2020年河北省唐山市高考数学一模试卷(理科)含答案解析
2020届河北省唐山市高三第一次模拟考试数学(理)试题
启用前★绝密2020届河北省唐山市高三第一次模拟考试理科数学 ★祝考试顺利★ 注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。
4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
8、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知函数)(x f y =，[]b a x ,∈，那么集合[]{}{},(),,(,)2x y y f x x a b x y x =∈=（）中元素的个数为 （ ） A ．1 B ．0 C ．0或1 D ．1或22.已知x ∈C ，若关于x 实系数一元二次方程20ax bx c ++=（a ，b ，c ∈R，a ≠0）有一根为1＋i ．则该方程的另一根为 （ ） A ．－1＋i B ．1－i C ．－1－i D ．1 3．设)(),161(log );32(,21221R x x N a a a M ∈+=<<-+=，则M ，N 大小关系是（ ） A ． M ＞N B ． M =N C ．M ＜N D ． 不能确定4.设向量)25sin ,25(cos=a ，)20cos ,20(sin =b ，若t 是实数，且b t a u +=，则u 的最小值为 （ ） A ．2 B ．1 C．2D ．125.如图，矩形O ′A ′B ′C ′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O ′A ′＝6 cm ，C ′D ′＝2 cm ，则原图形是( ). A ．正方形 B ．矩形 C ． 梯形 D ．菱形6.设函数⎪⎩⎪⎨⎧<≥=1,1,)(2x x x x x f )(x g 是二次函数，若))((x g f 的值域是[0，＋∞)，则)(x g 的值域是 ( ). A ．(－∞，－1]∪[1，＋∞) B ．(－∞，－1]∪[0，＋∞) C ．[0，＋∞) D ．[1，＋∞)7.右图是求样本x 1，x 2，…，x 10平均数x 的程序框图，图中空白框中应填入的内容为( ). A.S =S +n x B.S =S +nx nC.S =S + nD.S =S +10nx8.函数)0(cos sin )(≠-=a x b x a x f 的图象关于4x π=对称，则3()4y f x π=-是（ ） A ．图象关于点），（0π对称的函数 B ．图象关于点302π（，）对称的函数C ．图象关于点），（02π对称的函数 D ．图象关于点），（04π对称的函数9. 如图，在正方形区域内任取一点，则此点取自阴影部分的概率是 （ ）1B.)241πC.)241πD.1610.f （x ）是集合A 到集合B 的一个函数，其中，A={1，2，…，n}，B={1，2，…，2n}，n ∈N *，则f （x ）为单调递增函数的个数是（ ） A．B ．n 2nC ．（2n ）n D．11.已知函数()ln 2x axf x x-=，若有且仅有一个整数k ，使得()1f k >，则实数a 的取值范围是 ( ) A. (1,3]B.1111ln 2,ln34262⎡⎫--⎪⎢⎣⎭C.11ln 21,ln3123⎡⎫--⎪⎢⎣⎭D.11,1e e ⎛⎤-- ⎥⎝⎦12..设点P 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上异于长轴端点的任意一点，F 1，F 2分别是其左右焦点，O 为中心，2212||||||3PF PF OP b +=，则此椭圆的离心率为 （ ）A ．12 B．C. D ．二.填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13． 若实数x ，y 满足约束条件41014x y y x y --≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩则z ＝ln y －ln x 的最小值是________． 14． 210(2018)()x y x y +-展开式中56x y 的系数为 ．15. 如图，已知正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为2，点E 为线段A 1B 1的中点，点F ，G 分别是线段A 1D 与BC 1上的动点，当三棱锥E ﹣FGC 的俯视图的面积最大时，该三棱锥的正视图的面积是 ．16.在△ABC 中，内角A ，B ，C 的边分别为a ，b ，c ，2ABC=3π∠，BD 平分ABC ∠交AC 于点D ，BD=2，则△ABC 面积的最小值为 ．三．解答题：本大题共6小题，共70分。
2020届河北省唐山市高三第一次模拟考试数学(理)模拟试题有答案(精品)
唐山市高三年级第一次模拟考试理科数学试卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.2(1)i i-=（ ） A ．22i -+B ．22i + C ．22i -- D ．22i -2.设集合2{|0}M x x x =->，1|1N x x ⎧⎫=<⎨⎬⎩⎭，则（ ） A ．M N ØB ．N M ØC ．M N =D ．M N R =U 3.已知1tan 2α=-，且(0,)απ∈，则sin 2α=（ ） A ．45B ．45-C ．35D ．35- 4.两个单位向量a r ，b r 的夹角为120o，则2a b +=r r （ ）A ．2B ．3C ．2D ．35.用两个1，一个2，一个0，可组成不同四位数的个数是（ ） A ．18 B ．16 C ．12 D ．96.已知233a -=，432b -=，ln3c =，则（ ）A ．a c b <<B ．a b c <<C ．b c a <<D ．b a c <<7. 如图是根据南宋数学家杨辉的“垛积术”设计的程序框图，该程序所能实现的功能是（ ）A ．求135...(21)n ++++-B ．求135...(21)n +++++C ．求2222123n +++⋅⋅⋅+D ．求2222123(1)n +++⋅⋅⋅++8.为了得到函数5sin 6y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，可以将函数sin y x =的图象（ ） A ．向左平移6π个单位长度 B ．向右平移3π个单位长度 C ．向右平移6π个单位长度 D ．向左平移3π个单位长度 9. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是（ ）A ．542+．9C ．652+D ．5310.已知F 为双曲线C ：22221x y a b-=(0,0)a b >>的右焦点，过点F 向C 的一条渐近线引垂线，垂足为A ，交另一条渐近线于点B .若OF FB =，则C 的离心率是（ ） A 632C 2．2 11. 已知函数2()2cos f x x x x =-，则下列关于()f x 的表述正确的是（ ） A ．()f x 的图象关于y 轴对称 B ．0x R ∃∈，()f x 的最小值为1- C ．()f x 有4个零点 D ．()f x 有无数个极值点12.已知P ，A ，B ，C 是半径为2的球面上的点，2PA PB PC ===，90ABC ∠=o，点B 在AC 上的射影为D ，则三棱锥P ABD -体积的最大值是（ ） A 3333C ．12D 3二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 设x，y 满足约束条件0230210x y x y x y -≥⎧⎪+-≤⎨⎪--≤⎩，则23z x y =+的最小值是．14.6(21)x -的展开式中，二项式系数最大的项的系数是．（用数字作答）15. 已知P 为抛物线2y x =上异于原点O 的点，PQ x ⊥轴，垂足为Q ，过PQ 的中点作x 轴的平行线交抛物线于点M ，直线QM 交y 轴于点N ，则PQNO=． 16.在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，AB 边上的高为h ，若2c h =，则a bb a+的取值范围是．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第（22）、（23）题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17.已知数列{}n a 为单调递增数列，n S 为其前n 项和，22n n S a n =+.（1）求{}n a 的通项公式； （2）若2112n n n n n a b a a +++=⋅⋅，n T 为数列{}n b 的前n 项和，证明：12nT <. 18.某水产品经销商销售某种鲜鱼，售价为每公斤20元，成本为每公斤15元.销售宗旨是当天进货当天销售.如果当天卖不出去，未售出的全部降价处理完，平均每公斤损失3元.根据以往的销售情况，按[50,150)，[150,250)，[250,350)，[350,450)，[450,550]进行分组，得到如图所示的频率分布直方图.（1）求未来连续三天内，该经销商有连续两天该种鲜鱼的日销售量不低于350公斤，而另一天日销售量低于350公斤的概率；（2）在频率分布直方图的需求量分组中，以各组区间的中点值代表该组的各个值. （i ）求日需求量X 的分布列；（ii ）该经销商计划每日进货300公斤或400公斤，以每日利润Y 的数学期望值为决策依据，他应该选择每日进货300公斤还是400公斤？19.如图，在三棱柱111ABC A B C -中，平面11A B C ⊥平面11AAC C ，90BAC ∠=o.（1）证明：1AC CA ⊥；（2）若11A B C ∆是正三角形，22AB AC ==，求二面角1A AB C --的大小.20.已知椭圆Γ：22221x y a b+=(0)a b >>的左焦点为F ，上顶点为A ，长轴长为26B 为直线l ：3x =-上的动点，(,0)M m ，AM BM ⊥.当AB l ⊥时，M 与F 重合. （1）若椭圆Γ的方程；（2）若直线BM 交椭圆Γ于P ，Q 两点，若AP AQ ⊥，求m 的值. 21.已知函数1()x f x e-=，()ln g x x a =+.（1）设()()F x xf x =，求()F x 的最小值；（2）证明：当1a <时，总存在两条直线与曲线()y f x =与()y g x =都相切.（二）选考题：共10分.请考生在（22）、（23）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，圆1C ：22(1)1x y -+=，圆2C ：22(3)9x y -+=.以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. （1）求1C ，2C 的极坐标方程； （2）设曲线3C ：cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数且0t ≠），3C 与圆1C ，2C 分别交于A ，B ，求2ABC S ∆的最大值.23.选修4-5：不等式选讲设函数()1f x x x =+-的最大值为m . （1）求m 的值；（2）若正实数a ，b 满足a b m +=，求2211a b b a +++的最小值.唐山市高三年级第一次模拟考试理科数学参考答案一．选择题：A 卷：DCBDA DCCAB DB B 卷：ACBDD DCAAB DB 二．填空题： （13）－5 （14）－160（15）32（16）[2，22]三．解答题： （17）解：（Ⅰ）当n ＝1时，2S 1＝2a 1＝a 21＋1，所以(a 1－1)2＝0，即a 1＝1， 又{a n }为单调递增数列，所以a n ≥1．…2分由2S n ＝a 2n ＋n 得2S n ＋1＝a 2n ＋1＋n ＋1，所以2S n ＋1－2S n ＝a 2n ＋1－a 2n ＋1， 整理得2a n ＋1＝a 2n ＋1－a 2n ＋1，所以a 2n ＝(a n ＋1－1)2． 所以a n ＝a n ＋1－1，即a n ＋1－a n ＝1，所以{a n }是以1为首项，1为公差的等差数列，所以a n ＝n ．…6分（Ⅱ）b n ＝a n ＋22n ＋1·a n ·a n ＋1＝n ＋22n ＋1·n ·(n ＋1)＝12n ·n －12n ＋1·(n ＋1)…9分所以T n ＝(121·1－122·2)＋(122·2－123·3)＋…＋[12n ·n －12n ＋1·(n ＋1)]＝121·1－12n ＋1·(n ＋1)＜12．…12分（18）解：（Ⅰ）由频率分布直方图可知，日销售量不低于350公斤的概率为(0.0025＋0.0015)×100＝0.4，则未来连续三天内，有连续两天的日销售量不低于350公斤，而另一天日销售量低于350公斤的概率P ＝0.4×0.4×(1－0.4)＋(1－0.4)×0.4×0.4＝0.192． …3分 （Ⅱ）（ⅰ）X 可取100，200，300，400，500，P (X ＝100)＝0.0010×10＝0.1； P (X ＝200)＝0.0020×10＝0.2； P (X ＝300)＝0.0030×10＝0.3； P (X ＝400)＝0.0025×10＝0.25； P (X ＝500)＝0.0015×10＝0.15；所以X 的分布列为：…6分（ⅱ）当每日进货300公斤时，利润Y 1可取－100，700，1500， 此时Y 1的分布列为：Y 1 －100 700 1500 P0.10.20.7此时利润的期望值E (Y 1)＝－100×0.1＋700×0.2＋1500×0.7＝1180； …8分 当每日进货400公斤时，利润Y 2可取－400，400，1200，2000， 此时Y 2的分布列为：Y 2 －400 400 1200 2000 P0.10.20.30.4此时利润的期望值E (Y 2)＝－400×0.1＋400×0.2＋1200×0.3＋2000×0.4 ＝1200；…10分因为E (Y 1)＜E (Y 2)，所以该经销商应该选择每日进货400公斤．…12分（19）解：（Ⅰ）过点B 1作A 1C 的垂线，垂足为O ，由平面A 1B 1C ⊥平面AA 1C 1C ，平面A 1B 1C ∩平面AA 1C 1C ＝A 1C ， 得B 1O ⊥平面AA 1C 1C ，又AC 平面AA 1C 1C ，得B 1O ⊥AC ． 由∠BAC ＝90°，AB ∥A 1B 1，得A 1B 1⊥AC ． 又B 1O ∩A 1B 1＝B 1，得AC ⊥平面A 1B 1C ． 又CA 1平面A 1B 1C ，得AC ⊥CA 1．…4分（Ⅱ）以C 为坐标原点，CA →的方向为x 轴正方向，|CA →|为单位长，建立空间直角坐标系C -xyz ． 由已知可得A (1，0，0)，A 1(0，2，0)，B 1(0，1，3)．所以CA →＝(1，0，0)，AA 1→＝(－1，2，0)，AB →＝A 1B 1→＝(0，－1，3)． …6分 设n ＝(x ，y ，z )是平面A 1AB 的法向量，则⎩⎨⎧n ·AA 1→＝0，n ·AB →＝0，即⎩⎨⎧－x ＋2y ＝0，－y ＋3z ＝0． 可取n ＝(23，3，1)． …8分 设m ＝(x ，y ，z )是平面ABC 的法向量，则⎩⎨⎧m ·AB →＝0，m ·CA →＝0，即⎩⎨⎧－y ＋3z ＝0，x ＝0． 可取m ＝(0，3，1)．…10分则cosn ，m ＝n ·m |n ||m |＝12．AA 1BC1B 1xyzO又因为二面角A 1-AB -C 为锐二面角， 所以二面角A 1-AB -C 的大小为3．…12分（20）解：（Ⅰ）依题意得A (0，b )，F (－c ，0)，当AB ⊥l 时，B (－3，b )， 由AF ⊥BF 得k AF ·k BF ＝ b c · b －3＋c ＝－1，又b 2＋c 2＝6.解得c ＝2，b ＝2．所以，椭圆Γ的方程为x 26＋y 22＝1．…4分（Ⅱ）由（Ⅰ）得A (0，2)，依题意，显然m ≠0，所以k AM ＝－2m，又AM ⊥BM ，所以k BM ＝m2，所以直线BM 的方程为y ＝m2(x －m )， 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)．y ＝m2(x －m )与x 26＋y 22＝1联立得(2＋3m 2)x 2－6m 3x ＋3m 4－12＝0，x 1＋x 2＝6m 32＋3m 2，x 1x 2＝3m 4－122＋3m2．…7分|PM |·|QM |＝(1＋m 22)|(x 1－m )(x 2－m )|＝(1＋m 22)|x 1x 2－m (x 1＋x 2)＋m 2|＝(1＋m 22)·|2m 2－12|2＋3m 2＝(2＋m 2)|m 2－6|2＋3m2， |AM |2＝2＋m 2，…9分由AP ⊥AQ 得，|AM |2＝|PM |·|QM |， 所以|m 2－6|2＋3m 2＝1，解得m ＝±1．…12分（21）解：（Ⅰ）F(x )＝(x ＋1)ex －1，当x ＜－1时，F (x )＜0，F (x )单调递减； 当x ＞－1时，F(x )＞0，F (x )单调递增，故x ＝－1时，F (x )取得最小值F (－1)＝－1e 2．…4分（Ⅱ）因为f(x )＝ex －1，所以f (x )＝e x －1在点(t ，et －1)处的切线为y ＝et －1x ＋(1－t )e t －1；…5分因为g(x )＝1x，所以g (x )＝ln x ＋a 在点(m ，ln m ＋a )处的切线为y ＝1mx ＋ln m ＋a －1， …6分由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧e t －1＝1m ，(1－t )e t －1＝ln m ＋a －1，则(t －1)e t －1－t ＋a ＝0．…7分令h (t )＝(t －1)et －1－t ＋a ，则h (t )＝t et －1－1 由（Ⅰ）得t ＜－1时，h (t )单调递减，且h(t )＜0；当t ＞－1时，h(t )单调递增，又h (1)＝0，t ＜1时，h(t )＜0，所以，当t ＜1时，h (t )＜0，h (t )单调递减；当t ＞1时，h(t )＞0，h (t )单调递增．…9分由（Ⅰ）得h (a －1)＝(a －2)e a －2＋1≥－1e＋1＞0，…10分又h (3－a )＝(2－a )e2－a＋2a －3＞(2－a )(3－a )＋2a －3＝(a －32)2＋34＞0， …11分h (1)＝a －1＜0，所以函数y ＝h (t )在(a －1，1)和(1，3－a )内各有一个零点，故当a ＜1时，存在两条直线与曲线f (x )与g (x )都相切．…12分（22）解：（Ⅰ）由x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ可得，C 1：ρ2cos 2θ＋ρ2sin 2θ－2ρcos θ＋1＝1，所以ρ＝2cos θ； C 2：ρ2cos 2θ＋ρ2sin 2θ－6ρcos θ＋9＝9，所以ρ＝6cos θ．…4分（Ⅱ）依题意得|AB |＝6cos α－2cos α＝4cos α，－2＜α＜2， C 2(3，0)到直线AB 的距离d ＝3|sin α|，所以S △ABC 2＝12×d ×|AB |＝3|sin 2α|，故当α＝±4时，S △ABC 2取得最大值3．…10分（23）解：（Ⅰ）f (x )＝|x ＋1|－|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧－1，x ≤－1，2x ＋1，－1＜x ＜1，1，x ≥1，由f (x )的单调性可知，当x ≥1时，f (x )有最大值1． 所以m ＝1．…4分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，a ＋b ＝1，a 2b ＋1＋b 2a ＋1＝13(a 2b ＋1＋b 2a ＋1)[(b ＋1)＋(a ＋1)]＝13[a 2＋b 2＋a 2(a ＋1)b ＋1＋b 2(b ＋1)a ＋1] ≥13(a 2＋b 2＋2a 2(a ＋1)b ＋1·b 2(b ＋1)a ＋1) ＝13(a ＋b )2 ＝13． 当且仅当a ＝b ＝12时取等号．即a 2b ＋1＋b 2a ＋1的最小值为13． …10分。
河北省唐山市2020届高三数学下学期第一次模拟考试试题理
河北省唐山市2020届高三数学下学期第一次模拟考试试题理注意事项：1、答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2、回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3、考试结束后，将本试卷和答题卡一井交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}2,1,0,1-=A ，{}x y y B 2==，B A M =，则集合M 的子集个数是A．2B．3C．4．D．82．设i 是虚数单位，复数i i z -+=32，则z 在复平面内对应的点位于A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．人口平均预期寿命是综合反映人们健康水平的基本指标．2010年第六次全国人口普查资料表明，随着我国社会经济的快速发展，人民生活水平的不断提高以及医疗卫生保障体系的逐步完善，我国人口平均预期寿命继续延长，国民整体健康水平有较大幅度的提高．右图体现了我国平均预期寿命变化情况，依据此图，下列结论错误的是A．男性的平均预期寿命逐渐延长B．女性的平均预期寿命逐渐延长C．男性的平均预期寿命延长幅度略高于女性D．女性的平均预期寿命延长幅度略高于男性4．《孙子算经》是我国古代内容极其丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有圆窖周五丈四尺，深一丈八尺，问受粟几何？”其意思为：“有圆柱形容器，底面圆周长五丈四尺，高一丈八尺，求此容器能放多少斛米”（古制1文=10尺，1斛=1.62立方尺，圆周率π=3），则该圆柱形容器能放米A．900斛B．2700斛C．3600斛D．10800斛5．已知向量a ，b 满足|a +b |=|b |，且l a |=2，则b 在a 方向上的投影是A．2B．-2C．1D．-16．已知数列{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，n b a m b a ====3322，，若m，n 为正数，且m≠n，则A．11b a <B．11b a >C．11b a =D．11b a ，的大小关系不确定7．已知随机变量X 服从正态分布N（0，1），随机变量Y 服从正态分布N（1，1），且1587.0)1(=>X P ，则)21(<<Y P =A．1587.0B．3413.0C．8413.0D．6587.08．函数2tan )(x x x f -=在)2,2(ππ-上的图象大致为9．设函数322sin()(π+=x x f ，则下列结论中正确的是A．)(x f y =的图象关于点)0,3(π对称B．)(x f y =的图象关于直线3π=x 号对称C．)(x f 在]3,0[π上单调递减D．)(x f 在]0,6[π-上的最小值为010．已知四棱锥ABCD P -的顶点都在球O 的球面上，PA⊥底面ABCD，AB=AD=1，BC=CD=2，若球O 的表面积为36π，则直线PC 与底面ABCD 所成角的余弦值为A．63B．65C．33C．3511．已知P 是双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x C ：的右焦点，M 是C 的渐近线上一点，且MF⊥x 轴，过F 作直线OM 的平行线交C 的渐近线于点N（O 为坐标原点），若MN⊥ON，则双曲线C 的离心率是A．332B．3C．26D．212．已知a x a x e x f a x++-=>)()(2，，有如下结论：①)(x f 有两个极值点；②)(x f 有3个零点；③)(x f 的所有零点之和等于零．则正确结论的个数是A．0B．1C．2D．3二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．若y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤+-≤-+≥+-0130301y x y x y x ，则y x z -=2的最小值为.14．中国古代的四书是指：《大学》、《中庸》、《论语》、《孟子》，甲、乙、丙、丁4名同学从中各选一书进行研读，已知四人选取的书恰好互不相同，且甲没有选《中庸》，乙和丙都没有选《论语》，则4名同学所有可能的选择有种15．在数列{}n a 中，已知m a a a n n +==+111，（t N n ，*∈为非零常数），且321a a a ，，成等比数列，则=n a ．16．已知F 为抛物线)0(22>=p px y C ：的焦点，K 为C 的准线与x 轴的交点，点P 在抛物线C 上，设α=∠KPF ，β=∠PKF ，θ=∠PFK ，有以下3个结论：①β的最大值是4π；②θβsin tan =③存在点P ，满足βα2=．其中正确结论的序号是.三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）ABC ∆的内角C B A ，，的对边分别为c b a ，，，已知4=a ，ABC ∆的面积为32．（1）若3π=A ，求ABC ∆的周长；（2）求CB sin sin ⋅的最大值．如图，直三棱柱111C B A ABC -的底面为等边三角形，E D ，分别为11C A AC ，的中点，点F 在棱1CC 上，且BF EF ⊥．（1）证明：平面⊥BEF 平面BDF ；（2）若FC F C AB 241==，，求二面角F BE D --的余弦值．19．（12分）甲、乙二人进行一场比赛，该比赛采用三局两胜制，即先获得两局胜利者获得该场比赛胜利．在每一局比赛中，都不会出现平局，甲获胜的概率都为)10(<<p p ．（1）求甲在第一局失利的情况下，反败为胜的概率；（2）若21=p ，比赛结束时，设甲获胜局数为X ，求其分布列和期望)(X E （3）若甲获得该场比赛胜利的概率大于甲每局获胜的概率，求p 的取值范围。
2020年河北省唐山市高考数学一模试卷(理科)
2020年河北省唐山市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合{1A =-，0，1，2}，{|2}x B y y ==，M A B =I ，则集合M 的子集个数是( ) A ．2B ．3C ．4D ．82．（5分）设i 是虚数单位，复数23iz i+=-，则z 在复平面内对应的点位于( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．（5分）人口平均预期寿命是综合反映人们健康水平的基本指标．2010年第六次全国人口普查资料表明，随着我国社会经济的快速发展，人民生活水平的不断提高以及医疗卫生保障体系的逐步完善，我国人口平均预期寿命继续延长，国民整体健康水平有较大幅度的提高．如图体现了我国平均预期寿命变化情况，依据此图，下列结论错误的是( )A ．男性的平均预期寿命逐渐延长B ．女性的平均预期寿命逐渐延长C ．男性的平均预期寿命延长幅度略高于女性D ．女性的平均预期寿命延长幅度略高于男性4．（5分）《孙子算经》是我国古代内容极其丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有圆窖周五丈四尺，深一丈八尺，问受粟几何？”其意思为：“有圆柱形容器，底面圆周长五丈四尺，高一丈八尺，求此容器能放多少斛米”（古制1文10=尺，1斛 1.62=立方尺，圆周率3)π=，则该圆柱形容器能放米( ) A ．900 斛B ．2700斛C ．3600斛D ．10800斛5．（5分）已知向量a r ，b r 满足||||a b b +=r r r ，且||2a =r ，则b r 在a r方向上的投影是( )A ．2B ．2-C ．1D ．1-6．（5分）已知数列{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，22a b m ==，33a b n ==，若m ，n 为正数，且m n ≠，则( ) A ．11a b < B ．11a b >C ．11a b =D ．1a ，1b 的大小关系不确定7．（5分）已知随机变量X 服从正态分布(0,1)N ，随机变量Y 服从正态分布(1,1)N ，且(1)0.1587P X >=，则(12)(P Y <<= )A ．0.1587B ．0.3413C ．0.8413D ．0.65878．（5分）函数2()tan f x x x =-在(,)22ππ-上的图象大致为( )A ．B ．C ．D ．9．（5分）设函数2()sin(2)3f x x π=+，则下列结论中正确的是( ) A ．()y f x =的图象关于点(,0)3π对称B ．()y f x =的图象关于直线3x π=对称C ．()f x 在[0,]3π上单调递减D ．()f x 在[,0]6π-上的最小值为010．（5分）已知四棱锥P ABCD -的顶点都在球O 的球面上，PA ⊥底面ABCD ，1AB AD ==，2BC CD ==，若球O 的表面积为36π，则直线PC 与底面ABCD 所成角的余弦值为( ) ABCD11．（5分）已知F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的右焦点，M 是C 的渐近线上一点，且MF x ⊥轴，过F 作直线OM 的平行线交C 的渐近线于点(N O 为坐标原点），若MN ON ⊥，则双曲线C 的离心率是( ) ABCD ．212．（5分）已知2a >，()()x f x e x a x a =-++，有如下结论： ①()f x 有两个极值点； ②()f x 有3个零点；③()f x 的所有零点之和等于零． 则正确结论的个数是( ) A ．0B ．1C ．2D ．3二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）若x ，y 满足约束条件1030310x y x y x y -+⎧⎪+-⎨⎪-+⎩…„„，则2z x y =-的最小值为 ．14．（5分）中国古代的四书是指：《大学》、《中庸》、《论语》、《孟子》，甲、乙、丙、丁4名同学从中各选一书进行研读，已知四人选取的书恰好互不相同，且甲没有选《中庸》，乙和丙都没有选《论语》，则4名同学所有可能的选择有 种．15．（5分）在数列{}n a 中，已知11a =，*1(n n a a tn n N +=+∈，t 为非零常数），且1a ，2a ，3a 成等比数列，则n a = ．16．（5分）已知F 为抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点，K 为C 的准线与x 轴的交点，点P 在抛物线C 上，设KPF α∠=，PKF β∠=，PFK θ∠=，有以下3个结论：。
