费马点问题(含答案)

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2020年九年级数学中考几何探究型问题：线段最值问题——“费马点”问题(包含答案)

几何探究型问题(针对第25题)线段最值问题“费马点”问题【问题背景】“费马点”——就是到三角形三个顶点的距离之和最小的点．“费马点”问题在中考考查时主要隐藏在求PA＋PB＋PC的最小值问题，通常将某三角形绕点旋转一定的角度，从而将三条线段转化在同一条直线上，利用两点之间线段最短解决问题．【模型分析】对于一个各角不超过120°的三角形，“费马点”是对各边的张角都是120°的点，对于有一个角超过120°的三角形，费马点就是这个内角的顶点．费马点P使它到△ABC三个顶点的距离之和PA＋PB＋PC最小，这就是所谓的“费马”问题．如图，将△APC绕点A逆时针旋转60°到△AP′C′，则可以构造出等边三角形APP′，从而得到AP＝PP′，CP＝C′P′，所以将PA＋PB＋PC的值转化为PP′＋PB＋P′C′的值，则线段BC′的长即为所求的最小值．例题1．如图，已知点P为等边三角形ABC外接圆的劣弧BC上任意一点，求证：PB＋PC＝PA．证明：如答图，在P A上截取PM＝PC，连接CM.∵△ABC 是等边三角形，∴∠ABC ＝∠ACB ＝60°，BC ＝AC ．∵∠ABC ＝∠APC ，∴∠MPC ＝60°，∴△MPC 是等边三角形，∴∠MCP ＝60°，MC ＝PC ，∴∠ACM ＝∠BCP .在△BPC 和△AMC 中，⎩⎪⎨⎪⎧BC ＝AC ，∠BCP ＝∠ACM ，PC ＝MC ，∴△BPC ≌△AMC (SAS)，∴BP ＝AM ，∴PB ＋PC ＝AM ＋PM ＝P A ．2．已知三个村庄A ，B ，C 构成了如图所示的△ABC(其中∠A ，∠B ，∠C 均小于120°)，现选取一点P 作为打水井，使水井P 到三个村庄A ，B ，C 所铺设的输水管总长度最小．求输水管总长度的最小值．解：如答图，以BC 为边在△ABC 的外部作等边三角形BCD ，连接AD ．∴AD 的长就是△ABC 的费马距离．易得∠ABD ＝90°，∴AD ＝AB 2＋BD 2＝5(km)．答：输水管总长度的最小值为5 km.练习(2019·陕师大附中六模)问题提出(1)如图1，在△ABC 中，BC ＝2，将△ABC 绕点B 顺时针旋转60°得到△A ′BC ′，则CC ′＝______.【解答】由旋转的性质可知∠CBC ′＝60°，BC ′＝BC ，则∠△BCC ′是等边三角形，故CC ′＝BC ＝2.问题探究(2)如图2，在△ABC中，AB＝BC＝3，∠ABC＝30°，点P为△ABC内一点，连接PA，PB，PC，求PA＋PB＋PC的最小值，并说明理由．解题思路将△ABP绕点B逆时针旋转60°得到△EBF，连接PF，EC．易证PA＋PB＋PC＝EF＋PF＋PC；由PC＋PF＋EF≥EC，推出当点P，F在直线EC上时，PA＋PB＋PC的值最小，即为EC的长，求出EC的长即可解决问题．【解答】如答图1，将△ABP绕点B逆时针旋转60°得到△EBF，连接PF，EC．由旋转的性质可知△PBF是等边三角形，∴PB＝PF.∵P A＝EF，∴P A＋PB＋PC＝EF＋PF＋PC．∵PC＋PF＋EF≥EC，∴当点P，F在直线EC上时，P A＋PB＋PC的值最小，易得BC＝BE＝BA＝3，∠CBE＝90°，∴EC＝2BC＝32，∴P A＋PB＋PC的最小值为3 2.问题解决(3)如图3，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝6，AD＝4，∠ABC＝∠BCD＝60°.在四边形ABCD内部有一点P，满足∠APD＝120°，连接BP，CP，点Q为△BPC内的任意一点，是否存在一点P和一点Q，使得PQ＋BQ＋CQ有最小值？若存在，请求出这个最小值；若不存在，请说明理由．解题思路将△PBQ绕点B逆时针旋转60°得到△EBG，则PQ＝EG，△BQG是等边三角形，易知PQ＋BQ＋CQ＝EG＋GQ＋QC≥EC，推出当EC取得最小值时，PQ ＋BQ ＋CQ 的值最小．延长BA 交CD 的延长线于点S ，作△ADS 的外接圆⊙O ，将线段BO ，BP 绕点B 逆时针旋转60°得到线段BO ′，BE ，连接EO ′，OB ，OP .易证△BEO ′≌△BPO(SAS)，推出EO ′＝OP ＝433，故点E 在以点O ′为圆心，433为半径的圆上，则当点E 在线段CO ′上时，EC 的值最小，最小值为CO ′－EO ′的长．【解答】如答图2，将△PBQ 绕点B 逆时针旋转60°得到△EBG ，连接GQ ，EC ，则PQ ＝EG ，△BQG 是等边三角形，∴BQ ＝QG ，∴PQ ＋BQ ＋CQ ＝EG ＋GQ ＋QC ≥EC ，∴当EC 取得最小值时，PQ ＋BQ ＋CQ 的值最小．如答图3，延长BA 交CD 的延长线于点S ，作△ADS 的外接圆⊙O ，连接OB ．将线段BO ，BP 绕点B 逆时针旋转60°得到线段BO ′，BE ，连接EO ′，OP.易证△BEO ′≌△BPO (SAS)，∴EO ′＝PO .∵∠APD ＋∠ASD ＝180°，∴A ，P ，D ，S 四点共圆，∴OP ＝433，∴EO ′＝433， ∴点E 在以点O ′为圆心，433为半径的圆上， ∴当点E 在线段CO ′上时，EC 的值最小，最小值为CO ′－EO ′的长，连接OO ′，延长OO ′到点R ，使得O ′R ＝OO ′，连接BR ，则∠OBR ＝90°，作RH ⊥CB 交CB 的延长线于点H ，O ′T ⊥CH 于点T ，OM ⊥BC 于点M .易知在Rt △OBM 中，BM ＝5，OM ＝1133， ∴OB ＝OM 2＋BM 2＝1433， ∴BR ＝3OB ＝14.易知△BHR ∽△OMB ，∴RH BM ＝BR OB，∴RH ＝5 3.∵HR ∥O ′T ∥OM ，OO ′＝RO ′，∴TM ＝TH ，∴O ′T ＝RH ＋OM 2＝1333，∴BT ＝O ′B 2－O ′T 2＝3， ∴CO ′＝CT 2＋O ′T 2＝2633， ∴CE ＝CO ′－EO ′＝2633－433＝2233， ∴PQ ＋BQ ＋CQ 的最小值为2233.类型三 “阿氏圆”问题【问题背景】“PA ＋k ·PB ”型的最值问题是近几年中考考查的热点，更是一个难点．当k 的值为1时，即可转化为“PA ＋PB ”之和最短问题，就可用我们常见的“将军饮马”问题模型来处理，即可以转化为轴对称问题来处理．当k 取任意不为1的正数时，此类问题的处理通常以动点P 的运动轨迹不同来分类，一般分为两类研究，即点P 在直线上运动和点P 在圆上运动．其中点P 在圆周上运动的类型称之为“阿氏圆”问题．【模型分析】如图1，⊙O 的半径为r ，点A ，B 都在⊙O 外，P 为⊙O 上一动点，已知r ＝k ·OB ，连接PA ，PB ，则当PA ＋k ·PB 的值最小时，点P 的位置如何确定？如图2，在线段OB 上截取OC ，使OC ＝k ·r ，则可证明△BPO 与△PCO 相似，即k ·PB ＝PC ．故求PA ＋k ·PB 的最小值可以转化为PA ＋PC 的最小值，其中A ，C 为定点，P 为动点，当点P ，A ，C 共线时，PA ＋PC 的值最小，如图3.“阿氏圆”模型解题策略：第一步：连接动点与圆心O(一般将含有k 的线段两端点分别与圆心O 相连)，即连接OB ，OP ；第二步：计算线段OP 与OB 及OP 与OA 的线段比，找到线段比为k 的情况，如例子中的OP OB ＝k ；第三步：在OB 上取点C ，使得OC OP ＝OP OB ；第四步：连接AC ，与⊙O 的交点即为点P .例题如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CB ＝4，CA ＝6，⊙C 的半径为2，P 为圆上一动点，连接AP ，BP ，求AP ＋12BP 的最小值．解：如答图，连接CP ，在CB 上取点D ，使CD ＝1，连接AD ，PD ．∵CD CP ＝CP BC ＝12，∠PCD ＝∠BCD ， ∴△PCD ∽△BCP ，∴PD BP ＝12， ∴PD ＝12BP ，∴AP ＋12BP ＝AP ＋PD ， ∴要使AP ＋12BP 最小，则AP ＋PD 最小，当点A ，P ，D 在同一条直线时，AP ＋PD 最小，即AP ＋12BP 的最小值为AD 的长．在Rt △ACD 中，∵CD ＝1，AC ＝6，∴AD ＝AC 2＋CD 2＝37，∴AP ＋12BP 的最小值为37. 练习问题提出(1)如图1，已知线段AB 和BC ，AB ＝2，BC ＝5，则线段AC 的最小值为______.解题思路当点A 在线段BC 上时，线段AC 有最小值．【解答】∵当点A 在线段BC 上时，线段AC 有最小值，∴线段AC 的最小值为5－2＝3.问题探究(2)如图2，已知在扇形COD 中，∠COD ＝90°，DO ＝CO ＝6，A 是OC的中点，延长OC 到点F ，使CF ＝OC ，P 是CD ︵上的动点，点B 是OD 上的一点，BD ＝1.①求证：△OAP ∽△OPF .解题思路由题意可得OA OP ＝OP OF ＝12，由相似三角形的判定可得△OAP ∽△OPF . 【解答】∵A 是OC 的中点，DO ＝CO ＝6＝OP ，∴OA OP ＝12. ∵CF ＝OC ，∴OF ＝2OC ＝2OP ，∴OP OF ＝12， ∴OA OP ＝OP OF，且∠AOP ＝∠POF ，∴△OAP ∽△OPF .②求BP ＋2AP 的最小值．解题思路由相似三角形的性质可得PF ＝2AP ，可得BP ＋2AP ＝BP ＋PF ，即当F ，P ，B 三点共线时，BP ＋2AP 有最小值，最小值为BF 的长，由勾股定理即可求解．【解答】∵△OAP ∽△OPF ，∴AP PF ＝OP OF ＝12， ∴PF ＝2AP .∵BP ＋2AP ＝BP ＋PF ，∴当F ，P ，B 三点共线时，BP ＋2AP 有最小值，最小值为BF 的长．∵DO ＝CO ＝6，BD ＝1，∴BO ＝5，OF ＝12，∴BF ＝OB 2＋OF 2＝13.问题解决(3)如图3，有一个形状为四边形ABCD 的人工湖，BC ＝9千米，CD ＝4千米，∠BCD ＝150°，现计划在湖中选取一处建造一座假山P ，且BP ＝3千米，为方便游客观光，从C ，D 分别建小桥PD ，PC ．已知建桥PD 每千米的造价是3万元，建桥PC 每千米的造价是1万元，建桥PD 和PC 的总造价是否存在最小值？若存在，请确定点P 的位置，并求出总造价的最小值，若不存在，请说明理由．(桥的宽度忽略不计)解题思路以点B 为圆心，3为半径作圆交AB 于点E ，交BC 于点F ，点P 为EF ︵上一点，连接BP ，PC ，PD ，在BC 上截取BM ＝1，连接MD ，PM ，过点D 作DG ⊥CB ，可证△BPM ∽△BCP ，可得PC ＝3PM ，当点P 在线段MD 上时，建桥PD 和PC 的总造价有最小值，由勾股定理可求MD 的值，即可求出建桥PD 和PC 的总造价的最小值．【解答】存在．如答图，以点B 为圆心，3为半径作圆交AB 于点E ，交BC 于点F ，P 为EF ︵上一点，连接BP ，PC ，PD ，在BC 上截取BM ＝1，连接MD ，PM ，过点D 作DG ⊥BC 交BC 的延长线于点G .∵BM BP ＝13＝BP BC，且∠PBM ＝∠CBP ， ∴△BPM ∽△BCP ，∴PM CP ＝BM BP ＝13，∴PC ＝3PM . ∵建桥PD 和PC 的总造价为3PD ＋PC ＝3PD ＋3PM ＝3(PD ＋PM )，∴当点P 在线段MD 上时，建桥PD 和PC 的总造价有最小值．∵∠BCD ＝150°，∴∠DCG ＝30°.∵DG ⊥BC ，∴DG ＝12DC ＝23(千米)，CG ＝3DG ＝6(千米)， ∴MG ＝BC ＋CG －BM ＝9＋6－1＝14(千米)，∴MD ＝DG 2＋MG 2＝413(千米)，∴建桥PD 和PC 的总造价的最小值为3×413＝1213万元．作业5．(2019·交大附中三模)问题提出(1)如图1，点M ，N 是直线l 外两点，在直线l 上找一点K ，使得MK ＋NK 最小．问题探究(2)如图2，在等边三角形ABC 内有一点P ，且P A ＝3，PB ＝4，PC ＝5，求∠APB 的度数．问题解决(3)如图3，矩形ABCD是某公园的平面图，AB＝30 3 米，BC＝60米，现需要在对角线BD上修一凉亭E，使得到公园出口A，B，C的距离之和最小．问：是否存在这样的点E？若存在，请画出点E的位置，并求出EA＋EB＋EC的最小值；若不存在，请说明理由．解：(1)如答图1，连接MN，与直线l交于点K，点K即为所求．(2)如答图2，把△APB绕点A逆时针旋转60°得到△AP′C，连接PP′.由旋转的性质，得P′A＝P A＝3，P′C＝PB＝4，∠P AP′＝60°，∠AP′C＝∠APB，∴△APP′是等边三角形，∴PP′＝P A＝3，∠AP′P＝60°.∵PP′2＋P′C2＝32＋42＝25，PC2＝52＝25，∴PP′2＋P′C2＝PC2，∴△PP′C为直角三角形，且∠PP′C＝90°，∴∠AP′C＝∠AP′P＋∠PP′C＝60°＋90°＝150°，∴∠APB＝∠AP′C＝150°.(3)存在．如答图3，把△ABE绕点B逆时针旋转60°得到△A′BE′，连接EE′.答图由旋转的性质，得A′B＝AB＝30 3 米，BE′＝BE，A′E′＝AE，∠E′BE＝60°，∠A′BA＝60°，∴△E′BE是等边三角形，∴BE＝EE′，∴EA ＋EB ＋EC ＝A ′E ′＋EE ′＋EC ．根据两点之间线段最短，可知当EA ＋EB ＋EC ＝A ′C 时最短，连接A ′C ，与BD 的交点E 2即为所求，此时EA ＋EB ＋EC 最短，最短距离为A ′C 的长度．过点A ′作A ′G ⊥CB 交CB 的延长线于点G . ∵∠A ′BG ＝90°－∠A ′BA ＝90°－60°＝30°， A ′G ＝12A ′B ＝12AB ＝12×303＝153(米)，∴GB ＝3A ′G ＝3×153＝45(米)， ∴GC ＝GB ＋BC ＝45＋60＝105(米)．在Rt △A ′GC 中，A ′C ＝A ′G 2＋GC 2＝(153)2＋1052＝3013(米)，因此EA ＋EB ＋EC 的最小值为3013 米． 6．问题提出(1)如图1，已知△OAB 中，OB ＝3，将△OAB 绕点O 逆时针旋转90°得△OA ′B ′，连接BB ′，则BB ′＝问题探究(2)如图2，已知△ABC 是边长为43的等边三角形，以BC 为边向外作等边三角形BCD ，P 为△ABC 内一点，将线段CP 绕点C 逆时针旋转60°，点P 的对应点为点Q .①求证：△DCQ ≌△BCP . ②求P A ＋PB ＋PC 的最小值．问题解决(3)如图3，某货运场为一个矩形场地ABCD ，其中AB ＝500米，AD ＝800米，顶点A ，D 为两个出口，现在想在货运广场内建一个货物堆放平台P ，在BC 边上(含B ，C 两点)开一个货物入口M ，并修建三条专用车道P A ，PD ，PM .若修建每米专用车道的费用为10 000元，当M ，P 建在何处时，修建专用车道的费用最少？最少费用为多少？(结果保留根号)解：(1)由旋转的性质，得∠BOB ′＝90°，OB ＝OB ′＝3，根据勾股定理，得BB ′＝3 2. (2)①证明：∵△BDC 是等边三角形， ∴CD ＝CB ，∠DCB ＝60°.由旋转的性质，得∠PCQ ＝60°，PC ＝QC ， ∴∠DCQ ＝∠BCP .在△DCQ 和△BCP 中，⎩⎪⎨⎪⎧CD ＝CB ，∠DCQ ＝∠BCP ，CQ ＝CP ，∴△DCQ ≌△BCP (SAS)． ②如答图1，连接AD ，PQ . ∵PC ＝CQ ，∠PCQ ＝60°，∴△CPQ 是等边三角形，∴PQ ＝PC ，由①知DQ ＝PB ，∴P A ＋PB ＋PC ＝P A ＋QD ＋PQ ，由两点之间线段最短，得P A ＋QD ＋PQ ≥AD ， ∴P A ＋PB ＋PC ≥AD ，∴当点A ，P ，Q ，D 在同一条直线上时，P A ＋PB ＋PC 取得最小值，即为AD 的长，过点D 作DE ⊥AC ，交AC 的延长线于点E . ∵△ABC 是边长为43的等边三角形， ∴CB ＝AC ＝43，∠BCA ＝60°， ∴CD ＝CB ＝43，∠DCE ＝60°， ∴DE ＝6，∠DAE ＝∠ADC ＝30°， ∴AD ＝12，即P A ＋PB ＋PC 的最小值为12.答图(3)如答图2，将△ADP 绕点A 逆时针旋转60°，得△AD ′P ′.由(2)知，当点M ，P ，P ′，D ′在同一条直线上时，P A ＋PM ＋PD 最小，最小值为D ′M 的长．∵M 在BC 上，∴当D ′M ⊥BC 时，D ′M 取得最小值．设D ′M 交AD 于点E ，连接DD ′，AM ，DM . 易知△ADD ′是等边三角形，∴EM ＝AB ＝500米， ∴BM ＝400米，PM ＝EM －PE ＝(500－40033)米，∴D ′E ＝32AD ＝4003(米)，∴D ′M ＝(4003＋500)米， ∴最少费用为10 000×(4003＋500)＝ 1 000 000(43＋5)元．∴当M 建在BC 的中点(BM ＝400米)处，点P 在过M 且垂直于BC 的直线上，且在M上方(500－40033)米处时，修建专用车道的费用最少，最少费用为1 000 000(43＋5)元．类型三 “阿氏圆”问题7．(2018·西工大附中三模) 问题提出(1)如图1，在△ABC 中，AB ＝AC ，BD 是AC 边的中线，请用尺规作图作出AB 边的中线CE ，并证明BD ＝CE ；问题探究(2)如图2，已知点P 是边长为6的正方形ABCD 内部一动点，P A ＝3，求PC ＋12PD 的最小值；问题解决(3)如图3，在矩形ABCD 中，AB ＝18，BC ＝25，点M 是矩形内部一动点，MA ＝15，当MC ＋35MD 最小时，画出点M 的位置，并求出MC ＋35MD 的最小值．解：(1)如答图1，线段EC 即为所求．证明：∵AB ＝AC ，AE ＝EB ，AD ＝CD ，∴AE ＝AD ，在△BAD 和△CAE 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AC ，∠A ＝∠A ，AD ＝AE ，答图1∴△BAD ≌△CAE (SAS)，∴BD ＝CE . (2)如答图2，在AD 上截取AE ，使得AE ＝32.∵P A 2＝9，AE ·AD ＝32×6＝9，∴P A 2＝AE ·AD ，∴P A AD ＝AEP A.∵∠P AE ＝∠DAP ，∴△P AE ∽△DAP ， ∴PE DP ＝P A DA ＝12，∴PE ＝12PD ， ∴PC ＋12PD ＝PC ＋PE .∵PC ＋PE ≥EC ，∴PC ＋12PD 的最小值即为EC 的长，在Rt △CDE 中，∵∠CDE ＝90°，CD ＝6，DE ＝92，∴EC ＝62＋(92)2＝152，∴PC ＋12PD 的最小值为152.答图(3)如答图3，在AD 上截取AE ，使得AE ＝9. ∵MA 2＝225，AE ·AD ＝9×25＝225，∴MA 2＝AE ·AD ，∴MA AD ＝AEMA.∵∠MAE ＝∠DAM ，∴△MAE ∽△DAM ， ∴EM MD ＝MA DA ＝1525＝35，∴ME ＝35MD ， ∴MC ＋35MD ＝MC ＋ME .∵MC ＋ME ≥EC ，∴MC ＋35MD 的最小值即为EC 的长．如答图3，以点A 为圆心，AM 长为半径画弧，交EC 于点M ′，点M ′即为所求．在Rt △CDE 中，∵∠CDE ＝90°，CD ＝18，DE ＝16， ∴EC ＝162＋182＝2145， ∴MC ＋35MD 的最小值为2145.8．(1)如图1，已知正方形ABCD 的边长为4，⊙B 的半径为2，P 是⊙B 上的一个动点，求PD ＋12PC 的最小值和PD －12PC 的最大值；(2)如图2，已知正方形ABCD 的边长为9，⊙B 的半径为6，P 是⊙B 上的一个动点，那么PD ＋23PC 的最小值为，PD －23PC 的最大值为(3)如图3，已知菱形ABCD 的边长为4，∠B ＝60°，⊙B 的半径为2，P 是⊙B 上的一个动点，那么PD ＋12PC 的最小值为，PD －12PC 的最大值为解：(1)如答图1，在BC 上取一点G ，使得BG ＝1，连接PB ，PG ，DG .∵PB BG ＝CBPB＝2，∠PBG ＝∠CBP ， ∴△PBG ∽△CBP ， ∴PG CP ＝BG BP ＝12，∴PG ＝12PC ， ∴PD ＋12PC ＝PD ＋PG .∵PD ＋PG ≥DG ，∴当D ，P ，G 三点共线时，PD ＋12PC 的值最小，最小值为DG ＝42＋32＝5.∵PD －12PC ＝PD －PG ≤DG ，∴如答图2，当点P 在DG 的延长线上时，PD －12PC 的值最大，最大值为5.答图(2)106，106.【解法提示】如答图3，在BC 上取一点G ，使BG ＝4，连接PG ，PB ，DG . ∵PB BG ＝64＝32，CB PB ＝96＝32，∴PB BG ＝CB BP. ∵∠PBG ＝∠CBP ，∴△PBG ∽△CBP ， ∴PG CP ＝BG BP ＝23， ∴PG ＝23PC ，∴PD ＋23PC ＝DP ＋PG .∵DP ＋PG ≥DG ，∴当D ，P ，G 三点共线时，PD ＋23PC 的值最小，最小值为DG ＝52＋92＝106.∵PD －23PC ＝PD －PG ≤DG ，∴当点P 在DG 的延长线上时，PD －12PC 的值最大，最大值为106.答图(3)37，37.【解法提示】如答图4，在BC 上取一点G ，使得BG ＝1，连接PB ，PG ，DG ，作DF ⊥BC 交BC 的延长线于点F .∵PB BG ＝21＝2，BC PB ＝42＝2，∴PB BG ＝CB BP. ∵∠PBG ＝∠CBP ，∴△PBG ∽△CBP ， ∴PG CP ＝BG BP ＝12， ∴PG ＝12PC ，∴PD ＋12PC ＝DP ＋PG .∵DP ＋PG ≥DG ，∴当D ，P ，G 三点共线时，PD ＋12PC 的值最小，最小值为DG 的长．在Rt △CDF 中，∵∠DCF ＝60°，CD ＝4， ∴DF ＝CD ·sin60°＝23，CF ＝2，∴在Rt △GDF 中，DG ＝(23)2＋52＝37. ∴PD ＋12PC 的最小值为37.∵PD －12PC ＝PD －PG ≤DG ，∴当点P 在DG 的延长线上时，PD －12PC 的值最大，最大值为37.。

