2017年考研数学一真题及答案

合集下载

2017年浙江考研数学真题及答案

2017年浙江考研数学真题及答案
考研英语真题考研数学真题
政治真题
专业课真题英语一真题英语二真题数学一真题数学二真题数学三真题数农真题考研英语答案考研数学答案
政治答案
专业课答案英语一答案英语二答案数学一答案数学二答案数学三答案数农答案拥有毅力还有拼搏的能力是走向成功的捷径。

出国留学网考研数学频道将在考后第一时间为大家提供2017年浙江考研数学真题及答案，
考研数学历年真题及答案汇总年份数学一数学二数学三数农2016真题答案真题答案真题答案————2015真题答案真题答案真题答案真题答案2014真题答案真题答案真题答案真题答案2013真题答案真题答案真题答案真题答案2012真题答案真题答案真题答案————2011真题答案真题答案真题答案————2010真题答案真题答案真题答案————2009真题答案真题答案真题答案————2008真题答案真题答案真题答案————注：
红色标注的是已发布信息考研答案频道为您整理。

(完整word版)考研数学历年真题(2008-2017年)年数学一

(完整word 版)考研数学历年真题(2008-2017年)年数学一2017年全国硕士研究生入学统一考试数学（一)试卷一、选择题：1~8小题，每小题4分，共32分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的（1)若函数10(),0x f x axb x ⎧->⎪=⎨⎪≤⎩在0x =处连续，则( ) （A)12ab =（B)12ab =- （C)0ab = （D)2ab =（2）设函数()f x 可导，且()()0f x f x '>则（） (A)()()11f f >- (B) ()()11f f <- （C ）()()11f f >-（D ）()()11f f <-（3）函数()22,,f x y z x y z =+在点()1,2,0处沿向量()1,2,2n 的方向导数为（ ) （A ）12(B ）6（C)4（D)2（4）甲乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方10（单位：m ）处,如下图中，实线表示甲的速度曲线()1v v t = （单位：m/s ）虚线表示乙的速度曲线()2v v t =，三块阴影部分面积的数值依次为10，20，3，计时开始后乙追上甲的时刻记为0t （单位：s ），则( ）（A ）010t = (B)01520t <<(C)025t = (D ）025t >()s（5)设α为n 维单位列向量，E 为n 阶单位矩阵，则( ）（A ） T E αα-不可逆 (B ） T E αα+不可逆 (C) 2T E αα+不可逆（D ）2T E αα-不可逆（6）已知矩阵200021001A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 210020001B ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦100020002C ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，则（）（A ） A 与C 相似,B 与C 相似 (B ） A 与C 相似，B 与C 不相似(完整word 版)考研数学历年真题(2008-2017年)年数学一（C ） A 与C 不相似，B 与C 相似（D) A 与C 不相似，B 与C 不相似（7)设,A B 为随机事件，若0()1,0()1P A P B <<<<，则()()P A B P A B >的充分必要条件是（ ) A 。

2016-2017年考研数学一真题及答案

2016考研数学一真题及答案一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. （1）若反常积分()11badx x x +∞+⎰收敛，则（）()()()()11111111A a bB a bC a a bD a a b <>>><+>>+>且且且且（2）已知函数()()21,1ln ,1x x f x x x -<⎧⎪=⎨≥⎪⎩，则()f x 的一个原函数是（）()()()()()()()()()()()()()()()()22221,11,1ln 1,1ln 11,11,11,1ln 11,1ln 11,1x x x x A F x B F x x x x x x x x x x x C F x D F x x x x x x x ⎧⎧-<-<⎪⎪==⎨⎨-≥+-≥⎪⎪⎩⎩⎧⎧-<-<⎪⎪==⎨⎨++≥-+≥⎪⎪⎩⎩（3）若()()222211y x y x =+-=++是微分方程()()y p x y q x '+=的两个解，则()q x =（）()()()()()()2222313111xx A x x B x x C D x x +-+-++（4）已知函数(),0111,,1,2,1x x f x x n n n n ≤⎧⎪=⎨<≤=⎪+⎩，则（）（A ）0x =是()f x 的第一类间断点（B ）0x =是()f x 的第二类间断点（C ）()f x 在0x =处连续但不可导（D ）()f x 在0x =处可导（5）设A ，B 是可逆矩阵，且A 与B 相似，则下列结论错误的是（）（A ）TA 与TB 相似（B ）1A -与1B -相似（C ）TA A +与TB B +相似（D ）1A A -+与1B B -+相似（6）设二次型()222123123121323,,444f x x x x x x x x x x x x =+++++，则()123,,2f x x x =在空间直角坐标下表示的二次曲面为（）（A ）单叶双曲面（B ）双叶双曲面（C ）椭球面（C ）柱面（7）设随机变量()()0,~2>σσμN X ，记{}2σμ+≤=X P p ，则（）（A ）p 随着μ的增加而增加（B ）p 随着σ的增加而增加（C ）p 随着μ的增加而减少（D ）p 随着σ的增加而减少（8）随机试验E 有三种两两不相容的结果321,,A A A ，且三种结果发生的概率均为31，将试验E 独立重复做2次，X 表示2次试验中结果1A 发生的次数，Y 表示2次试验中结果2A 发生的次数，则X 与Y 的相关系数为（）二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸．．．指定位置上. （9）()__________cos 1sin 1ln lim200=-+⎰→x dt t t t xx（10）向量场()()zk xyj i z y x z y x A ++++=,,的旋度_________=rotA（11）设函数()v u f ,可微，()y x z z ,=由方程()()y z x f x y z x ,122-=-+确定，则()_________1,0=dz（12）设函数()21arctan axxx x f +-=，且()10''=f ，则________=a （13）行列式100010014321λλλλ--=-+____________. （14）设12,,...,n x x x 为来自总体()2,Nμσ的简单随机样本，样本均值9.5x =，参数μ的置信度为0.95的双侧置信区间的置信上限为10.8，则μ的置信度为0.95的双侧置信区间为______. 三、解答题：15—23小题，共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（15）（本题满分10分）已知平面区域()(),221cos ,22D r r ππθθθ⎧⎫=≤≤+-≤≤⎨⎬⎩⎭，计算二重积分Dxdxdy ⎰⎰.（16）（本题满分10分）设函数()y x 满足方程'''20,y y ky ++=其中01k <<.()I 证明：反常积分0()y x dx +∞⎰收敛；()II 若'(0)1,(0)1,y y ==求0()y x dx +∞⎰的值.（17）（本题满分10分）设函数(,)f x y 满足2(,)(21),x y f x y x e x-∂=+∂且(0,)1,tf y y L =+是从点(0,0)到点(1,)t 的光滑曲线，计算曲线积分(,)(,)()tL f x y f x y I t dx dy x y∂∂=+∂∂⎰，并求()I t 的最小值（18）设有界区域Ω由平面222=++z y x 与三个坐标平面围成，∑为Ω整个表面的外侧，计算曲面积分()zdxdyydzdx dydz xI 3212+-+=⎰⎰∑（19）（本题满分10分）已知函数()f x 可导，且(0)1f =，10'()2f x <<，设数列{}n x 满足1()(1,2...)n n x f x n +==，证明：（I ）级数11()n n n xx ∞+=-∑绝对收敛；（II ）lim n n x →∞存在，且0lim 2n n x →∞<<.（20）（本题满分11分）设矩阵1112221,11112A a B a a a --⎛⎫⎛⎫⎪⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭当a 为何值时，方程AX B =无解、有唯一解、有无穷多解？（21）（本题满分11分）已知矩阵011230000A -⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭（I ）求99A（II ）设3阶矩阵23(,,)B ααα=满足2B BA =，记100123(,,)B βββ=将123,,βββ分别表示为123,,ααα的线性组合。

2017年考研数学一真题及答案(全)