2020年河北省唐山市实验中学高三数学(理)高考模拟测试卷一
解析：由三视图可知多面体是棱长为 2 的正方体中的三棱锥 P ABC ，
故 AC 1 ， PA 2 ， BC PC
∴ S ABC
S PAC
1
21 1
2
，
5 ， AB 2 2 ， PB 2 3 ，
1
1
S PAB
2 2 2 2 2 S PBC
23 2
2
，
2
6 ，
∴该多面体的侧面最大面积为 2 2 ．故选 B ．
B． 1 2
C．2 或 1 2
D． 1
3.如图是调查某学校高一、高二年级学生参加社团活动的等高条形图，阴影部分的高表示参加社团
的频率．已知该校高一、高二年级学生人数均为
600 人（所有学生都参加了调查），现从参加社团
的同学中按分层抽样的方式抽取 45 人，则抽取的高二学生人数为（
）
A.9
B.18
C.27
2.答案： A
2x0
解析：由 z1 z2 (1 xi)(2 i)=2 x (2 x 1)i ，由 z1 z2 为纯虚数，则
，解得 x 2x 1 0
2 .故选
A. 3.答案： C
解析：根据等高条形图可知，参加社团的高一和高二的人数比为
取的高二学生人数为
3 45
27 人，故选 C
5
2 : 3 ，由分层抽样的性质可得，抽
4.答案： D
解析：∵ 数列 a2 a5
3a3 是等比数列， a2a5
3a3 ，∴ a4
3
a1q
3 ．∵ 9a7 与 9a7 的等差中项为 2 ，
∴ a4 9a7
3
a4 (1 9 q )
4 ，解得 q
1 ， a1 3
河北省唐山市2020届高三数学上学期摸底考试试题理(含解析)
河北省唐山市2020届高三数学上学期摸底考试试题 理（含解析）一．选择题（60分）1.已知集合{}=|10A x x -<，2{|20}B x x x =-<，则A B =I （） A. {}|0x x <B. {}|1x x <C. {}1|0x x <<D.{}|12x x <<【答案】C 【解析】 【分析】求得集合={|1}A x x <，{|02}B x x =<<，再根据集合的交集运算，即可求解.【详解】由题意，集合{}=|10{|1}A x x x x -<=<，2{|20}{|02}B x x x x x =-<=<<，所以{}|01A B x x ⋂=<<，故选C.【点睛】本题主要考查了集合的运算，其中解答中正确求解集合,A B 是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.2.已知p ，q ∈R ，1i +是关于x 的方程20x px q ++=的一个根，则p q ⋅=（）A. 4-B. 0C. 2D. 4【答案】A 【解析】 【分析】由1i +是关于x 的方程20x px q ++=的一个根，代入方程化简得(2)=0p q p i +++，根据复数相等的充要条件，列出方程组，即可求解.【详解】依题意，复数1i +是关于x 的方程20x px q ++=的一个根，可得21)(1)=0i p i q +++（＋，即：(2)=0p q p i +++， 所以020p q p +=⎧⎨+=⎩，解得22p q =-⎧⎨=⎩，所以4p q ⋅=-，故选A.【点睛】本题主要考查了复数方程的应用，以及复数相等的充要条件的应用，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.3.已知ln3a =，3log 10b =，lg 3c =，则a ，b ，c 的大小关系为（） A. c b a <<B. a c b <<C. b c a <<D.c a b <<【答案】D 【解析】 【分析】根据对数的单调性，分别求得,,a b c 的范围，即可求解，得到答案. 【详解】由题意，根据对数的单调性，可得2ln ln 3ln e e <<，即12a <<，333log 9log 10log 27<<，即23b <<，lg3lg101c =<=，即1c <，所以c a b <<，故选D.【点睛】本题主要考查了对数函数的单调性的应用，其中解答中熟记对数函数的单调性，合理求解,,a b c 得范围是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.4.函数()21x f x x-=的图象大致为（）A. B.C. D.【答案】D 【解析】 【分析】根据函数的解析式，得到()()f x f x -=，所以函数()f x 为偶函数，图象关于y 对称，排除B 、C ；再由函数的单调性，排除A ，即可得到答案.【详解】由题意，函数()21x f x x -=，可得()()22()11x x f x f x x x----===-， 即()()f x f x -=，所以函数()f x 为偶函数，图象关于y 对称，排除B 、C ；当0x >时，()211x f x x x x-==-，则21'()1f x x =+＞0，所以函数在0∞（，＋）上递增，排除A ， 故选D .【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性与函数单调性的应用，其中解答中熟练应用函数的奇偶性和单调性，进行合理排除是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.5.下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由一个半圆和一个四分之一圆构成，两个阴影部分分别标记为A 和M .在此图内任取一点，此点取自A 区域的概率记为()P A ，取自M 区域的概率记为()P M ，则（）A. ()()P A P M >B. ()()P A P M <C. ()()P A P M =D. ()P A 与()P M 的大小关系与半径长度有关 【答案】C 【解析】 【分析】利用圆的面积公式和扇形的面积公式，分别求得阴影部分的面积，得到阴影部分A 的面积＝阴影部分M 的面积，即可求解.【详解】由题意，设四分之一圆的半径为R ，则半圆的半径为22R ，阴影部分A 的面积为212R ，空白部分的面积为221142R R π-， 阴影部分M 的面积为：22221211122422R R R R ππ⎛⎫⎛⎫⨯⨯--= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 阴影部分A 的面积＝阴影部分M 的面积，所以P A P M （）＝（），故选C. 【点睛】本题主要考查了几何概型的应用，其中解答中认真审题，正确求解阴影部分的面积是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.6.下图是判断输入的年份x 是否是闰年的程序框图，若先后输入1900x =，2400x =，则输出的结果分别是（注：xMODy 表示x 除以y 的余数）（）A. 1900闰年，2400是闰年B. 1900是闰年，2400是平年C. 1900平年，2400是闰年D. 1900是平年，2400是平年【答案】C 【解析】 【分析】由给定的条件分支结构的程序框图，根据判断条件，准确计算，即可求解，得到答案. 【详解】由题意，输入1900x =时，190040a MOD == ，19001000b MOD == 1900400c MOD == 3输出1900是平年，输入2400x =时，240040a MOD == 24001000b MOD == 24004000c MOD == 输出2400是润年， 故选C【点睛】本题主要考查了条件分支结构的程序框图的计算结果的输出，其中解答中根据条件分支结构的程序框图，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 7.若sin 78m =o ，则sin 6=o （）D.【答案】B 【解析】 【分析】由三角函数的诱导公式，求得12sin 78cos m ==o o ，再由余弦的倍角公式，即可求解，得到答案.【详解】由三角函数的诱导公式，可得12sin(9012)sin 78cos m =-==oooo， 又由余弦的倍角公式，可得2126sin m -=o ，所以sin 6=o B. 【点睛】本题主要考查了三角函数的诱导公式和余弦的倍角公式的化简求值，其中解答中熟练应用三角函数的基本公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.8.已知等差数列{}n a 的公差不为零，其前n 项和为n S ，若3S ，9S ，27S 成等比数列，则93S S =（） A. 3 B. 6 C. 9 D. 12【答案】C 【解析】 【分析】由题意，得29327S S S =⨯，利用等差数列的求和公式，列出方程求得12d a =，即可求解93S S 的值，得到答案.【详解】由题意，知3S ，9S ，27S 成等比数列，所以29327S S S =⨯，即219131279()3()27()222a a a a a a +++⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭， 整理得2521437821a a a =⨯，所以2111(4)()(13)a d a d a d +=++，解得12d a =，所以919135329()3()9223S a a a a a S a ++=÷=＝11113(4)2793a d a a d a +==+， 故选C.【点睛】本题主要考查了等比中项公式，以及等差数列的通项公式和前n 项和公式的应用，其中解答中熟练应用等差数列的通项公式和前n 项和公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.9.双曲线222:1(0)x C y a a-=>的右焦点为F ，点P 为C 的一条渐近线上的点，O 为坐标原点，若PO PF =，则OPF S ∆的最小值为（）A.14B.12C. 1D. 2【答案】B 【解析】 【分析】求得双曲线222:1(0)x C y a a-=>的一条渐近线为1y x a =，由PO PF =，得到点P 的坐标为,22c c a ⎛⎫⎪⎝⎭，利用三角形的面积公式和基本不等式，即可求解. 【详解】由题意，双曲线222:1(0)x C y a a-=>的一条渐近线为1y x a =，设0F c （，）， 因为PO PF =，可得点P 的横坐标为2x c=， 代入渐近线1y x a =，可得2y c a =，所以点P 的坐标为,22c c a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以22112244OPFc c a S c a a a+=⨯⨯===V 111244442a a a a +≥⨯=， 当且仅当144a a =时，即1a =时，等号成立，即OPF S ∆的最小值为12. 故选B.【点睛】本题主要考查了双曲线的标准方程及简单的几何性质的应用，其中解答中熟记双曲线的几何性质，利用基本不等式准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.10.在5()()x y x y +-的展开式中，33x y 的系数是（） A. 10 B. 0 C. 10 D. 20【答案】B 【解析】 【分析】由二项的展开式的通项为515(1)k k k k k T C x y -+=-，进而可求得展开式的33x y 的系数，得到答案.【详解】由题意，二项式5()x y -的展开式的通项为515(1)k k k kk T C x y -+=-，所以5()()x y x y +-的展开式中，33x y 的系数为：332255101(0)(1)01C C =-++--=,故选B.【点睛】本题主要考查了二项式定理的应用，其中解答中熟记二项展开式的通项，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.11.直线0x -+=经过椭圆()222210x y a b a b+=>>的左焦点F ，交椭圆于,A B 两点，交y 轴于C 点，若2FC CA =u u u r u u u r，则该椭圆的离心率是（）1C. 21【答案】A 【解析】 【分析】由直线0x +=过椭圆的左焦点F，得到左焦点为(F ，且223a b -=，再由2FC CA =u u u r u u u r，求得3,22A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，代入椭圆的方程，求得262a =，进而利用椭圆的离心率的计算公式，即可求解.【详解】由题意，直线0x +=经过椭圆的左焦点F ，令0y =，解得x =所以c =，即椭圆的左焦点为(F ，且223a b -= ①直线交y 轴于(0,1)C ，所以，1,2OF OC FC ===，因为2FC CA =u u u r u u u r，所以3FA =，所以32A ⎫⎪⎪⎝⎭， 又由点A 在椭圆上，得22394a b+= ② 由①②，可得2242490a a -+=，解得2a =， 所以)222241c e a ===-=，所以椭圆的离心率为1e =. 故选A.【点睛】本题考查了椭圆的几何性质——离心率的求解，其中求椭圆的离心率(或范围)，常见有两种方法：①求出,a c ，代入公式ce a=；②只需要根据一个条件得到关于,,a b c 的齐次式，转化为,a c 的齐次式，然后转化为关于e 的方程，即可得e 的值(范围)． 12.设函数()()(ln )x mf x e ax x ax -=--，若存在实数a 使得()0f x <恒成立，则m 的取值范围是（） A. (],0-∞B. [)0,2C. ()2+∞，D.(),2-∞【答案】D 【解析】 【分析】由存在实数a 使得()0f x <恒成立，转化为ln ()()0,0x me xa a x x x---<>恒成立，得到ln ln min{,}max{,}x m x m e x e xa x x x x--<<，构造新函数，利用导数求得函数的最值，得出关于m 的不等式，即可求解. 【详解】由题意，函数()()(ln )x mf x eax x ax -=--的定义域为(0,)x ∈+∞，要使得存在实数a 使得()0f x <恒成立，即()(ln )0x meax x ax ---<恒成立， 只需ln ()()0x m e x a a x x ---<恒成立，即ln ()()0x m e xa a x x ---<恒成立，即ln ln min{,}max{,}x m x m e x e x a x x x x--<<设()ln x g x x =，则()21ln xg x x -'=， 当(0,)x e ∈时，()0g x '>，函数()g x 单调递增， 当(,)x e ∈+∞时，()0g x '<，函数()g x 单调递减，所以当x e =时，函数()g x 取得最大值，最大值为1e，即ln 1x x e ≤， 设(),0x m e h x x x -=>，则()22(1)x m x m x m e x e e x h x x x---⋅-⋅-'== 当(0,1)x ∈时，()0h x '<，函数()h x 单调递减， 当(1,)x ∈+∞时，()0h x '>，函数()h x 单调递增， 所以当1x =时，函数()g x 取得最小值，最小值为1me -，即1x mm e e x--≥，所以只需11me e->，解得2m <，即实数m 的取值范围是(),2-∞， 故选D.【点睛】本题主要考查了导数的综合应用，其中解答中把存在实数a 使得()0f x <恒成立，转化为ln ()()0x m e xa a x x---<恒成立，进而得得到ln ln min{,}max{,}x m x m e x e xa x x x x--<<是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题. 二、填空题（共20分）13.若,x y 满足约束条件20210220x y x y x y -+≥⎧⎪-+≤⎨⎪-+≤⎩，则3z x y =-的最大值为______.【答案】0 【解析】 【分析】作出约束条件表示的平面区域，结合图象，确定目标函数的最优解，代入目标函数，即可求解，得到答案.【详解】由题意，作出约束条件20210220x y x y x y -+≥⎧⎪-+≤⎨⎪-+≤⎩所表示的平面区域，如图所示，目标函数3z x y =-可化为直线3y x z =-，当直线3y x z =-过点C 时，此时目标函数取又由20210x y x y -+=⎧⎨-+=⎩，解得1,3x y ==，即1,3C （），所以目标函数的最大值为3130z =⨯-=.【点睛】本题主要考查简单线性规划求解目标函数的最值问题．其中解答中正确画出不等式组表示的可行域，利用“一画、二移、三求”，确定目标函数的最优解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，及推理与计算能力，属于基础题．14.已知12,e e u r u u r 是夹角为60︒的两个单位向量，1212,2a e e b e e =-=-r u r u u r r u r u u r ，则a b ⋅=r r_____.【答案】32【解析】 【分析】根据平面向量的数量积的运算公式，准确运算，即可求解，得到答案. 【详解】由向量的数量积的运算公式，可得2212121212()(2)23e e e b e e e a e e -⋅-=+-⋅=u r u u r u r u u r u r u u r u r r r g u u r 123123||||cos602e e +-⨯︒=u r u u r ＝. 【点睛】本题主要考查了向量的数量积的运算，其中解答中熟记向量的数量积的运算公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 15.已知函数()()sin 04f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，若()f x 在[]0,2π上恰有3个极值点，则ω的取值范围是______. 【答案】91388⎡⎫⎪⎢⎣⎭, 【解析】根据三角函数的图象与性质，求得函数的极值点为()14x k k Z πω⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭，再由()f x 在[]0,2π上恰有3个极值点，得到1122344πππωω⎛⎫⎛⎫+<≤+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即可求解. 【详解】由题意，令()sin 14f x x πω⎛⎫=+=± ⎪⎝⎭，即()42x k k Z ππωπ+=+∈，解得()14x k k Z πω⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭， 所以函数()f x 的极值点为()14x k k Z πω⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭， 又()f x 在[]0,2π上恰有3个极值点， 所以这三个极值点只能是在0,1,2k k k ===，所以有1122344πππωω⎛⎫⎛⎫+≤<+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得98138ω<≤. 所以实数ω的取值范围是91388⎡⎫⎪⎢⎣⎭,.故答案91388⎡⎫⎪⎢⎣⎭,. 【点睛】本题主要考查了三角还函数的图象与性质的应用，以及函数极值点的定义的应用，其中解答熟练应用三角函数的图象与性质，得到关于实数ω的不等式是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.16.在三棱锥P ABC -中，60ABC ∠=o ，90PBA PCA ∠=∠=o ，PB PC ==点P到底面ABC ，则三棱锥P ABC -的外接球的表面积为________. 【答案】6π 【解析】 【分析】由90PBA PCA ∠=∠=o ，可知PA 为三棱锥P ABC -的外接球的一条直径，过点P 作PE ⊥平面ABC ，可知AE 为ABC ∆外接圆的一条直径，计算出AE 的长度，再利用勾股定理计算出PA 的长度，即可得出该球的直径，再利用球体表面积公式可得出结果.【详解】设PA 的中点为点O ，90PBA PCA ∠=∠=o Q ，12OA OB OC OP PA ∴====， PA ∴为三棱锥P ABC -的外接球O 的一条直径，过点P 作PE ⊥平面ABC ，垂足为点E ，BE Q 、CE 、AE ⊂平面ABC ，PE BE ∴⊥，PE CE ⊥，PE AE ⊥，3PB PC ==Q ，2PE =1BE CE ==，同理可知AC BC =， 60ABC ∠=o Q ，ABC ∆∴为等边三角形，设ABC ∆的外接圆圆心为点F ，连接OF ，则//OF PE ，且1222OF PE ==， 由中位线的性质可知点F 为AE 的中点，AE ∴为圆F 的一条直径，所以，90ABE ACE ∠=∠=o ，由圆的内接四边形的性质可知，120BEC ∠=o ，30BCE CBE ∴∠=∠=o ，由正弦定理可得12sin sin 30BE AE BCE ===∠o， 226PA PE AE ∴+=O 的表面积为26PA ππ⨯=，故答案为6π.【点睛】本题考查多面体的外接球表面积的计算，解题时要充分分析多边形的形状，找出球心的位置，考查推理能力与计算能力，属于中等题. 三．（解答题，共70分）17.ABC △的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知ABC △的面积为21tan 6S b A =. ()1证明：3cos b c A =； ()2若tan 2,22,A a ==求S .【答案】（1）证明见解析（2）3 【解析】 【分析】（1）由三角形的面积公式化简得3csinA btanA =，进而得到sin 3cos b AcsinA A=，即可作出证明；（2）因为2tanA =，求得5cosA =，由（1）得222,33b bccosAc ==，利用余弦定理求得29b =，再由面积公式，即可求解. 【详解】（1）由三角形的面积公式，可得21126S bcsinA b tanA ==，即3csinA btanA =， 又因为sin cos A tanA A =，所以sin 3cos b AcsinA A=， 又因为0A π<<，所以0sinA ≠，所以3b ccosA =.（2）因为2tanA =，由三角函数的基本关系式，可得cosA =，由（1）得222,33b bccosAc ==，由余弦定理得22222282()33b bc bccosA b =+-=++，解得29b =， 所以2111sin tan 923266S bc A b A ===⨯⨯=. 【点睛】本题主要考查了余弦定理和三角形的面积公式的应用，其中在解有关三角形的题目时，要抓住题设条件和利用某个定理的信息，合理应用正弦定理和余弦定理求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.18.某音乐院校举行“校园之星”评选活动，评委由本校全体学生组成，对,A B 两位选手，随机调查了20个学生的评分，得到下面的茎叶图：()1通过茎叶图比较,A B 两位选手所得分数的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，得出结论即可）；()2校方将会根据评分记过对参赛选手进行三向分流：所得分数 低于60分 60分到79分不低于80分 分流方向 淘汰出局复赛待选直接晋级记事件C “A 获得的分流等级高于B ”，根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求事件C 发生的概率. 【答案】（1）详见解析（2）137400【解析】 【分析】（1）通过茎叶图可以看出，A 得分数的平均值高于B 得分数的平均值，A 得分数比较集中，B 得分数比较分散；（2）记1A C 表示事件:“A 选手直接晋级”2A C 表示事件:“A 选手复赛待选”1B C 表示事件:“B 选手复赛待选”2B C 表示事件:“B 选手淘汰出局利用独立事件的概率乘法公式，即可求解.【详解】（1）通过茎叶图可以看出，A 选手所得分数的平均值高于B 选手所得分数的平均值；A 选手所得分数比较集中，B 选手所得分数比较分散.（2）记1A C 表示事件:“A 选手直接晋级”2A C 表示事件:“A 选手复赛待选”1B C 表示事件:“B 选手复赛待选”2B C 表示事件:“B 选手淘汰出局则1A C 与1B C 独立，2A C 与2B C 独立，1A C 与2A C 互斥， 则()()()111222A B A B A B C C C C C C C =⋃⋃，()()()()111222A B A B A B P C C P C C P C C P C C ==++ ()()()()()()111222A B A B A B P C P C P C P C P C P C =++由所给数据得1A C ，2A C ，1B C ，2B C 发生的频率分别为811103,,,20202020. 故()1820A P C =，()21120A P C =，()11020B P C =，()2320B P C =， 所以()81083113137202020202020400P C ⨯+⨯+⨯==. 【点睛】本题主要考查了茎叶图的应用，以及相互独立事件的概率的计算，其中解答中正确理解题意，准确利用独立事件的概率乘法公式计算是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.19.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，PD DC =，点E 是PC 的中点.()1求证：//PA 平面BDE ；()2若直线BD 与平面PBC 所成角为30°，求二面角C PB D --的大小.【答案】（1）证明见解析（2）60︒ 【解析】 【分析】（1）连接AC 交BD 于O ，连接OE ，利用线面平行的判定定理，即可证得//PA 平面BED ；()2以D 为坐标原点，,,DA DC DP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，设1PD CD ==，AD a =，分别求得平面PBC 和平面PBD 的一个法向量n r 和m u r，利用向量的夹角公式，即可求解.【详解】（1）连接AC 交BD 于O ，连接OE ， 由题意可知，,PE EC AO OC ==，//PA EO ∴，又PA 在平面BED 外，EO ⊂平面BED ，所以//PA 平面BED .