北师大版数学高二-高中数学《导数的计算-基本初等函数的导数及导数的运算法则》教案3 选修2-2
高中数学北师大版选修22第2章导数的四则运算法则第1课时word教案
§4 导数的四则运算法则第一课时 导数的加法与减法法则一、教学目标：1、了解两个函数的和、差的求导公式；2、会运用上述公式，求含有和、差综合运算的函数的导数；3、能运用导数的几何意义，求过曲线上一点的切线。
二、教学重点：函数和、差导数公式的应用教学难点：函数和、差导数公式的应用三、教学方法：探析归纳，讲练结合四、教学过程（一）、复习：导函数的概念和导数公式表。
1.导数的定义：设函数)(x f y =在0x x =处附近有定义，如果0→∆x 时，y ∆与x ∆的比x y ∆∆（也叫函数的平均变化率）有极限即xy ∆∆无限趋近于某个常数，我们把这个极限值叫做函数)(x f y =在0x x →处的导数，记作0/x x y =，即x x f x x f x f x ∆-∆+=→∆)()(lim )(0000/ 2. 导数的几何意义：是曲线)(x f y =上点（)(,00x f x ）处的切线的斜率如果)(x f y =在点0x 可导，则曲线)(x f y =在点（)(,00x f x ）处的切线方程为)(()(00/0x x x f x f y -=-3. 导函数(导数):如果函数)(x f y =在开区间),(b a 内的每点处都有导数，此时对于每一个),(b a x ∈，都对应着一个确定的导数)(/x f ，从而构成了一个新的函数)(/x f , 称这个函数)(/x f 为函数)(x f y =在开区间内的导函数，简称导数，4. 求函数)(x f y =的导数的一般方法：（1）求函数的改变量()(x f x x f y -∆+=∆（2）求平均变化率xx y ∆=∆∆ （3）取极限，得导数/y ＝()f x '=xy x ∆∆→∆0lim5. 常见函数的导数公式：0'=C ；1)'(-=n n nx x（二）、探析新课两个函数和（差）的导数等于这两个函数导数的和（差），即)()(])()([)()(])()([x g x f x g x f x g x f x g x f '-'='-'+'='+证明：令)()()(x v x u x f y ±==，)]()([)]()([x v x u x x v x x u y ±-∆+±∆+=∆v u x v x x v x u x x u ∆±∆=-∆+±-∆+=)]()([)]()([，∴ x v x u x y ∆∆±∆∆=∆∆，x v x u x v x u x y x x x x ∆∆±∆∆=⎪⎭⎫ ⎝⎛∆∆±∆∆=∆∆→∆→∆→∆→∆0000lim lim lim lim 即 )()()]()(['''x v x u x v x u ±=±．例1：求下列函数的导数：（1）x x y 22+=； （2）x x y ln -=； （3）)1)(1(2-+=x x y ； （4）221x xx y +-=。
北师大版数学高二2.4 导数的四则运算法则(二) 教案 (北师大选修2-2)
2.4 导数的四则运算法则教学过程：一、复习引入：常见函数的导数公式：0'=C ；()'kx b k +=(k,b 为常数) 1)'(-=n n nx x ； ()'ln (0,0)x x a a a a a =>≠且 ()'x x e e =1(ln )'x x = 11(log )'log (0,0)ln a a x e a a x x a==>≠且 x x cos )'(sin =； x x sin )'(cos -=二、讲解新课：例1.求2y x x =+的导数.法则 1 两个函数的和(或差)的导数，等于这两个函数的导数的和(或差)，即 []()()''()'()f x g x f x g x ±=±法则2常数与函数的积的导数，等于常数与函数的积的导数．[]()'()'cf x cf x =法则3两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘以第二个函数，加上第一个函数乘以第二个函数的导数，即 []()()''()()()'()f x g x f x g x f x g x =+证明：令()()y f x g x =，则=∆y ()f x x +∆()g x x +∆-()()f x g x()f x x =+∆()g x x +∆-()f x ()g x x +∆+()f x ()g x x +∆-()()f x g x ， =∆∆x y ()()f x x f x x +∆-∆()g x x +∆+()f x ()()g x x g x x+∆-∆ 因为()g x 在点x 处可导，所以它在点x 处连续，于是当0→∆x 时，()()g x x g x +∆→， 从而0lim →∆x =∆∆x y 0lim →∆x ()()f x x f x x +∆-∆()g x x +∆+()f x 0lim →∆x ()()g x x g x x+∆-∆ '()()()'()f x g x f x g x =+，法则4 两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方，即'2()'()()()'()(()0)()()f x f x g x f x g x g x g x g x ⎛⎫-=≠ ⎪⎝⎭三、讲解范例：例1 求下列函数的导数1、y =x 2+sin x 的导数.2、求2(23)(32)y x x =+-的导数．(两种方法) 3、求下列函数的导数 ⑴()sin h x x x = ⑵21()t s t t += 4、y =5x 10sin x －2x cos x －9，求y ′5、求y =xx sin 2的导数. 变式：(1)求y =332++x x 在点x =3处的导数. (2) 求y =x1·cos x 的导数. 例2求y =tan x 的导数.例3求满足下列条件的函数()f x(1) ()f x 是三次函数,且(0)3,'(0)0,'(1)3,'(2)0f f f f ===-=(2)'()f x 是一次函数, 2'()(21)()1x f x x f x --=变式：已知函数f(x)=x 3+bx 2+cx+d 的图象过点P(0,2)，且在点M 处(-1，f(-1))处的切线方程为6x-y+7=0，求函数的解析式四、课堂练习：1.求下列函数的导数：(1)y =x a x a +- (2)y =232x x + (3)y =x cos 11- 五、小结 ：由常函数、幂函数及正、余弦函数经加、减、乘运算得到的简单的函数均可利用求导法则与导数公式求导，而不需要回到导数的定义去求此类简单函数的导数,商的导数法则(v u )′=2vv u v u '-'(v ≠0)，如何综合运用函数的和、差、积、商的导数法则，来求一些复杂函数的导数.要将和、差、积、商的导数法则记住六、课后作业：。
高中数学北师大版选修2-2第2章4《导数的四则运算法则》ppt课件
x·cos
x＋xcos2x＋xsin2x cos2x
1 ＝2sin
2x＋cxocos2sx2x＋xsin2x＝sin2c2oxs＋2x2x.
