已知某种报纸每天需求量N j 的概率分布如下: 表1 需求量N j 0 1 2 3 4 5 6 7 8 P (N j ) 0.05 0.10 0.100.250.200.150.050.05 0.05 每出售一份报纸, 可获利4角; 若当天卖不掉, 每份报纸将损失3角. 试问每日应进多少份报纸?因为我们引进了需求量随机变量X , 所以我们将表1作一点修改并就在表中进行计算, 如表2:表2n0 1 2 3 4 5 6 7 8P(X =n) 0.05 0.10 0.100.250.200.150.050.05 0.05 P(X≤n) 0.05 0.15 0.250.500.700.850.900.95 0.10 P(X≥n+1) 0.95 0.85 0.750.500.300.150.100.05 0.00现在本问题中, A=4, B=3,所以BA B+≈0.43, 在n=3时,P(X≥3+1)= 0.50满足式(3), 所以最佳订购量n*=4份.该模型也可以理解为单周期随机库存问题, 即假定在一个周期末库存的货物对下一个周期没有任何价值, 即模型适用于仅有一次机会存贮以供需求的产品如时装、新鲜食品、月饼等.§5 最佳订票问题一．问题提出在激烈的市场竞争中, 航空公司为争取更多的客源而开展的一个优质服务项目是预订票业务. 公司承诺, 预先订购机票的乘客如果未能按时前来登机, 可以乘坐下一班飞机或退票, 无需附加任何费用. 当然也可以订票时只订座, 登机时才付款, 这两种办法对于下面的讨论是等价的.设某种型号的飞机容量为n, 若公司限制预定n张机票, 那么, 由于总会有一些订了机票的乘客不按时来登机, 致使飞机因不满员飞行而利润降低, 甚至亏本, 如果不限制订票数量呢, 那么当持票按时前来登机的乘客超过飞机容量时, 必然会引起那些不能登机飞走的乘客（以下称被挤掉者）的抱怨. 公司不管以什么方式予以补救, 都会导致受到一定的经济损失, 如客源减少, 或挤到以后班机的乘客, 公司要无偿供应食突宿或者付给一定的赔偿金等. 这样, 综合考虑公司的经济利益, 必然存在一个恰当的订票数量和限额.假设飞机容量为300, 乘客准时到达机场而未乘上飞机的赔偿费是机票价格的%10, 飞行费用与飞机容量、机票价格成正比（由统计资料知, 比例系数为0.6, 乘客不按时前来登机的概率为0.03）, 请你:（1）建立一个数学模型, 给出衡量公司经济利益和社会声誉的指标, 对上述预定票业务确定最佳的预定票数量.（2）考虑不同客源的不同需要, 如商人喜欢上述这种无约束的预定票业务, 他们宁愿接受较高的票价; 而按时上下班的雇员或游客, 愿意以若不能按时前来登机, 则机票失效为代价, 换取较低额的票价. 公司为降低风险, 可以把后者作为基本客源. 根据这种实际情况, 制定更好的预订票策略.二.模型的假设及符号说明1、模型的假设①假设预订票的乘客是否按时前来登机是随机的.②假设已预订票的乘客不能前来登机的乘客数是一个随机变量.③假设飞机的飞行费用与乘客的多少无关.2、符号说明n: 飞机的座位数, 即飞机的容量;g: 机票的价格;f: 飞行的费用;b: 乘客准时到达机场而未乘上飞机的赔偿费;m: 售出的机票数;k: 已预订票的乘客不能前来登机乘客数, 即迟到的乘客数, 它是一个随机变量;p: 已预订票的m个乘客中有k个乘客不能按时前k来登机的概率;p: 每位乘客迟到的概率;()m P j : 已预订票前来登机的乘客中至少挤掉j 人的概率, 即社会声誉指标;S : 公司的利润;ES : 公司的平均利润.三.