三角形全等之倍长中线(讲义及答案)
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4
F
A G
F
A G
B
ED
CB
ED
C
6. 如图，在四边形 ABCD 中，AD∥BC，点 E 在 BC 上，点 F 是 CD 的中点，且 AF⊥AB，已知 AD=2.7，AE=BE=5，求 CE 的长．
B
A
D
F
E
C
7. 如图，在正方形 ABCD 中，CD=BC，∠DCB=90°，点 E 在 CB 的延长线上，过点 E 作 EF⊥BE，且 EF=BE．连接 BF，FD，取 FD 的中点 G，连接 EG，CG．
3
C
E
BDA
4. 如图，在△ABC 中，D 是 BC 的中点，E 是 AD 上一点， BE=AC，BE 的延长线交 AC 于点 F． 求证：∠AEF=∠EAF．
B
A F
E
D
C
5. 如图，在△ABC 中，AD 交 BC 于点 D，点 E 是 BC 的中点，EF∥AD 交 CA 的延 长线于点 F，交 AB 于点 G，BG=CF． 求证：AD 为△ABC 的角平分线．
2. 想一想，证一证 已知：如图，AB 与 CD 相交于点 O，且 O 是 AB 的中点． （1）当 OC=OD 时，求证：△AOC≌△BOD； （2）当 AC∥BD 时，求证：△AOC≌△BOD．
C
B
A
O
D
➢ 知识点睛
1. “三角形全等”辅助线： 见中线，要__________，________之后______________．
2
（2）求证：△ACD≌△EBD． （3）求证：AB+AC >2AD． （4）若 AB=5，AC=3，求 AD 的取值范围．
A
B
D
C
2. 如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC，且 BD=CD． 求证：AB=AC．
A
B
D
C
3. 如图，CB 是△AEC 的中线，CD 是△ABC 的中线，且 AB=AC． 求证：①CE=2CD；②CB 平分∠DCE．
BD CD 1 2 ED AD
∴△BDE≌△CDA（SAS）
（3）证明：如图，
∵△BDE≌△CDA
∴BE=AC ∵DE=AD ∴AE=2 AD 在△ABE 中，AB+BE>AE ∴AB+AC>2AD （4）在△ABE 中，
ABBE<AE<AB+BE 由（3）得 AE=2AD，BE=AC ∵AC=3，AB=5 ∴53<AE<5+3 ∴2<2AD<8
∵D 是 BC 边的中点
A
∴BD=CD 在△ADC 和△MDB 中
CD BD
ADC MDB
B
AD MD
1 2
Biblioteka Baidu
F
3E
D
C
∴△ADC≌△MDB（SAS）
M
∴∠1=∠M，AC=MB
∵BE=AC
∴BE=MB
∴∠M=∠3
∴∠1=∠3
∵∠3=∠2
∴∠1=∠2
即∠AEF=∠EAF
5. 证明：如图，延长 FE 到 M，使 EM=EF，连接 BM
∴CF=2CD
C
∵CD 是△ABC 的中线
321
∴BD=AD
在△BDF 和△ADC 中
E
BD AD ADC BDF
DF DC
45
B6 D
A
F
∴△BDF≌△ADC（SAS）
∴BF=AC，∠1=∠F
∵CB 是△AEC 的中线
∴BE=AB
∵AC=AB
∴BE=BF
∵∠1=∠F
∴BF∥AC
∴∠1+∠2+∠5+∠6=180°
∴1<AD<4
2. 证明：如图，延长 AD 到 E，使 DE=AD，连接 BE
在△ADC 和△EDB 中
A
CD BD
12
ADC EDB
AD ED
∴△ADC≌△EDB（SAS）
B
∴AC=EB，∠2=∠E
∵AD 平分∠BAC
∴∠1=∠2
∴∠1=∠E
∴AB=BE
∴AB=AC
D
C
E
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3. 证明：如图，延长 CD 到 F，使 DF=CD，连接 BF
5
求证：EG=CG 且 EG⊥CG．
A
D
G
F
EB
C
6
【参考答案】
➢ 课前预习 1. （1）相等，SSS；夹角，SAS；夹边，ASA；对边，AAS；
直角，HL （2）全等，三，边 2. （1）证明：如图 ∵O 是 AB 的中点 ∴AO=BO 在△AOC 和△BOD 中
AO BO AOC BOD OC OD
∵点 E 是 BC 的中点
F
∴BE=CE
在△CFE 和△BME 中
FE ME
CEF BEM
CE BE
B
A G 23 1
三角形全等之倍长中线（讲义）
➢ 课前预习