2017年全国硕士研究生入学统一考试数学（一）试题一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分．下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上．（1）若函数0(),0x f x b x >=⎪≤⎩在x 连续，则 (A) 12ab =． (B) 12ab =-． (C) 0ab =． (D) 2ab =．【答案】A【详解】由011lim 2x b ax a +→-==,得12ab =.（2）设函数()f x 可导，且()'()0f x f x >则(A) ()()11f f >- ． (B) ()()11f f <-．(C) ()()11f f >-． (D) ()()11f f <-.【答案】C【详解】2()()()[]02f x f x f x ''=>,从而2()f x 单调递增,22(1)(1)f f >-. （3）函数22(,,)f x y z x y z =+在点(1,2,0)处沿着向量(1,2,2)n =的方向导数为 (A) 12． (B) 6．(C) 4．(D)2 ．【答案】D【详解】方向余弦12cos ,cos cos 33===αβγ,偏导数22,,2x y z f xy f x f z '''===,代入cos cos cos x y z f f f '''++αβγ即可.（4）甲乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方10(单位：m)处.图中，实线表示甲的速度曲线1()v v t =(单位：m/s)，虚线表示乙的速度曲线2()v v t =(单位：m/s)，三块阴影部分面积的数值一次为10，20，3，计时开始后乙追上甲的时刻记为(单位：s)，则(A) 010t =． (B) 01520t <<． (C) 025t =． (D) 025t >．【答案】C【详解】在025t =时,乙比甲多跑10m,而最开始的时候甲在乙前方10m 处. （5）设α为n 维单位列向量，E 为n 阶单位矩阵，则 (A) TE -αα不可逆． (B) TE +αα不可逆．(C) T 2E +αα不可逆． (D) T2E -αα不可逆．【答案】A【详解】可设T α=(1,0,,0),则T αα的特征值为1,0,,0,从而T αα-E 的特征值为011,,,,因此T αα-E 不可逆.（6）设有矩阵200021001A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，210020001B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，122C ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭(A)A 与C 相似，B 与C 相似． (B) A 与C 相似，B 与C 不相似．(C) A 与C 不相似，B 与C 相似． (D) A 与C 不相似，B 与C 不相似．【答案】B【详解】,A B 的特征值为221,,,但A 有三个线性无关的特征向量,而B 只有两个,所以A 可对角化,B 则不行.（7）设,A B 为随机事件，若0()1P A <<，0()1P B <<，则(|)(|)P A B P B A >的充分必要条件(A) (|)(|)P B A P B A >． (B) (|)(|)P B A P B A <． (C) (|)(|)P B A P B A >． (D) (|)(|)P B A P B A <．【答案】A【详解】由(|)(|)P A B P A B >得()()()()()()1()P AB P AB P A P AB P B P B P B ->=-,即()>()()P AB P A P B ;由(|)(|)P B A P B A >也可得()>()()P AB P A P B . （8）设12,,,(2)n X X X n 为来自总体(,1)N μ的简单随机样本，记11ni i X X n ==∑，则下列结论不正确的是 (A)21()ni i Xμ=-∑服从2χ分布． (B) 212()n X X -服从2χ分布．(C)21()nii XX =-∑服从2χ分布． (D) 2()n X -μ服从2χ分布．【答案】B【详解】222211~(0,1)()~(),()~(1)1n ni i i i i X N X n X X n ==----∑∑μμχχ; 221~(,),()~(1);X N n X n-μμχ2211()~(0,2),~(1)2n n X X X X N --χ.二、填空题：9～14小题，每小题4分，共24分．请将答案写在答题纸．．．指定位置上．（9）已知函数21(),1f x x=+(3)(0)f = ．【答案】0 【详解】2421()1(11)1f x x x x x==-++-<<+,没有三次项.（10）微分方程032=+'+''y y y 的通解为．【答案】12e ()xy C C -=+【详解】特征方程2230r r ++=得1r =-,因此12e ()x y C C -=+.（11）若曲线积分⎰-+-L y x aydy xdx 122在区域{}1),(22<+=y x y x D 内与路径无关，则=a．【答案】1-【详解】有题意可得Q Px x∂∂=∂∂,解得1a =-. （12）幂级数111)1(-∞=-∑-n n n nx 在(-1,1)内的和函数()S x = ．【答案】21(1)x + 【详解】112111(1)[()](1)n n n n n nxx x ∞∞--=='-=--=+∑∑.（13）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=110211101A ，321ααα，，是3维线性无关的列向量，则()321,,αααA A A 的秩为．【答案】2【详解】123(,,)()2r r ααα==A A A A（14）设随即变量X 的分布函数4()0.5()0.5()2x F x x -=Φ+Φ，其中)(x Φ为标准正态分布函数，则EX = ．【答案】2 【详解】00.54()d [0,5()()]d 222x EX xf x x x x x +∞+∞-∞-==+=⎰⎰ϕϕ. 三、解答题：15～23小题，共94分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请将答案写在答题纸．．．指定位置上．（15）（本题满分10分）．设函数(,)f u v 具有2阶连续偏导数，(e ,cos ),xy f x =求2200,x x dyd y dxdx==.【答案】(e ,cos )x y f x =()''12'12''''''''''111212122222''''11122sin ,0(1,1)sin (sin )sin cos 0(1,1)(1,1)(1,1)x x x x x dyf e f x dx dy x f dx d y f e f x e f e f e f x x f x dx d y x f f f dx ∴=-∴===-+---==+- （16）（本题满分10分）．求2limln(1)n k k n n→∞+.【答案】212221120012202lim ln(1)1122lim ln(1)ln(1)...ln(1)11122lim ln(1)ln(1)...ln(1)1ln(1)ln(1)21111ln(1)02211111ln 2221n k n n k k nn n n n n n n n n n n n n n n n n n x x dx x d x x x x dxx x ∞→∞=→∞→∞+⎛⎫=++++++ ⎪⎝⎭⎛⎫=++++++ ⎪⎝⎭=+=+=+-+-+=-∑⎰⎰⎰1011002111ln 2[(1)]22111111ln 2[()ln(1)]002221111ln 2(1ln 2)2224dxxx dx dx xx x x +=--++=--++=--+=⎰⎰⎰（17）（本题满分10分）．已知函数)(x y 由方程333320x y x y +-+-=确定，求)(x y 的极值. 【答案】333320x y x y +-+-=①，方程①两边对x 求导得：22''33330x y y y +-+=②，令'0y =，得233,1x x ==±.当1x =时1y =，当1x =-时0y =.方程②两边再对x 求导：'22''''66()330x y y y y y +++=，令'0y =，2''6(31)0x y y ++=，当1x =，1y =时''32y =-，当1x =-，0y =时''6y =. 所以当1x =时函数有极大值，极大值为1，当1x =-时函数有极小值，极小值为0.（18）（本题满分10分）．设函数()f x 在区间[0,1]上具有2阶导数，且(1)0f >，0()lim 0x f x x+→<.证明：（I ）方程()0f x =在区间(0,1)内至少存在一个实根;（II ）方程2()''()['()]0f x f x f x +=在区间(0,1)内至少存在两个不同实根. 【答案】 (1)()lim 0x f x x+→<，由极限的局部保号性，(0,),()0c f c δ∃∈<使得，又(1)0,f >由零点存在定理知，(c,1)ξ∃∈，使得，()0f ξ=.(2)构造()()'()F x f x f x =，(0)(0)'(0)0F f f ==，()()'()0F f f ξξξ==，0()lim 0,'(0)0,x f x f x+→<∴<由拉格朗日中值定理知(1)(0)(0,1),'()010f f f ηη-∃∈=>-，'(0)'()0,f f η<所以由零点定理知1(0,)(0,1)ξη∃∈⊂，使得1'()0f ξ=，111()()'()0,F f f ξξξ∴== 所以原方程至少有两个不同实根。

2017考研数一真题及答案解析

设函数
f
(u, v) 具有 2 阶连续偏导数，
y
f (ex , cos x) ，求 dy dx
d2y x0 ， dx2
x0
【答案】 dy dx
x0
f1'
(1,1),
d 2y dx 2
x0
f ''
11
(1,1),
【解析】
x0
y f (ex , cos x) y(0) f (1,1)
dy dx x0
() 方程 f (x) 0 在区间 (0,1) 内至少存在一个实根；
() 方程 f (x) f '(x) ( f '(x))2 0 在区间 (0,1) 内至少存在两个不同实根。
【答案】【解析】
（I） f (x) 二阶导数， f (1) 0, lim f (x) 0 x x0
解：1）由于 lim f (x) 0 ，根据极限的保号性得 x x0
【答案】C
【解析】
f
(x)
f
'(x)
0,
f f
(x) 0 (1)
'(x) 0
或
f f
(x) 0 '(x) 0
(2)
，只有
C
选项满足
(1)
且满足
(2)
，所以选
C。
（3）函数 f (x, y, z) x2 y z2 在点 (1, 2, 0) 处沿向量 u 1, 2, 2 的方向导数为（）
(A)12 (B)6 (C)4 (D)2
【答案】D
【解析】 gradf {2xy, x 2, 2z}, gradf
(1,2,0)
{4,1, 0}

考研数学历年真题(2008-2017)年数学一

(C) ab 0
(D) ab 2
（2）设函数 f x 可导，且 f x f x 0 则（）
(A) f 1 f 1
(B) f 1 f 1
(C) f 1 f 1
(D) f 1 f 1
（3）函数 f x, y, z x2 y z2 在点 1, 2, 0 处沿向量 n 1, 2, 2 的方向导数为（）
y)
(2x
1)e2xy , 且
f
(0,
y)
y
1,
Lt
是从点 (0, 0)
到点 (1,t)
的光滑曲线，计算曲线积分 I (t) f (x, y) dx f (x, y) dy ，并求 I (t) 的最小值
Lt x
y
（18）设有界区域由平面 2x y 2z 2 与三个坐标平面围成，为整个表面的外侧，计算曲面积分
A3x1 x2
B 3x1 x2
C
1
x x
2
D
1
x x2
（4）已知函数
f
x
x, x 0
1 n
,
n
1 1
x
1 n
,n
1, 2,，则（
）
（A） x 0 是 f x 的第一类间断点
（B） x 0 是 f x 的第二类间断点
（C） f x 在 x 0 处连续但不可导
（D） f x 在 x 0 处可导
0 0 1
2 1 0 1 0 0 B 0 2 0 C 0 2 0 ，则（）
0 0 1 0 0 2
1
(A) A 与 C 相似，B 与 C 相似
(B) A 与 C 相似，B 与 C 不相似
(C) A 与 C 不相似，B 与 C 相似 (D) A 与 C 不相似，B 与 C 不相似