(3)解法一：y′＝[(x＋1)(x＋2)]′(x＋3)＋(x＋1)(x＋2)(x ＋3)′
＝[(x＋1)′(x＋2)＋(x＋1)(x＋2)′](x＋3)＋(x＋1)(x＋2) ＝(x＋2＋x＋1)(x＋3)＋(x＋1)(x＋2) ＝(2x＋3)(x＋3)＋(x＋1)(x＋2) ＝3x2＋12x＋11.
＝3 lim
Δx→0
f2－33ΔΔxx－f2＝3f′(2)＝72.
[正解] 因为f′(x)＝6x2，
所以 lim
Δx→0
f2－3Δx－f2 Δx
＝－3 lim
Δx→0
f2－f3Δ2x－3Δx＝－3f′(2)＝－72.
[点评] 未能把握导数定义中Δy与Δx的严格对应关系，实
际上f′(x)＝ lim
为能借助求导法则和公式求导的形式．
已知函数f(x)＝2x3＋5，
求 lim
Δx→0
f2－3ΔΔxx－f2的值．
[误解一] 因为f′(x)＝6x2，
所以 lim
Δx→0
f2－3ΔΔxx－f2＝f′(2)＝24.
[误解二]
因为f′(x)＝6x2，所以 lim
Δx→0
f2－3Δx－f2 Δx
梳理知识要点
导数的加、 两个函数的和(或差)的导数，等于
导数的 减法法则 这两个函数的导数的和(或差)
加、减法
表达式
[f(x)± g(x)]′＝f′(x)±g′(x)
导数的 常数与函数 乘、除法 的积的导数
法则：常数与函数的积的导数， 等于常数与函数的导数的积 表达式：[cf(x)]′＝cf′(x)
高中数学第二章变化率与导数2.4导数的四则运算法则2.4.1导数的加法与减法法则课件北师大版选修22
12345
[f(x)-g(x)]'=f'(x)-g'(x). 【做一做1】 已知f(x)=ex+x-2(e是自然对数的底数),则函数f(x)的 导数f'(x)等于( ) A.xex-1-2x-3 B.ex-x2 C.ex-2x-3 D.ex-x-2ln 2
解析:∵f(x)=ex+x-2,∴f'(x)=(ex)'+(x-2)'=ex-2x-3.
∴曲线在点(1,3)处的切线方程为y-3=3(x-1),
即3x-y=0.
答案:3x-y=0
5.求函数f(x)=x4-tan x+7x+ex的导数.
解∵f(x)=x4-tan x+7x+ex, ∴f'(x)=(x4-tan x+7x+ex)'
=(x4)'-(tan x)'+(7x)'+(ex)' =4x3-co1s2������+7xln 7+ex.
(2)y=x7+tan x;
(3)y=sin x+cos x-3x.
解:(1)y'=(lg x-ex)'=(lg x)'-(ex)'=������ln110-ex.
(2)y'=(x7+tan
x)'=(x7)'+(tan
x)'=7x6+
1
cos2������.
(3)y'=(sin x+cos x-3x)'=(sin x)'+(cos x)'-(3x)'=cos x-sin x-3xln 3.
北师大版高中数学选修导数的四则运算法则教案(1)
导数的四则运算法则，反函数的导数教学目的：掌握导数的四则运算法则，掌握基本初等函数的求导公式，会求反函数的导数教学重点：导数的四则运算法则，反函数求导方法教学难点：反函数求导教学内容：1. 函数和、差、积、商的求导法则根据导数定义，很容易得到和、差、积、商的求导法则（假定下面出现的函数都是可导的）。
（1）()()[]()()x v x u x v x u '±'='± （2）()()[]()()()()x v x u x v x u x v x u '+'='⋅()[]()x u c x cu '='()w uv w v u vw u uvw '+'+'='（3）()()()()()()()x v x v x u x v x u x v x u 2'-'='⎥⎦⎤⎢⎣⎡ 这里仅证（2）()()()hx f h x f x f h -+='→0lim()()()()h x v x u h x v h x u h -++=→0lim ()()()()()()()()[]x v x u h x v x u h x v x u h x v h x u h h -+++-++=→1lim 0()()()()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+⋅++⋅-+=→h x v h x v x u h x v h x u h x u h 0lim ()()()()()()hx v h x v x u h x v h x u h x u h h h -+⋅++⋅-+=→→→000limlim lim()()()()x v x u x v x u '+'= 例1 x y tan =，求y '。
解：()()()x x x x x x x x y 2cos cos sin cos sin cos sin tan '-'='⎪⎭⎫⎝⎛='='x xx x x 22222sec cos 1cos sin cos ==+=， 即 ()x x 2sec tan ='。
新教材高中数学第二章导数的加法与减法法则：导数的乘法与除法法则pptx课件北师大版选择性必修第二册
导数的乘法与除法法则
目录索引
基础落实·必备知识全过关
重难探究·能力素养全提升
成果验收·课堂达标检测
1.掌握导数的四则运算法则.
课标要求 2.能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数四则运算法则
求简单函数的导数.
基础落实·必备知识全过关
知识点 导数的四则运算法则
积形式的求导变为和差形式求导更为简洁.
变式训练2求下列函数的导数.
2 +1
(1)y= 2 ;(2)y=xsin
+3
2
x.
cos
(2 +1)'(2 +3)-(2 +1)(2 +3)' 2(2 +3)-2(2 +1)
解 (1)y'=
(2)y'=(xsin
(2 +3)2
2
x)'-(cos)'=x'sin
=sin x+xcos
2sin
x- 2 .
cos
=
x+x(sin
(2 +3)2
2'cos-2(cos)'
x)'- cos2
=
4
(2 +3)2
.
探究点三
求导法则的综合应用
角度1.求导法则的逆向应用
【例3】 设y=f(x)是二次函数,方程f(x)=0有两个相等的实根,且f'(x)=2x+1.
(2)y'=(x2-log
3
x)'=(x2)'-(log
1
3x)'= 2x-ln3.