()2以D 为坐标原点，,,DA DC DP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系D xyz -，设1PD CD ==，AD a =，则(,0,0)A a ，(,1,0)(0,1,0)B a C ，，1(0)0,P ，，(,1,0)DB a =u u u v，(,)1,1PB a =-u u u r ，()0,1,1PC =-u u u r ，设平面PBC 的法向量(,)n x y z =v，，由·0·0PB n PC n ⎧=⎨=⎩u u u v vu u u v v，得00ax y z y z +-=⎧⎨-=⎩，取(0,1,1)n =r ， 又由直线BD 与平面PBC 所成的角为30o ，得1cos ,2DB n DB n DB n ===u u u r r g u u u r r u u ur r ，解得1a =， 同理可得平面PBD 的法向量1,)0(1,m =-u r，由向量的夹角公式，可得1cos ,2n m n m n m===r u rr u r g r u r ，又因为二面角C PB D --为锐二面角，所以二面角C PB D --的大小为60︒.【点睛】本题考查了线面平行的判定与证明，以及空间角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力，解答中熟记线面位置关系的判定定理和性质定理，通过严密推理是线面位置关系判定的关键，同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.20.已知F 为抛物线2:4T x y =的焦点，直线:2l y kx =+与T 相交于,A B 两点.()1若1k =，求FA FB +的值；()2点(3,2)C --，若CFA CFB ∠=∠，求直线l 的方程.【答案】（1）10（2）3240x y +-= 【解析】 【分析】（1）联立方程组224y kx x y =+⎧⎨=⎩，利用根与系数的关系和抛物线的定义，即可求解.()2由CFA CFB ∠=∠，可得cos ,cos ,FA FC FB FC =u u u r u u u r u u u r u u u r，利用向量的夹角公式，联立方程组，求得32k =-，即可求得直线的方程. 【详解】（1）由题意，可得()0,1F ，设221212,,,44x x A x B x ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，联立方程组224y kx x y=+⎧⎨=⎩，整理得2480x kx --=， 则124x x k +=，128x x =-，又由22121144x x FA FB +++=+()2121222104x x x x +-=+=.（2）由题意，知211,14x FA x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭u u u r ，222,14x FB x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭u u u r ，()3.3FC =--u u u r ，由CFA CFB ∠=∠，可得cos ,cos ,FA FC FB FC =u u u r u u u r u u u r u u u r又2114x FA =+，2214x FB =+，则FA FC FB FC FA FC FB FC =u u u r u u u r u u u r u u u r g g u u u r u u u r u u u r u u u r ， 整理得()1212420x x x x ++-=，解得32k =-， 所以直线l 的方程为3240x y +-=.【点睛】本题主要考查了直线与抛物线的位置关系的综合应用,解答此类题目，通常联立直线方程与抛物线方程，应用一元二次方程根与系数的关系进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等.21.已知函数()sin f x x x =，(0,)x π∈，()f x '为()f x 的导数，且()()g x f x '=.证明：()1()g x 在22,3π⎛⎫⎪⎝⎭内有唯一零点； ()2()2f x <.（参考数据：sin 20.9903≈，cos20.4161≈-，tan 2 2.1850≈-1.4142≈，3.14π≈）【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由题意，得()()'g x f x xcosx sinx ==+，分别求得在区间0,2π⎛⎤⎥⎝⎦和,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上的单调性，利用零点的存在定理，即可求解；（2）由（1）得，求得函数的单调性，得到()f x 的最大值为()f t tsint =，再由()0f t '=得t tant =-，得到()tan f t t sint =-g，利用作差比较，即可求解. 【详解】（1）由题意，函数()sin f x x x =，则()sin cos f x x x x '=+所以()()'g x f x xcosx sinx ==+， 当0,2x π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，可得()0g x >，即()g x 在0,2x π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦内没有零点，当,2x ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，()2sin g x cosx x x '=-， 因为cos 0,sin 0x x x <>，所以()'0g x <，所以()g x 在,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，又()()22tan 220g cos =+>，且20332g ππ⎛⎫=-+<⎪⎝⎭， 所以()g x 在22,3π⎛⎫⎪⎝⎭内有唯一零点t .（2）由（1）得，当,()0x t ∈时，()0g x >，所以()'0f x >，即()f x 单调递增； 当,()x t π∈时，()0g x <，所以()0f x <，即()f x 单调递减， 即()f x 的最大值为()f t tsint =，由()cos 0f t t t sint '=+=得t tant =-，所以()f t tant sint =-g， 因此()2sin 2cos 2cos t t f t t ---=2cos 2cos 1cos t t t --=()2cos 12cos t t--=， 因为22,3t π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以1,cos 22cost ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭从而()222212 1.4160(1)cos --=-->，即()2cos 120cos t t--<，所以()20f t -<，故()2f x <.【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及不等式的证明，着重考查了转化与化归思想、分类讨论、及逻辑推理能力与计算能力，对于此类问题，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．（二）选考题：共10分.请考生在第（22），（23）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.22.在极坐标系中，圆:4cos C ρθ=.以极点O 为原点，极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系xOy ，直线l经过点(1,M --且倾斜角为α. ()1求圆C 的直角坐标方程和直线l 的参数方程；()2已知直线l 与圆C 交与A ，B ，满足A 为MB 的中点，求α.【答案】（1）()2224x y -+=，1 x tcos y tsin αα=-+⎧⎪⎨=-⎪⎩，(t 为参数，0a π≤<).（2）3πα= 【解析】【分析】（1）利用极坐标方程与直角坐标方程的互化公式，可求解圆C 的直角坐标方程，根据直线参数方程的形式，即可求得直线的参数方程；()2将直线l 的方程代入圆C 的方程，利用根与系数的关系，求得A B t t +，A B t t g ，由A 为MB的中点，得到2B A t t =，求得,A B t t ，即可求得A B t t g的表达式，利用三角函数的性质，即可求解.【详解】（1）由题意，圆:4C cos ρθ=，可得24cos ρρθ=，因为222x y ρ=+，cos x ρθ=，所以224x y x +=，即()2224x y -+=， 根据直线的参数方程的形式，可得直线l:1x tcos y tsin αα=-+⎧⎪⎨=-⎪⎩，(t 为参数，0a π≤<). ()2设, A B 对应的参数分别为, A B t t ，将直线l 的方程代入C，整理得2620)3t t cos αα-++=，所以6)A B t t cos αα+=+，32A B t t =g， 又A 为MB 的中点，所以2B A t t =，因此)246A t cos sin πααα⎛⎫ ⎪⎝=++⎭=， 8sin 6B t πα⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， 所以232sin 326A B t t πα⎛⎫=+= ⎪⎝⎭g ，即2sin 16πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，因为0a π≤<，所以7666πππα≤+<， 从而=62ππα+，即3πα=.【点睛】本题主要考查了极坐标方程与直角坐标方程，直线参数方程的求解，以及直线参数方程的应用，其中解答中合理利用直线参数中参数的几何意义求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.23.设函数()211f x x x =-++.()1画出()y f x =的图像；()2若()f x m x n ≤+，求m n +的最小值.【答案】（1）画图见解析（2）5【解析】【分析】（1）根据绝对值的定义，可得分段函数()f x 的解析式，进而作出函数的图象；（2）由不等式()f x m x n ≤+，可得()0f n ≤，解得2n ≥，再由绝对值的三角不等式，求得当且仅当3m ≥，且2n ≥时，()f x m x n ≤+成立，即可求解m n +的最小值.【详解】（1）由题意，根据绝对值的定义，可得分段函数()3,11 2,1213,2x xf x x xx x⎧⎪-<-⎪⎪=-+-≤≤⎨⎪⎪>⎪⎩，所以()y f x=的图象如图所示：（2）由()f x m x n≤+，可得()0f n≤，解得2n≥，又因为()()21|()31f x x x x≥++=-，所以3m x n x+≥.(※)若3m≥，(※)式明显成立；若3m<，则当3nxm>-时，(※)式不成立，由图可知，当3m≥，且2n≥时，可得()f x m x n≤+，所以当且仅当3m≥，且2n≥时，()f x m x n≤+成立，因此m n+的最小值为5.【点睛】本题主要考查了绝对值的定义及应用，以及绝对值三角不等式的应用，其中解答中利用绝对值的定义去掉绝对值号，以及合理利用绝对值不等式是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及推理与计算能力，属于基础题.。
2020年5月唐山市一模理科数学试题答案
唐山市2019—2020学年度高三年级第一次模拟考试理科数学参考答案一．选择题：CDCBD ABACBAD 二．填空题：13．－214．1015．n 2－n ＋22 16．①②③ 三．解答题：17．解：（1）因为S △ABC ＝ 1 2bc sin A ＝34bc ＝23，所以bc ＝8． 由余弦定理得b 2＋c 2－bc ＝a 2，所以(b ＋c )2＝a 2＋3bc ，又a ＝4，bc ＝8，所以(b ＋c )2＝40，即b ＋c ＝210，故△ABC 的周长为4＋210． …5分（2）由正弦定理得a sin A ＝b sin B ＝c sin C， 所以sin B ·sin C ＝bc sin 2A a 2，又S △ABC ＝ 1 2bc sin A ＝23，a ＝4， 所以sin B ·sin C ＝3sin A 4≤34． 当sin A ＝1时，A ＝ π 2，此时b 2＋c 2＝a 2＝16，bc ＝43， 即b ＝23，c ＝2；或b ＝2，c ＝23．故A ＝ π 2时，sin B ·sin C 取得最大值34． …12分 18．解：（1）因为三棱柱ABC -A 1B 1C 1为直三棱柱，所以A 1A ⊥平面ABC ，从而有A 1A ⊥BD ， 因为△ABC 为等边三角形，D 为AC 的中点，所以BD ⊥AC ．又A 1A ∩AC ＝A ，所以BD ⊥平面ACC 1A 1，所以BD ⊥EF ．又因为EF ⊥BF ，BD ∩BF ＝B ，所以EF ⊥平面BDF ．又因为EF 平面BEF ，所以平面BEF ⊥平面BDF ． …5分（2）由（1）可知EF ⊥平面BDF ，所以EF ⊥DF ． 设CF ＝m ，则有m 2＋4＋4m 2＋4＝9m 2，即4m 2＝8，得m ＝2．以D 为坐标原点，DB ，DC ，DE 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系D －xyz ，则D (0，0，0)，B (23，0，0)，C (0，2，0)，E (0，0，32)，F (0，2，2)，设平面BEF 的法向量为m ＝(x ，y ，z )， BE →＝(－23，0，32)，EF →＝(0，2，－22)， z yx C 1 B 1 A 1 F E DC B A由⎩⎪⎨⎪⎧BE →·m ＝－23x ＋32z ＝0，EF →·m ＝2y －22z ＝0，解得m ＝(3，2，2)， 因为DC ⊥平面BDE ，所以平面BDE 的法向量为DC →＝(0，2，0)，cos 〈m ，DC →〉＝m ·DC →|m ||DC →|＝42×9＝ 23， 所以二面角D －BE －F 的余弦值为 2 3． …12分 19．解：（1）设A ：甲在第一局失利，B ：甲获得了比赛的胜利则P (B |A )＝P (AB )P (A )＝(1－p )p 21－p＝p 2． …3分 （2）X 的可能取值为0，1，2，则P (X ＝0)＝(1－p )2＝ 1 4，P (X ＝1)＝C 12p (1－p )2＝ 1 4，P (X ＝2)＝p 2＋C 12(1－p )p 2＝ 12． X 的分布列如下： 则E (X )＝0× 1 4＋1× 1 4＋2× 1 2＝ 5 4． …9分 （3）甲获得该场比赛胜利的概率为p 2＋C 12(1－p )p 2，则p 2＋C 12(1－p )p 2＞p ，即2p 2－3p ＋1＜0，解得 1 2＜p ＜1． 所以p 的取值范围是( 1 2，1) …12分 20．解： （1）连接OQ ，设M (x ，y )(x ≠0)， 由|OQ |＝|PQ |＝2，由M 为PQ 的中点， 得P (4x 3，0)，则Q (2x 3，2y )， 把Q (2x 3，2y )代入x 2＋y 2＝4，整理得x 29＋y 2＝1， 所以曲线E 的方程为x 29＋y 2＝1(x ≠0)． …4分（2）（ⅰ）当直线PQ 与圆O 相切于点Q ，则OQ ⊥PQ ，|OQ |＝|PQ |＝2，则|OP |＝22，又点Q 在第一象限，得P (22，0)，Q (2，2)．由M 为PQ 的中点，得M (322，22)， 所以直线OM 的斜率为 1 3． …7分（ⅱ）设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线l ：y ＝ 1 3x ＋t ， 由⎩⎨⎧y ＝ 1 3x ＋t ，x 29＋y 2＝1整理得2x 2＋6tx ＋9t 2－9＝0，x 1＋x 2＝－3t ，x 1x 2＝9t 2－92． 所以N 点坐标为(－3t 2， t 2)，直线ON 方程为y ＝－ 1 3x ， …9分 由方程组⎩⎨⎧y ＝－ 1 3x ，x 29＋y 2＝1得C (－322，22)，D (322，－22)． …10分 所以|NC |·|ND |＝103(322－3t 2)·103(322＋3t 2)＝ 5 2(2－t 2)． 又|NA |·|NB |＝ 1 4|AB |2＝ 1 4×109×[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2] ＝518[9t 2－2(9t 2－9)]＝ 5 2(2－t 2)， 所以|NA |·|NB |＝|NC |·|ND |． …12分21．证明：（1）f '(x )＝－ 1 x －ln x (x －1)2， 令g (x )＝－ 1 x －ln x ，则g'(x )＝ 1 x 2－ 1 x ＝1－x x2． 所以当0＜x ＜1时，g'(x )＞0；当x ＞1时，g'(x )＜0；所以g (x )≤g (1)＝－1＜0．在f '(x )中x ≠1，因此f '(x )＜0． …4分（2）由（1）得，f (x )在(0，1)，(1，＋∞)上单调递减，所以0＜x 1＜1＜x 2．f (x ＋1)－f (x )＝ln (x ＋1)＋1x －ln x ＋1x －1＝x ln (x ＋1)－x ln x －1－ln (x ＋1)x (x －1) ＝ 1 x －ln (1＋ 1 x )1－x ＋ln (x ＋1)x (1－x )，0＜x ＜1． …8分 由（1）得g (x )＝－ 1 x－ln x ≤－1，等号当且仅当x ＝1时成立， 从而ln 1 x ≤ 1 x－1，即ln x ≤x －1，等号当且仅当x ＝1时成立， 又x ＞0时，1＋ 1 x ＞1，因此ln (1＋ 1 x )＜ 1x， 所以当0＜x ＜1时， 1 x －ln (1＋ 1 x )1－x ＞0，又ln (x ＋1)x (1－x )＞0， 所以当0＜x ＜1时，f (x ＋1)－f (x )＞0，即f (x ＋1)＞f (x )，所以f (x 1＋1)＞f (x 1)＝f (x 2)，由f (x )在(1，＋∞)上单调递减，且x 1＋1＞1，x 2＞1，所以，可得x 2＞x 1＋1， 故x 2－x 1＞1．…12分 22．解：（1）由题意得x ＝ρcos θ，所以l ：x ＝2，又ρ2＝x 2＋y 2，y ＝ρsin θ，所以C ：x 2＋(y －2)2＝4，从而C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos α，y ＝2＋2sin α，（α为参数）．…4分 （2）设A (2cos α，2＋2sin α)，0＜α＜2π，则B (2，2＋2sin α)． 所以S ＝2(1－cos α)(1＋sin α)＝2sin α－2cos α－2cos αsin α＋2＝(sin α－cos α)2＋2(sin α－cos α)＋1＝(sin α－cos α＋1)2＝[2sin (α－ π 4)＋1]2．当α－ π 4＝ π 2，即α＝3π4时，S 取得最大值3＋22．…10分 23．解：（1）当a ＝1时，f (x )＞0化为|x ＋1|－2|x －1|－1＞0．当x ≤－1时，不等式化为x －4＞0，无解；当－1＜x ＜1时，不等式化为3x －2＞0，解得 2 3＜x ＜1；当x ≥1时，不等式化为－x ＋2＞0，解得1≤x ＜2．所以f (x )＞1的解集为{x | 2 3＜x ＜2}．…4分 （2）存在．若a ＞－1，则f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －a －3，x ＜－a ，3x ＋a －3，－a ≤x ≤1，－x ＋a ＋1，x ＞1．此时f (x )的最大值f (1)＝a ，所以a ＝0时满足题设．若a ＜－1，则f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －a －3，x ＜1，－3x －a ＋1，1≤x ≤－a ，－x ＋a ＋1，x ＞－a ．此时f (x )的最大值f (1)＝－a －2，所以a ＝－2时满足题设．若a ＝－1，则f (x )＝－|x －1|－1＜0，所以a ＝－1时不满足题设． 综上所述，存在实数a ＝0或a ＝－2满足题设．…10分。
2019-2020学年唐山市高三理科数学一模试题及答案
唐山市2019—2020学年度高三年级第一次模拟考试理科数学注意事项：1、答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2、回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3、考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A＝{－1，0，1，2}，B＝{y|y＝2x}，M＝A∩B，则集合M的子集个数是A．2 B．3 C．4 D．82．设i是虚数单位，复数z＝2＋i3－i，则z-在复平面内对应的点位于A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．人口平均预期寿命是综合反映人们健康水平的基本指标．2010年第六次全国人口普查资料表明，随着我国社会经济的快速发展，人民生活水平的不断提高以及医疗卫生保障体系的逐步完善，我国人口平均预期寿命继续延长，国民整体健康水平有较大幅度的提高．右图体现了我国平均预期寿命变化情况，依据此图，下列结论错误的是A．男性的平均预期寿命逐渐延长B．女性的平均预期寿命逐渐延长C．男性的平均预期寿命延长幅度略高于女性D．女性的平均预期寿命延长幅度略高于男性4．《孙子算经》是我国古代内容极其丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有圆窖周五丈四尺，深一丈八尺，问受粟几何？”其意思为：“有圆柱形容器，底面圆周长五丈四尺，高一丈八尺，求此容器能放多少斛米”（古制1丈＝10尺，1斛＝1.62立方尺，圆周率π＝3），则该圆柱形容器能放米A．900斛B．2700斛C．3600斛D．10800斛5．已知向量a，b满足|a＋b|＝|b|，且|a|＝2，则b在a方向上的投影是A．2 B．－2C．1 D．－16．已知数列{a n}是等差数列，{b n}是等比数列，a2＝b2＝m，a3＝b3＝n，若m，n为正数，且m≠n，则A．a1＜b1B．a1＞b1C．a1＝b1D．a1，b1的大小关系不确定7．已知随机变量X服从正态分布N(0，1)，随机变量Y服从正态分布N(1，1)，且P(X＞1)＝0.1587，则P(1＜Y＜2)＝A．0.1587 B．0.3413C．0.8413 D．0.65878．函数f(x)＝tan x－x2在(－π2，π2)上的图象大致为9．设函数f(x)＝sin(2x＋2π3)，则下列结论中正确的是A．y＝f(x)的图象关于点(π3，0)对称B．y＝f(x)的图象关于直线x＝π3对称C．f(x)在[0，π3]上单调递减D．f(x)在[－π6，0]上的最小值为010．已知四棱锥P-ABCD的顶点都在球O的球面上，P A⊥底面ABCD，AB＝AD＝1，BC＝CD＝2，若球O的表面积为36π，则直线PC与底面ABCD所成角的余弦值为A．36B．56C．33D．5311．已知F是双曲线C：x2a2－y2b2＝1（a＞0，b＞0）的右焦点，M是C的渐近线上一点，且MF⊥x 轴，过F作直线OM的平行线交C的渐近线于点N（O为坐标原点），若MN⊥ON，则双曲线C的离心率是A．233B． 3C．62D．212．已知a＞2，f(x)＝e x(x－a)＋x＋a，有如下结论：①f(x)有两个极值点；②f(x)有3个零点；③f(x)的所有零点之和等于零．则正确结论的个数是A ．0 B．1C．2D．3O xyA．O xyC．O xyD．B．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x ＋y －3≤0，x －3y ＋1≤0，则z ＝2x －y 的最小值为________．14．中国古代的四书是指：《大学》、《中庸》、《论语》、《孟子》，甲、乙、丙、丁4名同学从中各选一书进行研读，已知四人选取的书恰好互不相同，且甲没有选《中庸》，乙和丙都没有选《论语》，则4名同学所有可能的选择有________种． 15．在数列{a n }中，已知a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋tn (n ∈N *，t 为非零常数)，且a 1，a 2，a 3成等比数列，则a n ＝___________． 16．已知F 为抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）的焦点，K 为C 的准线与x 轴的交点，点P 在抛物线C上．设∠KPF ＝α，∠PKF ＝β，∠PFK ＝θ，有以下3个结论：①β的最大值是 π4； ②tan β＝sin θ； ③存在点P ，满足α＝2β．其中正确结论的序号是___________． 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a ＝4，△ABC 的面积为23．（1）若A ＝ π3，求△ABC 的周长；（2）求sin B ·sin C 的最大值．18．（12分）如图，直三棱柱ABC -A 1B 1C 1的底面为等边三角形，D ，E 分别为AC ，A 1C 1的中点，点F 在棱CC 1上，且EF ⊥BF ． （1）证明：平面BEF ⊥平面BDF ；（2）若AB ＝4，C 1F ＝2FC ，求二面角D -BE -F 的余弦值．19．（12分）甲、乙二人进行一场比赛，该比赛采用三局两胜制，即先获得两局胜利者获得该场比赛胜利．在每一局比赛中，都不会出现平局，甲获胜的概率都为p （0＜p ＜1）． （1）求甲在第一局失利的情况下，反败为胜的概率；（2）若p ＝12，比赛结束时，设甲获胜局数为X ，求其分布列和期望E (X )；（3）若甲获得该场比赛胜利的概率大于甲每局获胜的概率，求p 的取值范围．20．（12分）已知P 是x 轴上的动点（异于原点．．．．O ），点Q 在圆O ：x 2＋y 2＝4上，且|PQ |＝2，设线段PQ 的中点为M ，当点P 移动时，记点M 的轨迹为曲线E ． （1）求曲线E 的方程；（2）当直线PQ 与圆O 相切于点Q ，且点Q 在第一象限． （ⅰ）求直线OM 的斜率；（ⅱ）直线l 平行OM ，交曲线E 于不同的两点A ，B ，线段AB 的中点为N ，直线ON 与曲线E 交于两点C ，D ，证明：|NA |·|NB |＝|NC |·|ND |．21．（12分）已知函数f (x )＝ln x ＋1x －1，f '(x )为f (x )的导函数，f (x 1)＝f (x 2)且x 1＜x 2．证明：（1）f '(x )＜0； （2）x 2－x 1＞1．（二）选考题：共10分．请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）在极坐标系中，圆C ：ρ＝4sin θ，直线l ：ρcos θ＝2．以极点O 为坐标原点，以极轴为x 轴的正半轴建立直角坐标系．（1）求圆C 的参数方程，直线l 的直角坐标方程；（2）点A 在圆C 上，AB ⊥l 于B ，记△OAB 的面积为S ，求S 的最大值．23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）已知函数f (x )＝|x ＋a |－2|x －1|－1．（1）当a ＝1时，求不等式f (x )＞0的解集；（2）是否存在实数a ，使得f (x )的图象与x 轴有唯一的交点？若存在，求a 的值；若不存在，说明理由．C 1B 1A 1FEDCBA唐山市2019—2020学年度高三年级第一次模拟考试理科数学参考答案一．选择题：CDCBD ABACB AD 二．填空题：13．－2 14．1015．n 2－n ＋2216．①②③三．解答题： 17．解：（1）因为S △ABC ＝ 1 2bc sin A ＝34bc ＝23，所以bc ＝8．由余弦定理得b 2＋c 2－bc ＝a 2，所以(b ＋c )2＝a 2＋3bc ， 又a ＝4，bc ＝8，所以(b ＋c )2＝40，即b ＋c ＝210， 故△ABC 的周长为4＋210． …5分（2）由正弦定理得a sin A ＝b sin B ＝csin C ，所以sin B ·sin C ＝bc sin 2A a 2，又S △ABC ＝ 12bc sin A ＝23，a ＝4， 所以sin B ·sin C ＝3sin A 4≤34．当sin A ＝1时，A ＝ π2，此时b 2＋c 2＝a 2＝16，bc ＝43，即b ＝23，c ＝2；或b ＝2，c ＝23．故A ＝ π 2时，sin B ·sin C 取得最大值34． …12分18．解：（1）因为三棱柱ABC -A 1B 1C 1为直三棱柱，所以A 1A ⊥平面ABC ，从而有A 1A ⊥BD ， 因为△ABC 为等边三角形，D 为AC 的中点，所以BD ⊥AC ． 又A 1A ∩AC ＝A ，所以BD ⊥平面ACC 1A 1，所以BD ⊥EF ． 又因为EF ⊥BF ，BD ∩BF ＝B ，所以EF ⊥平面BDF ． 又因为EF ⊂平面BEF ，所以平面BEF ⊥平面BDF ．…5分（2）由（1）可知EF ⊥平面BDF ，所以EF ⊥DF ．