大学物理刚体定轴转动
大学物理刚体的定轴转动习题及答案
第4章 刚体的定轴转动 习题及答案1.刚体绕一定轴作匀变速转动,刚体上任一点是否有切向加速度是否有法向加速度切向和法向加速度的大小是否随时间变化答:当刚体作匀变速转动时,角加速度β不变;刚体上任一点都作匀变速圆周运动,因此该点速率在均匀变化,v l ω=,所以一定有切向加速度t a l β=,其大小不变;又因该点速度的方向变化,所以一定有法向加速度2n a l ω=,由于角速度变化,所以法向加速度的大小也在变化;2. 刚体绕定轴转动的转动定律和质点系的动量矩定理是什么关系答:刚体是一个特殊的质点系,它应遵守质点系的动量矩定理,当刚体绕定轴Z 转动时,动量矩定理的形式为zz dL M dt=,z M 表示刚体对Z 轴的合外力矩,z L 表示刚体对Z 轴的动量矩;()2z i iL m l I ωω==∑,其中()2i iI m l =∑,代表刚体对定轴的转动惯量,所以()z z dL d d M I I I dt dt dtωωβ====;既 z M I β=; 所以刚体定轴转动的转动定律是质点系的动量矩定理在刚体绕定轴转动时的具体表现形式,及质点系的动量矩定理用于刚体时在刚体转轴方向的分量表达式; 3.两个半径相同的轮子,质量相同,但一个轮子的质量聚集在边缘附近,另一个轮子的质量分布比较均匀,试问:1如果它们的角动量相同,哪个轮子转得快2如果它们的角速度相同,哪个轮子的角动量大答:1由于L I ω=,而转动惯量与质量分布有关,半径、质量均相同的轮子,质量聚集在边缘附近的轮子的转动惯量大,故角速度小,转得慢,质量分布比较均匀的轮子转得快;2如果它们的角速度相同,则质量聚集在边缘附近的轮子角动量大; 4.一圆形台面可绕中心轴无摩擦地转动,有一玩具车相对台面由静止启动,绕轴作圆周运动,问平台如何运动如小汽车突然刹车,此过程角动量是否守恒动量是否守恒能量是否守恒答:玩具车相对台面由静止启动,绕轴作圆周运动时,平台将沿相反方向转动;小汽车突然刹车过程满足角动量守恒,而能量和动量均不守恒;5.一转速为1200r min 的飞轮,因制动而均匀地减速,经10秒后停止转动,求:(1) 飞轮的角加速度和从开始制动到停止转动,飞轮所转过的圈数; (2) 开始制动后5秒时飞轮的角速度; 解:1由题意飞轮的初角速度为飞轮作均减速转动,其角加速度为故从开始制动到停止转动,飞轮转过的角位移为 因此,飞轮转过圈数为/2θπ∆=100圈;2开始制动后5秒时飞轮的角速度为6.如图所示, 一飞轮由一直径为2()d m ,厚度为()a m 的圆盘和两个直径为1()d m ,长为()L m 的共轴圆柱体组成,设飞轮的密度为3(/)kg m ρ,求飞轮对轴的转动惯量;解:如图所示,根据转动惯量的可加性,飞轮对轴的转动惯量可视为圆盘与两圆柱体对同轴的转动惯量之和;由此可得7. 如图所示,一半径为r,质量为m 1的匀质圆盘作为定滑轮,绕有轻绳,绳上挂一质量为m 2的重物,求重物下落的加速度;解:设绳中张力为T对于重物按牛顿第二定律有22m g T m a -= 1对于滑轮按转动定律有212Tr mr β=2 由角量线量关系有a r β= 3联立以上三式解得8. 如图所示,两个匀质圆盘同轴地焊在一起,它们的半径分别为r 1、r 2,质量为1m 和2m ,可绕过盘心且与盘面垂直的光滑水平轴转动,两轮上绕有轻绳,各挂有质量为3m 和4m 的重物,求轮的角加速度β;解:设连接3m 的绳子中的张力为T1,连接4m 的绳子中的张力为T2; 对重物3m 按牛顿第二定律有3133m g T m a -= 1 对重物4m 按牛顿第二定律有2444T m g m a -= 2对两个园盘,作为一个整体,按转动定律有112211221122T r T r m r m r β⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭3aLd 1d 2由角量线量之间的关系有 31a r β=442a r β= 5联立以上五式解得9. 如图所示,一半径为R,质量为m 的匀质圆盘,以角速度ω绕其中心轴转动;现将它平放在一水平板上,盘与板表面的摩擦因数为μ;1求圆盘所受的摩擦力矩;2问经过多少时间后,圆盘转动才能停止 解:分析:圆盘各部分的摩擦力的力臂不同,为此,可将圆盘分割成许多同心圆环,对环的摩擦力矩积分即可得总力矩;另由于摩擦力矩是恒力矩,由角动量定理可求得圆盘停止前所经历的时间;1圆盘上半径为r 、宽度为dr 的同心圆环所受的摩擦力矩为负号表示摩擦力矩为阻力矩;对上式沿径向积分得圆盘所受的总摩擦力矩大小为2由于摩擦力矩是一恒力矩,圆盘的转动惯量212I mr =,由角动量定理可得圆盘停止的时间为10. 飞轮的质量m =60kg,半径R =0.25m,绕其水平中心轴O 转动,转速为900rev ·min -1.现利用一制动的闸杆,在闸杆的一端加一竖直方向的制动力F ,可使飞轮减速.已知闸杆的尺寸如题4-10图所示,闸瓦与飞轮之间的摩擦系数μ=,飞轮的转动惯量可按匀质圆盘计算.试求:1设F =100 N,问可使飞轮在多长时间内停止转动在这段时间里飞轮转了几转2如果在2s 内飞轮转速减少一半,需加多大的力F解: 1先作闸杆和飞轮的受力分析图如图b .图中N 、N '是正压力,r F 、r F '是摩擦力,x F 和y F 是杆在A 点转轴处所受支承力,R 是轮的重力,P 是轮在O 轴处所受支承力.杆处于静止状态,所以对A 点的合力矩应为零,设闸瓦厚度不计,则有对飞轮,按转动定律有I R F r /-=β,式中负号表示β与角速度ω方向相反.