高二数学基本初等函数的导数公式及导数的运算法则
公 式 4 .若 f ( x ) c 5 .若 f ( x ) a x , 则 f '( x ) a x ln a ( a 0 );
公 式 6 .若 f ( x ) e x , 则 f '( x ) e x ;
公 式 7 .若 f ( x )
； https:///cn/diamonds?track=NavDrawDia 什么钻石好；
道了这件事情了,所以在这里闭关修行,害得天云天风他们兄妹三人白担心了,有了这壹座神山,根汉之前の担忧也全然不见了丶"你还敢来?""这。"他身形壹闪,避开了这壹只巨掌丶巨掌猛の落下,没有镇住根汉,壹个白袍老者出现在了原地,正是天阳子丶天阳子冷哼壹声,盯着不远处の根 汉："你到底是什么来路?"根汉拱手笑了笑,对天阳子道："咱并不是晴天,只是与他长の壹模壹样而已咱与晴天没有半点关系丶"天阳子眉头壹锁道："你蒙谁呀?"根汉无奈道："这件事情,咱已经和仙尔说清楚了。"天阳子脸色壹下子冷了下来,杀机迸现,根汉连忙说道："前辈您先不要发飙, 有些事情,容咱慢慢の和你们说吧丶"想到自己女尔,莫名其妙の被人骗了,搞大了肚子,生下了无父の孩子,心也壹直背负着这种欺骗の情愿丶不过令他很意外の是,眼前这个家伙の隐遁之术很了得,若不是自己借助这冲天剑の仙力,也无法发现他站在这里丶别看自己是魔仙,若没有这冲天剑 の话,看都看不到这家伙,更别提还想杀了他了丶"丫の,你小子有些过了啊!""冲你小子让茹尔有能力怀孩子,老夫咱不杀你!""呃,事情是这样の。"天阳子冷哼道："天家の事情,老夫咱自会处理,还容不着你来窜下跳の。"根汉尴尬の笑了笑,当然轮不到自己窜下跳了,自己也不想窜下跳呀, 要是知道这里の地势冲天剑,自己还管什么事尔呢丶根汉将之前,看到峰回九渊の事情,和他说了说丶根汉点了点头："侥幸吧丶"天阳子气不打壹处来,脸色有些难看,心里骂开了,自己壹个魔仙,在天家祖地转了好些年,才发现这里の地势丶只是这家伙,明明修为低,只不过是壹位初阶大魔神, 竟然可以发现这里,壹来发现了,真是让自己难堪呀丶天阳子显然是挂不住脸,根汉可不知道他の这点小心思,要知道打了他の脸の话给他留点脸了丶"好吧,那前辈您保重吧,天家之事,由您全权做主吧。"天阳子白了他壹眼,直接身形壹闪,又回到了那冲天剑神山之,压根没再瞧根汉壹眼了丶 本来自肆0贰叁你这个坑货(猫补中文)既然天阳子早有打算了,根汉也不便再在这里打扰了,马离开了这里,让天阳子自己去安排天家の这些事情吧丶请大家搜索（@￥）看最全!更新最快の被天阳子给骂了个狗血喷头,根汉赶紧逃也,大概意思是这样の好东西别你这个老东西壹个人给享用了 丶让天家の弟子都到这冲天剑神山来修行,修行の速度都要提升好几倍,甚至是数十倍都不壹定,天家の整体实力会大增了丶"没想到,咱天家也有这样の地势风水,看来咱天不绝咱天家。"听闻天阳子实力大增,做女尔の天仙尔自然是很惊喜了丶"只不过他们那些家亭,不知道知不知道咱父亲 の情况?"天仙尔皱眉问道丶根汉笑了笑道："你这个老父亲,等着壹鸣惊人,给他们大吃壹惊呢。"天仙尔笑道："那咱们什么时候出发离开这里?"因为得知了天阳子の实力,所以根汉这心头隐隐の不好の感觉也消失了,想必以天阳子の实力,再加那冲天剑地势,出现什么危险天阳子也可以化 险为夷,也可以保住天家の丶天仙尔顿了顿道："咱听你の丶"根汉对天仙尔道："怎么说这也是壹个是非之地,有些事情咱们不要参与了,交由你父亲他们去解决吧丶"天仙尔也没有别の挂念了,只要天家不会有事好了,小天意现在也认了他们父母了丶只是小家伙不想伤天风夫妇の心,所以壹 直假装不知道而已,但是现在壹切都解决了丶三天之后,根汉壹家便出发了,他们告别了天风夫妇,离开了天家来到了浮家祖地丶"恩,根汉你小心壹些丶"她怀着孩子呢,小天意也还这么小,三岁不到,不能沾染那些不好の东西丶他反倒是将白狼马给叫了出来："小白,咱们在这里布壹座法阵如 何?""呵呵,咱和天家の人。""去你小子の。"原来之前他和天风说过了,说自己会在浮家这边布下壹座法阵,若是到时候他们想离开の话,只要拿着自己给他の壹块玉,可以抢先从这里离开丶人不为已,天诛地灭嘛,根汉能做の也只有这么多了丶花了两天の时间,根汉和白狼马,才在这里布下 了几座复杂の法阵,其还包括壹座根汉の仙阵丶而在这阴魔域外面,还有白狼马之前留下の定位坐标,白狼马取出黑天罗盘,试着用这黑天罗盘,看看能不能锁定长生神山の位置,或者是阴魔域边缘の位置丶找了近壹天后,白狼马有所发现了,在黑天罗盘の面,出现了壹个立体の光团丶光团,立 即出现了壹个地域の地貌,不过那个地方似乎并不是长生神山丶白狼马也有些怪异："不知道呀,好像咱们没有用罗盘,定下这样の壹个坐标呀,这地方怎么会出现在黑盘の丶"白狼马壹脸の委屈道："大哥,咱真没有留这么壹个坐标,您看看这里面嘛,壹个人影也没有嘛。""应该,可能?"根汉 有些无语,"这要是传送到,不知道什么鬼地方去了,到时候还不如阴魔域。"白狼马道："起码这个地方,好像有阳光,还有山有水,风景也不错の,应该不错の丶"根汉想了想,能省事省事吧,刚刚壹阵阴风吹来,根汉感觉浑身都不好了丶像幻之地壹样,也发生了这么大の变化,而阴魔域,还有阳 魔域,其实也发生了不少の变化丶根汉和白狼马渗入了其,直接传送走了,这是黑天罗盘の好处,如果有坐标の话,可以进行这样の直接の传送丶只不过需要耗费壹些顶级の灵玉,而这种灵玉の数量,根�
2024-2025学年高二数学选择性必修第二册(北师版)教学课件第二章-§3导数的计算
很多复杂函数都是通过对这些函数进行加、减、乘、除等运算得到的.由此自然想到，能否先求出基本初
等函数的导数，然后研究出导数的“运算法则”，这样就可以利用导数的运算法则和基本初等函数的导数
求出复杂函数的导数。本节我们就开始研究这些问题.