设CF ＝m ，则有m 2＋4＋4m 2＋4＝9m 2，即4m 2＝8，得m ＝2．以D 为坐标原点，DB ，DC ，DE 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系D －xyz ，则D (0，0，0)，B (23，0，0)，C (0，2，0)，E (0，0，32)，F (0，2，2)，设平面BEF 的法向量为m ＝(x ，y ，z )， BE →＝(－23，0，32)，EF →＝(0，2，－22)，由⎩⎪⎨⎪⎧BE →·m ＝－23x ＋32z ＝0，EF →·m ＝2y －22z ＝0，解得m ＝(3，2，2)，因为DC ⊥平面BDE ，所以平面BDE 的法向量为DC →＝(0，2，0)， cos 〈m ，DC →〉＝m ·DC →|m ||DC →|＝42×9＝23，所以二面角D －BE －F 的余弦值为23． …12分19．解：（1）设A ：甲在第一局失利，B ：甲获得了比赛的胜利则P (B |A )＝P (AB )P (A )＝(1－p )p 21－p＝p 2． …3分（2）X 的可能取值为0，1，2，则P (X ＝0)＝(1－p )2＝14，P (X ＝1)＝C 12p (1－p )2＝14，P (X ＝2)＝p 2＋C 12(1－p )p 2＝12． X 的分布列如下：则E (X )＝0×14＋1×14＋2×12＝54． …9分（3）甲获得该场比赛胜利的概率为p 2＋C 12(1－p )p 2，则p 2＋C 12(1－p )p 2＞p ，即2p 2－3p ＋1＜0，解得12＜p ＜1．所以p 的取值范围是(12，1)…12分20．解： （1）连接OQ ，设M (x ，y )(x ≠0)， 由|OQ |＝|PQ |＝2，由M 为PQ 的中点， 得P (4x 3，0)，则Q (2x 3，2y )，把Q (2x 3，2y )代入x 2＋y 2＝4，整理得x 29＋y 2＝1，所以曲线E 的方程为x 29＋y 2＝1(x ≠0)．…4分（2）（ⅰ）当直线PQ 与圆O 相切于点Q ，则OQ ⊥PQ ，|OQ |＝|PQ |＝2，则|OP |＝22，又点Q 在第一象限， 得P (22，0)，Q (2，2)．由M 为PQ 的中点，得M (322，22)，所以直线OM 的斜率为 13． …7分z yxC 1 B 1A 1 F EDC B A（ⅱ）设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线l ：y ＝ 13x ＋t ，由⎩⎨⎧y ＝ 13x ＋t ，x 29＋y 2＝1整理得2x 2＋6tx ＋9t 2－9＝0，x 1＋x 2＝－3t ，x 1x 2＝9t 2－92． 所以N 点坐标为(－3t 2， t 2)，直线ON 方程为y ＝－ 13x ， …9分由方程组⎩⎨⎧y ＝－ 13x ，x 29＋y 2＝1得C (－322，22)，D (322，－22)． …10分所以|NC |·|ND |＝103(322－3t 2)·103(322＋3t 2)＝ 52(2－t 2)．又|NA |·|NB |＝ 1 4|AB |2＝ 1 4×109×[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝518[9t 2－2(9t 2－9)]＝ 52(2－t 2)， 所以|NA |·|NB |＝|NC |·|ND |． …12分 21．证明：（1）f '(x )＝－ 1x－ln x (x －1)2，令g (x )＝－ 1 x －ln x ，则g'(x )＝ 1 x 2－ 1x ＝1－xx2．所以当0＜x ＜1时，g'(x )＞0；当x ＞1时，g'(x )＜0； 所以g (x )≤g (1)＝－1＜0． 在f '(x )中x ≠1，因此f '(x )＜0． …4分 （2）由（1）得，f (x )在(0，1)，(1，＋∞)上单调递减，所以0＜x 1＜1＜x 2．f (x ＋1)－f (x )＝ln (x ＋1)＋1x －ln x ＋1x －1＝x ln (x ＋1)－x ln x －1－ln (x ＋1)x (x －1)＝ 1 x －ln (1＋ 1x )1－x ＋ln (x ＋1)x (1－x )，0＜x ＜1． …8分由（1）得g (x )＝－ 1x－ln x ≤－1，等号当且仅当x ＝1时成立，从而ln 1 x ≤ 1x－1，即ln x ≤x －1，等号当且仅当x ＝1时成立，又x ＞0时，1＋ 1 x ＞1，因此ln (1＋ 1 x )＜ 1x，所以当0＜x ＜1时， 1 x －ln (1＋ 1x )1－x ＞0，又ln (x ＋1)x (1－x )＞0，所以当0＜x ＜1时，f (x ＋1)－f (x )＞0，即f (x ＋1)＞f (x )，所以f (x 1＋1)＞f (x 1)＝f (x 2)，由f (x )在(1，＋∞)上单调递减，且x 1＋1＞1，x 2＞1，所以，可得x 2＞x 1＋1， 故x 2－x 1＞1． …12分 22．解：（1）由题意得x ＝ρcos θ，所以l ：x ＝2，又ρ2＝x 2＋y 2，y ＝ρsin θ，所以C ：x 2＋(y －2)2＝4，从而C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos α，y ＝2＋2sin α，（α为参数）． …4分（2）设A (2cos α，2＋2sin α)，0＜α＜2π，则B (2，2＋2sin α)． 所以S ＝2(1－cos α)(1＋sin α)＝2sin α－2cos α－2cos αsin α＋2 ＝(sin α－cos α)2＋2(sin α－cos α)＋1 ＝(sin α－cos α＋1)2＝[2sin (α－ π4)＋1]2．当α－ π 4＝ π 2，即α＝3π4时，S 取得最大值3＋22． …10分23．解：（1）当a ＝1时，f (x )＞0化为|x ＋1|－2|x －1|－1＞0． 当x ≤－1时，不等式化为x －4＞0，无解；当－1＜x ＜1时，不等式化为3x －2＞0，解得 23＜x ＜1；当x ≥1时，不等式化为－x ＋2＞0，解得1≤x ＜2．所以f (x )＞1的解集为{x | 23＜x ＜2}． …4分（2）存在．若a ＞－1，则f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －a －3，x ＜－a ，3x ＋a －3，－a ≤x ≤1，－x ＋a ＋1，x ＞1．此时f (x )的最大值f (1)＝a ，所以a ＝0时满足题设．若a ＜－1，则f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －a －3，x ＜1，－3x －a ＋1，1≤x ≤－a ，－x ＋a ＋1，x ＞－a ．此时f (x )的最大值f (1)＝－a －2，所以a ＝－2时满足题设．若a ＝－1，则f (x )＝－|x －1|－1＜0，所以a ＝－1时不满足题设． 综上所述，存在实数a ＝0或a ＝－2满足题设． …10分。
唐山市 2019—2020 学年度高三年级第一次模拟考试-理科数学
唐山市2019—2020学年度高三年级第一次模拟考试理科数学注意事项：1、答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2、回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3、考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A＝{－1，0，1，2}，B＝{y|y＝2x}，M＝A∩B，则集合M的子集个数是A．2 B．3 C．4 D．82．设i是虚数单位，复数z＝2＋i3－i，则z-在复平面内对应的点位于A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．人口平均预期寿命是综合反映人们健康水平的基本指标．2010年第六次全国人口普查资料表明，随着我国社会经济的快速发展，人民生活水平的不断提高以及医疗卫生保障体系的逐步完善，我国人口平均预期寿命继续延长，国民整体健康水平有较大幅度的提高．右图体现了我国平均预期寿命变化情况，依据此图，下列结论错误的是A．男性的平均预期寿命逐渐延长B．女性的平均预期寿命逐渐延长C．男性的平均预期寿命延长幅度略高于女性D．女性的平均预期寿命延长幅度略高于男性4．《孙子算经》是我国古代内容极其丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有圆窖周五丈四尺，深一丈八尺，问受粟几何？”其意思为：“有圆柱形容器，底面圆周长五丈四尺，高一丈八尺，求此容器能放多少斛米”（古制1丈＝10尺，1斛＝1.62立方尺，圆周率π＝3），则该圆柱形容器能放米A．900斛B．2700斛C．3600斛D．10800斛5．已知向量a，b满足|a＋b|＝|b|，且|a|＝2，则b在a方向上的投影是A．2 B．－2C．1 D．－1 6．已知数列{a n}是等差数列，{b n}是等比数列，a2＝b2＝m，a3＝b3＝n，若m，n为正数，且m≠n，则A．a1＜b1B．a1＞b1C．a1＝b1D．a1，b1的大小关系不确定7．已知随机变量X服从正态分布N(0，1)，随机变量Y服从正态分布N(1，1)，且P(X＞1)＝0.1587，则P(1＜Y＜2)＝A．0.1587 B．0.3413C．0.8413 D．0.65878．函数f(x)＝tan x－x2在(－π2，π2)上的图象大致为9．设函数f(x)＝sin(2x＋2π3)，则下列结论中正确的是A．y＝f(x)的图象关于点(π3，0)对称B．y＝f(x)的图象关于直线x＝π3对称C．f(x)在[0，π3]上单调递减D．f(x)在[－π6，0]上的最小值为010．已知四棱锥P-ABCD的顶点都在球O的球面上，P A⊥底面ABCD，AB＝AD＝1，BC＝CD＝2，若球O的表面积为36π，则直线PC与底面ABCD所成角的余弦值为A．36B．56C．33D．5311．已知F是双曲线C：x2a2－y2b2＝1（a＞0，b＞0）的右焦点，M是C的渐近线上一点，且MF⊥x 轴，过F作直线OM的平行线交C的渐近线于点N（O为坐标原点），若MN⊥ON，则双曲线C的离心率是A．233B． 3C．62D．212．已知a＞2，f(x)＝e x(x－a)＋x＋a，有如下结论：①f(x)有两个极值点；②f(x)有3个零点；③f(x)的所有零点之和等于零．则正确结论的个数是A．0 B．1C．2D．3O xyA．O xyC．O xyD．B．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x ＋y －3≤0，x －3y ＋1≤0，则z ＝2x －y 的最小值为________．14．中国古代的四书是指：《大学》、《中庸》、《论语》、《孟子》，甲、乙、丙、丁4名同学从中各选一书进行研读，已知四人选取的书恰好互不相同，且甲没有选《中庸》，乙和丙都没有选《论语》，则4名同学所有可能的选择有________种． 15．在数列{a n }中，已知a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋tn (n ∈N *，t 为非零常数)，且a 1，a 2，a 3成等比数列，则a n ＝___________． 16．已知F 为抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）的焦点，K 为C 的准线与x 轴的交点，点P 在抛物线C上．设∠KPF ＝α，∠PKF ＝β，∠PFK ＝θ，有以下3个结论：①β的最大值是 π4； ②tan β＝sin θ； ③存在点P ，满足α＝2β．其中正确结论的序号是___________． 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a ＝4，△ABC 的面积为23．（1）若A ＝ π3，求△ABC 的周长；（2）求sin B ·sin C 的最大值．18．（12分）如图，直三棱柱ABC -A 1B 1C 1的底面为等边三角形，D ，E 分别为AC ，A 1C 1的中点，点F 在棱CC 1上，且EF ⊥BF ． （1）证明：平面BEF ⊥平面BDF ；（2）若AB ＝4，C 1F ＝2FC ，求二面角D -BE -F 的余弦值．19．（12分）甲、乙二人进行一场比赛，该比赛采用三局两胜制，即先获得两局胜利者获得该场比赛胜利．在每一局比赛中，都不会出现平局，甲获胜的概率都为p （0＜p ＜1）． （1）求甲在第一局失利的情况下，反败为胜的概率；（2）若p ＝12，比赛结束时，设甲获胜局数为X ，求其分布列和期望E (X )；（3）若甲获得该场比赛胜利的概率大于甲每局获胜的概率，求p 的取值范围．20．（12分）已知P 是x 轴上的动点（异于原点．．．．O ），点Q 在圆O ：x 2＋y 2＝4上，且|PQ |＝2，设线段PQ 的中点为M ，当点P 移动时，记点M 的轨迹为曲线E ． （1）求曲线E 的方程；（2）当直线PQ 与圆O 相切于点Q ，且点Q 在第一象限． （ⅰ）求直线OM 的斜率；（ⅱ）直线l 平行OM ，交曲线E 于不同的两点A ，B ，线段AB 的中点为N ，直线ON 与曲线E 交于两点C ，D ，证明：|NA |·|NB |＝|NC |·|ND |．21．（12分）已知函数f (x )＝ln x ＋1x －1，f '(x )为f (x )的导函数，f (x 1)＝f (x 2)且x 1＜x 2．证明：（1）f '(x )＜0； （2）x 2－x 1＞1．（二）选考题：共10分．请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）在极坐标系中，圆C ：ρ＝4sin θ，直线l ：ρcos θ＝2．以极点O 为坐标原点，以极轴为x 轴的正半轴建立直角坐标系．（1）求圆C 的参数方程，直线l 的直角坐标方程；（2）点A 在圆C 上，AB ⊥l 于B ，记△OAB 的面积为S ，求S 的最大值．23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）已知函数f (x )＝|x ＋a |－2|x －1|－1．（1）当a ＝1时，求不等式f (x )＞0的解集；（2）是否存在实数a ，使得f (x )的图象与x 轴有唯一的交点？若存在，求a 的值；若不存在，说明理由．C 1B 1A 1FEDCBA唐山市2019—2020学年度高三年级第一次模拟考试理科数学参考答案一．选择题：CDCBD ABACB AD 二．填空题：13．－2 14．1015．n 2－n ＋2216．①②③三．解答题： 17．解：（1）因为S △ABC ＝ 1 2bc sin A ＝34bc ＝23，所以bc ＝8．由余弦定理得b 2＋c 2－bc ＝a 2，所以(b ＋c )2＝a 2＋3bc ， 又a ＝4，bc ＝8，所以(b ＋c )2＝40，即b ＋c ＝210， 故△ABC 的周长为4＋210． …5分（2）由正弦定理得a sin A ＝b sin B ＝csin C ，所以sin B ·sin C ＝bc sin 2A a 2，又S △ABC ＝ 12bc sin A ＝23，a ＝4， 所以sin B ·sin C ＝3sin A 4≤34．当sin A ＝1时，A ＝ π2，此时b 2＋c 2＝a 2＝16，bc ＝43，即b ＝23，c ＝2；或b ＝2，c ＝23．故A ＝ π 2时，sin B ·sin C 取得最大值34． …12分18．解：（1）因为三棱柱ABC -A 1B 1C 1为直三棱柱，所以A 1A ⊥平面ABC ，从而有A 1A ⊥BD ， 因为△ABC 为等边三角形，D 为AC 的中点，所以BD ⊥AC ． 又A 1A ∩AC ＝A ，所以BD ⊥平面ACC 1A 1，所以BD ⊥EF ． 又因为EF ⊥BF ，BD ∩BF ＝B ，所以EF ⊥平面BDF ． 又因为EF ⊂平面BEF ，所以平面BEF ⊥平面BDF ．…5分（2）由（1）可知EF ⊥平面BDF ，所以EF ⊥DF ．设CF ＝m ，则有m 2＋4＋4m 2＋4＝9m 2，即4m 2＝8，得m ＝2．以D 为坐标原点，DB ，DC ，DE 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系D －xyz ，则D (0，0，0)，B (23，0，0)，C (0，2，0)，E (0，0，32)，F (0，2，2)，设平面BEF 的法向量为m ＝(x ，y ，z )， BE →＝(－23，0，32)，EF →＝(0，2，－22)，由⎩⎪⎨⎪⎧BE →·m ＝－23x ＋32z ＝0，EF →·m ＝2y －22z ＝0，解得m ＝(3，2，2)，因为DC ⊥平面BDE ，所以平面BDE 的法向量为DC →＝(0，2，0)， cos 〈m ，DC →〉＝m ·DC →|m ||DC →|＝42×9＝23，所以二面角D －BE －F 的余弦值为23． …12分19．解：（1）设A ：甲在第一局失利，B ：甲获得了比赛的胜利则P (B |A )＝P (AB )P (A )＝(1－p )p 21－p＝p 2． …3分（2）X 的可能取值为0，1，2，则P (X ＝0)＝(1－p )2＝14，P (X ＝1)＝C 12p (1－p )2＝14，P (X ＝2)＝p 2＋C 12(1－p )p 2＝12． X 的分布列如下：则E (X )＝0×14＋1×14＋2×12＝54． …9分（3）甲获得该场比赛胜利的概率为p 2＋C 12(1－p )p 2，则p 2＋C 12(1－p )p 2＞p ，即2p 2－3p ＋1＜0，解得12＜p ＜1．所以p 的取值范围是(12，1)…12分20．解： （1）连接OQ ，设M (x ，y )(x ≠0)， 由|OQ |＝|PQ |＝2，由M 为PQ 的中点， 得P (4x 3，0)，则Q (2x 3，2y )，把Q (2x 3，2y )代入x 2＋y 2＝4，整理得x 29＋y 2＝1，所以曲线E 的方程为x 29＋y 2＝1(x ≠0)．…4分（2）（ⅰ）当直线PQ 与圆O 相切于点Q ，则OQ ⊥PQ ，|OQ |＝|PQ |＝2，则|OP |＝22，又点Q 在第一象限， 得P (22，0)，Q (2，2)．由M 为PQ 的中点，得M (322，22)，所以直线OM 的斜率为 13． …7分z yxC 1 B 1A 1 F EDC B A（ⅱ）设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线l ：y ＝ 13x ＋t ，由⎩⎨⎧y ＝ 13x ＋t ，x 29＋y 2＝1整理得2x 2＋6tx ＋9t 2－9＝0，x 1＋x 2＝－3t ，x 1x 2＝9t 2－92． 所以N 点坐标为(－3t 2， t 2)，直线ON 方程为y ＝－ 13x ， …9分由方程组⎩⎨⎧y ＝－ 13x ，x 29＋y 2＝1得C (－322，22)，D (322，－22)． …10分所以|NC |·|ND |＝103(322－3t 2)·103(322＋3t 2)＝ 52(2－t 2)．又|NA |·|NB |＝ 1 4|AB |2＝ 1 4×109×[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝518[9t 2－2(9t 2－9)]＝ 52(2－t 2)， 所以|NA |·|NB |＝|NC |·|ND |． …12分 21．证明：（1）f '(x )＝－ 1x－ln x (x －1)2，令g (x )＝－ 1 x －ln x ，则g'(x )＝ 1 x 2－ 1x ＝1－xx2．所以当0＜x ＜1时，g'(x )＞0；当x ＞1时，g'(x )＜0； 所以g (x )≤g (1)＝－1＜0． 在f '(x )中x ≠1，因此f '(x )＜0． …4分 （2）由（1）得，f (x )在(0，1)，(1，＋∞)上单调递减，所以0＜x 1＜1＜x 2．f (x ＋1)－f (x )＝ln (x ＋1)＋1x －ln x ＋1x －1＝x ln (x ＋1)－x ln x －1－ln (x ＋1)x (x －1)＝ 1 x －ln (1＋ 1x )1－x ＋ln (x ＋1)x (1－x )，0＜x ＜1． …8分由（1）得g (x )＝－ 1x－ln x ≤－1，等号当且仅当x ＝1时成立，从而ln 1 x ≤ 1x－1，即ln x ≤x －1，等号当且仅当x ＝1时成立，又x ＞0时，1＋ 1 x ＞1，因此ln (1＋ 1 x )＜ 1x，所以当0＜x ＜1时， 1 x －ln (1＋ 1x )1－x ＞0，又ln (x ＋1)x (1－x )＞0，所以当0＜x ＜1时，f (x ＋1)－f (x )＞0，即f (x ＋1)＞f (x )，所以f (x 1＋1)＞f (x 1)＝f (x 2)，由f (x )在(1，＋∞)上单调递减，且x 1＋1＞1，x 2＞1，所以，可得x 2＞x 1＋1， 故x 2－x 1＞1． …12分 22．解：（1）由题意得x ＝ρcos θ，所以l ：x ＝2，又ρ2＝x 2＋y 2，y ＝ρsin θ，所以C ：x 2＋(y －2)2＝4，从而C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos α，y ＝2＋2sin α，（α为参数）． …4分（2）设A (2cos α，2＋2sin α)，0＜α＜2π，则B (2，2＋2sin α)． 所以S ＝2(1－cos α)(1＋sin α)＝2sin α－2cos α－2cos αsin α＋2 ＝(sin α－cos α)2＋2(sin α－cos α)＋1 ＝(sin α－cos α＋1)2＝[2sin (α－ π4)＋1]2．当α－ π 4＝ π 2，即α＝3π4时，S 取得最大值3＋22． …10分23．解：（1）当a ＝1时，f (x )＞0化为|x ＋1|－2|x －1|－1＞0． 当x ≤－1时，不等式化为x －4＞0，无解；当－1＜x ＜1时，不等式化为3x －2＞0，解得 23＜x ＜1；当x ≥1时，不等式化为－x ＋2＞0，解得1≤x ＜2．所以f (x )＞1的解集为{x | 23＜x ＜2}． …4分（2）存在．若a ＞－1，则f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －a －3，x ＜－a ，3x ＋a －3，－a ≤x ≤1，－x ＋a ＋1，x ＞1．此时f (x )的最大值f (1)＝a ，所以a ＝0时满足题设．若a ＜－1，则f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －a －3，x ＜1，－3x －a ＋1，1≤x ≤－a ，－x ＋a ＋1，x ＞－a ．此时f (x )的最大值f (1)＝－a －2，所以a ＝－2时满足题设．若a ＝－1，则f (x )＝－|x －1|－1＜0，所以a ＝－1时不满足题设． 综上所述，存在实数a ＝0或a ＝－2满足题设． …10分。
2020届河北省唐山市高三第一次模拟数学(理)试题(解析版)
2020届河北省唐山市高三第一次模拟数学（理）试题一、单选题1．已知集合{}1,0,1,2A =-，{}2xB y y ==，M A B =I ，则集合M 的子集个数是（ ） A ．2 B ．3C ．4D ．8【答案】C【解析】求出集合M ，由此可计算出集合M 的子集个数. 【详解】{}{}20x B y y y y ===>Q ，{}1,0,1,2A =-，{}1,2M A B ∴=⋂=，因此，集合M 的子集个数是224=. 故选：C. 【点睛】本题考查集合子集个数的计算，一般要求出集合的元素个数，考查计算能力，属于基础题.2．设i 是虚数单位，复数23iz i+=-，则z 在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】D【解析】利用复数的除法法则将复数z 化为一般形式，可得出复数z ，进而可判断出复数z 在复平面内对应的点所在的象限. 【详解】()()()()23255113331022i i i i z i i i i ++++====+--+Q ，1122z i ∴=-. 因此，复数z 在复平面内对应的点位第四象限. 故选：D. 【点睛】本题考查复数在复平面内对应的点所在象限的判断，考查复数的除法运算和共轭复数定义的应用，考查计算能力，属于基础题.3．人口平均预期寿命是综合反映人们健康水平的基本指标.2010年第六次全国人口普障体系的逐步完善，我国人口平均预期寿命继续延长，国民整体健康水平有较大幅度的提高.下图体现了我国平均预期寿命变化情况，依据此图，下列结论错误的是（ ）A ．男性的平均预期寿命逐渐延长B ．女性的平均预期寿命逐渐延长C ．男性的平均预期寿命延长幅度略高于女性D ．女性的平均预期寿命延长幅度略高于男性 【答案】C【解析】从图形中的数据变化可判断A 、B 选项的正误；计算出男性和女性平均预期寿命延长幅度，可判断C 、D 选项的正误，综合可得出结论. 【详解】由图形可知，男性的平均预期寿命逐渐延长，女性的平均预期寿命也在逐渐延长，A 、B 选项均正确；从1981年到2010年，男性的平均预期寿命的增幅为72.3866.28 6.1-=，女性的平均预期寿命的增幅为77.3769.278.1-=，所以，女性的平均预期寿命延长幅度略高于男性，C 选项错误，D 选项正确. 故选：C. 【点睛】本题考查统计图的应用，考查学生的数据处理能力，属于基础题.4．《孙子算经》是我国古代内容极其丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有圆窖周五丈四尺，深一丈八尺，问受粟几何？”其意思为：“有圆柱形容器，底面圆周长五丈四尺，高一丈八尺，求此容器能放多少斛米”（古制1丈10=尺，1斛 1.62=立方尺，圆周率3π=），则该圆柱形容器能放米（ ） A ．900斛 B ．2700斛C ．3600斛D ．10800斛【解析】计算出圆柱形容器的底面圆半径，由此计算出圆柱形容器的体积，由此可得出结果. 【详解】设圆柱形容器的底面圆半径为r ，则5454926r π===（尺）， 所以，该圆柱形容器的体积为221839184374V r π=⨯=⨯⨯=（立方尺）， 因此，该圆柱形容器能放米437427001.62=（斛）. 故选：B. 【点睛】本题考查立体几何中的新文化，考查柱体体积的计算，考查计算能力，属于基础题.5．已知向量a r 、b r 满足a b b +=r r r ，且2a =r ，则b r 在a r方向上的投影是（ ）A ．2B ．2-C ．1D ．1-【答案】D【解析】在等式a b b +=r r r 两边同时平方，求出a b ⋅r r 的值，进而可得出b r 在a r方向上的投影为a b a⋅r r r .【详解】2a =r Q ，在等式a b b +=r r r 两边平方并化简得220a a b +⋅=r r r，222a ab ∴⋅=-=-r r r ，因此，b r 在a r方向上的投影为1a b a⋅=-r r r .故选：D. 【点睛】本题考查向量投影的计算，考查计算能力，属于基础题.6．已知数列{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，22a b m ==，33a b n ==，若m 、n 为正数，且m n ≠，则（ ）A ．11a b <B ．11a b >C ．11a b =D ．1a 、1b 的大小关系不确定【解析】用m 、n 表示1a 、1b ，然后利用作差法可得出1a 与1b 的大小关系. 【详解】由于1a 、2a 、3a 成等差数列，则2132a a a =+，则12322a a a m n =-=-，由于1b 、2b 、3b 成等比数列，则2213b b b =，则22213b m b b n==， 所以，()22221122m n m mn n m a b m n n n n----=--==-， m Q 、n 为正数，且m n ≠，因此，()2110m n ab n--=-<，即11a b <.故选：A. 【点睛】本题考查数列中项的大小比较，涉及比较法的应用，考查推理能力，属于中等题. 7．已知随机变量X 服从正态分布()0,1N ，随机变量Y 服从正态分布()1,1N ，且()10.1587P X >=，则()12P Y <<=（ ）A ．0.1587B ．0.3413C ．0.8413D ．0.6587【答案】B【解析】设1Z Y =-，可知()0,1Z N :，进而可得出()()1201P Y P Z <<=<<，利用正态密度曲线的对称性可求得结果. 【详解】设1Z Y =-，()1,1Y N Q :，则()0,1Z N :，()()()12010.510.50.15870.3413P Y P Z P Z ∴<<=<<=->=-=.故选：B. 【点睛】本题考查正态分布在指定区间上的概率的计算，考查正态密度曲线对称性的应用，属于基础题.8．函数()2tan f x x x =-在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】分析函数()y f x =的奇偶性以及函数()y f x =在0,4π⎛⎫⎪⎝⎭上的函数值符号，结合排除法可得出合适的选项. 