江西2017考研数学真题及答案

江西2017考研数学真题及答案
考研英语真题考研数学真题
政治真题
专业课真题英语一真题英语二真题数学一真题数学二真题数学三真题数农真题考研英语答案考研数学答案
政治答案
专业课答案英语一答案英语二答案数学一答案数学二答案数学三答案数农答案如果说每一次降落是为了更好的起飞，那么每一次降落后的起飞就应该飞得更高更远!出国留学网考研数学频道将在考后第一时间为大家提供江西2017考研数学真题及答案，
考研数学历年真题及答案汇总年份数学一数学二数学三数农2016真题答案真题答案真题答案————2015真题答案真题答案真题答案真题答案2014真题答案真题答案真题答案真题答案2013真题答案真题答案真题答案真题答案2012真题答案真题答案真题答案————2011真题答案真题答案真题答案————2010真题答案真题答案真题答案————2009真题答案真题答案真题答案————2008真题答
案真题答案真题答案————注：红色标注的是已发布信息
考研答案频道为您整理。

2017年考研数学一真题与解析

2017 年考研数学一真题一、选择题1— 8 小题．每题4 分，共 32 分．１．若函数 f (x)1 cos x, x 0在 x 0 处连续，则 axb, x 0（ A ） ab1（ B ） ab1（ C ） ab0 （ D ） ab 222lim1cos x1 x1【详解】 limf (x)lim2， lim f (x)bf (0) ，要使函数在 x0 处连续，x 0x 0axx 0ax2ax 0一定知足1bab 1 ．因此应当选（ A ）2a22．设函数 f (x) 是可导函数，且知足f ( x) f ( x) 0 ，则（ A ） f (1)f ( 1) （B ） f (1) f ( 1)（ C ） f (1)f ( 1)（ D ） f (1) f ( 1)【详解】设 g (x)( f (x))2 ，则 g ( x)2 f ( x) f (x) 0 ，也就是2是单一增添函数．也就获得f ( x) 2f ( 1)2f (1)f ( 1) ，因此应当选（ C ）f (1)3．函数 f (x, y, z)x 2 y z 2 在点 (1,2,0) 处沿向量 n(1,2,2) 的方导游数为（ A ） 12 （B ） 6(C ） 4（ D ） 2【详解】f2xy, fx 2 , f2z ，所以函数在点 (1,2,0) 处的梯度为 gradf 4,1,0 ，所以xyzf (x, y, z)x 2 y z 2 在点 (1,2,0) 处沿向量 n(1,2,2) 的方导游数为fr gradfuur1(1,2, 2) 2n4,1,0应当选（ D ）n3４．甲、乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前面 10（单位：米）处，如图中，实线表示甲的速度曲线 v v 1 (t )（单位：米 /秒），虚线表示乙的速度曲线 v v 2 (t ) （单位：米 /秒），三块暗影部分的面积分别为10,20,3 ，计时开始后乙追上甲的时辰为t 0 ，则（）（ A ） t 0 10（ B ） 15 t 0 20（ C ） t 025（ D ） t 025【详解】由定积分的物理意义：当曲线表示变速直线S(t)T2S1 ,S2 , S3分别运动的速度函数时，v(t )dt 表示时辰 T1 ,T2内所走的行程．此题中的暗影面积T1表示在时间段0,10, 10,25 , 25,30内甲、乙两人所走行程之差，明显应当在t25时乙追上甲，应当选（ C）．E5为 n 阶单位矩阵，则．设为 n 单位列向量，（ A）E T 不行逆（ B）E T 不行逆（ C）E2T 不行逆（ D ）E 2T 不行逆【详解】矩阵T的特点值为 1和 n 1个 0 ，进而E T , E T , E2T , E2T 的特点值分别为 0,1,1,L1； 2,1,1,L,1 ；1,1,1,L,1 ； 3,1,1,L,1 ．明显只有 E T 存在零特点值，因此不行逆，应当选（ A ）．2002101006．已知矩阵A021， B020， C020，则001001002（ A）A,C相像，B,C相像（ B）A,C相像，B,C不相像（ C）A,C不相像，B,C相像（ D）A,C不相像，B, C不相像【详解】矩阵 A, B 的特点值都是122,31．能否可对解化，只要要关怀 2 的状况．000关于矩阵 A ，2E A00 1 ，秩等于1，也就是矩阵 A 属于特点值2存在两个线性没关的特001征向量，也就是能够对角化，也就是 A ~ C ．010关于矩阵 B ，2E B000，秩等于 2，也就是矩阵 A 属于特点值2只有一个线性没关的特001征向量，也就是不能够对角化，自然B,C不相像应选择（B）．7A, B是两个随机事件，若0P( A)1，0 P( B)1，则 P( A / B)P( A / B) 的充足必需条件是．设（ A）P(B / A) P( B / A)（ B）P( B / A) P(B / A)（ C）P(B / A)P( B / A)（ D）P(B / A) P( B / A)【详解】由乘法公式：P( AB) P( B) P(A / B), P( AB )P(B)( P( A / B) 可得下边结论：P( A / B)P( A / B)P( AB)P( AB) P( A)P( AB)P( AB) P( A)P( B) P( B)P(B)1P( B)近似，由 P( AB ) P( A) P(B / A), P( AB) P( A)P( B / A) 可得P(B / A)P(B / A)P( AB)P( AB) P( B)P( AB)P( AB)P( A)P( B) P( A)P( A)1P( A)因此可知选择（ A ）．8．设X1, X2,L , X n(n 2)为来自正态整体N (,1) 的简单随机样本，若1 nX i，则以下结论中不Xn i 1正确的是（）n) 2听从 2 散布（B ）2 X n 22 散布( X i（ A）X1听从i 1nX ) 2听从 2 散布)2听从 2 散布（ C）( X i（ D）n( Xi1)2 ~2 (1),i n解：（ 1）明显( X i) ~ N (0,1)( X i1,2,L n 且互相独立，因此( X i)2听从i 12( n) 散布，也就是（A）结论是正确的；n22(n1)S 22（ 2）( X i X )(n1)S~( n1)，因此（ C）结论也是正确的；2i1（ 3）注意X ~ N (, 1)n ( X) ~ N (0,1)n( X) 2 ~2 (1) ，因此（D）结论也是正确的；n（ 4）关于选项（ B ）：( X n X1 ) ~ N (0, 2)X n X1~ N (0,1)1( X n X1) 2 ~2 (1) ，因此（B）结22论是错误的，应当选择（B）二、填空题（此题共 6 小题，每题 4 分，满分24 分 . 把答案填在题中横线上）9．已知函数 f ( x)1，则 f (3) (0)．1 x2解：由函数的马克劳林级数公式： f (x) f( n) (0) x n，知f( n)(0)n! a n，此中 a n为睁开式中 x n的系n0n!数．因为f ( x)11x2x4L( 1)n x2 n L, x1,1 ，因此 f (3) (0)0 ．1 x210．微分方程y 2 y3y0的通解为．【详解】这是一个二阶常系数线性齐次微分方程，特征方程 r 22r 30 有一对共共轭的根r12i ，因此通解为y e x (C1 cos2x C2 sin2x)11．若曲线积分xdxaydy在地区 D( x, y) | x 2 y 21 内与路径没关，则 a .Lx 2y 2 1【详解】设P( x, y)x,Q( x, y)ay ，明显 P( x, y), Q (x, y) 在地区内拥有连续的偏 x 2 y 2x 2y 21 1导数，因为与路径没关，因此有Q Pa1xy12．幂级数( 1)n 1 nx n 1 在区间 ( 1,1)内的和函数为n 1【详解】( 1)n 1 nx n 1( 1)n 1( x n )( 1)n 1 x nx 1 n 1n 1n 11 x(1 x)2因此 s(x)12 , x( 1,1)(1 x)1 0 113 ．设矩阵 A1 12 ， 1,2 ,3 为线性无关的三维列向量，则向量组 A 1, A 2 , A 3 的秩0 1 1为．1 0 1 1 0 1 1 0 1【详解】对矩阵进行初等变换 A1 12 0 1 1 0 1 1 ，知矩阵 A的秩为 2，因为0 1 11 10 01, 2 , 3 为线性没关，因此向量组 A 1, A 2 , A 3 的秩为 2．