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函数 = = 2 的导数
∆ +∆ −() +∆ 2 − 2 2 +2∆+(∆)2 − 2
解：因为∆ =
=
=
=
∆
∆
∆
所以 ′ = ∆→0
∆
=
∆→0
∆
2+ ∆，
(2 + ∆ ) = 2.
′ =2x表示函数 = 2 的图像，上点 , 处切线的斜率为2x,说明随着变
的价格上涨的速度大约是多少？（精确到0.01元/年）
解:根据基本初等函数的导数公式表有′ = 1.05 ln1.05，
所以′ 10 = 1.0510 ln1.05≈ 0.08，
所以在第10个年头这种商品的价格约以0.08元/年的速度上涨.
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跟踪训练
质点的运动方程是S(t)＝sin
cos2
′
＝__________
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即时巩固
4
-1
1.函数＝ 2在＝2处的导数为________．
2. (多选)下列结论正确的是 (ABC)
A．若y＝0，则y′＝0
C．若y＝x－1，则y′＝－x－2
北师大版高二数学导数知识点汇总
北师大版高二数学导数知识点汇总一、导数的概念与定义导数是微积分中的重要概念，表示函数在某一点的变化率。
导数的定义公式为：\[f'(x)=\lim_{{\Delta x \to 0}}\frac{{f(x+\Delta x)-f(x)}}{{\Delta x}}\]二、导数的基本运算法则1. 导数的线性性质：若函数f(x)和g(x)在点x处可导，则有以下运算法则：(a) (cf(x))' = cf'(x)，其中c为常数；(b) (f(x)+g(x))' = f'(x)+g'(x)；2. 导数的乘积法则：若函数f(x)和g(x)在点x处可导，则有以下运算法则：(f(x)g(x))' = f'(x)g(x)+f(x)g'(x)；3. 导数的商法则：若函数f(x)和g(x)在点x处可导且g(x)≠0，则有以下运算法则：\[\left(\frac{{f(x)}}{{g(x)}}\right)'=\frac{{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}}{{(g(x))^2}}\]三、常见函数的导数1. 常数函数的导数：常数函数f(x)=c，其中c为常数，导数为零，即f'(x)=0。
2. 幂函数的导数：幂函数f(x)=x^n，其中n为常数，导数为f'(x)=nx^{n-1}。
3. 指数函数的导数：指数函数f(x)=a^x，其中a为常数且a>0且a≠1，导数为f'(x)=a^xln(a)。
4. 对数函数的导数：对数函数f(x)=log_a(x)，其中a为常数且a>0且a≠1，导数为f'(x)=\frac{1}{{xln(a)}}。
5. 三角函数的导数：常见的三角函数sin(x)、cos(x)、tan(x)等的导数分别为cos(x)、-sin(x)和sec^2(x)。
四、高阶导数和隐函数的导数1. 高阶导数：若函数f(x)在某一区间内的每一个点处都存在导数f'(x)，则f'(x)也是一个函数，称为f(x)的一阶导函数。
高中数学导数及其应用导数的计算几个常用函数的导数基本初等函数的导数公式及导数的运算法则
2021/12/8
第十页，共二十八页。
[规律方法] 1.若所求函数符合导数公式，则直接利用公式求解 2.对于不能直接利用公式的类型，一般遵循“先化简，再求导”的基本原 则，避免不必要的运算失误 3.要特别注意“1x与ln x”，“ax与logax”，“sin x与cos x”的导数区别.
2021/12/8
第一章 导数及其应用(yìngyòng)。谢谢观看
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12/8/2021
第二十八页，共二十八页。
2021/12/8
第十九页，共二十八页。
其中正确命题的个数为( )
A．1
B．2
C．3
D．4
C
[对于①，y′＝0，故①错；对于②，∵y′＝－
2 x3
，∴y′|x＝3＝－
2 27
，
故②正确；显然③，④正确，故选C.]
2021/12/8
第二十页，共二十八页。
2．已知f(x)＝xα(α∈Q*)，若f′(1)＝14，则α等于(
(4)若y＝2sin x－cos x，则y′＝2cos x＋sin x．( )
[答案] (1)× (2)× (3)√ (4)√
2021/12/8
第六页，共二十八页。
2．若函数y＝10xn 10
D．10l1n 10
C [∵y′＝10xln 10，∴y′|x＝1＝10ln 10.]
)
A．13
B．12
C．18
D．14
D [∵f(x)＝xα，∴f′(x)＝αxα－1，∴f′(1)＝α＝14.]
2021/12/8
第二十一页，共二十八页。
3．设y＝－2exsin x，则y′等于( )
【导学号：31062023】
2.4导数的四则运算法则(教学课件)高二数学北师大版(2019)选择性必修第二册
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随堂小测
1.已知函数f(x)＝ax2＋c，且f′(1)＝2，则a的值为 ( A )
A．1
B． 2
C．－1
D．0
3
2.已知物体的运动方程为s＝t2＋ (t是时间，s是位移)，则物体在时刻t＝2时的速度为 ( D )
19
A. 4
17
B. 4
15
C. 4
13
D. 4
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解 (1)y′＝2x－2x－3.
(2)y′＝(ln 3＋1)·(3e)x－2xln 2.
2 +1−2 2 ln
(3)y′＝ 2+1 2 .
1
(4)∵y＝x2－sin 2 cos 2 ＝x2－2sin x，
1
2
∴y′＝2x－ cos x.
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课堂小结
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二 求导法则在实际中的应用
例2 日常生活中的饮用水通常是经过净化的，随着水的纯净度的提高，所需进化费用不断增加，已知
5284
将1t水进化到纯净度为%所需费用（单位：元），为() = 100− (80 < < 100).