1. 填空 （1）三角形全等的判定有： 三边分别___________的两个三角形全等，即（____）； 两 边 和 它 们 的 _____ 分 别 相 等 的 两 个 三 角 形 全 等 ， 即 （ ____ ） ； 两 角 和 它 们 的 _____分别相等的两个三角形全等，即（____）；两角和其中一个角的______分别 相等的两个三角形全等，即（____）； 斜边和_______边分别相等的两个直角三角形全等，即（____）． （2）要证明两条边相等或者两个角相等，可以考虑放在两个三角形中证 ________；要证明两个三角形全等需要准备______组条件，这三组条件里面必须 有______；然后依据判定进行证明，其中 AAA，SSA 不能证明两个三角形全等， 请举出对应的反例．
∴△AOC≌△BOD（SAS） （2）证明：如图 ∵O 是 AB 的中点 ∴AO=BO ∵AC∥BD ∴∠A=∠B 在△AOC 和△BOD 中
A B
AO
BO
AOC BOD
∴△AOC≌△BOD（ASA）
➢ 精讲精练
1. 解：（1）如图，
A
2
B
1D
C
E
7
（2）证明：如图， ∵AD 为 BC 边上的中线 ∴BD=CD 在△BDE 和△CDA 中
1
2. 中点的思考方向： ①（类）倍长中线
A
B
D
C
A
M
B
D
C
延长 AD 到 E，使 DE=AD， 延长 MD 到 E，使 DE=MD，
连接 BE
连接 CE
②平行夹中点
A
B
F
DE
C
延长FE交BC的延长线于点G
➢ 精讲精练
1. 如图，在△ABC 中，AD 为 BC 边上的中线． （1）按要求作图：延长 AD 到点 E，使 DE=AD；连接 BE．
又∵AC=AB
∴∠1+∠2=∠5
又∵∠4+∠5=180°
∴∠4=∠5+∠6
即∠CBE=∠CBF
在△CBE 和△CBF 中
CB CB CBE CBF BE BF
∴△CBE≌△CBF（SAS） ∴CE=CF，∠2=∠3 ∴CE=2CD
CB 平分∠DCE
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4. 证明：如图，延长 AD 到 M，使 DM=AD，连接 BM
F
A G
F
A G
B
ED
CB
ED
C
6. 如图，在四边形 ABCD 中，AD∥BC，点 E 在 BC 上，点 F 是 CD 的中点，且 AF⊥AB，已知 AD=2.7，AE=BE=5，求 CE 的长．
B
A
D
F
E
C
7. 如图，在正方形 ABCD 中，CD=BC，∠DCB=90°，点 E 在 CB 的延长线上，过点 E 作 EF⊥BE，且 EF=BE．连接 BF，FD，取 FD 的中点 G，连接 EG，CG．
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C
E
BDA
4. 如图，在△ABC 中，D 是 BC 的中点，E 是 AD 上一点， BE=AC，BE 的延长线交 AC 于点 F． 求证：∠AEF=∠EAF．
B
A F
E
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C
5. 如图，在△ABC 中，AD 交 BC 于点 D，点 E 是 BC 的中点，EF∥AD 交 CA 的延 长线于点 F，交 AB 于点 G，BG=CF． 求证：AD 为△ABC 的角平分线．
2. 想一想，证一证 已知：如图，AB 与 CD 相交于点 O，且 O 是 AB 的中点． （1）当 OC=OD 时，求证：△AOC≌△BOD； （2）当 AC∥BD 时，求证：△AOC≌△BOD．
C
B
A
O
D
➢ 知识点睛
1. “三角形全等”辅助线： 见中线，要__________，________之后______________．
2
（2）求证：△ACD≌△EBD． （3）求证：AB+AC >2AD． （4）若 AB=5，AC=3，求 AD 的取值范围．
A
B
D
C
2. 如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC，且 BD=CD． 求证：AB=AC．
A
B
D
C
3. 如图，CB 是△AEC 的中线，CD 是△ABC 的中线，且 AB=AC． 求证：①CE=2CD；②CB 平分∠DCE．
BD CD 1 2 ED AD
∴△BDE≌△CDA（SAS）
（3）证明：如图，
∵△BDE≌△CDA
∴BE=AC ∵DE=AD ∴AE=2 AD 在△ABE 中，AB+BE>AE ∴AB+AC>2AD （4）在△ABE 中，
ABBE<AE<AB+BE 由（3）得 AE=2AD，BE=AC ∵AC=3，AB=5 ∴53<AE<5+3 ∴2<2AD<8
∵D 是 BC 边的中点
A
∴BD=CD 在△ADC 和△MDB 中
CD BD
ADC MDB
B
AD MD
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F