费马点模型及其例题

费马点模型及其例题
费马点模型指的是在平面几何中，满足任意三个点中的两个点与第三点之间的距离之和等于第三点到费马点的距离之和的点。

费马点具有以下性质：
1.任意三角形中的费马点是其三边的中垂线的交点，也就是三条中垂线的交点。

2.对于任意三角形ABC，若P是费马点，则PA + PB + PC = AB + BC + CA。

以下是一个费马点模型的例题：
例题：在一个等边三角形ABC中，求费马点的位置。

解答：由于等边三角形的三个角都是60度，因此费马点位于三个顶点的正中间，即三条边的交点。

费马点是等边三角形的重心和垂心的重合点。

除了等边三角形，费马点在其他类型的三角形中也可能出现，但需要满足一定的条件。

例如，在直角三角形中，费马点是斜边的中点；在等腰三角形中，费马点在其底边的垂直平分线上。

总之，费马点模型是一个有趣的数学概念，在平面几何中有着广泛的应用。

通过掌握费马点的性质和特点，可以解决一系列与三角形、四边形等图形有关的几何问题。

费马点模型经典例题

费马点模型经典例题费马点模型是一个经典的几何问题，涉及到费马点（Fermat point）的位置。

费马点是指一个三角形内部的一个点，使得从该点到三个顶点的距离之和最短。

下面是几个经典的费马点模型例题：例题1：在一个等边三角形ABC中，求费马点的位置。

解答：由于等边三角形的三个角都是60度，所以费马点位于三个顶点的正中间，即三条边的交点。

费马点是等边三角形的重心和垂心的重合点。

例题2：在一个直角三角形ABC中，角C为90度，AC=5，BC=12，求费马点的位置。

解答：费马点位于斜边AB上，使得ACF和BCF的角度相等。

首先，连接点C和点F，并延长CF至点D，使得CD=AC=5。

然后，以点D为圆心，CD为半径，画一个圆，该圆与斜边AB相交于点F。

点F即为费马点。

例题3：在一个任意形状的三角形ABC中，已知AB=8，BC=10，AC=12，求费马点的位置。

解答：为了确定费马点的位置，可以使用几何构造的方法。

步骤如下：以边AB为直径，画一个圆。

以边AC为直径，画一个圆。

以边BC为直径，画一个圆。

三个圆的交点即为费马点。

例题4：在一个正三角形ABC中，内部有一点P，使得∠APB = 120度，∠APC = 135度，求费马点的位置。

解答：由于正三角形的三个角都是60度，所以费马点位于三个顶点的正中间，即三条边的交点。

费马点是正三角形的重心和垂心的重合点。

以下是一些例题可供练习：1.在一个等边三角形ABC中，求费马点的位置。

2.在一个直角三角形ABC中，角C为90度，AC=5，BC=12，求费马点的位置。

3.在一个任意形状的三角形ABC中，已知AB=8，BC=10，AC=12，求费马点的位置。

4.在一个正三角形ABC中，内部有一点P，使得∠APB = 120度，∠APC = 135度，求费马点的位置。

5.在一个等边三角形ABC中，点P在边AB上，使得AP=3，BP=4，求费马点的位置。

6.在一个等边三角形ABC中，点P在边AB上，使得AP=8，BP=5，求费马点的位置。

费马点最值问题(解析版)