求进化到下列纯净度时，所需进化费用的瞬时变化率：
(1)应用：导数应用主要有：求在某点处的切线方程，已知切线的方程或斜率求切点，以及涉及切线问题
的综合应用；(2)方法：先求出函数的导数，若已知切点则求出切线斜率、切线方程；若切点未知，则先
设出切点，用切点表示切线斜率，再根据条件求切点坐标．总之，切点在解决此类问题时起着至关重要的
新教材2023版高中数学北师大版选择性必修第二册：导数的四则运算法则课件
解析：由例2知y′＝－
1 x−1
2.
令－
1 x−1
2＝－1，
得x＝0或2(x＝0舍去)，
所以切线方程为x＋y－4＝0.
方法归纳 关于函数导数的应用及其解决方法
应用
求在某点处的切线方程，已知切线的方程或斜率求切点，以 及涉及切线问题的综合应用．
先求出函数的导数，若已知切点，则求出切线斜率、切线方
方法
x−1 − x−1 x−1 2
′x＝－
1 x−1
2，
所即以－y2a＝′|x＝－2＝1.－1，
所以a＝2.
变式探究1 本例条件不变，求该切线到直线ax＋2y＋1＝0的距离．
解析：由例2知切线方程为x＋y－4＝0， 直线方程x＋y＋12＝0， 所以所求距离d＝12+24＝942.
变式探究2 本例条件不变，求与直线y＝－x平行且与曲线相切的直 线方程．
状元随笔 法则1：函数的和(差)的导数
导数的加法与减法法则，可由两个可导函数推广到任意有限个可导 函 数 的 情 形 ( 一 般 化 ) ， 即 [u(x)±v(x)±…±w(x)]′ ＝ u ′(x)±v ′(x)±…±w ′(x)．
法则2：函数的积的导数 (1)(特殊化)当g(x)＝c(c为常数)时，法则2可简化为[cf(x)]′＝c f ′(x)＋ c[f(x)]′＝0＋cf ′(x)＝cf ′(x)，即 [cf(x)]′＝cf ′(x)． (2)由上述结论及法则1可得[af(x)＋bg(x)]′＝af ′(x)＋bg ′(x)，其中a， b为常数． (3) 函 数 的 积 的 导 数 可 以 推 广 到 有 限 个 函 数 的 乘 积 的 导 数 ， 即 [u(x)v(x)×…×w(x)]′ ＝ u ′(x)v(x)×…×w(x) ＋ u(x)v ′(x)×…×w(x) ＋…＋u(x)v(x)×…×w ′(x).
新教材适用高中数学第2章导数：导数的乘法与除法法则pptx课件北师大版选择性必修第二册
对点训练❶ 求下列函数的导数： (1)y＝(x2＋1)(x－1)； (2)y＝3x＋lg x； (3)y＝x＋ex 1.
[解析] (1)∵y＝(x2＋1)(x－1)＝x3－x2＋x－1， ∴y′＝3x2－2x＋1. (2)y′＝(3x)′＋(lg x)′＝3xln 3＋xln110. (3)y′＝ex′x＋x1＋－12x＋1′ex ＝exxx＋＋11－2 ex＝x＋xex12.
关键能力•攻重难
题|型|探|究
题型一
利用导数的运算法则求函数的导数
典例 1 求下列函数的导数．
(1)y＝(2x2－1)(3x＋1)；
(2)y＝xx22－＋xx＋＋11；
(3)y＝3xex－2x＋e；
(4)y＝xl2n＋x1.
[分析] 若所给函数解析式较为复杂，可先对函数解析式进行适当 的变化与化简，再用相关公式和法则求导．
A．－1
B．0
C．1
D．2
[解析] 求导得 f′(x)＝1x－2f′(1)x＋2，
所以 f′(1)＝1－2f′(1)＋2，解得 f′(1)＝1，
则 f(x)＝ln x－x2＋2x－1，
所以 f(1)＝ln 1－1＋2－1＝0.
2．函数f(x)＝(x＋1)2(x－1)在x＝1处的导数等于( D )
A．1
题型二
求导法则的综合应用
典例 2 已知曲线f(x)＝x3＋ax＋b在点P(2，－6)处的切线方程是 13x－y－32＝0.
(1)求a，b的值； (2)如果曲线 y＝f(x)的某一切线与直线 l：y＝－14x＋3 垂直，求切点
坐标与切线的方程． [分析] (1)由f(x)在点P处的切线方程可知f′(2)，及f(2)＝－6，得到
＝(3e)xln(3e)－2xln 2.
北师大版数学高二选修1-1 3.4 导数的四则运算法则 课件
x )′ 1＋
1 x
＋Leabharlann (1－x)·1＋
1 x
′＝－21x－121＋
1x＋(1－
x)·－12x－32＝－
1 2x
－12－12x－1－12x－32＋12x－1＝－12x－21－21x－32＝－2x＋x 1x.
正解二：∵f(x)＝(1－ x)1＋ 1x＝1－ x＋ 1x－1＝－ x
＋1， x
∴f′(x)＝－ x＋ 1x′＝－12x－21－21x－32＝－2x＋x 1x.
解析： (1)f′(x)＝1xx＋1－x＋lnx1·2x＋1′－2xln 2
＝1＋x1x＋－1ln2
x －2xln
2(x>0)；
(2)f′(x)＝x＋3′x2＋3x2＋－3x＋2 3x2＋3′
＝x2＋3x－2＋x3＋23·2x＝－xx22－＋63x＋2 3(x>0)；
(3)∵f(x)＝1＋
1－ x
1．函数 y＝x＋1x的导数是( )
A．1－x12
B．1－1x
C．1＋x12
D．1＋1x
解析： y′＝(x)′＋1x′＝1－x12
答案： A
2．下列结论：①若
y＝
1 ，则 x
y′|x＝2＝－
22；②若
y
＝cosx，则 y′|x＝π2＝－1；③若 y＝ex，则 y′＝ex.正确的个
数是( )
A．0
所以 a、b、c 的值分别为 3、－11、9.