14．设随机变量X 的散布函数F (x)( x)x4 ，此中( x) 为标准正态散布函数，则2EX．【详解】随机变量 X 的概率密度为f ( x) F (x)(x)(x4) ，因此2E(X ) xf ( x)dxx ( x)dxx x 4)dx(2x (x42(2t 4) (t) dt22(t) dt2三、解答题15．（此题满分 10 分）设函数 f (u, v) 拥有二阶连续偏导数，yf ( x,cos )dy， d 2 y．ex ，求|x 0dx 2 |x 0dx【详解】dyxxx， dy；f 1 (e ,cos x)ef 2 ( e ,cos x)( sin x)|x 0dxf 1 (1,1)dxd 2 ye xf 1 x,cos x) xxxsin xf 12xx,cos x)dx 2(ee (f 11 (e ,cos x)e(e ,cos x))cos xf 2 (esin xe x f 21 (e x ,cos x) sin 2 xf 22 (e x ,cos x)d 2 2y|x 0 f 1 (1,1) f 11(1,1)f 2 (1,1)．dx16．（此题满分 10 分）求 limn k2 ln 1k nk 1nn【详解】由定积分的定义nk 2k lim1nklnk1lim ln 11 x ln(1 x)dxn1 nnnn k 1 nn 0k1 1 x)dx 212 ln(1 417．（此题满分 10 分）已知函数 y( x) 是由方程 x 3 y 33x 3y 20 ．【详解】在方程两边同时对x 求导，得3x 2 3 y 2 y 3 3 y 0（ 1）在（ 1）两边同时对 x 求导，得2x 2 y( y ) 2 y 2 yy也就是 y2( x y( y ) 2 )1 y2令 y 0 ，得 x1 ．当 x 11时， y 1 1 ；当 x 21时， y 2 0 当 x 1 1 时， y 0 ， y 1 0 ，函数 y y( x) 取极大值 y 11 ；当 x 21时， y 0 ， y1 0 函数 yy( x) 取极小值 y 2 0 ．18．（此题满分 10 分）设函数 f ( x) 在区间 0,1 上拥有二阶导数，且f (1) 0f (x)， lim0 ，证明：x 0x（ 1）方程 f (x)0 在区间 0,1 起码存在一个实根；（ 2）方程 f (x) f (x)( f ( x))20 在区间 0,1 内起码存在两个不一样实根．证明：（ 1）依据的局部保号性的结论，由条件limf ( x)1，及 x 1(0, ) ，使得0 可知，存在x 0 xf (x 1) 0 ，因为 f ( x) 在 x 1,1 上连续，且 f ( x 1 ) f (1) 0，由零点定理，存在 ( x 1 ,1) (0,1) ，使得f ( )0 ，也就是方程 f (x)0 在区间 0,1 起码存在一个实根；（ 2）由条件 limf (x)0 可知 f (0)0 ，由（ 1）可知 f ( )0 ，由洛尔定理，存在(0, ) ，使得xxf ( )0 ；设 F ( x) f (x) f (x) ，由条件可知 F ( x) 在区间 0,1 上可导，且 F (0)0, F ( ) 0, F ( ) 0 ，分别在区间 0,, , 上对函数 F (x) 使用尔定理，则存在 1(0, )(0,1), 2 ( , ) (0,1), 使得12 , F ( 1 )F ( 2 )0 ，也就是方程 f (x) f ( x) ( f ( x))20 在区间 0,1 内起码存在两个不一样实根．19．（此题满分 10 分）设薄片型 S 是圆锥面 zx 2 y 2 被柱面 z 2 2 x 所割下的有限部分，其上任一点的密度为9 x 2 y 2 z 2 ，记圆锥面与柱面的交线为 C ．（ 1）求 C 在 xOy 布上的投影曲线的方程；（ 2）求 S 的质量 M .【详解】（ 1）交线 C 的方程为z x 2 y 2 ，消去变量 z ，获得 x 2 y 22x ．z 2 2x因此 C 在 xOy 布上的投影曲线的方程为x 2 y 22xz 0.（ 2）利用第一类曲面积分，得M(x, y, z)dS9 x 2 y 2 z 2 dSSS9 x 2 y 2 x 2y 21x 2 y 2 y 2 dxdy x 2y 22xx 2 y 2x 218x 2y 2 dxdy 64x 2y 22x20．（此题满分 11 分）设三阶矩阵 A 1, 2 , 3 有三个不一样的特点值，且312 2 .（ 1）证明： r ( A)2 ；（ 2）若12 ,3 ，求方程组 Ax的通解．【详解】（ 1）证明：因为矩阵有三个不一样的特点值，因此A 是非零矩阵，也就是 r ( A) 1．假若 r ( A) 1 时，则 r0 是矩阵的二重特征值，与条件不符合，所以有 r ( A) 2 ，又因为312 20，也就是1 ,2 ,3 线性有关， r ( A) 3 ，也就只有 r ( A) 2 ．（ 2）因为 r ( A)2 ，因此 Ax 0 的基础解系中只有一个线性没关的解向量．因为312 2 0 ，所1 以基础解系为 x2 ；11 又由12,3 ，得非齐次方程组Ax的特解可取为 1 ；11 1方程组 Ax的通解为 xk 21 ，此中 k 为随意常数．1121．（此题满分 11 分）设二次型 f (x 1, x 2 , x 3 ) 2x 12 x 22 ax 32 2x 1x 28x 1 x 3 2x 2 x 3 在正交变换 x Qy 下的标准形为1 y 122 y 22，求 a 的值及一个正交矩阵Q ．2 1 4 【详解】二次型矩阵 A11 14 1a因为二次型的标准形为1 y 12 2 y 22 ．也就说明矩阵A 有零特点值，因此A 0 ，故 a 2.1 1 4E A1 11(3)(6)412令E A 0 得矩阵的特点值为13,26,30 ．1 1经过分别解方程组( i EA) x 0 得矩阵的属于特点值13 的特点向量 11 ，属于特点值特311 112 6 的特点向量， 30 的特点向量1征值 2232，1611 1 13 2 6因此 Q1 ,2 ,31 02为所求正交矩阵．3 611 132622．（此题满分 11 分）设随机变量 X ,Y 相互独立，且 X 的概率分布为 P X 0 P{ X 2}1 ， Y 的概率密度为22 y,0 y1f ( y)0,其余．（ 1）求概率 P （ Y EY ）；（ 2）求 ZX Y 的概率密度．12 . 【详解】（ 1） EYyf Y ( y)dy2 y 2 dy0 32 24.因此 P YEYP Y32ydy39（ 2） ZX Y 的散布函数为F Z (z) P Z z P X Y z P X Y z, X 0 P X Y z, X 2P X0,Y z P X2,Y z 21P{ Yz}1P Yz2221F Y( z) F Y( z 2)2故 Z X Y 的概率密度为f Z ( z) F Z ( z)1 f (z)f ( z 2)2z, 0 z 1 z 2,2 z 30,其余23．（此题满分 11 分）n 次丈量，该物体的质量某工程师为认识一台天平的精度，用该天平对一物体的质量做了是已知的，设n 次丈量结果 X 1, X 2 ,L , X n 互相独立且均听从正态散布N ( ,2). 该工程师记录的是 n 次丈量的绝对误差Z i X i,( i 1,2, L , ) ，利用 Z 1 , Z 2 ,L , Z n 预计参数．n（ 1）求 Z i 的概率密度；（ 2）利用一阶矩求的矩预计量；（ 3）求参数最大似然预计量．【详解】（ 1）先求Z i的散布函数为F Z ( z) P Z i z P X iX i z z P当 z0时，明显 F Z (z)0 ；当 z0时， F ( z) P Z z P X X i z2z1；i i z PZ2因此 Z i的概率密度为 f Z (z) F Z ( z)e20,z222,z 0 ．z 02z22（ 2）数学希望EZ i zf (z) dz ze 22dz，0022令 EZ Z 1 n Z i，解得的矩预计量2Z2n Z i．n i 122n i 1（ 3）设Z1, Z2,L, Z n的观察值为 z1, z2,L , z n．当 z i0, i1,2,L n 时1nn2n z i2似然函数为 L( ) f ( z i ,))n e22 i 1，i 1(2nln(21n取对数得： ln L ()n ln 2)n ln2z i222i 1令d ln L( )n1n20 ，得参数最大似然预计量为1 n2．d3z in i 1z ii 1。