费马点最值问题一．模型例题（共4小题）1．问题的提出：如果点P 是锐角ABC ∆内一动点，如何确定一个位置，使点P 到ABC ∆的三顶点的距离之和PA PB PC ++的值为最小？问题的转化：把APC ∆绕点A 逆时针旋转60度得到△AP C ''，连接PP '，这样就把确定PA PB PC ++的最小值的问题转化成确定BP PP P C +'+''的最小值的问题了，请你利用图1证明：PA PB PC BP PP P C ++=+'+''．问题的解决：当点P 到锐角ABC ∆的三顶点的距离之和PA PB PC ++的值为最小时，请你用一定的数量关系刻画此时的点P 的位置120APB APC ∠=∠=︒．问题的延伸：如图2是有一个锐角为30︒的直角三角形，如果斜边为2，点P 是这个三角形内一动点，请你利用以上方法，求点P 到这个三角形各顶点的距离之和的最小值．【解答】解：问题的转化：如图1，由旋转得：60PAP '∠=︒，PA P A '=，APP '∴∆是等边三角形，PP PA '∴=，PC P C '= ，PA PB PC BP PP P C ∴++=+'+''．问题的解决：满足：120APB APC ∠=∠=︒时，PA PB PC ++的值为最小；理由是：如图2，把APC ∆绕点A 逆时针旋转60度得到△AP C ''，连接PP '，由“问题的转化”可知：当B 、P 、P '、C '在同一直线上时，PA PB PC ++的值为最小，120APB ∠=︒ ，60APP '∠=︒，180APB APP '∴∠+∠=︒，B ∴、P 、P '在同一直线上，由旋转得：120AP C APC ''∠=∠=︒，60AP P '∠=︒ ，180AP C AP P '''∴∠+∠=︒，P ∴、P '、C '在同一直线上，B ∴、P 、P '、C '在同一直线上，∴此时PA PB PC ++的值为最小，故答案为：120APB APC ∠=∠=︒；问题的延伸：如图3，Rt ACB ∆中，2AB = ，30ABC ∠=︒，1AC ∴=，BC =把BPC ∆绕点B 逆时针旋转60度得到△BP C ''，连接PP '，当A 、P 、P '、C '在同一直线上时，PA PB PC ++的值为最小，由旋转得：BP BP '=，PBP '∠=，PC P C ''=，BC BC '=，BPP ∴∆'是等边三角形，PP PB '∴=，30ABC APB CBP APB C BP ''∠=∠+∠=∠+∠=︒ ，90ABC '∴∠=︒，由勾股定理得：AC '==，PA PB PC PA PP P C AC ''''∴++=++==则点P ．2．如图，ABC ∆中，AB AC =，点P 为ABC ∆内一点，120APB BAC ∠=∠=︒．若4AP BP +=，则PC 的最小值为()A ．2B ．23C ．5D ．3【解答】解：把APB ∆绕点A 逆时针旋转120︒得到△AP C '，作AD PP ⊥'于D ，则AP AP ='，120PAP ∠'=︒，120AP C APB ∠'=∠=︒，30AP P ∴∠'=︒，3PP ∴'=，90PP C ∠'=︒，4AP BP += ，4BP PA ∴=-，在Rt △PP C '中，22222(3)(4)4(1)12PC P P P C PA PA PA ='+'+--+，则PC 1223=，故选：B ．3．如图，2的等边ABC ∆，平面内存在点P ，则3PA PB PC +的取值范围为大于22．【解答】解：如图，将BPC ∆绕点B 顺时针旋转120︒，得△BP C ''，连接PP '，过点B 作BD PP ⊥'于点D ，ABC ∆ 是等边三角形，60ABC ∴∠=︒，AB BC BC =='=，AC AB BC ∴'=+'=120CBC PBP ∠'=∠'=︒ ，180ABC ABC CBC ∴∠'=∠+∠'=︒，∴点A ，B ，C '在同一条直线上，BP BP =' ，120PBP ∠'=︒，BD PP ⊥'，30BPP BP P ∴∠'=∠'=︒，PD ∴=，2PP PD ∴'==，PA PP PC PA PC AC ∴+'+=++>'，因为等边三角形的边长为PA PC ∴+的取值范围为大于等于故答案为：大于等于．4．问题探究将几何图形按照某种法则或规则变换成另一种几何图形的过程叫做几何变换．旋转变换是几何变换的一种基本模型．经过旋转，往往能使图形的几何性质明白显现．题设和结论中的元素由分散变为集中，相互之间的关系清楚明了，从而将求解问题灵活转化．问题提出：如图1，ABC ∆是边长为1的等边三角形，P 为ABC ∆内部一点，连接PA 、PB 、PC ，求PA PB PC ++的最小值．方法分析：通过转化，把由三角形内一点发出的三条线段（星型线）转化为两定点之间的折线（化星为折），再利用“两点之间线段最短”求最小值（化折为直）．问题解决：如图2，将BPA ∆绕点B 逆时针旋转60︒至△BP A ''，连接PP '、A C '，记A C '与AB 交于点D ，易知1BA BA BC '===，120A BC A BA ABC ''∠=∠+∠=︒．由BP BP '=，60P BP '∠=︒，可知△P BP '为正三角形，有PB P P '=．故PA PB PC P A P P PC A C '''++=++．因此，当A '、P '、P 、C 共线时，PA PB PC ++有最小值是学以致用：（1）如图3，在ABC ∆中，30BAC ∠=︒，4AB =，3CA =，P 为ABC ∆内部一点，连接PA 、PB 、PC ，则PA PB PC ++的最小值是5．（2）如图4，在ABC ∆中，45BAC ∠=︒，3AB CA ==，P 为ABC ∆内部一点，连接PA 、PB 、PC ，PB PC ++的最小值．（3）如图5，P 是边长为2的正方形ABCD 内一点，Q 为边BC 上一点，连接PA 、PD 、PQ ，求PA PD PQ ++的最小值．【解答】解：（1）如图3中，将APC ∆绕点A 逆时针旋转60︒得到AFE ∆，易知AFP ∆是等边三角形，90EAB ∠=︒，在Rt EAB ∆中，5BE ==，PA PB PC EF FP PB BE ++=++ ，5PA PB PC ∴++，PA PB PC ∴++的最小值为5．故答案为5．（2）如图4中，将APB ∆绕点A 逆时针旋转90︒得到AFE ∆，易知AFP ∆是等腰直角三角形，135EAB ∠=︒，作EH BA ⊥交BA 的延长线于H ．在Rt EAH ∆中，90H ∠=︒ ，45EAH ∠=︒，AE AB ==2EH AH ∴==，在Rt EHC ∆中，EC ==PB PC FP EF PC CE ++=++，∴PB PC ++，∴PB PC ++（3）如图5中，将APD∆是等边三角形，∆绕点A逆时针旋转60︒得到AFE∆，则易知AFP作EH BC⊥于H，交AD于G．，PA PD PQ EF FP PQ EH++=++易知sin60=⋅︒=2EG AE==，GH AB∴=+EH2∴++，PA PD PQ2∴++2+．PA PD PQ二．同步练习（共20小题）5．法国数学家费马提出：在ABC∆内存在一点P，使它到三角形顶点的距离之和最小．人们称这个点为费马点，此时PA PB PC∆中，费马点P满足++的值为费马距离．经研究发现：在锐角ABCPC=，60∠=︒，则ABCPA=，4∆的费马点，且3APB BPC CPA120∠=∠=∠=︒，如图，点P为锐角ABC费马距离为7+【解答】解：如图：120APB BPC CPA∠=∠=∠=，60ABC∠=︒，1360∴∠+∠=︒，1260∠+∠=︒，2460∠+∠=︒，14∴∠=∠，23∠=∠，BPC APB∴∆∆∽∴PC PB PB PA=，即212PB=PB∴=．7PA PB PC∴++=+故答案为：7+．6．在ABC∆中，90ACB∠=︒，点P为ABC∆内一点．（1）如图1，连接PB，PC，将BCP∆沿射线CA方向平移，得到DAE∆，点B，C，P的对应点分别为点D，A，E，连接CE．如果BP CE⊥，3BP=，6AB=，则CE=（2）如图2，连接PA，PB，PC，当8AC BC==时，求PA PB PC++的最小值．【解答】解：（1）如图1，连接BD、CD，BCP ∆ 沿射线CA 方向平移，得到DAE ∆，//BC AD ∴且BC AD =，90ACB ∠=︒ ，∴四边形BCAD 是矩形，6CD AB ∴==，3BP = ，3DE BP ∴==，BP CE ⊥ ，//BP DE ，DE CE ∴⊥，∴在Rt DCE ∆中，CE ===；故答案为：（2）如图2所示，以点A 为旋转中心，将ABP ∆顺时针旋转60︒得到AMN ∆，连接BN ．由旋转可得，AMN ABP ∆≅∆，MN BP ∴=，PA AM =，60PAM BAN ∠=︒=∠，AB AN =，PAM ∴∆、ABN ∆都是等边三角形，PA PM ∴=，PA PB PC CP PM MN ∴++=++，当8AC BC ==时，AB =，当C 、P 、M 、N 四点共线时，由CA CB =，NA NB =可得CN 垂直平分AB ，12AQ AB CQ ∴==，NQ ==，∴此时CN CP PM MN PA PB PC =++=++=+．即PA PB PC ++的最小值为+．7．如图，在ABC ∆中，3AB =，2AC =，60BAC ∠=︒，P 为ABC ∆内一点，则PA PB PC ++的最小值为【解答】解：如图，将ABP ∆绕着点A 逆时针旋转60︒，得到AEH ∆，连接EP ，CH ，过点C 作CN AH ⊥，交HA 的延长线于N ，ABP AHE ∴∆≅∆，BAP HAE ∴∠=∠，AE AP =，3AH AB ==，60BAH ∠=︒，60HAB EAP ∴∠=∠=︒，AEP ∴∆是等边三角形，AE AP EP ∴==，AP BP PC PC EP EH ∴++=++，∴当点H ，点E ，点P ，点C 共线时，PA PB PC ++有最小值HC ，18060CAN BAH BAC ∠=︒-∠-∠=︒ ，CN AN ⊥，30ACN ∴∠=︒，112AN AC ∴==，CN ==，4HN AH AN ∴=+=，HC ∴=，PA PB PC ∴++，8．如图，ABC ∆中，30ABC ∠=︒，5AB =，6BC =，P 是ABC ∆内部的任意一点，连接PA 、PB 、PC ，则PA PB PC ++【解答】解：如图，以BP 为边作等边三角形BPD ，将BPC ∆绕点B 顺时针旋转60︒，得到BDC '∆，连接AC '，BPD ∆ 是等边三角形，BP BD DP ∴==，60PBD ∠=︒，将BPC ∆绕点B 顺时针旋转60︒，PC C D '∴=，PBC DBC '∠=∠，6BC BC '==，603090ABC ABP PBD DBC PBD ABC PBC ''∴∠=∠+∠+∠=∠+∠+∠=︒+︒=︒，PA PB PC PA PD DC '++=++ ，∴当点A ，点P ，点D ，点C '共线时，PA PB PC ++有最小值为PC '，PC '∴===，9．如图，在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，点P 为ABC ∆内一点，连接PA 、PB 、PC ，当3AC =，6AB =时，则PA PB PC ++的最小值是【解答】解：如图所示，以点A 为旋转中心，将ABP ∆顺时针旋转60︒得到ANM ∆，连接BN ．由旋转可得，AMN APB ∆≅∆，MN BP ∴=，PA AM =，60PAM BAN ∠=︒=∠，AB AN =，PAM ∴∆、ABN ∆都是等边三角形，PA PM ∴=，PA PB PC CP PM MN ∴++=++，当3AC =，6AB =时，BC =，1sin 2ABC ∴∠=，30ABC ∴∠=︒，60ABN ∠=︒ ，90CBN ∴∠=︒当C 、P 、M 、N 四点共线时，PA PB PC ++的值最小，最小值CN ===，故答案为：．10．已知，如图在ABC ∆中，30ACB ∠=︒，5BC =，6AC =，在ABC ∆内部有一点D ，连接DA 、DB 、DC ，则DA DB ++【解答】解：如图，过点C 作CE CD ⊥，且CE CD =，连接DE ，将ADC ∆绕点C 逆时针旋转90︒得到FEC ∆，连接FB ，过点F 作FH BC ⊥，交BC 的延长线于H ，CE CD ⊥ ，CE CD =，DE ∴=，将ADC ∆绕点C 逆时针旋转90︒得到FEC ∆，EF AD ∴=，90ACF ∠=︒，6CF AC ==，DA DB DB EF DE ∴++=++，∴当点F ，点E ，点D ，点B 共线时，DA DB ++有最小值为FB ，18060FCH ACF ACB ∠=︒-∠-∠=︒ ，30CFH ∴∠=︒，132CH CF ∴==，FH ==，BF ∴==11．如图，在ABC ∆中，30BAC ∠=︒，AC =，8AB =，点D 在ABC ∆内，连接DA 、DB 、DC ，则DC DB ++的最小值是【解答】解：如图，将ADB ∆绕点A 顺时针旋转120︒得到AEF ∆，连接DE ，CF ，过点F 作FH CA ⊥交CA的延长线于H ．AD AE = ，120DAE ∠=︒，BD EF =，DE ∴=，DC DB DA DC DE EF ∴++=++，CD DE EF CF ++ ，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，8AB =，30BAC ∠=︒，cos30AB AB ∴=⋅︒=在Rt AFH ∆中，90H ∠=︒，8AF AB ==，30FAH ∠=︒，142FH AF ∴==，AH ==，CH AC AH ∴=+=，CF ∴===，CD DB ∴+，CF ∴的最小值为．故答案为：．12．如图，ABC ∆中，30ABC ∠=︒，4AB =，5BC =，P 是ABC ∆内部的任意一点，连接PA ，PB ，PC ，则PA PB PC ++【解答】解：如图，将ABP ∆绕着点B 逆时针旋转60︒，得到DBE ∆，连接EP ，CD ，ABP DBE∴∆≅∆ABP DBE ∴∠=∠，4BD AB ==，60PBE ∠=︒，BE PE =，AP DE =，BPE ∴∆是等边三角形EP BP∴=AP BP PC PC EP DE∴++=++∴当点D ，点E ，点P ，点C 共线时，PA PB PC ++有最小值CD30ABC ABP PBC∠=︒=∠+∠ 30DBE PBC ∴∠+∠=︒90DBC ∴∠=︒CD ∴==，13．如图，P 为正方形ABCD 内的动点，若2AB =，则PA PB PC ++【解答】解：将BPC ∆绕点B 顺时针旋转60︒，得到△BP C ''，BP BP '∴=，60PBP '∠=︒，BPC ∆≅△BP C ''，BPP '∴∆是等边三角形，PC P C ''=，PBC P BC ''∠=∠，2BC BC '==，BP PP '∴=，PA PB PC AP PP P C '''∴++=++，∴当AP ，PP '，P C ''在一条直线上，PA PB PC ++有最小值，最小值是AC '的长，60150ABP PBP P BC ABP PBC '''∠+∠+∠=︒+∠+∠=︒ ，30EBC ∴∠=︒，1EC '∴=，BE '==，2AE ∴=+，AF ∴===，14．如图，在边长为6的正方形ABCD 中，点M ，N 分别为AB 、BC 上的动点，且始终保持BM CN =．连接MN ，以MN 为斜边在矩形内作等腰Rt MNQ ∆，若在正方形内还存在一点P ，则点P 到点A 、点D 、点Q 的距离之和的最小值为3+【解答】解：设BM x =，则6BN x =-，222MN BM BN =+ ，2222(6)2(3)18MN x x x ∴=+-=-+，∴当3x =时，MN 最小，此时Q 点离AD 最近，3BM BN == ，Q ∴点是AC 和BD 的交点，22AQ DQ AD ∴===，过点Q 作QM AD '⊥于点M '，在ADQ ∆内部过A 、D 分别作30M DP M AP ∠'=∠'=︒，则120APD APQ DPQ ∠=∠=∠=︒，点P 就是费马点，此时PA PD PQ ++最小，在等腰Rt AQD ∆中，AQ DQ ==，QM AD '⊥，232AM QM AQ ∴='==，故cos30AM PA '︒=，解得：PA =PM '=故3QP =PD =，则233PA PD PQ ++=⨯+=+，∴点P 到点A 、点D 、点Q 的距离之和的最小值为3+，故答案为3+．15．如图，点D 为等边三角形ABC 内一点，且120BDC ∠=︒，则AD BD 的最小值为32．【解答】解：如图，将BCD ∆绕点C 顺时针旋转60︒得到ACE ∆，连接DE ，过点A 作AH DE ⊥于H ．CD CE = ，60DCE ∠=︒，DCE ∴∆是等边三角形，60EDC DEC ∴∠=∠=︒，120BDC AEC ∠=∠=︒ ，60AED ∴∠=︒，BD AE = ，∴AD AD BD AE=，AH DE ⊥ ，AD AH ∴，∴ADAH BD AE，90AHE ∠=︒ ，60AEB ∠=︒，∴sin 60AH AE =︒=，∴AD BD ，∴AD BD 的最小值为32．