∵ N F r μ=N N '=∴F l l l N F r 121+='=μμ 又∵ ,212mR I = ∴ F mRl l l I R F r 121)(2+-=-=μβ ① 以N 100=F 等代入上式,得由此可算出自施加制动闸开始到飞轮停止转动的时间为 这段时间内飞轮的角位移为可知在这段时间里,飞轮转了1.53转. 210s rad 602900-⋅⨯=πω,要求飞轮转速在2=t s 内减少一半,可知 用上面式1所示的关系,可求出所需的制动力为11. 如图所示,主动轮A 半径为r 1,转动惯量为1I ,绕定轴1O 转动;从动轮B 半径为r 2,转动惯量为2I ,绕定轴2O 转动;两轮之间无相对滑动;若知主动轮受到的驱动力矩为M ,求两个轮的角加速度1β和2β;解:设两轮之间摩擦力为f 对主动轮按转动定律有:111M fr I β-= 1对从动轮按转动定律有222fr I β= 2由于两个轮边沿速率相同,有1122r r ββ= 3联立以上三式解得12. 固定在一起的两个同轴均匀圆柱体可绕其光滑的水平对称轴O O '转动.设大小圆柱体的半径分别为R 和r ,质量分别为M 和m .绕在两柱体上的细绳分别与物体1m 和2m 相连,1m 和2m 则挂在圆柱体的两侧,如题4-12a 图所示.设R =0.20m, r =0.10m,m =4 kg,M =10 kg,1m =2m =2 kg,且开始时1m ,2m 离地均为h =2m .求:1柱体转动时的角加速度; 2两侧细绳的张力.解: 设1a ,2a 和β分别为1m ,2m 和柱体的加速度及角加速度方向题4-12b图.(1) 1m ,2m 和柱体的运动方程如下:2222a m g m T =- ① 1111a m T g m =- ②βI r T R T ='-'21 ③式中 ββR a r a T T T T ==='='122211,,,而 222121mr MR I += 由上式求得 2由①式 由②式13. 一质量为m 、半径为R 的自行车轮,假定质量均匀分布在轮缘上,可绕轴自由转动.另一质量为0m 的子弹以速度0v 射入轮缘如题2-31图所示方向. 1开始时轮是静止的,在质点打入后的角速度为何值2用m ,0m 和θ表示系统包括轮和质点最后动能和初始动能之比. 解: 1射入的过程对O 轴的角动量守恒 ∴ Rm m v m )(sin 000+=θω2020*********sin 21])(sin ][)[(210m m m v m R m m v m R m m E E k k +=++=θθ14. 如图所示,长为l 的轻杆,两端各固定质量分别为m 和2m 的小球,杆可绕水平光滑固定轴O 在竖直面内转动,转轴O 距两端分别为13l 和23l .轻杆原来静止在竖直位置.今有一质量为m 的小球,以水平速度0υ与杆下端小球m 作对心碰撞,碰后以021υ 的速度返回,试求碰撞后轻杆所获得的角速度.解:碰撞过程满足角动量守恒:而 222212()2()333I m l m l ml =+=2m m O21 0vl l 31l所以 2023mv l ml ω=由此得到:032vlω=15. 如图所示,A 和B 两飞轮的轴杆在同一中心线上,设两轮的转动惯量分别为 J A =10 kg ·m2 和 J B =20 kg ·m2.开始时,A 轮转速为600 rev/min,B 轮静止.C 为摩擦啮合器,其转动惯量可忽略不计.A 、B 分别与C 的左、右两个组件相连,当C 的左右组件啮合时,B 轮得到加速而A 轮减速,直到两轮的转速相等为止.设轴光滑,求:1 两轮啮合后的转速n ;2 两轮各自所受的冲量矩.解:1 两轮啮合过程满足角动量守恒: 所以 A AA BI I I ωω=+ 因为 2n ωπ= 故 10600200/min 1020A A AB I n n r I I ⨯===++ 2 两轮各自所受的冲量矩: 末角速度:2200202/603n rad s ππωπ⨯=== A 轮各所受的冲量矩:202060040010(2) 4.1910()3603A A L I I N m s ππωωπ∆=-=⨯-⨯=-=-⨯⋅⋅B 轮各所受的冲量矩:16. 有一半径为R 的均匀球体,绕通过其一直径的光滑固定轴匀速转动,转动周期为0T .如它的半径由R 自动收缩为R 21,求球体收缩后的转动周期.球体对于通过直径的轴的转动惯量为J =2mR2 / 5,式中m 和R 分别为球体的质量和半径.解:1 球体收缩过程满足角动量守恒:所以17. 一质量均匀分布的圆盘,质量为M,半径为R,放在一粗糙水平面上圆盘与水平面之间的摩擦系数为,圆盘可绕通过其中心O 的竖直固定光滑轴转动.开始时,圆盘静止,一质量为m 的子弹以水平速度v0垂直于圆盘半径打入圆盘边缘并嵌在盘边上,求1 子弹击中圆盘后,盘所获得的角速度.2 经过多少时间后,圆盘停止转动.解:1 子弹击中圆盘过程满足角动量守恒: 所以 002211()22mRv mv mR MR m M Rω==++ 2圆盘受到的摩擦力矩为 由转动定律得 M Iβ'=。
大学物理 第5章刚体定轴转动
赵 承 均
转动平面 某质点所在的圆周平面,称为转动平面。
参考线
转心 矢径
转动平面内任一过转轴的直线,如选 x 轴。
某质点所在的轨迹圆的圆心,称为转心。 某质点对其转心的位矢,称为该质点的矢径。
第一篇
力学
重 大 数 理 学 院
显然:转动刚体内所有点有相同的角量,故用角量描述刚体 的转动更方便,只需确定转动平面内任一点的角量即可。 1.角坐标— 描写刚体转动位臵的物理量。 角坐标 转动平面内刚体上任一点 P 到转轴 O 点的连线与 参考线间的夹角 。