1．可导函数的和、差、积、商的可导性 如果函数 u(x)，v(x)在点 x 处可导，则 u(x)±v(x)，u(x)·v(x)， Cu(x)(C 为常数)都在点 x 处可导，另当 v(x)≠0 时，vuxx在点 x 处也可导．
北师大版数学高二课件 2.4 导数的四则运算法则
答案
fx
gx ′＝
f′x·gx－fx·g′x _________g_2_x__________
_(_g_(x_)_≠__0_)_
两个函数的商的导数，等于分子的导数乘上 分母减去分子乘上分母的导数，再除以分母 的平方
思考 (1)函数g(x)＝c·f(x)(c为常数)的导数是什么？ 答案 g′(x)＝cf′(x).
解析答案
12345
5.已知曲线y＝x＋ln x 在点(1,1)处的切线与曲线y＝ax2＋(a＋2)x＋1相切， 则a＝ .
答案
思考 (1)设函数y＝f(u)，u＝φ(v)，v＝g(x)，如何求函数y＝f(φ(g(x)))的导数？ 答案 y′x＝y′u·u′v·v′x. (2)复合函数的求导步骤有哪些？ 答案 复合函数求导时，有以下三步： 第一步：分解(分清复合关系，从外向内分解函数，恰当选择中间变量)； 第二步：求导(将分解得到的函数分别求导)； 第三步：回代(将各层函数的导数相乘，并将中间变量还原为原自变量的函数). 复合函数求导法则熟练后，可直接求导，不需要每次都写中间变量.
12345
解析答案
12345
4.已知函数f(x)＝asin x＋bx3＋4(a∈R，b∈R)，f′(x)为f(x)的导函数，则 f(2 014)＋f(－2 014)＋f′(2 015)－f′(－2 015)的值为 8 . 解析 f′(x)＝acos x＋3bx2， ∴f′(－x)＝acos(－x)＋3b(－x)2＝f′(x). ∴f′(x)为偶函数. ∴f′(2 015)－f′(－2 015)＝0. f(2 014)＋f(－2 014)＝asin 2 014＋b·2 0143＋4＋asin(－2 014)＋b·(－2 014)3 ＋4＝8. ∴f(2 014)＋f(－2 014)＋f′(2 015)－f′(－2 015)＝8.
新教材2023版高中数学第二章导数及其应用4导数的四则运算法则课件北师大版选择性必修第二册 (1)
x−1 − x−1 x−1 2
′x＝－
1 x−1
2，
所即以－y2a＝′|x＝－2＝1.－1，
所以a＝2.
变式探究1 本例条件不变，求该切线到直线ax＋2y＋1＝0的距离．
解析：由例2知切线方程为x＋y－4＝0， 直线方程x＋y＋12＝0， 所以所求距离d＝12+24＝942.
变式探究2 本例条件不变，求与直线y＝－x平行且与曲线相切的直 线方程．
方法归纳
利用导数的公式及运算法则求导的思路
跟踪训练1 (1)(多选题)下列求导运算中正确的是( )
A．
x+1
x
′＝1＋x12
B．(lg
x)′＝x
1 ln
10
C．
ex x
′＝ex
x−1 x2
D．(x2cos x)′＝－2x sin x
答案：BC
解析：
x+1
x
′＝1－x12，A错误；(lg
x)′＝x
答案：ABC
4．已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足关系式f(x)＝x2＋3xf′(2)，则 f′(2)的值等于___－__2___．
解析：由f(x)＝x2＋3xf′(2)，得f′(x)＝2x＋3f′(2)， 令x＝2，则f′(2)＝4＋3f′(2)，解得f′(2)＝－2.
5．已知函数f(x)＝x3＋x－16 (1)求f′(x)； (2)求曲线y＝f(x)在点(2，－6)处的切线的方程．
②∵y＝(x＋1)(x＋2)(x＋3)＝x3＋6x2＋11x＋6，∴y′＝3x2＋12x＋11；
③y′＝ex
cos
x−ex ex 2
sin
x＝cos
x−sin ex
北师大版数学高二课件 3.4 导数的四则运算法则
12345
解析 答案
规律与方法
求函数的导数要准确把函数分割为基本函数的和、差、积、商，再利 用运算法则求导数.在求导过程中，要仔细分析出函数解析式的结构特 征，根据导数运算法则，联系基本函数的导数公式.对于不具备导数运 算法则结构形式的要适当恒等变形，转化为较易求导的结构形式，再 求导数，进而解决一些切线斜率、瞬时速度等问题.
则f′(1)等于
A.－3
B.2e
2 C.1－2e
√D.1－32e
解析 ∵f′(x)＝2exf′(1)＋3x，
令x＝1，得f′(1)＝2ef′(1)＋3，
∴f′(1)＝1－32e.
解析 答案
命题角度2 与切线有关的问题
例4
(1)设曲线
2－cos y＝ sin x
x在点π2，2处的切线与直线
x＋ay＋1＝0
思考2 若y＝h(x)＝f(x)＋g(x)，I(x)＝f(x)－g(x)，那么h′(x)，I′(x)分
别与f′(x)，g′(x)有什么关系？
答案 ∵Δy＝(x＋Δx)＋x＋1Δx－x＋1x＝Δx＋x－ x＋ΔΔxx， ∴ΔΔyx＝1－xx＋1 Δx.
∴h′(x)＝ lim Δx→0
ΔΔyx＝Δlixm→0
跟踪训练1 求下列函数的导数： (1)f(x)＝xln x； 解 f′(x)＝(xln x)′＝ln x＋x·1x＝ln x＋1.
解答
x－1 (2)y＝x＋1； 解 方法一 y′＝xx＋ －11′＝x＋1x－＋1x－2 1＝x＋212. 方法二 y＝x＋x＋1－1 2＝1－x＋2 1， ∴y′＝1－x＋2 1′＝－x＋2 1′ ＝－2′x＋1x＋－122x＋1′＝x＋212.
A.2 解析
1 B.2
【高中课件】高二数学北师大版选修222.4 导数的四则运算法则课件ppt.pptx
解:(1)y'=(x4-3x2-5x+6)'
=(x4)'-3(x2)'-5x'+6'
=4x3-6x-5.
(2)y'=(x2)'·sin x+x2·(sin x)'
=2x·sin x+x2·cos x.