16．如图，已知矩形ABCD ，4AB =，6BC =，点M 为矩形内一点，点E 为BC 边上任意一点，则MA MD ME ++的最小值为4+【解答】解：将AMD ∆绕点A 逆时针旋转60︒得到△AM D ''，由性质的性质可知：MD M D =''，ADD ∆'和AMM ∆'均为等边三角形，AM MM ∴='，MA MD ME D M MM ME ∴++='+'+，D M ∴'、MM '、ME 共线时最短，由于点E 也为动点，∴当D E BC '⊥时最短，此时易求得4D E D G GE '='+=+，MA MD ME ∴++的最小值为4+17．如图，在直角三角形ABC ∆内部有一动点P ，90BAC ∠=︒，连接PA ，PB ，PC ，若6AC =，8AB =，求PA PB PC ++的最小值【解答】解：如图，将ACP ∆绕点C 顺时针旋转60︒得到ECF ∆，连接PF ，BE ，作EH BA ⊥交BA 的延长线于H ．由旋转的旋转可知：PA EF =，PCF ∆，ACE ∆是等边三角形，PF PC ∴=，PA PB PC EF FP PB ∴++=++，EF FP PB BE ++ ，∴当B ，P ，F ，E 共线时，PA PB PC ++的值最小，90BAC ∠=︒ ，60CAE ∠=︒，180906030HAE ∴∠=︒-︒-︒=︒，EH AH ⊥ ，6AE AC ==，132EH AE ∴==．AH ==，BE ∴===，PA PB PC ∴++的最小值为故答案为18．若点P 为ABC ∆所在平面上一点，且120APB BPC CPA ∠=∠=∠=︒，则点P 叫做ABC ∆的费马点．当三角形的最大角小于120︒时，可以证明费马点就是“到三角形的三个顶点的距离之和最小的点”．即PA PB PC ++最小．（1）如图1，向ABC ∆外作等边三角形ABD ∆，AEC ∆．连接BE ，DC 相交于点P ，连接AP ．①证明：点P 就是ABC ∆费马点；②证明：PA PB PC BE DC ++==；（2）如图2，在MNG ∆中，MN =，75M ∠=︒，3MG =．点O 是MNG ∆内一点，则点O 到MNG ∆三个顶点的距离和的最小值是【解答】（1）证明：①如图11-中，作AM CD ⊥于M ，AN BE ⊥于N 设AB 交CD 于O ．ADB ∆ ，ACE ∆都是等边三角形，AD AB ∴=，AC AE =，60DAB CAE ∠=∠=︒，DAC BAE ∴∠=∠，()ADC ABE SAS ∴∆≅∆，CD BE ∴=，DAC ABE S S ∆∆=，ADC ABE ∠=∠，AM CD ⊥ ，AN BE ⊥，∴1122CD AM BE AN ⋅⋅=⋅⋅，AM AN ∴=，APM APN ∴∠=∠，AOD POB ∠=∠ ，60OPB DAO ∴∠=∠=︒，60APN APM ∴∠=∠=︒，120APC BPC APC ∴∠=∠=∠=︒，∴点P 是就是ABC ∆费马点．②在线段PD 上取一点T ，使得PT PA =，连接AT ．60APT ∠=︒ ，PT PA =，APT ∴∆是等边三角形，60PAT ∴∠=︒，AT AP =，60DAB TAP ∠=∠=︒ ，DAT BAP ∴∠=∠，AD AB = ，()DAT BAP SAS ∴∆≅∆，PB DT ∴=，PD DT PT PA PB ∴=+=+，PA PB PC PD PC CD BE ∴++=+==．（2）解：如图2：以MG 为边作等边三角形MGD ∆，以OM 为边作等边OME ∆．连接ND ，作DF NM ⊥，交NM 的延长线于F．MGD ∆ 和OME ∆是等边三角形OE OM ME ∴==，60DMG OME ∠=∠=︒，MG MD =，GMO DME∴∠=∠在GMO ∆和DME ∆中，OM ME GMO DME MG MD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()GMO DME SAS ∴∆≅∆，OG DE∴=NO GO MO DE OE NO∴++=++∴当D 、E 、O 、N 四点共线时，NO GO MO ++值最小，75NMG ∠=︒ ，60GMD ∠=︒，135NMD ∴∠=︒，45DMF ∴∠=︒，3MG = 322MF DF ∴==，3211222NF MN MF ∴=+==，ND ∴=MO NO GO ∴++，，19．问题提出（1）如图①，在ABC ∆中，2BC =，将ABC ∆绕点B 顺时针旋转60︒得到△A B C '''，则CC '=2；问题探究（2）如图②，在ABC ∆中，3AB BC ==，30ABC ∠=︒，点P 为ABC ∆内一点，连接PA 、PB 、PC ，求PA PB PC ++的最小值，并说明理由；问题解决（3）如图③，在四边形ABCD 中，//AD BC ，6AB =，4AD =，60ABC BCD ∠=∠=︒．在四边形ABCD 内部有一点，满足120APD ∠=︒，连接BP 、CP ，点Q 为BPC ∆内的任意一点，是否存在一点P 和一点Q ，使得PQ BQ CQ ++有最小值？若存在，请求出这个最小值；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）如图①，由旋转的性质可知：BCC ∆'是等边三角形，2CC BC ∴'==，故答案为2．（2）如图②，将ABP ∆绕点B 逆时针旋转60︒得到BFE ∆，连接PF ，EC ．由旋转的性质可知：PBF ∆是等边三角形，PB PF ∴=，PA EF = ，PA PB PC PC PF EF ∴++=++，PC PF EF EC ++ ，∴当P ，F 在直线EC 上时，PA PB PC ++的值最小，易证3BC BE BA ===，90CBE ∠=︒，EB BC ⊥ ，EC ∴==，PA PB PC ∴++的最小值为．（3）（3）如图③1-中，将PBQ ∆绕点B 逆时针旋转60︒得到EBG ∆，则PQ EG =，BQG ∆是等边三角形，BQ QG ∴=，PQ EG =，PQ BQ CQ EG GQ QC EC ∴++=++，EC ∴的值最小时，QP QB QC ++的值最小，如图③2-中，延长BA 交CD 的延长线于J ，作ADJ ∆的外接圆O ，将线段BO ，BP 绕点B 逆时针旋转60︒得到线段BO '，BE ，连接EO '，OB ，OP ．易证()BEO BPO SAS ∆'≅∆，EO OP ∴'=，180APD AJD ∠+∠=︒ ，A ∴，P ，D ，J 四点共圆，OP ∴=，433EO ∴'=，∴点E 的运动轨迹是以O '为圆心，433为半径的圆，∴当点E 在线段CO '上时，EC 的值最小，最小值CO EO ='-'，连接OO'，延长OO'到R，使得O R OO'='，连接BR，则90OBR∠=︒，作RH CB⊥交CB的延长线于H，O T CH'⊥于T，OM BC⊥于M．在Rt OBM∆中，5BM=，OM=1433OB∴=，14BR∴==，由BHR OMB∆∆∽，∴RH BRBM OB=，RH∴=，////HR O T OM'，OO RO'='，TM TH∴=，2RH OMO T+∴'==，3BT∴==，3CO∴'==，CO EO∴'-'=．QP QB QC∴++的最小值为．20．如图1，在ABC∆中，90ACB∠=︒，点P为ABC∆内一点．（1）连接PB，PC，将BCP∆沿射线CA方向平移，得到DAE∆，点B，C，P的对应点分别为点D，A，E，连接CE．①依题意，请在图2中补全图形；②如果BP CE⊥，3BP=，6AB=，求CE的长．（2）如图3，连接PA ，PB ，PC ，求PA PB PC ++的最小值．小慧的作法是：以点A 为旋转中心，将ABP ∆顺时针旋转60︒得到AMN ∆，那么就将PA PB PC ++的值转化为CP PM MN ++的值，连接CN ，当点P 落在CN 上时，此题可解．请你参考小慧的思路，在图3中证明PA PB PC CP PM MN ++=++．并直接写出当4AC BC ==时，PA PB PC ++的最小值．【解答】解：（1）①补全图形如图所示；②如图，连接BD 、CDBCP ∆ 沿射线CA 方向平移，得到DAE ∆，//BC AD ∴且BC AD =，90ACB ∠=︒ ，∴四边形BCAD 是矩形，6CD AB ∴==，3BP = ，3DE BP ∴==，BP CE ⊥ ，//BP DE ，DE CE ∴⊥，∴在Rt DCE ∆中，223692733CE CD DE =-=-==；（2）证明：如图所示，以点A 为旋转中心，将ABP ∆顺时针旋转60︒得到AMN ∆，连接BN ．由旋转可得，AMN ABP ∆≅∆，MN BP ∴=，PA AM =，60PAM BAN ∠=︒=∠，AB AN =，PAM ∴∆、ABN ∆都是等边三角形，PA PM ∴=，PA PB PC CP PM MN ∴++=++，当4AC BC ==时，AB =，当C 、P 、M 、N 四点共线时，由CA CB =，NA NB =可得CN 垂直平分AB ，12AQ AB CQ ∴==，NQ ==，∴此时CN CP PM MN PA PB PC =++=++=+．21．（1）阅读材料：如图（1），四边形ABCD 是正方形，ABE ∆是等边三角形，M 为对角线BD （不含B 点）上任意一点，将BM 绕点B 逆时针旋转60︒得到BN ，连接EN 、AM 、CM ，①求证：AMB ENB ∆≅∆；②当M 点在何处时，AM CM +的值最小；③当M 点在何处时，AM BM CM ++的值最小，并说明理由；（2）根据阅读材料所提供的数学思想和方法，完成下面的题目：如图（2），A 、B 、C 、D 四个城市恰好为一个正方形的四个顶点，要建立一个公路系统，使每两个城市之间都有公路相通，并使整个公路系统的总长为最短，应当如何修建？请画出你的设计图．【解答】解：（1）① 四边形ABCD 是正方形，ABE ∆是等边三角形，AB BC BE ∴==，60ABE ∠=︒，将BM 绕点B 逆时针旋转60︒得到BN ，BN BM ∴=，60MBN ∠=︒，ABE MBN ∴∠=∠，EBN ABM ∴∠=∠，且AB BE =，MB NB =，()AMB ENB SAS ∴∆≅∆；②当M 点落在BD 的中点时，A 、M 、C 三点共线时，AM CM +的值最小；③如图1，连接CE ，当M 点位于BD 与CE 的交点处时，AM BM CM ++的值最小，理由如下：连接MN ，由（1）知，AMB ENB ∆≅∆，AM EN ∴=，60MBN ∠=︒ ，MB NB =，BMN ∴∆是等边三角形，BM MN ∴=，AM BM CM EN MN CM ∴++=++，根据“两点之间线段最短”，得EN MN CM EC ++=最短，∴当M 点位于BD 与CE 的交点处时，AM BM CM ++的值最小，即等于EC 的长；（2）如图2，作等边ABQ ∆和等边CDP ∆，等边CEH ∆，同理可证CHP CED ∆≅∆，则CH CE =，PH DE =，DE CE PH HE ∴+=+，∴点H ，点P ，点E 三点共线时，DE CE +的值最小值为PE ，同理，AF BF +的最小值为FQ ，DE CE EF AF BF PE FE FQ ∴++++++，∴点P ，点E ，点F ，点Q 共线时，并使整个公路系统的总长为最短，即最短距离为PQ ，∴设计图：(30)EDC ECD FAB FBA ∠=∠=∠=∠=︒22．已知，在ABC ∆中，30ACB ∠=︒（1）如图1，当2AB AC ==，求BC 的值；（2）如图2，当AB AC =，点P 是ABC ∆内一点，且2PA =，21PB =3PC =，求APC ∠的度数；（3）如图3，当4AC =，7()AB CB CA >，点P 是ABC ∆内一动点，则PA PB PC ++的最小值为43．【解答】解：（1）如图1中，作AP BC ⊥于P ．AB AC = ，AP BC ⊥，BP PC ∴=，在Rt ACP ∆中，2AC = ，30C ∠=︒，cos303PC AC ∴=︒=2BC PC ∴==．（2）如图2中，将APB ∆绕点A 逆时针旋转120︒得到QAC ∆．AB AC = ，30C ∠=︒，120BAC ∴∠=︒，2PA AQ ∴==，PB QC ==，120PAQ ∠=︒ ，PQ ∴=222PQ PC QC ∴+=，90QPC ∴∠=︒，30APQ ∠=︒ ，3090120APC ∴∠=︒+︒=︒．（3）如图3中，将BCP ∆绕点C 逆时针旋转60︒得到△CB P ''，连接PP '，AB '，则90ACB ∠'=︒．PA PB PC PA PP P B ++=+'+'' ，∴当A ，P ，P '，B '共线时，PA PB PC ++的值最小，最小值AB ='的长，由AB =4AC =，30C ∠=︒，可得BC CB ='=，AB ∴'=．23．阅读下列材料：小华遇到这样一个问题，如图1，ABC∆内部有一点P，连BC=，5AC=，在ABCACB∆中，30∠=︒，6接PA、PB、PC，求PA PB PC++的最小值．小华是这样思考的：要解决这个问题，首先应想办法将这三条端点重合于一点的线段分离，然后再将它们连接成一条折线，并让折线的两个端点为定点，这样依据“两点之间，线段最短”，就可以求出这三条线段和的最小值了．他先后尝试了翻折、旋转、平移的方法，发现通过旋转可以解决这个问题．他的做法是，如图2，将APC∆，连接PD、BE，则BE的长即为所求．∆绕点C顺时针旋转60︒，得到EDC（1）请你写出图2中，PA PB PC++（2）参考小华的思考问题的方法，解决下列问题：①如图3，菱形ABCD中，60∠=︒，在菱形ABCD内部有一点P，请在图3中画出并指明长度等于ABC++最小值的线段（保留画图痕迹，画出一条即可）；PA PB PC②若①中菱形ABCD的边长为4，请直接写出当PA PB PC++值最小时PB的长．【解答】解：（1）如图2．将APC∆绕点C顺时针旋转60︒，得到EDC∆，∴∆≅∆，APC EDC∠=︒，ACP ECD==，60PCD∴∠=∠，5AC EC∴∠+∠=∠+∠，ACP PCB ECD PCB∴∠+∠=∠=︒，30ECD PCB ACBBCE ECD PCB PCD∴∠=∠+∠+∠=︒+︒=︒．306090在Rt BCEBC=，5，6CE=，∆中，90∠=︒BCE∴==BE即PA PB PC++（2）①将APC∆，连接PE、DE，∆绕点C顺时针旋转60︒，得到DEC则线段BD 等于PA PB PC ++最小值的线段；②如图31-中，当B 、P 、E 、D 四点共线时，PA PB PC ++值最小，最小值为BD ．将APC ∆绕点C 顺时针旋转60︒，得到DEC ∆，APC DEC ∴∆≅∆，CP CE ∴=，60PCE ∠=︒，PCE ∴∆是等边三角形，PE CE CP ∴==，60EPC CEP ∠=∠=︒．菱形ABCD 中，1302ABP CBP ABC ∠=∠=∠=︒，603030PCB EPC CBP ∴∠=∠-∠=︒-∠︒=︒，30PCB CBP ∴∠=∠=︒，BP CP ∴=，同理，DE CE =，BP PE ED ∴==．连接AC ，交BD 于点O ，则AC BD ⊥．在Rt BOC ∆中，90BOC ∠=︒ ，30OBC ∠=︒，4BC =，cos 4BO BC OBC ∴=∠=⨯2BD BO ∴==，13BP BD ∴==即当PA PB PC ++值最小时PB24．已知抛物线2142y x bx =-++的对称轴为1x =，与y 交于点A ，与x 轴负半轴交于点C ，作平行四边形ABOC 并将此平行四边形绕点O 顺时针旋转90︒，得到平行四边形A B O C ''''．（1）求抛物线的解析式和点A 、C 的坐标；（2）求平行四边形ABOC 和平行四边形A B O C ''''重叠部分△OC D '的周长；（3）若点P 为AOC ∆内一点，直接写出PA PC PO ++的最小值（结果可以不化简）以及直线CP的解析式．【解答】解：（1）由已知得，112()2bx =-=⨯-，则1b =，抛物线的解析式为2142y x x =-++，(0,4)A ∴，令0y =，得21402x x -++=，12x ∴=-，24x =．（2）在ABCD 中，90OAB AOC ∠=∠=︒，则//AB CO，OB ∴==2OC OC '==，OC D OCA B ∴∠'=∠=∠，C OD BOA ∠'=∠，∴△C OD BOA '∆∽，∴C OD BOA C OC C OB '∆'=== AOB ∆的周长为6+，∴△C OD '的周长为565(6255+⨯=+；（3）此点位费马点，设三角形AOB 的三边为a ，b ，c ，2OC = ，4OA =，AC ==，PA PB PC ++==．直线CP解析式为1)2y x =-+-．。