问题的分析及数学模型 1、问题的分析通过上面引进的符号易知, 赔偿费g b 1.0=, 习行费用ng f 6.0=, 每位乘客迟到概率03.0=p , 已预订票的m 个乘客中, 恰有k 个乘客不能按时前来登机, 即迟到的乘客数k 服从二项分布()p m B ,, 此时,(1)(0,1,2,,)k km k k m p C p p k m −=−="当n k m ≤−时, 说明k m −个乘客全部登机, 此时利润f g k m S −−=)(当n k m >−时, 说明有n 个乘客登机, 有n k m −−个乘客没有登上飞机, 即被挤掉了, 此时利润b n k m f ng S )(−−−−=根据以上的分析, 利润S 可表示为:⎩⎨⎧−<>−−−−−−≥≤−−−=)()()()(n m k n k m bn k m f ng n m k n k m fg k m S 迟到的乘客数1,,2,1,0−−=n m k "时, 说明有n k m −−个乘客被挤掉了;迟到的乘客数m n m n m k ,,1,"+−−=时, 说明已来的k m −个乘客全部登机了.于是平均利润∑∑−=−−=−−+−−−−=mnm k kn m k kpf g k m pb n k m f ng ES ])[())((1因为∑∑∑∑∑∑−−=−−=−−==−−=−=+−−−−=−−−−=−−101110)()()()()1)((])[(n m k kn m k k n m k km k kn m k kmnm k kkpgk gE p f mg f mg kp kp g p f mg pf g k m所以111(())()()()m n kk m n m n k kk k ES ng f m k n b pmg f mg f p gE k gkp−−=−−−−===−−−−+−−−−+∑∑∑1010(())(()())(())()()m n kk m n kk m E k g f ng f m k n b mg f gk pm E k g f b g m k n p −−=−−==−−+−−−−−−+=−−−+−−∑∑由于k m k kmk p p C p p n B k −−=)1(),,(~, 可知, 随机变量k的数学期望mp k E =)(, 此时,∑−−=−−−−+−−−=10)1()()()1(n m k k m k k mp p Cn k m g b f mg p ES2、数学模型通过以上对问题的分析, 可以在一定的社会声誉指标()m P j 范围内, 寻求合适的m , 根据Ng f 6.0=的关系, 使得目标函数f ES 达到最大, 即 1011max [(1)(1)()(1)]10.61[0.97 1.1(300)(1)]1180m n k km k m k m n k km k m k ES b p m m k n C p p f N g m m k C p p −−−=−−−==−−+−−−−=−−−−−∑∑下面考虑社会声誉指标.由于j k n m ++=, 所以j n m k −−=, 即当被挤掉的乘客数为j 时, 等价的说法是恰有j n m −−个迟到的乘客.公司希望被挤掉的乘客人数不要太多, 被挤掉的概率不要太大, 可用至少挤掉j 人的概率作为声誉指标, 相应地k 的取值范围为j n m k −−=,,2,1,0", 社会声誉指标()(1)m n jk k m k j m k P m C p p −−−==−∑四、模型求解为了对模型进行求解, 可以分别给定m , 比如,350,,306,305"=m , 计算f ES /, 同时, 给定j , 比如取5=j , 计算社会声誉指标()m P j , 从中选取使f ES /最大, 且社会声誉指标()m P j 小于等于某个α（比如取05.0=α）最佳订票数m .下面给出MATLAB 计算程序.%飞机最佳订票策略ch43 %文件名: ch43.m%m表示售出的票数; Es表示平均利润; p表示声誉指标; for m=305: 325sm=0;p=0;for k=0;m-305pp=(prod(m-k+1:m)/prod(1:k))*0.03^k*0.97^(m-k);p=p+pp;sm=sm+(m-k-300)*pp/prod(1:k);endEs=(1/180)*[0.97*m-1.1*sm]-1;mEspend执行后可输出以下结果:m ES P305 0.6436 9.2338e-005306 0.6490 9.3723e-004307 0.6543 0.0048308 