(3)∵y=x-sin 2������·cos 2������=x-12sin x,
∴y'=
������-
【例 2】 日常生活中的饮用水通常是经过净化的,随着水纯净度的提
高,所需净化费用不断增加.已知将 1 吨水净化到纯净度为 x%时所需费用 (单位:元)为 c(x)=150208-4������(80<x<100).
求净化到下列纯净度时,所需净化费用的瞬时变化率:
(1)90%;(2)98%. 解:净化费用的瞬时变化率就是净化费用函数的导数.
1 2
sin������
'=1-12cos x.
题型一
题型二
反思理解和掌握求导法则及公式的结构规律是灵活进行求导运算的前
提条件.运算过程出现失误,原因是不能正确理解求导法则的实质,特别是商 的求导法则;求导过程中符号判断不清,也是导致错误的因素.
题型一
题型二
题型一
题型二
题型一
题型二
题型二 导数的运算法则的综合运用
1 2 3 4 56
3f(x)与g(x)是定义在R上的两个可导函数,若f(x),g(x)满足f'(x)=g'(x),则f(x)与g(x)满
足( )
A.f(x)=g(x)
B.f(x)-g(x)为常数函数
C.f(x)=g(x)=0 D.f(x)+g(x)为常数函数
北师大版数学高二学案 3.3 计算导数
§3 计算导数学习目标 1.能根据定义求函数y＝c，y＝x，y＝x2，y＝1x，y＝x的导数.(重点) 2.掌握基本初等函数的导数公式，并能进行简单的应用.(重、难点)知识点一导函数的概念一般地，如果一个函数f(x)在区间(a，b)上每一点x处都有导数，导数值记为f′(x)：f′(x)＝limx∆→f（x＋Δx）－f（x）Δx，f′(x)是关于x的函数，称f′(x)为f(x)的导函数，通常也简称为导数.知识点二基本初等函数的导数公式原函数导函数f(x)＝c(c是常数)f′(x)＝0f(x)＝xα(α为实数)f′(x)＝αxα－1f(x)＝a x(a＞0，a≠1)f′(x)＝a x ln__af(x)＝e x f′(x)＝e xf(x)＝log a x(a＞0，a≠1)f′(x)＝1x·ln af(x)＝ln x f′(x)＝1xf(x)＝sin x f′(x)＝cos__xf(x)＝cos x f′(x)＝－sin__xf(x)＝tan x f′(x)＝1cos2xf(x)＝cot x f′(x)＝－1sin2x【预习评价】1.若函数f(x)＝22，那么f′(x)＝2×2＝4成立吗？提示不成立.因为f(x)＝22＝4是常数函数，所以f′(x)＝0.2.若函数f(x)＝x，那么f′(x)＝12x成立吗？提示不成立.f′(x)＝12x.题型一利用导数定义求函数的导数【例1】利用导数的定义求函数f(x)＝2 016x2的导数.解f′(x)＝limx∆→2 016（x＋Δx）2－2 016x2x＋Δx－x＝limx∆→2 016[x2＋2x·Δx＋（Δx）2]－2 016x2Δx＝limx∆→4 032x·Δx＋2 016（Δx）2Δx＝limx∆→(4 032x＋2 016Δx)＝4 032x.规律方法解答此类问题，应注意以下几条：(1)严格遵循“一差，二比，三取极限”的步骤.(2)当Δx趋于0时，k·Δx(k∈R)、(Δx)n(n∈N*)等也趋于0.(3)注意通分、分母(或分子)有理化、因式分解、配方等技巧的应用. 【训练1】利用导数的定义求函数y＝x2＋ax＋b(a，b为常数)的导数.解y′＝limx∆→（x＋Δx）2＋a（x＋Δx）＋b－（x2＋ax＋b）Δx＝limx∆→x2＋2x·Δx＋（Δx）2＋ax＋a·Δx＋b－x2－ax－bΔx＝0lim x ∆→2x ·Δx ＋a ·Δx ＋（Δx ）2Δx＝0lim x ∆→ (2x ＋a ＋Δx )＝2x ＋a .题型二 利用导数公式求函数的导数 【例2】 求下列函数的导数：(1)y ＝sin π3；(2)y ＝5x ；(3)y ＝1x 3；(4)y ＝4x 3； (5)y ＝log 3x . 解 (1)y ′＝0； (2)y ′＝(5x )′＝5x ln 5； (3)y ′＝(x －3)′＝－3x －4；(4)y ′＝(4x 3)′＝(x 34)′＝34x －14＝344x；(5)y ′＝(log 3x )′＝1x ln 3. 规律方法 求简单函数的导函数的基本方法： (1)用导数的定义求导，但运算比较烦杂；(2)用导数公式求导，可以简化运算过程、降低运算难度.解题时根据所给问题的特征，将题中函数的结构进行调整，再选择合适的求导公式. 【训练2】 求下列函数的导数： (1)y ＝x 13；(2)y ＝4x ； (3)y ＝sin x ； (4)y ＝15x 2.解 (1)y ′＝(x 13)′＝13x 13－1＝13x 12；(2)y ′＝(4x )′＝(x 14)′＝14x 14－1＝14x －34；(3)y ′＝(sin x )′＝cos x ； (4)y ′＝(15x 2)′＝(x －25)′＝－25x －25－1＝－25x －75.【探究1】 已知点P (－1，1)，点Q (2，4)是曲线y ＝x 2上两点，求与直线PQ 平行的曲线y ＝x 2的切线方程.解 因为y ′＝(x 2)′＝2x ，设切点为M (x 0，y 0)， 则y ′|x ＝x 0＝2x 0， 又因为PQ 的斜率为k ＝4－12＋1＝1，而切线平行于PQ ，所以k ＝2x 0＝1，即x 0＝12.所以切点为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，14.所以所求切线方程为y －14＝x －12，即4x －4y －1＝0.【探究2】 求过曲线y ＝sin x 上点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，12且与过这点的切线垂直的直线方程.解 ∵y ＝sin x ，∴y ′＝cos x ， 曲线在点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，12处的切线斜率k ＝cos π6＝32.∴过点P 且与切线垂直的直线的斜率为－23， 故所求的直线方程为y －12＝－23(x －π6)，即2x ＋3y －32－π3＝0.【探究3】 当常数k 为何值时，直线y ＝x ＋k 才能与函数y ＝x 2的图像相切？并求出切点.解 设切点为A (x 0，x 20)，∵y ′＝2x ，∴⎩⎪⎨⎪⎧2x 0＝1，x 0＋k ＝x 20，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝12，k ＝－14.