2017数学一考研真题-答案

2 2
T
2
λ
0， λ
λn
0或λ
1
1，
1
αT α
1
λ1
λn 得 A 的特征值为 λ1
0, λn
E - ααT 的特征值为 λ1
即 E - αα 不可逆，应选（A）
T
λn
1
1 ， λn
0 ,从而 E - ααT
0，
2 0 0 2 1 0 1 0 0 （6）已知矩阵 A 0 2 1 B 0 2 0 C 0 2 0 ,则 0 0 1 0 0 1 0 0 0
S2
S1
10 ，所以 t0
25
）
（5）设为 n 维单元列向量，E 为 n 阶单位矩阵，则（
（A） E- T 不可逆（B） E+ T 不可逆（C） E+2 T （D） E-2 T A 【答案】令 A = αα ， A2 = A ，【解析】令 AX = λX ，由 A - A X = λ - λ X = 0 得 λ 因为 tr A
数学一
一、选择题：1~8 小题，每小题 4 分，共 32 分。下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的
1 cos x ,x 0 （1）若函数 f x 在 x 0 连续，则 ax b, x 0
（A） ab A 【答案】
1 1 （B） ab （C） ab 0 （D） ab 2 2 2
lim
n
1 1 1 x (2 1 ) 1 1 1 2 1x ) dx l n (1 x d) x ( ) x 2 l n ( 2 20 1 x 2 0 0
1 1 1 1 1 1 1 1 1 l n 2 x( 1 d) x l n 2 l n 2 0 2 2 1 x 2 4 2 2 4

2017年考研数学一试卷真题及答案解析

2017年考研数学一真题及答案解析一、选择题：1～8 小题，每小题 4 分，共 32 分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在．答题纸．．指定位置上. （1）若函数1,0(),0x f x axb x ì->ï=íï£î在0x =处连续，则（）()()11()22()02A abB abC abD ab ==-==【答案】A【解析】001112lim lim ,()2x x x f x ax ax a++®®-==!在0x =处连续11.22b ab a \=Þ=选A. （2）设函数()f x 可导，且'()()0f x f x >，则（）()()()(1)(1)(1)(1)()(1)(1)(1)(1)A f fB f fC f fD f f >-<->-<-【答案】C【解析】'()0()()0,(1)'()0f x f x f x f x >ì>\í>î!或()0(2)'()0f x f x <ìí<î，只有C 选项满足(1)且满足(2)，所以选C 。

（3）函数22(,,)f x y z x y z =+在点(1,2,0)处沿向量()1,2,2u =的方向导数为（）()12()6()4()2A B C D 【答案】D【解析】2(1,2,0)122{2,,2},{4,1,0}{4,1,0}{,,} 2.|u |333f u gradf xy x z gradf gradf u ¶=Þ=Þ=×=×=¶选D.（4）甲乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方10（单位：m ）处，图中实线表示甲的速度曲线1()v v t =（单位：/m s ），虚线表示乙的速度曲线2()v v t =，三块阴影部分面积的数值依次为10,20,3，计时开始后乙追上甲的时刻记为0t （单位：s ），则（）()s 0000()10()1520()25()25A tB tC tD t =<<=>【答案】B【解析】从0到0t 这段时间内甲乙的位移分别为120(t),(t),t t v dt v dt òò则乙要追上甲，则210(t)v (t)10t v dt -=ò，当025t =时满足，故选C.（5）设a 是n 维单位列向量，E 为n 阶单位矩阵，则（）()()()()22T T T T A E B E C E D E aa aa aa aa -++-不可逆不可逆不可逆不可逆【答案】A【解析】选项A,由()0aa a a a -=-=T E 得()0aa -=T E x 有非零解，故0aa -=T E 。

考研数学一真题2017年

25、解：
则解：
26、
(1)当z＜0，z-2＜0，而z＜0，则FZ(z)=0； (2)当z-2≥1，z＞1，即z≥3时，FZ(z)=1；
(3)当0≤z＜1时，
(4)当1≤z＜2时， (5)当≤z＜3时，
所以综上，所以，
27、解：
FZ(z)=P(Z≤z)=P(|Xi-μ|≤z) 当z＜0，FZ(z)=0；当z≥0，FZ(z)=P(-z≤Xi-μ≤z)=P(μ-z≤Xi≤μ+z)=Fx(μ+z)-FX(μ-z)；当z≥0时，
A．t0=10 B．15＜t0＜20 C．t0=25
D．t0＞25
5、设α为n维单位列向量，E为n阶单位矩阵，则______ A．E-ααT不可逆 B．E+ααT不可逆 C．E+2ααT不可逆 D．E-2ααT不可逆
6、已知矩阵
A．A与C相似，B与C相似 B．A与C相似，B与C不相似 C．A与C不相似，B与C相似 D．A与C不相似，B与C不相似
，则下列结
二、填空题
9、已知函数
，则f(3)(0)=______．
10、微分方程y"+2y'+3y=0的通解为y=______．
11、若曲线积分 12、幂级数
在区域D={(x，y)|x2+y2＜1}内与路径无关，则a=______．在区间(-1，1)内的和函数S(x)=______．
13、设矩阵 Aα3的秩为______．
21、解：
，则C在xOy平面上的投影的方程为
22、证明：由α3=α1+2α2可得α1+2α2-α3=0，即α1，α2，α3线性相关，因此，|A|=0，即A 的特征值必有0．

2017年考研数学一真题及解析

(A)t0 10 (B)15 t0 20 (C)t0 25 (D)t0 25
【答案】B
【解析】从 0 到 t0 这段时间内甲乙的位移分别为
t0 0
v1
(t)dt
,
t0 0
v2
(t)dt
,
则乙要追上甲，则
t0 0
v2 (t)
v1 (t)dt
10
，当 t0
25 时满足，故选
C.
（5）设是 n 维单位列向量， E 为 n 阶单位矩阵，则（）
故可逆。其它选项类似理解。
2 0 0 2 1 0 1 0 0 （6）设矩阵 A 0 2 1 , B 0 2 0 ,C 0 2 0 ,则（）
0 0 1 0 0 1 0 0 2
( A) A与C相似, B与C相似 B A与C相似, B与C不相似 (C) A与C不相似, B与C相似 D A与C不相似, B与C不相似
(A)12 (B)6 (C)4 (D)2
长理资料群：五，八，6 8，8，六，7，7，五
【答案】D
【解析】 gradf {2xy, x2, 2z}, gradf
(1,2,0)
{4,1, 0}
f u
gradf
u {4,1, 0}{ 1,
|u|
3
2, 3
2} 2. 3
选 D.
（4）甲乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方 10（单位：m）处，图中实线表示甲的速度曲线 v v1(t) （单位： m / s ），虚线表示乙的速度曲线 v v2 (t) ，三块阴影部分面积的数值依次为 10,20,3，计时开始后乙追上甲的时刻记为 t0 （单位：s），则（）
2017 年考研数学一真题及答案解析
一、选择题：1～8 小题，每小题 4 分，共 32 分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题