0.6596 0.0167309 0.6649 0.0442310 0.6703 0.0952311 0.6756 0.1742312 0.6810 0.2796313 0.6864 0.4028314 0.6917 0.5314315 0.6971 0.6525316 0.7024 0.7566317 0.7078 0.8388318 0.7132 0.8890319 0.7185 0.9399320 0.7239 0.9661321 0.7293 0.9818322 0.7347 0.9907323 0.7400 0.9954324 0.7454 0.9979325 0.7508 0.9990从计算结果易见, 当m=309时, 社会声誉指标()53090.04420.05,p =<当m =310时, 社会声誉指标()53100.09520.05,p =>所以为了使尽/ES f 量大, 且要满足社会声誉指标()50.05,p m <则最佳订票数可取m =309.。
随机模型
G(n) = ∑[(a − b)r − (b − c)(n − r)] f (r ) + ∑ (a − b)nf (r)
r =0 r =n+1
n
∞
求 n 使 G(n) 最大
求解
n
将r视为连续变量 视为连续变量
f (r ) ⇒ p (r ) (概率密度）
n
= −(b − c) ∫ p(r )dr + (a − b) ∫ p(r )dr
0 n
n
∞
dG =0 dn
∫ p ( r ) dr = a − b b − c ∫ p ( r ) dr
0 ∞ n
n
结果解释
n
∫ p ( r ) dr = a − b b − c ∫ p ( r ) dr
0 ∞ n
n
J(u)在u+x=S处达到最小 在 处达到最小 J(u)与I(x)相似 与 相似 I(x)在x=S处达到最小值 在 处达到最小值I(S) 处达到最小值 I(x)图形 图形 I(S)
I(x) I(S)+c0 I(S) 0 s
S
x
I ( x) = c0 + I (S ) 的最小正根 s
排队等候服务现象：在车站售票处乘客依次购买车票； 排队等候服务现象：在车站售票处乘客依次购买车票；医院里病人 按挂号顺序等候就珍；超级市场售款台前顾客排队验货付款等。 按挂号顺序等候就珍；超级市场售款台前顾客排队验货付款等。在 服务过程中，把乘客、病人等称为“顾客” 售票员、 服务过程中，把乘客、病人等称为“顾客”，售票员、把医生等称 服务员” 顾客到达的时间和服务员服务时间都是随机的。 为“服务员”。顾客到达的时间和服务员服务时间都是随机的。 收款台前的队伍问题——随机服务 随机服务 收款台前的队伍问题
04第四章 随机模型
为了得到简明便于解释的结果，需对(3-4) 式进行简化。 因为通常n》m，n》1，取(3-4)式右端展开级 数的前两项
P2 1 (1
最后得到
mi
n
)
mi
n
(3 7)
mi (n i )
n
(3 8)
22
1 P2 n mi (3 9) (n i ) P mi(n i ) (3-8)式给出了健康人每天平均被感染的人数μ 与n.i.m.λ的关系； (3-9)式 可看作对平均值μ的相对误差的度量。 模型解释 mi (n i ) (3 8) 由(3-8)式可以看出： n 1)健康人每天平均被感染的人数μ，与人群中每天 平均接触的人数m及接触时被感染的概率λ成正比，并 随着人群总数n增加而增加，这都是符合常识的。 n 2)当i很小或很大（接近n）时μ都很小，而当 i 时 2 μ最大。（这结果合理吗？如何解释？）
i
m
n 1
)
i
(3 4)
健康人被感染的人数也服从二项分布，其平均 值为μ，即健康人每天平均被感染人数，利用假设 (1)显然
sP2 (n i ) P 2
(3 5)
21
均方差σ为
sP2 (1 P2 ) P2 (1 P2 )(n i)
其中
(3 6)
P2 由(3-4)式给出。
n
13
(b c) P (r )dr (a b) P (r )dr
0 n
n
dG 令 0得 dn来自 nn0