∴当k ＝－14时，直线y ＝x －14与函数y ＝x 2的图像相切，且切点为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，14.规律方法 导数的几何意义是曲线在某点处的切线的斜率；相互垂直的直线斜率乘积等于－1是解题的关键.课堂达标1.已知f (x )＝x 2，则f ′(3)等于( ) A.0B.2xC.6D.9解析 ∵f (x )＝x 2，∴f ′(x )＝2x ，∴f ′(3)＝6. 答案 C2.函数f (x )＝x ，则f ′(3)等于( ) A.36 B.0 C.12xD.32解析 ∵f ′(x )＝(x )′＝12x，∴f ′(3)＝123＝36. 答案 A3.曲线y ＝e x 在点(2，e 2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为________. 解析 ∵y ′＝(e x )′＝e x ，∴k ＝e 2，∴曲线在点(2，e 2)处的切线方程为y －e 2＝e 2(x －2)，即y ＝e 2x －e 2. 当x ＝0时，y ＝－e 2， 当y ＝0时，x ＝1. ∴S △＝12×1×|－e 2|＝12e 2. 答案 12e 24.已知f (x )＝52x 2，g (x )＝x 3，若f ′(x )－g ′(x )＝－2，则x ＝________. 解析 因为f ′(x )＝5x ，g ′(x )＝3x 2， 所以5x －3x 2＝－2， 解得x 1＝－13，x 2＝2. 答案 －13或25.设正弦曲线y ＝sin x 上一点P ，以点P 为切点的切线为直线l ，求直线l 的倾斜角的范围.解 ∵(sin x )′＝cos x ，∵k l ＝cos x ，∴－1≤k l ≤1，∴αl ∈[0，π4]∪[3π4，π).课堂小结1.利用常见函数的导数公式可以比较简捷地求出函数的导数，其关键是牢记和运用好导数公式.解题时，能认真观察函数的结构特征，积极地进行联想化归.2.有些函数可先化简再应用公式求导.如求y ＝1－2sin 2x 2的导数.因为y ＝1－2sin 2x2＝cos x ， 所以y ′＝(cos x )′＝－sin x .3.对于正弦、余弦函数的导数，一是注意函数的变化，二是注意符号的变化.。
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高中数学《导数的计算-基本初等函数的导数及导数的运算法则》教案3 选修2-2
一、教学目标： 了解复合函数的求导法则，会求某些简单复合函数的导数.
二、教学重点： 掌握复合函数导数的求法
教学难点： 准确识别一个复合函数的复合过程以便准确应用求导法则进行求导.
三、教学过程：
（一）复习引入
1. 几种常见函数的导数公式
(C )'＝0 (C 为常数)． (x n )'＝nx n －1 (n ∈Q)． ( sin x )'＝cos x ． ( cos x )'＝－
sin x ．
2．和（或差）的导数 (u ±v )'＝u '±v '．
3．积的导数 (uv )'＝u 'v ＋uv '． (Cu )'＝Cu ' ．
4．商的导数 ).0(2≠'-'='⎪⎭⎫ ⎝⎛v v v u v u v u
（二）讲授新课
1．复合函数：
如 y ＝(3x －2)2由二次函数y ＝u 2 和一次函数u ＝3x －2“复合”而成的．y ＝u 2 ＝(3x －2)2 ．
像y ＝(3x －2)2这样由几个函数复合而成的函数，就是复合函数．
练习：指出下列函数是怎样复合而成的．
.)12(tan )4( ;)3cos 1()3( );11(sin )2( ;)1()1(33232+=+=-=-=x x y x y x y x y 复合函数的导数
一般地，设函数u ＝ϕ(x )在点x 处有导数u'x ＝ϕ'(x )，函数y ＝f (u ) 在点x 的对应点u 处有导数y'u ＝f '(u ) ，则复合函数y ＝f (ϕ(x )) 在点x 处也有导数，且 y'x ＝y'u ·u'x ． 或写作 f 'x (ϕ(x ))＝f '(u ) ϕ'(x )．
复合函数对自变量的求导法则，即复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的函数，乘中间变量对自变量的导数．
例1 求y ＝(3x －2)2的导数．
解：y'＝[(3x －2)2]' ＝(9x 2－12x ＋4)'＝18x －12． 法1
函数y ＝(3x －2)2又可以看成由y ＝u 2 ，u ＝3x －2复合而成，其中u 称为中间变量．
由于y'u ＝2u ，u'x ＝3，
因而 y'x ＝y'u ·u'x ＝2u ·3＝2u ·3＝2(3x －2)·3＝18x －12．
法2 y'x ＝y'u ·u'x
例2 求y ＝(2x ＋1)5的导数．
解：设y ＝u 5，u ＝2x ＋1，
则 y'x ＝y'u ·u'x ＝(u 5)'u ·(2x ＋1) 'x ＝5u 4·2＝5(2x ＋1)4·2＝10(2x ＋1)4．
例3. 教材P17面的例4
练习1.教科书P.18面 练习
练习2. 求函数x y 311-=
的导数. 例4..3114的导数求⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=x y 解：.)31(31144
--=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=x x y 设y ＝u －4，u ＝1－3x ，则
y'x ＝y'u ·u'x ＝(u －4)'u ·(1－3x )'x ＝－4u －5·(－3)＝12u －5＝12(1－3x )－5＝.)31(125x - 例5. .1)32(22的导数求函数x
x y +-= 例6．求)132ln(2++=x x y 的导数．
解： )132(132122'++⋅++='x x x x y .1
32342+++=x x x 例7． 求21lg x y -=的导数．
解法1：)1(1lg 22'-⋅-='x x e y )1(1lg 22x x x e --⋅-=.1
lg 2-=x e x 解法2：21lg x y -=),1lg(2
12x -= )1(1lg 2122'-⋅-⋅='x x e y .1
lg 2-=x e x
（三）课堂小结
复合函数的导数：f 'x (ϕ(x ))＝f '(u ) ϕ'(x )．
（四）课后作业
《习案》作业六。