中考复习之线段和差最值之费马点问题-附练习题含参考答案

ABCP中考数学复习线段和差最值系列之费马点皮耶·德·费马，17世纪法国数学家，有“业余数学家之王”的美誉，之所以叫业余并非段位不够，而是因为其主职是律师，兼职搞搞数学．费马在解析几何、微积分等领域都有卓越的贡献，除此之外，费马广为人知的是以其名字命名的“费马小定理”、“费马大定理”等．言归正传，今天的问题不是费马提出来的，是他解决的，故而叫费马点．问题：在△ABC 内找一点P ，使得P A +PB +PC 最小．【分析】在之前的最值问题中，我们解决的依据有：两点之间线段最短、点到直线的连线中垂线段最短、作对称化折线段为直线段、确定动点轨迹求最值等．以上依据似乎都用不上，怎么办？若点P 满足∠PAB=∠BPC=∠CPA=120°，则PA+PB+PC 值最小，P 点称为该三角形的费马点．一、如何作费马点问题要从初一学到的全等说起：（1）如图，分别以△ABC 中的AB 、AC 为边，作等边△ABD 、等边△ACE ．（2）连接CD 、BE ，即有一组手拉手全等：△ADC ≌△ABE ．（3）记CD 、BE 交点为P ，点P 即为费马点．（到这一步其实就可以了）（4）以BC 为边作等边△BCF ，连接AF ，必过点P ，有∠P AB =∠BPC =∠CP A =120°．在图三的模型里有结论：（1）∠BPD =60°；（2）连接AP ，AP 平分∠DPE ．有这两个结论便足以说明∠P AB =∠BPC =∠CP A =120°．但是在这里有个小小的要求，细心的同学会发现，这个图成立的一个必要条件是∠BAC <120°，若120BAC ∠≥︒ ,这个图就不是这个图了，会长成这个样子：EB ACAB CDE此时CD 与BE 交点P 点还是我们的费马点吗？显然这时候就不是了，显然P 点到A 、B 、C 距离之和大于A 点到A 、B 、C 距离之和．所以，是的，你想得没错，此时三角形的费马点就是A 点！当然这种情况不会考的，就不多说了．二、为什么是这个点为什么P 点满足∠P AB =∠BPC =∠CP A =120°，P A +PB +PC 值就会最小呢？归根结底，还是要重组这里3条线段：P A 、PB 、PC 的位置，而重组的方法是构造旋转！在上图3中，如下有△ADC ≌△ABE ，可得：CD =BE ．类似的手拉手，在图4中有3组，可得：AF =BE =CD ．巧的，它们仨的长度居然一样长！更巧的是，其长度便是我们要求的P A +PB +PC 的最小值，这一点是可以猜想得到的，毕竟最小值这个结果，应该也是个特别的值！接下来才是真正的证明：考虑到∠APB =120°，∴∠APE =60°，则可以AP 为边，在PE 边取点Q 使得PQ =AP ，则△APQ 是等边三角形．△APQ 、△ACE 均为等边三角形，且共顶点A ，故△APC ≌△AQE ，PC =QE ．以上两步分别转化P A =PQ ，PC =QE ，故P A +PB +PC =PB +PQ +QE =BE ．没有对比就没有差别，我们换个P 点位置，如下右图，同样可以构造等边△APQ ，同样有△APC ≌△AQE ，转化P A =PQ ，PC =QE ，显然，P A +PB +PC =PB +PQ +QE >BE ．还剩下第3个问题！如果说费马点以前还算是课外的拓展内容，那现在，已经有人把它搬上了中考舞台！【中考再现】问题背景：如图1，将△ABC 绕点A 逆时针旋转60°得到△ADE ，DE 与BC 交于点P ，可推出结论：P A +PC =PE ．问题解决：如图2，在△MNG 中，MN =6，∠M =75°，MG=O 是△MNG 内一点，则点O 到△MNG 三个顶点的距离和的最小值是______．【分析】本题的问题背景实际上是提示了解题思路，构造60°的旋转，当然如果已经了解了费马点问题，直接来解决就好了！如图，以MG 为边作等边△MGH ，连接NH ，则NH 的值即为所求的点O 到△MNG 三个顶点的距离和的最小值．（此处不再证明）过点H 作HQ ⊥NM 交NM 延长线于Q 点，根据∠NMG =75°，∠GMH =60°，可得∠HMQ =45°，∴△MHQ 是等腰直角三角形， ∴MQ =HQ =4，∴NH== 练习题1.如图，在△ABC 中，△ACB=90°，AB=AC=1，P 是△ABC 内一点，求P A +PB +PC 的最小值．2. 如图，已知矩形ABCD ，AB =4，BC =6，点M 为矩形内一点，点E 为BC 边上任意一点，则MA +MD +ME 的最小值为______．NG图2图1ABCD EPHGN M464Q HGN MABCDME3.如图，矩形ABCD中，AB=10，BC=15，现在要找两点E、F，则EA+EB+EF+FC+FD的最小值为__________4.如图，等腰Rt∆ABC中，AB=4，P为∆ABC内部一点，则PA+PB+PC的最小值为_______5.如图，∆ABC中，AB=4，,∠ABC=75°，P为∆ABC内的一个动点，连接PA、PB、PC，则PA+PB+PC的最小值为________6.如图，P为正方形ABCD对角线BD上一动点，若AB=2，则PA+PB+PC的最小值为______7.在Rt∆ABC中，∠ACB=90°，AC=1，，点O为Rt∆ABC内一点，连接AO、BO、CO，且∠AOC=∠COB=∠BOA=120°，则OA+OB+OC=_______8.如图，在四边形ABCD中，∠B=60°，AB=BC=3，AD=4，∠BAD=90°，点P是四边形内部一点，则PA+PB+PD的最小值是______9.如图，点P是矩形ABCD对角线BD上的一个动点，已知AB=2，，则PA+PB+PC 的最小值为_______10.如图，菱形ABCD的对角线AC上有一动点P，BC=6，∠ABC=150°，则PA+PB+PD的最小值为__________11.已知，在∆ABC中，∠ACB=30°点P是ABC内一动点，则PA+PB+PC的最小值为__________12.如图，设点P到等边三角形ABC两顶点A、B的距离分别为2则PC的最大值为______13.如图，设点P到正方形ABCD两顶点A、D的距离为2PC的最大值为________14.如图，设点P到正方形ABCD两顶点A、D的距离为2则PO的最大值为_________.15.如图，在Rt∆ABC中，∠BAC=90⁰，AB=AC，点D是BC边上一动点，连接AD，把AD 绕点A逆时针旋转90⁰，得到AE，连接CE、DE，点F是DE的中点，连接CF问题：在点D运动的过程中，在线段AD上存在一点P，使PA+PB+PC的值最小，当PA+PB+PC 取最小值时，AP的长为m，用含有m的式子表示CE的长.参考答案1.7.8.7 9.3 10. 12.2+13.2+1 15.32m +。

费马点问题(含答案)

费马点的问题定义：数学上称，到三角形3个顶点距离之和最小的点为费马点。

它是这样确定的：1. 如果三角形有一个内角大于或等于120°，这个内角的顶点就是费马点；2. 如果3个内角均小于120°，则在三角形内部对3边张角均为120°的点，是三角形的费马点。

3. 费马点与3个顶点连成的线段是沟通3点的最短路线，容易理解，这个路线是唯一的。

我们称这一结果为最短路线原理。

性质：费马点有如下主要性质：1．费马点到三角形三个顶点距离之和最小。

2．费马点连接三顶点所成的三夹角皆为120°。

3．费马点为三角形中能量最低点。

4．三力平衡时三力夹角皆为120°，所以费马点是三力平衡的点。

例1：已知：△ABH是等边三角形。

求证：GA+GB+GH最小证明：∵△ABH是等边三角形。

G是其重心。

∴∠AGH=∠AGB=∠BGH=120°。

以HB为边向右上方作等边三角形△DBH.以HG为边向右上方作等边三角形△GHP.∵ AH=BH=AB=12.∴∠AGH=120°, ∠HGP=60°.∴ A、G、P三点一线。

再连PD两点。

∵△ABH、△GHP和△BDH都是等边三角形,∠GHB=30°.∴∠PHD=30°,.在△HGB和△HPD中∵ HG=HP∠GHB=∠PHD；HB=HD；∴△HGB≌△HPD；（SAS）∴∠HPD=∠HGB=120°；∵∠HPG=60°.∴ G、P、D三点一线。

∴ AG=GP=PD,且同在一条直线上。

∵ GA+GH+GB=GA+GP+PD=AD.∴ G点是等边三角形内到三个顶点的距离之和最小的哪一点，费马点。

也就是重心。

例2：已知：△ABC是等腰三角形，G是三角形内一点。

∠AGC=∠AGB=∠BGC=120°。

求证：GA+GB+GC最小证明：将△BGC逆时针旋转60°，连GP,DB.则△HGB≌△HPD；∴∠CPD=∠CGB=120°,CG=CP,GB=PD, BC=DC,∠GCB=∠PCD.∵∠GCP=60°,∴∠BCD=60°,∴△GCP和△BCD都是等边三角形。

初中几何——博士讲费马点问题(含答案)