P (r )dr
a b P (r )dr b c
(2 3)
《随机数学模型》PPT课件
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2
分析
解决这个问题的关键在于正确估计零件寿命。 由于零件在制造及运行过程中受到多种因素的 影响，零件的寿命是一随机变量，可以通过试 验分析及理论分析来确定零件的寿命分布及其 他数字特征。一般来说，不同的零件寿命分布 不一样，预防性更换的策略也不一样。
设 k 个 总 体 G1, G2 ,,G k 相 应 的 p 维 样 本 空 间 为
R1, R2 ,, Rk ，即为一个划分，故我们可以简记一个判别规 则为 R (R1, R2 ,, Rk ) 。从描述平均损失的角度出发，如果 原来属于总体 Gi 且分布密度为 fi (x) 的样品，正好取值落入了 R j ，我们就将会错判为属于 G j 。
第9章 随机数学模型
我们在处理实际问题时，往往会遇到 许多不确定的因素，引入随机变量描述这 种不确定的行为，通常是对实际问题最恰 当的描述。由此建立的数学模型称为随机 数学模型。
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1
9.3零件的预防性更换
❖ 运行中的零件会发生故障或损坏，如果等到 损坏时才更换零件可能会带来较大的经济损 失，比如产生废品等。
❖ 求平均期望损失的最小值
c(T)0h(T)r(T)TR (t)dtF(T) c2
0
c1c2
完整版课件ppt
5
T
h(T)r(T) R (t)dtF(T)
c2
0
c1c2
h (0 ) 0 ,h ( ) r ( )E X 1 ,d h d rT R (t)d t
d Td T0
❖ 定存在理唯：当一r的(T有)是限单的调最增小函值数点，（且正r(值)ETX*）c1，c1c2且时最， 小值为 。 c(T)(c1c2)r(T)
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即得一名健康人与一名指定病人接触并被感染的概率为
p1
p
m
n 1
。
问题2：传染病的传播模型
(2)模型的建立与求解
为了求出一名健康人每天被感染为病人的
概率 p2 ，利用对立事件概率的计算方法:
p2
1 (1
p1)i
1
(1
m )i 。
n 1
健康人被感染为病人的人数也服从二项分布，
其平均值 sp2 (n i) p2 ，
n (a b)nf (r)dr
问题3 报亭的进报策略模型
均方差为 sp2 (1 p2 ) (n i) p2(1 p2) 。
问题2：传染病的传播模型
(2)模型的建立与求解
为了简便，将上式右端作 Taylor 展开，并取 前两项：
p2
1
(1
mi
n 1
) mi mi , (n
n 1 n
m, n
1)
最后得到： mi(n i) ，
n
1 p2 n mi 。 (n i) p2 mi(n i)
（优选）数学建模方法及其应用 中的随机模型讲解部分第章随机 模型
1、初等概率模型
问题1：有趣的蒙特莫特模型
假设某班共有 n 个同学参加活动，每个同学都
随机地抽取一份礼品， Ai (i 1, 2, , n) 表示第 i 个
同学抽取到自己所带的礼品。
n 个同学中至少有一人抽取到自己所带的礼品
为 A1 A2
具有相同概率 p ，每人每天平均与 m 人接触。
当一个健康人与病人接触时，这个健康人
被感染的概率为 。
问题2：传染病的传播模型
(2)模型的建立与求解
由于任何两人接触的概率为 p ，且两两接触的独立 性，一名健康人每天接触的人数服从二项分布，其平均值 为 m 。利用二项分布的基本性质，并注意到人群总数为 n ， 则有 m (n 1) p ，于是， p m 。
这个结果合理吗？
为了直观，给出几组检验数据的计算结果。
问题2：传染病的传播模型
(3)模型的检验
不妨设 m 20, 0.1，对于不同的i ，计算 和 。
从计算结果可以看出：随着人数 i 的增加，平均感