【详解】当,22x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()()()22tan tan f x x x x x -=---=--，则()()f x f x -≠，()()f x f x -≠-，所以，函数()y f x =为非奇非偶函数，排除B 、D 选项；当0,4x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，设()sin tan cos x g x x x x x =-=-，则()2110cos g x x '=->， 所以，函数()y g x =在0,4π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，则()()00g x g >=， 所以，当0,4x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，tan 0x x ->，则2tan x x x >>，即()0f x >，排除C 选项.故选：A. 【点睛】本题考查利用函数的解析式选择函数图象，一般分析函数的定义域、奇偶性、单调性、9．设函数()2sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则下列结论中正确的是（ ）A ．()y f x =的图象关于点,03π⎛⎫⎪⎝⎭对称 B ．()y f x =的图象关于直线3x π=对称C ．()f x 在0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减D ．()f x 在,06π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值为0【答案】C 【解析】计算3f π⎛⎫⎪⎝⎭的值，可判断A 、B 选项的正误；由0,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦计算223x π+的取值范围，利用正弦函数的单调性可判断C 选项的正误；由,06x π⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦计算223x π+的取值范围，利用正弦函数的基本性质可判断D 选项的正误.进而可得出合适的选项. 【详解】()2sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭Q ，4sin 33fππ⎛⎫∴== ⎪⎝⎭A 、B 选项均错误； 当0,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，2242,333x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，所以，函数()y f x =在区间0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，C 选项正确；当,06x π⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，222,333x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，则()min sin 32f x π==，D 选项错误. 故选：C. 【点睛】本题考查正弦型函数基本性质的判断，考查了正弦型函数对称性、单调性与最值的判断，考查推理能力，属于中等题.10．已知四棱锥P ABCD -的顶点都在球O 的球面上，PA ⊥底面ABCD ，1AB AD ==，2BC CD ==，若球O 的表面积为36π，则直线PC 与底面ABCD 所成角的余弦值为（ ）A ．B ．6C ．3D ．3【答案】B【解析】推导出90ABC ADC ∠=∠=o ，可得出四边形ABCD 的外接圆直径为5AC =，并计算出四棱锥的外接球直径为26PC R ==，结合PA ⊥底面ABCD 可得出直线PC 与底面ABCD 所成角为ACP ∠，进而可求得cos ACP ∠的值. 【详解】 如下图所示：AB AD =Q ，BC BD =，AC AC =，ABC ADC ≅∴V V ，ABC ADC ∠=∠∴， 易知A 、B 、C 、D 四点共圆，则180ABC ADC ∠+∠=o ，90ABC ADC ∴∠=∠=o ， 所以，四边形ABCD 的外接圆直径为225AC AB BC =+=设四棱锥P ABCD -的外接球半径为R ，则2436R ππ=，解得3R =，PA ⊥Q 平面ABCD ，()22231PA R AC ∴=-=26PC R ==，直线PC 与底面ABCD 所成的角为ACP ∠， 在Rt PAC △中，5cos 6AC ACP PC ∠==. 故选：B. 【点睛】本题考查直线与平面所成角的余弦值的计算，同时也考查了四棱锥外接球问题的处理，考查推理能力与计算能力，属于中等题.11．已知F 是双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的右焦点，M 是C 的渐近线上一点，且MF x ⊥轴，过F 作直线OM 的平行线交C 的渐近线于点N （O 为坐标原点），若MN ON ⊥，则双曲线C 的离心率是（ ）【答案】A【解析】设点M 为双曲线C 的渐近线by x a=上的一点，根据MF x ⊥轴求出点M 的坐标，结合题意求得点N 的坐标，由MN ON ⊥得出直线MN 和ON 的斜率之积为1-，可得出关于a 、b 、c 的齐次等式，进而可求得双曲线C 的离心率的值. 【详解】设点M 为双曲线C 的渐近线b y x a =上的一点，易知点(),0F c ，所以点,bc M c a ⎛⎫⎪⎝⎭， 直线FN 的方程为()b y x c a =-，联立()b y x c a b y x a ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，解得22c x bc y a ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，则点,22c bc N a ⎛⎫- ⎪⎝⎭， MN ON ⊥Q ，且322MNbc bc b a a k c a c +==-，ON b k a =-，2231MN ON b k k a ∴⋅=-=-， 2213b a ∴=，因此，双曲线C的离心率为c e a ====故选：A. 【点睛】本题考查双曲线离心率的计算，一般要结合题意得出关于a 、b 、c 的齐次等式，考查计算能力，属于中等题. 12．已知2a >，()()xf x e x a x a =-++，有如下结论：①()f x 有两个极值点； ②()f x 有3个零点；③()f x 的所有零点之和等于零. 则正确结论的个数是（ ） A ．0 B ．1C ．2D ．3【答案】D【解析】利用导数分析函数()y f x '=的单调性，结合零点存在定理可判断命题①的正由()0f x =得出xa x e a x +=-，设()xa x x e a xϕ+=--，由()0x ϕ=推导出()0x ϕ-=，由此可判断出命题③的正误.综合可得出结论. 【详解】()()x f x e x a x a =-++Q ，则()()11x f x x a e '=-++，()()2x f x x a e ''=-+.当2x a <-时，()0f x ''<，此时函数()y f x '=单调递减； 当2x a >-时，()0f x ''>，此时函数()y f x '=单调递增.所以，函数()y f x '=的最小值为()()2min 21a f x f a e -''=-=-.2a >Q ，()()2min 210a f x f a e-''∴=-=-<.令()1xg x e x =--，当0x >时，()10xg x e '=->，则函数()y g x =在()0,∞+上单调递增，则()()00g x g >=，所以，当0x >时，1x e x >+.()()1222111101a aa a af a e e e e a +'--=-=->->⋅+Q ，()10a f a e '=+>， 由零点存在定理可知，函数()y f x '=在(),2-∞-a 和()2,a -+∞上各有一个零点， 所以，函数()y f x =有两个极值点，命题①正确；设函数()y f x =的极大值点为1x ，极小值点为2x ，则122x a x <-<，则()()()()121122110110xx f x x a e f x x a e ⎧=-++=⎪⎨=-++=''⎪⎩，所以121211x x x a e x a e --⎧-=--⎨-=--⎩， 函数()y f x =的极大值为()()()()111111112x x f x e x a x a e x a x a x =-++=---+()()11111111122x x x x x e e e x e e x ---=-----+=-+，构造函数()2xx h x ee x -=-+，则()()220x x h x e e -'=-+≤-=，所以，函数()y h x =在R 上单调递减，当0x <时，()()00h x h >=；当0x >时，()()00h x h <=.020f a '=-<Q ，0f x '=，0x ∴<，则0h x >，即0f x >.同理可知，函数()y f x =的极小值为()222220x x f x ee x -=-+<.()121110a a f a e++--=--<Q ，()20f a a =>. 由零点存在定理可知，函数()y f x =在区间()11,a x --、()12,x x 、()2,x a 上各存在一个零点，所以，函数()y f x =有3个零点，命题②正确；令()0f x =，得xa x e a x +=-，()xa x x e a xϕ+=--，则()00ϕ=， 令()0xa x x e a x ϕ+=-=-，则()10x x a x a x x e a x e a xϕ----=-=-=++， 所以，函数()y f x =所有零点之和等于零，命题③正确. 故选：D. 【点睛】本题考查函数的零点、极值点相关命题的判断，利用导数分析函数的单调性是判断的关键，考查推理能力，属于难题.二、填空题13．若x 、y 满足约束条件1030310x y x y x y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪-+≤⎩，则2z x y =-的最小值为______.【答案】2-【解析】作出不等式组所表示的可行域，利用平移直线的方法找出使得2z x y =-取得最小值时对应的最优解，代入目标函数计算即可. 【详解】作出不等式组1030310x y x y x y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪-+≤⎩所表示的可行域如下图所示：联立10310x y x y -+=⎧⎨-+=⎩，解得10x y =-⎧⎨=⎩，即点()1,0A -，平移直线2z x y =-，当该直线经过可行域的顶点A 时，直线2z x y =-在x 轴上的截距最小，此时z 取最小值，即()min 2102z =⨯--=-. 故答案为：2-. 【点睛】本题考查线性规划问题，考查线性目标函数的最值问题，一般利用平移直线的方法找出最优解，考查数形结合思想的应用，属于基础题.14．中国古代的四书是指：《大学》、《中庸》、《论语》、《孟子》，甲、乙、丙、丁4名同学从中各选一书进行研读，已知四人选取的书恰好互不相同，且甲没有选《中庸》，乙和丙都没有选《论语》，则4名同学所有可能的选择有______种. 【答案】10【解析】分两种情况讨论：（1）乙、丙两人中没有一人选《中庸》；（2）乙、丙两人中有一人选《中庸》，利用排列组合思想计算出每种情况下选法种数，利用分类加法计数原理可求得结果. 【详解】分以下两种情况讨论：（1）乙、丙两人中没有一人选《中庸》，则乙、丙两人在《大学》、《孟子》中各选一书，则甲只能选《大学》，丁只能选《论语》，此时选法种数为22A 种；（2）乙、丙两人中有一人选《中庸》，则另一人可在《大学》、《孟子》选择一书，甲、丁两人选书时没有限制，此时选法种数为112222C C A .综上所述，4名同学所有可能的选择种数为2112222210A C C A +=. 故答案为：10. 【点睛】本题考查排列组合中的分配问题，正确将问题进行分类是解答的关键，考查计算能力，属于中等题.15．在数列{}n a 中，已知11a =，1n n a a tn +=+（*n N ∈，t 为非零常数），且1a 、2a 、3a 成等比数列，则n a =______.【答案】222n n -+ 【解析】由1a 、2a 、3a 成等比数列求出非零实数t 的值，再利用累加法可求得n a . 【详解】11a =Q ，1n n a a tn +=+（*n N ∈，t 为非零常数），则211a a t t =+=+，32231a a t t =+=+，由于1a 、2a 、3a 成等比数列，则2213a a a =，即()()21131t t +=⨯+，整理得20t t -=，0t ≠Q ，解得1t =，1n n a a n +∴-=，()()()()()()121321*********n n n n n a a a a a a a a n -+--∴=+-+-++-=++++-=+L L 222n n -+=. 故答案为：222n n -+.【点睛】本题考查利用累加法求数列的通项，同时也考查了利用等比中项的性质求参数，考查计算能力，属于中等题.16．已知F 为抛物线()2:20C y px p =>的焦点，K 为C 的准线与x 轴的交点，点P在抛物线C 上，设KPF α∠=，PKF β∠=，PFK θ∠=，有以下3个结论： ①β的最大值是4π；②tan sin βθ=；③存在点P ，满足2αβ=. 其中正确结论的序号是______. 【答案】①②③【解析】由直线PK 与抛物线相切可求得β的最大值，可判断命题①的正误；利用弦化切的思想和正弦定理边角互化思想可判断命题②的正误；由tan sin βθ=结合2αβ=化简得出34cos cos 10ββ--=，判断该方程在0,3πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时是否有根，由此可判断命题③的正误，综合可得出结论. 【详解】 如下图所示：易知点,02p K ⎛⎫-⎪⎝⎭，可设直线KP 的方程为2p x my =-， 由图形可知，当直线PK 与抛物线相切时，β取最大值，联立222p x my y px⎧=-⎪⎨⎪=⎩，消去x 得2220y mpy p -+=，222440m p p ∆=-=，得1m =±， 此时，直线KP 的斜率为±1，所以，β的最大值为4π，命题①正确； 过点P 作抛物线准线l 的垂线PA ，垂足为点A ，则APK β∠=， 由抛物线的定义可知PA PF =，则cos PA PF PKPKβ==，在KPF V 中，由正弦定理得sin cos sin PF PKββθ==，所以tan sin βθ=，命题②正确； 若存在点P ，使得2αβ=，则3APF βπ∠=<，可得03πβ<<，则1cos 12β<<.由②知()tan sin sin 3sin3sin cos2cos sin 2βθπββββββ==-==+即()()22sin sin cos 22cos sin 4cos 1cos βββββββ=+=-， sin 0β>Q ，则34cos cos 10ββ--=，构造函数()341f x x x =--，则1102f ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，()120f =>，由零点存在定理可知，函数()y f x =在区间1,12⎛⎫⎪⎝⎭上有零点， 所以，关于β的方程34cos cos 10ββ--=在0,3πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时有实数解，命题③正确.因此，正确结论的序号为①②③. 故答案为：①②③. 【点睛】本题考查与抛物线相关命题真假的判断，涉及抛物线定义的应用，考查推理能力与计算能力，属于中等题.三、解答题17．ABC V 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知4a =，ABC V 的面积为 （1）若3A π=，求ABC V 的周长；（2）求sin sin B C 的最大值.【答案】（1）4+（2【解析】（1）利用三角形的面积公式求出bc 的值，然后利用余弦定理求出b c +的值，由此可得出ABC V 的周长；（2）由正弦定理得出22sin sin sin bc A B C a⋅=，再利用三角形的面积公式结合4a =得出sin sin 4AB C ⋅=，进而可求得sin sin B C 的最大值. 【详解】（1）因为13sin 2324ABC S bc A bc ===△，所以8bc =， 由余弦定理得222222cos a b c bc A b c bc =+-=+-，所以()223b c a bc +=+， 又4a =，8bc =，所以()240b c +=，即210b c +=，故ABC V 的周长为4210+； （2）由正弦定理得sin sin sin a b cA B C==， 所以22sin sin sin bc AB C a⋅=，又1sin 232ABC S bc A ==V ，4a =， 所以3sin 3sin sin 44A B C ⋅=≤. 当sin 1A =时，2A π=，此时22216b c a +==，43bc =，即23b =，2c =；或2b =，23c =. 故2A π=时，sin sin B C ⋅取得最大值34. 【点睛】本题考查三角形周长的计算，同时也考查了正弦值之积最值的计算，涉及正弦定理、余弦定理与三角形面积公式的应用，考查计算能力，属于中等题.18．如图，直三棱柱111ABC A B C -的底面为等边三角形，D 、E 分别为AC 、11A C 的中点，点F 在棱1CC 上，且EF BF ⊥.（1）证明：平面BEF ⊥平面BDF ；（2）若4AB =，12C F FC =，求二面角D BE F --的余弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2）23. 【解析】（1）推导出BD ⊥平面11ACC A ，可得出BD EF ⊥，结合EF BF ⊥，利用线面垂直的判定定理可得出EF ⊥平面BDF ，再由面面垂直的判定定理可证得结论成立；（2）由EF ⊥平面BDF 得出EF DF ⊥，利用勾股定理计算出CF 的长，然后以点D 为坐标原点，DB 、DC 、DE 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系D xyz -，利用空间向量法可求出二面角D BE F --的余弦值. 【详解】（1）因为三棱柱111ABC A B C -为直三棱柱，所以1A A ⊥平面ABC ，BD ⊂Q 平面ABC ，1A A BD ∴⊥，因为ABC V 为等边三角形，D 为AC 的中点，所以BD AC ⊥. 又1A A AC A =I ，所以BD ⊥平面11ACC A ，EF ⊂Q 平面11ACC A ，所以BD EF ⊥.又因为EF BF ⊥，BD BF B =I ，所以EF ⊥平面BDF . 又因为EF ⊂平面BEF ，所以平面BEF ⊥平面BDF ； （2）由（1）可知EF ⊥平面BDF ，所以EF DF ⊥.设CF m =，则有2224449m m m +++=，即248m =，得2m =.以D 为坐标原点，DB 、DC 、DE 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系D xyz -，则()0,0,0D ，()23,0,0B ，()0,2,0C ，(0,0,32E ，(0,2F ，设平面BEF 的法向量为(),,m x y z =u r，(23,0,32BE =-u u u r ，(0,2,22EF =-u u u r ，由23320220BE m x z EF m y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-=⎪⎩u u u v vu u u v v ，令3x =可得2z =，2y =，则3,2,2m =u r ， 因为DC ⊥平面BDE ，所以平面BDE 的一个法向量为()0,2,0DC =u u u r，2cos,3m DCm DCm DC⋅<>===u r u u u ru r u u u ru r u u u r，由图形可知，二面角D BE F--的平面角为锐角，所以二面角D BE F--的余弦值为23.【点睛】本题考查面面垂直的证明，同时也考查了利用空间向量法计算二面角的余弦值，考查推理能力与计算能力，属于中等题.19．甲、乙二人进行一场比赛，该比赛采用三局两胜制，即先获得两局胜利者获得该场比赛胜利.在每一局比赛中，都不会出现平局，甲获胜的概率都为()01p p<<.（1）求甲在第一局失利的情况下，反败为胜的概率；（2）若12p=，比赛结束时，设甲获胜局数为X，求其分布列和期望()E X；（3）若甲获得该场比赛胜利的概率大于甲每局获胜的概率，求p的取值范围.【答案】（1）2p；（2）详见解析；（3）1,12⎛⎫⎪⎝⎭.【解析】（1）设:A甲在第一局失利，:B甲获得了比赛的胜利，利用条件概率的概率公式可求得所求事件的概率；（2）根据题意可知随机变量X的可能取值为0、1、2，计算出随机变量X在不同取值下的概率，列出分布列，进而可计算出随机变量X的数学期望；（3）计算出甲获得该场比赛的概率，根据题意得出关于p的不等式，即可解得p的取值范围.【详解】（1）设:A甲在第一局失利，:B甲获得了比赛的胜利，则()()()()2211P AB p pP B A pP A p-===-；（2）由题意可知，随机变量X的可能取值为0、1、2，则()()21014P X p==-=，()()2121114P X C p p==-=，()()21221212P X p C p p==+-=.随机变量X的分布列如下：P141412则()11150124424E X =⨯+⨯+⨯=； （3）甲获得该场比赛胜利的概率为()21221p C p p +-，则()21221p C p p p +->.即22310p p -+<，解得112p <<，所以p 的取值范围是1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭.【点睛】本题考查条件概率的计算，同时也考查了随机变量分布列与数学期望的计算，考查计算能力，属于中等题.20．已知P 是x 轴上的动点（异于原点O ），点Q 在圆22:4O x y +=上，且2PQ =.设线段PQ 的中点为M ，当点P 移动时，记点M 的轨迹为曲线E .（1）求曲线E 的方程；（2）当直线PQ 与圆O 相切于点Q ，且点Q 在第一象限. （ⅰ）求直线OM 的斜率；（ⅱ）直线l 平行OM ，交曲线E 于不同的两点A 、B .线段AB 的中点为N ，直线ON 与曲线E 交于两点C 、D ，证明：NA NB NC ND ⋅=⋅.【答案】（1）()22109x y x +=≠；（2）（ⅰ）13；（ⅱ）证明见解析. 【解析】（1）连接OQ ，设()(),0M x y x ≠，求出点Q 的坐标，然后将点Q 的坐标代入圆O 的方程，化简后可得出曲线E 的方程；（2）（i ）由题意可得出OQ PQ ⊥，再由2OQ PQ ==可判断出OPQ △为等腰直角三角形，可求出点P 、Q 的坐标，并求出点M 的坐标，由此可求出直线OM 的斜率； （ii ）设()11,A x y ，()22,B x y ，直线1:3l y x t =+，将直线l 的方程与曲线E 的方程联立，列出韦达定理，求出点N 的坐标，进而可求得直线ON 的方程，由此可求得点C 、D 的坐标，再利用弦长公式化简可证得结论成立.【详解】（1）连接OQ ，设()(),0M x y x ≠，由2OQ PQ ==，可得2P Q x x =， 由M 为PQ 的中点，则322P QQ x x x x +==，23Q x x ∴=，43P xx =， 4,03x P ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭，则2,23x Q y ⎛⎫⎪⎝⎭，把2,23x Q y ⎛⎫ ⎪⎝⎭代入224x y +=，整理得2219x y +=， 所以曲线E 的方程为()22109x y x +=≠；（2）（ⅰ）当直线PQ 与圆O 相切于点Q ，则OQ PQ ⊥，2OQ PQ ==Q ，则22OP =所以，OPQ △是等腰直角三角形，且4POQ π∠=，又点Q 在第一象限，得()22,0P ，2,2Q.由M 为PQ 的中点，得32222M ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，所以直线OM 的斜率为13； （ⅱ）设()11,A x y ，()22,B x y ，直线1:3l y x t =+， 由221319y x t x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，整理得2226990x tx t ++-=， 由韦达定理得123x x t +=-，212992t x x -=.所以N 点坐标为3,22t t ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则直线ON 方程为13y x =-.由方程组221319y x x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，得22C ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，22D ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，所以()23352222t t NC ND t ⎫⎫⋅=-=-⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭. 又()22121211104449NA NB AB x x x x ⎡⎤⋅==⨯⨯+-⎣⎦()()2225592992182t t t ⎡⎤=--=-⎣⎦， 所以NA NB NC ND ⋅=⋅. 【点睛】本题考查动点轨迹方程的求解，同时也考查了椭圆中有关弦长等式的证明，考查了韦达定理设而不求法的应用，考查计算能力，属于中等题. 21．已知函数()ln 11x f x x +=-，()f x '为()f x 的导函数，()()12f x f x =且12x x <. 证明：（1）()0f x '<； （2）211x x ->.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】（1）求得()()21ln 1x x f x x ---'=，令()1ln g x x x =--，利用导数证明出()0g x <，即可证得结论；（2）由（1）可知函数()y f x =在()0,1，()1,+∞上单调递减，可得1201x x <<<，考查当01x <<时，()()10f x f x +->，可得出()()()1121f x f x f x +>=，再由函数()y f x =在区间()1,+∞上的单调性可证得结论. 【详解】（1）()ln 11x f x x +=-Q ，定义域为()()0,11,⋃+∞，且()()21ln 1x x f x x ---'=，令()1ln g x x x =--，则()22111x g x x x x-=-='. 所以当01x <<时，()0g x '>；当1x >时，()0g x '<.所以，函数()y g x =在区间()0,1上单调递增，在区间()1,+∞上单调递减. 所以()()110g x g ≤=-<，对于函数()y f x =，1x ≠，因此()0f x '<； （2）由（1）得，函数()y f x =在()0,1，()1,+∞上单调递减，所以1201x x <<<.()()()()()()ln 11ln 1ln 1ln 1ln 1111x x x x x x x f x f x x x x x +++---+++-=-=--()()11ln 1ln 111x x x x x x ⎛⎫-+ ⎪+⎝⎭=+--，01x <<. 由（1）得()1ln 1g x x x =--≤-，等号当且仅当1x =时成立， 从而11ln 1x x≤-，即ln 1x x ≤-，等号当且仅当1x =时成立， 又0x >时，111x +>，因此11ln 1x x ⎛⎫+< ⎪⎝⎭， 所以当01x <<时，11ln 101x x x⎛⎫-+ ⎪⎝⎭>-，又()()ln 101x x x +>-， 所以()()()1121f x f x f x +>=，由于函数()y f x =在()1,+∞上单调递减，且111x +>，21>x ，所以211x x >+，故211x x ->.【点睛】本题考查利用导数证明函数不等式，解答的关键在于构造新函数，并通过利用函数的单调性来进行证明，考查推理能力，属于中等题.22．在极坐标系中，圆:4sin C ρθ=，直线:cos 2l ρθ=.以极点O 为坐标原点，以极轴为x 轴的正半轴建立直角坐标系.（1）求圆C 的参数方程，直线l 的直角坐标方程；（2）点A 在圆C 上，AB l ⊥于B ，记OAB V 的面积为S ，求S 的最大值.【答案】（1）2cos :22sin x C y αα=⎧⎨=+⎩（α为参数），:2l x =；（2）3+【解析】（1）利用极坐标方程与普通方程之间的转换关系可将直线l 的极坐标方程转化为直角坐标方程，将圆C 的极坐标方程化为普通方程后，确定圆心和半径，即可得出圆C 的参数方程；（2）设点()2cos ,22sin A αα+，可得点()2,22sin B α+，利用三角恒等变换思想化简三角形的面积公式，再利用正弦函数的有界性可得出S 的最大值.【详解】（1）由题意得cos x ρθ=，所以:2l x =，将圆C 的极坐标方程化为24sin ρρθ=，由222x y ρ=+，sin y ρθ=，所以C 的普通方程为224x y y +=，即()2224x y +-=. 从而C 的参数方程为2cos :22sin x C y αα=⎧⎨=+⎩（α为参数）； （2）设()2cos ,22sin A αα+，02απ<<，则()2,22sin B α+. 所以()()()122sin 21cos 1sin 2S AB ααα=⋅+=-+ ()()2sin 2cos 2cos sin 212sin cos 2sin cos 1αααααααα=--+=-+-+ ()()()222sin cos 2sin cos 1sin cos 114πααααααα⎤⎛⎫=-+-+=-+=-+ ⎪⎥⎝⎭⎦.02απ<<Q ，7444πππα-<-<，当42ππα-=，即34πα=时，S 取得最大值3+【点睛】本题考查极坐标方程、参数方程与普通方程之间的相互转化，同时也考查了利用圆的参数方程求解三角形面积的最值问题，考查三角恒等变换思想以及正弦函数有界性的应用，考查计算能力，属于中等题.23．已知函数()211f x x a x =+---.（1）当1a =时，求不等式()0f x >的解集；（2）是否存在实数a ，使得()f x 的图象与x 轴有唯一的交点？若存在，求a 的值；若不存在，说明理由.【答案】（1）223x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭；（2）存在，实数0a =或2a =-. 【解析】（1）当1a =时，由()0f x >得出12110x x +--->，然后分1x ≤-、11x -<<、1x ≥三种情况解不等式12110x x +--->，综合可得出该不等式的解集；（2）分1a >-、1a <-和1a =-三种情况讨论，将函数()y f x =的解析式表示为分段函数的形式，求出该函数的最小值()max f x ，根据题意得出()max 0f x =，由此可求得实数a 的值.【详解】（1）当1a =时，()0f x >化为12110x x +--->.当1x ≤-时，不等式化为40x ->，无解；当11x -<<时，不等式化为320x ->，解得213x <<； 当1x ≥时，不等式化为20x -+>，解得12x ≤<.所以()0f x >的解集为223xx ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭； （2）存在. 若1a >-，则()3,33,11,1x a x a f x x a a x x a x --<-⎧⎪=+--≤≤⎨⎪-++>⎩.此时函数()y f x =的最大值()1f a =，所以0a =时满足题设；若1a <-，则()3,131,11,x a x f x x a x a x a x a --<⎧⎪=--+≤≤-⎨⎪-++>-⎩.此时函数()y f x =的最大值()12f a =--，所以2a =-时满足题设；若1a =-，则()110f x x =---<，所以1a =-时不满足题设.综上所述，存在实数0a =或2a =-满足题设.【点睛】本题考查绝对值不等式的求解，同时也考查了根据含绝对值函数的零点个数求参数，考查分类讨论思想的应用，属于中等题.。