赵 承 均
第二类问题:已知J和力矩M:求出运动情况和 b及 F 。
第三类问题:已知运动情况和力矩M,求刚体转动惯量 J 。
第一篇
力学
重 大 数 理 学 院
第一类问题:已知运动情况和 J ,确定运动学和动力学的联 系 例 :长为 l,质量为 m 的细杆,初始时的角速 度为 ωo ,由于细杆与 桌面的摩擦,经过时间 t 后杆静止,求摩擦力 矩 Mf 。
Fi cos i Fi cos i mi ain mi ri 2 法向:
e i
第一篇
力学
重 大 数 理 学 院
由于法向力的作用线穿过转轴,其力矩为零。可在切向 方程两边乘以 ri ,得到:
Fi e ri sin i Fi i r i sin i mi ri 2
4.角加速度— 描写角速度变化快慢和方向的物理量。 ⑴ 平均角加速度 t
即:刚体的角速度变化与发生变化所用的时间之比。
赵 承 均
⑵ 角加速度 ①用平均角加速度代替变化的角加速度; ②令 t 0 取极限;
d d lim 2 t 0 t dt dt
大学物理第5章刚体的定轴转动
d ctdt
对上式两边积分得
d c td t
0 0
t
1 2 ct 2
2 2 600π π 3 rad s 由给定条件, c 2 t 300 2 75
d π 2 由角速度的定义,则任意 t 时刻的角速度可写为: d t 150
得到: 转子转数:
A M d E K
a b
动能定理
动量定理
A F ds E K
动能定理 角动量定理 角动量 守恒
t 0Fdt P
t
动量守恒
F 0, P 0
t 0 M z dt Lz
t
M 0, L 0
§5.1 刚体、刚体运动
一、一般运动 二、刚体的定轴转动 三、解决刚体动力学问题的一般方法
基本方法: 加
质点系运动定理 刚体特性 平动:动量定理
刚体定轴转动的 动能定理 角动量定理
F mac
可以解决刚体的一般运动(平动加转动)
一、一般运动
1. 刚体 特殊的质点系, 形状和体积不变化 —— 理想化模型 在力作用下,组成物体的所有质点间的距离始终保持不变 2. 自由度 确定物体的位置所需要的独立坐标数 —— 物体的自由度数 z
刚体平面运动可看做刚体的平动与定轴转动的合成。 例如:车轮的滚动可以看成车轮随轮 轴的平动与绕轮轴的转动的组合。 描述刚体平面运动的自由度:3个
定点转动 刚体运动时,刚体上的一点固定不动,刚体绕过定点的一 瞬时转轴的转动,称作定点转动。
描述定点转动的自由度:3个
刚体的一般运动 质心的平动
+
绕质心的转动
z
描述刚体绕定轴转动的角量: 角坐标
大学物理(4.1.2)--刚体的定轴转动力矩
各
点运
动状态 等都相
同。 刚体上任一点的运动
可代表整个刚体的运动。
( 刚体平动的运动规律与质
点的运动规律相同 )
刚体平动
动
质点运
4/19
※ 转动:分定轴转动和非定轴转动 刚体的平面运动
刚体的一般运动可看作:
+ 随 质 心 的 平 动
绕质心的转动
的合成
6/19
※ 刚体转动的角速度和角加速度
角坐标 (t)
2/19
第一讲 刚体的定轴转动 力矩
※ 刚体
在外力作用下,形状和大小都不发生变化的物体。 ( 任意两质点间距离保持不变的特殊质点组。 )
说明: ⑴ 刚体是理想模型 ⑵ 刚体模型是为简化问题引进的.
※ 刚体的运动形式:平动、转动。
※ 平动:刚体中所有点
的运动轨迹都保持完全相
同 一
。样v,、 特如a点::
0 t
x
x0
v0t
1 2
at 2
0
0t
1 2
t
2
v2
v02 2a(x x0 )
2
2 0
2
(
0
)
10/19
※ 角量与线量的关系
v
ω
rωddet t
v r r
dω dt
d 2 d2t
an ra
at r
an rω2
a ret rω2en
at
evt
※ 力矩
用来描述力对刚体的转动
F Fz F
矩 为 零其,F中F故z
对转轴的力 对转轴的力 矩M来自krFz
k
O rFz
F
F
Mz
rF
大学物理 刚体的定轴转动
⑶ t =6 ·0 s 时转过的角度为
6s
0
6s
d t 0
0(1et)dt
0 [te t]6 0 s 9 [6 ( 2 0 0) 5 (0 2 )]369rad
则 t =6 ·0 s
时电动机转过的圈数
N 587圈 2
5.2 5.4 刚体的转动定律及应用
5.2.1力对转轴的力矩
转轴
§5.1 刚体的运动的描述 §5.2 刚体定轴转动 §5.3 转动惯量的计算 §5.4 转动定律应用 §5.5 角动量守恒 §5.6 定轴转动中的功和能
5.1 刚体的运动的描述
•刚体(rigid body)
任何情况下形状和体积都不改变的物体(理想化模型)。 刚体是特殊的质点系。 刚体可以看作是由许多质点组成,每一个质点叫做 刚体的一个质元,刚体这个质点系的特点是,在外 力作用下各质元之间的相对位置保持不变。
2、刚体定轴转动的转动定律
M d(J )dL J
dt dt
刚体绕定轴转动时,它的角加速度与作用于刚体上的 合外力矩成正比,与刚体对转轴的转动惯量成反比。
刚体定轴转动的转动定律
M=J 与 F ma地位相当 m反映质点的平动惯性,J 反映刚体的转动惯性
力矩是使刚体转动状态发生改变而产生角加速度的原因。力
ri
即 F itfitΔ m iri
则刚体转动定律为
变形有 F ir tifir tiΔm iri2
M J
对所有质元求和:
F ir ti fir ti (m ir i2 ) 上式表明:
这里 FitriM i M外
刚体绕定轴转动时,刚
fitri 0 定义 JΔmiri2 叫转动惯量
体的角加速度与它所 受的合外力矩成正比.
