全国优质课-导数的概念

《普通高中课程标准实验教科书—数学选修2-2》人教A版

导数的概念

2018年10月

《1.1.2导数的概念（第一课时）》教学设计

开封高中张传涛

一、教学内容解析

本节课是人教A 版《普通高中课程标准实验教科书--数学选修2-2》，第一章第一节1.1.2的第一课时--导数的概念.导数是微积分的核心概念之一，它是研究函数增减、变化快慢、最大（小）值等问题的最一般、最有效的工具.考虑到高中学生认知水平，没有采用一般的：数列----数列的极限----函数的极限----导数这种建立概念的方式，而是从变化率入手，用形象直观的“逼近”定义导数.这样一来，一方面排除了因难以理解极限的形式化定义，而对导数本质理解的干扰，将更多的精力放在对导数本质与内涵的理解上；另一方面，学生对逼近的思想有了丰富的直观基础和一定理解，有利于大学学习严格的极限定义.本节课将导数概念的建立划分为两个阶段：首先明确瞬时速度和切线斜率的含义，然后去掉物理背景和几何背景，由两个实例出发，抽象出一般函数的瞬时变化率的概念，给出导数的定义.借助信息技术，通过让学生亲自计算、几何画板展示等方法，让学生体会逼近的思想和用已知探求未知的思考方法.基于以上分析，确定本节课教学重点为：建立导数概念及对导数思想和内涵的理解.

二、教学目标设置

本节的中心任务是形成导数概念.概念形成通过两个实例抽象得出：

（1）借助高台跳水问题，明确瞬时速度的含义；

（2）借助抛物线的割线逼近切线的问题，明确切线斜率的含义；

（3）以速度模型为出发点，结合切线斜率抽象出导数概念，使学生认识到导数就是瞬

时变化率，理解导数内涵.

（4）通过平均变化率的计算，让学生切身体会逼近思想，渗透以已知探求未知的思考

方法，提升数据处理和数学抽象的核心素养.

三、学生学情分析

1.重点中学的学生，思维活跃，善于动脑.在高一年级的物理课程中学习过瞬时速度；

在之前函数零点的学习过程中，已有利用“二分法”逼近函数零点的经验，“逼近”的思想对于学生而言，并不陌生.因此，学生已经具备了一定的认知基础.

2.可能存在的问题：

（1）使学生能通过观察发现：运动的物体在某一时刻附近的一段时间内的平均速度在

时间间隔越来越小时，逐渐趋于一个确定的值，而且这个确定值就是物体在该时刻的瞬时速度.这个过程学生难以想象，同时数值逼近的运算繁琐，但又不能采取简单的方式告知学生，而是要学生通过实际的计算，在计算过程中，充分感知当||t ∆趋于0时，

t h ∆∆趋于一个定值，当||x ∆趋于0时，x

y ∆∆趋于一个定值. （2）在实际教学中，学生需要用到思想方法和表达形式的迁移，即把从平均速度到瞬

时速度过渡中所运用的“逼近”的思想方法迁移到从平均变化率到瞬时变化率的过渡，从对一个具体函数在一个确定点的瞬时变化率的表达式迁移到任意一个函数在任意一点的瞬时变化率的表达，这样的探究方法可能会导致学生的不适应而产生困难.

因此，如何引导学生根据生活中具体的实例，结合已有的知识经验，通过“逼近”的

方法，由特殊到一般，用类比的方法归纳探究出导数的概念是本节课的难点.

四、教学策略分析

基于以上分析，本节课决定采用复习上节课的探究问题----学生自己计算高台跳水运动员在65049

t ≤≤这段时间内的平均速度，发现平均速度不能准确反映运动员在这一时间段里任意时刻的运动状态，从而，由平均速度的局限性，引出学习瞬时速度的必要性.引导学生思考，如何计算瞬时速度？前面学习的平均速度与要计算的瞬时速度有何关系？用生活中处理瞬时速度的方法----用极短时间内的平均速度近似刻画这段时间内任一时刻的瞬时速度，给学生以启发，可以用同样的方法来探求运动员在某时刻的瞬时速度，注意用已知探求未知的思考方法.先让学生计算1s 附近的平均速度，注意当t ∆趋于0时，t

h ∆∆趋于一个定值；要求学生亲自计算两串平均速度，让学生在计算的过程中感受逼近的趋势.然后，再探求2s 的瞬时速度，再由特殊到一般，得出任意时刻的瞬时速度；然后换个角度，割线逼近切线，从而割线斜率逼近切线斜率问题；最后舍弃这两个问题的实际背景，抽象出一般函数的瞬时变化率的概念，并用数学语言准确表达.用直观形象的逼近思想来刻画导数概念.

通过“学生亲自计算，让学生充分感知平均速度到瞬时速度的数值逼近”；采用学生熟悉的物理背景平均速度到瞬时速度、割线斜率到切线斜率；以及先由特殊到特殊的类比，再由特殊到一般的归纳，思维难度逐层递进的策略来突破难点。

基本流程： 提出问题，激发求知欲

↓

明确解决问题的想法及途径

↓

组织学生小组合作、自主探索，建立导数概念

↓

通过用导数概念求解例题和练习，进一步理解导数概念

五、教学过程设计 （一）复习回顾

回顾探究：在一次跳水运动中，某高台跳水运动员相对于水面的高度(m)h 单位：与起跳后的时间(s)t 单位：存在函数关系：2() 4.9 6.510h t t t =-++.

计算运动员在65049

t ≤≤这段时间里的平均速度，并思考下面的问题： （1）运动员在这段时间内是静止的吗？

（2）你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？

回顾上节课计算、交流的结果，明确研究课题.

问题1. 在一次跳水运动中，某高台跳水运动员相对于水面的高度(m)h 单位：与起跳后的时间(s)t 单位：存在函数关系：2

() 4.9 6.510h t t t =-++.

计算运动员在1t =的瞬时速度.

【设计意图】

让学生认识到平均速度只能粗略地描述某段时间内的运动状态，并不能精确刻画运动员在每一时刻的运动状态；而高台跳水运动员需要在跳水过程中做出各种不同的动作，为了设计不同时刻的不同动作，需要准确把握运动员在每一时刻的瞬时速度.引发学生的认知冲突，明确本节课学习的必要性.

（二）问题探究：

如何求运动员的瞬时速度？与平均速度有什么关系？引起学生思考！

数学源于生活，用于生活.用测速现场的小视频引起学生思考：高速公路上测速仪，如何在汽车通过的瞬间，测出其瞬时速度呢？

讲解激光测速仪的原理，利用激光反射，测出汽车在给定时间内的移动距离，从而得出这段时间的平均速度.设汽车在0t 时刻附近某一时间段内的平均速度是，可以想象，如果不断缩短这一时间段的长度，那么将越来越趋近于汽车在0t 时刻的瞬时速度.