2020唐山一模理科数学试卷答案
CDCBD ABACB AD二．填空题：13．－2 14．1015．n 2－n ＋2216．①②③三．解答题： 17．解：（1）因为S △ABC ＝ 1 2bc sin A ＝34bc ＝23，所以bc ＝8．由余弦定理得b 2＋c 2－bc ＝a 2，所以(b ＋c )2＝a 2＋3bc ， 又a ＝4，bc ＝8，所以(b ＋c )2＝40，即b ＋c ＝210， 故△ABC 的周长为4＋210． …5分（2）由正弦定理得a sin A ＝b sin B ＝csin C ，所以sin B ·sin C ＝bc sin 2A a 2，又S △ABC ＝ 12bc sin A ＝23，a ＝4， 所以sin B ·sin C ＝3sin A 4≤34．当sin A ＝1时，A ＝ π2，此时b 2＋c 2＝a 2＝16，bc ＝43，即b ＝23，c ＝2；或b ＝2，c ＝23．故A ＝ π 2时，sin B ·sin C 取得最大值34． …12分18．解：（1）因为三棱柱ABC -A 1B 1C 1为直三棱柱，所以A 1A ⊥平面ABC ，从而有A 1A ⊥BD ， 因为△ABC 为等边三角形，D 为AC 的中点，所以BD ⊥AC ． 又A 1A ∩AC ＝A ，所以BD ⊥平面ACC 1A 1，所以BD ⊥EF ． 又因为EF ⊥BF ，BD ∩BF ＝B ，所以EF ⊥平面BDF ． 又因为EF 平面BEF ，所以平面BEF ⊥平面BDF ． …5分 （2）由（1）可知EF ⊥平面BDF ，所以EF ⊥DF ．设CF ＝m ，则有m 2＋4＋4m 2＋4＝9m 2，即4m 2＝8，得m ＝2．以D 为坐标原点，DB ，DC ，DE 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系D －xyz ，则D (0，0，0)，B (23，0，0)，C (0，2，0)，E (0，0，32)，F (0，2，2)，设平面BEF 的法向量为m ＝(x ，y ，z )，BE →＝(－23，0，32)，EF →＝(0，2，－22)，zyxC 1B 1 A 1 FEDC BA唐山市2019—2020学年度高三年级第一次模拟考试理科数学参考答案一．选择题：由⎩⎪⎨⎪⎧BE →·m ＝－23x ＋32z ＝0，EF →·m ＝2y －22z ＝0，解得m ＝(3，2，2)，因为DC ⊥平面BDE ，所以平面BDE 的法向量为DC →＝(0，2，0)， cos 〈m ，DC →〉＝m ·DC →|m ||DC →|＝42×9＝23，所以二面角D －BE －F 的余弦值为23． …12分19．解：（1）设A ：甲在第一局失利，B ：甲获得了比赛的胜利则P (B |A )＝P (AB )P (A )＝(1－p )p 21－p＝p 2． …3分（2）X 的可能取值为0，1，2，则P (X ＝0)＝(1－p )2＝14，P (X ＝1)＝C 12p (1－p )2＝14，P (X ＝2)＝p 2＋C 12(1－p )p 2＝12． X 的分布列如下：则E (X )＝0×14＋1×14＋2×12＝54． …9分（3）甲获得该场比赛胜利的概率为p 2＋C 12(1－p )p 2，则p 2＋C 12(1－p )p 2＞p ，即2p 2－3p ＋1＜0，解得12＜p ＜1．所以p 的取值范围是(12，1)…12分20．解：（1）连接OQ ，设M (x ，y )(x ≠0)，由|OQ |＝|PQ |＝2，由M 为PQ 的中点，得P (4x 3，0)，则Q (2x 3，2y )， 把Q (2x 3，2y )代入x 2＋y 2＝4，整理得x 29＋y 2＝1， 所以曲线E 的方程为x 29＋y 2＝1(x ≠0)．…4分（2）（ⅰ）当直线PQ 与圆O 相切于点Q ，则OQ ⊥PQ ，|OQ |＝|PQ |＝2，则|OP |＝22，又点Q 在第一象限， 得P (22，0)，Q (2，2)．由M 为PQ 的中点，得M (322，22)，所以直线OM 的斜率为 13． …7分（ⅱ）设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线l ：y ＝ 13x ＋t ，由⎩⎨⎧y ＝ 13x ＋t ，x 29＋y 2＝1整理得2x 2＋6tx ＋9t 2－9＝0，x 1＋x 2＝－3t ，x 1x 2＝9t 2－92．所以N 点坐标为(－3t 2， t 2)，直线ON 方程为y ＝－ 13x ， …9分由方程组⎩⎨⎧y ＝－ 13x ，x 29＋y 2＝1得C (－322，22)，D (322，－22)． …10分所以|NC |·|ND |＝103(322－3t 2)·103(322＋3t 2)＝ 52(2－t 2)．又|NA |·|NB |＝ 1 4|AB |2＝ 1 4×109×[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝518[9t 2－2(9t 2－9)]＝ 52(2－t 2)， 所以|NA |·|NB |＝|NC |·|ND |． …12分 21．证明：（1）f '(x )＝－ 1x－ln x (x －1)2，令g (x )＝－ 1 x －ln x ，则g'(x )＝ 1 x 2－ 1x ＝1－xx2．所以当0＜x ＜1时，g'(x )＞0；当x ＞1时，g'(x )＜0； 所以g (x )≤g (1)＝－1＜0． 在f '(x )中x ≠1，因此f '(x )＜0． …4分 （2）由（1）得，f (x )在(0，1)，(1，＋∞)上单调递减，所以0＜x 1＜1＜x 2．f (x ＋1)－f (x )＝ln (x ＋1)＋1x －ln x ＋1x －1＝x ln (x ＋1)－x ln x －1－ln (x ＋1)x (x －1)＝ 1 x －ln (1＋ 1x )1－x ＋ln (x ＋1)x (1－x )，0＜x ＜1． …8分由（1）得g (x )＝－ 1x－ln x ≤－1，等号当且仅当x ＝1时成立，从而ln 1 x ≤ 1x－1，即ln x ≤x －1，等号当且仅当x ＝1时成立，又x ＞0时，1＋ 1 x ＞1，因此ln (1＋ 1 x )＜ 1x，所以当0＜x ＜1时， 1 x －ln (1＋ 1x )1－x ＞0，又ln (x ＋1)x (1－x )＞0，所以当0＜x ＜1时，f (x ＋1)－f (x )＞0，即f (x ＋1)＞f (x )，（1）由题意得x ＝ρcos θ，所以l ：x ＝2，又ρ2＝x 2＋y 2，y ＝ρsin θ，所以C ：x 2＋(y －2)2＝4，从而C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos α，y ＝2＋2sin α，（α为参数）．…4分（2）设A (2cos α，2＋2sin α)，0＜α＜2π，则B (2，2＋2sin α)． 所以S ＝2(1－cos α)(1＋sin α)＝2sin α－2cos α－2cos αsin α＋2 ＝(sin α－cos α)2＋2(sin α－cos α)＋1 ＝(sin α－cos α＋1)2＝[2sin (α－ π4)＋1]2．当α－ π 4＝ π 2，即α＝3π4时，S 取得最大值3＋22．…10分23．解：（1）当a ＝1时，f (x )＞0化为|x ＋1|－2|x －1|－1＞0． 当x ≤－1时，不等式化为x －4＞0，无解；当－1＜x ＜1时，不等式化为3x －2＞0，解得 23＜x ＜1；当x ≥1时，不等式化为－x ＋2＞0，解得1≤x ＜2．所以f (x )＞1的解集为{x | 23＜x ＜2}．…4分（2）存在．若a ＞－1，则f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －a －3，x ＜－a ，3x ＋a －3，－a ≤x ≤1，－x ＋a ＋1，x ＞1．此时f (x )的最大值f (1)＝a ，所以a ＝0时满足题设．若a ＜－1，则f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －a －3，x ＜1，－3x －a ＋1，1≤x ≤－a ，－x ＋a ＋1，x ＞－a ．所以f (x 1＋1)＞f (x 1)＝f (x 2)，由f (x )在(1，＋∞)上单调递减，且x 1＋1＞1，x 2＞1，所以，可得x 2＞x 1＋1，…12分故x 2－x 1＞1．22．解：此时f (x )的最大值f (1)＝－a －2，所以a ＝－2时满足题设．若a ＝－1，则f (x )＝－|x －1|－1＜0，所以a ＝－1时不满足题设．综上所述，存在实数a ＝0或a ＝－2满足题设．…10分。
河北唐山2022高三一模考试-数学理
河北唐山2022高三一模考试-数学理唐山市2020—2020学年度高三年级第一次模拟考试理科数学说明：一、本试卷分为第I 卷和第II 卷.第I 卷为选择题；第II 卷为非选择题，分为必考和选考两部分.二、答题前请认真阅读答题卡上的“注意事项”，按照“注意事项”的规定答题. 三、做选择题时，每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的标号涂黑.如 需改动，用橡皮将原选涂答案擦洁净后，再选涂其他答案.四、考试终止后，将本试卷与原答题卡一并交回第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中， 有且只有一项符合题目要求.(1)设集合A= {1，2},则满足A B={1，2, 3, 4}的集合B 的个数是 (A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 5(2) 若复数)(12R a iia ∈+-为纯虚数，则|3-ai| = (A) 13 (B) 13(C) 10(D) 10(3) 已知22)6cos(),,0(=+∈ππa a ，则 tan2α= (A)33 (B)- 33 (C) 13 (D)- 13. (4)求三个不相等的实数a, b, c 最大值的程序框图如图所示，则空白判定框内应为 (A) a>b? (B) a>c? (C) d>b 或 a>c? (D) a>b 且 a>c?(5)已知向量a, b 满足：(a+2b)•(a －b)=-6,且|a|=1，|b|=2,则 a 与b 的夹角为(A)6π (B) 3π (C) 32π (D) 65π(6)函数)0)(sin()(>+=ωϕωx x f 的图象如图所示，为了得到函数)6cos(ωω+=x y 的图 象，只需将y=f(x )的图象(A)向左平移3π个单位 (B)向右平移3π个单位(C)向左平移6π个单位(D)向心平移6π.个单位(7) 学校打算利用周五下午第一、二、三节课举办语文、数学、英语、理综4科的专题 讲座，每科一节课，每节至少有一科，且数学、理综不安排在同一节，则不同的安 排方法共有(A) 36 种（B) 30 种（C) 24 种（D) 6 种(8)不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥-++-0202201a y ax y x y x 表示的平面区域的面积为. 215，则a=（A)74 (B) 1 (C) 2 (D) 3(9) 如图I,边长为2的d 正方形ABCD 中，E ，F 分别是AB ,BC 的中点，将ΔADE ，ΔCDF ，ΔBEF 折起，使A ，C,B 二点重合于G ,所 得二棱锥G-DEF 的俯视图如图2,则其正视 图的面积为(A)21 (B)32(C) 322 (D)22(10) (10)己知直线l 的斜率为k ,它勾抛物线y 2=4x 相交于A ，B 两点，F 为抛物线的焦点， 若FB AF 2=，则|k|=(A) 22 (B) 3 (C)42(D) (11)x 0函数f (x )=2s i n x —πl n x (x ∈ (O , π))的零点，x 1<x 2,则 ①x 0∈(1,e) ②x 0∈(1,π)： ③f(x1)-f(x2)<0 ④f(x1)-f(x2)>0.其中正确的命题为 (A) ①③ (B) ①④(C) ②③)(D)②④(12)三棱柱ABC-A 1B 1C 1,的底面是正三角形，侧棱垂直于底面，所有棱长差不多上6,则四 面体A 1ABC, B 1ABC, C 1ABC 的公共部分的体积等于(A ) 318 (B ) 312 (C ) 39 (D )36第II 卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填写在题中横线上.(13)不等式4125125>+-x x 的解集为______.(14)双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率26=e 其焦点到渐近线的距离为l ，则C 的方程为_______.(15)1000名考生的数学成绩近似服从正态分布N(100，100)，则成绩在120分以上的考生人数约为________________ .(注：正态总体N(μ,σ2)在区.间(μ-σ, μ+σ), (μ-2σ, μ+2σ) , (μ-3σ, μ+3σ)内取值的概率分别为0.683, 0.954, 0,997)(16)ΔABC 中，角A 、B 、C 所对的边a, b, c 成等差数列，且最大角是最小角的2倍， 则 cos A +cos C=_____.三、解答题：本大题共70分，其中（17) — (2丨）题为必考题，（22)，（23)，（24)题 为选考题.解承诺写出文字说明、证明过程或演算步骤.(17)(本小题满分12分）已知等比数列{a n }满足91,31321=-=a a a ( (I)求{a n }的通项公式； (II)设)1(1...321211++++⨯++⨯+=n n n n n b n ，求数列}{n n a b 的前n 项的和.(18)(本小题满分12分）某公司共冇职工8000名，从中随机抽取了100名，调杏上、下班乘车所用时刻，得 下表：公司规定，按照乘车所用时刻每月发给职工路途补贴，补贴金额Y (元）与乘市时 间t (分钟）的关系是]20[40200t y +=，其中]20[t 表示不超过]20[t的最大整数.以样本频率为概率：(I) 估算公司每月用于路途补贴的费用总额（元)；(II)以样本频率作为概率，求随机选取四名职工,至少冇两名路途补贴超过300 元的概率.(19)(本小题满分12分）如图，四棱锥P-ABCD 的底面是矩形，侧面PAD 丄底面ABCD ，2[π=∠APD(I )求证：平面PAB 丄平面PCD;(II)假如AB=BC, PB=PC,求 二面角B-PC-D 的余弦值.(20)(本小题满分丨2分）已知椭圆C 1：1422=+y x 和动圆)0(:2222>=+r r y x C ，直线l:y=kx+m 与C 1和C 2分别有唯独的公共点A 和B.(I)求r 的取值范畴；(II )求|A B |的最大值，并求现在圆 C 2的方程.(21)(本小题满分12分）己知函数f(x)=(mx + n)e _x 在x=1处取得极值e -1(I )求函数f(x)的解析式，并求f(x)的单调区间；(II )当. ),(+∞∈a x 时，f(2x-a)+f(a)>2f(x ),求 a 的取值范畴.请考生在第（22)，（23), (24)三题中任选一题作答，假如多做，则按所做的第一 题记分.作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑.(22)(本小题满分10分）选修4-1:几何证明选讲如图，直线MN 交圆O 于A ，B 两点，AC 是直径，AD 平分CAM ∠M ，交圆0于点D, 过D 作DE 上MN 于E.(I)求证：DE 是圆O 的切线：(II)若 DE=6，AE=3,求ΔABC 的面积(23)(本小题满分10分）选修4-4:坐标系与参数方程极坐标系与直角坐标系xOy 有相同的长度单位，以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴.己知曲线C 1的极坐标方程为p=4cos θ曲线C 2的参数方程是⎩⎨⎧=+=a t y at m x sin cos （t 为参数，(24)(本小题满分10分）选修4-5:不等式选讲 已知函数f(x)=丨x —a 丨+ |x —1丨，a ∈R. (I )当a=3时，解不等式 4)(≤x f ;(II)当)1,2(-∈x )时，f(x)>|2x-a-1|.求 a 的取值范畴唐山市2020—2020学年度高三年级第一次模拟考试理科数学参考答案一、选择题：A 卷：CAADB CBCBA BD B 卷：BBADC DCCABBA二、填空题： （13）(1，＋∞) （14）x 22－y 2＝1（15）23（16） 7 8三、解答题： （17）解：（Ⅰ）设a n ＝a 1q n －1，依题意，有⎩⎨⎧a 1a 2＝a 21q ＝－ 13，a 3＝a 1q 2＝ 19，解得a 1＝1，q ＝－ 13． …4分因此a n ＝(－ 13)n －1．…5分（Ⅱ）b n ＝n ＋11×2＋n ＋12×3＋…＋n ＋1n(n ＋1)＝(n ＋1)[11×2＋12×3＋…＋1n(n ＋1)]＝(n ＋1)[(1－ 1 2)＋( 1 2－ 1 3)＋…＋( 1 n －1n ＋1)]＝n ．…7分记数列{b na n }的前n 项的和为S n ，则S n ＝1＋2×(－3)＋3×(－3)2＋…＋n ×(－3)n －1， －3S n ＝－3＋2×(－3)2＋3×(－3)3＋…＋n ×(－3)n ， 两式相减，得4S n ＝1＋(－3)＋(－3)2＋…＋(－3)n －1－n ×(－3)n ＝1－(－3)n4－n ×(－3)n， 故S n ＝1－(4n ＋1)(－3)n 16．…12分 （18）解：（Ⅰ）记一名职工所享受的路途补贴为X （元）． X 的可能值为200，240，280，320，360．X 的分布列为X 的均值为E(X)＝200×0.25＋240×0.5＋280×0.15＋(320＋360)×0.05＝246． …5分该公司每月用于路途补贴的费用总额约为 E(8000X)＝8000E(X)＝1968000（元）．…7分（Ⅱ）依题意，当60≤t ≤100时，y ＞300．1名职工中路途补贴超过300元的概率p ＝P(60≤t ≤100)＝0.1， …8分记事件“4名职工中至少有2名路途补贴超过300元”为A ，则 P(A)＝C 24×0.12×0.92＋C 34×0.13×0.9＋0.14＝0.0523． …12分（19）解：（Ⅰ）因为四棱锥P-ABCD 的底面是矩形，因此CD ⊥AD ， 又侧面PAD ⊥底面ABCD ，因此CD ⊥PA ．又∠APD ＝ π2，即PA ⊥PD ，而CD ∩PD ＝D ，因此PA ⊥平面PCD ． 因为PA ⊂平面PAB ，因此平面PAB ⊥平面PCD ．…4分（Ⅱ）如图，以AB 为x 轴，AD 为y 轴建立空间直角坐标系A-xyz ． 设AB ＝2，P(0，a ，b)（a ＞0，b ＞0），则A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(2，2，0)，D(0，2，0)． 由PA ⊥PD ，PA →＝(0，－a ，－b)，PD →＝(0，2－a ，－b)， 得－a(2－a)＋b 2＝0．①因为PB ＝PC ，因此22＋a 2＋b 2＝22＋(2－a)2＋b 2． ② 由①，②得a ＝1，b ＝1．…7分 由（Ⅰ）知，PA→＝(0，－1，－1)是面PCD 的一个法向量．…8分 设面PBC 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z)，则n ·PB →＝0，n ·BC →＝0， 又PB →＝(2，－1，－1)，BC→＝(0，2，0)，因此⎩⎨⎧2x －y －z ＝0，2y ＝0，取n ＝(1，0，2)． …10分因为cos 〈PA →，n 〉＝PA →·n __________|PA →|·|n|＝－105，又二面角B-PC-D 为钝角，因此二面角B-PC-D 的余弦值－105．…12分（20）解：（Ⅰ）由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 2＝1，y ＝kx ＋m ，得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4(m 2－1)＝0．由于l 与C 1有唯独的公共点A ，故Δ1＝64k 2m 2－16(1＋4k 2)(m 2－1)＝0， 从而m 2＝1＋4k 2．① …2分由⎩⎨⎧x 2＋y 2＝r 2，y ＝kx ＋m ，得(1＋k 2)x 2＋2kmx ＋m 2－r 2＝0． 由于l 与C 2有唯独的公共点B ，故Δ2＝4k 2m 2－4(1＋k 2)(m 2－r 2)＝0， 从而m 2＝r 2(1＋k 2)．② …4分由①、②）得k 2＝r 2－14－r 2．由k 2≥0，得1≤r 2＜4，因此r 的取值范畴是[1，2)．…6分（注：由图形直截了当看出r 取值范畴而未做代数推理的只给1分） （Ⅱ）设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，由（Ⅰ）的解答可知 x 1＝－4km 1＋4k 2＝－4k m ，x 2＝－km 1＋k 2＝－kr2m ．|AB|2＝(1＋k 2)(x 2－x 1)2＝(1＋k 2)·k 2(4－r 2)2m 2＝1＋k 2m 2·k 2·(4－r 2)2 ＝1r 2·r 2－14－r 2·(4－r 2)2＝(r 2－1)(4－r 2)r 2， 因此|AB|2＝5－(r 2＋4r 2)（1≤r＜2）．…10分因为r 2＋4r 2≥2×2＝4，当且仅当r ＝2时取等号，因此当r ＝2时，|AB|取最大值1，现在C 2的方程为x 2＋y 2＝2． …12分（21）解：（Ⅰ）f '(x)＝－(mx ＋n －m)e －x ． 依题意，f(1)＝e －1，f '(1)＝0，即⎩⎨⎧(m ＋n)e －1＝e －1，－ne －1＝0，解得m ＝1，n ＝0．因此f(x)＝xe －x． …4分f '(x)＝－(x －1)e －x．当x ∈(－∞，1)时，f '(x)＞0；当x ∈(1，＋∞)时，f '(x)＜0． 函数f(x)在(－∞，1)单调递增；在(1，＋∞)单调递减．…6分（Ⅱ）设g(x)＝f(2x －a)＋f(a)－2f(x)，则g '(x)＝2[f '(2x －a)－f '(x)]． …7分 设h(x)＝f '(x)＝－(x －1)e －x，则h '(x)＝(x －2)e －x． 当x ∈(－∞，2)时，h '(x)＜0，h(x)单调递减； 当x ∈(2，＋∞)时，h '(x)＞0，h(x)单调递增．…8分（1）若a ≥2，则当x ∈(a，＋∞)时，2x －a ＞x ，h(2x －a)＞h(x)，即f '(2x －a)＞2f '(x)， 因此g '(x)＞0，g(x)在(a ，＋∞)单调递增，现在g(x)＞g(a)＝0， 即f(2x －a)＋f(a)－2f(x)＞0．…10分（2）若a ＜2，则当x ∈(a，a+22)时，2x －a ＞x ，h(2x －a)＜h(x)，即f '(2x －a)＜2f '(x)， 因此g '(x)＜0，g(x)在(a ，2)单调递减，现在g(x)＜g(a)＝0．…11分综上，a 的取值范畴是[2，＋∞)．…12分（22）解：（Ⅰ）连结OD ，则OA ＝OD ，因此∠OAD ＝∠ODA ． 因为∠EAD ＝∠OAD ，因此∠ODA ＝∠EAD ．…2分因为∠EAD ＋∠EDA ＝90︒，因此∠EDA ＋∠ODA ＝90︒，即DE ⊥OD． 因此DE 是圆O 的切线．…4分（Ⅱ）因为DE 是圆O 的切线，因此DE 2＝EA ·EB ，即62＝3(3＋AB)，因此AB ＝9． …6分 因为OD ∥MN ， 因此O 到MN 的距离等于D 到MN 的距离，即为6又因为O 为AC 的中点，C 到MN 的距离等于12…8分 故△ABC 的面积S ＝ 12AB ·BC ＝54．…10分ABCDE OM N（23）解：（Ⅰ）依题意，|OA|＝4cosφ，|OB|＝4cos (φ＋ π 4)，|OC|＝4cos (φ－ π4)，…2分则|OB|＋|OC|＝4cos (φ＋ π 4)＋4cos (φ－ π4)＝22(cosφ－sin φ)＋22(cosφ＋sinφ)＝42cosφ， ＝2|OA|．…5分（Ⅱ）当φ＝π12时，B ，C 两点的极坐标分别为(2， π 3)，(23，－ π 6)． 化为直角坐标为B(1，3)，C(3，－3)．…7分C 2是通过点(m ，0)，倾斜角为α的直线， 又通过点B ，C 的直线方程为y ＝－3(x －2)， …9分 因此m ＝2，α＝2π3．…10分（24）解：（Ⅰ）当a ＝3时，f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧4－2x ，x ≤1，2，1≤x ≤3，2x －4，x ≥3．当x ＜2时，由f(x)≤4得4－2x ≤4，解得x ≥0； 当1≤x ≤3时，f(x)≤4恒成立；当x ＞3时，由f(x)≤4得2x －4≤4，解得x ≤4． …4分 因此不等式f(x)≤4的解集为{x|0≤x ≤4}．…5分（Ⅱ）因为f(x)＝|x －a|＋|x －1|≥|x －a ＋x －1|＝|2x －a －1|， 当(x －1)(x －a)≥0时，f(x)＝|2x －a －1|； 当(x －1)(x －a)＜0时，f(x)＞|2x －a －1|．…7分记不等式(x －1)(x －a)＜0的解集为A ，则(－2，1)⊆A ，故a ≤－2， 因此a 的取值范畴是(－∞，－2]．…10分。