2017年考研数学一真题及答案全

2017年全国硕士研究生入学统一考试数学（一）试题一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分．下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上．（1）若函数0(),0x f x b x >=⎪≤⎩在x 连续，则 (A) 12ab =． (B) 12ab =-． (C) 0ab =． (D) 2ab =．【答案】A【详解】由011lim 2x b ax a +→-==,得12ab =.（2）设函数()f x 可导，且()'()0f x f x >则(A) ()()11f f >- ． (B) ()()11f f <-． (C) ()()11f f >-． (D) ()()11f f <-.【答案】C【详解】2()()()[]02f x f x f x ''=>,从而2()f x 单调递增,22(1)(1)f f >-. （3）函数22(,,)f x y z x y z =+在点(1,2,0)处沿着向量(1,2,2)n =的方向导数为 (A) 12． (B) 6．(C) 4．(D)2 ．【答案】D【详解】方向余弦12cos ,cos cos 33===αβγ,偏导数22,,2x y z f xy f xf z '''===,代入cos cos cos x y z f f f '''++αβγ即可.（4）甲乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方10(单位：m)处.图中，实线表示甲的速度曲线1()v v t =(单位：m/s)，虚线表示乙的速度曲线2()v v t =(单位：m/s)，三块阴影部分面积的数值一次为10，20，3，计时开始后乙追上甲的时刻记为(单位：s)，则(A) 010t =． (B) 01520t <<． (C) 025t =． (D) 025t >．【答案】C【详解】在025t =时,乙比甲多跑10m,而最开始的时候甲在乙前方10m 处. （5）设α为n 维单位列向量，E 为n 阶单位矩阵，则 (A) TE -αα不可逆． (B) TE +αα不可逆． (C) T 2E +αα不可逆． (D) T2E -αα不可逆．【答案】A【详解】可设T α=(1,0,,0),则T αα的特征值为1,0,,0,从而T αα-E 的特征值为011,,,,因此T αα-E 不可逆.（6）设有矩阵200021001A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，210020001B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，122C ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭(A)A 与C 相似，B 与C 相似． (B) A 与C 相似，B 与C 不相似．(C) A 与C 不相似，B 与C 相似． (D) A 与C 不相似，B 与C 不相似．【答案】B【详解】,A B 的特征值为221,,,但A 有三个线性无关的特征向量,而B 只有两个,所以A 可对角化,B 则不行.（7）设,A B 为随机事件，若0()1P A <<，0()1P B <<，则(|)(|)P A B P B A >的充分必要条件(A) (|)(|)P B A P B A >． (B) (|)(|)P B A P B A <． (C) (|)(|)P B A P B A >． (D) (|)(|)P B A P B A <．【答案】A【详解】由(|)(|)P A B P A B >得()()()()()()1()P AB P AB P A P AB P B P B P B ->=-,即()>()()P AB P A P B ;由(|)(|)P B A P B A >也可得()>()()P AB P A P B . （8）设12,,,(2)n X X X n …为来自总体(,1)N μ的简单随机样本，记11ni i X X n ==∑，则下列结论不正确的是 (A)21()ni i X μ=-∑服从2χ分布． (B) 212()n X X -服从2χ分布．(C)21()nii XX =-∑服从2χ分布． (D) 2()n X -μ服从2χ分布．【答案】B【详解】222211~(0,1)()~(),()~(1)1n ni i i i i X N X n X X n ==----∑∑μμχχ;221~(,),()~(1);X N n X n-μμχ2211()~(0,2),~(1)2n n X X X X N --χ.二、填空题：9～14小题，每小题4分，共24分．请将答案写在答题纸．．．指定位置上．（9）已知函数21(),1f x x=+(3)(0)f = ．【答案】0 【详解】2421()1(11)1f x x x x x==-++-<<+,没有三次项.（10）微分方程032=+'+''y y y 的通解为．【答案】12e ()xy C C -=+【详解】特征方程2230r r ++=得1r =-,因此12e ()x y C C -=+.（11）若曲线积分⎰-+-L y x aydy xdx 122在区域{}1),(22<+=y x y x D 内与路径无关，则=a．【答案】1-【详解】有题意可得Q Px x∂∂=∂∂,解得1a =-. （12）幂级数111)1(-∞=-∑-n n n nx 在(-1,1)内的和函数()S x = ．【答案】21(1)x + 【详解】112111(1)[()](1)n n n n n nxx x ∞∞--=='-=--=+∑∑.（13）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=110211101A ，321ααα，，是3维线性无关的列向量，则()321,,αααA A A 的秩为．【答案】2【详解】123(,,)()2r r ααα==A A A A（14）设随即变量X 的分布函数4()0.5()0.5()2x F x x -=Φ+Φ，其中)(x Φ为标准正态分布函数，则EX = ．【答案】2 【详解】00.54()d [0,5()()]d 222x EX xf x x x x x +∞+∞-∞-==+=⎰⎰ϕϕ. 三、解答题：15～23小题，共94分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请将答案写在答题纸．．．指定位置上．（15）（本题满分10分）．设函数(,)f u v 具有2阶连续偏导数，(e ,cos ),xy f x =求2200,x x dyd y dxdx==.【答案】(e ,cos )x y f x =()''12'12''''''''''111212122222''''11122sin ,0(1,1)sin (sin )sin cos 0(1,1)(1,1)(1,1)x x x x x dyf e f x dx dy x f dx d y f e f x e f e f e f x x f x dx d y x f f f dx ∴=-∴===-+---==+- （16）（本题满分10分）．求2limln(1)n k kn n→∞+.【答案】212221120012202lim ln(1)1122lim ln(1)ln(1)...ln(1)11122lim ln(1)ln(1)...ln(1)1ln(1)ln(1)21111ln(1)02211111ln 2221n k n n k k nn n n n n n n n n n n n n n n n n n x x dx x d x x x x dxx x ∞→∞=→∞→∞+⎛⎫=++++++ ⎪⎝⎭⎛⎫=++++++ ⎪⎝⎭=+=+=+-+-+=-∑⎰⎰⎰1011002111ln 2[(1)]22111111ln 2[()ln(1)]002221111ln 2(1ln 2)2224dxxx dx dx x x x x +=--++=--++=--+=⎰⎰⎰（17）（本题满分10分）．已知函数)(x y 由方程333320x y x y +-+-=确定，求)(x y 的极值. 【答案】333320x y x y +-+-=①，方程①两边对x 求导得：22''33330x y y y +-+=②，令'0y =，得233,1x x ==±. 当1x =时1y =，当1x =-时0y =.方程②两边再对x 求导：'22''''66()330x y y y y y +++=，令'0y =，2''6(31)0x y y ++=，当1x =，1y =时''32y =-，当1x =-，0y =时''6y =. 所以当1x =时函数有极大值，极大值为1，当1x =-时函数有极小值，极小值为0.（18）（本题满分10分）．设函数()f x 在区间[0,1]上具有2阶导数，且(1)0f >，0()lim 0x f x x+→<.证明：（I ）方程()0f x =在区间(0,1)内至少存在一个实根;（II ）方程2()''()['()]0f x f x f x +=在区间(0,1)内至少存在两个不同实根. 【答案】 (1)()lim 0x f x x+→<，由极限的局部保号性，(0,),()0c f c δ∃∈<使得，又(1)0,f >由零点存在定理知，(c,1)ξ∃∈，使得，()0f ξ=. (2)构造()()'F x f x f x =，(0)(0)'(0)0F f f ==，()()'()0F f f ξξξ==，()lim 0,'(0)0,x f x f x +→<∴<由拉格朗日中值定理知(1)(0)(0,1),'()010f f f ηη-∃∈=>-，'(0)'()0,f f η<所以由零点定理知1(0,)(0,1)ξη∃∈⊂，使得1'()0f ξ=，111()()'()0,F f f ξξξ∴== 所以原方程至少有两个不同实根。

2015-2017考研数学一真题(答案+解析)