博士讲费马点问题（含答案）3.如图.貞线。

为一条供水管道.点丄B 为/同侧的两个居⅛K. A 到/的距Ii l AA f = 1.卫到［的距= 2. 45' = 2：现在需要规划一套连接几卫与1的供水管道系统.希•望铺设管道的总距离从町能小.施工队三个工作人员提出了以*三套方案： ©宜接连接折线Λ, → .4 → S. Λ∖4 + .4βWJ 为斌佳方窠：② 在HfJU 上介适位IS 找一点F ・1IPA + PB^短时即为谥佳方宝：③ 在宜线/外台适位豐找一点P 连接只4、PBn 向宜线/作垂线PP ∖ ^PA ÷Pfl÷ PP ,^fS.时即为垠佳方累；请你迭择你认为最佳的方窠并说明理由.求出你所选择的最佳方案斋要铺设管道的总长度.兰老陌刃中致孚y≡⅛4501162Z5tl.如左图•四边形ABPC 内接连搖尸丄DC.试证：・4B PC + ΛC PB = BC - PA.U2.如右图.平面上任总四点ABPC ・连接P.4、BC.试证 ≡ AB PC 十 ΛC PBMBC- PA.（托勒密定理的等式形式与不等式形式，不等式形式对于空间中四点仍成立）5. ⅛ll⅜∣.边长为1的正方形ABCD 内一点卩・求PA + 2PB ÷ √5PC 的最小值.（加权费马点问題举例）nA 兰老师刃卬^≠5∕r½45r j ∣i6225费马点问题解答M.如左图∙ ©O 为等边「的外接园.F 为劣点•求证：PA =P13 PC.1-2.如右图•尸为等边A∙4B 「所在平面匕的任厳一点.求证P Λ < PB 十FU l∙l∙证明：在∙4P 上取点P∙使PB = PP ,. ZBPA = JLBCA = 60S 知等边'BPP∙ P , = ZCBP. 4AW Z ACBP (SAS),冈此PM =PP f + P f A = PZ? + PC • 1・2・证明：将ZXBPC 绕点P 旋转心尸至△ BP ,A.易知等边厶iiPP 9. WIitP.4 <Pp f + P ,A = FB + PC.兰老师初 Ψi ⅛⅛^≡450116Z252.如图.P任44"C所征平面上.若AABC的三个内介均小T120°.试证；5t∣P.4十F”十FC达到最小值时•有乙APB =乙BFC = ∆CPΛ = 120°.(费马点问题)证叽以BC为边.向*作等边△次O .2仝ABCD外接圆于点厂对平面上任意一点尸，由上一題中的结论知FM十RB十F'CN PA十尸。

费马点相关题目

费马点相关问题全掌握
1、如图，点P是△ABC内一动点，求证：当∠APB=∠BPC=∠APC=120º时，PA+PB+PC 取得最小值。

例1、（三角形）如图1，点P是等腰Rt△ABC内一动点，AB=，求PA+PB+PC的最小值。

例2、（四边形）如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=6，P为矩形ABCD内部的任意一点，求PA+PB+PCD的最小值。

例3、（四边形）已知正方形ABCD内一动点P到A、B、C三点的距离之和的最小值为，求此正方形的边长。

例4、（动费马问题）矩形ABCD边AD上有一动点F，矩形内有一动点E，AB=6，BC=10，求EF+EB+EC的最小值。

例5、（费马点思想）如图，设点P到等边三角形ABC两顶点A、B 的距离分别为2,3。

则PC的最大值为。

例6、（费马点思想）如图，设点P到正方形ABCD两顶点A、D 的距离分别为2,。

则PC的最大值为。

例7、（费马点思想）如图，设点P到正方形ABCD两顶点A、D 的距离分别为2,。

则PO的最大值为。

初二数学费马点练习题

初二数学费马点练习题费马点是数学上的一个重要概念，它得名于17世纪法国数学家费尔马(Fermat)。

费马点在数学问题中有着广泛的应用，包括解方程、求极值、求最短路径等等。

下面将介绍一些初二数学中关于费马点的练习题，并给出详细的解答过程。

题目一：已知三角形ABC的三个顶点A(2, 1)，B(4, 5)和C(6, 2)，求证：三角形ABC的费马点坐标为(4, 3)。

解答：要证明三角形ABC的费马点坐标为(4, 3)，首先我们需要了解费马点的定义。

费马点定义为到三角形三个顶点距离之和最小的点。

设费马点坐标为F(x, y)，我们需要证明点F到三个顶点的距离之和最小。

首先计算点F到点A的距离。

根据两点之间的距离公式：d(AF) = √[(x-2)^2 + (y-1)^2]同理，点F到点B和点C的距离分别为：d(BF) = √[(x-4)^2 + (y-5)^2]d(CF) = √[(x-6)^2 + (y-2)^2]我们需要最小化这三个距离之和，即求解以下最小值问题：min [d(AF) + d(BF) + d(CF)]为了方便计算，我们可以先计算上述最小值问题的平方，即：min [(d(AF))^2 + (d(BF))^2 + (d(CF))^2]将d(AF)、d(BF)和d(CF)代入上式，展开并化简可得：min [x^2 + (4x-18)^2 + (3x-7)^2 + 23x + 5y - 99]为了求解上述最小值问题，我们需要计算该函数的极值点。

对于一个多项式函数，极值点可以通过求导数为0来获得。

对上述函数关于x 和y求偏导数，得到：∂/∂x [x^2 + (4x-18)^2 + (3x-7)^2 + 23x + 5y - 99] = 0∂/∂y [x^2 + (4x-18)^2 + (3x-7)^2 + 23x + 5y - 99] = 0化简上述方程组，我们可以解得x = 4和y = 3。

将这两个值代入原函数，可以验证该点满足最小值条件，即费马点坐标为(4, 3)。

费马点问题

费马点问题1．费马点在三角形内部，到三角形三个顶点的距离之和最小的点叫做费马点．2．基本模型如图，在锐角△ABC 内有一点O ，分别连接OA 、OB 、OC ，求证：当∠AOB ＝∠AOC ＝∠BOC ＝120°时，OA ＋OB ＋OC 最小．证明：将△APC 绕点C 旋转60°至△A ′P ′C ，则△PP ′C 是等边三角形，∴OA ＋OB ＋OC ＝BP ＋PP ′＋P ′A ≥BA ′，此时∠BPC ＝180°－∠CPP ′＝120°，∠A ′P ′C ＝180°－∠CP ′P ＝120°，∴∠APC ＝∠A ′P ′C ＝120°，∴∠AOB ＝∠AOC ＝∠BOC ＝120°．3．基本结论（1）对于一个各角都不超过120°的三角形，费马点是对各边的张角都是120°的点．（2）对于有一个角超过120°的三角形，费马点就是这个内角的顶点．（不作研究）4．基本题型（1）两点之间线段最短（2）垂线段最短（3）加权问题加权费马点，旋转加缩放，系数先化一，必为勾股数．A BCPABP PCP′P′A′APBC类型1：经典费马点问题：两点之间线段最短【例题1】如图，△ABC 中，∠ACB ＝90°，∠ABC ＝60°，BC＝P 是△ABC 内一动点，将△ACP 绕点A 逆时针旋转60°得到△ADE ，连接PE 、BD ，则PA ＋PB ＋PC 的最小值为___________．【例题2】如图，等边△ABC 中，AB ＝2，若点P 是△ABC 内部一个动点，则PA ＋PB ＋PC 的最小值为__________．【例题3】如图，Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝2，BC ＝P 是△ABC 内一个动点，则P A ＋PB ＋PC 的最小值为__________．【例题4】如图，正方形ABCD 内一动点E ，到顶点A 、B 、C 的距离之和AE ＋BE ＋CE____________．PEDCBA ABCPABCPE DCBA【例题5】如图，△ABC 中，AB ＝5，BC ＝3，∠ABC ＝60°，若点P 是△ABC 内一个动点，则P A ＋PB ＋PC 的最小值为__________．【例题6】如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝4，∠CAB ＝30°，AD ⊥BC ，垂足为D ，P 为线段AD 上的一动点，连接PB 、PC ，则P A ＋2PB 的最小值为_____________．【例题7】如图，在△MNG 中，MN ＝6，∠M ＝75°，MG ＝4O 为△MNG 内一点，则点O 到△MNG 三个顶点的距离之和的最小值为____________．【例题8】如图，锐角三角形ABC 中，∠ACB ＝60°，AB ＝7，BC ＝5，AC ＝8，D 为△ABC 内一点，BD ＝1，△ABC 内有动点P ，则P A ＋PC ＋PD 的最小值为_________．PCAGNABCD P类型2：动态费马点问题：垂线段最短【例题9】如图，已知矩形ABCD，AB＝4，BC＝6，点M为矩形内一点，点E为BC边上任意一点，则MA＋MD＋ME的最小值为___________．【例题10】如图，四个村庄坐落在矩形ABCD的四个顶点上，AB＝10公里，BC＝15公里，现在要设立两个车站E、F，则EA＋EB＋EF＋FC＋FD的最小值为__________公里．类型3：加权费马点——缩放法，旋转系数大的线段【例题11】如图，在△ABC中，AB＝4，BC＝6，∠ABC＝30°，P是△ABC内一动点，则P APB＋PC的最小值为___________．【例题12】如图，在△ABC中，AB＝AC＝4，∠BAC＝90°，点P为△ABC内一点，则12P A＋PBPC的最小值为___________．AB CDEMAB CDEFPC BAAB CP【例题13】如图，点P是边长为2的等边△ABC内一点，则P A＋PB＋12PC的最小值为_________．AB CP费马点问题1．费马点在三角形内部，到三角形三个顶点的距离之和最小的点叫做费马点．2．基本模型如图，在锐角△ABC 内有一点O ，分别连接OA 、OB 、OC ，求证：当∠AOB ＝∠AOC ＝∠BOC ＝120°时，OA ＋OB ＋OC 最小．证明：将△APC 绕点C 旋转60°至△A ′P ′C ，则△PP ′C 是等边三角形，∴OA ＋OB ＋OC ＝BP ＋PP ′＋P ′A ≥BA ′，此时∠BPC ＝180°－∠CPP ′＝120°，∠A ′P ′C ＝180°－∠CP ′P ＝120°，∴∠APC ＝∠A ′P ′C ＝120°，∴∠AOB ＝∠AOC ＝∠BOC ＝120°．3．基本结论（1）对于一个各角都不超过120°的三角形，费马点是对各边的张角都是120°的点．（2）对于有一个角超过120°的三角形，费马点就是这个内角的顶点．（不作研究）4．基本题型（1）两点之间线段最短（2）垂线段最短（3）加权问题加权费马点，旋转加缩放，系数先化一，必为勾股数．A BCPABP PCP′P′A′APBC类型1：经典费马点问题：两点之间线段最短【例题1】如图，△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，BC＝P是△ABC内一动点，将△ACP绕点A逆时针旋转60°得到△ADE，连接PE、BD，则PA＋PB＋PC的最小值为___________．【答案】7．【例题2】如图，等边△ABC中，AB＝2，若点P是△ABC内部一个动点，则PA＋PB＋PC的最小值为__________．【答案】（提示：将△ABP绕点A顺时针旋转60°得到△AB′P′）【例题3】如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝2，BC＝P是△ABC内一个动点，则P A＋PB＋PC的最小值为__________．【答案】（提示：将△ABP绕点A顺时针旋转60°得到△AB′P′）【例题4】如图，正方形ABCD内一动点E，到顶点A、B、C的距离之和AE＋BE＋CE____________．【答案】2．（提示：将△ABE绕点A顺时针旋转60°得到△AB′E′，∠B′BP＝90°－60°＝30°，设B′P＝x，则PB＝，B′B＝BC＝2x，在Rt△B′PC中，x2＋(＋2x)2＝)2，解得x＝1，∴BC＝PEDCBAABCP P′A′MPCBAAB CPP′B′NMPCBAEDCBAABCDEPB′E′2）【例题5】如图，△ABC 中，AB ＝5，BC ＝3，∠ABC ＝60°，若点P 是△ABC 内一个动点，则P A ＋PB ＋PC 的最小值为__________．【答案】7．（提示：将△ABP 绕点A 顺时针旋转60°得到△AB ′P ′）【例题6】如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝4，∠CAB ＝30°，AD ⊥BC ，垂足为D ，P 为线段AD 上的一动点，连接PB 、PC ，则P A ＋2PB 的最小值为_____________．【答案】．（提示：费马点）【例题7】如图，在△MNG 中，MN ＝6，∠M ＝75°，MG ＝4O 为△MNG 内一点，则点O 到△MNG 三个顶点的距离之和的最小值为____________．【答案】（提示：将△MOG 绕点M 顺时针旋转60°得到△MO ′G ′）【例题8】如图，锐角三角形ABC 中，∠ACB ＝60°，AB ＝7，BC ＝5，AC ＝8，D 为△ABC 内一点，BD ＝1，△ABC 内有动点P ，则P A ＋PC ＋PD 的最小值为_________．PCB AABCPP′B′EF P′B′PD CBAGNG′O′HNMOGABCD PC′P′PFE D CBA【答案】1．（提示：将△APC绕点A逆时针旋转60°得到△AP′C′）类型2：动态费马点问题：垂线段最短【例题9】如图，已知矩形ABCD，AB＝4，BC＝6，点M为矩形内一点，点E为BC边上任意一点，则MA＋MD＋ME的最小值为___________．【答案】4＋（提示：将△AMD绕点D顺时针旋转60°得到△A′M′D）【例题10】如图，四个村庄坐落在矩形ABCD的四个顶点上，AB＝10公里，BC＝15公里，现在要设立两个车站E、F，则EA＋EB＋EF＋FC＋FD的最小值为__________公里．【答案】15＋（提示：将△AMD绕点D顺时针旋转60°得到△A′M′D）类型3：加权费马点——缩放法，旋转系数大的线段【例题11】如图，在△ABC中，AB＝4，BC＝6，∠ABC＝30°，P是△ABC内一动点，则P APB＋PC的最小值为___________．【答案】（提示：将△ABP绕点B逆时针旋转90°得到△A′BP′）AB CDEMAB CDEFE′B′C′F′NMFEDCBAPCBA ABCEPP′A′【例题12】如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝4，∠BAC ＝90°，点P 为△ABC 内一点，则12P A ＋PBPC 的最小值为___________．【答案】．（提示：方法1，将△APC 缩小到原来的12，并绕点C 顺时针旋转90°得到△AP ′C ′；方法2，原式＝12(P A ＋2PBPC )，将△APC 扩大到原来的2倍，并绕点C 顺时针旋转90°得到△A ′P ′C ）【例题13】如图，点P 是边长为2的等边△ABC内一点，则P A ＋PB ＋12PC 的最小值为___________．【答案】（提示：方法1，将△APC 缩小到原来的12，并绕点A 逆时针旋转60°得到△AP ′C ′；方法2，将△APC缩小到原来的，并绕点C 逆时针旋转30°得到△A ′P ′C ；方法3，原式＝12(A ＋2PB＋PC )，将△APC扩大到原来的C 顺时针旋转90°得到△A ′P ′C ）A BCPP′A′PEC B AABCPABCE PC′P′ABCPA′P′。