河北省唐山市2019-2020学年高考第一次模拟数学试题含解析
河北省唐山市2019-2020学年高考第一次模拟数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．如图，将两个全等等腰直角三角形拼成一个平行四边形ABCD ，将平行四边形ABCD 沿对角线BD 折起，使平面ABD ⊥平面BCD ，则直线AC 与BD 所成角余弦值为（ ）A ．223B ．63C ．33D ．13【答案】C 【解析】 【分析】利用建系，假设AB 长度，表示向量AC u u u r 与BD u u u r，利用向量的夹角公式，可得结果.【详解】由平面ABD ⊥平面BCD ，AB BD ⊥平面ABD ⋂平面BCD BD =，AB Ì平面ABD 所以AB ⊥平面BCD ，又DC ⊂平面BCD 所以AB DC ⊥，又DB DC ⊥所以作z 轴//AB ,建立空间直角坐标系B xyz - 如图设1AB =，所以1,1,2BD DC BC ===所以()()1,1,1,0,1,0AC BD =---u u u r u u u r所以3cos ,33AC BD AC BD AC BD⋅===u u u r u u u ru u u r u u u r u u u r u u u r 故选：C 【点睛】本题考查异面直线所成成角的余弦值，一般采用这两种方法：（1）将两条异面直线作辅助线放到同一个平面，然后利用解三角形知识求解；（2）建系，利用空间向量，属基础题.2．国家统计局服务业调查中心和中国物流与采购联合会发布的2018年10月份至2019年9月份共12个月的中国制造业采购经理指数(PMI)如下图所示.则下列结论中错误的是（ ）A ．12个月的PMI 值不低于50%的频率为13B ．12个月的PMI 值的平均值低于50%C ．12个月的PMI 值的众数为49.4%D ．12个月的PMI 值的中位数为50.3% 【答案】D 【解析】 【分析】根据图形中的信息，可得频率、平均值的估计、众数、中位数，从而得到答案. 【详解】对A ，从图中数据变化看，PMI 值不低于50%的月份有4个，所以12个月的PMI 值不低于50%的频率为41123=，故A 正确； 对B ，由图可以看出，PMI 值的平均值低于50%，故B 正确； 对C ，12个月的PMI 值的众数为49.4%，故C 正确，； 对D ，12个月的PMI 值的中位数为49.6%，故D 错误 故选：D.本题考查频率、平均值的估计、众数、中位数计算，考查数据处理能力，属于基础题.3．双曲线C ：2215x y m-=（0m >），左焦点到渐近线的距离为2，则双曲线C 的渐近线方程为（ ） A ．250x y ±= B．20x ±=C20y ±=D0y ±=【答案】B 【解析】 【分析】0-=，再利用左焦点到渐近线的距离为2，列方程即可求出m ，进而求出渐近线的方程.【详解】设左焦点为(),0c -0-=，由左焦点到渐近线的距离为2，可得2==，所以渐近线方程为y =20x =, 故选：B 【点睛】本题考查双曲线的渐近线的方程，考查了点到直线的距离公式，属于中档题.4．已知排球发球考试规则：每位考生最多可发球三次，若发球成功，则停止发球，否则一直发到3次结束为止．某考生一次发球成功的概率为()01p p <<，发球次数为X ，若X 的数学期望() 1.75E X >，则p 的取值范围为( ) A ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．70,12⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．7,112⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，分别求出()()()123P X P X P X ===，，，再根据离散型随机变量期望公式进行求解即可 【详解】由题可知()1P X p ==，()()21P X p p ==-，()()()()2323111P X p p p p ==-+-=-，则()()()()()()21232131 1.75E X P X P X P X p p p p =====+-+->+2+3 解得5122p p ><或，由()0,1p ∈可得10,2p ⎛∈⎫⎪⎝⎭，答案选A本题考查离散型随机变量期望的求解，易错点为第三次发球分为两种情况：三次都不成功、第三次成功 5．为了研究国民收入在国民之间的分配，避免贫富过分悬殊，美国统计学家劳伦茨提出了著名的劳伦茨曲线，如图所示.劳伦茨曲线为直线OL 时，表示收入完全平等.劳伦茨曲线为折线OKL 时，表示收入完全不平等.记区域A 为不平等区域，a 表示其面积，S 为OKL △的面积，将GiniaS=称为基尼系数.对于下列说法：①Gini 越小，则国民分配越公平；②设劳伦茨曲线对应的函数为()y f x =，则对(0,1)x ∀∈，均有()1f x x >； ③若某国家某年的劳伦茨曲线近似为2([0,1])y x x =∈，则1Gini 4=； ④若某国家某年的劳伦茨曲线近似为3([0,1])y x x =∈，则1Gini 2=. 其中正确的是： A ．①④ B ．②③ C ．①③④ D ．①②④【答案】A 【解析】 【分析】 【详解】对于①，根据基尼系数公式Gini aS=，可得基尼系数越小，不平等区域的面积a 越小，国民分配越公平，所以①正确.对于②，根据劳伦茨曲线为一条凹向横轴的曲线，由图得(0,1)x ∀∈，均有()f x x <，可得()1f x x<，所以②错误.对于③，因为1223100111()d ()|236a x x x x x =-=-=⎰，所以116Gini 132a S ===，所以③错误.对于④，因为1324100111()d ()|244a x x x x x =-=-=⎰，所以114Gini 122a S ===，所以④正确.故选A ． 6．设直线的方程为20()x y m m -+=∈R ，圆的方程为22(1)(1)25x y -+-=，若直线被圆所截得的弦长为m 的取值为 A ．9-或11 B ．7-或11 C ．7-D ．9-【答案】A 【解析】 【分析】 【详解】圆22(1)(1)25x y -+-=的圆心坐标为（1，1），该圆心到直线l 的距离d ，结合弦长公式得=9m =-或11m =，故选A ． 7．已知函数()21x f x x-＝，则不等式121()()x x f e f e ﹣﹣＞的解集是（ ）A ．2,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭B ．2,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C ．(,0)-∞D ．2,3⎛⎫+∞⎪⎝⎭【答案】B 【解析】 【分析】由导数确定函数的单调性，利用函数单调性解不等式即可. 【详解】函数211()x f x x x x -==-，可得21()1f x x '=+，0()x ∈+∞，时，()0f x '＞，()f x 单调递增，∵12100x x e e -->>，， 故不等式121(())xx f ef e >﹣﹣的解集等价于不等式121x x e e >﹣﹣的解集． 121x x ->-．∴23x <． 故选：B ． 【点睛】本题主要考查了利用导数判定函数的单调性，根据单调性解不等式，属于中档题.8．如图所示，在平面直角坐标系xoy 中，F 是椭圆22221(0)x ya b a b+=>>的右焦点，直线2b y =与椭圆A ．63B ．34C ．12D 3【答案】A 【解析】 【分析】联立直线方程与椭圆方程，解得B 和C 的坐标，然后利用向量垂直的坐标表示可得2232c a =，由离心率定义可得结果. 【详解】由222212x y a b b y ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，得322x a b y ⎧=±⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以3,22b B a ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，3,22b C ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭. 由题意知(),0F c ，所以3,2b BF c ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭u u u r ，3,2b CF c a ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭u u u r . 因为90BFC ∠=︒,所以BF CF ⊥,所以22222223333102244442b a c BF CF c a c a c a c a ⎛⎫⎛⎫-⋅=+-+=-+=-= ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭u u u r u u u r .所以2232c a =，所以63c e a ==， 故选：A. 【点睛】本题考查了直线与椭圆的交点，考查了向量垂直的坐标表示，考查了椭圆的离心率公式，属于基础题. 9．已知函数()sin(2019)cos(2019)f x x x ππ=++-的最大值为，若存在实数,m n ，使得对任意实数x 总有()()()f m f x f n ≤≤成立，则M m n ⋅-的最小值为（ ） A ．2019πB ．22019πC ．42019πD ．4038π【答案】B 【解析】 【分析】根据三角函数的两角和差公式得到()f x =2sin(2019)4x π+，进而可以得到函数的最值，区间(m,n)长度要大于等于半个周期，最终得到结果. 【详解】 函数()sin 2019cos 201944f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭)sin 2019cos 2019cos 2019sin 20192x x x x +++)sin 2019cos 20192sin(2019)4x x x π=+=+则函数的最大值为2，2M m n m n ⋅-=-存在实数,m n ，使得对任意实数x 总有()()()f m f x f n ≤≤成立，则区间(m,n)长度要大于等于半个周期，即min 2220192019m n m n ππ-≥∴-=故答案为：B. 【点睛】这个题目考查了三角函数的两角和差的正余弦公式的应用，以及三角函数的图像的性质的应用，题目比较综合.10．已知数列{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，6353a a a +-=，则7S =（ ） A ．42 B ．21C ．7D ．3【答案】B 【解析】 【分析】利用等差数列的性质求出4a 的值，然后利用等差数列求和公式以及等差中项的性质可求出7S 的值. 【详解】由等差数列的性质可得6354553a a a a a a +-=+-=，()1747772732122a a a S +⨯∴===⨯=.【点睛】本题考查等差数列基本性质的应用，同时也考查了等差数列求和，考查计算能力，属于基础题. 11．若复数221a ii++（a R ∈）是纯虚数，则复数22a i +在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】B 【解析】 【分析】 化简复数221a ii++，由它是纯虚数，求得a ，从而确定22a i +对应的点的坐标． 【详解】221a i i ++2()(1)1(1)(1)(1)a i i a a i i i +-==++-+-是纯虚数，则1010a a +=⎧⎨-≠⎩，1a =-， 2222a i i +=-+，对应点为(2,2)-，在第二象限．故选：B ． 【点睛】本题考查复数的除法运算，考查复数的概念与几何意义．本题属于基础题．12．执行如图所示的程序框图，若输入2020m =，520n =，则输出的i =（ ）A ．4B ．5C ．6D ．7【答案】C 【解析】 【分析】根据程序框图程序运算即可得.依程序运算可得：4602520460603460604046040，，，；，，，；，，，；r i m n r i m n r i m n ============205402006，，，；，r i m n r i ======，故选：C 【点睛】本题主要考查了程序框图的计算，解题的关键是理解程序框图运行的过程. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
河北省唐山市高考数学一模试卷(理科)
高考数学一模试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x|x2-x-6≤0}，B={x|y=lg（x-2）}，则A∩B=（）A. ∅B. [-2，2）C. （2，3]D. （3，+∞）2.设复数z满足（1+i）z=2i（其中i为虚数单位），则下列结论正确的是（）A. |z|=2B. z的虚部为iC. z2=2D. z的共轭复数为1-i3.若函数f（x）=，则f（f（10））=（）A. 9B. 1C.D. 04.《算法统宗》中有一图形称为“方五斜七图”，注曰：方五斜七者此乃言其大略矣，内方五尺外方七尺有奇．实际上，这是一种开平方的近似计算，即用7近似表示5，当内方的边长为5时，外方的边长为5，略大于7．如图所示，在外方内随机取一点，则此点取自内方的概率为（）A. B. C. D.5.在等比数列{a n}中，若a6=8a3=8a22，则a n=（）A. a n=2n-1B. a n=2nC. a n=3n-1D. a n=3n6.为计算T=×，设计了如图的程序框图，则在空白框中应填入（）A. W=W×iB. W=W×（i+1）C. W=W×（i+2）D. W=W×（i+3）7.椭圆C：的左、右焦点为F1，F2，过F2垂直于x轴的直线交C于A，B两点，若△AF1B为等边三角形，则椭圆C的离心率为（）A. B. C. D.8.二项式（-3x）6的展开式中的常数项为（）A. -540B. 135C. 270D. 5409.如图，直线2x＋2y－3＝0 经过函数f (x)＝sin(ωx＋φ)（ω＞0，|φ|＜π）图象的最高点M和最低点N，则（）A. ω＝，φ＝B. ω＝π，φ＝0C. ω＝，φ＝－D. ω＝π，φ＝10.已知双曲线C：=1（b＞0），F1，F2分别为C的左、右焦点，过F2的直线l交C的左、右支分别于A，B，且|AF1|=|BF1|，则|AB|=（）A. 4B. 8C. 16D. 3211.设函数f (x)＝ae x－2sin x，x∈ [0，π]有且仅有一个零点，则实数a的值为（）A. B. C. D.12.一个封闭的棱长为2的正方体容器，当水平放置时，如图，水面的高度正好为棱长的一半．若将该正方体任意旋转，则容器里水面的最大高度为（）A. 1B.C.D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知向量=（1，-3），=（m，2），若⊥（+），则m=______．14.若x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值为______．15.在四面体ABCD中，AB=BC=1，AC=，且AD⊥CD，该四面体外接球的表面积为______．16.已知O为坐标原点，圆M：（x+1）2+y2=1，圆N：（x-2）2+y2=4．A，B分别为圆M和圆N上的动点，则S△OAB的最大值为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知数列{a n}的前n项和为S n，且a1+=n+1．（1）求S n，a n；（2）若b n=（-1）n-1•，{b n}的前n项和为T n，求T n．18.如图，△ABC中，AB=BC=4，∠ABC=90°，E，F分别为AB，AC边的中点，以EF为折痕把△AEF折起，使点A到达点P的位置，且PB=BE．（1）证明：BC⊥平面PBE；（2）求平面PBE与平面PCF所成锐二面角的余弦值．19.抛物线C：y2=2px（p＞0），斜率为k的直线l经过点P（-4，0），l与C有公共点A，B，当k=时，A与B重合．（1）求C的方程；（2）若A为PB的中点，求|AB|．20.为了保障全国第四次经济普查顺利进行，国家统计局从东部选择江苏，从中部选择河北、湖北，从西部选择宁夏，从直辖市中选择重庆作为国家综合试点地区，然后再逐级确定普查区域，直到基层的普查小区．在普查过程中首先要进行宣传培训，然后确定对象，最后入户登记．由于种种情况可能会导致入户登记不够顺利，这为正式普查提供了宝贵的试点经验．在某普查小区，共有50家企事业单位，150家个体经营户，普查情况如表所示：（1）写出选择5个国家综合试点地区采用的抽样方法；（2）根据列联表判断是否有90%的把握认为“此普查小区的入户登记是否顺利与普查对象的类别有关”；（3）以频率作为概率，某普查小组从该小区随机选择1家企事业单位，3家个体经营户作为普查对象，入户登记顺利的对象数记为X，写出X的分布列，并求X的期望值．附：K2=21.已知函数f（x）=ax-，a∈R．（1）若f（x）≥0，求a的取值范围；（2）若y=f（x）的图象与y=a相切，求a的值．22.在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（其中t为参数，0＜α＜π）．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=4cosθ．（1）求l和C的直角坐标方程；（2）若l与C相交于A，B两点，且|AB|=8，求α．23.已知a，b是正实数，且a+b=2，证明：（1）+≤2；（2）（a+b3）（a3+b）≥4．答案和解析1.【答案】C【解析】解：A={x|-2≤x≤3}，B={x|x＞2}；∴A∩B=（2，3]．故选：C．可求出集合A，B，然后进行交集的运算即可．考查描述法、区间的定义，一元二次不等式的解法，对数函数的定义域，以及交集的运算．2.【答案】D【解析】解：由（1+i）z=2i，得z=，∴|z|=，z的虚部为1，z2=（1+i）2=2i，z的共轭复数为1-i．∴正确的是D．故选：D．把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简，然后逐一核对四个选项得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3.【答案】B【解析】解：∵函数f（x）=，∴f（10）=lg10=1，f（f（10））=f（1）=101-1=1．故选：B．推导出f（10）=lg10=1，从而f（f（10））=f（1），由此能求出结果．本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．4.【答案】A【解析】解：由题意可得S内方=25，S外方=50，则外方内随机取一点，则此点取自内方的概率为=，故选：A．由题意可得S内方=25，S外方=50，根据概率公式计算即可．本题考查了几何概型的概率公式，属于基础题．5.【答案】A【解析】【分析】本题考查了等比数列通项公式，考查了运算能力，属于基础题．根据等比数列的通项公式即可求出．【解答】解：若a6=8a3=8a22，∴a2q4=8a2q=8a22，∴a2=q，q3=8，即q=2，a1=1，∴a n=1×2n-1=2n-1，故选：A．6.【答案】C【解析】解：每个分式的分母比分子多2，即W=W×（i+2），故选：C．根据程序的功能，寻找分子与分母之间的关系进行求解即可．本题主要考查程序框图的识别和应用，根据分式特点是解决本题的关键．7.【答案】D【解析】【分析】本题考查椭圆的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力，属于基础题．【解答】解：椭圆C：的左、右焦点为F1，F2，过F2垂直于x轴的直线交C于A，B两点，若△AF1B为等边三角形，可得2c=，所以：2ac=（a2-c2），即：e2+2e-=0，∵e∈（0，1），解得e=．故选：D．8.【答案】B【解析】解：二项式（-3x）6的展开式的通项公式为T r+1=•（-3）r•，令=0，求得r=2，可得展开式中的常数项为•9=135，故选：B．在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于0，求出r的值，即可求得常数项．本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．9.【答案】A【解析】【分析】本题着重考查了由y=A sin（ωx+φ）的部分图象信息确定其解析式，属于中档题．由M．N 分别是图象的最高点和最低点得M．N的纵坐标为1和-1，带入直线得横坐标，就可以得到f（x）的半个周期长，从而得到ω的值．把M点代入f（x）得到φ的值．【解答】解：因为M．N分别是图象的最高点和最低点得M．N的纵坐标为1和-1，带入直线2x+2y-3=0得M．N横坐标为和，故M（，1）．N（，-1）．得==2，故T=4=，故ω=．M代入f（x）得1=sin（φ），故φ=2kπ+，所以φ=2kπ+，k∈Z．因为|φ|＜π，所以φ=，故选A．10.【答案】C【解析】解：由双曲线C：=1（b＞0）可得a=4，设|AF1|=|BF1|=m，由双曲线的定义可得|AF2|=|AF1|+2a=2a+m，|BF2|=|BF1|-2a=m-2a，可得|AB|=|AF2|-|BF2|=2a+m-（m-2a）=4a=16．故选：C．求得双曲线的a=4，设|AF1|=|BF1|=m，运用双曲线的定义可得|AB|=4a，即可得到所求值．本题考查双曲线的定义、方程和性质，考查定义法的运用，以及数形结合思想，考查运算能力，属于基础题．11.【答案】B【解析】【分析】本题考查了函数的零点与函数图象的交点问题及利用导数研究函数的图象，属中档题. 函数f（x）=ae x-2sin x，x∈[0，π]有且仅有一个零点等价于a=，x∈[0，π]有且仅有一个解，即直线y=a与g（x）=，x∈[0，π]的图象只有一个交点．【解答】解：函数f（x）=ae x-2sin x，x∈[0，π]有且仅有一个零点等价于a=，x∈[0，π]有且仅有一个解，即直线y=a与g（x）=，x∈[0，π]的图象只有一个交点，设g（x）=，x∈[0，π]，则g′（x）=，当0≤x时，g′（x）＞0，当＜x≤π时，g′（x）＜0，即g（x）在[0，）为增函数，在（，π]为减函数，又g（0）=0，g（π）=0，g（）=，则可得实数a的值为，故选B．12.【答案】C【解析】解：正方体的对角线长为2，故当正方体旋转的新位置的最大高度为2，又因为水的体积是正方体体积的一半，∴容器里水面的最大高度为对角线的一半，即最大液面高度为．故选：C．根据水的体积为容器体积的一半可知液面高度为物体新位置高度的一半．本题考查了几何体的体积计算，属于基础题．13.【答案】-4【解析】解：；∵；∴；∴m=-4．故答案为：-4．可求出，根据即可得出，进行数量积的坐标运算即可求出m的值．考查向量垂直的充要条件，以及向量加法和数量积的坐标运算．14.【答案】7【解析】解：画出x，y满足约束条件的平面区域，如图示：由，解得A（2，3），由z=2x+y得：y=-2x+z，平移直线y=-2x，显然直线过A（2，3）时，z最大，z的最大值是7，故答案为：7．画出满足条件的平面区域，求出角点的坐标，结合函数图象求出z的最大值即可．本题考查了简单的线性规划问题，考查数形结合思想，是一道中档题．15.【答案】2π【解析】解：如图，∵AB=BC=1，AC=，∴AB⊥BC，又AD⊥CD，∴AC中点即为外接球球心，半径为，∴=2π．故答案为：2π．易得∠ABC，∠ADC为直角，利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，可得外接球半径．此题考查了三棱锥外接球问题，难度不大．16.【答案】【解析】解：如图以ON为直径画圆，延长AO交新圆于E，BO交新圆于F点，连接FE，NF，则NF与OB垂直，又NB=NO，F为BO的中点，由对称性可得OA=OE，由S△ABO=OA•OB sin∠AOB，S△EBO=OE•OB sin（π-∠AOB）=OE•OB sin∠AOB，可得S△ABO=S△EAO=2S△EFO，当S△EFO最大时，S△ABO最大，故转化为在半径为1的圆内接三角形OEF的面积的最大值，由圆内接三角形A'B'C'的面积S=a'b'sin C'，a'=2sin A'，b'=2sin B'，S=2sin A'sin B'sin C'≤2（）3，由f（x）=sin x，x∈[0，π]，为凸函数，可得≤sin=sin=，当且仅当A'=B'=C'=时，取得等号，可得2（）3≤2•=．即三角形OEF的面积的最大值为．进而得到S△ABO最大值为2•=，故答案为：．以ON为直径画圆，延长AO交新圆于E，BO交新圆于F点，连接FE，NF，推得F为BO的中点，由对称性可得OA=OE，由三角形的面积公式推得，可得S△ABO=S△EAO=2S△EFO，当S△EFO最大时，S△ABO最大，故转化为在半径为1的圆内接三角形OEF的面积的最大值，运用三角形的面积公式和凸函数的性质，计算可得所求最大值．本题主要考查了圆内接三角形面积最大值的求法，考查了解析几何中的对称思想以及等价转化思想，用不等式求最值是难点，属于难题．17.【答案】解：（1）令n=1，得a1+=2，（+2）（-1）=0，得a1=1，所以=n，即S n=n2．当n≥2时，a n=S n-S n-1=2n-1，当n=1时，a1=1适合上式，所以a n=2n-1．（2）b n=（-1）n-1•=（-1）n-1•=（-1）n-1•（+）当n为偶数时，T n=b1+b2+…+b n=（+）-（+）+（+）-（+）+…-（+）=1-=，当n为奇数时，T n=b1+b2+…+b n=（+）-（+）+（+）-（+）+…+（+）=1+=，综上所述，T n=另解：T n=b1+b2+…+b n=（+）-（+）+（+）-（+）+…+（-1）n-1•（+）=1+（-1）n-1•=．【解析】本题考查数列的递推关系式以及数列求和的方法，考查转化思想以及计算能力,属于一般题.（1）利用数列的递推关系式，通过a n=S n-S n-1求解数列的通项公式．（2）化简b n=（-1）n-1•（+），通过当n为偶数时，当n为奇数时，分别求解数列的和即可．另解：T n=b1+b2+…+b n通过裂项消项法，求解即可．18.【答案】（1）证明：∵E，F分别为AB，AC边的中点，∴EF∥BC，∵∠ABC=90°，∴EF⊥BE，EF⊥PE，又∵BE∩PE=E，BE、PE平面PBE，∴EF⊥平面PBE，∴BC⊥平面PBE；（2）解：取BE的中点O，连接PO，由（1）知BC⊥平面PBE，BC⊂平面BCFE，∴平面PBE⊥平面BCFE，∵PB=BE=PE，∴PO⊥BE，又∵PO⊂平面PBE，平面PBE∩平面BCFE=BE，∴PO⊥平面BCFE，过O作OM∥BC交CF于M，分别以OB，OM，OP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则P（0，0，），C（1，4，0），F（-1，2，0）．=（1，4，-），=（-1，2，-），设平面PCF的法向量为=（x，y，z），由，取y=1，得=（-1，1，），由图可知=（0，1，0）为平面PBE的一个法向量，∴cos⟨⟩=，∴平面PBE与平面PCF所成锐二面角的余弦值．【解析】本题考查直线与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用空间向量求解二面角，是中档题．（1）由E，F分别为AB，AC边的中点，可得EF∥BC，由已知结合线面垂直的判定可得EF⊥平面PBE，从而得到BC⊥平面PBE；（2）取BE的中点O，连接PO，由已知证明PO⊥平面BCFE，过O作OM∥BC交CF 于M，分别以OB，OM，OP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，分别求出平面PCF与平面PBE的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得平面PBE与平面PCF所成锐二面角的余弦值．19.【答案】解：（1）当k=时，直线l：y=（x+4）即x-2y+4=0，此时直线l与抛物线C相切，由，得y2-4py+8p=0，由△=0即16p2-32p=0，解得p=2，∴C的方程为y2=4x，（2）直线l：y=k（x+4），k≠0，设A（x1，y1），B（x2，y2），由可得y2-y+16=0，∴y1+y2=，y1y2=16，又A为PB的中点，可得y1=y2，解得k2=，∴|AB|=•==2．