大学物理第3章刚体的定轴转动
13
【例5】长为 l、质量为 m 的匀质细杆,绕与杆垂直的 质心轴转动,求转动惯量 J。
【解】建立坐标系,分割质量元
J x2dm
l2 l 2
x2Байду номын сангаас
ml dx
1 ml 2 12
x o x dx
【例6】长为 l、质量为 m 的匀质细杆,绕细杆一端轴 转动,求转动惯量 J。
【解】J x2dm
L
L
11
【例2】半径为 R 质量为 M 的圆环,绕垂直于圆环平 面的质心轴转动,求转动惯量J。
【解】分割质量元,环上各质元到轴的距离相等。
M
J
R2dm R2
M
dm
MR2
0
0
【例3】在无质轻杆的 b 处 3b 处各系质量为 2m 和 m 的质点,可绕 O轴转动,求质点系的转动惯量J。
刚体作定轴转动时, 刚体上各质点都作圆周运动。 各质点运动的线量一般不同,但角量完全相同。
1.角坐标
OP与极轴之间的夹角称 为角坐标(或角位置)
角坐标为标量,但可有正负。
o
P
x
在定轴转动过程中,角坐标是时间的函数: =(t),称为转动方程。
3
2.角位移
角坐标的增量 称为刚体的角位移
i
i
i
得 LJ
v i m i ri
29
由刚体定轴转动定律
得到
MJ J
d dt
d( J ) dt
dL dt
M dL 定轴转动刚体角动量定理微分形式 dt
t
L
Mdt d
t0
L0
LLL0
大学物理 3.3刚体定轴转动中的功与能
冲头做的功。
解:以 1和 2 分别表示冲孔前后的飞轮的角速度
2n 1
8rad s1
1 60
1 0.2 0.8
2
1
1
由转动动能定理 A 1 J 2 1 J 2 1 J 2 0.82 1
2
2 2
1
2
1
又 J 1 mr2 2
A 5.45103 J
1.绕定轴转动刚体的动能
Δm ,Δm ,,Δm ,,Δm
1
2
i
N
r, r, , r , r
1
2
i,
N
v,v ,,v,,v
1
2
i
N
v r
i
i
E 1 Δmv 2
i2
ii
刚体的总动能
E 1 Δm v 2 1 Δm r 2 2
例3-7半径R质量M的圆盘滑轮可绕通过盘心的水平轴转 动,滑轮上绕有轻绳,绳的一端悬挂质量为m的物体。 当物体从静止下降距离h时,物体速度是多少?
解:以滑轮、物体和地球组成系统为研究对 象。由于只有保守力做功,故机械能守恒。
设终态时重力势能为零
R M
初态:动能为零,重力势能为
v
末态:动能包括滑轮转动动能和物体平动动能
2
合外力矩对刚体所做的功等于刚体转动动能的增量。 这就是刚体定轴转动的动能定理
例3-6 某一冲床利用飞轮的转动动能通过曲柄连杆机构 的传动,带动冲头在铁板上穿孔。已知飞轮为均匀圆盘, 其半径为r=0.4m,质量为m=600kg,飞轮的正常转速 是 n 240r min,1 冲一次孔转速降低20%。求冲一次孔
大学物理第5章刚体的定轴转动
Jz Jx Jy
Jc J mC
质心
d
yi
xi
ri
y
x
Δmi
1 2
mR
2
R
1 4
mR
2
6
第六页,编辑于星期六:二十一点 四十五分。
常用的转动惯量
细杆:
J过中点垂直于杆
1 12
mL2
J过一端垂直于杆
1 3
mL2
圆柱体:
J对称轴
1 2
mR 2
薄球壳:
J 直径
2 3
mR
2
球体:
J 直径
2 5
mR
2
7
第七页,编辑于星期六:二十一点 四十五分。
d L Lsin dΘ M d t
旋进角速度: Ω dΘ
dt
Ω d
dL
Lsin L
Ω M M
Lsin J sin
O
当 90 时 ,Ω M J
Ω
1
,
Ω
演示 车轮旋进(KL023) TV 旋进防止炮弹翻转(注2)
M外z 0 ,则 J z const .