染率 随之增加，而相对误差 随之减少；
当病人的比例 i 一定，总人口数 n 变大时，相对误差 n
问题2：传染病的传播模型
(3)模型的检验
健康人群每天平均被感染的人数 与人群中每人 每天平均接触的人数 m 以及接触时被感染的概率 成
正比，并且随着人群总数 n 的增加而增加。
平均感染率 与病人数 i 的关系，当 i 很小或很大 （接近 n ）时， 值都很小，而当 i n 时， 值最大。
2
如果通过实际数据或经验掌握了这些随机规律， 那么怎样估计平均每天有多少健康人被感染，这种 估计的准确性有多大？
问题2：传染病的传播模型
(1)问题的分析与假设
假设将人群分为病人和健康人两类，病人
数和健康人数分别记为 i 和 s ，总人数为 n ，短 时间内不变，即 i s n 。
人群中任何两人的接触是相互独立的，且
因为需求量是随机的，致使报亭每天的销售收 入也是随机的。所以，不能以报亭每天的收入数作 为优化模型的目标函数，而应该是以报亭的长期（ 几个月，或一年）卖报的日平均收入最大为目标函 数。
由概率论的知识，这相当于报亭每天销售收入 的期望值，以下简称平均收入。
设每天报纸的需求量为 r 份的概率是 p(r) （r=0，1，2，… ），报亭每天购进 n 份报纸的 平均收入为 G(n)元。
问题3 报亭的进报策略模型
(3)模型的建立与求解
问题为在已知 p(r) 和 a,b, c ，求进报数量 n 使 G(n) 有最大值。
通常需求量 r 的取值和购进量 n 都比较大，将 r
视为连续变量，这时概率 p(r) 转化为概率密度函数
f (r) ，则
G(n)
n
0
(a
b)r
(b
c)(n
r)f
(r)dr
n n 1
1 1 1 (1)n1 1
2! 3!
n!
当充分大,即人数较多时,至少有1人抽取到自己所带礼品
的概率为
n
P( ) 1 e1 0.63212
i 1
1、初等概率模型
问题2：传染病的传播模型
现在的问题：
对某种传染病而言，人群中有病人（带菌者）和 健康人（易感染者），任何两人之间的接触是随机 的，当健康人与病人接触时健康人是否被感染也是 随机的.
1 1 , (1 i n n 1
j
n) 。
类似地， P( Ai Aj Ak )
1 1 1 , (1 i n n 1 n 2
j
k
n) ，
P( A1 A2
11
An )
n
n 1
1
n
1、初等概率模型
问题1：有趣的蒙特莫特模型
由概率的加法公式与乘法公式，则 n 个同学中至少
有一个抽取到自己所带礼品的概率为
n
n
P( Ai ) P(Ai ) P(Ai Aj )
P( Ai Aj Ak ) (1)n1 P( A1A2 An )
i 1
i 1
1i jn
1i jk n
C C C 1 1 2 1 1 3 1 1 1 (1)n1 1 1 1
n n n n n 1 n n n 1 n 2
也随之减少。
问题3：售报厅的进报策略模型
(1)问题的提出
报纸每份购进价为 b 元，零售价为 a 元，退回价为 c 元，且 a b c 。
则报亭售出一份赚 a b 元，退回一份 赔 b c 元。报亭应该如何确定每天购进
报纸的数量，以获得最多的收入？
问题3 报亭的进报策略模型
(2) 问题的分析
问题3 报亭的进报策略模型
(3)模型的建立与求解
根据报亭每天的需求量（即销售量）的不确定性。
如果某天的需求量 r n ，则售出 r 份，退回 n r 份；
如果某天的需求量 r n ，则 n 份将全部售出。
考虑到该报亭需求量为 r 的概率是 p(r) ，平均收入
n
G(n) [(a b)r (b c)(n r)] p(r) r 0 (a b)np(r) r n1
n
An ，简记为 Ai 。 i 1
n
要解决的问题是求事件的概率 P( Ai ) 。 i 1
1、初等概率模型
问题1：有趣的蒙特莫特模型
事实上,第 i 个同学抽取到自己所带礼品的概率为
P(
Ai
)
1 n
,
(i
1,
2,
, n) 。
第 i 和第 j 个同学同时抽取到自己所带礼品的概率为
P( Ai Aj )