3E
D
C
∴△ADC≌△MDB（SAS）
M
∴∠1=∠M，AC=MB
∵BE=AC
∴BE=MB
∴∠M=∠3
∴∠1=∠3
∵∠3=∠2
∴∠1=∠2
即∠AEF=∠EAF
5. 证明：如图，延长 FE 到 M，使 EM=EF，连接 BM
∴CF=2CD
C
∵CD 是△ABC 的中线
321
∴BD=AD
在△BDF 和△ADC 中
E
BD AD ADC BDF
DF DC
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B6 D
A
F
∴△BDF≌△ADC（SAS）
∴BF=AC，∠1=∠F
∵CB 是△AEC 的中线
∴BE=AB
∵AC=AB
∴BE=BF
∵∠1=∠F
∴BF∥AC
∴∠1+∠2+∠5+∠6=180°
∴1<AD<4
2. 证明：如图，延长 AD 到 E，使 DE=AD，连接 BE
在△ADC 和△EDB 中
A
CD BD
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ADC EDB
AD ED
∴△ADC≌△EDB（SAS）
B
∴AC=EB，∠2=∠E
∵AD 平分∠BAC
∴∠1=∠2
∴∠1=∠E
∴AB=BE
∴AB=AC
D
C
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3. 证明：如图，延长 CD 到 F，使 DF=CD，连接 BF
5
求证：EG=CG 且 EG⊥CG．
A
D
G
F
EB
C
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【参考答案】
➢ 课前预习 1. （1）相等，SSS；夹角，SAS；夹边，ASA；对边，AAS；
直角，HL （2）全等，三，边 2. （1）证明：如图 ∵O 是 AB 的中点 ∴AO=BO 在△AOC 和△BOD 中
AO BO AOC BOD OC OD
∵点 E 是 BC 的中点
F
∴BE=CE
在△CFE 和△BME 中
FE ME
CEF BEM
CE BE
B
A G 23 1
三角形全等之倍长中线（讲义）
➢ 课前预习
1. 填空 （1）三角形全等的判定有： 三边分别___________的两个三角形全等，即（____）； 两 边 和 它 们 的 _____ 分 别 相 等 的 两 个 三 角 形 全 等 ， 即 （ ____ ） ； 两 角 和 它 们 的 _____分别相等的两个三角形全等，即（____）；两角和其中一个角的______分别 相等的两个三角形全等，即（____）； 斜边和_______边分别相等的两个直角三角形全等，即（____）． （2）要证明两条边相等或者两个角相等，可以考虑放在两个三角形中证 ________；要证明两个三角形全等需要准备______组条件，这三组条件里面必须 有______；然后依据判定进行证明，其中 AAA，SSA 不能证明两个三角形全等， 请举出对应的反例．
∴△AOC≌△BOD（SAS） （2）证明：如图 ∵O 是 AB 的中点 ∴AO=BO ∵AC∥BD ∴∠A=∠B 在△AOC 和△BOD 中
A B
AO
BO
AOC BOD
∴△AOC≌△BOD（ASA）
➢ 精讲精练
1. 解：（1）如图，
A
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B
1D
C
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（2）证明：如图， ∵AD 为 BC 边上的中线 ∴BD=CD 在△BDE 和△CDA 中
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2. 中点的思考方向： ①（类）倍长中线
A
B
D
C
A
M
B
D
C
延长 AD 到 E，使 DE=AD， 延长 MD 到 E，使 DE=MD，
连接 BE
连接 CE
②平行夹中点
A
B
F
DE
C
延长FE交BC的延长线于点G
➢ 精讲精练
1. 如图，在△ABC 中，AD 为 BC 边上的中线． （1）按要求作图：延长 AD 到点 E，使 DE=AD；连接 BE．
又∵AC=AB
∴∠1+∠2=∠5
又∵∠4+∠5=180°
∴∠4=∠5+∠6
即∠CBE=∠CBF
在△CBE 和△CBF 中
CB CB CBE CBF BE BF
∴△CBE≌△CBF（SAS） ∴CE=CF，∠2=∠3 ∴CE=2CD
CB 平分∠DCE
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4. 证明：如图，延长 AD 到 M，使 DM=AD，连接 BM