人教A版高中数学必修四教案

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4.1.1 圆的标准方程

(一)教学目标

1．知识与技能

（1）掌握圆的标准方程，能根据圆心、半径写出圆的标准方程.

（2）会用待定系数法求圆的标准方程.

2．过程与方法

进一步培养学生能用解析法研究几何问题的能力，渗透数形结合思想，通过圆的标准方程解决实际问题的学习，注意培养学生观察问题发现问题和解决问题的能力.

3．情感态度与价值观

通过运用圆的知识解决实际问题的学习，从而激发学生学习数学的热情和兴

趣.

(二)教学重点、难点

重点：圆的标准方程

难点：会根据不同的已知条件，利用待定系数法求圆的标准方程.

(三)教学过程

一、自主学习：预习教材P118-P119

1.在直角坐标系中，确定直线的基本要素是什么？圆作为平面几何中基本图

形，确定它的要素是什么呢？

2.什么叫圆？平面直角坐标系中，任何一条直线都可以用一个二元一次方程来

表示，那么圆是否也可以用一个方程来表示呢？如果能，这个方程又有什么特证呢？

二、合作探究

1.圆心为A （a,b ），半径为r 的圆的方程222()()x a y b r -+-=叫做圆的标

准方程，那么当a=b=0时，圆的方程是什么？确定标准方程的基本要素有哪些？

例1.求圆心在C(2,-3),半径是5的圆的标准方程，并判M(5,-7),)1,5(--N 是

否在圆上。

探究：如何判断点00(,)M x y 在圆222

()()x a y b r -+-=上、内、外？

例2. 圆心在C （8，—3），且经过点M(5,1)的圆的标准方程

例3.已知圆心为C 的圆经过点A(1,1)和B(2，-2),且圆心C 在直线l ：x-y+1=0

上，求圆心为C 的圆的标准方程。

三、课堂检测

1.完成P 120练习第一题.

2.圆22(2)(3)2x y ++-=的圆心坐标 ，半径长 .

3.已知圆C:229x y +=,点A(3,4)，则点A 与圆C 的位置关系是 .

4.已知圆的方程是22(3)(2)4x y -+-=，判断点P （2,3）与圆的位置关系.

5.△ABC 的三个顶点的坐标分别是A(5,1),B(7，-3),C(2，-8),求它的外接圆的

方程.

四、课后作业

1.若点P(2，－1)为圆22(1)25x y -+=的弦AB 的中点，则直线AB 的方程

是______ __ .

2.已知圆C 1：22(1)(1)1x y ++-=，圆C 2与圆C 1关于直线x －y －1＝0对

称，则圆C 2的方程为( )

A ．22(2)(2)1x y ++-=

B ．22(2)(2)1x y -++=

C ．22(2)(2)1x y +++=

D ．22(2)(2)1x y -+-= 3.圆(x －1)2＋y 2＝25上的点到点A(5,5)的最大距离是 . 4.已知圆C ：22(2)(1)4x y -+-=，求圆心坐标和半径，并判断直线x-y+3=0

是否能平分圆.

5.求 以A(1,3)和B(3,5)为直径两端点的圆的标准方程.

6.已知△ABC 三边所在直线方程AB: x-6=0, BC: x-2y-8=0, CA: X+2Y=0,求此

三角形的外接圆方程

7.圆心在直线y=-2x 上，且与直线y=1-x 相切与点B(2，-1),求此圆的方程

五、课时小结

1．圆的标准方程.

2．点与圆的位置关系的判断方法.

3．根据已知条件求圆的标准方程的方法.

4. 1. 2 圆的一般方程

(一)教学目标

1．知识与技能

（1）在掌握圆的标准方程的基础上，理解记忆圆的一般方程的代数特征，由圆的一般方程确定圆的圆心半径，掌握方程x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0表示圆的条件.

（2）能通过配方等手段，把圆的一般方程化为圆的标准方程，能用待定系数法求圆的方程.

（3）培养学生探索发现及分析解决问题的实际能力.

2．过程与方法

通过对方程x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0表示圆的条件的探究，培养学生探索发现及分析解决问题的实际能力.

3．情感态度与价值观

渗透数形结合、化归与转化等数学思想方法，提高学生的整体素质，激励学生创新，勇于探索.

(二)教学重点、难点

教学重点：圆的一般方程的代数特征，一般方程与标准方程间的互化，根据已知条件确定方程中的系数，D、E、F.

教学难点：对圆的一般方程的认识、掌握和运用.

(三)教学过程

一、自主学习：预习教材P121-P123

1.已知圆的方程为22

(2)(1)4x y ++-=，则圆心坐标 ,半径 , 将其展开为 ，它表示圆吗？

2.将圆的标准方程222()()x a y b r -+-=展开可得22222x y ax by a +--+

220b r +-=．可见，任何一个圆的方程都可以写成220x y Dx Ey F ++++=．请大家思考一下：形如220x y Dx Ey F ++++=的方程的曲线是不是圆？下面我们来深入研究这一方面的问题．

二、合作探究

探究一：圆的一般方程

1.方程220x y Dx Ey F ++++=在什么条件下表示圆？

2.归纳圆的一般方程的特点

提出问题：222460x y x y +-+-=是否表示圆？如果是，写出圆心和半径。 例1.判断下列方程是否表示圆？如果是，求出圆心和半径.

(1) 22860x y x y +-+=， (2) 2220x y by ++=

例2.求过三点O(0,0),M(1,1),N(4,2)的圆的方程，并求这个圆的半径长和圆心坐标.

例3.已知线段AB 的端点B （4,3），端点A 在圆22(1)4x y ++=上运动，求线段AB 的中点M 的轨迹方程。

三、交流展示

1.求过三点A(0,5),B(1,2),C(-3，-4)的圆的方程，并求出圆心和半径。