大小不变 正、负不变
对刚体系, M外z = 0 时, Jizi const.,
此时角动量可在系统内部各刚体间传递,
而却保持刚体系对转轴的总角动量不变。
演示 角动量守恒:茹科夫斯基转椅(KL016)
转台车轮 (KL017)
陀螺仪(KL029)
30
第三十页,编辑于星期六:二十一点 四十五分。
5、车轮进动
2
第二页,编辑于星期六:二十一点 四十五分。
§5.1 刚体的定轴转动定律
z
Mz
dLz dt
大学物理刚体的定轴转动
2l
l
17
例 一匀质细杆,长为 l 质量为 m ,在摩擦系数为
的水平桌面上转动,求摩擦力的力矩 M阻。 解: 建立如图坐标,取质元
dm dx
质元受阻力矩:
dM 阻 dmgx
o
xl dm m dx
x
细杆受的阻力矩
M阻
dM
阻
0l
gxdx
1 mgl
2
18
例 一半径为R,质量为m的均匀圆盘平放在粗糙的
令 J miri2
刚体绕Z轴转动的转动惯量
即
M z J ----刚体的定轴转动定律
说明
1. 上式是矢量式(力矩只有两个方向)。
2. M、J、是对同一轴而言的。
3. 具有瞬时性,是力矩的瞬时效应。
4. 转动惯量J是刚体转动惯性大小的量度。
8 8
3、转动惯量的计算
转动惯量: J miri2
l
r
dr
d
dm g
M
dM
l
0
mg l
r
cosdr
mg
l 2
cos
16
M J 1 ml2
3
3g cos
2l
(2) d d d d 3g cos dt d dt d 2l
分离变量积分 g cos d l d
02
03
(3g sin ) l
300 , 3g 900 , 3g
i
质量连续分布的刚体: J r2dm
质量为线分布: dm dl
面分布: dm ds
体分布: dm dV
1)总质量
转动惯量与下列因素有关: 2)质量分布 3)转轴位置
9
✓ J与质量分布有关:
大学物理上册《刚体定轴转动》PPT课件
刚体是一个理想化的物理模型,实际物体在受到力的作用时, 都或多或少地会变形,但如果变形很小,对研究问题的影响可 以忽略不计时,就可以把这个物体看成刚体。
定轴转动描述
定轴转动
刚体上所有质点都绕同一直线作圆周运动,这种运 动叫做刚体的定轴转动。这条直线叫做刚体的转轴。
转动的快慢
用角速度ω来描述刚体转动的快慢,单位时间内转 过的角度θ越大,角速度ω就越大。
转动能定理
刚体定轴转动时,合外力矩对刚体所做的功等于刚体转动动能的增 量。
转动动能的计算
转动动能Ek等于刚体的转动惯量I与角速度ω平方的一半的乘积,即 Ek=1/2Iω²。
应用举例
通过计算合外力矩对刚体所做的功,可以求解刚体在某个过程中的角 速度、角加速度等物理量。
动力学普遍定理在转动中应用
动力学普遍定理
VS
误差分析
分析实验过程中可能产生的误差来源,如 测量误差、仪器误差等,并提出减小误差 的方法。
实验结果讨论和改进建议
实验结果讨论
根据实验数据和分析结果,讨论刚体定轴转动的基本规律以及实验过程中存在的问题和不足之处。
改进建议
提出改进实验方法和提高实验精度的建议,如优化实验器材、改进测量方法等。
05
动能定理揭示了力对刚体所做 的功与刚体动能变化之间的关 系;机械能守恒定律则指出在 只有重力或弹力做功的情况下, 刚体的机械能保持不变。
常见题型解题技巧分享
选择题答题技巧
注意审清题意,明确题目要求;对于概念性选择题,要准确理解相关概念;对于计算性选择题,要善于运用 物理规律和公式进行推理和计算。
填空题答题技巧
未来发展趋势预测
高效能源利用
随着能源问题的日益突出,未来旋转机构将更加注重高效能 源利用,如采用新型材料、优化结构等降低能耗。
大学物理上第3章 刚体的定轴转动
z
(ω, β )
r fi
F 两边乘以r 两边乘以ri ,有: it ri + f it ri = ∆mi ait ri
对所有质元的同样的式子求和, 对所有质元的同样的式子求和,有:
fit
∆mi
Fit
r Fi
Fir
o
Fit ri + ∑ f it r i = ∑ ∆mi ait ri = β ∑ ( ∆mi ri 2 ) ∑
表示合外力矩,记作M ∑ F r 表示合外力矩,记作 表示内力矩之和, ∑ f r 表示内力矩之和,其值等于零
it i
it i
(∆mi ri 2 ) 称为刚体对轴的转动惯量,记作J 称为刚体对轴的转动惯量,记作 ∑
则上式可简写成: 则上式可简写成:M = Jβ
11
M = Jβ
刚体定轴转动定律: 刚体定轴转动定律:刚体所受的对于某一固定转动 轴的合外力矩等于刚体对此转轴的转动惯量与刚体 在此合外力矩作用下所获得的角加速度的乘积。 在此合外力矩作用下所获得的角加速度的乘积。 说明: 说明: 1. 上式是矢量式(在定轴转动中力矩只有两个方向)。 上式是矢量式(在定轴转动中力矩只有两个方向)。 2. M、J、β是对同一轴而言的。 是对同一轴而言的。 3. 上式反映了力矩的瞬时效应。M = Jβ = J dω 上式反映了力矩的瞬时效应。 dt 4. 刚体转动定律的地位与牛顿第二定律相当。 刚体转动定律的地位与牛顿第二定律相当。 5. 转动惯量 是刚体转动惯性大小的量度。 转动惯量J是刚体转动惯性大小的量度 是刚体转动惯性大小的量度。
2
§3.1
3.1.1 刚体的运动
刚体定轴转动的描述
刚体的平动:刚体在运动过程中, 刚体的平动:刚体在运动过程中,其 上任意两点的连线始终保持平行。 上任意两点的连线始终保持平行。 可以用质点动力学的方法 来处理刚体的平动问题。 来处理刚体的平动问题。 刚体的定轴转动: 刚体的定轴转动:刚体上各点都绕同 一直线作圆周运动, 一直线作圆周运动,而直线本身在空 间的位置保持不动的一种转动。 间的位置保持不动的一种转动。这条 直线称为转轴 转轴。 直线称为转轴。
