北师版数学高一必修4教学设计两角和与差的正切函数

教学设计

2.3 两角和与差的正切函数

整体设计

教学分析

教材把两角和与差的正切公式从正弦、余弦中分离出来,单独作为一节,这对学生的自主探究学习提供了平台.因为前面学生已经学习了两角和与差的正弦、余弦公式,对其应用学生有了一定的理解,同时对于三角函数变形中,角的变换也有了一定的掌握,因此在本节课的教学中可以充分利用学生的知识迁移,更多地让学生自主学习,独立地推导两角和与差的正切公式,为学生提供进一步实践的机会.也可以说本节并不是什么新的内容,而是对前面所学知识的整合而已.在探究中让学生体验自身探索成功的喜悦感,培养学生的自信心,培养学生形成实事求是的科学态度和锲而不舍的钻研精神.对于公式成立的条件,可以在学生自主推导公式中通过观察、比较、分析、讨论,在掌握公式结构特征的基础上加以讨论解决.

在学习两角和与差的正切公式中,有许多优美的三角恒等式,包括倍角公式,半角公式等.它可以唤起学生的美感,教学中要注意这种形式上的特点,引导学生欣赏其结构、变形之美.本节作为两角和与差的三角函数的最后一节内容,教学时可以将两角和与差的三角函数公式作一个小结,从分析公式的推导过程入手,探究问题解决的来龙去脉,揭示它们的逻辑关系,使学生更好地用分析的方法寻求解题思路.

三维目标

1.会由两角和与差的正弦、余弦公式推导两角和与差的正切公式,能运用两角和与差的正切公式进行简单的化简、求值及三角恒等证明.

2.通过两角和与差的正切公式的推导及运用,让学生从中体会转化与化归的思想方法,培养学生用联系变化的观点观察问题,通过学生的互相交流增强学生的合作能力,加强学生对公式的理解,在公式变形美的熏陶下提高数学审美层次.

重点难点

教学重点:两角和与差的正切公式的推导及应用.

教学难点:两角和与差的正切公式的灵活运用,特别是逆用及变形用.

课时安排

1课时

教学过程

导入新课

思路1.(问题导入)通过前面的学习,你能否求出tan15°的值？学生很容易转化为30°、45°的正弦、余弦来求.教师进一步提出:能否直接利用tan30°和tan45°来求出tan15°呢？由此展开新课,探究两角和与差的正切公式.

思路2.(直接导入)在研究了和与差角α±β的正弦、余弦与单角α、β的正弦、余弦间的关系后,能否探究出tan(α±β)与tanα、tanβ间的关系？是否与sin(α±β)公式相似?如何推导呢?由此展开新课,揭示课题.

推进新课

新知探究

提出问题

①利用所学两角和与差正弦与余弦公式很容易求出tan15°的值,那么怎样直接利用tan30°和tan45°来求出tan15°呢？

②利用所学两角和与差的公式,对比分析公式Cα-β、Cα+β、Sα-β、Sα+β,能否推导出tan(α-β)=?tan(α+β)=?

③分析观察公式T α-β、T α+β的结构特征与正、余弦公式有什么不同？

④前面两角和与差的正\,余弦公式是恒等式,和与差的正切呢？

活动:教师引导学生观察思考前面我们推出的公式C α-β、C α+β、S α+β、S α-β,可以完全让学生自己进行探究tan(α-β),tan(α+β)究竟如何,教师只是适时地点拨就行了.通过教师引导学生自然会想到利用同角三角函数关系式化弦为切,通过除以cosαcosβ即可得到,在这一过程中学生很可能想不到讨论cosαcosβ等于零的情况,这时教师不要直接提醒,让学生通过观察验证自己悟出来才有好效果.对cosαcosβ讨论如下:

当cos(α+β)≠0时,tan(α+β)=β

αβαβαβαβαβαsin sin cos cos sin cos cos sin )cos()sin(-+=++. 若cosαcosβ≠0,即cosα≠0且cosβ≠0时,分子分母同除以cosαcosβ,得

tan(α+β)=β

αβαtan tan 1tan tan -+. 根据角α、β的任意性,在上面的式子中,β用-β代之,则有

tan(α-β)=β

αβαβαβαtan tan 1tan tan )tan(tan 1)tan(tan +-=---+. 由此推得两角和与差的正切公式,简记为“T α-β、T α+β”.

tan(α+β)=β

αβαtan tan 1tan tan -+;(T α+β) tan(α-β)=β

αβαtan tan 1tan tan +-.(T α-β) 我们把公式T α+β,T α-β分别称作两角和的正切公式与两角差的正切公式,并且从推导过程可以知道α、β\,α±β有一定的取值范围,即α≠

2π+kπ(k ∈Z ),β≠2π+kπ(k ∈Z ),α±β≠2π+kπ(k ∈Z ),这样才能保证tan(α±β)与tanα,tanβ都有意义.

教师应留出一定的时间让学生回味\,反思探究过程,点明推导过程的关键是:

tan(α+β)→sin(α+β),cos(α+β)→sinα、sinβ、cosα、cosβ→tanα、tanβ.我们学习公式一定要掌握公式成立的条件、公式的形式及公式的作用三个方面:①公式成立的条件是什么?(提示学生从公式的形式和推导过程看)tanα、tanβ、tan(α±β)都有意义,且1±tanαtanβ≠0;②注意公式的形式:公式右边分子是单角α、β正切的和与差,分母是1减(或加)单角α、β正切的积公式,右边分子的符号与公式左边的符号相同,公式右边分母的符号与分子的符号相反;③公式的作用:将复角α±β的正切化为单角α、β的正切形式,用于角的变换.(基本关系式用于三角函数的变形)可用于三角函数的计算、化简、证明.

至此,我们学完了两角和与差的正弦、余弦、正切公式,统一叫作三角函数的和差公式.一般地,我们把公式S α+β,C α+β,T α+β都叫作和角公式,而把公式S α-β,C α-β,T α-β都叫作差角公式.要让学生明晰这六个公式的推导过程,清晰逻辑关系主线.可让学生自己画出这六个框图,通过逻辑联系图,深刻理解它们之间的内在联系,借以理解并灵活运用这些公式.同时教师应提醒学生注意:不仅要掌握这些公式的正用,还要注意它们的逆用及变形用.如两角和与差的正切公式的变形式:tanα+tanβ=tan(α+β)(1-tanαtanβ),tanα-tanβ=tan(α-β)(1+tanαtanβ),在化简求值中就经常用到,使解题过程大大简化,也体现了数学的简洁美及数学公式的魅力.对于两角和