【解析】（1）当k=时，可得直线l的方程，联立方程组，根据判别式即可求出p的值，可得抛物线的方程，（2）直线l：y=k（x+4），k≠0，设A（x1，y1），B（x2，y2），由可得y2-y+16=0，根据韦达定理和弦长公式即可求出．本题考查直线与抛物线的位置关系的应用，韦达定理和弦长公式，转化思想以及计算能力是，属于中档题．20.【答案】解：（1）分层抽样，简单随机抽样（抽签亦可）．…（2分）（2）将列联表中的数据代入公式计算得K2==≈3.175＞2.706，所以，有90%的把握认为“此普查小区的入户登记是否顺利与普查对象的类别有关”．…（6分）（3）以频率作为概率，从该小区随机选择1家企事业单位作为普查对象，入户登记顺利的概率为，随机选择1家个体经营户作为普查对象，入户登记顺利的概率为．X可取0，1，2，3，4．P（X=0）=×（）3=，P（X=1）=×（）3+×C31××（）2=，P（X=2）=×C31××（）2+×C32×（）2×=，P（X=3）=×C32×（）2×+×（）3=，P（X=4）=×（）3=．E（X）=0×+1×+2×+3×+4×=．…（12分）【解析】（1）真假判断抽样的方法即可．（2）利用联列表求出k2，然后判断即可．（3）推出X可取0，1，2，3，4．求解概率，然后求解分布列，得到期望即可．本题考查离散型随机变量的期望以及分布列，独立检验思想的应用，考查计算能力．21.【答案】解：（1）由f（x）≥0得ax-≥0，从而ax≥，即a≥，设g（x）=，则g′（x）=，（x＞0）所以0＜x＜时，g′（x）＞0，g（x）单调递增；x＞时，g′（x）＜0，g（x）单调递减，所以当x=时，g（x）取得最大值g（）=，故a的取值范围是a≥；（2）设y=f（x）的图象与y=a相切于点（t，a），依题意可得因为f′（x）=a-，所以，消去a可得t-1-（2t-1）ln t=0．令h（t）=t-1-（2t-1）ln t，则h′（t）=1-（2t-1）•-2ln t=-2ln t-1，显然h′（t）在（0，+∞）上单调递减，且h′（1）=0，所以0＜t＜1时，h′（t）＞0，h（t）单调递增；t＞1时，h′（t）＜0，h（t）单调递减，所以当且仅当t=1时h（t）=0．故a=1．【解析】（1）由题意可得a≥，设g（x）=，求得导数和单调性、极值和最值，即可得到所求范围；（2）设y=f（x）的图象与y=a相切于点（t，a），求得f（x）的导数，可得切线的斜率和切点满足曲线方程，解方程即可得到所求值．本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调性、极值和最值，考查方程思想和运算能力、推理能力，属于中档题．22.【答案】解：（ 1）直线l的参数方程为（其中t为参数，0＜α＜π）．①当时，直线的方程为x=1．②当α≠时，直线的方程为：y=tan α（x-1）．曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=4cosθ，转换为直角坐标方程为：y2=4x．（ 2）将直线l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程得：sin2αt2=4（1+t cosα），整理得：sin2αt2-4cosαt-4=0，（t1和t2为A、B对应的参数）所以：，．由于|AB|==8解得：因为 0＜α＜π，所以：．【解析】（1）直接利用参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换求出结果．（2）利用直线和曲线的位置关系的应用建立一元二次方程根和系数关系的应用求出三角函数的值，进一步求出结果．本题考查的知识要点：参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．23.【答案】证明：（1）∵a，b是正实数，∴a+b≥2，∴≤1，∴（+）2=a+b+2≤4，∴+≤2，当且仅当a=b=1时，取“=”．（2）∵a2+b2≥2ab，∴2（a2+b2）≥a2+b2+2ab=（a+b）2=4，∴a2+b2≥2，∴（a+b3）（a3+b）=a4+b4+a3b3+ab≥a4+b4+2a2b2=（a2+b2） 2≥4，当且仅当a=b=1时，取“=”.【解析】本题考查不等式的证明，综合法的应用，基本不等式的应用，是基本知识的考查．（1）利用基本不等式证明即可．（2）利用综合法，通过基本不等式证明即可．。
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2020年河北省唐山市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求．1．设A，B是全集I={1，2，3，4}的子集，A={l，2}，则满足A⊆B的B的个数是（）A．5 B．4 C．3 D．22．复数的虚部为（）A．B．C．﹣D．﹣3．已知向量，满足•（﹣）=2，且||=1，||=2，则与的夹角为（）A．B．C． D．4．（x﹣2y）6的展开式中，x4y2的系数为（）A．15 B．﹣15 C．60 D．﹣605．A（，1）为抛物线x2=2py（p＞0）上一点，则A到其焦点F的距离为（）A．B． +C．2 D． +16．执行如图的程序框图，输出S的值为（）A．ln4 B．ln5 C．ln 5﹣ln4 D．ln 4﹣ln 37．若x，y满足不等式组，则的最大值是（）A．B．1 C．2 D．38．S n为等比数列{a n}的前n项和，满足a l=l，S n+2=4S n+3，则{a n}的公比为（）A．﹣3 B．2 C．2或﹣3 D．2或﹣29．己知A（x1，0），B（x2，1）在函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0）的图象上，|x1﹣x2|的最小值，则ω=（）A．B．C．l D．10．某几何体的三视图如图所示．则其体积积为（）A．8πB．C．9πD．11．F为双曲线Г：﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点，若Г上存在一点P使得△OPF为等边三角形（O为坐标原点），则Г的离心率e为（）A．B．C．D．212．数列{a n}的通项公式为a n=，关于{a n}有如下命题：①{a n}为先减后增数列；②{a n}为递减数列；③∀n∈N*，a n＞e；④∃n∈N*，a n＜e其中正确命题的序号为（）A．①③B．①④C．②③D．②④二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填写在题中横线上．13．在等差数列{a n}中，a4=﹣2，且a l+a2+…+a10=65，则公差d的值是________．14．1000名考生的某次成绩近似服从正态分布N，则成绩在630分以上的考生人数约为________．（注：正态总体N（μ，σ2）在区间（μ﹣σ，μ+σ），（μ﹣2σ，μ+σ），（μ﹣3σ，μ+3σ）内取值的概率分别为0.683，0.954，0.997）15．已知f（x）为奇函数，函数g（x）与f（x）的图象关于直线y=x+1对称．若g（1）=4．则f（﹣3）=________．16．一个几何体由八个面围成，每面都是正三角形，有四个顶点在同一平面内且为正方形，从该几何体的12条棱所在直线中任取2条，所成角为60°的直线共有________对．三、解答题：本大题共70分，其中（17）-（21）题为必考题，（22），（23），（24）题为选考题．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．在如图所示的四边形ABCD中，∠BAD=90°，∠BCD=120°，∠BAC=60°，AC=2，记∠ABC=θ．（Ⅰ）求用含θ的代数式表示DC；（Ⅱ）求△BCD面积S的最小值．18．如图，直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的棱长均为2，∠BAD=60°，M为BB1的中点，O l 为上底面对角线的交点．（Ⅰ）求证：O1M⊥平面ACM；（Ⅱ）求AD1与平面ADM所成角的正弦值．19．某商场举行优惠促销活动，顾客仅可以从以下两种优惠方案中选择一种，方案一：每满200元减50元：方案二：每满200元可抽奖一次．具体规则是依次从装有3个红球、1个白球的甲箱，装有2个红球、2个白球的乙箱，以及装有1个红球、3个白球的丙箱中各随机摸出1个球，所得结果和享受的优惠如下表：（注：所有小球仅颜色有区别）红球个数 3 2 1 0实际付款半价7折8折原价（Ⅰ）若两个顾客都选择方案二，各抽奖一次，求至少一个人获得半价优惠的概率；（Ⅱ）若某顾客购物金额为320元，用所学概率知识比较哪一种方案更划算？20．在△ABC中，A（﹣1，0），B（1，0），若△ABC的重心G和垂心H满足GH平行于x轴（G．H不重合），（I）求动点C的轨迹Γ的方程；（II）已知O为坐标原点，若直线AC与以O为圆心，以|OH|为半径的圆相切，求此时直线AC的方程．21．函数f（x）=2x﹣e x+1．（1）求f（x）的最大值；（2）已知x∈（0，1），af（x）＜tanx，求a的取值范围．四.请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分．作答时用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，AB与圆O相切于点B，CD为圆O上两点，延长AD交圆O于点E，BF∥CD 且交ED于点F（I）证明：△BCE∽△FDB；（Ⅱ）若BE为圆O的直径，∠EBF=∠CBD，BF=2，求AD•ED．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．半圆C （圆心为点C）的极坐标方程为ρ=2sinθ，θ∈（，）．（Ⅰ）求半圆C的参数方程；（Ⅱ）直线l与两坐标轴的交点分别为A，B，其中A（0，﹣2），点D在半圆C上，且直线CD的倾斜角是直线l倾斜角的2倍，若△ABD的面积为4，求点D的直角坐标．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x+1|﹣a|x﹣l|．（Ⅰ）当a=﹣2时，解不等式f（x）＞5；（Ⅱ）若（x）≤a|x+3|，求a的最小值．2020年河北省唐山市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求．1．设A，B是全集I={1，2，3，4}的子集，A={l，2}，则满足A⊆B的B的个数是（）A．5 B．4 C．3 D．2【考点】集合的包含关系判断及应用．【分析】由题意可知：集合B中至少含有元素1，2，即可得出．【解答】解：A，B是全集I={1，2，3，4}的子集，A={l，2}，则满足A⊆B的B为：{1，2}，{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，3，4}．故选：B．2．复数的虚部为（）A．B．C．﹣D．﹣【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简复数，则答案可求．【解答】解：由=，则复数的虚部为：．故选：A．3．已知向量，满足•（﹣）=2，且||=1，||=2，则与的夹角为（）A．B．C． D．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】求出，代入向量的夹角公式即可．【解答】解：∵•（﹣）=．∴==﹣1．∴cos＜＞=．∴＜＞=．故选D．4．（x﹣2y）6的展开式中，x4y2的系数为（）A．15 B．﹣15 C．60 D．﹣60【考点】二项式系数的性质．【分析】根据二项式展开式的通项公式，利用展开式中x4y2，即可求出对应的系数．【解答】解：（x﹣2y）6展开式的通项公式为T r+1=•x6﹣r•（﹣2y）r，令r=2，得T3=•x4•（﹣2y）2=60x4y2，所以x4y2的系数为60．故选：C．5．A（，1）为抛物线x2=2py（p＞0）上一点，则A到其焦点F的距离为（）A．B． +C．2 D． +1【考点】抛物线的简单性质．【分析】把A代入抛物线方程解出p，得到抛物线的准线方程，则A到焦点的距离等于A 到准线的距离．【解答】解：把A（，1）代入抛物线方程得：2=2p，∴p=1．∴抛物线的焦点为F（0，）．∴抛物线的准线方程为y=﹣．∴A到准线的距离为1+=．∴AF=．故选：A．6．执行如图的程序框图，输出S的值为（）A．ln4 B．ln5 C．ln 5﹣ln4 D．ln 4﹣ln 3【考点】程序框图．【分析】首先分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算并输出变量S的值，模拟程序的运行，运行过程中各变量的值进行分析，不难得到输出结果．【解答】解：模拟执行程序框图，可得i=1，S=0满足条件i＜4，S=∫xdx=lnx|=ln2﹣ln1，i=2满足条件i＜4，S=ln2﹣ln1+ln3﹣ln2=ln3﹣ln1，i=3满足条件i＜4，S=ln3﹣ln1+ln4﹣ln3=ln4﹣ln1=ln4，i=4不满足条件i＜4，退出循环，输出S的值为：ln4．故选：A．7．若x，y满足不等式组，则的最大值是（）A．B．1 C．2 D．3【考点】简单线性规划．【分析】由题意作平面区域，而的几何意义是阴影内的点（x，y）与原点的连线的斜率，从而求得．【解答】解：由题意作平面区域如下，，的几何意义是阴影内的点（x，y）与原点的连线的斜率，结合图象可知，过点A（1，2）时有最大值，此时==2，故选：C．8．S n为等比数列{a n}的前n项和，满足a l=l，S n+2=4S n+3，则{a n}的公比为（）A．﹣3 B．2 C．2或﹣3 D．2或﹣2【考点】等比数列的前n项和．【分析】利用等比数列的前n项和公式得到S3=4a1+3，由此能求出{a n}的公比．【解答】解：∵S n为等比数列{a n}的前n项和，满足a l=l，S n+2=4S n+3，∴S3=4a1+3，=4a1+3，即=7，∴q2+q﹣6=0，解得q=2或q=﹣3．故选：C．9．己知A（x1，0），B（x2，1）在函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0）的图象上，|x1﹣x2|的最小值，则ω=（）A．B．C．l D．【考点】正弦函数的图象．【分析】根据题意得出函数f（x）的周期是T=12×，进而可得答案．【解答】解：∵A（x1，0），B（x2，1）在函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0）的图象上，且|x1﹣x2|的最小值为，故=，解得：T=3π，又ω＞0，故ω==，故选：D．10．某几何体的三视图如图所示．则其体积积为（）A．8πB．C．9πD．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】几何体为两个尖头圆柱的组合体．它们可以组合成高为8的圆柱．【解答】解：由三视图可知几何体为两个尖头圆柱的组合体，它们可以组成高为8的圆柱，圆柱的底面半径为1，所以几何体的体积为π×12×8=8π．故选A．11．F为双曲线Г：﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点，若Г上存在一点P使得△OPF为等边三角形（O为坐标原点），则Г的离心率e为（）A．B．C．D．2【考点】双曲线的简单性质．【分析】先确定等边三角形的边长和点P横坐标，求出点P到右准线的距离d，利用双曲线定义解出离心率e．【解答】解：不妨设F为右焦点，△OPF（O为坐标原点）为等边三角形，故点P横坐标为，∴点P到右准线的距离d=﹣=，△OPF边长为c，∴e==∵e＞1，∴e=+1，故选：C12．数列{a n}的通项公式为a n=，关于{a n}有如下命题：①{a n}为先减后增数列；②{a n}为递减数列；③∀n∈N*，a n＞e；④∃n∈N*，a n＜e其中正确命题的序号为（）A．①③B．①④C．②③D．②④【考点】数列的函数特性．【分析】数列{a n}的通项公式为a n=，可得此数列为单调递减有下界e数列，即可得出．【解答】解：数列{a n}的通项公式为a n=，∴a n＞0，=•，可得：a1＞a2＞a3…．关于{a n}有如下命题：①{a n}为先减后增数列，不正确；②{a n}为递减数列，正确；由于a n=e，③∀n∈N*，a n＞e，正确；④∃n∈N*，a n＜e，不正确．故正确答案为：②③．故选：C．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填写在题中横线上．13．在等差数列{a n}中，a4=﹣2，且a l+a2+…+a10=65，则公差d的值是．【考点】等差数列的通项公式．【分析】利用等差数列的通项公式及其前n项和公式即可得出．【解答】解：在等差数列{a n}中，a4=﹣2，且a l+a2+…+a10=65，∴a1+3d=﹣2，10a1+d=65，解得d=．故答案为：．14．1000名考生的某次成绩近似服从正态分布N，则成绩在630分以上的考生人数约为23．（注：正态总体N（μ，σ2）在区间（μ﹣σ，μ+σ），（μ﹣2σ，μ+σ），（μ﹣3σ，μ+3σ）内取值的概率分别为0.683，0.954，0.997）【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【分析】根据正态分布，求出μ=530，σ=50，在区间的概率为0.954，由此可求成绩在630分以上的考生人数．【解答】解：由题意，μ=530，σ=50，在区间的概率为0.954．∴成绩在630分以上的概率为=0.023．∴成绩在120分以上的考生人数约为1000×0.023=23．故答案为：23．15．已知f（x）为奇函数，函数g（x）与f（x）的图象关于直线y=x+1对称．若g（1）=4．则f（﹣3）=﹣2．【考点】函数奇偶性的性质．【分析】求出（1，4）关于直线y=x+1的对称点，代入f（x），利用f（x）的奇偶性得出．【解答】解：设A（1，4），A关于直线y=x+1的对称点为A'（a，b）．则，解得．∵函数g（x）与f（x）的图象关于直线y=x+1对称，g（1）=4，∴f（3）=2，∵f（x）为奇函数，∴f（﹣3）=﹣2．故答案为﹣2．16．一个几何体由八个面围成，每面都是正三角形，有四个顶点在同一平面内且为正方形，从该几何体的12条棱所在直线中任取2条，所成角为60°的直线共有48对．【考点】计数原理的应用．【分析】作出图形，即可得出结论．【解答】解：如图所示，由题意，AB与AE，BE，BC，AC，CF，CD，ED，EF所成角为60°，共8对，每条棱有八对，12条棱共有：12乘以8再除以2=48对，故答案为：48．三、解答题：本大题共70分，其中（17）-（21）题为必考题，（22），（23），（24）题为选考题．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．在如图所示的四边形ABCD中，∠BAD=90°，∠BCD=120°，∠BAC=60°，AC=2，记∠ABC=θ．（Ⅰ）求用含θ的代数式表示DC；（Ⅱ）求△BCD面积S的最小值．【考点】正弦定理；余弦定理．【分析】（I）在△ADC中，使用正弦定理解出DC；（II）在△ABC中，使用正弦定理解出BC，代入三角形的面积公式计算．【解答】解：（Ⅰ）在△ADC中，∠ADC=360°﹣90°﹣120°﹣θ=150°﹣θ，由正弦定理可得=，即=，于是：DC=．（Ⅱ）在△ABC中，由正弦定理得=，即BC=，由（Ⅰ）知：DC=，∴S====．故θ=75°时，S取得最小值6﹣3．18．如图，直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的棱长均为2，∠BAD=60°，M为BB1的中点，O l 为上底面对角线的交点．（Ⅰ）求证：O1M⊥平面ACM；（Ⅱ）求AD1与平面ADM所成角的正弦值．【考点】直线与平面所成的角；直线与平面垂直的判定．【分析】（1）计算AM，AO1，MO1，CM，CO1，根据勾股定理的逆定理得出AM⊥O1M，CM⊥O1M，于是O1M⊥平面ACM；（2）连结BD交AC于点O，连接OO1，以O为坐标原点建立空间直角坐标系，求出和平面ADM的法向量，则|cos＜，＞|即为所求．【解答】证明：（Ⅰ）连接AO1，CO1，∵直四棱柱所有棱长均为2，∠BAD=60°，M为BB1的中点，∴O1B1=1，B1M=BM=1，O1A1=，∴O1M2=O1B12+B1M2=2，AM2=AB2+BM2=5，O1A2=O1A12+A1A2=7，∴O1M2+AM2=O1A2，∴O1M⊥AM．同理：O1M⊥CM，又∵CM∩AM=M，AM⊂平面ACM，CM⊂平面ACM，∴O1M⊥平面ACM．（Ⅱ）连结BD交AC于点O，连接OO1，以O为坐标原点，OA，OB，OO1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系O ﹣xyz，则A（，0，0），D（0，﹣1，0），D1（0，﹣1，2），M（0，1，1），∴=（﹣，﹣1，2），=（﹣，﹣1，0），=（0，2，1），设平面ADM的一个法向量=（x，y，z），则，∴．令x=1，得=（1，﹣，2）．∴，=4，||=4，||=2，∴cos＜，＞==，∴AD1与平面ADM所成角的正弦值为．19．某商场举行优惠促销活动，顾客仅可以从以下两种优惠方案中选择一种，方案一：每满200元减50元：方案二：每满200元可抽奖一次．具体规则是依次从装有3个红球、1个白球的甲箱，装有2个红球、2个白球的乙箱，以及装有1个红球、3个白球的丙箱中各随机摸出1个球，所得结果和享受的优惠如下表：（注：所有小球仅颜色有区别）红球个数 3 2 1 0实际付款半价7折8折原价（Ⅰ）若两个顾客都选择方案二，各抽奖一次，求至少一个人获得半价优惠的概率；（Ⅱ）若某顾客购物金额为320元，用所学概率知识比较哪一种方案更划算？【考点】相互独立事件的概率乘法公式；互斥事件的概率加法公式．【分析】（Ⅰ）先求出顾客获得半价优惠的概率，由此利用对立事件概率计算公式能求出两个顾客至少一个人获得半价优惠的概率．（Ⅱ）分别求出方案一和方案二和付款金额，由此能比较哪一种方案更划算．【解答】解：（Ⅰ）记顾客获得半价优惠为事件A，则P（A）==，两个顾客至少一个人获得半价优惠的概率：P=1﹣P（）P（）=1﹣（1﹣）2=．…（Ⅱ）若选择方案一，则付款金额为320﹣50=270元．若选择方案二，记付款金额为X元，则X可取160，224，256，320．P（X=160）=，P（X=224）==，P（X=256）==，P（X=320）==，则E（X）=160×+224×+256×+320×=240．∵270＞240，∴第二种方案比较划算．…20．在△ABC中，A（﹣1，0），B（1，0），若△ABC的重心G和垂心H满足GH平行于x轴（G．H不重合），（I）求动点C的轨迹Γ的方程；（II）已知O为坐标原点，若直线AC与以O为圆心，以|OH|为半径的圆相切，求此时直线AC的方程．【考点】轨迹方程．【分析】（Ⅰ）由题意可设C（x，y），则G（），H（x，），求出，的坐标，再由•=0整理得答案；（Ⅱ）设方程AC为y=k（x+1），C（x0，y0）．联立直线方程和椭圆方程，求出H的坐标，由点到直线的距离公式求得原点O到直线AC的距离，结合题意得到关于k的等式，求出k 值后可得直线AC的方程．【解答】解：（Ⅰ）由题意可设C（x，y），则G（），H（x，）．=（x﹣1，），=（x+1，y），∵H为垂心，∴=x2﹣1+=0，整理可得x2+=1，即动点C的轨迹Г的方程为x2+=1（x•y≠0）；（Ⅱ）显然直线AC的斜率存在，设方程AC为y=k（x+1），C（x0，y0）．将y=k（x+1）代入x2+=1得（3+k2）x2+2k2x+k2﹣3=0，解得x0=，y0=，则H（，）．原点O到直线AC的距离d=，依题意可得，即7k4+2k2﹣9=0，解得k2=1，即k=1或﹣1，故所求直线AC的方程为y=x+1或y=﹣x﹣1．21．函数f（x）=2x﹣e x+1．（1）求f（x）的最大值；（2）已知x∈（0，1），af（x）＜tanx，求a的取值范围．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的最大值；（2）求出f（x）在（0，1）为正，a≤0时，符合题意，a＞0时，通过讨论①0＜a≤1，②a＞1时的情况，结合函数的单调性求出a的具体范围即可．【解答】解：（1）f（x）=2x﹣e x+1，f′（x）=2﹣e x，令f′（x）＞0，解得：x＜ln2，令f′（x）＜0，解得：x＞ln2，∴f（x）在（﹣∞，ln2）递增，在（ln2，+∞）递减，∴f（x）的最大值是f（ln2）=2ln2﹣1；（2）x∈（0，1）时，f（x）在（0，ln2）递增，在（ln2，1）递减，且f（0）=0，f（1）=3﹣e＞0，∴f（x）＞0，∵tanx＞0，∴a≤0时，af（x）≤0＜tanx；a＞0时，令g（x）=tanx﹣af（x），则g′（x）=+a（e x﹣2），∴g（x）在（0，1）递增且g′（0）=1﹣a，①0＜a≤1时，g′（0）≥0，g′（x）≥0，∴g（x）在（0，1）递增，又g（0）=0，∴此时g（x）＞0，即af（x）＜tanx成立，②a＞1时，g′（0）＜0，g′（1）＞0，∴∃x0∈（0，1），使得g′（x0）=0，即x∈（0，x0）时，g′（x）＜0，g（x）递减，又g（0）=0，∴g（x）＜0与af（x）＜tanx矛盾，综上：a≤1．四.请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分．作答时用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，AB与圆O相切于点B，CD为圆O上两点，延长AD交圆O于点E，BF∥CD 且交ED于点F（I）证明：△BCE∽△FDB；（Ⅱ）若BE为圆O的直径，∠EBF=∠CBD，BF=2，求AD•ED．【考点】与圆有关的比例线段；相似三角形的判定．【分析】（Ⅰ）根据BF∥CD便有∠EDC=∠BFD，再根据同一条弦所对的圆周角相等即可得出∠EBC=∠BFD，∠BCE=∠BDF，这样即可得出：△BCE与△FDB相似；（Ⅱ）根据条件便可得出∠EBC=∠FBD，再由上面即可得出∠FBD=∠BFD，这样即可得出△FDB为等腰直角三角形，从而可求出BD=，根据射影定理即可求出AD•ED的值．【解答】解：（Ⅰ）证明：∵BF∥CD；∴∠EDC=∠BFD，又∠EBC=∠EDC，∴∠EBC=∠BFD，又∠BCE=∠BDF，∴△BCE∽△FDB．（Ⅱ）因为∠EBF=∠CBD，所以∠EBC=∠FBD，由（Ⅰ）得∠EBC=∠BFD，所以∠FBD=∠BFD，又因为BE为圆O的直径，所以△FDB为等腰直角三角形，BD=BF=，因为AB与圆O相切于B，所以EB⊥AB，即AD•ED=BD2=2．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．半圆C （圆心为点C）的极坐标方程为ρ=2sinθ，θ∈（，）．（Ⅰ）求半圆C的参数方程；（Ⅱ）直线l与两坐标轴的交点分别为A，B，其中A（0，﹣2），点D在半圆C上，且直线CD的倾斜角是直线l倾斜角的2倍，若△ABD的面积为4，求点D的直角坐标．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（Ⅰ）由x=ρcosθ，y=ρsinθ，x2+y2=ρ2，代入半圆的极坐标方程，再由同角的平方关系，可得参数方程；（Ⅱ）设直线l的倾斜角为α，可得直线l的方程为y=xtanα﹣2，D（cos2α，1+sin2α），2α∈（0，π）．求得|AB|，运用点到直线的距离公式可得D到AB的距离，再由三角形的面积公式，由三角函数的恒等变换，即可得到所求点的坐标．【解答】解：（Ⅰ）由x=ρcosθ，y=ρsinθ，x2+y2=ρ2，可得半圆C的直角坐标方程为x2+y2=2y，即x2+（y﹣1）2=1（y＞1），它的参数方程是，φ为参数且φ∈（0，π）；（Ⅱ）设直线l的倾斜角为α，则直线l的方程为y=xtanα﹣2，D（cos2α，1+sin2α），2α∈（0，π）．|AB|==，点D到直线l的距离为d===|﹣3cosα﹣sinα|=3cosα+sinα，由△ABD的面积为4，得4=d|AB|==1+3cotα，可得tanα=1，得α=，故点D为（0，2）．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x+1|﹣a|x﹣l|．（Ⅰ）当a=﹣2时，解不等式f（x）＞5；（Ⅱ）若（x）≤a|x+3|，求a的最小值．【考点】绝对值不等式的解法．【分析】（Ⅰ）将a=2代入f（x），表示出f（x）的分段形式，结合函数的单调性求出不等式的解集即可；（Ⅱ）问题转化为≤，求出a的最小值即可．【解答】解：（Ⅰ）当a=﹣2时，f（x）=，由f（x）的单调性及f（﹣）=f（2）=5，得f（x）＞5的解集为{x|x＜﹣，或x＞2}．…（Ⅱ）由f（x）≤a|x+3|得a≥，由|x﹣1|+|x+3|≥2|x+1|得≤，得a≥．（当且仅当x≥1或x≤﹣3时等号成立）故a的最小值为．…2020年9月7日。