《大学物理》3.4刚体定轴转动的角动量定理 角动量守恒定律
我国第一颗人造地球卫星沿椭圆轨道绕地球运动, 例:我国第一颗人造地球卫星沿椭圆轨道绕地球运动,地心为该椭圆 的一个焦点。 的一个焦点。已知地球半径 R ,卫星的近地点到地面距离 l ,卫星的远 地点到地面距离 l 。若卫星在近地点速率为 v1 ,求它在远地点速率 v2 。
1 2
卫星在运动过程中,所受力主要是万有引力, 解:卫星在运动过程中,所受力主要是万有引力,其它力忽 略不计,故卫星在运动过程中对地心角动量守恒。 略不计,故卫星在运动过程中对地心角动量守恒。 m
0
r
A
θ = 90
0
mv
质点作圆周运动的角动量
θ
L = rmv = mr ω
2
2.2刚体的角动量 刚体的角动量 刚体对 oz轴的角动量为
z
ω
v
2
i
L = ∑ m r ω = (∑ m r )ω
2 i i i i
o
r
i
m
i
∑ m r 刚体绕 oz 轴的转动惯量
2 i i
L = Jω
L = Jω
刚体对转轴的角动量等于其转动惯量与角速度乘积。 刚体对转轴的角动量等于其转动惯量与角速度乘积。
1 m v 0 a = ( ML2 + ma 2 )ω 3
子弹射入后一起摆动的过程只有重力做功,故系统机 械能守恒。
1 1 L 2 2 2 ( ML + ma )ω = mga (1 cos60°) + Mg (1 cos60°) 2 3 2
ω=
3(2ma + ML)g 2(3ma 2 + ML2 )
二、角动量定理和角动量守恒定理
1× mv 对时间求导 = r × (mv ) + × mv dt dt dt dr d dL ∵ = v , F = (mv ) M = dt dt dt dL 质点所受合外力矩等于质 ∴ = r × F + v × mv dt 点角动量对时间的变化率
大学物理3_2 刚体定轴转动的动力学描述
Fij Fji
两力对转轴的力矩:
M ij Fij ri sin i
M ji Fji rj sin j
由于 ri sin i rj sin j d 所以
Mij M ji
整个刚体
M M ij 0
第三章 刚体的转动 3 – 2 刚体定轴转动的动力学描述 例1 如图所示,有一半径为 R 、质量为 m的均匀圆盘, 可绕通过圆盘中心 O 并与盘面垂直的轴的转动.转轴与圆 盘之间的摩擦略去不计.圆盘上绕有轻而细的绳索,绳的一 端固定在圆盘上,另一端系一质量为m 的物体.试求作用在 圆盘上的力矩.
J A mi ri 2 0 2m l2 m(l 2 l 2 ) 4m l2 (1)
i 1
4
4
l2 l2 2 (2) J 0 mi ri 2 4m( ) 2ml2 2 i 1
(3)
J AD
l2 l2 2 mi ri 2 2m( ) ml2 2 i 1
第三章 刚体的转动
例3-4 质量分别为 m1和 m2 的两个物体A、B分别悬挂 在图所示的组合轮两端。设两轮的半径分别为 R和 r,两 轮的转动惯量分别为 J1和 J 2,轮与轴承间、绳索与轮间的 摩擦力均略去不计,绳的质量也略去不计。试求两物体的 加速度和绳的张力。 解 作受力图,如图所示
3 – 2 刚体定轴转动的动力学描述
dJ r dm 2π r dr R 3 4 J 2π r dr π R 0
2
而
m π R
2
所以
1 2 J mR 2
3 – 2 刚体定轴转动的动力学描述 注意
第三章 刚体的转动
大学物理学第三版 第5章 刚体的定轴转动2011
vi θ
P
Δmi
o
转动平面
x
op r
2.定轴转动的角量描述 1.角位置θ
2.角位移
P 方向与转动方向成右手螺旋法则。 o θ X 转动平面 op r P点线速度 v r d ( rad / s 2 ) 4. 角加速度矢量 dt 由于在定轴转动中轴的 当加速转动时, 与 方向相同; 方位不变,故 , 只 有沿轴的正负两个方向, 当减速转动时, 与 方向相反;
Δmj
质元
Δmi
r ij
2. 刚体的运动形式: ⑴平动: 在描述刚体的平动时,可以用一点的运 动来代表,通常就用刚体的质心的运动来 代表整个刚体的平动。
⑵转动: 转动是刚体的基本运动形式之一。 刚体转动时各质元均做圆周运动,而且 各圆的圆心都在一条固定不动的直线上, 这条直线叫转轴。如果转轴方向不随时间 变化, 则称定轴转动。
d 3.角速度: 单位:rad/s dt 角速度是矢量 。
Z
ω 转动方向 v
可以用标量代替。
5.当角加速度是常量时: 0 t
( 0 ) t 1 t 2 2
2 2 0 2 ( 0 )
P点线加速度 a r
an r
转轴
⑶ 刚体的一般运动都可以认为是平动和绕某一转轴转动 的结合。如图,车轮的转动。
二、刚体定轴转动的描述 1.特点: 其上各质元都在垂直于转轴的平面内作圆周运动, 且所有质元的矢径在相同的时间内转过的角度相同. 一般用角量描述。 转动平面: 取垂直于转轴 的平面为参考系, 称转动平面。,
转轴 Z
转动方向
刚体的角动量
L J
大学物理-刚体定轴转动
F Fz F
其中 Fz对转 轴的
力矩为零,故 F 对转
轴的力矩 M zk
r
F
z
F
k
O Fz r
F
M z rF sin
18
(2)合力矩等于各分力 矩的矢量和 M M1 M2 M3
(3)刚体内作用力和反作用力的力矩 互相抵消.