历年考研数学一真题2015-2017（答案+解析）2015年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、选择题 1—8小题．每小题4分，共32分．１．设函数()f x 在(,)-∞+∞上连续，其二阶导数()f x ''的图形如右图所示，则曲线()y f x =在(,)-∞+∞的拐点个数为（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3【详解】对于连续函数的曲线而言，拐点处的二阶导数等于零或者不存在．从图上可以看出有两个二阶导数等于零的点，以及一个二阶导数不存在的点0x =．但对于这三个点，左边的二阶导数等于零的点的两侧二阶导数都是正的，所以对应的点不是拐点．而另外两个点的两侧二阶导数是异号的，对应的点才是拐点，所以应该选（C ） 2．设21123()x x y e x e =+-是二阶常系数非齐次线性微分方程x y ay by ce '''++=的一个特解，则（A ）321,,a b c =-==- （B ）321,,a b c ===- （C ）321,,a b c =-== （D ）321,,a b c ===【详解】线性微分方程的特征方程为20r ar b ++=，由特解可知12r =一定是特征方程的一个实根．如果21r =不是特征方程的实根，则对应于()x f x ce =的特解的形式应该为()x Q x e ，其中()Q x 应该是一个零次多项式，即常数，与条件不符，所以21r =也是特征方程的另外一个实根，这样由韦达定理可得213212(),a b =-+=-=⨯=，同时*x y xe =是原来方程的一个解，代入可得1c =-应该选（A ）３．若级数1nn a∞=∑条件收敛，则33,x x ==依次为级数11()nnn na x ∞=-∑的（Ａ）收敛点，收敛点（Ｂ）收敛点，发散点(Ｃ）发散点，收敛点（Ｄ）发散点，发散点【详解】注意条件级数1nn a∞=∑条件收敛等价于幂级数1n nn ax ∞=∑在1x =处条件收敛，也就是这个幂级数的收敛为1，即11limn n na a +→∞=，所以11()n n n na x ∞=-∑的收敛半径111lim()nn n na R n a →∞+==+，绝对收敛域为02(,)，显然33,x x ==依次为收敛点、发散点，应该选（B ）４．设D 是第一象限中由曲线2141,xy xy ==与直线3,y x y x ==所围成的平面区域，函数(,)f x y 在D 上连续，则(,)Df x y dxdy =⎰⎰（）（Ａ）1321422sin sin (cos ,sin )d f r r rdrπθπθθθθ⎰⎰（Ｂ）1231422sin sin (cos ,sin )d f r r rdr πθπθθθθ⎰⎰（Ｃ）1321422sin sin (cos ,sin )d f r r drπθπθθθθ⎰⎰（Ｄ）231422sin sin (cos ,sin )d f r r dr πθπθθθθ⎰⎰【详解】积分区域如图所示，化成极坐标方程：221212122sin cos sin sin xy r r r θθθθ=⇒=⇒=⇒=22141412222sin cos sin sin xy r r r θθθθ=⇒=⇒=⇒=也就是D ：432sin sin r ππθθθ⎧<<⎪⎪⎨<<22所以(,)Df x y dxdy =⎰⎰231422sin sin (cos ,sin )d f r r rdr πθπθθθθ⎰⎰，所以应该选（B ）．5．设矩阵2211111214,A a b d a d ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，若集合{}12,Ω=，则线性方程组Ax b =有无穷多解的充分必要条件是（A ）,a d ∉Ω∉Ω （B ）,a d ∉Ω∈Ω（C ）,a d ∈Ω∉Ω （D ）,a d ∈Ω∈Ω 【详解】对线性方程组的增广矩阵进行初等行变换：2222111111111111201110111403110012(,)()()B A b ad a d a a d a d a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎪ ⎪==→--→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ----⎝⎭⎝⎭⎝方程组无穷解的充分必要条件是3()(,)r A r A b =<，也就是120120()(),()()a a d d --=--=同时成立，当然应该选（D ）． 6．设二次型123(,,)f x x x 在正交变换x Py =下的标准形为2221232y y y +-，其中()123,,P e e e =，若()132,,Q e e e =-，则123(,,)f x x x 在x Qy =下的标准形为（A ）2221232y y y -+ （B ）2221232y y y +- （C ）2221232y y y -- （D ） 2221232y y y ++ 【详解】()()132123100100001001010010,,,,Q e e e e e e P ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=-== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，100001010T T Q P ⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭211T T T T f x Ax y PAPy y y⎛⎫⎪=== ⎪ ⎪-⎝⎭所以100100100210020010010011001101001001010101T T Q AQ P AP ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪=-=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭故选择（A ）． 7．若,A B 为任意两个随机事件，则（）（A ）()()()P AB P A P B ≤ （B ）()()()P AB P A P B ≥ （C ）2()()()P A P B P AB +≤ （D ）2()()()P A P B P AB +≥【详解】()(),()(),P A P AB P B P AB ≥≥所以2()()()P A P B P AB +≤故选择（C ）．8．设随机变量,X Y 不相关，且213,,EX EY DX ===，则2(())E X X Y +-=（）（A ）3- （B ）3 （C ） 5- （D ）5【详解】222225(())()()()E X X Y E X E XY EX DX EX EXEY EX +-=+-=++-=故应该选择（D ）．二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）9．20ln(cos )lim x x x→= 【详解】200122ln(cos )tan lim lim x x x x x x →→-==-．10．221sin cos x x dx x ππ-⎛⎫+= ⎪+⎝⎭⎰ ．【详解】只要注意1sin cos xx+为奇函数，在对称区间上积分为零，所以22202214sin .cos x x dx xdx xππππ-⎛⎫+== ⎪+⎝⎭⎰⎰11．若函数(,)z z x y =是由方程2cos z e xyz x x +++=确定，则01(,)|dz = ．【详解】设2(,,)cos zF x y z e xyz x x =+++-，则1(,,)sin ,(,,),(,,)z x y z F x y z yz x F x y z xz F x y z e xy '''=+-==+且当01,x y ==时，z =，所以010101001010010010(,)(,)(,,)(,,)|,|,(,,)(,,)y x z z F F z zx y F F ''∂∂=-=-=-=∂∂'' 也就得到01(,)|dz =.dx -12．设Ω是由平面1x y z ++=和三个坐标面围成的空间区域，则23()dxdydz x y z Ω++=⎰⎰⎰ ．【详解】注意在积分区域内，三个变量,,x y z 具有轮换对称性，也就是dxdydz dxdydz dxdydz x y z ΩΩΩ==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰11212366314()dxdydz dxdydz ()zD x y z z zdz dxdy z z dz ΩΩ++===-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰13．n 阶行列式20021202002212-=- ．【详解】按照第一行展开，得1111212122()()n n n n n D D D +---=+--=+，有1222()n n D D -+=+由于1226,D D ==，得11122222()n n n D D -+=+-=-．14．设二维随机变量(,)X Y 服从正态分布10110(,;,;)N ，则{}0P XY Y -<= ．【详解】由于相关系数等于零，所以X ，Y 都服从正态分布，1101~(,),~(,)X N Y N ，且相互独立．则101~(,)X N -．{}{}{}{}1111101001001022222(),,P XY Y P Y X P Y X P Y X -<=-<=<->+>-<=⨯+⨯= 三、解答题15．（本题满分10分）设函数1()ln()sin f x x a x bx x =+++，3()g x kx=在0x →时为等价无穷小，求常数,,a b k 的取值．【详解】当0x →时，把函数1()ln()sin f x x a x bx x =+++展开到三阶的马克劳林公式，得233332331236123()(())(())()()()()x x f x x a x o x bx x x o x a aa xb x x o x =+-+++-+=++-+++ 由于当0x →时，(),()f x g x 是等价无穷小，则有10023a ab a k ⎧⎪+=⎪⎪-+=⎨⎪⎪=⎪⎩，解得，11123,,.a b k =-=-=-16．（本题满分10分）设函数)(x f y =在定义域I 上的导数大于零，若对任意的0x I ∈，曲线)(x f y =在点00(,())x f x 处的切线与直线0x x =及x 轴所围成区域的面积恒为4，且02()f =，求()f x 的表达式．【详解】)(x f y =在点00(,())x f x 处的切线方程为000()()()y f x x x f x '=-+令0y =，得000()()f x x x f x =-'曲线)(x f y =在点00(,())x f x 处的切线与直线0x x =及x 轴所围成区域的面积为00000142()()(()()f x S f x x x f x =--=' 整理，得218y y '=，解方程，得118C x y =-，由于02()f =，得12C = 所求曲线方程为84.y x=- 17．（本题满分10分）设函数(,)f x y x y xy =++，曲线223:C x y xy ++=，求(,)f x y 在曲线C 上的最大方向导数．【详解】显然11,f fy x x y∂∂=+=+∂∂． (,)f x y x y xy =++在(,)x y 处的梯度()11,,f f gradf y x x y ⎛⎫∂∂==++ ⎪∂∂⎝⎭(,)f x y 在(,)x y处的最大方向导数的方向就是梯度方向，最大值为梯度的模gradf =所以此题转化为求函数2211(,)()()F x y x y =+++在条件223:C x y xy ++=下的条件极值．用拉格朗日乘子法求解如下：令2222113(,,)()()()L x y x y x y xy λλ=++++++-解方程组22212021203()()x y F x x y F y y x x y xy λλλλ⎧'=+++=⎪⎪'=+++=⎨⎪++=⎪⎩，得几个可能的极值点()11112112,,(,),(,),(,)----，进行比较，可得，在点21,x y ==-或12,x y =-=处，方向导数取到最大，3.=18．（本题满分10分）（1）设函数(),()u x v x 都可导，利用导数定义证明(()())()()()()u x v x u x v x u x v x '''=+；（2）设函数12(),(),,()n u x u x u x 都可导，12()()()()n f x u x u x u x =，写出()f x 的求导公式．【详解】（1）证明：设)()(x v x u y=)()()()(x v x u x x v x x u y -++=∆∆∆()()()()()()()()u x x v x x u x v x x u x v x x u x v x =+∆+∆-+∆++∆-v x u x x uv ∆∆∆)()(++=xux u x x v x u x y ∆∆∆∆∆∆∆)()(++= 由导数的定义和可导与连续的关系00'limlim[()()]'()()()'()x x y u uy v x x u x u x v x u x v x x x x∆→∆→∆∆∆==+∆+=+∆∆∆（2）12()()()()n f x u x u x u x =1121212()()()()()()()()()()()n n nf x u x u x u x u x u x u x u x u x u x u x ''''=+++ 19．（本题满分10分）已知曲线L 的方程为z z x⎧=⎪⎨=⎪⎩，起点为0()A ，终点为00(,)B ，计算曲线积分2222()()()L y z dx z x y dy x y dz ++-+++⎰．【详解】曲线L的参数方程为cos ,cos x t y t z t =⎧⎪=⎨⎪=⎩起点0()A 对应2t π=，终点为00(,)B 对应2t π=-．22222222()()()cos )(cos )))(cos )cos Ly z dx z x y dy x y dzt t d t t d t t d tππ-++-+++=+++-⎰⎰2202sin .tdt π==20．（本题满分11分）设向量组123,,ααα为向量空间3R的一组基，113223332221,,()k k βααβαβαα=+==++．（1）证明：向量组123,,βββ为向量空间3R 的一组基；（2）当k 为何值时，存在非零向量ξ，使得ξ在基123,,ααα和基123,,βββ下的坐标相同，并求出所有的非零向量.ξ【详解】（1）()123123201020201(,,),,k k βββααα⎛⎫ ⎪= ⎪⎪+⎝⎭，因为2012102024021201k k k k ==≠++，且123,,ααα显然线性无关，所以123,,βββ是线性无关的，当然是向量空间3R 的一组基．（2）设非零向量ξ在两组基下的坐标都是123(,,)x x x ，则由条件112233112233x x x x x x αααβββ++=++可整理得：1132231320()()x k x x k ααααα++++=，所以条件转化为线性方程组()1321320,,k k x ααααα++=存在非零解．从而系数行列式应该等于零，也就是12312310110101001002020(,,)(,,k k k kαααααα⎛⎫⎪== ⎪ ⎪⎝⎭由于123,,ααα显然线性无关，所以10110020k k=，也就是0k =．此时方程组化为()112121312230,,()x x x x x x ααααα⎛⎫ ⎪=++= ⎪ ⎪⎝⎭，由于12,αα线性无关，所以13200x x x +=⎧⎨=⎩，通解为1230x C x x C ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭，其中C 为任意常数．所以满足条件的0C C ξ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭其中C 为任意不为零的常数． 21．（本题满分11分）设矩阵02313312A a -⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭相似于矩阵12000031B b -⎛⎫ ⎪= ⎪⎪⎝⎭．（1）求,a b 的值；（2）求可逆矩阵P ，使1P AP -为对角矩阵．【详解】（1）因为两个矩阵相似，所以有trA trB =，A B =．也就是324235a b a a b b +=+=⎧⎧⇒⎨⎨-==⎩⎩．（2）由2120050150031()()E B λλλλλλ--=-=--=--，得A ，B 的特征值都为12315,λλλ===解方程组0()E A x -=，得矩阵A 的属于特征值121λλ==的线性无关的特征向量为12231001.ξξ-⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；解方程组50()E A x -=得矩阵A 的属于特征值35λ=的线性无关的特征向量为3111ξ-⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭令()123231101011,,P ξξξ--⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭，则1100010005.P AP -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭22．（本题满分11分）设随机变量X 的概率密度为22000ln ,(),x x f x x -⎧>=⎨≤⎩对X 进行独立重复的观测，直到第2个大于3的观测值出现时停止，记Y 为次数．求Y 的分布函数；（1）求Y 的概率分布；（2）求数学期望.EY 【详解】（1）X 进行独立重复的观测，得到观测值大于3的概率为313228()ln x P X dx +∞->==⎰显然Y 的可能取值为234,,,且2211117171234888648()(),,,,k k kP Y k C k k ---⎛⎫⎛⎫==⨯⨯=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（2）设22322221111()()(),()n nn n n n x S x n n xx x x x x ∞∞∞-===''''⎛⎫⎛⎫''=-====< ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭∑∑∑ 2221717116648648()()()k k n E Y kP Y k k k S -∞∞==⎛⎫⎛⎫===-== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭∑∑ 23．（本题满分11分）设总体X 的概率密度为1110,(;),x f x θθθ⎧≤≤⎪=-⎨⎪⎩其他其中θ为未知参数，12,,,n X X X 是来自总体的简单样本．（1）求参数θ的矩估计量；（2）求参数θ的最大似然估计量．【详解】（1）总体的数学期望为111112()()E X xdx θθθ==+-⎰ 令()E X X =，解得参数θ的矩估计量：21ˆX θ=-．（2）似然函数为12121110,,,,()(,,,;),n nn x x x L x x x θθθ⎧≤≤⎪-=⎨⎪⎩其他显然()L θ是关于θ的单调递增函数，为了使似然函数达到最大，只要使θ尽可能大就可以，所以参数θ的最大似然估计量为12ˆmin(,,,).n x x x θ=2016年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、选择题：1~8小题，每小题4分，共32分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，请将所选前的字母填在答题纸指定位置上。