初二费马点例题

初二费马点例题费马点是数学中的一个重要概念，指的是在一个图形的内部某点到这个图形上的所有点的距离之和最小的点。

费马点在几何学、物理学以及工程领域都有广泛的应用。

下面，我们将通过几个初二水平的费马点例题来深入了解这一概念。

例题一：给定一个直角三角形ABC，其中∠ACB为直角，AC =5cm，BC = 12cm。

求斜边AB上的费马点及最小距离。

解答：首先，我们绘制出直角三角形ABC并标记出已知边长。

然后，我们将点D作为斜边AB上的费马点。

接下来，连接点C和D，得到线段CD。

根据费马定理，线段CD是边长AC和BC的连线中到两个端点距离和最短的线段。

为了找到这个线段，我们需要寻找线段CD的特点。

根据几何知识，可以得出线段CD垂直于斜边AB。

因此，我们可以通过构造垂直平分线，将线段CD分为两个相等的线段。

将线段CD的中点标记为E，连接点E和A，得到线段AE。

由于线段AE是线段AC的垂直平分线，所以AE与AC垂直，并且AE = AC / 2 = 2.5cm。

同理，将线段CE的中点标记为F，连接点F和B，得到线段BF。

由于线段BF是线段BC的垂直平分线，所以BF与BC垂直，并且BF = BC / 2 = 6cm。

综上所述，点D即为斜边AB上的费马点，最小距离为2.5cm。

例题二：在一个矩形ABCD中，AB = 6cm，BC = 8cm。

求矩形内部使得到四个顶点的距离和最小的点及最小距离。

解答：首先，我们绘制出矩形ABCD并标记出已知边长。

然后，我们将点P作为矩形内部使得到四个顶点的距离和最小的点。

接下来，我们连接点A和P，得到线段AP。

同时，连接点B和P，得到线段BP。

根据费马定理，线段AP和BP分别是线段AB和BC的连线中到两个端点距离和最短的线段。

为了找到这两个线段，我们需要构造两个垂直平分线。

将线段AP的中点标记为Q，连接点Q和B，得到线段BQ。

由于线段BQ是线段BC的垂直平分线，所以BQ与BC垂直，并且BQ = BC / 2 = 4cm。

费马点最值问题

费马点最值问题标准化管理部编码-[99968T-6889628-J68568-1689N]费马点破解策略费马点是指平面内到三角形三个顶点距离之和最小的点，这个最小的距离叫做费马距离．若三角形的内角均小于120°，那么三角形的费马点与各顶点的连线三等分费马点所在的周角；若三角形内有一个内角大于等于120°，则此钝角的顶点就是到三个顶点距离之和最小的点．1.若三角形有一个内角大于等于120°，则此钝角的顶点即为该三角形的费马点如图在△ABC中，∠BAC≥120°，求证：点A为△ABC的费马点证明：如图，在△ABC内有一点P延长BA至C，使得AC＝AC，作∠CAP＝∠CAP，并且使得AP＝AP，连结PP则△APC≌△APC，PC＝PC因为∠BAC≥120°所以∠PAP＝∠CAC≤60所以在等腰△PAP中，AP≥PP所以PA＋PB＋PC≥PP＋PB＋PC＞BC＝AB＋AC所以点A为△ABC的费马点2.若三角形的内角均小于120°，则以三角形的任意两边向外作等边三角形，两个等边三角形外接圆在三角形内的交点即为该三角形的费马点．如图，在△ABC中三个内角均小于120°，分别以AB、AC为边向外作等边三角形，两个等边三角形的外接圆在△ABC内的交点为O，求证：点O为△ABC的费马点证明：在△ABC内部任意取一点O，；连接OA、OB、OC将△AOC绕着点A逆时针旋转60°，得到△AO′D连接OO′则O′D＝OC所以△AOO′为等边三角形，OO′＝AO所以OA＋OC＋OB＝OO′＋OB＋O′D则当点B、O、O′、D四点共线时，OA＋OB＋OC最小此时ABAC为边向外作等边三角形，两个等边三角形的外接圆在△ABC内的交点即为点O如图，在△ABC 中，若∠BAC 、∠ABC 、∠ACB 均小于120°，O 为费马点，则有∠AOB ＝∠BOC ＝∠COA ＝120°，所以三角形的费马点也叫三角形的等角中心例1如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为（－6，0），点B 的坐标为（6，0），点C 的坐标为（6，34），延长AC 至点D 使得CD ＝AC ，过点DE 作DE //AB ，交BC 的延长线于点E ，设G 为y 轴上的一点，点P 从直线y ＝3-x ＋36与y 轴的交点M 出发，先沿y 轴到达点G ，再沿GA 到达点A ，若点P 在y 轴上运动的速度是它在直线GA 上运动速度的2倍，试确定点G 的位置，使点P 按照上述要求到达A 所用的时间最短解：∵t ＝vGM v v GM 22GA GA 2+=+ ∴当2GA ＋GM 最小时，时间最短如图，假设在OM 上存在一点G ，则BG ＝AG∴MG ＋2AG ＝MG ＋AG ＋BG把△MGB 绕点B 顺时针旋转60°，得到△M ′G ′B ，连结GG ′，MM ′∴△GG ′B 、△MM ′B 都为等边三角形则GG ′＝G ′B ＝GB又∵M ′G ′＝MG∴MG ＋AG ＋BG ＝M ′G ′＋GG ′＋AG∵点A 、M ′为定点∴AM ′与OM 的交点为G ，此时MG ＋AG ＋BG 最小∴点G 的坐标为（0，32）例2A 、B 、C 、D 四个城市恰好为一个正方形的四个顶点，要建立一个公路系统使得每两个城市之间都有公路相通，并是整个公路系统的总长度为最小，则应当如何修建？解：如图，将△ABP 绕点N 逆时针旋转60°，得到△EBM ；同样，将△DCQ 绕点C 顺时针旋转60°，得到△FCN ，连结AE 、DF ，则△ABE 、△DCF 均为等边三角形，连结PM 、QN ，则△BPM ，△CQN 均为等边三角形所以当点E ，M ，P ，Q ，N ，F 共线时，整个公路系统的总长取到最小值，为线段EF 的长，如图，此时点P ，Q 在EF 上，1＝2＝3＝4＝30．进阶训练1．如图，在ABC 中，ABC ＝60，AB ＝5，BC ＝3，P 是ABC 内一点，求PA ＋PB ＋PC 的最小值，并确定当PA ＋PB ＋PC 取得最小值时，APC 的度数．答案：PA ＋PB ＋PC 的最小值为7，此时APC ＝120．【提示】如图，将APB绕点B逆时针旋转60，得到A'BP'，连结PP'，A'C．过点A'作A'EBC，交CB的延长线于点E．解Rt A'E C求A'C的长，所得即为PA＋PB＋PC的最小值．2．如图，四边形ABCD是正方形，ABE是等边三角形，M为对角线BD上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60得到BN，连结AM，CM，EN．（1）当M在何处时，AM＋CM的值最小（2）当M在何处时，AM＋BM＋CM的值最小？请说明理由；（3）当AM＋BM＋CM31时，求正方形的边长．答案：（1）当点M落在BD的中点时，AM＋CM的值最小，最小值为AC的长；（2）连结CE，当点M位于BD与CE的交点处时．AM＋BM＋CM的值最小，最小值为CE的长．（32【提示】（3）过点E作EFBC，交CB的延长线于点F，解Rt EFC即可．。

中考数学专题复习37几何最值之费马点问题(全国通用解析版)

问题分析“费马点”指的是位于三角形内且到三角形三个顶点距高之和最短的点。

主要分为两种情况：（1）当三角形三个内角都小于120°的三角形.通常将某三角形绕点旋转60度.从而将“不等三爪图”中三条线段转化在同一条直线上.利用两点之间线段最短解决问题。

（2）当三角形有一个内角大于120°时.费马点就是此内角的顶点.费马点问题解题的核心技巧：旋转60° 构造等边三角形将“不等三爪图”中三条线段转化至同一直线上利用两点之间线段最短求解问题模型展示：如图.在△ABC内部找到一点P.使得PA＋PB＋PC的值最小.当点P满足△APB＝△BPC＝△CPA＝120º.则PA＋PB＋PC的值最小.P点称为三角形的费马点.特别地.△ABC中.最大的角要小于120º.若最大的角大于或等于120º.此时费马点就是最大角的顶点A（这种情况一般不考.通常三角形的最大顶角都小于120°）费马点的性质：1．费马点到三角形三个顶点距离之和最小。

2．费马点连接三顶点所成的三夹角皆为120°。

最值解法：以△ABC任意一边为边向外作等边三角形.这条边所对两顶点的距离即为最小值。

证明过程：几何最值之费马点问题方法技巧将△APC 边以A 为顶点逆时针旋转60°.得到AQE.连接PQ.则△APQ 为等边三角形.PA=PQ 。

即PA+PB+PC=PQ+PB+PC.当B 、P 、Q 、E 四点共线时取得最小值BE【例1】如图.四边形 ABCD 是菱形.A B =6.且△ABC =60° .M 是菱形内任一点.连接AM .BM .CM .则AM +BM +CM 的最小值为________．【答案】63【详解】将△BMN 绕点B 顺时针旋转60度得到△BNE .△BM =BN .△MBN =△CBE =60°.△MN=BM△MC=NE△AM +MB +CM =AM +MN +NE ．当A 、M 、N 、E 四点共线时取最小值AE ．△AB =BC =BE =6.△ABH =△EBH =60°.△BH △AE .AH =EH .△BAH =30°.△BH =12AB =3.AH =3BH =33.△AE =2AH =63．故答案为63．题型精讲【例2】如图.四边形ABCD 是正方形.△ABE 是等边三角形.M 为对角线BD （不含B 点）上任意一点.将BM 绕点B 逆时针旋转60°得到BN.连接EN 、AM 、CM.（1）求证：△AMB△△ENB ；（2）△当M 点在何处时.AM ＋CM 的值最小； △当M 点在何处时.AM ＋BM ＋CM 的值最小.并说明理由；（3）当AM ＋BM ＋CM 的最小值为13 时.求正方形的边长.【答案】（1）△AMB△△ENB.证明略。

2024学年初中数学几何(费马点模型)模型专项练习(附答案)