M ij
rj
j
O
d ri
i Fji
Fij
M ji
第5 刚体的定轴转动 §1 刚体的运动 §2 刚体定轴转动的运动定律
1
刚体:在外力作用下,形状和大小都不 发生变化的物体.(任意两质点间距离保持 不变的特殊质点组.)
说明:⑴ 刚体是理想模型 ⑵ 刚体模型是为简化问题引进的.
刚体的运动形式:平动、转动.
2
平动:刚体中所 有点的运动轨迹都保 持完全相同.
j
定义转动惯量
J mjrj2 J r2dm j
z
O rj
Fej
m j
Fij
转动定律 M J
刚体定轴转动的角加速度与它所受的合 外力矩成正比,与刚体的转动惯量成反比.
24
转动定律 M J
讨论 (1)M 0, ω不变
(2) M
J (3) M J J d
dt
25
三 转动惯量
J mjrj2 J r2dm j
特点:各点运动
状态一样,如:v、a
等都相同.
刚体平动 质点运动
3
转动:分定轴转动和非定轴转动 刚体的平面运动
4
一般运动
= (平动)+(转动)
原则: 随某点(基点)的平动
+ 过该点的定轴转动 基点任选。
《大学物理》第三章 刚体的定轴转动
P
t
=
1 2
ω J 2 自
t
=
ω J 2 自 2P
=
2×105× (30π)
2×736×103
2
=
1.21×103s
(2) ω进 = 1度 秒 = 0.0175rad/s
ω进 =
M
Jω自
M = Jω进ω自
M = 2×105×0.0175×30π= 3.3×105 N返回.m退出
3-14 在如图所示的回转仪中,转盘的 质量为 0.15kg , 绕其轴线的转动惯量为: 1.50×10-4 kg.m2 ,架子的质量为 0.03kg, 由转盘与架子组成的系统被支持在一个支柱 的尖端O,尖端O到转盘中心的距离为0.04 m , 当转盘以一定角速度ω 绕其轴旋转时, 它便在水平面内以1/6 rev/s的转速进动。
为25cm,轴的一端 A用一根链条挂起,如
果原来轴在水平位置,并使轮子以ω自=12 rad/s的角速度旋转,方向如图所示,求:
(1)该轮自转的角动量;
(2)作用于轴上的外力矩;
(3)系统的进动角速度, ω
并判断进动方向。
AO
B
R
l 返回 退出
解:
(1)
J
=
m
R
2
回
=
5×(0.25 )2
ω
= 0.313 kg.m2
a
=
m
1+
m m
1g 2+
J
r2
T1 =
m 1g (m 2+ J m 1+m 2 + J
r 2) r2
T2 =
m 1m 2g m 1+m 2 + J
《大学物理》第五章刚体的定轴转动
偏转角为30°。问子弹的初速度为多少。
o
解: 角动量守恒:
30°
mva 1 Ml 2 ma 2
la
3
v
机械能守恒:
1 1 Ml 2 ma 2 2 mga1 cos 30 Mg l 1 cos 30
23
2
v 1 g 2 3 Ml 2ma Ml 2 3ma 2 ma 6
刚体可以看成是很多质元组成的质点系,且在外力 作用下,各个质元的相对位置保持不变。 因此,刚体的运动规律,可通过把牛顿运动定律应 用到这种特殊的质点系上得到。
3
2.刚体的运动
平动:刚体在运动过程中,其上任意两点的连线 始终保持平行。
刚体的平动可看做刚体质心 的运动。
转动:刚体中所有的点都绕同一直线做圆周运动. 转动又分定轴转动和非定轴转动 .
r2dm
L
r2 dl
L
(线质量分布)
12
3 平行轴定理
如果刚体的一个轴与过质 心轴平行并相距d,则质量 为 m 的刚体绕该轴的转动 惯量,等于刚体绕过质心 轴的转动惯量与 md2 之和:
J z Jc md 2
请同学们自己证明平行轴定理的。
提示:利用余弦定理 ri2 ri '2 d 2 2dxi 13
hc hi
若A外+ A内非=0
Ep=0
则Ek +Ep =常量。
例13 一均质细杆可绕一水平轴旋转,开始时处于 水平位置,然后让它自由下落。求: ( )
解 方法一 动能定理
M mg L cos
2
W
Md
mg
L cosd
0
0
2
mg L sin
2
θ
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第一篇 力学
由于法向力的作用线穿过转轴,其力矩为零。可在切向方
重 程两边乘以 ,ri得到:
大
数 理 学
F i
e
ri
sin i
Fir i
i sini
miri2
院
赵
外力矩
内力矩
承
均
对所有质点求和,且它们的角加速度β均相同,有:
i
F i
e
ri
sin i
i
F i
i
ri
sini
i
miri2ຫໍສະໝຸດ 合外力矩理 学 院
坐标系
以刚体上任一点为坐标原点,过该点垂直于转轴的 直线为 X 轴,转轴为 Z 轴。
赵 承
转动平面 某质点所在的圆周平面,称为转动平面。
均
参考线 转动平面内任一过转轴的直线,如选 x 轴。
转心
某质点所在的轨迹圆的圆心,称为转心。
矢径
某质点对其转心的位矢,称为该质点的矢径。
第一篇 力学
显然:转动刚体内所有点有相同的角量,故用角量描述刚体
重 的转动更方便,只需确定转动平面内任一点的角量即可。
大
数 理
1.角坐标— 描写刚体转动位置的物理量。
学
院 角坐标 转动平面内刚体上任一点 P 到转轴 O 点的连线与参
考线间的夹角 。
赵
承 均
单位:弧度,rad
P
角坐标为标量。
角位矢的大小等于角 坐标,其方向由右手螺 旋法则确定,或规定正 方向(逆时针)后由其 值的正负确定。