2017考研数学一概率论答案

2017考研数学一概率论答案1、下列各对象可以组成集合的是（）[单选题] *A、与1非常接近的全体实数B、与2非常接近的全体实数(正确答案)C、高一年级视力比较好的同学D、与无理数相差很小的全体实数2、平面上两点A（-3，-3），B（3，5）之间的距离等于（）[单选题] *A、9B、10(正确答案)C、8D、63、计算(－a)?·a的结果是( ) [单选题] *A. －a?B. a?(正确答案)C. －a?D. a?4、48、如图，△ABC≌△AED，连接BE．若∠ABC＝15°，∠D＝135°，∠EAC＝24°，则∠BEA的度数为（）[单选题] *A．54°B．63°(正确答案)C．64°D．68°5、3、把方程x2-8x+3=0化成（x+m）2=n的形式，则m、n的值是（）[单选题] *A、4，13B、-4，19C、-4，13(正确答案)D、4，196、6.对于单项式-2mr2的系数，次数分别是（）[单选题] *A.2,-2B.-2,3C.-2,2(正确答案)D.-2,37、8．(2020·课标Ⅱ)已知集合U={－2，－1,0,1,2,3}，A={－1,0,1}，B={1,2}，则?U(A∪B)=( ) [单选题] *A．{－2,3}(正确答案)B．{－2,2,3}C．{－2，－1,0,3}D．{－2，－1,0,2,3}8、23、在直角坐标平面内有点A，B，C，D，那么四边形ABCD的面积等于（）[单选题]A. 1B. 2C. 4(正确答案)D. 2.59、下列各式中，计算过程正确的是( ) [单选题] *A. x3＋x3＝x3?3＝x6B. x3·x3＝2x3C. x·x3·x?＝x??3??＝x?D. x2·(－x)3＝－x2?3＝－x?(正确答案)10、下列各角中与45°角终边相同的角是（）[单选题] *A. 405°(正确答案)B. 415°C. -45°D. -305°11、21．如图，AB＝CD，那么AC与BD的大小关系是（）[单选题] *A．AC＝BD(正确答案)B．AC＜BDC．AC＞BDD．不能确定12、8．数轴上一个数到原点距离是8，则这个数表示为多少（）[单选题] *A．8或﹣8(正确答案)B．4或﹣4C．8D．﹣413、47．已知（x﹣2021）2+（x﹣2023）2＝50，则（x﹣2022）2的值为（）[单选题]* A．24(正确答案)B．23C．22D．无法确定14、300°用弧度制表示为（）[单选题] *5π/3(正确答案)π/62π/32π/515、2.比3大- 1的数是[单选题] *A.2(正确答案)B.4C. - 3D. - 216、19．下列两个数互为相反数的是（）[单选题] *A．（﹣）和﹣（﹣）B．﹣5和(正确答案)C．π和﹣14D．+20和﹣（﹣20）17、50．式子（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）…（21024+1）+1化简的结果为（）[单选题] *A．21024B．21024+1C．22048(正确答案)D．22048+118、1. 在实数0、-√3?、√2?、-2中，最小的是（）[单选题] *A、-2(正确答案)B、-√3C、0D、√219、23．若A、B是火车行驶的两个站点，两站之间有5个车站，在这段线路上往返行车，需印制（）种车票．[单选题] *A．49B．42(正确答案)C．21D．2020、20．如图，OC是∠AOB的平分线，OD是∠BOC的平分线，那么下列各式中正确的是（）[单选题] *21．A．∠COD＝∠AOBB．∠AOD＝∠AOBC．∠BOD＝∠AODD．∠BOC＝∠AOD(正确答案)21、已知2x=8,2y=4,则2x+y=（）[单选题] *A 、32(正确答案)B 、33C、16D、422、48．如图，M是AG的中点，B是AG上一点．分别以AB、BG为边，作正方形ABCD和正方形BGFE，连接MD和MF．设AB＝a，BG＝b，且a+b＝10，ab＝8，则图中阴影部分的面积为（）[单选题] *A．46B．59(正确答案)C．64D．8123、14．平面上有三个点A，B，C，如果AB＝8，AC＝5，BC＝3，则（）[单选题] * A．点C在线段AB上(正确答案)B．点C在线段AB的延长线上C．点C在直线AB外D．不能确定24、13.不等式x+3＞5的解集为（）[单选题] *A. x＞1B. x＞2(正确答案)C. x＞3D. x＞425、下列各式与x3? ?2相等的是( ) [单选题] *A. (x3) ? ?2B. (x ? ?2)3C. x2·(x3) ?(正确答案)D. x3·x ?＋x226、14．将△ABC的三个顶点坐标的横坐标都乘以-1，并保持纵坐标不变，则所得图形与原图形的关系是（）[单选题] *A．关于x轴对称B．关于y轴对称(正确答案)C．关于原点对称D．将原图形沿x轴的负方向平移了1个单位27、28.已知点A（2,3）、B（1,5），直线AB的斜率是（）[单选题] *A.2B.-2C.1/2D.-1/2(正确答案)28、3．下列说法：①有理数中，0的意义仅表示没有；②整数包括正整数和负整数；③正数和负数统称有理数；④0是最小的整数；⑤负分数是有理数．其中正确的个数（）[单选题] *A．1个(正确答案)B．2个C．3个D．5个29、5．已知集合A={x|x=3k＋1，k∈Z}，则下列表示不正确的是( ) [单选题] *A．－2∈AB．2 022?AC．3k2＋1?A(正确答案)D．－35∈A30、10. 如图所示，小明周末到外婆家，走到十字路口处，记不清哪条路通往外婆家，那么他一次选对路的概率是(? ? ?)．[单选题] *A．1/2B．1/3(正确答案) C．1/4D．1。