2024学年初中数学几何（费马点模型）模型专项练习1．数学上称“费马点”是位于三角形内且到三角形三个顶点距离之和最短的点．现定义：菱形对角线上一点到该对角线同侧两条边上的两点距离最小的点称为类费马点．例如：菱形ABCD，P是对角线BD上一点，E、F是边BC和CD上的两点，若点P满足PE与PF之和最小，则称点P为类费马点．（1）如图1，在菱形ABCD中，AB＝4，点P是BD上的类费马点①E为BC的中点，F为CD的中点，则PE+PF＝．②E为BC上一动点，F为CD上一动点，且∠ABC＝60°，则PE+PF＝．（2）如图2，在菱形ABCD中，AB＝4，连接AC，点P是△ABC的费马点，（即P A，PB，FC之和最小），①当∠ABC＝60°时，BP＝．②当∠ABC＝30°时，你能找到△ABC的费马点P吗？画图做简要说明，并求此时P A+PB+PC的值．2．阅读材料：平面几何中的费马问题是十七世纪法国数学家、被誉为业余数学家之王的皮埃尔•德•费马提出的一个著名的几何问题．1643年，在一封写给意大利数学家和物理学家托里拆利的私人信件中，费马提出了下面这个极富挑战性和趣味性的几何难题，请求托里拆利帮忙解答：给定不在一条直线上的三个点A，B，C，求平面上到这三个点的距离之和最短的点P的位置．托里拆利成功地解决了费马的问题．后来人们就把平面上到一个三角形的三个顶点A，B，C距离之和最小的点称为△ABC的费马﹣托里拆利点，也简称为费马点或托里拆利点．问题解决：（1）费马问题有多种不同的解法，最简单快捷的还是几何解法．如图1，我们可以将△BPC 绕点B顺时针旋转60°得到△BDE，连接PD，可得△BPD为等边三角形，故PD＝PB，由旋转可得DE＝PC，因此P A+PB+PC＝P A+PD+DE，由可知，P A+PB+PC的最小值与线段的长度相等；（2）如图2，在直角三角形△ABC内部有一动点P，∠BAC＝90°，∠ACB＝30°，连接P A，PB，PC，若AB＝2，求P A+PB+PC的最小值；（3）如图3，菱形ABCD的边长为4，∠ABC＝60°，平面内有一动点E，在点E运动过程中，始终有∠BEC＝90°，连接AE、DE，在△ADE内部是否存在一点P，使得P A+PD+PE最小，若存在，请直接写出P A+PD+PE的最小值；若不存在，请说明理由．3．若点P为△ABC所在平面上一点，且∠APB＝∠BPC＝∠CP A＝120°，则点P叫做△ABC的费马点．当三角形的最大角小于120°时，可以证明费马点就是“到三角形的三个顶点的距离之和最小的点”．即P A+PB+PC最小．（1）如图1，向△ABC外作等边三角形△ABD，△AEC．连接BE，DC相交于点P，连接AP．①证明：点P就是△ABC费马点；②证明：P A+PB+PC＝BE＝DC；（2）如图2，在△MNG中，MN＝4，∠M＝75°，MG＝3．点O是△MNG内一点，则点O到△MNG三个顶点的距离和的最小值是．4．如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，点E、F分别是AB、BC上的动点，连接DE、DF、EF．（1）如图1，连接AF，若AF⊥BC，E为AB的中点，且EF＝2，求DF的长；（2）如图2，若BE＝BF，G为DE的中点，连接AF、AG、FG，求证：AG⊥FG；（3）如图3，若AB＝4，将△BEF沿EF翻折得到△EFP（始终保持点P在菱形ABCD的内部），连接AP、BP及CP，请直接写出当P A+PB+PC值最小时PB的长．参考答案1．数学上称“费马点”是位于三角形内且到三角形三个顶点距离之和最短的点．现定义：菱形对角线上一点到该对角线同侧两条边上的两点距离最小的点称为类费马点．例如：菱形ABCD，P是对角线BD上一点，E、F是边BC和CD上的两点，若点P满足PE与PF之和最小，则称点P为类费马点．（1）如图1，在菱形ABCD中，AB＝4，点P是BD上的类费马点①E为BC的中点，F为CD的中点，则PE+PF＝．②E为BC上一动点，F为CD上一动点，且∠ABC＝60°，则PE+PF＝．（2）如图2，在菱形ABCD中，AB＝4，连接AC，点P是△ABC的费马点，（即P A，PB，FC之和最小），①当∠ABC＝60°时，BP＝．②当∠ABC＝30°时，你能找到△ABC的费马点P吗？画图做简要说明，并求此时P A+PB+PC的值．【详细解答】解：（1）①取AB的中点E'，连接PE'，∵四边形ABCD是菱形，∴BC＝AB＝CD，∠ABP＝∠CBP，∵点E，E'分别是AB，BC的中点，∴BE＝BE'，在△BEP和△BE'P中，，∴△BEP≌△BE'P（SAS），∴PE＝PE'，1∴PE+PF＝PE'+PF，∴当E'、P、F三点共线时，PE+PF最小值为E'F的长，∵AE'＝DF，AE'∥DF，∴四边形AE'FD是平行四边形，∴E'F＝AB＝4，∴PE+PF＝4，故答案为：4；②由①知PE+PF＝E'F，若E、F为动点，则E'F的最小值为AB与CD之间的距离，∴过点C作CH⊥AB于H，在Rt△BCH中，sin∠CBH ＝，∴CH＝2，∵点P是BD上的类费马点∴PE+PF的最小值为2；故答案为：2；（2）①如图2，将△BPC绕点B顺时针旋转60°得△BP'C'，连接PP'，∴BP＝BP'，PC＝P'C'，∠PBP'＝60°，∴△BPP'是等边三角形，∴PP'＝PB，∴P A+PB+PC＝P A+PP'+P'C'，∴当P、P'在线段AC'上时，P A+PB+PC最小值为AC'的长，2∴连接AC'，AC'与BD的交点为P点， ∵AB＝BC＝4，∠ABC＝120°，∴∠BAP＝∠ABP＝30°，AC'＝4， ∴AP＝BP，同理BP'＝CP'，∴BP＝AC'＝；故答案为：；②如图3，将△BPC绕点B顺时针旋转60°得△BP'C'，连接PP'，∴BP＝BP'，PC＝P'C'，∠PBP'＝60°，∠CBC'＝60°，∴△BPP'是等边三角形，∴PP'＝PB，∴P A+PB+PC＝P A+PP'+P'C'，∴当P、P'在线段AC'上时，P A+PB+PC最小值为AC'的长，且线段AC'在△ABC内部的线段即为费马点P，∵∠ABC'＝90°，AB＝BC'＝4，∴AC'＝，∴此时P A+PB+PC的最小值为4．2．阅读材料：平面几何中的费马问题是十七世纪法国数学家、被誉为业余数学家之王的皮埃尔•德•费马提出的一个著名的几何问题．1643年，在一封写给意大利数学家和物理学家托里拆利的私人信件中，费马提出了下面这个极富挑战性和趣味性的几何难题，请求托里拆利帮忙详细解答：给定不在一条直线上的三个点A，B，C，求平面上到这三个点的距离之和最短的点P的位置．托里拆利成功地解决了费马的问题．后来人们就把平面上到一个三角形的三个顶点A，B，3C距离之和最小的点称为△ABC的费马﹣托里拆利点，也简称为费马点或托里拆利点．问题解决：（1）费马问题有多种不同的解法，最简单快捷的还是几何解法．如图1，我们可以将△BPC 绕点B顺时针旋转60°得到△BDE，连接PD，可得△BPD为等边三角形，故PD＝PB，由旋转可得DE＝PC，因此P A+PB+PC＝P A+PD+DE，由可知，P A+PB+PC的最小值与线段的长度相等；（2）如图2，在直角三角形△ABC内部有一动点P，∠BAC＝90°，∠ACB＝30°，连接P A，PB，PC，若AB＝2，求P A+PB+PC的最小值；（3）如图3，菱形ABCD的边长为4，∠ABC＝60°，平面内有一动点E，在点E运动过程中，始终有∠BEC＝90°，连接AE、DE，在△ADE内部是否存在一点P，使得P A+PD+PE 最小，若存在，请直接写出P A+PD+PE的最小值；若不存在，请说明理由．【详细解答】解：（1）将△BPC绕点B顺时针旋转60°得到△BDE，连接PD，可得△BPD 为等边三角形，故PD＝PB，由旋转可得DE＝PC，因此P A+PB+PC＝P A+PD+DE，由两点之间线段最短可知，P A+PB+PC的最小值与线段AE的长度相等．故答案为：两点之间线段最短，AE．（2）如图，将△ABP绕点B顺时针旋转60°得到△EBF，连接PF，CE，作EH⊥CA交CA的延长线于H．4在Rt△ABC中，∵∠ABC＝30°，AB＝2，∴BC＝2AC＝4，AB＝AC＝2，由旋转的旋转可知：P A＝EF，△PBF，△ABE是等边三角形， ∴PF＝PB，∴P A+PB+PC＝EF+FP+PC，∵EF+FP+PC≥CE，∴当C，P，F，E共线时，P A+PB+PC的值最小，∵∠BAC＝90°，∠CAE＝60°，∴∠HAE＝180°﹣90°﹣60°＝30°，∵EH⊥AH，AE＝AB＝2，∴EH ＝AE＝1，AH＝EH ＝，∴CE ＝＝＝2，∴P A+PB+PC的最小值为2．故答案为2．（3）如图3中，将△ADP绕点A逆时针旋转90°得到△TAH，连接PH，DT，CT．5∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝CD＝AD，∵∠ABC＝60°，∴△ABC，△ADC都是等边三角形，∵∠BEC＝90°，∴点E在以BC为直径的⊙O上运动，连接OT，OE，则OE＝BC＝2，由旋转的性质可知，△P AH，△ADT都是等边三角形，P A＝PH，HT＝PD， ∵OE+PE+PH+TH≥OT，∴PE+P A+PD≥OT﹣OE，∵TA＝TD＝AC＝CD＝AD＝4，∴CT⊥AD，∵AD∥BC，∴CT⊥BC，CT＝4，∴OT＝＝2，∴PE+P A+PD≥2﹣2，∴PA+PD+PE的最小值为2﹣2．3．若点P为△ABC所在平面上一点，且∠APB＝∠BPC＝∠CP A＝120°，则点P叫做△ABC 的费马点．当三角形的最大角小于120°时，可以证明费马点就是“到三角形的三个顶点6的距离之和最小的点”．即P A+PB+PC最小．（1）如图1，向△ABC外作等边三角形△ABD，△AEC．连接BE，DC相交于点P，连接AP．①证明：点P就是△ABC费马点；②证明：P A+PB+PC＝BE＝DC；（2）如图2，在△MNG中，MN＝4，∠M＝75°，MG＝3．点O是△MNG内一点，则点O到△MNG三个顶点的距离和的最小值是．【详细解答】（1）证明：①如图1﹣1中，作AM⊥CD于M，AN⊥BE于N设AB交CD于O．∵△ADB，△ACE都是等边三角形，∴AD＝AB，AC＝AE，∠DAB＝∠CAE＝60°，∴∠DAC＝∠BAE，∴△ADC≌△ABE（SAS），∴CD＝BE，S△DAC＝S△ABE，∠ADC＝∠ABE，∵AM⊥CD，AN⊥BE，∴•CD•AM ＝•BE•AN，∴AM＝AN，∴∠APM＝∠APN，∵∠AOD＝∠POB，∴∠OPB＝∠DAO＝60°，∴∠APN＝∠APM＝60°，∴∠APC＝∠BPC＝∠APC＝120°，7∴点P是就是△ABC费马点．②在线段PD上取一点T，使得P A＝PT，连接AT．∵∠APT＝60°，PT＝P A，∴△APT是等边三角形，∴∠P AT＝60°，AT＝AP，∵∠DAB＝∠TAP＝60°，∴∠DAT＝∠BAP，∵AD＝AB，∴△DAT≌△BAP（SAS），∴PB＝DT，∴PD＝DT+PT＝P A+PB，∴P A+PB+PC＝PD+PC＝CD＝BE．（2）解：如图2：以MG为边作等边三角形△MGD，以OM为边作等边△OME．连接ND，作DF⊥NM，交NM的延长线于F．∵△MGD和△OME是等边三角形∴OE＝OM＝ME，∠DMG＝∠OME＝60°，MG＝MD，∴∠GMO＝∠DME在△GMO和△DME中，，∴△GMO≌△DME（SAS），∴OG＝DE∴NO+GO+MO＝DE+OE+NO∴当D、E、O、N四点共线时，NO+GO+MO值最小，∵∠NMG＝75°，∠GMD＝60°，∴∠NMD＝135°，∴∠DMF＝45°，∵MG＝3∴MF＝DF＝，∴NF＝MN+MF＝4+＝，∴ND＝＝＝，∴MO+NO+GO最小值为，故答案为，4．如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，点E、F分别是AB、BC上的动点，连接DE、DF、EF．（1）如图1，连接AF，若AF⊥BC，E为AB的中点，且EF＝2，求DF的长；（2）如图2，若BE＝BF，G为DE的中点，连接AF、AG、FG，求证：AG⊥FG；（3）如图3，若AB＝4，将△BEF沿EF翻折得到△EFP（始终保持点P在菱形ABCD的内部），连接AP、BP及CP，请直接写出当P A+PB+PC值最小时PB的长．【详细解答】解：（1）方法1、如图1，∵AF⊥BC，∴∠AFB＝90°，∵E为AB的中点，∴AE＝BE，∴EF＝BE＝AB＝2，∵∠ABC＝60°，∴BF＝EF＝BC，∴CF＝EF＝2，过点D作DG⊥BC交BC的延长线于G，在Rt△CDG中，∠DCG＝180°﹣∠BCD＝60°，∴∠CDG＝30°，CG＝CD＝2，DG＝CG＝2，∴FG＝CF+CG＝4，在Rt△DFG中，DF＝＝2；方法2、∵AF⊥BC，∴∠AFB＝90°，∵点E是AB的中点，∴AE＝BE，在Rt△ABF中，EF＝BE＝AB，∴AB＝4，∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝AB＝4，∠BAD＝180°﹣∠ABC＝120°，在Rt△ABF中，∠ABC＝60°，∴∠BAF＝30°，∴AF＝2，∠DAF＝∠BAD﹣∠BAF＝90°，在Rt△ADF中，根据勾股定理得，DF＝＝2；（2）方法1、如图2，延长AG交CD于H，连接AC，FH， ∵AB∥CD，∴∠AEG＝∠HDG，∵G为DE的中点，∴EG＝DG，在△AEG和△DHG中，，∴△AEG≌△DHG，∴AG＝HG，AE＝DH，∵AB＝BC＝CD，BE＝BF，∴FC＝DH，BF＝CH，在△AFC和△AHD中，，∴△AFC≌△AHD，∴AH＝AF，同理：△ABF≌△ACH，∴∠BAF＝∠CAH，∴∠F AH＝∠F AC+∠CAH＝∠F AC+∠BAF＝∠BAC＝60°， ∴△AFH是等边三角形，∵AG＝HG，∴AG⊥FG．方法2、延长AG交CD于H，连接FH，∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝CD，AB∥CD，∴∠EAG＝∠DHG，∠AEG＝∠HDG，∵点G是DE中点，∴EG＝DG，∴△AEG≌△HDG，∴AG＝HG，AE＝DH，∴BE＝CH，∵BE＝BF，∠ABC＝60°，∴△BEF是等边三角形，∴∠BEF＝60°，EF＝BE，∴∠AEF＝∠FCH，EF＝CH，∴△AEF≌△FCH，∴AF＝HF，∵AG＝HG，∴FG⊥AG，（3）如图a，在△ABC中，P为其中任意一点．连接AP，BP，得到△ABP．以点B为旋转中心，将△ABP逆时针旋转60°，得到△EBD∵旋转60°，且BD＝BP，∴△DBP为一个等边三角形∴PB＝PD∴P A+PB+PC＝DE+PD+PC∴当E、D、P、C四点共线时，为P A+PB+PC最小．如图3，当B、P、G、D四点共线时，P A+PB+PC值最小，最小值为BD． ∵将△APC绕点C顺时针旋转60°，得到△DGC，∴△APC≌△DGC，∴CP＝CG，∠PCG＝60°，∴△PCG是等边三角形，∴PG＝CG＝CP，∠GPC＝∠CGP＝60°．∵菱形ABCD中，∠ABP＝∠CBP＝∠ABC＝30°，∴∠PCB＝∠GPC﹣∠CBP＝60°﹣∠30°＝30°，∴∠PCB＝∠CBP＝30°，∴BP＝CP，同理，DG＝CG，∴BP＝PG＝GD．连接AC，交BD于点O，则AC⊥BD．在Rt△BOC中，∵∠BOC＝90°，∠OBC＝30°，BC＝4，∴BO＝BC•cos∠OBC＝4×＝2，∴BD＝2BO＝4，∴BP＝BD＝．即当P A+PB+PC值最小时PB的长为．。

二十道费马点模型例题

二十道费马点模型例题1.给定三个点A(0,0)，B(3,4)，C(1,1)，找到一个点P(x,y)，使得PA+PB+PC的和最小。

2.平面上有四个点D(-2,1)，E(3,2)，F(0,5)，G(1,-1)，求一个点P(x,y)，使得PD+PE+PF+PG的和最小。

3.给定五个点H(1,2)，I(5,5)，J(3,1)，K(0,3)，L(4,0)，寻找一个点P(x,y)，使得PH+PI+PJ+PK+PL的和最小。

4.在平面上有六个点M(0,0)，N(3,1)，O(-1,2)，P(2,-1)，Q(1,3)，R(-2,2)，寻找一个点P(x,y)，使得PM+PN+PO+PP+PQ+PR的和最小。

5.给定三个点S(2,4)，T(-1,-1)，U(3,6)，求一个点P(x,y)，使得PS+PT+PU的和最小。

6.平面上有四个点V(1,2)，W(4,5)，X(0,0)，Y(6,1)，求一个点P(x,y)，使得PV+PW+PX+PY的和最小。

7.给定五个点Z(1,3)，A(6,2)，B(0,4)，C(3,1)，D(5,5)，寻找一个点P(x,y)，使得PZ+PA+PB+PC+PD的和最小。

8.在平面上有六个点E(-1,1)，F(4,2)，G(2,5)，H(3,0)，I(0,3)，J(-2,4)，找到一个点P(x,y)，使得PE+PF+PG+PH+PI+PJ的和最小。

9.给定三个点K(2,3)，L(-1,-2)，M(4,5)，求一个点P(x,y)，使得PK+PL+PM的和最小。

10.平面上有四个点N(0,0)，O(5,1)，P(-2,3)，Q(3,-1)，寻找一个点P(x,y)，使得PN+PO+PP+PQ的和最小。

11.给定两个点R(1,1)，S(4,5)，求一个点P(x,y)，使得PR+PS的和最小。

12.在平面上有五个点T(-3,2)，U(4,-1)，V(0,6)，W(2,3)，X(-1,-2)，找到一个点P(x,y)，使得PT+PU+PV+PW+PX的和最小。