数 理
轴之间的垂直距离 d 的乘积。
学
院
M Fd rF sin
M
赵
承 M Fd
均
根据矢量乘积法则:
F
or
r
d
P
A B AB sin
用矢量方法表示力矩:
M rF
F 为外力在转动平面内的分矢量
第一篇 力学
单位:牛顿·米,N·m 方向:从r右旋到F,大拇指指向。
重
大 M 的方向垂直于 r 与 F 构成的平面:规定正方向后,力矩的
第一篇 力学
单位:弧度/秒2 ,rad/s2,s-2 方向:角速度变化的方向。
重
大
数
理
学
院
o
赵
o
承
均
角加速度是矢量,但对于定轴转动角加速度的方向只有两 个,只用角加速度的正负数值就可表示角加速度的方向,不 必用矢量表示。
第一篇 力学
§ 5.2 刚体定轴转动定律
一、力矩
重
大
力对转轴的力矩等于在转动平面内的分力 F 的大小和 F 与
o
x
Reference line
第一篇 力学
2.角位移— d 描写刚体位置变化的物理量。
重
大 数
刚体初始角坐标 0
理
学 末态角坐标
院
刚体的角位移
赵
承 均
0
单位:弧度, rad
P
o
0
x
Reference line
角位移是赝矢量,对无 限小转动是矢量:
即: 0 时是矢量。
角位移方向的确定方法同角位矢。
大 ① 用平均角速度代替变化的角速度;
数
理
学 ② 令 t 0 取极限;
院
赵 lim d
承
t0 t dt
均
即:角速度为角坐标对时间的一次导数。
方向:右手四指沿刚体转动方向,伸 直的大拇指的指向为角速度的方向。
定轴转动的角速度方向只有两个,因此在 规定正方向(逆时针方向)后,角速度方 向可用其值的正负表示。
第一篇 力学
定轴转动有以下特征:
重 1 、任意一点的运动轨道都是圆轨道,并且圆心是轨道面与定
大 数
轴的交点。
理 2 、所有质点的转动角速度都相同,线速度与该质点到定轴的
学 院
距离成正比。
赵 承 均
定轴转动
定点转动
第一篇 力学
三、刚体转动的角量描述
重
大
角位矢(角坐标)、角位移、角速度、角加速度。
数
第一篇 力学
§ 5.1 刚体平动和定轴转动
一、质点系力学性质的分类
重
大 数
刚体
任意两质点间距离不变的质点系,称为刚体。
理
学 院
变形体
至少一对质点间距可变的质点系,称为变形体。
赵 承
二、刚体运动的分类
均
平动
刚体中任意两质点连线 在运动过程中保持平行的 运动,称为平动。
此类运动,任意两点的轨道形状、速度、加速度都相同。
二、转动定律
重
大
由牛顿运动定律推导
数
理 学
根据牛顿第二定律有:
院
赵
Fie Fii miai
承
均 a为i 质P 点作圆周运动的加速度,
其切向和法向分量式为:
Z
,
Fii
O
ri
i
Fie i
P
切向:
F e i
sin
i
F i i
sin
i
miai
miri
法向:
F e i
cosi
F i i
cosi
miain miri 2
数 理
方向可由正负号确定。
学
院 容易证明:刚体内各质元间的内力力矩的矢量和恒为 0 。
赵 承 均
M
F
r
第一篇 力学
例:一匀质细杆,长为l 质量为m,在摩擦系数为m的水平桌
重 面上转动,求摩擦力的力矩 Mf。
大
数 理
解:杆上各质元均受摩
学 擦力作用,但各质元受
院 的摩擦阻力矩不同,靠
赵 近轴的质元受阻力矩小,
合内力矩
第一篇 力学
因为内力中任一对作用力和反作用力的力矩为零,所以:
重 大 数 理 学 院
令
赵 承 均
则
F i
i
ri
sini
0
i
n
n
M
F i
e
ri
sin
i
,
J
mi ri 2
i 1
i 1
M J
定轴转动定律—— 刚体所受的对于某定轴的合外力矩等于刚体对此定轴的转动 惯量与刚体在此合外力矩作用下所获得的角加速度的乘积。
承 均
远离轴的质元受阻力矩
大,
dm
o
x
x dx
lm
细杆的质量密度 m
l
质元质量 dm dx
质元受阻力矩 dM f dmgx
第一篇 力学
细杆受的阻力矩
重
大
数 理
M f dM f
学 院
l
0 gxdx
赵 承
1 gl2
均
2
由细杆质量 m l
有
Mf
1 mgl
2
dm
o
x
x dx
lm
第一篇 力学
Rigid body
第一篇 力学
Rotational theorem
转动 刚体中至少(任意)两质点连线在运动过程中方向变
重
化的运动,称为转动。
大
数
理 学
转动还包含以下几种特殊形式:定轴转动、定点转动、平面
院 平行运动等。
赵
承 均
定轴转动
刚体在运动过程中,能 且只能在刚体上找到两点 保持不动,这种运动称为 定轴转动。
第一篇 力学
3.角速度— 描写刚体转动快慢和方向的物理量。
重
大 数 理 学
⑴平均角速度
t
院
即:刚体的角位移与发生这段角位移所用时间之比。
赵 承
均 单位:弧度/秒, rad/s,s-1
转/分, rev/min
1rev/min 2 rad/s 0.105 s-1
60
第一篇 力学
⑵ 角速度
重
第一篇 力学
4.角加速度— 描写角速度变化快慢和方向的物理量。
重
大 数
⑴ 平均角加速度
理
学
t
院
即:刚体的角速度变化与发生变化所用的时间之比。
赵
承 均
⑵ 角加速度
①用平均角加速度代替变化的角加速度;
②令 t 0 取极限;
lim
t 0
t
d
dt
d 2
dt 2
即:角速度对时间 t 的一 次导数,或角位矢对时间 t 的二次导数。